UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
Curso de Mecânica dos Fluidos para a Engenharia de Materiais (prof. Lucas Máximo Alves)
Ponta Grossa 2013
Sumário PREFÁCIO DO AUTOR ....................................................................................................... x Capítulo – I............................................................................................................................ 1 INTRODUÇÃO GERAL ....................................................................................................... 1 1. 1 – Apresentação do Curso................................................................................................. 1 1. 2 – Objetivos do Capítulo................................................................................................... 1 1. 3 - Metodologia de Estudo-Aprendizado ............................................................................ 2 1. 4 - A Importância das Anotações........................................................................................ 3 1. 5 - Objetivo Final do Curso ................................................................................................ 5 1. 6 – Pré-requisitos
5
Matemática: ........................................................................................................................... 5 Física: 5 Mecânica dos Sólidos: ........................................................................................................... 5 1. 7 - Visão Geral do Curso.................................................................................................... 6 1. 8 - Metodologia do Curso em Sala de Aula ...................................................................... 10 1. 9 - Divisões do Livro........................................................................................................ 11 1. 10 - Metodologia para a Solução dos Exercícios............................................................... 11 1. 11 – Exercícios e Problemas............................................................................................. 13 Solução 13 1. 12 – Referências Bibliográficas ........................................................................................ 14 Capítulo – II......................................................................................................................... 15 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....................................................................................... 15 2. 1 – Objetivos do Capítulo................................................................................................. 15 2. 2 – Introdução 16 2. 3 – Introdução a Teoria Mecânica do Contínuo ................................................................ 17 2. 4 – O Desenvolvimento da Mecânica dos Meios Contínuos.............................................. 18 2. 5 – A Hipótese do Contínuo ............................................................................................. 20 2. 6 – A Transformação da Mecânica Discreta para a Mecânica do Contínuo Clássica ......... 23 2. 7 – As Quantidades ou Grandezas Generalizadas.............................................................. 25 2.7.1 - Densidades Generalizadas ......................................................................................... 25 Exemplos de Densidade Generalizadas ................................................................................ 26 2.7.2 – As Taxas Generalizadas............................................................................................ 28 2.7.3 - O Fluxo Generalizado JG , através de uma Superfície ............................................... 29 2. 8 – As Equações Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos............................................ 33 2.8.1 - As Três Leis da Mecânica para o Meio Continuo ...................................................... 33 Massa (Lei de Conservação da Massa) ................................................................................. 33 Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) ................................................. 34 ii
Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) .................................................................. 34 Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) .................................... 35 2.8.2 - As Três Leis da Termodinâmica para o meio Contínuo ............................................. 35 2. 9 – Teoremas e Equações Diferenciais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos........... 36 2.9.1 - A Equação de Movimento Generalizada para o Mecânica do Contínuo ..................... 36 2.9.2 – O Divergente de uma Função Vetorial ...................................................................... 38 2.9.3 – A Equação Constitutiva de um Sistema .................................................................... 40 2. 10 – Tensão Superficial de Líquidos................................................................................. 42 2.10.1 - A Energia de Superfície e Angulo de Molhamento .................................................. 43 2.10.2 - A Tensão superficial devido ao Efeito da Capilaridade............................................ 46 2. 11 – Pressão de vapor das Substâncias............................................................................. 51 2. 12 – Unidades, Medidas, e Dimensões ............................................................................ 54 2.12.1 - Sistema de Medidas................................................................................................. 54 2.12.2 - Sistema de Unidades ............................................................................................... 54 2.12.3 - Lei da Homogeneidade Dimensional ....................................................................... 56 2. 13 - Exercícios e Problemas ............................................................................................. 57 2. 14 – Referências Bibliográficas ........................................................................................ 59 Capítulo – III ....................................................................................................................... 60 FLUIDOS E CLASSIFICAÇÃO DE FLUIDOS E SEUS COMPORTAMENTOS............... 60 3. 1 – Objetivos do Capítulo................................................................................................. 60 3. 2 – Introdução 61 Características Físicas do Estado Fluido............................................................................... 61 3. 3 – Questões Básicas em Mecânica dos Fluidos ............................................................... 62 3. 4 – A Descrição de um Fluido como um Meio Contínuo .................................................. 64 3. 5 – A Lei da Viscosidade de Newton................................................................................ 64 3. 6 – Condição de Não-Deslizamento.................................................................................. 66 3. 7 – Viscosidade de um Fluido .......................................................................................... 67 3. 8 – Aplicação de diferentes tipos de Fluidos..................................................................... 68 3. 9 – A Importância da Mecânica dos Fluidos nas Engenharias........................................... 69 3.9.1 - A Mecânica dos Fluidos na Engenharia de Materiais................................................. 69 3. 10 – O que você deve saber sobre Mecânica dos Fluidos.................................................. 70 I - Conceitos Fundamentais .................................................................................................. 70 II - Estática dos Fluidos ou Fluidostática .............................................................................. 70 III – Cinemática dos Fluidos ou Fluidocinemática................................................................ 70 III - Dinâmica dos Fluidos ou Fluidodinâmica (de Fluidos Ideais, Viscosos Incompressíveis e Compressíveis) .................................................................................................................... 71 3. 11 – Resumo Geral de Mecânica dos Fluidos ................................................................... 72 3. 12 – Exercícios e Problemas............................................................................................. 78 3. 13 – Referências Bibliográficas ........................................................................................ 79 Capítulo – IV ....................................................................................................................... 80 CAMPOS ESCALARES, VETORIAIS E TENSORIAIS PARA FLUIDOS. ....................... 80 iii
4. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................. 80 4. 2 - Introdução 81 4. 3 - Quantidades Escalares, Vetoriais e Tensoriais e Campos............................................. 82 4.3.1 - Quantidades ou Grandezas Escalares......................................................................... 82 4.3.2 - Quantidades ou Grandezas Vetoriais ......................................................................... 82 4.3.3 - Quantidades ou Grandezas Tensoriais (de ordem 2, 3, etc.) ....................................... 84 4. 4 - Campo de Tensões – Forças de Campo, Corpo, Massa ou Volume e Forças de Contato ou Superfície
86
4.4.1 – O Princípio de Pascal................................................................................................ 86 4.4.2 - Forças de Massa ou de Campo .................................................................................. 88 4.4.3 - Forças Superficiais ou de Contato ............................................................................. 89 4.4.4 – O Tensor das Tensões e a Tensão em um Ponto ........................................................ 92 4.4.5 – Tensões Principais .................................................................................................... 96 4.4.6 – O Tensor das Tensões de um Fluido em Repouso ou Pressão Hidrostática................ 98 4.4.7 – Diferença entre Tensão e Pressão Termodinâmica .................................................. 100 4.4.8 - A Densidade Volumétrica de Forças Superficiais .................................................... 103 4.4.9 – Tensor das Tensões Generalizado descrito como Fluxo de Momento ...................... 105 4. 5 – A Equação Básica da Fluidostática ........................................................................... 108 4. 6 - Exercícios e Problemas ............................................................................................. 109 4. 7 - Referências Bibliográficas ........................................................................................ 111 Capítulo – V ...................................................................................................................... 112 ESTÁTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTÁTICA ........................................................ 112 5. 1 – Objetivos do Capítulo............................................................................................... 112 5. 2 - Introdução 113 5. 3 – Operadores Diferenciais do Campo Continuo ........................................................... 115 5.3.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar ................................................ 115 5.3.2 – Derivada direcional e o significado físico do Vetor gradiente ................................. 118 5. 4 - Equações Básicas da Fluidoestática........................................................................... 120 5.4.1 - Equilíbrio de forças em um fluido estático - Teorema de Stevin-Pascal ................... 120 5.4.2 - Variação de Pressão para um Fluido em Repouso.................................................... 121 5. 5 – Variação da Pressão com a Elevação (Altitude) ........................................................ 123 5.5.1 - Para um fluido estático compressível...................................................................... 123 5.5.2 – Caso - 1. Gás perfeito isotérmico. ........................................................................... 124 5.5.3 - Caso – 2. A temperatura varia linearmente com a elevação...................................... 125 5. 6 - Manometria 127 5.6.1 - Atmosfera normal ................................................................................................... 127 5.6.2 - Atmosfera técnica (metros de coluna de água MCA) ............................................... 127 5.6.3 - Atmosfera local....................................................................................................... 128 5.6.4 - Pressão efetiva e pressão absoluta ........................................................................... 128 5.6.5 - Definições............................................................................................................... 129 5.6.6 - Classificação dos Manômetros ................................................................................ 130 5.6.7 – Tipos de manômetros ............................................................................................. 130 5. 7 – Forças Sobre Superfícies Planas Submersas.............................................................. 131 iv
5.7.1 – Centro de Massa ou Gravidade de uma Placa Plana ................................................ 131 5.7.2– A Força Resultante sobre a Placa no Centro de Pressão ........................................... 134 5.7.2– A Força Resultante sobre a Placa no Centro de Pressão ........................................... 135 5. 8 – Torque Sobre Superfícies Planas Submersas............................................................. 137 5.8.1 – O Momento de Inercia............................................................................................ 137 5. 9 – O Centro de Pressão ................................................................................................. 140 5.9.1– Cálculo da Coordenada y’ do Centro de Pressão ...................................................... 141 5.9.2– Cálculo da Coordenada x’ do Centro de Pressão ...................................................... 142 5. 10 – Forças sobre Superfícies Curvas Submersas............................................................ 146 5. 11 – Empuxo em Corpos Submersos .............................................................................. 147 5. 12 – Equilíbrio de Corpos Flutuantes.............................................................................. 149 5. 13 – Exercícios e Problemas........................................................................................... 150 5. 14 – Referências Bibliográficas ...................................................................................... 154
v
Lista de Figuras Figura - 1. Esquema prático do desenvolvimento de uma definição ou conceito. ................. xii Figura - 1. 1. Estrutura do conteúdo de uma disciplina ........................................................... 2 Figura - 1. 2. Estrutura seqüencial do aprendizado de uma disciplina na relação professorconteúdo aluno....................................................................................................................... 3 Figura - 1. 3. Estrutura seqüencial do aprendizado de uma disciplina na relação conteúdoaluno-exercícios. .................................................................................................................... 3 Figura - 1. 4. Estrutura seqüencial do aprendizado como ação. ............................................... 4 Figura - 1. 5. Leis fenomenológicas de fluxos proporcionais aos gradientes de suas respectivas grandezas. .............................................................................................................................. 7 Figura - 1. 6. Visão geral da Mecânica dos Fluidos e sua relação com outras áreas da ciência física. ..................................................................................................................................... 8 Figura - 1. 7. Visão geral das Ciências Exatas e sua relação com as Leis da Natureza e com a Matemática. ........................................................................................................................... 9 Figura - 1. 8. Visão geral da Mecânica dos Fluidos e sua relação com outras áreas da ciência física, que podem incluir efeitos clássicos e relativísticos. ...................................................... 9 Figura - 2. 1. Medida da massa de um material por unidade de volume de um corpo desde o limite discreto até o limite continuo...................................................................................... 20 Figura - 2. 2. Caminho livre médio, l, entre duas colisões consecutivas de um elétron com os núcleos de um sólido atômico. ............................................................................................. 20 Figura - 2. 3. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. a) Medida da densidade em um ponto. b) Variação desta medida com o volume considerado.......................................................................................................................... 21 Figura - 2. 4. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. .................................................................................................................................. 22 Figura - 2. 5. Relação entre tamanho de um corpo continuo com 1023 átomos e uma partícula do continuo no interior do corpo com 1015 átomos resultando em uma escala de 1:108 do corpo.................................................................................................................................... 24 Figura - 2. 6. Volume infinitesimal de uma partícula fluida de massa dm e volume dV ..... 24 Figura - 2. 7. Tensão superficial nas moléculas da superfície de um líquido ......................... 42 Figura - 2. 8. Ângulo de molhamento de um gota de de um substância adsorvida sobre uma superfície. ............................................................................................................................ 43 Figura - 2. 9. Tensões superficiais nas interfaces entre três fases distintas............................. 44 Figura - 2. 10. Diversos ângulos de contato ou molhamento de líquidos com superfícies sólidas, para liquido: (a) perfeitamente molhante; (b) predominantemente molhante; (c) predominantemente não-molhante; (d) perfeitamente não molhante. .................................... 45 Figura - 2. 11. Relação entre as energias de superfície e o ângulo de molhamento respectivo. ............................................................................................................................................ 45 Figura - 2. 12. Diversos ângulos de molhamento .................................................................. 45 Figura - 2. 13. Ascensão capilar em um tubo cilíndrico vertical com diferentes Ângulos de molhamento. ........................................................................................................................ 46 Figura - 2. 14. Visualização dos diferentes ângulos de contato no menisco de um tubo capilar cilíndrico.............................................................................................................................. 47 Figura - 2. 15. ...................................................................................................................... 48 Figura - 2. 16. Geometria de um menisco com ascensão capilar devido a tensão superficial na superfície do fluido. ............................................................................................................. 50 Figura - 2. 17. Diferença de pressão entre a superfície e o interior de um fluido na região do menisco de ascensão capilar. ................................................................................................ 50 vi
Figura - 2. 18. Esquema do aumento da pressão de vapor com o aumeto da temperatura...... 52 Figura - 2. 19. Pressão de vapor maior ou igual a pressão atmosférica. ................................ 53 Figura - 2. 20. Gráfico de Temperatura em função do tempo para a água a uma pressão de 1,0 atm....................................................................................................................................... 53 Figura - 3. 1. Equivalência entre trabalho, energia e custo. ................................................... 62 Figura - 3. 2. Inter-relação entre as áreas da física e da matemática. ..................................... 63 Figura - 3. 3. Esquema do escoamento de fluido como sendo um meio contínuo. ................. 64 Figura - 3. 4. Diferença de comportamento mecânico entre um sólido e um fluido sob ação de um esforço tangencial constante, mostrando as diferentes posições de um elemento do fluido nos tempos t1, t2, t3, t4, t5, etc. ............................................................................................... 64 Figura - 3. 5. Perfil de velocidade estabelecido pela condição de não deslizamento para um escoamento externo.............................................................................................................. 66 Figura - 3. 6. Perfil de velocidade estabelecido pela condição de não deslizamento para um escoamento interno em um tubulaçaõ................................................................................... 66 Figura - 3. 7. Escoamento de um fluido sob ação de um esforço tangencial constante, mostrando as diferentes posições de um elemento do fluido nos tempos t e t + t................. 67 Figura - 4.1. Sistema de coordenadas tridimensional com um vetor de coordenadas r r ( x, y, z ) ou v v ( x, y , z ) .............................................................................................. 83 Figura - 4. 2. Tensor de ordem 3 ou de 3a ordem ou uma hipermatriz ................................... 85 Figura - 4. 3. Experimento dos vasos comunicantes.............................................................. 86 Figura - 4. 4. Experimento dos vasos comunicantes.............................................................. 87 Figura - 4. 5. Pressão hidrostática de um fluido em repouso sendo transmitida na direção normal ao contorno dos sólidos. ........................................................................................... 87 Figura - 4. 6. Corpo submerso sujeito a ação do próprio peso, W, com empuxo dado por: E = gV. ..................................................................................................................................... 88 Figura - 4. 7. Conjugado de forças sobre uma superfície de um volume de controle, V. ........ 89 Figura - 4. 8. Elemento de área dA sujeito a uma força oblíqua qualquer decomposta nas direções normal e tangenciais............................................................................................... 90 Figura - 4. 9. Elemento de área dA sujeito a uma força oblíqua qualquer decomposta nas direções normal e tangenciais............................................................................................... 91 Figura - 4. 10. Distribuição de tensão em um volume infinitesimal de um fluido. ................. 92 Figura - 4. 11. (a) Corpo submetido a uma força f; (b) Vetor tensão ..................................... 93 Figura - 4. 12. (a) Vetores tensão (b)Componentes do tensor das tensões totais. ................... 94 Figura - 4. 13. Tensões Principais em um volume infinitesimal de um fluido........................ 96 Figura - 4. 14. Região ou volume de um prisma triangular imaginário no interior de um fluido. ............................................................................................................................................ 99 Figura - 4. 15. Campo de tensão para um fluido em repouso ou em movimento uniforme... 100 Figura - 4. 16. Diferença entre tensão, , confinante, de tração compressiva, distensiva, e tensão de cisalhamento ou tangencial. ................................................................................ 101 Figura - 4. 17. Diferença entre tensão, , e pressão, P, aplicada sobre uma superfície......... 101 Figura - 4. 18. Diferença entre a) pressão aplicada sobre o sistema ( F // nˆ ) e b) pressão aplicada pelo sistema (tensão; F // nˆ )................................................................................. 102 Figura - 4. 19. Tensão normal aplica a superfície de um fluido. .......................................... 106 Figura - 4. 20. .................................................................................................................... 109 Figura - 5. 1.Elemento diferencial de volume de um fluido sob forças e pressão em todas as faces. ................................................................................................................................. 115 Figura - 5. 2. Expansão em Série de Taylor par a função P(x) = ax +b................................ 116 Figura - 5. 3. Derivada direcional na direção rˆ e gradiente de um campo escalar............... 119 Figura - 5. 5. Pressão em diferentes pontos de um fluido em repouso. ................................ 128 vii
Figura - 5. 6. Manômetro líquidos a) com uma extremidade em contato com a atmosfera b) com as duas extremidades em contato com a atmosfera...................................................... 130 Figura - 5. 7. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do Centro de Massa. . 134 Figura - 5. 8. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do Centro de Massa. . 135 Figura - 5. 9. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do Centro de Massa. . 140 Figura - 5. 10. Placa na horizontal, centro de pressão coincidente com o Centro de Massa do corpo.................................................................................................................................. 143 Figura - 5. 11. Centro de pressão coincidente com o Centro de Massa do corpo. ................ 144 Figura - 5. 12. Placa retangular plana e o Centro de Massa do corpo. ................................. 144 Figura - 5. 13. Placa apoiada sobre a extremidade fixa x = 0 e y = l, na forma de barreira articulada. .......................................................................................................................... 145 Figura - 5. 14. O centro geométrico e o momento de inércia de algumas figuras planas ...... 145 Figura - 5. 15. Forças de pressão sobre barreiras curvas submersas. ................................... 146 Figura - 5. 16. Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , . .......................................................................................................................................... 147 Figura - 5. 17. a) Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , comparado ao volume deslocado desse fluido; b) Sustentação de corpos de diferentes densidades imersos em um fluido....................................................................................... 148 Figura - 5. 18. .................................................................................................................... 149 Figura - 5. 19. .................................................................................................................... 151 Figura - 5. 20. .................................................................................................................... 152 Figura - 5. 21. .................................................................................................................... 152 Figura - 5. 22. .................................................................................................................... 153
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Lista de Tabelas Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela -
I. Quadro horário do movimento de um corpo ...................................................... xiv II. Metodologia de Estudo e Trabalho em Grupo .................................................. xiv III. Tabela de conversão das unidades dos principais sistema de medidas .............. 56 IV. Operadores diferenciais utilizados na Mecânica do Contínuo........................... 72 V. Analogia da Mecânica dos Sólidos com a Mecânica dos Fluidos....................... 73 VI. Equações e Teoremas da Mecânica dos Fluidos............................................... 74 VII. Alguns conceitos úteis da Mecânica dos Fluidos. ........................................... 75 VIII. Termos da Equações da Mecânica do Contínuo e dos Fluidos ....................... 76
ix
PREFÁCIO DO AUTOR Escrever um texto simples, claro para estudantes de graduação e que resulte em um aprendizado consistente não é uma tarefa fácil. Isto por que nos cursos de graduação encontra-se uma faixa de formação desses estudantes muito heterogênea e larga, a qual se iniciou no ensino fundamental básico ou médio. Os alunos geralmente vieram de diferentes escolas, absorveram diferentes volumes de informação e tiveram diferentes níveis de formação em Física e Matemática. Portanto, é preciso suprir alguns dos pré-requisitos que lhes faltam, de forma a nivelar todos com a finalidade de fornecer-lhes um aprendizado homogêneo em um curso de Mecânica dos Fluidos, por exemplo. Normalmente os professores dessas disciplinas detectam dificuldades dos seus alunos na área de Cálculo Diferencial e Integral. Então, um curso de Mecânica dos Fluidos só deveria ser ministrado após um curso de Calculo Diferencial e Integral do nível I, II ou III. Por outro lado, pode-se optar em suprir essas necessidades paralelamente ao curso de Mecânica dos Fluidos, à medida que houver necessidade. Essa é uma das filosofias dos cursos de graduação da Universidade de Berkeley. Ao contrário das Escolas Francesas que só ministram cursos específicos, após um preparo gradual básico do aluno. As escolas Soviéticas, por outro lado, possuem desde o seu nível mais básico uma forte formação em matemática. Para as necessidades dos cursos de graduação no Brasil, é preciso ser versátil na forma de ensinar, a fim de se envolver no aprendizado de uma disciplina o maior número possível de alunos com diferentes níveis de formação detectados. Nas Escolas de Engenharias o curso de Resistência dos Materiais e de Mecânica dos Fluidos são os bichos papões, que reprovam um grande número de alunos. Acontece que, dependendo dos objetivos do curso de graduação, no qual esses cursos estão inseridos, eles não devem ser ministrados em paralelo. É preferível ministrar, em primeiro lugar, a Mecânica dos Sólidos, como uma extensão natural da Física Elementar de Newton para os sólidos e, depois ministrar um curso de Resistência dos Materiais ou Mecânica dos Fluidos e depois Reologia. O curso de Mecânica dos Sólidos fornece um material básico muito importante para os consecutivos cursos de Resistência dos Materiais e de Mecânica dos Fluidos e Reologia. Como a nossa preocupação na proposta desse livro é com a Mecânica dos Fluidos e um pouco de Reologia dos Materiais Fluídicos: 1) Nós seguiremos o raciocínio de fornecer um texto que procede de um curso básico de Mecânica dos Sólidos. Ou seja, todo o equacionamento feito no primeiro será x
utilizado no segundo de forma análoga, utilizando a extensão das grandezas análogas paras as respectivas, na forma de taxas. Por exemplo, a deformação nos sólidos será transformada em taxa de deformação no fluido apenas fazendo-se uma derivada temporal da primeira para se obter a segunda. Um outro exemplo: As Leis de Hooke para os Sólidos serão transformadas nas Leis de Newton para os Fluidos. Assim se estenderá as analogias contidas entre essas disciplinas até o limite máximo de uma possível extensão matemática natural, seguindo-se a regra de derivação temporal ou outra qualquer dessas grandezas. Outro problema que se encontra no ensino de uma disciplina nova na graduação é o uso vocabulário técnico. No início os termos técnicos do curso em questão formam uma barreira para o aprendizado imediato. Até o estudante incorporar os termos na “corrente sanguínea” leva algum tempo. 2) Para suprir a necessidade de um vocabulário técnico no assunto, é sugerido um Glossário, no final do Livro. Dentro do corpo do texto, cada palavra nova ou um termo técnico estará em itálico para uma posterior referência no Glossário. 3) Também a exposição de um conceito será feita de forma sublinhada. E se sua importância em um parágrafo deve ser ressaltada, esta será feita em negrito. 4) Utilizaremos também quaisquer outros recursos gráficos se fizerem necessários como setas e caixas de texto para chamar a atenção do aluno para o texto. 5) Uma filosofia que adotaremos nesse curso é não fazer mistério sobre os objetivos de cada capítulo. Isto para que o estudante saiba qual é o aprendizado mínimo necessário para o capitulo seguinte. “Para isso utilizaremos a filosofia de: contar que o “assassino é o mordomo”, logo, “no início do filme”. Portanto, o aluno não precisará ir até o final do capítulo simplesmente para saber o que ele precisa entender para o capítulo seguinte. É claro que em um capítulo se insere outros assuntos pertinentes em tópicos opcionais, mas que não são totalmente necessários para o capitulo seguinte um curso básico. Ele será livre para estudar em cada capitulo apenas o que precisa saber. 6) Apresentaremos sempre uma lista dos conceitos mínimos necessários em cada capitulo. 7) Outra filosofia que adotaremos nesse curso é expor os conceitos físicos e matemáticos em um nível ascendente de dificuldades. Procurando sempre que possível fazer uma rampa suave ou uma escada de raciocínio e conceitos, sem se de utilizar pulos e saltos bruscos entre níveis de dificuldades de raciocínio. 8) Durante o ensino seqüencial do curso, a cada capítulo, a exposição naturalmente conseqüente de cada tópico será feita, a medida que os conceitos anteriores xi
estiverem sidos estabelecidos, de forma a não apresentar um conceito sem que seus devidos pré-requisitos tenham sido expostos anteriormente. Assim como na Termodinâmica a Mecânica dos Fluidos possuem conceitos que diferem em si mesmo, no seu grau de conhecimento físico em matemático. Por exemplo, alguns conceitos são matematicamente simples na sua formulação, mas conceitualmente profundos. Alguns outros conceitos, ao contrário, são matematicamente complicados na sua fórmula, mas a sua idéia básica é simples. Neste caso a escala ascendente de raciocínio poderá ser mudada no livro e poderá ser escolhida para o ensino de forma livre, dependo da filosofia do professor da disciplina. 9) Consideraremos que um conceito matemático só estará bem posto se, a partir dele puder ser inferido uma equação que possa ser utilizada no cálculo de grandezas importantes. Toda definição ou conceito deve levar a uma fórmula ou equação, se não, não é válida.
Figura - 1. Esquema prático do desenvolvimento de uma definição ou conceito.
Por exemplo, a velocidade e a aceleração poderão ser definidas como:
Velocidade: é a variação do espaço percorrido por uma partícula no intervalo de tempo transcorrido.
