MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
Libro 3 http://matemelga.wordpress.com/
Compré una gabardina, un gorro y unas zapatillas y pagué, por todo, 140 euros. La gabardina me costó 90 euros más que el gorro, y la gabardina y el gorro untos me costaron 1!0 euros más que las zapatillas. "Cuánto me costó cada prenda#
$%L&C'() Si el gorro y la gabardina me costaron 120 euros más que las zapatillas y todo me costó 140 euros, gorro y gabardina me costaron 130 euros en total y las zapatillas 10 euros. Por otro lado, como la gabardina me costó 90 más que el gorro y las dos prendas juntas costaron 130 euros, el gorro me costó 20 euros y la gabardina 110 euros. En resumen,
la gabardina costó 110 euros, el gorro costó !0 euros y las zapatillas costaron 10 euros
Compré una gabardina, un gorro y unas zapatillas y pagué, por todo, 140 euros. La gabardina me costó 90 euros más que el gorro, y la gabardina y el gorro untos me costaron 1!0 euros más que las zapatillas. "Cuánto me costó cada prenda#
$%L&C'() Si el gorro y la gabardina me costaron 120 euros más que las zapatillas y todo me costó 140 euros, gorro y gabardina me costaron 130 euros en total y las zapatillas 10 euros. Por otro lado, como la gabardina me costó 90 más que el gorro y las dos prendas juntas costaron 130 euros, el gorro me costó 20 euros y la gabardina 110 euros. En resumen,
la gabardina costó 110 euros, el gorro costó !0 euros y las zapatillas costaron 10 euros
En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ponerse ambas fichas?
SO!"#$% Como hay &' escaques, hay &' maneras de colocar una de las fichas. La otra ficha tendrá &( posiciones libres para ponerla por cada situación de la anterior: en total, &' ) &(. En conclusión,
se pueden colocar las dos fichas de '*(+ maneras diferentes
En una ciudad, cuyo plano es el de la figura, se desea ir de la casa situada en la parte superior a la otra. ¿Cuántos caminos diferentes posibles, con la misma longitud que el marcado, pueden llevar de una casa a la otra?
SOLC!"# Numeremos la posibilidad de caminos en cada intersección (desde la casa inicial) y veremos, rápidamente, el número de ellos:
Puede observarse que para llegar a cada cruce, el número de caminos distintos es la suma del número de caminos distintos de los cruces colocados en su lado superior y en su lado izquierdo. as sucesivas diagonales de la trama !orman el triángulo de "artaglia (o de Pascal), por lo que ser#a sencillo ampliar el resultado a un plano de
n
7 7 $ n parcelas. $n este e%ercicio, la cantidad es + = 35 + 35 . 3 4
Por tanto,
%ay &' caminos distintos para llegar de una casa a otra
Tres cazadores disparan, a la vez, a un conejo. El primer cazador suele acertar 3 veces de cada 5 disparos, el segundo lo consigue 3 veces de cada 10 y el último solamente una vez de cada 10. ¿Cul es la pro!a!ilidad de "ue al menos uno de los cazadores le de al conejo#
$%&'C()* Las probabilidades de acierto de cada uno son, sucesivamente individuales de fallo son
2 5
,
7 10
y
9 10
3
,
3
5 10
y
1 10
, por lo que las probabilidades
.
Según esto, la probabilidad de que fallen los tres será que acierte alguno será la contraria: 1 −
63 250
=
187 250
=
2 5
×
7 10
×
9 10
=
63 250
. En conclusión, la probabilidad de
0,748
Por tanto,
la pro!a!ilidad de "ue algún cazador acierte al conejo es 0,+-
Un equipo ciclista está entrenando para la Vuelta a España yendo todos los corredores con una velocidad constante de 35 kilómetros por hora. En un momento dado, uno de ellos se escapa a una velocidad de 45 kilómetros por hora y recorre ! kilómetros. "nmediatamente, y siempre a la misma velocidad, re#resa y se reinte#ra en el #rupo. $%u& tiempo ha transcurrido desde que se 'ue hasta que volvió con los demás corredores(
)*+U"- Llamamos t al tiempo, en horas, buscado. Durante ese tiempo, el grupo ha recorrido 35t kilómetros, y el corredor 45t kilómetros. Los la suma de esos kilómetros son los que ha hecho el pelotón más los que ha hecho el ciclista solitario en su ida y en su vuelta: 20 kilómetros eactamente, pues en el regreso el corredor llega hasta el complemento, que ha hecho el grupo, a los !0 kilómetros de la ida. "btenemos entonces que 35t + 45t = 2 × 10 = 20 ⇒ 80t = 20 ⇒ t =
1 4
#s decir,
el corredor marcha en solitario un cuarto de hora
Dos limpiaparabrisas articulados de 50 cm de longitud tienen sus centros de giro a 50 cm de distancia. ¿Qué superficie del parabrisas barren en total si sus giros abarcan exactamente 180º cada uno?
S!"#$%& Dibujamos el gráfico:
Observamos que la superficie que cubren los parabrisas será la suma de las áreas de los dos semicírculos menos la zona limitada por los arcos OM y MP y el segmento OP . Es decir, la superficie será S = π × 50
2
−
2 × A cm
!e trata, entonces, de calcular el área de la zona A . Esta será la diferencia entre las áreas del sector OMP y del triángulo rectángulo OMN El sector OMP abarca un ángulo de 60º , pues el triángulo OMP es equilátero de 50 cm de lado. !u área 1 será, por tanto, × π × 50 2 cm 6 El triángulo rectángulo OMN tiene de altura, aplicando el teorema de "itágoras, por lo que su área es
25 × 25 × 3 2
=
625 × 3 2
2
−
2 × A = π × 50
2
−
2
−
25
2
=
25 × 3 cm
cm
De lo anterior, la superficie de la zona coloreada es A = S = π × 50
50
1 6
× π × 50
2
−
625 × 3 2
cm , y la superficie pedida
1 625 × 3 2 2 = × π × 502 + 625 × 3 = 6318,52 cm × π × 50 − 6 2 3
2×
O sea,
!a superficie barrida es 'aproximadamente( 0)*+ m,
Un abuelo reparte 26 caramelos entre sus cuatro nietos. Se ponen a comerlos y todos toman unos cuantos. Al cabo de una hora, comprueba que a todos les queda el mismo número de caramelos. Sabiendo que el mayor ha comido tantos como el tercero, que el segundo ha comido la mitad de los que tenía inicialmente y que el cuarto se ha comido tantos como los otros tres juntos, ¿!mo ha hecho el abuelo el reparto"
S#$U%&' Sea x el número de caramelos que se han comido tanto el mayor como el tercero, e
y
los que se ha comido
el segundo. Según el enunciado, si llamamos n1 + n2 + n3 + n4 =
26 ;
⇒
n1 = y + x, n2 =
⇒
2 x + 3 y
x =
5,
= 13 ,
2 y ,
n1 , n2 , n3 , n4
al reparto original tendremos:
(
n1 − x = n2 − y = n3 − x = n4 − x + y + x n3 = y + x, n4 =
);
n2 =
2y ⇒
2 x + 2 y ⇒ y + x + 2 y + y + x + 2 x + 2 y
=
26 ⇒ 4 x + 6 y
y los únicos valores enteros positivos que satisfacen la ecuación son x
y = 1 , siendo esta última solución no válida para
=
2,
=
y =
26 ⇒
3 o
el problema porque todos comen más de un
caramelo. En suma,
n1 = 5, n2 =
6,
n3 = 5, n4 = 10
Es decir,
el mayor y el tercero reciben ( caramelos cada uno, el segundo recibe 6 y el cuarto recibe )* caramelos
Isidro me comentó un día: “mi madre hubiese querido tener, al menos, 19 hijos pero no lo pudo conseguir. No obstante, mis hermanas eran tres veces ms numerosas que mis primas ! !o he tenido dos veces menos hermanos que hermanas". #$untos hijos e hijas tuvo la madre de Isidro%
&'()$I*N Sea x el número de hijos e hijas pedido. El número de hermanas de Isidro es múltiplo de 3 : 3n , siendo (número natural) el número de primas. Por tanto, el número de hermanos de Isidro es
x −
3n − 1 , porque a él lo exceptuamos.
Según el enunciado, 2 × ( x − 3n − 1) = 3n ⇒ 2 x = 9n + 2 ⇒ x = 4n + 1 + Si n = 2 ⇒ x = 10 , para !alores maores admisi"les de enunciado.
n
n
2
se o"tiene que
x
≥ 19 ,
lo cual contradice el
#e ah$,
la madre de Isidro tuvo 1+ descendientes: hijas ! - hijos
n
Una compañía de aviación tiene todas las rutas directas posibles entre un número determinado de ciudades. Próximamente va a aumentar la red con 76 nuevos vuelos añadiendo nuevas ciudades y conectándolas entre sí y con las anteriores de manera directa también. ¿uántas ciudades tiene! en este momento! interconectadas"! ¿cuántas va a añadir"
#$%U&'( Sea x el número de ciudades actuales e y el de las que añadirá próximamente. Según las reglas de la Combinatoria, el número de rutas diferentes actuales es V x , 2 número de rutas diferentes posterior sería V x+ y , 2 Según las condiciones del problema, V x + y , 2 ⇒
=
= x ×
(x − 1) y el nuevo
( x + y) × ( x + y − 1)
= V x , 2 + 76 ⇒
( x + y ) × ( x + y − 1) = x × ( x − 1) + 76 ⇒
( x + y )2 − x 2 − ( x + y) + x = 76 ⇒ y × (2 x + y) − y = 76 ⇒ y × ( 2 x + y − 1) = 22 ×19
videntemente, y en el contexto del problema, x
≥
2 ⇒ 2 x + y − 1 > y
> 1 ⇒ y =
2o4
Si y
=
2 ⇒ 2 x + 1 = 38 , imposible, pues no se obtiene, de la expresión, un número entero.
Si y
=
4 ⇒ 2 x + 3 = 19 ⇒ x
=
8
!or lo tanto,
)ay * ciudades interconectadas y se van a añadir + más
Un número de tres cifras aumenta en 45 unidades si se permutan las dos cifras de la derecha, y disminuye en 270 si se permutan las dos cifras de la izquierda. ¿Qu sucede cuando se permutan las cifras de los e!tremos"
#$%U&'() Sea abc el número. Según el enunciado se cumple: 1.
abc + 45 = acb ⇒ 100a + 10b + c + 45 = 100a + 10c + b ⇒ 9c − 9b
2.
abc − 270
=
bac
⇒ 100a + 10b +
c − 270
= 100b + 10 a +
De ambas afirmaciones podemos deducir que c − a
=
c
⇒
=
45 ⇒ c − b
90a − 90b
=
=
5
270 ⇒ a − b
=
3
2
Supongamos un incremento de valor k al permutar la cifra de los extremos: abc + k = cba
⇒ 100a + 10b +
c + k = 100c + 10b + a
⇒
k = 99c − 99a
=
99 × (c − a ) = 99 × 2
= 198
De ahí,
se produce un incremento de *+ unidades
Las edades de tres hermanos cumplen que 1. El producto de la edad del mayor por la del menor es igual al cuadrado de la edad del otro 2. La suma de las tres edades es 35 3. La suma de los logaritmos decimales de sus edades es 3 ¿Cuáles con las edades de los tres hermanos?
SL!C"#$ Sean
x, y , z
las tres edades, ordenadas del mayor al menor.
