Examenes Resueltos Analisis Matematico

EXÁMENES RESUELTOS ANÁLISIS MATEMÁTICO

INFORMÁTICA SISTEMAS Y GESTIÓN DELEGACIÓN DE ALUMNOS CENTRO ASOCIADO DE BALEARES

EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Fecha: Septiembre 1995 Tipo examen: General

Cuestión 1 (dos puntos) ¿Cuál es el número mínimo de puntos conocidos de la gráfica de una función polinómica que son necesarios para determinar su expresión? Si se dispone de dicho número de puntos, ¿se puede asegurar que se determina la expresión de la función?

Cuestión 2 (dos puntos) Calcular I

= ∫ tg 4 x • dx

Cuestión 3 (dos puntos) Estudiar el carácter de la serie

∑ (−1)

n −1

•

2n 4n 2 − 3

Cuestión 4 (dos puntos) Representar gráficamente la función f(x) = x · Ln x - 2x . (Ln es el logaritmo neperiano)

Cuestión 5 (dos puntos) Sea la función

1 ⎧⎪ − 1 x = , n ∈ N f ( x) = ⎨ n ⎪⎩ 0 resto

Estudiar si existen los límites de la función en x = 0, x = 1 / 2 .

1

.

ANALISIS MATEMATICO Febrero 1996 - 1ª Semana Tipo examen H 1) Se consideran las funciones:

f ( x ) = sen x

2

g( x ) =

y

x 2

∫

− x 2

sen t 2 dt .

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La función f no es integrable y g no está definida. b) La función g es derivable y g '( x ) = 4 x sen x . 4

c) La función f es integrable y g no es derivable en [0, 1].

(

2) Dada la función f ( x ) = x

2

+ 9)

1

2

en el intervalo [0, 4], un valor c que verifica el teorema del

incremento finito es: a) c =

3 .

b) c = − 3 . c) c = 3 .

[

]→ R

3) Sea f : a , b

una función continua en x0

∈( a, b) .

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

correcta? a) f es derivable en un entorno de x0 . b) Existe una sucesión (xn) de elementos de [a, b] para los cuales f ( xn ) − f ( x0 )

> 1.

c) Para toda sucesión (xn) de elementos de [a, b] que converge a x0 se tiene que lim f ( x n ) = f ( x 0 ) n→∞

4) La serie

∑

(−1) n−1 n

es:

3n−1

a) Convergente. b) Divergente pero no condicionalmente convergente. c) Divergente. 5) La función f ( x ) =

x x 2 − 4 x + 3

verifica:

a) La recta y = x + 3 es asíntota oblícua de la función f . b) Las rectas y = 1 e y = 3 son asíntotas horizontales de la función f . c) Las rectas x = 1 y x = 3 son asíntotas verticales de la función f . 6) La función f ( x ) =

a) f es decreciente en

x x − 4 x + 3 2

verifica:

(− ∞,− 3) ∪ (

3,+∞ ) .

b) f es monótona creciente en todo su dominio de definición. c) f es creciente en

(−

3 ,0) ∪ ( 3,+∞ ) .

1

7) La ecuación f(x) = P(x) tiene cuatro raíces reales unicamente, donde f es una función continua y P(x) es una función polinómica de cuarto grado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) El polinomio P(x) no es un polinomio interpolador de la función f . b) P(x) es el polinomio interpolador de la función f correspondiente a los nodos constituidos por las raíces de la ecuación. c) El polinomio interpolador de la función f correspondiente a los nodos constituidos por las raíces de la ecuación es proporcional a P(x). 8) El polinomio de Taylor de grado 2 de la función f ( x ) =

1

a) 1 −

2

( x − 1) 2 1

.

( x − 1) 2

b)

( x − 1) +

c)

( x − 1) − ( x − 1) 2

2! 3

2

. . 1

9) El valor de

lim( cos.3x ) x 3

es:

x → 0

a) ∞ . b) 0 . c)

−

3 2

.

1

10) El valor de la integral

∫ ( x

3

2

− 2) x 2 dx

es:

0

π

a) b) c)

2 7 9 6 7

. . .

2

Ln. x x

en el punto x = 1 es:

ANALISIS MATEMATICO

Febrero 1997 - 1ª Semana Tipo examen A

1.

Sea f :[ − 11 , ] → R , donde f ( x ) =

x 2

1 a x 2 y h = lim ∫−a 1 + x 2 dx : a → 0 2a

1 + x 2

A. h = 0 . B. h = 1 . C. Ninguna de las anteriores.

2.

Sea f ( x ) =

1

, con x0 = 1. Desarrollar x0 por el polinomio de Taylor.

x 2 3 4 A. A − 10 x + Bx − 5x + x donde A y B son números naturales. B. 3 + Ax + 4 x + Bx + x donde A y B son números enteros. C. Ninguna de las anteriores. 2

3

4

Sea p: R → R , tenemos f(-2) = -16 , f(-1) = -5 , f(0) = -2 y f(1) = -1 y el grado de f es menor de 4: A. p(2) = 4 . B. p(2) = -0.5 . C. Ninguna de las anteriores.

3.

Sea f : R → R , tenemos f ( x) = p( x) − x A. f crece en el intervalo (-1,0) . B. f es cóncava en el intervalo (3,5) . C. Ninguna de las anteriores.

4.

2

y según el ejercicio 3:

Sea p:( a, b) → R siendo discontinua en el intervalo (a,b): A. | f | es discontinua en el intervalo (a,b) . B. | f | puede ser derivable en el intervalo (a,b) . C. Ninguna de las anteriores.

5.

6.

El segundo decimal de la única raíz de p(x) = 0 del ejercicio 3 es: A. 4 . B. 5 . C. Ninguna de las anteriores.

7.

La serie

1 es: n4 + 1

A. Divergente. B. Convergente. C. Ninguna de las anteriores. Sea f : R → R siendo f ( x ) = x , entonces: A. f posee una recta tangente para todo x que pertenece a R . B. f no posee una recta tangente para x igual a 0 . C. Ninguna de las anteriores. 5

8.

2

π

9.

El valor de la integral

∫

4

0

tg 3 x. dx :

A. Es mayor de 0.5 . B. Es menor de 0.3 . C. Ninguna de las anteriores. Si F(x) es la primitiva de f ( x ) = e A. F(x) es convexa en R . B. F(x) es creciente en R . C. Ninguna de las anteriores.

10.

x

+ x , entonces:

1

Análisis Matemático Exam en d e Febrero de 1997 (1ªsem ana). Tipo A

1) Sea f : [− 1,1] → R definida por f ( x) =

x 2 1+

2

y h = lim

a →0

1 2a

a

x 2

∫ 1 + −a

2

. Entonces:

a) h = 0 . b) h = 1 . c) Ninguna de las anteriores.

Respuesta razonada:

La función que se nos da

f ( x) =

x 2 1+

2

es continua en toda la recta real por lo que su restricción1 a todo intervalo cerrado y acotado es también continua. Esto permite asegurar que f ( x) es continua en el compacto en todo compacto

[− a, a ] , donde

[− 1,1]

y también

a ∈ R . Por otro lado, toda función continua en un intervalo

cerrado y acotado es integrable Riemann en dicho intervalo y, en consecuencia, la función

F (a ) =

1 2a

a

x 2

∫ 1+ x −a

2

dx

está bien definida para todo a perteneciente al intervalo

[− 1,1]

y distinto de cero. Ahora bien,

¿cuál es el valor de esta función? Basta hallar una primitiva de la función racional f ( x) =

x 2 1 + x 2

y

aplicar la regla de Barrow: F ( a ) =

1 2a

a

∫ 1 + x −a

=

1

x 2

1 2a

2

dx =

 1 − 1  dx = 1  a 1dx − a 1 dx  = 1 [ x − arctg x ]a =    −a −a ∫ −a 1 + x2   2a − a  1 + x 2  2a ∫ 2a  ∫ 1

a

[(a − arctg a ) − (− a − arctg(− a ))] =

1 2a

[2a − arctg a + arctg(− a )] .

La restricción no es más que una nueva función que tiene la misma fórmula pero que actúa en parte del dominio. Examen de Análisis. Febrero 97

1

Como la función arco tangente es impar (ver figura 1 de la página siguiente) resulta que

arctg(− a ) = − arctg a y por tanto: F ( a ) =

1 2a

(2a − arctg a − arctg a ) =

1 2a

(2a − 2 arctg a ) =

1 2a

2(a − arctg a ) = a − arctg a .

Si hacemos el límite de esta función cuando a tiende a cero resulta

h = lim a →0

1 2a

a

x 2

∫ 1 + −a

2

= lim (a − arctg a ) = 0 − arctg 0 = 0 − 0 = 0 . a →0

Figura 1

La respuesta correcta es a.

2

Examen de Análisis. Febrero 97

2) Sea f ( x ) =

1

y x0

= 1 , entonces el polinomio de Taylor correspondiente a

f en el punto x0

es: a) A − 10 x + Bx 2 − 5 x 3 + x 4 , donde A y B son dos números naturales. b) 3 + Ax + 4 x 2 + Bx 3 + x 4 , donde A y B son dos números enteros. c) Ninguno de los apartados anteriores.

Respuesta razonada:

Recordemos el teorema de Taylor: Sea f una función que admita derivada n+1 –ésima f supongamos que f

(n )

( n +1)

en todo el intervalo (a, b) y

es continua en el intervalo [a, b] . Supongamos también que x0 es un

punto de [a, b ] . Entonces para todo

de

[a, b]

distinto de x0 , existe un punto x1 , interior al

intervalo que une x con x0 tal que f ( x) = f ( x0 ) +

n

f ( k ) ( x0 )

k =1

k !

∑

( x − x0 ) + k

f ( n +1) ( x1 ) n!

( x − x0 )n+1 .

Es decir, el teorema de Taylor nos garantiza que toda función que admita derivadas continuas hasta el orden n en un intervalo cerrado y que tenga derivada n+1 – ésima en el interior de ese intervalo cerrado, puede ser aproximada mediante el valor de un polinomio f ( x0 ) +

n

f ( k ) ( x0 )

k =1

k !

∑

( x − x0 )k ,

(llamado de Taylor) con coeficientes calculados por medio de la función y sus primeras n derivadas en un punto x0 , cometiendo un error medido a través del valor de la n+1–ésima derivada en otro punto x1 : La función f ( x ) =

1 x

f ( n+1) ( x1 ) n!

( x − x0 )n+1 .

tiene por dominio el conjunto R − {0} y en su dominio es indefinidamente

derivable. Por ello, si tomamos un intervalo cerrado: [1 − ε,1 + ε ] ,

ε >0,

que no contenga al

origen, podemos asegurar que en dicho intervalo se dan las condiciones del teorema de Taylor (ver figura siguiente)


3

ε

0

1

ε Para hallar el polinomio de Taylor de grado n-1 necesitamos conocer la expresión de las derivadas de f . Esto no resulta difícil si escribimos f ( x ) = x −1 en lugar de f ( x ) = f (0 ) ( x ) = x −1 f (1) ( x ) = (− 1) x −2

1 x

(la función) (primera derivada)

f ( 2 ) ( x ) = (− 2)(− 1) x −3 (segunda derivada) f (3) ( x) = (− 3)(− 2 )(− 1) x −4

(tercera derivada)

............................................... f ( n ) ( x ) = (− n )(− (n − 1)).....(− 2)(− 1) x − ( n+1)

(derivada de orden n)

Recordando que 0!= 1,1!= 1, 2!= 2 ⋅1, 3!= 3 ⋅ 2 ⋅1 , etc., se tiene f (0 ) ( x) = 0! x −1 f (1) ( x ) = (− 1)1! x −2 f ( 2 ) ( x) = 2! x −3 f (3) ( x) = (− 1)3! x −4 .................................... f ( n ) ( x ) = ( −1) n n! x − (n+1) . Los valores obtenidos se sustituyen en el polinomio de Taylor f ( x0 ) +

n

∑ k =1

f ( k ) ( x0 ) k !

1

( x − x0 ) = + k

1

n

∑

( −1) k k !1−( k +1)

k =1

k !

( x − 1) = 1 +

= 1 − ( x − 1) + ( x − 1)2 − ( x − 1)3 + ..... Esto supone que la respuesta correcta es c.

4


k

n

∑ (−1) ( x −1) k

k =1

k

=

. En efecto,

3) De una función polinómica p : R → R , tan sólo se conoce que p(−2) = −16, p(−1) = −2 ,

p(1) = −1 y que el grado de p es menor que cuatro. Entonces

a)

Es correcto suponer que p(2) = 4 .

b)

Es correcto suponer que p(2 ) = −0.5 .

c)

Ninguno de los dos apartados anteriores

Respuesta razonada:

Supongamos que el polinomio que buscamos es de la forma: p( x ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D . Esta suposición es razonable ya que el grado de p es como máximo tres. Para hallar este polinomio (llamado de interpolación) vamos a emplear el método de las diferencias divididas. A continuación explicamos tal método. Consideremos una tabla donde se nos dan ciertos puntos xi , i = 0,1, 2,.., n y los valores de una función en tales puntos yi , i = 0,1, 2,.., n Tabla 1

x0

y0

x1

y1

x2

y2

x3

y3

.

.

xn

yn

La primera diferencia dividida es la expresión:

[ x , x ] = i

j

y j − yi x j − xi

, i ≠ j .


5

Obsérvese que se trata de una especie de cociente incremental. Por ejemplo si tenemos la tabla de los valores de p

Tabla 2

xi

yi

-2

-16

-1

-5

0

-2

1

-1

las primeras diferencias divididas consecutivas serán:

[ x0 , x1 ] =

y1 − y0 x1 − x0

[ x1 , x2 ] = [ x2 , x3 ] =

=

− 5 − (− 16) − 5 + 16 11 = = = 11 , − 1 − (− 2) − 1 + 2 1

=

− 2 − (− 5) − 2 + 5 3 = = = 3, 0 − (− 1) 1 1

=

− 1 − (− 2) − 1 + 2 1 = = = 1. 1− 0 1 1

y2 − y1 x2 − x1 y3 − y2 x3 − x2

Estas diferencias se suelen colocar en la tabla anterior de la siguiente forma: Tabla 3

6


xi

yi

-2

-16

-1

-5

11

0

-2

3

1

-1

1

xi , x j

Las segundas diferencias divididas consecutivas se construyen a partir de las primeras utilizando la expresión:

[ x , x i

j

, xk ] =

− xi , x j xk − xi

x j , xk

, i ≠ k .

En nuestro caso, serán:

[ x0 , x1 , x2 ] =

[ x1 , x2 ] − [ x0 , x1 ] 3 − 11 − 8 = = = −4 , x2 − x0 0 − (− 2) 2

[ x1 , x2 , x3 ] =

[ x2 , x3 ] − [ x1 , x2 ] 1 − 3 − 2 = = = −1 . x3 − x1 1 − (− 1) 2

Estos resultados se añaden a la tabla anterior Tabla 4

xi

yi

xi , x j

xi , x j , xk

-2

-16

-1

-5

11

0

-2

3

-4

1

-1

1

-1

Las terceras diferencias divididas consecutivas serán

[ x , x i

j

, xk , xt ] =

− xi , x j , xk xt − xi

x j , xk , xt

, i ≠ t .

