PSU 2017
MT - 034
ENSAYO MATEMÁTICA
1 V 7 1 A 4 3 0 T M S E C S N E
ENSAYO MT-034
INSTRUCCIONES 1.
Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas señal adas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.
2.
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.
Marque su respuesta en la la de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella.
Hágalo exclusivamente con lápiz de grato. 4.
NO se descuenta puntaje por respuestas erradas.
5.
Las guras que aparecen en la prueba prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
6.
Si lo desea, puede utilizar este folleto como borrador.
7.
Cuide la hoja de respuestas. respuestas . No la doble, ni la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas.
8.
2
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
Cpech El Preuniversitario de Chile
ENSAYO MT-034
INSTRUCCIONES 1.
Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas señal adas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.
2.
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.
Marque su respuesta en la la de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella.
Hágalo exclusivamente con lápiz de grato. 4.
NO se descuenta puntaje por respuestas erradas.
5.
Las guras que aparecen en la prueba prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
6.
Si lo desea, puede utilizar este folleto como borrador.
7.
Cuide la hoja de respuestas. respuestas . No la doble, ni la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas.
8.
2
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
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MATEMÁTICA
9.
Instrucciones para las preguntas Nº 7, 15, 25, 30, 50, 58, 69 y 79. En estas preguntas no se pide la solución al problema, sino que decida si con los datos proporcionados tanto en
el enunciado como en las armaciones (1) y (2), se puede llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción:
A) B) C)
D) E)
(1) por sí sola, si la armación (1) por sí sola es suciente para responder a la pregunta, pero la armación (2) por sí sola no lo es, (2) por sí sola, si la armación (2) por sí sola es suciente para responder a la pregunta, pero la armación (1) por sí sola no lo es, Ambas juntas, (1) y (2), si ambas armaciones (1) y (2) juntas son sucientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las armaciones por sí sola es suciente, Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suciente para responder a la pregunta, Se requiere información adicional, si ambas armaciones juntas son insucientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.
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3
ENSAYO MT-034
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.
Las guras que aparecen en el modelo son solo indicativas.
3.
Los grácos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.
4.
Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5.
En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6.
(f o g) (x) = f(g(x))
7.
Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación x2 + 1 = 0.
8.
Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su módulo.
9.
4
Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ∼ N(0, 1) y donde la parte sombreada de la gura representa a P(Z ≤ z ), entonces se verica que:
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z
P(Z ≤ z)
0,67
0,749
0,99
0,839
1,00
0,841
1,15
0,875
1,28
0,900
1,64
0,950
1,96
0,975
2,00
0,977
2,17
0,985
2,32
0,990
2,58
0,995
0
z
Z
MATEMÁTICA
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS <
es menor que
≅
es congruente con
>
es mayor que
∼
es semejante con
≤
es menor o igual a
⊥
es perpendicular a
≥
es mayor o igual a
≠
es distinto de
ángulo recto
//
es paralelo a
∠
ángulo
∈
pertenece a
log
logaritmo en base 10
AB
trazo AB
∅
conjunto vacío
|x|
valor absoluto de x
ln
logaritmo en base e
x!
factorial de x
∪
unión de conjuntos
∩
intersección de conjuntos
Ac
complemento del conjunto A
→
u
vector u
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5
ENSAYO MT-034
1.
2.
Si a = 4, b = – 5 y c = 3, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A)
a < c a c
B)
a < b c b
C)
c < b c b
D)
b < b c a
E)
b < a b a
Sea p = 6t, con p y t números enteros positivos. Entonces, es siempre correcto armar que
I) II) III)
p es múltiplo de 3. t es divisor de p. (p + t) es múltiplo de t.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
6
solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.
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MATEMÁTICA
3.
En la recta numérica de la gura adjunta se han situado los números racionales a y b. ¿Cuál de las siguientes armaciones es siempre verdadera?
– 1
A) B) C) D) E)
4.
a
b
1
b–1>a a+b≠0 a2 + b2 es un número racional positivo. (a b) es un número entero negativo. a2 – b2 < 0 •
7 – 2 – 3 : 2 – – 4 • = 6 3 5
(
)
( )
A) B) C) D) E)
5.
La expresión (813 + 813 + 813) equivale a A) B) C) D) E)
1,6 2,2 0,4 – 0,2 3,2
313 310 38 37 35
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7
ENSAYO MT-034
6.
