AXONOMETRÍAS ORTOGONALES. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA OBJETIVOS
1 FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO no
En el sistema axonométrico se aplica la proyección paralela, tanto la ortogonal como la oblicua. Los objetos a representar vienen referenciados a un triedro trirrectángulo cuyas aristas son los ejes de la axonometría.
de
e
od
a l cu
Z0
dro
Plano del cuadro
Z
n Pla
Pla
Z
Z
π
π
El objeto y sus tres proyecciones ortogonales sobre los planos del triedro se proyectan a la vez sobre un plano ( π ) oblicuo a los tres ejes denominado plano del cuadro ( fig.1.1). En la fig.1.2 , se muestra una visión espacial de la proyección del triedro fundamental y la de un punto P0 situado en el espacio junto a sus proyecciones ortogonales sobre dichos planos coordenados. Asimismo, todo el conjunto se ha proyectado ortogonalmente sobre el plano del cuadro, que visto en representación axonométrica (o plano del papel), quedaría como muestra la fig.1.3 .
Z0
ro
ad
l cu
3. Saber utilizar la axonometría como recurso gráfico de carácter técnico, para crear sensación de volumen en la representación de cuerpos y modelos sencillos.
2. Resolver, en este sistema de representación, ejercicios de definición de puntos, rectas y planos, como base para la representación de cuerpos y objetos complejos.
1. Conocer y analizar los fundamentos teóricos del sistema axonométrico ortogonal, distinguiendo las tres variantes que pueden establecerse: isométrica, dimétrica y trimétrica.
O
P
P0
P
O
O
α
β
X0
X Y
Y
1.1
Proyección cilíndrica ortogonal del triedro sobre el cuadro.
Y0
X0
X
Y0
X
Y
P’0
P’
Como elementos fundamentales del sistema axonométrico podemos considerar:
P’’ P’’’
P’’’ 0
P’’’
dire dirección de pr proyección axonométrica axon
γ
P’’0
P’’
P’
1.2
1.3
Proyección del punto P0 del espacio sobre el cuadro.
Representación axonométrica del punto P y sus proyecciones sobre los planos coordenados.
• El triedro trirrectángulo de vértice O, consi-
derado como origen de coordenadas y, cuyas aristas OX , OY, OZ representan los ejes del sistema. Sus caras definen los planos coordenados o planos axonométricos.
Plano del cuadro
Plano del cuadro
Z
YZ PLANO
Plano del cuadro
Z
YZ PLANO
PLANO XZ
PLANO XZ
PLANO
Z
YZ
PLANO XZ
• La dirección ortogonal, que determina la
proyección del triedro de ejes principales sobre el plano de proyección. • El plano de proyección ( π ), que forma los
X
ϕ YZ
X
O
A
N
PL
A PL
Z
ϕXY = ϕYZ = ϕZ X = 120° ϕ ZX
O
X
Y X O N A PL
Z
X
Y
Y
Y
Y
X
Y
N
ángulos α , β y γ con los ejes coordenados X 0 ,Y0 , Z 0 respectivamente (fig.1.1) ; o dicho de otra forma : el plano de proyección que atraviesa al triedro axonométrico de tres modos diferentes determinando, por intersección con los planos coordenados, el llamado triángulo de trazas, que puede ser : equilátero, isósceles o escaleno.
ϕ YZ
Z
ϕXY = ϕYZ = ϕZ X Z
ϕ ZX
ϕXY = ϕYZ = ϕZ X
Z
ϕ YZ
ϕ ZX
Z
2 AXONOMETRÍAS ORTOGONALES De las diferentes posiciones entre el plano del cuadro y el triedro trirrectángulo, nacen los tres tipos de perspectivas axonométricas:
ϕ XY
Y
X
120°
120°
Y
ϕ XY
130°
130°
X
ϕ XY
Y
X
110°
120°
2.1 Perspectiva Isométrica. Cuando los ángulos que forman las aristas del triedro trirrectángulo con el plano del cuadro son iguales. Esto es: α = β = γ resultando que:
ϕxY
=
ϕYz = ϕz x = 120°.
