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Investigación de las Operaciones II Ing. Industrial
Unidad 4: Cadenas de Markov 20 de Julio del 2016
Luis Fernando Cárdenas Puga M.C.JesúsFrancisco Tejeda Castrejón
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Índice Introducción…………………………………………………………………….…......…..3 4.1 Introducción a las cadenas de Markov……………………………………...……4 4.2 Probabilidad de transiciones estacionarias de n pasos…………………..…..6 4.3 Estado estable………………………………………………………………………...9 4.4 Estados absorbentes………………………………………………………………..1 !onclusión………………………………………………………………….….….…..….14 "ibliogra#$as…………………………………………………………...………………….14
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Introdcción %ndr&i %ndr&'evic( M)rkov *+,-/ 0 +,-/ 0/ 5 078 *14 de :unio de1;<6 = 2 de :ulio de 1922 #ue un >ate>)tico ruso conocido por sus traba:os en la teor$a de los n?>eros ' la teor$a de probabilidades. M)rkov nació en @iaA)nB @usia. %ntes de los 1 aCos su padreB un #uncionario estatalB #ue trasladado a Dan Petersburgo donde %ndr&i entró a estudiar en un instituto de la ciudad. esde el principio >ostró cierto talento para las >ate>)ticas ' cuando se graduó en 1;F4 'a conoc$a a varios >ate>)ticos de la Gniversidad de Dan PetersburgoB donde ingresó tras su graduación. En la Gniversidad #ue disc$pulo de !(eb's(ov ' tras realiAar sus tesis de >aestr$a ' doctoradoB en 1;;6 accedió co>o ad:unto a la %cade>ia de !iencias de Dan Petersburgo a propuesta del propio !(eb's(ov. ieA aCos despu&s M)rkov (ab$a ganado el puesto de acad&>ico regular. esde1;;B tras de#ender su tesis de >aestr$aB M)rkov i>partió clases en la Gniversidad 'B cuando el propio !(eb's(ov de:ó la Gniversidad tres aCos despu&sB #ue M)rkov Huien le sustitu'ó en los cursos de teor$a de la probabilidad. En 19icaB M)rkov se retiró de#initiva>ente de la GniversidadB aunHue siguió i>partiendo algunos cursos sobre teor$a de la probabilidad. % parte de su per#il acad&>icoB %ndr&i M)rkov #ue un convencido activista pol$tico. De opuso a los privilegios de la nobleAa Aarista ' llegó a rec(aAar las condecoraciones del propio Aar en protesta por algunas decisiones pol$ticas relacionadas con la %cade>ia de !iencias. asta tal punto llegó su i>plicación en la pol$tica Hue llegó a ser conocido con el sobreno>bre de Jel acad&>ico >ilitanteJ.
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En las cadenas de Markov considera ciertos puntos discretos en el tie>po para to>a valores de la variable aleatoria Hue caracteriAa al siste>a. Entonces las cadenas de Markov se usan para estudiar ciertos co>porta>ientos de largo ' cortos plaAos de siste>as. Kos estados en el tie>po representan situación eL(austiva ' >utua>ente eLclu'entes del siste>a en un tie>po espec$#ico. %de>)s el n?>ero de estado puede ser #inito o in#inito. Por lo general una cadena de Markov describe el co>porta>iento de transición de un siste>a en intervalos de tie>po igual>ente espaciados. Din e>bargoB eListen situaciones donde los espacia>ientos te>porales dependen de las caracter$sticas del siste>a ' por elloB pueden no ser iguales entre s$. Kas cadenas de Markov se pueden aplicar en )reas co>o la educaciónB co>ercialiAaciónB servicios de saludB #inanAasB contabilidad ' producción.