Si el inverso multiplicativo de a es un número entero, ¿cuál de los siguientes valores NO puede corresponder al valor de a? A)
0,3
B)
0,2
C)
0,16
D)
1
E)
0,6
7.
Sean a y b dos números enteros positivos. Es posible armar que b es un divisor de a, si:
(1) (2)
(a + b) es un número entero positivo. a es el triple de b.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
8.
Sean p y q números enteros mayores que uno tales que log q p es 3 . ¿Cuál de las 5
siguientes expresiones es siempre verdadera?
8
3
A)
q 5 = p
B)
p3 = q5
C)
logp q = − 3
D)
logq 1 = 5
E)
pq = 3
5
(p) 5
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3
MATEMÁTICA
9.
Si p es un número real positivo, entonces el logaritmo en base 10 del triple del cuadrado de p es siempre igual a A) B) C) D) E)
10.
la suma entre el logaritmo en base 10 de 9 y el doble del logaritmo en base 10 de p. la suma entre el logaritmo en base 10 de 3 y el doble del logaritmo en base 10 de p. seis veces el logaritmo en base 10 de p. el doble del producto entre el logaritmo en base 10 de 3 y el logaritmo en base 10 de p. nueve veces el logaritmo en base 10 de p.
El lado de un cuadrado mide a unidades. ¿Para cuál de los siguientes valores de a se
cumple que el valor de la diagonal del cuadrado es un número entero? A) B) C) D) E)
�2 �3 �4 �5 �6
11. Sean a y b números reales positivos, con b menor que a. Entonces, la expresión (log (a2 – b2) – log (a 2 + 2ab + b2)) es siempre igual a
( ) (a + b)
B)
log a + b a − b a − b log
C)
log (2ab)
D)
log
E)
log (– 2ab – 2b2)
A)
( 3(aa −+ bb) )
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9
ENSAYO MT-034
12. ¿Para cuál(es) de los siguientes valores de a la expresión �log a es un número irracional?
13.
14.
10
I) II) III)
100 1.000 10.000
A) B) C) D) E)
Solo para II Solo para III Solo para I y para II Solo para I y para III Para ninguno de ellos. 3
Al ordenar de menor a mayor los números �7, �5 y 2, resulta 3
A)
2 < �5 < �7
B)
�5 < 2 < �7
C)
2 < �7 < �5
D)
3
E)
�5 < �7 < 2
3
3
�7 < 2 < �5 3
Si log 8 = m, entonces log 2�2, en terminos de m, es igual a A)
–m
B)
m 2
C)
1 m
D)
m 3
E)
2– m 3
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MATEMÁTICA
15.
Sean p, q, m y n números enteros mayores que 1. Se puede armar que m�p < �n q , si:
(1) (2)
n es el antecesor de m. p es el antecesor de q.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
16.
Sean los números complejos a = (3 + i) y b = (1 – 2i), con i la unidad imaginaria. El producto entre a y b es igual a A) B) C) D) E)
17.
4–i 1 – 5i 3 – 2i 5 – 5i 3 + 2i
Sea z un número complejo con parte real e imaginaria distintas de cero. ¿Cuál de las siguientes expresiones resulta siempre un número complejo con parte real igual a cero y parte imaginaria distinta de cero? A) B) C) D) E)
z–z z⋅z z2 z+z z – 1
18. Si p = x 2 + (m ‒ n)x ‒ mn, ¿cuál de las siguientes expresiones es factor de p? A) B) C) D) E)
x–m x+n x + mn x+m x – mn
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ENSAYO MT-034
19.
Un estanque vacío de p litros de capacidad tarda a minutos en llenarse cuando se le echa
agua con una manguera de ujo constante. Si un segundo estanque, idéntico al anterior, ya tiene m litros de agua en su interior y se le comienza a echar agua con la misma manguera, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el tiempo x, en minutos, que tardará este segundo estanque en llenarse? A) B) C) D) E) 20.
Si p = (a + b) 2 y q = a2 – ab + b2, entonces (p • q) es siempre igual a A) B) C) D) E)
21.
