UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
FACULT FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍ A
ESCUELA ACADÉMICO ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA
TRABAJO ASIGNADO
EJERCICIOS DE SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN
CURSO
:
Control d Pro!"o" I
DOCENTE
:
Dr# Ed$%rdo O# A&nd%'o C(!r"
A)O
:
*to A'o
TACNA + PER, -./0
EJERCICIOS DE SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN 1!%23t4lo 56
L3"t% d %l47no" n8 d 9r!3!3o %l47no 1,2 Lourdes Vargas 3,4 Erika Vargas 5,6 Mary huanca 7,8 Catty Garate ,1! "#e$y Ma#ani 11,12 Laura %aca 13,14 &a'ier $ira 15,16 (reddy )*re+ 17,18 E$#er #arca 1,2! iny "rratia 21 Car$os "-a+a 22 .onathan /$ores 23 Cesar )aredes 24 0ossi "chata 25 aro Cru+ 26 Martn a$a+ar
EJERCICIOS DE SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN 1!%23t4lo 56
L3"t% d %l47no" n8 d 9r!3!3o %l47no 1,2 Lourdes Vargas 3,4 Erika Vargas 5,6 Mary huanca 7,8 Catty Garate ,1! "#e$y Ma#ani 11,12 Laura %aca 13,14 &a'ier $ira 15,16 (reddy )*re+ 17,18 E$#er #arca 1,2! iny "rratia 21 Car$os "-a+a 22 .onathan /$ores 23 Cesar )aredes 24 0ossi "chata 25 aro Cru+ 26 Martn a$a+ar
Prol7% 5#/ Considere e$ -roceso de #e+c$a se #uestra en $a /igura )31 se -uede su-oner ue $a densidad de $as corrientes de $$a'e de entrada y $a de $a corriente de sa$ida son #uy si#i$ares y ue $as tasas de /$uo (1 y (2 es constante e desea -ara co#-render c#o cada concentracin de entrada a/ecta a $as /unciones, y di%uar e$ diagra#a de %$oues -ara este -roceso de #e+c$a Mostrar $as unidades /uera de todas $as constantes ganancias de tie#-o
F3$4r% P5+/# iagra#a -ara e$ -ro%$e#a 31
SOLUCI;N: B%l%n! d 7%"% n "t%do no "t%!3on%r3o:
cc f1c A1 9t : 37 3785, 3 gal
+
f 2 cA 2 9t: 37 3785, 3
cc
gal
− 9 f1 +
cc gal
f 2 : c A9 t : 37 3785, 3
cc = Ah 28316,13 3 ft
d c A 9t : dt
cc 3785,3 gal [ f1c A1 9t : +
f 2cA 2 9t : − 9 f1 + f 2 : c A 9 t: ]
f1c A1 9t : + f 2cA 2 9t : − 9 f1 + f 2 : c A 9t : = Ah 7, 48
= Ah
28316,13
cc
ft 3
dcA 9t : dt
cc dc A 9t :
ft 3
dt
( 1) 1ec1 'aria%$e c A ( t ) onde; A =
π D 2 4
B%l%n! d n "t%do "t%!3on%r3o: f1c A1 + f 2 cA 2
− 9 f1 +
f2 : cA
cc = Ah 7, 48 3 ft
dc A dt
=!
( 2)
Restar (2) de (1) f1 c A1 ( t ) − cA1 + f2 cA 2 ( t ) − cA 2
− ( f1 + f 2 ) cA ( t ) − cA cc d [ c A 9 t: − cA ] = Ah 748 3 ft dt
( 3)
e/ini#os $as 'aria%$es de des'iacin; C A1 ( t )
= cA1 ( t ) − c A1
C A 2 ( t )
= cA2 ( t ) − cA 2
C A ( t )
= c A ( t ) − cA
0eorgani+a#os $a ecuacin sustituyendo $as 'aria%$es en 93:; Ah9748: dC A ( t ) f1 + f 2
τ
dC A ( t ) dt
onde;
dt
+ C A ( t ) =
f1 f1 + f 2
C A1 ( t )
+ C A ( t ) = K1CA1 ( t ) + K2CA2 ( t )
+
f 2 f1 + f 2
CA 2 ( t )
( 4)
τ =
Ah ( 748 )
[ =]
f1 + f 2
K 1
=
K 2
=
f 1 f1 + f 2
#in
, adi#ensiona$
f 2 f1 + f 2
, adi#ensiona$
"-$ica#os $a trans/or#ada de La-$ace a 94:;
+ CA ( s ) = K1CA1 ( s ) + K2C A2 ( s ) [ τ s + 1] C A ( s ) = K1CA1 ( s ) + K2C A2 ( s )
τ sC A ( s )
<%tene#os; C A ( s )
=
1
K1C A1 ( s ) + K2CA2 ( s)
τ s + 1
= ta#%i*n; C A ( s ) C A1 ( s )
=
+
C A 9s:
K 1
τ s + 1
u u u u u u u u r
C A ( s ) C A 2 ( s )
=
K 2
τ s + 1
+
Prol7% 5#Consid*rese e$ reactor isot*r#ico, ue se #uestra en $a /igura )32, donde $a tasa de reaccin se e>-resa #ediante; r A ( t ) = kC A ( t ) , moles de A ? ( pies3 − min ) onde k es una constante e su-one ue $a densidad y todas $as otras -ro-iedades /sicas de $os -roductos y $os reacti'os son se#eantes, ta#%i*n se -uede su-oner ue e$ r*gi#en de /$uo entre $os -untos 2 y 3 es #uy tur%u$ento 9/$uo de aco-$a#iento:, con $o ue se #ini#i+a $a #e+c$a hacia atr@s <%t*nganse $as /unciones de trans/erencia ue re$acionan; a La concentracin de " en 2 con $a de " en 1 % La concentracin de " en 3 con $a de " en 2 c La concentracin de " en 3 con $a de " en 1
F3$4r% P5+-# iagra#a -ara e$ -ro%$e#a 32
SOLUCI;N: %6 LA CONCENTRACI;N DE A EN - CON LA DE A EN /# B%l%n! d 7ol" n "t%do no "t%!3on%r3o < dl !o72onnt A: f c A1 ( t )
− f cA2 ( t ) − VrA ( t ) = V
dc A2 9t : dt
( 1) 1ec 2 'aria%$es r A ( t ) , CA 2 ( t)
Vlo!3d%d d r%!!3=n: r A ( t )
= kcA2 ( t )
( 2 ) 2 ec 2 'aria%$es
ustituir $a ecuacin 92: en 91: dando; f c A1 ( t )
− f cA2 ( t ) − VkcA2 ( t ) = V
dc A2 9t : dt
( 3)
B%l%n! d 7ol" n "t%do "t%!3on%r3o < dl !o72onnt A: f c A1 − f cA 2 − VkcA 2
0estar 93: de 94:;
= V
dc A 2 dt
=!
( 4)
f c A1 ( t )
− c A1 − f
c A2 ( t ) − cA2
−Vk = V
c A 2 ( t ) − c A 2 d [ c A2 9t : − cA2 ]
( 5)
dt
e/ini#os $as 'aria%$es de des'iacin;
= cA1 ( t ) − c A1 C A 2 ( t ) = cA2 ( t ) − cA 2 C A1 ( t )
Luego ree#-$a+a#os en 95:; V
dC A 2 ( t )
+ Vk
dt dC A2 ( t )
V f
τ
f C A1 ( t )
dC A 2 ( t )
V f
=
dt
+ Vk
dt
dC A2 ( t ) dt
=
− ( f + Vk ) C A2 ( t ) f
C A1 ( t ) f + Vk
+ C A2 ( t ) =
f f
f
−
f
+ Vk C ( t ) + Vk A2
CA1 ( t )
+ Vk
+ C A2 ( t ) = K C A1 ( t )
( 6)
onde; τ =
V f
K =
+ Vk f
f
+ Vk
, #in , adi#ensiona$
"-$ica#os $a trans/or#ada de La-$ace;
+ CA2 ( s ) = K CA1 ( s ) C A 2 ( s ) [ τ s + 1] = K C A1 ( s )
τ sC A 2 ( s )
C A 2 ( s )
=
K
τ s + 1
<%tene#os;
C A1 ( s )
iagra#a; K
(uu)ur A2 ( ) r 1u uuu Auu τ s + 1 uuuuuuuuuu C
s
C
s
C A 2 ( s )
=
C A1 ( s )
K
τ s + 1
6 LA CONCENTRACI;N DE A EN 5 CON LA DE A EN -# C A3 ( s )
= e−t s !
C A2 ( s )
t !
=
A P L f
onde; iagra#a; e− !
t s
C A2 ( s )
uuuuuuuuuu r
(uuu ) ur Au 3u uuuu C
s
!6 LA CONCENTRACI;N DE A EN 5 CON LA DE A EN /# C A3 ( s ) C A1 ( s )
=
K e − t! s
τ s + 1
iagra#a; − t! s
K e
C A1 ( s ) (usuu) ur Au 3u uu uuuuuuur τ s + 1 uuCuu
Prol7% 5#5 An tanue de a$#acena#iento tiene un di@#etro de 2! -ies y una a$tura de 1! -ies E$ /$uo 'o$u#*trico de sa$ida de este tanue est@ dada -or; f out ( t )
= 2h ( t )
onde h 9t: es $a a$tura de$ $uido en e$ tanue En un #o#ento deter#inado, e$ de-sito est@ en e$ pies 3
estado estacionario con un /$uo de entrada de 1!
#in
a: Bcu@$ es $a a$tura de$ $uido en estado estacionario en e$ tanue
f out = zh 1! = zh h = 5 pies pies 3
%: i e$ /$uo de entrada se intensi/ic a ra+n de !,1 ue e$ tanue se des%orde
B%l%n! d 7%"% 2%r% l "t%do no "t%!3on%r3o ρ fin ( t )
− ρ fout ( t ) = ρ A
f out ( t )
= zh ( t ) ( 2)
dh ( t ) dt
( 1)
ustituyendo 92: en 91: ρ fin ( t ) A
τ
dh ( t ) dt dh ( t ) dt
− ρ zh ( t ) = ρ A + zh ( t ) =
dh ( t ) dt
fin ( t )
+ h ( t ) = !, 5 fin ( t ) 93:
onde; π D 2 τ = = z 49 z : A
= 157 #in
B%l%n! d 7%"% 2%r% "3"t7%" "t%!3on%r3o ρ fin − ρ f out = ρ A f in − zh
=A
dh dt
dh dt
=!
