UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES EJERCICIOS PROPUESTOS ASIGNATURA: ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES
PROFESOR DE LA ASIGNATURA: ASIGNATURA: ING. CANO CANO ESPADA
Verifique si la función dada es solución de la ecuación diferencial planteada:
16) y = C 1 e 2 x + C 2 e x + C 3
1) ( 1 – x ) y 2 = x 3 ; 2 x 3 y´ = y ( y 2 + 3 x 2 ) 2) y = C 1 x + C
2
e
Determinar la ecuación diferencial con las condiciones
x
; ( x – 1 ) y ´´ – x y ´ + y = 0
3) y = e arc sen c x
; x y´ = y tg ln y
4) x = t + arc sen t
; X = y ´ + arc sen y ´
2
y=
5) y =
t 1 t 2 x
e x
x
t dt x e e 2
parábola “y 2 = 4 x y tangente al eje x. ”
2
; y ´ - 2 xy = 1
fuerza resistente proporcional a su velocidad. ; x y ´ = y + x sen x
t
0
20) Una partícula de masa m se mueve a lo largo de
una línea recta (el eje x) estando sujeta a una
x sen t dt
x 2 = 2 y + 1
19) De todas las circunferencias de centro en la
0
6) y =
17) De todas las tangentes a la parábola:
18) De todas las circunferencias del plano x o y
2
2
dadas:
21) La población P de una ciudad aumenta a una
velocidad proporcional a la población y a la diferencia entre 2000000 y la población.
Hallar el valor de r, para que las funciones dadas sean soluciones de las ecuaciones diferenciales. 7) y = x r
;
22) Para cierta sustancia la velocidad de cambio de
presión de vapor (p) respecto a la temperatura (T) es proporcional a la presión de vapor e
x y ´´ + y ´ = 1
inversamente proporcional al cuadrado de la 8) y = e
rx;
2 y ´´´+ y ´´ - 5 y ´ + 2 y = 0
9) Z = e r x + y
;
Z xx= 4 Z yy
10) Z = x e r y
;
XZyx
–Zy +
temperatura. 23) La diferencia de potencial E a través de un
Z x = 1
elemento de inductancia i nductancia L es igual al producto de
L por la velocidad de cambio de la corriente i en Hallar las ecuaciones diferenciales 11) x 2 + y 2 = C 2
la inductancia.
RESOLVER:
12) x 3 = C ( x 2 – y 2 ) 24) Sea y ´ = r y , en 13) y
14)
2 +
1 x
2 C e
x Ln 1 a y y
15) y = a x 3 + b x 2 + c x
y
x ,
r constante. constante.
2
Demostrar que si
2
es una solución cualquiera, r x
y (a es un parámetro)
( x)
( x) ( x) e C , C consante
entonces
25) Si y ´+ 5 y = 2
34)
a) Demostrar que la función ( x)
2 5
y ´ 2 y q t , y 0 0 , donde:
c. e 5 x
es una solución de la ecuación.
b)
Si
( x) es
q t
la solución de la ecuación
diferencial, hallar la solución particular sí
Hallar
, tal que 1 3 0
cada una de las ecuaciones diferenciales. y´+2y=0
27)
y ´´ + y ´ + y = 0
28)
y ´´´ - 3 y ´´ + 2 y ´ = 0
29)
t 2 y ´´ + 4 t y ´ + 2 y = 0
30) Mostrar que ( x)
31) Mostrar que (t ) para t > 0 , pero
36) x
e
2x
t
no es solución de la
Mostrar
que
y c y1 x ( x) es también solución de esta ultima ecuación para cualquier valor de c.
cualquier
y
38)
3 e y tg y 2 e x sec2 x. y´ 0
39)
1 e y y ´ e
y ´ a y
be
real.
comportamiento de y cuando
t
Determine
t .
42)
x 1 y 2 Ln y Ln x
el
x
dy
2
x 4 y 2
dx 0
x
1 y e y dy 0
y y ´ 1 x 2 0
43) 3 e tg y dx 1 e
44) y ´
son constantes positivas y b es número
x
40) x y 1 dx x 41)
y ´ p ( x) 0 y si y ( x) es una solución de
a
y ´ x e x y
es solución de la ecuación
33) Considérese la ecuación
d y cos 2 y dx 0
2
ecuación diferencial para cualquier valor de c.
q x .
