1. En la combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 será:
2. Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número de resultados posibles de acomodar dichos libros sin importar el orden. Solución: Como se pide calcular : entonces
3. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. t ipo.
4. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete, Barcelona, Córdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2008/09) El vendedor puede elegir la primera ciudad que visitará de entre las 5. Elegirá la segunda ciudad que visitará de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad tiene 3 opciones. Para la cuarta, 2. Y para la última, 1. Así que puede elaborar 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 rutas distintas.
Podemos que
utilizar
también
la
fórmula
de
las
permutaciones
y
decir
5. ¿Cuántos números de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero) existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2007/08) Vamos a calcular cuántos números existen de 3 cifras, y luego restaremos la cantidad de los que tienen las 3 cifras iguales. Podemos elegir la primera cifra de entre 9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Las siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 10posibilidades cada una (los 10 guarismos). Así que existen 9 · 10 · 10 = 900 números de 3 cifras. De éstos, un total de 9 tienen todas su cifras repetidas (111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999). Así que la cantidad de números pedida es de 900 – 9 = 891
6. En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2006/07) Tenemos un total de 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 12 corredores. El primer puesto lo puede alcanzar cualquiera de los 12 corredores. El segundo está al alcance de 11 corredores, y el tercero puede ser para cualquiera de los 10 restantes. Así que existen 12 · 11 · 10 = 1320 distintos pódiums posibles. También
podemos
utilizar
la
fórmula
de
las
variaciones
sin
repetición
7. ¿Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5? Para que un número sea divisible por cinco debe acabar en 0 ó 5, así que: Podemos elegir la primera cifra de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no cuenta como número de 5 cifras). Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier guarismo). También podemos elegir de entre 10 la tercera y la cuarta cifra. La última cifra solo puede ser 0 ó 5, lo que nos da solo 2 posibilidades. Así que existe un total de 9 · 10 · 10 · 10 · 2 = 18000 números de 5 cifras divisibles por 5.
8. El juego de la lotería primitiva consiste en una cuadrícula con los números del 1 al 49. El jugador debe escoger 6 números de entre ellos y marcarlos. Luego debe esperar a que la combinación que ha marcado coincida con la ganadora. ¿De cuántas maneras distintas es posible rellenar un formulario de lotería primitiva? Aplicamos la fórmula
, lo que nos da
lo que arroja un total de 13 983 816 distintas combinaciones.
9. Lanzamos sobre una mesa 3 dados y observamos su puntuación. ¿Cuántas tiradas distintas podemos obtener? Una posible tirada sería 3-5-5, otra sería 2-6-3, etc. Además, daría lo mismo sacar 26-3 que 6-2-3 ó que 3-2-6. Se trata de hallar las combinaciones con repetición de 6 elementos (las 6 caras del dado, los números del 1 al 6) tomadas de 3 en 3 (las 3 tiradas, o las 3 posiciones). Así que n = 6 y m = 3. Esto tiene la misma solución que las combinaciones sin repetición de m + n -1 = 6 + 3 – 1 = 8 elementos tomados de 3 en 3. Calculamos: = 56 posibles combinaciones.
10. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? m=9
a=3
b=4
c=2
a+b+c=9
Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.
11. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.
12. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.
13. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
14. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.
15. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.
16. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.
17. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
18. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.
19. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. Son , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
20. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
21. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
22. Resolver las ecuaciones combinatorias : 1.
