17
Temperatura 557
LO QUE APRENDEREMOS
17.1 Definición de temperatura Escalas de temperatura
17.2 17 .2 Rangos de temperatura Ejemplo 17.1
PARTE 4 FÍSICA TÉRMICA
Temperatura ambiente
Investigación en la frontera de las bajas temperaturas Investigación en la frontera de las altas temperaturas
17.3 Medición de la temperatura 17.4 Expansión térmica Expansión lineal
557 558 559 561 561 562 563 563 564
Ejemplo 17.2
Expansión térmica del puente Mackinac Problema resuelto 17.1 Tira bimetálica
Expansión superficial
Problema resuelto 17.2
Expansión de una
placa con un agujero
Expansión volumétric volumétricaa
Ejemplo 17.3
564 565 567 567 569
Expansión térmica de la
gasolina
17.5 Temperatura superficial de la Tierra
570 571
Ejemplo 17.4
Subida del nivel del mar debido a la expansión térmica del agua
17.6 Temperatura del universo LO QUE HEMOS APRENDIDO/ GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN Práctica para resolución de problemas
572 573
574 575
Problema resuelto 17.3
Expansión lineal de una barra de acero y una barra de latón
Preguntas de opción múltiple Preguntas Problemas
575 576 576 577
FIGURA 17.1
El cúmulo estelar conocido como las Pléyades o las Siete Hermanas.
17.1
Definición de temperatura
LO QUE APRENDE REMOS ■ La temperatura se mide usando varias y diferentes
■ Calentar una barra larga y delgada de metal causa
propiedades de ciertos materiales.
■ La escala de temperatura Fahrenheit Fahrenheit establece la ■ ■
temperatura del punto de congelación del agua en 32 °F y el punto de ebullición del agua en 212 °F. La escala de temperatura Celsius establece la temperatura del punto de congelación del agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C. La escala de temperatura Kelvin se define en términos de una temperatura del cero absoluto o la menor temperatura a la cual cualquier objeto podría existir. En la escala de temperaturas Kelvin, el punto de congelación del agua es de 273.15 K y el punto de ebullición del agua es de 373.15 K.
■ ■ ■
que su longitud se incremente linealmente con la temperatura, medida en K. Calentar un líquido por lo general causa que su volumen se incremente linealmente con la temperatura, medida en K. La temperatura superficial promedio promedio de la l a Tierra era de 14.4 °C en 2005 y se incrementó en 1 °C en los 155 años anteriores. El análisis de la radiación cósmica de fondo en microondas muestra que la temperatura del universo es de 2.725 K.
El cúmulo estelar de las Pléyades, mostrado en la figura 17.1, puede verse a simple vista y ya era conocido por los antiguos griegos. Lo que ellos no sabían es que estas estrellas muestran algunas de las mayores temperaturas que ocurren en la naturaleza. La temperatura superficial de estas estrellas varía de 4 000 a 10 000 °C, dependiendo del tamaño y otros factores. Sin embargo, las temperaturas interiores pueden alcanzar más de 10 millones de °C, suficientemente calientes como para vaporizar cualquier sustancia. En el otro extremo del rango de temperaturas, el espacio mismo, lejos de cualquier estrella, registra una temperatura de unos –270 °C. Este capítulo comienza nuestro estudio de la termodinámica, incluyendo los conceptos de temperatura, calor y entropía. En el sentido más amplio, la termodinámica es el estudio de la energía y la l a transferencia transferencia de la energía: cómo se almacena la energía, cómo se transforma de un tipo en otro y cómo se puede hacer que esté disponible para hacer trabajo. Examinaremos la energía a un nivel atómico y molecular, lo mismo que el nivel macroscópico de los motores y las máquinas. Este capítulo le da un vistazo a la temperatura: cómo se define y se mide y cómo los cambios en la tempera temperatura tura pueden afectar a los objetos. Consideraremos Consideraremos varias escalas con las cuales cuantificar la temperatura, lo mismo que los rangos de temperaturas temperaturas observados en la naturaleza y el laboratorio. En términos prácticos, es casi imposible describir la temperatura sin también discutir acerca del calor, el cual es sujeto del capítulo 18. Asegúrese de tener presente las diferencias entre estos conceptos cuando estudie los siguientes capítulos.
17.1 Definición de temperatura La temperatura es un concepto que todos entendemos a partir de la experiencia. Escuchamos los pronósticos del clima que nos dicen que hoy la temperatura será de 72 °F. Escuchamos a los doctores que la temperatura de nuestro cuerpo es de 98.6 °F. Cuando tocamos un objeto, podemos decir si está caliente o frío. Si ponemos un objeto caliente en contacto con uno frío, el objeto caliente se enfriará y el objeto frío se calentará. Si medimos las temperat temperaturas uras de estos dos objetos después de que ha pasado algún tiempo, éstas serán iguales. Los dos objetos estarán entonces en equilibrio térmico. El calor es la transfer transferencia encia de un tipo de energía. Esta energía, llamada en ocasiones energía térmica, se encuentra en la forma de movimiento aleatorio de los átomos y moléculas que componen a la materia estudiada. El capítulo 18 cuantificará cuantificará el concepto de calor como energía térmica que se transfiere debido a una diferencia de temperatura. La temperatura de un objeto está relacionada con la tendencia de un objeto a transferir calor desde o hacia sus alrededores. El calor se transferirá de un objeto a sus alrededores si la temperatura del objeto es mayor que la de sus alrededores. El calor se transferirá al objeto si su temperatura es menor que sus alrededores. Note que el frío es simplemente la ausencia de calor; no hay nada como la transferencia de “frialdad” entre un objeto y sus alrededores. Si un objeto se siente frío al tacto, es simplemente simplemente una consecuencia de que el calor se está transfirien transfiriendo do de sus dedos al
557
558
Capítulo 17
Temperatura
objeto. (Ésta es la definición defin ición macroscópica de la temperat temperatura, ura, veremos en el capítulo c apítulo 19 que en un nivel microscópico, la temperatura es proporcional a la energía cinética del movimiento aleatorio de las partículas.) Medir la temperatura depende del hecho de que si dos objetos están en equilibrio térmico con un tercer objeto, están en equilibrio térmico uno con el otro. Este tercer objeto podría ser un termómetro , el cual mide la temperatura. Esta idea, a menudo llamada la ley cero de la termodinámica, define el concepto de temperatura y subyace a la habilidad de medir la temperatura. Esto es, con objeto de encontrar si dos objetos tienen la misma temperatura, usted no necesita ponerlos en contacto térmico y monitorear si la energía térmica se transfiere (lo cual podría ser difícil o incluso imposible en algunos casos). En lugar de esto, puede usar un termómetro y medir la temperatura de cada objeto por separado; si sus lecturas son las mismas, usted sabe que los objetos tienen la misma mis ma temperatura. Las mediciones de la temperatura pueden tomarse usando cualquiera de varias escalas comunes. Examinemos éstas.
Escalas de temperatura
.3
.4
.2 .1
.5 .6
P 0
Escala Fahrenheit Se han propuesto y usado varios sistemas para cuantificar la temperatura; los más ampliamente usados son las escalas escal as Fahrenheit, Celsius y Kelvin. La escala de temperatura Fahrenheit fue propuesta en 1724 por Gabriel Fahrenheit, científico nacido en Alemania que vivía en Amsterdam. Fahrenheit también inventó el termómetro de expansión de mercurio. La escala Fahrenheit ha pasado a través de varias iteraciones. Fahrenheit finalmente definió la unidad de la escala Fahrenheit (°F), al fijar 0 °F para la temperatura de un baño de agua con sal, 32 °F para el punto de congelación del agua y 96 °F para la temperatura del cuerpo humano, medida bajo el brazo. Más tarde, otros científicos definieron el punto de ebullición del agua como de 212 °F. Esta escala de temperatura se usa ampliamente en Estados Unidos.
.7
Escala Celsius Anders Celsius, astrónomo sueco, propuso la escala de temperatura Celsius , a menudo llamada la escala centígrada, en 1742. Varias iteraciones de esta escala dieron por resultado la unidad de la escala Celsius (°C) determinada al establecer el punto de congelamiento del agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C (a presión atmosférica normal). Esta escala de temperatura se usa en todo el mundo, excepto en Estados Unidos. Agua con hielo 0 °C a)
.3
.4
.1
.5 .6
.2
P 0
.7
Agua hirviente 100 °C b)
FIGURA 17.2 Una esfera de aluminio hueca se embona con un manómetro y se llena con nitrógeno gaseoso. a) El recipiente se mantiene a 0 °C, colocándolo en agua con hielo. b) El recipiente se mantiene a 100 °C, colocándolo en agua hirviente.
Escala Kelvin En 1848, William Thomson (Lord Kelvin), físico inglés, propuso otra escala de temperatura, la cual se llama ahora la escala de temperatura Kelvin . Esta escala está basada en la existencia del cero absoluto, la temperatura mínima posible. Se estudió el comportamiento de la presión de los gases a un volumen fijo como función de la temperatura, y el comportamiento observado se extrapoló a presión cero para establecer esta temperatura de cero absoluto. Para ver cómo funciona esto, suponga que tiene un volumen fijo de nitrógeno gaseoso en un recipiente de aluminio esférico hueco conectado a un manómetro (figura 17.2). Hay suficiente nitrógeno gaseoso en el recipiente de manera que cuando el recipiente se sumerge en un baño de agua con hielo, el manómetro marca 0.200 atm. Entonces ponemos el recipiente en agua hirviente. El manómetro marca ahora 0.273 atm. Por lo tanto, la presión se ha incrementado mientras el volumen ha permanecido constante. Suponga que repetimos el procedimiento con distintas presiones iniciales. La figura 17.3 resume estos resultados, con las cuatro líneas sólidas representando las diferentes presiones iniciales. Usted puede ver que la presión del gas baja conforme la temperatura decrece. A la inversa, bajar la presión de un gas debe bajar su temperatura. Teóricamente, la menor temperatura de un gas puede determinarse extrapolando ext rapolando el comportamiento medido hasta que la presión se hace cero. Las líneas punteadas en la figura 17.3 muestran las extrapolaciones. Las relaciones entre presión, volumen y temperatura de un gas es el tema central del capítulo 19. Sin embargo, por lo pronto, pronto, usted sólo necesita nec esita entender la siguiente observación: los datos de los cuatro conjuntos de observaciones comenzando a diferentes presiones iniciales se extrapolan a la misma temperatura a la presión cero. Esta temperatura se llama cero absoluto y corresponde a −273.15 °C. Cuando los investigadores intentan disminuir la temperatura del nitrógeno gaseoso
17.2 Rangos de temperatura
559
FIGURA 17.3 Líneas sólidas: presiones de un gas medidas a volumen fijo y diferentes temperaturas. Cada línea representa un experimento comenzando a distintas presiones iniciales. Líneas punteadas: extrapolación de la presión de nitrógeno gaseoso en un volumen fijo conforme disminuye la temperatura.
real a temperaturas muy bajas, la relación lineal se interrumpe debido a que el nitrógeno gaseoso se licua, trayendo consigo las interacciones entre las moléculas de n itrógeno. Además, los diferentes gases muestran un comportamiento un poco diferente a temperaturas muy bajas. Sin embargo, para presiones bajas y temperaturas relativamente altas, este resultado general se mantiene. El cero absoluto es la menor temperatura a la cual la materia podría existir en teoría. (Experimentalmente, es imposible alcanzar el cero absoluto, de la misma forma en que es imposible construir una máquina de movimiento perpetuo.) Veremos en el capítulo 19 que la temperatura corresponde al movimiento a escala atómica y molecular, así es que hacer que un objeto alcance el cero absoluto implicaría que todo el movimiento de los átomos y moléculas del objeto cesara. Sin embargo, se requiere algún movimiento de este tipo según la mecánica cuántica. Ésta se llama en ocasiones la tercera ley de la termodinámica y significa que nunca se puede lograr en realidad el cero absoluto. Kelvin usó el tamaño del grado Celsius (°C) como el tamaño de la unidad de su escala de temperatura, llamado ahora el kelvin (K). En la escala Kelvin, el punto de congelación del agua es de 273.15 K y el punto de ebullición del agua es de 373.15 K. Esta escala de temperatura se usa en muchos cálculos científicos, como veremos en los próximos capítulos. Debido a estas consideraciones, el kelvin es la uni dad normal para la temperatura en el SI. Para conseguir una mayor consistencia, los científicos han propuesto definir al kelvin en términos de otras constantes fundamentales, en lugar de en términos de las propiedades del agua. Está programado que estas nuevas definiciones tengan efecto para el año 2011.
