Ejercicio 6.13. En la sección 4-2.3, un reactor químico no isotérmico esta modelado en detalle. Calcule la ganancia y el periodo ultimo de un controlador de temperatura proporcional para el reactor asumiendo que la válvula de control esta instalada sobre la línea de reactantes, para manipular el flujo de reactantes
porcentaje con caída de presión constante y
, y el
transmisor de temperatura tiene un rango de 640 a 700R. La constante de tiempo de la válvula y el transmisor se pueden despreciar. Dibuje el diagrama diagrama de bloques bloques del lazo de control
de la
temperatura que muestra todas las funciones de transferencia. Sugerencia: Para simplificar el sistema asuma que todas las variables de entrada, incluyendo el flujo de refrigerante son constantes. Use una válvula de presión lineal con caída de presión constante y sobredimensionada en un 100%. Información del proceso V=12.36 ft 3 E=27.820 Btu/lbmol
A= 36 ft 2
Valores en estado estacionario 3 C ai ai (t)=0.5975lbmol/ft T c c =602.7 °R C A(t)=0.2068 lbmol/ft 3 T ci ci (t)=540 °R
8 k 0 ft3/(lbmol*min) 0=8.33*10 R=1.987 Btu/(lbmol °R) C p=0.88 Btu/lbm°F 2 U=75 Btu/(h*ft *°F)
V c c =1.56 ft 3
T i i(t)= 635 °R f=1.3364 ft 3 /min T(t)=678.9 °R f(t)=0.8771 ft 3 /min
Solución: Se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de salida del fluido que se procesa, T(t), con la temperatura de entrada de flujo de reactantes, T i i(t), la tasa de flujo del agua de enfriamiento, f enfriamiento, f c(t) y la temperatura de entrada entr ada del fluido que se procesa T i i(t).
Un balance de moles del componente A, en estado dinámico
(1)
donde: 3
V= volumen del líquido en el reactor ft . La velocidad de reacción nos da otra e cuación:
(2)
Linealizando (2)
(4)
Reemplazando (4) en (1)
(5)
Linealizando el primer y último término del lado izquierdo de la ec uación (5)
Reemplazando los términos linealizados en (5)
(6)
Evaluando (6) en estado estacionario
Restando (6) y (7)
Definiendo las variables de desviación
Lo que se busca es llevar esta ecuación a la forma de una ecuación de segundo orden
Definiendo los parámetros dinámicos:
(7)
⁄ ⁄ ⁄ Aplicando transformada de la place, tenemos:
(8)
Seguimos necesitando otra ecuación, específicamente, una ecuación para obtener temperatura. Usualmente un balance de energía sería una ecuación necesaria. Entonces escribimos un balance de energía en estado dinámico del reactor:
(9)
donde
, es el calor de reacción
Las funciones de transferencia se pueden obtener a partir de las ecuaciones (1) y (4); sin embargo antes de hacerlo se deben linealizar todas las ecuaciones, cuyos términos no lineales son específicamente el primero y último del miembro izquierdo. Reemplazando (4) en (9)
(10)
Linealizando el primer y el ultimo término del lado izquierdo de la ecuación (10)
Reemplazando los términos linealizados en (10)
(11)
Evaluando (11) en estado estacionario
(12)
(13)
Restando (11) y (13)
Definiendo las variables de desviación
Lo que se busca es llevar esta ecuación a la forma de una ec uación de segundo orden
Reordenando términos:
[ ]
(14)
[ ] [ ] +
Definiendo los parámetros dinámicos:
] [ ⁄ Aplicando transformada de la place, tenemos:
(16)
Como tenemos tres ecuaciones y cuatro incógnitas necesitamos una ecuación más para que nuestro sistema esté totalmente especificado. Para esto se lleva a cabo un balance de energía en la chaqueta de enfriamiento.
Linealizando el primer y el ultimo término del lado izquierdo de la ecuación (10)
(17)
(15)
Reemplazando los términos linealizados en (17)
(18)
Evualuando (18) en estado estacionario
(19)
Restando (18) y (19)
Definiendo las variables de desviación
Lo que se busca es llevar esta ecuación a la forma de una ec uación de segundo orden
Reordenando términos:
[ ][ ]
(20)
[ ] [ ] [[ ] ] [ ] ] [ [ ] ] [ ] [[ ] ] [ [ ] Definiendo los parametros dinamicos
Aplicando transformada de La place
(21)
Reemplazando (21) en (16)
() () () () ( ) ()
Reemplazando (8) en (22)
) ( () ) (( ) () De las ecuaciones anteriores y sus respectivos arreglos, obtenemos:
Todas las funciones de transferencia desarrolladas son de tercer orden. Sin embargo la dinamica de las variables responden a un comportamiento que varía significativamente dependiendo de la función o cambio que presente. Estas diferencias se pueden ver en los diferentes valores de los numeradores.