2
37) es solución de la
es solución de y ´+ y 2=0
y c . (t )
y y1 ( x)
c2 e 2 x , Si y 0 1 , y ´0 2
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
ecuación y ´- 2 y =0.
1
y ´ continuas en x = 1).
35) Hallar la curva de la familia
y ´ c1 e x
26)
Donde
; t>1
continua en x = 1. Nótese que es imposible hacer ambas: y y
y ´ p ( x) y
0
Entonces igualar las soluciones a fin de que sea
r t
32) Si
; 0 ≤t ≤1
para 0 < t < 1 y para t > 1.
Para que valores de r tienen soluciones de la forma
y e
1
(Sugerencia: Resolver la ecuación diferencial
(1) 2 . c)
Se tiene el problema con valor inicial
x
dy cos 2 y
0
x y x y
1 1 y x 45) dx dy 0 2 2 2 2 x y x y y x x y y
46) y ´ e x
y x
47) y ´
1 x y
68) 2 x y ´ y
1 x y
69)
48) x y ´ 2 x y y ln y 2
49) x
3 x 2 dy xy dx
4
51) 2 x
4
3 y 2 7 x dx 3 x 2 2 y 2 8 y dy
52) 2 x y dx x
x 2 y 2
53)
y x y´ 0
54) arctg y dx
55)
y dx x dy
x y 2
dy
y
1
73)
0
x
dx e seny x x
dy
2
cos y
74)
57) 1 tg xy dx sec xy tg xy x sec xy . 2
y dy x dy 0
2 1 2 0 x y dy x y dx x
y
2
ln x dx x y 3 dy 0
Hacer
x e u , y v
75) x y dx x 2
xy 3 58) y e dx x e y dy 0
3
1
2
y 5 dy 0 ; hacer x u . y
x
y
59) Si a d b c satisfacer
y ´
0
Hacer u = x + y
56) 2 x seny e cos y
tx dt n x
Resolver cada una de las ecuaciones diferenciales
dy 0
1 y 4
e x 1 x n
haciendo el cambio de variable indicado.
2 x y
2
n y
x 1 2 2 2 71) dy y dx 2 x y dx x 72)
4 y dy 0
2
x 2 a 2 x 3 x 2 a 2 2 2 2 3 y ´ y 2 2 x x a y x a
70) y ´
50) y ´ 2 x y 1
3 x2
e y 1
0 ; hallar la condición que deben b
y
a x b y c x d y
c
para
que
sea exacta.
la
ecuación
Hacer
1
x
dx dy 0 y y
x u e v
, y v
77) Determine la ecuación de una curva que pasa por el punto (1,1) con la propiedad de que el intercepto
60) y ´2 x y 2 x e 61) x y´ y
76)
x2
y ln x
en el eje x de su recta tangente es igual al intercepto en el eje y de su recta normal.
2
78) Un punto se mueve en el primer cuadrante del
62)
x seny 2 sen2 y y ´ 1
plano x y de modo que la recta tangente a su
63)
y ´ y cos x sen x cos x
trayectoria forma con los ejes coordenados un
64) 8 x y ´ y
65) y ´
1
y
3
x 1
y 2 y ln y y x
triángulo cuya área es igual a la constante a 2. Hallar la ecuación de la trayectoria.
79) Hallar la ecuación de la curva de manera que la longitud de la curva desde el origen al punto variable P (x , y) es igual al doble de la raíz cuadrada de la
66) y ´
2 x y x
2
y 2 a 2
sen y x cos y x 0
67) y ´
abscisa del punto.
a) Hallar su velocidad como función del tiempo, sabiendo que la resistencia en libras es 10000 v, estando la velocidad medida en pies por segundo. b) Hallar la velocidad terminal (esto es, V cuando
80) En cada punto P (x , y) de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa. Hallar la curva si pasa también por el punto
t en millas por hora; g = 32 pies/ seg2).
(1 , e ).
81) Hallar la familia de curvas para que la longitud de la parte de la tangente entre el punto de contacto P(x , y) y el eje y es igual al segmento interceptado en
y por la tangente. 82) Hallar una curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje 0x y las dos ordenadas x = 0 , x = x y
2 sea una función dada de y : Q a ln a .