Del enunciado se deduce: 2
1.
xz = y
2.
x + y + z =
3.
log x + log y + log z
35 =
3
De la última ecuación, log x + log y + log z xz = y
2
⇒
xyz = y
3
=
1000 ⇒
=
3 ⇒ log xyz
=
3⇒
xyz = 1000 y, con la
y = 10 y xz = 100 . Además, por la segunda, x + z =
Las edades del mayor y del menor son las raíces de la ecuación p
2
−
primera ecuación,
25
25 p + 100 = 0 ⇒ p
ue
los hermanos tienen 2%& 1% y 5 a'os
=
5,
p =
20 por lo
Hace tiempo se casó una pareja de distinta nacionalidad: francesa y belga. En la boda, el novio tenía la edad actual de la novia y el producto de las edades de ambos y los años que llevan casados es igual a la edad de quien tiene nacionalidad belga más !"#. $%uántos años llevan casados&, $cuál es la edad y la nacionalidad de la novia&
'()*%+Sean a la edad del componente del matrimonio que tiene nacionalidad belga y b del de nacionalidad francesa. Sea x los años que llevan casados Según el enunciado, se verifica que a − b
=
x y que abx = a + 1539 . De esta ecuación se deduce que
a × b × x = a + 1539 ⇒ a × b × x − a = 1539 ⇒ a × (b × x − 1) = 1539 = 3
4
× 19
Las posibilidades (razonables que se deducen son! ".
b = 41 y x = 2 a = 19 ⇒ b × x − 1 = 81 ⇒ b × x = 82 = 2 × 41 ⇒ b = 82 y x = 1
#.
a
=
27
b = 29 y x = 2 ⇒ b × x − 1 = 57 ⇒ b × x = 58 = 2 × 29 ⇒ b = 58 y x = 1
$.
a
=
57
⇒ b × x − 1 = 27 ⇒ b × x = 28 = 2 2 × 7 ⇒ b = 28 y x = 1
%.
a = 81 ⇒ b × x − 1 = 19 ⇒ b × x = 20 = 2
2
×5
⇒ b = 20 y x = 1
De todas ellas, solamente la primera posibilidad de la segunda cumple la primera condición! a − b
=
x
De a&',
llevan años casados y la novia, belga, tiene / años
Cuatro amigos quieren comprar un libro, que interesa a todos. Uno de ellos dice a los demás: “Solo tengo 1 euro. Si me prestáseis la mitad de todo vuestro dinero podría comprarlo”. Otro le contesta: “ambi!n lo compraría "o con lo que tengo " un tercio del dinero que ten!is”. #l tercero apunta: “$o podría comprarlo con mi dinero " una cuarta parte del vuestro.” #l %ltimo apostilla: “Si me dáis la quinta parte de vuestro dinero, con lo que tengo podría comprarlo”. &Cuánto cuesta el libro' &Cuánto dinero lleva cada uno de los amigos'
SO(UC)*+ Llamamos x, y , z , t al dinero que lleva cada uno y p al precio del libro. Está claro que x
=1
Según el enunciado, y + z + t y + z + t 1+ = p = p 1 + 2 2 y + z + t y + z + t 1 + z + t 1 + z + t 1+ = p = p y + z + t 1 + 2 2 = p = 1+ y + y + 3 3 2 ⇒ ⇒ 3 y − z − t = 4 ⇒ 3 y − z − t = 4 ⇒ 1 + y + t 1 + y + t y + z + t z + z + − y + 2 z − t = 3 5 z − 4t = 13 = p = 1+ 4 4 2 t + 1 + y + z = p t + 1 + y + z = 1 + y + z + t − 3 y − 3 z + 5t = 8 − z + t = 3 5 5 2 y + z + t p = 37 = p 1 + 2 y = 19 3 y − z − t = 4 ⇒ ⇒ 5 z − 4t = 13 z = 25 t = 28 t = 28
Por lo tanto,
el libro cuesta - euros " los amigos llevan 1, 1, /0 " / euros
Encuentra el número xy0yx que es producto de cuatro números consecutivos.
SOLUCIÓN Si
xy 0 yx es producto de
cuatro números consecutivos debe ser múltiplo de 8 y, por tanto, sus tres últimas
•
cifras también:
yx
=
8 •
Además, también será múltiplo de 3 , por lo que es evidente que yx = 3 •
En conclusión,
yx
=
24 ⇒ yx = 24, 48, 72 o 96
Los cuatro números consecutivos no deben tener, como cifras finales, ni 5 ni 0 porque el número buscado acabaría en 0 por lo que, en cuanto a cifras finales, sólo pueden ser 1, 2, 3, 4 o 6, 7, 8, 9 En ambos casos, el producto de las cuatro cifras acaba en 4 ⇒ x
=
4 por lo que,
el número es 42024 ! "" # "2 # "$ # "4%
Coloca los números de 1 a 8 en cada vértice del cubo de manera que los vértices de cada cara sumen lo mismo.
SOLUCIÓN Como cada vértice pertenece a tres caras y 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 la suma total de las caras será 108 36 × 3 = 108 y, al haber 6 caras, la suma de los vértices de cada cara será = 18 6 También debe pensarse que los números deben ir equilibrados, por lo que podemos ir preparando parejas de números que sumen 9 y combinarlas ( 1 − 8, 2 − 7, 3 − 6, 4 − 5 ) Teniendo cuatro caras juntando esos pares, es cuestión, de probar las posibilidades de las otras dos. s!, ense"uida se lle"a a una de las posibles soluciones#
Identifica todos los números de 1 a 9 en este criptograma que se compone de un producto y una suma y construye estas operaciones, sabiendo que a letra distinta le corresponde un número diferente.
SOLUCI! Evidentemente, C ≠ 1 , por lo que A ≤ 4 . Si A ≠ 1 debe cumplirse que D ≥ 6 lo que determinaría que F ≤ 3 y H ≥ 7 y las posibilidades factibles, en este caso, no existirían: pueden ir comprobándose partiendo (en principio) de que si C y A son 2 y 3 ⇒ F = 1 ⇒ ... Por tanto A = 1 . esde aquí, con H ≥ 5 y H − 1 > D > C , podemos lle!ar sin problemas a la soluci"n:
Una millonaria sin familia, en su lecho de muerte, decide hacer testamento repartiendo entre sus sirvientes el dinero que tiene. Siguiendo un orden de antigüedad en la casa, al más veterano le otorga un millón de euros más un séptimo de la cantidad restante, al siguiente dos millones más un séptimo del resto, al tercero tres millones más un séptimo de lo que queda y así sucesivamente hasta que todos recibieran su parte. l notario, asombrado, se da cuenta de que todos recibían la misma cantidad de dinero. !"uánto dinero reparte la millonaria#, !cuántos sirvientes tiene#
S$%U"&'( Si llamamos
x
a la cantidad que reparte los dos primeros sirvientes van a obtener la misma cantidad, por lo
que 1000000 +
1 7
(
)
× x − 1000000 =
Simplificando obtenemos que
⇒
6000000 + x 7
=
6000000 + x
78000000 + 6 x 49
2000000 +
7
6000000
=
7
− × x
1 1000000 + × (x − 1000000 ) − 2000000 7
2000000 +
1 7
×
6 x − 20000000 7
⇒ 42000000 + 7 x = 78000000 + 6 x ⇒
El reparto, entonces, fue de 1000000 + 36000000
=
1
1 7
× 35000000 =
⇒
x =
36000000
6000000 para cada persona, por lo que había
6 sirvientes.
)epartió *+ millones de euros entre + sirvientes
Un comerciante de productos audiovisuales decide subir el precio de sus televisores, ¡en esta época de crisis!, un 10% de su valor. Al cabo de dos meses, y viendo que sus ventas han descendido notablemente, decide bajar su precio el 10%. l precio es el mismo que antes de subirlos", cu#l es la di$erencia, si la hay"
&'U()*+ Sea
T el
precio inicial de un televisor.
Al aumentar un 10% , su precio es
T × 1,1
Si después disminuye el precio de ese momento en un 10% el nuevo precio será
T × 1,1 × 0,9 = T × 0,99
Por tanto,
el precio ha bajado en un 1% respecto a su valor oriinal
En un círculo se inscribe un rectángulo y, en éste, un rombo con sus vértices en los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿Cuál es el perímetro del rombo si el diámetro del círculo es de 10 centímetros?
S!"C#$% Está claro, dibujando el problema, que los lados del rombo equivalen a los radios del círculo, por lo que
el perímetro del rombo es de &0 centímetros
Un constructor quiere dar una cantidad extra a sus operarios. Con la cantidad que ha pensado distribuir, si da 50 euros a cada uno le sobran 5 euros y si da 51 euros a cada uno le faltarán 3 euros. ¿Cuántos son los operarios?, ¿cuánto pensaba repartir?
!"UC#$% Sea
x el número de operarios e y
De ahí, 51 x − 3 = 50 x + 5 ⇒ Además,
la cantidad que piensa repartir.
x =8
y = 50 x + 5 = 50 × 8 + 5 = 405
En conclusión,
son & operarios y pensaba repartir '05 euros
Un chico, que vive en el último piso de su casa, baja la escalera de tres en tres peldaños y la sube de dos en dos, dando un total de 100 saltos. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera
!"#UC$%& Llamamos
n
al número de peldaños de la escalera. Según el enunciado da
subir, por lo que
n
3
n
+
2
= 100 ⇒
5n
=
600 ⇒
600 n =
5
= 120
n
3
saltos al bajar y
y
la escalera tiene 1'0 peldaños
n
2
saltos al
En un monte hay desperdigadas varias casetas de manera que cada una de ellas está unida a las demás por un camino. Si hay 36 caminos, ¿cuántas casetas están en el monte?
SOL!"#$ Sea n el número de casetas. Como cada camino une un par de casetas y es el mismo para ir de una a otra o viceversa, el número de caminos será el número de combinaciones de las casetas tomadas dos a dos:
n n × (n − 1) 2 = 36 ⇒ = 36 ⇒ n − n = 72 ⇒ n = 9 (la otra solución de la ecuación es negativa, lo que no 2 2 tiene sentido en el contexto del problema).
%ay & casetas
Un amigo tiene tres hijos: uno tiene la misma edad que la cifra de las decenas de la edad del padre y otro tiene la misma edad que la cifra de las unidades de la edad de su padre. La edad del restante es, casualmente, la suma de las cifras de la edad del padre. Si ninguno de los niños tiene la misma edad y la suma de todas las edades es 45, ¿qu edades tienen cada uno de los cuatro integrantes de la familia!
S"LU#$%& Llamamos es
p
y
q a las
edades de los dos primeros hijos.
p + q
es la edad del tercer hijo y, la edad del padre
pq = 10 p + q
En estas condiciones, 10 p + q + p + q + ( p + q ) = 45 ⇒ 12 p + 3q = 45 ⇒ 4 p + q = 15 Como las dos incógnitas planteadas son cifras y distintas, se deduce que la única solución válida se produce cuando p = 2 y q = 7 Por lo tanto,
el padre tiene '( años y los hijos tienen ', ( y ) años
El uno de enero de 1886 la población de cierta ciudad europea era de P habitantes. Durante ese año el número de defunciones se elevó a 1/4 de la población ! el de nacimientos a 1/"#. $i hubiera ocurrido lo mismo en todos los años sucesivos% &en 'u( año la población se incrementar)a en su mitad*
$+,-0 La proyección de incremento para la población es, para el año siguiente, de y, en años sucesivos, de un incremento geométrico de razón
r =
211 210
P−
P
42
P +
35
=
211 210
P habitantes
.
Por tanto, la época en la que se incrementa la mitad la población inicial corresponderá a n años después en
211 donde P × 210
n −1
=
211 P⇒ 2 210 3
n−1
=
3 2
, según la relación de términos de una progresión geométrica.
3 3 ln 2 ⇒ n = 2 + 1 = 85,35 + 1 = 86,35 e ah!, aplicando logaritmos, n − 1 = 211 211 ln ln 210 210 ln
"n conclusión,
la población de 1886 se incrementar)a en su mitad a lo lar2o del año 13
Calcula la superficie del círculo naranja tangente a los lados del cuadrado y a la semicircunferencia dibujada en la figura sabiendo que el lado del cuadrado mide 2 centímetros.
SOLUCIÓ Sea x el radio del círculo y construimos el triángulo rectángulo ABC Según se ve en la figura, tenemos que AB = 1 − x AC = 2 − x BC = 1 + x
Aplicando el teorema de Pitágoras, 2
2
2
AB + AC = BC 2
⇒
(1 − x )2 + (2 − x )2 = (1 + x )2 ⇒
2
2
2
⇒
x − 2 x + 1 + x − 4 x + 4 = x + 2 x + 1 ⇒ x − 8 x + 4 = 0
⇒
x = 4 ±
⇒
12 , y se desecha el valor mayor que el lado del cuadrado, luego el radio es
El área es, por tanto, π × x
2
=
π ×
(4 − 2 × 3 )
2
=
⇒
0,902224817
Es decir,
la superficie del círculo es !"#!22 cm2
x = 4 − 2 ×
3 cm
La siembra de un kilo de patatas produce tres kilos al año. Una familia de granjeros consume 600 kilos al año y el jefe de familia debe comprar la cantidad inicial de patatas suficiente para que la familia tenga, a partir de ese momento, un consumo indefinido. ¿Cuntas patatas, como m!nimo, debe comprar"
#$LUC%&' Si x es el número mínimo de kilos que deben sembrar al año para mantenerse, deberá cumplirse que la producción de cada año sirva para la el consumo y para sembrar para el próximo año: 3 x = x + 600 De ahí, 3 x = x + 600 ⇒ 2 x = 600 ⇒
x =
300
omo el primer año no se ha producido nada, deberá comprar para sembrar y para el consumo de ese primer año, por lo que
deber comprar, al menos, (00 kilos de patatas
Calcula las medidas de un rectángulo tal que sus lados, diagonal y área estén en progresión aritmética.
