Universidad Aut´onoma onoma del Carmen Fac acul ulta tad d de Inge Ingeni nier er´ ´ıa y Tecno ecnolo logg´ıa Maestria Maes tria en Ingenie Ingenierr´ıa Mecatr´ Mecatr´onica onica CONTROL AVANZADO Tarea No. 2
Dise˜ ne ne un sistema con las siguientes caracter c aracter´´ısticas: x ∈ 3, U ∈ 2 , K ∈ 2x3, |ξ | ≤ ξ + = 0,01 Encontrar K.
˙ =
x
1 0 + 0 1
x2 x3 2sin(x1 ) + x2
U + ξ
(1)
1 0
´ SOLUCION
El problema es desarrollar U = K x tal que ∀x(t) generada del sistema 1 se cumpla: l´ım x(t)T P 1 x (t) ≤ 1 ≤ 1 ⇒ ⇒ E (0 (0,Patt) −
t→∞
(2)
Encontrar K tal que: = arg ar g m´ın K =
tr
β p α
(3)
Con restricciones restricciones K , P , , α > 0, P = P T y w < 0. El primer paso es encontrar una matriz ”A” (Parte Lineal) a partir de f (x, t) (Ec. 4), donde f (x, t) es una funci´ on on no lineal.
)=
( x, t f (
0 1 0 0 0 1 2sin θ 1 0
1
x1 x2 x3
(4)
Utilizando la expansi´on en series de Taylor (Ec. 5) para tener una aproximaci´ on lineal de ´ngulos peque˜ nos se obtiene la matriz ”A” (Ec. 6). f (x, t) y utilizando a δf f ( x, u) = f ( xr , ur ) + δx
A =
δf δx
xr ,ur
=
δf 1 δx1 δf 2 δx1 δf 3 δx1
A
δf (x − xr ) + δu
δf 1 δx 2 δf 2 δx 2 δf 3 δx 2
δf 1 δx 3 δf 2 δx 3 δf 3 δx 3
xr ,ur
(u − ur )
xr ,ur
0 = 0 2cos
0 = 0
(5)
1 0 0 1 θ 1 0
1 0 0 1 2 1 0
(6)
Sustituyendo la matriz ”A” (Ec. 6) en la ecuaci´on de ”Quasi-Lipschtz” (Ec. 7), se obtiene la Ec. 8 f ( x, t) − Ax2 ≤ C 0 + C 1 x2
0 0 2sin
1 0 0 1 θ 1 0
0 − 0 2 −
1 0 0 1 1 0
x1 x2 x3
x2 x3 2sin(x1) + x2
0 0 2sin( ) − 2 x1
x2 x3
(7)
2
≤ ≤ + x1 x2 x3
2
C 0 + C 1 x
2
2
C 1x
C 0
2x1 + x2 2
x1
≤
C 0 + C 1 x
2sin(x1 ) − 2x1 2 ≤ C 0 + C 1 x1 2
2
(8)
Para obtener C 0 y C 1 se utiliza la propiedad de la Ec. 9 y se hace una relaci´on en ambas partes de la desigualdad. a + b2 ≤ a2 + b2
2
(9)
2sin(x1 ) − 2x1 2 ≤ 2sin(x1)2 − 2x1 2 ≤ C 0 + C 1x1 2 Seno toma valor de −1 ≤ sin (x1) ≤ 1 por lo tanto: 4 − 4x1 2 ≤ C 0 + C 1 x1 2 C 0 = 4 C 1 = −4
(10)
La ecuaci´ on 1 se puede rescribir de manera general como la Ec. 11. x˙ = f ( x, t) + BU + ξ
(11)
Partiendo de una funci´ on de energ´ıa (Ec. 12) se sustituye (11) en (12). V (x) = x T p 1 x p = p T > 0 ˙ (x) = 2xT p 1x˙ V −
(12)
−
De la sustituci´ on de (11) en (12), se obtiene la Ec. 13. ˙ = x T p V
−1
(A + Bk ) + k T B T + AT p
−1
x + 2 xT p
−1
ζ
(13)
Utilizando el complemento de schur para (13) obtenemos la Ec. 14.
˙ ≤ V
T
x ζ
p−1 A +
α 2
I nxn + Bk + kT B T + AT + α I p−1 + d1 I nxn 2 nxn 1 − p
˙ ≤ V
T
x ζ
w
x ζ
p−1 −I nxn
−
− αV + C 0d0
Si w < 0 entonces V ˙ ≤ −αV + β , se cumple que el sistema es estable.
3
x ζ
αV + C 0 d0
(14)