Aceleração: é a variação da velocidade alcançada por uma partícula no intervalo de tempo transcorrido. Cada uma destes conceitos é considerado bem posto, porque a partir das palavras acima pode-se escrever uma equação básica que será transformada em um algoritmo (ou fórmula) para a solução de exercícios de cálculo v
s . t
e xii
a
v . t
10) Quando a utilização de uma fórmula for direta nos chamaremos de “a maquina de fazer pão” o professor fornece o trigo e o aluno prepara o pão. Este é o algoritmo mais básico que podemos inferir das fórmulas é um sistema de entrada e saída onde dando o valor de uma variável obtém-se imediatamente pela equação correspondente o valor da outra. Alguns alunos sentem dificuldades com a notação dos livros. Sessenta por cento (60%) do aprendizado de uma disciplina de da área das ciências exatas, esbarra no vocabulário e na notação, o restante vai para a explicação do professor e para o entendimento dos conceitos matemáticos e físicos em si. Cada professor e cada livro adotam uma letra especifica para representar uma dada variável. Existem aquelas letras utilizadas de uso comum e outras letras se repetem no uso de dois conceitos diferentes. Para isso também se utiliza o uso de índices ou dependências funcionais que especifiquem a diferença da notação de uma variável para outra. Porém o estudante deve pensar na “filosofia da caixinha”. 11) Cada variável é um tipo de caixinha que pode assumir diferentes valores que podem ser entendidos como aqueles que ocuparão cada caixinha correspondente a cada variável. Portanto, cada variável não está obrigatoriamente associada a letra que a representa. Pois elas diferem de livro para livro conforme a representação da quantidade física. Isto deve ser explicado pelo professor que percebe este tipo de dificuldade de associação de idéias com os “ícones” criados pelas letras que representam as grandezas físicas. 12) Também sinalizaremos a diferença entre igualdade e identidade (ou definição) com o uso dos sinais de igual ( ) e de definição ou identidade ( ). Veja que as equações acima se transformam em igualdades dadas por. s s0 v t t0 .
e v v0 a t t0 .
Veja que toda equação permite a criação de uma tabela e um gráfico de pontos correspondente.
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Tabela - I. Quadro horário do movimento de um corpo
Espaço Tempo Velocidade
Local
0
0
0
Ponta Grossa
160Km
2horas
80Km/h
Curitiba
840Km
7horas
120Km/h
São Paulo
13) Outra sinalização que será feita é a respeito do sentido da igualdade, que será da esquerda para direta. Do lado esquerdo sempre será a variável dependente e do lado direito sempre que possível a variável independente. O mesmo será distinguido no uso dos eixos de coordenadas onde na vertical (ou ordenada) se colocará a variável dependente e na horizontal (ou abcissa) a variável independente. A notação de uma função de várias variáveis como um função G da seguinte forma: G G x, y , z , t .
significa dizer que para se obter o valor da função G deve-se o valor das substituir as variáveis, x, y, z e t na equação da função G . 14) Questões conceituais para que o aluno possa medir seu aprendizado é inserido antes dos exercícios de calculo matemático. 15) Uma outra filosofia a ser adotada é a inserção de um tópico intermediário entre a teoria e os exercícios que será chamada onde algoritmo. Nesse tópico o estudante poderá aprender a elaborar algoritmo gerias de soluções antes de ir diretamente para os exercícios de cálculo matemático. Tabela - II. Metodologia de Estudo e Trabalho em Grupo
Tempo
Atividade
Método
15
Leitura e bate-papo sobre o assunto
Síncrese
15
Discussão do Assunto
Análise
15
Redação
Síntese
05
Publicação
Apresentação
50
Estudo
Fixação
50
Exercícios
Verificação
xiv
Tempo inicial Tempo final
16) Uma metodologia que pode ser adotada para um estudo e trabalho em grupo pode ser resumida na Tabela - II. Nesta tabela apresenta-se uma forma de como um estudo em grupo pode ser realizado tendo como ponto de partida um tema específico, o qual deve ser amadurecido pela realização das etapas sugeridas no quadro da Tabela - II. Neste quadro subdividido a aprendizagem em etapas de, Síncrese, Análise, Síntese, Apresentação, Fixação e Verificação do aprendizado. O estudantes seguindo estas etapas poderão obter êxito no seu aprendizado em grupo, ou na realização de algum trabalho de pesquisa que também visa o aprendizado de um determinado tema. Lucas Máximo Alves, 19 de Janeiro de 2009
xv
Capítulo – I INTRODUÇÃO GERAL 1. 1 – Apresentação do Curso Este curso de Mecânica dos Fluidos foi organizado para se conhecer as principais leis físicas e relações matemáticas relacionada à Mecânica dos Fluidos. Toda lei enunciada se traduz em expressões matemáticas que geram equações para uso em cálculos quantitativos de fenômemos relacionado aos Fluidos. Após a aplicação das definições e equações básicas de uso comum em Mecânica dos Fluidos propõem-se outras aplicações relacionadas a problemas de Ciência e Engenharia dos Materiais. Ao contrário de outros cursos de Mecânica dos Fluidos que são direcionados para Engenharia Aeronáutica, Naval ou mesmo Engenharia Civil, este curso propõem estudos ligados a Ciência e Engenharia dos Materiais. Toda a abordagem feita aqui tem seu precedente na Mecânica dos Sólidos da qual as equações da Mecânica dos Fluidos são associadas. Por exemplo, as quantidades da Mecânica dos Sólidos são transformadas em taxas dessas mesmas quantidades para obtenção de equações análogas em Mecânica dos Fluidos. Essa associação no pareceu mais interessante para um curso deste tipo ligado a Ciência e Engenharia dos Materiais visto que a Mecânica dos Sólidos é uma disciplina anterior ou paralela a esta no currículo de graduação.
1. 2 – Objetivos do Capítulo i) Fornecer bases para uma discussão ampla sobre a aprendizagem de uma disciplina exata como a Mecânica dos Fluidos. ii) Apresentar sugestões especificas para o estudo e aprendizado de Mecânica dos Fluidos. iii) Fornecer uma visão geral da estrutura matemática que envolve a Mecânica dos Fluidos. iv) Apresentar as divisões do livro e os tópicos dos capítulos que se seguirão. 1
1. 3 - Metodologia de Estudo-Aprendizado Mecânica dos Fluidos é um curso que precisa observar as seguintes condições: O estudo e o aprendizado não é uma responsabilidade absoluta do professor, nem do aluno. Mas é o resultado da interação de dois indivíduos que vivem papeis complementares. Ë claro que o professor é o formador do aluno. Mas o aluno precisa deixar-se formar, com uma atitude não-passiva. Mas interativa com o professor cujo papel é: Papel do Professor: apresentação clara e concisa dos princípios fundamentais de modo que o estudante possa ler e compreender. O Professor precisa despertar o interesse do seu aluno. E o papel do aluno é: Papel do aluno: Manifestar o desejo e a atitude de estudar o texto, revisar a aula e fazer os exercícios, podendo antecipar-se ao professor lendo o que será visto antes mesmo de comparecer a aula. O aluno precisa possuir o desejo e a atitude de cumprir as tarefas escolares. O aprendizado é conseqüência de um comportamento bem- direcionado. Não é um acontecimento mágico.
Figura - 1. 1. Estrutura do conteúdo de uma disciplina
O quadro da
Figura - 1. 1 apresenta uma seqüência de etapas que devem ser
percorridas pelo professor e pelo aluno para que o aprendizado ocorra.
OBSERVAÇÃO: provavelmente haverá ocasiões em que o professor não conseguirá atingir plenamente o seu objetivo. Quando isso ocorrer o professor deve manifestar o interesse de conhecer suas deficiências pessoais e as dos seus alunos para corrigi-las, quer seja de forma direta ou indiretamente.
2
1. 4 - A Importância das Anotações O professor deve organizar o conteúdo em uma seqüência lógica, ascendente de raciocínio, com crescimento suave e gradual do conhecimento para que o aluno possa anotar e atingir a forma mais eficiente do aprendizado.
Figura - 1. 2. Estrutura seqüencial do aprendizado de uma disciplina na relação professor-conteúdo aluno.
Quando o aluno organiza em sua mente o conhecimento adquirido ele obtém como resultado o aprendizado. Fica faltando para o aluno o desenvolvimento do algoritmo de solução e o treino através dos exercícios de aprendizado e fixação. O algoritmo é a maneira ou método para se realizar uma detreminada tarefa.
Figura - 1. 3. Estrutura seqüencial do aprendizado de uma disciplina na relação conteúdo-alunoexercícios.
OBSERVAÇÕES:
1 - O texto introdutório não explica tudo é preciso o aluno ir atrás de mais. 2 – Observar as abordagens alternativas existentes e utilizar material complementar no aprendizado, como por exemplo, filmes, simulações, experimentos, etc.
3
3 – Aprender praticando, ou seja, adquirir os fundamentos básicos através da prática dos exercícios. 4 – Evitar a tentação do “ler-e-solver”
É essencial resolver os exercícios!!
Figura - 1. 4. Estrutura seqüencial do aprendizado como ação.
A atividade de aprendizado na vida humana passa por diversas etapas. É comum o estudante achar que só porque entendeu a materia ministrada em sala de aula, ele já domina o assunto e está preparado para uma prova. Ele está enganado, quanto ao processo de aprendizado, se ele pensa assim. Após o entendimento do assunto ele precisa passar por um processo de bagunça (ou confusão) seguida de ordenação (assimilação) do conhecimento de forma que durante essa etapa a conseqüente memorização associativa aconteça. Após essa etapa o estudante precisar de desafios para fixação das idéias aprendidas. Esses desafios a principio são meras repetições e reproduções do conteúdo aprendido. Após esses desafios é preciso alcançar a fixação do assunto que se dá pelo uso e o pelo interelacionamenteo das idéias e dos conceitos aprendidos. Após essa etapa o estudante precisar entrar no processo de reprodução e e criação. Se ele não chegar nesse último estágio do aprendizado, ele não está completo e nem preparado para enfrentar novos desafios ligados ao assunto aprendido. A Figura - 1. 4 resume em um quadro o processo de aprendizado discutido acima.
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1. 5 - Objetivo Final do Curso Os estudantes no final do curso devem estar: i) aptos a aplicar as equações básicas e resolver problemas novos, ii) desenvolver auto-confiança e habilidade matemática e técnica em fluidos, iii) estar capacitado a encontrar soluções para problemas com maiores graus de dificuldades.
1. 6 – Pré-requisitos Matemática: Escalares, Vetores, Tensores (matrizes); Derivadas, Integrais e Séries de Taylor. Este conteúdo é normalmente visto em curso de Álgebra, Cálculo Diferencial e Integral e Geometria Analítica.
Física: Leis de Newton – 1ª, 2ª e 3ª Centro de Massa Momento Linear, Angular, Rotação e Momento de Inércia Leis da Termodinâmica – 1ª, 2ª e 3ª . Este conteúdo é isto normalmente em curso de Física – I, II e III
Mecânica dos Sólidos: Deformação Normal e Cisalhante, Tensão, Tensões Principais, Lei de Hooke Generalizada Este conteúdo é isto normalmente em um curso de Teoria da Elasticidade, Resistência dos Materiais
5
1. 7 - Visão Geral do Curso Neste curso utilizaremos o conceito de grandezas escalares, pseudo-escalares, vetoriais, pseudo-vetoriais, e tensoriais. Também utilizaremos as três Leis de Newton (conservação da massa (inércia), a lei de força, conservação do momento linear, angular e da energia) e as três leis da termodinâmica (1 a , 2 a e 3a Lei), modificadas, para retratar o movimento de fluidos. Utilizaremos equações de origem puramente geométrica e outras de origem fenomenológicas (equação da continuidade) para descrever comportamento de corpos ou de fluidos em geometrias pré-definidas. Utilizaremos o conceito de produto escalar, produto vetorial, produto misto, duplo produto escalar, e duplo produto vetorial, como também o conceito de derivada material, gradiente, divergente e rotacional e dyádicos com as suas respectivas interpretações geométricas. Desenvolveremos os teoremas, de Green, da Divergência, Gauss, Reynolds e Stokes, e a Equação da Continuidade para descrever comportamento de fluidos. Entenderemos a equivalência entre diversas áreas da física tais como: Mecânica e Eletromagnetismo e Termodinâmica. Portanto neste curso procuraremos explicar, com todo o detalhamento necessário e possível, a linguagem dos conceitos através das fórmulas e dos teoremas matemáticos. Fique atento ao que está implícito nas fórmulas por meio dos sinais de, v (escalar), v (vetor), u u uo (variação finita), du (variação infinitesimal de escalar), du (variação infinitesimal de vetor), (somatória), f ( x)dx (somatória infinitesimal de um escalar), J dA (somatória infinitesimal de um vetor), interpretação geométrica dos operadores gradiente, divergente e rotacional, etc. Uma mesma equação, chamada de “equação da continuidade”, quando aplicada sob a visão de cada uma das equações fenomenológicas da
Figura
-
1.
5
geram
diferentes fenomenologias contidas no mesmo grupo estrutural de equações matemáticas. Portanto, um dos objetivos deste curso é ensinar ao aluno o uso de equações e teoremas de forma a misturar essas equações para abordar fenomenologias mais complexas. A evolução dos conceitos básicos dentro da física é mostrado na
Figura - 1. 6.
Esta figura mostra como as diversas áreas da física estão classificadas mediante os seus conceitos fundamentais e seu campo de aplicação.
6
Figura - 1. 5. Leis fenomenológicas de fluxos proporcionais aos gradientes de suas respectivas grandezas.
7
Figura - 1. 6. Visão geral da Mecânica dos Fluidos e sua relação com outras áreas da ciência física.
A Mecânica dos Fluidos possui um arcabouço matemático geral utilizado em várias outras áreas da ciência física, conforme esquematiza a
Figura - 1. 8. Pois de
diferentes leis fenomenológicas surgem diferentes contribuições à força que atua sobre um elemento de um fluido em conjunto com as suas diferentes configurações geométricas, que podem ser: cartesianas, cilíndricas, esféricas, hiperbólicas, etc.
8
Figura - 1. 7. Visão geral das Ciências Exatas e sua relação com as Leis da Natureza e com a Matemática.
Figura - 1. 8. Visão geral da Mecânica dos Fluidos e sua relação com outras áreas da ciência física, que podem incluir efeitos clássicos e relativísticos.
Por se tratar de um assunto de grande abrangência, a Mecânica dos Fluidos, envolve as áreas da Elasticidade e da Elastodinâmica, Hidrodinâmica e Mecânica dos Meios Contínuos. Suas idéias estendem-se desde a mecânica tais como: Tensores, Lei de Hooke,
9
Propriedades Elásticas dos Materiais, Dislocações, Comportamento Dinâmico de Ondas, etc., e suas equações estendem-se desde a equação da continuidade, equação de Euler, equações da Hidrostática (Pascal e Stevin), da Hidrodinâmica (Bernoulli, Navier-Stokes) até Equações Diferenciais Não-Lineares, que envolve turbulência e a propagação de sólitons. Por último, na resolução dos problemas é preciso lembrar que todo valor de uma medida estará associado a uma certa imprecisão experimental, por esta razão será adotado o uso de até três algarismos significativos.
1. 8 - Metodologia do Curso em Sala de Aula Os pré-requisitos para o aprendizado de Mecânica dos Fluidos são: Matemática (Álgebra e Geometria, Cálculo Diferencial e Integral), Escalares, Vetores, Pseudo-Vetores, Matrizes e Tensores, e Pseudo-Tensorial, Derivadas, Integrais, Séries de Taylor, Relações Trigonométricas. Leis de Newton – 1ª, 2ª, 3ª, Estática, Dinâmica dos Corpos Rígidos, Centro de Massa, Momento Linear, Momento Angular, Rotação e Momento de Inércia. Leis da Termodinâmica – 1ª, 2ª, 3ª - Sistema Internacional de Unidades (70% dos exercícios). - Sistema Inglês (30% dos exercícios). - Há 108 exercícios resolvidos que serão utilizados para o aprendizado e criação dos algoritmos de resolução. - Procurar fugir do método convencional de dar aulas. - Acrescentar outros materiais às preleções e expandir os tópicos especiais (circulação sanguínea, escoamento de fluidos não-newtonianos, métodos de medida). - Realizar discussões sobre o conteúdo do curso. - Resolver problemas e explanar pontos difíceis dos trabalhos recomendados para serem feitos em casa. - Fazer um Workshop dos conteúdos dos cadernos a cada fim de tópico com os exercícios resolvidos - Apresentar diante mão um sumário dos objetivos de cada capítulo - Há mais de 500 novos problemas para serem feitos em casa que poderão ser usados como questões para as provas a cada tópico. - Há 1161 problemas na 3ª Edição do livro texto do Fox & Mac Donald que poderão ser utilizados num prazo mínimo de seis meses. 10
- Existem muitos filmes instrutivos para o esclarecimento dos conceitos básicos listados no Apêndice C do livro texto do Fox & Mc Donald e também em homepage de Universidades e Instituições com cursos de Mecânica dos Fluidos na Internet.
1. 9 - Divisões do Livro 1) Conceitos Introdutórios (Caps 1, 2 e 3) – Objetivos da Mecânica dos Fluidos, Estática e Dinâmica dos Fluidos 2) Estabelecimento e aplicação do volume de controle, formas das equações básicas (cap. 4) – Euler- Lagrange. 3) Estabelecimento e aplicação das formas diferenciais das equações básicas (cap 5 e 6) e formas integrais das equações básicas. 4) Análise dimensional e correlação dos dados experimentais (cap 7) 5) Aplicação dos escoamentos de fluidos incompressíveis (escoamentos internos no cap. 8 e externos no cap. 9) 6) Análise e aplicações de escoamentos em canais (caps. 10) 7) Análise e aplicações de escoamentos unidimensionais de fluidos compressíveis (caps. 11 e 12)
1. 10 - Metodologia para a Solução dos Exercícios 1 – Relacionar bem e concisamente (com suas palavras) as informações dadas. 2 – Relacionar as informações a serem determinadas 3 – Faça um esquema do sistema ou do volume de controle a ser usado na análise. Assegure-se de assinalar os limites do sistema ou do “volume de controle” e de fixar, convenientemente, os sentidos das coordenadas. 4 – Escreva o formulário matemático das leis básicas que você julga necessário para resolver o problema 5 – Liste as hipóteses simplificadoras que você considera serem aplicáveis ao problema. 6 – Resolva o problema algebricamente antes de substituir os valores numéricos, para que você possa identificar métodos gerais de soluções e gerar algoritmos que evite você fazer muitos problemas iguais sem necessidade.
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7 – Substitua os valores numéricos (usando um sistema coerente(1) de unidades de medida) para obter as respostas numéricas. Os algarismos significativos das respostas devem ser compatíveis com os valores fornecidos (normalmente até 3 casas decimais após a virgula). 8 – Verifique as respostas e reveja as hipóteses feitas na resolução a fim de certificar-se de que são procedentes, ou seja, que não há absurdos. 9 – Destaques as respostas e verifique se estas possuem grau de realidade, se não, identifique os absurdos e refaça os cálculos. 10 – Relacione o que você aprendeu, isto é, o seu problema e as suas respostas com o seu dia a dia ou com a sua realidade.
1
Todas as grandezas no mesmo sistema de unidades
12
1. 11 – Exercícios e Problemas 1. Sob determinadas condições, quais destes materiais são fluidos? alcatrão, gelatina, massa de vidraceiro, argila pra moldes, cera, areia, pasta de dente, creme de barbear? 2. Qual é a importância da Mecânica dos Fluidos na Engenharia de Materiais 3. Cite três aplicações de fluidos na Engenharia de Materiais
Solução 1.
a) A gelatina é fluido apenas quando aquecida, pois possui uma viscosidade que
depende da temperatura e na temperatura ambiente ela se comporta como um sólido elástico. b) A argila para molde é um material cuja viscosidade que depende da quantidade de água quando é pouca é solído e quando é muita é fluido. c) A cera possui viscosidade que também depende da temperatura. Portanto, em todos os casos para um material ser considerado fluido ele precisa se deformar continuamente.
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1. 12 – Referências Bibliográficas - POTTER , Merle C. e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson - FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4ª Edição. - SHAMES, Irwin Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora. - INCROPERA, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora LTC, 4ª Edição, 1998. - FEYMANN, Richard, Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41. - LANDAU & LIFSHITZ – Teoria da Elasticidade - FETTER & WALESCKA – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações) - ARFKEN – Métodos Matemáticos em Física - VENNARD, J. K. STREET, R. L. – Elementos de Mecânica dos Fluidos – 5a ed, Guanabara DOIS, Rio de Janeiro - RJ, 1978, p. 16. - ATKINS, P. W. Físico-Química, v. 1, 6a ed, Editora LTC, Rio de Janeiro - RJ, 1999.
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Capítulo – II CONCEITOS FUNDAMENTAIS RESUMO Neste capítulo serão vistas as noções fundamentais e os conceitos básicos relacionados a mecânica newtoniana a termodinâmica, tensão superficial, e pressão de vapor, aos fluidos, ou seja: o que é um fluido, qual é a sua importância na engenharia e na física, o que significa a hipótese do contínuo e quais são as unidades físicas importantes utilizadas. Como se estuda fenomenologicamente a consistência de um corpo por meio das equações da mecânica e saber quais são as unidades físicas importantes utilizadas na Mecânica dos Fluidos. Todos os conceitos estudados neste capítulo serão úteis nos capítulos subseqüentes e ao longo de todo o curso. Portanto, é imprescindível memorizar tais conceitos para a resolução dos problemas que se seguirão.
Palavras Chave: fluido; sistema de unidades; Leis de Newton ; leis da Termodinâmica.
PACS números:
2. 1 – Objetivos do Capítulo Ao terminar o estudo do Capítulo – II o estudante deve ser capaz de: i) Descrever as três leis da Mecânica e as três Leis da Termodinâmica e a Lei de Hooke Generalizada. i) Entender a hipótese do contínuo e saber aplicá-la para o caso de fluido.
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ii) Entender o comportamento mecânico dos sólidos para poder estender o comportamento para fluidos. iii) Listar as cinco leis básicas que governam o movimento dos fluidos. iv) Citar os três sistemas básicos de medidas. v) Entender e saber transformar dimensões e unidades, homogeneidade dimensional, peso. vi) Saber utilizar as dimensões, unidades e as homogeneidade dimensional. vii) Dar as unidades das grandezas físicas no S.I., no Sistema Gravitacional Inglês e no Sistema Inglês de unidades usadas na Engenharia. viii) Resolver os problemas do final do capítulo relativos a matéria estudada.
2. 2 – Introdução Em um estágio anterior do aprendizado sobre os materiais aprendemos a distinguir os estados da matéria com repeito a forma na qual suas partículas se unem. Esses estados são o sólido, o líquido e o gasoso. Contudo, a partir de agora é necessário distinguir os materiais em outras três classes, os rígidos, os defomáveis e os fluídicos. Portanto, usando-se essa nova forma de classificar os materiais podemos dizer que um matérial é rígido quando este não se deforma, e um material é defomável quando este se deforma sem escoar, e um material é fluídico quando este se deforma continuamente sob a ação de qualquer força tangencial.
16
2. 3 – Introdução a Teoria Mecânica do Contínuo Os primórdios de um estudo da mecânica dos corpos e das partículas datam desde a Grécia antiga com os trabalhos de Aristóteles e Demócrito. Contudo, uma descrição consistente de uma equação de movimento para partículas e corpos sólidos iniciou-se com os trabalhos de Galileu, seguido por Newton, Leibnitz e Lê Chatelier. Após inúmeros desenvolvimentos matemáticos que levaram em conta um sistema de coordenadas generalizado, utilizados na descrição de um movimento, D’Alambert, Euler e Lagrange também obtiveram as mesmas equações de Newton, na sua forma generalizada, utilizando alguns princípios variacionais. Estas equações passaram a se chamar de equações de EulerLagrange. O desenvolvimento matemático realizado até então, demonstrou que determinados princípios gerais estão subtendidos no movimento de corpos e partículas, entre eles o princípio da mínima ação. Gibbs e Onsager estenderam as generalizações da mecânica de Euler-Lagrange para leis de fluxos na termodinâmica de processo irreversíveis incluindo a formulação do contínuo. A transição da Mecânica Clássica para a Mecânica do Contínuo se deu graças ao estudo dos corpos deformáveis onde se aplicou os princípios utilizados na Mecânica das Partículas Discretas extendo-as para o Campo Contínuo. Uma generalização análoga as equações de Euler-Lagrange foi feita por Elsheby na qual o tensor de Elsheby-Rice foi pela primeira vez obtido. Para se iniciar uma descrição matemática do problema do movimento de uma partícula, pode-se optar pela linha histórica ou cronológica dos desenvolvimentos que se seguiram desde Aristóteles até a idade moderna com Laplace, Poincaré, Lorenz, etc, ou optar pela linha de descrição conceitual que se inicia com o conceito de momento linear, energia, ação, etc. Contudo, o surgimento desses conceitos mais fundamentais como o de ação, momento linear, energia, e de lagrangeano só apareceram muito tempo depois do desenvolvimento inicial dado por Newton. Desta forma, tanto a linha histórica e cronológica do desenvolvimento da mecânica parecem ter suas vantagens e desvantagens. Portanto, vamos procurar mesclar as duas linhas de descrição de forma a se obter uma ascendência linear no desenvolvimento do raciocínio lógico que deu origem a mecânica.