SOLUCIÓN 2
2
Sean a , b , d = a + b , A = ab las medidas lado menor, lado mayor, diagonal, área del rectángulo que están en progresión aritmética y todos los términos no nulos.
ab −
Se deberá cumplir que la diferencia de dos consecutivos es la misma:
De ahí, ab − a ⇒
2
+
b
2
=
a
2
a
4b
4b − 2a
2
2
=
+ +
−
b
2
b
2
−b = =
a
4 ab + a
ab + b
2
b−a 2
+b
2
⇒ −b
a a
2
2
+b +
b
2
2
= =
2b − a ab + b 2
a
2
a
2
+b
2
+b
2
−b = =
a
b−a 2
+b
2
−b
a 2 + b 2 = (2b − a )2 ⇒ ab + b ⇒ 2b − a = 2
4a 2a 4a 6 − 2a = 3 3 b= = 3b = 4ab 3 3− a a= 3 4a ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 b= 2a 4a 3 b − ab = 2 a b = b= = 2 b 3 3− a 3 2
n resumen,
los lados del rectángulo miden !" y "
En una división entera la suma del dividendo y del divisor es 328, y la suma del cociente y el resto es 19. Calcula el dividendo y el divisor.
SOLUCI! Sea la división entera D : d ⇒ D
D + d = 328
Se sabe que
c + r = 19
=
dc + r
, cumpliéndose que r < d < D . Por tanto D
> 164 ,
19 < d
< 164
, r < 19 [*]
Despejando en las condiciones y sustituyendo en la primera expresión tenemos 328 − d = d (19 − r ) + r ⇒ 20 d − dr = 328 − r ⇒ d =
328 − r 20 − r
= 1+
308 20 − r
omo 328 = 2 2 × 7 × 11 y es divisible por 20 − r , estudiamos los posibles valores se!"n las condiciones [*] a#
20 − r = 2 ⇒ d = 155 , r = 18 ⇒ c
b#
20 − r = 4 ⇒ d = 78 , r = 16 ⇒ c
=
c#
20 − r = 7
⇒ d = 45 ,
=
d#
20 − r = 11 ⇒ d = 29 , r = 9 ⇒ c
= 10
⇒ D = 299
e#
20 − r = 14 ⇒ d = 23 , r = 6 ⇒ c
= 13
⇒ D = 305
r = 13 ⇒ c
=1
⇒ D = 173
3⇒ D 6⇒ D
= =
250 283
Por tanto, $ay cinco posibilidades%
"ividendo# 1$3% divisor# 1&& "ividendo# 2&'% divisor# $8 "ividendo# 283% divisor# (& "ividendo# 299% divisor# 29 "ividendo# 3'&% divisor# 23
Agustín, Gustavo y Félix tienen una especial relación entre sus edades. La suma de dos cualquiera de las tres edades da siempre un número que resulta de invertir las cifras de la tercera edad, y todas suman menos de !! a"os. #$u%l es la suma de las tres edades&, #qué edad tiene el menor&
'(L)$*+ Según los datos del problema sean ab , cd y ef las tres edades.
ab + cd = fe ⇒ 10a + b + 10c + d = 10 f + e Así, ab + ef = dc ⇒ 10a + b + 10e + f = 10 d + c . Sumando todo obtenemos que cd + ef = ba ⇒ 10c + d + 10e + f = 10b + a 20a + 2b + 20c + 2d + 20e + 2 f
a + c + e = 8m
deduce que
b + d + f
= 19
n
=
a + 10b + c + 10d + e + 10 f ⇒ 19 × (a + c + e ) = 8 × (b + d + f ), por lo que s
al ser 8 y 19 números primos entre sí.
Sumando las tres edades, ab + cd + ef
= 10 ×
(a + c + e ) + b + d + f = 80m + 19n , siendo
naturales. Como la suma es menor de 100 años, deberá ser m = n = 1 y ab + cd + ef
=
m y n números
99 , suma de las tres
edades
ab + cd = fe
Además,
ab + cd + ef
=
99
⇒ fe + ef = 99 ⇒ 11e + 11 f = 99 ⇒ e + f = 9 y, de la misma manera, a + b = 9
y c + d = 9
a+c+e =8
Todas las edades son múltiplos de 9 y
b + d + f
= 19
por lo que las únicas posibilidades de edades son 18 ,
27 y 54 o 18 , 36 y 45
n conclusi!n,
la suma de las tres edades es -- y el menor tiene a"os
Halla el resultado de la suma
SOLUCIÓN 1
Racionalizando la expresión,
1+ 2 =
=
2
−
1+
−
1 2 1
−
2
2 3
+
2 −1 3
+
+
1 3
+
−
2
−
3
3 4
+
3−2 4
+
+ ...
+
−
4−3 ... +
4 3
+ ...
+ ...
100
−
1
... +
... + 99
En resumen,
la suma vale 9
99
+
100
100
−
99 =
100 − 99 =
100
−
=
1
= 10 − 1 =
9
El dueño de una fábrica con grandes beneficios decide repartir una paga extraordinaria entre sus tres empleados más antiguos. Esa paga será proporcional a los años que cada uno lleva en la empresa. Sabe que uno lleva tantas semanas como días lleva otro y éste tantos meses como años lleva el tercero. Si entre todos suman 60 años trabaando allí! "cuántos años lleva cada uno de ellos#
S$%&'()* Según el enunciado, el primero último llevará 7 veces los años del segundo y el tercero, a su vez, 12 veces los años del segundo. Si llamamos
x
a los años que lleva el segundo, se cumplirá que 7 x + x + 12 x = 60 ⇒ 20 x = 60 ⇒
x =
3
Por tanto,
los empleados llevan +,! - y -6 años en la empresa
Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos son iguales a 505, 233 y 52 hectáreas. ¿Cuál es la superficie del campo triangular
!"LUC#$% El triángulo tiene de lados a hectómetros.
505 , b
=
=
233 y c
52 , medidos en
=
Llamando h a la altura del triángulo y x al elemento auxiliar en la base, aplicamos a los dos triángulos rectángulos, creados con la altura, el teorema de Pitágoras: h
2
2×
=
2
52 − x ; h
505 x
=
2
=
233 −
324 ⇒ x
(
− x
162 =
)
2
505
⇒
505
h
2
= −272 +
=
Entonces, la superficie del triángulo es
52 − 1 2
505 x − x
2×
162
2
505
×a×h =
16 =
⇒
h
505
1 2
2
×
505 ×
⇒
4 =
505 4 505
=
2 ha
Es decir,
la superficie del campo triangular es de 2 hectáreas
Una persona decide invitar a una caña a dos amigos si averiguan, sin comunicarse ningún dato, dos números cuyo producto está comprendido entre 32 y 40. Al primero le dice el producto de los números y éste, inmediatamente, le dice al oido cuáles son. Al segundo le da después la suma de ambos y también le dice los números de manera inmediata. e esta manera, los tres se toman las cañas prometidas. !"uáles son los dos números#
$%&U"'() Si el producto está comprendido entre 32 y 40 y el amigo que lo conoce da la respuesta inmediata, esto quiere decir que dicho producto debe tener una descomposición única en dos factores, por lo que debe ser primo. Y el único primo, entre los límites dados, es el 37 = 1 × 37 Por eso el primer amigo lo sabe enseguida. El segundo amigo, según el raonamiento dado y conociendo la suma !habrá recibido 38 como dato", da tambi#n la respuesta correcta.
&os números son * y 3+
Expresa, mediante una fórmula, el resultado de la suma
en donde cada sumando tiene un dígito 1 más que el anterior hasta llegar al último, que tiene n dígitos 1.
SOL!"#$ Tendremos en cuenta, en el desarrollo, la suma de los m términos de una progresión geométrica: n
S m
=
a1 × r
−
a1
r − 1
Observando detenidamente la expresión se deduce que
) + (10
(
1 + 11 + 111 + ... ... + 1111111...11111 = 1 + 10 + 1 =
(
n + 10 + 10
=
n+
=
n−
=
10 × 10
2
+ ...
n −1
− 10
10 − 1
(
)
10 × n − 1 9
90 − 9 n + 10 9
2
... + 10
n+1
+
9
) (10
10 × 10
10 +
n −1
×
− 100
+
n −2
+ 10
− 10
10 − 1
(10
n −1
10 =
+ 10
n +1
n− 2
2
+ ...
+ ...
+ ...
... + 10
... +
n −2
10 × 10
... + 10
)
2
2
+ ...
− 10
10 − 1 2
)
+ 10 =
) (10
+ 10 + 1 + ...
... +
+
+ 10
10 − 1 10 +
9
×
81
Por lo tanto, la fórmula pedida es
n +1
− 9 n − 10
81
)
n −1
+ 10
n −2
+ 10 =
=
10 × 10
− 9 n − 10
10
2
10 × 10 − 10
10 − n 9
(
... + 10
n−1
− 10
10 − 1
=
+ ...
)
... + 10 + 1
=
¿Para qué valores positivos de a el producto es un valor múltiplo de 15?
SOLUCIÓ Es evidente que el primer factor no puede ser múltiplo de 5 ni el segundo factor múltiplo de 3 , por lo que deberá cumplirse que el primer factor debe ser múltiplo de 3 y el segundo de 5 :
5a + 1 = 3m , siendo a n 3 + 2 = 5 De ahí,
a =
3m − 1
=
5n − 2
m
y
⇒ 9m − 3 = 25n − 10 ⇒ m =
5 3 debe ser múltiplo de 9 ⇒ n = 9 x + 1 , siendo
n
números naturales.
25n − 7
9 x = 0, 1, 2, 3, ...
Sustituyendo en una de las igualdades anteriores,
a =
5n − 2 3
=
⇒ m = 2n +
7 × (n − 1)
5 × (9 x + 1) − 2 3
9
=
45 x + 3 3
En resumen,
! 15" # 1$ siendo " ! %$ 1$ &$ '$ ()
a
! 1$ 1*$ '1$ +*$ (
a
, por lo que
n −
⇒ a = 15 x + 1
1
Estamos en una habitación cuadrada. El piso de la habitación está cubierto con losetas iguales a las de la imagen, formando una cuadrícula de 30 x 30. Si trazamos una recta que a!a de una esquina de la habitación a la esquina opuesta ! pintamos de azul la mitad inferior del piso determinada por la diagonal, "cuántas losetas tenemos que por lo menos tengan un pedazo pintado de azul#
S$%&'()* De las 900 losetas existentes, 30 estarán bajo la diagonal que tracemos, pues la cantidad es la misma que las que hay en cada lado de la habitación.
900 2
De las restantes, la mitad
−
30 =
435 estarán a un lado de la diagonal y la otra mitad al otro.
Las losetas de una de esas mitades más las losetas de la diagonal serán las que tengan todo o algún pedazo pintado de azul, por lo que el total será
+- losetas
Sea la sucesión 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, … ¿Qué valor tiene el término 2000?
SOLU!"#
(a ) , observamos que
Si llamamos a la sucesión
n
el último término de valor 1 … y el orden del término es 1
•
a 1
= 1 es
•
a 3
=
2 es el último término de valor 2 … y el orden del término es 1 + 2 = 3
•
a
=
3 es el último término de valor 3 … y el orden del término es 1 + 2 + 3 = 6
•
a 10
•
6
=
4 es el último término de valor 4 … y el orden del término es 1 + 2 + 3 + 4 = 10
…
De lo anterior se deduce que n
= 1+
2 + 3 + 4 + ... + m =
a
n
=
m
es el último término de valor
(m + 1) × m 2
=
m
2
+
m
2
m
… y el orden del término es
, según la fórmula que da la suma de los términos de una
progresión aritmética. Buscamos ahora el último término del valor Si
n
≤
2000 ⇒
m
2
+m
2
≤
"esolvemos la ecuación
m
ms pró!imo y anterior al orden 2000 .