83) Halar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,0), sabiendo que el segmento de la tangente
v 20 1 e
Rpta.:
t 300
a) b) V = 20 89) Se dispara verticalmente un proyectil desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial de 1000 pies por segundo. Prescindiendo del efecto de la atmosfera y suponiendo la fuerza de la gravedad constante, estímese la máxima altura alcanzada por el
proyectil g 32,2 pies / seg 2 . 90) Una masa de 4 unidades técnicas de masa se desliza sobre una superficie. El rozamiento es igual a cuatro veces la velocidad, y la masa está sometida a una fuerza de 12 sen2t libras. Hallar la velocidad en función de t si v = 0 cuando t = 0.
V
3
sen2t cos 2t 2e t
a dicha curva comprendido entre el punto de
Rpta.:
contacto, el eje 0y tiene longitud constante e igual a
91) Un hombre y su embarcación pasan 320 lb, si la fuerza ejercida remando en la dirección del movimiento es 16 lb., y si la resistencia (en lb) al movimiento es igual al doble de la velocidad (pies / seg); hallar la velocidad 15 segundos después de que la embarcación haya empezado a moverse.
y
4 x 2
2 ln
2
4 x 2 x
84) La normal en un punto P(x , y) de una curva corta
al eje de las X en M y en N al eje de las y. Hallar la ecuación de la curva, sabiendo que N es punto medio de PM.
Rpta.: 7,6 pies / seg . 2,32 m / seg . 92) Una de las ecuaciones fundamentales en circuito eléctrico es:
L 85) Se da un punto Q(0 , b) sobre el eje y.
Calcular la ecuación de una curva, sabiendo que por un punto P (x , y) cualquiera de la curva, se traza una tangente a la curva, esta corta al eje 0 x en el punto R (a , 0), que equidista de Q y P. Además la curva pasa por el punto ( 2
di dt
Ri E t
Donde L (henrios) se denomina inductancia. R (ohmios) la resistencia, i (amperios) la corriente y E(voltios) la fuerza electromotriz o f.e.m (consideremos R y L constantes). a) Resolver cuando E ( t ) = E 0 y la corriente inicial es io
2 ,3) .
86) Hallar la ecuación de la curva, sabiendo que la longitud de la tangente es igual a la distancia desde el punto de intersección de esta tangente con el eje 0 x hasta el punto M (0 , a) sobre el eje 0 y .
b) Resolver cuando L = 3 henrios, R = 15 ohmios, E ( t ) es la onda sinusoidal de amplitud 110 voltios, ciclo 60, e i = 0 para t = 0
E 0 R t L R t L i0 e a) i R 1 e
Rpta:
87) Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas por hora y en el momento en que se agota el combustible, si el agua se opone a su movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad y si en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas por hora. ¿A qué distancia se detendrá? Rpta.: 2 millas 88) Un barco que pesa 48000 toneladas parte del reposo bajo el impulso de una fuerza propulsora constante de 200000 libras.
5
b)
i
22 3 1 576 2
1 2
sen 120 t
176 e 5 t 1 576 2
93) Si en un circuito contiene una resistencia R, un condensador de capacidad C en serie y un f.e.m, E, la carga del condensador q está dado por:
R
dq dt
q c
E
-3
Si R = 10 ohmios, C = 10 faradios y E ( t ) = 100 son 120 πt voltios. Hallar: a) q , suponiendo que q = 0 para t = 0. b) Emplear i
a) q
2 25 36 2
1 2
dt para hallar i
sen 120 t
3 e 100 t
60
25 36 2
1
2
y y ´2 e y
98)
x ln y´ sen y´
99)
y y´ ln y´
25 36 2 100) x
b)
i
97)
dq
Suponiendo que i = 5 amperios cuando t=0 Rpta:
1
Resolver:
300 100 t e 5 2 25 36
cos 120 t
1 y´ 1 2
y´ 1 y´ cos y´
101)
y
102)
2 y x y´ y´ ln y´
103)
y
94) Supongamos quela oferta y la demanda están
dadas en términos de precios p por S = 60 + 2 p , D = 120 - 3p, respectivamente, la constante de
proporcionalidad es
λ = 4.