(a + b)4 (a + b)(a3 + b3) a4 + b4 (a – b)(a3 + b3) (a – b) 4
Un número m excede en 4 unidades a p, y la suma entre el doble de p y 3 es igual a m. El sistema de ecuaciones que permite encontrar los valores de m y p es
A) B) C) D) E)
12
px = ap – m ax = p – m mx = ap px = am px = ap – am
m–4=p 4m = p m–4=p m+4=p m+4=p
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; ; ; ; ;
2p + 3 = m 2p + 3 = m 2(p + 3) = m 2(p + 3) = m 2p + 3 = m
MATEMÁTICA
22. Si (p3m – pm3) ≠ 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre equivalente a p2m ‒ p3 ? p3m ‒ pm3 A) B) C) D) E)
p m2 ‒ pm
‒ 1 m 1 pm
‒ p m2 + pm
‒ p m
23. El ancho de un terreno rectangular es 1 metro menor que su largo. Si el área de dicho terreno es 42 metros cuadrados, entonces el perímetro del terreno, en metros, es
A) B) C) D) E)
24.
48 36 34 28 26
Sea la ecuación x 2 + kx + 5 = 0, con k un número real y x la incógnita. ¿Para cuál de los siguientes valores de k se tiene que las raíces de la ecuación son complejas, con parte imaginaria distinta de cero? A) B) C) D) E)
− 2�5 − 3�5 2�5 �5 3�5
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ENSAYO MT-034
25. Sean a, b y c números reales. Se puede determinar que la ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene soluciones reales y distintas para x, si: (1) (2)
a=1 b • c = – 81
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
26. Sean a y b dos números enteros tales que el doble del antecesor de a es mayor que el triple del sucesor de b. Entonces, el intervalo que contiene a todos los valores posibles de a es
A)
3b + 2 , + ∞ 2
B)
3b + 5 ,+∞ 2
C)
3b + 1 , +∞ 2
D)
3b ,+∞ 2
E)
3b + 6 ,+∞ 2
27. ¿Cuál es el mayor número entero x para el cual se cumple que la suma entre el triple de x y el sucesor de x es menor que la diferencia entre el antecesor de x y 11, en ese orden? A) B) C) D) E)
14
–3 –4 –5 –2 –6
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MATEMÁTICA
28.
Sea la función real f(x) = m, con m un número real positivo. Si m • f(5) = 5, entonces f(m) es igual a A) B) C) D) E)
29.
1 �5 25 5 un valor distinto de los anteriores.
¿Cuál de las siguientes funciones en los reales está mejor representada por la gráca de la gura adjunta? y
A) B) C) D) E)
f(x) = 2x + 2 g(x) = x + 2 h(x) = – x + 2 m(x) = – 2x + 2 n(x) = – 2x + 1
2
1
x
30. Sean f y g dos funciones reales con comportamiento lineal. Se puede determinar la expresión que representa a (g o f)(x), si: (1) (2)
g(x) = 6x – 5 f(3) = 7
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
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ENSAYO MT-034
31.
¿Cuál de las siguientes funciones reales está mejor representada en el gráco adjunto? y 2 3x
A)
f(x) =
B)
g(x) = 3 2x
C)
x h(x) = 2
D)
j(x) =
E)
m(x) =
•
2 x
3
( ) 2 3
x
3 2x
32. Sean f y g funciones reales, tales que f(x) = �32 − x2 y g(x) = �2x2 − 16 . ¿Para cuál de los siguientes valores de x las grácas de f y g se intersectan? A) B) C) D) E)
16
2�3 –4 4�3 16 Para ninguno de los valores anteriores.
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MATEMÁTICA
33.
Un estudio determinó que el tamaño de la población de una cierta especie animal tiene 450.000
, donde t es el un comportamiento logarítmico dado por la función p(t) = log 800 t tiempo en años desde que comienza el estudio, con t un número entero positivo, y p(t) es
el tamaño de la población en función del tiempo. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II)
La función p es creciente. El tamaño de la población es de 900.000 ejemplares al cabo de 8 años de comenzado el estudio.
III)
Si el comportamiento mantiene su tendencia, la especie dejaría de existir dentro de ochocientos años.
A) B) C) D) E) 34.
Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.
Sea f una función real tal que f(x) = ‒ x 2 ‒ 2x + 15. Si se realiza el gráco asociado a f, ¿cuál de los siguientes puntos corresponde a una de las intersecciones de la parábola con el eje
X? A) B) C) D) E) 35.
(15, 0) (3, 0) (5, 0) (– 3, 0) El gráco de f NO intersecta al eje X.
