INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ELABORAÇÃO DE TABELAS PRÁTICAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE LAJES E VIGAS DE CONCRETO ARMADO
EDENVAL VAZ JÚNIOR
ORIENTADOR: LI CHONG LEE BACELAR DE CASTRO.
PROJETO FINAL DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
PUBLICAÇÃO: IESPlan. EnC. PFG 215/2013. Brasília-DF – Dezembro/2013
INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ELABORAÇÃO DE TABELAS PRÁTICAS PARA O DIMENSIONAMENTO DE LAJES E VIGAS DE CONCRETO ARMADO
EDENVAL VAZ JÚNIOR
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DO INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
APROVADO POR:
LI CHONG LEE BACELAR DE CASTRO, Eng.º Civil, D.Sc, IESPlan (ORIENTADOR)
JOSÉ DE ARAUJO SILVA, SILVA, Arq. e Urb., Esp., IESPlan IESPlan (EXAMINADOR INTERNO)
CAIO CÍCERO MADRID MAGALHÃES, Eng.º Civil e Advogado, Esp., TJDFT (EXAMINADOR EXTERNO) Brasília-DF – Dezembro/2013 ii
FICHA CATALOGRÁ C ATALOGRÁFICA FICA VAZ JÚNIOR, EDENVAL, Elaboração de tabelas práticas para o dimensionamento dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado. Distrito Federal, 2013. xiv, 139 p., 210x297 mm (EnC,/ IESPlan, Engenheiro Civil, 2013). Projeto Final de Graduação – Graduação – IESPlan, IESPlan, Departamento de Engenharia Civil. 1. Concreto Armado 2. Elementos Estruturais 3. Dimensionamento no ELU 4. Ductibilidade I. EnC / IESPlan II. Engenheiro Civil
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA VAZ JÚNIOR, E. Elaboração de tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado, 2013. 139p. Projeto Final de Graduação, Publicação ENC. PJ – – 215/2013, Departamento de Engenharia Civil, Instituto de Ensino Superior Planalto, Brasília, DF.
CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Edenval Vaz Júnior. TÍTULO DO PROJETO FINAL: Elaboração de tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado GRAU: Graduação
ANO: 2013.
É concedido ao Instituto de Ensino Superior Planalto a permissão para reproduzir cópias deste projeto final e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte deste projeto final de graduação pode ser reproduzido sem a autorização por escrito do autor.
Edenval Vaz Júnior Av. Gomes Rabelo Rabelo Qd. 63, Lote 10, Setor Tradicional 73330-017 - Planaltina/DF - Brasil iii
RESUMO
As estruturas de concreto armado sugiram para vencer os obstáculos impostos pelas antigas construções, formadas por materiais como a pedra e a madeira. A partir do concreto armado foi possível juntar em um único material características de resistência à compressão e à tração. O dimensionamento da estrutura de concreto armado deve ocorrer em relação ao estado limite último (ELU), visto que esse estado está relacionado ao colapso ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. É importante ainda eliminar parte do domínio 3, visando garantir a ductibilidade da armadura. O objetivo do estudo é elaborar tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado no estado limite último, tornado o processo de dimensionamento desses elementos estruturais mais ágil e possibilitando a integração das disciplinas de Concreto Armado I e II com a disciplina de Projeto Estrutural de Edifícios. As tabelas foram elaboradas com auxílio do programa Microsoft Excel, e conforme prescrições da NBR 6118:2007, que dita os procedimentos para projeto de estruturas de concreto armado e protendido. As tabelas foram testadas e utilizadas para o dimensionamento da cobertura de um edifício comercial, seus resultados foram satisfatórios, demonstrando a possibilidade de tornar prático e ágil o dimensionamento de elementos estruturais em edifícios de pequeno porte.
Palavras-chave: Concreto Armado; Elementos Estruturais; Dimensionamento no ELU; Tabelas Práticas; Ductibilidade.
iv
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO ......................... ............ ......................... ......................... ........................... .......................... ......................... ................... ...... 1
1.1
Breve histórico .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... ................... ...... 1
1.2
Motivação ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 2
1.3
Objetivo.................. ......................... ............. ......................... .......................... .......................... .......................... ......................... ............ 3
1.4
Metodologia .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... ....................... .......... 3
1.5
Escopo............................ ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ................. .... 3
2 2.1
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ....................... .......... 5 Elementos estruturais .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... ..................... ........ 5
2.2
Projeto de estruturas ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ......................... ....................... ........... 7
2.3
Normas Técnicas .......................... ............. .......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 8
2.4
Concepção estrutural (pré-projeto) ......................... ............ ......................... ......................... ........................... ................ 8
2.5
Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento dos elementos estruturais .......................... ............. .......................... ............... .. 10
2.5.1
Pré-dimensionamento da lajes ..................................................................... 11
2.5.2
Pré-dimensionamento das vigas......................... ............ ......................... ......................... .......................... ................. .... 12
2.5.3
Pré-dimensionamento dos pilares ................................................................ 13
2.6
Análise estrutural .......................... ............. .......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 14
2.7
Dimensionamento Dimensionamento para o estado limite último (ELU) .......................... ............. ....................... .......... 17
2.7.1
Considerações iniciais .................................................................................. 17
2.7.2
Seções retangulares com armadura longitudinal simples ......................... ............ ................. .... 21
2.7.3
Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares .......................... ............. ............... .. 24
2.7.4
Cálculo da armadura transversal .......................... ............. ......................... ......................... .......................... ............... .. 24
2.7.4.1 Verificação do estado limite limite último .................... .......................... ............. .......................... ................. .... 26 2.7.4.2 Modelo de cálculo ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ......................... ......................... ............. 27
3 3.1
TABELAS PRÁTICAS .......................... ............. ......................... .......................... .......................... ......................... ................. .... 29 Tabelas práticas para laje maciça retangular .......................... ............. ......................... ..................... ......... 29
3.2
Tabelas práticas para vigas vigas .......................... ............. .......................... .......................... ......................... ..................... ......... 32
3.2.1
Armadura longitudinal longitudinal .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... ................... ...... 32
3.2.2 Armadura transversal ........................ ......................... ............ .......................... ......................... ..................... ......... 33
v
4 4.1
DIMENSIONAMENTO DE UM EDIFÍCIO COM TABELAS PRÁTICAS ...... 35 Pré-lançamento da estrutura ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ..................... ........ 35
4.2
Dimensionamento Dimensionamento das lajes da cobertura .......................... ............. ......................... ......................... ............... .. 37
4.2.1
Verificação da flecha da laje mais solicitada............... ......................... ............. ..................... ......... 44
4.2.1.1 Verificação se há fissuras .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... ............. 44 4.2.1.2 Flecha imediata .......................... ............. .......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............... .. 45 4.2.1.3 Flecha total..... .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... ................. .... 46 4.2.1.4 Flecha limite... ......................... ............ ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... ................... ...... 46 4.2.2
Verificação quanto ao cisalhamento ......................... ............ ......................... ......................... ........................ ........... 47
4.2.2.1 Força cortante solicitante solicitante ......................... ............ ......................... ......................... .......................... .......................... ............... .. 47 4.2.2.2 Força Cortante Cortante resistente resistente .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .......................... ............. 47 4.2.3
Verificação de abertura de fissuras em lajes laj es ......................... ............ ......................... ....................... ........... 48
4.2.4
Comprimento das barras .............................................................................. 48
4.2.4.1 Armadura positiva ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ......................... ......................... ............. 48 4.2.4.2 Armadura negativa .......................... ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ....................... ........... 49 4.2.5 Armaduras de canto .......................... ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 50 4.2.6 Armaduras de bordo .......................... ............. ......................... ......................... .......................... ......................... ..................... ......... 51 4.2.7
Planta de armação das lajes.................. ......................... ............. ......................... ......................... ................. ..... 52
4.3
Dimensionamento Dimensionamento das vigas da cobertura ......................... ............ ......................... ......................... ............... .. 52
4.3.1
Viga V-401 ......................... ............ ......................... ......................... .......................... .......................... .......................... ....................... .......... 53
4.3.1.1 Comprimento das barras barras ......................... ............ ......................... ......................... .......................... .......................... ............... .. 56 4.3.1.2 Comprimento de ancoragem ancoragem básico básico ......................... ............ ......................... ......................... ........................ ........... 57 4.3.1.3 Comprimento de ancoragem ancoragem necessário ......................... ........... .......................... ......................... ................. .... 57 4.3.1.4 Comprimento mínimo de ancoragem em apoios apoios extremos....................... extremos.......... ................. .... 58 4.3.2
Demais vigas (V-402, V-403, V-404, V-405, V-406 e V-407) ........................ ............. ........... 59
4.3.3
Estados limites de serviço ............................................................................ 60
4.3.4
Planta de armação ........................... .............. ......................... ......................... ......................... ......................... ........................ ........... 61
5 5.1
CONCLUSÃO.................. .......................... CONCLUSÃO............................... .......................... ......................... ......................... .......................... ............. 62 Sugestões para pesquisas futuras.......................... ............. ......................... ......................... .......................... ............. 63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................... ............. .......................... .......................... ......................... ..................... ......... 64 pré- dimensionamento ento de lajes l ajes e vigas ................... 67 ANEXO A - Coeficientes para o pré-dimensionam l ajes .............. ANEXO B - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes . ................. .... 68 l ajes .............. ANEXO C - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes . ................. .... 69 vi
l ajes .............. ANEXO D - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes . ................. .... 70 ANEXO E - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes ................. 71 ANEXO F - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes ................. 72 ANEXO G - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes ................ ..... ........... 73 ANEXO H - Adimensional α para cálculo ............ ..................... ........ 74 cálculo das flechas em lajes lajes ......................... ANEXO I - PROJETO DE ARQUITETURA ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ............. 75 APÊNDICES A - PROJETO DE ESTRUTURA ........................... ............. .......................... ......................... ................. .... 83 APÊNDICES B - TABELAS PRÁTICAS ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ................. 105
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – 2.1 – Perspectiva Perspectiva de parte de um edifício (GIONGO, (GI ONGO, 2007) ............... ............. 5 Figura 2.2 – 2.2 – Fluxograma Fluxograma de elaboração de projeto estrutural (CUSTÓDIO, 2010). .... 7 Figura 2.3 – 2.3 – Seção Seção transversal da laje (PINHEIRO, 2007)................. 2007).... .......................... ....................... .......... 11 Figura 2.4 – 2.4 – Seção Seção transversal da viga. (PINHEIRO, 2007)................. 2007).... .......................... ..................... ........ 13 Figura 2.5 – 2.5 – Viga Viga contínua e representação dos esforços predominantes. (Ftool) ... 15 Figura 2.6 – 2.6 – Pórticos Pórticos planos associados com cargas verticais e horizontais. (Ftool) 16 Figura 2.7 – 2.7 – Modelo Modelo Estrutural composto por grelha e pórtico espacial. (T QS, adaptado) ................................................................................................. 16 Figura 2.8 – 2.8 – Diagrama Diagrama parábola-retângulo para concreto em compressão (NBR 6118). ................................................................................................................. 18 Figura 2.9 – 2.9 – Diagrama Diagrama retangular para o concreto (Araújo, ( Araújo, 2009). ........................... ..................... ...... 19 Figura 2.10 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (adaptado, NBR. 6118:2007). ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ................. .... 19 Figura 2.11 - Domínio de estado estado limite último de uma uma seção transversal transversal (NBR 6118:2007). .............................................................................................. 20 Figura 2.12 – 2.12 – Profundidade Profundidade limite da linha li nha neutra para garantir ductibilidade adequada (ARAÚJO, 2009) 2009) ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ................... ...... 23 Figura 2.13 - Analogia da treliça clássica (CAMACHO, 2004). ............ ..................... ............. ........ 25 Figura 3.1 – 3.1 – Vãos Vãos teóricos t eóricos lx (menor ( menor vão) e ly (maior ( maior vão) (PINHEIRO, 2007). ........ 29 Figura 4.1 – 4.1 – Vínculos Vínculos das lajes de cobertura ........................ ......................... ............ ........................ ........... 39 Figura 4.2 - Reações de apoio nas lajes da cobertura .......................... ............. ......................... ................... ....... 40 Figura 4.3 – 4.3 – Momentos Momentos fletores fl etores de acordo com sua orientação. ......................... ............ ................... ...... 41 Figura 4.4 – 4.4 – Compatibilização Compatibilização dos momentos fletores (PINHEIRO, 2007). .............. ............ .. 42 Figura 4.5 - Comprimento das barras bar ras da armadura negativa n egativa .......................... ............. ....................... .......... 49 Figura 4.6 - Esquema simplificado para determinar determinar o comprimento dos ganchos. .. 49 Figura 4.7 - Armadura de canto (PINHEIRO, 2007). .......................... ............. ......................... ....................... ........... 51 Figura 4.8 - Diagrama do momento fletor e do esforço cortante (FTOOL, 2012). .... 54 Figura 4.9 - Ancoragem no apoio (PINHEIRO, 2007) ............. ......................... ............. ..................... ......... 58
viii
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – 2.1 – Valores Valores de Kx,lim para garantir ductibilidade adequada do aço ........... 23 Tabela 3.1 – 3.1 – Hipóteses Hipóteses e parâmetros para lajes maciças retangulares em concreto armado ..................................................................................................... 30 Tabela 3.2 – 3.2 – Área Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de comprimento (cm²/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480:1996. ....... 30 Tabela 3.3 - Hipóteses para armadura longitudinal (flexão) para vigas. ................... ...... ............. 32 Tabela 3.4 - Combinação de bitolas (mm) de aço usuais....................... usuais.......... ......................... ................... ....... 33 Tabela 3.5 - Hipóteses para armadura transversal para viga. ......................... ............ ....................... .......... 34 Tabela 4.1 – 4.1 – Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento dos pilares ........................... ............. .......................... ......................... ................. .... 36 Tabela 4.2 – 4.2 – Pré-dimensionam Pré-dimensionamento ento das vigas ............... .......................... .............. ......................... ................. .... 36 Tabela 4.3 – 4.3 – Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento da laje ......................... ............ ......................... ......................... .......................... ............. 37 Tabela 4.4 – 4.4 – Carga uniforme equivalente da caixa d’água ......................... ............ .......................... ............... .. 38 Tabela 4.5 – 4.5 – Cargas Cargas atuantes nas lajes da cobertura – kN/m².......................... ............. ..................... ........ 38 Tabela 4.6 - Reações de apoio das lajes da cobertura - kN/m .......................... ............. ..................... ........ 40 Tabela 4.7 – 4.7 – Momentos Momentos fletores nas lajes da cobertura – kN.m/m.......................... ............. ............... .. 41 Tabela 4.8 – 4.8 – Momentos Momentos fletores das lajes da cobertura compatibilizados e corrigidos. ................................................................................................................. 43 Tabela 4.9 – 4.9 – Momentos Momentos de serviços das lajes da cobertura – kN.m/m ................. .... 43 Tabela 4.10 - Cálculo das armaduras ar maduras das lajes da cobertura ........................... .............. ..................... ........ 44 Tabela 4.11 - Resultado da flecha imediata para Laje L-404 L -404 .......................... ............. ....................... .......... 46 Tabela 4.12 - Comparação da flecha limite com a flecha total t otal .......................... ............. ..................... ........ 47 Tabela 4.13 - Comprimentos das barras positivas ................ ......................... ............. ....................... ........... 48 Tabela 4.14 - Comprimentos das barras barras negativas ......................... ............ ......................... ......................... ............. 50 Tabela 4.15 - Resumos dos esforços na viga V-401. V -401. ......................... ............ ......................... ....................... ........... 55 Tabela 4.16 - Armadura longitudinal à flexão para par a viga V-401 V -401.......................... ............. ..................... ........ 55 Tabela 4.17 - Armadura transversal para viga V-401 V- 401 ......................... ............ ......................... ....................... ........... 56 Tabela 4.18 - Comprimento de ancoragem básico ......................... ............ ......................... ......................... ............... .. 57 Tabela 4.19 - Comprimento de ancoragem necessário. ......................... ............ ......................... ................... ....... 58 Tabela 4.20 - Cargas uniformes atuantes nas demais vigas da cobertura ................ ............ .... 59
ix
Tabela 4.21 - Carga concentrada atuante nas demais vigas da cobertura ............... 59 Tabela 4.22 - Armadura longitudinal l ongitudinal e transversal das vigas da cobertura ............... 60
x
LISTA DE SÍMBOLOS
Ac
área da seção transversal bruta
Aef
área de aço efetiva
af
flecha diferida
Ai
área de influência do pilar
ai
flecha imediata
alim
flecha limite
As
área de aço
As-
área de aço referente ao momento fletor de serviço negativo
As,calc
área de aço calculada
As,canto
armadura de canto
As,min
área de aço mínima
As,w
área de aço transversal - estribos
As+
área de aço referente ao momento fletor de serviço positivo
at
flecha total
b
largura da seção transversal
c
cobrimento nominal da armadura
cmin
cobrimento mínimo
d
altura útil da seção transversal
Ec
módulo de elasticidade do concreto
Es
módulo de elasticidade do aço
f bd bd
resistência de aderência
f cd cd
resistência de cálculo à compressão compressão do concreto
f ck ck
resistência característica à compressão compressão do concreto
f ct,m ct,m
resistência média à tração do concreto
f yd yd
resistência de cálculo ao escoamento do aço
f yk yk
resistência característica ao escoamento do aço
g
ações permanentes
h
altura total da seção transversal
hadot
altura total da seção transversal adotada
xi
hcalc
altura total da seção transversal calculada
Ic
momento de inércia da seção bruta
kx
profundidade relativa da linha neutra
kx,lim
profundidade relativa da linha neutra limite
lb
comprimento básico de ancoragem
lbe,min
comprimento de ancoragem mínimo em apoios externos
lx
vão na direção x
ly
vão na direção y
M+k
momento fletor característico positivo
M+sd
momento fletor de serviço positivo
Mk
momento característico
M-k
momento fletor característico negativo
Mk,e
momento compatibilizado
Mr
momento de fissuração
Msd
momento de serviço
M-sd
momento fletor de serviço negativo
Mx
momento fletor positivo da laje, na direção x (vão da laje)
M'x
momento fletor negativo da laje, na direção x (apoio engastado)
My
momento fletor positivo da laje, na direção y (vão da laje)
M'y
momento fletor negativo da laje, na direção y (apoio engastado)
n
número de pavimentos tipo
Pp
peso próprio
q
ações variáveis (cargas acidentais)
R
reação de apoio na laje
Rrd1
força cortante resistente da laje
Rsd
força cortante solicitante da laje
Rx
reação de apoio da laje, na direção x apoiada
R'x
reação de apoio da laje, na direção x engastada
Ry
reação de apoio da laje, na direção y apoiada
R'y
reação de apoio da laje, na direção y engastada
s
espaçamento xii
tmin
comprimento mínimo
Vc
parcela
de
força
cortante
absorvida
por
mecanismo mecanismo
complementares ao de treliça; Vk
força cortante característica
VRd2
força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com os modelos de cálculo I ou II
VRd3
força cortante resistente de cálculo, relativo à ruína por tração diagonal
Vsd
força cortante de serviço
Vsw
parcela de força cortante resistente pela armadura transversal, de acordo com os modelos I ou II
x
altura da linha neutra
xb
altura da linha neutra balanceada, limite do domínio 3/4
xlim
altura da linha neutra limite para garantir a ductibilidade
y = 0,8x
altura do diagrama retangular simplificado que deve ser considerada com tensão constante
yt
centróide da seção bruta
z
braço de alavanca
Δc
acréscimo do cobrimento referente a uma tolerância de execução
Δ (t)
- (t0)
coeficiente em função do tempo, pode ser obtido na tabela 17.1 da NBR 6118:2007
εcd
encurtamento máximo do concreto no elu de flexão
εsd
alongamento máximo do aço na ruptura r uptura da peça
ξ
deformação específica
ξc
deformação específica do concreto
ξs
deformação específica do aço
coeficiente que leva em conta as excentricidade da carga no pilar
l
diâmetro da barra longitudinal
t
diâmetro do estribo
diâmetro da armadura xiii
c
coeficiente de ponderação da resistência do concreto
concreto
peso específico do concreto
f
coeficiente de ponderação das ações
s
coeficiente de ponderação da resistência do aço
e
coeficientes de aderência, dependem respectivamente do tipo de barra, situação e bitola.
índice de esbeltez
min
taxa mínima de armadura a flexão
s
taxa geométrica mínima de armadura aderente passiva
c
tensão à compressão compressão no concreto
cd
tensão de máxima de compressão no concreto no ELU de flexão
ct
tensão à tração no concreto
s
tensão normal no aço de armadura passiva
sd
tensões normais solicitantes de cálculo
sd
tensão de tração máximos do aço na ruptura da peça
Rd
tensões de cisalhamento cisalhamento resistentes de cálculo
xiv
1
INTRODUÇÃO
1.1 Breve histórico As civilizações antigas utilizavam a pedra e a madeira como materiais de construção. Os grandes representantes desse período são as civilizações: egípcias com obras faraônicas (as pirâmides) e os romanos com construções de fortificações, pontes em arcos com pedras, coliseu, entre outras edificações. A pedra possui ótima durabilidade e resistência a esforço de compressão, compressão, mas possui limitações para vencer grandes vãos, visto que apresentam baixar resistência a tração. Os romanos já utilizavam um tipo de concreto, usando como aglomerante a cal e a pozolana. Porém o uso se propagou, apenas a partir de processo de fabricação industrial do cimento Portland, por Joseph Apsdin, na Inglaterra em 1824. O concreto consiste em uma pasta de agregados graúdos e miúdos com aglomerante, que apresenta características semelhantes à pedra, por possuir boa resistência à compressão, mas sua resistência à tração era em torno de um décimo da resistência à compressão. A partir dessa limitação e da busca de um material estrutural que incorporasse em suas características não só boa resistência a compressão, mas também boa resistência à tração, surgiu surgiu em meados do século XIX, na Europa, o concreto armado . O concreto armado associava a pedra artificial (concreto) com a armadura de aço. A armadura que integra o concreto armado é chamada de vergalhão, e consiste numa barra de aço de seção circular. O objetivo de adicionar o aço na mistura do concreto é produzir um material que ao mesmo tempo seria resistente à compressão e à tração, já que o aço resiste bem a tração e o concreto a compressão. Essa combinação entre o concreto e o aço deu tão certo que se difundiu pelo mundo modernizado, sendo o concreto o material de produção industrial mais consumido no mundo. Foram criados, em vários países, institutos para divulgar, pesquisar e reunir especialistas. No Brasil foi criado o Instituto I nstituto Brasileiro do Concreto 1
(Ibracon), tendo em vista a importância do concreto armado na indústria da construção civil brasileira. Atualmente, foram introduzidos os materiais denominados compósitos, com co m utilização no reparo e no reforço estrutural, em particular a adição de polímeros reforçados com fibras de carbono. Além do grande avanço na resistência característica do concreto a compressão, chamado chamado de f ck ck. Por esse breve histórico é possível ressaltar a importância do concreto armado principalmente na construção de edifícios. Os edifícios de concreto armado são compostos por elementos estrutural que são responsáveis por resistir às ações impostas a eles, transmitindo-as para a fundação. A primeira etapa de um projeto estrutural é a escolha do sistema estrutural, que está condicionada a fatores técnicos e econômicos. A partir desta escolha, é possível começar o lançamento e pré-dimensionamento dos elementos estruturais (pilares, vigas e lajes). É importante conhecer e respeitar a função de cada elemento estrutural, tendo em vista que as lajes são posicionadas nos pisos para transferir as cargas para as vigas de apoio, e as vigas, por sua vez, transferir as reações das lajes, juntamente com o peso das alvenarias, para os pilares de apoio, e por fim, os pilares transferem tr ansferem as cargas das vigas vigas para a fundação. Neste trabalho, o desenvolvimento do projeto estrutural segue o fluxograma de Custódio (figura 2.2), que tem por finalidade sugerir uma ordem prática e concisa das etapas de um projeto estrutural. Mas não serão realizados realizados todas as etapas neste trabalho, tendo um foco especial na etapa de dimensionamento para o estado limite último, em que é proposto tabelas práticas para o dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado.