En este caso, las trazas del plano del cuadro forman un triángulo equilátero ( fig. 2.1 ) ; y, el coeficiente de reducción es igual para los tres ejes coordenados: 2 / 3 = 0,81649 en la práctica se toma como reducción en cada eje 0,8 = 4 /5 .
2.1
Y
X
Perspectiva Isométrica.
2.2
Perspectiva Dimétrica.
120°
2.3
Y
X 100°
Cuando dos de los ángulos que forman las aristas del triedro trirrectángulo con el plano del cuadro son iguales. α=β≠ γ Así, por ejemplo :
ϕxY
Perspectiva Trimétrica.
130°
2.3 Perspectiva Trimétrica.
2.2 Perspectiva Dimétrica.
lo que trae consigo que :
X
Y
≠
ϕYz
=
ϕzx .
En este caso, las trazas del plano del cuadro de-
terminan un triángulo isósceles ( fig. 2.2 ) ; y la unidad de medida tendrá igual reducción sobre los dos ejes que delimitan el ángulo desigual. En la figura superior el ángulo distinto es el que forma el eje X con el Z y, por tanto, ambos ejes tendrán igual reducción y distinta de la que corresponde al eje Y.
Cuando los tres ángulos son distintos. Esto es: α ≠ β ≠ γ resultando que : ϕxY ≠
ϕYz
≠
ϕzx .
En este caso, las trazas del cuadro forman un triángulo escaleno ( fig. 2.3 ) ; siendo la reducción distinta para cada eje coordenado.
181
Z
3 LA RECTA
Z
3.1 Representación axonométrica.
R’’’2
La recta es la unión de dos puntos. Su representación axonométrica viene definida por su proyección directa r y una de sus proyecciones sobre uno de los planos coordenados, o bien, mediante dos de sus proyecciones tales como r’ y r ” .
R3
R 2 R’’2 S2
Para que un punto pertenezca a una recta es necesario que las proyecciones del punto se encuentren en las proyecciones homónimas de la recta, es decir, que A esté en r , y por tanto: A’ en r’ , A” en r ” y A’” en r ’” .
B’’’ C
B”
B
α3
r’’’ r”
3.2 Trazas de una recta. Son los puntos de intersección de la recta con los planos axonométricos. Los puntos R1 , R 2 y R 3 resultan ser las trazas de la recta r con los planos coordenados XY , X Z e Y Z respectivamente. Para hallar la trazas, por ejemplo, con el plano XY , se busca el corte de la proyección directa r con la proyección horizontal r’ sobre dicho plano. Si se consideran los puntos de corte R’2 y R’3 , de la proyección r’ con los ejes X e Y , y por ellos se trazan paralelas al eje Z , se determinan, por intersección con la perspectiva directa r , los otros dos puntos traza R2 y R3 respectivamente. En definitiva, para hallar los puntos traza de una recta se procede como se hizo y expuso en el sistema diédrico.
A’’
A’’’
H3
B
h
H2
O
R’’1
S3
s’
R’’’1
r’
R’3
R’2
B’
A’
R1 R’1
A’
C’
r’
h’
X
R’’3
Y
B’
α1
Y
R1 3.1 y 3.2
R 3 R’’’3
Representación de una recta cualquiera y determinación de sus trazas.
4.1
Representación del plano dado por tres puntos A, B y C.
Z
4 EL PLANO
Z
v’’’
Entiéndase por tales todas aquéllas que mantienen alguna relación de pertenencia, paralelismo o perpendicularidad con los coordenados.
h’’’
H3
H2
O
O
h’ 3.3.1
Los planos, como en el sistema diédrico, se representan por sus trazas, es decir, por las rectas de intersección del plano con los coordenados. Como un plano puede venir definido por tres puntos o por dos rectas que se cortan, se hallan los puntos traza de las rectas h, r y s (que pasan por A , B y C ) . Uniendo puntos traza homónimos se determinan las trazas del plano ( α 1 , α 2 y α 3 ) .
v
h
Y
4.1 Representación axonométrica.
v”
h”
3.3.1 Paralelas a los planos axonométricos.
v’
V1
Y
X
Recta horizontal.