Fig. 1: Diagrama de bloque, tomando las otras perturbaciones como constantes.
SP
T (s)
KSP
E(s)
GC (s)
M(s)
GV (s)
F(s)
GF (s) T(s)
Fc(s)
H(s)
G(s)
Sensor – Función de Transferencia La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico despriciable.
Siendo el rango del sensor – transmisor de
, entonces la ganancia es dada por
Entonces la función de transferencia del sensor – transmisor es:
Válvula – Función de Transferencia
La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico de primer despreciable. Podemos asumir:
Para estimar la ganancia estacionaria de la válvula se tiene en cuenta que es de características de flujo lineales y que su tamaño debe ser el doble del necesario en condiciones nominales (100 % de sobredimensionamiento).
Para un flujo de líquido el coeficiente de la válvula máximo es (asumiendo
A partir de la siguiente figura se leccionamos un diámetro comercial
:
Se selecciona una válvula de ½ pulgada (in) cuyo
Tenemos entonces
√ √ La válvula es de falla cerrada y, por lo tanto, el signo del valor de la ganancia es positivo. La fórmula para hallar la ganancia de una válvula de caracter ísticas de flujo lineales es:
Y la función de transferencia de la válvula es:
Controlador Proporcional – Función de Transferencia Para un controlador proporcional la función de transferencia es la de un sistema de ganancia pura. La acción del controlador debe ser inversa porque es un control de la temperatura de la corriente de salida manipulando el flujo de la corriente de entrada de los reactantes. Por lo tanto, la ganancia del controlador proporcional es positiva y se escribe entonces que:
(18)
Lazo de Control Feedback – Diagrama de bloques La Figura 3 muestra el tanque de dilución con el lazo de control de concentración de la corriente de salida en donde se ha seleccionado el flujo de la corriente de concentración diluida para manipularse de acuerdo a las decisiones en el controlador. CT representa el sensor – transmisor de temperatura y CF representa el controlador de flujo, SP representa el valor deseado de control de la ctemperatura de la corriente de salida. Las líneas trazadas con pequeños segmentos paralelos y diagonales indican señales de transmisión neumática La Figura 4 muestra el diagrama de bloques del lazo de control de concentración de la corriente de salida. En cada bloque se despliega la función de transferencia correspondiente y en cada una de las conexiones las señales y las unidades correspondientes. Aparecen las variables de entrada al lazo de control feedback como cambios pasos pero es claro que no es la única variación que se puede aplicar a cada una de ellas.
Lazo de Control Feedback – Parámetros últimos La ecuación característica de un lazo cerrado de control está dada por:
Remplazando las funciones de transferencia se tiene que:
Evaluando para s = jw u, entonces K c = K cu se obtiene que:
Resultan entonces las siguientes ecuaciones:
(Parte imaginaria)
(Parte real)
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (A) y (B) se obtienen los siguientes resultados para los parámetros últimos del lazo cerrado de control feedback:
Frecuencia última de la respuesta: Ganancia última del controlador: Periodo último de la respuesta:
La Figura 5 muestra la respuesta oscilatoria de amplitud constante del lazo de control de concentración con un controlador proporcional y a cuya ganancia se le ha asignado un valor de
para un cambio paso unitario en el valor deseado de la c oncentración.
Figura 2: Diagrama de bloques en Simulink
Figura 3: Cambio paso en el fl ujo de reactantes
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Ejercicio 6.22. Considere en sistema mostrado en la figura 1. En cada uno de los tanques la
reacción que toma lugar es
. La velocidad de reacción esta dado por: , lbmol/gal*min -1
Donde k es el coeficiente de la velocidad de reacción min y Ca(t) es la concentración lbmol/gal. Las perturbaciones en este proceso son
y
, la concentración de salida del segundo
reactor es controlado manipulando una corriente de A puro en el primer reactor. La densidad de esta corriente es
en lb/gal. La temperatura en cada reactor puede ser asumida constante. Los
siguientes datos de diseño son conocidos.