Se dene la función real f(x) = 2x(x ‒ 3) + kx 2 + 5. Para que la función tenga un valor máximo, k debe ser A) B) C) D) E)
menor que – 2. igual a – 2. igual a 2. mayor que – 2. igual a 0.
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ENSAYO MT-034
36.
Sea f una función biyectiva denida por f(x) = 3x − 4 . ¿Cuál de las siguientes opciones 5
representa a la función inversa de f?
37.
5x + 4 3
A)
g(x) =
B)
h(x) = 4x + 5
C)
j(x) =
D)
m(x) =
5x − 4 3
E)
n(x) =
3x + 4 3
3
4x − 5 3
En la gura adjunta, ADCB es un trapecio isósceles, con E y F en el segmento AB. ¿Cuál de las siguientes armaciones es FALSA? A
A) AD ≅ BC B) DC ≅ EF C) ∠ ABC ≅ ∠ CDA D) ∠ DEF ≅ ∠ FCD E) AE ≅ FB 38.
D
F B
C
Si al punto M se le aplica una simetría axial con respecto al eje X, se obtiene el punto M’(5, – 2). ¿Cuáles son las coordenadas de M? A) B) C) D) E)
18
E
(5, 2) (2, – 5) (– 2, 5) (– 5, 2) (– 5, – 2)
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MATEMÁTICA
39.
Si M(a, b) y N(p, q) son dos puntos en el plano cartesiano, entonces el punto medio entre M y N es
A)
a ‒ b , p ‒ q 2 2
B)
a ‒ p , b ‒ q 2 2
C)
a +b , p +q 2 2
D)
a +p , b +q 2 2
E) 40.
ninguno de los puntos anteriores.
En la gura adjunta, para transformar el punto P en el punto Q, se puede aplicar I) II) III)
una simetría axial respecto al eje Y. una traslación según el vector ( – 6, 0). una rotación de 90°, en sentido antihorario, con centro en el origen. y
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 41.
solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.
Q
– 3
P
3
3
x
Si al punto (a, 5) se le aplica un vector de traslación igual a (8, 2b – 3), entonces se obtiene el punto (3a + 2, – 8). El valor de (a + b) es A) B) C) D) E)
8 2 –2 –5 3
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ENSAYO MT-034
42.
Un punto cualquiera del plano cartesiano se rota en 30º con respecto al origen. Si se realiza 63 veces dicha rotación, entonces el punto resultante es el mismo que se obtiene al rotar el punto inicial en
A) B) C) D) E) 43.
60° 90° 150° 210° 270°
En la gura adjunta, los segmentos AE y CD se intersectan en B. Si AC // DE y AC : DE = 3 : 2, entonces ¿cuál es la razón entre el perímetro del triángulo ABC y el perímetro del triángulo EBD? C A) B) C) D) E)
2:1 3:2 5:2 9:4 9:5
B
A
E
D
44. El segmento AB es dividido interiormente por el punto C, tal que AC = 12 cm y CB = 18 cm. Entonces, el punto C divide al segmento AB en la razón A) B) C) D) E) 45.
2:3 2:5 3:5 1:2 1:3
En la gura adjunta, los puntos P, Q y R pertenecen a la circunferencia de centro O. Si el ángulo OPR mide el doble del ángulo RQO, entonces el arco RP mide A) B) C) D) E)
80º 90º 100º 120º 140º
R 60º O P
20
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Q
MATEMÁTICA
46. En el triángulo ABC de la gura adjunta, el punto D pertenece al segmento AB. Si AC =10 y BC = 5, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
CD = 2�5 AB = 5�5 AD = 4�5
A) B) C) D) E)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
C
A
B
D
47. En la gura adjunta, las cuerdas PR y SQ se intersectan en T. Si PT = 2,4 cm, ST = 1,5 cm y TQ = 2 cm, ¿cuánto mide el segmento TR? A) B) C) D) E)
S
3,15 cm 1,25 cm 1,1 cm 3,2 cm 1,8 cm
R T
Q
P
48. En la gura adjunta se muestra un triángulo ABC, tangente en P a la circunferencia de diámetro CP. Si Q, C y R son puntos de la circunferencia, entonces el arco RP mide A) B) C) D) E)
C
100° 50° 80° 130° 90°
R Q
50º A
P
B
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ENSAYO MT-034
49. En el triángulo ABC de la gura adjunta, D está en AB y a 3 cm del vértice B. Es correcto armar que I) II) III)
si BC = 6 cm, entonces AB = 12 cm. si CD = 3 cm, entonces AD = CD. si CA = �10 cm, entonces AB = 5 cm.