X
Recta vertical.
3.3.2
Únicamente se considera visto la porción de plano comprendido en el primer triedro.
Z
3.3.2 Perpendiculares a los planos axonométricos.
Z
Las rectas paralelas a un eje son perpendiculares al plano formado por los otros dos ejes. En la figura, la recta v es perpendicular al plano XY y paralela al eje Z . La proyección v’ es un punto y las otras dos (v” y v’”) paralelas a Z .
4.2 Posiciones particulares del plano.
s’’’ s”
s A’’’
M2 M3
A
A”
Como más relevantes pueden considerarse las siguientes: 4.2.1 Planos proyectantes. Planos perpendiculares a los coordenados. En la figura, se representa un proyectante horizontal.
m’’’
3.3.3 Rectas que cortan a los ejes.
4.2.2 Planos paralelos a los axonométricos.
m”
En la figura, la recta m corta al eje Z . Las proyecciones m” y m”’, así como la proyección directa m, se cortan en un mismo punto (M2 êM3 ) del eje Z que es, además, punto traza.
En la figura, el plano do YZ .
m O
O
M1
Y 3.3.3
Recta que pasa por el eje Z.
X
X
Y A’ 3.3.4
γ
paralelo al coordena-
4.2.3 Planos que contienen a los ejes.
s’
m’
3.3.4 Rectas que pasan por el origen.
182
A
A
3.3 Posiciones particulares de la recta.
En este caso, las proyecciones de este tipo de rectas pasan por el origen de coordenadas; por tanto, en él concurren las tres trazas de la recta.
r
r
Sólo se considera visto la parte de recta que se encuentra en el primer octante del espacio (triedro fundamental), donde se sitúa el observador.
Las rectas paralelas a los planos coordenados tienen la proyección directa paralela a la proyección correspondiente del plano paralelo y las otras dos son paralelas a los ejes. En la figura se representa una recta horizontal h . Análogamente, se pueden considerar rectas paralelas a los otros dos planos del sistema.
α2
s
Recta que pasa por el origen.
En la figura, el plano
δ
que contiene al eje Z .
4.2.4 Plano que pasa por el origen. En la figura, el plano ε que pasa por el origen O .
X
Z
Z
5 TRAZADO DE PARTES CIRCULARES EN ISOMÉTRICA
β3
Las partes circulares situadas en cualquiera de las tres caras paralelas a los planos coordenados de la perspectiva, se proyectan según una elipse (fig. 5.1.1). No obstante, por precisión y rapidez en la ejecución de los dibujos isométricos, se hace aconsejable dibujar óvalos (curvas que, ópticamente, se asemejan a la elipse, como puede observarse en la fig. 5.1.2 ) .
β2
γ1
Y
β1
Y 4.2.1
5.1 El círculo en los planos coordenados.
γ2
X
Círculo inscrito en un cuadrado.
Elipse
A
X
D
Círculo en el plano X Y
Plano proyectante horizontal.
4.2.2
Plano paralelo al YZ.
Z
O
Z
δ2 δ3
C
Óvalo
ε2
A’’
5.1.2
A
h
ε3
B
45°
H2
Diferencias entre la elipse y el óvalo en la perspectiva isométrica.
45°
H3
Z
O Y
X
A’
h’
δ1 4.2.3
o lan
Pla n
YZ
o
P
X
XZ
Círculo en el plano Y Z
Y
Círculo en el plano X Z
Plano que pasa por el eje Z.
4.2.4
Plano que pasa por el origen O. 5.1.1
Círculos isométricos (elipses), inscritos en las caras de un cubo.
4.3 Rectas contenidas en un plano. O
• Recta frontal del plano.
