Evaluación Distancia

(NOMBRE DEL TRABAJO)

LOGICA MATEMATICA EVALUACIÓN DISTANCIA

ESTUDIANTE: MIGUEL ANGEL UNRISA FULA

DOCENTE ALEXANDRA MARIA SILVA MONSALVE

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS VICERRECTORÍA DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA DE INFORMATICA CENTRO DE ATENCIÓN UNIVERSITARIO BOGOTA BOGOTA, MARZO 23 DE 2017

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Tabla de contenido Resumen ....................................................................................................................................................... 3 INTRODUCCION ............................................................................................................................................. 4 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD .................................................................................................................... 5 PUNTO 1 .................................................................................................................................................... 5 PUNTO 2 .................................................................................................................................................... 7 PUNTO 3 .................................................................................................................................................... 8 PUNTO 4 .................................................................................................................................................. 10 PUNTO 5 .................................................................................................................................................. 11 PUNTO 6 .................................................................................................................................................. 11 PUNTO 7 .................................................................................................................................................. 12 PUNTO 8 .................................................................................................................................................. 12 PUNTO 9 .................................................................................................................................................. 13 PUNTO 10 ................................................................................................................................................ 15

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Resumen

El objetivo de este trabajo es conocer más afondo la aplicación de la lógica matemáticas en nuestro entorno diario y como llevarlo a cabo con datos exactos. Para tener estos resultados nos  basamos en videos donde nos explica cada propiedad y ley de la algebra proporcional; además gracias a la ayuda del tutor de la asignatura y el apoyo en la Aula virtual, logramos adquirir los conocimientos necesarios para la solución y resolución de problemas diarios y enfocarlos a las lógica matemáticas. Gracias a la ardua investigación encontramos diversas formas de solucionar un problema y como poder solucionarlo en diversos puntos de vista como también como simplificar una expresión muy grande como la de un circuito eléctrico para entenderlo mejor y  plasmarlo en la váquela correspondiente (modo físico). Ya que gracias a la lógica matemática  podemos plantear el problema de diversas formas e igual su solución, lo que permite concluir que la solución de diversos problemas son solucionables y aplicables a la ciencia de la lógica matemática que si no hubiese aplicación de la lógica matemática no tendríamos una forma de expresar nuestra soluciones exactas y verdaderas. Sin la lógica matemática y la electrónica digital no podríamos tener una gran evolución de la tecnología y nuestra forma de ver y pensar en el mundo.  Palabras claves: funciones, análisis, algebra booleana, compuertas, mapa Karnough.

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INTRODUCCION

Este trabajo está basado en lo Explicado, los materiales de apoyo que el tutor ha dejado en el aula virtual e investigaciones audiovisuales, por el cual estaremos realizando los ejercicios  planteados por el docente donde vemos que son aplicados a la vida. Detallando la importancia de la ciencia de la lógica matemática y su gran ayuda que ha sido para la evolución humana. Hay que tener en cuenta que la lógica matemáticas no solo es para la carrera aplicada a las ingeniería si no que la encontramos en todas las carreras como es artes plásticas; ya que ayuda en la parte de la geométrica y la profundidad de planos, y su aplicación para la carrera de administración de empresas ya que gracias a la logica matemáticas y sus análisis a profundidad  podemos ver y tomar decisiones al futuro de una empresa o proyección a bajo, medio y largo  plazo. Lo interesante es que la aplicación y solución de estos problemas siguen siendo los mismo de las épocas antiguas donde el factor problema y para solucionar es el dinero, la evolución, el desarrollo humano, y los negocios.

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OBJETIVO GENERALES 

Mostrar la importancia y el buen planeamiento que se debe realizar para la solución de diversos problemas empleando la lógica y las propiedades de la lógica matemática OBJETIVO ESPECIFICOS

1. Por medio del problemas mostrar la aplicación de la lógica matematica 2. Aplicar elemento de las ecuaciones y análisis aplicando sistemas de funciones 3. Plantear diversas formas para la solución de problemas utilizando métodos más simplificados 4. Utilizaciones de gráficos para toma de decisiones a futuro 5. Aplicación de funciones exponenciales y propiedades de la algebra booleana

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD PUNTO 1

En cada caso, determinar todos los modelos de la fórmula proposicional correspondiente:

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A. (p → q) ∨ (q → p)  p

q

(p→q)

∨

(q→p)

v v f f

v f v f

v f v v

V V V V

v v f v

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para todos los valores es verdadera. Por lo tanto es una “TAUTOLOGIA” y es “SATISFACTIBLE”

B. (p → q) ∧ ¬(p → q)  p

q

¬p

¬q

(p → q)

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

V F V V

¬(p → q) F F F F

F V F F

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para toda la mayoría de valores es verdadera pero se tiene un valor en falso. Por lo tanto es una “CONTRADICCION” y es “ INSATISFACTIBLE” C.  p → q  p

q

(p→q)

v v f f

v f v f

V F V V

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para toda la mayoría de valores es verdadera pero se tiene un valor en falso. Por lo tanto es una “CONTINGENCIA” y es “SATISFACTIBLE”