= !94:
#in
, Bcu@ntos #inutos se necesita -ara
ustituyendo 94: en 93: 157
dH ( t ) dt
+ H ( t ) = !5 Fin ( t ) 95:
onde;
= h( t) − h Fin ( t ) − f in H ( t )
"hora -ara 95: H ( s ) Fin 9 s :
=
Fin 9 s : = H 9 s: =
!,5 157 s + 1 !,1 s 2 !,!5
s 2 9157 s + 1:
= A + s
H 9t : = !, !5t − 7,85 1 − e
B
C
s
157 s + 1
− t
157
h9t : = 5 + !, !5t − 7,85 1 − e
+ 2
− t
157
t = 22!#in para ; h9t : = 1! pies
Prol7% 5#* Considerar $a te#-eratura de$ sensor es%o+ada en $a (ig )33 La %o#%i$$a y su 'aina circundante est@n a una te#-eratura uni/or#e, D% 9t:, C, y $os a$rededores son ta#%i*n a una te#-eratura uni/or#e, D 9t: E$ interca#%io de ca$or entre e$ entorno y $a %o#%i$$a est@ dada -or q( t)
= hA s ( t ) − b ( t )
onde; 9t:!FVe$ocidad de trans/erencia de ca$or, .?s hF Coe/iciente de -e$cu$a de trans/erencia de ca$or, .?s# 2C "F @rea de contacto entre $a %o#%i$$a y su entorno, # 2 ea M, en kg, $a #asa de$ %u$%o y e$ tu%o -rotector, y ea C ', .?kgC su ca-acidad ca$or/ica <%tener $a /uncin de trans/erencia ue re-resenta $a res-uesta de $a te#-eratura de $a %o#%i$$a cuando $os ca#%ios de te#-eratura de $os a$rededores Enu#erar todas $as su-osiciones y di%uar e$
diagra#a de %$oues -ara $a %o#%i$$a E>-resar $a constante de tie#-o y $a ganancia en siste#as de $os -ar@#etros de %u$%o ota; La /uncin de trans/erencia deri'ado au re-resenta en genera$ $a res-uesta din@#ica de $a #ayora de $os sensores de te#-eratura, inde-endiente#ente
Modlo d 4n "n"or d t72r%t4r% q9t : = hA [ s 9t : − b 9 t: ]
<%tener $a /uncin de trans/erencia, e$ diagra#a de %$oues, constante de tie#-o y $a ganancia "su#ir; e$ %u$%o est@ a una te#-eratura uni/or#e D% no hay -*rdidas de ca$or
B%l%n! d nr$>%: hA [ s 9t : − b 9t : ]
=
d
[ "C!b 9t: ]
dt
P%r% l "t%do 3n3!3%l hA9 s
− b : = !
hA [ Γ s 9t : − Γb 9t : ]
d Γ b 9t :
= "C!
dt
Donde
Γ s 9t : = s 9t : − s Γb 9t : = b 9t : − "rreg$ando mC! d Γ b 9t : hA
dt
+ Γb 9t : = Γ s 9t :
Asando $a trans/or#ada de La-$ace
Γb 9 s: =
1
τ s + 1
τ =
onde
Γ s 9 s:
mC ! hA
tie#-o constante HF1
iagra#a de %$oues
Prol7% 5#? Consid*rese e$ -roceso de #e+c$ado ue se #uestra en $a /igura 32 La /ina$idad de este -roceso es co#%i>iar una corriente %aa en contenido de$ co#-onente " con otra corriente de " -uroI $a ρ 1 densidad de $a corriente 1, , se -uede considerar constante, ya ue $a cantidad de " en esta corriente es -eueJa atura$#ente, $a densidad de $a corriente de sa$ida es una /uncin de $a concentracin y se e>-resa #ediante; ρ 3 ( t )
= a3 + b3c A3 ( t )
E$ /$uo a tra'*s de $a '@$'u$a 1 est@ dado -or; F1 ( t )
= CV 1!p1 ( t )
∆ p1 #1
E$ /$uo a tra'*s de $a '@$'u$a 2 est@ dado -or; F2 ( t )
= CV 2!p2 ( t )
∆ p2 #2
(ina$#ente, e$ /$uo a tra'*s de $a '@$'u$a 3 est@ dado -or; F3 ( t )
= C V 3
∆ p3 ( t ) #3 ( t )
La re$acin entre $a -osicin de $a '@$'u$a y $a seJa$ neu#@tica se e>-resa con;
= a1 + b1 ( m1 ( t ) − d1 ) !p2 ( t ) = a2 + b2 ( m2 ( t ) − d 2 ) !p1 ( t )
onde; a1 , %1 , d1, a2 , % 2 , d 2 , a 3 y % 3 ;
Constantes conocidas
C!1 , C! 2 , C ! 3 ;
Coe/icientes de $as '@$'u$as 1, 2 y 3 res-ecti'a#ente, # 3?9s-si1?2:
!p1 ( t ) , !p2 ( t ) ;
)osicin de $a '@$'u$a 1 y 2 res-ecti'a#ente, /raccin sin di#ensiones
∆ p1 , ∆p2 ;
Cada de -resin a tra'*s de $as '@$'u$as 1 y 2, res-ecti'a#ente, $a cua$ es constante,
-si
∆ p3 ( t ) ; Cada de -resin a tra'*s de $a '@$'u$a 3, -si #1 , #2 ;
Gra'edad es-ec/ica de $as corrientes 1 y 2, res-ecti'a#ente, $a cua$ es constante y sin di#ensiones #3 ( t ) ;
Gra'edad es-ec/ica de $a corriente 3, sin di#ensiones e de%e desarro$$ar e$ diagra#a de %$oues -ara este -rocesoI en *$ de%en a-arecer todas $as /unciones de trans/erencia y $a /or#a en ue $as /unciones de trans/erencia m1 ( t ) , m2 ( t ) y C A1 ( t )
h ( t ) y C A3 ( t )
a/ectan a $as 'aria%$es de res-uesta
Sol4!3=n: e co#en+ar@ -or un Ka$ance de Materia de$ Co#-onente ", en e$ Estado no Estacionario; f1 ( t ) c A1 ( t ) + ρ 2 f 2 ( t ) − f 3 ( t ) c A3 ( t )
d h ( t ) c A3 ( t ) =A dt
91:
onde; A
; es @rea f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f3 ( t ) , h ( t ) y c A3 ( t )
E>isten 5 'aria%$es Luego, rea$i+a#os un Ka$ance de Materia Dota$, en e$ Estado o Estacionario;
ρ1 f1 ( t ) + ρ 2 f 2 ( t ) − f3 ( t ) ρ 3 ( t )
d h ( t ) ρ 3 ( t ) =A dt
92:
ρ 3 ( t )
E>isten 6 'aria%$es 0es-ecto a $as '@$'u$as tene#os; F1 ( t )
∆ p1
= CV 1!p1 ( t )
#1
= C1 !p1 ( t ) 93:
onde; C1
= C V 1
∆ p1 #1
!p1 ( t )
E>isten 7 'aria%$es F2 ( t )
= CV 2!p2 ( t )
∆ p2 #2
= C2 !p2 ( t ) 94:
onde; C2
= C V 2
∆ p2 #2
!p2 ( t )
E>isten 8 'aria%$es F3 ( t )
= CV 3
∆ p3 ( t )
ρ 3 ( t ) gh9t :
= CV 3
#3 ( t )
144 g c
= C3
ρ 3 ( t )
h ( t )
ρ 0e f
95: onde; C3
= C V 3
m3
ρ ref g 144 g c
9con'irtiendo de
s − psi
1
a 2
gpm psi
= a3 + b3c A3 ( t ) 96:
= en re/erencia a $as -osiciones de $as '@$'u$as; !p1 ( t )
2
:
0es-ecto a $a densidad tene#os; ρ 3 ( t )
1
= a1 + b1 ( m1 ( t ) − d1 ) = A1 + b1m1 ( t ) 97:
onde; A1 = a1 − b1d 1 !p2 ( t )
= a2 + b2 ( m2 ( t ) − d2 ) = A2 + b2 m2 ( t ) 98:
onde; A2
= a2 − b2d 2
Luego -rocede#os a $inea$i+ar $os t*r#inos, generando as $as 'aria%$es de des'iacin f1 ( t ) c A1 ( t )
≈
f1 c A1 + f1 c A1 ( t )
f1 ( t ) c A1 ( t )
≈
f1 c A1 + f1C A1 ( t )
− c A1 + c A1
f1 ( t )
+ c A1F1 ( t ) 9:
onde;
= c A1 ( t ) − c A1 F1 ( t ) = f1 ( t ) − f 1 C A1 ( t )
"n@$oga#ente; f 3 ( t ) c A3 ( t )
≈
f 3 c A3
+ f 3C A3 ( t ) + c A3 F3 ( t ) 91!:
onde;
= c A3 ( t ) − cA3 F3 ( t ) = f 3 ( t ) − f 3 C A3 ( t )
Da#%i*n; h ( t ) c A3 ( t )
≈ hcA3 + hCA3 ( t ) + cA 3 H ( t ) 911:
onde;
− f 1
= h(t) −h
H ( t )
=; ρ3 ( t )
f3 ( t )
≈ ρ3 f3 + ρ 3 F3 ( t ) + f3 Ρ3 ( t ) 912:
onde;
Ρ3 ( t ) = ρ3 ( t ) − ρ 3 Entonces, tene#os ue; h ( t ) ρ 3 ( t )
≈ h ρ3 + hΡ3 ( t ) + ρ 3 H ( t ) 913:
≈
f 3 ( t )
f3 +
1 2
C3 h
−1
2
H ( t)
≈
f3 + C4 H ( t )
914:
onde; C4
=
1 2
C3 h
− 12
ustituyendo 9:, 91!: y 911: en 91:; f1 c A1 + f1C A1 ( t ) + c A1F1 ( t ) + ρ 2 f 2 ( t )
− f 3c A3 − f 3C A3 ( t ) − c A3F3 ( t ) = Ah
dC A3 ( t ) dt
+ Ac A3
dH ( t ) dt
915: ustituyendo 912: y 913: en 92: ρ1 f1 ( t )
+ ρ 2 f 2 ( t ) − ρ3 f 3 − ρ 3F3 ( t ) − f 3Ρ3 ( t ) = Ah
d Ρ 3 ( t ) dt
+ A ρ 3
dH ( t ) dt
916:
"hora tene#os 8 ecuaciones $inea$es; 915:, 916:, 93:, 94:, 914:, 96:, 97: y 98:, $a #is#a cantidad de 'aria%$esI $o ue nos -er#itir@ ha$$ar e$ 'a$or de *stas Escri%iendo e$ %a$ance de Materia de$ Co#-onente ", en estado Estacionario y restando de $a ecuacin 915: y ordenando, o%tene#os; τ 1
dC A3 ( t ) dt
+ C A3 ( t ) = K1C A1 ( t ) + K 2F1 ( t ) + K 3F2 ( t ) − K 4F3 ( t ) − K 5
"-$icando $a trans/or#ada de La-$ace;
dH ( t ) dt
C A3 ( s )
=
1
τ 1 s + 1
( K1C A1 ( s ) + K 2 F1 ( s ) + K 3 F2 ( s) − K 4 F3 ( s) − K 5sH ( s) ) 917:
onde; τ 1 =
K 2
K 4
Ah
, #in
f 3
=
=
c A1 f 3 c A3 f 3
lb ,
gal
gpm
,
lb gal gpm
K 1 =
f 1
=
ρ 2
K 3
K 5
=
f 3
f 3
, adi#ensiona$ lb ,
AcA3 f 3
gal
gpm
,
gal lb m ÷ gal gpm
Escri%iendo e$ Ka$ance de Masa Dota$ en Estado Estacionario, y restando con $a ecuacin 916:, y ordenandoI tene#os; A ρ3
dH ( t ) dt
= ρ1F1 ( t ) + ρ 2 F2 ( t ) − ρ 3F3 ( t ) − f 3Ρ3 ( t ) − Ah
d Ρ 3 ( t ) dt
918:
ustituyendo 914: en 918:, y ordenando tene#os; F3 ( t )
= C4 H ( t )
Ec 14; τ 2
dH ( t ) dt
+ H ( t ) = K 6 F1 ( t ) + K 7 F2 ( t ) − K 8Ρ3 ( t ) − K
d Ρ 3 ( t )
dt
"-$icando $a Drans/or#ada de La-$ace y ordenando tene#os; dH ( s ) dt
onde;
=
1
K6 F1 ( s ) + K 7 F2 ( s ) − ( K8 + K s ) Ρ3 ( s ) τ 2 s + 1
91:
τ 1 =
A C4
K 7
=
K
=
, #in
ρ 2 ρ3C4 Ah
ρ 3C 4
K 6
=
K 8
=
ρ 1 ρ 3C 4
−1
, ,
gpm m÷ m − #in
f 3
ρ 3C 4
,
,
gpm m ÷
−1
m lb ? gal
lb gal
e $a Ecuacin 96:, tene#os, tra%aando con 'ara%$es de des'iacin;
Ρ3 ( t ) = b3C A3 ( t ) Ρ3 ( s ) = b3C A3 ( s ) e $as Ecuaciones 93: y 97: tene#os;
= C1 A1 + b1m1 ( t ) F1 ( s ) = C1b1" 1 ( t ) " 1 ( t ) = m1 ( t ) − m1 f1 ( t )
F1 ( s )
= C1b1"1 ( s ) 921:
e $a ecuacin 94: y 98:;
= C2 A2 + b2m2 ( t ) F2 ( s ) = C2b2" 2 ( t ) " 2 ( t ) = m2 ( t ) − m2 f 2 ( t )
F2 ( s )
= C2b2 " 2 ( s ) 922:
ustituyendo $as ecuaciones 92!:, 921: y 922: en 91:; H ( s )
onde;
=
1
K1! " 1 ( s ) + K11" 2 ( s ) − ( K12 + K13s ) C A3 ( s )
τ 2 s + 1
923:
K1!