La recta h , contenida en un plano cualquiera α , es paralela al plano horizontal XY. Las proyecciones h (directa) y h’ serán paralelas a la traza α1 del plano y las proyecciones h” y h’” (no dibujadas) serán paralelas a los ejes X e Y respectivamente. Obviamente, no posee traza horizontal (H 1 ) .
X
Z
A
5.1.3
α2
f’’
N Y
M
X
• Recta horizontal del plano.
Y
o
Análogamente, para que un punto pertenezca a un plano es preciso que dicho punto se encuentre sobre una recta contenida en el plano.
B
an
Recta, tal como la f, paralela al plano vertical X Z . Las proyecciones f (directa) y f ” son paralelas a la traza vertical α 2 y las proyecciones f ’ y f ’’’ (no dibujada) son paralelas a los ejes X y Z respectivamente. Lógicamente, no posee traza vertical (F2 ).
Para su construcción se parte del cuadrado circunscrito a la circunferencia, que se convierte en un rombo en este tipo de perspectiva ( fig. 5.1.3 ). Los centros de los arcos correspondientes al círculo isométrico (óvalo), resultan ser los puntos A y B para los arcos mayores (cuadrantes en la circunferencia real) y los puntos M y N para los arcos menores (correspondientes a los otros dos cuadrantes en la circunferencia).
Pl
Una recta pertenece a un plano cuando las trazas de la recta se encuentran sobre las trazas homónimas del plano que la contiene.
Círculos isométricos (óvalos), situados en los planos coordenados o en paralelos a ellos.
5.2 Enlace de rectas con curvas.
Es frecuente la necesidad de enlazar dos líneas rectas con una curva formando ángulo recto como indica la fig. 5.2.1 . Para dibujar su perspectiva isométrica se recurre a usar el trazado por arcos de óvalo como se muestra en la perspectiva isométrica de la fig. 5.2.2.
f P’’
α3
H2
P
r
h
120°
H3 60°
Y
4.3
Rectas contenidas en el plano α : horizontal ( h ) y frontal ( f ).
X
Forma plana compuesta por rectas y arcos de circunferencia.
r
f’
90°
r
5.2.1
P’
2
h’
P1
2
α1
5.2.2
Isometría sobre el plano XY.
183
7 PASOS EN LA REPRESENTACIÓN DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN
6 PASOS EN LA REPRESENTACIÓN DE CUERPOS CON CARAS PLANAS Z
Z
Z
n
Altura
Z
n
n
A
Y
O’’’
X
O’’
m
m
Profundidad
Anchura
a
A b
Después de observar detenidamente el cuerpo se elige el punto de comienzo. Normalmente, el origen de coordenadas resulta ser el punto de partida idóneo.
X
Profundidad
Para confeccionar un dibujo en perspectiva se lleva a cabo un reducido número de pasos y con un orden lógico.
Proyecciones diédricas de la pieza de revolución a dibujar en isométrica; en donde la vista alzado se muestra en corte total por el plano A - A , al objeto de ver con claridad sus partes huecas.
Y Z
Z
1
2
O
120°
120°
a
m
Z
Se dibujan las partes circulares (elipses u óvalos) y se trazan las líneas rectas tangentes a ellas para definir el contorno.
Z
Z
4
Z
3
4
X X
Se trazan las líneas que marcan la intersección de caras mediante el cruce de líneas que limitan la vista frontal y lateral.
184
X Y
Se comienza por dibujar los tres ejes, eligiendo la posición del cuerpo para definir cuál de ellos utilizaremos como eje de rotación.
n n n Y
O
Y
Se divide el paralelepípedo envoltura. Como aún es difícil diferenciar qué aristas serán visibles, se aconseja dibujar todas las líneas.
3
Y
Z
X
b
Pr of
un
ra
di
hu
da
d
nc
X
2
X
m
Y
Se dibuja el cuerpo de envoltura o paralelepípedo de dimensiones las totales del cuerpo a representar.