C
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
solo I. solo II. solo III. solo I y II. I, II y III.
A
D
B
50. En la gura adjunta, los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia. Se puede determinar la medida del arco CA, si: C
A
22
B
(1) (2)
El arco BC mide un tercio del arco CA. El segmento AB es diámetro de la circunferencia.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
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MATEMÁTICA
51.
En la gura adjunta, la recta P es perpendicular a la recta M. Si P y M se intersectan en
(2, 23 ), entonces el valor de r es A)
– 14 9
B)
– 4 9
C)
– 7 3
D)
– 8 3
E)
– 2 3
y M
P
2
x
3
r
52. ¿Cuál de las siguientes parejas de ecuaciones de la recta está mejor representada por el gráco de la gura adjunta? A) B) C) D) E)
; x + 3y = 13 x – y = 2 x – y = – 2 ; 4x + 3y = 13 2x + 6y = 13 ; x – y = – 2 x + 3y = 13 ; x – y = – 2 x – 3y = 13 ; x + 3y = 2
y 3 2 4 –1
1
x
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ENSAYO MT-034
53. En la gura adjunta, la semicircunferencia de centro A es resultado de una homotecia aplicada a la semicircunferencia de centro B. Si las áreas de las semicircunferencias son 32π y 8π unidades cuadradas, respectivamente, entonces
R Q
P
B
A
S T I) II) III)
la razón de homotecia es 4. el segmento PQ y el segmento QR tienen la misma medida. la longitud del arco TR mide el doble que la longitud del arco SQ.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 54.
Sean los puntos P(− 2�2, 3�3 ) y Q(�2, 2�3 ) en el plano cartesiano. ¿Cuál es la longitud del segmento PQ? A) B) C) D) E)
24
solo I. solo III. solo I y III. solo II y III. I, II y III.
�21 �5 �15 3 3�15
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MATEMÁTICA
55. Sean las rectas L1: – 3x – y + 6 = 0 y L 2: – 2x + y = 1. ¿Cuál de las siguientes guras podría representar las grácas de estas rectas en el plano? A)
B)
y
C)
y
y
3
3 1
1
x
D)
1
E)
y
x
y
3
3
−1
3
x
x
−1
x
56. En la gura adjunta se muestra un cuadrado ubicado en el plano cartesiano, con uno de sus lados sobre el eje X y dos de sus vértices en los puntos A y B. La ecuación de la recta que contiene a la diagonal AB es
A) B) C) D) E)
y=–x–4 y=x–6 y=–x+4 y=–x+6 y=x+4
y
5
A
1
B
x
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ENSAYO MT-034
57.
El punto A se mueve en el espacio de modo que la abscisa de A se disminuye en tres unidades, su ordenada aumenta en dos unidades y la cota disminuye en seis unidades, obteniéndose el punto B. La distancia entre el punto medio del segmento AB y B es
A) B) C) D) E)
58.
59.
7 unidades. 11 unidades. 5,5 unidades. 3,5 unidades. 5 unidades.
Se puede determinar el volumen de un cilindro, si: (1) (2)
El área de su base es 40 cm 2. Su altura es igual a la diagonal de un rectángulo de lados 6 cm y 8 cm.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
La tabla adjunta muestra los resultados de una prueba rendida por un grupo de alumnos en
una universidad. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
26
La frecuencia porcentual acumulada hasta el tercer intervalo es de 75%. Las personas del primer intervalo obtuvieron en promedio 5,5 puntos. En el segundo intervalo, todas las personas obtuvieron notas distintas. Puntaje Frecuencia Solo I [1, 10] 4 Solo II [11, 20] 10 Solo I y II [21, 30] 6 Solo II y III [31, 40] 5 Ninguna de ellas.
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MATEMÁTICA
60. Sea un conjunto formado por todos los números enteros del 1 al 40, ambos incluidos, sin que ninguno se repita. Si dicho conjunto se representa en una tabla, dividiéndolo en cinco intervalos de igual amplitud, entonces el tercer decil del conjunto se encuentra en el
A) B) C) D) E) 61.
cuarto intervalo. primer intervalo. segundo intervalo. quinto intervalo. tercer intervalo.
