UNIVERS UNIVERSID IDAD AD DE LAS FUERZAS FUERZAS ARMADA ARMADAS S - ESPE ESPE ´ INVESTIGACI ON OPERATIV OPERATIVA A II
Deber III Parcial arcial
INTEGRANTES: Katherine Chicaiza Karen Diaz Gabriel Guerrero Cristian Tapia 29 de enero de 2019
Ejercicio 2 En el sistema de l´ l´ınea de espera esp era del Willow Bro ok National bank, suponga que los tiempos tiemp os de servicio del autocajero siguen una distribuci´on on de probabilidad exponencial con una tasa de servicios de 36 clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Utilice la distribuci´on de probabilidad exponencial para responder las siguientes preguntas:
a.¿Cu´ al es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o menos? al ?= 0.6 clientes/minuto P=1 − e−µT P= 1 − e−06(1) P=0.4512 45.12 45. 12 % b.¿Cu´ b.¿Cu´ al al es la probabilidad probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos minutos o menos? 2 minutos o menos P= 1 − e−06(2) P= 0.6988 69.88 69. 88 % c.¿Cu´ al es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de m´as de dos minutos? al M´ as as de dos minutos P= 1 − e−06(2) P= 1-0.6988 P= 0.3012 30.12 30. 12 %
1
Ejercicio 4 Utilice la operaci´on del autocajero de canal ´unico referida en los problemas 1 - 3 para determinar las probabilidades de que 0, 1, 2 y 3 clientes est´en en el sistema. ¿Cu´al es la probabilidad de que m´as de tres clientes est´en en el cajero autom´atico al mismo tiempo? λ µ
P o = 1 − P n =( λ µ)
n
P o = 1 −
Po
0,4 0,6
= 0,33
Pn =( 00,,46 )0 0,33 = 0,33 Pn =( 00,,46 )1 0,33 = 0,22 Pn =( 00,,46 )2 0,33 = 0,1467 Pn =( 00,,46 )3 0,33 = 0,0978
Pn= 0.33 + 0.22 + 0.1467 + 0.0978 Pn= 0.7943 - 1 = 0.2057 Por lo tanto la probabilidad de que m´as de 3 clientes est´en en el autocajero al mismo tiempo es del 20.57 %. Ejercicio 5 El escritorio de referencia de la biblioteca de una universidad recibe peticiones de ayuda. Suponga que pueden utilizarse una distribuci´on de probabilidad de Poisson con una tasa de llegadas de 10 peticiones por hora para describir el patr´on de llegadas y de que los tiempos de servicio sigan una distribuci´on de probabilidad exponencial con una tasa de servicios de 12 peticiones por hora.
tasa de llegada = 10 peticiones/hora (Poisson) tasa de servicio= 12 peticiones/hora (Exponencial) a.¿Cu´ al es la probabilidad de que ni haya peticiones de ayuda en el sistema? 10 12
P o = 1 −
Po = 0.1667 16.67 % b.¿Cu´ al es el n´ umero promedio de peticiones que esperan ser atendidas? λ Lq = µ(µ−λ) 2
Lq =
102 12(12−10)
Lq=4.1667 El n´ umero promedio es de 4.16 peticiones 2
c.¿Cu´ a l es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience a ser atendido? Lq λ
W q = W q =
4,1667 10
W q = 0,4167
El tiempo promedio de espera es de o.4167 hrs d.¿Cu´ al es el tiempo promedio en que el escritorio de referencia en minutos (tiempo de espera m´ as tiempo de servicio)? W = W q + µ1 W = 0,4167 +
1 12 =
5000
W = 5000
El tiempo promedio es de 0.50 horas e.¿Cu´ al es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar a que la atiendan? P w = µλ P w =
10 12
= 0,8333 La probabilidad es del 83.33 %
Ejercicio 6 Movies Tonight es un establecimiento de renta de pel´ıculas en DVD y video t´ıpico para que los clientes las vean en casa. Durante las noches entre semana, los clientes llegan a Movies Tonight con una tasa de llegadas de 1.25 clientes por minuto. El empleado del mostrador de salida atiende a 2 clientes por minuto. Suponga llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Tasa de llegada = 1.25 clientes por minuto o 0.0208 clientes por hora Tasa de servicio = 2 clientes por minuto o 0.0333 clientes por hora a.¿Cu´ al es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? 1,25 P o = 1 − 2 = 0,3750 37.50 % b.¿Cu´ al es el n´ umero promedio de clientes que esperan ser atendidos? Lq = µ(µλ−λ) 2