1.2 Motivação Possibilitar a integração das disciplinas de Concreto Armado I e II com a disciplina de Projeto Estrutural de Edifícios, buscando auxiliar os alunos de engenharia civil no desenvolvimento de projetos e exercícios estruturais, com auxílio de tabelas práticas propostas propostas por este trabalho.
2
1.3 Objetivo Proporcionar uma roteiro prático para elaboração de um projeto estrutural de edifícios de pequeno porte, baseados no dimensionamento dos elementos estruturais por tabelas práticas, desenvolvidas no programa Microsoft Excel, com base em recomendações recomendações e hipóteses da NBR 6118:2007 (Projeto de estruturas de concreto - Procedimento), além de demonstrar a importância de eliminar parte do domínio 3, visando atender a ductibilidade do aço, permitindo uma ruptura dúctil e com aviso. Essas tabelas práticas tornam mais ágil o dimensionamento de lajes e vigas de concreto armado.
1.4 Metodologia A metodologia deste trabalho foi dividida em três etapas: revisão bibliográfica, desenvolvimento das tabelas práticas e dimensionamento de um edifício com tabelas práticas. A revisão bibliográfica tem o objetivo de elucidar as definições definições e etapas para a elaboração de um projeto estrutural, seguindo o fluxograma proposto por Custódio (figura 2.2). Abordando as etapas de pré-projeto (concepção estrutural), prédimensionamento, análise estrutural e dimensionamento para o estado limite último. A etapa do dimensionamento para o estado limite de serviço não será abordado neste trabalho. Já as tabelas práticas para lajes foram desenvolvidas levando em conta as recomendações da NBR 6118:2007 e as hipóteses hipóteses dos adimensionais adimensionais K md, K x e K z. Os valores dos adimensionais foram fixados, visando adequar o dimensionamento para o estado limite último e considerando a ductibilidade do aço. E por fim, no dimensionamento de um edifício comercial demonstrou-se como se aplica as tabelas.
1.5 Escopo O presente trabalho está divido em cinco capítulos: 3
Capítulo 1 - apresenta a introdução, contendo um breve histórico, a
motivação, o objetivo, a metodologia e o escopo que apresenta a estrutura do trabalho;
Capítulo 2 - aborda a revisão bibliográfica com intuito de apresentar
algumas definições básicas, fornecendo bases para elaboração de um projeto estrutural;
Capítulo 3 - descreve o desenvolvimento desenvolvimento das tabelas práticas para
lajes e vigas, de acordo com a recomendações e hipóteses da NBR 6118:2007;
Capítulo 4 - dimensiona um edifício com as tabelas práticas, mostrando
como utilizá-las;
Capítulo 5 - apresenta a conclusão com algumas recomendações e
sugestões para estudos futuros. Além dos cinco capítulos, o trabalho apresenta anexos, ou seja, documentos não elaborados elaborados pelo autor, que são: tabelas tabelas e projetos projetos extraídos de referência referênciass bibliográficas contidas neste trabalho. E por fim, o apêndice que apresenta as tabelas práticas e os projetos pro jetos de estruturas desenvolvidas ao longo do trabalho.
4
2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Serão apresentadas algumas definições e etapas importantes para a
elaboração de um projeto estrutural, com ênfase na etapa de dimensionamento para o estado limite último (ELU) de lajes maciças retangulares e vigas, ambas de concreto armado.
2.1 Elementos estruturais Estrutura é o conjunto das partes consideradas resistentes de uma edificação. Para que uma estrutura tenha sua capacidade assegurada, é necessário conhecer o comportamento de suas peças ou elementos estruturais (CLÍMACO, 2008). Segundo Fontes (2005), a decomposição da estrutura em partes (Figura 2.1), 2.1), que possam ser associadas a uma teoria de cálculo já consolidada no meio técnico, dá origem aos elementos estruturais.
Figura 2.1 – Perspectiva de parte de um edifício (GIONGO, 2007)
De acordo com a NBR 6118:2007, item 14.4 – Elementos estruturais: “as estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais 5
básicos, classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural”. estrutural ”. Quanto ao aspecto geométrico a norma NBR 6118: 2007, itens 14.4.1 e 14.4.2, classifica os elementos estruturais em lineares e superficiais. Os elementos lineares são aqueles cujo comprimento longitudinal deve superar em pelo menos 3 vezes a maior dimensão da seção transversal, denominados barras. Destacam-se entre eles as vigas, os pilares, os arcos e os tirantes. Já os elementos superficiais têm uma dimensão, usualmente chamada espessura, relativamente pequena em face das demais. Destacam-se entre eles as placas ou lajes, chapas, cascas e os pilares-parede. Conforme a sua função e geometria, os elementos estruturais recebem as seguintes designações: a)
Vigas: elementos lineares em que a flexão é preponderante;
b)
Pilares: elementos elementos lineares de eixo eixo reto, em que as forças de
compressão são preponderantes; c)
Tirantes: elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de
tração são preponderantes; d)
Arcos: elementos elementos lineares curvos curvos em que as forças normais normais de
compressão são preponderantes; e)
Placas: elementos de superfície plana, usualmente usualmente denominadas lajes,
estão sujeitas principalmente a ações normais a seu plano; f)
Chapas: elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações
contidas em seu plano. As chapas de concreto em que o vão for menor que três vezes a maior dimensão da seção transversal são usualmente denominados vigasparede; g)
Cascas: elementos de superfície não plana;
h)
Pilares-parede: elementos de superfície plana ou casca cilíndrica,
estão submetidos preponderantemente à compressão. Para que se tenha um pilarparede, em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, considerando a seção transversal do elemento.
6
2.2 Projeto de estruturas Segundo Associação Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural (ABECE), na concepção do projeto estrutural uma das principais preocupações deverá ser a integração entre as demais disciplinas, em especial especial a arquitetura. arquitetura . Para Botelho (2013), “O projetista estrutural e o profissional de instalaçõ es (hidráulica, eletricidade, ar condicionado etc) têm de conversar sempre com o arquiteto, portanto todos os documentos de projetos e suas modificações e evoluções, tudo isso, etapa por etapa, e com os acordos prévios devem ser obedecidos por todos. Fazer atas de reunião”. E imprescindível também que o projeto estrutural atenda a finalidade da edificação e aos requisitos de segurança, durabilidade e funcionalidade. Ao passo que, ao tomar tais cuidados é possível iniciar o planejamento e a elaboração do projeto estrutural, para isso deve-se deve- se seguir as seguintes etapas:
Figura 2.2 – Fluxograma de elaboração de projeto estrutural (CUSTÓDIO, 2010).
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2.3 Normas Técnicas Todo projeto estrutural deverá atender as recomendações das normas da Associação Brasileira Brasileira de Normas Técnicas – Técnicas – ABNT, ABNT, relacionadas abaixo:
NBR 6118:2007: Projeto de estruturas de concreto – concreto – Procedimento; Procedimento;
NBR 6120:1980: 6120:1980: Cargas para o cálculo de estruturas estruturas de edificações Procedimento;
NBR 7191:1982: Execução Execução de desenhos desenhos para obras de concreto simples ou armado;
NBR 6123:1988: Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento;
NBR 7480:1991: Barras e fios fios de aço destinados a armaduras de concreto armado – armado – Especificações; Especificações;
NBR 8681:2003: Ações e segurança nas estruturas – estruturas – Procedimentos; Procedimentos;
NBR 8953:1992: 8953:1992: Concreto Concreto para fins estruturais estruturais – – Classificação por grupos de resistência;
NBR 14931:2003: Execução de estruturas de concreto – concreto – Procedimento; Procedimento;
NBR 15575-2:2013: Edificações habitacionais – – Desempenho. Parte 2: Requisitos para os sistemas estruturais.
2.4 Concepção estrutural (pré-projeto) A concepção estrutural ou lançamento da estrutura consiste em definir um sistema estrutural que será a parte resistente do edifício. Tal solução adotada no projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura (PINHEIRO, 2007). É nesta etapa que se define o posicionamento dos elementos estruturais de forma a respeitar a distribuição dos diferentes ambientes nos diversos pavimentos. Além da estrutura ter que apresentar compatibilidade com as características do solo, onde ela se apoia (PINHEIRO, 2007). 2007 ). 8
Segundo Adão et al. (2010), as posições dos elementos estruturais são estritamente pessoais e devem respeitar o projeto arquitetônico. Sendo que, o lançamento inicial deverá ser feito pelo pavimento tipo. Não existindo pavimento tipo, ou seja, pavimentos que se repetem, recomenda-se iniciar o lançamento pelos pavimentos superiores em direção aos inferiores. De posse do pavimento superior,o lançamento estrutural é iniciado com a localização dos pilares e seguido do posicionamento das vigas e das lajes, sendo que, a compatibilização com o projeto arquitetônico deve ser l evado em conta. Segundo Adão et al. (2010), os pilares serão posicionados sem que se exija vigas grandes e pequenas demais, e ao mesmo tempo, não podem prejudicar a disposição dos cômodos e vagas na garagem. As vigas normalmente são coincidentes com as alvenarias, mas nem todas t odas alvenarias necessitam ter vigas. Quanto as lajes, recomenda-se que sejam retangulares e não tenham grande dimensões. É importante considerar no lançamento o comportamento dos elementos estruturais, visto que, as lajes recebem as cargas do piso e transferem para as vigas em seu contorno. As vigas por sua vez, recebem o peso da alvenaria e as reações das lajes e transferem para os pilares. E os pilares fornecem apoio às vigas, transferindo as cargas para as fundações. Para Pinheiro (2007), algumas recomendações na execução do lançamento são importantes: a)
Iniciar a localização dos pilares pelos cantos, em seguida continua
pelas áreas que geralmente são comuns a todos os pavimentos; b)
Dispor os pilares alinhados, a fim de formar pórticos com as vigas que
os unem. Os pórticos contribuem para a estabilidade global do edifício; c)
Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultam distância
entre seus eixos da ordem de 4m a 6m; d)
Direcionar o pilar de maneira a garantir maior rigidez a estrutura;
e)
Evitar alterar alterar a prumada do pilar em grandes edificações, pois exige
vigas de transições com altos carregamentos; f)
As vigas devem, devem, quando possível coincidir com as alvenarias, e
aquelas que ligam os pilares contribuem para forma o pórtico; 9
g)
As vigas vigas delimitam delimitam os painéis das lajes. E para lajes maciças maciças a
dimensão econômica é da ordem de 3,5m a 5,0m; h)
Sempre que possível procurar embutir nas paredes os pilares e vigas,
respeitando o projeto de arquitetura. A concepção estrutural não diz respeito apenas ao posicionamento posicionamento dos elementos estruturais, é necessário definir o tipo de sistema estrutural. Nos edifícios usuais empregam-se lajes maciças ou nervuradas, moldadas no local e pré-fabricadas. Já em casos específicos de grandes vãos, pode ser aplicada protensão para melhorar a resistência da estrutura. Há possibilidade de utilizar lajes sem vigas, apoiadas diretamente em pilares, com ou sem capitéis, denominadas lajes-cogumelos, e lajes planas, respectivamente r espectivamente (PINHEIRO, 2007). A escolha do sistema estrutural está condicionada condicionada a fatores técnicos e econômicos. Em caso de edifícios residenciais e comerciais, a escolha do tipo de estrutura praticamente é condicionada pelos fatores econômicos, tendo em vista que as condições técnicas para projeto e construção já são conhecidas da Engenharia de Estrutura e Construção (PINHEIRO, 2007).
2.5 Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento dos elementos estruturais estruturais Segundo Araújo (2009), as dimensões dos elementos estruturais são escolhidos a priori, levando-se em conta os seguintes fatores: vãos de lajes e vigas, altura do edifício, número de pilares em cada direção, etc. Em todo caso, recorre-se a experiências anteriores, sendo que essas dimensões são necessárias para início dos cálculos, podendo ser alteradas à medida que a elaboração do projeto vai avançando. Para Pinheiro (2007), (2007), “o pré-dimensionamento pré-dimensionamento dos elementos estruturais é necessário para que se possa calcular o peso próprio da estrutura, que é a primeira parcela considerada no cálculo das ações”.
10
2.5.1 Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento da lajes Os tipos usuais de lajes são: maciças, cogumelo, nervurada e mista. Esse trabalho fará uma abordagem sobre as l ajes do tipo maciça. De acordo com a NBR 6118:2007, item 13.2.4.1, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: a)
5 cm para lajes de cobertura não em balanço;
b)
7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
c)
10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor menor ou igual a
d)
12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30KN.
30 KN;
A espessura da laje está representada na Figura 2.3 e pode ser obtida por meio da equação 2.1:
= + + ∅
(Equação 2.1)
onde: h = altura total da seção (espessura) d = altura útil da laje (distância do centro de gravidade da armadura de tração à fibra mais comprimida);
∅ = diâmetro da armadura de tração c = cobrimento nominal da armadura
Figura 2.3 – Seção transversal da laje (PINHEIRO, 2007).
O cobrimento nominal da armadura (c) é o cobrimento mínimo (c min) acrescido de uma tolerância de execução ( ∆c), conforme equação 2.2: 11
= +
(Equação 2.2)
De acordo com a NBR 6118:2007, item 7.4.7.3, nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Entretanto, o item 7.4.7.4, admite que se adote ∆c= 5mm, desde que haja um controle control e rigoroso da qualidade de execução. O valor do cobrimento depende ainda da classe de agressividade ambiental, que é classificada de acorda com a tabela 6.1 da NBR 6118:2007. Após a classe de agressividade ambiental ser escolhida é possível por meio da tabela 7.2 da NBR 6118:2007 adotar o valor do cobrimento nominal para a laje. Segundo Carvalho et al. (2009), as lajes maciças retangulares de concreto armado em condições de deformações – deformações – limite limite estariam atendidas quando o valor da altura útil (d) respeitar à seguinte condição:
≥
(Equação 2.3)
.
onde:
Ψ = coeficiente dependente da condições de vinculação e dimensões da laje ( tabela 2
2.1a – 2.1a – Pinheiro); Pinheiro); 2.1a – Pinheiro); Pinheiro); Ψ = coeficiente que depende do tipo de aço (tabela 2.1a – 3
l = menor dos dois vãos da laje.
2.5.2 Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento das vigas Segundo Pinheiro (2007), uma estimativa grosseira para a altura das vigas é dada por:
ℎ = ; ã 12
a)
Tramos internos:
b)
Tramos externos ou vigas biapoiadas:
c)
Balanços:
ℎ =
5
ℎ = ; ã 10
ç
Em vigas a relação entre altura total e a altura útil é dada pela equação 2.4 e sua seção transversal e representada pela Figura 2.4:
= + + ∅ + ∅ 12
(Equação 2.4)
onde: h = altura total da seção; d = altura útil (distância do centro de gravidade da armadura longitudinal à fibra mais comprimida); c = cobrimento nominal da armadura; ar madura;
∅ = diâmetro do estribo; ∅ = diâmetro das barras longitudinais.
Figura 2.4 – Seção transversal da viga. (PINHEIRO, 2007)
De acordo com a NBR. 6118:2007, item 13.2.2, a seção transversal das vigas não devem apresentam largura menor que 12 cm, em caso excepcional esse limite pode ser reduzido para 10 cm.
2.5.3 Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento dos pilares A área da seção transversal de um pilar pi lar não pode ser inferior a 360 cm², e sua menor dimensão não deve ser menor que 19 cm. Em casos especiais, permitese a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional de acordo com a tabela 13.1 da NBR 6118:2007. Segundo Pinheiro (2007), é possível iniciar o pré-dimensionamento dos pilares estimando a sua carga, por meio de processo das áreas de influência. Este processo consiste em dividir a área total do pavimento em áreas de influência, relativas a cada pilar. A seção do pilar é estimada utilizando a equação 2.5: 13
= − − . . . + , + , . ,
(Equação 2.5)
onde: Ac = área da seção transversal transversal do pilar (cm²);
= coeficiente que leva leva em conta conta as excentricidades excentricidades da carga, e pode pode ser:
1,3 → pilares pilar es internos ou de extremidade, na direção da maior dimensão;
1,5 → pilares de extremidade, extremidade, na direção da menor dimensão;
1,8 → pilares de canto.
Ai = área da influência do pilar (m²); n = número de pavimentos tipo; (n + 0,7) = número que considera a cobertura, com carga estimada em 70% da relativa ao pavimento tipo; f ck resistência característica do concreto concreto (kN/cm²). (kN/cm²). ck = resistência
2.6 Análise estrutural “É o conjunto de simplificações adicionais, após a análise inicial da edificação, que visam tornar o projeto estrutural exequível, por meio de novas decomposições virtuais, subdividindo a estrutura em grupos de elementos estruturais mais simples, que possam ser tratados separadamente por modelos esquemáticos esquemát icos da Teoria das Estruturas” (CLÍMACO, 2008). Segundo a NBR 6118:2007, item 14.2.1, o objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviços. No item 14.2.2, a norma apresenta as premissas necessárias à análise estrutural, dentre elas, destaca-se a análise que deve ser feita com um modelo estrutural realista, e que permita representar de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura, permitindo ainda representar a resposta não linear dos materiais. Os principais modelos estruturais compostos por elementos lineares, de acordo com Fontes (2005): 14
a)
Vigas Contínuas: originam-se de divisão da estrutura em partes, para
a análise de estruturas solicitadas por ações verticais. O modelo é simples e consiste em vigas isoladas que recebem os carregamentos provenientes de peso próprio, lajes, alvenarias, outras vigas, entre outros. Os esforços predominantes são os momentos fletores e os esforços cortantes, conforme Figura 2.5. 2.5. Caso seja necessário a consideração da torção é preciso de um outro modelo. O modelo clássico de vigas contínuas considera a viga simplesmente simplesmente apoiada nos pilares, mas para isso deve-se considerar as observações do item 14.6.7.1 da NBR 6118:2007;
Figura 2.5 – Viga contínua e representação dos esforços predominantes. (Ftool)
b)
Pórticos Planos: são composições de elementos lineares situados
num mesmo plano,e são mais precisos que as vigas contínuas, pois levam em conta a transmissão de esforços entre os elementos que constituem o pórtico. Os pórticos planos referentes a análise horizontal (análise de estabilidade), permitem a associação dos diferentes pórticos de uma mesma direção, por meio de barras rígidas (Figura 2.6). 2.6). O modelo de pórticos planos tem como limitação, a incapacidade de avaliar os efeitos de torção, além da associação de pórticos ficar restrita a edifícios simétricos;
15
Figura 2.6 – Pórticos planos associados com cargas verticais e horizontais. (Ftool)
c)
Pórticos Espaciais: são formados por elementos lineares com
ligações rígidas, semi-rígidas ou flexíveis. A NBR 6118:2007, item 14.6.7.2, indica que, devido à fissuração, a rigidez das vigas à torção pode ser reduzida para 15% da rigidez elástica, assim como nas grelhas. O modelo tridimensional (Figura 2.7) é 2.7) é o mais completo para análise estrutural, por ser capaz de determinar momentos fletores e de torção, e esforços cortantes e normais, de todos os elementos;
Figura 2.7 – Modelo Estrutural composto por grelha e pórtico espacial. (TQS, adaptado)
d)
Grelhas: são estruturas planas formadas por barras, e que recebem
carregamento perpendicular ao seu plano. Em edifícios, as grelhas podem ser formadas exclusivamente por vigas, ou associadas às lajes adjacentes. As lajes podem ser satisfatoriamente modeladas como uma malha de barras (Figura 2.7), 2.7), 16
com rigidez à flexão e rigidez à torção referentes às das faixas de lajes por elas representadas. Fontes (2005), afirma que a análise de uma estrutura, via modelos que a representem como um todo, é a mais precisa e, portanto, a mais indicada. Em sua dissertação é comparado os modelos estruturais de vigas contínuas, pórticos planos e pórticos espaciais, tomando-se por base a análise linear de um edifício de oito pavimentos mais o subsolo. A conclusão de sua análise referente à ações verticais é que o modelo de vigas contínuas é recomendado somente para edifícios de menor porta de até 4 pavimentos, e sempre que possível, deve ser dada preferência a utilização do Pórtico Espacial. Já na análise de ações horizontais o ideal é utilizar o modelo de Pórticos Planos Associados com barras rígidas, para que se possa medir de forma coerente os deslocamentos horizontais horizontais da estrutura. Para que seja possível equacionar o problema de análise estrutural de um edifício, é necessário idealizar também o comportamento dos materiais que o constituir. De acordo com a NBR 6118:2007, item 14.5.1, a análise quanto a esse aspecto pode ser efetuada por diversos métodos apresentados nos itens 14.5.2 ao 14.5.6, permitindo cinco diferentes tipos de análise: análise linear, análise linear com redistribuição, análise plástica, análise não-linear e análise através de modelos físicos. Para aceitação do projeto ou obra é suficiente mostrar a conformidade com a norma em pelo menos um desses modelos. Todos os modelos admitem que os deslocamentos da estrutura são pequenos.
2.7 Dimensionamento Dimensionamento para o estado limite último (ELU) 2.7.1 Considerações iniciais Segundo a NBR 6118:2007, item 17.2.2, as hipóteses básicas de dimensionamento à flexão simples ou composta dos elementos sujeitos a solicitações normais no estado limite último (ELU) são: a)
As seções transversais se mantêm planas após deformação;
17
b)
A deformação deformação das barras passivas passivas aderentes, aderentes, em tração ou
compressão, deve ser o mesmo do concreto em seu entorno; c)
As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem
ser desprezadas, obrigatoriamente no ELU, ou seja, no estado limite último as tensões de tração devem ser resistidas unicamente pelas armaduras; d)
A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama
parábola-retângulo, representado na Figura na Figura 2.8, com 2.8, com tensão de pico igual a 0,85.f cd cd;
Figura 2.8 – Diagrama parábola-retângulo para concreto em compressão (NBR 6118).
Na Figura Na Figura 2.8, ξc e σc representam a deformação e a tensão de compressão, respectivamente, e f cd cd é a resistência à compressão de cálculo do concreto, conforme equação 2.6.
=
(Equação 2.6)
onde: r esistência característica à compressão; compressão; = é a resistência = é um coeficiente de segurança (tabela 12.1, NBR 6118:2007). Segundo Araújo (2009), como uma alternativa o diagrama parábolaretângulo descrito na Figura 2.8, pode 2.8, pode ser simplificado pelo diagrama retangular da Figura 2.9, 2.9, tendo em vista que os resultados são compatíveis com o diagrama parábola-retângulo.
18
Figura 2.9 – Diagrama retangular para o concreto (Araújo, 2009).
De acordo com a Figura a Figura 2.9, a 2.9, a profundidade da linha neutra é representada por x, medida a partir da borda comprimida da seção. Deve-se considerar que a seção e comprimida com a tensão constante σc = 0,85.f cd cd até uma profundidade 0,8x. e)
A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-
deformação (Figura 2.10); 2.10); f)
O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das
deformações nas seção transversal pertencer a um dos domínios representados pela Figura pela Figura 2.11.
diagrama característico
diagrama de cálculo
Figura 2.10 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (adaptado, NBR. 6118:2007).
19
Figura 2.11 - Domínio de estado limite limite último de uma seção transversal (NBR (NBR 6118:2007).
20
De acordo com Clímaco (2008), o alongamento máximo da armadura de tração é de 10 ‰, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no estado limite último, e o encurtamento de ruptura do concreto é de 2 ‰, na compressão simples, e de 3,5 ‰, na flexão simples.
