Ejercicios de aplicación en integrales integrales para contabilidad contabilidad y administración R (q ) =
50 q
1. La función función de costo costo marginal marginal de un fabricante fabricante es . Si R esta en dólares calcule el cambio en el ingreso total si la producción aumenta de 100 a 400. Solución 400
∫
100
21 400 dq = 50 ∫ ( q ) dq = 50 2q ÷ q 100 100 = 50 ( 2 × 400 ) −50 ( 2 × 100 ) 400
50
−1 2
= 50 ( 2 ×20 ) −50 ( 2 1×0 ) = 50 ×40 −50 ×20 =2000 1−000 =1000 2. El costo marginal marginal para para el producto producto de un un fabricant fabricante e es
dC dq
24q − 3q 2 = 10 + 24
C f = 20
, y los costos costos os son la función de costo total
C ( q)
. !etermine
24q − 3q 2dq = ∫ 10 + 24 q2
C ( q)
= 10q + 24
C ( q)
= 10q + 12q 2 − q 3 + C
2
−
3q 3 3
+C
"omo los costos os son cuando # $ 0
C ( q)
= 10 ×0 +12 ×02 −03 +C =20 C ( q)
= 10 q + 12q 2 − q 3 + 2 0
Entonces La ecuación de costo ser%
3. El costo de producir dos unidades
C ( 2 )
12 × 2 2 −2 3 +20 = 10 ×2 +12 = 20 + 48 − 8 + 20 = 80
4. El costo promedio promedio por unidad cuando se producen producen & unidades unidades
Ejercicios de aplicación en integrales para contabilidad y administración C p ( q ) C p ( q )
=
C ( q) q
=
10q + 12q 2 − q 3 + 20 q
= 10 + 12q − q 2 +
C p ( 5)
20 q
20
= 10 +12 ×5 −52 +
5 = 10 + 60 − 25 + 4 = 49
Entonces
&. El ingreso marginal #ue una empresa obtiene de cierto producto es
dR dq
= 15 − 9q − 3q 2 . 'btenga las funciones de ingreso y de demanda
∫ 15 − 9q − 3q dq = 15q − 2
R (q ) = 15q − R (q ) = 15q −
9q 2 2 9q 2 2 9q 2 2
−
3q 3 3
+C
− q 3 + C − q3
La demanda es precio por cantidad
9q 2 9q 3 3 2 − q ÷ q = 15q − − q4 demanda = 15q − 2 2 (. La función de costo marginal para el producto de una empresa es
dc dq
=
20 q +5 . !etermine lo siguiente)
C f = 4000 La función de costo total si los costos os son
cos to =
•
20
∫ q + 5 dq =20 ln ( q + 5) + 4000
El costo total cuando se producen 100 unidades
C ( 100 )
= 20 ln ( 100 + 5 ) + 4000 = 20ln ( 105 ) + 4000
La función de costo promedio y el costo promedio cuando se producen 100 unidades
Ejercicios de aplicación en integrales para contabilidad y administración C p (q ) =
20 ln ( q + 5 )
+ 4000
C p (100) =
q
20 ln ( 100 + 5)
+ 4000
100
, entonces
dC dq
= 2e0,001q
*. Si la función de costo marginal es
y los costos os son
Cf = 2000 de
. !etermine La función de costo total •
∫
Costos = 2e •
0,001q
dq
=
2 0,001
e
0,001q
+ 2000 = 2000 ( e 0,001q + 1)
El costo total cuando se producen 200 unidades
C (200) = 2000 ( e 0,001×200 + 1) •
El costo promedio cuando se producen &0 unidades
C p (q ) =
C ( q) q
=
2000 q
(e
0,001q
+ 1)
Entonces
C p (q ) =
C ( 50 ) 2000 50
=
50
(e
0,001×50
+ 1) = 40 ( e 0,05 + 1 )
+. n minorista recibe un cargamento de 10.000 -ilos de arro #ue se consumir%n en un periodo de & meses a una raón constante de 2.000 -ilos por mes. Si el costo por almacenamiento es de /1. al mes "u%nto pagara el minorista en costos de almacenamiento en los próimos & meses3
ds dt
= ( cos to por kilo ) ( número de kilos ) = 0, 01( 10000 − 2.000t )
Entonces
S (t)
= ∫ 0, 01( 10000 − 2.000t ) = ∫ ( 100 − 20t )
dt
dt
= 100t − 10t 2 + C Si consideramos #ue cuando llega el cargamento cuando t$05 no 6ay costos
S ( t)
= 100t − 10t 2
Ejercicios de aplicación en integrales para contabilidad y administración 7or tanto el costo durante los próimos & meses ser%
S ( 5 )
= 100 ×5 −10 ×52 =$250
8. Se estima #ue dentro de meses la población de cierto poblado
2+6 x cambiara a una raón de personas por mes. La población actual es de &000 personas. "u%ntas 6abr% dentro de nue9e meses3
dP dx
P ( x )
= ∫ 6 + 2
= 6+2
x dx
x
=
2 x + 4x
3
2
+ C
"omo la población inicial es de &000
P ( x )
= 2 ×x +4 ×x
3
2
+5000
Y para los próximos nueve meses
P ( 9 )
= 2 ×9 +4 ×9
3
2
+5000 =5.126 [ personas ]
10.n fabricante 6a encontrado #ue el costo marginal de su producto
3q 2 − 60q + 400 es pesos cuando se 6an producido # unidades. El costo total de las primeras dos unidades es /800. "u%l es el costo total de producción & las primeras & unidades3
C ( q) Sabemos que el costo marginal es la derivada de la función de costo total así que
C '( q)
,
= 3q 2 − 60q + 400 , y por lo tanto
∫ C ' ( q ) dq = ∫ 3q
2
− 60q + 400 dq = q 3 − 30q 2 + 400q + K
Como sabemos que el costo de unidades es !"##, podemos determinar el valor de la constante
C ( 2)
= 23 − 30 ×22 +400 ×2 +K =900
K = 212 , entonces
Y por lo tanto
