CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 1. Cálculo Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos logaritmos Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS L OGARITMOS
1. Calcular 1. Calcular el valor de x , aplicando la definición de logaritmo: 1 a) x = log4 64 b) x = log3 c) x = log3 81 d) x = log2 2 2 27 3
e) log x 125 = −3
f) log2 (4 x ) =
Solución El logaritmo de un número es el número al que hay que elevar la base para obtenerlo, es decir, loga b = c ⇔ ac = b a) x = log4 64 ⇔ 4x = 64. Como 64 = 43, se tiene 4x = 43 y por tanto x = = 3. b) x = log3
1 1 1 . Como = 3-3, se tiene 3x = 3-3 y por tanto x = = -3. ⇔ 3x = 27 27 27
c) x = log3 81 ⇔ 3x = 81. Como 81 = 34, se tiene 3x = 34 y por tanto x = = 4. d) x = log2 2 2 ⇔ 2 x = 2 2 , Como 2 2 = 2.21 / 2 = 23 / 2 , se tiene 2 x = 23 / 2 y por tanto x = = e) log x 125 = −3 ⇔ x −3 = 125 ⇔
1 3
x
= 125 ⇔
3 . 2
1 1 = x 3 ⇔ x = = 125 5
f) log2 (4 x ) = 3 ⇔ 23 = 4 x ⇔ x = = 2
2. Determinar la parte entera del número x
= log2 11 .
Solución
Para determinar la parte entera se buscan las potencias de 2 entre las que se encuentra el número 11, estas son 23 y 24 , es decir, se verifica 23 < 11 < 24 . Tomando logaritmos en base 2 se mantiene la desigualdad, ya que la base es mayor que 1, así log2 23 < log2 11 < log2 24 , es decir, 3 < log2 11 < 4, de donde se deduce que la parte entera de log2 11 es igual a 3. 3. Sabiendo que log10 4 0´60206 calcular una aproximación de los siguientes valores: 0
a) log10 2
b) log10
1 4
c) log10 0´2
d) log10 4000
Solución
Se aplican propiedades de los logaritmos para escribir los valores en función de log10 4. 1 1 a) log10 2 = log10 4 = log10 41 / 2 = log10 4 0´60206 = 0´30103 2 2 1 b) log10 = log10 4−1 = - log10 4 -0´60206 4 0
0
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c) log10 0´2 = log10
2 = log10 2 - log10 10 10
0
0´30103 - 1 = -0´69897
d) log10 4000 = log10 (4.1000) = log10 4 + log10 1000 = log10 4 + log10 103
0
0´60206 + 3 =
= 3´60206 4. Conocidos lna=0´6 y lnb=2´4 calcular: b) ln 4 b
a) ln a
c) ln ab
d) ln 3
ab
e) ln
e2
a−3 3 2
b
Solución 1 1 lna = .0´6 = 0´3 2 2
a) ln a = ln a1 / 2 = b) ln 4 b = ln b1 / 4 =
1 1 lnb = .2´4 = 0´6 4 4
c) ln ab = ln (ab)1 / 2 = 1/3
⎛ ab ⎞ d) ln 3 = ln ⎜ ⎟ e2 ⎝ e2 ⎠ ab
e) ln
a−3 3 2
1 1 1 1 ln(ab) = (lna + lnb) = (0´6 + 2´4) = 3 = 1´5 2 2 2 2 1 ab 1 1 1 1 ln = (ln(ab)- ln e2 ) = (lna + lnb - 2) = (0´6+ 2´4 - 2) = 3 e2 3 3 3 3
=
2 2 −3 −3 lna - lnb = 0´6 - 2´4 = -2´5 2 3 2 3
3
= ln a−3 - ln b2 = ln a−3 / 2 - ln b2 / 3 =
b
5. Sabiendo que log10 3 a) 10 x + 4 = 30
0
0´4771 resolver las siguientes ecuaciones:
b) log10 0´03 = x -1
Solución a) Para despejar x de la ecuación 10 x + 4 = 30 , se toman logaritmos decimales en ambos miembros de la ecuación, quedando x + 4 = log10 30, de donde se tiene: x = -4 + log10 30 = -4 + log10 (3.10) = -4 + log10 3 + log10 10 -4 + 0´4771 + 1 = -2´5229 0
b) Despejando x de la ecuación log10 0´03 = x - 1 y realizando operaciones, se obtiene: 3 = 1 + log10 3 - log10 100 = 100 = 1 + 0´4771 - log10 102 1´4771 - 2 = -0´5229
x = 1 + log10 0´03 = 1 + log10
0
6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) e x +2 =
e
b) log10 16 - 2 log10 x = log10 100
Solución a) La ecuación e x +2 =
e se puede escribir e x +2 = e1/ 2. Para despejar x se toman logaritmos
neperianos en ambos miembros, quedando x + 2 =
1 1 −3 , de donde x = -2 + = 2 2 2
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b) Aplicando propiedades de los logaritmos en el primer miembro de log10 100 se obtiene: log10 16 - 2 log10 x = log10 16 - log10 x 2 = log10 Por tanto, la ecuación queda log10 soluciones son x = ±
16 2
x
= log10 100, de donde
16 2
x
log10 16 - 2 log10 x =
16 x 2
= 100, es decir,
16 = x 2 , cuyas 100
2 . 5
−2 no es solución de la ecuación inicial, ya que no existe el logaritmo de un número 5 2 negativo, por tanto, la única solución es x = . 5
El valor x =
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