= K6C1 b1 ,
K12
= K8b3 ,
m M m
lb ? gal
K11
= K7 C2b2 ,
K13
= K b3 ,
m
M m − #in lb ? gal
ustituyendo $as ecuaciones 921:, 922: y ( 39s: en 917:; C A3 ( s )
=
1
τ 1 s + 1
( K1C A1 ( s ) + K14 " 1 ( s ) + K15" 2 ( s ) − K 4 F3 ( s ) − ( K16 + K 5s) H ( s) )
onde; lb lb gal gal K14 = K 2 C1b1 , K15 = K3 C2b2 , M M lb lb − #in gal gal K12 = K4 C4 , K 5 , m m
E$ diagra#a de %$oues -ara este -roceso es;
Prol7% 5#0 C ( s) $( s)
eter#nese $a /uncin de trans/erencia 3!
-ara e$ siste#a ue se #uestra en $a /igura 3
Sol4!3=n 1er #*todo; "-$icando $as reg$as de$ @$ge%ra de %$oues tene#os $as siguientes ecuaciones;
= % ( s ) #C #V ( #1 + #2 ) % ( s ) = $ ( s ) − C ( s) H C ( s)
91: 92:
0ee#-$a+ando 92: en 91:;
= $ ( s ) − C ( s) H #C #V ( #1 + #2 ) C ( s ) = $ ( s ) #C #V ( #1 + #2 ) − C ( s) H#C #V ( #1 + #2 ) C ( s ) + C ( s ) #C #V H ( #1 + #2 ) = $( s) #C #V ( #1 + #2 ) C ( s ) 1 + #C #V H ( #1 + #2 ) = $( s) #C #V ( #1 + #2 ) C ( s)
C ( s) $ ( s )
=
#C#V ( #1 + # 2 ) 1 + #C #V H ( #1 + #2 )
2do #*todo; "-$icando $a ecuacin de /uncin de trans/erencia de circuito cerrado;
& # & ∑ ∏ ( ( s) & =1 = K & ' #( s) = ) ( s ) 1 + ∑ ∏ #i K =1 i =1 K C ( s) $( s)
)ara a-$icar $a ecuacin y reso$'er $a /uncin de trans/erencia reso$'e#os -ri#ero $a su#a dentro de$ circuito, de #odo ue e$ siste#a uede de $a siguiente #anera;
Luego a-$ica#os $a ecuacin y o%tene#os; C ( s) $ ( s )
=
#C#V * 1 + #C #V H*
0ee#-$a+ando >; C ( s) $ ( s )
=
#C #V ( #1 + # 2 ) 1 + #C #V H ( #1 + #2 )
Prol7% 5#@ En $a casa de$ r Corri-io, $a tu%era de agua ca$iente entre e$ ca$entador de agua y su ducha, es de co%re, ta#aJo no#ina$ 1?2 9@rea de seccin trans'ersa$ F !,!!1!1 /t 2: y cerca de 3! /t de $argo En una #aJana /ra en Katon 0ouge, e$ r Corri-io de $a '@$'u$a de agua ca$iente en $a ducha co#-$eta#ente a%ierta y o%tu'o un /$uo de 2 ga$ones -or #inuto BCu@nto tie#-o tu'o ue es-erar Ts ( s) Th ( s) a ue e$ agua ca$iente $$egara a $a ducha Escri%e $a /uncin de trans/erencia -ara $a Th ( s) Ts ( s) tu%era de agua ca$iente, donde es $a te#-eratura en $a ducha, y es $a te#-eratura en e$ ca$entador de agua ca$iente, cuando se a%re $a '@$'u$a de agua ca$iente i%ue e$ diagra#a de %$oues -ara $a tu%era de agua ca$iente BCu@$ es $a /uncin de trans/erencia cuando $a '@$'u$a de agua ca$iente se cierra B)odra -redecir su res-uesta
Sol4!3=n atos; L = 30ft q = 2gpm AS
= 0,00101ft2
C@$cu$os
F4n!3=n d tr%n"rn!3% t 0
"su#iendo ue no se -roduce ninguna #e+c$a en $a tu%era, y es e$ tie#-o reuerido -or e$ /$uo de entrada -ara -asar a tra'*s de $a tu%era 9tie#-o #uerto:, se tiene;
Ts ( t ) = Th ( t − t0 )
91:
e$ Deore#a de $a tras$acin rea$; L { f ( t − t0 ) } = e− st F ( s) 0
Luego, a-$icando $a trans/or#ada de La-$ace y e$ teore#a de $a tras$acin rea$ en 91:, se tiene $a /uncin de trans/erencia; L { Ts ( t ) }
= L { Th ( t − t0 ) }
Ts ( s)
= e− st Th ( s)
Ts ( s) Th ( s)
= e− st
0
0
T372o 74rto o d rtr%"o E$ tie#-o #uerto se e>-resa co#o; t 0 =
distancia L = velocidad q As
=
AsL q
934:
0ee#-$a+ando datos; t 0 =
( 0,00101ft 2 ) ( 30ft ) 2gpm
×
7,48 = 0,1122min 1ft3
q= 0
F4n!3=n d tr%n"rn!3% )ara
t 0 = ∞
, e$ agua ca$iente no $$egar@ a $a ducha Ts ( s) = e− st = e−s( ∞) = 0 Th ( s) 0
D3%$r%7% d lo4"
Prol7% 5#
La sa$#uera de un estanue se %o#%eada a 1!! /t 3?#in a un -roceso a tra'*s de una tu%era ue tiene dos di@#etros di/erentes, antes y des-u*s de $a %o#%a Los di@#etros internos y $a $ongitud de $os tu%os son $os siguientes; i#ensiones i@#etro interno, in Longitud, /t
"ntes de $a %o#%a 6,!! 1!!!
es-u*s de $a %o#%a 5,25 2!!!
Es -osi%$e su-oner ue $a sa$#uera no se #e+c$a en $a tu%era Cuando $a concentracin ca#%ia en e$ estanue, Bcu@nto tie#-o se necesita -ara ue $a concentracin de$ /$uo ue ingresa en e$ -roceso ca#%ie Escri%e $a /uncin de trans/erencia -ara $a concentracin de sa$ida de $a tu%era y $a concentracin en e$ estanue
Sol4!3=n atos; D1 = 6in D2 = 5,25in L1 = 1000ft L2 = 2000ft q = 100 ft3 min
C@$cu$os
F4n!3=n d tr%n"rn!3% t 0
"su#iendo ue no se -roduce ninguna #e+c$a en $a tu%era, y es e$ tie#-o reuerido -or e$ /$uo de entrada -ara -asar a tra'*s de $a tu%era 9tie#-o #uerto:, se tiene; Cs ( t ) = Ci ( t − t0,1 − t0,2 ) 91: e$ Deore#a de $a tras$acin rea$; L { f ( t − t0 ) } = e− st F ( s) 0
Luego, a-$icando $a trans/or#ada de La-$ace y e$ teore#a de $a tras$acin rea$ en 91:, se tiene $a /uncin de trans/erencia; L { Cs ( t) } = L { Ci ( t − t0,1 − t0,2 ) } Cs ( t )
= e− s( t
Cs ( t )
= e− s( t
Ci ( s)
0,1
+ t 0,2 )
0,1
Ci ( s)
+ t 0,2 )
T372o 74rto o d rtr%"o E$ tie#-o #uerto se e>-resa co#o;
t 0 =
distancia L = velocidad q As
=
AsL q
934:
0ee#-$a+ando datos; 2
A L π ( D 2) L t 0 = s = q q π ( 1000ft)
2
6 in × 1ft = 1,6min t 0,1 = ÷ 3 100ft min 2 12in 2 π ( 2000ft) 5, 25 1ft t 0,2 = in × ÷ = 3,01min 100ft3 min 2 12in t0 = t0,1 + t 0,2 = 4,7min D3%$r%7% d lo4"
Prol7% 5# T ( t ) °C !
e desea -$antear $a res-uesta de $a te#-eratura, en un tanue de -eces a ca#%ios en $a q( t) , W , T ( t) °C ! entrada de ca$or desde e$ ca$entador e$*ctrico, te#-eratura a#%iente, y $a -resin p( t ) , Pa, -arcia$ a#%iente de$ agua en e$ aire, en $as siguientes su-osiciones; a: E$ agua en e$ tanue es -er/ecta#ente #e+c$ado %: La trans/erencia de ca$or y #asa a $os a$rededores es so$o de $a su-er/icie $i%re de$ agua 9trans/erencia de ca$or a tra'*s de $as -aredes de crista$ es insigni/icante: U , W m2"°C ,
c: E$ coe/iciente g$o%a$ de trans/erencia de #asa a $os a$rededores, k y , kg s − m
2
g$o%a$ de trans/erencia de #asa de 'a-or de agua,
y e$ coe/iciente
− Pa,
son constantes C p , J kg°C , λ , J kg d: Las -ro-iedades /sicas de$ agua 9ca$or es-ec/ico, y e$ ca$or $atente, : son constantes e: La tasa de 'a-ori+acin de$ agua desde e$ tanue es -ro-orciona$ a $a di/erencia de -resin -arcia$
w = k y A po ( T )
− Pa ( t)
, kg s
po ( T ) " Pa,
onde
es $a -resin de 'a-or de agua y est@ dada -or $a ecuacin de "ntoine ",
2
m,
es e$ @rea de $a su-er/icie $i%re de$ agua M , kg,
/: La 'e$ocidad de 'a-ori+acin es tan -eueJa ue $a #asa tota$ de agua en e$ tanue, -uede su-onerse constante <%tener $as /unciones de trans/erencia ue re-resentan $a res-uesta de $a entrada de ca$or desde e$ ca$entador e$*ctrico de $a te#-eratura a#%iente, y e$ agua ca#%io de -resin -arcia$ de $os a$rededores i%uar e$ diagra#a de %$oues de este siste#a
Sol4!3=n 0es-uesta de $a te#-eratura en un tanue de -eces
Ka$ance de energa
= q( t) − UA T ( t )− Ts ( t )− w( t) λ
d MC v T (t) dt
Va-ori+acin;
= k y A p0 T ( t )− ps ( t)
w( t )
Ecuacin de "ntoine; p0 T ( t = )
A − B T ( t ) +C
e
ustraer e$ estado de eui$i%rio inicia$ q − UA T − TS
− wλ = 0
Q ( t ) − UA Γ ( t )− Γ s ( t− = MC v ) W ( t ) λ
Q ( t)
onde Linea$i+ar
dΓ ( t ) dt
= q( t) − q, Γ ( t) = T ( t) −T , Γs ( t) = Ts( t) −T s
W ( t) =
onde
= w( t ) − w = k y A Γ ( t )− Ps ( t)
dp° B = e A −B ( T +C ) 2 dT T T
W ( t )
ustituyendo Q ( t ) − UAΓ ( t ) − UAΓ s ( t ) − ky AλΓ ( t ) + ky A λ Ps ( t ) = MC v
dΓ ( t )
"-$icando $a trans/or#ada de La-$ace y ree#-$a+ando Q ( s) + UAΓ s ( s) + ky Aλ Ps ( s) MCv sΓ ( s) + Γ ( s) = UA + k y Aλ
UA + ky A λ
Γ ( s) 0eso$'er
Γ ( s) = Γ ( s) Q ( s) τ =
k1 τ s+ 1
1 UA + k y Aλ
iagra#a de %$oues Q ( s)
+ Γ ( s) Γs ( s)
=
+
k 2 Γs ( s) τ s+ 1
k 3 Ps ( s) τ s + 1
Γ ( s) k = 2 Γs ( s) τ s + 1
k2 =
UA UA + ky Aλ
k 1 τ s + 1
k 2 τ s + 1
+ Ps ( s)
+
Γ ( s) Ps ( s)
=
k 3 τ s + 1
MC v UA + k y Aλ
k1 =
+
k1 Q ( s) τ s+ 1
k 3 τ s + 1
k 3 =
k y Aλ UA + ky A λ
dt
Prol7% 5#/. fi ( t) , !m3 s,
E$ agua se 'ierte a una 'e$ocidad en una ta+a de #edicin de 6,5 c# de di@#etro y 1! c# de a$to La ca-a tiene un aguero circu$ar en $a -arte in/erior de #edicin de !,2 c# de di@#etro La 'e$ocidad de$ agua a tra'*s de$ ori/icio se da a -artir de $a ecuacin de Kernou$$i, -or; v( t) = 2gh( t ) 80!m s2 !
