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Une (trop ?) brève introduction au calcul par éléments finis F. Feyel , G. Cailletaud
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F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Eléments finis
Méthode variationnelle d'approximation de la solution de certaines équations aux dérivées partielles
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
3 [1] K.J. Bathe. Finite element procedures in engineering analysis. Prentice Hall, Inc., 1982. [2] J.L. Batoz and G. Dhatt. Modélisation des structures par éléments finis, I III. Hermès, 1991. [3] T. Belytschko, W.K. Liu, and Brian Moran. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. 2000. [4] J. Besson, G. Cailletaud, J.-L. Chaboche, and S. Forest. M´ecanique non linéaire des matériaux. Hermès, 2001. [5] G.R. Buchanan. Finite element analysis. Schaum s outlines, 1995. [6] P.G. Ciarlet and J.L. Lions. Handbook of Numerical Analysis : Finite Element Methods (Part 1), Numerical Methods for Solids (Part 2). North Holland, 1995. [7] M.A. Crisfield. Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley, 1991. [8] G. Dhatt and G. Touzot. Une présentation de la méthode des éléments finis. Maloine, 1981. [9] T.J.R. Hughes. The finite element method: Linear static and dynamic finite element analysis. Prentice Hall Inc., 1987. [10] H. Kardestuncer, editor. Finite Element Handbook. Mc Graw Hill, 1987. [11] R. Mc Neal. Finite Element: their design and performance. Marcel Dekker, 1993. [12] O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor. The finite element method, Vol. I-III (Vol.1: The Basis, Vol.2: Solid Mechanics, Vol. 3: Fluid dynamics). Butterworth Heinemann, 2000. F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
4 +-*/ boucles
Méthodes numériques
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
●
Systèmes non linéaires
●
Systèmes différentiels
●
Intégration
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Systèmes non linéaires
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
Point fixe
Solution, erreur : Construction de la suite :
●
Converge ssi (dérivée contractante)
●
Ordre 1
●
Ordre 2
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Méthode de Newton On chercher le zéro :
Taylor :
Pour converger à l'itération n+1, essayer :
Quasi-Newton : travailler à K constant F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
8 Ordre de la méthode de Newton
Point fixe de
Dérivée (au voisinage de la solution)
Convergence (inconditionnelle pour les fonctions convexes) quadratique F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
9 Ordre de la méthode Quasi-Newton
Convergence linéaire si
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Newton : exemple à deux variables
Solution
Iter. 1 2 3 4 5 6
x1 0.9166666790843010E+00 0.7959956739925678E+00 0.7862125392351869E+00 0.7861513801371453E+00 0.7861513777574233E+00 0.7861513777574233E+00
x2 0.6666666567325592E+00 0.6190476185745664E+00 0.6180344478073033E+00 0.6180339887499896E+00 0.6180339887498949E+00 0.6180339887498949E+00
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
f1(x) 0.2500000000000000E+00 0.2847222317424088E+00 0.1682906707772402E-01 0.9673552711856877E-04 0.3741760532709540E-08 0.5019856058607886E-16
f2(x) -0.7500000000000000E+00 0.1736111438108817E+00 0.1456149444031586E-01 0.9570904333691254E-04 0.3741548651090519E-08 -0.7123208273229764E-16
erreur 0.1305153013268777E+00 0.9844296235144490E-02 0.6116147776358272E-04 0.2379721975032112E-08 0.0000000000000000E+00 0.0000000000000000E+00
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Systèmes différentiels
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Intégration Euler :
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13 Euler implicite A
RK2 Euler implicite B
Euler point milieu
Euler
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Runge-Kutta Euler explicite à point(s) intermédiaire(s)
Ordre 2 : rajouter une évaluation au point milieu
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Théta-méthode / Euler implicite Type A
Newton-Raphson... Type
Résidu
A B F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
Type B
Jacobien
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Intégration numérique
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Choix des points et des poids ? Rectangles ● Trapèzes ● Simpson ●
●
Gauss
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Intégration de Gauss Critère : intégration exacte des polynômes d'ordre 2r-1 Exemple à l'ordre 2
Soit : F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
19 Un point d'intégration 5
4
3
2
1
0
-1 -1
-0.5
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
0
0.5
1
20 Deux points d'intégration 5
4
3
2
1
0
-1 -1
-0.5
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
0
0.5
1
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Trois points d'intégration 5
4
3
2
1
0
-1 -1
-0.5
F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
0
0.5
1
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Intégration de Gauss en 3D
Souvent r1=r2=r3 Règle spécifique aux triangles, prismes, tétras
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Variations
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Fonctionnelles Fonctionnelle : « fonction de fonctions », à valeurs dans R Exemple classique : énergie potentielle Variation d'une fonctionnelle Objectif : trouver f qui minimise L(f) Variation (!= dérivée):
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Propriétés élémentaires ●
Fonction voisinage :
●
Se comporte comme un opérateur différentiel
Commute avec les dérivées et intégrales, linéaire, etc...