Ejercicios de aplicación en integrales para contabilidad y administración C ( q)
= q 3 − 30q 2 + 400q + 212
Y el costo de $ unidades
C ( 5 )
= 53 − 30 ×52 +400 ×5 +212 =$1.587.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Eorcisios &. 'a función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es
dR
=
dq
900 3
( 2q + 3 )
&&. (etermine el precio cuando la cantidad demandada es de ### unidades %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% . 'a propensión marginal al consumo, )*C, se de+ne como la fracción del ingreso adicional que una persona o país consume dado cierto nivel de
PMC =
dC dI
ingreso actual, es decir , donde - es el ingreso y C es el consumo total. Si la propensión marginal al consumo de cierto país est dada por
dC dI
•
•
1
9
2
5 3 3I 2
= +
, donde el consumo y los ingresos totales estn medidos en miles de millones de pesos, determine/ 'a propensión marginal al consumo cuando el ingreso nacional es -01& mil millones 'a función de consumo si se consumen & mil millones cuando los ingresos totales son de 2 mil millones
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. 'a propensión marginal al aorro, )*S, de una persona o país es la fracción
PMS =
dS dI
del ingreso adicional que se aorrar, es decir . )or de+nición, la )*S est relacionada con la propensión marginal al consumo por
PMS
= 1 − PMC
I , ya que
= C + S . 'os ingresos adicionales se gastan o se
aorran. Suponga que la propensión marginal al aorro de cierto país est dada por
dS dI
=
5 2
( I + 2 )
, donde tanto - como S estn medidos en miles de millones. Si le
Ejercicios de aplicación en integrales para contabilidad y administración consumo nacional es de " mil millones cuando el ingreso total nacional es de &# mil millones •
4para qu5 valores de - el aorro nacional es igual a cero6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. 'a ganancia marginal asociada a la producción y venta de cierto tipo de cafeteras es
d π dq
•
= −0, 0003q 2 + 0, 02q + 20
Calcule la ganancia total por la producción y venta de # artículos por día si
C f = 800 los gastos +7os diarios son %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dC dq
= 30 + 0,05q
$. 'a función de costo marginal de una empresa es
C f = 1000 • • •
(etermine la función de costo total si los costos +7os son al mes 4Cunto costara producir &1# unidades al mes6 Si los artículos se pueden vender a !$# cada uno. 4Cuntos artículos deben producirse para maximi8ar la ganancia6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% π
'( q)
= 5 − 0, 002q
9. 'a función de utilidad marginal de una empresa es vender &## unidades, la empresa obtiene utilidades por !3$#. 4Cul es la función de utilidad de la empresa6
, y al
•
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% :. El costo marginal para el producto de un fabricante esta dado por
dC dq •
= 1,16 − 0,005q , y el costo +7o es de !3,. (etermine la función de costo total y la función de costo promedio
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
R ' ( q )
= 16 − 12q − 3q 2
1. Si la función de ingreso marginal de un producto es (etermine la función de ingreso total y la función de demanda
.
•
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ". ;na empresa que fabrica y vende materiales de o+cina a determinado que la función de ingreso marginales asociada con la venta de cierto articulo est
Ejercicios de aplicación en integrales para contabilidad y administración R ' ( q )
= −0, 0004q + 4
R ' ( q )
dada por , donde q es el n
• • •
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% &#. Se estima que dentro de t meses la población de cierto poblado cambiara a 2
4 + 5t 3 ra8ón de personas por mes. Si la población actual es de &#.### personas. 4Cul ser la población dentro de 1 meses6 •
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% &&. Se estima que dentro de t a=os el valor de cierta propiedad se incrementara
r ( t ) a ra8ón de miles de pesos por a=o. (etermine una expresión para la cantidad que aumentara el valor de tierra durante los próximos $ a=os. •
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&. ;n fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores
5000 + 60 x f ( x ) = compren
bicicletas por mes a un precio de ;.S.!
80 + 3 x •
cada una. 4Cul es el ingreso total que le fabricante puede esperar de la venta en los próximos &9 meses6
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
>tte El profe
$?&#?#&3 >ctuali8ado #$?&&?&3