2.7.2 Seções retangulares com armadura armadura longitudinal simples Uma seção de concreto é dimensionada com armadura simples quando o cálculo á flexão mostra a necessidade apenas de armadura na zona de tração. Já na zona de compressão, somente o concreto é suficiente (CLÍMACO, 2008). Segundo Araújo (2009), as peças superarmadas são aquelas que rompem rompem no domínio 4. Em virtude do excesso de armação, o aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto. A ruptura é frágil, brusca ou sem aviso prévio, enquanto que a ruptura nos domínios 2 e 3 é do tipo dúctil, ou com aviso prévio, o que é sempre desejável. Portanto, o dimensionamento com armadura simples pressupõe que a ruptura ocorre no domínio 2 ou 3.
De acordo com Clímaco (2008), o alongamento máximo da armadura de tração é de 10 ‰, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no estado limite último, e o encurtamento de ruptura do concreto é de 2 ‰, na compressão simples, e de 3,5 ‰, na flexão simples.
2.7.2 Seções retangulares com armadura armadura longitudinal simples Uma seção de concreto é dimensionada com armadura simples quando o cálculo á flexão mostra a necessidade apenas de armadura na zona de tração. Já na zona de compressão, somente o concreto é suficiente (CLÍMACO, 2008). Segundo Araújo (2009), as peças superarmadas são aquelas que rompem rompem no domínio 4. Em virtude do excesso de armação, o aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto. A ruptura é frágil, brusca ou sem aviso prévio, enquanto que a ruptura nos domínios 2 e 3 é do tipo dúctil, ou com aviso prévio, o que é sempre desejável. Portanto, o dimensionamento com armadura simples pressupõe que a ruptura ocorre no domínio 2 ou 3. Para realizar o dimensionamento com armadura simples no estado limite último é necessário verificar as deformações específicas do aço e do concreto, conforme equação 2.7.
=
− = −
(Equação 2.7)
Para Clímaco (2008), é interessante formular o adimensional k x = x / d, chamado profundidade relativa da linha neutra. E substituindo esse adimensional na equação 2.7, obtém-se equação 2.8.
= = +
(Equação 2.8)
Com os valores limites das deformações máximas do aço e do concreto, podem ser definidos os intervalos entre os domínios. Segundo Araújo, durante muito tempo, o dimensionamento com armadura simples foi feito considerando todo o domínio 3, ou seja, representando a 21
profundidade da linha neutra no limite entre os domínios 3 e 4. A condição de deformação nesse intervalo é denominada deformação balanceada. A profundidade relativa da linha neutra nessa condição balanceada é dada pela equação 2.9.
‰ = ‰ ,
,
+
(Equação 2.9)
Neste caso, a profundidade relativa da linha neutra só depende do aço empregado, sendo independente da resistência à compressão do concreto. Araújo (2009) considera os aços CA-50 e CA-60, com módulo de elasticidade E s = 200GPa, pois segundo ele todas as normas inclusive a CEB/90 levam em conta esse valor, exceto a NBR 6118. Consequentemente, os valores de Kx,lim, entre os domínios 3 e 4,são 0,617 0,617 para o aço CA-50 e 0,573 para o aço CA60. De acordo com Clímaco (2003), o módulo de elasticidade E s = 210GPa, conforme a NBR 6118:2007, e os valores de K x,lim, entre os domínios 3 e 4, serão 0,628 para o aço CA-50 e 0,585 para o aço CA-60. Entretanto, neste trabalho serão adotadas as considerações de Araújo (2009) em que é feita uma alteração no limite entre as soluções com armadura simples e com armadura dupla. Essas alterações visam adaptar o modelo de dimensionamento às recomendações do CEB/90 e fazer uma melhor concordância com a NBR 6118. Segundo Araújo (2009), é conveniente limitar a profundidade da linha neutra de modo que seja bem menor que a profundidade balanceada (X b). Desse modo, conforme visto anteriormente, a profundidade relativa da linha neutra ( K x,lim) deve ser reduzida, para que se tenha uma ruptura distante do domínio 4. Assim, a parte final do domínio 3 deve ser evitada para garantir uma maior ductibilidade da viga, conforme a Figura a Figura 2.12.
22
Figura 2.12 – Profundidade limite da linha neutra para garantir ductibilidade adequada (ARAÚJO, 2009)
Para Gamino (2003), a ductibilidade é a medida da habilidade de um material, seção, elemento estrutural ou sistema estrutural de sofrer deformações inelásticas nas vizinhanças de um possível ruptura, sem que ocorra perda substancial de sua capacidade resistente. De acordo com o CEB/90, a profundidade relativa da linha neutra, K x,lim, deve ser limitada aos valores conforme a Tabela 2.1, 2.1, para garantir a ductibilidade adequada da armadura tracionada. Tabela 2.1 – Valores de Kx,lim para garantir ductibilidade adequada do aço
Profundidade Relativa da Linha Neutra (xlim /d) Kx,lim
CONCRETO f cckk≤ 35 MPa 0,45
f cckk> 35 MPa 0,35
Esses valores de K x,lim são válidos sempre que o dimensionamento for feito para os momentos fletores obtidos em uma análise elástica li near (sem redistribuição de esforços). E a desconsideração de parte do domínio 3 permite uma maior segurança, uma vez que a abertura de fissuras de uma viga de concreto é diretamente proporcional à deformação da armadura traci onada, logo quanto maior a deformação da armadura, maior será o aviso prévio da ruptura, manifestada por fissuras intensa. Esse fato permite o seu escoramento e a execução do reforço estrutural necessário (ARAÚJO, 2009). Segundo a NBR 6118:2007, nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, quando não feitas redistribuições de esforços, devem-se adotar K x,lim igual a 0,50 para f ck ck ≤ 35 MPa e 0,40 para f ck ck > 35 MPa.
23
A NBR 6118:2007 é mais tolerante que o CEB, além de não ser clara quanto ao procedimento a ser adotado par as seções de momentos positivos, situados nos vãos das vigas. Podendo-se subentender que a norma está permitindo adotar X lim = Xb (figura 2.12) nesses casos (ARAÚJO, 2009).
2.7.3 Roteiro para para o dimensionamento de seções seções retangulares A partir das dimensões da seção transversal (b w, h e d), das propriedades dos materiais empregados (aço - f yk yk e do concreto - f ck ck), e do momento fletor característico (Mk) é possível calcular a área de aço (A s) para flexão seguindo os passos abaixo:
3)
= . , com = 1,4 em geral; = , onde σ = 0,85.f ; = 1,25 − 1,917 . 0,425 0 ,425 − , onde K ≤ K
4)
Kx,lim = 0,45 , se f ck ck≤ 35 MPa ou K x,lim = 0,35 , se f ck ck> 35 MPa;
5)
Kz = 1 – 1 – 0,4.K 0,4.Kx ;
6)
= ,
1) 2)
c
. 2 .
cd cd
x
.
.
onde
= = ,
x,lim ;
sendo
= 1,15
e
é
a
resistência característica ao escoamento do aço; 7)
Comparar a armadura armadura calculada calculada (As) com com a armadura armadura mínimo: mínimo:
= . . ℎ , onde é a taxa mínima de armadura a flexão é pode ser ,
obtido pela NBR 6118:2007. Caso As ≥ As,min adota-se a armadura calculada, caso contrário a armadura mínima. É possível desconsiderar o passo 2, ou seja, o cálculo do K md. Para isso é necessário fixar o K x = Kx,lim,de acordo com o passo 4 e prosseguir o cálculo até o passo 7.
2.7.4 Cálculo da armadura transversal As seções transversais dos elementos estruturais lineares de concreto armado não estão sujeitas apenas à flexão pura, ou seja, elementos estruturais lineares como vigas, que estão submetidos a um carregamento vertical qualquer, 24
com ou sem força normal, estão trabalhando em flexão simples ou composta nãopura, sendo variável, nesta situação, o momento fletor, e sendo a força cortante, portanto, diferente de zero, surgindo na seção transversal, além das tensões normais, tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante (CARVALHO et al., 2009). Por volta de 1.900, W. Ritter e E. Mörsch (Mörsh,1948), propuseram uma teoria para determinar a armadura de cisalhamento necessária ao equilíbrio de uma viga de concreto armado, em que o mecanismo resistente da viga no estádio II (fissurado) pudesse ser associado ao de uma treliça e que as armaduras e o concreto equilibrassem, conjuntamente, o esforço cortante (CARVALHO et al., 2009). A grande vantagem do modelo proposto por Mörsch (treliça clássica -Figura 2.13) é 2.13) é que, embora sendo simples, o modelo conduz a resultados satisfatório para a quantidade da armadura transversal no estado limite último.
Figura 2.13 - Analogia da treliça clássica (CAMACHO, 2004).
25
Os elementos que compõe a treliça clássica, na Figura na Figura 2.13, são: 2.13, são:
BC = banzo comprimido: formado pela zona comprimida comprimida de concreto;
BT = banzo tracionado: formado pelas barras da armadura longitudinal
de tração;
DC = diagonal comprimida: formada pelas bielas comprimidas de
concreto;
DT = diagonal tracionada: formada pela armadura transversal;
α
= inclinação da diagonal diagonal tracionada tracionada (armadura); (armadura);
β
= inclinação das bielas de concreto (ou das fissuras).
O cálculo da armadura transversal e a verificação das tensões nas bielas comprimidas, em elementos lineares sujeitos à força cortante, serão realizados de acordo com as hipóteses e os modelos apresentados pela NBR 6118:2007, no item 17.4. As prescrições da Norma aplicam-se a elementos lineares armados ou protendidos, submetidos a força cortante, eventualmente combinadas com outros esforços solicitantes. Não se aplicam a elementos de volume, lajes, vigas-parede e consolos curtos. De acordo com a NBR 6118:2007, para elementos lineares admitem dois modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional V c. O ângulo de inclinação
α
armaduras transversais (item 17.4.1.1.5 da NBR
6118) em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45º ≤ α ≤ 90º.
2.7.4.1 Verificação do estado limite último Segundo Carvalho et al. (2009), a resistência da peça, em determinada seção transversal, será satisfatória quando forem verificadas, simultaneamente, as seguintes condições:
≤ 26
(Equação 2.10)
≤ = +
(Equação 2.11)
onde: Vsd = força cortante de serviço na seção; VRd2= força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com os modelos de cálculo I ou II; VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; Vc = parcela de força cortante absorvida por mecanismo complementares ao de treliça; e Vsw = parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, de acordo com os modelos I ou II.
2.7.4.2 Modelo de cálculo cálculo O modelo de cálculo adotado neste trabalho será o modelo I. De acordo com NBR 6118:2007, item 17.4.2.2, o modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45º em relação rel ação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar V c tenha valor constante, independente de V sd. a)
Verificação da compressão compressão diagonal do concreto:
= , . ∝ . . .
(Equação 2.12)
onde: αv2 = (1 - f ck ck/250), sendo f ck ck em MPa; VRd2= força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com os modelos de cálculo I. b)
Cálculo da armadura transversal: transversal:
= +
(Equação 2.13)
sendo que a força cortante resistente de cálculo V Rd3 deve ser no mínimo igual à força cortante de serviço de cálculo V sd (VRd3 = Vsd). Assim:
= + 27
(Equação 2.14)
onde: Vc = 0,6 . f ctd ctd . b . d ; 2/3 f ctd ctd = 0,15 . f ck ck ;
b = menor largura da seção; e d = altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração. A força cortante resistida pela armadura transversal, tr ansversal, para estribos verticais, em certa seção é expressa pela equação 2.15.
= . , . .
(Equação 2.15)
onde: Asw = área da seção transversal dos estribos; s = espaçamento entre elementos da armadura transversal A sw, medido segundo o eixo longitudinal da peça; f ymd ymd = tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor f yd, no caso de estribos, e a 70% desse valor, no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;
28
3
TABELAS PRÁTICAS Esse capitulo abordará o desenvolvimento de tabelas práticas, elaboradas
em planilhas eletrônicas em ambiente Microsoft Excel, para o dimensionamento no estado limite último (ELU) de lajes maciças retangulares e vigas, ambas de concreto armado.
3.1 Tabelas práticas para laje maciça retangular As lajes são os primeiros elementos estruturais a receberem os carregamentos. São elementos estruturais superficiais, como visto no sub-item 2.1, que podem ser classificados em dois tipos: a)
Lajes armadas nas duas direções (laje em cruz), as duas armaduras
são calculadas para resistir os momentos fletores nessas direções. Condição: relação entre as duas dimensões horizontais deve ser menor ou igual a 2 (ver Figura 3.1); b)
Lajes armadas em uma direção, também armada nas duas direções.
No entanto, a armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir o momento fletor nessa direção. Portanto, a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigas-faixas na direção do menor vão, e a armadura na direção do maior vão é apenas de distribuição. Condição: relação entre as duas dimensões horizontais deve ser maior que 2 (ver Figura Figura 3.1). 3.1).
Figura 3.1 – Vãos teóricos lx (menor vão) e l y (maior vão) (PINHEIRO, 2007).
29
Tendo em vista essa classificação e as hipóteses da Tabela 3.1, foi 3.1, foi possível desenvolver uma tabela prática que englobe todos os parâmetros e recomendações da NBR 6118:2007. Tabela 3.1 – Hipóteses e parâmetros para lajes maciças retangulares em concreto armado
Hipóteses para lajes Cálculo do Momento de Serviço:
= . . => = = . . . ç
,
Msd = ϒf .M .Mk ; ϒf = 1,4
,
Valores do Momento de Serviço de acordo com K md,lim:
= . . => = ≤ . ². , á
2
,
≤ ℎ8 Slim≤ 2.h ou 20cm bw = 100cm h=d+c
Parâmetros Materiais Kx,lim Kmd,lim Kz,lim Concreto f ck 15178,57 57 kN/m² kN/m² ck = 25MPa cd = 15178, Aço CA-50 f yk 434782,61 kN/m² kN/m² yk = 500MPa sd = 434782,61 0,450 0,251 0,820 Aço CA-60 f yk 521739,13 kN/m² kN/m² yk = 600MPa sd = 521739,13 rea de aço mínima de acordo com NBR 6118:2007 Armadura Positiva Armadura Laje em cruz Laje em uma direção Negativa Principal Principal As,min≥min.bw.h As,min≥ 0,67.min.bw.h As,min≥min.bw.h
σ σ σ
Caso Msd = Mmin = As,min.Kz,lim.d.
f cckk (MPa) min (%)
; adotar Armadura mínima (A
20 0,15
25 0,15
30 0,173
s,min)
35 0,201
O objetivo da tabela para o dimensionamento de lajes é que de posse de todos os parâmetros da Tabela 3.1 e da relação de aço de acordo com o espaçamento (Tabela 3.2), 3.2), é possível determinar os momentos fletores de serviços no intervalo limitado pelo domínio 2 e 3, com exclusão de parte do domínio 3, visando a ductibilidade do aço, conforme dito no sub-item 2.6.2. Tabela 3.2 – Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de comprimento (cm²/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480:1996.
Esp. (cm) 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0
3 ,4 0,91 0,86 0,83 0,79 0,76
44,,2 1,39 1,32 1,26 1,20 1,15
As (cm²/m) 5 6 ,3 8 1,96 3,12 5,03 1,87 2,97 4,79 1,78 2,83 4,57 1,71 2,71 4,37 1,64 2,60 4,19
10 7,85 7,48 7,14 6,83 6,54
1 2 ,5 12,27 11,69 11,16 10,67 10,23
16 20,11 19,15 18,28 17,48 16,76 (continua)
30
(continuação)
Esp. (cm) 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0
3 ,4 0,73 0,70 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55 0,53 0,52 0,50 0,49 0,48 0,47 0,45
44,,2 1,11 1,07 1,03 0,99 0,96 0,92 0,89 0,87 0,84 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69
As (cm²/m) 5 6 ,3 8 1,57 2,49 4,02 1,51 2,40 3,87 1,45 2,31 3,72 1,40 2,23 3,59 1,35 2,15 3,47 1,31 2,08 3,35 1,27 2,01 3,24 1,23 1,95 3,14 1,19 1,89 3,05 1,15 1,83 2,96 1,12 1,78 2,87 1,09 1,73 2,79 1,06 1,68 2,72 1,03 1,64 2,65 1,01 1,60 2,58 0,98 1,56 2,51
10 6,28 6,04 5,82 5,61 5,42 5,24 5,07 4,91 4,76 4,62 4,49 4,36 4,25 4,13 4,03 3,93
1 2 ,5 9,82 9,44 9,09 8,77 8,46 8,18 7,92 7,67 7,44 7,22 7,01 6,82 6,63 6,46 6,29 6,14
16 16,08 15,47 14,89 14,36 13,87 13,40 12,97 12,57 12,19 11,83 11,49 11,17 10,87 10,58 10,31 10,05
Apenas para para o Aço CA-60
As tabelas práticas pr áticas foram desenvolvidas apenas com as bitolas de aço mais utilizadas na construções de edifícios e com os espaçamentos usuais para armação principal, variando de 10 a 20cm. Já o concreto como visto na Tabela na Tabela 3.1 foi adotado com fck = 25 MPa (C-25), procurando ainda respeitar o limite para armadura mínima que depende das características do concreto e da seção transversal. Caso o momento fletor de serviço seja igual ou menor que o momento fletor mínimo, basta adotar a armadura mínima (A s,min). No apêndice B (Tabelas A.1 ao A.14), estão localizadas as tabelas práticas para armação de lajes retangulares em cruz, à flexão normal simples, e com altura (h) da seção variando de 7 a 20cm. Note que para lajes armadas em uma direção, pode-se adotar as mesmas tabelas de lajes armadas em cruz para armadura negativa, visto que que as hipóteses hipóteses e considerações, considerações, como armadura mínima, mínima, são as mesmas.
31
3.2 Tabelas práticas para vigas 3.2.1 Armadura longitudinal As vigas, em geral, servem de apoio para lajes e paredes, conduzindo suas cargas até os pilares. Elas são elementos lineares em que a flexão é preponderante, portanto, os esforços predominantes são momento fletor e força cortante (PINHEIRO, 2007). Neste trabalho o efeito do vento não será considerado, as vigas serão dimensionadas apenas para resistir às ações verticais. Segundo Carvalho et al. (2009), em uma viga de concreto armado, conhecendo-se o diagrama de momentos fletores, as dimensões da seção transversal e as características mecânicas do concreto e aço, é possível determinar a armadura longitudinal necessária em cada seção. A partir desses conceitos e com auxilio do programa Microsoft Excel é possível desenvolver tabelas práticas para o cálculo da armadura longitudinal das vigas de concreto armado, que englobe todas os parâmetros e recomendações da NBR 6118:2007, e fornece os momentos de serviço, conforme Tabela conforme Tabela 3.3. Tabela 3.3 - Hipóteses para armadura longitudinal (flexão) para vigas.
Hipóteses para armadura longitudinal (flexão) no estado limite último Cálculo do Momento de Serviço: Msd = ϒf .M .Mk ; ϒf = 1,4
= . . => = = . . . = ℎ − − − Φ2 ç
,
,
Valores do Momento de Serviço de acordo com K md,lim:
= . . => = ≤ . . ². 2
, á
,
c = 3,0cm (CAA-II) b = largura da viga h = altura da viga
Parâmetros Concreto C-25 Aço CA-50
Materiais f ck ck = 25 MPa f yk yk = 500MPa
Kx,lim 15178,57 ,57 kN/m² kN/m² cd = 15178 434782,61 kN/m² kN/m² 0,450 sd = 434782,61
σ σ
Kmd,lim 0,251
Kz,lim 0,820
Área de aço mínima de acordo com NBR 6118:2007 As,min ≥ min.b.h = 0,15% . b . h ; ( min = 0,15% para C-25) As tabelas práticas de vigas foram desenvolvidas para uma combinação de bitolas usuais, representadas na Tabela 3.4. As 3.4. As tabelas para dimensionamento de 32
vigas quanto armadura longitudinais estão localizadas no apêndice B (Tabelas A.15 ao A.24) e apresentam seções transversais variando a largura de 10 a 40 cm, e a altura de 20 a 60cm. Tabela 3.4 - Combinação de bitolas (mm) de aço usuais.
Armadura (bitolas Área de aço em mm) (cm²) 0,63 2 φ 6,3 0,95 3 φ 6,3 1,00 2 φ 8 1,13 2 φ 6,3 + 1 φ 8 1,26 4 φ 6,3 1,32 2 φ 8 + 1 φ 6,3 1,50 3 φ 8 1,60 2 φ 10 2,00 4 φ 8 2,10 2 φ 10 + 1 φ 8 2,40 3 φ 10 2,50 2 φ 12,5 2,60 2 φ 10 + 2 φ 8 2,82 2 φ 12,5 + 1 φ 6,3
Armadura (bitolas Área de aço em mm) (cm²) 3,00 6 φ 8 3,20 4 φ 10 3,60 2 φ 10 + 1 φ 16 3,75 3 φ 12,5 4,00 5 φ 10 4,10 2 φ 12,5 + 1 φ 10 4,50 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,80 6 φ 10 5,00 4 φ 12,5 6,00 3 φ 16 6,25 5 φ 12,5 7,50 6 φ 12,5 8,00 4 φ 16
3.2.2 Armadura transversal Como visto anteriormente, as vigas submetidas a um carregamento vertical sofrem tensões normais, e tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante. Isso implica no dimensionamento de armadura para os esforços cortantes, ou seja, além da armadura longitudinal para resistir ao momento fletor é necessário de armadura transversal para resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes. As armaduras transversais podem ser constituídas por estribos, combinados combinados ou não com barras dobradas ou barras soldadas, e devem ser projetadas de acordo com as prescrições do item 17.4 da NBR 6118. Os estribos para forças cortantes devem ser fechados por meio de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de t ração, e ancorados na face oposta. O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga (5 mm barra for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12mm. 33
≤ φt ≤ b/10).
Quando a
O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições condições da NBR 6118:2007, 6118:2007, item 18.3.3.2:
Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm;
Se Vsd > 0,67 VRd2, então smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
A partir dessas recomendações, recomendações, das prescrições da NBR 6118:2007 do modelo de cálculo I e utilizando o programa Microsoft Excel é possível desenvolver tabelas práticas para o cálculo da armadura transversal das vigas de concreto armado, conforme Tabela 3.5. Tabela 3.5 - Hipóteses para armadura transversal para viga.
Hipóteses para armadura transversal transversal - Modelo de cálculo I Vsd ≤ VRd2 VRd2 = 0,27 . (1 - f ck ck/250) . Ϭcd . b . d Vc = 0,6 . f ctd ctd . b . d Vsd = Vsw + Vc Vsw = (Asw / s) . 0,9 . d . Ϭsd Cálculo do Esforço Cortante de Serviço: 2/3 Vsd = (Asw / s) . 0,9 . d . Ϭsd + 0,6 . 0,15 . f ck ck . b . d ≤ VRd2
rea de aço mínima (cm²/m) Asw,min = 0,10% . 100 . b Obs: de acordo com NBR 6118, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos dos estribos não pode ser superior a 435 MPa.
Para utilizar as tabelas práticas de armadura transversal, localizadas no apêndice B (Tabelas A.25 ao A.34), é necessário primeiro obter o maior esforço cortante de serviço na viga, e de posse desse esforço e da seção transversal (b x h), deve-se escolher a bitola e o espaçamento adequado.
34
4
DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DE UM EDIFÍCIO COM TABELAS PRÁTICAS O edifício a ser dimensionado é composto por subsolo, pavimento térreo,
mezanino, 1ª pavimento e cobertura. Trata-se de um edifício comercial com depósito no subsolo, uma loja no pavimento térreo com copa e lavabo, e o 1ª pavimento com uma loja/escritório com copa e lavabo. A cobertura do edifício é composta por estrutura metálica e telha de fibrocimento embutida em platibanda de h: 1,00m, além de possuir um reservatório de 750l. A escolha dos materiais utilizados na estrutura deve ser realizada antes do início do dimensionamento, visto que para o dimensionamento é necessário conhecer a disponibilidade comercial e as características físico-químicas dos materiais empregados. Para os aços, emprega-se o aço CA-50 nos elementos estruturais que exigem barras de maior diâmetro (armadura longitudinais de vigas, pilares, escadas e fundação). Já locais que exigem barras de pequeno diâmetro (estribos, armaduras de lajes com pequenos carregamentos ou marquises) serão empregados o aço CA-60. De acordo com Araújo (2009), é conveniente reduzir o número de diâmetros empregados no projeto, tendo em vista que uma maior uniformização dos diâmetros utilizados permite um maior aproveitamento de sobras, reduzindo as perdas. É preciso ainda definir a resistência à compressão do concreto e a classe da agressividade ambiental, neste dimensionamento será adotado a classe do concreto C-25 (fck = 25 MPa aos 28 dias) e classe de agressividade ambiental II (CAA-II).