104)
Determine el precio en cualquier tiempo t > 0
3 2
x y´
y´
+e
x y ´2 y y ´ y ´1 0
dp ( asumiendo que p = 8 en t = 0 dt S D ) .
105)
y x y´a 1 y´2
95) La oferta y la demanda de un cierto bien está dado
106)
x
por miles de unidades, respectivamente, por D = 120 + p ( t ) – 5 p´ ( t )
y y ´
1 y ´2
Demostrar que las siguientes funciones es solución de las
S = 60 – 2 p ( t ) – 3 p´ ( t ) . En t = 0 el precio del bien
ecuaciones diferenciales indicadas.
es 5 unidades. a) Encontrar el precio en cualquier tiempo
107)
y e 2 x 3 cos x 2 senx ,
y ´´ 2 y ´ 2 y 0
posterior y obtener su grafica. b) Determine si hay estabilidad de precio y el
108)
precio de equilibrio si existe.
la utilidad neta mensual P en función del gasto 109)
y C 1 x C 2 x
y y ´´ x 2
dP entre una cantidad fija S/. 11000 y P ; esto es dX es proporcional a 11000 – P. Además, si no se gasta en
110)
2
2
x
x t 2 ln t 1 C 1
S/1000, si se gastaron S/.100 en publicidad mensual, la
y ´´ 1 2 ln y ´ 1
mes?
(X>0)
x y ´ x 1 y 0
y t 2 ln t C 2
neta mensual si se gastaron S/.200 en publicidad cada
,
et t dt
publicidad mensual, la utilidad neta mensual es de
utilidad neta mensual es S/.6000. ¿Cuál será la utilidad
3 x
y ´´ 6 y ´ 9 y 0
96) Una empresa determina que la razón de cambio de
publicitario mensual X , es proporcional a la diferencia
y C 1 C 2 x e
126) Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la
Integrar las ecuaciones 111)
velocidad V. Durante la caída, el cuerpo experimenta
x
y ´´´ = x e , y (0) = y´ (0) = y´´ (0) = 0
una resistencia que es proporcional al cuadrado de la
IV
112) y = x
velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.
113) y ´´´ = x lnx , y (1) = y´ (1) = y´´ (1) = 0
d x Rpta: m mg k d t 2 d t d 2 x
114) y ´´´ = x + cos x 115)
116)
117)
118)
y ´´
2
5 y´6 0
1 x y´´ y´ 2
x y ´´ y ´ ln 2
y ´´
x
2
m k
ln
Averiguar
1 0
e t e t
si
las
;
2
funciones
y ´
dadas
son
linealmente
x
2
128) 1 , 2 , x , x
x x 2 x 129) e , x e , x e
130) 1 , sen x , cos 2x
y ´2 y ´4 2
2
132) 1, sen2x,(senx – cosx)
y ´´ 1 2 ln y ´ 1 2
y ´´ y ´2e y ´
121) y ´´
y ´ x x
3
133) loga x , loga x ,loga x (x > 0)
1
134) 1 , arc sen x , arc cos x
2
, y2 0 ,
y ´
y ´2 4
122) 2 y ´´ ln y ´ y ´ , y 1 6 e
3 y ´´ 1 y´
2
123)
m
127) 2 , x
2
120)
Kg
independiente en su campo de definición:
131) 4 , sen x , cos x 119)
2
3
2
, y ´ 1 e 2
135)
e
a x
2
a x
,e
2
2
2
x
a t 2
0
2
dt
Hallar el Wronskiano de los sistemas de funciones 2
indicadas 124)
y ´´ 1 2 ln y ´ 1 , y 0 0
y ´ 0 1
x , 125)
Hallar una curva que pase por el origen de
136)
1 x
x
137)
coordenadas, de modo que el área del triangulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje 0x sea proporcional del área del trapecio mixtilíneo formado