2000
2 x
+ x
2
=
2
2000 ⇒ x
+ x − 4000 =
0 ⇒ x = 62,7475 desechando el valor negativo. 2
+ 62
= 1953 y los 63 2 siguientes tendrn de valor 63 , entre ellos el que ocupa el lugar 2000 , pues 1953 + 63 = 2016 > 2000
Determinamos entonces el orden del último término de valor
m
$n conclusión,
$ %3
a2000
=
62 #
62
n
=
Halla el número natural que es el producto de los primos p, q, r , sabiendo que r – q = 2p y 2
rq + p = 676
SOLUCIÓN
Si
(r − q )2 = 4 p 2 ⇒ 2 ⇒ (r − q )2 = 676 4 p = 2074 − 4rq
r − q = 2 p
rq + p
⇒ (r + q )
2
2
=
2074
=
2074 − 4 rq
⇒ r 2 + q 2 − 2rq + 4rq = 2074 ⇒
⇒ r + q = 52
Según todos los primos inferiores a 52 y sabiendo que
p =
r − q
2
siguientes posibilidades: r = 47 , q = 5 ⇒ p = 21 , imposible porque no es
primo
r = 41 , q = 11 ⇒ p = 15 , imposible porque no es
primo
r = 29 , q = 23 ⇒ p = 3
En suma, el número buscado es 3 × 23 × 29 =
200
también debe ser primo, encontramos las
La iglesia de San Pedro de Fraga (Huesca) tiene ascendencia visigótica. Los árabes la convirtieron en mezquita y el 2 de octubre de !!" #ue consagrada al cristianismo durante la conquista de la ciudad. Si multi$licas las ci#ras de ese a%o se obtiene &'. uántos a%os $asaron *asta que el $roducto de las ci#ras del a%o volvió a dar &'+
S,L-/0 Factorizando 36 obtenemos 36 = 2 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36
2
×3
2
y los divisores son, ordenados,
Está claro que el año siguiente tendrá, en su tercer dígito, el 6 Por lo tanto el año en el que volvió a obtenerse 36 como el producto de sus cifras fue 1166 y pasaron
!!'' 1 !!" !3 a%os
En cinco garajes hay aparcados cinco automóviles, uno en cada garaje, siendo todos los coches de distinto color y los garajes están numerados, de izquierda a derecha, de 1 a 5 Indica la situación de los coches según su color, y mirando de frente los garajes, si se sae que 1! El coche lanco no está ni al lado del azul, ni al lado del rojo, ni al lado del gris! "! El coche verde no está ni al lado del azul ni al lado del gris! #! El coche azul no está al lado del rojo! $! El coche gris está a la izquierda del rojo!
%&'()I*+ Llamamos , -, ., / y 0 a los coches respectivos de color blanco, azul, rojo, gris y verde. Por la primera condición el coche debe estar en uno de los extremos, ocupando el garaje 1 o el 5, y el coche 0 debe ocupar el puesto de al lado, el 2 o el . Por la segunda condición el coche . debe ocupar, obligatoriamente, el garaje ! al ser adyacente a la posición del coche 0. " la tercera condición, considerando las anteriores, nos indica #ue el coche - ocupa otro de los extremos$ el garaje 1 o el 5. La %ltima condición nos indica #ue el coche / debe ocupar el garaje 2, por lo #ue el 0 debe ocupar el garaje , el 5 y - el 1. &oncluyendo, las posiciones de los coches, de iz#uierda a derecha, son
-zul /ris .ojo 0erde lanco
Jugando al Mastermind numérico se obtienen las siguientes combinaciones: 3 89 5 R R 9 45 7 R R 1 29 0 R B 7 8 0 B 4 8 7 R !"erigua el n#mero secreto teniendo en cuenta $ue R signi%ica n#mero acertado &ero no su colocaci'n( ) B acertado en su lugar corres&ondiente*
+,-./ Por el cuarto y quinto resultado desechamos los dígitos y 8, y puede ser que a) 0 está en la última posición y el 4 está en otra y el 7 no está Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición y el 4 debe estar en tercera posición Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición, por lo tanto su posición correcta es la segunda Por el tercer resultado, debe estar el 9 y su posición correcta será la primera, lo cual se contradice con el segundo resultado Por tanto, es imposible la suposición inicial b) 7 está en la primera posición y el 0 y el 4 no están Por el segundo resultado, está el 9 o el 5… uno sólo de los dos y fuera de posición Por el primer resultado, debe estar el 3 fuera de su posición Por el tercer resultado, debe estar el 9 (fuera de su posición) y debe estar el 2 en su posición correcta. l número es, por tanto,
7239
A un cliente, en un bar, le sirven un vermut en una copa de forma cónica. Ha indicado al camarero que le llene la copa hasta la mitad de la altura del recipiente. ¿Qué parte del volumen total de la copa beberá?
S!"#$%& Siendo el recipiente un cono, su volumen es V =
1 3
2
× π × r × h
, siendo r el radio de la
boca de la copa y h la altura del recipiente. Si el camarero rellena el teorema de Thales:
1 2 1 2
×h
, el radio de la superficie de la bebida será proporcional, por
× r
1 El volumen será, en este caso, V ' = × π × × r 3 2 1
2
1 ×
2
×h =
1 3
1 ×
8
2
× r × h =
1 8
× V
Es decir,
beberá '() del volumen total de la copa
Se ha realizado un torneo de ajedrez en el que han participado 30 niños divididos, de acuerdo con su edad, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás del grupo. Se jugaron, en total, 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdi ninguna partida ! totaliz 7," puntos. #eniendo en cuenta que se punt$a % por partida ganada ! 0," por ta&las, 'en cuántas partidas hizo ta&las el ganador(
S)*+-/ Llamamos
n
al número de jugadores del primer grupo. 30 − n es el número de jugadores del segundo grupo.
30 − n n (30 − n ) × (29 − n ) = + 87 ⇒ = 2 2 2 2 2 ⇒ n − 59n + 870 = n − n + 174 ⇒ 58n = 696 ⇒ n = 12
Según el enunciado,
n
×
(n − 1)
+ 87
2
⇒
Fueron 12 los componentes del primer grupo, por lo que el ganador jugó 11 partidas. Entones no pudo ganar 7 partidas y empatar 1 ( 7 + 1 ≠ 11 ), no pudo ganar 6 partidas y empatar 3 ( 6 + 3 ≠ 11 ), no pudo ganar 5 partidas y empatar 5 ( 5 + 5 ≠ 11 ), … Si no perdió ninguna partida, teniendo en cuenta las puntuaciones y el número de juegos, el campeón del primer grupo ganó 4 partidas e
hizo ta&las en 7 partidas
En un convento hay un fantasma bastante especial. Aparece cuando las campanas de la iglesia del convento empiezan a tocar las 12 campanadas de la medianoche y desaparece con la última campanada. Si las campanas tardan 6 segundos en dar 6 campanadas, cu!nto dura la aparici"n del fantasma#
S$%&'()* Según el enunciado las seis primeras campanadas suenan en un periodo de 6 segundos. Al haber cinco 6 intervalos entre cada par de campanadas, cada intervalo será de = 1,2 segundos. 5 Las 12 campanadas, que se producen en 11 intervalos, tocarán en 1, 2 ×11 = 13,2 segundos O sea,
la aparici"n del fantasma dura 1+,2 segundos
Entre los antiguos papeles en el desván de una casa se ha encontrado una nota de una venta realizada en el año 1952. La nota dice asi: “Por la venta de 72 pollos he recibido la cantidad de _67,9_ pesetas ” Parece ser ue la pri!era " la #lti!a ci$ra de la nota no están legi%les& segura!ente por de$iciencias de la conservaci'n& " se han sustituido por guiones. ()u* precio ten+a cada pollo,
-L/03 Llamamos x679 y al precio total multiplicado por 100 para evitar decimales. Éste valor debe ser divisible por 72 = 9 × 8 •
Para que sea divisible por 8 las tres últimas cifras deben formar un número divisible por 8 : 79 y = 8 ⇒ •
⇒
79 y
=
784 + 6 + y
=
98 × 8 + 6 + y
=
•
8 ⇒ 6 + y
=
8 ⇒ y
=
2 •
Para que sea divisible por 9 la suma de todas sus cifras debe ser divisible por 9 : x + 6 + 7 + 9 + y = 9 ⇒ •
⇒
x + 4 + y =
•
•
9 ⇒ x + 4 + 2 = 9 ⇒ x + 6 = 9 ⇒ x
=
3
El precio total de los pollos es de 367,92 pesetas, por lo que
367,92 72
=
5&11 pesetas costa%a cada pollo
Nevó abundantemente y, debido a las bajas temperaturas, la nieve se heló. Un vecino quería atravesar la plaza en donde vive, desde el portal nº 26 al portal nº 2. ada vez que daba un paso !"# cm$ se deslizaba 2" cm en el sentido de la pendiente. %pro&imadamente hay 2' m desde el portal nº 26 hasta el centro de la calzada y (#," m desde el centro de la calzada hasta el portal nº 2, como se indica en el dibujo.
)u*ntos pasos debe dar para lle+ar de un portal a otro
-/U01N Desde el comienzo de la caminata, y hasta el centro de la calzada, cada paso (con el correspondiente deslizamiento) supone 50 + 25 = 75 centímetros por lo que hará
2400 75
=
32 pasos.
Del centro de la calzada hasta su destino, cada paso supone 50 − 25 = 25 centímetros por lo que serían (en teoría)
1050 25
=
42 pasos, aunque en el penúltimo ya llegaría con los 50 centímetros y no retrocedería. En
este caso, por tanto, hace 41 pasos. En resumen, hará en total
3 pasos
En el parque infantil hay un arenero rectangular, con una valla de madera, que mide 4,07 por 2,30 metros. Con la nueva remodelación se quiere transformar en un arenero cuadrado que tenga el triple de superficie que el anterior. Cu!ntos metros de valla son necesarios"
#$%&C'() 2
La superficie del arenero actual es 4,07 × 2,30 = 9,361 m 2
El triple de esta superficie es3 × 9,361 = 28,083 m El lado de la nueva superficie cuadrada debe ser
28,083
=
5,3 m
Por tanto, la valla necesaria medirá el cuádruple del lado:
2*,2 metros
Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, en cierto bar fijaron un precio muy económico. Y al cabo de 2 meses se duplicó el precio. Cuando el dueño vio que la venta de esos bocadillos disminuía, bajó el precio un 20. !l precio final del bocadillo quedó en ",#2 $ %Cu&l era el precio inicial'
()*+C- Consideramos x euros el precio inicial del bocadillo. Cuando lo duplicaron costaba 2 x euros. Al bajar el precio el porcentaje citado quedó 80% de 2 x =
80 100
El precio inicial era
",20 $
× 2 x = 1,92 ⇒
x
=
192 160
= 1,20
Para celebrar el fin de temporada de un club deportivo se hizo una comida. Cada cuatro asistentes compartieron una plato de jamón, cada tres una ración de calamares y cada dos una pata de ternasco. Si en total se sirvieron 65 platos, ¿cunta !ente participó en la comida"
S#$%C&'( Si llamamos
n
al número de asistentes, hubo
n
4
platos de jamón,
n
3
platos de calamares y
ternasco. De ahí,
n
4
n
+
3
n
+
2
=
65 ⇒
13n 12
=
65 ⇒
n =
12 × 65 13
=
60 por lo que
hubo 6) asistentes a la comida
n
2
platos de
Encuentra un número hexadecimal de tres dígitos que tenga los mismos dígitos que en base 10 en orden invertido y que represente el mismo número.
SOL!"#$ Sea abc el número en base decimal. 2
2
Según el enunciado, abc = 10 a + 10b + c = 16 c + 16b + a ⇒ 100a + 10b + c = 256c + 16b + a ⇒ ⇒ 99 a = 255c + 6b ⇒ 2b = 33a − 85c , por lo que a y c tienen la misma paridad: son a la vez pares o a la vez impares. Además, como 2b
= 33a − 85c ≥ 0
⇒
33a ≥ 85c , luego c < 4 porque 85 × 4 = 340 > 33 × 10 > 33a y también
a>c
Por último, 33a
≥ 85c
a ⇒
c
>
85 33
>
5 2
En resumen, se debe cumplir que c < 4
a c
>
5 2
a y c tienen la misma paridad 2b
= 33a − 85c ≥ 0
!os casos posibles son, entonces, a"
c = 1 , a = 3 ⇒ 2b = 99 − 85 = 14 ⇒ b = 7
b"
c = 1 , a = 5 ⇒ 2b = 165 − 85 = 80 ⇒ b = 40 > 9 # $imposible%, y también para valores de a > 5
c"
c = 2 , a = 6 ⇒ 2b = 198 − 170 = 28 ⇒ b = 14 > 9 # $imposible%, y también para valores de a > 6
d"
c = 3 , a = 9 ⇒ 2b = 297 − 255 = 42 ⇒ b = 21 > 9 # $imposible%
En conclusi&n,
%&1 ' 1&%(1)
La profesora escribe en la pizarra un número natural menor que 50000. Un estudiante afirma que el número es múltiplo de 2; un segundo estudiante dice que es múltiplo de 3; y así sucesiamente! "asta que el decimosegundo estudiante dice que es múltiplo de #3. La profesora obsera que todos e$cepto dos de sus estudiantes est%n en lo cierto y que los dos estudiantes que se equiocan "an "ablado uno enseguida del otro. &'u( número est% escrito la pizarra)
*+LU,-/ El primer estudiante dice la verdad pues hay más de dos números, del 2 al 13 , que son múltiplos de 2 Por la misma razón, los que dicen que es múltiplo de 3 y de 4 también están en lo cierto, por lo que igualmente dice la verdad el que dice que es múltiplo de 12 Si es múltiplo de 12 también lo será de 6 . demás, debe ser múltiplo de 13 teniendo en cuenta que los que mienten están diciendo dos números consecutivos. !omo es múltiplo de 4 y de 6 también lo será de 5 al estar entre dos correctos. Por tanto será múltiplo de 10 y también de 11 , éste último al estar también entre dos correctos. Por ahora hemos visto que el número es múltiplo de 2 , de 3 , de 4 , de 5 , de 6 , de 10 , de 11 , de 12 y de 13 "ueda por averiguar si es de 7 , de 8 y de 9 Si los erróneos son 8 y 9 el número es múltiplo de 7 . El menor número con esa condición será mcm
(2,3,4,5,6,7,10,11,12,13) = 2 2 × 3 × 5 × 7 ×11 ×13 = 60060 > 50000
que no cumple las condiciones del problema, por lo que no puede ser múltiplo de 7 ni de 8 y s# es múltiplo de 9 El menor es, entonces, mcm
(2,3,4,5,6,9,10,11,12,13) = 22 × 32 × 5 ×11 ×13 = 25740 < 50000
y está claro que es el único que cumple las condiciones. El número buscado es
2510
Tomando los números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 calcula la suma de las 100 fracciones que se obtienen al tomar dos números de la lista, incluso si denominador y numerador son iguales.