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2. 4 – O Desenvolvimento da Mecânica dos Meios Contínuos No século XVII, os britânicos Robert Hooke e Isaac Newton, desenvolveram estudos que vieram a se constituir nos fundamentos, conceitos e teorias atualmente utilizados na Mecânica dos Sólidos e na Mecânica dos Fluidos. Hooke R.(1678) desenvolveu a Teoria da Elasticidade, definindo o sólido elástico como um corpo no qual a deformação é diretamente proporcional à tensão aplicada ou em outras palavras provou que ao se duplicar a tensão, se duplica também a deformação. Isaac Newton (1687) dedicou-se ao estudo do comportamento dos fluidos e de seus estudos resultou à origem da designação de fluido completamente viscoso ou newtoniano, enunciando resumidamente que: a força por unidade de área necessária para que exista o escoamento é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade. Durante um longo período de tempo, cerca de 150 anos, todos consideravam que as leis de Hooke e Newton permitiam descrever corretamente o comportamento de qualquer material. No entanto, no século XIX começaram a surgir dúvidas, e se desenvolveram trabalhos que permitiram concluir que existiam materiais cujo comportamento diferia do observado nos sólidos de Hooke e nos fluidos newtonianos. Nesta época surgiram conceitos como sólido viscoelastico (Wilhelm Weber, 1835) e fluido elástico (James Clerk Maxwell, 1867), ou seja, surgiram conceitos que mais tarde deram origem a Teoria da Viscoelasticidade Linear. Pois os resultados de Weber e Maxwell permitiram a Botzmann (1.878) balizar seus estudos, propiciando
ao mesmo, criar o princípio da sobreposição e chegar a uma
representação integral da viscosidade linear tridimensional, Walters,K.(1999). No início do século XX foram realizados os primeiros trabalhos referentes à elasticidade não-linear. Cabendo a Zaremba (1903) estender a Teoria da Viscoelasticidade linear à região não-linear através da introdução de uma derivada corrotacional. Na seqüência outros investigadores sucederam Zaremba, desenvolvendo trabalhos versando sobre o mesmo tema, tais como Jaumann (1905) e Hencky (1929). Destes estudos surgiu o conceito de viscoelasticidade não-linear. Após a criação formal desta ciência, os maiores avanços registrados ocorreram na segunda metade do século XX. Foi justamente neste período que foram desenvolvidas as equações constitutivas que são usadas até os nossos dias. A cronologia dos fatos registra que inicialmente surgiram os modelos diferenciais e integrais baseados na Teoria da Mecânica dos Meios Contínuos sendo que dentre os vários estudiosos que contribuíram para a criação destes modelos merecem destaque no âmbito dos modelos diferenciais Oldroyd (1950), 18
Giesekus (1962) e no domínio dos modelos integrais, Green e Rivlin(1957) e mais recentemente Tanner (2001). Os modelos matemáticos existentes, descrevem de forma correta o fluxo de boa parte dos fluidos. No entanto, quando as deformações impostas são muito elevadas essa condição não se verifica, pois além do problema da não-linearidade condição intrínseca de problemas envolvendo fluidos não-newtonianos, observa-se que há alguns modelos reológicos que devem também contemplar o comportamento microestrutural dos fluidos. Neste sentido, existe na atualidade modelos baseados na Teoria de Redes, onde Green e Toblosky (1946) são pioneiros; Teoria da Reptação, proposta inicialmente por Edwards (1967) e modelos baseados na Teoria Molecular, onde dentre outros merece destaque o trabalho desenvolvido por Bird et. al (1987), uma vez que o referido trabalho sucedeu diversos outros, Doraiswamy, D.(2002) As matérias estudadas pela Reologia, ou seja, escoamento e deformação da matéria, ocorrem num espaço tridimensional, implicam que as equações associadas a essa ciência devem ser escritas na forma tensorial. Para tanto, no próximo tópico abordaremos alguns tópicos básicos do Cálculo Tensorial úteis para a melhor compreensão dos conceitos reológicos que se sucederam nos próximos tópicos desse trabalho.
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2. 5 – A Hipótese do Contínuo Considere a medida da massa de um dado material por unidade de volume, tomada desde um único átomo ou molécula até o limite macroscópico, conforme mostra a Figura - 2. 1.
Figura - 2. 1. Medida da massa de um material por unidade de volume de um corpo desde o limite discreto até o limite continuo.
A hipótese do contínuo postula que os materiais, sólidos e fluidos (que podem ser líquidos ou gases), são distribuídos continuamente pela região de interesse do espaço, isto é, tanto um quanto o outro, no caso sólido ou fluido, por exemplo, são tratados como um meio contínuo sem recorrer a uma descrição atomística discreta. Consideremos um material sólido formado por átomos como um metal, por exemplo. O espaço percorrido por um elétron entre duas colisões consecutivas com o núcleo dos átomos é chamado de caminho livre médio, l, (Figura - 2. 2).
Figura - 2. 2. Caminho livre médio, l, entre duas colisões consecutivas de um elétron com os núcleos de um sólido atômico.
20
Consideremos o caso onde o caminho livre médio, l, é da mesma ordem de grandeza do volume de controle, L , isto é, L l . Neste caso, os fenômenos físicos existentes não fazem parte do âmbito da Mecânica do Contínuo (2) e sim da Mecânica Estatística. Contudo, se o caminho livre médio(3), l, entre duas colisões consecutivas for muito menor do que a extensão física do volume de controle considerado, L, ou seja, quando
L l , a ciência capaz de tratar os fenômenos envolvidos neste volume de observação é a Mecânica do Contínuo. Por exemplo, para os gases, o caminho livre médio é aproximadamente 10-7mm. Logo, qualquer volume de controle da ordem de milímetros está dentro do intervalo de conceituação dada pela Mecânica do Contínuo. A propriedade a ser usada para determinar se a idéia de contínuo é apropriada, ou não, é a massa específica, ou a densidade, , definida por:
m V 0 V
lim
Onde, m , é a massa incremental contida no volume, incremental,
(2. 1)
V . Isto significa que a
densidade do sólido contido neste volume sofre flutuações desprezíveis para a descrição matemática da Mecânica do Contínuo (Mecânica dos Sólidos ou Fluidos) de tal forma que esta pode ser calculada pela equação (2. 1).
Figura - 2. 3. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. a) Medida da densidade em um ponto. b) Variação desta medida com o volume considerado.
Fisicamente não se pode fazer V 0 , já que, quando V fica extremamente pequeno a massa contida nele varia descontinuamente de pendendo do número de átomos em 2
Teoria do Calor, Mecânica dos Sólidos ou Fluidos alguns livros trazem os termos “livre caminho médio”, “caminho médio livre de colisões”, que são todo equivalentes 3
21
V (veja a Figura - 2. 1 e a Figura - 2. 3). Na prática, existe um volume pequeno abaixo do qual a idéia de contínuo falha, como pode-se ver na Figura - 2. 3, pois abaixo desse volume, , tem-se um valor no qual as distâncias lineares são da ordem do livre caminho percorrido pelas moléculas. Sendo assim, a hipótese do contínuo é válida quando tem-se, L l , ou seja, a distância linear L é maior que o livre caminho médio l como já foi
dito anteriormente, e não é válida para L l . Conforme o gráfico da Figura - 2. 3, a partir do ponto A entramos na região de domínio da Mecânica do Contínuo (Mecânica dos Sólidos ou Fluidos), onde não depende mais da escala de observação do volume de controle, ou seja, esta é a condição de continuidade da matéria. Nesta figura mostra-se como uma medida é aceitável dentro da hipótese do contínuo. Termodinamicamente falando este volume equivale àquele que contém um mínimo de 1015 partículas pois coincide com o limite termodinâmico, veja por exemplo a representação mostrada na Figura - 2. 4.
Figura - 2. 4. Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido.
O limite superior da hipótese do contínuo, para acima do qual não é valida, é o tamanho do próprio sistema que está sendo analisado, pois se analisarmos uma grandeza com dimensões maiores que o tamanho do sistema este se torna insignificante. Por exemplo, assumindo-se um rio como um sistema fluido, se for tomado um volume muitíssimo pequeno, abaixo de , teremos L l e assim, a hipótese do contínuo não é válida. Porém, se tomarmos um volume muito grande para analisar o sistema fluido rio, como o planeta terra, por exemplo, como se estivéssemos sobrevoando-o em um avião a grande altitude, observando a terra, o rio será considerado e visto como uma linha e não como um fluido em movimento.
22
2. 6 – A Transformação da Mecânica Discreta para a Mecânica do Contínuo Clássica A transformação da descrição matemática da Mecânica das Partículas para a Mecânica do Contínuo, se dá quase que naturalmente com o surgimento do conceito de “densidade generalizada” ou grandeza específica. Esse conceito é dado pela quantidade de uma determinada grandeza contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja, para o caso de um meio onde vale a hipótese do contínuo, precisamos transformar as grandezas de partículas discretas em densidades que serão, nada mais nada menos, que suas respectivas grandezas por unidade de volume. A transição da forma matemática das Leis de Newton do caso discreto para o contínuo é feito a por meio das seguintes transformações matemáticas, de massa, momento linear, força, etc:
m dm mdV p dp pdV F dF FdV . :
(2. 2)
G dG GdV onde utiliza-se as seguintes densidades generalizadas.
dm (massa ) dV dp p p J m (momento linear ) dV dF F F f ( força ) . dV : m m
G G
(2. 3)
dG (outras quantidades ) dV
De forma análoga a transformação matemática da massa em densidade de massa, a transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio dessa transformação, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume infinitesimal do contínuo.
Por último, a equação de movimento segue das transformações 23
anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares. A escala necessária para que essa transição seja válida é mostrada esquematicamente na Figura - 2. 5.
Figura - 2. 5. Relação entre tamanho de um corpo continuo com 10 15
continuo no interior do corpo com 10
23
átomos e uma partícula do
8
átomos resultando em uma escala de 1:10 do corpo.
No processo de transformação das quantidades da mecânica newtoniana e da termodinâmica para a mecânica dos fluidos nós observamos a necessidade de se recorrer a hiótese do contínuo. Desta forma, todas as quantidades da mecânica que puderem ser medidas por unidade de volume ganha uma nova roupagem; a primeira delas é a massa que passa a se chamar de massa específica, quando uma quantidade infinitesimal desta (dentro do limite termodinâmico de 1015 partículas) é medida dentro de um volume também infinitesimal de um fluido, ou seja:
m
dm : densidade de massa dV
(2. 4)
Figura - 2. 6. Volume infinitesimal de uma partícula fluida de massa dm e volume dV .
24
2. 7 – As Quantidades ou Grandezas Generalizadas As grandezas definidas na Mecânica Discreta precisam ser generalizadas para poder serem válidas na Mecânica do Contínuo. Isto é, para satisfazer a definição do meio contínuo é necessário realizar uma redefinição das quantidades da mecânica das partículas. Isto significa que todos os conceitos e as quantidades físicas definidas anteriormente passarão por uma transformação matemática onde se considera a união de um conjunto infinito de partículas para definir um meio contínuo. Como um sólido ou um fluído são considerados corpos contínuos a melhor opção neste caso é definir grandezas por unidade de volume. Com isso todos as grandezas passam a ser definidas em termos do volume. Desta forma, tanto a massa como as demais grandezas passam a ser definidas por unidade de volume dando origem ao que chamamos de Quantidades ou Grandezas Generalizadas, como descrevemos a seguir:
2.7.1 - Densidades Generalizadas Na secção anterior vimos a definição de várias densidades as quais serão chamadas de densidades generalizadas
m : densidade de massa J m : densidade de momento f : densidade de força ρG : outras densidades
(2. 5)
Como conseqüência da hipótese do contínuo, podemos resumir a transformação das grandezas da Mecânica Clássica nas grandezas Mecânica do Contínuo (Mecânica dos Sólidos, Fluidos, etc.) em densidades generalizadas, fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma uma grandeza G qualquer que pode ser massa, m , momento linear, p , Força, F , Energia, U , etc., deverá ser transformada na sua respectiva densidade da seguinte forma:
G lim
V 0
G . V
(2. 6)
Para a descrição das grandezas físicas as quais foram historicamente generalizadas no contexto da Mecânica do Continuo e da Termodinâmica, vamos utilizar como base a geometria euclidiana. Dentro desta geometria o sistema de coordenadas adotado será o
25
sistema cartesiano, podendo ser utilizado o sistema de coordenadas curvilineo que se fizer necessário e adequado à descrições que se seguirem. Onde G m, p, F ,U , etc . Logo podemos escrever: dG dG dm dV dm dV
G
(2. 7)
Observe que de forma geral a densidade generalizada depende da densidade de massa do meio e da relação da grandeza G com a massa do elemento de infinitesimal de volume que a contém. Desta forma ficamos com:
G
dG dm
(2. 8)
Esta definição será válida de uma forma geral, onde M é a densidade de massa ou a massa especifica. Essa grandeza G possui uma natureza geral que podem ser grandezas escalares , vetoriais ou tensoriais, tais como: número de partículas, N , massa, m , carga elétrica, q,
momento linear, p , energia, U , calor, Q , etc. O uso de densidades generalizadas ficará claro quando invocarmos a equação da continuidade. Para título de ilustração exemplificaremos o cálculo da densidade generalizada para o fluxo de calor, para o fluxo de deformações elásticas e para o fluxo de massa fluida.
Exemplos de Densidade Generalizadas Para o calor por exemplo temos: dQ dV
(2. 9)
dQ dm dm dV
(2. 10)
Q então
Q sendo dm dV e
Q mcT
(2. 11)
temos:
26
dQ c T dm
(2. 12)
Q c T
(2. 13)
Logo
Então para as demais quantidades temos: dm , dV dP P , dV dQ Q , dV U dU , dV dS G U , dV du , u dV dv , v dV dF , F dV ...etc.
(2. 14)
Todas estas densidades tornam-se úteis para escrever a equação de movimento referente a cada uma de suas fenomenologias. Pois como veremos mais adiante uma equação de movimento é dadas pelo equilibrio das forças generalizadas, composta de pela fonte do campo e pela derivada temporal de densidade da quantidade associada.
27
2.7.2 – As Taxas Generalizadas Na natureza algumas grandezas dinâmicas podem ser representadas por meio de taxas e fluxos generalizados. Entre eles está o taxa e o fluxo de massa, o fluxo de calor, o fluxo de momento linear, etc., que atravessa um corpo, por exemplo. Definiremos a taxa de qualquer grandeza como sendo dada por:
G
dG . dt
(2. 15)
A taxa é qualquer grandeza ou quantidade que muda com o tempo. Esta definição nos levará ao que chamaremos de derivada material. Essa derivada temporal de uma grandeza
G define uma grandeza chamada de derivada material no contínuo a qual é descrita como: dG dr G G dr dt t
(2. 16)
Sendo v dr / dt podemos escrever: v.G G G t
(2. 17)
Por outro lado, desenvolvendo a equação (2. 15) podemos escrever:
G
dG dV . dV dt
(2. 18)
dV . dt
(2. 19)
Usando-se (2. 7) temos:
G G
Se expressarmos o volume como sendo V A.r , temos:
dA dr G G r A . dt dt
(2. 20)
como a velocidade é v dr / dt temos: dA G G r Av . dt
28
(2. 21)
2.7.3 - O Fluxo Generalizado JG , através de uma Superfície Analogamente para cada densidade e taxa generalizada devemos ter um fluxo generalizado associado. Um fluxo acontece quando “algo” flui no espaço e no tempo, ou seja, é possível identificar a variação de sua quantidade através de um volume em um determinado intervalo de tempo. Portanto, é possível definir de forma geral um fluxo generalizado como sendo a medida de uma grandeza generalizada G que atravessa um elemento de área infinitesimal, dA , em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, ou a taxa de uma determinada quantidade que atravessa um elemento infinitesimal de área, ou seja: dG d dG JG0 . dA0 dA0 dt
(2. 22)
Esta grandeza, G , é de natureza geral e pode ser um escalar (massa m , carga elétrica q , calor Q , energia U entropia S , etc ) ou um vetor (momento p , velocidade v , etc.) ou um tensor (tensão
, Polarização P , etc.).
Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado, J G , das grandezas generalizadas, MX, consideradas anteriormente, como sendo:
d dG d dG JG ou JG dA dt dA dt
(2. 23)
Desde que dG / dt é uma derivada material para as grandezas G Q (calor), q (carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser definidos como JG J Q (fluxo de calor), J q (fluxo de corrente elétrica), J (fluxo de massa), Jp (fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc. e de uma forma geral temos:
JG
d dG dA dt
ou
29
(2. 24)
JG
dG dA
(2. 25)
A pergunta agora é qual é a relação fenomenológica que existe entre fluxo generalizado e a sua densidade generalizada. Reescrevendo ( ) temos: JG
d dG dr . dA dr dt
(2. 26)
d dG .v dA dr
(2. 27)
e
JG Expandindo as derivadas temos:
d dG dv dG JG .v dA dr dA dr
(2. 28)
Mas o elemento de volume pode ser escrito como:
dV dAdr .
(2. 29)
então dG dv dG JG v dV dA dr
logo
JG
d dG JG GvG GG . dA dt
(2. 30)
Observe que para cada densidade, X generalizada existe um fluxo generalizado, J X , onde G m, p, F ,U , etc . são as grandezas em questão que pode ser massa, energia, momento linear, carga elétrica, etc. Até agora as deduções feitas não envolveram nenhum tipo de material. Para descrever o comportamento particular de um tipo de material é preciso utilizar um tipo de equação característica chamada de equação de consistência ou constitutiva. Vamos exemplificar o uso de uma equação constitutiva para o problema do calor e da elasticidade.
30
G F G F fS J p .
(2. 31)
Portanto, a partir da equação da derivada material dada em (2. 17) a equação (2. 24) fica:
JG
d G (v .G ) t dA
(2. 32)
Reescrevendo o primeiro termo do lado direito da equação acima temos:
d d G (v .G) v .G dA dA G
(2. 33)
Logo d G G v .G t dA G
(2. 34)
G dv d G . d G G .v G G dA dA G dA t
(2. 35)
JG
Ou
JG Ou
d G G d G .v G dv . d G JG G G G dA dA dA t G dA G
(2. 36)
G dv d G G d G d G v .G .G JG v G G dA dA G dA dA t
(2. 37)
d G d G G dv d G .v .G JG G dA dA G dr dA t
(2. 38)
Ou
Ou JG
d dG G dv d G .G .v G dA dA dr dA t
31
(2. 39)
Ou dG G dv d G .G JG .v G dA dV dA t
(2. 40)
G dv d G .G JG Gv G dA dA t
(2. 41)
Ou
Chamando de kG a constante de acoplamento dada por: dv G kG dA G
(2. 42)
d G JG Gv k GG dA t
(2. 43)
Ficamos com:
Para uma grandeza G que não varia explicitamente no tempo, temos que G / t 0 , ficamos finalmente com:
JG Gv kG G .
(2. 44)
Observe que, para as grandezas G cP T (temperatura), (potencial elétrico), C (concentração), v (velocidade), etc, correspondem aos fluxos JG J Q (fluxo de
calor), Jq (fluxo de corrente elétrica), J (fluxo de massa), J p (fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc. Onde em cada caso temos kG kT (condutividade térmica), (condutividade elétrica), -
D (coeficiente de difusão), (coeficiente de viscosidade), etc.
32
2. 8 – As Equações Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos A Mecânica dos Meios Contínuos segue de uma extensão da Mecânica Clássica Newtoniana cujo objeto de estudo sãos partículas em estado fracamente ligadas que produzem um efeito mais ou menos cooperativo. Nesta área da Física as três leis de Newton e as três leis da Termodinâmica adquirem uma nova roupagem, devido ao conceito de matéria contínua ou mais conhecida como Mecânica do Contínuo. Portanto, vamos iniciar o curso fazendo uma revisão da Mecânica de Newton e da Termodinâmica para depois transformar essas leis na nova roupagem desejada e útil na solução de problemas de fluidos. Logo a transformação matemática destas grandezas fica estabelecida como:
2.8.1 - As Três Leis da Mecânica para o Meio Continuo A origem das duas primeiras leis de Newton da Mecânica se deu a partir do estudo movimento dos corpos celestes e do estudo do movimento dos corpos em geral. Em particular a lei da inércia (a 1ª lei de Newton) estabelece um estado no qual um corpo pode se encontrar indefinidamente que pode ser de repouso ou de Movimento Uniforme. A medida da inércia nesses estados é medida pela massa inercial. Tal estado so poderá ser alterado se agir sobre esse corpo uma força. Esa força é quantificada em termos da aceleração pela segunda lei de Newton . A terceira lei se teve sua origem no estudo das colisões ou choques de objetos ou partículas. A lei zero da mecânica é a conservação da massa, que no caso da mecânica de Newton não recebe nenhuma elaboração matemática até ser considerada a deformação dos corpos na mecânica do contínuo. A primeira lei resumida na equação da quantidade de movimento se transformará em um Fluxo de Massa que coresponderá a uma densidade volumétrica de momento linear. A segunda lei de Newton se transformará na famosa equação de Navier-Stokes e a terceira lei se transformará em uma relação de reciprocidade de densidade de forças.
Massa (Lei de Conservação da Massa) A massa por unidade de volume a qual é comumente chamada de densidade de massa ou massa específica, é a grandeza por unidade de volume que substituirá a massa do corpo, a qual é definida como:
33
m m
dm . dV
(2. 45)
Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) De forma análoga a transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio da transformação da massa, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja: O momento por unidade de volume que também pode ser chamado de densidade de momento pode ser definido como:
dp p Jm mvm . dV
(2. 46)
Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) Por último a equação de movimento segue das transformações anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares. A força por unidade de volume que também pode ser chamado por densidade volumétrica de forças, pode ser definido como: dp dF FR fR . dt dV
(2. 47)
Logo, se as funções forem contínuas e diferenciáveis poderemos trocar a ordem das derivadas e obter: E dF dp fR . dV dV
(2. 48)
Usando-se a regra de Schwartz para trocar a ordem das derivadas temos: d dV
dp d dp . dt dt dV
Logo
34
(2. 49)
d(m vm ) fR . dt
(2. 50)
Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) Naturalmente tem-se que a densidade de força de ação possui mesma intensidade e sinal oposto a força de reação. Como conseqüência da definição da densidade de forças a 3ª Lei de Newton lei da ação e reação também passa a ser descrita por unidade de volume, da seguinte forma:
Fij F ji f ij f ji .
(2. 51)
f ação f reação .
(2. 52)
ou
2.8.2 - As Três Leis da Termodinâmica para o meio Contínuo As leis da termodinâmica tiveram sua origem nos estudos de processos mecânicos e térmicos que geram calor. Particularmente a 1ª lei surgiu da impossibilidade de se obter um sistema que não produza consumo de energia interna (Moto Perpétuo de 1ª espécie). Em relação à Mecânica as forças internas podem ser associadas ao consumo da energia interna do sistema e as forças externas podem ser associadas ao trabalho realizado pelo sistema. Por causa da sua generalidade, as informações obtidas a partir da primeira lei da termodinâmica são incompletas, porém exatas e corretas. A segunda lei surgiu da impossibilidade de se produzir um sistema totalmente reversível, ou seja, o chamado Moto Perpétuo de 2ª espécie. Para um ciclo essa lei não garante um retorno perfeito ao estado inicial do sistema devido ao aumento da desordem no cliclo chamado de entropia. Grande parte da ciência depende da chamada 2ª lei da termodinâmica. Pois ela nos ajuda a entender muitos procesos irreversíveis, que correpondem aos processos reais na natureza. A partir das considerações análogas à Mecânica também pode-se definir estados indefinidos na termodinâmica, análogos ao estado da inércia (estado inerte), que são chamados de estados de equilíbrio. Portanto, vamos iniciar nosso estudo tendo em mente as assciações feitas no parágrafo acima. 35
A primeira lei da Termodinâmica se transformará em uma equação de densidade de energia. A segunda lei se transformará em uma equação de densidade de entropia e a terceira lei seguirá também a transformação das quantidades em sua respectiva densidade volumétrica.
2. 9 – Teoremas e Equações Diferenciais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos 2.9.1 - A Equação de Movimento Generalizada para o Mecânica do Contínuo A partir das transformações matemáticas feitas anteriormente podemos iniciar a descrição da Mecânica do Contínuo, a qual será aplica aos fenômenos de calor, elasticidade, viscosidade, fratura, etc, em sólidos e fluidos.
Neste ponto, a equação do momento linerar p mv
deve ser transformada
para o caso do contínuo conforme a equação (2. 46), afim de se obter uma descrição mais acurada do movimento de um corpo deformável, é preciso ressaltar a diferença da natureza de dois tipos de força de interação que dão origem as forças de campo (gravitacional, campo elétrico, etc,) e de superfície (geradas pelo contato, pressão, colisão, etc) as quais compôem a força resultante sobre um corpo continuo da seguinte forma: dp FR Fc Fs dt
(2. 53)
derivando a equação (2. 53) em relação ao volume temos: dFc dFs d dp dV dV dV dt
(2. 54)
Na Mecânica do Contínuo precisamos observar o Princípio de Pascal onde diz que as que as forças de volume e superfícies se comunicam através do meio contínuo. Logo, de forma mais sintética podemos escrever:
d dp fc f s dV dt
(2. 55)
como as derivadas no volume e no tempo são contínuas, podemos pela regra de Schwartz trocar os suas ordem de operação obtendo:
36
d dp fc f s dt dV
(2. 56)
Portanto se quisermos utilizar a 2a Lei de Newton para analisar o estado geral de movimento em um meio contínuo devemos conhecer todas as forças de volume e as forças superficiais encontradas no mesmo. A partir de (2. 3) temos: dJ fc fs dt
(2. 57)
dp d mvm dV dV
(2. 58)
dv dm Jm vm m m dV dV
(2. 59)
sendo p mv temos que:
onde
considerando que a velocidade média vm dentro de um elemento infinitesimal de volume é dvm uniforme, isto é, 0 para o volume infinitesimal considerado, podemos escrever: dV J m m vm
(2. 60)
Portanto, a expressão geral da 2ª Lei de Newton para o continuo é dada por: d f c f s vm dt
(2. 61)
o termo vm pode ser chamado de escoamento; f c é a densidade de forças de corpo; f s é a
densidade de forças de superfície.
Considerando que a força de corpo f c b corresponde a um tipo generalizado
de força de corpo, temos:
d b f s vm dt
(2. 62)
Esta equação fundamental chamada de Equação de Movimento de Cauchy será a base das equações de movimento que se seguirão na descrição dos diferentes fenômenos a serem abordados neste trabalho. 37
Uma das generalizações das Leis de Newton para o contínuo pode ser feita de forma mais rigorosa usando-se o teorema do Transporte de Reynolds, o qual será descrito no Capitulo - VI.
2.9.2 – O Divergente de uma Função Vetorial Observe que se consideramos o caso particular de que uma força é o resultado de uma tensão aplicada:
dFs σ . dA
(2. 63)
Fs σdA .
(2. 64)
dFs d fs σ dA . dV dV
(2. 65)
onde
A densidade de forças, será:
O lado direito da equação (2. 65) é a própria definição do divergente,conforme está mostrado no Apêndice – A11, isto é: .σ
d σdA . dV
(2. 66)
Logo, pela definição de divergente, temos: f s .σ .
(2. 67)
Vemos a partir de (2. 47) que a equação (2. 63) pode ser escrita em termos de um fluxo de momento, ou seja; d dp σ . dA dt
(2. 68)
Logo sendo a tensão ideêntica a um fluxo de momento, ou seja, J p σ , temos de (2. 67) que:
f s Fs .J p .
Aplicando a equação (2. 48) obtemos:
38
(2. 69)
d .J p m vm . dt
(2. 70)
Logo, usando a equação (2. 57) temos: d f c .J p m vm . dt
(2. 71)
Que corresponde a uma equação de movimento para os meios contínuos, cuja versão generalizada fica: d fC .J G G vG . dt
(2. 72)
Esta equação de movimento para um meio contínuo possui ampla aplicação nos campos clássicos. Ela é uma somatório de densidade de forças que atuam em um meio continuo cujo resultado é um tipo de “escoamento” do meio ou através do meio representado pelo termo do lado direito.
39
2.9.3 – A Equação Constitutiva de um Sistema Gibbs descobriu que todo fluxo pode ser expresso em temos do gradiente de uma densidade generalizada, da seguinte forma: J G k G .