1 138) 2 , senx , sen2x 140) x sen x , x cos x 2
2
141) 1 , sen x, cos x
por la curva, el eje 0x y la ordenada de este punto. 142) π , arc sen x , arc cos x Rpta: C X = y
2k-1
1 k 2
e , x e
139)
x
1
,
e
x
x
Demostrar que los sistemas son linealmente
Determinar la ecuación diferencial homogénea, la forma de
independientes
solución particular de la ecuación diferencial lineal no 2
homogénea si se conocen las raíces de su ecuación
143) Lnx , x Lnx , x Lnx
e
a x
a
a x
144) 145)
,e
b x
e
,
senbx ,e
ax
cosbx
, f(x) = a x + b x + c
158) r 1 = 1 , r 2 = 2
-x , f(x) = e (ax + b)
159) r 1 = r 2 = - 1
-x , f(x) = e (ax + b)
e 5 x
160) r 1 = - i , r 2 = i
, f(x) = sen x + cos x
12
-x 161) r 1 = - 1 - i , r 2 = - 1 + i , f(x) = e (a senx + b cosx)
cx
y
c1 e c2 e 2 x
146)
a b c
y ln sen x c1 c 2
-x x 162) r 1 = 0 , r 2 = 2 , r 3 = 3 , f(x) = a e + b e
147)
x c1
2
157) r 1 = 0 , r 2 = 1
Formar la ecuación diferencial, dada la solución: x
característica y al segundo miembro f(x):
c 2 y y ln y
148)
y c1 cos 3 x c 2 sen 3 x 149)
1 32
163) r 1 = i , r 2 = - i , r 3 = 1 , f(x) = sen x + cos x
4 x cos x senx
164) r 1 = r 2 = α ,
2
f(x) = (a x + b x + c) e
α x
,
1 , 0 Averiguar si la función dada es solución de la ecuación 165) r 1 = 3 – 2 i , r 2 = 3 + 2 i , r 3 = r 4 = 0 diferencial.
150)
y e
2 x
. cos 3 x
de
y ´´ 4 y ´ 3 y 0
y e
2 x
y ´´´ 3 y ´´5 y ´ 2 y 0
166)
y ´´ 7 y ´ x 1
167)
y ´´´ 2 y ´´ y ´ 2 y x
168)
y ´´ 4 y ´ 4 y x e 2 x x 3 e 2 x
y ´´2 y´15 y 0
169)
y ´´ 2 y e x
y ´´´ y ´´2 y ´ 0
170)
y ´´ 8 y ´16 y 1 x e 4 x
de
y e
2x
y
. senx
IV
de
y ´´ 4 y ´13 y 0
Resolver: 153) 154)
3x
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
151)
152)
f(x) = (sen2x + cos2x) e
,
2
2
e x
2
3 x
155)
156)
y
IV
y
VI
6 y ´´´12 y ´´ 8 y ´ 0
9 y 24 y ´´16 y 0
171)
4 y ´´ 3 y ´ x e
4
172)
IV
y ´´´ y ´´ 4 y ´ 4 y 2 x 2 4 x 1 2 x 2 e 2 x 173)
y ´´ y sen x
174)
y ´´ 2 y ´ e x sen x
175)
y ´´ 6 y ´13 y e
176)
y
IV
y 1
3x
cos 2 x
5 x e 2 x e 2 x
IV
2 y ´´´ y´´ x e x
y
177)
y
178)
y ´´ 4 y x sen 2 x
179)
y ´´ y 2 sen x 4 x cos x
195) Hallar el área bajo la curva y sobre el eje x , sabiendo
180)
y ´´ 9 y x e
que esta curva es tangente a la recta y = 4 en x = 0 y
De intersección de la tangente con el eje x es : x
2
2x
y 2 k 1 c x
Rpta.:
sen 2 x
y ´ )
y ´
181)
y ´´´ y sen x
satisface la siguiente ecuación diferencial: y ´´
182)
y ´´ 3 y ´ 2 y 3 x e x 1 e x
Rpta.: y = 4 – x y el área es 32/3 u
183)
5 y ´´´ 7 y ´´ 3 0
196) Hallar la longitud de la curva y = f(x) desde x = 0
184)
y ´´ 2 y ´ 5 y e x 1 2 sen 2 x 10 x 2
185)
y
IV
2
y ´´ x x
y ´´
186) y ´´ 6 y ´ 9 y x 2 x 3 , y 0 187) y ´´´ y 2 x
4 3
; y ´0
1 27
0 ; y0 y ´0 0 , y ´´0 2
188)
189)
y ´´ 4 y ´ 5 y x e 2
x
, y 0 2 , y ´0 3
e
e x 2
.