4.1 Pré-lançamento Pré-lançamento da estrutura estrutura A partir do projeto arquitetônico (Anexo I), define-se as locações dos elementos estruturais de acordo o modelo convencional, procurando não ultrapassar a distância de 6 m entre um pilar e outro. Para o pré-dimensionamento foi considerado os seguintes fatores: vãos de lajes e vigas, altura do edifício, área de influência dos pilares, etc.
35
O pré-dimensionamento dos pilares foi definido a partir de estimativas preliminares do carregamento, por meio do processo das áreas de influência, conforme Tabela conforme Tabela 4.1. Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento dos pilares
Pilar P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9* P10* PC1 PM1
b (cm) 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 43,0 36,0 12,0 12,0
α
1,8 1,8 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,8 1,3
Ai (m²) n + 0,7 4,22 2,7 4,22 3,7 4,00 2,7 6,00 2,7 4,00 3,7 7,50 3,7 3,00 3,7 4,20 1,7 2,00 6,60
f cd hcalc (cm) cd (kN/cm²) 2,5 16,19 2,5 22,19 2,5 11,08 2,5 16,62 2,5 15,19 2,5 28,48 2,5 11,39 2,5 7,33
1,7 0,7
2,5 2,5
hadot (cm) 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 40,0 95,0 95,0 40,0 40,0
4,83 4,74
P9* e P10* já apresentam as pré-dimensões, conforme arquitetura;
. . ( + 0,7) ,7) ℎ = ( 30. + 0,01. 0,01. 69,2 − . Obs: A dimensão adotada dos pilares serão de 12cm x 40cm, tendo em vista que de acordo com a NBR 6118 a menor seção possível para um pilar é de 12cm x 30cm (360cm²).
As larguras das seções das vigas e pilares foram for am escolhidas procurando-se escondê-las dentro das paredes, sempre que possível. Logo para as vigas e pilares embutidas nas paredes de 15cm adotou-se uma largura de b = 12cm. E o prédimensionamento da altura das vigas estão representados na Tabela 4.2. Os vãos na estrutura foram obtidos a partir dos vãos do projeto arquitetônico, acrescentando-se as espessuras de reboca para cada lado. Assim para uma viga de 12 cm de largura embutida em uma parede de 15 cm de espessura, considera-se um reboco de 1,5 cm de espessura para cada lado da viga. Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas
Vigas VB01 = V101 = V201 = V301 = V401 VB02 = V102 = V302 = V402 VB03 = V104 = V204 = V303 = V403 VB04 = V105 = V304 = V404 VB05 = V106 = V305 = V405 VB06 = V107 = V206 = V306 = V406 VB07 = V108 = V307 = V407
Maio Vão (cm) 485 245 485 440 328 180 350
hcalc (cm) 48,50 24,50 48,50 44,00 32,80 18,00 35,00
hadotado(cm) 45,00 25,00 45,00 45,00 45,00 25,00 45,00 (continua)
36
(continuação)
Vigas V103 = V203 V202 V205 = V208 V207 ã Nota: ℎ = 10
Maio Vão (cm) 240 245 328 328
hcalc (cm) 24,00 24,50 32,80 32,80
hadotado(cm) 25,00 35,00 45,00 35,00
Conforme critério proposto por Carvalho et al. (2009), para lajes maciças em concreto armado, a altura útil (d) pode ser estimada por meio da expressão d
≥
l/Ψ2 . Ψ3 (equação 2.3). Logo o pré-dimensionamento das lajes está representado na Tabela 4.3, 4.3, note que a título de simplificação e visando dar uma uniformidade a estrutura, a laje foi pré-dimensionada apenas para a laje de maior dimensão, estendendo a altura estimada para as demais lajes. A vantagem de trabalhar com lajes de tamanhos iguais e a uniformidade no escoramento é a facilidade no detalhamento das armaduras. Tabela 4.3 – Pré-dimensionamento da laje
Laje
lx (cm)
ly (cm)
Tipo(1)
= ly / l x
L404
350
485
2B 2B
1,39
(2)
2
1,58
(2)
3
25
dcalc (cm) 8,9
hadot (cm) 10,0
Obs: (1) Classificação da laje de acordo com os vínculos das bordas, nesse caso trata-se de uma laje com uma borda engastada e as demais apoiadas; (2) Valores retirados da tabela 2.1a. (PINHEIRO, 2007)
4.2 Dimensionamento Dimensionamento das lajes da cobertura Esse trabalho apresentará apenas o dimensionamento das lajes da cobertura do projeto em anexo, procurando mostrar a viabilidade e prática do uso das tabelas propostas. Os momentos e reações das lajes serão calculados com o auxílio das tabelas de Pinheiro, em anexo. As cargas a serem consideradas consi deradas para o cálculo das lajes da cobertura são peso próprio, revestimento, carga da caixa d’água de 750 litros,carga litros, carga acidental e carga do telhado. Considerando a espessura h = 10cm, de acordo com a Tabela 4.3, para todas as lajes, resulta o peso próprio 25 kN/m² x 0,10m = 2,5 kN/m². Para o revestimento, adota-se a carga de 0,8 kN/m² em todas as lajes. Já a carga da caixa d’água de 750 litros será considerado apenas na laje L-403, onde ela 37
se encontra. Como 750 litros equivale a 0,75m³ 0,75m³ e o peso específico da água é 10 kN/m³, assim, obtém-se obtém- se que a carga da caixa d’água equivale a 7,5 kN. A laje L-403 tem dimensões de 2,45m x 3,07m, resultando uma uma relação entre as dimensões inferiores a 2, o que indica ser uma laje armada nas duas direções, permitindo transformar a carga da caixa d’água concentrada em carga uniforme equivalente (Tabela 4.4), 4.4), basta para isso dividir o peso da caixa d’água pela área da laje. Tabela 4.4 – Carga uniforme equivalente da caixa d’água
Laje
lx (m)
ly (m)
Área (m²)
L-403
2,45
3,07
7,52
Peso da Caixa d’Água (kN) 7,5
Carga uniforme equivalente (kN/m²) 1,0
Com todas as cargas calculadas e considerações adotadas conforme NBR 6118 e NBR 6120, obtém-se na Tabela na Tabela 4.5 o resumo das cargas atuantes nas lajes da cobertura. Tabela 4.5 – Cargas atuantes nas lajes da cobertura – kN/m²
Lajes 401 402 403 404
(1)
Carregamento Carregamento nas lajes (kN/m²) Permanentes Caixa Peso Revestiment Telhado d’agua g(1) próprio o 750l 2,5 0,80 1,50 4,8 2,5 0,80 1,50 4,8 2,5 0,80 1,50 1,00 5,8 2,5 0,80 1,50 4,8
Acidental
Total
q(2)
p=g+ q
0,50 0,50 0,50 0,50
5,30 5,30 6,30 5,30
Carga permanente = peso próprio + revestimento + telhado + caixa d’água Carga acidental para laje de cobertura, sem acesso ao público, de acordo com a NBR-6120
(2)
Para calcular as reações de apoio das lajes e os momentos fletores é necessário ainda, definir as vinculações das bordas das lajes. As vinculações entre as lajes estão representados na Figura 4.1, 4.1, sendo consideradas apoiadas nas bordas com vigas e engastadas nas bordas com lajes contínuas, desde que não haja uma grande diferença entre as dimensões das lajes em análi se.
38
Figura 4.1 – Vínculos das lajes de cobertura
O cálculo das reações de apoio das lajes foram realizados conforme conforme as tabelas de Pinheiro. As tabelas fornecem os coeficientes adimensionais: x, x', y e y'. E as reações de apoio são obtidos pela
equação 4.1.
= .
.
(Equação 4.1)
Na Tabela 4.6, 4.6, apresentam-se as reações obtidas para as lajes da cobertura, conforme as considerações das tabelas de Pinheiro. 39
Tabela 4.6 - Reações de apoio das lajes da cobertura - kN/m Reações de apoio das Lajes – kN/m Lajes
L-401
5,30
lx (m) 3,28
L-402
5,30
2,40
3,07
1,28
5A
2,22
-
2,61
3,17
2,82
4,13
-
4,03
L-403
6,30
2,45
3,07
1,25
5A
2,13
-
2,64
3,17
3,29
4,83
-
4,89
L-404
5,30
3, 50
4,85
1,39
2B
3,20
2,25
-
5,94
8,68
3,39
-
P kN/m²
ly (m) 4,85
1,48
2B
3,27
λ
CASO
νx
ν'x
1,83
1,83
νy
ν'y
-
-
5,68
8,33
3,18
-
R x
R'x
R y
R´y
A Figura A Figura 4.2 apresenta as reações de apoio das lajes l ajes da cobertura conforme sua orientação.
Figura 4.2 - Reações de apoio nas lajes da cobertura
O cálculo dos momentos fletores atuantes nas lajes foram calculados de maneira similar ao cálculo das reações, seguindo as tabelas de lajes de Pinheiro. As 40
tabelas fornecem os coeficientes, que são: x ’x y e ’y. Os momentos fletores atuantes são obtidos pela equação 4.2, e na Tabela 4.7 obtém-se o resumo de todos os momentos fletores das lajes da cobertura.
= . ²
(Equação 4.2)
Tabela 4.7 – Momentos fletores nas lajes da cobertura – kN.m/m Momentos Fletores nas Lajes – kN.m/m Lajes
L-401
5,30 5, 30
lx (m) 3,28 3, 28
L-402
5,30
2,40
3,07
1,28
5A
3,45
8,59
2,61
7,51
1,05
2,62
0,80
2,29
L-403
6,30
2,45
3,07
1,25
5A
3,23
8,81
2,64
7,36
1,22
3,33
1,00
2,78
L-404
5,30 5, 30
3,50 3, 50
4,85
1,39
2B
5,00
10,75
2,25
-
3,25
6,98
1,46
-
P kN/m²
ly (m) 4,85
1,48
λ
µx
µ'x
µy
2B
5,24
11,09
2,12
-
2,99
6,32
1,21
-
CASO
µ'y
Mx
M'x
My
M´y
A Figura 4.3 apresenta os momentos fletores das lajes da cobertura conforme sua orientação.
Figura 4.3 – Momentos fletores de acordo com sua orientação.
Os momentos fletores nos vãos das lajes são momentos positivos, e os momentos nos apoios engastados são negativos. Nos apoios engastados, lajes 41
adjacentes, os resultados dos momentos fletores são diferentes de uma laje para outra, conforme visto na Figura na Figura 4.3. Sendo 4.3. Sendo necessário promover a compatibilização desses momentos. De acordo com Pinheiro (2007), o critério usual para a compatibilização dos momentos negativos consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza. Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados. Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo, ignora-se a redução (a favor da segurança), caso contrário, se houver acréscimo do momento positivo, a correção deverá ser feita, somando-se ao valor deste momento a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativas, conforme Figura conforme Figura 4.4.
Figura 4.4 – Compatibilização dos momentos fletores (PINHEIRO, 2007).
42
Na Tabela 4.8, 4.8, indicam-se os momentos fletores das lajes da cobertura compatibilizados para os momentos negativos e corrigidos para os momentos positivos. Tabela 4.8 – Momentos fletores das lajes da cobertura compatibilizados e corrigidos.
Laje L-401 L-402 L-403 L-404 A partir dos
Positivos (kN.m/m) Mk,x Mk,y 3,62 1,21 1,05 0,80 1,40 1,00 3,94 1,46
Negativos (kN.m/m) Engaste Mk,e L401-L402 5,06 L402-L403 2,98 L402-L404 5,58 L403-L404 5,58 L401-L403 5,06 momentos fletores compatibilizados compatibilizados e corrigidos é possível
dimensionar as armaduras das lajes em cada direção. Para esse dimensionamento o presente trabalho propõe as tabelas práticas (Apêndice B),que de posse da altura útil da laje (d), do cobrimento (c) e do momento de serviço ( f .M .Mk) é possível encontrar na tabela uma ou mais bitolas de aço comercial por um espaçamento que atenda as recomendações da NBR 6118. Visto que no pré-dimensionamento adotou-se uma espessura de 10 cm para as lajes de cobertura, pode-se adotar para o dimensionamento uma altura útil (d) igual a 8,0 cm e o cobrimento CAA-II de 2,0 cm (tendo em vista que a NBR 6118, permite uma redução de até 0,5 cm no cobrimento, desde que haja um controle rigoroso na qualidade da execução da obra). Quanto ao momento de serviço a Tabela 4.9 fornece os valores majorados dos momentos característicos pela multiplicação do coeficiente de majoração para o estado li mite último. Tabela 4.9 – Momentos de serviços das lajes da cobertura – kN.m/m
= . ; = 1,4
Laje L-401 L-402 L-403 L-404
Positivos (kN.m/m) Msd,x Msd,y 5,07 1,69 1,47 1,12 1,96 1,40 5,52 2,04
Negativos (kN.m/m) Engaste Msd,e L401-L402 7,08 L402-L403 4,17 L402-L404 7,81 L403-L404 7,81 L401-L403 7,08
43
Na Tabela 4.10, 4.10, apresentam-se a área de aço (As - cm²/m) e as barras adotadas, com seus respectivos espaçamentos, para as lajes da cobertura. Esses resultados foram obtidos por meio da Tabela A.3 e A.4, no apêndice B. Tabela 4.10 - Cálculo das armaduras das lajes da cobertura
Lajes L-401 L-402 L-403 L-404
Lajes L401- L402 L401-L403 L402- L403 L402- L404 L403- L404
Armadura Armadura Positiva Msd d c As,min Direção (kN.m/m) (cm) (cm) (cm²/m) x 5,07 8,0 2,0 1,01 y 1,69 8,0 2,0 1,01 x 1,47 8,0 2,0 1,01 y 1,12 8,0 2,0 1,01 x 1,96 8,0 2,0 1,01 y 1,40 8,0 2,0 1,01 x 5,52 8,0 2,0 1,01 y 2,04 8,0 2,0 1,01 Armadura Negativa Msd d c As,min Direção (kN.m/m) (cm) (cm) (cm²/m) x,y 7,08 8,0 2,0 1,50 x,y 7,08 8,0 2,0 1,50 x,x 4,17 8,0 2,0 1,50 y,x 7,81 8,0 2,0 1,50 y,x 7,81 8,0 2,0 1,50
Φ c/s
Φ 6.3 c/17,5 Φ 5.0 c/19,5 c/19,5 Φ 5.0 c/19,5 c/19,5 Φ 5.0 c/19,5 c/19,5 Φ 5.0 c/19,5 c/19,5 Φ 5.0 c/19,5 c/19,5 Φ 6.3 c/16,0 Φ 5.0 c/19,5 c/19,5 Φ c/s
Φ 6.3 c/12,5 c/12,5 Φ 6.3 c/12,5 c/12,5 Φ 5.0 c/13,0 c/13,0 Φ 8.0 c/18,0 c/18,0 Φ 8.0 c/18,0 c/18,0
As,ef (cm²/m) 1,78 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,95 1,01 As,ef (cm²/m) 2,49 2,49 1,51 2,79 2,79
4.2.1 Verificação da flecha flecha da laje mais solicitada Será verificada a flecha na laje L-404, na qual ocorre o maior momento fletor solicitante: Msd = 5,52 kN.m/m ou 552 kN.cm/m. Na verificação da flecha de uma laje, considera-se: a existência de fissuras; o momento de inércia; a flecha imediata, diferida e total; e os valores limites (PINHEIRO, 2007).
4.2.1.1 Verificação se há fissuras A verificação da existência de fissuras será feita comparando o maior momento positivo, em serviço, com o momento de fissuração M r , de acordo com item 17.3.1 da NBR6118:2007.
44
= .
.
(Equação 4.3)
onde: α =
1,5 (seções retangulares)
= = 0,3 . = 0,3 . 25 = 2,56 2,56 0,256 /² = resistência à tração direta do concreto - NBR 6118:2007, item 8.2.5 = h2 = 5,0 cm (centróide (centróide da seção bruta) = 8.333, 8.333,33 33 cm (momento de inércia da seção bruta) = = 2/3
,
b.h ³ 12
100.10³ 12
2/3
4
Resultado: .0,2,6 . 8333,33 8333,33 = = 1,5 .0,2,6 5
641, 64 1,25 25
. /
Como Msd = 552 kN.cm/m < Mr , não há fissuras, e a flecha pode ser calculada com o momento de inércia I c da seção bruta, sem considerar a presença da armadura. Caso contrário, a flecha deveria ser calculada com o momento de inércia equivalente, conforme o item 17.3.2.1.1 da NBR 6118:2007.
4.2.1.2 Flecha imediata Segundo Pinheiro (2007), a flecha imediata pode ser obtida por meio da equação 4.4:
=
. . . .
(Equação 4.4)
A equação 4.4 é calculada com auxilio da tabela 2.5a de Pinheiro, essa tabela encontra-se em anexo e fornece o adimensional α. Para o cálculo da carga uniforme (p) será utilizada a combinação de cargas quase permanentes, conforme equação 4.5.
= + . = , + , . , = , , /² (Equação 4.5)
45
A Tabela A Tabela 4.11, apresenta 4.11, apresenta o resultado da flecha imediata, conforme equação 4.4. Tabela 4.11 - Resultado da flecha imediata para Laje L-404
Laje L-404
lx
ly
(m)
(m)
3,50
4,85
λ
Caso
1,39
2B
b
α
(m)
4,73 100
P
kN/cm²
Ec
kN/cm²
0,0005 2380
Ic
(cm4)
ai
(cm)
8333,3 0,15
4.2.1.3 Flecha total A flecha total é dada pela flecha imediata mais a flecha diferida. A flecha diferida pode ser obtida pela equação 4.6.
= .
(Equação 4.6)
Considerando a tabela 17.1 da NBR 6118:2007, para estimar a flecha final no tempo superior a 70 meses, tem-se aplicada na idade de 15 dias o coeficiente
ξt = 2 e para a carga de longa duração
ξt = 0,54. A partir desses valores é possível calcular 0
pela equação 4.7.
= +
. `
(Equação 4.7)
onde: p' = 0 (taxa de armadura de compressão) A partir destas considerações obtém-se: 1,46 α = 1 +Δξ50.p` = (2 −10,54) = 1,46
Resultado da flecha total:
= + => + . 0,15 + 1,46 1,46 .0,1 .0,15 5 = 0,37 0,37 = 0,15
(Equação 4.8)
4.2.1.4 Flecha limite A flecha limite l imite é fornecida na tabela 13.2 da NBR 6118:2007, considerando aceitabilidade sensorial, tem-se na Tabela na Tabela 4.12 o resumo das flechas limites: 46
Tabela 4.12 - Comparação da flecha limite com a flecha total
Laje L-404
Flecha limite - alim (cm) Visual Outro lx / 250 = 1,4 lx / 350 = 1,0
lx (cm) 350
Flecha total calculada (cm) 0,37
Conclusão: como a flecha total é menor que a flecha limite, tem-se que a flecha da laje L-404 atende a especificação da NBR 6118:2007.
4.2.2 Verificação quanto ao cisalhamento A verificação da laje quanto ao cisalhamento será efetuada apenas para a laje L-404, visto que se trata da laje com o maior valor da força cortante. Considerando-se: b w = 100 cm, d = 8,0 cm e Rk,max = 8,68 kN/m, a verificação de cisalhamento deve ser feita de acordo com o item 19.4 da NBR 6118:2007, comparando a força cortante solicitante (equação 4.9) com a resistente (equação 4.10), de modo que R sd ≤ Rrd1.
4.2.2.1 Força cortante solicitante Rsd = 1,4 . Rk = 1,4 . 8,68 = 12,15 kN/m
(Equação 4.9)
4.2.2.2 Força Cortante resistente Rrd1 = Rd . k (1,2 + 40 ) . d
(Equação 4.10)
onde: Rd
= 0,25 . f ctd / γc ctd e f ctd ctd = f ctk,inf ctk,inf /
2/3 2/3 f ctk,inf ctk,inf = 0,7.f ct,m ct,m = 0,7 . 0,3.f ck ck = 0,21 . 25 = 1,795 MPa ou 0,1795 kN/cm²
Rd
= (0,25 . 0,1795) / 1,4 = 0,0321 kN/cm²
k = 1,6 - d = 1,6 - 0,08 = 1,52m > 1,0m s1 / A c = (1,95) / (100 (100 . 8) = 0,244% 0,244%
1
= 0,03 0,0321 21 .1,52 .1,52 . 1,2 + 40 .
0,244 .10 .100 0 . 8 = 50 50,6 ,65 5 100
47
/
Como Rsd = 12,15 kN/m < Rrd1 = 50,65 kN/m, a laje resiste à força cortante, sem armadura transversal para cisalhamento.
4.2.3 Verificação de abertura abertura de fissuras fissuras em lajes Não foi realizada a verificação de abertura de fissuras em lajes neste trabalho.
4.2.4 Comprimento das barras O comprimento das barras positivas e negativas foram calculadas de acordo com as recomendações do livro Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118, de Carvalho et al. (2009).
4.2.4.1 Armadura positiva As armaduras positivas serão identificadas pela letra letr a N. Considerações para o cálculo do comprimento das barras:
serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida);
as barras deverão penetrar nos apoio (vigas) 6 cm ou 10. φ = 10.0,63 =
6,3cm , será adotado o valor de 7cm;
larguras das vigas = 12cm (pré-dimensionamento); e
as dimensões das lajes estão relacionadas aos eixos das vigas.
Na Tabela 4.13, 4.13, indicam-se os comprimentos das barras positivas nas direções x e y. Tabela 4.13 - Comprimentos das barras positivas
Lajes L-401 L-402 L-403 L-404
Direção x y x y x y x y
l0 (cm) 328 485 240 307 245 307 350 485
-
Δeixo
2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 2 . 6 = 12 48
10.φ (cm) ltotal (cm) 2 . 7 = 14 330 2 . 7 = 14 487 2 . 7 = 14 242 2 . 7 = 14 309 2 . 7 = 14 247 2 . 7 = 14 309 2 . 7 = 14 352 2 . 7 = 14 482
Nº das barras N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8
4.2.4.2 Armadura negativa As armaduras negativas também serão identificadas pela letra N. Considerações para o cálculo do comprimento das barras:
todas as lajes serão consideradas isoladas, e a armadura, para todas
as situações de vinculação, será estendida no interior da laje a uma distância de 0,25 . l x, sendo l x o menor vão da laje, l aje, conforme a Figura a Figura 4.5;
Figura 4.5 - Comprimento das barras da armadura negativa
ao comprimento comprimento anterior deverá ser acrescentado o comprimento de
ancoragem reto (aço CA-50, boa aderência, f ck = 25 MPa e φ ), conforme equação 4.11:
= .
(Equação 4.11)
onde: f yd yd = resistência de escoamento do aço (f yk yk / 1,15) f bd bd = resistência de aderência => f bd bd = 1 . 2 . 3 . f ctd ctd = 2,25 . 1 . 1 .1,282 = 2,88 MPa ; 1
= 2,25 para barras alta aderência (CA-50);
2
= 1,0 para situação de boa aderência;
3
= 1,0 para φ < 32mm;
2/3 2/3 f ctd,inf = (0,7 . 0,3.f ck ctd,inf = ck ) / 1,4 = (0,21 . 25 ) / 1,4 = 1,282 MPa (resistência de calculo
da tração do concreto)
serão adotados, em todas as extremidades da armadura negativas,
ganchos retos, calculados de forma simplificada, como indicado na Figura 4.6, descontando da altura total da laje 2,0 cm junto a cada face, resultando l g = 10,0 2,0 - 2,0 = 6,0 cm;
Figura 4.6 - Esquema simplificado para determinar o comprimento dos dos ganchos.