onde g es $a ace$eracin $oca$ de $a gra'edad,
h( t )
y
, c#, es e$ ni'e$ de agua en $a Fi ( s) " ( s) tasa <%tener $a /uncin de trans/erencia entre e$ ni'e$ de$ agua en $a ta+a, , y e$ /$uo ,
( h = 5!m) cuando $a co-a es un #edio $$eno de agua
Sol4!3=n Mode$o de una ta+a de agua con un ori/icio D = 6,5!m d = 0,2!m v( t )
=
2gh( t )
h = 5!m g = 80!m s2
" ( s) Fi ( s) "
(uncin de trans/erencia, "su#ir $a densidad constante Ka$ance de #asa π d2 v( t ) ρ fi ( t ) − ρ 4
v( t )
=
=
d π D2 h t ρ ( ) dt 4
2gh( t )
π d2 ρ fi − ρ v = 0 4 ρ Fi ( t )
−
π d2 # ( t ) 4
ρ
ustraer; onde
Fi ( t)
=
π D2 d" ( t ) ρ dt 4
= fi ( t ) − fi , # ( t ) = v( t ) − v, " ( t ) = h( t ) − h
Linea$i+ando 'e$ocidad # ( t)
= v( t) − v =
# ( t)
=
2g 2h1 2
dv " ( t) dh h
" ( t)
= ,0" ( t )
ustituyendo π d2 π D2 d" ( t ) Fi ( t ) − ,0" ( t) = dt 4 4
Drans/or#ada de La-$ace
D d÷
2
" ( s)
1 S" ( s) ,0
=
+ " ( s) =
3,215 Fi ( s) 106,7s + 1
4 Fi ( s) ,0π d2
k = 3,215 !m ( !m3 s) τ = 106,7s= 1,78min
Prol7% 5#// z ( t )
Considere e$ ta#%or de 'a-ori+acin instant@nea ue se #uestra en $a (igura )34 "u , + ( t ) * ( t ) e son $as /racciones de$ co#-onente #@s 'o$@ti$ en $as corrientes de a$i#entacin, $uidos y 'a-ores, res-ecti'a#ente La #asa tota$ de$ $uido y e$ 'a-or acu#u$ado en e$ ta#%or, $a te#-eratura y $a -resin -ueden su-onerse constantes i se su-one eui$i%rio de
/ases entre e$ 'a-or y $uido ue sa$e de$ ta#%or, a continuacin, se -uede esta%$ecer $a + ( t ) * ( t ) siguiente re$acin entre y ; α * ( t ) + ( t ) = 1 + ( a − 1) * ( t )
F3$4r% 25+* Koceto -ara e$ -ro%$e#a 311 "
= 5!! k#o$, F = 1! k#o$?s,
Los datos de$ -roceso en estado estacionario y otros son; L = 5 k#o$ ? s, α = 2,5 * ( ! ) = !, 4 y <%tener $a /uncin de trans/erencia ue re$aciona $a * ( t ) z ( t ) co#-osicin de sa$ida de $uido, y $a co#-osicin de $a a$i#entacin, eter#ine ta#%i*n e$ 'a$or nu#*rico de todos $os t*r#inos en $a /uncin de trans/erencia
Sol4!3=n ) ( s ) , ( s )
<%eti'o; (uncin de trans/erencia "su#iendo #e+c$a -er/ecta en $a /ase $uida, /$uos y #asa $uida constantes, y $a acu#u$acin insigni/icante en $a /ase de 'a-or; Ka$ance tota$ de #o$es;
in − out
F
= acc
−V − L =
d" dt
=!
des-eando y ree#-$a+ando datos;
=F−L V = 1! − 5 = 5 k#o$?s V
Ka$ance de$ co#-onente #@s 'o$@ti$ en estado no estacionario; Fz ( t )
− V+ ( t ) − L* ( t ) =
d
"* ( t )
dt
91:
Ka$ance de$ co#-onente #@s 'o$@ti$ en estado estacionario; F z
−V + − L * = !
92:
0estando 92: de 91: se tiene; F z ( t )− z− V + (−t )
−+
L *− ( t = ) *
d dt
"* ( t )
Nntroduciendo $as 'aria%$es de des'iacin; , ( t ) = z ( t ) − z
= + ( t) − + ) ( t ) = * ( t ) − * ( ( t)
e tiene; F, ( t )
− V( ( t ) − L ) ( t ) = "
d) ( t ) dt
93:
)uesto ue; + ( t )
α
= f * ( t )=
1 + ( a − 1) * ( t )
* ( t )
94: Ati$i+ando $a serie de Day$or -ara una 'aria%$e; df ( * ) f * ( t = * (−t ) * ) f ( *+) d*
+ ( t )
= ++
d+ ( t ) d*
*
* ( t )− * *
Nntroduciendo $as 'aria%$es de des'iacin d+ ( t ) ( ( t) = ) ( t) d*
*
95:
Luego, deri'ando $a ecuacin dada, a-$icando $a reg$a de$ cociente α * ( t ) d+ ( t ) d = d* ) d* 1 + ( a − 1) * ( t ) *
u ′ = u O ! − u! O !÷ !2
d * t 1+ a− 1 * t − * t d +1 −a ) ( ) ( ) ( d* ( ) ( d+ ( t ) d* = α 2 d* ) 1+ ( a− 1) * ( t ) 1+ ( a− 1) * ( t − ) * ( t ) ( −a = α 2 d* ) 1 a 1 * t + − ( ) ( ) d+ ( t ) 1 = α d* ) 1+ ( a− 1) * ( t ) 2 * d+ ( t )
d+ ( t ) d*
= *
0ee#-$a+ando 96: en 95:;
1) * (t )
;
*
1)
*
α
1+ ( a− 1) * ( t )
2
96:
( ( t)
=
α
1+ ( a− 1) * ( t )
2
) ( t)
i hace#os; α
a=
2
1+ ( α − 1) *
Entonces; ( ( t)
= a) ( t ) 97:
ustituyendo en 97: en 93:; F, ( t )
− Va) ( t ) − L ) ( t ) = "
F, ( t )
− ( Va + L ) ) ( t ) = "
d) ( t )
dt d) ( t ) dt
"-$icando trans/or#ada de La-$ace y reordenando; F, ( s ) − ( Va + L ) ) ( s ) = " s) ( s )− * ( ! ) F, ( s )
− ( Va + L ) ) ( s ) = "s) ( s ) F
) ( s ) , ( s )
=
F "s + ( Va
+L )
=
Va + L " s + 1 Va + L
)or tanto $a /uncin de trans/erencia es; ) ( s ) K = , ( s ) τ s + 1 donde; K =
F
τ =
Va + L
" Va + L
I 0ee#-$a+ando 'a$ores nu#*ricos en cada t*r#ino de $a /uncin de trans/erencia, se tiene; " = 5!! k#o$, F = 1! k#o$?s, L = 5 k#o$ ? s, α = 2,5 * ( ! ) = * = !, 4 V = 5k#o$?s , α
a=
2
1+ ( α − 1) * ( 1 + 1,5 × !, 4)
K =
τ =
2,5
F Va + L "
Va + L
=
=
1! 5 ( !,766 )
+5
5!! 5 ( !,766)
+5
2
= !,766
= 1,!12
= 5!,5
Prol7% 5#/La (igura )35 #uestra una %andea de una co$u#na de desti$acin E$ /$uo de $a %andea 'iene dado -or $a /r#u$a (rancis eir 9ada-tado de )erry, 184:;
f o ( t )
= !, 415-h1,5 ( t )
2 g
donde; h9t: F ni'e$ de $uido en $a %andea -or enci#a de $a -arte su-erior de $a -resa, /t - F ancho de $a -resa so%re $a ue e$ $uido re%ose, /t g F ace$eracin $oca$ de $a gra'edad 932,2 /t?s2:
Los -ar@#etros de /$uo y de -roceso de entrada en e$ estado estacionario son co#o sigue; f i ( !) = 3! /t 3 ?#in / = 11, 2 # 2 - = 3, ! /t Prea de $a seccin trans'ersa$ de $a %andea , ,y <%tener $as /unciones de trans/erencia ue re$acionan $a a$tura de$ agua -or enci#a de$ 'ertedero y /$uo de sa$ida de $a %andea con e$ /$uo de entrada a $a %andea Nndicar todas $as su-osiciones y ca$cu$ar $os 'a$ores nu#*ricos de $a constante de tie#-o de $a %andea y $a ganancia Da#%i*n di%uar e$ diagra#a de %$oues co#-$eto ue re$aciona $as 'aria%$es
Sol4!3=n Mode$o de ni'e$ de $uido en una %andea de $a co$u#na; H ( s )
Fo ( s )
Fi ( s )
Fi ( s )
<%eti'o; /unciones de trans/erencia;
,
Ka$ance tota$ de #asa en estado no estacionario; in − out
ρ f i ( t )
= acc
− ρ fo ( t ) =
d
/h ( t ) ρ
dt
"su#iendo densidad constante y a$tura uni/or#e de $uido; f i ( t )
−
fo ( t )
=/
d
h ( t )
dt
91:
"n@$ogaente, %a$ance tota$ de #asa en estado estacionario; f i
− f o = !
92:
0estando 91: de 92:;
fi ( t ) − fi −
fo ( t )
d −f o = / h ( t ) dt
Nntroduciendo $as 'aria%$es de des'iacin;
= f i ( t ) − f i Fo ( t ) = f o ( t ) − f o H ( t ) = h ( t ) − h Fi ( t )
e tiene; Fi ( t )
− Fo ( t ) = /
dH ( t ) dt
93:
Ati$i+ando $a serie de Day$or -ara una 'aria%$e; df ( * ) * (−t ) * f * ( t = ) f ( *+) d*
f o ( t )
d f ( t ) = f o + o dh
*
h ( t ) − h h
Nntroduciendo $as 'aria%$es de des'iacin; d f o ( t ) Fo ( t ) = H ( t ) dh
h
94:
eri'ando; d f o ( t ) dh
= h
d f o ( t ) dh
d
!, 415 -h1,5 ( t ) dh
= !, 415-
dh
= !, 415-
h
d
h1,5 dh
h
2 g 1,5 h !,5
h
2g
h
d f o ( t )
2 g
h
d f o ( t ) dh
= !, 415-1,5 h !,5
2 g
h
haciendo; a=
d f o ( t ) dh
= !, 415-1,5 h !,5
2g
h
95:
0ee#-$a+ando 95: en 94:; Fo ( t ) = aH ( t ) 96: 0ee#-$a+ando 96: en 93:; Fi ( t )
− aH ( t ) = /
dH ( t ) dt
"-$icando Drans/or#ada de La-$ace y reordenando
− aH ( s ) = / sH ( s )− ! Fi ( s ) = [ /s + a ] H ( s ) Fi ( s )
H ( s )
1
=
Fi ( s )
/s + a
=
(1? a) 1? a = ( 1 ? a ) ( /s + a ) / s + 1 a
)or tanto, $a /uncin de trans/erencia ue re$acionan $a a$tura de$ agua -or enci#a de$ 'ertedero con e$ /$uo de entrada; H ( s ) 1? a = Fi ( s ) τ s + 1 97: donde; τ =
/ a
"de#@s de 97:; aH ( s )
=
1
τ s + 1
Fi ( s )
98:
Luego ree#-$a+ando 98: en $a ecuacin 96:; Fo ( t ) = aH ( t ) Fo ( t )
=
1
τ s + 1
Fi ( s )
La /uncin de trans/erencia ue re$aciona e$ /$uo de sa$ida de $a %andea con e$ /$uo de entrada a $a %andea, es; Fo ( s ) 1 Fi 9 s:
=
τ s + 1
9:
0ee#-$a+ando 'a$ores nu#*ricos; / = 11, 2 # 2 - = 3, ! /t
,
f i ( ! )
= f i = 3!/t 3 ?#in
,y
e; f o ( t )
f o
= !, 415-h1,5 ( t )
= fi = !, 415-h 1,5
es-eando y ree#-$a+ando datos;
2 g
2 g = 3!