17.2 Rangos de temperatura Las mediciones de temperatura abarcan un amplio rango (mostrado en la figura 17.4, usando una escala logarítmica), desde las mayores temperaturas medidas (2 · 1012 K), observadas en las colisiones de iones pesados relativistas (RHIC), a las menores temperaturas medidas (1 · 10 –10 K), observadas en sistemas de espín en los átomos de rodio. Se estima que la temperatura en el centro del Sol es de 15 · 106 K, y se ha medido en la superficie del Sol como de 5 780 K. La menor temperatura medida del aire en la superficie terrestre es de 183.9 K (−89.2 °C) en la Antártida; la mayor temperatura medida del aire en la superficie terrestre es de 330.8 K (57.7 °C) en el desierto de Sahara en Libia. Usted puede ver en la figura 17.4 que el rango de temperatura observada en la superficie terrestre cubre sólo una pequeña fracción del rango de temperaturas observadas. La radiación cósmica de fondo en microondas dejada atrás por el Big Bang de hace 13.7 mil millones de años tiene una temperatura de 2.73 K (la cual es la temperatura del espacio intergaláctico “vacío”), una observación que se explicará con más detalle en capítulos posteriores. En la figura 17.4, usted puede ver que las temperaturas logradas en las colisiones de iones pesados relativistas son 300 millones de veces mayores que la temperatura superficial del Sol y que las temperaturas de los átomos medidas en las trampas de iones son más de mil millones de veces inferiores que la temperatura del espacio intergaláctico.
17.1 Ejercicio en clase ¿Cuál de las siguientes temperaturas es la más fría? a)
10 °C
b)
10 °F
c )
10 K
17.2 Ejercicio en clase ¿Cuál de las siguientes temperaturas es la más caliente? a)
300 °C
b)
300 °F
c )
300 K
560
Capítulo 17
Temperatura
FIGURA 17.4
Rango de las temperaturas observadas, graficadas en una escala loga rítmica.
FIGURA 17.5
Temperaturas representativas, expresadas en tres escalas de temperatura comunes.
La figura 17.5 muestra algunas temperaturas representativas sobre el cero absoluto y bajo 400 K, expresados en las escalas Fahrenheit, Celsius y Kelvin. El rango de temperaturas se muestra en una escala lineal. En las siguientes fórmulas de conversión entre las diversas escalas de temperatura, la temperatura Fahrenheit es T F, medida en °F; la temperatura Celsius es T C, medida en °C , y la temperatura Kelvin es T K, medida en K.
Fahrenheit a Celsius: TC =
5 9
(T – 32 °F).
(17.1)
F
Celsius a Fahrenheit:
17.1 Oportunidad de autoexamen ¿A qué temperatura tienen el mismo valor numérico las escalas Fahrenheit y Celsius?
TF =
9 5
T C + 32 °C.
(17.2)
Celsius a Kelvin: TK = T C + 273.15 °C.
(17.3)
Kelvin a Celsius: TC = T K – 273.15 K.
(17.4)
17.2
La temperatura media del cuerpo humano tomada oralmente es de 36.8 °C, la cual corresponde a 98.2°F. La temperatura oral media comúnmente citada es de 98.6 °F y corresponde a la medición del siglo ��� de 37 °C. Esta temperatura se resalta en el termómetro oral de mercurio en la figura 17.6. La diferencia entre 98.6 °F y 98.2 °F corresponde así al error debido a redondear las me diciones en la escala Celsius de las temperaturas del cuerpo humano con dos dígitos. La tabla 17.1 lista las temperaturas del cuerpo humano y otras temperaturas representativas, expresadas en tres escalas de temperatura.
EJEMPLO 17.1
Rangos de temperatura
FIGURA 17.6
Un termómetro oral, de expansión de mercurio.
Temperatura ambiente
A menudo se menciona la temperatura ambiente como de 72.0 °F.
PROBLEMA ¿Cuál es la temperatura ambiente en las escalas Celsius y Kelvin?
SOLUCIÓN Usando la ecuación 17.1, podemos convertir la temperatura ambiente de grados Fahrenheit a grados Celsius: T C =
5 9
(72 °F – 32 °F) = 22.2 °C.
Usando la ecuación 17.3, p odemos expresar la temperatura ambiente en kelvin como T K = 22 °C + 273. 15 °C = 295. K.
Investigación en la frontera de las bajas temperaturas ¿Cómo se logran temperaturas muy bajas en el laboratorio? Los investigadores comienzan por tomar ventaja de los gases relacionadas como su presión, volumen y temperatura (de nuevo, el capítulo 19 se adentrará en estas propiedades con mucha mayor profundidad). Además, los cambios de fase (discutidos en el capítulo 18) de líquido a gas y de nuevo a líquido son cruciales para producir temperaturas bajas en el laboratorio. Por lo pronto, todo lo que necesita saber
Tabla 17.1 Varias temperaturas, expresadas en las tres escalas de temperatura más comúnmente usadas Cero absoluto Punto de congelación del agua Punto de ebullición del agua Temperatura típica del cuerpo humano
Fahrenheit (°F)
Celsius (°C)
–459.67
–273.15
0
32
0
273.15
212
100
373.15
98.2
Kelvin (K)
36.8
310
Mínima temperatura del aire medida
–129
–89.2
184
Máxima temperatura del aire medida
136
57.8
331
Menor temperatura jamás medida en el laboratorio
–459.67
–273.15
1.0 · 10–10
Mayor temperatura jamás medida en el laboratorio
3.6 · 1012
2 · 10 12
2 · 1012
Radiación del fondo cósmico de microondas
–454.76
–270.42
Punto de ebullición del nitrógeno líquido
–321
–196
77.3
Punto de ebullición del helio líquido
–452
–269
4.2
Temperatura en la superficie del Sol
11 000
6 000
6 300
27 · 106
15 · 106
15 · 106
59
15
288
12 000
6 700
7 000
Temperatura en el centro del Sol Temperatura promedio en la superficie terrestre Temperatura en el centro de la Tierra
561
2.73
562
Capítulo 17
Temperatura
Modelo JDR-100 a)
Extracción de 3He Mezcla de e 3He/4He
Modelo JDR-100 Etapa de dilución b)
FIGURA 17.7 a) Un refrigerador de dilución comercial. b) Interior de un refrigerador de dilución con el recipiente de 3He/ 4He (mezclador) y el recipiente de extracción de 3He (alambique).
es que cuando un líquido se evapora, la energía requerida para cambiar el líquido a gas es tomada del líquido; por lo tanto, el líquido se enfría. Por ejemplo, el aire se licua mediante un proceso de múltiples etapas en el cual el aire se comprime y se enfría removiendo el calor producido por la etapa de compresión. Entonces, el hecho de que distintos gases tienen diferentes temperaturas a las cuales se licuan permite separar al nitrógeno líquido y el oxígeno líquido. A presión atmosférica normal, el nitrógeno líquido tiene un punto de ebullición de 77 K, en tanto que el oxígeno líquido tiene un punto de ebullición de 90 K. El nitrógeno líquido tiene muchas aplicaciones, entre las cuales se encuentran las importantes demostraciones en el salón de clases. Temperaturas incluso menores se logran usando el proceso de compresión, con el nitrógeno líquido extrayendo el calor conforme se comprime el helio. El helio líquido hierve a 4.2 K. Comenzando con helio líquido y reduciendo la presión de manera que se evapore, los investigadores pueden enfriar el líquido restante hasta más o menos 1.2 K. Para el isótopo helio-3 (3He), se puede alcanzar una temperatura tan baja como 0.3 K con la técnica de enfriamiento por evaporación. Para alcanzar temperaturas aún menores, los investigadores usan un aparato llamado refrigerador de dilución (vea la figura 17.7). Un refrigerador de dilución usa dos isótopos de helio: 3He (dos protones y un neutrón) y 4He (dos protones y dos neutrones). Cuando la temperatura de una mezcla de 3He líquido y 4He líquido se reduce a menos que 0.7 K, los dos gases se separan en una fase deficiente en 3He y en una fase deficiente en 4He. Se requiere energía para mover los átomos de 3He hacia la fase deficiente en 3He. Si se puede forzar a los átomos a cruz ar la frontera entre las dos fases, la mezcla se puede enfriar de manera semejante al enfriamiento evaporativo. Un refrigerador de dilución puede enfriar hasta temperaturas alrededor de 10 mK y los mejores modelos comerciales pueden alcanzar 2 mK. Temperaturas incluso menores se pueden lograr con un gas de átomos confinados en una trampa. Para alcanzar estas temperaturas, los investigadores usan técnicas tales como enfriamiento con láser. El enfriamiento con láser saca ventaja de la estructura electrónica de ciertos átomos. Las transiciones entre los niveles de energía electrónicos específicos en un átomo pueden hacer que se emitan fotones con una longitud de onda cercana a la luz visible. También puede ocurrir el proceso inverso, en el cual los átomos absorben fotones. Para enfriar átomos usando el enfriamiento por láser, los investigadores usan un láser que emite luz con una longitud de onda muy específica, que es mayor que la longitud de onda de la luz emitida durante una transición atómica. De esta forma, cualquier átomo que se mueve acercándose al láser experimenta una longitud de onda ligeramente menor debido al efecto Doppler (vea el capítulo 16), en tanto que cualquier átomo que se mueve alejándose del láser experimenta una longitud de onda mayor. Los átomos que se mueven hacia el láser absorben fotones, pero los átomos que se mueven alejándose del láser no son afectados. Los átomos que absorben fotones los reemiten en direcciones aleatorias, enfriando efectivamente a los átomos. Se han logrado temperaturas que se aproximan a los 10–9 K usando este método (figura 17.8). Se le otorgó el Premio Nobel de Física 1997 a Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji y William D. Phillips por su trabajo con el enfriamiento con láser. Las temperaturas más frías logradas en el laboratorio se han conseguido us ando una técnica llamada desmagnetización nuclear adiabática. La muestra, típicamente una pieza de rodio metálico, se enfría primero usando un refrigerador de dilución. Entonces, se aplica un fuerte campo magnético. Se produce una pequeña cantidad de calor en el rodio metálico, el cual es removido por el refrigerador de dilución. Entonces, el campo magnético se apaga lentamente. Conforme se reduce el campo magnético, el rodio metálico se enfría aún más, alcanzando temperaturas tan bajas como 10–10 K.
Investigación en la frontera de las altas temperaturas FIGURA 17.8 Dispositivo de enfriamiento por láser para enfriar átomos de sodio atrapados.
¿Cómo se logran altas temperaturas en el laboratorio? Los métodos más comunes son quemando combustibles o creando explosiones. Por ejemplo, la parte amarilla de la llama de una vela tiene una temperatura de 1 470 K. El reactor de fusión ITER, que será construido para 2016 en C adarache, Francia (figura 17.9) está diseñado para fusionar los isótopos de hidrógeno, deuterio ( 2H) y tritio (3H) para producir helio (4He) más un neutrón, liberando energía. Este proceso de fusión nuclear es semejante al proceso que usa el Sol para fusionar el hidrógeno en helio y por consiguiente producir energía. En el Sol, la enorme fuerza gravitatoria comprime y calienta los núcleos de hidrógeno para producir fusión. En el ITER, el confinamiento magnético se usará para sujetar al hidrógeno ionizado en
17.4
la forma de plasma. Un plasma es un estado de la materia en el cual los electrones y los núcleos se mueven por separado. Un plasma no puede contenerse en un recipiente físico, porque está tan caliente que cualquier contacto con éste vaporizaría al recipiente. En el reactor de fusión, el plasma se calienta haciendo fluir una corriente a través de éste. Adicionalmente, se comprime el plasma y se calienta aún más por el campo magnético aplicado. A altas temperaturas, hasta 9.9 · 10 7 K, y altas densidades, ITER producirá energía útil a partir de la fusión de hidrógeno en helio. Es posible conseguir temperaturas incluso más altas en los aceleradores de partículas. Las mayores temperaturas se han alcanzado haciendo colisionar núcleos de oro acelerados en el Colisionador de Iones Pesados en el Laboratorio Nacional de Brookhaven y el Gran Colisionador de Hadrones en el laboratorio europeo CERN. Cuando colisionan dos núcleos de oro, se crea un sistema muy caliente con una temperatura de 2 · 10 12 K; este sistema es también muy pequeño (~10–14 m) y existe por periodos muy cortos (~10–22 s).
Expansión térmica
FIGURA 17.9
Dibujo en sección del núcleo central de ITER, el reactor de fusión de plasma que será construido en Francia para el año 2016. Con el propósito de comparar el tamaño, se muestra una persona parada en la base.