49
Comprimentos finais em cada laje: l total = 0,25 . l x + lb + lg.
Na Tabela 4.14, 4.14, indicam-se os comprimentos das barras negativas, conforme considerações anteriores. Tabela 4.14 - Comprimentos das barras negativas
Lajes L-401 L-402 L-401 L-403 L-402 L-403 L-402 L-404 L-403 L-404
Φ c/s Φ 6.3 c/12,5 Φ 6.3 c/12,5 Φ 6.3 c/12,5 Φ 6.3 c/12,5 Φ 5.0 c/13,0 Φ 5.0 c/13,0 Φ 8.0 c/18,0 Φ 8.0 c/18,0 Φ 8.0 c/18,0 Φ 8.0 c/18,0
0,25.lx (cm) 82 60 82 60 60 60 60 88 60 88
lb (cm)
lg (cm)
ltotal (cm)
24 24 24 24 19 19 30 30 30 30
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
112 90 112 90 85 85 96 124 96 124
Nº das barras N9 N9 N9 N9 N10 N10 N11 N11 N11 N11
4.2.5 Armaduras de canto Segundo Clímaco (2008), nos cantos sem continuidade, é necessário ainda uma armadura em ambas as faces, para se combater os "momentos volventes", originados de uma tendência de elevação dos cantos da placa, com a inversão das reações nesses cantos, de cima para baixo, nos extremos das vigas de apoio. Elas têm por objetivo evitar fissuras diagonais nos cantos, que surgem na face superior. Essa armadura é estabelecida como uma fração de 0,75 da maior armadura positiva na laje, com barras nas duas direções, dispostos nas faces superior e inferior. Na face inferior, a área dessa armadura adicional incorpora as barras positivas existentes. Para obter o comprimento do trecho horizontal (Figura 4.7) 4.7) das barras de canto, deve-se considerar a seguinte equação (PINHEIRO, 2007):
= + −
(Equação 4.12)
onde: lx = menor vão da laje; t = espessura do apoio - viga (nesse caso será adotado 12 cm, conforme o prédimensionamento das vigas). 50
Figura 4.7 - Armadura de canto (PINHEIRO, 2007).
De acordo com o projeto em anexo, as lajes L-401 e L-404 possuem, cada uma, dois cantos. O cálculo da armadura de canto será resumido em apenas um cálculo para os quatros cantos, tendo em vista que a armadura principal da laje L401 e L-404 são próximas quanto seus valores. Logo tem-se que a armadura de canto e o comprimento do trecho horizontal das barras é: Ascanto = 0,75 . 1,95 = 1,46 cm²/m lh = 350 / 5 + 12 - 2 = 80 cm Adota-se φ
φ 6,3
c / 20 (área efetiva = 1,56cm²/m), resultando em 4 barras de
6,3, em cada direção, formando um malha de 80 x 80 cm. O detalhe das
armaduras de canto encontra-se no apêndice A .
4.2.6 Armaduras de bordo Segundo Clímaco (2008), em bordos simplesmente apoiados, portanto, sem continuidade, em se tratando de lajes, com valores de cargas e vão elevados (em geral, superando 6,0m), devem-se prever armaduras específicas junto às faces superiores, para prevenir fissuras paralelas às vigas na região próxima a esses bordos. As barras são normais ao bordo, com espaçamento uniforme, sendo sua área uma fração de 0,25 da armadura positiva da laje paralela ao bordo.
51
O projeto em análise neste trabalho não necessita de armaduras de bordo, visto que trata-se de lajes de no máximo máximo 4,85m de vão e que possuem possuem pequenas pequenas cargas.
4.2.7 Planta de armação das lajes lajes A planta de armação ar mação das lajes da cobertura está no apêndice A, nos quais constam relação das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o resumo das barras, com tipo de aço, bitola, comprimento comprimento total, massa de cada bitola, massa total mais 10% de perda e algumas dicas e detalhes construtivos.
4.3 Dimensionamento Dimensionamento das vigas da cobertura As vigas servem de apoio para as lajes ou para as vigas vi gas que não possuem pilar em sua extremidade. As lajes distribuem sua reação com cargas uniformes nas vigas, já as vigas que se apoiam sobre vigas implicam em cargas concentradas. Existe ainda as vigas de transição que recebem carga concentrada dos pilares que nascem nelas. As cargas verticais atuantes nas vigas de contorno da cobertura são obtidas pela superposição das reações das lajes, do peso das alvenarias (platibanda h: 1,0m) e do peso próprio das vigas. E as cargas das vigas internas da cobertura são obtidas pela superposição das reações das lajes e do peso próprio das vigas. As cargas provenientes da lajes podem ser calculadas pelo "quinhão de cargas", em que se traça bissetrizes nas lajes que irão definir a área de influência de cada laje em relação a cada cada viga, e consequentemente consequentemente as cargas. Outra maneira e pelas tabelas de Marcus, Pinheiro ou Barës-Czerny, sendo que neste trabalho a reação das lajes foram calculadas pelas tabelas de Pinheiro, como visto anteriormente na Tabela 4.6 e Figura 4.2 -
Reações de apoio nas lajes da
cobertura). cobertura). O peso da alvenaria será de 13 kN/m³ (1.300 Kg/m³), tendo em vista que se trata de alvenaria comum de tijolo furado. Esse valor foi retirado da NBR 6120:1980. Para obter o peso peso por metro de viga aplica-se a equação equação 4.13. 52
= , . , . = , / /
(Equação 4.13)
O peso próprio das vigas pode ser obtido pela multiplicação da área da seção transversal das vigas pelo peso especifico do concreto armado ( γc), conforme a equação 4.14.
= . .
(Equação 4.14)
onde: b = largura da viga (m) h = altura da viga (m) γc
= peso especifico do concreto (25 kN/m³ ou 2.500 Kg/m³, conforme NBR 6120) Após os levantamentos das cargas, calcula-se os esforços finais para o
dimensionamento por meio do software livre educacional Ftool (2012), que possibilita utilizar o modelo de pórticos planos, com análise linear elástica.
4.3.1 Viga V-401 Dados iniciais:
Nome da viga: V-401;
Apoios: P1 e P2;
Dimensão da seção: 12 x 45cm ( Tabela 4.2); 4.2);
Cobrimento (c) = 3,0 (CAA-II);
Vão teórico = 485 cm;
Concreto C-25 e aço CA-50.
As cargas, admitidas uniformes, são: peso próprio, reação da laje L -401, cargas da parede da platibanda (h: 1,0m) de tijolo furando (13 kN/m³) e a carga variável igual a 0,5 kN/m (NBR 6120):
Peso próprio (Pp) = 0,12 m x 0,45 m x 25 kN/m = 1,35 kN/m;
Reação da laje L-401 (Tabela 4.6) = 5,68 kN/m;
Peso da Platibanda = 1,00m x 0,15m x 13 kN/m³ = 1,95 kN/m;
Ação variável (q) = 0,5 kN/m;
Carga Total (PT = g + q) = 8,98 + 0,50 = 9,48 kN/m. 53
Tem-se na Figura 4.8, 4.8, o momento fletor máximo e o esforço cortante máximo, para a viga viga V-401 com auxilio do software software Ftool (2012), sendo utilizado utilizado o modelo de pórtico plano.
Figura 4.8 - Diagrama do momento momento fletor e do esforço cortante (FTOOL, (FTOOL, 2012).
54
Na Tabela 4.15, 4.15, indicam-se os resumos dos esforços na viga V-401, de acordo com a Figura a Figura 4.8. Tabela 4.15 - Resumos dos esforços na viga V-401.
Viga
Mk - 3,34
V-401
Apoios Msd Vk - 4,68 22,99
Vsd** 32,19
Mk 24,54
Meio do vão Msd Vk 34,36 0
Vsd 0
* Msd = 1,4 . Mk ** Vsd = 1,4 . Vk
Na Tabela 4.16, 4.16, indicam-se a armadura longitudinal a flexão para viga V401, de acordo com a tabela A.16 (Apêndice B). Para utilizar as tabelas práticas de vigas à flexão normal é necessário ter a seção, e por meio do momento de serviço (Msd) calculado na Tabela na Tabela 4.15, busca-se 4.15, busca-se a combinação entre as bitolas de aço que atenda esse momento. Tabela 4.16 - Armadura longitudinal à flexão para viga V-401
Viga
Seção (cm)
V-401
12 x 45
Msd (kN.m)
Tabela Prática
- 4,68 + 34,36
Tabela A.16*
Área de aço (cm²) 1,00 2,50
Bitola (mm) 2 φ 8 2 φ 12,5
encontra-se no no apêndice apêndice B. * A Tabela A.16 encontra-se
Conforme a Figura 4.8, 4.8, verifica-se que os momentos fletores variam ao longo da viga, a distribuição da armadura deve acompanhar a variação dos momentos. Porém, neste trabalho a armadura à flexão positiva e negativa foi calculada para os maiores momentos (negativo e positivo) e estendida até os apoios das extremidades, assim, estando a favor da segurança e facilitando a montagem da armação das vigas, já que se trata de um edifício comercial de pequeno porte. O dimensionamento dos estribos, armadura transversal, é feito com o procedimento semelhante ao da armadura longitudinal, considerando o maior esforço cortante, em valor absoluto. Na Tabela 4.17, indicam-se a armadura transversal para viga V-401, de acordo com a tabela A.26 (Apêndice B). Para utilizar as tabelas práticas de armadura transversal é necessário ter a seção, e por meio do esforço cortante máximo de serviço (V sd) calculado na Tabela 4.15, busca-se a combinação entre as bitolas de aço (mm) por espaçamento (cm) que atenda esse esforço.
55
Tabela 4.17 - Armadura transversal para viga V-401
Viga
Seção (cm)
Vsd (kN)
Tabela Prática
V-401
12 x 45
32,19
Apêndice B Tabela A.26
Área de aço (cm²) 1,31 1,57
Bitola (mm) + esp. (cm) φ 5 c/30 φ 5 c/25
De acordo com a tabela A.26 do apêndice B, verifica-se que o armadura transversal da viga V-401 é igual a armadura mínima que podem ser escolhidas as seguintes soluções: - alternativa 1: barras de 5mm espaçadas espaçadas a cada 30cm 30cm (área de aço aço igual a 1,31cm²); - alternativa 2: barras de 5mm espaçadas a cada 25cm (área de aço igual a 1,57cm²). Observa-se que a alternativa 1 é mais econômica, pois a área de aço é mais próxima da mínima (A sw,min = 1,20cm²). Porém de acordo com a NBR 6118, o espaçamento máximo nessa situação é s máx = 0,6 . (45 - 4) = 25 cm
≤
30cm. Como
o espaçamento máximo nessa situação é igual a 25 cm, verifica-se que a alternativa 2 é a mais indicada.
4.3.1.1 Comprimento das barras No comprimento das barras deve ser adicionado o comprimento de ancoragem que impede que haja escorregamento da barra em relação ao concreto que o envolve. Na ancoragem por aderência, deve ser previsto um comprimento suficiente que o esforço da barra seja transferido para o concreto. Além disso, em peças nas quais, por disposições construtivas ou pelo seu comprimento, necessita-se fazer emendas nas barras, também se deve garantir um comprimento suficiente para que os esforços sejam transferidos de uma barra para outra, na região da emenda (LIBÂNIO, 2003).
56
4.3.1.2 Comprimento de ancoragem ancoragem básico O comprimento de ancoragem básica (l b) é calculado pela equação 4.11. A Tabela 4.18, indicam-se 4.18, indicam-se os comprimentos de ancoragem básico para as barras da viga V-401. Tabela 4.18 - Comprimento de ancoragem básico
Viga V-401
Bitola (cm) 0,8 1,25
(MPa)
(MPa)
434,78
2,88
lb (cm) 30 48
= Φ4 .
onde: f yd yd = resistência de escoamento do aço (f yk / 1,15 = 500/1,15 = 434,78 MPa) f bd bd = resistência de aderência => f bd = 1 . 2 . 3 . f ctd ctd = 2,25 . 1 . 1 .1,282 = 2,88 MPa; 1 = 2,25 para barras alta aderência (CA-50); 2 = 1,0 para situação de boa aderência; 3 = 1,0 para φ < 32mm; 2/3 2/3 f ctd,inf ctd,inf = (0,7 . 0,3.f ck ck ) / 1,4 = (0,21 . 25 ) / 1,4 = 1,282 MPa (resistência de calculo da tração do concreto)
4.3.1.3 Comprimento de ancoragem ancoragem necessário necessário Nos casos em que a área efetiva da armadura A s,ef é maior que a área calculada As,cal, a tensão nas barras diminui e, portanto, o comprimento de ancoragem pode ser reduzido na mesma proporção. A presença de gancho na extremidade da barra também permite a redução do comprimento de ancoragem (PINHEIRO, 2007). De acordo com NBR 6118:2007, item 9.4.2.5, o comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado pela equação 4.15.
= . . ≥ ,
,
,
onde: α =
1,0 para barras sem gancho;
α =
0,7 para barras tracionadas com gancho;
lb,min é o maior valor de 0,3l b, 10φ e 100mm.
57
,
(Equação 4.15)
No entanto, considera-se que a área de aço de cálculo fornecida pelas tabelas práticas é igual a área efetiva (A s,calc = As,ef ), ), tem-se o comprimento de ancoragem necessário para viga V-401 V- 401 representando na Tabela na Tabela 4.19: Tabela 4.19 - Comprimento de ancoragem necessário.
Viga
Bitola (cm) α 0,8 0,7 (gancho) 1,25 0,7 (gancho) V-401 0,8 1,0 (s/gancho) 1,25 1,0 (s/gancho)
lb (cm) 30 48 30 48
As,cal / As,ef 1,00
lb,nec (cm) 21 34 30 48
lb,min 10 12,5 10 12,5
4.3.1.4 Comprimento mínimo mínimo de ancoragem em apoios extremos extremos A NBR 6118:2007 prescreve que as barras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimento mínimo dado pela p ela equação 4.16. + , = , . ≥ = ,
(Equação 4.16)
onde: r = raio interno de curvatura do gancho Desta forma, pode-se determinar o comprimento mínimo necessário do apoio:
= + ,
onde: c = é o cobrimento da armadura (Figura 4.9). 4.9).
Figura 4.9 - Ancoragem no apoio (PINHEIRO, 2007)
58
(Equação 4.17)
De acordo com NBR 6118:2007, ganchos em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8. φ, e na direção perpendicular ao gancho deve ter cobrimento maior ou igual 7cm.
4.3.2 Demais vigas vigas (V-402, V-403, V-404, V-405, V-406 e V-407) As demais vigas segue o mesmo procedimento procedimento de calculo da viga V -401. Na Tabela 4.20, 4.20, indicam-se as cargas uniformes atuantes nas demais vigas da cobertura. Tabela 4.20 - Cargas uniformes atuantes nas demais vigas da cobertura
Vigas
Seção (cm) 12 x 25 V-402 12 x 25 12 x 45 V-403* 12 x 45 V-404 12 x 45 12 x 45 12 x 45 V-405* 12 x 45 12 x 45 V-406 12 x 25 12 x 45 V-407 12 x 45 12 x 45
Pp (kN/m)
RLaje (kN/m)
0,75 0,75 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 0,75 1,35 1,35 1,35
8,33 + 4,03 8,33 + 4,89 4,03 + 8,68 4,89 + 8,68 5,94 3,18 2,82 3,39 3,39 4,13 + 4,83 3,18 3,29 3,39
Platibanda Acidental (kN/m) (q) 0,5 0,5 0,5 0,5 1,95 0,5 1,95 0,5 1,95 0,5 1,95 0,5 1,95 0,5 0,5 1,95 0,5 1,95 0,5 1,95 0,5
Total (kN/m) 13,61 14,70 14,56 15,42 9,74 6,98 6,62 7,19 7,19 10,21 6,98 7,09 7,19
*Vigas que recebem cargas concentradas; Pp = peso próprio Rlaje = reação de apoio das laje da cobertura (Tabela 4.6)
De acordo com planta de forma das vigas de cobertura (Apêndice A), observa-se que a viga V-403 e V-405 recebem cargas concentradas, conforme indicam-se na Tabela na Tabela 4.21. Tabela 4.21 - Carga concentrada atuante nas demais vigas da cobertura
Vigas V-403
Seção (cm) 12 x 45
V-405
12 x 45
Carga Concentrada (kN) Reação da V-406 = 15,67 kN (localizada a 2,45m) Reação da V-404 = 23,61 kN (localizado na ponta do balanço)
Os diagramas do momento fletor e do esforço cortante, para as demais vigas foram obtidos com com auxilio do software software Ftool (2012), (2012), sendo utilizado utilizado o modelo modelo de pórtico plano, e encontra-se no Apêndice A. 59
Na Tabela 4.22, 4.22, indicam-se as armaduras longitudinais e transversais das demais vigas. Tabela 4.22 - Armadura longitudinal e transversal das vigas da cobertura
Vigas V-402 V-403 V-404 V-405 V-406 Seção (cm) 12 x 25 12 x 45 12 x 45 12 x 45 12 x 25 + M k,max (kN.m) 5,65 56,10 26,86 4,87 10,03 + M sd,max(kN.m) 7,91 75,6* 37,60** 6,82 14,04 Tabela Apêndice B - Tabela A.16 + As (cm²) 1,00 5,00* 2,50** 1,00 2,50 Bitolas (mm) 2 φ 8,0 4 φ 12,5 2 φ 12,5 2 φ 8,0 2 φ 12,5 M k,max (kN.m) - 9,54 - 6,98 - 3,43 - 46,96 - 4,19 M sd,max (kN.m) - 13,36 - 9,77 - 4,80 - 65,74 - 5,87 Tabela Apêndice B - Tabela A.16 As (cm²) 2,50 1,00 1,00 5,00 1,00 Bitolas (mm) 2 φ 12,5 2 φ 8,0 2 φ 8,0 4 φ 12,5 2 φ 8,0 Vk,max (kN) 21,13 44,64 24,37 35,10 17,04 Vsd,max(kN) 29,58 62,50 34,12 49,14 23,85 Tabela Apêndice B - Tabela A.26 Asw (cm²) 3 ,2 7 1,57 1,57 1,57 3,27 Bitolas (mm) φ5,0 c/12 φ5,0 c/25 φ5,0 c/25 φ5,0 c/25 φ5,0c/12
V-407 12 x 45 5,25 7,35 1,00 2 φ 8,0 - 7,87 - 11, 02 1,00 2 φ 8,0 13,73 19,22 1,57 φ5,0 c/25
* Conforme visto na Tabela A.16, no Apêndice B, a área de aço de 5,0 cm² é para o momento de serviço de 73,09 73,09 kN.m, e o momento calculado é de 75,6 kN.m, porém é uma diferença diferença de apenas apenas 3%. Não há nenhum inconveniente em se adotar essa solução pois, esse pequeno erro, aparentemente contrário à segurança, é compensado pelas folgas existentes nas armaduras positivas dos vãos. ** Conforme visto na Tabela A.16, no Apêndice B, a área de aço de 2,5 cm² é para o momento de serviço de 36,54 kN.m, e o momento calculado é de 37,60 kN.m, porém é uma diferença menor que 3%. Não há nenhum inconveniente em se adotar essa solução pois, esse pequeno erro, aparentemente contrário à segurança, é compensado pelas folgas existentes nas armaduras positivas dos vãos. *** Conforme visto na Tabela A.26, no Apêndice B, a área de aço mínima, para os estribos das vigas V-402, V-404, V-405, V-406 e V-407, suportaria o esforço cortante de serviço, no entanto, o espaçamento máximo entre os estribos não atenderia a NBR 6118.
4.3.3 Estados limites de serviço A verificação dos estados limites de serviço (momento de fissuração, abertura de fissuras e deformação excessiva) para vigas não foram realizados, visto que o objetivo deste trabalho é desenvolver tabelas práticas para o dimensionamento no estado limite último.
60
4.3.4 Planta de armação A planta de armação das vigas da cobertura está no apêndice A, nos quais constam relação das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o resumo das barras, com tipo de aço, bitola, comprimento comprimento total, massa de cada bitola, massa total mais 10% de perda e detalhes construtivos.
61
5
CONCLUSÃO Neste trabalho foram desenvolvido tabelas práticas para o dimensionamento
de lajes e vigas de concreto armado quanto ao estado limite último, conforme prescrições da NBR 6118:2007 e análise da ductibilidade estrutural relacionada com a capacidade da estrutura entrar em colapso com aviso prévio de ruptura, apresentações de fissuras e flechas fl echas excessivas. excessivas. As tabelas elaboradas mostraram ser eficientes para par a o objetivo de agilizar e tornar prático o dimensionamento de peças estruturais no estado limite último, por não ser necessário calcular os adimensionais (K md, K x e K z) e não precisar verificar a armadura mínima. Observou-se que de posse dos esforços solicitantes da viga V-401, o dimensionamento dessa viga pelo método tradicional pode levar em torno de 4 a 5 minutos, ao passo que pelo uso das tabelas práticas é possível dimensionar a mesma viga em menos de um minuto. Além disso, di sso, o trabalho seguiu a didática do fluxograma fluxograma de Custódio (Figura 2.2), 2.2), permitindo a execução de um dimensionamento de edifício de pequeno porte por meio de etapas, que facilita a compreensão e integração das disciplinas de Concreto Armado I e II com a disciplina disciplina de Projeto Estrutural de Edifícios. Edifícios. Em relação ao dimensionamento para se obter um comportamento dúctil em flexão simples foi adotado o critério proposto por José Milton de Araújo, no qual não se pode dimensionar as seções das peças considerando todo o domínio 3, sendo necessário eliminar parte desse domínio para obter uma ruptura dúctil com avisos. Enfim, para utilização das tabelas práticas, localizadas no Apêndice B, é necessário que o usuário realize o pré-dimensionamento dos elementos estruturais e que tenha os esforços solicitantes de tais elementos, neste trabalho essa etapa foi realizada com auxilio do programa Ftool (2012). É importante ainda ter conhecimento conhecimento das prescrições da NBR 6118:2007.
62
5.1 Sugestões para pesquisas futuras Visando aprimorar, complementar e corrigir possíveis falhas que possam haver nas tabelas práticas elaboradas neste trabalho, recomenda-se as seguintes sugestões de pesquisas futuras:
Complementar a tabela prática para o dimensionamento dimensionamento de armadura
transversal quanto ao esforço cortante, possibilitando a verificação quanto ao espaçamento máximo automática, ou seja, embutida na tabela e não apenas citado como nota de observação para ser feita a verificação manual;
Acrescentar mais combinações de armaduras
nas planilhas de
dimensionamento de vigas à flexão normal;
Elaborar tabelas práticas para o dimensionamento dimensionamento de pilares,
abrangendo tanto o dimensionamento para solicitações à flexão reta (ábacos de Venturini), quanto para flexão oblíqua (ábacos de Pinheiro), buscando o mesmo objetivo das demais tabelas.