Siguiendo nuestro ejemplo, obtenemos:

[ x0 , x1 , x2 , x3 ] =

[ x1 , x2 , x3 ] − [ x0 , x1 , x2 ] − 1 − (−4) − 1 + 4 3 = = = =1 x3 − x0 1 − (−2) 1+ 2 3

y este resultado se añade a la tabla 5:


7

Tabla 5

xi

y j

xi , x j

xi , x j , xk

-2

-16

-1

-5

11

0

-2

3

-4

1

-1

1

-1

xi , x j , xk , xt

1

Una vez que hemos formado todas las diferencias divididas consecutivas posibles se puede demostrar que el polinomio de interpolación es de la forma: p( x ) = y0 + [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + [ x0 , x1 , x2 , x3 ]( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) + ... En nuestro caso:

p( x ) = −16 + 11( x − (− 2)) + (− 4)( x − (− 2))( x − (− 1)) + 1( x − (− 2))( x − (− 1))( x − 0 ) que simplificado es p( x ) = x 3 − x 2 + x − 2 . Para comprobar que este es el polinomio buscado vamos a sustituir los valores conocidos del argumento p(- 2 ) = (− 2 )

3

− ( − 2)2 + (− 2) − 2 = −8 − 4 − 4 = −16

p(- 1) = (− 1)

3

− (− 1)2 + (− 1) − 2 = −1 − 1 − 3 = −5

p(0 ) = (0)

3

p(1) = (1)

3

− (0 )2 + (0 ) − 2 = −2

− (1)2 + (1) − 2 = 1 − 1 + 1 − 2 = −1 .

Como el lector puede comprobar coinciden perfectamente. Veamos lo que vale este polinomio en x = 2 p(2) = 23 − 22 + 2 − 2 = 8 − 4 + 2 − 2 = 4 . La respuesta correcta es a. Observación: El método de Newton para la búsqueda del polinomio interpolador es más fácilmente aplicable a este problema pero sólo puede usarse en el caso de que los argumentos estén equiespaciados (es decir, que las

conocidas estén a la misma distancia unas de otras

como ocurre en este problema). Por el contrario, el método de las diferencias divididas se puede 8


aplicar aunque no se tengan argumentos equiespaciados y por ello nos ha parecido más conveniente explicarlo para tener un método de alcance general.


9

4) La función f : R → R definida por f ( x) = p( x) − x 2 , donde p( x ) es la función de la cuestión tercera. Entonces a) f crece en el intervalo.

(− 1,0) .

b) f es cóncava en el intervalo. (3,5) . c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

Respuesta razonada:

Sabemos que la función del apartado tres es el polinomio p( x ) = x 3 − x 2 + x − 2 , por lo que la función f tendrá por valor f ( x) = x 3 − x 2 + x − 2 − x 2 = x 3 − 2 x 2 + x − 2 y será también un polinomio. Para investigar su monotonía y concavidad bastará hallar la primera y la segunda de sus derivadas. En efecto, su primera derivada f ′( x) = 3 x 2 − 4 x + 1 se anula en los puntos x =

4m

(− 4 )2 − 4 ⋅ 3 ⋅1 2⋅3

=

4 m 16 − 12 6

=

4m 4 6

=

1 3

,2 .

La siguiente tabla nos da razón de la monotonía de f

 − ∞, 1     3  f ′( x) = 3 x 2

f

Como el intervalo

(− 1,0)

10

+

− 4 x + 1

(− 1,0)

Creciente

-

+

Decreciente

Creciente

está contenido en el intervalo

y la respuesta correcta es a.


(1,+∞ )

 1 ,1    3 

 − ∞, 1  , se sigue que    3 

f es creciente en

5) Sea f : (a, b ) → R una función discontinua en todo punto del intervalo (a, b ) , entonces: a)

f es una función discontinua en (a, b ) .

b)

f puede ser una función derivable en (a, b ) .

c)

Ninguno de los dos apartados anteriores.

Respuesta razonada:

Sea la función:

1 si x es racional f ( x) =  - 1 si x es irracional definida en el intervalo (1,2 ) . Esta función es discontinua en todo punto de dicho intervalo. En efecto, sea a un punto racional del intervalo (1,2) . Su imagen es f (a ) = 1 , pero si tomamos un entorno E(1; ε ) de 1 de radio 0 < ε < 1 , veremos que es imposible encontrar algún entorno E(a ) de a tal que para todo x perteneciente a dicho entorno, la imagen de x , f ( x) pertenece a

E(1; ε ) . Esto es así, debido a que en dicho entorno de a , habrá algún irracional x0 y la imagen de tal irracional será f ( x0 ) = − 1 , valor que no pertenece a E(1; ε ) (ver figura 2 )

Figura 2

Un razonamiento análogo se puede aplicar a todo punto b irracional del intervalo (1,2) . En resumen, f es discontinua en todo punto de (1,2) . Sin embargo, su valor absoluto es


11

1 si x es racional f ( x ) =   - 1 = 1 si x es irracional lo que implica que se trata de una función constante f ( x )

=1

en el intervalo (1,2 ) . Como

sabemos todas las funciones constantes son continuas y derivables por lo que esta función es un ejemplo de función discontinua en todo punto de un intervalo y tal que su valor absoluto es continuo y derivable. Así, la respuesta correcta es c.

12


6) El segundo decimal de la única raíz de la ecuación p( x ) = 0 , donde p( x ) es la función

polinómica de la cuestión tercera es: a) 4. b) 5. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

Respuesta razonada:

Recordemos que el polinomio de la tercera pregunta resultó ser p( x ) = x 3 − x 2 + x − 2 , por lo que la ecuación cuyas raíces buscamos es x3 − x 2 + x − 2 = 0 . Se trata de una ecuación de tercer grado para la que existe una fórmula (llamada generalmente de Cardano–Viéta). Sin embargo, tal fórmula es algo complicada y suele ser preferible una resolución por aproximación numérica. En primer lugar, probaremos que sólo existe una raíz para dicha ecuación. En efecto, podemos aplicar el Teorema de Bolzano al intervalo [0.8,2] (este intervalo se determina por inspección de valores con cambios de signo que se encuentren bastante cerca uno de otro) ya que se trata de una función continua (como todo polinomio) y además

p(0.8) = −1.328 < 0

p(2) = 4 > 0 ;

esto garantiza que existe al menos una raíz en el intervalo [0.8,2] . Por otro lado, la derivada de

p( x ) es el polinomio q( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 y este polinomio no tiene ceros pues su discriminante

∆ = b 2 − 4ac

tiene por valor un número negativo

∆ = (− 2 )2 − 4 ⋅ 3 ⋅1 = 4 − 12 = −8 . Esto significa que la derivada siempre tiene el mismo signo (pues al ser continua si cambiara de signo habría pasado por cero alguna vez). En este caso el signo es positivo y la función p( x ) es siempre creciente lo que implica que si corta al eje de abscisas (como así ocurre) lo habrá de hacer una sola vez. Hemos probado pues que la ecuación tiene una única raíz en el intervalo

 2 ,2 .  3 

Para hallar el valor de esta raíz vamos a emplear el método de Newton–Raphson. Este método consiste en la construcción de una sucesión recurrente de la forma: xn +1 = xn −

f ( xn ) f ′( xn )

n ≥ 0.


13

El término inicial x0 ha de elegirse adecuadamente. A este respecto, es conveniente recordar el siguiente teorema: Sea f dos veces diferenciable continuidad en un intervalo [a, b] verificando las siguientes condiciones: 1. f (a) f (b) < 0 . 2. f ′( x ) ≠ 0 para todo x ∈ [a, b ] . 3. f ′ no cambia de signo en [a, b] .

 f (a) f (b)  , ≤ b−a.  f ′(a ) f ′(b) 

4. max 

Entonces existe una única raíz s de la ecuación f ( x ) = 0 en el intervalo [a, b] y la sucesión

{ xn }

obtenida por el método Newton–Raphson converge hacia s cualquiera que sea el valor

inicial x0 de [a, b ] .

La función p( x ) = x 3 − x 2 + x − 2 verifica las cuatro condiciones anteriores. 1. Es derivable indefinidamente con continuidad en [0.8,2] (y por tanto, dos veces derivable con continuidad). Además sabemos que p(0.8) p(2) < 0 . 2. Su primera derivada es q( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 y como ya hemos probado no tiene ceros. 3. La segunda derivada es p′ ( x ) = 6 x − 2 , y cambia de signo sólo en x =

1 3

, por lo que en el

intervalo que estudiamos su signo es constante.

 p(0.8) p(2)  1.328 4  = max 4. max  , ,  = max{1.006,0.44} = 1.006 ≤ 1.33 .  ′ ′ p ( 0 . 8 ) p ( 2 ) 1 . 32 9    Aplicamos el método de Newton– Raphson tomando como valor inicial el x0 Así resulta que:

x1

= 1 − p(1) = 1.5 p′(1)

, x2

= 3 − p(3 / 2) = 26 = 1,368421052632 , 2 p′(3 / 2) 19

x3

= 26 − p(26 / 19) = 36026/26619 = 1,353394192118 , 19 p′(26 / 19)

x4

= 36026 − p(36026 / 26619) = 1.353209992 . 26619 p′(36026 / 26619)

14


=1

(por sencillez).

Obsérvese que al cabo de cuatro iteraciones hemos obtenido una cierta estabilidad en los dígitos del resultado. En efecto, la tercera y la cuarta iteración comparten los dígitos 1,353 por lo que podemos asegurar que esos dígitos son exactos. Así la respuesta correcta es b.


15

1

7. – La serie de término general

n

4

+1

es

a)

Divergente.

b)

Convergente.

c)


Respuesta razonada:

Utilizaremos el llamado criterio de comparación por paso al límite.

Sea

∑a

n

una serie de términos no negativos y supongamos que para una sucesión bn de

términos no negativos se cumple que lim

entonces las series

∑a y ∑b n

n

an bn

= λ ≠ 0,+∞

tienen el mismo carácter.

En este criterio se compara el término general de una serie de comportamiento conocido con la serie estudiada. Como a medida que n crece la expresión

1 n4 + 1

es más similar a

1 n4

=

1 n2

utilizaremos esta última para comparar. Así tenemos que

lim

1

1

1

n4 +1 1

n4 +1 1

n4 + 1 1

= lim

n2 Ahora bien, la serie

n4

∑ n1

2

= lim

n4 +1

= 1.

n4

converge por lo que también converge la serie estudiada. La respuesta

correcta es b.

16

= lim

n4


8. – Sea f : R → R definida de forma f ( x) = 5 x 2 , entonces: a)

f posee recta tangente para todo x ∈ R .

b)

f no posee recta tangente para x = 0 .

c)


Respuesta razonada:

Si calculamos la derivada de la función dada, obtenemos: 2

f ′( x) = x 5

2 5

−1

=

2 5

x

−3 5

=

2 3

2

=

55 x 5

5 x 5

.

Observamos que no tal derivada no está definida para x = 0 . En efecto, el límite 2

lim−

f ( x ) − f (0)

x →0

x − 0

= lim−

5

x →0

x

2

x

= lim−

−3

x 5

x →0

= lim− x 5 = lim−

x

x →0

1

x →0

3

= lim− 5 x →0

5

1 x

3

=

1 0

−

= −∞

se interpreta como la pendiente de la recta tangente por la izquierda a la función en el punto x = 0 . Al tener un valor igual a menos infinito se trata de una recta vertical (pendiente infinita) obtenida como límite de rectas secantes de pendiente negativa. Por otro lado, el límite 2

lim+

x →0

f ( x) − f ( 0) x − 0

= lim+ x →0

5

x x

2

= lim+ x →0

x

5

x

−

3

= lim+ x 5 = lim+ x→ 0

x→ 0

1 3 5

= lim+ 5 x→ 0

1 x

3

=

1 0+

= +∞

se interpreta como la pendiente de la recta ta ngente por la derecha a la función en dicho punto. Se trata también de una recta vertical pero límite de rectas secantes con pendiente positiva. No podemos asignar la misma pendiente por un lado que por otro y esto implica que en el origen la curva no tiene recta tangente. La respuesta correcta es b.


17

π

9. – El valor de la integral

∫ tg xdx es: 3

4

0

a)

Mayor que 0.5.

b)

Menor que 0.3.

c)


Respuesta razonada:

Recordemos que tg x =

sen x cos

. De esta forma, la integral queda como π

π

sen 3 x

∫ tg xdx = ∫ cos x dx . 3

4

4

0

3

0

Por otro lado, sabemos que cos 2 x + sen 2 x = 1 , lo que permite cos 2 x = 1 − sen 2 x y la integral resulta π

π

π

sen 3 x

∫ tg xdx = ∫ cos x dx = ∫ 4

3

4

0

4

3

0

π

= ∫ 0

cos 3

0

sen x

4

sen x sen 2 x

cos3 x

dx −

π

∫

4

∫

dx =

sen x cos 2 x cos3

0

π 4

sen x (1 − cos2 x ) cos3

0

dx =

π

sen x

∫ cos 4

0

3

dx −

π

dx =

π

∫

4

sen x − sen x cos2 x cos3 x

0

dx =

sen x

∫ cos x dx = . 4

0

Para resolver las dos integrales que nos quedan utilizaremos un mismo cambio de variable: u = cos x

⇒ du = − sen xdx ⇒ dx =

u = cos 0 = 1; u = cos

π 4

=

− du sen x

2 2

(recordemos que en los cambios de variable de integrales definidas también han de cambiarse los extremos de integración). Sustituyendo, queda π

sen x

∫ cos 4

0

3

2

= −∫ 1 2

18

dx −

π

sen x

∫ cos 4

0

u −3du +

∫

2

2

1

dx =

= ∫ 1

2

2

sen x

− du

u 3 sen 2

− ∫ 1

2

2

sen x

− du

u

sen x 2

= ∫ 1

2

2

− du u3

− ∫ 1

2

2

− du u 2

=

2 2 u  2 du  u  2 1 2  2 2 2 =   + [ln u ]1 = −   + [ln u ]1 =  + [ln u ]1 2  − − u 2 2 − 2 u    1  1 1

−2


2

−2

     1 1     +  ln =− − 2 2 − ⋅ 2 1     2    − 2      2    

1   −1    2 1   2 2 1 1 1 2 = − ln 2 . − ln 1 = − − + + − = + = 1 ln 0 ln 2     1  2 2 2 2   2  2    

Como sabemos que ln 2 ≈ 0.301030 es aproximadamente 0.301030, resulta que el valor de la integral es, también aproximadamente:

0.5 − 0.5 ⋅ 0.301030 = 0.5 ⋅ (1 − 0.30103) = 0.5 ⋅ 0.69897 = 0.349485 . La respuesta correcta es c.


19

10. – Sea F ( x) una función primitiva de la función f ( x ) = x + e x , entonces: R.

a)

F ( x) es convexa en todo

b)

F ( x) es creciente en todo

c)

Ninguno de los dos dos apartados aparta dos anteriores.

R.