17.3 Medición de la temperatura ¿Cómo se miden las temperaturas? Un dispositivo que mide la temperatura se llama termómetro. Cualquier termómetro que puede calibrarse directamente usando una propiedad física se llama termómetro primario. Un termómetro primario no necesita calibración con temperaturas estándar externas. Un ejemplo de un termómetro primario es uno basado en la velocidad del sonido en un gas. Un termómetro secundario es aquel que requiere una calibración externa con referencias de temperatura estándar. A menudo, los termómetros secundarios son más sensibles que los termómetros primarios. Un termómetro común es el termómetro de expansión de mercurio, el cual es un termómetro secundario. Este tipo de termómetro saca provecho de la expansión térmica del mercurio (discutida en la sección 17.4). Otros tipos de termómetros incluyen los termómetros bimetálicos, termopares, quimoluminiscencia y termistores. También es posible medir la temperatura de un sistema estudiando la distribución de las velocidades de las moléculas dentro del material constituyente. Para medir la temperatura de un objeto o un sistema usando un termómetro, éste debe colocarse en contacto térmico con el objeto o el sistema. (El contacto térmico es el contacto físico que permite una transferencia de calor relativamente rápida.) El calor se transferirá entonces desde o hacia el objeto o sistema hacia o desde el termómetro, hasta que tengan la mis ma temperatura. Un buen termómetro debería requerir tan poca energía térmica como fuese posible para alcanzar el equilibrio térmico, de tal manera que no se cambie significativamente la temperatura del objeto. Un termómetro también debería calibrarse con facilidad, de tal suerte que cualquiera que esté tomando las mediciones obtenga la mis ma temperatura. Calibrar un termómetro requiere condiciones reproducibles. Es difícil reproducir el punto de congelación del agua exactamente, así que los científicos usan una condición llamada el punto triple del agua. El hielo sólido, el agua líquida y el vapor de agua gaseoso pueden coexistir sólo en una temperatura y presión. Por acuerdo internacional, la temperatura del punto triple del agua ha sido asignado a una temperatura de 273.16 K (y una presión de 611.73 Pa) para la calibración de los termómetros.
17.4 Expansión térmica La mayoría está familiarizada de alguna forma con la expansión térmica (también llamada dilatación térmica). Quizás usted sepa que puede aflojar la tapa metálica de un frasco calentando la tapa. Usted puede haber visto que los tramos de un puente tienen espacios en la calzada para permitir la expansión de las secciones del puente en tiempos calurosos. O puede haber observado que las líneas de transmisión de energía se pandean en tiempos calurosos. La expansión térmica de los líquidos y los sólidos puede ponerse en uso práctico. Las tiras bimetálicas, las cuales se usan a menudo en los termostatos de las habitaciones, termómetros para carne y dispositivos de protección térmica en el equipo eléctrico, sacan provecho de la expansión térmica
563
17.2 Oportunidad de autoexamen Usted tiene un termómetro sin calibrar, el cual está indicado para usarse para medir la temperatura del aire. ¿Cómo calibraría el termómetro?
564
Capítulo 17 Temperatura
Tabla 17.2 Los coeficientes de expansión lineal de algunos materiales comunes Material
(10–6 °C–1) 22
Latón
19
Concreto
15
Cobre
17 1
Oro
14
Plomo
29
Vidrio plano
9
lineal. (Una tira bimetálica consiste en dos tiras largas y delgadas de metales diferentes, las cuales están soldadas una con la otra.) Un termómetro de mercurio usa la expansión volumétrica para proporcionar mediciones precisas de la temperatura. La expansión térmica también puede ocur rir como una expansión lineal, expansión superficial o expansión volumétrica; las tres clasificaciones describen el mismo fenómeno.
Expansión lineal Consideremos una barra metálica con una longitud L (figura 17.10). Si elevamos la temperatura de la barra por T = T final – T inicial, la longitud de la barra se incrementa por la cantidad L = Lfinal – Linicial, dado por L = LT ,
Hule
77
Acero
13
Tungsteno
La expansión térmica de una barra con una longitud inicial L. (La barra expandida térmicamente en la parte inferior se ha desplazado de tal manera que los bordes de la izquierda coincidan.)
a
Aluminio
Diamante
FIGURA 17.10
4.5
(17.5)
donde es el coeficiente de expansión lineal del metal del cual está construida la barra y la diferencia de temperatura se expresa en grados Celsius o en kelvins. El coeficiente de expansión lineal (también llamado coeficiente de dilatación lineal) es una constante para un material dado dentro de los rangos de temperatura normales. Algunos coeficientes de expansión lineal típicos se listan en la tabla 17.2.
EJEMPLO 17.2
Expansión térmica del puente Mackinac
El tramo principal del puente Mackinac (figura 17.11) tiene una longitud de 1 158 m. El puente está construido de acero. Suponga que la menor temperatura posible experimentada por el puente es de −50 °C y la mayor temperatura posible es de 50 °C.
PROBLEMA ¿Cuánto espacio debe estar disponible para la expansión térmica del tramo central del puente Mackinac?
SOLUCIÓN FIGURA 17.11
El puente Mackinac a través de los estrechos de Mackinac en Michigan es el tercer puente más largo de suspensión en Estados Unidos.
El coeficiente de expansión lineal del acero es = 13 · 10–6 °C –1. De esta manera, la expansión lineal total del tramo central del puente que debe permitirse para dar holgura está dado por
(
–6
∆L = L ∆T = 13 ⋅10
–1
°C
)(1 158 m)[50 °C –(–50 °C)]= 1.5 m.
EXPLICACIÓN
Un cambio de longitud de 1.5 m es bastante grande. ¿Cómo se puede acomodar este cambio de longitud en la práctica? (Obviamente, no podemos dejar espacios en la superficie de la calle.) La respuesta yace en las junturas de expansión, las cu ales son conectores metálicos entre los segmentos cuyas partes se pueden mover una con relación a la otra. Un tipo popular de juntura de expansión es la juntura con forma de dedos (vea la figura 17.12). El puente de Mackinac tiene dos grandes junturas de dedos en las torres para acomodar la expansión de las partes suspendidas de la calzada y once junturas de dedo más pequeñas y cinco a) b) junturas de deslizamiento a través del tramo principal FIGURA 17.12 Junturas de dedo entre los segmentos de la calle: del puente. a) abiertas y b) cerradas.
565
17.4 Expansión térmica
Usted puede ver en la tabla 17.2 que los diversos materiales, tales como el latón y el acero, tienen diferentes coeficientes de expansión lineal. Esto les hace útiles en las tiras bimetálicas. El siguiente problema resuelto considera el resultado de calentar una tira bimetálica.
PROBLEMA RESUELTO 17.1
Tira bimetálica
Una tira bimetálica recta consiste en una tira de acero y una tira de latón, cada una de 1.25 cm de ancho y 30.5 cm de longitud, soldadas una con la otra [vea la f igura 17.13a)]. Cada tira tiene un espesor t = 0.500 mm. La tira bimetálica se calienta uniformemente a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura 17.13c). (No importa si la llama está a la derecha; el calentamiento es uniforme por toda la tira. Si la llama estuviese a la izquierda, ¡la tira se doblaría en la misma dirección!) La tira se curva de tal forma que su radio de cur vatura es R = 36.9 cm.
17.3 Ejercicio en clase Una sección de concreto de un puente tiene una longitud de 10.0 m a 10.0 °C. ¿Cuánto se incrementa la longitud de la sección de concreto si la temperatura aumenta a 40.0 °C? a)
0.025 cm
d )
0.22 cm
b)
0.051 cm
e)
0.45 cm
c )
0.075 cm
FIGURA 17.13
Una tira bimetálica. a) La tira bimetálica a temperatura ambiente. b) La tira bimetálica conforme comienza a ser calentada por un soplete de gas (en el borde derecho del cuadro). c ) La tira bimetálica calentada a una temperatura uniforme por toda su longitud.
a)
b)
c )
PROBLEMA ¿Cuál es la temperatura de la tira bimetálica después de calentarse?
SOLUCIÓN PIENSE La tira bimetálica está construida de dos materiales, acero y latón, los cuales tienen distintos coeficientes de expansión lineal, listados en la tabla 17.2. C onforme la temperatura de la tira bimetálica se incrementa, el latón se expande más que el acero, así es que la tira se curva hacia el lado del acero. Cuando la tira bimetálica se calienta uniformemente, tanto la tira de acero como la de latón yacen a lo largo del arco de una circunferencia, con la tira de latón en la cara exterior y la tira de acero en la cara interior. Los extremos de la tira bimetálica subtienden el mis mo ángulo, medido desde el centro de la circunferencia. La longitud del arco de cada tira metálica entonces es igual a la longitud de la tira bimetálica a la temperatura ambiente más la longitud debida a la expansión térmica lineal. Igualar el ángulo subtendido por la tira de acero con el ángulo subtendido por la tira de latón permitirá que se calcule la temperatura.
r 1
ESBOCE La figura 17.14 muestra la tira bimetálica después de haber sido calentada. El ángulo subtendido por los dos extremos de la tira es , y el radio de la ti ra interior es r 1. Una porción de la circunferencia con radio r 1 = 36.9 cm se superpone en la tira curva.
INVESTIGUE
FIGURA 17.14
La tira bimetálica después de ser calentada que muestra el ángulo subtendido por los dos extremos de la tira.
La longitud del arco, s1, de la tira de acero calentado es s1 = r 1, donde r 1 es el radio de la circunferencia a lo largo de la cual yace la tira de acero y es el ángulo subtendido por la tira de acero. También, la longitud del arco, s2, de la tira de latón es s2 = r 2, (continúa)
566
Capítulo 17
Temperatura
(continuación)
donde r 2 es el radio de la circunferencia a lo largo de la cual yace la tira de latón y es el mismo ángulo que el que subtiende la tira de acero. Los dos radios difieren por el espesor, t , de la tira de acero: (i) r2 = r1 + t ⇔ t = r2 – r1 . Podemos igualar las expresiones que son iguales al ángulo subtendido por las dos tiras: s
=
1
=
r 1
s
2
.
(ii)
r 2
La longitud del arco, s1, de la tira de acero después de calentarse está dada por s1 = s + s1 = s + 1 sT
= s(1 + 1T ),
donde s es la longitud original de la t ira bimetálica. El factor 1 es el coeficiente de expansión lineal del acero en la tabla 17.2 y T es la diferencia de temperatura entre la temperatura ambiente y la temperatura final de la tira bimetálica. De manera correspondiente, el arco de longitud, s2, de la tira de latón después de calentarse está dada por s 2 = s + s 2 = s + 2 sT
= s(1 + 2T ),
donde 2 es el coeficiente de expansión lineal del latón dado en la tabla 17.2.
SIMPLIFIQUE Podemos sustituir las expresiones para las longitudes de los arcos de las dos tiras después de calentarse, s1 y s2, en la ecuación (ii) para obtener s(1 + 1 T ) r 1
=
s(1 + 2 T ) r 2
.
Al dividir ambos lados de la ecuación entre el factor común s y multiplicando por r 1r 2 nos da r2 + r2 1 T = r1 + r12 T .
Podemos reordenar esta ecuación y recolectar los términos comunes para obtener r2 – r1 = r 12 T – r21T.
Al resolver esta ecuación para l a diferencia de temperaturas brinda T =
r2 – r 1
.
r12 – r 21
Usar la relación entre los dos radios de la ecuación (i) conduce a T =
t
(
r1
2
)
– 1 – t 1
.
(iii)
CALCULE De la tabla 17.2, el coeficiente de expansión lineal del acero es 1 = 13 · 10–6 °C–1, y el coeficiente de expansión lineal para el latón es 2 = 19 · 10–6 °C–1. Al sustituir los valores numéricos nos da T =
−3 0.500⋅10 m
(0.369 m)(19 ⋅ 10
–6
–1
°C
–6
– 13 ⋅ 10
–1
°C
)(
–3
– 0.500 ⋅ 10
m
)(
–6
13 ⋅ 10
–1
°C
)
= 226.5 °C.
REDONDEE Tomando la temperatura como 20 °C y reportando nuestro resultado con dos cifras significati vas nos da la temperatura de la tira bimetálica después de calentarse: T = 20 °C + T = 250 °C.
V U E L VA A R E V I S A R Primero, verificamos que la magnitud de la temperatura calculada es razonable. Nuestra respuesta de 250 °C está bastante por debajo de los puntos de fusión del latón (900 °C) y del acero (1 450 °C), lo cual es importante debido a que la figura 17.13c) muestra que la tira no se funde. Nuestra respuesta también se encuentra significativamente sobre la temperatura ambiente, lo cual es importante debido a que la figura 17.13 a) muestra que la tira bimetálica está derecha a la temperatura ambiente.
17.4
Expansión térmica
567
También podemos verificar que las tiras de acero y latón subtienden el mismo ángulo. El ángulo subtendido por la tira de acero es 1 =
)(
(
–6
30.5 cm + 30.5 cm 13 ⋅10
s
1
=
–1
°C
)(226.5 °C) = 0.829 rads
36.9 cm
r
1
≡
17.4 Ejercicio en clase
47.5°.