4.! Introdcción a las cadenas de Markov Ka cadena de Markov recibe su no>bre del >ate>)tico ruso %ndrei Markov Hue desarrollo el >&todo en 19FB per>ite encontrar la probabilidad de Hue un siste>a se encuentre en un estado en particular en un >o>ento dado. %lgo >)s i>portante a?nB es Hue per>ite encontrar el pro>edio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. !on esta in#or>ación se puede predecir el co>porta>iento del siste>a a trav&s del tie>po. % veces nos interesa saber có>o ca>bia una variable aleatoria a trav&s del tie>po. Por e:e>ploB desear$a>os conocer có>o evoluciona el precio de las acciones de una e>presa en el >ercado a trav&s del tie>po. Ka cadena de >arkov es una serie de eventosB en la cual la probabilidad de Hue ocurra un evento depende del evento in>ediato anterior. En e#ectoB las cadenas de este tipo tienen >e>oria. @ecuerdanN el ?lti>o evento ' esto condiciona las posibilidades de los eventos #uturos. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientesB co>o tirar una >oneda al aire o un dado. En los negociosB las cadenas de Markov se (an utiliAado para analiAar los patrones de co>pra de los deudores >orososB para planear las necesidades de personal ' para analiAar el ree>plaAo de eHuipo. En >ate>)ticasB se de#ine co>o un proceso estoc)stico discreto Hue cu>ple con la Propiedad de MarkovB es decirB si se conoce la (istoria del siste>a (asta su instante actualB su estado presente resu>e toda la in#or>ación relevante para describir en probabilidad su estado #uturo.
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Gna cadena de Markov es una serie de eventosB en la cual la probabilidad de Hue ocurra un evento depende del evento in>ediato anterior. En e#ectoB las cadenas de este tipo tienen >e>oria. J @ecuerdanJ el ?lti>o evento ' esto condiciona las posibilidades de los eventos #uturos. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientesB co>o tirar una >oneda al aire o un dado.
En la #igura 4.1.1 se >uestra el proceso para #or>ular una cadena de Markov. El generador de Markov produce uno de n eventos posiblesB E: B donde : O 1B 2B . . . B nB a intervalos discretos de tie>po *Hue no tiene Hue ser iguales . Kas probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos depende del estado del generador. Este estado se describe por el ?lti>o evento generado. En la #igura 4.1.1B el ?lti>o evento generado #ue E: B de >anera Hue el generador se encuentra en el estado M: .
Ka probabilidad de Hue Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional P * Ek Q M: . Esto se lla>a probabilidad de transición del estado M: al estado Ek. Para describir co>pleta>ente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual ' todas las probabilidades de transición.
Probabilidades de transición.
Gna #or>a de describir una cadena de Markov es con un diagra>a de estadosB co>o el Hue se >uestra en la #igura 4.1.2. En &sta se ilustra un siste>a de Markov
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con cuatro estados posibles M1B M2 B M3 ' M4 . Ka probabilidad condicional o de transición de >overse de un estado a otro se indica en el diagra>a
Rtro >&todo para eL(ibir las probabilidades de transición es usar una >atriA de transición. . Ka >atriA de transición para el e:e>plo del diagra>a de estados se >uestra en la tabla 4.1.1 .
Rtro >&todo para eL(ibir las probabilidades de transición es usar una >atriA de transición. . Para n O B 1B 2B ....
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El super$ndice n no se escribe cuando n O 1.
4." #ro$a$ilidad de transiciones estacionarias de n pasos Kas ecuaciones de !(ap>an=Sol>ogorov proporcionan un >&todo para calcular estas probabilidades de transición de n pasos Estas ecuaciones si>ple>ente seCalan Hue al ir de un estado i al estado : en n pasosB el proceso estar) en alg?n estado k despu&s de eLacta>ente > * >enor Hue n pasos. %s$B Es solo las probabilidad condicional de HueB si se co>ienAa en el estado iB el proceso va'a al estado k despues de > pasos ' despu&s al estado : en n= > pasos.
Kos casos especiales de >O1 ' >On=1 conducen a las eLpresiones Para toda iB :B ' n de lo cual resulta Hue las probabilidades de transición de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de >anera recursiva. Para nO2B estas eLpresiones se vuelven Tote Hue las
son los ele>entos de la >atriA P*2 B pero ta>bi&n debe de
observarse Hue estos ele>entosB se obtienen >ultiplicando la >atriA de transición de un paso por s$ >is>aU esto es B P *2 O P V P O P 2 . En t&r>inos >)s generalesB se conclu'e Hue la >atriA de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la eLpresión P*n O P V P .... P O P n O PPn=1 O Pn=1 P.
