ours elements finis

I

Geniraliks

-

I -1

.

I -2 I

-3

.

.

Presented

Ei Vue

de

In

cars

conserved

dl ensemble

sur

un

ex

1D

NF04 Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur

Intervenants (permanents) : •E. Lefrançois (4988) : resp. UV •M. Rachik •A. Rassineux °

o

a

Version 09/2006 (E.L.)

Tatum Branched

Find

NF04 - Automne - UTC

1

En quelques mots … Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques

Structure Thermique Fluide Source : ONERA Source : technoscience

Modèle réel Version 09/2006 (E.L.)

Modèle numérique NF04 - Automne - UTC

2

Autres exemples (source google…)

NF04 Automne (E.L.)

3

Pourquoi NF04 ? Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produit industriel Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique

99 % de la physique sous la forme d’E.D.P.

( Eg

°

derives particles )

« Outils » mathématiques actuels généralement inadaptés dans un contexte industriel.

NF04 Automne (E.L.)

4

Présentation générale Déroulement sur 14 semaines:

Cours (2 intervenants) TD/TP sur machines (Windows) Acoustique automobile

Moyens à disposition:

Ensemble de scripts de calculs sous Matlab Site web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04 Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora

Évaluation:

Median

Devoir-maison (10%), médian (30%), final (40%) Compte-rendu technique « Mise en œuvre de la MEF » (20%) Acoustique automobile, musicale pget Transport-diffusion d’un polluant

:L i↳gsttFCdctlt##t#t£3€mw

NF04 Automne (E.L.)

.

Pollution d’un lac

5

Semaines

Plan du cours (indicatif…)

Références transparents

1

Introduction générale

: Cours d’introduction

2,3

Différences finies 1D, 2D

: Cours 1, 2

4,5

Éléments finis 1D

: Cours 3, 4

6,7,9 8

Eléments finis 2D

10,11

Problèmes temporels du 1er ordre et stabilité

Médian

: Cours 3, 4, 5, 6 : Cours 7, 8

Problèmes temporels du 2nd ordre 12

- Approche modale

: Cours 9

13

- Approche instationnaire « pas-à-pas »

: Cours 10

14,15

Mise en œuvre de la méthode des éléments finis (MEF) : COURS + TP Final (semaine ces finaux) NF04 Automne (E.L.)

6

Bagages nécessaires … Mathématique : Équations différentielles ordinaires Techniques d’intégration standard Opérations matricielles de base Notion d’interpolation

Physique : ?

Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique Informatique : apprentissage de l’outil Matlab



7

Site web Mecagora : portail UTC « ouvert »

Accès au cours Version 09/2006 (E.L.)


8

Site web Mecagora : page d’accueil

caractéristique



9

Site web Mecagora : accès aux exemples

caractéristique



10

Site web Mecagora : lecture d’un exemple

Boucle de modélisation caractéristique



11

Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours

caractéristique



12

Cours 1 Introduction générale

• • •


Généralités Concept de la boucle de modélisation Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D


13

Principe des méthodes numériques Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique. On parle ainsi de « modèles numériques » La physique possède un caractère: Tridimensionnel Temporel Non linéaire (HPP, matériaux …)

Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié

Donc :

Approchée = simplifiée

Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques !



14

Généralités

K U

Équilibre

F

Stationnaire

K U

Valeurs propres Discret Instationnaire

M U

C U

U (t0 ) , U (t0 ) Système physique •Linéaire •Non linéaire

Différences finies Éléments finis

Équilibre Stationnaire Valeurs propres

M U

K U

F

connus.

L u

fv

0

C u

fs

sur S

sur V

L1 u

L2 u

sur V

C1 u

C2 u

sur S

Continu

mu cu L u Instationnaire

C u

fs

fv

sur S

u (t0 ), u (t0 ) connus. Version 09/2006 (E.L.)