Respuesta razonada:

Una función F ( x) se dice que es una primitiva en R de otra función f ( x) si entre ambas se da la relación

F ′( x) = f ( x) en todo punto de R . Particularmente, esto nos permite investigar la monotonía de F ( x) estudiando su derivada f ( x ) . En este caso, la derivada es f ( x ) = x + e x y tal derivada es continua y cambia de signo ( f ( −1) = −1 + e −1

1

= −1 + < 0 , e

f (0) = 0 + e 0

= 1 ) . Por ello, la función

primitiv primitivaa F ( x) tiene intervalos de crecimiento (donde f es positiva) e intervalos de decrecimiento (donde fx es negativa). Esto invalida la respuesta b. Por otro lado, la relación F ′( x ) = f ( x) implica F ′′( x) = f ′( x) , por lo que derivando f obtenemos la segunda derivada de F y podemos estudiar la concavidad y convexidad. Así, resulta que

′

F ′′( x) = f ′( x) = ( x + e x )

= 1 + e x > 0

y la función primitiva F ha de ser convexa convexa en toda la recta real al tener segunda derivada siempre positiva. La respuesta correcta es a.

20


.

Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Tipo examen: A Fecha: 10-Septiembre-1997 1.- De una función polinómica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68 : a) f es una función estrictamente creciente en R. b) f posee un máximo y un mínimo local. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

2.- De una función polinómica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68 : a) f es una función impar (simétrica respecto al origen). b) x · f(x) NO es una función par (simétrica respecto al eje OY ). c) Ningunos de los dos apartados anteriores.

3.- La expresión de una función en un entorno reducido de x = 0 es f ( x) =

sen 2 x

( x − x 2 )

2

:

Si f(0) = 1, entonces f es una función continua en x = 0. b) f es una función discontinua en x = 0 para cualquier valor d ∈ [0, 10] tal que f(0) = d . c) Ningunos de los dos apartados anteriores. a)

4.- Sea f una función CONTINUA, en un entorno de x = 0 , de expresión f ( x) = para x = 0. a) f no puede ser una función derivable en x = 0.

La derivada de f en x = 0 es 2. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

b)

5.- Sea f ( x ) = x −

∫

sen x

0

1 − t 2 dt :

a) f posee un único máximo local y un único mínimo local. b) f posee infinitos puntos máximos locales e infinito puntos mínimos locales. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

6.- Sea f ( x ) = x −

∫

sen x

0

1 − t 2 dt :

a) f posee un único punto de inflexión. b) f posee punto de inflexión en x = k ·

para k ∈ Z . c) Ninguno de los dos apartados anteriores. π

1

sen 2 x 2 2

( x − x )

salvo

7.- Sea f : R → R una función continua tal que

∫

1

f (t )dt = 0 :

−1

a) f es idénticamente nula o impar.

Existe d ∈ (-1, 1) tal que f(d) = 0. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

b)

8.- La serie

∑

(−1) n

n • (n + 1) 5 n −1

es:

Condicionalmente convergente. b) Absolutamente convergente. c) Ninguno de los dos apartados anteriores. a)

9.- El valor de la integral

∫

π

0

4

sen 2 x cos4 x

dx es:

Mayor que 1. Menor que 1/4. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.

a) b)

10.- Sea f la función primitiva de la función g(x) = x · Ln x tal que f(1) = - 1/4 : La gráfica de f no corta al eje OX . b) La gráfica de f corta al eje OX en un único punto. c) Ninguno de los dos apartados anteriores. a)

2

Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Fecha: 28 - Febrero - 1998 Tipo examen: A 1 - De la función polinómica P(x) se sabe que es la única raíz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0)

∫

= A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que

a) A = b) A =

1

−1

P( x )dx = 1

1 3 3

9

4

c) Ninguno de los dos apartados anteriores Como los nodos son equidistantes vamos a utilizar la fórmula del polinomio interpolador en la forma de Newton-Gregory en diferencias progresivas:

∆k f ( x0 ) ⎛ k −1 ⎞ Pn ( x ) = ∑ ⎜⎜ ∏ ( x − xi )⎟⎟ k k !h k = 0 ⎝ i =0 ⎠ n

Calculamos el triángulo de las diferencias progresivas: x0 = -1 Æ f(-1) = 0

∆f(-1)= A-0 = A

∆2f(-1) = -A – A = -2A ∆f(0) = 0 – A= -A ∆3f(-1) = 0 – (-2A) = 2A ∆2f(0) = -A – (-A) = 0 ∆4f(-1) = 2A – 2A = 0 x2 = 1 Æ f(1) = 0 ∆f(1) = -A – 0 = -A ∆3f(0) = 2A -- 0 = 2A ∆2f(1) = A – (-A) = 2A x3 = 2 Æ f(2) = -A ∆f(2) = 0 – (-A) = A x1 = 0 Æ f(0) = A

x4 = 3 Æ f(3) = 0 Y aplicamos la fórmula:

Pn ( x ) = 0 +

A

1!

( x + 1) +

P3 ( x ) = 0 +

A

1!

− 2 A 2!

( x + 1) +

( x + 1) x +

− 2 A 2!

2 A 3!

( x + 1) x( x − 1) =

( x + 1) x +

2 A 3!

A

3

x − Ax −

( x + 1) x( x − 1) =

3

A

3

2

A

3

x + A

x − Ax − 3

2

A

3

Calculamos la integral: 1

A A 4 A 3 A 2 4 ⎛ A 3 ⎞ 2 − − + = − − + = x Ax x A dx x x x Ax A ⎜ ⎟ ∫−1 ⎝ 3 3 12 3 6 3 ⎠ −1 1

1

A A 4 A 3 A 2 4A ⎛ A 3 ⎞ 2 x Ax x A dx x x x Ax − − + = − − + = ⎜ ⎟ ∫−1⎝ 3 3 12 3 6 3 ⎠ −1 1

Y la igualamos a 1:

4 A 3 4 3

A = 1 ⇒ A =

=1⇒ A =

3 4

1

3 4

x + A

2 - De la función polinómica P(x) se sabe que es la única raíz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0)

= A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que

∫

1

−1

P( x )dx = 1

a) P(x) posee un mínimo relativo en x = 2 b) P(x) posee un máximo relativo en x = 1 -

2 3

9

3

c) Ninguno de los dos apartados anteriores La función polinómica la calculamos en el ejercicio anterior el cual es igual a

P ( x ) =

A

3

x 3 − Ax 2 −

4

Y “A” es igual a

3

A

3

x + A

, con lo cual el polinomio queda así:

P ( x ) =

4

4 2 4 4 3 x − x − x + 9 3 9 3

Para averiguar los máximos y los mínimos primero hay que calcular su derivada:

P ′( x ) =

4 3

8

x − 2

3

x−

4 9

Y buscamos sus raíces:

4

8 4 x 2 − x − = 0 ⇒ 3 x 2 − 6 x − 1 = 0 3 3 9

⎧ 2 6 ± (− 6 ) − 4 × 3 × (− 1) ⎪1 + 3 3 x = =⎨ 2 2×3 ⎪1 − 3 ⎩ 3 2

Ahora solo falta averiguar si 1 −

2 3

3 es un máximo relativo. Para eso calculamos la derivada 3ª del

polinomio:

P ′′( x ) =

8

x−

8

3 3 16 ⎛ 2 ⎞ 8 ⎛ 2 ⎞ 8 Y al ser P ′′⎜1 − 3 ⎟ = ⎜1 − 3⎟ − = − 3 menor que 0, el punto es un máximo 9 ⎝ 3 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ 2 relativo, y la respuesta correcta es la “b”. 3

2

3 - Sea T3(x) = Ax + Bx + Cx + D el polinomio de Taylor de grado 3 correspondiente a la función f(x) =

a) C = -2

x 2

∫

1

Ln( t ) dt en el punto x = 1

2

9

b) B = -1 c) Ninguno de los dos apartados anteriores

∫

Primero vamos a averiguar Ln( x )dx . Para ello utilizaremos el método de integración por partes. Elegiremos u

= Ln( x ) ⇒ u ′ =

1 x

, y v′

= 1 ⇒ v = x .

2

∫ u( x ) ⋅ v′( x )dx = u( x ) ⋅ v ( x ) − ∫ u ′( x ) ⋅ v ( x )dx 1

∫ Ln( x ) ⋅ 1dx = Ln( x ) x − ∫ x xdx = x( Ln( x ) − 1) El polinomio de Taylor es igual a:

T 3 ( x ) = f (1) +

f ′(1)

1!

( x − 1) +

f ′′(1)

2!

( x − 1) + 2

f ( ) (1) 3

3!

( x − 1)3

Calculamos f(1):

f (1) =

12

∫

1 2

⎡ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎤ 1 1 1 Ln( x )dx = x( Ln( x ) − 1) 1 = [1( Ln(1) − 1)] − ⎢ ⎜⎜ Ln⎜ ⎟ − 1⎟⎟⎥ = Ln(2) − 2 2 ⎣ 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎦ 2

Calculamos f’(1):

f ′( x ) = Ln x 2 ⋅ 2 x = 4 x ⋅ Ln( x ) f ′(1) = 0

′ ⎛ x ⎞ f ′( x ) = ⎜⎜ ∫1 Ln(t )dt ⎟⎟ = Ln ( x 2 ) ⋅ 2 x = 4 x ⋅ Ln( x ) ⎝ 2 ⎠ f ′(1) = 4 ⋅ 1 ⋅ Ln(1) = 0 2

Calculamos f’’(1):

′

f ′′( x ) = (4 x ⋅ Ln( x )) = 4 Ln( x ) + 4 x

1

= 4 Ln( x ) + 4

x

f ′′(1) = 4 Ln(1) + 4 = 4 (3)

Calculamos f (1):

′

f ( ) ( x ) = (4 Ln( x ) + 4) = 3

f (3 ) (1) =

4 1

4 x

=4

Con lo cual el polinomio queda:

T 3 ( x ) =

1 2

Ln(2) −

Por lo tanto C =

1 2

+ 0 ⋅ ( x − 1) +

4 2!

4

2

3!

3

( x − 1)2 + ( x − 1)3 =

x 3 − 2 x +

1 2

Ln(2 ) +

5 6

−2 . 3

2

4 - Sea T3(x) = Ax + Bx + Cx + D el polinomio de Taylor de grado 3 correspondiente a la función f(x) =

a) D = b) D =

1 2 4

x

∫

1

2

Ln( t ) dt en el punto x = 1

2

Ln(2) +

5 6

9

3

c) Ninguno de los dos apartados anteriores El polinomio de Taylor es el mismo al del ejercicio anterior:

T 4 ( x ) =

2 3

x 3 − 2 x +

3

1 2

Ln(2) +

5 6

En él se puede ver que D

5 - Sean g(x) =

=

1 2

Ln(2) +

5

.

6

⎧0 si x ≤ 0 2 3 y f(x) = g(x)x + g(-x)x ⎨ ⎩1 si x > 0

a) f no es derivable en x = 0

9

b) f ‘(0) = 0 c) Ninguno de los dos apartados anteriores Reconstruimos de nuevo la función f(x):

⎧ x 3 f(x) = ⎨ 2 ⎩ x

si x ≤ 0 si x > 0

Vemos si la función es continua en el punto 0:

lim− f ( x ) = lim− x = 0 3

x → 0

x →0

lim+ f ( x ) = lim+ x = 0 2

x → 0

x → 0

Como la función es continua en el punto x=0 solo falta averiguar si es derivable en dicho punto y calcularla:

lim− f ′( x ) = lim− 3 x 2 = 0

x → 0

x →0

lim f ′( x ) = lim+ 2 x = 0

x → 0 +

x →0

Por lo tanto, f ‘(0) = 0

6 - Sean g(x) =

⎧0 si x ≤ 0 2 3 y f(x) = g(x)x + g(-x)x ⎨ ⎩1 si x > 0

a) f posee un mínimo relativo en x = 0 b) f posee un máximo relativo en x = 0

9

c) Ninguno de los dos apartados anteriores La función es la misma que la del ejercicio anterior:

⎧ x 3 f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x

si x ≤ 0 si x > 0

Su derivada es:

⎧3 x 2 f ′( x ) = ⎨ ⎩ 2 x

si x ≤ 0 si x > 0

La igualamos a 0:

3 x 2 = 0 ⇒ x = 0 2 x = 0 ⇒ x = 0 El punto x=0 es un posible candidato a ser un máximo o un mínimo relativo. Para averiguarlo vamos a calcular las derivadas sucesivas de la función hasta que el punto x=0 de un resultado diferente a 0:

4

si x ≤ 0

⎧6 x f ′′( x ) = ⎨ ⎩2

si x > 0

3 x = 0 ⇒ x = 0 2>0 El punto x=0 es un mínimo relativo a la derecha del punto (x>0) de la función. Pero aún no sabemos nada sobre la izquierda del punto:

f

(3 )

= 6 si x ≤ 0

6≠0 En el punto x=0 no hay un punto máximo ni mínimo, por ser la derivada 3ª en ese punto diferente de 0, y al ser el 3 un número impar. Para demostrar que el punto x=0 no es un mínimo ni un máximo relativo vasta coger el punto x=-1 y x=1: 3

f (− 1) = (− 1) = −1 < 0 f (1) = 12 = 1 > 0 7 - Sean f : [0, 1]

→ R y g : [0, 1] → R dos funciones integrables

1

∫ ( f ( x) − g( x) )dx = 0 entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ [0, 1] Si ∫ f ( x ) − g( x) dx = 0 entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ [0, 1]

a) Si

0

1

b)

0

9

c) Ninguno de los dos apartados anteriores .

Para demostrar que la respuesta correcta es la c), vamos a poner un contraejemplo:

ax ≠ bx 3

1

∫ (ax

3

0

a

4

−

b

3

2

1

a

b

− bx )dx = ∫ ax − bx dx = x − x 2

3

2

4

4

0

3

1

=

3 0

a

4

−

b

3

= 0 ⇒ 3a = 4b

Si ponemos a=4 y b=3, ya tenemos el contraejemplo.

8 - Sea A la serie a) 1 < A <

∑

2 n ( n + 1)

n

n!

∞

9

b) A = ∞ c) Ninguno de los dos apartados anteriores Comparamos el término general con el término siguiente:

2 n ( n + 1)

n

n!

≤

n + 2 n 1 ( n + 2)

( n + 1) !

Como la serie es DIVERGENTE, su sumatorio es infinito (A =

9 - Sean f(x) una función polinómica y g(x) =

+1

x − a f ( x)

5

∞)

donde a es una raíz de la ecuación f(x) = 0

a) Existe lim g(x) y es finito x → a

b) Existe lim g(x) y puede ser infinito x → a

9

c) Ninguno de los dos apartados anteriores Supongamos que f(x)=(x-a)h(x):

lim g ( x ) = lim

x → a

x → a

x − a f ( x )

= lim x → a

x − a

( x − a ) ⋅ h( x )

= lim x → a

1 h( x )

El límite depende de h(x). Por lo tanto no se puede asegurar si tiene límite, y si este es finito o infinito. 4

2

10 - Sea f(x) = x + Ax + Bx + C a) f posee dos puntos de inflexión b) Para A = 0, f posee un único punto de inflexión

9

c) Ninguno de los dos apartados anteriores Averiguamos la derivada segunda de la función:

f ′( x ) = 4 x 3 + Ax + B f ′′( x ) = 12 x + A 2

Buscamos sus raíces:

12 x 2 + A = 0 ⇒ x = ± −

A

12

Viendo esto, podemos deducir que si “A” es menor que cero, entonces la derivada segunda de la función no tiene raíces, y por lo tanto tampoco punto de inflexión. Vamos a ver el caso de A=0. La función quedaría de la forma: 4 f ( x ) = x + Bx + C

Su derivada segunda sería:

f ′( x ) = 4 x 3 + B f ′′( x ) = 12 x

2

Buscamos sus raíces:

12 x 2 = 0 ⇒ x = 0 El punto x=0 es un candidato para ser un punto de inflexión. Para comprobarlo veremos si la derivada tercera en este punto da un resultado distinto de cero: (3 )

( x ) = 12 x ( ) f 3 (0 ) = 12 ⋅ 0 = 0 f

Al dar también cero, aún no se puede asegurar si es un punto de inflexión, necesitamos seguir derivando. Si la derivada cuarta de la función en el punto x=0, da un resultado diferente a cero, entonces este punto no es de inflexión, porque el número de veces que se derivó la función es par: (4)

( x ) = 12 (4) f (0 ) = 12 ≠ 0 f

Por lo tanto el punto x=0 no es de inflexión, y la función no tiene ningún otro.