El ángulo subtendido por la tira de latón es 2 =
s2
)(
(
−6
30.5 cm + 30.5 cm 19 ⋅10 =
–1
°C
)(226.5 °C) = 0.829 rads
36.9 cm + 0.05 cm
r
2
≡
47.5°.
Note que, debido a que el espesor de las tiras es pequeño comparado con el radio de la circunferencia, podemos escribir la ecuación (iii) como T ≈
t r 1
(
–3
m
–1
– 13⋅10
0.500 ⋅10
=
) (0.369 m)(19 10
2 – 1
⋅
–6
°C
–6
–1
°C
)
= 226 °C,
la cual está de acuerdo dentro del error de redondeo con nuestro resultado calculado. De esta forma, nuestra respuesta parece razonable.
Expansión superficial El efecto de un cambio en la temperatura sobre un área de un objeto es análogo a usar una copiadora para ampliar o reducir una fotografía. Cada dimensión del objeto cambiará linealmente con el cambio de temperatura. Cuantitativamente, para un objeto cuadrado con lado L (figura 17.15), el área está dada por A = L2. Sacando la diferencial de ambos lados de esta ecuación, obtenemos dA = 2LdL. Si hacemos la aproximación de que A = dA y L = dL , podemos escribir A = 2LL. Al usar la ecuación 17.5, obtenemos entonces A = 2 L
(
)
T = 2 AT .
L
(17.6)
A pesar de que se usó un cuadrado para derivar la ecuación 17.6, se sostiene para un cambio de cualquier forma.
FIGURA 17.15
Expansión térmica de una placa cuadrada con lado
PROBLEMA RES UELTO 17.2
L.
Expansión de una placa con un agujero
Una placa de latón tiene un agujero [figura 17.16 a)] con un diámetro d = 2.54 cm. El agujero es demasiado pequeño como para que una esfera de latón pase a través de éste [figura 17.6 b)]. Sin embargo, cuando la placa se calienta de 20.0 °C a 220.0 °C, la esfera de latón pasa a través del agujero en la placa. (continúa)
Suponga que la tira bimetálica en la figura 17.13 estuviese hecha de aluminio en el lado derecho y cobre en el lado izquierdo. ¿Hacia qué lado se doblaría la tira si se calentara en la misma forma que la mostrada en la figura? (Consulte la tabla 17.2 para los coeficientes de expansión lineal de los dos metales.) a)
Se doblaría hacia la derecha.
b)
Se quedaría recta.
c )
Se doblaría hacia la izquierda.
568
Capítulo 17 Temperatura
FIGURA 17.16
a) La placa antes de calentarse. b) Una esfera de latón no pasará a través del agujero en la placa sin calentar. c ) Se calienta la placa. d ) La misma esfera de latón pasa a través del agujero en la placa de latón calentada.
(continuación)
a)
b)
c )
d )
PROBLEMA ¿Cuánto se incrementa el área del agujero en la placa de latón como resultado del calentamiento?
SOLUCIÓN PIENSE El área de la placa de latón se incrementa conforme la temperatura de la placa aumenta. Correspondientemente, el área del agujero en la placa también se incrementa. Podemos calcular el incremento en el área del agujero usando la ecuación 17.6.
ESBOCE La figura 17.17a) muestra la placa de latón antes de calentarse y la figura 17.17 b) muestra la placa después de calentarse.
FIGURA 17.17
La expansión térmica de una placa con un agujero:
a)
antes de calentarse; b) después de
calentarse.
INVESTIGUE La superficie de la placa aumenta conforme la temperatura se incrementa, como lo dice la ecuación 17.6. El área del agujero se incrementará de manera proporcional. Este incremento en el área del agujero puede parecer sorprendente. Sin embargo, usted mismo puede convencerse que el área del agujero se incrementará cuando la placa experimenta expansión térmica mirando la figura 17.17. La placa con un agujero a T = 20 °C se muestra en el inciso a). La misma placa a una escala 5% mayor en todas sus dimensiones se muestra en el inciso b). El círculo punteado en el agujero de la placa en b) es del mismo tamaño que el agujero en la placa original. C laramente, el agujero en b) es mayor que el agujero en a). El área del agujero a T = 20.0 °C es A = R2. La ecuación 17.6 brinda el cambio en el área del agujero: A = 2 AT ,
donde es el coeficiente de expansión lineal para el latón y Δ T es el cambio en la temperatura de la placa de latón.
569
17.4 Expansión térmica
SIMPLIFIQUE
Al usar A = R2 en la ecuación 17.6, tenemos el cambio en el área del agujero
( ) 2 R
T .
( d) T
A = 2
Al recordar que R = d /2, obtenemos A = 2
2
1
2
=
2
d T
.
2
CALCULE
De la tabla 17.2, el coeficiente de expansión lineal del latón es = 19 · 10–6 °C–1. De esta manera, el cambio en el área del agujero es
A =
(
–6
19 ⋅ 10
–1
°C
)(
0.0254 m
2
) ( 220.0 °C – 20.0 °C)
2
–6
=3.85098⋅ 10
2
m .
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con dos cifras si gnificativas: –6
A = 3.9 ⋅1 0
2
m .
V U E L VA A R E V I S A R De la experiencia diaria con objetos que se calientan o enfrían, sabemos que los cambios relativos en el área no son muy grandes. Dado que el área original del agujero es A = d2 /4 = (0.0254 m)2/ 4 = 5.07 · 10–4 m2, obtenemos para el cambio fraccional A/ A = (3.9 · 10–6 m2)/(5.07 · 10–4 m 2) = 7.7 · 10–3, o menos que 0.8%. Así, la magnitud de nuestra respuesta parece estar alineada con la intuición física. El cambio en el radio del agujero conforme la temperatura se incrementa está dado por
(
–6
R = RT = 19 ⋅ 10
–1 °C
0.0254 m (200 °C) = 4.83 ⋅ 10–5 2
)
m.
Para ese cambio en el radio, el incremento en el área del agujero es
( )= 2
A =
2
R
0.0254 m 4.8 ⋅10–5 m = 3.85 ⋅ 10–6 m2 , R = 2 2
(
R
)
lo cual coincide con el error de redondeo de nuestro resultado. Así, nuestra solución parece razonable.
Expansión volumétrica Ahora, consideremos el cambio en el volumen de un objeto con un cambio en la temperatura. Para un cubo con arista L, el volumen está dado por V = L3. Sacando la derivada de ambos lados de esta ecuación, obtenemos dV = 3 L2dL. Haciendo la aproximación que V = dV y L = dL , podemos escribir V = 3L2L. Entonces, usando la ecuación 17.5, obtenemos 2
V = 3L
(
L
)
T = 3V T .
(17.7)
Debido a que el cambio en volumen con el cambio en la temperatura a menudo es de interés, es conveniente definir el coeficiente de expansión volumétrica (también llamado coeficiente de dilatación volumétrica): = 3.
(17.8)
De esta forma, podemos reescribir la ecuación 17.7 como V
=
V T .
(17.9)
A pesar de que se usó el cubo para derivar la ecuación 17.9, se puede aplicar generalmente a un cambio en el volumen de cualquier otra forma. Algunos coeficientes de expansión volumétrica típicos se listan en la tabla 17.3. La ecuación 17.9 se aplica a la expansión térmica de la mayoría de los sólidos y líquidos. Sin embargo, no describe la expansión térmica del agua. Entre 0 °C y alrededor de 4 °C, el agua se
Tabla Table 17.3 17.3 Coeficientes de expansión volumétrica para algunos líquidos comunes Material
(10–6 °C–1)
Mercurio
181
Gasolina
950
Keroseno
990
Alcohol etílico
1 120
Agua (1 °C)
–47.8
Agua (4 °C)
0
Agua (7 °C)
45.3
Agua (10 °C)
87.5
Agua (15 °C)
151
Agua (20 °C)
207
570
Capítulo 17 Temperatura
FIGURA 17.18
17.5 Ejercicio en clase Usted tiene un cubo metálico, el cual calienta. Después de calentarlo, el área de una de las superficies del cubo se ha incrementado por 0.02%. ¿Qué afirmación acerca del volumen del cubo después de calentado es correcta? a)
Ha decrecido por 0.02%.
b)
Ha crecido por 0.02%.
c )
Ha crecido por 0.01%.
d )
Ha crecido por 0.03%.
e)
No se da suficiente información para determinar el cambio de volumen.
La dependencia del volumen de 1 kg de agua con la temperatura.
contrae conforme la temperatura crece (figura 17.18). El agua con una temperatura sobre los 4 °C es más densa que el agua con una temperatura justo por debajo de los 4 °C. Esta propiedad del agua tiene un efecto impresionante en la forma que los lagos s e congelan en el invierno. Conforme la temperatura del aire baja entre el cálido verano y el frío invierno, el agua en el lago se enfría desde abajo de la superficie. E l agua más fría y más densa se hunde al fondo del lago. Sin embargo, conforme la temperatura en la superficie del agua cae por debajo de los 4 °C, este movimiento descendente cesa y el agua más fría permanece en la superficie del lago, con el agua más densa y tibia debajo. La capa superior a la larga se enfría hasta los 0 °C y entonces se congela. El hielo es menos denso que el agua, así que el hielo flota sobre el agua. Esta capa de hielo recién formada actúa como un aislante, el cual reduce la rapidez de congelación del resto del agua en el lago. Si el agua tuviese las mismas propiedades de expansión térmica que otros materiales comunes, en lugar de congelarse de arriba abajo, el lago se congelaría del fondo hacia arriba, con el agua más tibia permaneciendo en la superficie del lago y el agua más fría hundiéndose hasta el fondo. Esto significaría que los lagos se congelarían del todo más a menudo y cualquier forma de vida en éstos que no pudiese existir en el hielo no s obreviviría al invierno. Además, usted puede ver en la figura 17.18 que el volumen de una determinada cantidad de agua nunca depende linealmente de la temperatura. Sin embargo, la dependencia lineal del volumen de agua con la temperatura puede aproximarse considerando un pequeño intervalo de temperatura. La pendiente de la curva volumen/temperatura es V /T , así es que podemos extraer un coeficiente de expansión volumétrica efectivo para cambios de temperatura pequeños. Por ejemplo, el coeficiente de expansión volumétrica para el agua a seis distintas temperaturas se muestra en la tabla 17.3; note que a 1 °C, = –47.8 · 10–6 °C–1, lo cual significa que el volumen del agua decrecerá conforme la temperatura aumenta.
EJEMPLO 17.3
Expansión térmica de la gasolina
Usted mete su coche a la estación de s ervicio en un caluroso día de verano, cuando la temperatura del aire es de 40 °C. Llena su tanque vacío de 55 L con gasolina que proviene del tanque de almacenamiento subterráneo a 12 °C. Después de pagar la gasolina, decide caminar al restaurante de al lado y comer su almuerzo. Dos horas más tarde, regresa a su coche y descubre que la gasolina se ha derramado de su tanque al suelo.
PROBLEMA ¿Cuánta gasolina se ha derramado?
SOLUCIÓN Sabemos lo siguiente: la temperatura de la gasolina que usted puso en su tanque comienza a los 12 °C. La gasolina se calienta hasta llegar a la temperatura exterior de 40 °C. El coeficiente de expansión volumétrica de la gasolina es de 950 · 10–6 °C–1.
17.5
Temperatura superficial de la Tierra
571
Mientras usted se ausentaba, la temperatura de la gasolina cambió de 12 °C a 40 °C. Usando la ecuación 17.9, podemos encontrar el cambio en el volumen de la gasolina cuando aumenta la temperatura:
(
–6
V = V T = 950 ⋅ 10
–1
°C
)(
55 L
)( 40 °C – 12 °C) = 1.5 L.
De esta manera, el volumen de la gasolina se incrementó en 1.5 litros cuando la temperatura de la gasolina subió de 12 °C a 40 °C. El tanque de gasolina estaba lleno cuando la temperatura de la gasolina era de 12 °C, así es que este exceso se derramó del tanque al suelo.