Lq =
1,252 2(2−10)
= 0,0179
Lq = 0,0179
El n´ umero promedio es de 0.0.179 clientes
3
c.¿Cu´ al es el tiempo promedio de que un cliente espera para que comiencen en atenderlo? W q =
Lq λ
W q =
0,0176 10
= 0,0018
W q = 0,0018
El tiempo promedio es de 0.4688 horas d.¿Cu´ al es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar a que lo atiendan? P w =
λ µ
P w =
1,25 2
P w = 0,625
La probabilidad es de 62.50 % e.¿Indican las caracter´ısticas de operaci´ on que el sistema de mostrador de salida de un empleado proporciona un nivel de servicio aceptable? El nivel de servicio que proporciona un empleado no se podr´ıa considerar aceptable ya que la probabilidad de espera es del 62.50 % y el tiempo promedio para que un cliente empiece a ser atendido es de 28 minutos, es demasiado tiempo en espera para la renta de una pel´ıcula, se podr´ıa mejorar los tiempos y la eficiencia del servicio aumentando servidores, es decir, aumentando el n´umero de empleados. Ejercicio 8 Para la l´ınea de espera de canal u ´ nico de Burger Dome, suponga que la tasa de llegadas se incrementa a un cliente por minuto y que la tasa de servicios se incrementa a 1.25 clientes por minuto. Calcule las siguientes caracter´ısticas de operaci´on del nuevo sistema: P0, Lq, L, Wq, W y Pw. ¿Ofrece este sistema un servicio mejor o m´as deficiente comparado con el sistema original? Discuta las diferencias y la raz´on de las mismas. P 0= 1-
Y U
Po= 0.2 Y 2 Lq = U (U − Y )
Lq = 3.2 L= Lq+
L= 4
Lq Y
4
Lq Y
W q =
Wq = 3.2 1
W = Wq+
U
Po = 4 P w=
2
DC o C h
Pw = 0.8 Ejercicio 10 Troser Tire Company decidio contratar a un nuevo mec´anico para que se encargue de todos los cambios para clientes que piden un nuevo juego de llantas. Dos mecanicos solicitaron el trabajo. Uno tiene experiencia limitada y puede ser contratado a 14 dolares por hora y puede atender a un promedio de tres clientes por hora. El otro tiene varios a˜nos de experiencia y puede atender a un promedio de cuatro clientes por hora, pero debe ser contratado a 20 d´olares por hora. Suponga que los clientes llegan a Trosper a razon de dos por hora. a) ¿Cuales son las caracteristicas de operacion con cada mec´ anico, suponiendo llegadas Poison y tiempos de servicio exponenciales? Mecanico A tasa de llegada = 2 clientes por hora tasa de servicio = 3 clientes por hora P o = 1 −
Lq =
32 3(3−2)
L= 1.33+ W q =
2 3
= 0,34
= 1,333
2 = 1.96 3
1,333 = 0.6665 2
W = 0.6665+ P w=
1 = 0.9999 3
2 = 0.6667 3
5
Mecanico B tasa de llegada = 2 clientes por hora tasa de servicio = 4 clientes por hora 2 4
= 0,5
22 4(4−2)
= 0,5
P o = 1 −
Lq =
L= 0.5+ W q =
2 =1 3
0,5 = 0.25 2
W = 0.25+ P w=
1 = 0.5 4
2 = 0.5 4
b) Si la empresa asigna un costo de 30 dolares por hora a un cliente que espera, ¿cual mecanico ofrece el menor costo de operaci´on? Ct = 30(2) + 14(1) Ct = 74$ Ct = 30(2) + 20(1) Ct= 30$ Ejercicio 11 Agan Interior Design ofrece asesor´ıa de decoracion de casas y oficinas a sus clientes. En operaci´on normal, llega un promedio de 2.5 clientes cada hora. Un asesor de dise˜no esta disponible para responder las preguntas de los clientes y para recomendar productos. El asesor promedia 10 minutos con cada cliente. a) Calcule las caracteristicas de operaci´ on de la linea de espera de clientes, suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Lq =