/t 3 #in
/t 3 1 h = 3! #in !, 415 h = ( !, 415) ( 3/t )
2 g
1?1,5
3!/t ?#in −2 2 × 32, 2/t s ( 6!s?#in ) 3
1?1,5
= !,1358/t
"hora, -ara $a ganancia y constante de tie#-o; a = !, 415-1, 5 h !,5 2 g = ( !, 415) ( 3, ! /t ) ( 1, 5) ( !,1358)
!,5
2 × 32, 2 × 6!
s #in
3
a = 331, 4
/t 11,2/t 2
/
τ = = a
/t ?#in
331, 4
= !,!338#in
/t 3 ?#in /t
)ara e$ diagra#a de %$oues, tene#os; H ( s )
=
Fo ( s )
=
Fo ( s )
=
H ( s )
=
1
1
a τ s + 1 1
τ s + 1
Fi ( s )
Fi 9 s : = a H ( s )
Entonces;
o ta#%i*n; 1
τ s + 1 1
Fi 9 s:
1
a τ s + 1
Fi ( s )
=
1 a
Fo ( s )
Prol7% 5#/5 Considere una adia%@tica, e>ot*r#ica, -er/ecta#ente #e+c$ado 9Bu* otra cosa: e$ reactor u#ico, cuando $a reaccin
A
+
B
→
C
9BQu* otra cosa: e $$e'a a ca%o onde;
ρ 0 densidad de reacti!os + producto 1constante2323 kmol4m
f 0 flu5o de las corrientes de entrada + de salida 1constante23 m4s
Ti ( t ) 0 temperatura de entrada3 K
T ( t )
∆"
0 la temperatura en el reactor3 K 0 calor de reacci6n 1constante + negati!a23&4kmol
C p ,Cv 0 capacidades calor7ficas3 &4kmol8K
#
0 !olumen de l7quido en el tanque 1constante23 m 9
La cin*tica de $a reaccin se e>-resa -or $a siguiente e>-resin de orden cero & A
−
= −koe
$ %T ( t )
dnde k o $
0 factor de frecuencia3 kmol4m98s
0 energ7a de acti!aci6n3 &4kmol
%
0 constante de los gases ideales3 &4kmol8K
Γ ( s) Γ i ( s) eter#inar $a /uncin de trans/erencia -ara e$ reactor E>-resar $a constante de tie#-o y ganar en t*r#inos de $os -ar@#etros /sicos BEn u* condiciones -uede $a constante de tie#-o sea negati'oBCu@$es seran $as consecuencias de una negati'a Btie#-o constante
Sol4!3=n Mode$o de $a reaccin de orden cero adia%@tica
& A
−
= −h0e
$ %T ( t )
T ( s) Ti ( s)
<%tener $a /uncin de trans/erencia, $a ganancia, $a constante de tie#-o u-onga#os #e+c$a -er/ecta, no hay -*rdida de ca$or, e$ /$uo constante, e$ 'o$u#en, e$ ca$or es-ec/ico, $a densidad de
( T &ef = 0) Ka$ance de energa
−
f ρ C pTi ( t ) − f ρ C pT ( t ) − ∆" & h0e
=
$ %T ( t )
#
d # ρ Cv T ( t) dt
( 1e!"y 1i'!(g'ita)
Linea$i+ando; a1Γ i ( t ) − a2Γ ( t ) = # ρ Cv
dΓ ( t ) dt −
a1 = f ρC p
a2 = f ρ C p + ∆" & #e
$ %T
$ %T 2
Drans/or#ada de La-$ace y reordenando # ρ Cv sΓ ( s) a2
+ Γ ( s) =
a1 Γ i ( s) a2
Γ ( s) ) = Γi ( s) τ s+ 1
( 3− 2,12)
donde ) =
τ =
a1 a2
f ρ C p
=
−
f ρ C p + ∆" & h0#e
# ρ Cv = a2
)ara $a reaccin e>ot*r#ica,
# ρ C p −
f ρ C p + ∆" & h0#e
$ %T 2
$ %T 2
∆" & < 0 −
f ρ C p + ∆" & h0#e
Entonces si
$ %T 2
$ %T 2
$ %T 2
<0
La constante de tie#-o es negati'o " continuacin, $a ra+ de$ deno#inador es; & = −
1 τ
es -ositi'o
La res-uesta es inesta%$e, es decir, ue se esca- de /or#a #ontona E$ reactor sera inesta%$e en $a+o a%ierto
Prol7% 5#/* Considere e$ -roceso ue se #uestra en $a (ig )36 E$ tanue es es/*rica con un radio de 4 /t La #asa no#ina$ de /$uo dentro y /uera de$ tanue es de 3!!!! $% ? hr, $a densidad
3
* ft
de$ $uido es de 7!
, y e$ ni'e$ de estado estacionario es de 5 /t E$ 'o$u#en de una 3
4π & 3
es/era est@ dada -or # ( t)
La re$acin entre e$ 'o$u#en y $a a$tura 'iene dada -or h2 ( t) 3&− h( t)
= # T
4& 3
y $os /$uos a tra'*s de $as '@$'u$as est@n dadas -or w( t ) = 500Cv vp( t ) + f ∆P ( t ) onde
& 0 radio de la esfera3 ft
# ( t ) 0 !olumen de l7quido en el tanque3ft 9
# T 0 !olumen total del tanque3f t9
h( t ) 0 altura del l7quido en el tanque3 ft
w( t ) 0 7ndice de flu5o masi!o3 lb4hr C#
0 coeficiente de !:l!ula3 gpm 41psi ;4< 2
C# 1
;4<
C# 2
0 <=3< gpm41psi 2 and
0 <>8= gpm41psi ;4< 2
∆P ( t ) 0 ca7da de presi6n en la !:l!ula3 psi
+ f 0 peso espec7fico del fluido
vp( t ) 0 posici6n de la !:l!ula3 una fracci6n de apertura de la !:l!ula
La -resin -or enci#a de$ ni'e$ de $uido se #antiene constante a un 'a$or de 5! -sig <%tener $as /unciones de trans/erencia ue re$acionan e$ ni'e$ de $uido en e$ tanue a $os ca#%ios en $as -osiciones de $as '@$'u$as 1 y 2 "de#@s, tra+ar $as ganancias y $as constantes de
tie#-o /rente di/erentes ni'e$es de o-eracin, #anteniendo $as -osiciones de $as '@$'u$as constantes o$ucin
INESTABLE+BALANCE DE MASAS DEL ESTADO+TOTAL d# ( t ) dt
w1 ( t)
− w2 ( t ) = ρ
w1 ( t )
= 500Cv1vp1 ( t)
w2 ( t )
= 500Cv2vp2 ( t )
( 1) 1e!"y 3i'!(g'ita w,( t) , w2 ( t) ,# ( t )
VLVULAS
∆P2 ( t) = P2 +
Pgh( t ) 144g!
∆p1 +
∆p2 ( t ) +
− P3
( 2) 2e! y 3i'!(g'ita ( 3) 3e!"y 4i'!(g'ita∆ P2 ( t ) ( 4) 4e!"y 5i'!(g'ita" h( t )
Rl%!3=n d &ol47n
h2 ( t ) 3&− h( t) # ( t ) = # & 3 & 4
( 5) 5e!" y 5i'!(g'ita
LINEALIACI;N TÉRMINOS NO LINEALES ∂w2 ( t) ∂w ( t) r w2 ( t ) ≈ w2 + ( vp2 ( t) − vp2 ) + 2 ( ∆P ( t) − ∆P2 ) ∂vp2 ( t) ss ∂∆p2 ( t) ss 2
∂w2 ( t ) ∆P2 = 500C# 2 = C1 + ∂vp2 ( t) ss ∂w2 ( t ) 1 1 ∆P2 = ( 500) C# 2#P 2 ÷ = C2 ∂∆ p2 ( t) ss 2 + + ENTONCES:
R
∂w2 ( t ) ≈ w2 + C1 ( vP2 ( t ) − #P2 ) + C2 ( ∆P2 ( t ) − ∆P2 ) # ( t)
≈# +
( 6)
∂# ( t ) ( h( t) − h) ∂h( t ) ss
∂# ( t ) # = 3 6&h − 3h2 = C3 ∂h( t) ss 4& ENTONCES: # ( t)
≈ # + C3 ( h( t ) − h)
( 7)
AHORA TENEMOS UN CONJUNTO DE ? ECUACIONES LINEALES + 1/6 1-6 106 1*6 1@6 < CON 1? INCOGNITA6 #P2 ( t)
≡ vP2 ( t ) − vP2
ear; ∆P2 ( t) = ∆P2 ( t ) − ∆P2
S4"t3t43r d3!%" &%r3%l" d d"&3%!3=n n l%" !4%!3on" 106 1@6 w2 ( t ) ≈ w2 + C1#P2 ( t ) + C2∆P2 ( t ) # ( t ) ≈ # + C3" ( t )
e 92:;
w1 ( t )
( 8) ( )
= C4vp1 ( t )
C4 = 500C# 1
donde ustituir 98:, 9:, 91!: en 91:; C4vp1 ( t )
( 10)
∆P1 +
− w2 − C1#P2 ( t ) − C2∆P2 ( t ) = ρ C 3
d" ( t ) dt
( 11)
e 94:;
∆P2 ( t ) = ( P2 − P3 ) +
Pgh( t ) 144g!
( 12)
Pgh 144g!
( 13)
En estado estacionario
∆P2 ( t ) = ( P2 − P3 ) +
ustituyendo $a ecuacin 913: a -artir de $a ecuacin 912: y segSn $a de/inicin de " ( t ) #
∆P2 ( t) =
Pg " ( t) 144g!
∆P2 ( t )
( 14)
,
ustituyendo $a ecuacin 914: en $a ecuacin 911: C4vp1 ( t )
− w2 − C 1#P2 ( t ) −
d" ( t ) C2 ρ g " ( t ) = ρ C 3 dt 144g!
( 15)
BALANCE DE MASA EN ESTADO ESTACIONARIO w1 − w2 = 0 C4vp1 − w2 = 0
( 16)
ustituyendo $a ecuacin 916: a -artir de $a ecuacin 915:; C4#P1 ( t )
donde
#P1 ( t )
donde
d" ( t ) C2 ρ g " ( t ) = ρ C3 144g! dt
= vp1 ( t ) − vp1 τ
τ =
− C1#P2 ( t ) −
d" ( t ) dt
+ " ( t) = ) 1# ρ1 ( t) − ) 2# ρ 2 ( t)
C3 ( 144) g! C2g
) 1 =
144g!C4
C2 ρ g
) 2 =
I
144g!C1
C2 ρ g
y " ( s) # ρ1 ( s)
=
" ( s) ) 1 τ s + 1 # ρ 2 ( s)
=
) 2 τ s + 1
I con τ = 6,15h ) 1 = 77,43ft ) 2 = −75,54ft
I
I
Prol7% 5#/? Considere e$ tanue de ca$enta#iento se #uestra en $a (ig )37 An /$uido de -roceso se q ( t )
ca$ienta en e$ tanue -or un ca$entador e$*ctrico La 'e$ocidad de trans/erencia de ca$or, m ( t )
-ara e$ /$uido de -roceso se re$aciona con $a seJa$,
, -or
q 9t : = a m ( t )
Asted -uede asu#ir ue e$ tanue de ca$enta#iento est@ %ien ais$ado, -orue e$ /$uido es as
,
Sol4!3=n B%l%n! d M%"%: ρ f in ( t ) − ρ f out ( t ) f in ( t )
=
f out ( t )
=!