6

Examen 1

(febrero 2000)

Nota: e

2,71 ; tg 4 1 2 n n! 4 es: 1. La serie 2n ! Convergente. Divergente. Ninguna de las anteriores respuestas. 2.

De la ecuación e x x 0 : Podemos asegurar que tiene mas de una raíz en el intervalo 1, 0 . Podemos asegurar que tiene una única raíz en el intervalo 1, 0 y que dicha raíz se encuentra en 1, 1 . 2 Ninguna de las anteriores respuestas.

3.

Si f : R 0, R es una función con derivada décima continua en todo R, tal que f 1 1 f 1 y f 0 0, entonces el valor aproximado de la derivada de la función f en el 2 punto x 1, calculado mediante interpolación, es: 12. 5. Ninguna de las anteriores respuestas.

4.


2

0

dx es: 1 cos x

1. 2. Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

6.

n n 4 r n es: 2 Convergente para r 1. Convergente para r 2. Ninguna de las anteriores respuestas.

La serie

Sea

R

y f :

R

R

la función definida por f x

x |x | x

Si 2 entonces la función f es continua en R. Si 0 entonces la función f es continua por la izquierda en x Ninguna de las anteriores respuestas. 7.

si x

0

si x

0

.

0.

1

La función f definida en 0, por f x xe x : Tiene una asíntota oblicua de ecuación y x Tiene un máximo relativo en el punto x 1. Ninguna de las anteriores respuestas.

1 y una asíntota vertical de ecuación x

0.

8.

Sea f : 1, x

9.

R


arc tg

1. El valor de la derivada de la función f en x 1. 2 0. Ninguna de las anteriores respuestas.

El valor de lim x 0

1 x

cos x sen x

x

1

arc sen

x

x

1 para todo

2 es:

es:

0. 1. 2 Ninguna de las anteriores respuestas. 10.

Sean f : G x

R x

R

una función continua en

xf t dt para todo x

yG :

R

R

la función definida por

R. La derivada de la función

0

Es igual a 0. Es igual a 1. Ninguna de las anteriores respuestas. Corregir Examen 1

R

G en x

0:

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Universidad – UNED Análisis Matemático 1º - Enero 2001

EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO 1ª semana – Febrero 2001 Modelo A 1.- Sean f y g funciones derivables en ℜ y h: ℜ → ℜ la función definida por h(x) = g(x) + 1 para todo x∈ℜ. Si g(1) = -1, f ´(0) = -1 y g´(1) = 2, entonces la derivada (g(x)) 2 + 1 de la función compuesta f ο h en el punto x = 1 es: A) (f ο h)´(1) = 1. B) (f ο h)´(1) = -2. C) Ninguna de las anteriores respuestas. x

2

1 3 2

2.- En x = 0 la función F(x) = ∫ (1 + t ) dt tiene: 0 A) Un mínimo relativo. B) Un máximo relativo. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 3.- La serie

∑

5n + 2

es: n3 + 3 A) Divergente. B) Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

4.- La serie ∑ (n n - 1) es: A) Divergente. B) Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. n

5.- Sea P2 (x) el polinomio de segundo grado cuya gráfica pasa por los puntos (-2,3), (0,0) y (1,-3). 5

A) La derivada de P2 (x) es P´2(x) = - x - . B) P2 (-1) = -2. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

2

6.- La ecuación x4 + 2x – 1 = 0: A) Posee una única raíz en [0, 2] y si se toma x = dicha raíz, el error cometido es menor o igual que

B) No posee ninguna raíz en [0, 2]. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 7.- La función f(x) =

sen x 2 + sen x

1 2 1 32

como valor aproximado de .

:

A) Tiene un máximo relativo en x =

π

π



π



π

y es creciente en el intervalo  , π . 2 2 

B) Tiene un mínimo relativo en x = -

1/3

y es creciente en el intervalo  0 ,  . 2  2

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C) Ninguna de las anteriores respuestas.  1x  e si x ≠ 0 1 8.- Sea λ∈ℜ La función f : ℜ → ℜ definida por f(x) =  x  1+ e  λ si x = 0 A) La función f es continua en x = 0 si λ = 1. B) La función f no es continua en x = 0, cualquiera que sea el número real λ. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

9.- El valor de la integral

4

∫

Ln x

1

x

dx es:

A) 2 – Ln 4. B) –4 + 4Ln4. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 10.- Sea F : [0, 4] → ℜ Una función continua tal que f(0) = -1, f(1) = -2, f(2) = 0, f(3) = 1 y f(4) = 3. Al calcular I =

4

∫ x f(x) dx por la fórmula del trapecio se obtiene: 1

A) I = 14. B) I = 7 C) Ninguna de las anteriores respuestas. NOTA: Ln a denota el logaritmo neperiano de a. Los exámenes Tipo B y C solo tienen las preguntas y las respuestas cambiadas de orden pero los ejercicios son los mismos.

Soluciones: EXAMEN TIPO A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

A

B

A

A

B

B

B

C

2/3

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COMENTARIO A LAS SOLUCIONES DEL EXAMEN TIPO A 1.- Aplicando la Regla de la cadena, (f ο h)´(1) = f ´(h(1)).h ´(1) = -1, luego la solución es C h ´(x) =

g ´(x) (g(x)) 2 + 1 - [g(x) + 1]2g(x)g ´(x)

[(g(x))

2

+ 1]

2

sustituyendo h `(1) = 1, h(1) = 0 y f

´(0) = -1

2.- F ´(x) = 2x(1 + x6)1/2 ,

F ′′ ( x )

(

= 2 1 + x6

1/ 2

)

+ 2x

1

( 2

1 + x6

)

−1/ 2

6x5 .

F ′′ ( 0)

= 2 > 0,

luego es un mínimo. 5n + 2

= ∞ , la serie es divergente (el límite se calcula fácilmente n3 + 3 cambiando n por x y aplicando tres veces la Regla de L´Hopital.

3.- Como lím

n→ ∞

4.- Aplicando el criterio de la Raíz, queda lím

n→ ∞

5.- Interpolando queda P2(x) = -

x2 2

-

5 2

(

n

)

n - 1 = 1 - 1 = 0 , luego es convergente.

x , y entonces P ´2 (x) = - x -

5 2

6.- Como f(0) = -1 < 0 y f(2) = 19 > 0 , por lo menos tiene una raíz; además f ´(x) = 4x3 + 2 tiene signo positivo en (0,2), por tanto, la raíz es única. Aplicando el Teorema 12 1 – 1.3 (pág. 291) sale fácilmente la acotación . 32

7.- f ´(x) =

2 cos x

(2 + sen x )

2

 

π

 

, que es creciente en 0,  , pues el coseno es positivo en el 2

cuarto cuadrante, y tiene un mínimo relativo en x = −

π 2

.

8.- Como los límites laterales no coinciden (0 por la izquierda y 1 por la derecha) la función no puede ser continua en x =0. La respuesta es B. 4 Ln x 4 9.= 2 x Ln x - 4 x 1 = 4Ln 4 - 4 . La integral se hace fácilmente por partes. 1 x

∫

[

]

10.- Al aplicar el método de los trapecios queda: 1.f(1) = -2 ; 2.f(2) = 0 ; 3.f(3) = 3 y 4  - 2 + 12  4.f(4) = 12 Luego ∫ x.f(x) dx = 1. + 0 + 3 = 8 . Entonces, la solución es la 1  2  C.

3/3

Examen 2 1.

El valor de lim

cos 2 x

cos 6 x x

x 0

2

(Febrero 2000 )

es:

20. 16. Ninguna de las anteriores respuestas. n ! , donde es un número natural: n! n 1 ! Converge si 2. No converge si 1. Ninguna de las anteriores respuestas.

2.

La serie

3.

Si f es una función continua tal que f 0 e 3 , el valor de la integral

f 4

e 1 , f 3 3e 2 y 2 4 f x e x dx, calculado mediante la fórmula de Simpson,

6, f 1

1, f 2

0

vale: 2 2e. 2 4e. Ninguna de las anteriores respuestas. 4.

2 4n 3 es: 4n 3 ! Divergente. Convergente. Ninguna de las anteriores respuestas.

La serie

5. El valor de la integral

e

1

dx es: x 1 Lnx

2 Ln2. Ln2. Ninguna de las anteriores respuestas.

6.

La función F x

x 2

1

t 3 dt para todo x

R,

0

tiene en x 0: Un máximo relativo. Un punto de inflexión. Ninguna de las anteriores respuestas.

7.

Consideremos las funciones f x

x2 y g x

La función compuesta g f es continua en x La función compuesta f g es continua en x

4 |x

0. 0.

si x

0

4| si x

0

.

Ninguna de las anteriores respuestas. 8.

Sean f , g : 1, 2 x2 1 y g x R dos funciones definidas por f x Las gráficas de las funciones f y g se cortan en dos puntos.

sen x, con x

1, 2 .

Las gráficas de las funciones f y g tienen un único punto de corte en el intervalo 3 , 2 . 2 Ninguna de las anteriores respuestas.

9.

R

Sea f : 1, f x

x x 2

la función definida por f x para todo x

Ln cos arc tg

1.

1 1

para todo x 1. 1 x x Ninguna de las anteriores respuestas. f x

10.

2

x 2 x 1 es: 2 , 0 y creciente en 0, Decreciente en 3 Derivable en x 0. Ninguna de las anteriores respuestas.

La función f x

Corregir Examen 2

3

.

1 x 2

. Entonces: 1

Examen 3 Nota: sen 1.

cos

4

Sean f : 0, 1 1 x2 1 es:

f x

2

1 , f y F denotan las derivadas de f y F respectivamente. 2

4 R

(septiembre 2000)

y F : 0, x 8

y F x

R

las funciones definidas para cada x

0 por

f t dt respectivamente. El valor de la derivada de la función F

0

en x 3. 2. Ninguna de las anteriores respuestas. una función derivable en R tal que f 1 1 y f 1 2 2 f sen2 x función definida por F x e para todo x R, entonces: F 2e. 4 F e. 4 Ninguna de las anteriores respuestas.

2.

Sea f :

3.

La serie

4.

El valor medio de la función cos 5 x en 0,

R

1

n

n

es: 1 n Condicionalmente convergente. Absolutamente convergente. Ninguna de las anteriores respuestas.

15 . 16 8 . 15 Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

1. Si F :

R

El valor de lim x

3 x 1

2 x x

1

x

2

es:

es:

5. 1. Ninguna de las anteriores respuestas. 6.

x : 1 x2 Tiene un mínimo relativo en x

La función f x

1 y un máximo relativo en x

Es cóncava en el intervalo 0, 3

y creciente en el intervalo

Ninguna de las anteriores respuestas.

1. 1, 1 .

R

R

es la

7.

Sea

R.

La función definida por f x

x 2

x 3

x 2

x 3

x si x

1

si x

1

.

Es continua en R, para todo 0. Es continua en R, sólo si 2. Ninguna de las anteriores respuestas. 8.

El polinomio interpolador de grado 2 de la función f x x 1 0 y x2 : Es identicamente nulo. Tiene una raiz en el intervelo 0, 2 . Ninguna de las anteriores respuestas.

9.

La serie

10.

sen x relativo a los nodos x 0

n! es: 5 1 5 2 ... 5 n Absolutamente convergente. Condicionalmente convergente. Ninguna de las anteriores respuestas.

1

n

Si f es una función derivable tal que f 0 1, f 2 1 y f 4 0, entonces el valor aproximado de la derivada de la función f en el punto x 1, obtenido a partir de la derivada en x 1 del polinomio interpolador de segundo grado de la función f relativo a los nodos x 0 0, x 1 2, x 2 4, es: 1. 1. Ninguna de las anteriores respuestas. Corregir Examen 3

,

Examen 4

(septiembre 2000)

Nota: ln a es el logaritmo neperiano de a.

1.

sen 2 x

La función f x

x ln 1

x

si x

0

si x

0

:

Tiene un mínimo relativo en x 0. Tiene un máximo relativo en x 0. Ninguna de las anteriores respuestas. 2.

Si f x ln 1 x 2 para todo x R, el polinomio de Taylor de grado menor o igual que tres de la función f en el punto x 0 es: x 2 . 1 x3 . x 2 6 Ninguna de las anteriores respuestas.

3.

La serie

4.

Si P 4 es el polinomio interpolador de grado 4 de la función f x nodos distintos x 0 , x 1 , x 2, x 3 , x 4 , , entonces: 8 5. 1| |P 4 0 15 5 P4 . 2 Ninguna de las anteriores respuestas.

5.

La derivada de la función F x

n 1

1

es: 2n 1 Absolutamente convergente. Condicionalmente convergente. Ninguna de las anteriores respuestas.

1

1

x x 2

x cos tdt en el punto x

.

1 . Ninguna de las anteriores respuestas. 6.

El valor de lim

x2

x

2 x 2

1 es:

x

1. . Ninguna de las anteriores respuestas. 7.

La ecuación x sen x 5 0: Tiene al menos una solución en ,0 . No tiene solución en 0, . Ninguna de las anteriores respuestas.

sen x

es:

cos x, relativo a 5

8.

3 x 2


4 cos xdx es:

0

6 . 4 . Ninguna de las anteriores respuestas. 9.

10.

r sen 2 n , donde r es un número real, verifica: n2 2 Converge sólo cuando 0 r 1. No convergente para r 1. Ninguna de las anteriores respuestas.

La serie

1

Si f es una función continua tal que f 0

1, f 3 2

4

1, f

2

1, f 3 4

1, f

f 5 1 y f 3 1, el valor de f x sen 2 xdx, calculado mediante la fórmula del 4 2 0 trapecio vale: . 16 . 4 Ninguna de las anteriores respuestas. Corregir Examen 4

1,

Febrero 2001 Nota:

Ln a denota el logaritmo neperiano de a. 3sen x

1.

Dada la función f :

R

R

a sen x

definida por f x

cos x a, b

2.

b si si x

f es continua en todo R, si a

2

2

con

2

3 . [correcta] 2 3. 2

El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de la función f x x

2 x

R.

3 yb 2 3 yb B) f es continua en todo R, si a 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

si x

1 es:

Ln x en el punto x 2

3 x 1 2. 2 5 x 1 2. x 1 B) P 2 x 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] A)

3.