La tabla adjunta muestra datos agrupados en intervalos. Si a y k son números enteros positivos, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) siempre verdadera(s)? Datos [a, a + 2[ [a + 2, a + 4[ [a + 4, a + 6[ [a + 6, a + 8[ [a + 8, a + 10]
Frecuencia k k k k k
I) II) III)
El rango de la variable es 10. El promedio obtenido a partir de la marca de clase es (a + 5). La mediana se encuentra en el intervalo [a + 4, a + 6[.
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
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27
ENSAYO MT-034
62.
Las tablas adjuntas muestran las notas obtenidas por dos cursos en una prueba de matemática, siendo el sistema de evaluación con notas desde 3 hasta 7, con un decimal.
Respecto a la información entregada, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
Las medianas de ambos cursos se ubican en el mismo intervalo. En el 4º A, la mediana se encuentra en el intervalo modal. La media del 4º B, obtenida a partir de la marca de clase, es mayor que la media del 4º A, obtenida a partir de la marca de clase. Notas 4º A [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7]
A) B) C) D) E)
Número de estudiantes 2 7 12 7
Notas 4º B [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7]
Número de estudiantes 1 14 9 4
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III
63. Se tiene una población compuesta por los elementos {a, b, c, d, e, f, g, h}. Si se extraen todas las posibles muestras, sin orden y sin repetición, de
I) II) III)
tamaño 4, se obtienen 70 muestras distintas. tamaño 3, se obtienen igual cantidad de muestras que si fuesen muestras de tamaño 5. tamaño 1, se obtienen 8 muestras distintas.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
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solo II. solo III. solo II y III. I, II y III. ninguna de ellas.
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MATEMÁTICA
64. El gráco adjunto muestra el resultado de una encuesta que se aplicó para conocer las edades de las personas que viven en cierto barrio. Si el intervalo [30, 45[ agrupa a 20 personas y el intervalo [15, 30[ agrupa a 30 personas, entonces NO es correcto armar que el intervalo [60, 75] años
[0, 15[ años
12,5% [45, 60[ años 15%
25% [15, 30[ años
[30, 45[ años
A) B) C) D) E)
[45, 60[ está compuesto por 18 personas. [0, 15[ agrupa a más personas que cualquier otro intervalo. [15, 30[ agrupa al doble de personas que el [60, 75]. [60, 75] está compuesto de 12 personas. [30, 45[ contiene a la sexta parte de las personas del barrio.
65. La varianza del conjunto {1, 3, 5, 7, 9} es A) B) C) D) E)
8 6 5 4 2
66. ¿En cuál(es) de las siguientes situaciones siempre se cumple que la desviación estándar, la varianza y el promedio son iguales? I) II) III)
Cuatro números enteros positivos consecutivos. Tres números pares consecutivos. Cuatro números impares consecutivos.
A) B) C) D) E)
Solo en I Solo en II Solo en III Solo en II y en III En ninguna de ellas.
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ENSAYO MT-034
67.
La desviación estándar de la tabla adjunta, obtenida a partir de la marca de clase, es
A) B) C) D) E) 68.
20 10 4�6 14 4�13
Intervalo [10, 30[ [30, 50]
Frecuencia porcentual
60% 40%
Un estudio estadístico respecto al tamaño de los niños recién nacidos en un determinado hospital muestra que esta variable se distribuye de manera normal con media μ y
desviación estándar de 4 cm. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño 64 y promedio 51 cm, ¿cuál es el intervalo que contiene a la media poblacional, con un nivel de conanza del 95%? A) B) C) D) E)
[49,71; 52,29] [50,02; 51,98] [50,51; 51,49] [50,18; 51,82] [49,84; 52,16]
69. Los resultados de un experimento se distribuyen de manera normal tipicada. Se puede determinar el porcentaje de los datos que son menores que a, con a perteneciente a los reales positivos, si se conoce:
30
(1) (2)
El porcentaje de los datos que son mayores que – a. El porcentaje de los datos que son mayores que a.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
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MATEMÁTICA
70. Una profesora cuenta con diez preguntas diferentes para crear una prueba de seis preguntas. Si una pregunta no puede repetirse en una prueba, ¿cuántas pruebas podría crear la profesora sin considerar el orden que tengan las preguntas dentro de la prueba? A)
10! 4! 6! •
B)
10! 4!
C)
10! 6!
D)
106
E)
6!