(2. 73)
Veja os exemplo de fluxo abaixo:
Massa : d dM JM dA dt
. k P ( Lei de Darcy )
(2. 74)
onde k é o coeficiente de permeabilidade e é o coeficiente de viscosidade
Concentração : . d dM JC k DC ( Lei de Fick ) dA dt
(2. 75)
onde k D é o coeficiente de difusão.
Calor : . d dQ JQ Q ( Lei de Fourier ) dA dt
(2. 76)
onde é a difusividade térmica
Momento Linear . d dp J p v .v ( Lei de Newton) dA dt
(2. 77)
onde é o coeficiente de viscosidade tangencial e é o coeficiente de viscosidade dilatacional
Carga Elétrica : . d dq J q ( Lei de Ohm) dA dt onde é a condutividade elétrica do meio
40
(2. 78)
Campo Elétrico
. d dE JE kE E ( Lei da Polarização Elétrica ) dA dt
(2. 79)
onde kE é constante de polarizabilidade elétrica do meio Campo Magnético
. d dB JX kBB ( Lei da Polarização Magnética ) dA dt
(2. 80)
onde kB é constante de polarizabilidade magnética do meio Para todas estas equações haverá o mesmo conjunto de leis válidas. Esta foi um generalização descoberta por Gibbs. Portanto, se substituirmos (2. 73) em (2. 72), obtemos uma equação de campo para a dinâmica da quantidade G , dada por:
d fC . k G G vG . dt
(2. 81)
No caso da tensão se tivermos ela sendo dada pelo gradiente de uma outra grandeza como a deformação por exemplo, como a Lei de Hooke, a fenomenologia a ser descrita será a Mecânica dos Sólidos.
41
2. 10 – Tensão Superficial de Líquidos A força que existe na superfície de líquidos em repouso é denominada tensão superficial. Esta tensão superficial é devida ás fortes ligações intermoleculares, as quais dependem das diferenças elétricas entre as moléculas, e pode ser definida como a força por unidade de comprimento que duas camadas superficiais exercem uma sobre a outra [ ]. As moléculas situadas no interior de um líquido são atrídas em todas as direções pelas moléculas vizinhas e, por isso, a resultante faz forças que atuam sobre cada molécula é praticamente nula. As moléculas da superfície do líquido, entretanto, sofrem apenas atração lateral e inferior. Esta força para o lado a para baixo cria uma tensão superficial na superfície, conforme mostra a Figura - 2. 7
Figura - 2. 7. Tensão superficial nas moléculas da superfície de um líquido .
Em um líquido, as moléculas da superfície sempre tendem a se aglutinar, produzindo uma diminuição da área, deste modo, a superfície se comporta como se fosse uma membrana. È por isso que a gota de água tem a forma que tem [ , ]. Forças intermoleculares nos líquidos são responsáveis pela forma esférica de pequenas gôtas de orvalho, e também pelo fato de um mosquito ou de um palito horizontal sobre uma superfície de água não se afundar, pela formação de bolhas de sabão, pelos fenômenos de capilaridade tais como a subida de líquido em tudos estreitos e a completa umidificação de uma toalha quando a ponta fica mergulhada na água [ , ]. 42
2.10.1 - A Energia de Superfície e Angulo de Molhamento A tensão superficial está presente nas interfaces entre dois fluidos (gás-líquido ou líquido-líquido) ou entre um fluido e um sólido (sólido-gás ou sólido-líquido). Em cada tipo de interface existe uma energia de interface sólido-gás SG , sólido-líquido SL e líquidogás LG [ ]. Quando uma pequena gota de substância está adsorvida sobre uma superfície acontece um fenômeno chamado de ângulo de molhamento. Esse Ângulo depende das energias de superfícies das fases envolvidas, no caso, são três, fase sólida (a superfície), fase líquida (a gota) e fase vapor (o ambiente ao redor da gota). Portanto, para fins de cálculo do ângulo de molhamento define-se três energia de superfícies, da seguinte forma:
SL
dESL dASL
(2. 82)
SV
dESV dASV
(2. 83)
e
e
LV
dEL|V dALV
(2. 84)
Figura - 2. 8. Ângulo de molhamento de um gota de de um substância adsorvida sobre uma superfície.
O comportamento das gotas de um líquido, pode ser diverso: podem tender a espalhar-se sobre a superfície de contato – como a água sobre a madeira ou sobre vidro -, ou podem tender a minimizar o contato com essa superfície – como mercúrio sobre madeira ou 43
vidro. O resultado depende das forças intermoleculares que se estabelecem entre as fases. Assim, devido a essas fortes forças de adesão, a água tende a espalhar-se ou a molhar essas superfícies. O mercúrio segmenta-se em pequenas esferas, com zonas de contato com as superfícies muito restritas. Diz-se que o mercúro não molha esses materiais. Este comportamento deve-se ao fato dos átomos de mercúrio preferirem interagir entre si com fortes forças de coesão, em detrimento da adesão com as superfícies. A forte coesão no mercúrio é devida à ligação metálica entre seus átomos. [ ]. Ao espalhar-se no vidro, por exemplo, a àgua vai substituir as interações prévias entre o sólido e a fase gasosa, minimizando a energia total do conjunto. Esta energia é ditada pelas energias das três interfaces presentes, traduzidas pelas tensões superficiais SL , SG , LG , conforme mostra a Figura - 2. 9
Figura - 2. 9. Tensões superficiais nas interfaces entre três fases distintas.
Seguindo o princípio da minimização da energia, um líquido espalha-se sobre o sólido quando a energia da interface sólido-gás é superior à soma das energias das interfaces sólido-líquido e líquido-gás, ou seja, quando a diferença, dada por: S SG SL LV 0
(2. 85)
Se S 0 , então o líquido não se espalha. S é conhecido como coeficiente de espalhamento [ ] Voltando a Figura - 2. 9, onde se vê que o líquido forma um certo ângulo de contato , definido entre a superfície sólida e o plano tangencial à superfície líquida, medido através do líquido. A Figura - 2. 10 esquematiza as diferentes posibilidades para o ângulo de contato . Se 0 90 , o líquido tem a tendência a molhar a superfície e o oposto oorre para 90 180 . A água e o mercúrio em vidro formam ângulos de contato muito próximos de 0 e de 140 , respectivamente [ ] 44
Figura - 2. 10. Diversos ângulos de contato ou molhamento de líquidos com superfícies sólidas, para liquido: (a) perfeitamente molhante; (b) predominantemente molhante; (c) predominantemente nãomolhante; (d) perfeitamente não molhante.
A relação entre essas energias de superfície pode ser obtida por meio de uma relação geométrica do tipo:
SV SL LV cos
(2. 86)
Figura - 2. 11. Relação entre as energias de superfície e o ângulo de molhamento respectivo.
logo
cos
SV SL LV
se 0 90 SV SL maior molhamento se 180 90 SV SL pior molhamento
conforme mostra a Figura - 2. 12.
Figura - 2. 12. Diversos ângulos de molhamento
45
(2. 87)
Analogamente a definição do ângulo de molhamento entre a gota de um fluido e a superfície sobre a qual ele está depositado, pode-se deduzir como esse fluido irá se comportar se ele ascender por um tubo capilar, conforme
2.10.2 - A Tensão superficial devido ao Efeito da Capilaridade Se introduzirmos um tubo muito fino na água, esta violando o princípio dos vasos comunicantes, sobe rapidamente até um nível muito superior ao do recipiente base conforme mostra a Figura - 2. 13
Figura - 2. 13. Ascensão capilar em um tubo cilíndrico vertical com diferentes Ângulos de molhamento.
Os efeitos aparente de tensão os quais ocorrem sobre a superfície de um líquido, quando as superfícies estão em contato com outro fluido ou sólido, dependem fundamentalmente apenas dos tamanhos relativos das forças coesivas e das forças adesivas intermoleculares. Quando as forças atrativas são entre moléculas diferentes, elas são chamadas de forças adesivas. As forças adesivas entre as moléculas de água e das paredes de um tubo de vidro são mais fortes que as forças coesivas levando ao menisco curvado para cima das paredes do vaso e contribui para a ação capilar [ ]. Embora tais forças são desprezíveis em muitas situações, elas podem ser predominantes em outras, tais como o tamanho capilar de líquidos em espaços estreitos, a mecânica da formação de bolhas, a quebra de jatos líquidos, a formação de gotas líquidas e a interpretação de resultados obtidos sobre pequenos modelos. Quanto mais estreito é o tubo, mais alto o líquido sobe, mais pronunciado é o fenômeno. Tubos muito finos com um diâmetro interno que não ultrapassa uma pequena fração de milímetros é chamado capilar (fino como um fio de cabelo). É necessário que o tubo seja estreito para 0 180 [ , ]. 46
A ascensão só é possível se a superfície do vidro for molhada. Assim, o mercúrio não sobe num capilar, mas sim desce. O mercúrio não se adere ao vidro e tende a reduzir a superfície oposta até o limite que é permitido pela gravidade. Ver Figura - 2. 13 e Figura - 2. 14 [ , , ] A Figura - 2. 14 descreve a situação da superfície de água e mercúrio em contato com uma superfície vertical de vidro. Os átomos de mercúrio têm maior coesão entre eles em relação ao vidro (adesão), ao passo que entre a água e o vidro a situação é oposta.
Figura - 2. 14. Visualização dos diferentes ângulos de contato no menisco de um tubo capilar cilíndrico.
Sobre uma superfície líquida em contato com a atmosfera, a tensão superficial se manifesta como uma aparente “pele” sobre a superfície na qual suportará pequenas cargas. A tensão superficial , é a força na superfície do líquido normal a linha de comprimento unitário desenhada na superfície; então ela tem dimensões de dinas por centímetros. Uma vez que a tensão superficial é diretamente dependente apenas das forças coesivas intermoleculares, sua magnitude diminuirá com o aumento da temperatura. A tensão superficial é também dependente apenas do fluido em contato com a superfície líquida, então a tensão superficial são geralmente quoted em contato com o ar. Em um tubo capilar, o ângulo de contato entre um líquido e um sólido é definido na Figura - 2. 14. O ângulo de contato depende da limpeza da superfície e da pureza do líquido. Quando o âgulo de contato é menor que 90 , o líquido tende a molhar a superfície so sólido como mostra a Figura - 2. 14b, e a tensão de tração devida à tensão suprficial tende a puxar para cima a superfície livre do líquido próximo do sólido formando um menisco curvo [ ]. Quando o ângulo de contato é maior que 90 (Figura - 2. 14c), o líquido não molha a superfície, a tensão superficial tende a puxar para baixo a superfície livre do líquido ao longo do sólido [ ].
47
A tensão superficial, , é a força sobre a superfície líquida, por unidade de comprimento, atuando perpendicularmente a uma linha desenhada sobre a superfície líquida e é dada em N m [ ]. Considerando o caso geral de um pequeno elemento de uma superfície dA dxdy de dupla curvatura com raios R1 e R2 , evidentemente uma diferença de pressão P P0 deve acompanhar a tensão superficial para o equlibrio estático do elemento
Figura - 2. 15.
A relação entre a diferença de pressão e a tensão pode ser derivada a partir deste equilíbrio tomando-se:
F 0
(2. 88)
Para as componentes das forças normais ao elemento:
P P0 dxdy 2 dysen 2 dxsen
(2. 89)
Na qual e são pequenos ângulos. Contudo a partir da geometria do elemento,
sen
dx dy e sen 2 R1 2 R2
(2. 90)
Substituindo estas relações na expressão acima, a relação entre a tensão superficial e a diferença de pressão é obtida:
1 1 R1 R2
P P0
48
(2. 91)
A partir desta equação a pressão (usada pela tensão superficial) em gotas esféricas podem ser estimada para R1 R2 R , obtendo-se:
P P0
2 R
(2. 92)
Para um tubo capilar cilíndrico (supondo a superfície líquida como sendo uma secção de uma esfera), temos:
P P0 gh
(2. 93)
Para o tubo cilíndrico capilar na Figura - 2. 16 (admitindo-se ser a superfície do líquido uma secção de uma esfera), P0 gh , P 0 e P P0 gh , também R1 R2 R e sendo r cos R
(2. 94)
Substituindo estes valores na equação (2. 91), nós obtemos que:
h
2 cos gr
(2. 95)
Este resultado é limitado a tubos muito pequenos. O ângulo é conhecido como ângulo de contato e ele resulta do fenômeno da tensão superficial de natureza complexa. Ele depende da coesão do líquido e da afinidade com as paredes. Por outro lado, podemos considerar um tubo capilar cilíndrico contendo um líquido, cuja coluna desse líquido ascendeu pelas paredes do cilindro por causa da sua tensão superficial, conforme mostra a Figura - 2. 13 e a Figura - 2. 14. O equilíbrio entre as forças de pressão e a tensão de superfície devido a tensão superficial é dada por: F F 0
(2. 96)
F PdA
(2. 97)
onde
e a força devido a tensão superficial é dada por: F 2 R
(2. 98) 49
Logo, para um cilindro de área de secção transversal A R 2 , temos: P R 2 2 R
(2. 99)
Figura - 2. 16. Geometria de um menisco com ascensão capilar devido a tensão superficial na superfície do fluido.
Portanto, de acordo com a equação de Laplace e variação de pressão P devido a capilaridade é dada por: P
2 R
(2. 100)
Figura - 2. 17. Diferença de pressão entre a superfície e o interior de um fluido na região do menisco de ascensão capilar.
A relação entre o raio do capilar r e o raio do menisco R é dada por:
(2. 101)
r R cos
Logo em função do raio do capilar temos: P
2 cos r
(2. 102) 50
2. 11 – Pressão de vapor das Substâncias A pressão de vapor é a pressão na qual um líquido vaporiza e está em equilíbrio com seu próprio vapor. Se a pressão do líquido é maior do que a pressão de vapor a única troca entre o líquido e o vapor é a evaporação na interface. Porém, se a pressão do líquido cai abaixo da pressão de vapor começa a aparecer bolhas de vapor no líquido devido ao fenômeno de escoamento chamado cavitação. O parâmetro adimensional que descreve a vaporização induzida pelo escoamento é o numero de cavitação:
Ca
Pa PV 1 2 v 2
(2. 103)
onde pa = pressão ambiente; p v= pressão de vapor e v = velocidade característica do escoamento. Dependendo da geometria, determinado escoamento tem um valor crítico de Ca abaixo do qual o escoamento começará a cavitar. De modo geral a pressão de vapor é um fenômeno que ocorre em líquidos e sólidos, sendo diferente de uma substância para outra, é altamente dependente da pressão e temperatura do ambiente. É a pressão resultante de moléculas que se desprende da substância sólida ou liquida e permanece em estado gasoso. - Quanto maior a temperatura, maior será a pressão de vapor do líquido; - Quando a pressão de vapor do líquido torna-se igual à pressão reinante. Sobre a superfície líquida, líquido entra em ebulição. Isto significa que as forças de atração intermoleculares não são mais capazes de segurar as moléculas liquidas; - A pressão de vapor tem importância fundamental no estudo das bombas. A cavitação pode acarretar sérios danos à bomba ou em instalações hidráulicas. A pressão de vapor é um fenômeno que ocorre em líquidos e sólidos. Sendo diferente de uma substância para outra, é altamente dependente da pressão e temperatura do ambiente. A pressão de vapor é a pressão resultante de moléculas que se desprende da substância sólida ou líquida e permanece no estado gasoso. Vejamos o exemplo a seguir. Considere um recipiente fechado contendo água à temperatura ambiente (25oC). Nesta temperatura há uma quantidade de moléculas de água que se vaporizam até atingir o equilíbrio com a fase líquida na pressão de 1,0 atm, sendo a pressão de vapor menor que a 51
pressão externa do ambiente (1,0 atm). Com o aumento da temperatura do líquido, ocorre o aumento da quantidade de moléculas que se vaporizam. Quando a temperatura atinge a temperatura de ebulição (100oC, nessas condições de pressão) a quantidade de moléculas que se evaporam e condensam atinge o equilíbrio e então a pressão de vapor fica igual a pressão externa. Isso também se aplica a recipientes abertos e pode ser melhor visualizado através da Figura - 2. 18.
Figura - 2. 18. Esquema do aumento da pressão de vapor com o aumeto da temperatura.
Ao nível do mar, a temperatura de ebulição da água é de 100oC pois a pressão externa é de 1,0 atm e para a ebulição ocorrer a pressão de vapor tem que ser igual a pressão externa. Quando a altitude, em que o mesmo procedimento adotado, é maior do que o nível do mar, a pressão externa é menor que 1,0 atm, portanto a temperatura de ebulição da água é menor que 100 oC, pois a pressão de vapor do líquido tem que ser igual a pressão externa (conceito de ebulição). Quando a pressão de vapor é maior que a pressão atmosférica ocorre uma transferência de moléculas do estado líquido para o estado vapor. Isso ocorre a uma temperatura maior que a temperatura de ebulição do líquido (condição de não-equilíbrio). Quando a pressão de vapor é igual a pressão atmosférica a temperatura permanece constante (temperatura de ebulição) e temos um estado de equilíbrio onde a mesma quantidade de líquido é transformada em vapor e a quantidade de vapor é transformada em líquido, de acordo com a Figura - 2. 19.
52
Figura - 2. 19. Pressão de vapor maior ou igual a pressão atmosférica.
Quando o líquido está na temperatura de ebulição o fornecimento de mais calor altera o número de moléculas que passam do estado líquido para o estado de vapor (calor latente) é a mudança de fase do sistema (
Figura - 2. 19).
Figura - 2. 20. Gráfico de Temperatura em função do tempo para a água a uma pressão de 1,0 atm.
53
2. 12 – Unidades, Medidas, e Dimensões As grandezas básicas são o Espaço, Tempo, Massa, Carga elétrica e Temperatura. A partir destas grandezas é que são construídas todas as outras através de relações dimensionais. Normalmente designa-se a dimensão de uma grandeza com a seguinte notação: Espaço: [L]; Tempo: [t], Massa: [M]; Carga elétrica: [Q] e Temperatura: [T].
2.12.1 - Sistema de Medidas
Dependendo da escolha das grandezas básicas, há diferentes sistemas de medidas adotados conforme a necessidade. Como exemplo, utilizaremos apenas três deles: a) Massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. b) Força [F], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. c) Força [F], massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]. Para explicar os sistemas citados acima, podemos usar como exemplo a Segunda Lei de Newton:
F ~ ma
(2. 104)
Em a) e b) a constante de proporcionalidade da equação (2. 104) é adimensional e possui valor unitário, sendo que as suas grandezas derivadas são, a força [F] e a massa [M], respectivamente. Para c) a constante de proporcionalidade possui dimensão {ML/Ft2] que é a dimensão de gc na segunda Lei de Newton, e as grandezas básicas são força [F] e massa [M]. As grandezas normalmente utilizadas em Mecânica dos Fluidos são: Comprimento, área, volume, massa, densidade, força, energia, pressão, tensão superficial, viscosidade, etc.
2.12.2 - Sistema de Unidades
Há mais de um modo de escolher a unidade para cada grandeza básica. Apresentaremos, para cada sistema de medidas, somente os sistemas de unidades mais comuns em engenharia.
54
MLtT O Sistema Métrico ou o Sistema Internacional de Unidades adota as seguintes unidades para as grandezas: Massa, [M] = Kilograma,[Kg]; comprimento, [L] = metro, [m]; tempo, [t] = segundo, [s]; Temperatura, [T]; Kelvin [K]; Força, [F] = Newton [N]. Exemplo: utilizando-se a segunda Lei de Newton dada em (2. 104) temos que:
1N 1Kg.m / s 2
(2. 105)
FLtT O Sistema Gravitacional Inglês adota as seguintes unidades para as grandezas: Força, [F] = libraforça, [lbf]; comprimento, [L] = pé, [ft]; tempo, [t] = segundo, [s]; Temperatura, [T]; graus Rankine [R]; Como a massa é a grandeza derivada em termos da força, por exemplo: utilizando-se a segunda Lei de Newton dada em (2. 104) temos que: 1slug 1lbf . ft / s 2
(2. 106)
FMLtT O Sistema Inglês usado na Engenharia
adota as seguintes unidades para as
grandezas. Força, [F] = libraforça, [lbf]; Massa, [M] = libramassa, [lbm]; comprimento, [L] = pé, [ft]; tempo, [t] = segundo, [s]; Temperatura, [T]; graus Rankine [R];. A força e a massa são grandezas básicas então, por exemplo, utilizando-se a segunda Lei de Newton, dada em (2. 104), temos que: ma F gc
(2. 107)
Todos estes sistemas de unidades serão utilizados na resolução dos exercícios.
55
2.12.3 - Lei da Homogeneidade Dimensional A lei da homogeneidade dimensional se divide em dois aspectos:
i) Invariância das leis físicas (mesmas leis para qualquer sistema de coordenadas) Os fenômenos naturais são independentes das unidades arbitradas pelo homem, portanto as equações usadas para descrevê-los devem ter validade geral para qualquer sistema de unidades ou de coordenadas. Este é um dos postulados da Teoria da Relatividade de Einstein. Ele trabalhou em um Instituto de Patentes, Pesos e Medidas em Zurich na Suiça e talvez tenha recebido esta influência a partir de lá.
ii) Aditividade dos termos que possuem a mesma representação dimensional Considere a seguinte equação termodinâmica:
TdS dU PdV dN
(2. 108)
Cada grupamento ou termo da equação deve possuir a mesma representação dimensional. Tabela - III. Tabela de conversão das unidades dos principais sistema de medidas
SISTEMA DE UNIDADES UNIDADES
MKS
CGS
Inglês (I)
Inglês (II)
(engenharia)
(gravitacional)
Massa
1Kg
1000g
(1/0,4536)lbm
6,85x10-2slug
Comprimento
1m
100cm
(1/0,305)pé
(1/0,305)pé
Tempo
1s
1s
1s
1s
o
Temperatura
1K
1K
1,8 R
1,8oR
Carga elétrica
1C
StatC(x 300)
1C
1C
(1/4,48)lbf
(1/4,48)lbf
Força
1N
5
10 dyn 7
Energia
1J
Pressão
2
10 ergs
1N/m =1Pa
10dyn/cm
Viscosidade
1Kgm/s
10cp
56
2
(1/1,055)Btu
(1/1,055)Btu
2
1/47,9lbf/pé
1/47,9lbf/pé2
lbm/pé.s
slug/pé.s
2. 13 - Exercícios e Problemas 1. Utilizando as equações referentes às três Leis da Mecânica (1a, 2 a e a 3a ), explique com suas palavras e com toda a clareza possível o significado de cada uma delas. (utilize equações, desenhos, gráficos, etc) (valor 1.0 ponto) 2. Explique com toda a clareza possível (equações, desenhos, gráficos, etc) a 1 a e a 2a Lei da Termodinâmica 3. Um conjunto pistão-cilindro contendo O2, m = 0,95J/Kg.K sofre uma variação de temperatura de T1 = 27oC a T2 = 627oC, a uma pressão constante de 150KPa (absolutos). Calcule a quantidade de calor recebido no processo do estado 1 para o estado 2. 1. Defina um Sólido de acordo com as restrições dadas pelas três Leis da Newton e da Mecânica dos Sólidos. Qual é a diferença entre um sólido e um fluido? 2. Como se define uma densidade generalizada e um fluxo generalizado. 3. Conceitue e explique fisicamente que significa e faça desenhos representativos de: a) X dX dM ; b) X dX ; c) J X dM dV
dt
d dX ; dA dt
4. Faça um quadro comparativo das Leis de Hooke (Tensão x Deformação Normal e Tangencial) para Sólidos com as Leis da Mecânica dos Fluidos e em seguida defina um fluido de acordo com estas Leis. 4. Explique com toda a clareza possível (equações, desenhos, gráficos, etc) o fenômeno da pressão de vapor e da tensão superficial nos materiais e quais são as suas unidades no Sistema Internacional. (valor 1.0 ponto) 5. Quais são as duas leis da homogeneidade dimensional 6. Para cada grandeza abaixo listada indicar as dimensões no sistema MLTt e dar as unidades típicas no SI e no Sistema Inglês de Unidades. a) Potência; b) Pressão; c) Módulo de Elasticidade; d) Velocidade Angular; e) Energia; f) Quantidade de Movimento; g) Tensão Tangencial; h) Calor Específico; i) Momento de uma Força j) Modulo de Poisson. 7. Qual é a representação dimensional de: potência, módulo elástico, peso específico, velocidade angular, energia,
momento de uma força, módulo de Poisson,
deformação, pressão, densidade de energia. 8. Quantas unidades de escala de potência no sistema métrico, usando dinas centímetros e segundo, correspondem a uma unidade no sistema inglês? 57
9. A seguinte equação é dimensionalmente homogênea? F
4 Ey y [(h y)(h )t t 3 ] 2 2 (1 v )( Rd ) 2
(2. 109)
Onde E: módulo elástico, v módulo de Poisson, d, y, h são distâncias ou comprimentos, R é a razão entre distâncias, F = força, Quais as dimensões de t? 10. No fenômeno de formação de uma gota em uma câmara de bolhas, considere a equação, T = ( - o)d.e2/H, onde é o peso específico do vapor, o é o peso específico do líquido, T é a tensão superficial. Para que a equação anterior seja dimensionalmente homogênea, qual deve ser a dimensão de H?
58
2. 14 – Referências Bibliográficas - Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson - Fox, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4ª Edição. - Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora. - Incropera, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora LTC, 4ª Edição, 1998. - FEYMANN, Richard, Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41. - Landau & Lifshitz – Teoria da Elasticidade - Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações). - Arfken – Métodos Matemáticos em Física - CRAIG, R. R. Jr.; Mecânica dos Materiais, 2 ed. LTC. - Apostila de vestibular: III Milênio; Física: Força e Movimento. P. 6. - HALLIDAY, R. W. Fundamentos de Física, Mecânica, 4 ed. V.1, Rio de Janeiro – RJ; LTC, p. 82-91, 1996. - EISEBERG, R. M.; Física, Fundamentos e Aplicações, V.1, São Paulo; Mc. Graw Hill do Brasil Ltda, p. 141-183, 1982. - Van Wylen, Gordon J.; Sonntag, Richard E. Fundamentos da Termodinâmica Clássica. 2ª Edição, São Paulo, Edgard Blücher, 1976. - HALLIDAY, R. W. Fundamentos de Física, Mecânica, 4 ed. V.2, Rio de Janeiro – RJ; LTC, p. 82-91, 1983. - REGER, D; Goode, S. Mercer, E.; Química, Princípios e Aplicações. Lisboa, Fundação Calouste Gulben Kijn, 1997. - ROMA, W. N. L.; Fenômenos de transporte para engenharia, Rima Editora, São Carlos, 2003. - site disponível em http://www.mec.puc-rio.br/~edmecfl2/introduçãqo.pdf - Deformação em sólidos. On line, disponivel em http://myspace.eng.br/eng/rmat1.asp. Acessado em 25 de março de 2005. - BEER, F. P. Resistência dos Materiais, 3 a Ed. São Paulo: Makrom Books, p. 124-129, 1995. - CALISTER Jr, W. D. Ciência e Engenharia dos Materiais: Uma introdução. 5a Ed. São Paulo, p. 82-85, LTC, 1998.