Rpta.: 11752
197) Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la
ecuación:
d 2 x d t 2
y IV y 8 e x ; y 0 1 , y ´ 0 0 , y ´´0 1 , y ´´´ 0 0
2
hasta x = 1, sabiendo que pasa por el punto ( 0,1 ) y que x
2
4 y
9
d x d t
20 x 0
A partir de un punto a 2m. a la derecha del origen, la partícula en el tiempo
t = 0
seg. se dispara hacia la
190) y ´´ 4 y 2 sen x , y 0 y ´0 0
izquierda con una velocidad de V = 12m / seg.
191) Una partícula se mueve sobre una recta de modo
Hallar:
que el producto de su velocidad y aceleración es
a) El tiempo en que la partícula pasa por el origen
2
3
constante, digamos 2m /seg . En el instante t = 0, su desplazamiento desde el origen es 5m y su velocidad es cero. Hallar su posición y velocidad cuando t = 9 seg. 192) Hallar la curva en el plano XY que pasa por el
punto (1 , 1), se interseca con la recta y = x a ángulo recto y satisface y ´´ x + 2 y ´ = 0.
Rpta: XY = 1
b) El desplazamiento máximo negativo c)
La velocidad máxima (positiva) Rpta.:
a) t = Ln2 = 0,6931 seg. b) cuando v = 0, x = -0,01024 m. c) Si v ´ 0 t ln 25 V = 0,01677 m/seg. 8
198) Una partícula se mueve a lo largo del eje X de
193) Hallar la curva que pasa por el punto ( 0,0 ) para la
que y´´ 12 y y la tangente en ( 0,0 ) es el eje x. 4
Rpta.: y = x . 194)
Hallar una curva que pasa por el origen de
coordenadas de tal manera que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje x , sea proporcional al área bajo dicha curva , acotada por el eje x y la ordenada de este punto. (Sugerencia: el punto
acuerdo con la ley:
d 2 x d t 2
4
d x d t
13 x 0
Si esta partícula empieza su movimiento en x = 0, con una velocidad inicial de 6 m/seg. hacia la izquierda . Hallar: a) X en función de t. b) Los tiempos en que se producen las paradas. Rpta.: a) X = - 2 e
-2t
sen 3t
b) t 0,33 n
3
radianes, n 0,1, 2, 3...
199) Una cadena de 6 m. de longitud se desliza desde
203) Un circuito consta de una inductancia de L = 0,5
una mesa sin razonamiento. Si el movimiento comienza
henrios, una resistencia R = 20 ohmios, un condensador
desde el momento en que se cuelga 1m. de la cadena
cuya capacidad es C = 0,0025 faradios y una f.e.m.
¿ Cuánto tiempo tardará en deslizarse toda la cadena?
= 100 voltios. Hallar la carga y la corriente, sabiendo que
( Sugerencia :
d 2 x d t 2
k
m
6 t Ln 6 Rpta.: g
E
en t = 0 Q = 0 e I = 0
x ; K g ) .
Rpta.: Q 0,25
35 seg .
I = 10 e
200) Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano
horizontal a causa de la acción de un golpe que ha
e
20 t
cos 20t sen20t 1
-20t
sen20t.
204) Un circuito tiene L = 10 henrios, R = 90 ohmios,
C = 0,005 faradios y un voltaje de E = 500 sen t. En t = 0 no hay carga en el circuito, pero si hay una corriente inicial
originado una velocidad V0. sobre el cuerpo actúa la fuerza del rozamiento igual a -Km. Hallar la distancia
de 0,5 amperios; hallar la carga del condensador. Rpta.:
que es capaz de recorrer el cuerpo. 2
( Sugerencia : m
d s d t 2
v
Q
2
Rpta.: s 2 k
Km) . -3
201) Un condensador de 10 faradios está en serie con
una f.e.m de 20 voltios y un inductor de 0,4 henrios. En t = 0 , Q = 0 e I = 0. a) Encuentre la frecuencia natural y el periodo de las oscilaciones eléctricas.
Rpta.:
a)
2
Período
50
25
seg . f recuencia
442
4 t
119 e 5 t
25 221
9 cos t 19 sent
y ´´ x y ´ y 0
205) x
2
206) x
2
25 209)
y ´´2 x y ´6 y 0
x 22 y ´´3 x 2 y ´ 3 y 0
208) x
169 e
Resolver las siguientes ecuaciones de euler:
207)
b) Encuentre la carga y corriente máxima.