!"#$%&' Consideramos primero la suma de las fracciones de denominador 2 : 2
4 +
2
2
+
2 ×
2
16 +
2
10
1 =
8
32 +
2
×2−
+
2
2
128 +
2
10
256 +
2
512 +
2
1024 +
2
2 =
2
2 +
2
2
2 +
2
3
2 +
2
4
5
2 +
2
2 +
2
6
2
2 +
7
8
2 +
2
2
2 +
9
10
2 +
2
2
=
formar los numeradores una progresión geométrica de razón 2
− 1 al
2
=
2 −1
64
Si tomamos la suma de las fracciones de denominador 4 : 2
4 +
4
4
8 +
2
2
4 10
1 =
16
2 ×
+
32 +
4
×2−2
2 −1
64 +
4
2
+
4
1 =
128
×
(2
256 +
4
512 +
4
1024 +
4
2 =
4
2
+
2
2
2
2
2
+
2
3
2
2
+
2
4
2
2
+
2
5
2
2
+
2
6
2
2
+
2
7
2
2
+
2
8
2
2
+
2
9
2
2
10
2 +
2
2
) por la misma razón que antes.
10
−1
Sucesivamente, y de la misma manera, obtenemos las sumas hasta las fracciones de denominador 1024 : 2
4
1024
+
1024
2 =
10
2
8
2 +
2
10
2
+
1024
2 +
16 +
3
10
2
2 +
1024
4
10
2
32
2 +
+
1024
5
2
10
2
+
64 +
6
10
2
1024
2 +
128
7
10
2
+
2 +
256 +
1024
8
2
10
2
+
512 +
1024
9
1024
10
2
10
2
+
10
2
10
1 =
1024
10
2
+
2 ×
=
1024 ×2−
2
1 =
2 −1
2
9
×
(2
10
)
−1
La suma total, entonces, ser la suma de las diez sumas construidas:
(2
)
10
−1 +
1 2
×
(2
10
)
−1 +
1 2
2
×
(2
10
1
)
−1 +
2
3
×
(2
10
)
−1 +
1 2
4
×
(2
10
)
− 1 + ...
... +
1 2
8
×
1 =
(2
10
1 1 − 1)× 1 + + 2 2 2
1 +
2
3
1 +
2
4
1 +
2
5
1 +
2
1
6
+
2
7
1 +
2
8
+
1 2
9
= (2
10
)
−1 ×
2
9
(2
1 ×
1 2
2
10
−1
−1
La suma es, por tanto,
10 2
2
2
−1
9
1046529 =
512
)
−1 + +
=
(2
10
1 2
9
×
)
(2
−1 ×
10
10
2
2
)
−1 =
−1 9
=
En la figura, a, b, c , d , e y f son las áreas de las regiones correspondientes y todos esos valores son números naturales diferentes entre sí y menores que 10. Cada triángulo formado por tres regiones tiene área par y el área de la estrella completa es 31. Calcula el valor de f .
S!"C#$% Como a + f + d y b + f + d son pares, a y b tienen la misma paridad: son ambos pares o ambos impares. Razonando de la misma forma llegamos a que a , b , c , d y e tienen la misma paridad. Como a y d tienen la misma paridad a + d es par y como a + f + d es par, f debe ser también par. Si todos suman 31 , a , b , c , d y e deben ser todos impares: 1 , 3 , 5 , 7 y 9 (no necesariamente en el mismo orden). En resumen, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + f
=
31 ⇒
f
=
6
f mide & unidades cuadradas
En un triángulo rectángulo dibujamos la altura CH correspondiente a la hipotenusa. Halla los ángulos x e y sabiendo que el área del triángulo AHC es la cuarta parte del área del triángulo BCA.
SOLUCIÓ Evidentemente, x + y
=
90º
Los triángulos AHC y BCA son semejantes al ser ambos rectángulos y con los mismos ángulos por lo que, si sus áreas están en proporción 1 / 4 , sus lados estarán en proporción
1 / 4
= 1 / 2
Según lo anterior, los lados del triángulo AHC miden la mitad de los lados homólogos en el triángulo
BCA , por lo que la relación entre las respectivas hipotenusas es c = AB = 2 AC = 2b De ahí, en el triángulo BCA , cos x =
b c
=
b 2b
1 =
⇒
2
x = 60º ⇒ y = 30 º
! " #$o% & " '$o
Calcula el resultado de la suma 1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + …
SOLUCIÓN 1
Llamamos S =
Tomando T = 2 =
2!
3 +
3!
2!
2!
4!
+
1 +
3!
5 +
3
3!
1
4 +
2 +
5!
4! 1
+
4!
6 +
4 +
6!
+
5!
+
1 +
5!
+
... = 1 +
...
... ⇒ S + T 1 2!
1 +
3!
=
1 +
4!
1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 + + + + + ... + + + + + + ... = 2! 3! 4! 5! 6! 2! 3! 4! 5! 6! 1
+
5!
+
... = 1 + T ⇒ S + T
por lo que
la suma vale 1
= 1 + T
Como cada domingo, la familia de Lisa desayuna junta. Un domingo cada uno de los miembros de la familia de tomó una mezcla de café con leche, y todos la misma cantidad de mezcla. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero siempre había de ambos. Lisa se tomó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una seta parte de la cantidad total de café. !Cu"ntas personas hay en la familia#
$%LUC&'( Llamamos C , L y T a las cantidades totales de café, leche y tazas (mezcla) que consumió la familia. Lisa tomó
C L 4
+
6
=
T
Llamando n al número de familiares de Lisa, éstos consumieron
3C 4
5C 5 L 5C 5 L 3C 5 L 4 + 6 = 5T ⇒ 4 + 6 − 4 + 6 = 5T − nT ⇒ Operando, 3C 5 L 3C 3 L 3C + 3 L = 3T ⇒ + + − = nT − 3T ⇒ 4 6 4 6 4 6
+
5 L 6
2C 4 2 L 6
=
nT
=
(5 − n )T ⇒ 5 − n > 0 ⇒ n < 5
=
(n − 3)T ⇒ n − 3 > 0 ⇒ n > 3
Por tanto, el resto de la familia de Lisa es de n = 4 miembros y
hay ) personas en la familia
Halla el valor de la expresión
SOLUCIÓN Sea a
=
11 +
11 +
Está claro que a
=
11 + ... 11 + a
y b
a −b
11 −
11 − ...
. Se trata de hallar a − b
y b = 11 − b
Entonces, (a + b ) × (a − b ) = a 2 ⇒
11 −
=
−b
2
=
(
) ( 2
11 + a
−
)
2
11 − b
=1
O sea, el valor pedido es
1
= 11 +
(
a − 11 − b
) = 11 − a − 11 + b = a + b ⇒
SOLUCIÓN Según los datos que nos indican las dos últimas viñetas, el triángulo rectángulo construido tiene los dos catetos iguales, pues es isósceles (ángulos de 45º ,45º ,90 º ) y, además, los catetos miden 200 metros, pues la altura de vuelo es de 1000 metros y la altura del cono es de 800 metros. Llamamos m a los metros que recorre Margarita en su caída y h a los metros que recorre el elicóptero desde que !amón simula el "allo asta que tira a su mu#er. $l llevar el elicóptero una trayectoria %isectri&, 'sta con la ori&ontal "orma un ángulo de
45º
=
2 eniendo en cuenta el triángulo rectángulo cuya ipotenusa es la %isectri& citada, se veri"ica que
*.
tan 22,5º =
+.
cos 22,5º =
200 − m
⇒
200 200 h
⇒
h
=
22,5º .
200 − m = 200 × tan 22,5º ⇒ m = 200 × (1 − tan 22,5º ) = 117,16 metros. 200 cos 22,5º
⇒
h
=
216,48 metros.
. -%s'rvese penúltima viñeta, que da la pista. oncluyendo,
1.Margarita recorre 117,6 metros en su caída 2.E !eic"#tero recorre 216,$% metros desde a simuaci"n de &ao !asta 'ue (am"n tira a Margarita ).Los *a#atos 'ue de+a Margarita en a re#isa de !eic"#tero es una #ruea de a im#icaci"n de (am"n en su muerte
Un número de 9 cifras acaba en 4. Si multiplicamos el número por 2 y le borramos la primera cifra resulta el mismo valor que si lo multiplicamos por 3 y le borramos la última cifra. ¿Qué número es
S!"U#$%& Sea el número abcdefgh 4 Si lo multiplicamos por 2 su última cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra acabará ahora en la cifra de las unidades de 3h + 1 Por tanto 3h + 1 = 8 , 3h + 1 = 18 o 3h + 1 = 28 y la única posibilidad es que 3h + 1 = 28 ⇒ h número buscado es abcdefg 94
=
9 . El
Si lo multiplicamos por 2 la penúltima cifra es 8 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la penúltima cifra coincidirá con la de las unidades de 3 g + 2 La única posibilidad es que 3 g + 2
=
8⇒
h
=
2 . El número buscado es
abcdef 294
Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas es 5 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las centenas coincidirá con la de las unidades de 3 f La única posibilidad es que 3 f
= 15 ⇒
f
=
5 . El número buscado es
abcde5294
Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millar es 0 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 3e + 1 La única posibilidad es que 3e + 1 = 10 ⇒ e = 3 . El número buscado es abcd 35294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millar es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millar coincidirá con la de las unidades de 3d + 1 La única posibilidad es que 3d + 1 = 7 ⇒ d = 2 . El número buscado es abc 235294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las centenas de millar es 4 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las centenas de millar coincidirá con la de las unidades de 3c La única posibilidad es que 3c = 24 ⇒ c = 8 . El número buscado es ab8235294 Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las unidades de millón es 6 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las unidades de millón coincidirá con la de las unidades de 3b + 2 La única posibilidad es que 3b + 2
=
26 ⇒
b
=
8 . El número buscado es
a88235294
Si lo multiplicamos por 2 la cifra de las decenas de millón es 7 . Si lo multiplicamos por 3 y le quitamos la última cifra, la cifra de las decenas de millón coincidirá con la de las unidades de 3a + 2 La única posibilidad es que 3a + 2 = 17 ⇒ a = 5 . El número buscado es 588235294 En efecto, porque 588235294 × 2 588235294 × 3
= 1176470588 ⇒
17670588 quitándole la primera cifra, y
= 1764705882 ⇒ 17670588 quitándole
la última cifra.
El número buscado es
'((23'294
La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer viernes del mes que viene da 37. Si todas las fechas suceden en el presente año, ¿en qué mes estamos?
SOL!"#$ Si ambas suman fechas suman 37 y el primer viernes no va más allá del día 7, el último lunes es, al menos, 30. Tenemos dos casos: 3 y ! o 30 y 7. Si el último lunes del mes anterior es 3, el mes en curso puede tener "#, "$, 30 o 3 días y acabará en lunes, mi%rcoles o &ueves, por lo 'ue el primer viernes del mes si(uiente será ), 3, " o y no podrá ser !. Si el último lunes del mes anterior es 30 puede suceder a* 'ue ten(a 30 días. +l mes en curso tendrá 3 días por lo 'ue acabará en &ueves, por lo 'ue el primer viernes del mes si(uiente será y no podrá ser 7. b* 'ue ten(a 3 días y el mes en curso ten(a "#, "$ , 30 o 3 días por lo 'ue acabará en martes, mi%rcoles, &ueves o viernes, por lo 'ue el primer viernes del mes si(uiente será 3, ", o 7. or lo tanto el mes anterior y en el 'ue nos encontramos deben tener, ambos, 3 días. +sto s-lo puede suceder si el mes anterior es &ulio y estamos en
a%osto
¿Qué porcentaje del área total representa la región roja?