= f ( t )
B%l%n! d Enr$>% "t%do no "t%!3on%r3o+ !ontn3do n l T%n4: f ( t ) ρ hi ( t )
+ q ( t ) − f ( t ) ρ h ( t ) = ρ V
hi ( t ) , h ( t ) , u9t :
[ =]
du 9t : dt
& ? kg
Ati$i+ando co#o estado de re/erencia -ara $a enta$-a 9h: e interna 9u: $a /ase $uida, a D!F! C y $a -resin de$ siste#a; hi ( t )
)or otra -arte, dear ue f ( t ) ρ Cpi 9t : + q ( t )
= Cp i 9t : I h ( t ) = Cp 9t : I
Cp = C '
u(t)
= C' 9t :
a continuacin
− f ( t ) ρ Cp 9t : = ρ V Cp
d 9t : dt
91:
1 Ec 2 'ar T9t:,D9t:U
C%lnt%dor q 9t : = a m ( t )
92: 2 Ec 2 'ar
S4"t3t4ndo 1-6 n 1/6:
f ( t ) ρ Cpi 9t : + a m ( t )
− f ( t ) ρ Cp 9t : = ρ V Cp
d 9t : dt
93:
L3nl3K%ndo: f ( t ) ρ Cpi 9t : ≈ f ρ Cpi
+ ρ Cpi ( f ( t ) − f ) + f ρ Cp ( i 9t : − i )
D3n: F ( t )
= f (t) − f
I
Γ i 9t : = i 9t : − i
"4"t3t4ndo n l% !4%!3=n %ntr3or: f ( t ) ρ Cpi 9t : ≈ f ρ Cpi
+ ρ Cpi F ( t ) + f ρ Cp Γi 9t : 94:
S373l%r f ( t ) ρ Cp 9t : ≈ f ρ Cp
+ ρ CpF ( t ) +
f ρ Cp Γ 9t :
95:
Γ9t : = 9t : −
Dond: S4"t3t4ndo 1*6 1?6 n 156
f ρ Cpi + ρ Cpi F ( t ) +
f ρ Cp Γ i 9t :
+ a m ( t ) −
f ρ Cp
+ ρ CpF ( t ) +
f ρ Cp Γ9t :
=
ρ V Cp
96: B%l%n! d nr$>% n "t%do "t%!3on%r3o+ !ontn3do dl t%n4 f ρ Cp
+ a m ( t ) − f ρ Cp = ρ V Cp
d 9!: dt
97:
S4"tr%ndo 106 < 1@6:
ρ Cpi F ( t ) + f ρ Cp Γi 9t : + a " ( t ) − " 9t : = m ( t )
f ρ Cp
−m
Dond: Rordn%ndo l%" !4%!3on" %ntr3or": τ
d Γ9t : dt
+ Γ9t : = K1F ( t ) + K 2Γ i 9t : + K3 " ( t )
+ ρ CpF ( t ) +
f ρ Cp Γ9t :
= ρ V Cp
d Γ9t : dt
d 9t : dt
τ =
Dond:
ρ VCp , seg f ρ Cp
ρ Cp ( i − )
K 1
=
K 2
=1
K 3
=
f ρ Cp
,
°C m3 ? s
"di#ensiona$ a f ρ Cp
,
°C M
Enton!"
Γ9 s: =
F ( s )
K 1
τ s + 1
I
Γ9 s: K 2 = Γi 9 s: τ s + 1
D3%$r%7% d lo4"
F ( s )
K 1 m3 ? s
1
τ s + 1 +
Γ9 s: + Γi 9 s: K 2 °C °C + " 9 s :
K 3
Γ 9 s : I
" 9 s :
=
K 3
τ s + 1
Prol7% 5#/0 Consid*rese e$ -roceso de #e+c$ado ue se #uestra en $a /igura 32 La /ina$idad de este -roceso es co#%i>iar una corriente %aa en contenido de$ co#-onente " con otra corriente de " ρ 1 -uroI $a densidad de $a corriente 1, , se -uede considerar constante, ya ue $a cantidad de " en esta corriente es -eueJa atura$#ente, $a densidad de $a corriente de sa$ida es una /uncin de $a concentracin y se e>-resa #ediante; ρ 3 ( t )
= a3 + b3c A3 ( t )
E$ /$uo a tra'*s de $a '@$'u$a 1 est@ dado -or; f1 ( t )
= C! !p1 ( t ) 1
∆ P 1 #1
E$ /$uo a tra'*s de $a '@$'u$a 2 est@ dado -or; f 2 ( t )
= C! !p2 ( t )
∆ P 2
2
#2
(ina$#ente, e$ /$uo a tra'*s de $a '@$'u$a 3 est@ dado -or; f3 ( t )
= C !
3
∆ P3 ( t ) #3 ( t )
La re$acin entre $a -osicin de $a '@$'u$a y $a seJa$ neu#@tica se e>-resa con;
= a1 + b1 ( m1 ( t ) − d1 ) !p2 ( t ) = a2 + b2 ( m2 ( t ) − d 2 ) !p1 ( t )
onde; a1 , b1 , d1 , a 2, b2 , d2 , a3 + b3 C!1 , C! 2 , C !3
= Constantes conocidas
= Coe/icientes de $as '@$'u$as 1, 2 y 3 res-ecti'a#ente, #3?9s-si1?2:
!p1 ( t ) , !p2 ( t ) =
)osicin de $a '@$'u$a 1 y 2 res-ecti'a#ente, /raccin sin di#ensiones
∆ P1, ∆P 2 =
Cada de -resin a tra'*s de $as '@$'u$as 1 y 2, res-ecti'a#ente, $a cua$ es constante, -si
∆ P3 ( t ) ; Cada de -resin a tra'*s de $a '@$'u$a 3, -si #1 , #2 ;
Gra'edad es-ec/ica de $as corrientes 1 y 2, res-ecti'a#ente, $a cua$ es constante y sin di#ensiones
#3 ( t ) ;
Gra'edad es-ec/ica de $a corriente 3, sin di#ensiones esarro$$ar e$ #ode$o m1 ( t ) , m2 ( t ) y C A1 ( t )
#ate#@tico
ue descri%e
c#o
/uncin de /or+a#iento
h ( t ) y C A3 ( t )
a/ectan I deter#inar $as /unciones de trans/erenciaI y di%ua e$ diagra#a de %$oues "segSrese de #ostrar $as unidades de todas $as ganancias y $as constantes de tie#-o
Sol4!3=n B%l%n! d M%tr3% dl Co72onnt A n l E"t%do no E"t%!3on%r3o: f1 ( t ) c A1 ( t ) + ρ 2 f 2 ( t )
d h ( t ) c A3 ( t ) − f 3 ( t ) c A3 ( t ) = A′ dt
91:
f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f 3 ( t ) , h ( t ) y c A3 ( t )
1ec 5 'arT
Dond: A′ = T area en m 2 U9con!ersion de m3 a gal :
h9t : en metro f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f 3 ( t ) , h ( t ) y c A3 ( t )
5 'aria%$es
B%l%n! d M%tr3% Tot%l n l E"t%do No E"t%!3on%r3o: ρ1 f1 ( t ) + ρ 2 f2 ( t )
d h ( t ) ρ 3 ( t ) − f3 ( t ) ρ 3 ( t ) = A dt
92:
U
ρ 3 ( t )
2ec 6 'ar T
U
ρ 3 ( t ) E>isten 6 'aria%$es
V(l&4l%": f1 ( t )
∆ P 1
= C'1′ !p1 ( t )
#1
= C1!p1 ( t )
!p1 ( t )
93:
′ C1 = C '1
3ec 7 'ar T
U
∆ P 1 ′ C '1
#1
Dond:
y
conversi$n de
m3
gpm
s − psi1?2
psi1?2
a
!p1 ( t )
E>isten 7 'aria%$es f 2 ( t )
∆ P 2
= C'2!p2 ( t )
#2
= C2 !p2 ( t )
!p2 ( t )
94: 4ec 8'ar T
′ ∆ P 2 C2 = C '2
′ C '2
#2
Dond:
y
conversi$n de
U
m3
gpm
s − psi1?2
psi1?2
a
!p2 ( t )
E>isten 8 'aria%$es f 3 ( t )
= C'3′
f 3 ( t )
= C3
∆ P3 ( t ) #3 ( t )
= C'3′
ρ 3 ( t ) gh9t : ρ ( t ) 144 g c 3 ρ r e f
= C3
h ( t )
h ( t )
95: 5ec 8'ar T C3
Dond:
= C '3′
h ( t )
U m3
ρ ref g 144 g c
y
C !′3
con'irtiendo de
s − psi
1
a 2
gpm psi
1
2
Dn"3d%d: ρ 3 ( t )
= a3 + b3c A3 ( t ) 96: 6 ec 8'ar
V(l&4l%":
= a1 + b1 ( m1 ( t ) − d1 ) = A1 + b1m1 ( t )
!p1 ( t )
97: 7 ec 8'ar onde; !p2 ( t )
A1
= a1 − b1d 1
= a2 + b2 ( m2 ( t ) − d 2 ) = A2 + b2 m2 ( t ) 98: 8 ec 8'ar
Dond:
= a2 − b2d 2
A2
l3n%l3K%r lo" tr73no" $nr%ndo %"> l%" &%r3%l" d d"&3%!3=n
− c A1 + cA1 f1 ( t ) − f 1
f1 ( t ) c A1 ( t )
≈
f1c A1 + f1 c A1 ( t )
f1 ( t ) c A1 ( t )
≈
f1c A1 + f1C A1 ( t ) + c A1 F1 ( t )
9:
Dond:
= cA1 ( t ) − c A1 F1 ( t ) = f1 ( t ) − f 1 C A1 ( t )
An(lo$%7nt: f 3 ( t ) c A3 ( t )
≈
f 3c A3 + f 3C A3 ( t ) + c A3 F3 ( t )
91!:
onde;
= c A3 ( t ) − c A3 F3 ( t ) = f3 ( t ) − f 3 C A3 ( t )
Da#%i*n; h ( t ) c A3 ( t )
≈ h c A3 + hC A3 ( t ) + c A3H ( t )
onde; H ( t )
= h( t ) − h
911:
y;
≈ ρ3 f3 + ρ 3 F3 ( t ) + f3Θ3 ( t )
ρ3 ( t ) f3 ( t )
912:
Dond:
Θ3 ( t ) = ρ3 ( t ) − ρ 3 Enton!" tn7o" 4: h ( t ) ρ3 ( t )
≈ h ρ3 + h Θ3 ( t ) + ρ 3 H ( t ) 1
C3 h
f 3 ( t )
≈
f3 +
f 3 ( t )
≈
f3 + C4 H ( t )
2
− 12
913:
H ( t )
914: C4
Dond:
=
1 2
C3 h
− 12
S4"t3t4ndo 16 1/.6 1//6 n 1/6: f1c A1 + f1C A1 ( t )
+ c A1F1 ( t ) + ρ 2 f2 ( t ) − f3 c A3 − f3C A3 ( t ) − c A3 F3 ( t ) = A′h
dC A3 ( t )
+ A′c A3
dt
dH ( t )
915:
S4"t3t4ndo 1/-6 1/56 n 1-6 ρ1 f1 ( t ) + ρ2 f 2 ( t )
− ρ3 f3 − ρ3 F3 ( t ) − f3Θ3 ( t ) = A′ h
d Θ3 ( t ) dt
+ A′ρ 3
dH ( t ) dt
916:
"hora tene#os 8 ecuaciones $inea$es; 915:, 916:, 93:, 94:, 914:, 96:, 97: y 98:, $a #is#a cantidad de 'aria%$esI $o ue nos -er#itir@ ha$$ar e$ 'a$or de *stas Escri%iendo e$ %a$ance de Materia de$ Co#-onente ", en estado Estacionario y restando de $a ecuacin 915: y ordenando, o%tene#os; τ 1
dC A3 ( t ) dt
+ C A3 ( t ) = K1C A1 ( t ) + K2 F1 ( t ) + K3 F2 ( t ) − K4 F3 ( t ) − K5
A2l3!%ndo l% tr%n"or7%d% d L%2l%!:
dH ( t ) dt
dt
1
=
C A3 ( s )
τ 1 s + 1
( K1C A1 ( s ) + K 2 F1 ( s ) + K3 F2 ( s ) − K 4 F3 ( s ) − K 5sH ( s ) ) 917:
Dond: τ 1
=
K 2
K 4
A′h
, #in
f 3
= =
F2 ( t )
lb
c A1
,
f 3 c A3
,
f3
=
gal gpm
lb gal gpm
K 1
=
f 1 f 3
, adi#ensiona$
lb ρ 2 gal K 3 = , f3 gpm
K 5
=
Ac A3 f3
,
gal lb m ÷ gal gpm
− f 2
f2 ( t )
B%l%n! d M%"% Tot%l n E"t%do E"t%!3on%r3o r"t%ndo !on l% !4%!3=n 1/06 ordn%ndo tn7o": A′ ρ3
dH ( t ) dt
d Θ3 ( t )
= ρ1F1 ( t ) + ρ2 F2 ( t ) − ρ 3 F3 ( t ) − f3 Θ3 ( t ) − A′h
dt
918:
S4"t3t4ndo 1/*6 n 1/6 ordn%ndo tn7o": F3 ( t )
= C4 H ( t )
Ec 14; τ 2
dH ( t ) dt
+ H ( t ) = K 6 F1 ( t ) + K7 F2 ( t ) − K8Θ3 ( t ) − K
d Θ3 ( t )
dt
A2l3!%ndo l% Tr%n"or7%d% d L%2l%! ordn%ndo tn7o": dH ( s ) dt
onde;
=
1
K 6 F1 ( s ) + K7 F2 ( s ) − ( K 8 + K s ) Θ 3 ( s ) τ 2 s + 1
91:
τ 1 =
A′ C4
ρ 1 I K 6 = , ρ 3C4
, #in
ρ 2 gpm K 7 = , ÷ ρ3C4 m
=
K
Ah
ρ 3C 4
,
−1
I K 8
=
f 3
ρ 3C4
,
gpm ÷ m
−1
m lb ? gal
m − #in lb gal
D l% E!4%!3=n 106 tn7o" tr%%9%ndo !on &%r%l" d d"&3%!3=n:
Θ3 ( t ) = b3C A3 ( t ) Θ3 ( s ) = b3C A3 ( s ) D l%" E!4%!3on" 156 1@6 tn7o":
= C1 A1 + b1m1 ( t ) F1 ( t ) = C1b1" 1 ( t ) " 1 ( t ) = m1 ( t ) − m1 f1 ( t )
F1 ( s )
= C1b1"1 ( s )
921:
D l% !4%!3=n 1*6 16:
= C2 A2 + b2m2 ( t ) F2 ( s ) = C2b2" 2 ( t ) " 2 ( t ) = m2 ( t ) − m2 f 2 ( t )
F2 ( s )
= C2b2 " 2 ( s )
%(22)
S4"t3t4ndo l%" !4%!3on" 1-.6 1-/6 1--6 n 1/6: H ( s )
=
1
K1! " 1 ( s ) + K11" 2 ( s ) − ( K12 + K13 s ) C A3 ( s )
τ 2 s + 1
Dond: K1!
