DuocUC Programa de Matemática
MAT 330 Cálculo I
EJERCICIOS FUNCIÓN CUADRÁTICA
Graficar
f ( x) x 2 8 x 12
1. Deter minar concavidad a 1 0
concavidad positiva ( parábola abre hacia arriba )
2. Ubicar el vértice en el plano de coordenada s a 1
b 8 c 12
(8) b 4 2a 2 1
Vx
( coordenada " x" del vértice )
b 2 Vy f f (4) 4 8 4 12 2 a f (4) 4 ( coordenada " y " del vértice ) Coordenadas del Vértice : ( x, y ) (4,4)
3. Analizar si existe intersecció n de la parábola con el eje " x" a 1
b 8 c 12
x 1, 2
x 1, 2 x1 6
b
b2 4 a c 2a
(8 )
(8) 2 4 1 12 2 1
,
8 16 8 4 2 2
x2 2
Por lo tanto, la parábola cruza el eje " x " en x 2 y x 6
4. Ubicar la intersecció n de la parábola con eje " y " f ( x) x 2 8 x 12 a 1
b 8 c 12 o también : Para x 0
c 12 indica la intersecci ón con el eje " y "
f (0) 0 2 8 0 12 f (0) 12
Por lo tanto, la parábola cruza el eje " y " en y 12
1
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MAT 330 Cálculo I
f ( x) x 2 12 x 32
Un fabricante determina que el ingreso “R” obtenido por la producción y venta de “x” artículos está dado por la función: R 350x 0,25 x2 a) b)
Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos. Si el ingreso obtenido es 120.000, determine la cantidad de artículos vendidos
El ingreso “R” obtenido por la venta de artículos está dado por: a.-)
El ingreso cuando se venden 100 artículos es:
R 350x 0,25 x2
R (100) 350 (100) 0,25 (100) 2 R 35.000 2.500 $ 32.500
Por lo tanto, con 100 artículos se obtienen $32.500 b.-)
Para obtener la cantidad de artículos si el ingreso es de $120.000
120.000 350 x 0,25 x 2 0,25 x 2 350 x 120.000 0 0,25 2 350 120.000 x x 0 0,25 0,25 0,25 x 2 1.400 x 480.000 0 La forma general de la ec. cuadrática es: Por lo tanto:
a x2 b x c 0
a 1 ; b 1.400 ; c 480.000
Reemplazando en la fórmula:
x1,2
b
b2 4 a c 2a
2
/
1 0,25
DuocUC Programa de Matemática
Se tiene:
x1,2 x1, 2
x1, 2
MAT 330 Cálculo I
( 1.400)
(1.400)2 4 (1) (480.000) 2 1
1.400
1.960.000 1.920.000 2
1.400 200 2
1.400
40.000 2
1.200 600 2 1.600 x2 800 2
x1
Por lo tanto, con 600 y con 800 unidades, se obtiene un ingreso de $120.000
Un negocio, al vender “x” artículos, obtiene una utilidad “U” (en dólares) dada por la fórmula: U 400x x2 200 a) b)
Calcule la utilidad cuando se venden 250 artículos. ¿Cuántos artículos debe vender para obtener una utilidad de US$ 39.800?
La Utilidad “U” obtenido por la venta de artículos está dado por: a.-)
La Utilidad cuando se venden 250 artículos es:
U 400x x2 200
U 400x x2 200 U (250) 400 (250) (250) 2 200 U 100.000 62.500 200 37.300
Por lo tanto, con 250 artículos se obtienen 37.300 dólares
b.-)
Para obtener la cantidad de artículos si la Utilidad es de $39.800
39.800 400x x2 200
x2 400x 40.000 0
La forma general de la ec. cuadrática es: Por lo tanto:
a 1 ; b 400 ; c 40.000
Reemplazando en la fórmula:
Se tiene:
a x2 b x c 0
x1,2
x1,2
( 400)
b
b2 4 a c 2a
( 400)2 4 (1) (40.000) 2 1
3
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x1, 2
x1, 2
MAT 330 Cálculo I
400
160.000 160.000
2 400 0 2
400
0
2
x1 200 x 2 200
una ec. cuadrática tiene 2 soluciones. En este caso, las 2 son el mismo valor Por lo tanto, con 200 unidades, se obtiene una utilidad de 39.800 dólares
Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la función: h(t ) 18t 3t 2 ( “h” en metros, “t” en segundos). a)
¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima?
b)
¿Cuál es la altura máxima?
.-)
Observando el coeficiente que acompaña a t
2
se ve que es negativo, por lo tanto, la parábola abre
hacia abajo (ver figura).
Luego, la altura máxima va a estar ubicada en el vértice de la parábola.
a x2 b x c 0
La forma general de la ec. cuadrática:
Por lo tanto : h(t ) 18 t 3 t 2 Escrita como la forma general , queda : 3 t 2 18 t 0 Las coordenadas (x,y) del vértice son:
La coordenada “x” del vértice es: La coordenada “y” del vértice es:
b V , 2a b 18 2a 2 (3)
b f 2a 18 3 6
f (3) 18 (3) 3 (3)2 54 3 9 27
Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (3,27). Luego, la coordenada “y=27” indica la altura máxima que alcanza el objeto. Para conocer cuánto tiempo demora en llegar la pelota a esa altura, se reemplaza h = 27 en la función:
h(t ) 18t 3 t 2 27 18t 3 t 2 3 t 2 18t 27 0 /
1 3
3 t 2 18t 27 0 t 2 6 t 9 0 (t 3) 2 0 3 3 3 t 1, 2 3 Por lo tanto, la pelota demora 3 seg. en llegar a los 27 mts.
4
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MAT 330 Cálculo I
f ( x) x 2 5 x 6
1.- Analizar concavidad:
a 1
b5 c 6
La parábola abre hacia abajo porque a= -1 < 0
(concavidad negativa)
2.- Ubicar el vértice en el plano de coordenadas:
b 5 5 corresponde a la coordenada “x” 2a 2 (1) 2
5 5 5 f ( ) ( )2 5( ) 6 1 4 2 2 2
evaluando “f” en 5/2 para encontrar coordenada “y”
5 1 , 2 4
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: (Vx ,V y )
3.- Analizar si existe intersección con el eje “x”:
a 1
b5 c 6
x 1, 2
b
b2 4 a c 2a
=>
x1, 2
(5)
(5)2 4 (1) ( 6) 2 (1)
Por lo tanto, la ecuación tiene 2 raíces. La ecuación cruza el eje “x” en 2 ptos.
x1 2 ;
x2 3
4. Ubicar la intersecció n de la parábola con eje " y " c 6 indica la intersecci ón con el eje " y " o también : Para x 0
f (0) 0 2 5 0 6 f (0) 6
Por lo tanto, la parábola cruza el eje " y " en y 6
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f ( x) x 2 8 x 16
5
5 1 2
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Para encontrar el vértice:
MAT 330 Cálculo I
b ( 8 ) 4 2a 2 (1)
Corresponde a la coordenada “x”
Evaluando “f” en 4 para encontrar coordenada “y” Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: (4,0)
También, la parábola abre hacia arriba porque a=1 > 0
Para encontrar las raíces de “f”, se iguala: f(x) = 0
x1, 2
f (4) 4 2 8 (4) 16 0
( 8)
=>
64 64 2
x1, 2
( 8)
80 4 2
Por lo tanto, las 2 raíces son iguales. La ecuación toca el eje “x” en un solo pto. Al evaluar f en x = 0, se obtiene el punto donde corta al eje “y”
f (0) 0 2 8 (0) 16 16
6
(8)2 4 116 2 1
4