71. Seis niños juegan a extraer por turnos pelotas de un cesto, el cual contiene dos pelotas azules, tres pelotas verdes y una pelota blanca. El juego consiste en sacar una pelota cada uno y registrar el color obtenido según el orden en el que salió, para luego devolver
las pelotas al cesto y repetir el proceso anterior. ¿Cuántas secuencias distintas de colores pueden haber en el registro? A) B) C) D) E)
6 120 720 20 60
72. Claudio le dice a su amigo Francisco que si reúne a 10.000 personas y todas lanzan al mismo tiempo una moneda, la mitad de ellas obtendrá cara y la otra mitad de ellas
obtendrá sello. Francisco le dice que no tiene por qué salir la misma cantidad de caras o sellos, sino que se espera que aproximadamente en el 50% de los lanzamientos se obtenga una cara y en el otro 50% se obtenga un sello. Según la situación anterior, y de acuerdo a la Ley de los Grandes Números, es correcto armar que A) B) C) D) E)
Claudio tiene la razón y Francisco está equivocado. Claudio y Francisco están equivocados. Claudio está equivocado y Francisco tiene la razón. si en 5.000 de los resultados se obtiene cara, el resto de ellos serán solo sellos. lo más probable es que se obtengan más caras que sellos.
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ENSAYO MT-034
73.
74.
La tabla adjunta muestra información acerca de la cantidad de hombres y mujeres que hay en tres cursos distintos de un colegio. Si de todos estos alumnos se elige uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y esté en 2º medio? A)
1 2
B)
20 53
CURSO 1º MEDIO 2º MEDIO 3º MEDIO
C)
15 53
D)
10 53
E)
15 106
MUJERES
HOMBRES
20
15
15
20
18
18
Una urna contiene cuatro bolitas rojas, tres verdes, dos naranjas, siete blancas y una azul,
todas de la misma forma y tamaño. Si se extraen al azar tres bolitas, una tras otra y sin reposición, entonces la probabilidad de extraer, en ese orden, una bolita azul, una bolita roja y una bolita naranja es
32
A)
1 2 4 + + 17 17 17
B)
1 17
C)
1 2 4 + + 17 16 15
D)
1 17
•
4 16
•
2 15
E)
1 17
•
1 16
•
1 15
•
4 17
•
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2 17
MATEMÁTICA
75. Se lanza un dado común y se dene la variable aleatoria X como el sucesor del resultado del dado si este es menor que 4, y como el antecesor del resultado del dado si este es
mayor que 3. Entonces, es correcto armar que I)
el recorrido de X tiene seis elementos.
II)
P(X = 4) =
III)
P(X = 2) = P(X = 5)
1 6
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 76.
Sea X una variable aleatoria denida en el conjunto {2, 4, 6, 8}, con función de probabilidad P y función de distribución de probabilidad acumulada F. Si los valores de F en función de X se muestran en la tabla adjunta, entonces el valor de P(6) es A) B) C) D) E)
77.
solo II. solo III. solo I y III. solo II y III. I, II y III.
0,25 0,4 0,22 0,78 0,18
X 2 4 6 8
F(x) 0,35 0,60 0,78 1
Una variable aleatoria X se dene como el número que se obtiene al lanzar un dado de x diez caras, las cuales contienen algún número del conjunto {1, 2, 3, 4}. Si P(X = x) = 10 , entonces el valor esperado de X es
A) B) C) D) E)
2 2,5 3 3,2 3,5
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33
ENSAYO DIAGNÓSTICO MT-034
78. Sea X una variable aleatoria discreta denida en el conjunto {3, 5, 7}, cuya función de probabilidad se modela mediante el gráco adjunto. Entonces, el valor de a es f(x) 0,7 0,2 a 3
A) B) C) D) E)
5
7
x
0,2 0,3 0,15 0,1 0,01
79. Sea X una variable aleatoria discreta, denida en el conjunto {2, 4, 5, 6, 7}. Se puede determinar el valor de P(X = 5), si: 2
(1)
P(X ≤ 4) = 7
(2)
P(X ≤ 6) =
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
8 9
80. Sea X una variable aleatoria que se modela dentro de una población según una distribución normal de media 3. Si se cumple que P(X > 2) = 0,76, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger al azar un dato de la población el valor de X se encuentre entre 2 y 4? A) B) C) D) E)
34
0,52 0,72 0,26 0,38 0,24
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