●
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Euler-Lagrange... Résultat fondamental du calcul des variations : trouver f qui minimise Énergie potentielle
Est équivalent à résoudre
Avec et essentielles F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
naturelles
Essai de traction selon BTCdM-1742-2318 « Soit une poutre encastrée... »
Energie potentielle
Equilibre des efforts
Essentielle F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
Naturelle
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Autre point de vue formulation forte / faible
Choisir une fonction test admissible ● Multiplier l'équation et intégrer ● Intégrer par parties pour obtenir le même ordre ● Formuler la forme faible ●
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Application à la poutre Formulation forte :
Formulation faible (w : fonction régulière qui tend vers zéro là où les CL essentielles sont appliquées) :
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F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Si B est une forme symétrique, choisissons w=u, et posons
→ Euler-Lagrange !
Étant donné une équation différentielle : Forme faible : principe des puissances virtuelles ● Forme quadratique : principe de l'énergie potentielle ●
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Résumé : forme faible
Si u est une solution test qui vérifie :
Alors u est aussi solution de
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Résumé : forme quadratique
Si u est une solution test qui vérifie :
Alors u est aussi le minimum de la fonctionnelle
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Approximation ! Souvent :
Soit
avec Rigidité
Force
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Technologie éléments finis Mécanique
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Approximation « éléments par éléments » Remplacer la formulation continue par une formulation discrète Inconnue
Géométrie
Isoparamétrique : F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
Interpolation
forme
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Maillage ! ● Taille de maille : ABSOLUMENT rien à voir avec la physique ! ● Précision de l'approximation ● Type d'équations ●
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Iso-paramétrique Inconnue Géométrie
Sous-paramétrique
Position des noeuds milieux ! (déplacements linéaires)
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Super-paramétrique
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Gradient des fonctions de forme
●
Notation de Voigt symétrique
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Élément de référence +1
-1
+1
-1 Un excellent « mapping » : les fonctions de forme !
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F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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On connaît en fait (simplicité !) :
Or, en particulier :
Soit
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Statique
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Problème mécanique
Equilibre Forces imposées
Déplacement imposé
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Principe des puissances virtuelles
Galerkin discrétisé
Admissible F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Non-linéaire !
Incrémental !
Newton-Raphson
Consistent F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Exemple en élasticité :
+ Assemblage ! F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Algorithme général
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Gags et autres bizarreries
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Patch test Retrouver une solution uniforme connue ● Laisser des noeuds libres ●
P
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Modes à énergie nulle Éliminer les modes à énergie nulle autres que rigides ● Exemple correct : rectangle à quatre noeuds ●
●
Valeurs propres : { 223.4 90 78 46.36 42 0 0 0 }
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Élément trapézoïdal (C. Felippa)
a
a
2a
Règle
Valeurs propres
1x1 2x2 3x3 4x4
3.68059 4.09769 4.11571 4.11627
8.77276 8.90944 8.91237 8.91246
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2.26900 3.18565 3.19922 3.19966
0 2.64523 2.66438 2.66496
0 1.54678 1.56155 1.56199
000 000 000 000
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Positivité du jacobien
Vérifier la position des noeuds milieux ● Les noeuds milieux au quart du cote produisent une singularité en ● J est négatif si la matière sort de l'élément (convexité ?) ●
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Modes parasites 4
3
1
2
Selon la règle d'intégration choisie Linéaires : 1x1 et 2x2 Quad : 3x3 et 2x2 F. Feyel, MEALOR : « Éléments finis »
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Verrouillage +1
-L
+L
-1 Incapacité d'un élément à reproduire certains champs
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56 On obtient :
Donc
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