P2 x

x

1

Sea f x 1 x 2 para todo x 1, 1 . La ecuación de la tangente a la gráfica de la función f en el punto 1 , 1 es: 2 2 x 2 . [correcta] A) y B)

y x 2. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

4.


e2

1

dx es: x 2 3 Ln x

2 Ln2. [correcta] A) 3 1 Ln8. B) 3 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

A)

5

B)

2 5

C)

6.

x


1

t 2 dt en el punto x

4 17. 4 17.

Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]

cos 2 n es: n A) Es convergente si 0 . B) Es divergente si 1

La serie

C)

x 2

1

1.


2 es:

7.

1

La serie

n

es: 3 A) Condicionalmente convergente. [correcta] n

B)

Absolutamente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 8.

La ecuación x 4 2 x 5 0: A) Posee una única raíz en el intervalo 0, 2 y no tiene ninguna raíz en el intervalo 0, 1 . [correcta] B)

Tiene al menos dos raices en el intervalo 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. 9.

R

Si f : 0, f

3 4

es una función continua tal que f 0

1 y f

1, el valor de I

1, f

4

1 , f

2

1,

f x cos xdx, calculado mediante las fórmulas de 0

Simpson, es: A)

I

B)

I

0. [correcta]

. 12 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 10.

Sea f : 2, 1 2, 1 tal que f 2 0, f 1 1 , f 0 1y R una función continua en f 1 1, y sea P 3 x el polinomio interpolador de tercer grado de la función f relativo a los nodos x 0 2, x 1 1, x 2 0 y x 3 1. Entonces 3 11 . [correcta] A) P 3 2 16 3 7 . B) P 3 2 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

Febrero 2001 Nota: 1.

ln a es el logaritmo neperiano de a.

El valor de lim

x2

2 x 2

x

1 es:

x

A)

1. . B)

C)

2.

La ecuación x sen x 5 0: A) Tiene al menos una solución en . B) No tiene solución en 0, C)

3.



La función f x A)

,0 .

sen 2 x x ln 1

x

si x

0

si x

0

Tiene un mínimo relativo en x

:

0. [correcta]

B)

Tiene un máximo relativo en x 0. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 4.

La derivada de la función F x A)

1

x x 2

x cos tdt en el punto x

es:

. [correcta]

B)

1 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

3 x 2


4 cos xdx es:

0

A)

6 . [correcta]

B)

4 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. 6.

Si f x ln 1 x 2 para todo x R, el polinomio de Taylor de grado menor o igual que tres de la función f en el punto x 0 es: x 2 . [correcta] 1 x3. B) x 2 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

7.

r sen 2 n , donde r es un número real, verifica: n2 2 r 1. A) Converge sólo cuando 0 1. B) No convergente para r

La serie

C)

1


8.

La serie

1

n 1

1

es: 2n 1 A) Condicionalmente convergente. [correcta] B)


10.

Si P 4 es el polinomio interpolador de grado 4 de la función f x nodos distintos x 0 , x 1 , x 2, x 3 , x 4 , , entonces: 8 5 . [correcta] A) |P 4 0 1| 15 5 . B) P 4 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

sen x

Si f es una función continua tal que f 0

1, f 3 4

1 y f 3 f 5 4 2 trapecio vale: A) B)

4

1, el valor de

1, f 3 2

0

. [correcta]

. 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

4

1, f

2

cos x, relativo a 5

1, f

f x sen 2 xdx, calculado mediante la fórmula del

1,

Febrero 2001 Nota:

1.

sen

cos

4

4 3 x

El valor de lim

1

x

A)

1 , f y F denotan las derivadas de f y F respectivamente. 2 2 x x

x

1

es:

1. [correcta]

B)

5. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

2.

R.

Sea A)

x 2

La función definida por f x

Es continua en R, sólo si

x

x 3 2

x

3

x si x

1

si x

1

.

2. [correcta]

B)

Es continua en R, para todo 0. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 3.

x

La función f x

: 1 x2 A) Es cóncava en el intervalo 0, 3

y creciente en el intervalo

B)

Tiene un mínimo relativo en x 1 y un máximo relativo en x C) Ninguna de las anteriores respuestas. 4.

R

Sean f : 0,

en x

1 1 x2 1 es:

A)

2. [correcta]

f x

2

y F : 0,

y F x

x 8

R

1, 1 . [correcta] 1.

las funciones definidas para cada x

0 por

f t dt respectivamente. El valor de la derivada de la función F

0

B)

3. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

El valor medio de la función cos5 x en 0,

2

es:

8 . 15 15 . B) 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] A)

6.

una función derivable en R tal que f 1 1 y f 1 2 2 2 e f sen x para todo x R, entonces: función definida por F x Sea f : A)

F

B)

F

R

4

R

e. [correcta]

2e. 4 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

1. Si F :

R

R

es la

7.

La serie

1

n

n

es: 1 n A) Condicionalmente convergente. [correcta] B)


n! es: 5 1 5 2 ... 5 n A) Absolutamente convergente. [correcta]

La serie

1

n

B)

Condicionalmente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 9.

El polinomio interpolador de grado 2 de la función f x 0 y x2 : x 1 A)

sen x relativo a los nodos x 0

Es identicamente nulo. [correcta]

B)

Tiene una raiz en el intervelo 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. 10.

Si f es una función derivable tal que f 0 1, f 2 1 y f 4 0, entonces el valor aproximado de la derivada de la función f en el punto x 1, obtenido a partir de la derivada en x 1 del polinomio interpolador de segundo grado de la función f relativo a los nodos 0, x 1 2, x 2 4, es: x 0 A) B)

1. [correcta]

1. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

,

Febrero 2001 Nota:

Ln a denota el logaritmo neperiano de a. 1

1.

R.

Sea A)

La función f :

R

R

definida por f x

La función f no es continua en x

La función f es continua en x 0 si C) Ninguna de las anteriores respuestas.

0

si x

0

1.


sen x : 2 sen x A) Tiene un mínimo relativo en x

La función f x

B)

2

y es creciente en el intervalo 0,

y es creciente en el intervalo 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 4.

Tiene un máximo relativo en x

4


1

A)

4

Ln x dx es: x

4 Ln4. [correcta]

B)

2 Ln4. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

5.

En x

0 la función F x

x 2

1

t 3

1 2

dt tiene:

0

A)

Un mínimo relativo. [correcta]

B)

Un máximo relativo. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 6.

5 n 2 es: n3 3 A) Divergente. [correcta]

La serie

B)

Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 7.

.

Sean f y g funciones derivables en R y h : R R la función definida por g x 1 h x para todo x R. Si g 1 1, f 0 1yg 1 2, entonces la g x 2 1 derivada de la función compuesta f h en el punto x 1 es: 1. A) f h 1 B) f h 1 2. C)

3.

si x

0, cualquiera que sea el número real . [correcta]

B)

2.

e x 1 1 e x

La serie A)

n

n

1

n

es:

Convergente. [correcta]

2

,

. [correcta]

2 .

B)

Divergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 8.

La ecuación x 4

2 x

1

0:

1 como valor aproximado de dicha raíz, Posee una única raíz en 0, 2 y si se toma x 2 1 el error cometido es menor o igual que . [correcta] 32 B) No posee ninguna raíz en 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

9.

Sea f : 0, 4 f 4

R

una función continua tal que f 0

3. Al calcular I

4

1, f 1

2 , f 2

0, f 3

1y

x f x dx por la fórmula del trapecio se obtiene:

1

A)

I B) I

C)

10.

7. 14.


Sea P 2 x el polinomio de segundo grado cuya gráfica pasa por los puntos 1, 3 . x 5 . [correcta] A) La derivada de P 2 x es P 2 x 2 B) P 2 1 2. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

2, 3 , 0, 0 y

Septiembre 2001 Nota:

Ln a denota el logaritmo neperiano de a; 1; cos 3 2 x Ln x si x 1 . 1. Sea f x x 2 si x 1 A)

1, e 2 tal que f c

Existe c

2

3,1416; e

2,71; sen

3

3 ; 2

. [correcta]

B)

f no es continua en todo R. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 2.

tg nx n sen x

El valor de lim x 0

A)

n tg x sen nx

es:

2. [correcta]

B)

2. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 3.

Sea f : R 0, cuyo polinomio de Taylor de grado R una función con derivada tercera en x 2 menor o igual que 2 en x 0 es P 2 x 1 x 3 x . El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de la función g x sen f x 1 en x 0 es: 2 A) x 6 x . B) x 3 x 2 . C)

4.


El valor de

2

e x cos2 x dx , es:

0

1 e 2 1 . [correcta] A) 5 1 e2 1 . B) 5 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

5.

x 2

La derivada de F x A)

F x

3

4 x sen x

x 2

4

2

x 2 sen t 2 dt es: x 2 x 2

x sen t 2 dt . [correcta]

F x 4 x 3 sen x 4 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. B)

6.

n! 2 4 n es: 2n ! A) Divergente. [correcta]

La serie

B)

Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

7.

cos n es: n 1 A) Condicionalmente convergente. [correcta]

La serie

B)


La ecuación x

sen x

: 2 A) Posee una única raíz en

,

2

. [correcta]

B)

Tiene una raíz en ,0 . C) Ninguna de las anteriores respuestas.

9.

Al calcular I

4 3

0

sen 2 x cos 2 x dx , a partir de los nodos x 0

4 , empleando las fórmulas de Simpson, se obtiene: 3 7 . [correcta] A) I 48 7 . B) I 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

0, x 1

3

, x2

2 ,x 3 3

x 4

10.

Sean f x

2cos x para todo x

, y P 3 x el polinomio interpolador de tercer grado 2 de la función f correspondiente a cuatro nodos distintos . x0 x1 x2 x3 2 2 3 4 para todo x 2cos x | , . [correcta] A) |P 3 x 4! 2 0 y P3 x 3 2. B) P 3 x 0 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

y

Septiembre 2001 NOTA:

Ln a denota el logaritmo neperiano de a; e 1 1. El valor de lim x 2 x 3 Ln 1 es: 3 x x A) 1. B) 0. C)

2.

2,71.


Ln x , para x 0. El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de f en el Sea f x x punto 1 es: 3 x 1 2 . [correcta] x 1 A) P 2 x 2 3 x 1 2. x 1 B) P 2 x 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 2 x

3.

La función f :

A)

R

R

Es derivable en x

definida por f x

1 y f

1

1 si x

x 2

si

cos x

si x

1 x

1

0

0

2. [correcta]

B)

Es derivable en x 0 y f 0 1. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 4.

Sean f :

R

1, 5

una función integrable en

1, 5 , e I

5

f x dx. 1

A)

Si f x

2 para todo x

1, 5 , entonces I

B)

Si f x x para todo x 1, 5 , entonces I C) Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

x

cos t dt para todo x t , 3 . A) F es creciente en 2 B) F tiene un máximo relativo en x

Sea F x

,2

7. [correcta] 10.

.

3 . 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]

6.

La serie

r n n

n2 2 A) Converge para r

1. [correcta] 3. B) Converge para r 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 7.

De la serie de números reales

x n se conoce que la sucesión de sus sumas parciales X n

3n 2 para cada n N. n 4 x n es convergente y su suma es 3. [correcta]

viene dada por X n A)

La serie

B)

x1 3. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 8.

x 5 5 x r . R definida por f x Sea f : 0, 1 0, no tiene dos raíces en el intervalo 0, 1 para todo A) La ecuación f x r R. [correcta] B)

f es creciente en 0, 1 para algún r R. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 9.

Si P 2 x es el polinomio de grado 2 cuya gráfica pasa por los puntos valor de I

1 1

2, 0 , 0, 0 , 1, 1 , el

P 2 x dx es:

2 . [correcta] 9 2. B) I 3 C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

10.

I

Sean f x sen x cos x para todo x 0, y P 2 x el polinomio interpolador de segundo grado de f correspondiente a tres nodos distintos 0 x 0 x 1 x 2 , entonces: 1 3 . [correcta] sen cos A) P 2 7 7 7 3 B) Si los nodos x 0 0, x 1 , x 2 son equidistantes entonces P 2 x 1 1. C) Ninguna de las anteriores respuestas.


Ln a denota el logaritmo neperiano de a. 3sen x

1.

Dada la función f :

R

R

a sen x

definida por f x

cos x a, b

2.

b si

2

si x

f es continua en todo R, si a

2

con

2

3 . [correcta] 2 3. 2

El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de la función f x x

2 x

R.

3 yb 2 3 yb B) f es continua en todo R, si a 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

si x

1 es:

Ln x en el punto x 2

3 x 1 2. 2 5 x 1 2. x 1 B) P 2 x 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] A)

3.

P2 x

x

1

Sea f x 1 x 2 para todo x 1, 1 . La ecuación de la tangente a la gráfica de la función f en el punto 1 , 1 es: 2 2 x 2 . [correcta] A) y B)

y x 2. C) Ninguna de las anteriores respuestas.

4.


e2

1

dx es: x 2 3 Ln x

2 Ln2. [correcta] A) 3 1 Ln8. B) 3 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 5.

en el punto x A)

5

B)

2 5

C)

6.

x


x 2

1

t 2 dt

2 es:

4 17. 4 17.


cos 2 n es: n A) Es convergente si 0 . B) Es divergente si 1

La serie

1

1.

C)

7.

Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] 1

La serie

n

es: 3 A) Condicionalmente convergente. [correcta] n

B)


La ecuación x 4 2 x 5 0: A) Posee una única raíz en el intervalo 0, 2 y no tiene ninguna raíz en el intervalo 0, 1 . [correcta] B)

Tiene al menos dos raices en el intervalo 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. 9.

R

Si f : 0, f

3 4

es una función continua tal que f 0

1 y f

1, el valor de I

1, f

4

1 , f

2

1,

f x cos xdx, calculado mediante las fórmulas de 0

Simpson, es: A)

I

B)

I

0. [correcta]

. 12 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 10.

R una función continua en Sea f : 2, 1 2, 1 tal que f 2 0, f 1 1 , f 0 1y f 1 1, y sea P 3 x el polinomio interpolador de tercer grado de la función f relativo a los nodos x 0 2, x 1 1, x 2 0 y x 3 1. Entonces 3 11 . [correcta] A) P 3 2 16 3 7 . B) P 3 2 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.


Ln a denota el logaritmo neperiano de a; e 2,71. 1 cos x sen x es: 1. El valor de lim x 3 x 0 1. A) 2 5 . B) 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] 2.

La ecuación 3

x

x:

A)

Tiene una única solución real en el intervalo 2, 2 . [correcta] 1, 1 . B) Tiene una solución real en el intervalo 2 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 3.

Sea f :

R

4.


,


x3

, 2 2 1 . [correcta] f 0 y f 1 0 2 1 B) La función inversa f es estrictamente decreciente en el intervalo f I , siendo I , . 2 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 2 2 A) La función inversa f 1 es derivable en el punto 0

5 4

x

2

dx 4 x

3

x

tg x para todo x

es:

3 . [correcta] 2 1 . B) Ln 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

5.

Ln

La función F x

x x

x cos tdt tiene en x

0:

A)

Un punto de inflexión. B) Un máximo relativo.

C)

6.

1 n , con r n 1. A) Converge si r 1. B) Diverge si r

La serie

C)

7.


Sea

r

0,

Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] x n una serie de números reales. Si la serie x n : n 2

x n es convergente, entonces la serie

.

A)

Es convergente. [correcta]

B)

Es divergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 8.

La ecuación x

cos x

:

A)

Posee una única raíz en

B)

Tiene una raíz en

2 .