63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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CLÍMACO, João Carlos Teatini de Souza. Estruturas de concreto armada: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação. 2. ed. revisada. Brasília: Editora Universidade de Brasília: Finatec, 2008. 410 p. DIMENSIONAMENTO E ANÁLISE DE ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO. Disponível em: g> Acesso em: 24 de setembro de 2013. ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Concepção Estrutural de Edifícios. Disponível em: 20t.pdf> Acesso em: 20 de setembro de 2013. FONTES, Fernando Fernandes. (2005). Análise estrutural de elementos lineares segundo a NBR 6118:2003. Dissertação (Mestrado). São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – Carlos – Universidade Universidade de São Paulo.120 p. GAMINO, André Luís. (2003). Análise numérica da ductilidade de vigas de concreto armado convencional e de desempenho. Dissertação (Mestrado). Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. 121 p. GIONGO, José Samuel. Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, EESC-USP, 2007. 176 p. LEONHART, Fritz; Mönnig, Eduard. Construções de concreto, volume 1: princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado. Tradução: David Fridman, revisão técnica de João Luís Escosteguy Merino e Pedro Paulo Sayão Barreto. Rio de Janeiro, Interciência, 1977. 336 p. PINHEIRO, Libâneo M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, EESC-USP, 2007. 380 p. TQS INFORMÁTICA LTDA. Análise estrutural com pórtico espacial completo com Pilares + Vigas + Lajes. Disponível em: destaques/modelo-vi-projeto-estrutural> Acesso: 14 de outubro de 2013.
65
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA (UNESP). Lajes de Concreto. Disponível em: Acesso em: 24 de setembro de 2013.
66
ANEXO A - Coeficientes para o pré-dimensionam pré- dimensionamento ento de lajes l ajes e vigas
Fonte: PINHEIRO, 2007.
67
ANEXO B - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
68
ANEXO C - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
69
ANEXO D - Coeficientes para o cálculo das reações de apoio em lajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
70
ANEXO E - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores fletor es em lajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
71
ANEXO F - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em lajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
72
ANEXO G - Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores em l ajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
73
ANEXO H - Adimensional α para cálculo das flechas em lajes
Fonte: PINHEIRO, 2007.
74
ANEXO I - PROJETO DE ARQUITETURA O projeto de arquitetura do edifício comercial que teve sua cobertura dimensionada no Capítulo 4, por meio das tabelas práticas, apresenta os seguintes detalhamentos:
Planta baixa do subsolo;
Planta baixa do pavimento térreo;
Planta baixa do mezanino;
Planta baixa do 1º Pavimento;
Fachada Frontal; e
Cortes A-A e B-B.
75
76
77
78
79
80
81
82
APÊNDICES A - PROJETO DE ESTRUTURA O apêndice A apresenta o projeto de estrutura da cobertura do edifício localizado no anexo I, constam as seguintes plantas:
Formas dos pilares e vigas de acordo acordo com o pré-dimensionamento; pré-dimensionamento;
Armadura inferior da laje da cobertura (armadura positiva);
Armadura superior da laje da da cobertura (armadura negativa);
Esforços e detalhamento das vigas da cobertura.
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
V-402 (12X25) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
93
V-402 (12X25) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
93
94
94
V-403 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FL ETOR
95
V-403 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FL ETOR
95
96
96
V-404 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
97
V-404 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
97
98
98
V-405 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
99
V-405 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
99
100
100
V-406 (12X25) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
101
V-406 (12X25) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
101
102
102
V-407 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
103
V-407 (12X45) : DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE E DO MOMENTO FLETOR
103
104
104
APÊNDICES B - TABELAS PRÁTICAS O apêndice B apresenta as tabelas práticas elaboradas no trabalho, consta m nesse apêndice as seguintes tabelas:
Tabelas A.1 ao A.14 A.14 para dimensionamento dimensionamento de lajes retangulares maciças;
Tabelas A.15 ao A.24 para dimensionamento dimensionamento de vigas retangulares à flexão normal simples (armadura longitudinal);
Tabelas A.25 ao A.34 A.34 para dimensionamento dimensionamento de vigas retangulares retangulares à esforço cortante (armadura transversal - estribos).
APÊNDICES B - TABELAS PRÁTICAS O apêndice B apresenta as tabelas práticas elaboradas no trabalho, consta m nesse apêndice as seguintes tabelas:
Tabelas A.1 ao A.14 A.14 para dimensionamento dimensionamento de lajes retangulares maciças;
Tabelas A.15 ao A.24 para dimensionamento dimensionamento de vigas retangulares à flexão normal simples (armadura longitudinal);
Tabelas A.25 ao A.34 A.34 para dimensionamento dimensionamento de vigas retangulares retangulares à esforço cortante (armadura transversal - estribos).
105
TABELA A.1 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 7,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0
3 .4 * 1,94 ---------------------
4.2* 2,96 2,82 2,69 2,58 2,47 2,37 2,28 2,20 2,12 2,04 1,98 -----------
5 .0 * 4,20 4,00 3,82 3,65 3,50 3,36 3,23 3,11 3,00 2,90 2,80 2,71 2,63 2,55 2,47 2,40 2,33 2,27 2,21 2,15 2,10
6 .3 5,56 5,29 5,05 4,83 4,63 4,45 4,27 4,12 3,97 3,83 3,70 3,59 3,47 3,37 3,27 3,18 3,09 3,00 2,92 2,85 2,78 Hipóteses
8 .0 8,96 8,53 8,15 7,79 7,47 7,17 6,89 6,64 6,40 6,18 5,97 5,78 5,60 5,43 5,27 5,12 4,98 4,84 4,72 4,60 4,48
10.0 ----------------------
12.5 ----------------------
16.0 ----------------------
Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
5 cm
f ck
25 Mpa
f yk
500 Mpa Mpa
f yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
0,90
cm²/m
sd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 Mpa Mpa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
1,60
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0 ,158 < Kmd Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60
106
TABELA A.2 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA NEGATIVA) - h = 7,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm)
3.4*
4.2*
5.0*
6.3
8.0
10.0
12.5
16.0
10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5
---------------------
2,96 2,82 2,69 2,58 2,47 2,37 2,28 --------------
4,20 4,00 3,82 3,65 3,50 3,36 3,23 3,11 3,00 2,90 2,80 2,71 2,63 2,55 2,47 2,40 2,33 2,27 ---
5,56 5,29 5,05 4,83 4,63 4,45 4,27 4,12 3,97 3,83 3,70 3,59 3,47 3,37 3,27 3,18 3,09 3,00 2,92 2,85
8,96 8,53 8,15 7,79 7,47 7,17 6,89 6,64 6,40 6,18 5,97 5,78 5,60 5,43 5,27 5,12 4,98 4,84 4,72 4,60
---------------------
---------------------
---------------------
20,0
--
--
--
2,78 4,48 Hipóteses
--
--
--
Msd = f .Mk Mserviço = Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILI DADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
5 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 500 Mpa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,05 1,05 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mpa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
1,87
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações são as mesmas.
107
kN.m/m
TABELA A.3 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 10,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 -4,74 6,72 8,89 14,34 22,40 --10,5 -4,52 6,40 8,47 13,65 21,33 --11,0 -4,31 6,11 8,08 13,03 20,36 --11,5 -4,12 5,84 7,73 12,47 19,48 --12,0 -3,95 5,60 7,41 11,95 18,67 --12,5 -3,79 5,38 7,11 11,47 17,92 --13,0 -3,65 5,17 6,84 11,03 17,23 --13,5 -3,51 4,98 6,59 10,62 16,59 --14,0 --4,80 6,35 10,24 16,00 --14,5 --4,63 6,13 9,89 15,45 --15,0 --4,48 5,93 9,56 14,93 --15,5 --4,34 5,74 9,25 14,45 --16,0 --4,20 5,56 8,96 14,00 --16,5 --4,07 5,39 8,69 13,58 --17,0 --3,95 5,23 8,43 13,18 --17,5 --3,84 5,08 8,19 12,80 --18,0 --3,73 4,94 7,96 12,44 --18,5 --3,63 4,81 7,75 12,11 --19,0 --3,54 4,68 7,55 11,79 --19,5 --3,45 4,56 7,35 11,49 --20,0 ---4,45 7,17 11,20 --Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,450 0,450 CA-50 CA-50
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-60 CA-60
kmd,lim
0,251 0,251 CA-50 CA-50
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-60 CA-60
kz,lim
0,820 0,820 CA-50 CA-50
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-60 CA-60
d
Cnom
8 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 500 Mpa
f yk yk
434782, 434782,61 61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,01
cm²/m
sd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 Mpa 521739, 521739,1 1 kN/m² kN/m² Mmin =
2,87
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60
108
TABELA A.4 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA NEGATIVA) - h = 10,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0
3.4* ----------------------
4.2* ----------------------
5.0* 6,72 6,40 6,11 5,84 5,60 5,38 5,17 ---------------
6. 3 8.0 8,89 14,34 8,47 13,65 8,08 13,03 7,73 12,47 7,41 11,95 7,11 11,47 6,84 11,03 6,59 10,62 6,35 10,24 6,13 9,89 5,93 9,56 5,74 9,25 5,56 8,96 5,39 8,69 5,23 8,43 5,08 8,19 4,94 7,96 4,81 7,75 4,68 7,55 4,56 7,35 4,45 7,17 Hipóteses
10.0 22,40 21,33 20,36 19,48 18,67 17,92 17,23 16,59 16,00 15,45 14,93 14,45 14,00 13,58 13,18 12,80 12,44 12,11 11,79 11,49 11,20
12.5 ----------------------
16.0 ----------------------
Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,450 0,450 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,450 0,450 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,251 0,251 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,251 0,251 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,820 0,820 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,820 0,820 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
8 cm
f ck
25 Mpa
f yk
500 500 Mpa Mpa
f yk
434782,6 434782,61 1 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,50 1,50 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m kN/m²² 600 600 Mpa 521739 521739,1 ,1 kN/m kN/m²² Mmin =
4,28
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) 0,305) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações reco mendações são as mesmas.
109
kN.m/m
TABELA A.5 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 12,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 -5,93 8,40 11,11 17,92 28,00 --10,5 -5,65 8,00 10,58 17,07 26,67 --11,0 -5,39 7,64 10,10 16,29 25,46 --11,5 --7,30 9,66 15,58 24,35 38,05 -12,0 --7,00 9,26 14,93 23,33 36,46 -12,5 --6,72 8,89 14,34 22,40 35,00 -13,0 --6,46 8,55 13,79 21,54 33,66 -13,5 --6,22 8,23 13,27 20,74 32,41 -14,0 --6,00 7,94 12,80 20,00 31,25 -14,5 --5,79 7,66 12,36 19,31 30,17 -15,0 --5,60 7,41 11,95 18,67 29,17 -15,5 --5,42 7,17 11,56 18,07 28,23 -16,0 --5,25 6,95 11,20 17,50 27,34 -16,5 ---6,74 10,86 16,97 26,52 -17,0 ---6,54 10,54 16,47 25,74 -17,5 ---6,35 10,24 16,00 25,00 -18,0 ---6,17 9,96 15,56 24,31 -18,5 ---6,01 9,69 15,14 23,65 -19,0 ---5,85 9,43 14,74 23,03 -19,5 ---5,70 9,19 14,36 22,44 -20,0 ---5,56 8,96 14,00 21,88 -Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE K x,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
10 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,21
cm²/m
sd
→
2 cm 15178,5 15178,57 7 kN/m² kN/m² 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
4,30
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,305) 0,305) *Aço CA-60
110
TABELA A.6 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA (ARMADURA NEGATIVA) - h = 12,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 --8,40 11,11 17,92 28,00 --10,5 --8,00 10,58 17,07 26,67 --11,0 ---10,10 16,29 25,46 --11,5 ---9,66 15,58 24,35 38,05 -12,0 ---9,26 14,93 23,33 36,46 -12,5 ---8,89 14,34 22,40 35,00 -13,0 ---8,55 13,79 21,54 33,66 -13,5 ---8,23 13,27 20,74 32,41 -14,0 ---7,94 12,80 20,00 31,25 -14,5 ---7,66 12,36 19,31 30,17 -15,0 ---7,41 11,95 18,67 29,17 -15,5 ---7,17 11,56 18,07 28,23 -16,0 ---6,95 11,20 17,50 27,34 -16,5 ---6,74 10,86 16,97 26,52 -17,0 ---6,54 10,54 16,47 25,74 -17,5 ----10,24 16,00 25,00 -18,0 ----9,96 15,56 24,31 -18,5 ----9,69 15,14 23,65 -19,0 ----9,43 14,74 23,03 -19,5 ----9,19 14,36 22,44 -20,0 ----8,96 14,00 21,88 -Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm kxd,lim
VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO * kxd,lim 0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0 0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
10 cm
f ck
25 Mpa
f yk yk
500 500 Mpa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,80 1,80 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mpa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
6,42
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) 0,305) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações são as mesmas.
111
kN.m/m
TABELA A.7 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 13,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 -6,52 9,24 12,23 19,71 30,80 --10,5 -6,21 8,80 11,64 18,77 29,33 45,84 -11,0 --8,40 11,11 17,92 28,00 43,75 -11,5 --8,04 10,63 17,14 26,78 41,85 -12,0 --7,70 10,19 16,43 25,67 40,11 -12,5 --7,39 9,78 15,77 24,64 38,50 -13,0 --7,11 9,40 15,16 23,69 37,02 -13,5 --6,84 9,06 14,60 22,82 35,65 -14,0 --6,60 8,73 14,08 22,00 34,38 -14,5 --6,37 8,43 13,60 21,24 33,19 -15,0 --6,16 8,15 13,14 20,53 32,08 -15,5 ---7,89 12,72 19,87 31,05 -16,0 ---7,64 12,32 19,25 30,08 -16,5 ---7,41 11,95 18,67 29,17 -17,0 ---7,19 11,60 18,12 28,31 -17,5 ---6,99 11,26 17,60 27,50 45,06 18,0 ---6,79 10,95 17,11 26,74 43,81 18,5 ---6,61 10,66 16,65 26,01 42,62 19,0 ---6,43 10,38 16,21 25,33 41,50 19,5 ---6,27 10,11 15,80 24,68 40,44 20,0 ---6,11 9,86 15,40 24,06 39,43 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
11 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,31
cm²/m
sd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
5,12
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60
112
TABELA A.8 - LAJES EM CRUZ CRUZ (ARMADURA NEGATIVA) - h = 13,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3 .4 * 4 .2 * 5.0* 6.3 8 .0 10.0 12.5 1 6 .0 10,0 --9 ,2 4 12,23 1 9 ,7 1 3 0 ,8 0 --10,5 ---11,64 1 8 ,7 7 2 9 ,3 3 45,84 -11,0 ---11,11 1 7 ,9 2 2 8 ,0 0 43,75 -11,5 ---10,63 1 7 ,1 4 2 6 ,7 8 41,85 -12,0 ---10,19 1 6 ,4 3 2 5 ,6 7 40,11 -12,5 ---9,78 1 5 ,7 7 2 4 ,6 4 38,50 -13,0 ---9,40 1 5 ,1 6 2 3 ,6 9 37,02 -13,5 ---9,06 1 4 ,6 0 2 2 ,8 2 35,65 -14,0 ---8,73 1 4 ,0 8 2 2 ,0 0 34,38 -14,5 ---8,43 1 3 ,6 0 2 1 ,2 4 33,19 -15,0 ---8,15 1 3 ,1 4 2 0 ,5 3 32,08 -15,5 ---7,89 1 2 ,7 2 1 9 ,8 7 31,05 -16,0 ----1 2 ,3 2 1 9 ,2 5 30,08 -16,5 ----1 1 ,9 5 1 8 ,6 7 29,17 -17,0 ----1 1 ,6 0 1 8 ,1 2 28,31 -17,5 ----1 1 ,2 6 1 7 ,6 0 27,50 45,06 18,0 ----1 0 ,9 5 1 7 ,1 1 26,74 43,81 18,5 ----1 0 ,6 6 1 6 ,6 5 26,01 42,62 19,0 ----1 0 ,3 8 1 6 ,2 1 25,33 41,50 19,5 ----1 0 ,1 1 1 5 ,8 0 24,68 40,44 20,0 ----9,86 1 5 ,4 0 24,06 39,43 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO * kxd,lim 0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0 0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kxd,lim kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
11 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk
500 Mpa
f yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,95 1,95 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mpa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
7,65
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações são as mesmas.
113
TABELA A.9 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 15,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 --10,92 14,45 23,30 36,40 56,88 -10,5 --10,40 13,76 22,19 34,67 54,17 -11,0 --9,93 13,13 21,18 33,09 51,71 -11,5 --9,50 12,56 20,26 31,65 49,46 -12,0 --9,10 12,04 19,41 30,33 47,40 -12,5 --8,74 11,56 18,64 29,12 45,50 -13,0 --8,40 11,11 17,92 28,00 43,75 -13,5 ---10,70 17,26 26,96 42,13 -14,0 ---10,32 16,64 26,00 40,63 -14,5 ---9,96 16,07 25,10 39,23 64,27 15,0 ---9,63 15,53 24,27 37,92 62,13 15,5 ---9,32 15,03 23,48 36,70 60,12 16,0 ---9,03 14,56 22,75 35,55 58,24 16,5 ---8,76 14,12 22,06 34,47 56,48 17,0 ---8,50 13,70 21,41 33,46 54,82 17,5 ---8,26 13,31 20,80 32,50 53,25 18,0 ---8,03 12,94 20,22 31,60 51,77 18,5 ---7,81 12,59 19,68 30,74 50,37 19,0 ---7,60 12,26 19,16 29,94 49,05 19,5 ---7,41 11,95 18,67 29,17 47,79 20,0 ---7,22 11,65 18,20 28,44 46,59 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
13 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,51
cm²/m
sd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
6,99
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60
114
TABELA A.10 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA NEGATIVA) - h = 15,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6 .3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 ---14,45 23,30 36,40 56,88 -10,5 ---13,76 22,19 34,67 54,17 -11,0 ---13,13 21,18 33,09 51,71 -11,5 ---12,56 20,26 31,65 49,46 -12,0 ---12,04 19,41 30,33 47,40 -12,5 ---11,56 18,64 29,12 45,50 -13,0 ---11,11 17,92 28,00 43,75 -13,5 ---10,70 17,26 26,96 42,13 -14,0 ----16,64 26,00 40,63 -14,5 ----16,07 25,10 39,23 64,27 15,0 ----15,53 24,27 37,92 62,13 15,5 ----15,03 23,48 36,70 60,12 16,0 ----14,56 22,75 35,55 58,24 16,5 ----14,12 22,06 34,47 56,48 17,0 ----13,70 21,41 33,46 54,82 17,5 ----13,31 20,80 32,50 53,25 18,0 ----12,94 20,22 31,60 51,77 18,5 ----12,59 19,68 30,74 50,37 19,0 ----12,26 19,16 29,94 49,05 19,5 ----11,95 18,67 29,17 47,79 20,0 ----11,65 18,20 28,44 46,59 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO * kxd,lim 0,450 0,450 CA-5 CA-50 0 0,450 0,450 CA-6 CA-60 0
kxd,lim kmd,lim
0,251 0,251 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,251 0,251 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,820 0,820 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,820 0,820 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
1 3 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 Mpa
f yk yk
434782,6 434782,61 1 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
2,25 2,25 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178 15178,57 ,57 kN/m kN/m²² 600 Mpa 52173 521739,1 9,1 kN/m kN/m²² Mmin =
10,43
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações re comendações são as mesmas.
115
TABELA A.11 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 1 8,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3 .4 * 4.2* 5 .0 * 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 1 0 ,0 --13,44 1 7 ,7 8 28,67 4 4 ,8 0 70,00 -1 0 ,5 --12,80 1 6 ,9 4 27,31 4 2 ,6 7 66,67 -1 1 ,0 ---1 6 ,1 7 26,07 4 0 ,7 3 63,64 -1 1 ,5 ---1 5 ,4 6 24,93 3 8 ,9 6 60,87 -1 2 ,0 ---1 4 ,8 2 23,89 3 7 ,3 3 58,34 95,58 1 2 ,5 ---1 4 ,2 3 22,94 3 5 ,8 4 56,00 91,75 1 3 ,0 ---1 3 ,6 8 22,06 3 4 ,4 6 53,85 88,23 1 3 ,5 ---1 3 ,1 7 21,24 3 3 ,1 9 51,85 84,96 1 4 ,0 ---1 2 ,7 0 20,48 3 2 ,0 0 50,00 81,92 1 4 ,5 ---1 2 ,2 6 19,77 3 0 ,9 0 48,28 79,10 1 5 ,0 ---1 1 ,8 5 19,12 2 9 ,8 7 46,67 76,46 1 5 ,5 ---1 1 ,4 7 18,50 2 8 ,9 0 45,16 74,00 1 6 ,0 ---1 1 ,1 1 17,92 2 8 ,0 0 43,75 71,68 1 6 ,5 ---1 0 ,7 8 17,38 2 7 ,1 5 42,43 69,51 1 7 ,0 ---1 0 ,4 6 16,87 2 6 ,3 5 41,18 67,47 1 7 ,5 ----16,38 2 5 ,6 0 40,00 65,54 1 8 ,0 ----15,93 2 4 ,8 9 38,89 63,72 1 8 ,5 ----15,50 2 4 ,2 2 37,84 62,00 1 9 ,0 ----15,09 2 3 ,5 8 36,84 60,36 1 9 ,5 ----14,70 2 2 ,9 8 35,90 58,82 2 0 ,0 ----14,34 2 2 ,4 0 35,00 57,35 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim .d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
16 cm
f ck ck
2 5 M pa
f yk yk
500 500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
1,81
cm²/m
sd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
10,32
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60
116
TABELA A.12 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA NEGATIVA) NEGATIVA) - h: 18,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 ---17,78 28,67 44,80 70,00 -10,5 ---16,94 27,31 42,67 66,67 -11,0 ---16,17 26,07 40,73 63,64 -11,5 ---15,46 24,93 38,96 60,87 -12,0 ----23,89 37,33 58,34 95,58 12,5 ----22,94 35,84 56,00 91,75 13,0 ----22,06 34,46 53,85 88,23 13,5 ----21,24 33,19 51,85 84,96 14,0 ----20,48 32,00 50,00 81,92 14,5 ----19,77 30,90 48,28 79,10 15,0 ----19,12 29,87 46,67 76,46 15,5 ----18,50 28,90 45,16 74,00 16,0 ----17,92 28,00 43,75 71,68 16,5 ----17,38 27,15 42,43 69,51 17,0 ----16,87 26,35 41,18 67,47 17,5 ----16,38 25,60 40,00 65,54 18,0 ----15,93 24,89 38,89 63,72 18,5 ----15,50 24,22 37,84 62,00 19,0 -----23,58 36,84 60,36 19,5 -----22,98 35,90 58,82 20,0 -----22,40 35,00 57,35 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO * kxd,lim 0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0 0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kxd,lim kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
16 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
2,70 2,70 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
15,40
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,320 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd Kmd ≤ 0,305) 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações são as mesmas.