SOLUCIÓN Tomando
L como
la longitud del lado de los cuadraditos, el á rea total del rectángulo es 4 L × 6 L
=
2
24 L
La superficie ‘no roja’ está formada por regiones que conforman un círculo de radio 2 L (las suma de las esquinas) y otro círculo de radio L (las dos regiones restantes). Por tanto, la superficie de la parte roja será 24 L2
(
2
(2 L )
− π
2
L + π
)
=
(24 − 5π ) L
2
24 L
2
L − 5π
2
l porcentaje es
2
24 L
× 100
%
=
=
(24 − 5π )L
2
24 − 5π 24
× 100
% , y su !alor concreto es
3!"" #
Si hacemos la “simplificación”
obtenemos un resultado cierto, pues
Halla todas las fracciones que poseen esa propiedad si el numerador y denominador son números de dos dígitos y todos los dígitos que intervienen en la fracción son distintos.
S!"#$%& Para que se cumpla la propuesta anterior, debe verificarse que
Es decir,
10a + b
a =
10b + c
c
ab
a =
bc
c
, siendo a, b, c cifras.
⇒ 10ab + ac = 10ac + bc ⇒ 10ab − bc = 9ac ⇒ b =
9 ac 10 a − c
Entonces se dan dos casos a)
b=9⇒
9ac
=
10 a − c
•
Si a
=1
•
Si a
=
9 ⇒ ac
⇒c=
= 10 a − c
•
=
49 4
= 98 8
=1
⇒ c = 4 ⇒ b = 6 : la fracción es
•
Si a
=1
⇒ c = 7 ⇒ b > 10 : imposible
•
Si a
=
2⇒c
•
Si a
=
2 ⇒ c = 8 ⇒ b = 8 : imposible
•
Si a
=
3⇒ c
=
Si a
=
3⇒ c
=
Si a
=
4⇒c
=
Si a
=
Si a
=
•
•
•
5 ⇒ b = 6 : la fracción es
6⇒b=
162
9⇒b=
243
7⇒b=
252
5⇒ c =8⇒b =
360
6⇒c
486
=
9⇒b=
1
2
3+ a
Si a
•
=
•
=
•
=
9
95 5
4 ⇒ c = 8 : la fracción es •
<
a +1
19 1
⇒ c = 5 : la fracción es
b) b ≠ 9 ⇒ 10a − c = 3 ⇒ c = 3 + 10a
10 a
=
24 =
81 7
=
33
42
84
60 7
=
26 2
=
65 5
: imposible
11 =
=
64 4
: imposible
4
21
51
27
16 1
: imposible
: imposible
162 17
: imposible
Las fracciones son
'()(*, +()(, '-)-+, -)-*
Un agricultor deja en herencia a sus dos hijos una parcela rectangular dividida en un muro en dos partes, como muestra la figura. Recibida la herencia a los hijos no les gusta el muro y lo eliminan, dividiendo la finca con una valla recta desde el punto P hasta un punto Q del lado opuesto del rectángulo. ¿A u! distancia está el punto Q del punto " para ue las dos partes tengan la misma superficie#
$%&U'()* Llamamos
x a la
longitud pedida, y a la dimensión desconocida de
la parcela original y z a la menor altura de los trapecios de la nueva distribución, ambos necesariamente iguales al tener la misma longitud en la base. En la herencia original, las dos superficies son iguales, por lo que 160 z ⇒
+
98 × 40
= 160
( y − z ) − 98 × 40 ⇒ 160 y − 320 z = 7840 ⇒
y − 2 z = 49
En el nuevo reparto, los lados laterales serán iguales dos a dos, por lo que y − z − (98 − x ) = z ⇒ y − 2 z + x = 98 De ambas igualdades generadas se obtiene que x
=
49
:
la distancia de Q a " es de + metros
En una habitación de planta rectangular hay dos alfombras triangulares, una rosa y otra verde, colocadas como se muestra en la figura. Se sabe que el área de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo) mide 4, m . !"uánto mide el área del cuadrilátero determinado por la superposición de las dos alfombras (sombreado en negro)#
S$%&"' Las dos alfombras tienen, cada una, como base y altura a los lados de la habitación, por lo que tendrán una superficie igual a la mitad de la habitación y la suma será la superficie de la habitación. Por tanto el área de la superficie negra común a ambas alfombras debe coincidir con el área de la superficie que no cubren (sombreada en amarillo) pues la que cubren tiene de área la suma de las áreas de las dos menos la de la superficie negra, al estar ésta contada dos eces en la citada suma. !n resumen, la superficie negra tiene un área de
4, m
Si
2
x
1 +
= 14
2
halla el valor de la suma
6
x
1 +
sin calcular
6
x
x
, número positivo.
x
SOLUCIÓN
1 Calculamos x + x
Entonces, x 2
⇒ x 3 +
1 3
+
2 2
= x
+
1
2 × x ×
1 +
x
2
= x
2
1 +
x
1 1 1 3 × x + = x + x + + 2 3 x x x x 4
=
2
2
= 14 +
2
= 16
⇒ x +
x
1
= 14 × 4 −
+
1 =
4 por ser
1
3
= x +
3
1 + x +
x
1
⇒ 14 × 4 = x 3 +
x
52
2 6
= x +
3
2 × x
1 ×
3
x
1 +
6
6
1
= x +
x
6
+
2
=
52
2
⇒ x 6 +
x
6
x
1 +
6
x
1 6
x
Por lo tanto,
=
2702
3
x
x
1 De ahí, x 3 + 3 x
x
x
=
52
2
−
2
+
4
⇒
positivo.
En un círculo se dibujan cuatro interiores de 1 cm de radio todos tangentes a él y, a la vez, tangentes entre sí dos a dos. ¿Qué porcentaje de superficie está coloreada de naranja respecto a la total del círculo original
!"#$%&'( Dibujamos el cuadrado ABCD formado por los segmentos que unen los centros de los cuatro círculos interiores y trazamos sus diagonales, que se cortan en el centro O del círculo grande. Llamamos T al área del círculo grande, cuyo radio es la mitad de la diagonal del cuadrado más el radio de uno de los círculos interiores. Es decir, su radio es (teniendo en cuenta que el lado del cuadrado mide 2 cm) radio
1 =
2
×
2
2
+
2
2
+1 =
2×
2
2
+1 =
2
+ 1 cm
usando el teorema de
itágoras en el triángulo rectángulo is!sceles ABC . De lo anterior, T = π ×
(
) (3
)
2
2
+1
=
+
2×
× π cm
2
"
#amos a deducir dic$a área de otra forma, teniendo en cuenta que es la suma de las áreas de la superficie %erde ( Ve ), de las de los círculos interiores ( Am , cada una) y de las de las cuatro c uatro superficies iguales a la roja ( Ro , cada una)& T = Ve + 4 × Am + 4 × Ro El área de cada círculo interior es Am
2
= π cm
= π × 1
"
El área de la superficie %erde es la diferencia entre el área del cuadrado y el área de uno de los círculos interiores (obs'r%ese la figura que engloba el cuadrado& cuatro cuartos de un círculo interior más la parte %erde). Ve
=
2
2
− π =
4 − π cm
"
En conclusi!n, T = 4 − π + 4 × π + 4 × Ro
omo la superficie naranja es Am + Ro
=
(3
= π +
(2 porcentaje pedido es
Am + Ro T
+
× 100% =
(3
+
2×
2
2 × π 2 2
+
2×
× π
2
× π ⇒
−1 =
)
2
)
)
(2
Ro
+
2 2
× 100% =
)*,+)+
2
)
−1
× π
2 × π
=
× π
" − 1 cm
− 1 cm
"
y T = 3 + 2 × 2
× π cm
"
, el
Al dividir por siete un número de cuatro cifras resulta el que se obtiene al tachar, del original, la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número?
SO!C"#$ Sea el número abcd y hay que tener en cuenta que a, b, c, d son cifras y a Al dividirlo por 7 se obtiene acd por lo que abcd = 7 × acd ⇒ ⇒ 1000 a + 100b + 10c + d = 700a + 70c + 7 d ⇒ 300a + 100b − 60c 50b ⇒ 3d = 150a + 50b − 30c ⇒ d = 50a + − 10c 3 Para que d sea una cifra debe ser b
=
=
3n , siendo n ≥ 0 entero.
Entonces, d = 50a + 50n − 10c ⇒ d = 10 × (5a + 5n − c ) por lo que d =
0 ⇒ 5a + 5n − c = 0 ⇒ c = 5a + 5n = 5 × (a + n )
Como a
≠
0 , sólo puede darse el caso que a = 1, n = 0 (b = 0), c = 5
Es decir, el único número que cumple la condición es
%&'&
6d ⇒
≠
0
Una persona compró doce botellas de vino, blanco y tinto, por 99 euros. Si el vino tinto cuesta 3 euros más que el blanco y compró más vino blanco que tinto, ¿cuántas botellas de cada una compró si ambos precios son valores enteros?
SOLU!"# Llamamos
x al número de botellas de tinto e y
Según el enunciado, Llamando ⇒
3 x
Como
=
p
al número de botellas de blanco que compró.
x + y = 12 ⇒ y = 12 − x siendo x < 6 < y
al precio del vino blanco, tenemos que x × ( p + 3) + (12 − x) × p = 99 ⇒ 3 x + 12 p = 99 ⇒
99 − 12 p
⇒ x =
33 − 4 p
x < 6 , el valor de la
•
p = 8 euros
•
p = 7 euros
⇒
botella de vino blanco puede ser
x = 1 ⇒ y = 11
⇒ x =
5⇒ y
=
7
por lo que
compró $ botella de vino tinto y $$ de vino blanco o compró % botellas de vino tinto y & de vino blanco
En un cuadrado de 1 cm de lado construimos un hexágono regular como indica la figura. ¿Cuánto vale el área de la zona coloreada?
SOLUC!" Obsérvese que el triángulo ABC es rectángulo y con el ángulo C = 60 º , pues es suplementario a uno interior del hexágono. Por ello, uniendo el triángulo ABC con el triángulo A' B' C ' obtenemos un triángulo equilátero de lado 2 x . Igual efecto surge haciendo lo mismo con los triángulos superiores. El área pedida será la diferencia entre el área del cuadrado y el doble del área del triángulo equilátero de lado 2 x plicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa OC obtenemos que a
2
a =
2
4
1 +
4
⇒
3a
2
4
Entonces a + 2 x = 1 ⇒ 2 x = 1 − a
1 =
⇒a 2 =
4
3
=1−
3
1 3
1
⇒a=
3
3
=
el área es
2
3
4x =
2
×
4
3
3 =
4
cm, lado del hexágono regular.
cm, lado del triángulo equilátero construido anteriormente.
!a altura de ese triángulo es, por el teorema de Pitágoras, AB 2 x × x ×
3
× 1 −
El área de la superficie coloreada es 1 − 2 ×
3 3
3 =
1
3 3
2
−
4
×
2
BC
=
4 2 × 3 − = 3 3
= 2 − 2× 2 3
3
es decir,
#$%&'( cm)
"
cm
2
− AC
=
3 3
2
(2 x ) 1
−
2
"
cm
− x
2
=
x×
3
cm y
Representamos por P(n) y S(n) el producto y la suma, respectivamente, de las cifras del número natural n. Por ejemplo: P(23) = 6 y S(23) = 5. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número natural, de entre los de dos cifras, ue verifiue ue P(n) + S(n) = n!
"#$%C&'( Sea el número n = ab : P(n) + S (n) ⇒
b + 1 = 10
⇒
b=
=n
⇒
ab + (a + b ) = 10a + b
⇒
ab + a = 10 a
⇒
a × (b + 1) = 10 a
9, ∀a cifra.
Por tanto, todos los números de dos cifras que poseen la cifra de las unidades igual a 9 verifican la condición. Hay 90 números de dos cifras (: de 10 a 99 ) y, de ellos, 9 acaban en 9 (: 19 , 29 , , 99 ) !ntonces, la probabilidad es
9 90
=
1 10
. !s decir,
),* No hay más números naturales de las características citadas salvo los indicados aquí.
⇒
Un rectángulo de 22 cm de perímetro, se divide en 5 rectángulos iguales. ¿Cuál es el perímetro de cada uno de estos 5 rectángulos?