2,52 6(6−2,5)
L= .29+ W q =
= 0,29
2,5 = 1.96 6
0,29 = 0.611 2,5
W = 0.611+
1 = 0.9999 6
6
b) Las metas de servicio dictan que un cliente que llega no debera esperar a que lo atiendan m´ as de un promedio de 5 minutos. ¿Se esta cumpliendo? 2,52 7,5(7,5−2,5)
Lq =
= 0,166
0,166 = 0.066 2,5
W q =
4 minutos en la cola. Se estar´ıa cumpliendo el servicio. Ejercicio 12 Pete’s Market es una peque˜na tienda de abarrotes local con s´olo una caja registradora. Suponga que los compradores hacen cola en la caja con base en la distribuci´on de probabilidad de Poisson, con una tasa de llegadas de 15 clientes por hora. Los tiempos de servicio en la caja siguen una distribuci´on de probabilidad exponencial, con una tasa de servicio de 20 clientes por hora. Tasa de llegada = 15clientesxhora, 0, 25xminuto Tasa de servicio = 20 clientesxhora, 0, 33xminuto a. Calcule las caracter´ısticas de operaci´ on de esta l´ınea de espera. P0 = 1 −
λ µ
0,25 0,33
P 0 = 1 −
P 0 = 0, 2424
Lq = Lq =
λ2 µ(µ−λ)
0,252 0,33(0,33−0,25)
Lq = 2, 3674
L=Lq +
Lq µ
L = 2, 3674 +
0,25 0,33
L = 3, 1250
Wq = W q =
Lq λ
2,3674 0,25
W q = 9, 4697
W=Wq +
1 µ
W = 9, 4697 +
1 0,33
W = 12, 50
Pw = P w =
λ µ
0,25 0,33
P w = 0, 7576
7
b. Si la meta de servicio del gerente es limitar el tiempo de espera previo al inicio del proceso de cobro en la caja a no m´ as de cinco minutos, ¿qu´ e recomendar´ıa con respecto al sistema de cobro en la caja actual? La caja no est´a cumpliendo la meta, puesto que el tiempo de espera en la fila es 9.004 minutos y es superior a 5 minutos. Por tanto se recomienda a implementar otra caja Ejercicio 14 Ocala Software Systems opera un centro de soporte t´ecnico para sus clientes de software. Si los clientes experimentan problemas de instalaci´on o de uso con los productos de software de Ocala, pueden llamar por tel´ efono al centro de soporte t´ecnico y obtener consulta gratuita. En la actualidad, Ocala opera su centro de soporte con un consultor. Si est´a ocupado cuando entra la llamada de un nuevo cliente, ´este escucha un mensaje grabado que dice que en ese momento todos los consultores est´an ocupados con otros clientes. Luego se le pide al cliente que espere y que un consultor lo atender´a tan pronto como sea posible. Las llamadas de los clientes siguen una distribuci´on de probabilidad de Poisson con una tasa de llegada de cinco llamadas. El promedio, a un consultor le lleva 7.5 minutos responder las preguntas del cliente. El tiempo de servicio sigue una distribuci´on de probabilidad exponencial Tasa de llegada = 5llamadasxhora, 0, 08xminuto T asadeservicio =7,5 minutos en responder preguntas ,8 clientes x hora a. ¿Cu´ al es la tasa de servicios en funci´ on de clientes por hora? Tasa de servicio por hora = 60(1 hora )*(µ) Tasa de servicio por hora = 60*7,5 Tasa de servicio por hora = 8 Clientes x hora b. ¿Cu´ al es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema y un consultor este ocioso? P0 = 1 −
λ µ
P 0 = 1 −
5 8
P 0 = 0, 3750
c. ¿Cu´ al es el n´ umero promedio de clientes en espera de un consultor? Lq = µ(µλ−λ) 2
Lq =
52 8(8−5)
Lq = 1, 0417
d. ¿Cu´ al es el tiempo promedio que un cliente espera a un consultor? L Wq = λ q
W q =
1,0417 5
W q = 0, 2083
8
e. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a un consultor? Pw = µλ P w =
5 8
P w = 0, 625