= K6C1b1 ,
K12
= K8b3 ,
m M m
lb ? gal
I
K11
I K13
= K7 C2b2 , = Kb3 ,
m
M m − #in lb ? gal
%(23)
S4"t3t4ndo l%" !4%!3on" 1-/6 1--6 F51"6 n 1/@6: C A3 ( s )
=
1
τ 1 s + 1
( K1C A1 ( s ) + K14 "1 ( s ) + K15 " 2 ( s ) − K 4 F3 ( s ) − ( K16 + K 5 s ) H ( s ) ) 924:
Dond:
K14
K12
lb gal
= K 2C1b1 , = K 4C4 ,
lb I K15
M lb gal m
I
= K3C2b2 ,
gal
M
lb − #in ( gal ) K = 5
m
El d3%$r%7% d lo4" 2%r% "t 2ro!"o ":
Prol7% 5#/@ Considere e$ tanue ue se #uestra en $a (ig )3 An 1! 9 ± !,2: en -eso de a<, so$ucin est@ siendo uti$i+ado -ara un -roceso de $a'ado c@ustico Con e$ /in de sua'i+ar $as 'ariaciones en $a tasa de /$uo y $a concentracin, un tanue de 8!!! ga$ se uti$i+a co#o de-sito de co#-ensacin Las condiciones de estado estacionario son co#o sigue;
V
= 4!!! gal
fi
=
f!
= 25!! gal ? h
ci
= c! = 1!-t M
E$ contenido contenido de$ tanue est@n est@n %ien #e+c$ados, #e+c$ados, y $a dens densidad idad de todas $as corrientes corrientes es de 8,8 $%# ? ga$
%6 Ana a$ar#a sonar@ cuando $a concentracin de sa$ida cae a ,8 en -eso 9o su%e a$ 1!,2 en -eso: u-onga ue $os /$uos son constantes
Ka$ance de #ateria 9a<: en estado o estacionario ρ f i
ci 9t :
1!!
− ρ f !
c! 9t :
1!!
=
ρ ' dc! 9t : 1!! dt
o tambie tambien n; fci 9t : − fc! 9t : = '
' dc! 9t : f
dt
dc! 9t : dt
+ c! 9t : = ci 9t :
4!!! dc! 9t : + c! 9t : = ci 9t : 25!! dt
3#
<%tener $a /uncin de trans/erencia ue re$aciona $a concentracin de sa$ida con $a concentracin de entrada <%tener $os 'a$ores nu#*ricos de todas $as ganancias y constantes de tie#-o C ! 9s: Ci 9s:
33#
=
1 16s + 1
c 9t :
" causa causa de un #a$estar, $a concentracin de entrada, , se reduce a un 8 de a< instant@nea#ente eter#inar cu@nto tie#-o to#ar@ antes de ue $a a$ar#a suene
2 Ci 9 s : = − s
C! 9s : =
2
→
s 916 s + 1:
c! 9t : = −291 − e −t ?16 : !2 = −291 − e −t ?16 :
t
= !1686h = 1!11#in = 6!6 s
6 Considerar ahora ue e$ /$uo de entrada,
f i 9t :
, -uede 'ariar, #ientras ue e$ /$uo de sa$ida sa$ ida es #a #anten ntenido ido constan constante te a 25! 25!!! ga$?h ga$?h )or $o tan tanto, to, e$ 'o 'o$u# $u#en en en e$ tanue tanue ta#%i*n -uede 'ariar Ka$ance tota$ de #asa en estado inesta%$e; ρ f i 9t : − ρ f !
333#
d '9t : dt
esarro$$ar $a ecuacin di/erencia$ ue re$aciona e$ 'o$u#en en e$ tanue de $os /$uos de entrada y sa$ida f i 9t : − f !
3&#
= ρ
=
d '9t : dt
91:
esarro$$ar $a ecuacin di/erencia$ ue re$aciona $a concentracin de sa$ida de a< a$ /$uo de entrada y $a concentracin de entrada Ka$ance de a< en estado o estacionario ρ ρ ρ d '9t:c! 9t : fi 9t :ci 9t : − f ! 9t :c! 9t : = 1!! 1!! 1!! otambien ;
f i 9t :ci 9t : − f ! 9t :c! 9t : =
&#
dt
d '9t:c! 9t :
9 2:
dt
<%tener $a /uncin de trans/erencia ue re$aciona e$ 'o$u#en en e$ tanue a $a entrada de$ /$uo ρ f i − ρ f !
= ! = ρ
d '
93:
dt
res tan do 91: − 93:
fi 9t : − f i = d T'9t: − 'U dt 'ar iables des!iacion ; Fi 9t : = f i 9t : − f i I %ntonces ; Fi 9t : =
V 9t : = '9t : − ' dV 9t : dt
o
V 9 s: Fi 9 s:
=
1 s
&3#
<%tener $a /uncin de trans/erencia ue re$aciona $a concentracin de sa$ida a$ /$uo de entradaa y $a concentracin entrad concentracin de entrada entrada <%tener <%tener $os 'a$ores 'a$ores nu#*ricos nu#*ricos de todas $as ganancias y $as constantes de tie#-o Ka$ance de #asa 9a<: en estado estacionario; ρ fi ρ f ! ρ d ' c! ci − c! = =! 1!! 1!! 1!! dt d ' c! =! f i ci − f ! c! = dt $inea$i+ando te ter#inos de la ecuaci ecuacion on 92:
9 4:
f i 9t :ci 9t : = f i ci + f i [ ci 9t : − ci ] + c i f i 9t : − f i
95:
'9t :c! 9t : = ' c! + ' [ c! 9t : − c! ] + c! [ '9t : − ' ]
9 6:
'aria 'aria%$e %$ess de des' des'iac iacion ion ; C! 9t : = c! 9t : − c! Ci 9t : = ci 9t : − ci %ntonces ; f i 9t : ci
=
f i ci + f i Ci 9t : − ci Fi 9t :
97:
'9t:c! 9t: = ' c! + ' C! 9t : + c!V 9t :
98:
0est 0estan ando do 97: y98:,$ue 98:,$uego go re#re#-$a $a+a +and ndo o en 92: ; f i ci
+ f i Ci 9t : + ci Fi 9t : − f !c! 9t : = '
dC! 9t : dt
+ c! dV 9t:
9:
dt
rest restan ando do 94: 94: de 9: 9: ; f i Ci 9t : + ci Fi 9t : − f ! [ c! 9t : − c! ]
= ' dC! 9t : + c! dV 9t: dt
dt
o tambien ;
τ
dC! 9t : dt
+ C! 9t : = K1Ci 9t : + K2 Fi 9t : −
c! dV 9t : f !
dt
Donde ;
= τ = K1 c! f !
' f !
=
=
f i f !
4!!! gal 25!! gal ? h
=1
= !,!!4
= 16h
K 2 M gal ? h
=
ci f!
=
1!M 25!! gal ? h
= !, !!4
M gal ? h
16
dC! 9t : dt
C! 9 s: =
+ C! 9t : = Ci 9t : + !, !!4 (i 9t : − !, !!4 1
1, 6 s + 1
dV 9t : dt
[ Ci 9s: + !, !!4Fi 9s: − !, !!4sV9s:]
Del 9': V 9 s: =
Fi 9 s :
s sustitu+endo enlas ecuaciones anteriores de ren di#iento ; C! 9 s: = C! 9 s : Ci 9 s:
=
1 1, 6 s + 1
[ Ci 9 s: + !, !!4Fi 9s: − !, !!4F i 9s: ]
1 1, 6s + 1
los cambios en la f i 9t : no afec tan a C! 9 s: F i
&33#
c ! 9t :, entonces ;
=!
u-onga#os ahora ue e$ /$uo de entrada a$ de-sito de %aa a 1!!! ga$?h eter#inar cu@nto tie#-o se necesita -ara 'aciar e$ tanue Fi 9 s : = −
15!! s
Del enunciado 9':,se tiene ; V9s: = −
15!!
s 2 V = −15!!t o tambien ;
= 4!!! − 15!!t ! = 4!!! − 15!!t t = 2,67 h
V
Prol7% 5#/
E$ tanue de #e+c$a se #uestra en $a (ig )31! se -uede su-oner ue es de #e+c$a
-er/ecta Las 'aria%$es de entrada son $as concentraciones de so$uto y $os /$uos de $as corrientes de entrada, c1 9t :, c2 9t : Tkg ? m3 U, f1 9t :, + f 2 9t : Tm3 ? #inU
V T m3 U
E$ 'o$u#en de $uido en e$ tanue, , -uede su-onerse constante, y $a 'ariacin de $as densidades de /$uo con $a co#-osicin -uede ser des-reciado c 9s :
, kg ? #3, y %6 <%tener $as /unciones de trans/erencia -ara $a co#-osicin de sa$ida /$uo de sa$ida ( 9s:, #3 ? #in, a $as cuatro 'aria%$es de entrada, y escri%ir $as e>-resiones -ara $a constante de tie#-o y ganancias en t*r#inos de $os -ar@#etros de$ siste#a Ka$ance de #asa 9so$uto: en estado o estacionario; f1 9t :c1 9t : + f 2 9t :c2 9t : − f 9t :c 9t : = !
dc9t : dt
91: %c
2 'ncog Tc 9t :, f 9t :U:
Balance de masa total ;
ρ f1 9t : + ρ f2 9t : − ρ f 9t : = ! f1 9t : + f 2 9t : − f 9t : = !