SOLUCI! Llamamos a y b a los lados de cada uno de los 5 rectángulos interiores. Se observa que 3a
=
2b
El perímetro del rectángulo grande es
(
2 × 3a + a + b
) = 22 ⇒ 8a + 2b = 22 ⇒ 8a + 3a = 22 ⇒ 11a = 22 ⇒ a = 2 cm
Entonces, el perímetro de cada uno de los 5 rectángulos es 2a + 2b
=
2a + 3a
=
5a
=
5× 2
=
"# cm
En un triángulo rectángulo ABC se toma un punto D sobre la hipotenusa AC y resulta que el triángulo BCD tiene todos sus lados iguales a 1 cm ¿Cuánto mide AB?
SO!C"#$ El triángulo BCD es equilátero, por lo que todos sus ángulos valen 60º Entonces, en el triángulo ABD se verifica: el ángulo B = 30º por ser complementario a uno de 60º y el ángulo D = 120 º por ser suplementario a otro de 60º . Por lo tanto, el tercer ángulo vale A = 180 º −30º −120 º = 30 º = B , por lo que el triángulo ABD es isósceles y AD = BD = 1 cm De ahí AC = AD + DC = 1 + 1 = 2 y como BC = 1 cm, aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC y obtenemos: 2
AB
=
AC
2
−
BC
=
2
2
2
−1
=
3 cm
En resumen,
AB % √& cm
Si 3a = 4, 4 b = 5, 5 c = 6, 6 d = 7, 7 e = 8 y 8f = 9, halla el valor del producto
SOLUC!" 3
2 =
9
=
8
f
=
(7 )
e f
=
((6 ) )
f d e
=
6
def
=
(
(5
)
e c d
)
f =
(4
(
) )
d b c
=#
e
f =
e d c b (3a )
(
)
f =
3
abcdef
, por lo que
Cada una de las afirmaciones siguientes puede ser cierta o falsa. 1. Las afirmaciones 3 y 4 son ambas ciertas. 2. Las afirmaciones 4 y 5 no son ambas falsas. 3. La afirmación 1 es cierta. 4. La afirmación 3 es falsa. 5. Las afirmaciones 1 y 3 son ambas falsas. ¿Qué afirmaciones de estas cinco son ciertas
!"L#C$%& Supongamos que la afirmación 3 es cierta. Entonces la afirmación 1 también lo es y la 4 igualmente, luego la afirmación 3 es falsa: ¡contradicción En conclusión, 3 es !"#S". $or tanto, 1 es !"#S" y 4 es %&E'(". )e lo anterior, la afirmación * es %&E'(" y la + es %&E'(".
!on ciertas las afirmaciones 2' 4 y 5
De regreso a casa, Tomás conducía su coche a velocidad constante. A las 6 de la tarde estaba a abc km de su casa, donde a, b, c son dígitos tales que a ≥ 1 y b !. A las 6 y 1" minutos estaba a ca km de casa y a las # horas a ac km de casa. $A qu% hora lleg& a casa'
()*+-/ A las 6 estaba a
abc
= 100 a +
c km de su casa.
18 minutos más tarde estaba a ca =
(
a km, por lo que en 18 minutos recorre 100a + c − 10c + a
99a − 9c km
A las 7 de la tarde estaba a =
= 10c +
ac
= 10a +
(
c km, por lo que en 60 minutos recorre 100a + c − 10a + c
)=
90a km
Como lleva velocidad constante,
99 a − 9c 90 a
Como ambos son dígitos, deberá ser
a
=1
18 =
y
⇒
60 c
=
11a − c 10 a
3 =
10
⇒ 11a −
c
=
3a
⇒
c
=
8a
8
O sea, a las 6 estaba a 108 km y a las 7 a 18 km de casa por lo que lleva una velocidad de 90 km/h Hace 90 km cada hora y le altan 18 km para llegar, por lo que le alta 1 5
× 60 = 12
18 90
1 =
5
de hora para llegar!
minutos.
*leg& a casa a las # horas 10 minutos
)=
Si f es una función que verifica f(xy) = f(x)/y para cualesquiera números positivos x e y y f(500) = 3, ¿cuál es el valor de f(600)?
SOLUCI! f (500) = f (100 × 5) =
f (100) 5
=
3⇒
Entonces, f (600 ) = f (100 × 6 ) =
f (100) = 15
f (100 ) 6
15 =
6
5 =
2
f "#$$% & '()
En un cuadrado de 36 cm 2 de área se marca el punto punto medio M de uno de los lados. ¿Cuánto vale el área de la zona roja?
SOLC!"# Es evidente que los lados del cuadrado miden 6 cm y que el lado vertical del triángulo rojo mide 3 cm según el enunciado. Se trata de calcular la superficie del triángulo A Se puede observar que, por el teorema de Thales, los triángulos A y C son semejantes al tener sus tres ángulos iguales. Además, su ra!n de semejana entre sus lados es 2 y, por tanto, la ra!n entre sus áreas es 4 Esto es, C = 4 A Además, observemos que el triángulo A + B tiene de superficie " " A + B = 9 cm y el triángulo B + C tiene de superficie B + C = 18 cm #estando los dos valores obtenidos tendremos que C − A " como C = 4 A ⇒ 4 A − A = 3 A = 9 cm
La super$icie roja tiene un área de 3 cm2
=
"
9 cm y
Una persona dispuso en su testamento que, al morir, se repartiesen cada año 66000 euros entre los jóvenes de su pueblo, pero sólo se podía continuar otro año con la donación mientras se diera, cada vez, a una cantidad diferente de mujeres y hombres (al menos uno en cada caso a la que se había dado en cada uno de los años anteriores! "bli#atoriamente debían entre#arse $%00 euros a cada hombre y &000 euros a cada mujer! 'u)ntos años duraron las donaciones*
+"U-./ Llamamos
x al número de mujeres e y
al número de hombres de cada donación.
Se sigue, de lo anterior y del enunciado, que 3000 x + 1800 y Despejando, 5 x + 3 y = 110 ⇒ x =
110 − 3 y 5
⇒
x = 22 −
3y 5
=
66000 ⇒ 5 x + 3 y
, siendo
3 y 5
un valor entero positivo.
Las únicas posibilidades son, entonces, 1.
y = 5 ⇒ x = 19 : 19 mujeres y 5 hombres
.
y = 10
⇒
x = 16 : 16 mujeres y 10 hombres
!.
y = 15
⇒
x = 13 : 13 mujeres y 15 hombres
".
y = 20
⇒
x = 10 : 10 mujeres y 20 hombres
#.
y = 25
⇒
x =7
$.
y = 30
⇒
x = 4 : 4 mujeres y 30 hombres
%.
y = 35
⇒
x = 1 : 1 mujer
= 110
: 7 mujeres y 25 hombres
y 35 hombres
&n conclusión,
el reparto duró años
Halla el valor de
SOLUCIÓN 3
2013
×5
15
2015
2014
2014
3 =
×5
2014
3 × 15
2014
×5
2014
=
(3 × 5)
3 × 15
×5
2014
15 =
2014
3 × 15
×5 2014
5 =
3
el valor de la expresión es 5/3
La media aritmética de los nueve números del conjunto {9, 99, 999, 9999, ...., 999999999} es un número M de nueve cifras, todas distintas. ¿Cuál es la cifra que no está en M?
!L"C#$% Como todos los números del conjunto son múltiplos de 9 , su media aritmética
M
debe ser múltiplo de 9
La suma de las 10 cifras significativas es 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 , múltiplo de 9 y como la suma de nueve de esas cifras es también un número M múltiplo de 9 la cifra que falta debe ser 0 o 9 Ahora bien, la suma de los nueve números del conjunto acaba en 1 (pues todos acaban en 9 ) y su cociente entre 9 deber tener esta última cifra, precisamente, al final, por lo que
la cifra que no está en M es &
¿Para qué enteros positivos
n
resulta que n2 – 3n + 2 es un número primo?
SOLUCIÓ Como
n
2
− 3n +
2
=
(n − 1)× (n − 2 ) , pues basta hacer la elemental descomposición
factorial de este trinomio por el método de Ruffini, dicho número será siempre compuesto salvo que uno de los factores de la descomposición (positivo, por supuesto) sea 1 . Esto sólo ocurre si n
2
− 3n +
2
=
n −1 = 1 ⇒ n =
2
n
2
− 3n +
2
=
0 , que no es primo, ó
n −
2
=1⇒ n =
3
2 , evidentemente primo.
S!lo para n " 3# n2 $ 3n + 2 % " 2& es un número primo
Una persona compra, en una carnicería, piezas de cordero lechal: cierta cantidad exacta de kilos de chuletas a 24 euros el kilo y otra cantidad exacta de kilos de paletilla a 18 euros el kilo. Si hubiera diidido e!uitatiamente el mismo dinero entre las chuletas y la paletilla habría "anado dos kilos en el peso total. #$u%nta es la mínima cantidad de dinero !ue pudo "astar&
S'(U$)*+ Llamamos
x e y
a los kilos respectivos que compró de chuletas y de paletilla.
Le costó todo 24 x + 18 y euros, por lo que si hubiera gastado la mitad de ese dinero ( en cada producto habría comprado
12 x + 9 y 24
=
x
2
+
3y 8
kilos de chuletas y
12 x + 9 y 18
24 x + 18 y 2
=
2 x 3
+
y
2
= 12 x + 9 y
)
kilos de
paletilla. Es decir,
x
2
+
3 y 8
+
2 x 3
+
y
2
=
7 x 6
Entonces, según el enunciado,
+
7 x 6
7 y 8 +
kilos en total, siendo
7 y 8
=
x + y + 2
Ecuación dio!ntica que resolvemos" 4 x − 3 y y
=
⇒
x + y
28 x + 21 y
48 ⇒ 3 y
24 =
los kilos que compró realmente.
=
x + y + 2
4 x − 48 ⇒ y
=
⇒
4 x − 3 y
4 x − 48 3
=
valores enteros positivos. Los mínimos valores que cumplen esas condiciones son
=
48
x − 16 + x = 15
x
3
⇒
, siendo
x e
y =4
#ompró 15 kilos de chuletas y 4 kilos de paletilla. $i hubiera repartido el dinero que gastó en partes iguales, habría comprado 2 kilos m!s" 9 kilos de chuletas y 12 kilos de paletilla. En conclusión, gastó 24 ×15 + 18 × 4
=
42 euros
Se quiere construir una carretera de 4 metros de ancha que atraviese, atraviesa como indica la figura, una plantación de girasoles de forma rectangular. ¿Cuántos m2 de plantación se perderán como consecuencia de la existencia de la carretera?
S!"C#$% La superficie del tramo de carretera que atraviesa la 2 plantación (el paralelogramo ABDE es 5h m Debemos hallar, por tanto la longitud h , medida de un lado del campo de girasoles. Si observamos, es bastante evidente que los triángulos EFA y ECD son, ambos, rectángulos y semeantes entre si, por lo que podemos establecer la proporción entre sus catetos correspondientes!
AF FE
EC =
CD
"or otro lado, y aplicando el teorema de "itágoras en el triángulo ECD , obtenemos! CD
2
2
2
= DE − EC
#ntonces,
AF FE
=
5
2
EC =
−
4
=
h ⇒
CD
2
15
25 − 16
4 =
⇒
3
h
=
=
9 ⇒ CD
=
3 metros.
20 metros.
#n resumen, la superficie perdida será 5h = 5 × 20 =
&'' m2
Preparando el milagro de los panes y los peces, Jesús llevó a cuatro de sus discípulos (Juan, Santiago, Pedro y Judas) al río y les pidió que pescasen un pez y se lo entregasen. Una vez cumplida la solicitud Jesús izo una invocación y, de repente y con el original, apareció un montón de !"# peces en total. Satis$eco por el %&ito, decidió repartir todos los peces, sin trocearlos, a cada uno de sus acompa'antes dando a Juan a+b peces, a Santiago axb peces, a Pedro a-b peces y a Judas a/b peces. Si dio ms de un pez a cada discípulo, cul es la mayor cantidad de peces que pudo reci*ir Pedro+
S-U/01 Según el enunciado, a + b + a − b + a × b +
Teniendo en cuenta que 108 = 2 Si debe ser b 1.
2.
b
b
=
=
> 1,
2⇒
3
×3
,
b
(
= 108 ⇒
a× b
2
+
2ab + ab
a
+
b
)
2b + 1
b
2
=
(
2
)
a × b +1 b
= 108 ⇒
= 108 ⇒
(
a× b
2
+
)
2b + 1
b
(
2
)
a × b +1 b
= 108
=
2
2
3
×3
solo caben estas posibilidades:
3
2
×a
2
5⇒
2
a
6
2
×a
5
=
2
=
2
2
2
3
×3
3
×3
⇒
a
⇒
a
=
=
2
3
×3 =
24 , valor factible al ser entero positivo como b : a − b
5 × 3 = 15 , valor factible al ser entero positivo como b : a − b
=
22
= 10
Otros valores superiores para b no dan soluciones enteras para a Entonces, el valor de a − b es 24 − 2 = 22 (lo cual a debe ser evidente en el primer intento, pues si b es m!nimo, a a − b son m"#imos$ , por lo que
Pedro reci*ió, como m&imo, 22 peces
En la imagen aparece una matrícula doblemente capicúa: de números y de secuencia literal. Además, el capicúa numérico es múltiplo de 11.