59
Capítulo – III FLUIDOS E CLASSIFICAÇÃO DE FLUIDOS E SEUS COMPORTAMENTOS RESUMO Neste capítulo serão vistas as noções fundamentais e os conceitos básicos relacionados aos fluidos, ou seja: o que é um fluido, qual é a sua importância na engenharia e na física. Aprenderemos sobre a Lei da Viscosidade de Newton e suas implicações na classificação dos fluidos existentes na natureza. Todos eles serão úteis nos capítulos subseqüentes e ao longo de todo o curso. Portanto, é imprescindível memorizar tais conceitos para a resolução dos problemas que se seguirão.
Palavras Chave: fluido; coeficiente de viscosidade; fluido pseudo-plástico; fluido dilatante.
PACS números:
3. 1 – Objetivos do Capítulo i) Saber dar a definição prática de fluidos, condição de não-deslizamento, e saber utilizar a Lei da viscosidade de Newton e a condição de não deslizamento. ii) Dar exemplos de fenômenos da nossa experiência diária e da moderna tecnologia cuja compreensão a Mecânica dos Fluidos é importante. iii) Listar as cinco leis básicas que governam o movimento dos fluidos. iv) Saber diferenciar e classificar os diversos tipos de fluidos e comportamentos destes fluidos emfunção de diferentes parâmetros e no que diz respeito a sua lei de viscosidade. 60
v) Resolver problemas de fluidos envolvendo a Lei de Newton e a Lei de Ostwald de Waele.
3. 2 – Introdução Características Físicas do Estado Fluido A matéria existe em dois estados: o sólido e o fluido, o estado fluido sendo comumente dividida em estados estados líquido e gasoso. Os sólidos difere dos líquidos e os líquidos dos gases no espaçamento e latitude do movimento de suas moléculas, estas variáveis sendo grandes em um gás, menores em um líquido e extremamente pequeno emm um sólido. Então segue-se que as forças intramolecular cohesiva são grandes em um sólido, menor em um líquido, e extremamente pequena em um gás. Estes fatos fundamentais consideram a compactação e a rigidez familiar da forma possuída pelos sólidos e a capacidade das moléculas do líquido para mover-se livremente dentro de uma massa líquida e a capacidade dos gases encher completamente os recipientes na qual eles são colocados. Uma definição mecânica mais rigorosa dos estados sólido e fluido pode ser feito com base em suas ações sob os vários tipos de tensão. Sólido: Aplicação de tensão, compressão, ou tensão de cisalhamento para um sólido resulta primeiro em uma deformação elástica e depois, se estas tensões excederem os limites elástico, em uma distorção permanente do material. Fluido: Possui propriedades elásticas somente sob compressão direta ou tensão, a aplicação de tensão de cisalhamento infinitesimal resulta emm uma continua e pemanente distorção. A incapacidade dos fluidos de resistir a tensões de cisalhamento dá a ele suas características de fluir ou mudar sua forma. Por causa que os fluidos não podem suportar tensões de cisalhamento, isso não significa que tal tensões são inexistente nos fluidos. Durante o fluxo de fluidos reais, as tensões de cisalhamento (friccionais) assumem um papel importante, e sua consideração e predição são uma parte vital dos problemas que nós iremos analisar neste curso. Sem fluxo contudo, tensões de cisalhamento não podem existir, e tensões de compressão ou pressão é a única tensão a ser considerada.
61
3. 3 – Questões Básicas em Mecânica dos Fluidos Antes de se iniciar qualquer assunto dentro da Mecânica dos Fluidos, pode-se fazer as seguintes perguntas:
1 – De que trata a Mecânica dos Fluidos?
Mecânica – é a parte da ciência física que estuda o equilíbrio, o movimento e suas causas e conseqüências. Basicamente trata do problema das forças e suas conseqüências, ou seja, deformação, movimento, trabalho e dissipação de energia.
Fluido – É toda substância que se deforma continuamente (ou escoa às custa da deformação) sob a ação de um esforço, uma tensão tangencial ou de cisalhamento, por exemplo, não importando quão diminuto seja este esforço. Portanto a Mecânica dos Fluidos é a parte da ciência física que estuda o equilíbrio, o movimento e o escoamento e suas causas, de corpos que podem se deformar continuamente sob a ação de forcas tangenciais. Basicamente trata-se do problema das forças e suas conseqüências, ou seja, deformação, movimento, trabalho e dissipação de energia.
2 – Por que devo estudá-la? Qual é a sua importância?
Ela é uma ciência cujo conhecimento e compreensão dos seus princípios básicos e conceitos são essenciais para analisar qualquer sistema no qual um fluido é utilizado, normalmente, como um meio produtor de trabalho. É ai que reside a sua importância, pois, trabalho equivale a energia e, energia significa custo e benefício. Portanto, estudar Mecânica dos Fluidos representa poder dimensionar sistemas de acúmulo e transporte de fluidos e processos em termos de eficiência, custo e resultados finais.
Figura - 3. 1. Equivalência entre trabalho, energia e custo.
62
Fluido Trabalho Energia Cu $to Tecnologia Benefício .
(3. 1)
3 – Porque devo querer estudá-la? Qual é o motivo? A Mecânica dos Fluidos insere-se no contexto da engenharia como uma ferramenta de capacitação ao engenheiro para dimensionar materiais que resistirão ao tempo e ao espaço, ou seja, através da Mecânica dos Fluidos é possível dimensionar fluxos, processos, barreiras para conter pressões proveniente de escoamento de fluidos, condutância de tubos para transmissão de gases e líquidos, etc.
4 – Como se relacionam os assuntos de Mecânica dos Fluidos com os tratados em outras áreas com as quais eu já estou familiarizado?
A Mecânica dos Fluidos incluirá conceitos avançados estudados na Mecânica dos Sólidos na Termodinâmica, Geometria e no Cálculo Diferencial e Integral, conforme mostra o diagrama abaixo:
Figura - 3. 2. Inter-relação entre as áreas da física e da matemática.
Estas ciências se relacionam, de uma forma geral, da seguinte forma:
Leis fenomenológicas + Matemática (aritmética, álgebra, geometria, cálculo e estatística) = ciência física
63
3. 4 – A Descrição de um Fluido como um Meio Contínuo A Mecânica dos Fluidos pode ser considerada como uma mecânica dos meios contínuos, isto é, consideraremos as substâncias como sendo contínuas em sua estrutura, sem qualquer referência a sua estrutura molecular.
Figura - 3. 3. Esquema do escoamento de fluido como sendo um meio contínuo.
Na hipótese do contínuo assume-se que ambos, gases e líquidos, são distribuídos continuamente pela região de interesse, isto é o fluido é tratado como um contínuo.
3. 5 – A Lei da Viscosidade de Newton Fluido, é toda substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço (tensão) tangencial, não importando quão diminuto seja este esforço. Exemplo: líquidos e gases (ou vapores).
Figura - 3. 4. Diferença de comportamento mecânico entre um sólido e um fluido sob ação de um esforço tangencial constante, mostrando as diferentes posições de um elemento do fluido nos tempos t1, t2, t3, t4, t5, etc.
64
De acordo com a Lei de Hooke, quando se aplica um esforço ou tensão tangencial,
, a um sólido este se deforma proporcionalmente ao esforço aplicado sobre ele, mas não continuamente, porque isso só acontece até ao limite de sua resistência mecânica ao cisalhamento, que corresponderia a um certo ângulo , mostrado na
Figura - 3. 4a, ou
seja:
G ,
(3. 2)
onde G é chamado de módulo de cisalhamento e é a deformação tangencial. De forma análoga, quando se aplica um esforço ou uma tensão tangencial a um fluido, a taxa temporal de deformação, , com dimensão [1/t], é proporcional ao esforço nele aplicado, por isso ele segue uma equação análoga a Lei de Hooke, dada por:
(3. 3)
Portanto, um fluido pode ser tratado como um sólido que se deforma continuamente, conforme mostra a
Figura - 3. 4b. Isto significa que se fixássemos nossa atenção em um
determinado ponto A (arbitrário) no interior do fluido, veríamos que este ponto mudaria de posição continuamente com o passar do tempo. Com isso podemos dizer que um fluido é toda e qualquer substancia incapaz de manter-se em repouso quando submetido a um esforço tangencial, da seguinte forma: A analogia entre um sólido e um fluido pode ser vista considerando-se a seguinte equação:
t
; [1/ t ]
(3. 4)
Mas ij dxi dx j , logo explicitando (3. 4) temos:
ij
xi t x j
.
(3. 5)
Trocando a ordem das derivadas podemos escrever:
xi t x j
xi , x j t
(3. 6)
onde x corresponde ao deslocamento infinitesimal do fluido na direção x, logo a velocidade da fronteira do fluido, é dada por: 65
vi
xi t
(3. 7)
Usando-se (3. 7) e (3. 6) em (3. 5) temos que:
ij
vxi x j
; [1/ t ]
(3. 8)
Assim, o elemento de fluido da Figura - 3. 4b quando submetido a um esforço tangencial, xy sofre uma deformação continua com uma taxa temporal dada por, vx y , e de acordo com (3. 3) temos finalmente que:
ij ~
vxi v ij xi x j x j
(3. 9)
3. 6 – Condição de Não-Deslizamento A condição de não-deslizamento é uma condição de contorno para a equação de viscosidade de um fluido e ela estabelece que um fluido em contato com uma superfície apresenta a mesma velocidade da superfície, conforme mostram as Figura - 3. 5 e Figura - 3. 6
Figura - 3. 5. Perfil de velocidade estabelecido pela condição de não deslizamento para um escoamento externo.
Figura - 3. 6. Perfil de velocidade estabelecido pela condição de não deslizamento para um escoamento interno em um tubulaçaõ.
66
Desta forma, se esta superfície for o leito de um rio, ou o fundo de um canal, (vide a Figura - 3. 5 por exemplo), a velocidade do fluido vizinho a superfície do fundo do rio, ou do canal, será nula e a velocidade do fluido na superfície será máxima. No caso de uma tubulação por onde um fluido passa (vide a Figura - 3. 6), a velocidade do fluido em contato com as paredes da tubulação em repouso terá velocidade nula, logo até o centro do tubo deverá haver um gradiente de velocidade devido ao deslizamento das camadas do fluido, uma sobre as outras, e a velocidade máxima do fluido será no centro da tubulação.
3. 7 – Viscosidade de um Fluido A viscosidade é considerada a propriedade reológica mais importante de qualquer material e pode ser definida como: a “resistência friccional ou resistência viscosa de um fluido contra qualquer mudança na posição do seu elemento volumétrico, que invariavelmente resulta no aparecimento de uma tensão de cisalhamento que tende a causar uma deformação”, ou em outras palavras, é a característica que quantifica a resistência que um fluido oferece ao escoamento.
Figura - 3. 7. Escoamento de um fluido sob ação de um esforço tangencial constante, mostrando as diferentes posições de um elemento do fluido nos tempos t e t + t.
67
3. 8 – Aplicação de diferentes tipos de Fluidos Existem diferentes tipos de fluidos que podem ser classificados quanto a seu comportamento frente a compressibilidade ou frente a sua viscosidade. Fluidos compressíveis são aqueles que, quando submetidos a uma variação de pressão apresentam variação de seu volume devido ao acúmulo de energia elástica. E quando retirada a pressão este volta ao seu volume inicial., como por exemplo os gases. No efeito Joule-Thomson, um gás expande-se através de uma barreira porosa, de uma pressão constante até outra, também constante, e ocorre uma diferença de temperatura provocada pela expansão. O processo é adiabático, isto é sem perda de calor Q 0 . Por
outro
lado
fluidos
incompressíveis
são
aqueles
que
apresentam
comportamento oposto aos fluidos compressíveis, ou seja, não sofrem variação em seu volume quando sujeitos a uma pressão externa. Uma aplicação deste principio é o chamado “macaco hidráulico”, o qual utiliza geralmente o óleo para fazer a transferência de energia mecânica do esforço físico para a suspensão de uma carga, como um veículo, por exemplo. Neste processo a perda de energia elástica e térmica é desprezível. Uma outra aplicação é a direção hidráulica. Todos os fluidos reais possuem viscosidade e portanto, quando submetido ao movimento apresentam fenômenos de atrito com as superfícies adjacentes. A viscosidade resulta fundamentalmente da aderência do fluido a superfície sobre a qual escoa e também devido a coesão interna pela transferência da quantidade de movimento entre as lâminas do fluido em decorrência do escoamento. Desta forma aparecem força tangenciais ou de cisalhamento entre as camadas em movimento. Uma aplicação referente a viscosidade de fluidos são as tintas. Quando há o movimento do pincel sobre a superfície, as moléculas da tinta, que são moléculas grandes e alongadas, são alinhadas facilitando o seu deslizamento da tinta, o que diminui a sua viscosidade. Quando, porém, cessa o movimento do pincel as moléculas voltam ao seu estado caótico, aumentando a viscosidade da tinta, o que permite a sua fixação na superfície que está sendo pintada. Neste estado ocorre um aumento de entropia até que ocorrerá toda a evaporação do solvente. Outras aplicações de fluidos são corte e perfuração de materiais por fluidos leves com o uso de alta pressão, fabricação do vidro float, propulsão de foguetes, encanamentos de líquidos (oleodutos) e gases (gasodutos).
68
3. 9 – A Importância da Mecânica dos Fluidos nas Engenharias As Engenharias Civil, Mecânica e a Engenharia de Materiais possuem uma estreita ligação com a Mecânica dos Fluidos através da capacidade de se quantificar a energia necessária para o transporte e conformação de diversos tipos de materiais, possibilitando assim uma relação custo/benefício tanto do processo como do produto final.
3.9.1 - A Mecânica dos Fluidos na Engenharia de Materiais Dos processos mais importantes de conformação destaca-se a fundição, que é usada nas três principais áreas da Engenharia de Materiais, metais, cerâmica e polímeros. Na área de metais a fundição de precisão necessita-se de uma grande quantidade de calor, pois o fundido que se comporta como um fluido é despejado no molde aquecido formando assim a peça final. Neste tipo de processo de fabricação o molde possui, muitas vezes, um elevado número de detalhes e uma relativa precisão dimensional, que o fluido do metal fundido no estado líquido deve preencher. Portanto, observa-se que o entendimento das propriedades viscosas deste tipo de material se torna importante neste processo. A quantidade de calor torna o produto mais caro do que a fundição com matriz, na qual é possível utilizar taxas rápidas de resfriamento. A colagem por barbotina envolve uma suspensão de argila em água, que é vertida em um molde poroso onde a água á absorvida através do molde. A medida que a peça fundida seca se contrai e se desprende do molde podendo ser removida. A natureza da suspensão é importante, pois ela precisa ser muito fluida e derramável, essas características dependem da proporção sólido/água bem como de agentes como os defloculantes que dificultam a formação de flocos tornando a suspensão idealmente fluida. No caso de polímeros a moldagem por injeção é o tipo mais comum de conformação. O plástico granulado é fundido e forçado a escoar para o interior de um molde a uma temperatura e pressão elevadas, a fim de preencher e assumir a forma deste molde. Na moldagem por injeção o material peletizado de algum termoplástico é empurrado para o interior de uma câmara de aquecimento onde se funde para formar um líquido viscoso. O plástico fundido é impelido então através de um bico injetor para a cavidade fechada do molde. A pressão é mantida até a total solidificação do material. Na extrusão o processo acima se repete, sendo que o molde desta vez é aberto. Isso implica em peças de reta constante e de longo comprimento.
69
O emprego de materiais em estado líquido e fluido viscoso é extremamente necessário para a conformação dos três tipos de materiais, cerâmicos, metais e polímeros, sendo indispensável o conhecimento das propriedades dos fluidos e das leis que os regem, para empregar os diversos tipos de conformação e possibilitar a criação de novos métodos que facilitem ou reduzam o custo de produção.
3. 10 – O que você deve saber sobre Mecânica dos Fluidos I - Conceitos Fundamentais O que é um fluido. O que é a condição de não-deslizamento. A lei da viscosidade de Newton. Qual a relação entre taxa de deformação e gradiente de cisalhamento. Como se expressa matematicamente um perfil linear de viscosidade. Como se classificam os fluidos, quanto a taxa de cisalhamento, regime, temperatura, etc.
II - Estática dos Fluidos ou Fluidostática O que é o princípio de Pascal. O que significa um gradiente de pressão e como se expressa ele matematicamente. A equação de Stevin. O empuxo. Como se dá o equilíbrio de corpos flutuantes e submersos. Calcular centro de pressão em superfícies submersas.
III – Cinemática dos Fluidos ou Fluidocinemática Qual a relação entre a deformação de um sólido e de um fluido. O que significa um regime estacionário ou permanente. A diferença entre sistema e volume de controle A diferença entre o formalismo de Euler (Integral) e o de Lagrange (Diferencial) Como se definem uma densidade generalizada, uma taxa generalizada e um fluxo generalizado. O que significa, trajetória, filete, linha de emissão e linha de corrente.
70
Saber aplicar o conceito de volume de controle e superfície de controle no cálculo de escoamentos. O que é a equação da continuidade, o que significa, saber aplicá-la aos cálculos (versão integral e diferencial). O teorema de Gauss, da divergência, de Green e de Stokes e saber aplicar. Como expressar a compressibilidade, ou a incompressibilidade matematicamente e saber usála nos cálculos de escoamento. A equação de Euler, saber aplicar (versão integral e diferencial). A equação de Bernoulli, saber aplicar (versão integral e diferencial). A relação da equação de Bernoulli com a termodinâmica. A equação geral da viscosidade de um fluido.
III - Dinâmica dos Fluidos ou Fluidodinâmica (de Fluidos Ideais, Viscosos Incompressíveis e Compressíveis) A equação de Navier-Stokes para fluidos viscosos, saber aplicar pelo menos a fluidos incompressíveis. O que é uma camada de contorno e qual a sua importância Qual a diferença do comportamento de um fluido dentro e fora da camada de contorno A diferença entre fluido compressível e incompressível Explicar matematicamente com base na Mecânica dos Fluidos o funcionamento de uma injetora.
71
3. 11 – Resumo Geral de Mecânica dos Fluidos Tabela - IV. Operadores diferenciais utilizados na Mecânica do Contínuo Conceito
Divergente v
Rotacional v
Definição Matemátic a
d .v v .dA dV
d v v dA dV
v v x eˆl eˆ j eˆk x v y eˆl eˆk eˆi v y Represent v y .v x eˆi . eˆ j eˆk eˆ j . eˆk eˆi ação x y v z eˆl eˆi eˆ j ; l i, j , k Matemátic vz z a eˆk . eˆi eˆ j z ˆj iˆ kˆ x y z v x v y vz
Gradiente v ou v f
d dV
fdA
f eˆ j eˆk x f f eˆk eˆi eˆi eˆ j y z
f
Proprieda de
. u 0 u
0
Interpreta ção Geométric a ou Física destes Operadore s
É um operador diferencial que calcula a fonte do campo vetorial, se o volume não contiver a fonte deste campo o divergente é zero.
É um operador diferencial sobre o contorno do volume de controle que calcula o efeito da rotação do campo e suas conseqüências físicas sobre este
É um operador diferencial que calcula a máxima variação de um campo escalar, apontando nesta direção
Operação sobre as grandezas escalares, vetoriais, tensoriais, etc.
Abaixa a ordem, exemplo: transforma vetor em escalar
Mantém a ordem, exemplo: transforma vetor em vetor
Aumenta a ordem, exemplo: transforma escalar em vetor
v .v . v
.v . T v . .vI
Relação com outras grandezas físicas
Aplicação prática
.v v v v
v
1 v .v 2
mede a deformação elástica de um sólido ou a compressibilidade de um fluido
v
mede a deformação plástica de um sólido ou a vorticidade de um fluido
Outras consideraç ões
72
v
mede a variação local de um campo
A Mecânica do Contínuo decorre das três leis da Mecânica Newtoniana das partículas e das três Leis da Termodinâmica as quais foram transformadas em leis válidas para sólidos, fluidos, etc., utilizando-se o conceito de densidade generalizada, e fluxo generalizado. Essas equações transformadas dão origem a uma série de teoremas diferenciais e integrais conforme mostra os quadros abaixo. Tabela - V. Analogia da Mecânica dos Sólidos com a Mecânica dos Fluidos. Conceito
Mecânica dos Sólidos
Mecânica dos Fluidos
Tensor Deformação
Tensor Taxa de Deformação
Comportament o Mecânico (desenho ou esquema gráfico)
Diagramas tensão x deformação e taxa de deformação)
Definição matemática
ii
ui 1 u u j ; ij i xi 2 x j xi
ii
Relação com o Deslocamento Tensor das deformações e da taxa de deformações
ij
d ui 1 d ui u j ; ij dt xi 2 dt x j xi
Relação com a Velocidade
1 u T u 2
ij
1 v T v 2
Leis
Lei Fenomenológica de Hooke
Lei Fenomenológica de Newton
Relação com o Tensor das Tensões
ij Cijkl kl
ij Bijkl kl
ii E ii
ii ii
ij G ij
ij ij
ij .uI u T u
ij PI .vI v T v
p/ tensões normais p/ tensões tangenciais Lei Constitutiva Generalizada Relação entre as constantes
E
Equação de Movimento Separada
Aglutinada
G 2 1 v
Equação de Lamé
Equação de Navier-Stokes
d g . .u I u T u u dt
2 1 v
d g .u . u u dt
Outras considerações
73
d g P . .v I v T v v dt
d g P .v . v v dt
O que torna a Mecânica do Continuo em Mecânica dos Sólidos ou dos Fluidos é a lei fenomenológica ou a chamada equação constitutiva. Que no caso dos Sólidos e dos Fluidos estão mostradas no quadro abaixo: A Mecânica dos Fluidos estuda o comportamento de corpos que se deformam continuamente quando sujeitos a tensões normais e tangenciais. Em termos dos estados de movimento dos fluidos ela se divide em Fluidostática, Fluidocinemática e Fluidodinâmica. Tabela - VI. Equações e Teoremas da Mecânica dos Fluidos. Formulação Diferencial Derivada Material dGX G vX . GX X dt t
Formulação Integral “Integral Material” ou Teorema do Transporte de Reynolds d X (r , t )dV J X .dA X dV dt V X( t ) t SX (t ) VX ( t )
Equação de Movimento – Conservação do Momento Linear v g P . v . v t
Teorema da Divergencia d X V .J dV S J .dA V dt dV Equação de Movimento ou Conservação do Momento Linear V gdV V PdV V . dV V . v.v dV t S vdA
Equação Diferencial da Energia Uˆ : v .J Q v. Uˆ t
Equação Integral da Energia ˆ UdV ˆ V : v dV V .JQ dV V v. UdV t V
Equação da Continuidade d X .J X X t dt
onde X dGX / dV ; J X X v ,
74
Tabela - VII. Alguns conceitos úteis da Mecânica dos Fluidos.
1
Formalismo de Euler
2
Formalismo de Lagrange
3
Trajetória
4
Linha de corrente
6
Filete
7
Linha de emissão
8
Escoamento permanente
9
Escoamento não-permanente
10
Escoamento laminar
11
Escoamento Turbulento
12
Equação da Continuidade
13 14
PT Pa gh
2 v 2
2 ( v ) g P [ 2 v (.v )] v .(. v ) 3 t
75
Acompanha o movimento de um fluido dentro de um volume limitado e utiliza equações integrais para descrever matematicamente o comportamento de um fluido Acompanha o movimento de um fluido por meio de um elemento infinitesimal de volume e utiliza equações diferenciais para descrever matematicamente o comportamento de um fluido Caminho percorrido por uma partícula de um fluido Observação do conjunto de vetores velocidade tangentes a linha de fluxo Observação do comportamento local da passagem das partículas de um fluido por um ponto Observação do comportamento das partículas de um fluido por um determinado tempo É aquele onde as quantidades do campo de escoamento não depende explicitamente do tempo / t 0 ou v / t 0 É aquele onde as quantidades do campo de escoamento depende explicitamente do tempo / t 0 ou v / t 0 É aquele em que as linhas de escoamento são estacionárias, isto é a sua posição não muda com o tempo. É aquele em que as linhas de escoamento não são estacionárias, isto é a sua posição muda com o tempo. Equação que retrata a conservação das grandezas físicas que atravessam um volume ou seja o fluxo de entrada em um volume é igual fluxo de saída mais ao acumulado no interior do volume Equação de Bernoulli e aplica-se a um fluido sem viscosidade incompressível em regime estacionário Equação de Navier-Stokes e aplica-se a um fluido real compressível e com viscosidade
Tabela - VIII. Termos da Equações da Mecânica do Contínuo e dos Fluidos Termo g
Interpretação física Força de volume devido ao peso do fluido Força superficial devido ao gradiente ou variação de pressão com a posição em um fluido
P
a
Termo de aceleração de um meio contínuo
d (v ) dt
v . v
Termo de escoamento de um fluido
v t
v v . v t
v v . v t
v. v
v v 1 v .v 2
.v . v v
v g P v . v t
Derivada material do termo de escoamento de um fluido que corresponde à aceleração de um fluido real (viscoso e compressível) Derivada material da densidade de momento linear ou fluxo da quantidade de movimento para um fluido incompressível o que corresponde ao produto da densidade pela derivada material da velocidade Derivada material da densidade para um fluido compressível o que corresponde ao produto da velocidade pela derivada material da densidade Termo de transporte da aceleração de um fluido Produto vetorial do rotacional da velocidade com a velocidade este termo verifica se a vorticidade do campo de velocidade afeta o próprio capo de velocidades Termo de variação da energia cinética de um fluido Variação da compressibilidade de um fluido Fonte da variação da velocidade em um fluido ou termo de força viscosa por unidade de volume Rotacional do Rotacional da velocidade de um fluido. Este termo verifica se o vorticidade de um fluido também gira Equação de Movimento de um fluido ideal (sem viscosidade e incompressível)
76
Relação ou identidade vetorial
g P 0 Equação Básica da Fluidostática fV P a Equação de Movimento de um meio continuo (fluido) que se comporta como um corpo rígido (ou um sólido) d v g P fVis dt v f P fVis v . v t Equação Geral de um Fluido Viscoso e Compressível v f P fVis v . v t Equação Geral de um Fluido Viscoso e Incompressível d (v) v v v . v v. v dt t t
Derivada material do termo de escoamento
1 v .v 2 Identidade Vetorial
v . v v v
v .v . v Identidade Vetorial
. v
. 2 ij ij kk
Fonte da variação da tensão de cisalhamento em um fluido ou termo de força viscosa por unidade de volume Verifica a fonte da taxas de deformação normal e tangencial de um fluido em ou trás palavras determina a força viscosa de um fluido
g P . v v v. v v v t t
Equação de Movimento de um fluido incompressível d (v ) g P .(2 ij ij kk ) dt Equação Geral de um Fluido Newtoniano Viscoso
g P .(.vI v ) . .vI v
2v
2 d 3
.v
Verifica a fonte das variações de velocidades em um fluido, ou seja, é o termo de força viscosa de um fluido newtoniano compressível Valor médio em torno de um ponto em um campo de velocidades Termo de força viscosa de um fluido complexo, compressível que apresenta interação entre a parte entre as tensões normais e de cisalhamento
77
v vv v v t t Equação de Movimento de NavierStokes para um fluido real (viscoso e compressível)
2 fvisc 2 v d .v 3 Força viscosa de um fluido complexo
3. 12 – Exercícios e Problemas 1. Qual a diferença básica entre um sólido e um fluido. 2. Conceitue: a) Fluido; b) Condição de Não Deslizamento; c) Força de Campo ou de Volume e d) Força de Contato ou Superfície; f) Principio de Pascal ; c) Volume e Superfície de Controle
3. Mostre que a taxa de deformação de um fluido e equivalente ao gradiente de cisalhamento. 5. Mostre que o coeficiente de Poisson e igual a 0,5 para uma deformação que conserva o volume. 6. Faça um quadro comparativo das três Leis da Mecânica, para partícula, sólidos e fluidos, explicando as transformações que elas devem sofrer para poder descrever a Mecânica dos Fluidos. Porque os termos matemáticos que aparecem a massa devem ser transformados em termos matemáticos com densidade e volume? 7. Explique com suas palavras o que é viscosidade, compressibilidade e quais são as suas unidades no Sistema Internacional.