9
y ´´´3 x y ´´ 3 y´ 0
2
2 x 22 y ´´´2 2 x 1 y ´´ y´ 0
ciclo por seg. Resolver
b) 0,04 culombios, 1 amperio.
los
siguientes
sistemas
de
ecuaciones
diferenciales: 202) Una resistencia de 50 ohmios, un condensador de
210)
0,005 faradios, un inductor de 2 henrios están en serie con una f.e.m de 40 voltios y el interruptor abierto.
211)
d x d t d x
Encuentre la carga instantánea y la corriente después de que el interruptor se cierre en t = 0 , asumiendo
d y
que a ese tiempo la carga en el condensador es 4
d t d x
Rpta.:
-5t
Q = 5,07 e
I = 25,4 ( e
– 1,27 e
-20t
-5t
-20t
+ 0,20
- e ) aproximadamente.
212) d t
d t
2 x 2t
3 x y 0
d t
culombios.
d y
3 2 y ,
, X (0) = Y (0) = 1
x y 0
y z
d y ,
d t
z x
d z ,
d t
x y
213)
d x d t d y
d t
x y z t 1
d x 214)
225)
1 x
d t d z
Hallar f (t) si
2 x y 2 z t 2
e t y 5 x
d t d y
227)
, x (0) 119 , y 0 211 900
e 2 t x 3 y
d t
229)
900
{ f (t) } es igual a:
s 2
s 226)
s 22 1
s 12 4
s 1 3 s
1 228) 45 1
4
1 4 5 1
75 4
s 230)
6 s 2 4
s 2 9
Usar el teorema de la derivada de la transformada para encontrar F(s):
d x
215) d t 4 x y
, x (0)
d x d t
d x 216) d t
2
d x d t d x
217) y
4
dy
dt
dt
4 y
e t y
dt dy
dy
sen t 2 y
{ t sen h3 t } Rpta.:
232)
{ t e }
dy x
d p
2 xy x 2
q
233)
5 -t
Rpta.:
p
dx x y
234)
{ t cos 2 t }
Rpta.:
s
2
9
2
120
s 16 6 s 4
144 s 2 96 s 2 42
x y
222) e
223) L cosh at cos at s 4
-2t
2 s 2 s 2 2 s 2
s 1
235)
senh t t
Rpta.:
236)
e a t e a t t
Rpta.: Ln
237)
1 s 2 b 2 cos a t cos b t Rpta.: Ln 2 t 2 s a 2
238)
sen 4t t
1 2
Ln
s 1
sen n π t
s b s a
3
4a 4
a s
Rpta.:
hallar F(s):
Demostrar que:
s
{ t e cos h t }
s 2
Usar el teorema de la integral de la transformada, para
220) cos t
221) sen (ω t + θ)
-t
dy
2
219) 3 t + 4
L cosh at senat
3
6 s
d p
Hallar la transformada de Laplace
224)
231)
, x (0) 2 , y 0 1
t d t 218) y 2
1 , y 0 0
2a 2 4 4 s 4a 2
Rpta.:
2
arc tg
5 4
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformada de Laplace
239) y ´´ y 0
, y0 1 , y ´ 0 1
240) y ´´ 2 y ´2 y 0
, y 0 0 , y ´ 0 1
241) y ´´ k y ´2 k 2 y 0 242) y ´´ 2 y ´3 y 0
, y 0 2
, y ´ 0 2 k
, y 0 3 , y ´ 0 2
243) y ´´´ 3 y ´´ y ´3 y 3 , y 0 y ´ 0 0 ; y ´´0 2 244) y ´´´ 9 y ´´26 y ´24 y 1 , y 0 y ´ 0 0 ; y ´´0 1 245) y ´´ 2 y ´ y
t e t , y 0 y ´ 0 0
246) y ´´´ 4 y ´´5 y ´2 y 6 e , y 0 y ´ 0 y ´´0 0 t
247)
y ´´ 4 y´5 y 0
248)
y ´´ 8 y ´17 y e t
, y 0 y´0 1
249) y
IV
2 y ´´ y 0 , y 0 y ´ 0 0, y ´´0 2 , y ´´´0 2
250)
y ´´25 y 2 sen5t , y 0 1 ,
y´ 0 0