Evidentemente, cualquier número de cuatro cifras del tipo ABBA es capicúa y múltiplo de 11 pero, cuántos números capicúas de tres cifras son múltiplos de 11!
"#$%&'() Llamamos aba a un número capicúa de tres cifras, a
>
0
Si debe ser múltiplo de 11 , a + a − b = 11n ⇒ 2a − b = 11n , siendo n = 0, 1, 2, 3, ... Desglosamos los casos admisibles, sabiendo que a y b son cifras:
a)
a = 1 ⇒ b = 2 ⇒ 121 a = 2 ⇒ b = 4 ⇒ 242 n = 0 ⇒ 2a − b = 0 ⇒ b = 2 a ⇒ a = 3 ⇒ b = 6 ⇒ 363 a = 4 ⇒ b = 8 ⇒ 484
a = 6 ⇒ b = 1 ⇒ 616 a = 7 ⇒ b = 3 ⇒ 737 b) n = 1 ⇒ 2a − b = 11 ⇒ b = 2a − 11 ⇒ a = 8 ⇒ b = 5 ⇒ 858 a = 9 ⇒ b = 7 ⇒ 979 Por tanto,
*ay + capicúas de tres cifras y múltiplos de 11
En una de las habituales conversaciones con su amiga, una dama apuntó: la edad de mi esposo se representa invirtiendo los números de mi propia edad. Él es mayor que yo y la diferencia de nuestras edades equivale a la undécima parte de la suma de ambas. La amiga, después de refleionar breves instantes, dedu!o las edades de ambos miembros del matrimonio". y siguieron conversando de sus cuitas" #$ué edades ten%an marido y mu!er&
'(L)*+Llamamos
xy a
la edad de la mujer, por lo que
Y, según las condiciones, yx + xy ⇒
11 y + 11 x
Como
x e y
= 11 ×
= 11×
( yx
yx
será la edad del esposo.
)
− xy ⇒ 10 y + x + 10 x + y = 11 ×
(10 y + x − 10 x − y ) ⇒
(9 y − 9 x ) ⇒ y + x = 9 y − 9 x ⇒ 5 x = 4 y
son cifras, los únicos valores válidos son
x = 4
e
y = 5
Es decir,
el marido ten%a / a0os y la dama ten%a / a0os
Halla el número de parejas de enteros (a, b) que verifican la ecuación
SOLUC!" 1 10
=
b
5
+
1
⇒
a
5a
(
= 10 × ab + 5
) ⇒ a = 2ab + 10 ⇒ a − 2ab = 10 ⇒ a =
Al ser a y b enteros debe cumplirse que 0 < 1 − 2b
10 1 − 2b
≤ 10
Posibilidades 0 ⇒ a = 10 … (10 , 0)
1.
b=
2.
b = 1 ⇒ a = −10 … − 10
3.
b=
4.
b = −2 ⇒ a =
(
3⇒ a
= −2
… (3 ,
2…
(− 2
, 1)
−2
)
, 2)
¡y no hay más!
Ha# $ parejas de enteros, soluciones de la ecuación
¿Cuántos números de tres cifras abc , con la última no nula, verifican que abc – cba = de4 ?
SOLUCIÓN
(
)
abc − cba = de 4 ⇒ 100 a + 10b + c − 100c − 10b − c = de4 ⇒ 99 × a − c = de 4
La única posibilidad de un producto 99 × (a − c ) acabe en 4 es que a − c Como c
≠
=
6
0 , las posibilidades son:
1.
a = 7, c = 1 y los números son 7b1 con b = 0, 1, ..., 9 ⇒ 10 números
2.
a = 8, c = 2 y los números son 8b 2 con b = 0, 1, ..., 9 ⇒ 10 números
3.
a = 9, c = 3 y los números son 9b3 con b = 0, 1, ..., 9 ⇒ 10 números
Ha !" números de tres cifras cum#liendo las condiciones
Decimos que un número es de libro si es igual a la suma de un número de dos cifras diferentes y del número que se obtiene invirtiendo estas dos cifras. Por ejemplo: 143 es un número de libro porque 143 = ! " ! #$u%ntos números de libro son múltiplos de &'
()*+$,- Un número de libro cumple es igual a N = ab + ba , siendo a y b cifras: con valores entre 0 y 9 Pero N = ab + ba
= 10 a + b + 10b +
cumplirse que a + b
=
7 o a + b
a
= 14
= 11a + 11b =
11 × (a + b ) por lo que, para que sea múltiplo de 7 , debe
y, así, N = 11 × 7
=
77 o N
= 11× 14 = 154
/ay 0 números de libro múltiplos de &
Un hombre despistado preguntó a su mujer, aficionada a los acertijos lógicos, “¿qué día de la semana es hoy?” a mujer le respondió! “"uando pasado ma#ana sea ayer, hoy estar$ tan lej os del domingo como hoy lo estaba del domingo cuando anteayer era ma#ana”% ¿&n qué día de la semana estaba el caballero?
'(U")*+ Llamamos al día de la semana en el que estamos y traducimos la frase de la mujer: Cuando pasado mañana (-.) sea ayer : hoy es -/… estaremos tan lejos del domingo como hoy lo estaba del domingo cuando anteayer (0.) era mañana: hoy es 0/
Evidentemente, las equidistancias para 0/ y -/ se refieren precisamente a por lo que
el día de la semana era domingo
En la figura adjunta, donde EA es perpendicular a AC , sabemos la medida de los siguientes segmentos: AB = 8, AC = 18, AE = 16 y AF = 6 ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado?
!"#C$%& Trazamos una paralela, por D, a AC que corta a AE en H Llamamos x = HD e y = HF Como los triángulos rectángulos ABE y HDE son semejantes, se cumple que HE AE AE − AF + y AE 10 + y 16 = ⇒ = ⇒ = = 2 ⇒ 10 + y = 2 x HD AB x AB x 8 Como los triángulos rectángulos ACF y HDF son semejantes, se cumple que HD AC x 18 = ⇒ = = 3 ⇒ x = 3 y HF AF y 6 De ambas igualdades obtenemos que 10 + y
=
6 y
⇒
y
=
2 y
x = 3 y
=
6
El área solicitada es la suma de las áreas del triángulo rectángulo HDF y del trapecio rectángulo ABDH Por tanto, el valor de la supericie será
xy 2
+
AB + x 2
×
AH =
6× 2 2
+
8+6 2
×
(6 − 2 ) = 6 + 7 × 4 = 34
El área 'ale () unidades cuadradas
Si
a ≥ b > 1 , ¿cuál es el mayor valor posible de
log a
a b
+ log b
b a
?
SOLUCIÓN Llamamos x = log b a > 0 porque a ≥ b > 1
log a
a b
+
log b
b a
=
Como x > 0 ⇒ − ⇒
x = 1 ⇒
log a a − log a b + log b b − log b a = 1 −
( x − 1)2
log b a
x
≤
1 log b a
+ 1 − log b a =
0 , por lo que el mayor valor se producirá para
2−
−
1 x
− x =
( x − 1)2 x
=
2 x − 1 − x 2 x
=−
( x − 1)2
0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒
=1⇒ a = b
En conclusión,
el mayor valor que puede tomar la expresi! es "
x
En un aula hay un cierto número de alumnos. Curiosamente la media de edad de esos alumnos coincide con el número de alumnos que hay. Entra entonces en la habitación un alumno de 17 años y vuelve a coincidir la edad media de los que hay con el número de alumnos. ¿Cuántos alumnos había en el aula al principio
!"#$C%&' Llamamos
n al número original de alumnos.
Según la hipótesis inicial, el número de alumnos coincide con la media aritmética de sus edades: n
∑ xi x
=
i =1
n
n
=
n
por lo la suma de esas edades será ∑ xi
n
=
2
i =1 n
∑ xi Al entrar un nuevo alumno de 17 años se verifica que, según la segunda condición,
or tanto,
n
2
+ 17
n +1
=
n +1 ⇒ n
2
+ 17 =
2
(n + 1)
2
⇒ (n + 1)
−
n
2
= 17
+ 17
i =1
⇒ 2n + 1 = 17 ⇒ 2n
n +1 = 16
=
⇒n
el número ori(inal de alumnos en el aula es )
n +1
=
8 !
Halla el mayor número posible de nueve cifras, distintas entre sí, que sea múltiplo de 11.
SOLUC!" Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y suma de las cifras que ocupan lugar par es 0 o múltiplo de 11 En el número faltará una cifra de las diez que existen. Tomando como número 98765abcd debemos considerar que debe cumplirse que (9 + 7 + 5 + b + d ) − (8 + 6 + a + c ) = 7 + b + d − a − c sea 0 o múltiplo de 11, siendo los dígitos desconocidos algunos de los cinco menores. i !acemos b = 4 , d = 3 , a
=
2 y c
= 1,
obtenemos que (9 + 7 + 5 + 4 + 3) − (8 + 6 + 2 + 1) = 28 − 17
= 11
"or ello,
el mayor número múltiplo de 11 con nueve cifras y distintas es #$%&'()1*
¿Cuál es el perímetro de la estrella si el del pentágono central es de 60 centímetros y el de cada uno de los triángulos es de 40 centímetros?
SOLUCIÓ La suma de todos los perímetros de los triángulos es 5 × 40 = 200 centímetros. En esa suma se incluyen los lados de la estrella y los lados del pentágono. Por eso, restando a ese valor el perímetro del pentágono tendremos la solución: 200 − 60 = 140 centímetros
el perímetro de la estrella mide !40 centímetros
El resto de la división de un número de dos cifras
ab entre
7 es 2
¿Cuál es el resto de dividir abab entre 7?
SOLUCIÓ ab
=
7c + 2 según el enunciado.
Entonces, abab
= 101 × ab = 101 ×
(7c + 2 ) = 7 ×101c + 202 = 7 ×101c + 7 × 28 + 6 = 7 × (101c + 28 ) + 6
Por lo tanto,
el resto de la división de abab entre 7 es !
Preguntado un número si era múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 6 y de 8, respondió cinco veces que sí y una que no. !u"l de las siguientes a#irmaciones es, con seguridad, #alsa$ a% &s múltiplo de 24 '% &s múltiplo de 3( c% &s múltiplo de 4( d% &s múltiplo de 5( e% &s múltiplo de 6( )*+!-/ Debe ser múltiplo de 2 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 4 ni de 8 , y sólo una respuesta es negativa. Debe ser múltiplo de 3 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 6 , y sólo una respuesta es negativa. Debe ser múltiplo de 4 , porque si no lo fuera tampoco lo sería de 8 , y sólo una respuesta es negativa. Es múltiplo de 6 , porque lo es de 2 y de 3 Por tanto, o no es múltiplo de 5 o no lo es de 8 , por lo que nunca lo será de 40 = 5 × 8
+a a#irmación c% es #alsa con seguridad
Siete amigos van un fin de semana a un sitio de playa y se gastan 120 euros cada uno excepto Roberto, que es el más derrochador y gasta 3 euros más que el promedio de gasto de todo el grupo! "#uánto gasta Roberto$ S%&'#()* Sea
p
el promedio de gasto del grupo. Roberto gasta
De ahí, 720 + p + 36 = 7 p ⇒ 6 p
=
756 ⇒ p
= 126 ⇒
p + 36 euros,
por lo que
6 × 120 + p + 36
p + 36 = 126 + 36 = 162 euros
En conclusión,
Roberto gasta 12 euros
7
=
p
Dos cuadrados iguales, de 4 cm de lado, se cortan perpendicularmente en los puntos medios de los lados correspondientes como indica la figura. Si el diámetro del círculo construido es el segmento cuyos extremos son los puntos de corte de los cuadrados, ¿cuál es el área de la región sombreada? SO!"#$% Vamos a calcular la mitad del área sombreada pedida, que se ve en la figura de la derecha. El área de todo el contorno es el área del cuadrado menos el área del triángulo azul, que es la misma superficie que le falta. Como el triángulo azul tiene ambos catetos de por lo que el área del contorno es de 4
2
−
2
2 cm,
= 14
su área es de
2×2 2
=
2
2 cm
,
2
cm
Por otro lado el semicírculo tiene, de radio, la mitad de la hipotenusa del triángulo 2
rectángulo azul
2 +2 2
2
=
2
2
=
2
2
cm
Por tanto, el área de la figura que estamos tratando es 14 −
2
π ×
2
! " el área de toda la figura pedida es
&' ( &π cm&
2
2 = 14 − π cm