15

Ey

'

de

la

{

Fit

section

<

At date Q=o

.

on

milieu

DEFINITE

:

condos auxhwiks

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aE¥#Eh¥ # dies

isotope

[k]H=

He

in

dinipad chaleur

courant

{

kPon±z+fy±y+Q=9 t.am

.

os

.

Joule par effet dan

s

Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3) Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensions Existence ou non de dimensions négligeables devant les autres ?

Hauban : 1D

Tablier : 2D

Pile de pont : 3D ou 1D ?

Comportements linéaires ou non : HPP vérifiée ? Caractéristiques matériaux bien identifiées ?



16

Exemples d’hypothèses simplificatrices (2/3) Problème temporel ou non :

Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques : … des sollicitations externes … du fluide, du matériaux …

Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire

ensoleillement

Sol (peu affecté) : analyse quasi-statique

Solution recherchée sur une courte ou longue période ?



Source : ldeo.columbia

17

Exemples d’hypothèses simplificatrices (3/3) Présence ou non de couplages multi physiques ? Échelle des temps caractéristiques : fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ... Réponse en fonction du rapport des temps :

URéduite = Réservoir en ballottement Acoustique musicale (fluide ~ immobile % solide)

URéduite <<1


Temps caractéristique solide Temps caractéristique fluide Ouvrages génie civil (pont …) (fluide et solide se « voient »)

URéduite

1


Aéroélasticité supersonique (solide ~ immobile % fluide)

URéduite >>1

18

Complexité : multi compétences Fluide: •Aérodynamique •Traînée •Acoustique •…

Intérieur: •Capacité transport •Confort passagers •…

Structure: •Tenue •Fatigue •Aéroélasticité •Fréquences •Commandes •…

Moteurs: •Combustion •Poussée •Acoustique environmentale •…

Source : futura-sciences Version 09/2006 (E.L.)


19

Chaîne de conception « industrielle »

Aérodynamique

Aéroélasticité

Tenue mécanique

Conception

Simulation

Expérimental

Production Sources : engineering.swan ONERA



20

« Boucle de modélisation » Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes : NF04

Modèle physique

Sources d’erreurs

=

Modèle mathématique (continu)

Écart entre solution réelle et solution exacte du problème mathématique


+

Modèle numérique (algébrique)

Écart entre solution exacte du problème mathématique et solution du système discret


+

Modèle informatique

Écart entre solution exacte du système discret et solution informatique

21

« Boucle de modélisation » NF04

•Observation du phénomène •Définition des objectifs

Modèle physique

u u , ...) f 0 x t Conditions auxlimites L(u ,

et initiales

Modèle mathématique

k11

k12

k13

u1

f1

k21 k22 k31 k32

k23 k33

u2 u3

f2 f3

Modèle discret

Modèle informatique

L’idéal est d’avoir une approche indépendante : de la physique étudiée ; de la dimension géométrique du problème ; du régime (stationnaire ou non) ; de la méthode de discrétisation et des schémas employés.



22

Analyse des sources d’erreurs Mathématique : 3D 1D, 2D? temporel ? grands déplacements et grandes rotations ou HPP ? loi de comportement du matériaux absence de couplage ? Algébrique : choix du découpage, de l’élément choix de l’algorithme de résolution … Informatique : précision machine programmation …

estime et contrôle

Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ?



il annule les erreurs

23

Apprentissage par l’exemple … « Isolation thermique d’un mur »

Objectif : Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux.

Méthode : Différences finies

Simplifications du modèle : Stationnaire : à justifier ! Un seul isolant Rayonnement négligeable : à justifier ! Monodimensionnel : à justifier !