Z
O
O
A
Y
1
Altura
120°
X
Y
O’
X
X
Por último, las aristas visibles se pasan con línea firme y más gruesa, y se borran el resto de líneas auxiliares.
Y
Y
Se trazan las líneas rectas que marcan las hendiduras superior e inferior en el cilindro mayor.
Se borran las líneas y trazados no vistos o auxiliares y se remarcan las aristas y partes vistas, dibujando el volumen definitivo.
1
REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA AXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
3
56
C (0, 25, 30), y traza la HORIZONTAL del plano de cota 10 mm.
1. Dibuja las PROYECCIONES de los puntos: A (30, 40, 50), B (45, 0, 60), C (10, 60, 0), D (0, 50, 30), E (0, 30, 0), F (0, 0, 70) y G (35,-20,-40).
4. Dibuja las TRAZAS del plano definido por la recta r y el punto A.
2. Representa la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de la recta r (dada por
¿De qué TIPO de plano se trata? Sitúa en él un punto P de 25 mm. de cota y 30 mm. de alejamiento respecto al plano YZ.
los puntos traza R1 y R3 ) así como sus PROYECCIONES sobre los planos coordenados. Señala la POSICIÓN del tercer punto traza R2.
nombre y apellidos
nº
Nota importante.- Para situar los datos has de tener en cuenta la reducción uniforme de todos sus ejes con un coeficiente de 0,8.
3. Dibuja el PLANO dado por los puntos: A (40, 15, 0), B (0, - 40, 0) y
curso/grupo
Z
1
2
fecha
Z
2
F F’’ F’’’
R’’3
B’’’
B B’’
A’’ A’’’
D’’
r ’’
R3 R’’’ 3R 3
A
D D’’’
r ’’’
F’ E’’ C’’
r
G’
R’’’ 1
E E’ E’’’ C’’’ Y
D’ C
R’’’ 2
B’
G’’’
X
A’
C’
R’’ R’’1
r’
R’2
R1 R1 R’
R’3 G Z
4 A
30
B
C
P’’’ h’’’
α2
P’’ P
α3 h’’’
h’’
A’’’
α2
h
h
10
A’’ A
P’
A’
h’
r Y
X h’
h’’
O
α1
25
α3
X
Z
G’’
3
R2 R’’2
Y
Y
Pla ( p no p ar ale roye c lo al tant eje e s X ) obr
α1
X eY
Z
VERIFICACIONES 1. Dibuja, separadamente, separadamente, TRES TRESRECTAS RECTASa,ab, yb cyPARALELAS c PARALELAS a losa PLANOS los PLANOS AXONOMÉTRICOS AXONOMÉTRICOS XY, XZXY, e YZ XZrespectivamente, e YZ respectivamente, teniendo teniendo en cuenta en cuenta que todas queellas todas han ellas de distar han de15distar mm. 15 del mm. planodel deplano referencia. de referencia.
Z
Z
Z
B3 C2
a’’’
a ’’
b ’’
b’’’
c’’
c’’’ O
A3
A2
O
b
c
15
a
O
O
a’ Y
X
c’
15
15
b’ Y
X
Y
X
C1
B1
RECTA PARALELA AL PLANO XY
RECTA PARALELA AL PLANO XZ
RECTA PARALELA AL PLANO YZ
Z
Z
2. Dibujar en PERSPECTIVA PERSPECTIVA ISOMÉTRICA: ISOMÉTRICA: a a)) Un plano α PARALELO PARALELOalalhorizontal horizontal(XY). ( XY ) . b) Un plano β PROYECTANTE PROYECTANTE HORIZONTAL HORIZONTAL ( perpendicular ( perpendicular alal XY). XY). c ) Un plano γ que CONTENGA CONTENGAalaleje ejeX. X.
Z
β3
α3
β2
γ3
α2 O
O
O
γ1 γ2
β1 Y
X
PLANO
186
α
PARALELO AL HORIZONTAL ( XY )
Y
X
PLANO
β
PROYECTANTE HORIZONTAL
Y
X
PLANO
γ
QUE CONTIENE AL EJE X
1
LA PERSPECTIVA ISOMÉTRICA CON AYUDA DE RETÍCULA
57
2
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA AXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
3
Dibuja la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de las TRES PIEZAS mecánicas.