,

. [correcta]

, 2 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 9.

Sea f : 2, 3 1, f 0 1 y f 2 R una función continua tal que f 1 el polinomio interpolador de grado 2 de la función f relativo a los nodos x 0 x 2

2, el valor de I

1

1

0. Si P 2 x es 1, x 1 0y

P 2 x dx es:

13 . [correcta] 9 7 . B) 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas. A)

10.

Sea P 100 x el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 100 de la función e 2 x en el punto x 0. 100 El coeficiente de x 100 en P 100 x es 2 100 1 B) El coeficiente de x 100 en P 100 x es 100 C) Ninguna de las anteriores respuestas.

A)

! !

. [correcta] .

U.N.E.D CENTRO ASOCIADO DE BURGOS

ANÁLISIS MATEMÁTICO Escuela Técnica de INFORMÁTICA

ANÁLISIS MATEMÁTICO SOLUCIONES FEBRERO 2001-02 1 es: x →1 x − 1 ln x A) 2 B) 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es C. x x ln x − x + 1 1 0 ln x − = (∞ − ∞) = lim = = lim = lim x →1 x − 1 x →1 ( x − 1) ln x ln x 0 R. Hôpital. x →1 ln x + x − 1

1.- El valor de lim

x

−

x

=

lim

x →1

x ln x x ln x + x − 1

=

0 0

ln x + 1 1 = R . H . x →1 ln x + 1 + 1 2 =

lim

2.- El número de raíces de la ecuación x 5 − 16 x + 9 = 0 es: A) 5 B) 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es C. La función f ( x) = x 5 − 16 x + 9 es continua en todo ℜ . 4 16 2 ⇔ x =± f ´( x ) = 5 x 4 − 16 = 0 ⇔ x 4 = Las únicas soluciones reales de 5 5 2 5 x 4 − 16 = 0 son x = ± 4 . Como la derivada de la función f se anula en dos puntos, la 5 función f a lo sumo se anulará en tres puntos (Consecuencia del Teorema de Rolle (T.5-3.1 pág. 96)) Por otra parte : f (−3) < 0 ; f (0) > 0; f (1) < 0 ; f (2) > 0 . Teniendo en cuenta el Teorema de Bolzano (T. 4-2.6 pág. 76) la función tiene al menos un cero en cada uno de los siguientes intervalos: [-3,0], [0,1] y [1,2] con lo que queda demostrado que la ecuación tiene exactamente tres raíces reales. 3.- La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función el punto x = 0 es: 1 A) y = x B) y = x 2 La respuesta es A. La ecuación de la recta tangente será 1

f ´( x ) =

1+

senx

2

⋅

1 + cos x

Sustituyendo queda f ´(0) =

4.- El valor de la integral A) –1

y − f (0) = f ´(0)( x − 0) .

1

=

1+

1 + cos x

senx

1 + cos x

en

C) Ninguna de las anteriores

/

senx

f ( x) = arctg

2

senx

En este caso f (0) = 0 y

cos x (1 + cos x) + sen 2 x ⋅ = ... 2 x (1 + cos )

1 + cos x

x 1 por tanto la recta pedida es y = 2 2

1

2 ( x − 1)e 0

x

dx

es:

B) e


1

FEBRERO 2001-02



La respuesta es A. 1

2 x − 1)e ( 0

x

dx

1 ( ( x 2 1)e ] 0 Integrando por partes =

u = x

2

1

1 − 2e + (2e

1 0=

x

n

4

5.- La serie

x

1

−

2 xe 0

du =2 xdx

−

x

dv = e dx

=

−

v =e

x

dx

=

Integrando por partes u = 2 x du =2 dx x

dv = e dx

x

v =e

1 − (2 xe

x

]10

1

+

2e 0

x

dx

=

x

1 − 2e + 2e − 2 = −1

1 3+ 3n 5 n

A)Divergente La respuesta es B.

n

es: B) Convergente


n

Es una serie de términos positivos de término general

x n

4

=

1 3+ 3n 5

n

. Aplicando el

n

Criterio de la Raíz queda: n

1 1 4 n n n 3+ 3+ n 3 3n 3n n x lim n = lim lim = <1 por tanto convergente. = n →∞ n→∞ n→∞ 5 5 5n Nota: Aplicando el Criterio de Cauchy para el cálculo de límites queda: n +1 lim n n = lim =1 4

n →∞

n

n →∞

6.- Si a 2 x 2 + a1 x + a 0 es el polinomio de grado 2 cuya gráfica pasa por los puntos (-2,6), (0,2), (1,-3) entonces: A) a1 = 4

B) a 2 = −1


La respuesta es B. P ( x) = a 2 x 2 + a1 x + a 0

cumple P(−2) = 6 ; P(0) = 2 ; P(1) = −3 6 = 4a 2 − 2a1 + a 0 Se puede obtener resolviendo el sistema 2 = a0 a0 = 2; a1 = −4; a 2 − 3 = a 2 + a1 + a0 (También se puede obtener por otros métodos: Lagrange, diferencias divididas) 7.- El polinomio de Taylor de orden 3 de la función f ( x) = A) 2 x 3 + x

B)

1 3 x 3

x

0

= −1

2 sent dt en x = 0 es:


La respuesta es B.

El polinomio de Taylor pedido es f ( x) =

x

0

2

sent dt

P3 ( x ) = f (0) + f ´(0) x +

f ´´(0)

2!

x 2 +

f ´´´(0)

3!

x3

f (0) = 0

teniendo en cuenta el Primer Teorema Fundamental del Cálculo (T.8-1.3 pag. 168): f ´( x ) = senx 2 f ´(0) = 0 2

FEBRERO 2001-02



f ´´( x) = 2 x cos x 2

f ´´(0) = 0

f ´´´( x ) = 2 cos x 2 − 4 x 2 senx 2

f ´´´(0) = 2

2 P3 ( x) = x 3 3!

P3 ( x ) =

x 3

3 − 2 x − a

8.- Para qué valores de a y

b

si x ≤ −1 x 2 si - 1 < x < 0 es derivable senx + bx si x ≥ 0

la función f ( x) =

en todo ℜ : A) a = 1 y b = 0 B) a = 1 y b = −1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es B. Si x ≠ −1 y x ≠ 0 es inmediato que la función es continua y derivable. En x = −1 : Para que f sea derivable, en primer lugar tiene que ser continua, por f (−1) = 2 − a = lim f ( x) = lim f ( x) = 1 por tanto a = 1. −

tanto

+

x →−1

x →−1

En este caso ya queda también derivable en x = −1 pues f ´(−1+ ) = f ´(−1− ) = −2 En x = 0 : f es continua en x = 0 para cualquier valor de b pues: f (0) = 0 = lim f ( x) = lim f ( x) = 0 x →0 −

x →0 +

Para que f sea derivable en x = 0 debe ser f ´(0 − ) = 0 = f ´(0 + ) = 1 + b por tanto 9.- La serie

b = −1

(2n)! es: (n + 1)!n!

A) Divergente La respuesta es A.

B) Convergente


Es una serie de términos positivos de término general xn Criterio del Cociente queda: (2n + 2)! x (n + 2)!(n + 1)! (2n + 2)(2n + 1) lim n+1 = lim = lim n →∞ x n →∞ n→∞ (2n)! (n + 2)(n + 1) n (n + 1)!n!

=

=

(2n)! . Aplicando el (n + 1)!n!

4 > 1 por tanto divergente.

10.- Sea f : [− 1,3] → ℜ una función continua tal que f (−1) = −2, f (0) = −1 , f (1) = 1 , f (2) = 0

y f (3) = 2 . Al calcular la integral

3 1

−

x 0

= −

1, x1

=

0, x 2

=

1, x3

=

2 y x4

=

f ( x ) dx a partir de los nodos

3 empleando la fórmula de Simpson el valor

obtenido es: 2 2 A) I = − B) I = C) Ninguna de las anteriores 3 3 La respuesta es A. Teniendo en cuenta la Fórmula de Simpson (Th. 14-2.2 ) queda: 3 h 1 2 f ( x) dx ≅ ( f (−1) + 4 f (0) + 2 f (1) + 4 f (2) + f (3)) = (− 2 − 4 + 2 + 0 + 2) = − 1 3 3 3 En este caso las distancia entre los nodos es 1, es decir h = 1 −

3

FEBRERO 2001-02

.

EXAMEN TIPO F 1 - x + ae x

1.- ¿Para que valores de a y b la función: f(x) = A) a = 4 , b = 3

si x

≤

b sen x + 5 si x

B) a = 3 , b = 4

0

, es derivable en R?

>0

a nteriores C) Ninguna de las anteriores

Como la función debe ser derivable sus derivadas por la derecha y por la izquierda han de coincidir: f +' (0) = b·cos 0 = b ; f -' (0) = - 1 + a·e 0 = - 1 + a b = a – 1 (1) . Por ser derivable ha de ser continua y por tanto los límites laterales en x = 0 también han de ser iguales: lim lim f(x) = b.sen 0 + 5 = 5 ; lim lim- f(x) = 1 - 0 + a·e 0 = 1 + a 5 = 1 + a (2) x → 0+

x →0

Y de (1) y (2) se deduce a = 4 b = 3 Por tanto Sol: A) −1

2.- Sea f : [

y f

1 2

1

,

2

]

2

= −2 .

→

R una función contínua en [

1 1 , ] 2 2

−

Si h : [

→

−1

2

,

1 2

] y derivable en (

1

'

=

3 -1

Tenemos que h

B) P2 (0 ) = '

-3

=

2

-1

·f

2

-1

=

2

2

,

1 2

-1

), tal que f

-1 2

1

=

-1 2

, x1

0 , x2

1

=

2

4 , f(0)= 1

1 1 , ] y P2 ( x ) 2 2

−

, entonces:


4

· 4 = - 2 ; h[0 ] = (0) ·f [0 ] = 0 ·1 = 0 ; h

Calculamos Calculamos el polinom polinomio io interpolador resolviendo: a· c = 0 ; esto da, a = -6 ; b = 1 ; c = 0 y P2 (x)

=

=

2

f (x), (x), para todo x ∈ [ R es la función definida por h(x) = x· f

es el polinomio polinomio interpolador interpo lador de la función función h relativo a los nodos x 0 A) P2

−1

=

−

1

2

- 6x 2

2

+ b·

−

1

2

1

=

2

+ c = -2 ; a·

1 2 1 2

·f

1

=

2

2

+ b·

1 2

1

+ c = -1 y

2 '

y P2' (x) = - 12x + 1 . Por tanto P2

+x

· (- 2 ) = - 1

1

= -3

3

y la la Sol: A) 1 + cos 2 n

3.- La serie

es:

n3 + 4 A) Divergente

Como

1 + cos 2 n 3

≤

B) Convergente

2 3

<

2 3

1

y

3


es una p-serie con p = 3 > 1 convergente (si 0

n 4 n 4 n n divergente); la serie dada es convergente. Sol: B) +

4.- Sean h y g :

→

+

≤

p

≤

1 es

(x) = h[g(x) ln ln x] x] para todo x > 0, R dos funciones derivables y f la función dada por f (x)

entonces: '

'

A) f (x) = h g (x) ln x +

g(x) x

B) f ( x ) = h [g (x ) ln x ] · g (x) ln x '

'

'

+

g(x) x

an teriores C) Ninguna de las anteriores

Aplicando la Regla de la Cadena para derivar funciones compuestas, es claro que la Sol: B) 1

5.- Si P3(x) es el polinomio de grado 3 cuya gráfica pasa por los puntos (-2,1), (0,-1), (2, -2) y (4,0), entonces:

-7

A) P3 (1) =

B) P3 (1) =

4

9


4

3

2

Aplicando el Método de Newton, o resolviendo el sistema que determina P 3(x) = ax +bx + cx + d al imponer 1 3 1 2 11 que P3 (-2) = 1, P 3 (0) = -1, P 3 (2) = -2 y P3 (4) = 0 , sale P3 (x) = x + x x - 1 , y sustituyendo en 24 8 12 −7 P3(1) = , luego la Sol: A) 4 6.- Sea la función F(x) = -

1 2

17

+

2

e - t · dt ¿Qué se puede afirmar sobre F(x)?

( x - 2 )2

A) F es creciente sobre todo R

F’(x) = -2·(x-2) · e = -2· e

−

( x − 2 )4

−

( x − 2 )4

B) Tiene un máximo en x = 2

; se anula para x = 2 y F”(x) = -2· e

−

( x − 2 )4

-2·(x-2) · e

C) Ninguna de las anteriores −

( x − 2 )4

3

[-4 (x-2) ] =

[1 - 4 (x-2) 4] y F”(2) = -2 < 0 luego tiene un máximo en x = 2 y la Sol: B) 11

7.- La ecuación 8x

+ 4x + 10 = 0 verifica:

A) No tiene solución en R

B) Tiene dos soluciones en R


Sea f(x) = 8x11 + 4x + 10 f(x) es continua y derivable en todo R. Tiene al menos una raíz en [-1,0] , pues f(-1) = -2 < 0 y f(0) = 10 > 0 (T. de Bolzano) y, como f’(x) = 88x creciente en todo R y no tiene más raíces reales, luego Sol: C) e

8.- El valor de la integral definida

A)

B)

3

Se integra por partes: u = ln x ; du =

Luego I = e3 3

-

e3 9

+

1 9

=

x 3 ln x

-

3 2e 3 + 1

3

dx

=

1 x

2e 3

+

1


9 2

dx ; dv = x ; v =

x 3 ln x 3

-

x3 9

y

x3 3 e 1

2

x ln x dx

=

x 3 ln x 3

-

x3 9

e

=

1

y por tanto la Sol: B)

9

n 9.- La serie

x2

+ 4 es siempre positiva, la función es

2 x ln x dx es:

1

e3

10

2

2

λ n +1

n

es:

A) Convergente para λ > 2

B) Convergente para λ ≤ 2


2

Aplicando el criterio de la raíz: lím

n →∞

Nota: lím

n →∞

n

n2 2

n

n 2 λn 2

n +1

=

λ

2

lím

n →∞

n

n2 2

=

λ

2

y es convergente si λ < 2 , luego Sol C)

= 1 3

10.- Sea P(x) = x – 3x + 3 el polinomio de Taylor de grado 3 en a = 1 de la función f . Sobre f podemos

afirmar: A) f tiene un mínimo local en x = 1 B) f tiene un máximo local en x = 1 C) Ninguna de las anteriores

Como P’(x) = 3x2 – 3 , se anula para x = 1 y como P”(x) = 6x P”(1) = 6 > 0 luego tiene un mínimo local en x = 1 y por tanto, Sol: A) Zamora, a 15 de febrero de 2.002

3

.