D. d. p ∨ ¬p  p

¬p

(p ∨ ¬p)

v f v f

f v f v

V V V V

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para todos los valores es verdadera. Por lo tanto es una “TAUTOLOGIA” y es “SATISFACTIBLE”

E.  p ∧ ¬p

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 p

¬p

(p ∧ ¬p)

v f v f

f v f v

F F F F

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para todos los valores es falso. Por lo tanto es una “CONTRADICCION” y es “INSATISFACTIBLE”

F. (p → q) ∨ (q → p)  p

q

(p → q)

∨

(q → p)

v v f f

v f v f

v f v v

V V V V

v v f v

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para todos los valores es verdadera. Por lo tanto es una “TAUTOLOGIA” y es “SATISFACTIBLE”

G. (p ↔ q) ∨ (q ↔ p)  p

q

( p ↔ q)

∨

(q ↔ p)

v v f f

v f v f

v f f v

V F F V

v f f v

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para toda la mayoría de valores es verdadera pero se tiene un valor en falso. Por lo tanto es una “CONTINGENCIA” y es “SATISFACTIBLE”

PUNTO 2

En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada uno le dice una f rase: Determinar a qué tribu pertenecen A,B,C. realce la representación mediante calculo de predicados 1. A dice “B y C son veraces y C es veraz”  a → (b ∧ c) ∧ c a v v v

b v v f

c v f v

(b ∧ c) v f f

c)

a → (b

v f f

c

(b ∧ c) ∧ c v f f

8

v f f f f

f v v f f

f v f v f

f v f f f

f v f f f

f v v v v

CONCLUSION: El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final para la mayoría de los valores es verdadera. Por lo tanto A dice la verdad y pertenece a la tribu de los “VERACES”

2. B dice “Si A y C son veraces, entonces B y C son veraces y A es mentiroso”   b ↔ (a ∧ c) → (b ∧ c ∧ ¬a) a v v v v f f f f

b v v f f v v f f

c v f v f v f v f

¬a f f f f v v v v

(a ∧ c) v f v f f f f f

 b ↔ (a ∧ c)

(b ∧ c) v f v f f f f f

→ f v v f v v f f

v f f v f f v v

(b ∧ c ∧ ¬a) f f f f f f f f

NOTA:  El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final es que más de la mitad de valores son verdaderos. Por lo tanto B dice la verdad y pertenece a la tribu de los “VERACES”

3. C dice “B es mentiroso y A o B es veraz”  c ↔ (¬b) ∧ (a ∨ b) a v V v v f f f f

b v v f f v v f f

C v f v f v f v f

¬b f f v v f f v v

c ↔ (¬b)

f v v f f v v f

∧ F V V F F V V F

(a ∨ b) v v v v v v v f

NOTA:  El cálculo proposicional nos muestra en la tabla de verdad, que el resultado final es que más de mitad de valores son falsos. Por lo tanto C miente y pertenece a la tribu de los “MENTIROSOS”

PUNTO 3

Determinar si los siguientes argumentos son lógicamente correctos: 

Si Juan es andaluz, entonces Juan es europeo. Juan es europeo. Por tanto, Juan es andaluz.  p= Juan es andaluz q= Juan es Europeo H1 = p→q

H2 = q C =p P→q

Aplicamos determinación de la implicación ¬p V q

la

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H2 = ¬p V T ¬p ≠ p CONCLUCION: El argumento lógico no es correcto 

Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la presión atmosférica no  permanece constante.  p= la temperatura es constante q= la presión es constante r= llueve h1 = p ∧ q → ¬r  h2 = p c = r → ¬q  p Exportación h1 P → (q → ¬r)

h2 modus ponens q → ¬r 

Expandir ¬q V ¬r Conmutatividad del V ¬r V ¬q Definición implicación r → ¬q

CONCLUCION: el argumento logico es correcto 

Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 10.  p = x es divisible por 10 q = x acaba en 0 h1 = ¬q h2 = p → q

c = ¬p  p → q

h1, modus tollens ¬p CONCLUCION: el argumento es correcto 

En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha me- jorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado e l fármaco B. En consecuencia,  podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.

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 p = usar A q = usar B r = el paciente mejora h1 = p ∧ ¬q → r  h2 = p V q C = ¬q → r

(p ∧ ¬q) → r  Destructiva P → (¬q→ r)

Adición (p v q) → (¬q→ r)

H2, modus pomens ¬q→ r = C

CONCLUCION: El argumento lógico es correcto PUNTO 4

Utilice un formalización en terminos de calculo de predicados para llegar a un a conclusión 4. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:  Puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.



 Puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones Hay un tigre.



 p= en esta habitación hay una dama q= en la otra hay un tigre r= en una de estas habitaciones hay una dama s= en una de estas habitaciones hay un tigre

Puerta 1= p ∧ q Esta opción si admite suposiciones tales como: ~p ∧ q, p ∧ ~q, ~p ∧ ~q del ellas la única verdadera es ~p & q Puerta 2= r ∧ s

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Esta opción no admite más suposiciones porque ~r y ~s son contradicciones y siempre es verdadero. El prisionero debería elegir la puerta 2. PUNTO 5

¿Es cierto que si F → G y F son satisfacerles, entonces G es satisfacerle? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo. Solución: Si es satisfactoria ya que al utilizar la regla de inferencia del modus poniendo nos muestra que G es satisfactoria. H1 = f → g

H2 = f C=g

PUNTO 6

En un texto de Lewis Carroll, el tío Jorge y el tío Jaime discuten acerca de la barbería del pueblo, atendida  por tres barberos: Alberto, Benito y Carlos. Los dos tíos aceptan las siguientes premisas:  Si Carlos no está en la barbería, entonces ocurrirá que si tampoco está Alberto, Benito tendrá que estar  para atender el establecimiento. 

 Si Alberto no está, tampoco estará Benito.



El tío Jorge concluye de todo esto que Carlos no puede estar ausente, mientras que el tío Jaime afirma que sólo puede concluirse que Carlos y Alberto no pueden estar ausentes a la vez. Decidir con el método de tabla de la verdad cuál de los dos tiene razón.  p V V V V F F F f

q V V F F V V F f

r V F V F V F V f

((¬r F V F V F V F v

∧

¬p) F F F F V V V v

q)

→

V V F F V V F F

∧

(¬p

→ 

F F F F V V V V

CONCLUSION: El tío Jaime tenía razón ya que los dos no pueden ausentarse a la vez, en cambio solo Carlos si puede ausentarse

¬q) F F V V F F V V

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PUNTO 7

Calcular una forma normal disjuntiva de cada una de las siguientes fór- mulas a. ¬ (p

(q→ r)).

¬ (p ∧ (¬ q ∨ r)) ¬ p ∨ ¬ (¬ q ∨ r) ¬ p ∨ (¬ ¬ q ∧ ¬ r) ¬ p ∨ (q ∧ ¬ r)

b. (p→q)

por 2 por 3 por 4 por 5

(q→p).

(¬ p ∨ q) ∨ (¬ q ∨ p) ¬ p ∨ q ∨ ¬ q ∨ p c. ( p ↔ q )→ r. (p → q) ∧ ( q → p) → r 

¬ (( ¬ p ∨ q ) (¬q ∨ p )) ∨ r (¬(¬p∨q)∨¬(¬q∨ p))∨r ((¬¬p∧¬q)∨(¬¬q∧¬p))∨r ((p∧¬q)∨(q∧¬p))∨r (((p∧¬q)∨q)∧((p∧¬q)∨¬p))∨r (((p∨q) ∧(¬q∨q))∧((p∨¬p)∧(¬q∨¬p)))∨r (((p∨q)∧(¬q∨q))∨r)∧(((p∨¬p)∧(¬q∨¬p))∨r) (((p∨q)∨r)∧((¬q∨q)∨r))∧(((p∨¬p)∨r)∧((¬q∨¬p)∨r)) (p∨q∨r)∧(¬q∨q∨r)∧(p∨¬p∨r)∧(¬q∨¬p∨r)

PUNTO 8 Formalizar el siguiente argumento: “Si una ciudad es vecina de otra, entonces la segunda es vecina de la  primera. Bogotá es vecina de Tunja. Por tanto, Tunja es vecina de Bogotá”

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SIMBOLIZACION P = Una ciudad es vecina de otra Q = la segunda es vecina de la primera R = Bogotá es vecina de Tunja V = Tunja es vecina de Bogotá



Si p entonces q y r por tanto v

(p → q) ∧ (r → v)

PUNTO 9

Realizar las siguientes operaciones entre números binarios. Es indispensable que realice el procedimiento y la explicación. No serán válidos resultados de la operación sin el correspondiente procesito y explicación de cómo se realizó la operación.

a. 1010101111010 + 10001010 - 10001101011 + 111110100101

 b. 1001010010 * 1101101

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c. 100101001101 / 001001

d. 11011010101011 –   010101011110

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PUNTO 10

Para el circuito de la figura 1 a. Halle la expresion algebraica que representa el circuito.  b. Realice la tabla de la verdad para el circuito. c. Simplifique la expreción utilizando los teoremas del alebra de Boole.

Solicion :

 +  + . ) + (.  +  + . ̿) a. La salida uno es: (.  +  + . ) + (.    +   ̅. ) +  .  +  +  + . ̅ +   ̅ . . . ̅ +   ̅ .  Salida dos es:(.  +  +  + . ̅ +   ̅ ... a

b





.  +  + . 

.  +  + . 

.  +  + . 

(.  +  + . ) + (.  +  + . ) + (.  +  + .  )

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

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