Frecuentemente, en el dibujo isométrico, se utiliza PAPEL PAUTADO formado por módulos triangulares que constituyen una retícula que direcciona la posición de los ejes isométricos. Dichas direcciones resultan ser las de visualización de las proyecciones diédricas del objeto a representar.
NOTA.- Considérese que a cada 10 mm. del cuerpo le corresponde en la perspectiva una pauta o división de la red isométrica. Por tanto, a la vista de la reducción de los triángulos reticulares, el dibujo llevado directamente ya considera la REDUCCIÓN (0,816) en cada eje o dirección isométrica.
A la vista de los tres sólidos dados por sus proyecciones, ALZADO y PLANTA, y teniendo en cuenta la posición del origen de coordenadas en cada caso ( puntos A, B y C, respectivamente ), se pide:
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
Z
1
Z
2
Z 40
Z
3
20
A’’
50
B’
Y
A’
20
10
3º
Y
C’’
B’’
50
70 Y
40
Y
Y
40
Y
50
2º
20
40
120°
10 10 10
10
1º
20
FIJA
60
60
50
X
10 10 POSICIONES Y GIRO DEL CARTABÓN, RESPECTO A LA ESCUADRA (FIJA), EN EL TRAZADO ISOMÉTRICO
X
60
10 10
Y
C’
40
X
X
2
1
3
Z
A Y
A
X
Z Z
B Y
B
X
C Y
C
X
VERIFICACIÓN Las vistas vistas diédricas diédricasALZADO ALZADOy yPLANTA PLANTA dadas dadas corresponden corresponden a una a una PIEZA PIEZA MECÁNICA MECÁNICA inscrita inscrita en un encubo un cubo de 70 demm. 70 mm. de arista. de arista. Se pide: Se pide: a) Dibujar la vista LATERALIZQUIERDA. IZQUIERDA. vista LATERAL b) Con ayuda ayuda del del PAUTADO PAUTADOISOMÉTRICO, ISOMÉTRICO, representar la PERSPECTIVA SÓLIDO, teniendo en cuenta quedivisión cada división de la DIÉDRICA VISTA DIÉDRICA corresponde a unadel división del representar la PERSPECTIVA DEL DEL SÓLIDO, teniendo en cuenta que cada de la VISTA corresponde a una división pautado. pautado.
Z
Z
Z
Y
O’’ ALZADO
X
O’’’ LATERAL IZQUIERDO
O’
Y
Z
PLANTA
Y
O
O X
X
Y
188
X
1
REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE CUERPOS CON FORMAS CIRCULARES
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA AXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
Se conocen las PROYECCIONES DIÉDRICAS necesarias para definir, con toda precisión, las TRES PIEZAS INDUSTRIALES que conforman la propuesta. Siguiendo el número de orden de cada una de ellas, se pide:
2. Determina, a escala 3/4, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA de la pieza,
1. Dibuja, a escala 3/2, la PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA ISOMÉTRICA
que puede considerarse inscrito en un hexaedro o cubo de 5 cm. de arista. Coeficiente de reducción: 0,8. Asimismo, calcula su VOLUMEN TOTAL.
considerando como coeficiente de reducción el valor 4 / 5 ( 0,8 ).
3
58
nombre y apellidos
3. Determina, a escala 1/1, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del cuerpo,
teniendo en cuenta que el centro de la base circular de la pieza se encuentra en el punto A (35, 50, 0). Cotas en milímetros. Origen de coordenadas en O. Considerar como coeficiente de reducción de los ejes: 0,8.