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora Examen de Análisis Matemático Septiembre (4 de septiembre de 2002) MODELO A E jercicio 1 ⎡ g '( x)·x − g ( x) ⎤ 0 ⎡ g "( x)· x + g '( x) − g '( x) ⎤ g "(0) 4 lim = = ⎥⎦ 0 x→0 ⎢⎣ ⎥⎦ = 2 = 2 = 2 x →0 x 2 2x ⎣

f '(0) = lim f '( x ) = lim ⎢ x → 0

Se aplica la regla de L’Hopital

SOL: A )

E jercicio 2

x

x

0

1

Se integra por cambio de variable: e = t ; e dx = dt ; e = 1 ; e = e 1

∫e

e x

x 0 2

+1

dx =

∫

e

1

1 t 2 + 1

e 1

dt = arctg t ] = arctg e − arctg 1 = arctg e −

π

4

SOL: B )

E jercicio 3

∫ lim

3 x

tg t ·dt

=

0

x→0

sen 2 x

0 0

= lim

3·tg 3 x

x→0 2 senx cos x

= lim

x→0

3·tg3 x sen2 x

=

0 0

1

3·

2

·3

9 9 cos 3 x = lim = 2 x→0 2 cos 2 x x→0 2 cos 2 x cos 2 3 x

= lim

Se aplica la Regla de L'Hopital

SOL: B )

E jercicio 4 Se aplica la Fórmula de Newton-Cotes para 2n+1 nodos (pág. 356); en nuestro caso, 4 nodos:

∫

x3

f ( x )dx =

x0

=

3·2 8

3h 8

[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) +

[ f (−1) + 3 f (1) + 3 f (3) +

donde h =

x3 − x0

3

=

5 − (−1) 3

f (5) ] =

3 4

f ( x3 )] =

[ −2 + 3·1+ 3·2 − 1] =

3·6 4

=

9 2

=2 SOL: A )

E jercicio 5 Se compara la serie

∑

n+ n

2n + 1 3

con la p-serie

∑

1 n

2

, que por ser p = 2 > 1 es

convergente.

________________________________________________________________________________ Análisis Matemático - Septiembre – Modelo A Miguel Sobrino Morchón -2-

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora n+ n

3 n3 + n 2 n 1 n 2 1 + lim = lim = <1 x →∞ x →∞ 1 2n3 + 1 2 2 n serie es convergente.

Luego por el segundo criterio de comparación , la

SOL: A )

E jercicio 6 Se calculan los límites laterales: a) Límite por la izquierda: b) Límite por la derecha:

3 3 π ⎞ ⎛3 2 x + sen ⎟ = + sen π = x →1 x →1 x ⎠ 2 2 ⎝2 2 x 2 − x − 1 0 4 x −1 3 lim+ f (x ) = lim+ lim = = = x →1 x →1 x 2 − 1 0 x→1+ 2 x 2 lim− f ( x ) = lim− ⎜

Luego el límite existe, pero no es cero, luego la solución es la c)

SOL: C)

E jercicio 7 P(0) = λ y P(1) = λ - 6 . Para que la función P(x) tenga una raíz en el intervalo [0, 1], tiene 2 que cambiar de signo en los extremos; P(0)·P(1) < 0 ; P(0)·P(1) = λ ( λ -6) = λ - 6 λ . Si se dibuja la 2 parábola y = λ - 6 λ , corta al eje de abscisas en los puntos 0 y 6 y es negativa en (0, 6) SOL: A )

E jercicio 8 La serie

razón r =

1 2

∑

( −1)

n+ 2

2n + 2

< 1 , luego la serie:

∑ (− ) ∑ 1

=

2n+ 2 1

, que es convergente por ser una serie geométrica de

n+2

es absolutamente convergente (pág. 281)

2n + 2

SOL: A )

E jercicio 9 Se aplica la Regla de la Cadena para derivar la función compuesta f(x): 1 1 f '( x ) = 3· g 2 arctg x − 1 · g ' arctg x − 1 · · 2 1 + x − 1 2 x

(

(

)) (

(

(

1 − 1 · g ' arctg

f '(1) = 3· g 2 arctg

)) (

= 3·g 2 ( arctg ( 0 ) )· g ' ( arctg ( 0 ) )·

))

(

))

(

1 −1 · 1+

1 2

·

1

1+ ( 0) 2 1

(

)

1

(

)

1 −1

· 2

1

=

2 1 1

1

2

2

= 3· g 2 ( 0 )· g ' ( 0 )· = 3·2 2·2· = 3·4 = 12 SOL: B )


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora E jercicio 10 Se calcula la primera derivada y se buscan los valores que la anulan: f '( x ) =

12 x3 + 12 x 2 2 3 x + 4 x + 2 4

3

=

6 x 2 ( x + 1) 3x + 4 x + 2 4

3

, que se anula para x = 0 (doble) y para x = − 1

Por otro lado el signo de la primera derivada es el de ( x + 1) , que es positivo para x > −1 y negativo para x < − 1 , luego en x = −1 tiene un mínimo relativo (pasa de ser decreciente a ser creciente) y en x = 0 tiene un punto de inflexión pues, aunque f '(0) = 0 , la función siempre es creciente (tanto a la derecha como a la izquierda de x = 0 ). SOL: A) Zamora, 10 de Septiembre de 2.002


.

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora

________________________________________________________________________________ Examen de Análisis Mat. – Mod A - 29-Enero 2003 -1Miguel Sobrino Morchón

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora E jercicio 1 Sea f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d . Esta función tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, además, ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. f '( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Como f (0) = d = 0 y f '(0) = c = 0 se reduce a resolver el sistema:

8a + 4b = 2 ⎫

3 −1 ⎬a = ;b = 12a + 4b = 0 ⎭ 2 2

1 3 3 2 , pero esta función tiene un mínimo relativo en (0, 0), y un máximo x + x 2 2 relativo en (2, 2), ya que f "( x) = −3x + 3, f "(0) = 3 > 0 y f "(2) = −3 < 0 Luego la solución es la Luego f ( x ) = −

Sol: C)

c) Ninguna de las anteriores respuestas.

E jercicio 2 f ( x ) = g ( x )cos x . Hay que derivar logarítmicamente: ln [ f ( x)] = ln ⎡ g ( x )cos x ⎤ = cos x ·ln ( g ( x ) )

⎣

f '( x) f ( x)

= − senx ln ( g ( x) ) + cos x

g '( x ) g ( x)

⎡

f '(0) = ⎢ − sen ( 0 ) ln ( g (0) ) + cos ( 0 )

⎣

⎦

⎡

luego f '( x ) = ⎢ − senx ln ( g ( x ) ) + cos x

g '(x ) ⎤

⎣

g '(0) ⎤

⎥·g (0) g (0) ⎦

cos(0)

=

cos x

⎥·g ( x ) g ( x) ⎦

g '(0)

2 g (0)cos(0) = 11 = 2 1 g (0)

Sol: A)

E jercicio 3 2

⎡ ⎤ 3/ 2 5/ 2 2 2 ⎢ x ⎥ 2 x ⎡4 ⎤ ( 2 − x ) xdx = 2 x1/ 2 − x3/ 2 dx = ⎢2 3 − 5 ⎥ = ⎢ 8 − 32 ⎥ = 5 0 0 ⎣3 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 ⎦0 2 8 40 − 24 16 ⎡4 ⎤ 8 ⎛8 8⎞ = ⎢ 2 2 − 4 2⎥ = 2− 2 =⎜ − ⎟ 2 = 2= 2 5 5 15 15 ⎣3 ⎦ 3 ⎝3 5⎠

∫

∫(

)

Sol: A)

E jercicio 4

Como f ( x ) = − senx + cos x , calculamos:

⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ = − + cos sen ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ =1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ f (2π ) = − sen ( 2π ) + cos ( 2π ) = 1 ; f ⎜ sen cos = − + ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = −1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f (π ) = − sen (π ) + cos (π ) = − 1

; f ⎜

Aplicamos el Método de Newton para calcular el polinomio interpolador x π

3π 2 2π 5π 2

∆y ∆ 2 y ∆3 y −1 2 −2 0 y

1 1

0

−2

−2

h=

π

2

P ( x ) = −1 +

2 π

2

(x − )−2 π

1 2

2!

π

⎛ ⎝

( x − )⎜ x − π

3π ⎞

⎟=

2 ⎠

4

−1


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora 4

P( x ) = −

π

2

x2 +

14

x − 11 ; P '( x ) = −

π

8 π

2

x+

14

; P '(π ) = −

π

8 π

+

14 π

12 14 2 ⎛ 3π ⎞ = − + = ⎟ π π π ⎝ 2 ⎠ Sol: B)

6

=

; P '⎜

π

Luego la solucion es B)

E jercicio 5 Como f (2) = −22 + 2·2 + 2 = −4 + 4 + 2 = 2 , lim f ( x ) = lim

x→2

+

x→ 2

+

(

)

pero lim f ( x ) = lim − x 2 + 2 x + 2 = 2 y x→2−

x→2 −

( x + 1) = 3 .

Entonces lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , el límite de la función, cuando x tiende a 2 no existe. La función x→2+

x→2 −

f ( x ) no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda función derivable es

Sol: C)

continua), luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas.


3n

∑ n! es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos: 3n+1

lim

n→∞

an +1

= lim

( n + 1)!

n→∞

an

n

= lim

3n+1 n !

n→∞ 3n

3

( n + 1)!

= lim

n→∞

3 n +1

= 0 < 1 por tanto Convergente

Sol: A)

n!

E jercicio 7 F ( x) =

x3 −3 x

∫

(

) (

f (t )dt ⇒ F '( x ) = 3x 2 − 3 f x 3 − 3x

0

)

; como f ( x) > 0 para todo x, el signo de

F '( x) es igual al signo de 3 x 2 − 3 , que es negativo en (-1, 1) y por tanto F ( x) es decreciente en

(−1, 1)

Sol: B)

E jercicio 8 n+1 ( −1) La serie

∑

n+2

n

es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge por

el Criterio de Libnitz (La sucesión los valores absolutos:

∑n+2 n

n n+2

es decreciente y además lim

n→∞

n n+2

es divergente, pués si la comparamos con

= 0 ), pero la serie de

∑

1 n

, que es

n n = 1 . Luego la serie divergente, lim n + 2 = lim n→∞ 1 n→∞ n + 2 n

∑ n + 2 también es divergente. n

Sol: A)


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora E jercicio 9 Sea f ( x ) = x 5 − 5 x + 1 ; como f (−1) = 5 > 0 y f (1) = −3 < 0 , el Teorema de Bolzano nos asegura que hay al menos una raíz en [-1, 1]. Como f '( x ) = 5 x 4 − 5 es siempre negativa en [-1, 1] , el teorema 12-1.2 (pág. 290), nos asegura que sólo hay una solución de la ecuación en [-1, 1], luego la solucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. Sol: C)

E jercicio 10

( →0

El lim e x + x + x

1 x

)

= 1∞ . Para poder aplicar la Regla de L’Hôpital se toman primero ln.

1⎤ 1⎤ ⎡ ⎡ x x Si y = lim e + x ; ln y = ln ⎢ lim e + x x ⎥ = lim ⎢ln e + x x ⎥ = + x→0 ⎢ x→0+ ⎥ x→0+ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ e x + 1 ⎡ ln e x + x ⎤ x x e + 1 e0 + 1 1 + 1 e x + ⎢ ⎥ = lim+ = lim+ = lim+ x = 0 = = 2 ⇒ y = e 2 ⎥ x→0 1 x 1 x→0 ⎢ x→0 e + x e +0 ⎣⎢ ⎦⎥

(

(

1 x

)

x

(

)

(

)

)

Sol: A)

Zamora, 29 de Enero de 2.003



________________________________________________________________________________ Examen de Análisis Matemático 29-Enero 2003 -1Miguel Sobrino Morchón

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora E jercicio 1

( →0

x

El lim+ e + x x

1 x

)

= 1∞ . Para poder aplicar la Regla de L’Hôpital se toman primero ln.

1⎤ 1⎤ ⎡ ⎡ x x x Si y = lim+ e + x ; ln y = ln ⎢ lim+ e + x x ⎥ = lim+ ⎢ln e + x x ⎥ = x→0 ⎢ x→0 ⎥ x→0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ e x + 1 x ⎡ ln e + x ⎤ x x e + 1 e0 + 1 1 + 1 e x + ⎢ ⎥ = lim+ = lim+ = lim+ x = 0 = = 2 ⇒ y = e 2 ⎥ x→0 1 x 1 x→0 ⎢ x→0 e + x e +0 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 x

(

(

)

(

)

(

)

)

Sol: A)

E jercicio 2 F ( x) =

3

x −3 x

∫

(

) (

f (t )dt ⇒ F '( x ) = 3x 2 − 3 f x 3 − 3x

0

)

; como f ( x) > 0 para todo x, el signo de

F '( x) es igual al signo de 3 x 2 − 3 , que es negativo en (-1, 1) y por tanto F ( x) es decreciente en

(−1, 1)

Sol: B)

E jercicio 3 ⎛ π x ⎞ ⎟ + cos (π x ) ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ f (1) = sen ⎜ ⎟ + cos (π ) = 1 + (−1) = 0 ⎝2⎠ f (2) = sen (π ) + cos ( 2π ) = 0 + 1 = 1 f ( x ) = sen ⎜

⎛ 3π ⎞ ⎟ + cos ( 3π ) = ( −1) + ( −1) = −2 2 ⎝ ⎠ el polinomio P2 ( x) = ax 2 + bx + c pasa por los puntos (1, 0) (2, 1) y (3, -2), luego aplicando el f (3) = sen ⎜

a+b+c = 0 ⎫

Método de Newton, o resolviendo el sistema:

⎪

4 a + 2b + c = 1 ⎬ a = 2 ; b = 7 ; c = − 5 9a + 3b + c = −2 ⎪ ⎭ 2

1 7 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ Se tiene que P2 ( x ) = −2 x + 7 x − 5 y P2 ⎜ ⎟ = −2 ⎜ ⎟ + 7 ⎜ ⎟ − 5 = − + − 5 = − 2 2 2 ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2

E jercicio 4 n 1 ( −1) + La serie

∑

n+2

n

Sol: B)

es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge por

el Criterio de Libnitz (La sucesión

n n+2

es decreciente y además lim

n→∞

n n+2

= 0 ), pero la serie de


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora los valores absolutos:

∑n+2 n

es divergente, pués si la comparamos con

∑

1 n

, que es

n n = 1 . Luego la serie divergente, lim n + 2 = lim n→∞ 1 n→∞ n + 2 n

∑ n + 2 también es divergente. n

Sol: B)

E jercicio 5 Como f (2) = −22 + 2·2 + 2 = −4 + 4 + 2 = 2 , lim f ( x ) = lim

x→2+

x→2 +

(

)

pero lim f ( x ) = lim − x 2 + 2 x + 2 = 2 y x→2−

x→ 2 −

( x + 1) = 3 .

Entonces lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , el límite de la función, cuando x tiende a 2 no existe. La función x→2+

x→2 −

f ( x ) no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda función derivable es

Sol: C)

continua), luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas.

E jercicio 6 2

⎡ ⎤ 3/ 2 5/ 2 ⎥ 2 2 ⎢ 2 x x ⎡4 ⎤ 2 x1/ 2 − x3/ 2 dx = ⎢ 2 − = ⎢ 8 − 32 ⎥ = ( 2 − x ) xdx = ⎥ 3 5 5 0 0 ⎣3 ⎦ ⎢ ⎥ 2 ⎦0 ⎣ 2 2 8 40 − 24 16 ⎡4 ⎤ 8 ⎛8 8 ⎞ 2− 2 =⎜ − ⎟ 2 = 2= 2 = ⎢ 2 2 − 4 2⎥ = 5 5 15 15 ⎣3 ⎦ 3 ⎝3 5⎠

∫

∫(

)

Sol: A)

E jercicio 7 Sea f ( x ) = x 5 − 5 x + 1 ; como f (−1) = 5 > 0 y f (1) = −3 < 0 , el Teorema de Bolzano nos asegura que hay al menos una raíz en [-1, 1]. Como f '( x ) = 5 x 4 − 5 es siempre negativa en [-1, 1] , el teorema 12-1.2 (pág. 290), nos asegura que sólo hay una solución de la ecuación en [-1, 1], luego la solucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. Sol: C)


3n

∑ n! es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos: 3n+1

lim

an +1

n→∞

an

= lim

n→∞

( n + 1)! 3n

= lim

n 3 +1 n !

n→∞ 3n

( n + 1)!