78
3. 13 – Referências Bibliográficas - Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson - FOX, Robert W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4ª Edição. - H. Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora. - Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações). - ROMA, W. N. L.; Fenômenos de transporte para engenharia, Rima Editora, São Carlos, 2003. - site disponível em http://www.mec.puc-rio.br/~edmecfl2/introduçãqo.pdf - VENNARD, J. K. STREET, R. L. – Elementos de Mecânica dos Fluidos – 5a ed, Guanabara DOIS, Rio de Janeiro - RJ, 1978, p. 16. - ATKINS, P. W. Físico-Química, v. 1, 6a ed, Editora LTC, Rio de Janeiro - RJ, 1999.
79
Capítulo – IV CAMPOS ESCALARES, VETORIAIS E TENSORIAIS PARA FLUIDOS. RESUMO Neste capítulo serão vista as noções básicas de campos escalares e campos vetoriais utilizados em Mecânica dos Fluidos. Aprenderemos também o que significa: força de massa (ou de campo) e força de superfície (ou de contato), tensão em um ponto, e como se estuda fenomenologicamente a consistência de um corpo por meio das equações da mecânica. Aprenderemos sobre a Lei da Viscosidade de Newton e suas implicações na classificação dos fluidos existentes na natureza.
Palavras Chave: campo escalar, campo vetorial, gradiente de pressão.
PACS números:
4. 1 - Objetivos do Capítulo i) Aprender a diferenciar grandezas escalares de vetores e tensores, ii) saber qualificar um campo, iii) saber decompor as forças ao redor de um ponto em torno dos eixos ortogonais, iv) saber expressar matematicamente a tensão em um ponto em um campo vetorial. v) saber a diferença entre tensão e pressão.
80
4. 2 - Introdução A descrição matemática de um fenômeno passa em primeiro lugar pela definição de um sistema de coordenadas. Contudo, as quantidades podem ser escalares, vetoriais e tensoriais cada uma com suas respectiva unidade de medida. Tendo em vista que a Reologia é por definição o estudo do escoamento e da taxa de deformação. A tensão e a taxa de deformação são grandezas que assumem importância singular nessa análise. Para tanto, neste tópico será abordado o conceito de tensão, ficando a abordagem do tema taxa de deformação para a seção subseqüente.
81
4. 3 - Quantidades Escalares, Vetoriais e Tensoriais e Campos As quantidades utilizadas na descrição matemática dos fluidos podem ser classificadas em:
4.3.1 - Quantidades ou Grandezas Escalares São aquelas grandezas que necessitam apenas da especificação de sua magnitude para uma completa descrição matemática. Exemplos: Temperatura T T x, y, z , t ; tempo, t; densidade x, y, z , t ; carga elétrica, Q Q x, y , z , t , massa M M x, y, z , t . O escalar é também um tensor de ordem zero. Um campo escalar é descrito por uma função dependente de várias variáveis. De forma geral um escalar se expressa como:
eˆ0
(4. 1)
onde eˆ0 111 , é uma matriz com uma única linha e uma única coluna.
4.3.2 - Quantidades ou Grandezas Vetoriais São aquelas grandezas que necessitam, além da magnitude, de uma especificação direcional completa e somam-se de acordo com a régua do paralelogramo (i, j, k). Devido ao espaço tridimensional euclidiano são empregados três valores associados com as direções ortogonais convenientes para se especificar uma grandeza vetorial. As componentes x, y e z de um vetor são escalares.
82
Figura - 4.1. Sistema de coordenadas tridimensional com um vetor de coordenadas r r ( x, y, z ) ou v v ( x, y , z ) .
São exemplos de quantidades vetoriais, deslocamento e velocidade: r xiˆ yjˆ zkˆ
(4. 2)
v vx iˆ v y ˆj vz kˆ
(4. 3)
ou v = v (x, y, z, t), onde
e as componentes do vetor v que representa um campo vetorial que são dadas por:
vx vx x, y, z, t , v y v y x, y, z , t e vz vz x, y, z , t , onde: iˆ ˆj kˆ 1 ,
(4. 4)
representa o módulo dos vetores unitários nas três direções ortogonais. Um vetor é um tensor de ordem 1. De forma geral um vetor se expressa como: 1 0 0 v1 v v1 0 v2 1 v3 0 v2 0 0 1 v3 eˆ1
eˆ2
(4. 5)
eˆ3
ou
3 v vi eˆi
(4. 6)
i 1
83
onde eˆi iˆ, ˆj , kˆ para i 1, 2,3 , respectivamente
4.3.3 - Quantidades ou Grandezas Tensoriais (de ordem 2, 3, etc.) São aquelas grandezas que necessitam de nove ou mais componentes escalares para uma completa descrição matemática. Ex: tensão, deformação e Momento de Inércia, polarização, etc. todos estes são exemplo de tensores de ordem 2 ou de segunda ordem.
ˆˆ xx iiˆˆ xy ijˆˆ xz ik ij yx ˆˆ ji yy ˆˆ jj yz ˆjkˆ tensor de ordem 2 ˆ ˆˆ kk ˆˆ zx kiˆ zy kj zz
(4. 7)
Um campo tensorial é descrito por: σ ij ijˆˆ x, y, z , t
(4. 8)
Isto porque, pode-se pensar que cada componente de um tensor é um vetor e cada componente destes vetores são escalares. Logo, podemos generalizar os tensores da seguinte forma: De forma geral um tensor se expressa como: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A a11 0 0 0 a12 0 0 0 a13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 eˆ1 eˆ1
eˆ1 eˆ2
eˆ1 eˆ3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 a21 1 0 0 a22 0 1 0 a23 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 eˆ2 eˆ1
eˆ2 eˆ2
eˆ2 eˆ3
0 0 0 0 0 0 0 0 a31 0 0 0 a32 0 0 0 a33 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 eˆ3 eˆ1
a11 A a21 a21
a12 a22 a32
eˆ3 eˆ2
eˆ3 eˆ3
a13 a23 a33
ou
84
(4. 9)
3
A aij eˆi eˆ j
(4. 10)
i 1
onde eˆi iˆ, ˆj , kˆ para i 1, 2,3 , respectivamente Escalar geometricamente a um ponto: descrição análoga ao ponto, portanto pode ser chamado de tensor de ordem zero (0); Vetor geometricamente a um segmento de reta: descrição análoga a uma reta, portanto pode ser chamado de tensor de ordem um (1); Matriz de ordem 2, 3, etc. geometricamente a um plano, volume, etc: descrição análoga a um plano, portanto pode ser chamado de tensor de ordem dois (2, 3, ..). Como poderia ser uma grandeza tensorial análogo a um sólido que envolvesse três índices, ou seja, um tensor de ordem três?
Figura - 4. 2. Tensor de ordem 3 ou de 3a ordem ou uma hipermatriz
Este exemplo não será usado, contudo serve para ativar o senso de observação e abstração do estudante. Contudo, o aparecimento dessas quantidades no desenvolvimento matemático da Mecânica do Continuo apresentado nesse livro, segue das definições das quantidades físicas importantes na fenomenologia da Mecânica dos Fluidos, conforme veremos a seguir.
85
4. 4 - Campo de Tensões – Forças de Campo, Corpo, Massa ou Volume e Forças de Contato ou Superfície Um campo é uma distribuição contínua de quantidades escalares, vetoriais ou tensoriais descritas por funções contínuas de coordenadas espaciais e temporal. Na natureza, quanto a sua forma de atuação existem dois tipos de forças, a saber. Isto é, para explicar o conceito de tensão, vale destacar que um material pode estar sujeito a dois tipos de forças distintas: as forças internas ou de corpo e as forças superficiais. No que se refere às forças internas, vale lembrar que estas atuam sobre qualquer porção do material (ou todo o volume), enquanto que as forças superficiais atuam somente sobre a superfície do meio material. As forças superficiais são responsáveis pelo movimento e deformação do corpo e são, portanto contabilizadas sob a forma de uma grandeza finita como a força por unidade de área. Esta grandeza designa-se o que se convencionou chamar de Tensão, Fay ,J.A(1996).
4.4.1 – O Princípio de Pascal O princípio de Pascal estabelece que, forças exercidas sobre o contorno de um meio são transmitidas para o interior (através) desse meio. Ou seja, as forças de superfícies, f S se transformam em forças de volume, fV , e vice-versa, as forças de volume se transformam em forças de superfícies, f S :
fV f S . f S fV
(4. 11)
Este principio permite que as pressão em um fluido em repouso se igualem tornando possível a distribuição de um fluido em vasos comunicantes, conforme mostra a
Figura - 4. 3. Experimento dos vasos comunicantes.
Outro experimento possível por meio do principio de Pascal é o do macaco hidráulico. 86
Figura - 4. 4. Experimento dos vasos comunicantes.
A pressão por exemplo, é transmitida para o contorno dos sólidos ou através de secções arbitrárias normais a estes contornos ou através de secções em todos os pontos.
Figura - 4. 5. Pressão hidrostática de um fluido em repouso sendo transmitida na direção normal ao contorno dos sólidos.
87
4.4.2 - Forças de Massa ou de Campo São aquelas desenvolvidas sem o contato físico e são distribuídas nos volumes dos corpos em que atuam. Estas forças agem instantaneamente em todos os pontos do corpo. Ex. Força gravitacional; Empuxo, Forças de Eletromagnéticas, conforme mostrado no exemplo da Figura - 4. 6.
Figura - 4. 6. Corpo submerso sujeito a ação do próprio peso, W, com empuxo dado por: E = gV.
Sabemos da 2a Lei de Newton que: Fv mg
Nesta
(4. 12)
Figura - 4. 6. foi considerado um elemento do próprio fluido com massa
infinitesimal, de tal forma que: dFv gdm
(4. 13)
Mas o elemento infinitesimal de massa dm pode ser descrito em termos do elemento infinitesimal de volume, dV, a partir da definição de densidade dada em (2. 45), da seguinte forma:
dm dV .
(4. 14)
Onde é a densidade do fluido no ponto considerado, logo dFv gdV .
(4. 15)
Definindo-se densidade volumétrica de forças como sendo, o incremento das forças por unidade de volume, ou seja:
88
dFv fg dV
(4. 16)
temos finalmente que:
fg g .
(4. 17)
Sendo = M/V, para o caso especial de fluidos homogêneos, a densidade volumétrica de forças é igual ao peso específico do fluido, onde:
Mg W f V V
(4. 18)
Esta grandeza é também denominada pela letra, grega, , onde: g
(4. 19)
representa a força (gravitacional) por unidade de volume. Observe que para o caso de elemento infinitesimal de densidade igual ao do fluido o seu peso será igual ao empuxo, logo E V W
(4. 20)
4.4.3 - Forças Superficiais ou de Contato São aquelas que atuam nos meios contínuos pelo contato direto e são transmitidas ao longo do corpo, tais como, tensão; tração, etc, veja por exemplo a
Figura - 4. 17.
Figura - 4. 7. Conjugado de forças sobre uma superfície de um volume de controle, V.
89
Considere o corpo da Figura - 4. 7 sujeito a um conjugado de forças, C , onde a força resultante, F , pode ser escrita como: F Fn nˆ Fˆ
(4. 21)
Sempre pode-se definir as tensões normais e tangenciais sobre um elemento de área, A An nˆ , deste corpo, como sendo dado por: Fn dFn ,(tensão normal) An 0 A dAn n
nn lim
(4. 22)
e
sn lim
An 0
F dF . (tensão tangencial) An dAn
(4. 23)
d . A 0 A dA
Lembrando que lim
A tensão tangencial por sua vez pode ser decomposta em duas direções ortogonais independentes, onde: F 1 dF 1 (componente 1 da tensão tangencial) An 0 A dAn n
s1 lim
(4. 24)
e
s 2 lim
An 0
F 2 dF 2 , (componente 1 da tensão tangencial) An dAn
conforme mostra a
(4. 25)
Figura - 4. 8. Sempre pode-se decompor as forças em função dessas
componentes.
Figura - 4. 8. Elemento de área dA sujeito a uma força oblíqua qualquer decomposta nas direções normal e tangenciais.
90
Lembrando que uma área é definida em termos do produto vetorial de dois vetores oblíquos (não-colineares) u e v que a delimitam, ou seja:
A uv ,
(4. 26)
A u v u v sen ,
(4. 27)
onde
Figura - 4. 9. Elemento de área dA sujeito a uma força oblíqua qualquer decomposta nas direções normal e tangenciais.
Observe que a divisão dos dois vetores, força e área, dá origem a um objeto matemático mais complexo chamado tensor das tensões conforme podemos ver a seguir.
91
4.4.4 – O Tensor das Tensões e a Tensão em um Ponto Considere um volume cúbico qualquer, em um fluido, a partir do qual podemos escrever, de acordo com as equações anteriores, as tensões normais e tangencias sobre cada face do cubo, conforme mostra a
Figura - 4. 10.
Figura - 4. 10. Distribuição de tensão em um volume infinitesimal de um fluido.
Observe que, enquanto o tensor das tensões definido acima define a tensão em um ponto da superfície, ele não é suficiente para definir a tensão no ponto dentro do corpo. Isto porque o tensor das tensões depende da orientação da área dA . Pode-se mostrar que se as tensões para três superfícies ortogonais, que se interceptam em um ponto, são conhecidas, então a tensão no ponto pode ser determinada para qualquer superfície. Para descrever totalmente o estado das tensões em um ponto, é, portanto necessário conhecer as tensões sobre cada superfície. Cada superfície requererá três tensões, uma tensão normal e duas de cisalhamento, tal que um total de nove tensões são necessárias. Estas nove tensões definem o estado de tensão em um ponto “O”. Eles formam nove componentes de um tensor de segunda ordem chamado de tensor das tensões, denotado por ij . O tensor das tensões é freqüentemente escrito como uma matriz de suas componentes da seguinte forma:
xx xy xz [ J p ] yx yy yz zx zy zz
92
(4. 28)
A Figura - 4. 10 mostra as três superfícies deslocadas do ponto “O”, para clareza, e as tensões associadas que atuam sobre elas. A partir desta figura podemos escrever o seguinte tensor (matriz das tensões) para o campo das tensões, ij, onde o primeiro índice representa a direção normal ao plano associado com a tensão, enquanto o segundo índice indica a direção da tensão em si, donde sabe-se que o tensor das tensões é simétrico, isto é,
ij ji , (p/ i j)
(4. 29)
Visando propiciar um melhor entendimento do conceito de Tensão, considere um corpo sujeito a uma força f, conforme ilustra a Figura - 4. 11a e Figura - 4. 11b . Efetuando-se um corte desse corpo e utilizando um plano que passa pelo ponto P , cuja normal é nˆ . Pode-se afirmar que nesse plano atua uma força f n (que é a componente da força f nesta direção), sendo t n o vetor tensão que atua na referida superfície e passa pelo ponto P. Logo o vetor tensão, pode ser escrito da seguinte forma:
ˆ nm oˆ no , t n nˆ nn m
(4. 30)
Onde nn , nm e no são as componentes do vetor. Sendo que na Eq.(4. 30) o 1º índice de cada componente, refere-se ao plano no qual a tensão atua e o 2º índice refere-se a direção .
Figura - 4. 11. (a) Corpo submetido a uma força f; (b) Vetor tensão
No entanto, cabe salientar ainda, que para que o estado de tensão de um ponto seja totalmente definido, não é condição suficiente considerar este vetor. Para tanto, faz-se necessário, nesta fase se considerar os três planos perpendiculares que passam pelo referido
93
ponto P, isto é, torna-se nesta fase condição necessária se conhecer os vetores de tensão
ˆ e oˆ ) que atuam nos planos cujas normais são representadas pela seguinte figura: ( nˆ , m Já as componentes dos vetores Tn , Tm e T0 representam as linhas do tensor das tensões totais. Onde é entidade que permite descrever totalmente o estado de tensão de um ponto.Para tanto, considerando o sistema de coordenadas x, y, z , pode-se dizer de maneira simplista que os vetores de tensão são aqueles ilustrados pela Figura - 4. 12a mostrada abaixo, onde as suas respectivas componentes são aquelas mostradas na Figura - 4. 12b.
Figura - 4. 12. (a) Vetores tensão (b)Componentes do tensor das tensões totais.
Tocante a representação das componentes do tensor das tensões propriamente dita, esta é expressa pela matriz que apresentamos abaixo: xx xy xz yx yy yz , zx zy zz
(4. 31)
onde : xx , xy e xz são as componentes na direção t x
yx , yy e yz são as componentes na direção Ty zx , zy e zz são as componentes na direção Tz , respectivamente. Vale destacar ainda, que em Mecânica do Continuo é usual a utilização de índices numéricos onde a representação matricial mais comum é aquela que mostramos abaixo. 11 12 13 21 22 23 , 31 32 33
94
(4. 32)
Onde os elementos da diagonal principal, ii i, j 1, 2,3 , são designados tensões normais, sendo os demais elementos restantes denominados tensões de corte( ij i, j 1, 2,3 ). Ainda com relação às tensões de corte, vale salientar que se é possível estabelecer a relação entre
ij ji uma vez que é um tensor simétrico. Ainda com relação ao tensor total de tensões, quando o fluido está em repouso, a única tensão a que o fluido está sujeito é a pressão hidrostática, conforme ilustra a Eq.(3.18), Fay, J.A.(1994).
J pI ,
(4. 33)
Ou seja, estes fluidos possuem apenas tensões normais: T11 = T22 = T33 p . Já para o caso de fluidos em movimento, faz-se necessário considerar os efeitos da deformação do material, da seguinte forma: J pI ,
(4. 34)
Onde é o tensor das tensões. No entanto, observa-se que geralmente as equações constitutivas são escritas em função e não em função de T, sendo nesses casos é conveniente eliminar o termo da pressão da expressão de f (T) , Steffe, J.F.(1996) . Sendo assim, conforme retrata a literatura consultada, no intuito justamente de se eliminar o termo pressão da Eq. (4. 34), especialmente quando estamos nos referindo a um fluxo estacionário, onde as tensões viscosas desaparecem e somente as tensões normais são exercidas, foram definidas duas grandezas – 1ª diferença de tensões normais e 2ª diferença de tensões normais, conforme ilustram as Eq(s) (3.20) e (3.21) respectivamente. N1 T11 T22 11 22 ,
(4. 35)
N 2 T22 T33 22 33 ,
(4. 36)
Onde na Eq. (4. 35) a 1ª diferença de tensões normais ( N1 ), é sempre positiva e normalmente considera-se que seu valor é aproximadamente dez vezes maior que a segunda diferença de tensões normais Eq. (4. 36), Steffe, J.F.(1996).
95
4.4.5 – Tensões Principais Uma vez que o tensor é conhecido, o vetor das tensões em qualquer superfície com vetor normal unitário, nˆ , direcionado para fóra da superfície, é dado por:
T [J p ].nˆ ,
(4. 37)
onde o ponto indica um produto vetor-tensor. Em todo ponto no interior de um corpo sob tensão existe um plano, chamado de plano principal, tal que o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é,
Ti ni ij n j
(4. 38)
onde é a tensão normal que atua sobre este plano.
Figura - 4. 13. Tensões Principais em um volume infinitesimal de um fluido.
Neste plano específico a implicação é que não existe cisalhamento agindo sobre o plano principal. Logo, a matriz que representa estas tensões principais é uma matriz diagonal. A direção de n é referida à direção principal. A introdução da equação (4. 38) na equação (4. 37) fornece: ( J ji ij ) n j 0
(4. 39)
A qual é uma série de três equações homogêneas para a direção dos cossenos n i que definem a direção principal. Desde que nini = 1, então para evitar a solução trivial (0, 0, 0) devemos ter:
det J ji ij n j 0
(4. 40)
a qual em uma forma matricial é: 11 21 31
12 13 22 23 0 32 33
96
(4. 41)
Esta é uma equação cúbica em que pode ser escrita como:
3 I1 2 I 2 I 3 0
(4. 42)
Onde I1, I2, I3 são grandezas escalares que são independentes do sistema de coordenadas na qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas de tensões invariantes como: I1 trσ ii
(4. 43)
e 1 1 2 trσ trσ 2 ( ii jj ij ij ) 2 2
(4. 44)
1 1 3 trσ 2trσ 3 3trσ 2 trσ det A ijk pqr ip jq kr 6 6
(4. 45)
I2
e
I3
Em uma forma estendida temos:
I1 11 22 33
(4. 46)
I 2 ( 11 22 22 33 33 11 ) 12 2 232 312
(4. 47)
11 12 13 I3 21 22 23 31 32 33
(4. 48)
e
e
Devido à simetria do tensor das tensões existem três raizes reais (1, 2, 3), referente as tensões principais da equação (4. 41). Associado a cada tensão principal existe uma direção principal satisfazendo a equação (4. 39) e nini =1. As três direções principais e os planos associados são mutuamente ortogonais. Para concluir esta secção nós definimos uma convenção de sinais para tensões. Tensões positivas são aquelas para as quais ambas a normal a superfície e a direção das tensões no ponto estão na direção positiva ou negativa do eixo em consideração. Com esta convenção as tensões positivas são trações, enquanto que as negativas são compressões.
97
4.4.6 – O Tensor das Tensões de um Fluido em Repouso ou Pressão Hidrostática A tensão em um fluido é chamada de pressão hidrostática se a força por unidade de área sobre um elemento de área, dentro do fluido ou no contorno do fluido, atua na direção normal ao elemento de área e é independente da orientação do elemento. Todos os fluidos têm este tipo de estado de tensão quando eles são estacionários (não-permanentes). Para provar isso, devemos provar que as forças no interior de um fluido em equilíbrio não dependem da direção. Como podemos provar que a tensão em um ponto de um fluido em repouso são todas iguais entre si? Considere um volume infinitesimal delimitado em um fluido, conforme mostra a Figura - 4. 10, este pode ser usado para calcular como deve ser a tensão em torno de um ponto. Contudo, quando este fluido está em repouso ou em movimento uniforme, as tensões tangenciais neste fluido são nulas, e há apenas a ação de forças normais ao fluido, conforme está representado na
Figura - 4. 15. Neste caso, vamos mostrar que a tensão é
um escalar pois não depende da direção. Considere uma região em um fluido estático ou em movimento retilíneo uniforme, na forma de um prisma triangular, conforme mostra a
Figura - 4. 14.
Direção x:
xx dydz nn ds cos dz 0
(4. 49)
Cancelando os incrementos infinitesimais dz temos:
xx dy nn ds cos
(4. 50)
Mas cos = dy/ds logo
xx dy nn ds
dy ds
(4. 51)
Portanto
xx nn
(4. 52)
98
Figura - 4. 14. Região ou volume de um prisma triangular imaginário no interior de um fluido.
O prisma é metade de um cubo, logo seu peso é dado por:
P g
dxdydz 2
(4. 53)
Direção y: De acordo com a equação (4. 20), o peso do prisma de fluido é dado por: dW =
dV onde dV = dxdydz, logo yy dxdz nn ds sen dz
dxdydz 0 2
(4. 54)
Cancelando os incrementos infinitesimais dz temos: yy dx nn ds sen
dxdy 0 2
(4. 55)
Mas sen = dx/ds logo yy dx nn ds
dx dxdy 0 ds 2
(4. 56)
dy 0 2
(4. 57)
Portanto
yy nn
Agora fazendo o limite do volume indo a zero temos:
yy nn
(4. 58)
99
Portanto, a tensão em um ponto para um fluido estático ou em movimento retilíneo uniforme é independente da direção, dessa forma é uma quantidade escalar. O mesmo cálculo pode ser feito, usando um tetraedro, para o caso tridimensional. Este pode ficar como exercício para o aluno.
4.4.7 – Diferença entre Tensão e Pressão Termodinâmica Sabemos que se o fluido esta em repouso ou em movimento uniforme não há tensões tangenciais, ou seja, não há taxa de cisalhamento, logo a matriz das tensões em um ponto é dado por: xx 0 [ ii ] 0 yy 0 0
0 0 zz
(4. 59)
Figura - 4. 15. Campo de tensão para um fluido em repouso ou em movimento uniforme.