17.5 Temperatura superficial de la Tierra El reporte de las temperaturas superficiales diarias es parte de todos los reportes del clima en los periódicos y las noticias de la TV y la radio. Es claro que comúnmente hace más frío en la noche que durante el día, más frío en i nvierno que en verano y es más caluroso cerca del Ecuador que cerca de los polos. Un tema actual de intensa discusión es si la temperatura de la Tierra está subiendo. Una respuesta concluyente a esta pregunta requiere datos que brinden los promedios apropiados. El primer promedio que resulta útil es a lo largo del tiempo. La figura 17.19 es una gráfica de la temperatura superficial de la Tierra, promediada en el tiempo en el curso de u n mes (junio de 1992). Los valores promediados en el tiempo de la temperatura sobre la superficie entera de la Tierra se obtienen tomando la temperatura sistemáticamente por toda la superficie terrestre, incluidos los océanos. Estas mediciones se corrigen entonces por cualesquiera sesgos sistemáticos, tales como el hecho de que muchas estaciones de medición de la temperatura están ubicadas en zonas pobladas y muchas áreas escasamente pobladas tienen pocas mediciones de temperatura. Una vez que se han tomado en cuenta todas las correcciones, el resultado es la temperatura superficial promedio de la Tierra en un año determinado. La temperatura superficial promedio de la Tierra actual es aproximadamente de 287.5 K (14.4 °C). En la figura 17.20, esta temperatura global promedio se grafica para los años entre 1880 y 2005. Usted puede ver que desde más o menos 1900, la temperatura parece estar aumentando con el tiempo, lo que indica un calentamiento global. La línea horizontal azul en la gráfica representa la temperatura global promedio para todo el siglo ��, 13.9 °C. Varios modelos predicen que la temperatura superficial global promedio de la Tierra continuará aumentando. A pesar de que la magnitud del incremento en la temperatura global promedio en el curso de los últimos 155 años es de alrededor de 1 °C, lo cual no parece ser un aumento muy grande, combinado con incrementos futuros predichos, es suficiente para causar efectos observables, tales como la subida de los niveles del agua oceánica, la desaparición de la cubierta de hielo ártica en los veranos, cambios de clima y un incremento en la severidad de las tormentas y las sequías por todo el mundo. La figura 17.21 muestra un registro de la diferencia entre la temperatura superficial anual promedio en la Antártida y la temperatura superficial anual prome14.4 dio en los últimos 420 000 años, la cual se determinó a partir de núcleos de hielo. Note que las temperaturas del pasado se evaluaron de las mediciones del dióxido 14.2 de carbono en los núcleos de hielo, que sus valores dependen hasta cierto punto del modelo y que las diferencias de temperaturas resultantes podían ser signifi14
13.8
13.6
1 88 0
1 90 0
1 92 0
1 94 0
1 96 0
1 98 0
2 00 0
Año
FIGURA 17.20 Temperatura superficial global promedio anual FIGURA 17.19 Temperatura superficial de la Tierra promediada en el tiempo en junio de 1992. Los colores representan un rango de temperaturas de –63 °C a +37 °C.
desde 1880 hasta 2005, medida por termómetros en la tierra y en el océano (histograma rojo). La línea horizontal azul representa la temperatura global promedio para el siglo XX, 13.9 °C.
572
Capítulo 17 Temperatura
FIGURA 17.21
Temperatura superficial anual promedio de la Antártida en el pasado, extraída de los contenidos de dióxido de carbono en los núcleos de hielo, en relación con el valor actual.
17.3 Oportunidad de autoexamen Identifique los años que corresponden a los periodos glaciares e interglaciares en la figura 17.21.
24
cativamente mayores que las correspondientes a las diferencias de temperatura globales. Varios periodos diferentes son aparentes en la figura 17.21. Un intervalo de tiempo cuando la diferencia de la temperatura es alrededor de −7 °C corresponde a un periodo en el cual las capas de hielo cubrieron partes de Norteamérica y Europa y el llamado periodo glaciar . El último periodo glaciar terminó hace unos 10 000 años. Los periodos más calurosos entre los periodos glaciares, llamados periodos interglaciares, corresponden a diferencias de temperatura alrededor de cero. En la figura 17.21 son visibles cuatro periodos glaciares, remontándose hasta 400 000 años. Se han hecho intentos de relacionar estas diferencias de temperatura con diferencias en el calor recibido del Sol debidas a las variaciones de la órbita terrestre y la orientación de su eje de rotación, conocida como la Hipótesis de Mil ankovitch. Sin embargo, estas variaciones no pueden dar cuenta de todas las diferencias de temperatura observadas. El caluroso periodo interglaciar actual comenzó hace unos 10 000 años y parece un poco más fresco que los periodos interglaciares. Los periodos interglaciares previos han durado desde 10 000 hasta 25 000 años. Sin embargo, las actividades humanas, tales como la quema de los combustibles fósiles y el efecto invernadero resultante (más de esto en el capítulo 18), están inf luyendo en la temperatura global promedio. Los modelos predicen que el efecto de estas actividades será el calentar la Tierra, al menos durante los próximos varios cientos de años. Un efecto del calentamiento en la superficie terrestre, es la subida en el nivel del mar. El nivel del mar ha subido 120 m desde el pico del último periodo glaciar, hace unos 20 000 años, como resultado del derretimiento de los glaciares que cubrían grandes áreas de la tierra. El derretimiento de grandes cantidades de hielo que reposa sobre el suelo sólido es la mayor contribución potencial para una subida ulterior en el nivel del mar. Por ejemplo, si todo el hielo en la Antártida se derritiese, el nivel del mar subiría 61 m. Si todo el hielo en Groenlandia se derritiese, la subida en el nivel del mar sería de 7 m. Sin embargo, tomaría varios siglos para que estos grandes depósitos de hielo se derritiesen por completo, incluso si las predicciones pesimistas de los modelos climáticos son correctas. La subida del nivel del mar debida a la expansión térmica es pequeña comparada con la debida al derretimiento de los grandes glaciares. La tasa actual de la subida en el nivel del mar es de 2.8 mm/año, medidas por el satélite TOPEX/Poseidón.
EJEMPLO 17.4
) C ( 20
Subida del nivel del mar debido a la expansión térmica del agua
La subida en el nivel de los océanos de la Tierra es de preocupación actual. Los océanos cubren 3.6 · 108 km 2, un poco más de 70% del área superficial de la Tierra. La profundidad del océano promedio es de 3 700 m. La temperatura superficial del océano varía ampliamente, entre 35 °C en verano en el golfo Pérsico y –2 °C en las regiones árticas y antárticas. Sin embargo, incluso si la temperatura superficial del océano supera los 20 °C, la temperatura del agua cae rápidamente como función de la profundidad y alcanza 4 °C a una profundidad de 1 000 m (figura 17.22). La temperatura promedio global de toda el agua del mar es 0 aproximadamente de 3 °C. La tabla 17.3 lista un coeficiente de expansión de cero 0 1 2 3 4 para el agua a una temperatura de 4 °C. De esta manera, es seguro suponer que el Profundidad del agua d (km) volumen del agua oceánica cambia muy poco a una profundidad mayor a 1 000 m. FIGURA 17.22 Temperatura promedio del Para los 1 000 m de la parte superior del agua oceánica, supongamos que la tempeocéano como función de la profundidad bajo la ratura promedio global es de 10.0 °C y calculemos el efecto de la expansión térmica. T
a u 16 g a l e d 12 a r u t 8 a r e p m 4 e T
superficie.
PROBLEMA ¿Cuánto cambiaría el nivel del mar, sólo como resultado de la expansión térmica del agua, si la temperatura del agua de todos los océanos se incrementara por T = 1.0 °C?
SOLUCIÓN
El coeficiente de expansión térmica del agua a 10.0 °C es = 87.5 · 10–6 °C–1 (de la tabla 17.3), y el cambio en el volumen de los océanos está dado por la ecuación 17.9, V = V T , o V V
=
T .
(i)
Podemos expresar el área superficial total de los océanos como A = (0.7)4 R2, donde R es el radio de la Tierra y el factor 0.7 refleja el hecho de que más o menos 70% de la superficie de esta esfera está cubierta de agua. Suponemos que el área superficial de los océanos se incrementa
17.6
Temperatura del universo
573
sólo en una minúscula proporción por el agua que se está moviendo hacia arriba en las costas y despreciamos el cambio en el área superficial debido a este efecto. Entonces, esencialmente todo el cambio en el volumen de los océanos dará por resultado el cambio en la profundidad y podemos escribir V d ⋅ A d (ii) = = . V d⋅A d Al combinar las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos una expresión para el cambio en la profundidad: d d
=
T ⇒ d = d T .
Al sustituir los valores numéricos, d = 1 000 m, T = 1.0 °C y = 87.5 · 10–6 °C–1, obtenemos ∆d = (1 000
–6
m)( 87. 5 ⋅10
–1
°C )(1. 0 °C) = 9 cm.
Así, por cada incremento de la temperatura promedio del océano de 1 °C, el nivel del mar subirá 9 cm (casi 4 pulgadas). Esta subida es menor que la subida anticipada, debido al derretimiento de la cubierta de hielo en Groenlandia o la Antártida, pero contribuirá al problema de la inundación de las costas.
17.6 Temperatura del universo En 1965, cuando estaban trabajando en un radio telescopio primitivo, Arno Penzias y Robert Wilson descubrieron la radiación del fondo cósmico de microondas . Ellos detectaron “ruido” o “estática”, que parecía venir de todas las direcciones del cielo. Penzias y Wilson encontraron lo que estaba produciendo este ruido (lo cual les mereció el Premio Nobel de 1978): era radiación electromagnética que quedó del Big Bang, el cual ocurrió hace 13.7 mil millones de años. Es asombroso darse cuenta de que un “eco” del Big Bang todavía reverbera en el espacio intergaláctico “vacío” después de tan largo tiempo. La longitud de onda de la radiación cósmica de fondo es semejante a la longitud de onda de la radiación electromagnética usada en un horno de microondas. Un análisis de la distribución de longitudes de onda de esta radiación condujo a la deducción de que la temperatura de fondo del universo es de 2.725 K. George Gamov ya había predicho la temperatura de la radiación cósmica de fondo en 2.7 K en 1948, cuando todavía no estaba claro que el Big Bang fuese un hecho científico establecido. En 2001, el satélite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) midió las variaciones en la temperatura de fondo del universo. Esta misión siguió al exitoso satélite Cosmic Background Explorer (COBE), lanzado en 1989, el cual dio por resultado que se le otorgara el Premio Nobel de 2006 a los físicos John Mather y George Smoot. Las misiones COBE y WMAP encontraron que la radiación cósmica de fondo en microondas era muy uniforme en todas las direcciones, pero pequeñas diferencias en la temperatura estaban superpuestas en el fondo uniforme. Los resultados de la WMAP para la temperatura de fondo en todas las direcciones se muestran en la figura 17.23. Los efectos de la Vía Láctea se han sustraído. Usted puede ver que la variación en la temperatura de fondo del universo es muy pequeña, dado que ±200 K/2.725 K = ±7.3 · 10–5. A partir de la interpretación de estos resultados y otras observaciones, los científicos dedujeron que la edad del universo es de 13.7 mil millones de años, con un margen de error menor de menos de 1%. AdiFIGURA 17.23
La temperatura de la radiación cósmica de fondo en microondas en todas partes del universo. Los colores representan un rango de temperaturas de 200 µK por debajo a 200 µK por encima de la temperatura promedio de la radiación cósmica de fondo en microondas, la cual tiene una temperatura promedio de 2.725 K.
574
Capítulo 17 Temperatura
cionalmente, los científicos fueron capaces de deducir que el universo está compuesto de 4% de materia ordinaria, 23% de materia oscura y 73% de energía oscura. La materia oscura es materia que ejerce un tirón gravitatorio observable, pero parece ser invisible, como se discute en el capítulo 12. La energía oscura parece estar causando que la expansión del universo se acelere. Tanto la materia oscura como la energía oscura se encuentran bajo intensa investigación actualmente y la comprensión de éstas debería mejorar en la próxima década.
LO QUE HEMOS APRENDIDO |
GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
■ Las tres escalas de temperatura comúnmente usadas ■ ■ ■ ■
son: Fahrenheit, Celsius y Kelvin. La escala Fahrenheit se usa sólo en Estados Unidos y determina el punto de congelación del agua en 32 °F y el punto de ebullición del agua en 212 °F. La escala Celsius define el punto de congelación del agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C. La escala Kelvin define 0 K como el cero absoluto y el punto de congelación del agua como 273.15 K. El tamaño del kelvin y el grado Celsius es el mis mo. La conversión de °F a °C está dada por T C = (T F – 32 °F). 5
9
■ La conversión de °C a °F está dada por 9
T F = 5 T C + 32 °C.
■ La conversión de °C a K está dada por T K = T C + 273.15 °C.
■ La conversión de K a °C está dada por T C = T K – 273.15 K.
■ El cambio en la longitud, L , de un objeto de longitud L ■
conforme cambia la temperatura por T está dada por L = LT , donde es el coeficiente de expansión lineal. El cambio en volumen, V , de un objeto con volumen V conforme cambia la temperatura por T está dado por V = V T , donde es el coeficiente de expansión volumétrica.