117
TABELA A.13 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA POSITIVA) - h = 20,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES POSITIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m k N.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 ---20,00 32,26 50,40 78,75 -10,5 ---19,05 30,72 48,00 75,00 122,89 11,0 ---18,19 29,32 45,82 71,59 117,30 11,5 ---17,40 28,05 43,83 68,48 112,20 12,0 ---16,67 26,88 42,00 65,63 107,52 12,5 ---16,00 25,81 40,32 63,00 103,22 13,0 ---15,39 24,81 38,77 60,58 99,25 13,5 ---14,82 23,89 37,33 58,34 95,58 14,0 ---14,29 23,04 36,00 56,25 92,16 14,5 ---13,80 22,25 34,76 54,31 88,99 15,0 ---13,34 21,50 33,60 52,50 86,02 15,5 ---12,91 20,81 32,52 50,81 83,24 16,0 ----20,16 31,50 49,22 80,64 16,5 ----19,55 30,55 47,73 78,20 17,0 ----18,97 29,65 46,33 75,90 17,5 ----18,43 28,80 45,00 73,73 18,0 ----17,92 28,00 43,75 71,68 18,5 ----17,44 27,24 42,57 69,75 19,0 ----16,98 26,53 41,45 67,91 19,5 ----16,54 25,85 40,39 66,17 20,0 ----16,13 25,20 39,38 64,51 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE K x,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0
* kxd,lim
0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
18 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
2,01
cm²/m
sd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
12,90
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0 ,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60
118
TABELA A.14 - LAJES EM CRUZ (ARMADURA (ARMADURA NEGATIVA) NEGATIVA) - h = 20,0 cm TABELA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS - ARMADURA SIMPLES MOMENTOS FLETORES NEGATIVOS DE SERVIÇO - kN.m/m Esp. (cm) 3.4* 4.2* 5.0* 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 10,0 ---20,00 32,26 50,40 78,75 -10,5 ----30,72 48,00 75,00 122,89 11,0 ----29,32 45,82 71,59 117,30 11,5 ----28,05 43,83 68,48 112,20 12,0 ----26,88 42,00 65,63 107,52 12,5 ----25,81 40,32 63,00 103,22 13,0 ----24,81 38,77 60,58 99,25 13,5 ----23,89 37,33 58,34 95,58 14,0 ----23,04 36,00 56,25 92,16 14,5 ----22,25 34,76 54,31 88,99 15,0 ----21,50 33,60 52,50 86,02 15,5 ----20,81 32,52 50,81 83,24 16,0 ----20,16 31,50 49,22 80,64 16,5 ----19,55 30,55 47,73 78,20 17,0 -----29,65 46,33 75,90 17,5 -----28,80 45,00 73,73 18,0 -----28,00 43,75 71,68 18,5 -----27,24 42,57 69,75 19,0 -----26,53 41,45 67,91 19,5 -----25,85 40,39 66,17 20,0 -----25,20 39,38 64,51 Hipóteses Msd = f .Mk Mserviço= Msd = As.Kz,lim.d.
sd
Msd,máx= Msd ≤ Kmd,lim.d².f cd cd
lim ≤
h/8
Slim ≤ 2.h ou 20 cm VALORES DE Kx,lim PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO * kxd,lim 0,45 0,450 0 CA-5 CA-50 0 0,45 0,450 0 CA-6 CA-60 0
kxd,lim kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-5 CA-50 0
* kmd,lim
0,25 0,251 1 CA-6 CA-60 0
kz,lim
0,82 0,820 0 CA-5 CA-50 0
* kz,lim
0,82 0,820 0 CA-6 CA-60 0
d
Cnom
18 cm
f ck ck
25 Mpa
f yk yk
500 Mp Mpaa
f yk yk
434782 434782,61 ,61 kN/m² kN/m²
sd
s,min
cd
=
3,00 3,00 cm²/ cm²/m m
cd
→
2 cm 15178, 15178,57 57 kN/m² kN/m² 600 600 Mp Mpaa 521739 521739,1 ,1 kN/m² kN/m² Mmin =
19,25
kN.m/m
1 kN = 100 kgf = 0,1 tf Domínios Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158) Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320 e para CA-60 0,158 < Kmd ≤ 0,305) *Aço CA-60 NOTA: Essa tabela também pode ser utilizada para o dimensionamento de lajes armada em uma direção, tendo em vista que as recomendações são as mesmas.
119
TABELA A.15 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga (b x h) (cm²) 10 x 20 10 x 25 10 x 30 10 x 35 10 x 40 10 x 45 10 x 50 10 x 55 10 x 60 2 φ 6,3 0,63 3,59 4,72 5,84 6,96 8,09 ----3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 8,76 10,44 12,13 13,81 15,50 17,18 18,87 1,00 5,70 7,49 9,27 11,05 12,83 14,62 16,40 18,18 19,97 2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 12,49 14,50 16,52 18,53 20,55 22,56 4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 13,93 16,17 18,42 20,66 22,91 25,16 2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 16,88 19,22 21,57 23,91 26,25 3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 21,93 24,60 27,27 29,95 2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 23,39 26,24 29,09 31,94 4 φ 8,0 2,00 -14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 36,37 39,93 2 φ 10 + 1φ 8 2,10 -15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 41,93 3 φ 10 2,40 --22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 --23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 --24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 ---31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6,3 6φ 8 3,00 ---33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 ---35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 ----46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 ----48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 -----58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 -----59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 12,5 + 1 φ 10 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 ------73,80 81,82 89,84 16 6 φ 10 4,80 ------78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 -------90,91 99,83 3 φ 16 6,00 ---------5 φ 12,5 6,25 ---------6 φ 12,5 7,50 ---------4 φ 16 8,00 ---------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,30 0,38 0,45 0,53 0,60 0,68 0,75 0,83 0,90 Mmin = 1,82 2,94 4,33 5,99 7,91 10,11 12,57 15,29 18,29 Hipóteses Armadura
VALO RES PARA GARANTIR DUCTI DUCTIBILIDADE BILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim =
0,251 CA-50
kxd,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA- 50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (Km d ≤ 0,158) 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
120
Domíni o 3 (para CA- 50 0,158 < Kmd ≤ 0,320)
TABELA TABELA A.16 - DI MENSIONAMENTO MENSIONAMENTO DE VIGAS V IGAS RETANGULAR RETANGULARES ES À FLEXÃO NORMAL SI MPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal da Viga (b x h) Armadura (cm²) 12 x 20 12 x 25 12 x 30 12 x 35 12 x 40 12 x 45 12 x 50 12 x 55 12 x 60 2 φ 6,3 0,63 3,59 4,72 5,84 6,96 -----3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 8,76 10,44 12,13 13,81 15,50 --1,00 5 , 7 0 7 , 4 9 9 , 2 7 1 1 , 0 5 1 2 , 8 3 1 4 , 6 2 1 6 , 4 0 1 8 , 1 8 2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 12,49 14,50 16,52 18,53 20,55 22,56 4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 13,93 16,17 18,42 20,66 22,91 25,16 2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 16,88 19,22 21,57 23,91 26,25 3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 21,93 24,60 27,27 29,95 2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 23,39 26,24 29,09 31,94 4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 36,37 39,93 2 φ 10 + 1φ 8 2,10 -15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 41,93 3 φ 10 2,40 -17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 -18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 -19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 --26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 --27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 --29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 ---39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 ---41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 ----51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 ----52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 ----57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 6 φ 10 4,80 -----70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 -----73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 -------109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 -------113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 ---------4 φ 16 8,00 ---------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,36 0,45 0,54 0,63 0,72 0,81 0,90 0,99 1,08 Mmin = 2,18 3,53 5,20 7,19 9,50 12,13 15,08 18,35 21,95 Hipóteses VAL ORES PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim =
0,251 CA-50
kx,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA-50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (K md ≤ 0,158) 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
121
Domínio 3 (para CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320) 0,320)
TABELA A.17 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga (b x h) Armadura (cm²) 13 x 20 13 x 25 13 x 30 13 x 35 13 x 40 13 x 45 13 x 50 13 x 55 13 x 60 2 φ 6,3 0,63 3,59 4,72 5,84 ------3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 8,76 10,44 12,13 13,81 ---1,00 5,70 7,49 9,27 11,05 12,83 14,62 16,40 --2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 12,49 14,50 16,52 18,53 20,55 -4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 13,93 16,17 18,42 20,66 22,91 25,16 2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 16,88 19,22 21,57 23,91 26,25 3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 21,93 24,60 27,27 29,95 2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 23,39 26,24 29,09 31,94 4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 36,37 39,93 2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 41,93 3 φ 10 2,40 -17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 -18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 -19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 -21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 --27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 --29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 --33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 ---41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 ---44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 ---45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 ----57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 16 6 φ 10 4,80 ----61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 ----64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 ------98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 ------102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 --------149,74 4 φ 16 8,00 ---------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,39 0,49 0,59 0,68 0,78 0,88 0,98 1,07 1,17 Mmin = 2,36 3,82 5,63 7,79 10,29 13,14 16,34 19,88 23,78 Hipóteses VAL ORES PARA GARANTIR DUCTI DUCTIBILIDADE BILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim =
0,251 CA-50
kx,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA-50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 ( Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
122
Domíni o 3 (para (par a CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320)
TABELA TABELA A.18 - DI MENSIONAMENTO MENSIONAMENTO DE VI GAS RETANGULAR RETANGULARES ES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES SI MPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga ( b x h) (cm²) 14 x 20 14 x 25 14 x 30 14 x 35 14 x 40 14 x 45 14 x 50 14 x 55 14 x 60 2 φ 6,3 0,63 3,59 4,72 5,84 ------3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 8,76 10,44 12,13 13,81 ---1,00 5,70 7,49 9,27 11,05 12,83 14,62 ---2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 12,49 14,50 16,52 18,53 --4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 13,93 16,17 18,42 20,66 22,91 25,16 2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 16,88 19,22 21,57 23,91 26,25 3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 21,93 24,60 27,27 29,95 2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 23,39 26,24 29,09 31,94 4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 36,37 39,93 2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 41,93 3 φ 10 2,40 -17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 -18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 -19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 -21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 -22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 --29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 --33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 --34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 ---44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 ---45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 ---49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 6 φ 10 4,80 ----61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 ----64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 -----87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 ------102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 -------136,37 149,74 4 φ 16 8,00 --------159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,42 0,53 0,63 0,74 0,84 0,95 1,05 1,16 1,26 Mmin = 2,55 4,12 6,06 8,39 11,08 14,15 17,59 21,41 25,61 Armadura
Hipóteses VALORES PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim = 0,251 CA-50
k x,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA- 50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
123
Domíni o 3 (para CA-50 CA -50 0,158 < Kmd ≤ 0,320) 0,320)
TABELA A.19 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga (b x h) Armadura (cm²) 15 x 20 15 x 25 15 x 30 15 x 35 15 x 40 15 x 45 15 x 50 15 x 55 15 x 60 2 φ 6,3 0,63 3,59 4,72 -------3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 8,76 10,44 12,13 ----1,00 5,70 7,49 9,27 11,05 12,83 ----2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 12,49 14,50 16,52 18,53 --4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 13,93 16,17 18,42 20,66 22,91 -2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 16,88 19,22 21,57 23,91 -3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 21,93 24,60 27,27 29,95 2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 23,39 26,24 29,09 31,94 4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 36,37 39,93 2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 41,93 3 φ 10 2,40 13,69 17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 14,26 18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 -19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 -21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 -22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 -23,96 29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 --33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 --34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 --37,08 44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 --38,01 45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 ---49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 16 6 φ 10 4,80 ---53,05 61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 ----64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 -----87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 -----91,36 102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 -------136,37 149,74 4 φ 16 8,00 -------145,46 159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,45 0,56 0,68 0,79 0,90 1,01 1,13 1,24 1,35 Mmin = 2,73 4,41 6,50 8,98 11,87 15,16 18,85 22,94 27,43 Hipóteses VAL ORES PARA GARANTIR DUCTI DUCTIBILIDADE BILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim =
0,251 CA-50
kx,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA-50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 ( Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
124
Domíni o 3 (para (par a CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320)
TABELA TABELA A.20 - DI MENSIONAMENTO MENSIONAMENTO DE VI GAS RETANGULAR RETANGULARES ES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES SI MPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga ( b x h) (cm²) 20 x 20 20 x 25 20 x 30 20 x 35 20 x 40 20 x 45 20 x 50 20 x 55 20 x 60 2 φ 6,3 0,63 3,59 --------3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 8,76 ------1,00 5,70 7,49 9,27 ------2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 12,49 -----4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 13,93 16,17 ----2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 16,88 ----3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 21,93 24,60 --2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 23,39 26,24 --4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 36,37 39,93 2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 41,93 3 φ 10 2,40 13,69 17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 14,26 18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 14,83 19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 16,06 21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 17,11 22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 18,25 23,96 29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 -26,95 33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 -28,08 34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 -29,95 37,08 44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 -30,70 38,01 45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 --41,71 49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 6 φ 10 4,80 --44,49 53,05 61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 --46,35 55,26 64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 ---66,31 77,01 87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 ---69,08 80,22 91,36 102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 ----96,26 109,63 123,00 136,37 149,74 4 φ 16 8,00 -----116,94 131,20 145,46 159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 Mmin = 3,64 5,88 8,66 11,98 15,83 20,21 25,13 30,59 36,58 Armadura
Hipóteses VALORES PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim = 0,251 CA-50
k x,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA- 50 f ck ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
125
Domíni o 3 (para CA-50 CA -50 0,158 < Kmd ≤ 0,320) 0,320)
TABELA A.21 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga (b x h) Armadura (cm²) 25 x 20 25 x 25 25 x 30 25 x 35 25 x 40 25 x 45 25 x 50 25 x 55 25 x 60 2 φ 6,3 0,63 ---------3 φ 6,3 0,95 5,39 7,08 -------1,00 5,70 7,49 -------2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 10,47 ------4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 11,68 ------2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 12,19 14,53 -----3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 16,58 19,25 ----2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 20,54 ----4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 29,23 32,80 --2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 34,44 38,18 -3 φ 10 2,40 13,69 17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 43,64 47,92 2 φ 12,5 2,50 14,26 18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 49,91 2 φ 10 + 2φ 8 2,60 14,83 19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 51,91 2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 16,06 21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 17,11 22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 18,25 23,96 29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 20,54 26,95 33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 21,39 28,08 34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 22,82 29,95 37,08 44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 23,39 30,70 38,01 45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 -33,69 41,71 49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 16 6 φ 10 4,80 -35,94 44,49 53,05 61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 -37,43 46,35 55,26 64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 --55,62 66,31 77,01 87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 --57,93 69,08 80,22 91,36 102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 ---82,89 96,26 109,63 123,00 136,37 149,74 4 φ 16 8,00 ---88,42 102,68 116,94 131,20 145,46 159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,75 0,94 1,13 1,31 1,50 1,69 1,88 2,06 2,25 Mmin = 4,55 7,35 10,83 14,97 19,79 25,27 31,42 38,24 45,72 Hipóteses VAL ORES PARA GARANTIR DUCTI DUCTIBILIDADE BILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim =
0,251 CA-50
kx,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA-50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 ( Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
126
Domíni o 3 (para (par a CA-50 0,158 < Kmd ≤ 0,320)
TABELA TABELA A.22 - DI MENSIONAMENTO MENSIONAMENTO DE VI GAS RETANGULAR RETANGULARES ES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES SI MPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga ( b x h) (cm²) 30 x 20 30 x 25 30 x 30 30 x 35 30 x 40 30 x 45 30 x 50 30 x 55 30 x 60 2 φ 6,3 0,63 ---------3 φ 6,3 0,95 5,39 --------1,00 5,70 --------2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 8,46 -------4 φ 6,3 1,26 7,19 9,43 -------2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 -------3φ 8 1,50 8,56 11,23 13,90 ------2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 17,68 -----4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 25,67 ----2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 30,70 ---3 φ 10 2,40 13,69 17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 39,36 --2 φ 12,5 2,50 14,26 18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 41,00 45,46 -2 φ 10 + 2φ 8 2,60 14,83 19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 42,64 47,27 -2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 16,06 21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 51,18 56,20 6φ 8 3,00 17,11 22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 59,90 4 φ 10 3,20 18,25 23,96 29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 20,54 26,95 33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 21,39 28,08 34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 22,82 29,95 37,08 44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 23,39 30,70 38,01 45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 25,67 33,69 41,71 49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 6 φ 10 4,80 27,38 35,94 44,49 53,05 61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 28,52 37,43 46,35 55,26 64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 -44,92 55,62 66,31 77,01 87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 -46,79 57,93 69,08 80,22 91,36 102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 --69,52 82,89 96,26 109,63 123,00 136,37 149,74 4 φ 16 8,00 --74,16 88,42 102,68 116,94 131,20 145,46 159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 0,90 1,13 1,35 1,58 1,80 2,03 2,25 2,48 2,70 Mmin = 5,45 8,82 13,00 17,97 23,74 30,32 37,70 45,88 54,87 Armadura
Hipóteses VALORES PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim = 0,251 CA-50
k x,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA- 50 f ck ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
127
Domíni o 3 (para CA-50 CA -50 0,158 < Kmd ≤ 0,320) 0,320)
TABELA A.23 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga (b x h) (cm²) 35 x 20 35 x 25 35 x 30 35 x 35 35 x 40 35 x 45 35 x 50 35 x 55 35 x 60 2 φ 6,3 0,63 ---------3 φ 6,3 0,95 ---------1,00 ---------2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 6,45 --------4 φ 6,3 1,26 7,19 --------2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 9,85 -------3φ 8 1,50 8,56 11,23 -------2 φ 10 1,60 9,13 11,98 14,83 ------4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 22,10 -----2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 26,95 ----3 φ 10 2,40 13,69 17,97 22,25 26,53 30,80 35,08 ---2 φ 12,5 2,50 14,26 18,72 23,17 27,63 32,09 36,54 ---φ 10 + 2φ 8 2 2,60 14,83 19,47 24,10 28,74 33,37 38,01 ---2 φ 12,5 + 1φ 6,3 2,82 16,06 21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 46,17 --6φ 8 3,00 17,11 22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 54,55 -4 φ 10 3,20 18,25 23,96 29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 58,18 63,89 2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 20,54 26,95 33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 21,39 28,08 34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 22,82 29,95 37,08 44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 23,39 30,70 38,01 45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 25,67 33,69 41,71 49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 6 φ 10 4,80 27,38 35,94 44,49 53,05 61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 28,52 37,43 46,35 55,26 64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 -44,92 55,62 66,31 77,01 87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 -46,79 57,93 69,08 80,22 91,36 102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 -56,15 69,52 82,89 96,26 109,63 123,00 136,37 149,74 4 φ 16 8,00 --74,16 88,42 102,68 116,94 131,20 145,46 159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1,05 1,31 1,58 1,84 2,10 2,36 2,63 2,89 3,15 Mmin = 6,36 10,29 15,16 20,96 27,70 35,38 43,99 53,53 64,01 Armadura
Hipóteses VALORES PARA GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA ADEQUADA DO AÇ O Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim =
0,251 CA-50
k x,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA- 50 f ck ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
128
Domíni o 3 (para CA- 50 0,158 0,158 < Kmd ≤ 0,320) 0,320)
TABELA TABELA A.24 - DIMENSIONAMENTO DI MENSIONAMENTO DE VIGAS VIG AS RETANGULARES RETANGULARES À FLEXÃO NORMAL SIMPLES MOMENTOS FLETORES DE SERVIÇO - KN.m Área de Aço Seção Transversal Transversal da Viga (b x h) (cm²) 40 x 20 40 x 25 40 x 30 40 x 35 40 x 40 40 x 45 40 x 50 40 x 55 40 x 60 2 φ 6,3 0,63 ---------3 φ 6,3 0,95 ---------1,00 ---------2 φ 8 2φ 6,3 + 1φ 8 1,13 ---------4 φ 6,3 1,26 7,19 --------2 φ 8 + 1φ 6,3 1,32 7,50 --------3φ 8 1,50 8,56 11,23 -------2 φ 10 1,60 9,13 11,98 -------4 φ 8,0 2,00 11,41 14,97 18,54 ------2 φ 10 + 1φ 8 2,10 11,98 15,72 19,47 23,21 -----3 φ 10 2,40 13,69 17,97 22,25 26,53 30,80 ----2 φ 12,5 2,50 14,26 18,72 23,17 27,63 32,09 ----2 φ 10 + 2φ 8 2,60 14,83 19,47 24,10 28,74 33,37 ----φ 12,5 + 1φ 6,3 2 2,82 16,06 21,08 26,09 31,11 36,13 41,15 ---6φ 8 3,00 17,11 22,46 27,81 33,16 38,50 43,85 49,20 --4 φ 10 3,20 18,25 23,96 29,66 35,37 41,07 46,78 52,48 --2 φ 10 + 1 φ 16 3,60 20,54 26,95 33,37 39,79 46,21 52,62 59,04 65,46 71,87 3 φ 12,5 3,75 21,39 28,08 34,76 41,45 48,13 54,82 61,50 68,18 74,87 5 φ 10 4,00 22,82 29,95 37,08 44,21 51,34 58,47 65,60 72,73 79,86 4,10 23,39 30,70 38,01 45,31 52,62 59,93 67,24 74,55 81,86 2 φ 12,5 + 1 φ 10 2 φ 12,5 + 1 φ 16 4,50 25,67 33,69 41,71 49,73 57,76 65,78 73,80 81,82 89,84 6 φ 10 4,80 27,38 35,94 44,49 53,05 61,61 70,16 78,72 87,28 95,83 4 φ 12,5 5,00 28,52 37,43 46,35 55,26 64,17 73,09 82,00 90,91 99,83 3 φ 16 6,00 34,23 44,92 55,62 66,31 77,01 87,70 98,40 109,10 119,79 5 φ 12,5 6,25 35,65 46,79 57,93 69,08 80,22 91,36 102,50 113,64 124,78 6 φ 12,5 7,50 -56,15 69,52 82,89 96,26 109,63 123,00 136,37 149,74 4 φ 16 8,00 -59,90 74,16 88,42 102,68 116,94 131,20 145,46 159,72 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1,20 1,50 1,80 2,10 2,40 2,70 3,00 3,30 3,60 Mmin = 7,27 11,77 17,33 23,96 31,66 40,43 50,27 61,18 73,16 Armadura
Hipóteses VALO RES PARA GARANTIR GARANTIR DUCTIBILIDADE DUCTIBILIDADE ADEQUADA DO AÇO Mserviço = Msd = As . Kz,lim . d .
sd
Msd,máx = Msd ≤ b . K md,lim . d² . fcd
kmd,lim = 0,251 CA-50
k x,lim = 0,450
CA-50
kz,lim = 0,820 CA-50 f ck =
25 MPa
→
cd
=
15178,57
kN/m²
ALTURA UTIL
→ d = h - c - φ/2, φ/2, onde c = 3,0
Domínio 2 (Kmd ≤ 0,158)
f yk = 500 MPa
→
sd
= 434782,61 kN/m²
129
Domíni o 3 (para CA- 50 0,158 < Kmd ≤ 0,320) 0,320)
TABELA A.25 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 10 x 20 10 x 25 10 x 30 10 x 35 10 x 40 10 x 45 10 x 50 10 x 55 10 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
20,47 22,11 24,56 25,44 28,07 28,65 32,01 32,74 33,16 36,83 37,33 38,58 43,59 45,16 45,68 51,73 52,36 54,03 ----------
26,87 29,01 32,23 33,38 36,84 37,60 42,01 42,97 43,52 48,34 49,00 50,64 57,21 59,27 59,95 67,90 68,72 70,91 ----------
1,00 59, 01
1,00 77,46
12, 29
16,13
b.d
33,26 39,66 46,05 52,45 58,85 35,92 42,83 49,74 56,64 63,55 39,91 47,58 55,26 62,93 70,61 41,33 49,28 57,23 65,18 73,13 45,61 54,38 63,15 71,92 80,69 46,56 55,51 64,46 73,41 82,37 52,02 62,02 72,02 82,02 92,03 53,20 63,43 73,67 83,90 94,13 53,88 64,24 74,60 84,97 95,33 59,85 71,36 82,87 94,38 105,89 60,66 72,33 84,00 95,66 107,33 62,70 74,76 86,81 98,87 110, 93 70,84 84,46 98,08 111,71 125,33 73,38 87,49 101,60 115,72 129,83 74,23 88,50 102,78 117,05 131,33 84,06 100,23 116,40 132,56 148, 73 85,08 101,44 117,80 134,17 150,53 87,79 104,68 121,56 138,44 155,33 ---------------------------------------------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1, 00 1, 00 1, 00 1, 00 1,00 95, 90 114,34 132,78 151,22 169, 67 19, 97 23,81 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
31, 49
35,33
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
27, 65
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
65,24 70,46 78,28 81,08 89,46 91,32 102,03 104,36 105,69 117,40 118,99 122,99 138,95 143,94 145,60 164,89 166,89 172, 21 ----------
71,64 77,37 85,96 89,03 98,23 100,27 112,03 114,59 116,05 128,91 130,66 135,04 152,57 158,05 159,88 181,06 183,25 189,09 ----------
1,00 188, 11
1,00 206, 55
39,17
43, 01
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
130
TABELA A.26 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 12 x 20 12 x 25 12 x 30 12 x 35 12 x 40 12 x 45 12 x 50 12 x 55 12 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
22,93 24,56 27,02 27,89 30,52 31,11 34,47 35,20 35,62 39,29 39,79 41,04 46,05 47,62 48,14 54,19 54,82 56,48 64,83 66,92 66,92 -------
30,09 32,24 35,46 36,61 40,06 40,83 45,24 46,20 46,74 51,57 52,22 53,87 60,44 62,49 63,18 71,12 71,94 74,14 85,09 87,83 87,83 -------
1,20 70, 82
1,20 92,95
14, 75
19,35
b.d
37,26 44,42 51,58 58,75 65,91 39,91 47,59 55,27 62,94 70,62 43,90 52,35 60,79 69,23 77,67 45,33 54,04 62,76 71,48 80,19 49,60 59,14 68,68 78,22 87,75 50,55 60,27 69,99 79,71 89,43 56,01 66,78 77,55 88,32 99,09 57,20 68,20 79,19 90,19 101, 19 57,87 69,00 80,13 91,26 102,39 63,84 76,12 88,40 100,68 112,95 64,66 77,09 89,53 101,96 114,39 66,69 79,52 92,34 105,17 117, 99 74,83 89,22 103,61 118,00 132,39 77,37 92,25 107,13 122,01 136,89 78,22 93,27 108,31 123,35 138,39 88,06 104,99 121,93 138,86 155, 79 89,07 106,20 123,33 140,46 157,59 91,79 109,44 127,09 144,74 162,39 105,35 125,61 145,87 166,13 186,39 108,74 129,66 150,57 171,48 192,39 108,74 129,66 150,57 171,48 192,39 ------------------------------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1, 20 1, 20 1, 20 1, 20 1,20 115,08 137,21 159,34 181,47 203, 60 23, 96 28,57 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
37, 79
42,39
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
33, 18
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
73,08 78,29 86,12 88,91 97,29 99,15 109,86 112,19 113,52 125,23 126,83 130,82 146,78 151,77 153,44 172,73 174,72 180, 05 206,65 213,31 213,31 -------
80,24 85,97 94,56 97,63 106,83 108,88 120,64 123,19 124,65 137,51 139,26 143,64 161,17 166,65 168,48 189,66 191,85 197,70 226,91 234,22 234,22 -------
1,20 225, 73
1,20 247, 86
47,00
51, 61
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
.