Volumen del reactor Coeficiente de velocidad de reacción Propiedades de la corriente A Condiciones de diseño Válvula de control Rango de concentración transmisor
a.
V1=500 gal k 1= 0.25 min-1 lb/gal
̅
lbmol/gal psi
del
0.05 – 0.5 lbmol/gal
V2= 500 gal k2= 0.50 min-1 MWA=25
gal/min gal/min Característica lineal La dinámica de este sensor puede ser representado por una dinámica de primer orden con un
La válvula de control está sobredimensionada en un 100%. Calcule C v,y la ganancia de la válvula.
b. Deducir, a partir de principios básicos, el conjunto de ecuaciones que describen la composición del lazo de control. Indique todos los supuestos c.
Linealice las ecuaciones de la parte (b) y dibuje un diagrama de bloques de la composición del lazo de control. Muestre todas las funciones de transferencias con sus valores numéricos y unidades y todas las ganancias y constantes de tiempo, excepto para el controlador.
d. Obtengas las funciones de transferencia de lazo cerr ado
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
e. Calcule la ganancia y el periodo ultimo del lazo
Solución: Se realizan primero los balances necesarios para poder encontrar un modelo matemático.
Modelo Matemático:
Presunciones: o
Se considera que los reactores son de mezcla completa
o
Que la temperatura, densidad y volumen son constante, es decir,
o
Negligible transportation lags
Balance de masa en el reactor 1
(1)
Balance de masa en el reactor 2
(2)
(3)
Balance global
Como V y
son constantes, entonces (3), queda
(4)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Reemplazando (4) en (1)
(5)
Evaluando (6) en estado estacionario, tenemos
Valor de los parámetros en estado estacionario
Linealizando los términos no lineales en (5)
Reemplazando los términos linealizados en (5)
Evaluando en estado estacionario
(7)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Restando (6) y (7)
(8)
Definiendo las variables desviación
(9)
Reordenando términos con el fin de llegar al modelo de segundo orden
Determinando los parámetros dinámicos
(10)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Aplicando transformada de la place en (10), nos quedan las funciones de transferencia para este proceso
(11)
Llevando a cabo el mismo procedimiento para el reactor dos Balance de masa en el reactor 2
(2)
(3)
Balance global
Como V y
son constantes, entonces (3), queda
(4)
Reemplazando (4) en (2)
Evaluando (6) en estado estacionario, tenemos
Valor de los parámetros en estado estacionario
(11)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Linealizando los términos no lineales en (11)
Reemplazando los términos linealizados en (5)
(12)
Evaluando en estado estacionario
(13)
Restando (12) y (13)
(8) (14)
Definiendo las variables desviación
Reordenando términos con el fin de llegar al modelo de segundo orden
(15) (8)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
(16)
Determinando los parámetros dinámicos
Aplicando transformada de la place en (16), nos quedan las funciones de transferencia para este proceso
(17)
Reemplazando el valor de Ca1(s) en (17), tenemos
* +
(18)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
CAi(s)
G3(s)
Fi(s)
G2(s)
SP
CA2
(s)
KSP
E(s)
GC (s)
M(s)
GV (s)
FA(s)
H(s)
G1(s)
CA2(s)
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Válvula – Función de Transferencia La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico de primer despreciable. Podemos asumir:
Para estimar la ganancia estacionaria de la válvula se tiene en cuenta que es de características de flujo lineales y que su tamaño debe ser el doble del necesario en condiciones nominales (100 % de sobredimensionamiento).
Para un flujo de líquido el coeficiente de la válvula máximo es:
A partir de la siguiente figura se leccionamos un diámetro comercial
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Se selecciona una válvula de 3 pulgada (in) cuyo
Tenemos entonces
√ La válvula es de falla abierta y, por lo tanto, el signo del valor de la ganancia es positivo. La fórmula para hallar la ganancia de una válvula de caracte rísticas de flujo lineales es:
Y la función de transferencia de la válvula e s:
Sensor – Función de Transferencia La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico 0.5 min. Siendo el rango del sensor – transmisor de
, entonces la ganancia es dada por
CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS
Entonces la función de transferencia del sensor – transmisor es:
Funciones de tranferencia en lazo cerrado
Lazo de Control Feedback – Parámetros últimos La ecuación característica de un lazo cerrado de control está dada por:
Hacemos:
Sustituimos s = jw u, entonces K c = K cu se obtiene que