Contudo, se houver cisalhamento a matriz das tensões é dada por (4. 29) e estas tensões de cisalhamento estão relacionadas com o gradiente de velocidade por meio da equação (3. 9). Para um fluido em equilibro a tensão média é dada por: 0 0 0 xx 0 [ ii ] 0 yy 0 0 0 0 0 zz 0 0
(4. 60)
1 ( xx yy zz ) 3
(4. 61)
onde
100
O conjunto das tensões normais em um fluido é chamada de pressão hidrostática se a força por unidade de área sobre um elemento de área, dentro do fluido ou no contorno do fluido, atua na direção normal ao elemento de área e é independente da orientação do elemento. Todos os fluidos tem este tipo de estado de tensão quando eles são estacionários (não-permanentes). De acordo com o Princípio de Pascal a tensão em um fluido isotrópico se transmite igualmente para todos os pontos deste fluido e considerando que este fluido está em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, não existe tensões tangenciais, logo as tensões nas três direções independentes são iguais, Portanto, temos que;
xx yy zz
(4. 62)
Figura - 4. 16. Diferença entre tensão, , confinante, de tração compressiva, distensiva, e tensão de cisalhamento ou tangencial.
Figura - 4. 17. Diferença entre tensão, , e pressão, P, aplicada sobre uma superfície.
101
Figura - 4. 18. Diferença entre a) pressão aplicada sobre o sistema ( F // nˆ ) e b) pressão aplicada
pelo sistema (tensão; F // nˆ )
Esta tensão equivale ao oposto da pressão termodinâmica, ou seja,
(4. 63)
P
Por esta razão existem duas interpretações para o trabalho termodinâmico quando se trata de pressão (trabalho realizado sobre o sistema).
dQ dW dU
; dW PdV ,
(4. 64)
e tensão (quando se trata de trabalho realizado pelo sistema).
dQ dW dU
; dW PdV ,
(4. 65)
devido ao sentido das forças pressão e tensão. De qualquer forma devemos ter:
dQ dU PdV que corresponde a entalpia, dQ dH do sistema.
102
(4. 66)
4.4.8 - A Densidade Volumétrica de Forças Superficiais Observamos que as forças de massa ou de corpo foram facilmente transformadas em densidade de forças. Contudo, é necessário também transformar o tensor das tensões emm uma densidade de forças superficiais. Para isso vamos realizar o desenvolvimento matemático como segue. A densidade volumétrica de forças superficiais pode ser descrita a partir de ( ) por meio de gradientes de tensão, escrevendo-se o tensor das tensões na forma diferencial temos: dF [J p ] , dA
(4. 67)
Portanto, a força superficial, FS , pode ser escrita como:
FS [ J p ]nˆ.dA ,
(4. 68)
ou ainda sendo J p [ J p ]nˆ , temos:
FS J p .dA S
(4. 69)
Observe que o produto escalar da matriz do tensor das tensões, [ J p ] pelo vetor área resulta em um vetor força, F . Derivando a integral da equação (4. 68) em relação ao volume, temos: d FS [ J p ].dA dV , dV
(4. 70)
Passando o operador derivada para fora da integral obtemos d FS [ J p ].dA dV , dV
(4. 71)
Calculando a densidade de forças temos:
dFS d [ J ]. dA , p dV dV Logo, a densidade volumétrica de força superficial, f S , é dada por:
103
(4. 72)
dFS d fS dV dV
. J
p
dV
(4. 73)
V
A esta operação sobre o tensor, [ J p ] , chamaremos de divergente definindo da seguinte forma:
.[ J p ]
d [ J p ].dA , dV
(4. 74)
ou
.[ J p ]
d [ J p ]. dAxiˆ dAy ˆj dAz kˆ , dV
(4. 75)
onde
dA dAx iˆ dAy ˆj dAz kˆ ,
(4. 76)
dA dydziˆ dxdzjˆ dxdykˆ ,
(4. 77)
dV dxdydz ,
(4. 78)
ou
e
Explicitando o operador divergente em coordenadas cartesianas, temos que: .[ J p ]
d3 [ J p ]. dAx iˆ dAy ˆj dAz kˆ , dxdydz
(4. 79)
logo
d3 .[ J p ] [ J p ]dydziˆ [ J p ]dxdzjˆ [ J p ]dxdykˆ , dxdydz
(4. 80)
Como a integração e a operação inversa da diferenciação temos como resultado
.[ J p ]
[ J p ] x
iˆ
[ J p ] y
ˆj
[ J p ] ˆ k, z
(4. 81)
Observe que a operação de divergente sobre o tensor das tensões [ J p ] abaixa a sua ordem dando como resultado o vetor densidade de forças superficiais. Logo, usando o teorema da divergência teremos: 104
FS [ J p ]nˆ.dA .[ J p ]dV ,
(4. 82)
FS . J p dV
(4. 83)
ou seja
V
Veja que a equação (4. 68) fica agora escrita em termos do operador divergente de [ J p ] . Logo teremos que a densidade de forças, f , é igual ao divergente do tensor [ J p ] . Portanto,
f S .[ J p ] ,
(4. 84)
Veja que esta é uma relação que procurávamos pois ela relaciona um fluxo generalizado com uma densidade generalizada. Apesar deste ser um resultado aplicado para forças superficiais ele também á válido para forças volumétricas e para qualquer um dos fluxos definidos anteriormente.
4.4.9 – Tensor das Tensões Generalizado descrito como Fluxo de Momento Observe da equação (4. 22) e (4. 23) que o fluxo de momento pode ser escrito como uma parte normal e outra tangencial, onde a normal é chamada de pressão e a tangencial é chamada de tensão de cisalhamento. De uma forma geral o tensor das tensões pode ser escrito da seguinte forma: [ J p ] ii ij P[I ] ,
(4. 85)
Onde é o tensor das tensões normais e [ ] é chamado de tensor de tensão viscosa ou de cisalhamento. O escalar P é chamado de pressão, I é o tensor unitário (matriz identidade, diagonal). Contudo, a maioria dos fluidos não pode suportar uma tensão normal de tração apreciável (dirigida para fóra do corpo). Exemplo: deposite suavemente uma agulha ou uma argola presa a uma linha de costura sobre a superfície da água contida em uma vasilha plana. Em seguida, tracionando a linha para fóra, tente retirar a agulha ou a argola sobrenadante da superfície do líquido e observe que a película fluida de filme, formada entre a agulha ou a argola e a superfície do líquido, não resiste a esta tração e rompe-se e separando o líquido da agulha ou da argola, conforme mostra a Figura - 4. 19. 105
Figura - 4. 19. Tensão normal aplica a superfície de um fluido.
Para fluidos puramente viscosos, esta pressão pode ser identificada como a pressão termodinâmica. Isto é, a pressão é definida por uma equação de estado relacionando pressão, volume e temperatura. Contudo, no caso de um fluido incompressível, este não é o caso e a pressão é definida como uma variável dinâmica [P] = P(x,y,z). Nós discutiremos isso depois. Detalhes podem ser achados em Frederickson, A. G., Principles and Applications of Rheology, Pretice Hall, NJ. (1964). No caso, esta matriz corresponde ao tensor das tensões dada em (4. 28), onde:
f S .[ J p ]
(4. 86)
como sempre o divergente reduz a ordem do tensor, transformando uma matriz em um vetor, por exemplo, observe que, como f S , é um vetor, necessariamente, as grandezas ii e ij devem fazer parte de uma matriz completa, ou seja, sendo o fluxo J p dado de acordo com a identidade (4. 85) podemos escrever: f S . ii . ij .P[I ]
(4. 87)
Esta equação será muito útil para se deduzir a equação de Navier–Stokes para um fluido viscoso. Mas, por enquanto estamos tratando com fluidos sem viscosidade. Neste caso as componentes tangenciais da matriz dada em (4. 28) são nulas e a matriz é dada apenas em termos de (4. 59), (4. 60) e (4. 63)
Logo, a pressão P deve ser do tipo
106
0 P 0 P[I ] 0 P 0 0 0 P
(4. 88)
Para que se satisfaça a situação de pressão uniforme e isotrópica (em todas as direções) o tensor das tensões deve ser igual a matriz identidade vezes um fator P dado pela pressão termodinâmica, ou seja: 0 P 0 1 0 0 [ J p ] 0 P 0 P 0 1 0 , 0 0 0 1 0 P
(4. 89)
Veja que não pode existir o divergente de um escalar e nesse caso tem-se o gradiente de P. Logo a única situação em que o divergente de um tensor é igual ao gradiente de um escalar é quando este tensor é dado pela matriz identidade, ou seja: 0 P 0 .[ J p ] . 0 P 0 P , 0 0 P
(4. 90)
.[ J p ] .P[I] P
(4. 91)
Logo,
Observe que somente neste caso um divergente é igual a um gradiente. Portanto a partir de
(4. 93) temos que a densidade volumétrica de força
superficial podem ser descritas por meio de gradientes de tensão, como: f S P .
(4. 92)
Logo substituindo (4. 90) em (4. 82) temos: FS PdV ,
conforme será mostrado na fluidoestática.
107
(4. 93)
4. 5 – A Equação Básica da Fluidostática De acordo com o princípio de Pascal para um fluido em repouso temos que:
f R fV f S 0 .
(4. 94)
Substituindo a equação (4. 17) e (4. 84) na equação (4. 94)
g .[ J p ] P 0 .
(4. 95)
Nesta situação de repouso as tensões tangenciais são todas nulas logo a matriz [ J p ] será dada pela equação (4. 59). Considerando ainda o fluido incompressível, temos que as tensões normais no interior do fluido são todas nulas restando apenas a média das tensões devido a pressão no interior do fluido. Logo teremos que
[J p ] 0 .
(4. 96)
g P 0 ,
(4. 97)
E portanto,
que dá origem a equação de Stevin, a qual será vista com detalhes no Capítulo – V. Portanto, encerra-se aqui o capítulo referente a campos escalares e tensoriais para fluidos. Sendo que toda a conceituação matemática desenvolvida neste capítulo será utilizada nos capítulos posteriores. Guarde bem todos os conceitos desenvolvidos até então e boa sorte.
108
4. 6 - Exercícios e Problemas 1. O que é um escalar, um vetor e um tensor?
2. Dois vetores a e b , são dados pelas expressões a xyî y 2 ˆj 2kˆ b x 2iˆ xyjˆ zkˆ
(4. 98)
x2 y 2 . Calcular os seguintes produtos: 2 2 a a) a.b b) axb c) d) x 3. Dois vetores c e d, são dados pelas expressões:
O escalar, , é dado por
c xyzî 2 ˆj y 2 kˆ d x 2 iˆ y 2 ˆj xkˆ
O escalar, , é dado por = xy. Calcular os seguintes produtos: c a) c .d b) cxd c) x 4. Dois vetores r e s, são dados pelas expressões:
(4. 99)
d)
r x 2 yî z 2 kˆ s xziˆ xyzjˆ x 2 ykˆ
(4. 100)
O escalar, , é dado por =1/2( x2 – y2). Calcular os seguintes produtos: s a) r .s b) rxs c) d) z e o escalar, , é dado por xyz . Calcular os seguintes produtos: a)
a.b
b)
(a b ) x
c)
d)
.(a b )
5. Como se define uma densidade generalizada? Explique cada termo da equação 6. Como se define um fluxo generalizado? Explique cada termo da equação? 7. Escrever as matrizes das tensões aplicadas nos objetos das figuras abaixo, designando as tensões de cisalhamento e usando a notação de duplo índice. Diga também, quais dessas tensões são as positivas e as negativas de acordo com a convenção.
a)
b)
Figura - 4. 20.
109
8. Qual é a interpretação física para o vetor gradiente de um escalar? 9. Qual é a interpretação física do divergente de um vetor fluxo, J . 8. Explique com suas palavras qual é o Principio de Pascal e descreva cada temo da equação fundamental da fluidostática (2º Lei de Newton para Fluidos em Repouso). 9. Escreva de forma completa a 2ª Lei de Newton para os Fluidos e explique o que significa cada termo da equação.
110
4. 7 - Referências Bibliográficas - Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson - FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4ª Edição. - SUGAI, A. Y.
Processamento descontínuo do purê de manga. Tese de Mestrado em
Engenharia de Alimentos. USP – 2002. - site disponível em www.imp.cnrs.fr/intranet/fluent6.0/help/html/ug/node285.htm> acesso em 14/04/05 - BILMEYER. Textbook of Polymer Science. Dover publications - Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora. - INCROPERA, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora LTC, 4ª Edição, 1998. - FEYMANN Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41. - Landau & Lifshitz – Teoria da Elasticidade - Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações) - Arfken – Métodos Matemáticos em Física
111
Capítulo – V ESTÁTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTÁTICA RESUMO Neste capítulo serão vistas as noções básicas de equilíbrio de um fluido e qual é a sua condição de repouso ou de movimento uniforme, o Teorema de Pascal e de Stevin. As equações deduzidas neste capítulo serão úteis para o calculo de manômetro, barreiras submersas, determinação do centro de pressão de corpos submersos, equilíbrio de embarcações e corpos flutuantes. Elas também fornecerão subsídios técnicos para os cálculos que se seguirão nos capítulos posteriores.
Palavras Chave: Gradiente de pressão, manômetros, equilíbrio, empuxo, centro de pressão
PACS números:
5. 1 – Objetivos do Capítulo i) Saber definir o gradiente de uma grandeza escalar, ii) entender o significado físico e geométrico do operador gradiente, iii) saber escrever a equação básica do equilíbrio para um fluido estático, iv) entender o principio de Pascal e reconhecer a equação de Stevin aplicando-a a problemas em fluidostática, v) aplicar a equação de Stevin a problemas envolvendo variação de pressão com a altitude, manômetros de pressão, empuxo, forças sobre superfícies planas e curvas, equilíbrio de corpos submersos e flutuantes, distinguir os diferentes tipos de manômetros e de leitura de pressão.
112
5. 2 - Introdução A fluidostática ou o estudo da estática dos fluidos diz respeito ao estudo dos fluidos em repouso, onde o escoamento não acontece, ou seja, a velocidade do fluido é nula, ou seja:
vm 0
(5. 1)
consideração da 1ª Lei de Newton para o repouso, onde a densidade volumétrica de momento linear (que corresponde a medida do escoamento do fluido) é nula, ou seja:
J mvm 0 m 0
(5. 2)
consequentemente a 2ª Lei de Newton para o repouso corresponde a dizer que: Jm 0
(5. 3)
Nesta situação a pressão em todos os pontos no interior de um fluido é normal àquele ponto, inclusive sobre a superfície do recipiente que contém o fluido. Levando-se em consideração esta idéia, calcular a tensão em um ponto no interior de um fluido corresponde simplesmente calcular a pressão neste ponto, uma vez que o tensor das tensões J p , visto na capitulo, anterior se reduz, neste caso, a uma matriz diagonal com todos os valores da diagonal iguais a P . Logo a única forma de um fluido exercer pressão sobre uma superfície é devido a sua força peso, FV mg pela camada de fluido acima do ponto considerado a uma profundidade h e que se igualará à força superficial FS , dada pelo produto da pressão pela área da superfície.
FV FS 0
(5. 4)
Neste sentido temos a seguinte equação:
mg PdA 0
(5. 5)
Tomando-se a medida por unidade infinitesimal de volume temos:
d mg d d mg PdA PdA 0 dV dV dV
ou
113
(5. 6)
dm d g PdA 0 dV dV
(5. 7)
Como a densidade volumética de massa é dada por: dm dV
(5. 8)
d PdA dV
(5. 9)
m E a definição de gradiente é dada por: P
Obtemos equação básica da fluidostática:
m g P 0
(5. 10)
A introdução da equação básica da fluidostática pode ser feita de várias formas, como também foi feita no capitulo anterior a partir da generalização da 2ª Lei de Newton para os Meios Contínuos, considerando o termo de escoamento nulo, conforme a equação (5. 2) acima. A abordagem alternativa feita acima possibilita a introdução da definição do operador gadiente sem o uso de nenhum sistema de coordenada específico. Contudo, esse operador diferencial será desenvolvido na secção a seguir para as coordenadas cartesianas, e para outros sistmemas de coordenadas como o cilíndrico e o esférico está feito nos Apêndices, no finla deste livro.
114
5. 3 – Operadores Diferenciais do Campo Continuo Consideremos um fluido em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Nosso objetivo inicial é obter uma equação que nos permita determinar o campo de pressões no interior da massa fluida. Para tanto, escolhemos um elemento diferencial de massa, dm, de arestas dx, dy e dz, como mostra a Figura - 5. 1.
Figura - 5. 1.Elemento diferencial de volume de um fluido sob forças e pressão em todas as faces.
5.3.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar Vamos agora estudar um novo operador diferencial, o gradiente de uma grandeza. Seu significado físico e suas diferentes representações nos diversos sistemas de coordenadas se encontram no Apêndices. Simplificadamente o gradiente é a variação de qualquer quantidade em relação a sua posição.
O gradiente de uma quantidade é dado pela sua variação em relação a sua posição. Chamamos de gradiente ao operador diferencial que relaciona campos vetoriais e escalares. Como conceito geométrico, o gradiente de um escalar transforma esse escalar em um vetor. Basicamente o gradiente é uma operação de derivada na direção de máxima variação do campo escalar determinando um campo vetorial. Uma forma específica de gradiente, muito útil na Mecânica dos Fluidos, é o gradiente de pressão, que relaciona campos vetoriais e escalares, de tal maneira, que passamos de uma distribuição de pressão, P, (força superficial) para um campo vetorial f (força volumétrica). Esta relação pode ser tomada como base a agora calcular a força superficial sobre as faces do cubo da 115
Figura - 5. 1. Para isso vamos Figura - 5. 1.
Usando-se uma expansão em Série de Taylor até a primeira ordem, a pressão nas faces do cubo da
Figura - 5. 1 pode ser calculada da seguinte forma:
Figura - 5. 2. Expansão em Série de Taylor par a função P(x) = ax +b.
A pressão na face frontal, de área yz, do cubo PF P
P ( xF x ) x
(5. 11)
1 P x 2 x
(5. 12)
ou PF P
A pressão na face traseira, de área yz, do cubo
PT P
P ( xT x) x
(5. 13)
1 P x 2 x
(5. 14)
ou
PT P
A pressão na face esquerda, de área xz do cubo, é dada por:
PL P
P ( yL y) y
ou
116
(5. 15)
PL P
1 P y 2 y
(5. 16)
A pressão na face direita , de área xz, do cubo
PR P
P ( yR y ) y
(5. 17)
1 P y 2 y
(5. 18)
ou
PR P
A pressão na face superior, de área xy, do cubo
PS P
P ( zS z ) z
(5. 19)
1 P z 2 z
(5. 20)
ou PS P
A pressão na face inferior, de área xy, do cubo PI P
P ( zI z) Z
(5. 21)
1 P z 2 y
(5. 22)
ou PI P
Calculado a força superficial resultante ao longo das três direções ortogonais temos que:
FS ( PL PR )xz ( PI PS )xy ( PT PF )yz
(5. 23)
Substituindo as equações (5. 12), (5. 14), (5. 16), (5. 18), (5. 20), (5. 22), em (5. 23) temos:
P P P FS ( )xyziˆ ( )xyzjˆ ( )xyzkˆ x y z Logo 117
(5. 24)
P P P FS ( )iˆ ( ) ˆj ( )kˆ V y z x
(5. 25)
Definindo-se o gradiente de p como sendo a força superficial por unidade de volume, em um ponto:
P
P ˆ P ˆ P ˆ i j k x y z
(5. 26)
FS P V
(5. 27)
FS P V
(5. 28)
A equação (5. 25) fica:
logo
Será mostrado posteriormente que toda vez que houver um gradiente de uma determinada grandeza intensiva, que não se anula, ocorre um fluxo da sua grandeza extensiva correspondente. Esta pode ser chamada de lei de fluxo generalizado de Gibbs.
5.3.2 – Derivada direcional e o significado físico do Vetor gradiente Considere a derivada direcional do campo escalar, dada pela função P(x, y, z), conforme mostra a
Figura - 5. 3.
Esta derivada do campo escalar P na direção de um vetor r é dado por:
dP P nˆ.rˆ dr
(5. 29)
dP P cos dr
(5. 30)
dP P dr
(5. 31)
Como cos nˆ.rˆ temos:
sendo que cos 1 temos:
118
Figura - 5. 3. Derivada direcional na direção rˆ e gradiente de um campo escalar
Portanto o módulo do gradiente corresponde está na direção de máxima variação da derivada direcional, ou máxima variação do campo escalar.
119
5. 4 - Equações Básicas da Fluidoestática Nesta secção veremos a dedução da equação básica da fluidostática a partir da somatória das forças atuantes sobre um ponto no interior de um fluido, tendo como ponto de partida a 2ª Lei de Newton para o repouso, que corresponde a dizer que: fR 0
(5. 32)
5.4.1 - Equilíbrio de forças em um fluido estático - Teorema de Stevin-Pascal Como só existem duas naturezas de forças que podem atuar sobre um fluido, isto é as volumétricas e superficiais, logo para que haja um equilíbrio mecânico em um fluido estático, as somatória das forcas volumétricas deve ser igual a somatória das forças superficiais. FR FV FS
(5. 33)
De acordo com o princípio de Pascal para um fluido em repouso temos que:
f R fV f S .
(4. 101)
Portanto, para que o fluido esteja em equilíbrio (repouso ou em movimento uniforme) a somatória das forças superficiais deve ser igual
a resultante das forças
volumétricas, temos que: Substituindo a equação (4. 17), (4. 84) e a equação (4. 101), temos:
g .[ J p ] P 0 .
(4. 102)
Nesta situação de repouso as tensões tangenciais são todas nulas logo a matriz [ J p ] será dada pela equação (4. 59). Considerando ainda o fluido incompressível, temos que as tensões normais no interior do fluido são todas nulas restando apenas a média das tensões devido a pressão no interior do fluido. Logo teremos que
[J p ] 0 .
(4. 103)
Substituindo (5. 27) em (5. 33) temos:
120
FV P V 0
(5. 34)
Definindo a densidade volumétrica de força como sendo: dFV f dV
(5. 35)
portanto no limite onde V 0 , temos que f P 0
(5. 36)
g P 0 ,
(5. 37)
E portanto,
que dá origem a equação de Stevin, a qual será vista com detalhes no Capítulo – V. Esta equação significa que, para um corpo, toda força aplicada na superfície (força superficial), no caso de um fluido em equilíbrio, se transmite para o seu interior, isto é, para o volume e vice-versa. Esta é uma equação muito geral utilizada em outros ramos da mecânica, tais como, a mecânica da fratura a elastostática dos sólidos, etc. A partir da conclusão geral da equação (5. 36) vamos calcular a variação de pressão em um fluido devido a sua profundidade.
5.4.2 - Variação de Pressão para um Fluido em Repouso Vamos considerar o equilíbrio de forças presente em um fluido em repouso ou em movimento uniforme. Portanto, para o caso de pressão apenas na direção vertical e f = g temos que: P
P z
(5. 38)
Logo substituindo (5. 38) em (5. 36) temos: P g zˆ 0 z
(5. 39)
integrando entre dois pontos de pressão diferentes temos:
P2 P1 g ( z2 z1 )
121
(5. 40)
Para P1 = Pa (pressão atmosférica) com nível de energia potencial gravitacional zero a nível do mar tem-se z1 = 0 e z2 = h. Portanto, para um fluido incompressível e em repouso temos:
P Pa gh
(5. 41)
Esta equação é conhecida como equação de Stevin e será muito útil para resolver problemas de equilíbrio de pressão e de corpos submersos. No caso tratado pela equação (5. 41) não se considera qualquer compressibilidade no fluido, pois poderia ser que mesmo em repouso o fluido fosse comprimido pelo seu próprio peso, o que não acontece.
122
5. 5 – Variação da Pressão com a Elevação (Altitude) A variação da pressão atmosférica com a altitude consiste em uma informação preciosa para estudos atmosféricos e para navegação aérea. Contudo, para o engenheiro de materiais esta informação fica como uma utilização prática da equação do gás ideal juntamente com as equações da fluidostática aprendidas até o presente instante.
5.5.1 - Para um fluido estático compressível. Voltando a equação diferencial (5. 39), relacionado pressão, peso específico elevação, devemos admitir agora que = g é uma variável e é passível de efeitos de compressibilidade. Devemos nos restringir ao gás perfeito (ou ideal), que é válido para o ar ou a maioria de seus componentes para grandes faixas de temperatura e pressão. A equação de estado, contendo v, ajuda-nos a avaliar a necessária variação funcional do peso específico,
, porque 1/v e são relacionadas por suas definições, que são respectivamente, a massa e o peso de um corpo por unidade de volume do corpo. Assim, usando a unidade de massa conveniente, temos para uma massa unitária que: 1 g v
(5. 42)
Se fosse usado a outra unidade para massa (por exemplo, lbm), a relação acima ficaria 1 g v go
(5. 43)
e, como g e go podem ser considerados com os mesmos valores numéricos na maioria das aplicações práticas de fluidos, freqüentemente achamos a relação 1/v = empregada em tais circunstâncias. Devemos formular nossos resultados em termos de slugs (ou kgm) e fazer as conversões apropriadas quando necessário durante a solução dos problemas. Devemos calcular agora a relação entre pressão e elevação para dois casos, a saber, o fluido isotérmico (temperatura constante) e o caso em que a temperatura do fluido varia linearmente com a elevação. Estes ocorrem em certas regiões de nossa atmosfera.
123
5.5.2 – Caso - 1. Gás perfeito isotérmico. Para esse caso, a equação de estado PV = nRT indica que o produto PV é constante pois a temperatura, T, é constante. Assim, em qualquer posição no fluido podemos dizer,
PV PV 1 1 cte
(5. 44)
Onde cte é uma constante e o índice 1 indica dados conhecidos. Resolvendo para v na equação
g g P1 1 cte 1
P
(5. 45)
Devemos admitir que a faixa de elevação é tão pequena que g pode ser considerado constante. Assim P P1 cte C 1 g
(5. 46)
Usando a relação acima, podemos exprimir a equação diferencial básica (5. 39) da seguinte forma: dP P dz C
(5. 47)
Separando as variáveis e integrando de P1 a P e de z1 a z, temos: P2
z
dP dz P P z1 C 1
(5. 48)
Efetuando a integração obtemos: z ln P P1 C
z
P
(5. 49) z1
Substituindo os limites, a equação fica
ln
P 1 ( z z1 ) P1 C
Da equação (5. 46), temos que P1/1 = C, e resolvendo para P, obtemos
124
(5. 50)
P P1 exp ( z z1 ) P1
(5. 51)
Isso nos fornece a relação desejada entre elevação e pressão em termos das condições conhecidas P1, 1, na elevação z1. Se a referência (z = 0) é colocada na posição dos dados fornecidos, então z1, na equação acima, pode ser considerada nula.