92: %c 2 'nc
resol!iendo para f ( t ) de ( 2 ) + rest ando en ( 1) ; f1 9t : [ c1 9t : − c 9t :] + [ c2 9t : − c 9t : ]
= ! dc9t : dt
93:
linealizando los ter #in os no lineales + definiendo sus 'ar iables de des!iacion ; f1 9t : [ c1 9t : − c9t : ]
= f1 [ c1 − c ] + [ c1 − c ] F1 + f1C19t: − f1C9t : f 2 9t : [ c2 9t : − c9t : ] = f 2 [ c2 − c ] + [ c2 − c ] F2 + f 2C2 9t : − f 2C9 t : restando a partir de la anterior D % + reordenando ; dC 9t : dt
C 9s: =
95:
( 4 ) ? ( 5 ) en ( 3) , escribir un balance de masas en estado estacionario en el soluto ,
0estando
τ
94:
+ C 9t : = H1 F19 t : + K 2 F2 9t : + K 3C19t : + K 4C 2 9t : 1
τ s + 1
[ K1F1 9s: + K 2 F2 9s: + H 3 C19s : + K 4C 2 9s : ]
o tambien ; C 9 s: F1 9 s :
K1
=
τ s +1
C 9s:
I
F2 9 s :
=
K2
C 9s: I τ s + 1 C1 9s :
=
K 3
C 9s :
I
τ s + 1 C 2 9s :
=
K 4
τ s +1
Donde ;
τ = K 2
! f1 + f 2
=
K 1
, #inI
c2 − c
,
kg ? m
=
c1 − c
kg ? m
, f1 + f m3 ? #in
3
f1 + f m ? #in 3
3
K3
I
f1
=
f1 + f 2
=
I K 4
f2
f1 + f 2
6 i%ue e$ diagra#a de %$oues de$ tanue, #ostrando todas $as /unciones de trans/erencia
!6 Ca$cu$ar $os 'a$ores nu#*ricos de $as constantes de tie#-o y $as ganancias de$ tanue ue se #e+c$a inicia$#ente una corriente ue contiene 8! kg ? #3 de so$uto con un segundo corriente ue contiene 3! kg ? # 3 de so$uto -ara -roducir 4! #3 ? #in de una so$ucin ue contiene 5! kg ? #3 de so$uto E$ 'o$u#en de$ tanue es 4! #3 c1
kg
= 8!
3
I c2
= 3!
kg 3
I c
= 5!
kg 3
I
f
=4
m3
m m m #in De los balances de masa en estado estacio nario ; f1
= 1, 6
m3 #in
I
f 1
= 2,
I ! = 4!m3
m3 #in
Donde ;
τ = K 1
! f1 + f 2
=
K 2
=
K3
=
=
c1 − c f1 + f 2 c2 − c f1 + f 2 f1 f1 + f 2
4!m3 4m3 ? #in
= =
= 1!#in
98! − 5!: kg? #3 4m3 ? #in 93! − 5!: kg? #3 4m3 ? #in
= 1, 6 = !, 4 4
I
= 7,5 = −5 K 4
kg? #3 m3 ? #in kg? #3 m3 ? #in
=
f 2 f1 + f 2
= 2, = !, 6 4
Prol7% 5#/ i%uar e$ diagra#a de %$oues de $as siguientes /unciones de trans/erencia En cada uno caso, no hagas ninguna #ani-u$acin a$ge%raica ue si#-$e#ente $as /unciones de trans/erencia, -ero e$ uso de $as reg$as de$ @$ge%ra de diagra#a de %$oues -ara si#-$i/icar e$ diagra#a si es -osi%$e K1
( ( s)
=
( b)
( ( s)
=
( c)
= #1 ( s ) ) ( s ) + #3 ( s ) (2 ( s ) (2 ( s ) = #2 ( s ) (1 ( s )
) ( s)
τ 1 s + 1 1
+
K 2
( a)
τ 2 s + 1
) ( s)
K1 F1 ( s ) − K2 F2 ( s)
τ 1 s + 1
(1 ( s )
Sol4!3=n: =a ue no nos -ide ninguna #ani-u$acin a$ge%raica, $os diagra#as de %$oues son $os siguientes; (s)
a:
&(s)
k 1
τ 1 s + 1
' '
K 2 s + 1
τ 2
%:
1(s K 1
&(s)
' 1
2(s
τ s + 1
* K 2
c:
(s)
1(s #1
2(s #3
#2
Prol7% 5#-. C ( s) $ ( s )
eter#inar $a /uncin de trans/erencia
-ara e$ siste#a ue se #uestra en $a /igura
#2
$ ( s )
'
'
#V
#C
#1
*
H Sol4!3=n )ara reso$'er este -ro%$e#a uti$i+are#os $a /or#a si#-$i/icada -ara $a cua$ es ;
& # ∑ ∏ 5 ( ( s) = i =1 K & =1K ' # ( s) = ) ( s ) 1 + ∑ ∏ #i K =1 K =1 K L
Luego desarro$$ando esta ecuacin tene#os
& # = # # # + # ∑ ∏ 1 2) 5 C V ( i =1 & =1 ' L
1+ ∑ ∏# = 1+ # # = = K
K
i
K 1
K 1
C
V
H ( #1 + #2 )
K
ustituyeron en $a ecuacin genera$;
C ( s) $ ( s ) Prol7% 5#-/
=
#C#V ( #1 + #2 ) 1 + #C#V H ( #1 + #2 )
'
C ( s)
Prol7% 5#-C ( s) + % ( s)
eter#ine $a ecuacin de trans/erencia
-ara e$ siste#a de $a /igura )313
F3$4r% P5+/5 Sol4!3=n C(s) =
+3 +2+4"
+
+C+1%(s) "
Prol7% 5#-5 <%tener $a res-uesta de un -roceso descrito -or una /uncin de trans/erencia de -ri#erorden #@s tie#-o #uerto a $a /uncin de /uer+a ue se #uestra en $a (ig )314
(igura )314 Esue#a -ara e$ -ro%$e#a 323 E$ tie#-o #uerto, retardo de tie#-o o retardo de trans-orte es re-resentado -or t!
( ( s) ) ( s )
=
ke
− t! s
τ s + 1
e
− t! s
ntonces se tiene -ue es la transformada de .aplace del tiempo muerto /, por lo tanto lo -ue interesa es la respuesta de &(t) a los cam0ios en (t)" ntonces aplicamos las funciones de transferencia#
" -artir de$ gr@/ico se -uede deter#inar $o siguiente;
= Au ( t− a )− ( t− b ) ) ( t ) = Au ( t − a ) − Au ( t − b ) ) ( t )
"-$icando $a trans/or#ada de La-$ace se tiene $o siguiente; L { ) ( t ) }
= AL { u ( t − a ) } − AL { u ( t − b ) }
) ( s )
=
Ae − as s
−
Ae − bs s
Luego;
( ( s)
=
kA
e −( t + a ) s − e−( t +b) s s ( τ s + 1) !
"-$icando $a trans/or#ada in'ersa de La-$ace;
onde;
a L−1 s ( s + a )
= 1 − e − at
Entonces se tiene ue;
( ( t)
1 − e−( t −t −b) τ = kA 1 − e−( t −t − a) τ − kA !
!
Prol7% 5#-* u-ngase ue con $a siguiente ecuacin se descri%e un cierto -roceso; ( ( s) 3e−!,5 s = ) ( s ) 5s + !, 2 a %
<%t*ngase $a ganancia de estado estacionario, $a constante de tie#-o y e$ tie#-o #uerto -ara este -roceso + ( t ) La condicin inicia$ de $a 'aria%$e y es y9!: F 2 BCu@$ es e$ 'a$or /ina$ de -ara $a /uncin de /or+a#iento ue se #uestra en $a /igura )315
Sol4!3=n a
Dene#os $a /uncin de trans/erencia de /or#a genera$ ( ( s) Ke − t s = ( 383) ) ( s ) τ s + 1 !
onde; K
τ
; Ganancia ; Constante de tie#-o
t !
Die#-o #uerto ace#os ue $a ecuacin dada -or e$ -ro%$e#a to#e $a /or#a de $a ecuacin 9383: 3 ( ( s) ) ( s )
( ( s) ) ( s )
= !,2
e
−!,5 s
5
s + 1 !, 2
=
15e −!,5 s 25s + 1
-or tanto;
k = 15
= 25
τ
t !
%
= !,5
e $a (igura )315
F3$4r% P5+/?#
<%tene#os $a ecuacin de trans/erencia * ( t ) = Au ( t − a ) "-$icando $a trans/or#ada ) ( s ) =
Ae
− as
s
e $a ecuacin de$ -ro%$e#a tene#os
# ( s)
=
( ( s) ) ( s )
=
15e−!,5 s 25s + 1
"-$icando e$ teore#a de$ 'a$or /ina$ ( t →∞ = $i# s# ( s ) ) ( s ) s → ! # ( s = s$i# →! )
$i# s) (s )
15e = s$i# →! 25 s + 1 = 15 A
s→!
−!,5 s
$i# s
Ae− as
s→ !
s
+ ( ! )
)or dato de$ -ro%$e#a sa%e#os ue
=2 , entonces e$ 'a$or /ina$ es;
+ t →∞ = 2 + 15 A
Prol7% 5#-? <%tener $a res-uesta de un -roceso descrito -or una /uncin de trans/erencia de -ri#er orden de una /uncin de i#-u$so
Sol4!3=n ( 9s: &9 s:
=
K
τ s + 1
i; *9t : = δ 9t : &9 s : = 1, !
Entonces; =9 s: =
K
τ s + 1 K + 9t: = e − t τ τ
Prol7% 5#-0 An detector de gas es usado -ara deter#inar $a concentracin de gas in/$a#a%$e en una corriente de gas or#a$#ente $a concentracin de gas es 1 -or 'o$u#en, -or de%ao de $a a$ar#a $#ite de 4 y e$ $#ite in/erior de in/$a#a%i$idad de 5 i $a concentracin de$ gas est@ -or enci#a de$ $#ite in/erior de in/$a#a%i$idad, es in/$a#a%$e An detector de gas en -articu$ar de#uestra un co#-orta#iento de -ri#er orden con una constante de tie#-o de 5 s En #o#ento deter#inado, $a corriente de gas tiene un /$uo de 1 # 3?s atre'es un tu%o con @rea trans'ersa$ de 1 #2 i $a concentracin de gas sor-resi'a#ente se incre#enta de 1 a 7 -or 'o$u#en, BCu@ntos #etros cS%icos de gas in/$a#a%$e -asara antes ue $a a$ar#a este sonando BEs -osi%$e ue un -oco de gas in/$a#a%$e -ase e$ detector sin ue $a a$ar#a haya sonado
Sol4!3=n + ( t )
etect or * ( t )
as
* ( t )
nde;
, concentraci$n del gas + ( t )
, seal del detector
e$ -ro%$e#a se sa%e ue tiene un co#-orta#iento de -ri#er orden, entonces; d+ ( t ) τ + + ( t ) = * ( t ) dt
91:
En estado estacionario; d + ( t ) τ
dt
+ + ( t ) = * ( t ) 92:
0estando 91: #enos 92: d ( + ( t ) − + ( t ) ) τ
τ
dt d( ( t ) dt
+ ( + ( t ) − + ( t ) ) = ( * ( t ) − * ( t ) )
+ ( ( t ) = ) ( t )
"-$icando La-$ace;
( ( t ) = s( ( s ) dt L { ( ( t ) } = ( ( s ) L { ) ( t ) } = ) ( s ) L
( ( s ) τ s + ( ( s ) ( ( s ) ( τ s + 1)
= ) ( s)
= ) ( s)
=
1
τ s + 1
93: iagra#a de %$oues;
1
) ( s )
((s
τ s + 1
•
e incre#enta de 1 a 7 de $a concentracin de$ gas * ( t )
=7
* ( t )
=1
Entonces
= * ( t ) − * ( t ) = 1 − 7 = 6
) ( t )
"-$icando La-$ace L { ) ( t ) } = L { 6}
=
) ( s )
6 s
0e#-$a+ando en $a ecuacin 93: ( ( s)
=
( ( s)
=
1
τ s + 1
) ( s)
6 s ( 5s + 1)
e-arando; 1
( ( s)
=
( ( s)
=
( ( s)
A B = 6 + s 5 ( s + 1 ? 5)
τ s + 1
) ( s)
6 s ( 5s + 1)
A = $i# s→!
1 1
B = $i#
=1 1
s→−1?5
s
=−
1 5
1 ( −1 ? 5 ) = 6 + s 5 ( s + 1 ? 5) 1 1 ( ( s) = 6 − s ( s + 1 ? 5) ( ( s)
Drans/or#ada in'ersa;
1 L−1 s
=1
1 = e− t ?5 ( s + 1 ? 5)
L−1 ( ( t)
Da#%i*n
= 6 1 − e−t ?5