TÉRMINOS CLAVE equilibrio térmico, p. 557 calor, p. 557 energía térmica, p. 557 temperatura, p. 557 termómetro, p. 558 ley cero de la termodinámica, p. 558
escala de temperatura Fahrenheit, p. 558 escala de temperatura Celsius, p. 558 escala de temperatura Kelvin, p. 558 cero absoluto, p. 558
tercera ley de la termodinámica, p. 559 kelvin, p. 559 expansión térmica, p. 563 coeficiente de expansión lineal, p. 564
coeficiente de expansión volumétrica, p. 569 radiación del fondo cósmico de microondas, p. 573
NUEVOS SÍMBOLOS T , temperatura
, coeficiente de expansión lineal
, coeficiente de expansión volumétrica
RESPUESTAS A LAS OPORTUNIDADES DE AUTOEXAMEN 17.1
Haga T = TF = TC , y resuelva T : T
= 59 T + 32
– 54 T = 32 T = – 40
°C o °F. 17.2 Use una mezcla de hielo y agua, la cual se encuentra a 0 °C y agua hirviente, la cual está a 100 °C. Tome las mediciones y marque las posiciones correspondientes sobre el termómetro sin calibrar.
17.3
Los periodos glaciares están en años atrás:
12 000 a 120 000 150 000 a 230 000 250 000 a 310 000 330 000 a 400 000. Los periodos interglaciares están en años atrás: 0 a 12 000 110 000 a 130 000 230 000 a 250 000 310 000 a 330 000 400 000 a 410 000.
Práctica para resolución de problemas
575
PRÁCTICA PARA RESOL UCIÓN DE P ROBLEM AS Lineamientos de problemas resueltos
La expansión térmica tiene un efecto semejante a ampliar una fotografía: todas las partes de la fotografía se expanden en la misma proporción. Recuerde que un agujero en un objeto se expande con el incremento de temperatura de la misma forma que el mismo objeto lo hace. En ocasiones usted puede simplificar un problema que involucra la expansión volumétrica a una dimensión y entonces usar coeficientes de expansión lineal. Esté alerta para este tipo de situaciones. 2.
Sea consistente en el uso de las temperaturas Celsius, Kelvin o Fahrenheit. Para calcular un cambio de temperatura, un grado Celsius es igual a un kelvin. Sin embargo, si necesita encontrar un valor de temperatura, recuerde qué escala de temperatura se le pide. 1.
PROBLEMA RESUELTO 17.3 Expansión lineal de una barra de acero y una barra de latón A 20.0 °C, una barra de acero tiene una longitud de 3.0000 m y una barra de latón tiene una longitud de 2.9970 m.
PROBLEMA ¿A qué temperatura tendrán ambas barras la misma longitud?
SOLUCIÓN PIENSE El coeficiente de expansión lineal del acero es menor al coeficiente de expansión del latón. De esta forma, conforme se calientan las dos barras, la barra de latón se expandirá más. Para obtener la temperatura en la cual ambas barras tienen la misma longitud, igualamos las expresiones para las longitudes finales de las barras, dados en términos de las longitudes iniciales, los coeficientes de expansión y el incremento de temperaturas.
ESBOCE La figura 17.24 muestra a las dos barras antes y después de calentarse. La longitud de la barra de acero antes de calentarse es Ls, su cambio de longitud es Ls, y el coeficiente de expansión lineal del acero es s = 13 · 10–6 °C–1. La longitud de la barra de latón antes de calentarse es Lb, su cambio de longitud es Lb, y el coeficiente de expansión lineal del latón es b = 19 · 10–6 °C–1. El cambio de temperatura es T .
INVESTIGUE El cambio en la longitud de la barra de acero está dada por
FIGURA 17.24
Ls = s Ls T .
Una barra de acero y una barra de latón: a) antes de calentarse; b) después de calentarse.
El cambio en la longitud de la barra de latón está dada por Lb = b Lb T .
Cuando las dos barras tienen l a misma longitud, Ls + Ls = Lb + Lb .
SIMPLIFIQUE Podemos combinar las tres ecuaciones anteriores para obtener Ls + s Ls T = Lb + b Lb T .
Reacomodando y resolviendo para la diferencia de temperatura, tenemos
s Ls T
Lb – Ls
T =
CALCULE
– b Lb T = Lb – Ls ⇒
s Ls
.
– b Lb
Al sustituir los valores numéricos nos da T =
(
–6
13 ⋅ 10
–1
°C
(2.9970 m) – (3.0000 m) =167.1961 °C. )(3.0000 m) –(19 ⋅10 °C )(2.9970 m) –6
–1
(continúa)
576
Capítulo 17
Temperatura
(continuación )
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con tres cifras signif icativas: T = 20.0 °C + 167.1961 °C = 187 °C.
V U E L VA A R E V I S A R Para verificar nuestro resultado, calculamos la longitud final de ambas barras. Para la barra de acero tenemos
(
) (
)
(
)
(
–6
Ls 1 + s T = 3.0000 m 1 + 13 ⋅ 10
Para la barra de latón tenemos
(
) (
Lb 1 + b T = 2.9970 m 1 + 19 ⋅10
–6
–1
°C
–1
°C
) =3.00652 m.
)(
167. 196 1 °C
)(167.19 61 °C) = 3.00652 m.
De esta manera, nuestra respuesta parece razonable.
PREGUN TAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE Dos termómetros de expansión de mercurio tienen recipientes idénticos y tubos cilíndricos hechos del mismo vidrio, pero de diferentes diámetros. ¿Cuál de los dos termómetros puede graduarse para una mejor resolución? 17.1
a)
El termómetro con el tubo de menor diámetro tendrá la mejor resolución. b) El termómetro con el tubo de mayor diámetro tendrá la mejor resolución. c) El diámetro del tubo es irrelevante; es sólo el coeficiente de expansión térmica lo que importa. d ) No hay suficiente información para decidir. Para una demostración en clase, su instructor de física calienta uniformemente una tira bimetálica que sostiene horizontalmente. Como resultado, la tira bimetálica se dobla hacia arriba. Esto le dice que el coeficiente de expansión térmica lineal para el metal T, en la parte superior es _____ que la del metal B, en la parte inferior. a) menor a b) mayor a c) igual a 17.2
Dos objetos sólidos, A y B, se encuentran en contacto. ¿En qué caso habrá transferencia de energía térmica desde A hacia B? 17.3
a)
A está a 20 °C, y B está a 27 °C. b) A está a 15 °C, y B está a 15 °C. c) A está a 0 °C, y B está a –10 °C. ¿Cuál de las siguientes tiras bimetálicas exhibirá la mayor sensibilidad a los cambios de temperatura? Esto es, ¿cuál de ellas se doblará más conforme se incrementa la temperatura? a) Cobre y acero. d ) Aluminio y latón. b) Acero y aluminio. e) Cobre y latón. c) Cobre y aluminio. 17.4
17.5
La temperatura de fondo del universo es
a)
6 000 K. b) 288 K. 17.6
c)
3 K. d ) 2.73 K.
e)
0 K.
¿Qué temperatura del aire se siente más fría?
a)
–40 °C. b) –40 °F.
c)
233 K. d ) Las tres son iguales.
¿A qué temperatura tienen las escalas Celsius y Fahrenheit el mismo valor numérico? a) –40 grados. c) 40 grados. b) 0 grados. d ) 100 grados. 17.7
La ciudad de Yellowknife en los Territorios Noroeste de Canadá se encuentra en las orillas del Gran Lago de los Esclavos. La temperatura alta promedio en julio es de 21 °C y la temperatura baja promedio en enero es de −31 °C. El Gran Lago de los Esclavos tiene un volumen de 2 090 km 3 y es el lago más profundo de Norteamérica, con una profundidad de 614 m. ¿Cuál es la temperatura del agua en el fondo del Gran Lago de los Esclavos en enero? 17.8
a)
–31 °C. b) –10 °C.
c)
0 °C. d ) 4 °C.
e)
32 °C.
Cuál objeto tiene la mayor temperatura después de quedarse afuera durante una noche de inverno entera: ¿la manija metálica de una puerta o una alfombra? 17.9
a)
La manija metálica de una puerta tiene la mayor temperatura. b) La alfombra tiene la mayor temperatura. c) Ambas tienen la misma temperatura. d ) Depende de la temperatura exterior.
PREGUNTAS Una forma común de abrir una tapa apretada en un frasco de vidrio es colocarla bajo agua caliente. La expansión térmica de la tapa metálica es mayor que la del frasco de vidrio; de esta manera, el espacio entre los dos se expande y es más fácil abrir el frasco. ¿Servirá esto para la tapa metálica de un recipiente del mismo tipo de metal? 17.10
¿Sería posible tener una escala de temperaturas de tal manera que cuanto más caliente estuviese el objeto o sistema, tanto menor (menos positivo o más negativo) fuese su temperatura? 17.11
La corona solar tiene una temperatura de unos 1 · 10 6 K. Sin embargo, una nave espacial volando en la corona no se quemaría. ¿Por qué sucede esto? 17.12
Problemas
Explique por qué podría ser difícil soldar aluminio al acero o soldar dos distintos metales cualesquiera uno con el otro. 17.13
Dos objetos sólidos están hechos de diferentes metales. Sus volúmenes y coeficientes de expansión volumétrica son V 1 y V 2 y 1 y 2 , respectivamente. Se observa que durante un cambio de temperatura T , el volumen de cada objeto cambia en la misma cantidad. Si V 1 = 2 V 2 ¿cuál es la razón de los coeficientes de expansión volumétrica? 17.14
Algunos libros de texto usan la unidad K –1 en lugar de °C para los valores del coeficiente de expansión lineal; vea la tabla 17.2. ¿Cómo diferirían los valores numéricos de los coeficientes si se expresaran en K –1? 17.15 –1
Usted se encuentra afuera en un día caluroso, con la temperatura del aire en T o. Su bebida deportiva se encuentra a una temperatura T d en una botella de plástico sellada. Quedan unos cuantos cubos de hielo en su bebida deportiva, los cuales están a T i, pero se están derritiendo rápidamente. a) Escriba una desigualdad que describa la relación entre estas tres temperaturas. b) Dé valores razonables para las tres temperaturas en grados Celsius. 17.17 La escala de temperatura Rankine es una escala de temperatura absoluta que usa los grados Fahrenheit, esto es, las temperaturas se miden en grados Fahrenheit, comenzando con el cero absoluto. Encuentre las relaciones entre los valores de temperatura en la escala Rankine y aquéllos en las escalas Fahrenheit, Kelvin y Celsius. 17.16
La ley cero de la termodinámica forma la base para la definición de la temperatura con respecto a la energía térmica. 17.18
577
Pero el concepto de temperatura se usa en otras áreas de la física. En un sistema con niveles de energía, tales como los electrones en un átomo o los protones en un campo magnético, la población de un nivel con energía E es proporcional al factor e– E /kBT , donde T es la temperatura absoluta del sistema y kB = 1.381 · 10–23 J/K es la constante de Boltzmann. En sistemas con dos niveles, con los niveles de energía que difieren en E , la razón de las poblaciones de niveles de alta energía a baja E k T energía es p alta/pbaja = e– ∆ / B . Semejantes sistemas tienen una temperatura infinita o incluso una temperatura absoluta negativa. Explique el significado de tales temperaturas. Suponga que una tira bimetálica se construye de dos tiras de metales con coeficientes de expansión lineal 1 y 2, donde 1 > 2. a) Si la temperatura de la tira bimetálica se reduce en T , ¿para qué lado se doblará la tira (en la dirección hecha del metal 1 o en la dirección hecha del metal 2)? Explique brevemente. b) Si la temperatura se incrementa en T , ¿para qué lado se doblará la tira? 17.20 Para el almacenamiento de alimentos, ¿cuál es la venta ja de colocar una tapa metálica en un frasco de vidrio? ( Pista: ¿Por qué ayuda a usted dejar correr el agua caliente por la t apa metálica durante un minuto para abrir dicho frasco? 17.19
Un cilindro sólido y un cascarón cilíndrico, de radio y longitud idénticos y del mismo material, experimentan el mismo incremento de temperatura T . ¿Cuál de los dos se expandirá para tener un radio exterior mayor? 17.21
PROBLEMAS Una y dos problema. •
indican un grado creciente de dificultad del
••
Secciones 17.1 y 17.2 Exprese cada una de las siguientes temperaturas en grados Celsius y en kelvins. a) –19 °F b) 98.6 °F c) 52 °F 17.22
Un termómetro se calibra en grados Celsius y otro en grados Fahrenheit. ¿A qué temperatura es la lectura en el termómetro calibrado en grados Celsius igual a tres veces la lectura del otro termómetro? 17.23
Durante el verano de 2007 se registraron temperaturas tan altas de hasta 47 °C en el sur de Europa. La temperatura más alta registrada en Estados Unidos fue de 134 °F (en el valle de la Muerte, California, en 1913). ¿Cuál es la diferencia entre estas dos temperaturas, en grados Celsius?
a) ¿Cuál es esta temperatura en kelvins? b) ¿Cuál es esta temperatura en grados Fahrenheit?