5.5.3 - Caso – 2. A temperatura varia linearmente com a elevação. A variação de temperatura para esse caso é dada por:
T T1 Kz
(5. 52)
Onde T1 é a temperatura na referência (z = 0) e K é uma constante é vale 0,0065K/m até uma altitude, h = 11.000m. A fim de podermos separar as variáveis da equação (5. 41), devemos resolver para da equação de estado e, além disso, determinar dz pela equação (5. 52). Esses resultados são: P
nRoT nM o Ro 4 T ( ) V V Mo
(5. 53)
M RT RT V
(5. 54)
Pg RT
(5. 55)
dT K
(5. 56)
e P
onde:
e derivando a equação (5. 52) obtemos: dz
Substituindo na equação (5. 41), obtemos, após reordenar os termos, dP g dT P KR T
4
(5. 57)
Observe que a constante universal dos gases Ro = 8,31451J/K.mol é diferente do valor R = Ro/Mo, que é específico para o gás considerado, devido ao acréscimo da massa molecular, Mo.
125
Para integrar essa equação, devemos conhecer como g varia com a temperatura ou com a pressão, para este problema. Entretanto, devemos admitir outra vez que g seja constante. Assim, integrando da referência (z = 0), onde P1, T1, etc. são conhecidas, temos:
T P g T ln ln 1 ln 1 P1 KR T T
g / KR
(5. 58)
Resolvendo para P e substituindo a temperatura T por T1 + Kz, encontramos para expressão final.
T1 P P1 T1 Kz
g / KR
(5. 59)
Onde se deve observar que T1, deve ser em graus absolutos. Ao concluir esta secção sobre fluidos compressíveis estáticos, devemos ressaltar que se conhecemos a forma pela qual o peso específico varia, podemos usualmente separar as variáveis na equação básica (5. 41) e integrá-la para obter uma equação algébrica entre pressão e elevação.
126
5. 6 - Manometria Na secção anterior, estudamos as leis de variação das pressões. Agora veremos a Manometria, isto é, a medida das pressões.
5.6.1 - Atmosfera normal De acordo com a experiência de Torricelli o valor da pressão atmosférica ao nível do mar é: Pa 1,0121833.105 N m 2 1, 0121833.105 Pa 10328kgf / m 2 1, 033kgf / cm 2 760mmHg
(5. 60)
Esta atmosfera física ou atmosfera normal que equilibra uma coluna de mercúrio com 760 mm de altura.
Figura - 5. 4. Barômetro demTorricelli.
5.6.2 - Atmosfera técnica (metros de coluna de água MCA) Para simplificar, é costume adotar Pa 10.000kgf / m2 1kgf / cm 2
(5. 61)
Que é chamada de atmosfera técnica Se, em vez de mercúrio, Torricelli tivesse usado a água ( = 1000 kgf/m3), o valor da atmosfera técnica corresponderia a 10mca (10 metros de coluna de água): 127
Pa 1atm 10.000kgf / m 2 1kgf / cm 2 10mca 0,968 An 736mmHg
(5. 62)
5.6.3 - Atmosfera local A pressão atmosférica diminui quando a altitude aumenta: a coluna de mercúrio desce, aproximadamente 1mm para cada 15m de aumento de altitude. Para um ponto a 900m de altitude, a atmosfera local será, de 900/15 = 60mmHg, logo Pa 13590.(0, 76 0, 60) 93227, 4 N m 2 93227, 4 Pa 9.513kgf / m 2 0,951kgf / cm 2
(5. 63)
Portanto, para uma altura qualquer tem-se: Pa m g (0, 76 m
0, 001m altitude) 15m
(5. 64)
onde m = 13590Kg/m3 é a densidade do mercúrio ou do liquido barométrico, g é aceleração da gravidade local ao nível do mar e equivale a g = 9,8m/s2.
5.6.4 - Pressão efetiva e pressão absoluta Na medição das pressões em diferentes pontos de um fluido em repouso, como os pontos A e B mostrados na Figura - 5. 5, toma-se Pa (pressão atmosférica) como referência ou origem das medidas. Cada uma das medições será a pressão efetiva no ponto.
Figura - 5. 5. Pressão em diferentes pontos de um fluido em repouso.
128
Essa pressão efetiva pode ser: positiva, quando for superior a Pa e negativa quando for inferior a Pa (vácuo parcial), nula, quando for igual a Pa. A pressão efetiva é igual a pressão manométrica. A pressão em um ponto também pode ser medida a partir do zero absoluto (vácuo perfeito ou total) obtendo-se a pressão absoluta que é sempre positiva. Para os pontos citados acima têm-se: PA Pa PAef
(5. 65)
PB Pa PBef
(5. 66)
e
5.6.5 - Definições i) Manômetro: é um instrumento usado para medir a pressão efetiva ii) Vacuômetro: é um manômetro que indica as pressões efetivas negativas, positivas e nulas iii) Piezômetro: é a mais simples forma de um manômetro, mede somente pressões em um líquido. iv) Barômetro: mede o valor absoluto de pressão atmosférica. v) Altímetro: é um barômetro construído especialmente para medir a altitude, esses podem ser encontrados no painel de aeronaves medindo a altitude em relação ao nível do mar.
129
5.6.6 - Classificação dos Manômetros Os manômetros se classificam em manômetro de líquidos e manômetros metálicos. i) Manômetros de líquidos: esses manômetros são tubos recurvados contendo líquidos manométricos, conforme mostra a a - 5. 6.
Figura - 5. 6. Manômetro líquidos a) com uma extremidade em contato com a atmosfera b) com as duas extremidades em contato com a atmosfera.
ii) Manômetros metálicos: são aqueles que medem a pressão do fluido por meio da deformação de um tubo metálico recurvado ou de um diafragma que cobre o recipiente hermético do metal.
5.6.7 – Tipos de manômetros i) Manômetro diferencial: é o manômetro de líquido utilizado para medir a diferença de pressão entre dois pontos ii) Micromanômetro: é o manômetro utilizado para medir pressões muito pequenas, quando se torna dificil e impreciso a leitura das alturas manométricas em tubos verticais. Para uma melhor leitura, inclina-se o tubo manométrico sob um ângulo com a horizontal.
130
5. 7 – Forças Sobre Superfícies Planas Submersas Vamos agora estudar as forças hidrostáticas que atuam sobre uma superfície plana submersa em um fluido incompressível estático. O objetivo desta parte é calcular e força hidrostática resultante para que seja possível estimar a resistência mecânica de uma barreira submersa. Como é estático não há tensão de cisalhamento, logo a força deve ser normal à superfície.
5.7.1 – Centro de Massa ou Gravidade de uma Placa Plana O Centro de Gravidade ou Centro de Massa é definido como a posição geométrica que equivale fisicamente a concentração de toda a massa do corpo (inércia ou dificuldade de transladar um corpo) em um único ponto com a finalidade de descrever o movimento do corpo. O Centro de Gravidade ou Centro de Massa de uma placa submersa pode ser calculado a partir da sua definição e da geometria do corpo, da seguinte forma: 1 rcm rdm M
(5. 67)
Sendo a posição do Centro de Massa dado por , rcm xcmiˆ ycm ˆj , as suas cooredenadas são
definidas como:
1 xdm M 1 ydm M
xcm ycm
(5. 68)
Onde dm / dA M / A dm dA temos:
1 x dA M 1 y dA M
xcm ycm
Para uma densidade cte temos:
131
(5. 69)
xdA M ycm ydA M
(5. 70)
1 xdA A 1 ydA A
(5. 71)
xcm
Ou xcm ycm
Por outro lado, podemos usar para o conceito de Centro de Massa para calcular o momento linear p definido para uma translação pura. Desta forma, o momento linear mede a dificuldade de transladar um corpo em relação ao Centro de Massa, o qual é definido por:
p mv
(5. 72)
Para o caso de uma distribuição contínua de massa em um corpo sólido temos:
dp vdm
(5. 73)
p vdm
(5. 74)
Integrando temos:
Sendo p mdr / dt , podemos escrever: d p rdm dt
(5. 75)
Considerando uma densidade dm / dV , podemos escrever:
p v dV
(5. 76)
d p r dV dt
(5. 77)
podemos escrever:
Para uma distribuição uniforme de massa em relação ao volume, temos:
d p rdV dt
132
(5. 78)
ou usando a definição de Centro de Massa temos: d p Mrcm dt
(5. 79)
Pela 2ª Lei de Newton para translações puras, a força é a derivada do momento linear em relação ao tempo. Logo, para o caso de uma distribuição contínua de massa em relação ao volume de um corpo sólido temos:
dp d F v dV dt dt
(5. 80)
dp d 2 rdm dt dt 2
(5. 81)
ou ainda
F
ou usando a definição de Centro de Massa temos:
F
dp d 2 2 Mrcm dt dt
(5. 82)
No caso, esta é uma equação muito útil para calcular o movimento de um corpo rígido. Pois centraliza todas as forças, tornando a descrição do centro de massa uma representação matemática de todo o corpo.
133
5.7.2– A Força Resultante sobre a Placa no Centro de Pressão Considere uma barreira de altura, h que é colocada para conter um volume de água, entre os lados montante de jusante, conforme é mostrado na Figura - 5. 1,
Figura - 5. 7. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do Centro de Massa.
A equação de Stevin-Pascal dada por (5. 41) possui dois termos, um constante que não depende da altura da barreira e é igual a pressão atmosférica e um outro que depende da altura da barreira: P Pa gh
(5. 83)
Como vemos pela Figura - 5. 7 cada um desses termos originará um tipo de força sobre a placa plana. F PdA Pa gh dA
(5. 84)
Um tipo de força será uniforme ao longo de toda a profundidade da placa
Fa Pa A
(5. 85)
e o outro um termo será uma força crescente linearmente com a profundidade da placa, ou seja:
Fh ghdA
(5. 86)
Portanto, para fins de análise da força com a profundidade o segundo termo é o que nos interessa.
134
5.7.2– A Força Resultante sobre a Placa no Centro de Pressão Considere a
Figura - 5. 8, onde a pressão, P, em uma altura, h, qualquer é
dada por:
P Pa gh
(5. 87)
Figura - 5. 8. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do Centro de Massa.
Portanto, se quisermos calcular a força resultante sobre a placa, desprezando-se a pressão atmosférica, esta é dada por:
F PdA ghdA hdA
(5. 88)
Como uma altura, h, qualquer é dada por:
h y sen
(5. 89)
hcm ycm sen
(5. 90)
Logo, teremos que:
Onde é o ângulo de inclinação da placa submersa. A força resultante, FR, é dada a partir da substituição de (5. 89) em (5. 88), onde:
FR gy sen dA 135
(5. 91)
ou FR y sen dA sen ydA
(5. 92)
???
De acordo com o desenvolvimento matemático feito nos Apêndices , nós sabemos que o Centro de Massa de uma placa é dado por:
1 xdA A 1 ydA A
xcm ycm Logo, a integral
ydA y
cm
(5. 93)
A , então a equação (5. 92) fica: FR sen ycm A
(5. 94)
Usando (5. 90) em (5. 94) ficamos com: FR hcm A pcm A
(5. 95)
Vemos que esse resultado, embora pareça óbvio para uma força calculada por uma integral onde a pressão é constante, aqui não é o caso, pois a princípio a pressão considerada dependia da altura, e que após a operação matemática de integração tornou esta expressão simplesmente descrevendo tudo em termos do centro de massa. O que não poderia ser previsto a principio se todo o cálculo da integral não fosse realizado. Contudo, devemos lembrar que este é um resultado típico de forças que atuam em corpos rígidos. C Embora a força resultante seja dada em termos do centro de massa veremos mais adiante que seu ponto de aplicação pode não coincidor com o centro de massa, sendo este o motivo pelo qual o cálculo de seu ponto de aplicação é realizado. A força sobre o centro de pressão já calculamos, portanto, vamos calcular o torque resultante sobre a placa da forma descrita a seguir:
136
5. 8 – Torque Sobre Superfícies Planas Submersas O centro de pressão da placa submersa poderá ser em um ponto diferente do Centro de Massa e, por isso, um torque poderá se desenvolver sobre esta placa tentando girála em torno de sua posição de equilíbrio.
5.8.1 – O Momento de Inercia O Momento de Inércia ou Segundo Momento é definido como a quantidade física que corresponde a dificuldade de rotacionar um corpo ao redor de um eixo. Ele é utilizado com a finalidade de descrever o movimento de rotação de um corpo. O Momento de Inércia de uma placa submersa pode ser calculado a partir da sua definição e da geometria do corpo, da seguinte forma:
I r 2dm
(5. 96)
Sendo o posição de referencia para o calculo do Momento de Inércia dado por , r xiˆ yjˆ zkˆ , as suas componentes são definidas como: I xx x 2 dm ; I xy xydm ; I xz xzdm I yx yxdm ; I yy y 2 dm ; I yz yzdm
(5. 97)
I zx zxdm ; I zy zydm ; I zz z 2 dm
Onde dm / dA M / A dm dA temos:
I xx x 2 dA ; I xy xy dA ; I xz xz dA I yx yx dA ; I yy y 2 dA ; I yz yz dA
(5. 98)
I zx zx dA ; I zy zy dA ; I zz z 2 dA Para uma densidade cte temos:
I xx x 2 dA ; I xy xydA ; I xz xzdA I yx yxdA ; I yy y 2 dA ; I yz yzdA I zx zxdA ; I zy zydA ; I zz z 2dA ou
137
(5. 99)
I xx x 2 dA ; I yx yxdA ; I zx zxdA ;
I xy
I xz xzdA I yy I y 2 dA ; yz yzdA I zy I zydA ; zz z 2 dA xydA ;
(5. 100)
Por outro lado, podemos usar para o conceito de Momento de Inércia para calcular o momento angular L definido para uma rotação pura. Desta forma, o momento angular mede a dificuldade de se girar um corpo em relação a algum eixo, o qual é definido por:
L mv r
(5. 101)
Para o caso de uma distribuição contínua de massa em um corpo sólido temos: dL v r dm
(5. 102)
L v r dm
(5. 103)
v rrˆ rˆ
(5. 104)
Integrando temos:
Como
Temos: L rrˆ rrˆ rˆ rrˆ dm
(5. 105)
L ˆ rˆ r 2 dm
(5. 106)
L zˆ r 2 dm
(5. 107)
Logo
ou
Usando a definição de Momento de Inércia como sendo:
I r 2 dm
(5. 108)
temos que:
138
L I zˆ
(5. 109)
Considerando uma densidade dm / dV , podemos escrever: L v r dV
(5. 110)
Pela 2ª Lei de Newton para rotações puras, o torque é a derivada do momento angular em relação ao tempo. Logo, para o caso de uma distribuição contínua de massa em relação ao volume de um corpo sólido temos: dL d T r dp dt dt
(5. 111)
dL d T r v dm dt dt
(5. 112)
dL d T r v dV dt dt
(5. 113)
dL d 2 2 T r ˆdm dt dt 2
(5. 114)
ou
ou ainda
Ou
ou usando a definição de Centro de Massa temos:
dL d 2 T I ˆ dt dt 2
(5. 115)
O conceito de centro de massa e de momento de inércia tornam mais simples os cálculos realizados para corpos rígidos, fazendo o movimento, tanto o de translação como o de rotação, ser descrito matemáticamente como se fosse uma partícula.
139
5. 9 – O Centro de Pressão O centro de pressão é definido como a posição geométrica que equivale fisicamente a concentração de toda a pressão exercida sobre um corpo em um único ponto com a finalidade de descrever as forças de superfície que atua sobre uma superfície, conforme mostra a Figura - 5. 9.
Figura - 5. 9. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do Centro de Massa.
O cálculo do centro de pressão é feito a partir de uma equação de equilíbrio rotacional, pois como o centro de pressão da placa submersa poderá ser em um ponto diferente do centro de massa e, por essa razão, um torque poderá se desenvolver sobre esta placa tentando girá-la em torno de sua posição de equilíbrio.
140
5.9.1– Cálculo da Coordenada y’ do Centro de Pressão A coordenada ycp do Centro de Pressão pode ser calculada usando a equação do Torque: Ty FR ycp
(5. 116)
Por outro lado, o torque é dado pela composição de todos os elementos de força sobre a placa integrada sobre toda sua área, ou seja: Ty FR ycp h ydA sen y 2 dA y sen
(5. 117)
I yy
De acordo com o desenvolvimento matemático feito nos Apêndices , nós sabemos que o Momento de Inércia de uma placa é dado por: Logo ycp
sen I yy FR
(5. 118)
Substituindo (5. 94) em (5. 118) temos: ycp
I yy
(5. 119)
ycm A
Sabemos pelo teorema dos eixos paralelos que: I yy I yycm Ayc 2
(5. 120)
Logo substituindo (5. 120) em (5. 119) temos: ycp
I Ayc 2 yc A yc A
(5. 121)
Onde a coordenada do centro de pressão é dada por:
ycp ycm
I yycm ycm A
141
(5. 122)
5.9.2– Cálculo da Coordenada x’ do Centro de Pressão Analogamente, a coordenada xcp do Centro de Pressão pode ser calculada usando a equação do Torque: Tx FR xcp
(5. 123)
Por outro lado, o torque é dado pela composição de todos os elementos de força sobre a placa integrada sobre toda sua área, ou seja: Tx FR xcp h xdA sen xydA y sen
(5. 124)
I xy
Logo xcp
sen I xy FR
(5. 125)
Substituindo (5. 94) em (5. 118) temos: xcp
I xy
(5. 126)
ycm A
Sabemos pelo teorema dos eixos paralelos que: I xy I xycm Axcm ycm
(5. 127)
Logo substituindo (5. 120) em (5. 119) temos: xcp
I Ax y c c ycm A ycm A
(5. 128)
Onde a coordenada do centro de pressão é dada por:
xcp xcm
I xycm ycm A
142
(5. 129)
Observe que: xcp ycm
(5. 130)
ycp ycm
(5. 131)
e
Quando será que xcp xcm e y ycm ? Para sabermos isso devemos multiplicar a equação (5. 122) por sen e obteremos:
xcp sen xcm sen ycp s en ycm sen
I xycm ycm A I yycm ycm A
sen
(5. 132) sen
o qual a partir de (5. 89) e (5. 90) fornece: hcp hcm
I yycm ycm A
(5. 133)
sen
Logo, o termo sen deve ser nulo e isso só acontecerá quando o ângulo for igual a zero. Portanto, isso só acontecerá quando a placa estiver na horizontal, h´ hc , ou quando I = Iyy, ou seja, quando yc = 0, para constatar observe a
Figura - 5. 10 e a
Figura - 5. 11.
Figura - 5. 10. Placa na horizontal, centro de pressão coincidente com o Centro de Massa do corpo.
143
Figura - 5. 11. Centro de pressão coincidente com o Centro de Massa do corpo.
Nos exercícios haverá muitas aplicações a problemas de placas planas como barreiras e será necessário conhecer o Momento de Inércia destas barreiras para os cálculos de hidrostática.
Figura - 5. 12. Placa retangular plana e o Centro de Massa do corpo.
Portanto, para uma placa plana retangular de lados b e l o Momento de Inércia vale: I CM
bl 3 12
(5. 134)
Para o problema de haver um apoio fixo na placa no ponto de coordenadas (x = 0, y = l) de uma barreira articulada, o torque da força é dado por: P. y FR ( y ycp )
144
(5. 135)
Figura - 5. 13. Placa apoiada sobre a extremidade fixa x = 0 e y = l, na forma de barreira articulada.
Figura - 5. 14. O centro geométrico e o momento de inércia de algumas figuras planas
145
5. 10 – Forças sobre Superfícies Curvas Submersas Para barreiras curvas a força resultante será dada por:
FR sen ydA sen ydA .
(5. 136)
Para barreiras nos três eixos cartesianos temos: FR FRxiˆ FRy ˆj FRz kˆ .
(5. 137)
Mas o gradiente de pressão só possui componente z, ou seja:
P
P . z
(5. 138)
E para barreiras curvas temos:
Figura - 5. 15. Forças de pressão sobre barreiras curvas submersas.
146
5. 11 – Empuxo em Corpos Submersos A partir da equação de Stevin vamos considerar a resultante das forças sobre um corpo de geometria qualquer, tomando um elemento cilíndrico de área, dA, conforme mostra a Figura - 5. 16.
Figura - 5. 16. Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , .
dFR dF2 dF1
(5. 139)
dFR p2 dA p1dA
(5. 140)
Onde
Usando a equação de Stevin dada em (5. 41) temos: dFR ( Pa gh2 ) dA ( PA gh1 ) dA
(5. 141)
dFR g (h2 h1 )dA
(5. 142)
Logo
Mas h = h2 –h 1, é a altura do cilindro elementar inscrito no corpo de volume total, V, logo
dFR ghdA Integrado sobre todo o volume do corpo temos:
147
(5. 143)
dFR g hdA
(5. 144)
FR g dV
(5. 145)
FR gV
(5. 146)
Portanto
Ou simplesmente
Observe que é a densidade do fluido e V é o volume deslocado pelo corpo submerso. Portanto, o empuxo sobre um corpo de geometria qualquer é proporcional ao seu volume,V, que corresponde ao volume deslocado do fluido, que foi substituído pela presença do corpo. Este princípio é chamado de Principio de Arquimedes, pois foi ele que descobriu ao utilizar o cálculo para resolver o problema da coroa de Hirão na Grécia Antiga.
Figura - 5. 17. a) Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , comparado ao volume deslocado desse fluido; b) Sustentação de corpos de diferentes densidades imersos em um fluido
148
5. 12 – Equilíbrio de Corpos Flutuantes Vamos agora estudar uma parte da Mecânica dos Fluidos que possui grande aplicação a Engenharia Naval. Se um corpo está imerso ou flutua em um líquido, a força que nele atua denomina-se “empuxo de flutuação”.
Figura - 5. 18.
149
5. 13 – Exercícios e Problemas 1. Escreva a equação básica da Estática dos Fluidos e dê o significado de cada termo e da equação como um todo. 2. A partir da equação básica da estática dos Fluidos desenvolva-a e encontre a Lei de Stevin P = Pa + gh. 3. Defina as condições de pressão e temperatura para a atmosfera padrão. 4. Diga qual é a diferença entre pressão absoluta e manométrica. 5. Uma pressão de 20psi é medida em uma profundidade de 20ft. Calcule a densidade e a massa específica do líquido se p = 0 na superfície. 6. A densidade de um líquido varia linearmente de 1,0 na superfície a 1.1 na profundidade de 10m. Calcule a pressão em h = 10m. 7. Estime a pressão a 10.000m, supondo uma atmosfera isotérmica com as temperaturas: a) 0oC
b) 15oC
c) –15oC .
8. Determinar a diferença de pressão entre a tubulação de água e a tubulação de óleo mostrada na Figura abaixo: 9. Qual a pressão na tubulação de óleo mostrada na Figura, se a pressão na tubulação de água é 15KPa. 10. A pressão na tubulação de água no Problema anterior é aumentada a 15,5KPa, enquanto a pressão da tubulação de óleo permanece constante. Qual será a nova leitura do manômetro. (valor 1.0 ponto). 11. Um bloco de ferro com 5Kg está pendurado em um dinamômetro e é imerso em um líquido de densidade desconhecida. A escala do dinamômetro indica um peso aparente de 6,16N. Qual é a densidade do líquido.
150
Figura - 5. 19.
Solução O resultante das forças em um corpo, imerso em um fluido, é dado pelo peso aparente, Pap, que nada mais é do que a subtração do peso do corpo, P, pelo empuxo, E. Pap P E ,
(5. 147)
Explicitando os termos em termos da massa do corpo, mc, da aceleração da gravidade, g, da densidade do líquido, liq, e do volume do corpo, Vc, temos: Pap mc g liq gVc
(5. 148)
Logo, a densidade do líquido é dada por:
liq
onde Vc
( mc g Pap ) gVc
mg Pap mc g
c ,
(5. 149)
mc . Observe que é um ótimo método para determinar a densidade de um fluido. c
12. Demonstre que para qualquer ponto B, no interior da massa fluida, tem-se:
PB z B cons tan te
151
Figura - 5. 20.
13. Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2kgf/cm2 e 1,3kgf/cm2 respectivamente. Determine o valor de hm da deflexão do mercúrio da figura abaixo:
Figura - 5. 21.
14. Defina pressão em um ponto e a variação de pressão através de um elemento infinitesimal de volume 15. Baseado na equação F
PdA explique como a profundidade e a área de uma
superfície plana submersa influencia na força de pressão sobre ela. 16. Explique como e porque razão acontece o empuxo. 17. A superfície inclinada da Figura é articulada , ao longo de 5m de largura. Determinar o empuxo FR, da água sobre esta superfície. A componentes x’e y’do centro de pressão.
152
Figura - 5. 22.
18. Água flui sob uma comporta instalada à entrada de um canal de leito horizontal. A face de montante da comporta o nível da água está a 1,5ft de altura e a velocidade é desprezível. Na secção contraída, sob a comporta, as linhas de corrente são retas e a profundidade dágua mede 2,0 polegadas. A pressão distribui-se hidrostaticamente e o escoamento pode ser considerado uniforme em cada secção. O atrito é desprezível. Determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão, em pés cúbicos por segundo, por pé de largura.
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5. 14 – Referências Bibliográficas - Merle C. Potter e David C. Wiggert, MECÂNICA DOS FLUIDOS, Editora Thomson - FOX, R. W., McDonald, A. T., Introdução á Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan, 4ª Edição. - Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol I e II, Editora Edgard Blücher - BASTOS, Francisco de Assis, Problemas de Mecânica dos Fluidos, LTC Editora. - Incropera, P. I., DeWitt, D. P. Fundamentos da Transferência de Calor e Massa, Editora LTC, 4ª Edição, 1998. - FEYMANN, Richard, Lectures on Physics Vol – II Caps. 38, 39, 40, 41. - Landau & Lifshitz – Teoria da Elasticidade - Fetter & Walescka – Mecânica dos meios Contínuos (Exemplo e Aplicações) - Arfken – Métodos Matemáticos em Física.
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