= lim

n→∞

3 n +1

= 0 < 1 por tanto Convergente

n!

E jercicio 9 f ( x ) = g ( x )cos x . Hay que derivar logarítmicamente: ln [ f ( x) ] = ln ⎡ g ( x )cos x ⎤ = cos x ·ln ( g ( x ) )

⎣

f '( x ) f ( x)

= − senx ln ( g ( x) ) + cos x

g '( x ) g ( x)

⎡

luego f '( x ) = ⎢ − senx ln ( g ( x ) ) + cos x

⎣

⎦

g '( x ) ⎤

cos x

⎥· g ( x ) g ( x) ⎦


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora ⎡

f '(0) = ⎢ − sen ( 0 ) ln ( g (0) ) + cos ( 0 )

⎣

g '(0) ⎤

⎥· g (0) g (0) ⎦

cos(0)

=

g '(0)

2 g (0)cos(0) = 11 = 2 g (0) 1

Sol: A)

E jercicio 10 Sea f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d . Esta función tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, además, ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. f '( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Como f (0) = d = 0 y f '(0) = c = 0 se reduce a resolver el sistema:

8a + 4b = 2 ⎫

3 −1 ⎬a = ;b = 12a + 4b = 0 ⎭ 2 2

1 3 3 2 , pero esta función tiene un mínimo relativo en (0, 0), y un máximo x + x 2 2 relativo en (2, 2), ya que f "( x) = −3x + 3, f "(0) = 3 > 0 y f "(2) = −3 < 0 Luego la solución es la Luego f ( x ) = −

c) Ninguna de las anteriores respuestas.

Sol: C)

Zamora, 29 de Enero de 2.003



________________________________________________________________________________ Examen de Análisis Mat. – Mod F - 15 -Feb 2003 -1Miguel Sobrino Morchón









.


________________________________________________________________________________ Examen de Análisis Mat. Mod A- 04-Sept-2003 -1Miguel Sobrino Morchón

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora E jercicio 1 ∞

n2 ( −2 )

∑=

Estudiamos la serie de valores absolutos:

∞

n

=

n!

n 1

∑=

n 2 2n n!

n 1

Si aplicamos el Criterio del Cociente: 2

lim

( n + 1) 2n ( n + 1) !

+1

( n + 1) 2n +1 n! ( n + 1) 2 2n + 2 = lim 2 n = lim 2 = lim 2 = 0 < 1 n→∞ n 2 ( n + 1)! n→∞ n ( n + 1) n→∞ n 2

2 n

n→∞

2

y

n 2 n! converge. La serie es absolutamente convergente y la solución correcta es

por

tanto

So l: C)

E jercicio 2 Aplicamos el Criterio de la Raíz:

 2 + 1 n sen 2n ( )  n  n = 2 α

lim

n→∞

n

Ahora, si

Si α

=

π

6

=

α

π

3

, 2 sen

, 2 sen

2

2

 2 + 1  sen 2  n ( )   = 2 sen 2 ( ) , ya que n α

lim

α

n →∞

2

n

2

n→∞ n

= 0,y

n

lim = n 2 n →∞

=1

3 

π

π

1

2

  = 2   3     

  = 2 1   6  2    

lim

2

3 3 2 = > 1 y la serie diverge. La solución es A) =   4 2 

= 2 1 = 1 < 1 y la serie convergería. 4 2

Sol: A)

E jercicio 3 Construimos T3 ( x ) : f ( x ) = 3sen ( x ) − sen ( 3x )

;

f (0 ) = 0

f ' ( x ) = 3cos ( x) − 3cos ( 3x )

;

f ' (0 ) = 3 − 3 = 0

f "( x ) = −3sen ( x ) + 9 sen (3x )

;

f " ( 0 ) = 0

f '"( x ) = −3cos ( x ) + 27cos (3 x ) ; Luego T3 ( x ) = f ( 0 ) +

f ' ( 0 ) 1!

x+

f '" (0 ) = −3 + 27 = 24

f "(0 ) 2 x 2!

+

f '" ( 0 ) 3 x 3!

=

24 3 x 6

= 4 x3

So l: B)

E jercicio 4 La concavidad y la convexidad se estudia con la segunda derivada: −2 x f ' ( x ) =

(

2

x

+ 1)

2

2

f "( x ) =

−2 ( x 2 + 1) + 2 x·2 ( x 2 + 1)

(

)

x 2 + 1

4

2x

=

−2 x 2 − 2 + 8 x 2

(

3

)

x2 + 1

=

6 x2

(

−2

x2 +1

3

)


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora El signo de f "( x ) lo decide el numerador, y este es negativo en el intervalo

cóncava, y positivo en

  −∞ , − 

3 3

  U   

3 3



, ∞  , luego es convexa en



  − 

  −∞ , − 

3 3

,

3   y aquí es 3  

3  3

  

So l: C)

E jercicio 5 Se aplica tres veces la Regla de L’Hôpital lim

tg ( x ) − sen ( x )

x→0

= =

lim

x

3

0

1 + tg 2 ( x ) ) − cos ( x ) 0 ( = lim = = = 3 x2

x→0

( 2tg ( x )) (1 + tg 2 ( x ) ) + sen ( x ) 6 x

x→0

lim

=

0

(

2 1 + tg 2 ( x )

)

2

0

0

= = 0

+ 4tg 2 ( x ) (1 + tg 2 ( x )) + cos ( x )

x→0

6 La solución es por tanto la A) A=1/2

=

2 +1 6

=

1 2

Sol: A)

E jercicio 6  sen2 ( x ) si x ≤ 0 La función f ( x ) =  es contínua en x = 0 (se comprueba viendo que + > xLn 1 x si x 0 ( )  f ( 0 ) = 0 y que los límites por la derecha y por la izquierda valen cero. Calculamos ahora la primera y la segunda derivada en el origen (por la derecha y por la izquierda): f '− ( 0 ) = lim ( 2sen ( x ) cos ( x )) = lim ( sen ( 2 x ) ) = 0  − − x→0

   

x→0

x    = 0 + 1 x   → x 0 f "− ( 0) = lim ( 2cos ( 2 x ) ) = 2 − f '+ ( 0 ) = lim  Ln (1 + x ) + +

    1 1 + x − x  + = + =  f "+ ( 0 ) = lim  1 1 2    + + + 1 x 1 x ) x→0  (   x→0

Sol: A)

Luego tiene derivada segunda en x = 0 y vale 2. La solución es la A)

E jercicio 7 Este ejercicio es muy simple, pues al ser f ( x ) una función polinómica, P3 ( x ) = f ( x ) , y por tanto, P3 (1) = f (1) = 13 + 12 − 1 = 1

So l: A)

E jercicio 8 Teniendo en cuenta las fórmulas:

cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) − sen ( a ) sen ( b ) cos ( a − b ) = cos ( a ) cos ( b ) + sen ( a ) sen ( b )

despejando se tiene que: cos ( a ) cos (b ) =

, sumando y

cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora y en nuestro caso, cos ( 3 x ) cos ( 2 x ) =

∫

π

cos ( 2 x ) cos ( 3 x ) dx =

π

) cos ( x )

+

2

, Luego:

2

π

 cos ( 5 x ) cos ( x )   sen ( 5 x ) sen ( x )  + = dx  2   10 + 2  = 2     π

π

2

=

∫ π

cos ( 5

2

2

sen ( 5π )

+

10

sen ( π ) 2

−

 

sen  5

 sen    2 2 −   = 0 + 0 −

π

10

π

2

1 10

1

3

2

5

− =−

So l: B)

E jercicio 9 Construimos el polinomio interpolador aplicando el método de Newton: x

y

∆ y ∆ 2 y ∆3 y

−2

1

1

-1

0

2

0

5

2

2

5

4

7

P3 ( x ) = y0

+

∆ y0 1! h

6

donde h = 2

∆ 2 y0

( x − x0 ) +

1

1

2! h 6

2

8

48

= 1 + ( x + 2 ) − ( x + 2) x + P '3 ( x ) =

1

3x 2 − 2 x − 2 ) ( 8

2

( x − x0 ) ( x − x1 ) +

( x + 2 ) x ( x − 2) = 1

P "3 ( x ) =

;

8

∆3 y0 3! h

3

( x − x0 ) ( x − x1 )( x − x2 ) =

1

x3 − x 2 − 2 x +16 ) ( 8

( 6 x − 2 ) ; P'" 3 ( x ) =

6 8

=

3 4

So l: B)

E jercicio 10 F ( x ) =

∫

2 x

xsen ( t ) dt

x 2

=x

2x

∫ x

sen ( t ) dt Se saca la

fuera de la integral y ahora se deriva como

2

producto:

∫ ) = ∫

F ' ( x ) = 1·

F ' ( π

2 x

x

2 2π

π

sen ( t ) dt + x  2 sen (2 x ) −

 

1

 

1

sen ( t ) dt + π  2sen ( 2π ) −

2

2

2

      2  

sen 

   =   2  

sen 

π

1  − = −1 − =  cos ( t )  + 0 −  = cos ( ) −cos   2  2  2  2 π

π

π

π

π

π

π

2

So l: A)

Zamora, 4 de Septiembre de 2.003


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Soluciones no oficiales del examen de Análisis Matemático correspondiente a la primera semana de Febrero de 2.004

Pr egunta nº

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mode lo A

A

A

A

C

A

B

C

C

C

B

Mode lo C

A

C

A

B

A

C

A

A

C

C

Z a m o r a , 2 8 d e E n e r o d e 2 . 0 0 4

________________________________________________________________________________ Miguel Sobrino Morchón


________________________________________________________________________________ Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B -1Miguel Sobrino Morchón

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora Examen de Análisis Matemático Febrero (11 de Febrero de 2.004) MODELO B E jercicio 1 La serie

∑

n

∑

( −1)

n

n

n +1 5

es absolutamente convergente ya que la serie de valores absolutos

es convergente. Para verlo basta con comparar la serie con

n +1 convergente ( p serie, con p =2 y por tanto convergente). 5

La comparación la haríamos:

n

≤

n5 + 1

n

=

n5

1

n

2

, que es

1

=

n4

∑

1

n

2

SOL: B )

E jercicio 2 Para calcular los extremos de la función F ( x ) =

∫

x

Ln ( t )

1

t 2

dt , calculamos la primera

2

derivada de F ( x ) . F ' ( x ) =

Ln ( x ) x 2

. Se iguala a cero F ' ( x ) = 0 ⇒ Ln ( x ) = 0 ⇒ x = 1

1 2 x − 2 xLn ( x ) 1 − 2 Ln ( x ) x = Ahora calculamos la segunda derivada: F ''( x ) = x 4 x3 1 − 2 Ln (1) Y como F '' (1) = = 1 > 0 , F ( x ) tiene un mínimo local en x = 1 1

SOL: A)

E jercicio 3

∫

Ln ( x ) dx se hace por partes, y vale

La integral

Luego

∫

∫

Ln ( x ) dx = x ⎡⎣ Ln ( x ) − 1⎤⎦ + C

2 2

Ln ( x ) dx = x ⎡⎣ Ln ( x ) − 1⎤⎦ = 2 ⎡⎣ Ln ( 2 ) − 1⎤⎦ − ⎡⎣ Ln (1) −1⎤⎦ = 2 Ln ( 2 ) −1 1 1

SOL: C)

E jercicio 4 La familia de funciones f m ( x ) = x 3 − 3x + m son continuas. f ( 0 ) = m > 0 ; f (1) = 1 − 3 + m = m − 2 > 0 , ya que m > 10.


Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora Por otro lado, f ' ( x ) = 3x 2 − 3, es decreciente en el intervalo [ 0, 1] (Basta con dibujar la parábola y = 3 x 2 − 3 ), con lo cual f m ( x ) no se anula nunca en el intervalo [ 0, 1]

SOL: C)

E jercicio 5 Sean x el radio de la base e y la altura. El volumen del cono es: 1 2 1 π 2 3 2 2 V = πx y = π 100 − y y = 100 y − y . Téngase en cuenta que x + y = 100 3 3 3 10 π 2 V ' = 100 − 3 y y al igualar a cero sale y = ± 3 3

(

(

V '' =

π 3

)

(

)

)

( −6 y ) = −2π y ,

máximo. Para y =

10

que al dar el valor de y positivo, sale menor que cero y por tanto

, sale x = 100 − y 2 = 100 −

3

100 3

=

200 3

=

10 2

=

10 6 3

3

SOL: A )

E jercicio 6 lim

x →+∞

(

)

9 x 2 + 3 x − 1 − 9 x 2 + 1 = ∞ − ∞ , Indeterminado. Para quitar la indeterminación se

multiplica y se divide por el conjugado del binomio: lim

x →+∞

(

= lim

9 x 2 + 3 x − 1 − 9 x 2 + 1

9 x 2 + 3 x − 1 − 9 x 2 − 9

)

( = lim

9 x 2 + 3 x − 1 − 9 x 2 + 1

x→+∞

9 x 2 + 3 x − 1 + 9 x 2 +1

9 x 2 + 3 x − 1 + 9 x 2 + 1 3 x −10

= lim

)(

3

=

=

3

=

)=

1

9+ 9 6 2 9 x 2 + 3 x − 1 + 9 x 2 + 1 x→∞ 9 x2 + 3 x −1 + 9 x 2 + 1 Para quitar esta última indeterminación se divide numerador y denominador por x. x →+∞

SOL: C)

E jercicio 7 n

Sea f ( x ) =

∑

n

( x − ai )

2

∑

. Derivamos: f ' ( x ) = 2

i =1

i =1

⎡ ( x − ai ) = 2 ⎢⎢ nx − ⎢⎣

n

∑ i =1

⎤ ai ⎥ ⎥ ⎥⎦

Si igualamos a cero la primera derivada:

⎡ f ' ( x ) = 0 = 2 ⎢ nx − ⎢ ⎣⎢

n

∑ i =1

⎤ ai ⎥ ⇒ nx − ⎥ ⎦⎥

n

∑ i =1

n

ai = 0 ⇒ x =

1 n

∑ ∑ ai

i =1

n

Como f '' ( x ) = 2n > 0 , f ( x ) tiene un mínimo local en x =

1

n

ai

i =1

SOL: A ) ________________________________________________________________________________ Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B -3Miguel Sobrino Morchón

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora E jercicio 8

∫

La integral

Luego

∫

1

0

1 1 + x 2 1

1 + x 2

dx = arctan ( x ) + C , es inmediata.

dx = ⎡⎣ arctan ( x ) ⎤⎦

1 0

= arctan (1) − arctan ( 0) =

π 4

−0=

π 4


Examenes Resueltos Analisis Matematico

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