1
2
2
Z
curso/grupo
3
Z
60
fecha
Z
Z
X
50
Y
nº
25
Y
X
25 80
A’’
X
ø30 Z
15 A’
Y
Z Z Z Y
Y
Z
Y
O O
X
X X Z
Y
X
e: 3 / 4
Y
X
e: 3 / 4
Y
X
A
3
e: 3 / 2
+ π · 2,5 VOLUMEN TOTAL VOLUMEN = 5 TOTAL = = 111,59 cm3 2
3
cm3
e: 1 / 1
VERIFICACIÓN
Z
Las DOS DOS VISTAS VISTASDIÉDRICAS DIÉDRICAS definen definen perfectamente perfectamente el el SÓLIDO SÓLIDO representado, representado, se pide: se pide:
100
60
80
Dibuja DibujarlalaPERSPECTIVA PERSPECTIVA ISOMÉTRICA ISOMÉTRICA con ayuda con ayuda del PAUTADO, del PAUTADO, teniendo teniendo en cuenta en cuenta que cada que 10cada mm. 10 equivalen mm. a equivalen UNA PAUTA a UNA en cualquiera PAUTA en de cualquiera las tres direcciones de las tres direcciones de la perspectiva. de la perspectiva.
O’’
X
120
80 O’
Y
Z
Y
190
O
X
40
160
X
1
REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE UNA MAQUETA ARQUITECTÓNICA El dibujo representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de un cuerpo compuesto por DOS ANILLOS CIRCULARES de sección cuadrada ensamblados en CUATRO PIEZAS PRISMÁTICAS dispuestas simétricamente.
2
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA AXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
3
nombre y apellidos
Dibuja, a escala 2 / 1, la PERSPECTIVA ISOMÉTRICA del SÓLIDO, tomando como COEFICIENTE DE REDUCCIÓN en las medidas sobre los ejes el valor de 4/ 5.
nº
curso/grupo
fecha
5
Z
40
5
5
20
Z
Y 25 65
5
Z 50
40
Y Y
Y
X
X
X
e: 2 / 1
59
VERIFICACIÓN
PIEZA ARQUITECTÓNICA
Las DOS DOS VISTAS VISTASDIÉDRICAS, DIÉDRICAS, acotadas acotadas enen milímetros, milímetros, definen definen perfectamente perfectamente unun ARCO ARCO como como pieza pieza de arquitectura de arquitectura infantil. infantil. Se pide: Se pide: Representar su DIBUJO ISOMÉTRICO ISOMÉTRICOcon conayuda ayudade de la la MALLA MALLAadjunta. adjunta.Téngase Téngase en en cuenta cuenta que cada división división del del pautado pautado corresponde corresponde aa 55 mm. mm.
100
30
35
55
15
192
90
50
ALZADO
PERFIL
1
GIROS ISOMÉTRICOS EN LA PERSPECTIVA
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA AXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
Como se observa en la viñeta inferior, los GIROS ISOMÉTRICOS de las diferentes perspectivas que se pueden presentar, mantienen siempre el eje Z vertical y los ejes X e Y a 30º con respecto a la HORIZONTAL del dibujo.
En la PARTE INFERIOR se presentan las VISTAS DIÉDRICAS que definen con claridad la PIEZA ARQUITECTÓNICA y la disposición de ejes X, Y, Z , así como la SITUACIÓN ESPACIAL de los puntos A, B y C.
Cualquier PERSPECTIVA del objeto al ser girada 90º, deberá mantener como CONDICIÓN ISOMÉTRICA los ángulos de 30º de los ejes X e Y con respecto a la HORIZONTAL.
Dibuja las CUATRO POSICIONES ISOMÉTRICAS indicadas, teniendo en cuenta la situación del triedro de ejes que se propone en el pautado; cada división de la MALLA corresponde a 5 mm. acotado en la figura.
Z
Z
Z
90°
Z
nº
curso/grupo
Z X
X
fecha
90°
Y
Z
Z Y
X X
Y
3
nombre y apellidos
90°
Z
Z
60
2
Y
X
Y X
Y
Z
O
O Y
X O’’
Y
O’’’
X
1
2
Y
6
X
3
O
4
X
8
Y
180°
Y
180°
5
O’ Proyecciones diédricas del objeto representado a la derecha, que muestra los giros isométricos en la perspectiva.