En 1742, el astrónomo sueco Anders Celsius propuso una escala de temperatura en la cual el agua hierve a 0.00 grados y se congela a 100. grados. En 1745, después de la muerte de Celsius, Carolus Linnaeus (otro científico sueco) invirtió estos estándares, produciendo la escala que es la más comúnmente usada en la actualidad. Encuentre la temperatura ambiente (77.0 °F) en la escala de temperatura original Celsius. 17.28
¿A qué temperatura tienen las escalas Kelvin y Fahrenheit el mismo valor numérico? 17.29
17.24
La menor temperatura del aire registrada en la Tierra es de −129 °F, en la Antártida. Convierta esta temperatura a la escala Celsius. 17.25
¿Qué temperatura del aire se sentirá el doble de caliente que 0 °F? 17.26
Un trozo de hielo seco (dióxido de carbono sólido) que reposa en el salón de clases tiene una temperatura de aproximadamente −79 °C. 17.27
Sección 17.4 ¿Cómo se compara la densidad del cobre que se encuentra justo sobre su temperatura de fusión de 1 356 K con la del cobre a temperatura ambiente? 17.30
La densidad del acero es de 7 800.0 kg/m 3 a 20.0 °C. Encuentre la densidad a 100.0 °C. 17.31
Dos cubos con aristas de 100.0 mm de longitud encajan en un espacio Aluminio Latón de 201.0 mm de ancho, como se ve en la figura. Un cubo está hecho de aluminio y el otro de latón. ¿Qué aumento de temperatura se requiere para que los cubos llenen completamente el espacio? 17.32
578
Capítulo 17
Temperatura
Un anillo del pistón de latón se debe encajar en un pistón, calentando primero al anillo y después deslizándolo sobre el pistón. El anillo del pistón tiene un diámetro interior de 10.00 cm y un diámetro exterior de 10.20 cm. El pistón tiene un diámetro exterior de 10.10 cm y un surco para el anillo del pistón tiene un diámetro exterior de 10.00 cm. ¿A qué temperatura se debe calentar el anillo del pistón de tal manera que se deslice sobre el pistón? 17.33
Una esfera de aluminio con radio de 10.0 cm se calienta desde 100.0 °F hasta 200.0 °F. Encuentre a) el cambio de volumen y b) el cambio de radio. 17.34
Los rieles de acero para un ferrocarril se tienden en una región sujeta a extremos de temperatura. La distancia de una juntura a la otra es de 5.2000 m y el área de la sección transversal de los rieles es de 60. cm 2. Si los rieles se tocan entre sí sin pandearse a la temperatura máxima, 50. °C, ¿cuánto espacio habrá entre los rieles a –10. °C? 17.35
A pesar de que el acero tiene un coeficiente de expansión lineal relativamente bajo ( acero = 13 · 10–6 °C –1), la expansión de los rieles de acero potencialmente puede crear problemas significativos en los días de verano muy calurosos. A fin de acomodar para la expansión térmica, se deja un espacio entre las secciones consecutivas de la vía. Si cada sección tiene una longitud de 25.0 m a 20.0 °C y el espacio entre las secciones es de 10.0 mm de ancho, ¿cuál es la mayor temperatura que los carriles pueden soportar antes de que la expansión cree fuerzas de compresión entre las secciones? 17.36
Un dispositivo médico usado para manejar muestras de tejido tiene dos tornillos metálicos, uno de 20.0 cm de longitud y hecho de latón (b = 18.9 · 10–6 °C–1) y el otro de 30.0 cm de longitud y hecho de aluminio ( a = 23.0 · 10–6 °C–1). Existe un espacio de 1.00 mm entre los ext remos de los tornillos a 22.0 °C. ¿A qué temperatura se tocarán los dos tornillos? 17.37
Usted está diseñando un termómetro de mercurio de precisión, basado en la expansión térmica del mercurio ( = 1.8 · 10–4 °C–1), el cual causa que el mercurio se expanda hacia arriba en un delgado tubo capilar conforme se incrementa la temperatura. La ecuación para el cambio en el volumen del mercurio como función de la temperatura es V = V 0T , donde V 0 es el volumen inicial del mercurio y V es el cambio de volumen debido a un cambio de temperatura T . En respuesta al cambio de temperatura de 1.0 °C, la columna de mercurio en su termómetro de precisión deberá moverse una distancia D = 1.0 cm por un tubo capilar de radio r = 0.10 mm. Determine el volumen inicial del mercurio que permita este cambio. Entonces, encuentre el radio del bulbo esférico que contenga este volumen de mercurio.
Un reloj basado en un péndulo simple se sitúa a la intemperie en Anchorage, Alaska. El péndulo consiste en una masa de 1.00 kg que cuelga de una barra delgada de latón que tiene una longitud de 2.000 m. El reloj se calibra perfectamente durante un día de verano con una temperatura promedio de 25.0 °C. Durante el invierno, cuando la temperatura promedio en el transcurso de un periodo de 24 horas es de −20 °C, encuentre el tiempo transcurrido para este periodo según el reloj de péndulo simple. 17.41
•
En una planta de fabricación de termómetros, un tipo de termómetro de mercurio se construye a temperatura ambiente (20 °C) para medir temperaturas en el rango de 20 a 70 °C, con un recipiente esférico de 1 cm 3 en el fondo y un tubo capilar de expansión con un diámetro interior de 0.5 mm. El espesor de la pared del recipiente es despreciable y la marca de los 20 °C se encuentra en la unión entre el recipiente esférico y el tubo. Los tubos y los recipientes están hechos de sílice fundido, una forma vítrea transparente de SiO 2, la cual tiene un coeficiente de expansión térmica muy bajo ( = 0.4 · 10–6 °C–1). Por error, el material usado para un lote de termómetros fue el cuarzo , una forma cristalina transparente de SiO2, con un coeficiente de expansión térmica mucho mayor ( = 12.3 · 10–6 °C–1). ¿Tendrá el fabricante que descartar el lote, o funcionarán bien los termómetros, dentro de la incertidumbre de 5% en la lectura de la temperatura? El coeficiente de expansión volumétrica del mercurio es = 181 · 10–6 °C–1. 17.42
•
Los extremos de dos barras mostradas en la figura se encuentran separadas por 5.0 mm a 25 °C. La barra a mano izquierda es de latón y tiene una longitud de 1.0 m; la barra a mano derecha es de acero y tiene una longitud de 1.0 m. Suponiendo que los extremos exteriores de las barras se apoyan firmemente contra soportes rígidos, ¿a qué temperatura se tocarán apenas los extremos de las barras que se enfrentan? 17.43
•
5.0 mm
17.38
•
En un caluroso día de verano, una piscina cúbica se llena hasta 1.0 cm del borde superior con agua a 21 °C. Cuando el agua se calienta a 37 °C, el agua se desborda. ¿Cuál es la profundidad de la piscina? 17.39
•
17.40 Una barra de acero con longitud de 1.0 m se suelda al extremo de una barra de aluminio con longitud de 2.0 m (las longitudes se midieron a 22 °C). La barra combinada se calienta a 200. °C. ¿Cuál es el cambio en la longitud de la barra combinada a 200. °C? •
17.44 La figura muestra un péndulo que compensa la temperatura en Barras de el cual barras de plomo y plomo de de acero están dispuestas longitud L de tal forma que la longitud del péndulo no resulta afectada por los cambios en la temperatura. Determine la longitud, L, de las dos barras de plomo. •
Pivote
Barras de acero de 50.0 cm de longitud Pesa
17.45 Considere una tira bimetálica que consiste en una tira superior de latón con un espesor de 0.50 mm soldada a una tira inferior de acero de 0.50 mm de espesor. Cuando la temperatura de la tira bimetálica se incrementa por 20. K, la punta que no está sujeta se desvía por 3.0 mm de su posición recta original, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la tira en su posición original? •
3.0 mm
Problemas
La expansión térmica parece ser un efecto pequeño, pero puede generar fuerzas tremendas a menudo destructivas. Por ejemplo, el acero tiene un coeficiente de expansión lineal de = 1.2 · 10–5 °C–1 y el módulo de compresibilidad B = 160 GPa. Calcule la presión generada en el acero por un incremento de 1.0 °C en la temperatura. 17.46
•
A temperatura ambiente, una herradura de hierro, cuando se sumerge en un tanque cilíndrico de agua (radio de 10.0 cm) hace que el nivel del agua suba 0.25 cm sobre el nivel que tiene sin la herradura en el tanque. Cuando se calienta en la fragua del herrero desde la temperatura ambiente hasta una temperatura de 7.00 · 102 K, se le forja con su forma final y entonces se le sumerge de nuevo en el agua, ¿cuánto sube el agua sobre el nivel de “no herradura” (ignore el agua que se evapora cuando la herradura entra al agua)? Nota: El coeficiente de expansión lineal del hierro es más o menos el del acero: 11 · 10 –6 °C–1. 17.47
•
17.48 Un reloj tiene un péndulo de aluminio con un periodo de 1.000 s a 20.0 °C. Suponga que el reloj se mueve a un lugar donde la temperatura promedio es de 30.0 °C. Determine a) el nuevo periodo del péndulo de reloj y b) cuánto tiempo perderá o ganará el reloj en una semana.
579
Otro dispositivo de MEMS usado con el mismo propósito que el del problema 17.49, tiene un diseño diferente. Este actuador electrotérmico consiste en una viga de silicio delgada en forma de V, como se muestra en la figura. La viga no está sujeta al sustrato bajo el dispositivo, sino que se encuentra libre de moverse, en tanto que los contactos eléctricos (marcados + y − en la figura) están sujetos al sustrato y no pueden moverse. La viga abarca el espacio entre los contactos eléctricos que tiene una anchura de 1 800 μm y las dos mitades se inclinan hacia arriba a partir de la horizontal por 0.10 rad. La corriente eléctrica fluye a través de la viga, haciendo que ésta se caliente. Cuando se hace fluir la corriente a través de la viga, ésta alcanza una temperatura de 500. °C. Suponga que la temperatura es constante por la longitud entera de dicha viga (estrictamente hablando, éste no es el caso). ¿Cuánto y en qué dirección se moverá la punta? El coeficiente de expansión lineal del silicio es de 3.2 · 10–6 °C–1. 17.50
•
•
Usando técnicas semejantes a las que se desarrollaron para la electrónica de semiconductores miniaturizados, los científicos y los ingenieros están creando los Sistemas MicroElectro-Mecánicos (MEMS). Un ejemplo es un actuador electrotérmico que está impulsado al calentar sus diferentes partes usando una corriente eléctrica. El dispositivo se usa para posicionar las fibras ópticas con un diámetro de 125 m con una resolución submicrónica y consiste en brazos de silicio delgado y grueso, conectados en la forma de una U, como se muestra en la figura. Los brazos no están sujetos al sustrato 17.49
•
17.51 El volumen de 1.00 kg de agua líquida en el rango de temperaturas de 0.00 °C a 50.0 °C se ajusta razonablemente a la función polinómica V = 1.00016 – (4.52 · 10–5)T + (5.68 · 10–6)T 2, donde el volumen se mide en metros cúbicos y T es la temperatura en grados Celsius. a) Use esta información para calcular el coeficiente de expansión volumétrica para el agua líquida como función de la temperatura. b) Evalúe su expresión a 20.0 °C y compare el valor con la listada en la tabla 17.3. •
17.52 a) Suponga que una tira bimetálica se construye de tiras de cobre y acero con un espesor de 1.0 mm y una longitud de 25 mm y la temperatura de la tira se reduce por 5.0 K. Determine el radio de curvatura de la tira enfriada (el radio de curvatura de la interfaz entre las dos tiras). ••
bajo el dispositivo, sino que están libres de moverse, en tanto que los contactos eléctricos (marcados 1 y 2 en la figura) están sujetos al sustrato e incapaces de moverse. El brazo delgado tiene una anchura de 3.0 · 10 1 m y el brazo grueso tiene una anchura de 130 m. Ambos brazos tienen una longitud de 1 800 m. Una corriente eléctrica fluye a través de los brazos, haciendo que éstos se calienten. A pesar de que la misma corriente pasa a través de ambos brazos, el brazo delgado tiene una resistencia eléctrica mayor que el brazo ancho y, por lo tanto, disipa más energía eléctrica y se torna sustancialmente más caliente. Cuando se hace circular la corriente a través de las vigas, la viga delgada alcanza una temperatura de 4.0 · 10 2 °C, y la viga gruesa alcanza una temperatura de 2.0 · 10 2 °C. Suponga que la temperatura en cada viga es constante por la longitud entera de dicha viga (estrictamente hablando, éste no es el caso) y que las dos vigas permanecen paralelas y se doblan sólo en el plano del papel a temperaturas mayores. ¿Cuánto y en qué dirección se moverá la punta? El coeficiente de expansión lineal del silicio es de 3.2 · 10–6 °C–1.