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EntoncesB la >atriA de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la n=&si>a potencia de la >atriA de transición de un paso. Para valores no >u' grandes de nB la >atriA de transición de n pasos se puede calcular en la #or>a Hue se acaba de describirB pero cuando n es grandeB tales c)lculos resultan tediosos 'B >)s a?nB los errores de redondeo pueden causar ineLactitudes. Ejemplo :
Gna tienda de c)>aras tiene en al>ac&n un >odelo especial de c)>ara Hue se puede ordenar cada se>ana. Dean 1B 2B ... las de>andas de esta c)>ara durante la pri>eraB segundaB ... B se>anaB respectiva>ente. De supone Hue las i son variables aleatorias independientes e id&ntica>ente distribuidas Hue tienen una distribución de probabilidad conocida. Dea W el n?>ero de c)>aras Hue se tiene en el >o>ento de iniciar el procesoB W 1 el n?>ero de c)>aras Hue se tienen al #inal de la se>ana unoB W 2 el n?>ero de c)>aras al #inal de la se>ana dosB etc. Duponga Hue W O 3 . El s)bado en la noc(e la tienda (ace un pedido Hue le entregan el lunes en el >o>ento de abrir la tienda. Ka tienda (ace un pedido Hue le entregan el lunes en el >o>ento de abrir la tienda. Ka tienda usa la siguiente pol$tica * sB D1 para ordenar si el n?>ero de c)>aras en inventario al #inal de la se>ana es >enor Hue s O1 *no (a' c)>aras en la tiendaB ordenar *(asta DO3. e otra >aneraB no coloca la orden *si se cuenta con una o >)s c)>aras en el al>ac&nB no se (ace el pedido. De supone Hue las ventas se pierden cuando la de>anda eLcede el inventario. EntoncesB XW1Y para t O B 1B .. es un proceso estoc)stico de la #or>a Hue se acaba de describir. Kos estados posibles del proceso son los enteros B 1B 2B 3 Hue representan el n?>ero posible de c)>aras en inventario al #inal de la se>ana.
%s$B dado Hue tiene una c)>ara al #inal de una se>anaB la probabilidad de Hue no (a'a c)>aras en inventario dos se>anas despu&s es .2;3U es decirB e igual >aneraB dado Hue se tienen dos c)>aras al #inal de una se>anaB la
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probabilidad de Hue (a'a tres c)>aras en el al>ac&n dos se>anas despu&s es .9FU esto esB Ka >atriA de transición de cuatro pasos ta>bi&n se puede obtener de la siguiente >anera P*4 O P4 O P*2 V P*2 %s$B dado Hue Hueda una c)>ara al #inal de una se>anaB .2;2 es la probabilidad de Hue no (a'a c)>aras en inventario 4 se>anas >)s tardeU es decirB e igual >aneraB dado Hue Huedan dos c)>aras en el al>ac&n #inal de una se>anaB se tiene una probabilidad de .1F1 de Hue (a'a tres c)>aras en el al>ac&n 4 se>anas despu&sU esto esB
4.% &stado esta$le Zeore>a Dea P la >atriA de transición de una cadena de M estados . EListe entonces un vector
tal Hue
De establece Hue para cualHuier estado inicial i B
.
El vector a >enudo se lla>a distribución de estado estableB o ta>bi&n distribución de eHuilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cu'a >atriA de transición es PB seg?n el teore>aB para n grande ' para toda iB
*1
!o>o Pi: *n [ 1 O * renglón i de Pn *colu>na : de PB pode>os escribir
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*2
E:e>plo Duponga Hue toda la industria de re#rescos produce dos colas. !uando una persona (a co>prado la cola 1B (a' una probabilidad de 9 \ de Hue su siguiente co>pra se de cola 1. Di una persona co>pró cola 2B (a' un ; \ de probabilidades Hue su próLi>a co>pra sea de cola 2.
Entonces %l ree>plaAar la segunda ecuación por la condición
B
obtene>os el siste>a
%l despe:ar resulta Hue Por lo tantoB despu&s de largo tie>poB (a' probabilidad 2Q3 de Hue una persona dada co>pre cola 1 ' 1Q3 de probabilidad de Hue una persona co>pre cola 2.
4.4 &stados a$sor$entes De dice Hue un estado es absorbente si es cero la probabilidad de (acer una transición #uera de ese estado. Por tantoB una veA Hue el siste>a (ace una transición (acia un estado absorbenteB per>anece en el sie>pre
M%Z@I] ^GT%METZ%K
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Ka >atriA #unda>ental es >u' ?til para el an)lisis ' solución de situaciones en las cuales aparecen estados absorbentes.