Y
X
Z
X
O
X
Y
X
X Y
X
X
Z Z
90°
90°
B’’
90°
Z
Posición 1 B’’’
30
45
Z
C’’’
A’’’
O’’
O’’’
C
O
20
10
Y
Posición 2 B
B
15
C’’
A’’
Z
90°
Z
VISTAS DIÉDRICAS DE UNA PIEZA ARQUITECTÓNICA Z
O
Z
Z
Z Y
Y
X
O
Y
7
Y
Y
X
X
Z
40
A X
O 50
Y
A
Y
O’ C’
O Y
B’
X Z
20
180°
C
180°
X
O
A’ Y X
Posición 6
Z
C
A
Posición 5 B 90°
B
VERIFICACIÓN El dibujo de la derecha representa tanto el ALZADO ALZADOcomo comolalaPLANTA PLANTAy ylalaVISTA VISTA LATERAL LATERAL de de un un determinado determinado SÓLIDO SÓLIDO MACIZO, MACIZO, puesto puestoque quetodas todassus susPROYECCIONES PROYECCIONES DIÉDRICAS DIÉDRICAS sonson IDÉNTICAS. IDÉNTICAS. El CONTORNO CONTORNO de de cualquiera cualquiera de de las lasvistas vistasdel delsólido sólidoesesun unOCTÓGONO OCTÓGONOregular regulardede5 5 cm. cm. dede lado. lado. SeSe pide: pide: Dibujar, a escala natural, su PERSPECTIVA PERSPECTIVAISOMÉTRICA. ISOMÉTRICA. Tomar Tomar como como COEFICIENTE COEFICIENTE DE DE REDUCCIÓN REDUCCIÓN de los deejes los ejes el valor el valor 0,8. 0,8.
PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
PROYECCIÓN ORTOGONAL DEL SÓLIDO
Z
Z
Z
Y
X
Y
Y
X
X
OTRA POSIBLE SOLUCIÓN, SUPONIENDO e: 1/ 1 DEL TRUNCADOS LOS VÉRTICES CUBO CIRCUNSCRITO.
e: 1/ 1
194
e: 1/ 2
1
ISOMETRÍA E ILUSIÓN ÓPTICA: LA ESCALERA ENGAÑOSA Disponemos de una PERSPECTIVA ISOMÉTRICA, a escala 5 / 4, de un cuerpo real, en el que todos los planos son paralelos a los isométricos o coordenados y todas las aristas paralelas a los ejes.
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA AXONOMETRÍAS. PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
Nótese que dado que la REDUCCIÓN que se origina en cada EJE es de 0,816 = 0,8 = 4 /5, las MAGNITUDES en cualquier dirección de ejes son IGUALES a la MEDIDA sobre la PERSPECTIVA DIBUJADA.
61
2 3
nombre y apellidos
Dibuja, a escala 1/1, las PROYECCIONES DIÉDRICAS correspondientes a las direcciones indicadas, ACÓTÁNDOLAS debidamente.
nº
curso/grupo
fecha
PROYECCIONES DIÉDRICAS
B 16
8
36 24
20
40
4 4
8
A
56
C
56
C 24
Ilusión Óptica
8
32
El pintor holandés Maurits C. Escher (1898-1972) dió a conocer en 1960 una litografía titulada «Ascendiendo y descendiendo», claramente inspirada en una desconcertante ilusión creada por el genetista inglés L. S. Penrose y por su hijo el físico-matemático Roger Penrose y publicada por ambos en 1958 en «The British Journal of Psycology» bajo el título «Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion». Basados en esta idea se pueden construir múltiples perspectivas de objetos reales que produzcan esa «desconcertante ilusión» ya aludida.
8
24
A B e: 1 / 1 «La escalera engañosa» 1.956. Roger Penrose. Escala de la perspectiva: e = 5 /4