f. El departamento de servicio a clientes de Ocala no hace mucho recibi´o cartas de sus clientes quej´ andose sobre la dificultad de obtener soporte t´ ecnico Si las directrices de servicio a los cliente de Ocala dictan que no m´ as de 35 % de todos los clientes tendr´ a que esperar al soporte t´ ecnico y que el tiempo de espera promedio deber´ a ser de dos minutos o menos , ¿Su an´ alisis de la l´ınea de espera indica que Ocala cumple o no con directrices de servicio al cliente ?¿Que acci´ on , si existe alguna, recomendar´ıa? El sistema no cumple con sus directrices de servicio al cliente, se tendr´ıa que revisar el sistema para revisar un nuevo m´etodo de acci´on Ejercicio 16 La nueva Fore and Aft Marina estar´a localizada en el r´ıo Ohio cerca de Madison, Indiana. Suponga que esta empresa decide construir una muelle donde un bote a la vez puede atracar para cargar combustible y operaciones de servicio. Suponga que las llegadas siguen una distribuci´on de Poisson, con una tasa de llegada de 5 botes por hora y que los tiempos de servicio tienen una probabilidad exponencial, con una tasa de servicio de 10 botes por hora. Responda las siguientes preguntas Tasa de llegada = 5botesxhora, 0, 08xminuto T asadeservicio =10 botes x hora ,0,17 x minutos a. ¿Cu´ al es la probabilidad de que no haya botes en el sistema? P0 = 1 − µλ P 0 = 1 −
0,08 0,17
P 0 = 0, 5294
b. ¿Cu´al es el n´ umero promedio de botes que estar´ an en espera a que les den servicio? Lq =
λ2 µ(µ−λ)
Lq =
0,082 0,17(0,17−0,08)
Lq = 0, 4183
c. ¿Cu´ al es el tiempo promedio que un bote pasar´ a esperando a que le den servicio? L Wq = λ q
W q =
0,5 0,08
W q = 5, 229
d. ¿Cu´ al es el tiempo promedio que un bote pasar´ a en el muelle? W=Wq + µ1 W = 5, 229 +
1 0,17
W = 11, 111
e. Si fuera el gerente de Fore and Aft Marina, ¿estar´ıa satisfecho con el nivel de servicio que su sistema proporciona? ¿Por qu´ e?
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Si estar´ıa satisfecho porque el tiempo promedio que un bote para en el muelle va de acuerdo al tiempo Ejercicio 18 Todos los pasajeros en el aeropuerto regional de Lake City deben pasar por un ´area de revisi´on de seguridad antes de proseguir al ´area de abordaje. El aeropuerto cuenta con tres estaciones de revisi´on disponibles, y el director debe decidir cuantas tienen que estar abiertas en cualquier momento en particular. La tasa de servicio para procesar los pasajeros en cada estaci´on de revisi´on es de 3 pasajeros por minuto. En la ma˜ nana del lunes la tasa de llegadas es de 5.4 pasajeros por minuto, suponga que los tiempos de procesamiento en esta estaci´on de revisi´on siguen una distribuci´on exponencial y que las llegadas siguen una distribuci´on de Poison. a.- Suponga que dos de las tres estaciones de revisi´on est´ an abiertas en la ma˜ nana de los lunes. Calcule las caracter´ısticas de operaci´ on de la estaci´ on de revisi´ on tasa de llegada = 5-4 tasa de servicio = 3 k= 2 P o = 0,0526alobservarenlatabla. Lq = 7,6691
L= 7.6691+ W q =
5,4 = 9.4691 3
7,6691 = 1.4202 5,4
W = 1.4202+
1 = 0.5 3
b.- Debido a consideraciones de espacio, la meta del director de la estaci´on es limitar el n´ umero de pasajeros promedio que esperan en l´ınea a 10 o menos ¿Ser´ an capaces 2 estaciones de revisi´ on de satisfacer la meta del director? Si son las 2 cajas capaces de cumplir la meta, ya que Lq= 7.6691 c.-¿Cu´ al es el tiempo promedio requerido para que un pasajero pase por la revisi´ on de seguridad? El tiempo requerido que un cliente pase en la revisi´on es de 1.7535 minutos
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