131
TABELA A.27 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 13 x 20 13 x 25 13 x 30 13 x 35 13 x 40 13 x 45 13 x 50 13 x 55 13 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
24,16 25,79 28,25 29,12 31,75 32,34 35,70 36,43 36,84 40,52 41,02 42,27 47,28 48,84 49,37 55,42 56,04 57,71 66,06 68,15 68,15 -------
31,70 33,85 37,07 38,22 41,67 42,44 46,85 47,81 48,36 53,18 53,84 55,48 62,05 64,11 64,79 72,74 73,56 75,75 86,71 89,44 89,44 -------
76,99 82,21 90,03 92,83 101,21 103,07 113,78 116,11 117,44 129,15 130,74 134,74 150,70 155,69 157,35 176,64 178,64 183, 96 210,57 217,22 217,22 -------
84,54 90,27 98,86 101,93 111,13 113,18 124,94 127,49 128,95 141,81 143,56 147,95 165,48 170,95 172,78 193,96 196,15 202,00 231,21 238,52 238,52 -------
1,30 76, 72
39,25 46,80 54,35 61,90 69,45 41,91 49,97 58,03 66,09 74,15 45,90 54,73 63,55 72,38 81,21 47,32 56,42 65,53 74,63 83,73 51,60 61,52 71,44 81,36 91,29 52,55 62,65 72,76 82,86 92,97 58,01 69,16 80,32 91,47 102,63 59,19 70,58 81,96 93,34 104, 73 59,87 71,39 82,90 94,41 105,93 65,84 78,50 91,16 103,82 116,49 66,65 79,47 92,29 105,11 117,93 68,69 81,90 95,11 108,32 121, 53 76,83 91,60 106,38 121,15 135,93 79,37 94,64 109,90 125,16 140,43 80,22 95,65 111,07 126,50 141,93 90,05 107,37 124,69 142,01 159, 33 91,07 108,59 126,10 143,61 161,13 93,78 111,82 129,86 147,89 165,93 107,35 127,99 148,64 169,28 189,93 110,74 132,04 153,33 174,63 195,93 110,74 132,04 153,33 174,63 195,93 ------------------------------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1,30 1, 30 1, 30 1, 30 1, 30 1,30 100, 69 124,67 148,64 172,62 196,59 220, 57
1,30 244, 54
1,30 268, 52
15, 97
20,97
50,92
55, 91
b.d
25, 96 30,95 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
40, 93
45,93
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
35, 94
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
132
TABELA A.28 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 14 x 20 14 x 25 14 x 30 14 x 35 14 x 40 14 x 45 14 x 50 14 x 55 14 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
-27,02 29,47 30,35 32,98 33,56 36,92 37,66 38,07 41,75 42,25 43,50 48,51 50,07 50,59 56,65 57,27 58,94 67,29 69,38 69,38 79,81 79,81 -----
-35,46 38,69 39,84 43,29 44,05 48,46 49,42 49,97 54,79 55,45 57,09 63,67 65,72 66,41 74,35 75,17 77,36 88,32 91,06 91,06 104,75 104,75 -----
-86,13 93,95 96,74 105,13 106,99 117,70 120,03 121,36 133,06 134,66 138,65 154,62 159,61 161,27 180,56 182,56 187, 88 214,49 221,14 221,14 254,40 254,40 -----
-94,57 103,16 106,23 115,43 117,48 129,24 131,79 133,25 146,11 147,86 152,25 169,78 175,25 177,08 198,26 200,45 206,30 235,52 242,82 242,82 279,34 279,34 -----
1,40 82, 62
-----43,91 52,35 60,80 69,24 77,68 47,90 57,11 66,32 75,53 84,74 49,32 58,81 68,29 77,77 87,26 53,59 63,90 74,21 84,51 94,82 54,54 65,03 75,52 86,01 96,50 60,00 71,54 83,08 94,62 106,16 61,19 72,96 84,72 96,49 108, 26 61,87 73,77 85,66 97,56 109,46 67,84 80,88 93,93 106,97 120,02 68,65 81,85 95,06 108,26 121,46 70,69 84,28 97,87 111,47 125, 06 78,82 93,98 109,14 124,30 139,46 81,37 97,02 112,66 128,31 143,96 82,22 98,03 113,84 129,65 145,46 92,05 109,75 127,46 145,16 162, 86 93,07 110,97 128,86 146,76 164,66 95,78 114,20 132,62 151,04 169,46 109,35 130,37 151,40 172,43 193,46 112,74 134,42 156,10 177,78 199,46 112,74 134,42 156,10 177,78 199,46 129,69 154,64 179,58 204,52 229, 46 129,69 154,64 179,58 204,52 229,46 --------------------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1,40 1, 40 1, 40 1, 40 1, 40 1,40 108, 44 134,26 160,08 185,90 211,71 237, 53
1,40 263, 35
1,40 289, 17
17, 20
22,58
54,84
60, 21
b.d
27, 96 33,33 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
44, 08
49,46
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
38, 71
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
133
TABELA A.29 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 15 x 20 15 x 25 15 x 30 15 x 35 15 x 40 15 x 45 15 x 50 15 x 55 15 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
-28,25 30,70 31,58 34,21 34,79 38,15 38,88 39,30 42,97 43,48 44,73 49,74 51,30 51,82 57,88 58,50 60,17 68,52 70,61 70,61 81,04 81,04 85,21 ----
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250 fck/250 ) .
cd .
-37,08 40,30 41,45 44,90 45,67 50,08 51,04 51,58 56,40 57,06 58,71 65,28 67,33 68,02 75,96 76,78 78,97 89,93 92,67 92,67 106,37 106,37 111,84 ----
-90,04 97,87 100,66 109,04 110,91 121,62 123,94 125,27 136,98 138,58 142,57 158,53 163,52 165,19 184,48 186,47 191, 80 218,40 225,06 225,06 258,32 258,32 271,62 ----
-98,87 107,46 110,53 119,73 121,78 133,54 136,09 137,56 150,41 152,16 156,55 174,08 179,56 181,38 202,56 204,76 210,60 239,82 247,12 247,12 283,64 283,64 298,25 ----
1,50 88, 52
-----45,90 54,73 63,56 72,39 81,22 49,89 59,49 69,08 78,68 88,27 51,32 61,19 71,05 80,92 90,79 55,59 66,28 76,97 87,66 98,35 56,54 67,41 78,29 89,16 100,03 62,00 73,92 85,85 97,77 109,69 63,19 75,34 87,49 99,64 111, 79 63,87 76,15 88,43 100,71 112,99 69,83 83,26 96,69 110,12 123,55 70,65 84,23 97,82 111,41 124,99 72,68 86,66 100,64 114,61 128, 59 80,82 96,36 111,91 127,45 142,99 83,37 99,40 115,43 131,46 147,49 84,21 100,41 116,60 132,80 148,99 94,05 112,13 130,22 148,31 166, 39 95,07 113,35 131,63 149,91 168,19 97,78 116,58 135,39 154,19 172,99 111,34 132,76 154,17 175,58 196,99 114,73 136,80 158,86 180,93 202,99 114,73 136,80 158,86 180,93 202,99 131,69 157,02 182,34 207,67 232, 99 131,69 157,02 182,34 207,67 232,99 138,47 165,10 191,73 218,36 244,99 ---------------ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 1,50 1, 50 1, 50 1, 50 1, 50 1,50 116, 18 143,85 171,51 199,17 226,84 254, 50
1,50 282, 16
1,50 309, 83
18, 43
24,19
58,75
64, 51
b.d
29, 95 35,71 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
47, 23
52,99
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
41, 47
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
134
TABELA A.30 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 20 x 20 20 x 25 20 x 30 20 x 35 20 x 40 20 x 45 20 x 50 20 x 55 20 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
---37,72 40,35 40,94 44,30 45,03 45,45 49,12 49,62 50,87 55,88 57,45 57,97 64,02 64,65 66,32 74,66 76,75 76,75 87,18 87,18 91,36 102, 84 108, 05 --
----49,51 52,96 53,73 58,14 59,10 59,65 64,47 65,13 66,77 73,34 75,40 76,08 84,03 84,85 87,04 98,00 100,73 100,73 114,43 114,43 119,91 134,97 141,82 --
---120,24 128,63 130,49 141,20 143,53 144,86 156,57 158,16 162,15 178,12 183,11 184,77 204,06 206,06 211, 38 237,99 244,64 244,64 277,90 277,90 291,21 327,79 344,42 --
---132,03 141,24 143,28 155,04 157,60 159,06 171,92 173,67 178,05 195,58 201,06 202,89 224,07 226,26 232,10 261,32 268,62 268,62 305,15 305,15 319,76 359,93 378,19 --
2,00 118, 03
---------------61,30 73,09 84,88 96,67 108, 46 65,57 78,18 90,80 103,41 116,02 66,52 79,32 92,11 104,90 117,70 71,98 85,83 99,67 113,51 127,36 73,17 87,24 101,31 115,38 129, 46 73,85 88,05 102,25 116,45 130,66 79,82 95,17 110,52 125,87 141,22 80,63 96,14 111,64 127,15 142,66 82,67 98,56 114,46 130,36 146, 26 90,81 108,27 125,73 143,19 160,66 93,35 111,30 129,25 147,20 165,16 94,20 112,31 130,43 148,54 166,66 104,03 124,04 144,04 164,05 184, 06 105,05 125,25 145,45 165,65 185,86 107,76 128,49 149,21 169,93 190,66 121,33 144,66 167,99 191,32 214,66 124,72 148,70 172,69 196,67 220,66 124,72 148,70 172,69 196,67 220,66 141,68 168,92 196,17 223,41 250, 66 141,68 168,92 196,17 223,41 250,66 148,46 177,01 205,56 234,11 262,66 167,11 199,25 231,38 263,52 295, 66 175,59 209,36 243,12 276,89 310,66 -----ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 2,00 2, 00 2, 00 2, 00 2, 00 2,00 154, 91 191,80 228,68 265,56 302,45 339, 33
2,00 376, 22
2,00 413, 10
24, 58
32,26
78,34
86, 02
b.d
39, 94 47,62 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
62, 98
70,66
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
55, 30
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
135
TABELA A.31 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 25 x 20 25 x 25 25 x 30 25 x 35 25 x 40 25 x 45 25 x 50 25 x 55 25 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
-----47,08 50,44 51,17 51,59 55,26 55,76 57,02 62,02 63,59 64,11 70,16 70,79 72,46 80,81 82,89 82,89 93,33 93,33 97,50 108, 98 114, 20 130, 89
------61,79 66,20 67,16 67,71 72,53 73,19 74,83 81,41 83,46 84,15 92,09 92,91 95,10 106,06 108,80 108,80 122,49 122,49 127,97 143,04 149,89 171,80
-----150,07 160,78 163,11 164,44 176,15 177,75 181,74 197,70 202,69 204,35 223,65 225,64 230, 96 257,57 264,22 264,22 297,49 297,49 310,79 347,38 364,01 417,22
-----164,79 176,55 179,10 180,56 193,42 195,17 199,55 217,09 222,56 224,39 245,57 247,76 253,61 282,82 290,13 290,13 326,65 326,65 341,26 381,43 399,69 458,13
2,50 147, 54
-------------------------76,51 91,22 105,93 120,65 135,36 81,97 97,73 113,49 129,26 145,02 83,15 99,15 115,14 131,13 147, 12 83,83 99,95 116,08 132,20 148,32 89,80 107,07 124,34 141,61 158,88 90,62 108,04 125,47 142,89 160,32 92,65 110,47 128,29 146,10 163, 92 100,79 120,17 139,55 158,94 178,32 103,33 123,20 143,08 162,95 182,82 104,18 124,22 144,25 164,29 184,32 114,02 135,94 157,87 179,79 201, 72 115,03 137,15 159,28 181,40 203,52 117,75 140,39 163,03 185,68 208,32 131,31 156,56 181,82 207,07 232,32 134,70 160,61 186,51 212,42 238,32 134,70 160,61 186,51 212,42 238,32 151,66 180,82 209,99 239,15 268, 32 151,66 180,82 209,99 239,15 268,32 158,44 188,91 219,38 249,85 280,32 177,09 211,15 245,21 279,26 313, 32 185,57 221,26 256,95 292,63 328,32 212,70 253,61 294,51 335,42 376,32 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 2,50 2, 50 2, 50 2, 50 2, 50 2,50 193, 64 239,75 285,85 331,96 378,06 424, 17
2,50 470, 27
2,50 516, 38
30, 72
40,32
97,92
107, 52
b.d
49, 92 59,52 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
78, 72
88,32
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
69, 12
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
136
TABELA A.32 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 30 x 20 30 x 25 30 x 30 30 x 35 30 x 40 30 x 45 30 x 50 30 x 55 30 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
------56,59 57,32 57,73 61,41 61,91 63,16 68,17 69,73 70,26 76,31 76,93 78,60 86,95 89,04 89,04 99,47 99,47 103, 65 115, 12 120, 34 137, 04
-------74,27 75,23 75,78 80,60 81,25 82,90 89,47 91,53 92,21 100,15 100,98 103,17 114,12 116,86 116,86 130,56 130,56 136,04 151,10 157,95 179,86
------180,37 182,70 184,03 195,73 197,33 201,32 217,29 222,28 223,94 243,23 245,23 250, 55 277,16 283,81 283,81 317,07 317,07 330,37 366,96 383,59 436,81
------198,05 200,61 202,07 214,92 216,68 221,06 238,59 244,07 245,89 267,08 269,27 275,11 304,33 311,63 311,63 348,15 348,15 362,76 402,94 421,20 479,63
3,00 177, 04
------------------------------91,95 109,63 127,32 145,00 162,68 93,14 111,05 128,96 146,87 164, 78 93,82 111,86 129,90 147,94 165,98 99,79 118,98 138,16 157,35 176,54 100,60 119,95 139,29 158,64 177,98 102,63 122,37 142,11 161,85 181, 58 110,77 132,08 153,38 174,68 195,98 113,32 135,11 156,90 178,69 200,48 114,16 136,12 158,07 180,03 201,98 124,00 147,85 171,69 195,54 219, 38 125,02 149,06 173,10 197,14 221,18 127,73 152,29 176,86 201,42 225,98 141,30 168,47 195,64 222,81 249,98 144,69 172,51 200,34 228,16 255,98 144,69 172,51 200,34 228,16 255,98 161,64 192,73 223,81 254,90 285, 98 161,64 192,73 223,81 254,90 285,98 168,43 200,82 233,20 265,59 297,98 187,08 223,05 259,03 295,01 330, 98 195,56 233,16 270,77 308,38 345,98 222,69 265,51 308,34 351,16 393,98 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 3,00 3, 00 3, 00 3, 00 3, 00 3,00 232, 37 287,69 343,02 398,35 453,67 509, 00
3,00 564, 32
3,00 619, 65
36, 86
48,38
117, 50
129, 02
b.d
59, 90 71,42 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
2/3 f ctd (resistência à tração tração do concreto) ctd = 0,15 . f ck ck
25 MPa
f yk = 500 MPa
94, 46
105, 98
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck ck =
82, 94
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
137
TABELA A.33 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 35 x 20 35 x 25 35 x 30 35 x 35 35 x 40 35 x 45 35 x 50 35 x 55 35 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250) .
cd .
---------67,55 68,05 69,30 74,31 75,88 76,40 82,45 83,08 84,75 93,09 95,18 95,18 105, 62 105, 62 109, 79 121, 27 126, 49 143, 18
----------88,66 89,32 90,96 97,53 99,59 100,27 108,22 109,04 111,23 122,19 124,93 124,93 138,62 138,62 144,10 159,17 166,01 187,93
---------215,32 216,91 220,91 236,87 241,86 243,52 262,81 264,81 270, 13 296,74 303,39 303,39 336,65 336,65 349,96 386,54 403,17 456,39
---------236,43 238,18 242,56 260,09 265,57 267,40 288,58 290,77 296,61 325,83 333,14 333,14 369,66 369,66 384,27 424,44 442,70 501,14
3,50 206, 55
---------------------------------------------109,77 130,88 151,99 173,10 194,21 110,58 131,85 153,12 174,38 195,65 112,62 134,28 155,93 177,59 199, 25 120,76 143,98 167,20 190,43 213,65 123,30 147,01 170,72 194,44 218,15 124,15 148,02 171,90 195,77 219,65 133,98 159,75 185,52 211,28 237, 05 135,00 160,96 186,92 212,89 238,85 137,71 164,20 190,68 217,16 243,65 151,28 180,37 209,46 238,56 267,65 154,67 184,41 214,16 243,90 273,65 154,67 184,41 214,16 243,90 273,65 171,63 204,63 237,64 270,64 303, 65 171,63 204,63 237,64 270,64 303,65 178,41 212,72 247,03 281,34 315,65 197,06 234,96 272,85 310,75 348, 65 205,54 245,07 284,59 324,12 363,65 232,67 277,41 322,16 366,90 411,65 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 3,50 3, 50 3, 50 3, 50 3, 50 3,50 271, 10 335,64 400,19 464,74 529,28 593, 83
3,50 658, 38
3,50 722, 93
43, 01
56,45
137, 09
150, 53
b.d
69, 89 83,33 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
110,21
123, 65
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
96, 77
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
138
TABELA A.34 - DIMENSIONAMENTO DE VIGAS RETANGULARES À ESFORÇO CORTANTE ESFORÇO CORTANTE DE SERVIÇO - kN Armadura Bitolas (mm) + Área de Aço Seção transversal transversal da Largura Largura da Viga (b x h) Espaçamento (cm) (cm²/m) 40 x 20 40 x 25 40 x 30 40 x 35 40 x 40 40 x 45 40 x 50 40 x 55 40 x 60 φ 5,0 c/30 φ 5,0 c/25 φ 5,0 c/20 φ 6,3 c/30 φ 6,3 c/25 φ 5,0 c/15 φ 6,3 c/20 φ 5,0 c/12 φ 8,0 c/30 φ 5,0 c/10 φ 8,0 c/25 φ 6,3 c/15 φ 8,0 c/20 φ 6,3 c/12 φ 10 c/30 φ 6,3 c/10 φ 10 c/25 φ 8,0 c/15 φ 10 c/20 φ 12,5 c/30 φ 8,0 c/12 φ 12,5 c/25 φ 8,0 c/10 φ 10 c/15 φ 12,5 c/20 φ 10 c/12 φ 10 c/10
1,31 1,57 1,96 2,08 2,49 2,62 3,12 3,27 3,35 3,93 4,02 4,16 5,03 5,20 5,24 6,23 6,28 6,70 7,85 8,18 8,38 9,82 10,05 10,47 12,27 13,09 15,71
----------74,20 75,45 80,46 82,02 82,54 88,60 89,22 90,89 99,24 101, 33 101, 33 111, 76 111, 76 115, 93 127, 41 132, 63 149, 33
VRd2 (kN) Vc (kN) V Rd2 = 0,27 . (1 - fck/250 fck/250 ) .
cd .
-----------97,38 99,03 105,60 107,65 108,34 116,28 117,10 119,29 130,25 132,99 132,99 146,69 146,69 152,16 167,23 174,08 195,99
----------236,50 240,49 256,45 261,44 263,11 282,40 284,39 289, 72 316,32 322,98 322,98 356,24 356,24 369,54 406,13 422,76 475,98
----------259,68 264,07 281,60 287,08 288,90 310,08 312,28 318,12 347,34 354,64 354,64 391,16 391,16 405,77 445,95 464,21 522,64
4,00 236, 06
--------------------------------------------------120,57 143,75 166,94 190,13 213,31 122,60 146,18 169,76 193,33 216, 91 130,74 155,88 181,03 206,17 231,31 133,29 158,92 184,55 210,18 235,81 134,13 159,93 185,72 211,52 237,31 143,97 171,65 199,34 227,03 254, 71 144,99 172,87 200,75 228,63 256,51 147,70 176,10 204,51 232,91 261,31 161,26 192,28 223,29 254,30 285,31 164,65 196,32 227,98 259,65 291,31 164,65 196,32 227,98 259,65 291,31 181,61 216,54 251,46 286,39 321, 31 181,61 216,54 251,46 286,39 321,31 188,39 224,62 260,85 297,08 333,31 207,05 246,86 286,68 326,50 366, 31 215,52 256,97 298,42 339,87 381,31 242,65 289,32 335,98 382,65 429,31 ÁREA DE AÇO MÍNIMA DE ACORDO COM A SEÇÃO (cm²) 4,00 4, 00 4, 00 4, 00 4, 00 4,00 309, 83 383,59 457,36 531,13 604,90 678, 66
4,00 752, 43
4,00 826, 20
49, 15
64,51
156, 67
172, 03
b.d
79, 87 95,23 Hipóteses
Vsd ≤ VRd2
f ctd = 0,15 . f ck2/3 (resistência à tração tração do concreto) 25 MPa
f yk yk = 500 MPa
125,95
141, 31
Vsw = (As / s) . 0,9 . d .
V sd = Vsw + Vc → (As / s) . 0,9 . d .
V c = 0,6 . f ctd ctd . b . d
f ck =
110,59
→
cd
=
15178,57
kN/m²
→
sd
=
434782,61 ,61
kN/m kN/m²²
sd +
sd
0,6 . 0,15 . fck 2/3 . b . d ≤ VRd2
Espaçamento Espaçamento Máximo, de acordo com item 18.3.3.2 da Norma: • Se Vsd ≤ 0,67 VRd2, então smáx = 0,6 . d ≤ 300mm; • Se Vsd > 0,67 VRd2, e ntão smáx = 0,3 . d ≤ 200mm.
OBS: De acordo com NBR NBR 6118, a tensão tensão de escoamento escoamento do aço a s er adotada nos cál culos dos estribos nã o pode ser ser superior a 43 5MPa.
Nota: Os es paçamentos paçamentos máximos entre barras devem ser verificados conforme conforme as condições condições acima.
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