Source : www.isover.be - Saint Gobain

24

Modèle physique Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2)

Fonction des matériaux employés Conductivité thermique : k (W/°C-m) Fonction du champ de température : T(x) (°C) Loi de comportement entre flux et température (Fourier) Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text

Objectifs :

Calculer la température en tout point En déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes



25

Modèle mathématique

L

Définition du domaine d’étude :

x

Équilibre thermique régi par :

.q x

Loi de comportement :

k T x

soit à résoudre: k

d 2T x dx 2

q x

fv

0,

x

0, L

fv

0,

x

0, L

0, L

Conditions aux limites (CL) : Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) : Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) :



T 0

30 C

q L

h T L

Text

26

il

F

T=

iilqn

OD

nur

=q?n =g

sur

Caudill de type Newman

iiil

qn

=

h(T- To

on

OD

-

'

ego

!¥Ia** .

-

kdEH=hH4

-

parte

une

:

)

fi

on

To )

k

de 8D

parte

une

OF de

na

de 8D

.

k

Cauchy

0qIny on

-

kfFnz=f

Ehage

par

connect

,

net ;D

Modèle numérique (1/4) Discrétisation du domaine d’étude : Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul

they

Bn : pas de debut 1

T1

>

2

3

T2

T3

4

T4

5

6

T5 T6

Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L

On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues

Objectif suivant : trouver 6 équations !



27

Modèle numérique (2/4) Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au prochain cours) : Précision du schéma Dk

.

Taylor

:

Tktbaktkkbn dEH +01N .

(1)

dT dx

(2) 1 1


dT dx

2 2

d 2T dx 2 dT dx

Ti

x

i

i

Ti Ti x Ti

1

Ti

1

i

i

Ti

1

1

2Ti Ti x2

Ti 2 x

1

1

x ...

Décentré droit

x ...

Décentré gauche

x 2 ...

Centré

x 2 ...

Centré

Termes tronqués

Type


28

Modèle numérique (3/4) L’équation d’équilibre devient : d 2T k 2 dx

i

Ti

1

k

f vi

0

2Ti Ti x2

i

1

2,..,5

f vi

4 eq.

0

Les conditions aux limites deviennent : T1 k

6 inconnues

30 dT dx T6

k i 5

T4

T5 1 T5 1 2 x

h T5 Text

2h x Text T5 k

2 eq.

Au total : 6 équations pour 6 inconnues Version 09/2006 (E.L.)


29

Modèle numérique (4/4) Réorganisation matricielle 1

0

0

0

0

T1

30

k x2

2k x2

k x2

0

0

T2

f2

0

k x2

2k x2

k x2

0

T3

f3

0

0

k x2

2k x2

k x2

T4

f3

0

0

0

2h x2

2

k x2

h x

T5

fN

2

2h Text x

Astuce : on a éliminé T6 Plus qu’à résoudre ce système ….



30

Modèle informatique (langage Matlab) clear all close %----- Paramètres géométriques et physiques L = 1; % longueur m k=2; % coeff. de conductivité W/°C-m h=3; % coeff. d’échange convectif W/°C-m2 f0=10; % production W/m3 T0=30; Text=10; % conditions aux limites %----- Paramètres numériques nnt=input('entrer le nombre de points: '); dx = L / (nnt - 1); % pas de discrétisation vkg=zeros(nnt,nnt); % initialisation de la matrice vfg=zeros(nnt,1); % initialisation du second membre c=k/dx^2; % Schéma aux différences finies [-1 2 -1]*k/dx^2 for i=2:nnt-1 vfg(i) = -f0; vkg(i,[i-1 i i+1])=[c -2*c c]; end %---- Condition de Dirichlet vkg(1,1)=1; vfg(1)=T0; %---- Condition de Cauchy vkg(nnt,[nnt-1 nnt])=[2*h/dx^2 –2*(k/dx^2+h/dx)]; vfg(nnt)=-f0-2*h*Text/dx; %----- Résolution vsol = vkg\vfg %---- Affichage vcorg = 0:dx:L; plot(vcorg,vsol,'b -o') …

% Coordonnées des noeuds % trace solution calculée

Post-traitement des résultats

Puis analyse … Version 09/2006 (E.L.)


31

ours elements finis

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