Ka >etodolog$a para obtener la >atriA #unda>ental es la siguiente 1. Rbtener la >atriA de transición en la #or>a usualB inclu'endo los estados absorbentes.
2. Identi#icar de la >atriA de transición los renglones correspondientes a la >atriA absorbente
3. e lo Hue (a Huedado de la >atriA de transición en el paso anteriorB dividirlo en dos partes T Hue ser) la parte no absorbente ' % Hue contendr) los estados absorbentes
4.
Rbtene>os la >atriA G >ediante la siguiente #ór>ula
GOI=T onde I es la >atriA identidad.
<.
^inal>enteB se obtiene la >atriA identidad de la siguiente >anera
WOG=1
onde W representa la inversa de GB la cual se obtiene por algunos >&todos co>o el _auss= `ordan.
ea>os el siguiente e:e>plo en el cual eLplicare>os algunos conceptos i>portantes
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Gna e>presa e>plea a tres tipos de ingenieros principiantesB con eLperiencia ' socios. urante un aCo deter>inado (a' una probabilidad de .1< Hue un ingeniero principiante sea ascendido a ingeniero con eLperiencia ' una probabilidad de .< Hue de:e la e>presa sin ser socio. Za>bi&n (a' una probabilidad de .2 Hue un ingeniero con eLperiencia sea ascendido a socio ' una probabilidad de .1 Hue de:e la e>presa sin ser socio. Za>bi&n (a' una probabilidad de .< de Hue un socio de:e la e>presa. eter>ine a !u)l es la duración pro>edio de un ingeniero reci&n contratado b cu)l es la probabilidad de Hue un ingeniero principiante llegue a ser socio c !u)l es la duración pro>edio Hue pasa un socio en la e>presa
Pri>eroB deter>ina>os la >atriA de transición en la cual se observa Hue (a' dos estados absorbentes el ingeniero de:e la e>presa sin ser socio ' Hue un socio de:e la e>presa
onde IPO IT_ETIE@R P@IT!IPI%TZE IEO IT_ETIE@R !RT EWPE@IET!I% ID O IT_ETIE@R DR!IR IDO IT_ETIE@R E`% K% EMP@ED% DIETR DR!IR IDDO IT_ETIE@R E`% K% EMP@ED% DIT DE@ DR!IR Kuego (alla>os la >atriA I=TB donde I es la >atriA de identidad ' T la >atriA no absorbente identi#icada en el paso anterior.
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Kuego a trav&s de _auss=`ordanB (alla>os la >atriA inversa co>o se >uestra a continuación.
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Para responder la pri>era pregunta debe>os tener presente un nuevo concepto Hue es el valor esperado Hue es el tie>po en Hue un estado de>ora antes de ser absorbido. Este valor esperado se obtiene a trav&s de la >atriA inversa. e esta #or>aB la duración pro>edio de un reci&n contratado seria
Para (allar la probabilidad de Hue un ingeniero principiante llegue a ser socio se debe >ultiplicar la >atriA inversa por la >atriA absorbenteB de la siguiente >anera
Rbs&rvese Hue esta probabilidad es igual a .<.
e igual >anera co>o en la pri>era parteB la duración pro>edio de un socio en la e>presa es
Conclsión !o>o conclusión las cadenas de Markov nos per>ite (acer an)lisis sobre el estudio de los co>porta>ientos de ciertos siste>as en ciertos periodos Hue pueden ser cortos o largos. %de>)s se tiene una relación con las probabilidades absolutas. Pero sin e>bargo lo >)s i>portante es el estudio del co>porta>iento siste>as a largo plaAoB cuando el n?>ero de transiciones tiene al in#inito %l conocer >)s o >enos las probabilidades de un eLperi>entoB esto a su veA nos per>itir) conocer a corto ' plaAo los estados en Hue se encontrar$an en periodos o tie>pos #uturos ' to>ar decisiones Hue a#ectar)n o #avorecer)n nuestros 4 1
interesesB ' to>ar una decisión de >anera consciente ' no se co>entan >uc(os errores. Esto ta>bi&n nos proporcionara un tie>po esti>ado para Hue identi#iHue>os cada estado ' el periodo en Hue se encuentra con la i>ple>entación de un procesoB ta>bi&n se establece las probabilidades co>o una (erra>ienta >)s en las cadenas de Markov.