b)
Si la tira tiene una longitud de 25 mm, ¿qué tan lejos se encuentra la desviación máxima de la tira a partir de la orientación recta? Problemas adicionales
Un cubo de cobre con una arista de longitud de 40.0 cm se calienta desde 20. °C hasta 120 °C. ¿Cuál es el cambio en el volumen del cubo? El coeficiente de expansión lineal del cobre es de 17 · 10–6 °C–1. 17.53
Cuando un tubo metálico con una longitud de 50.0 m se calienta desde 10.0 °C hasta 40.0 °C, se alarga por 2.85 cm. a) Determine el coeficiente de expansión lineal. b) ¿De qué tipo de metal está hecho el tubo? 17.55 En una fresca mañana, con una temperatura de 15.0 °C, un pintor llena un recipiente de aluminio de 5.00 galones hasta el borde con trementina. Cuando la temperatura alcanza los 27.0 °C, ¿qué cantidad de fluido se derrama del recipiente? 17.54
580
Capítulo 17
Temperatura
El coeficiente de expansión volumétrica de esta marca de trementina es de 9.00 · 10–4 °C–1. 17.56 Un edificio con una infraestructura de acero tiene una altura de 6.00 · 102 m en un día cuando la temperatura es de 0.00 °C. ¿Cuánto más alto es el edificio en un día en que la temperatura es de 45.0 °C? El coeficiente de expansión lineal del acero es de 1.30 · 10–5 °C–1. 17.57 Con objeto de crear un ajuste apretado entre dos partes metálicas, en ocasiones los maquinistas hacen la parte interior mayor que el agujero en el que ajustarán y entonces, ya sea que enfríen la parte interior o bien calienten la parte exterior hasta que ajusten una con la otra. Suponga que una barra de aluminio con un diámetro D1 (a 2.0 · 101 °C) debe encajar en un agujero en una placa de latón con un diámetro D2 = 10.000 mm (a 2.0 · 101 °C). Los maquinistas pueden enfriar la barra a 77.0 K, sumergiéndola en nitrógeno líquido. ¿Cuál es el máximo diámetro posible que puede tener la barra a 2.0 · 10 1 °C y que apenas encaje en el agujero si la barra se enfría a 77.0 K y la placa de latón se conserva a 2.0 · 101 °C? Los coeficientes de expansión lineal del aluminio y del latón son 22 · 10 –6 °C–1 y 19 · 10–6 °C–1, respectivamente. 17.58 Un vehículo militar carga gasolina en Estados Unidos, en preparación para embarcarse al extranjero. Su tanque de combustible tiene una capacidad de 213 L. Cuando carga combustible, la temperatura es de 57 °F. En su destino, podría requerirse que funcione a temperaturas hasta de 120 °F. ¿Cuál es el máximo volumen de gasolina que debe ponerse en el tanque? 17.59 Un termómetro de mercurio contiene 8.0 mL de mercurio. Si el tubo capilar del termómetro tiene un área de sección transversal de 1.0 mm 2, ¿cuál debe ser el espaciado entre las marcas de °C? 17.60 Un recipiente de 14 galones se llena con gasolina. Desprecie el cambio en el volumen del recipiente y encuentre cuántos galones se pierden si la temperatura se incrementa en 27 °F. El coeficiente de expansión volumétrica de la gasolina es de 9.6 · 10–4 °C–1. 17.61 Una autopista de losas de concreto se debe construir en el desierto de Libia, donde la máxima temperatura del aire registrada es de 57.8 °C. La temperatura es de 20.0 °C durante la construcción de la autopista. Las losas se miden en 12.0 m de longitud a dicha temperatura. ¿Cuán anchas deben ser las rendijas de expansión entre las losas (a 20.0 °C) para evitar el pandeo a la máxima temperatura? 17.62 Una vasija de aluminio con una capacidad en volumen de 500. cm3 se llena con agua hasta el borde a 20. °C. La vasija y su contenido se calientan hasta 50. °C. Durante el proceso de calentamiento, ¿se derramará el agua por los bordes, habrá más espacio para agregar agua o permanecerá el mismo nivel del agua? Calcule el volumen de agua que se derramará o que podría agregarse, en su caso. 17.63 ¿Cuánto debe cambiar la temperatura de una masa dada de keroseno para que su volumen se incremente en 1.0%? 17.64 Una hoja de plástico de epoxia tiene agujeros uniformes con radio de 1.99 cm. Se quiere que los agujeros permitan que unas bolas de rodamiento con un radio externo de
2.00 cm pasen apenas a través de éstos. ¿Sobre qué aumento de temperatura debe calentarse la hoja de plástico de epoxia de tal forma que las bolas de rodamiento pasen a través de los agujeros? El coeficiente de expansión lineal del plástico de epoxia es como de 1.3 · 10–4 °C–1. 17.65 Un disco de latón uniforme de radio R y masa M con un momento de inercia I en torno de su eje cilíndrico se encuentra a una temperatura T = 20. °C. Determine el cambio fraccional de su momento de inercia si se calienta a una temperatura de 100. °C. 17.66 Una bola de latón con un diámetro de 25.01 mm reposa a temperatura ambiente sobre un agujero con un diámetro de 25.00 mm practicado en una placa de aluminio. La bola y la placa se calientan uniformemente en un horno, de tal forma que ambas están a la misma temperatura en todo momento. ¿A qué temperatura caerá la bola a través de la placa? 17.67 En un juego de basquetbol improvisado, su amigo se agrietó un diente en una colisión con otro jugador mientras intentaba encestar. Para corregir este problema, el dentista colocó una banda de acero con un diámetro interno inicial de 4.4 mm y un área de sección transversal con ancho de 3.5 mm y espesor de 0.45 mm sobre el diente. Antes de colocar la banda sobre el diente, calentó la banda a 70. °C. ¿Cuál será la tensión en la banda una vez que se enfríe a la temperatura de la boca de su amigo (37 °C)? 17.68 Su profesor de física asignó un proyecto de construcción de un termómetro. Le dio a usted un tubo de vidrio con un diámetro interior de 1.00 mm y un receptáculo en un extremo. También le dio 8.63 cm 3 de mercurio para verterlo en el tubo, el cual llenó el receptáculo y parte del tubo. Usted debe agregar marcas que indiquen los grados Celsius sobre el tubo de vidrio. ¿A qué incrementos deben ponerse las marcas? Usted sabe que el coeficiente de expansión volumétrica del mercurio es de 1.82 · 10–4 °C–1. 17.69 Usted está construyendo un dispositivo para ambientes ultrafríos. Debido que el dispositivo se usará en ambientes donde la temperatura cambiará por 200. °C en 3.00 s, debe tener la habilidad de soportar el choque térmico (cambios rápidos de temperatura). El volumen del dispositivo es de 5.00 3 10–5 m 3 y si el volumen cambia por 1.00 3 10–7 m 3 en un intervalo de tiempo de 5.00 s, el dispositivo se quebrará y quedará inútil. ¿Cuál es el máximo coeficiente de expansión volumétrica que puede tener el material que use para construir el dispositivo? 17.70 Una barra de acero con una longitud de 1.0000 m y un área de sección transversal de 5.00 · 10–4 m2 se coloca de manera ajustada contra dos puntos extremos inmóviles. La barra se coloca inicialmente cuando la temperatura es de 0 °C. Encuentre el esfuerzo en la barra cuando la temperatura sube a 40. °C. 17.71 Puede pensarse que un clarín de l atón es un tubo con una abertura en ambos extremos (la física real se complica por la interacción de boca del clarín y la boquilla y el pabellón acampanado). La longitud global del clarín si se estira es de 183.0 cm (a 20.0 °C). Un clarín se toca en un caluroso día de verano (41.0 °C). Encuentre la frecuencia fundamental si a) sólo se considera el cambio en la temperatura del aire; b) sólo se considera cambio en la longitud del clarín, y c) se consideran ambos efectos en los incisos a) y b). •
•
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El calor y la primera ley de la termodinámica
18
LO QUE APRENDEREMOS
582
18.1 Definición de calor 18.2 Equivalente mecánico del calor
582 583
Ejemplo 18.1 Contenido energético de una barrita de dulce
18.3 Calor y trabajo 18.4 Primera ley de la termodinámica Ejemplo 18.2 Levantador de pesas Ejemplo 18.3 Un camión que se desliza hasta detenerse
18.5 La primera ley para procesos especiales Procesos adiabáticos Procesos a volumen constante Procesos en trayectoria cerrada Expansión libre Procesos a presión constante Procesos a temperatura constante
18.6 Calores específicos de sólidos y fluidos
584 584 586 586 587 588 588 588 588 589 589 589 589
Ejemplo 18.4 Energía requerida para calentar agua
Calorimetría
Problema resuelto 18.1 Agua y plomo
18.7 Calor latente y transiciones de fase
590 591 591 592
Ejemplo 18.5 Calentamiento del hielo en agua y del agua en vapor Ejemplo 18.6 Trabajo efectuado al vaporizar el agua
18.8 Modos de la transferencia de energía térmica Conducción
Ejemplo 18.7 Aislante del techo Problema resuelto 18.2 Costo de calentar
594 595 596 596 597
597 Convección 599 Problema resuelto 18.3 Corriente del Golfo 600 Radiación 602 una casa en invierno
Ejemplo 18.8 La Tierra como un cuerpo negro
FIGURA 18.1
Una tormenta.
El calentamiento global El calor en las computadoras
LO QUE HEMOS APRENDIDO/ GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN Práctica para resolución de problemas
603 603 605
605 606
Problema resuelto 18.4 Flujo de la energía térmica a través de una barra de cobre/aluminio
Preguntas de opción múltiple Preguntas Problemas
607 608 609 610
582
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
LO QUE APRENDEREMOS ■ El calor es energía térmica que se transfiere entre un ■
■ ■ ■
sistema y su ambiente o entre dos sistemas, como resultado de una diferencia de temperatura entre éstos. La primera ley de la termodinámica afirma que el cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual a la energía térmica absorbida por el sistema menos el trabajo efectuado por el sistema. Agregar energía térmica a un objeto aumenta su temperatura. Este aumento de temperatura es proporcional a la capacidad calorífica, C , del objeto. La energía térmica agregada a un objeto de masa m es igual al producto del calor específico del objeto, c, y m, y el aumento de la temperatura del objeto. Si se agrega energía térmica a un objeto sólido, su temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de
■
■
fusión. Si se continúa agregando energía térmica, la temperatura del objeto permanece constante hasta que el objeto se funde por completo en un líquido. El calor requerido para fundir un objeto a su punto de fusión, dividido entre su masa, es el calor latente de fusión. Si se agrega energía térmica a un líquido, su temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de ebullición. Si se continúa agregando energía térmica, la temperatura del líquido permanece constante hasta que todo el líquido se vaporiza a un gas. El calor requerido para vaporizar un líquido a su punto de ebullición, dividido entre su masa, es el calor latente de vaporización. Los tres modos principales de transferencia de energía térmica son conducción, convección y radiación.
El clima terrestre está impulsado por la energía térmica en la atmósfera. Las regiones ecuatoriales reciben más radiación solar que las regiones polares; así es que el aire caliente se mueve del norte y del sur del Ecuador hacia los polos para distribuir la energía térmica más uniformemente. Esta transferencia de energía térmica, llamada convección, establece corrientes de viento en torno del globo, llevando nubes y lluvia lo mismo que aire. En casos extremos, el aire caliente ascendente y el aire frío descendente forman tormentas impresionantes como la tempestad de truenos mostrada en la figura 18.1. Las tormentas circulares —tornados y huracanes— también están impulsadas por la colisión violenta del aire caliente con el aire más frío. Este capítulo examina la naturaleza del calor y los mecanismos de la transferencia de energía térmica. El calor es una forma de energía que se transfiere hacia dentro o hacia fuera del sistema. De esta manera, el calor es gobernado por una forma más general de la ley de la conservación de energía, conocida como la primera ley de la termodinámica. Nos enfocaremos en dicha ley en este capítulo, junto con algunas de sus aplicaciones a los procesos termodinámicos y los cambios en el calor y la temperatura. El calor es esencial para los procesos de la vida; no podría existir la vida en la Tierra sin el calor del Sol o del interior de la Tierra. Sin embargo, el calor también causa problemas con la operación de circuitos eléctricos, motores y otros dispositivos mecánicos. Cada rama de la ciencia y la ingeniería también deben tratar con el calor en una forma u otra y, es por ello que, los conceptos en este capítulo son importantes para todas las áreas de la investigación, el diseño y el desarrollo.
18.1 Definición de calor El calor es una de las formas más comunes de energía en el universo y todos la experimentamos cada día. Con todo, las personas tienen conceptos erróneos acerca del calor que a menudo causan confusión. Por ejemplo, un objeto ardiente como la llama de una vela no “tiene” calor que emite cuando se torna suficientemente caliente. En lugar de esto, la llama de la vela transmite energía, en la forma de calor, al aire en derredor de ésta. Para aclarar estas ideas, necesitamos comenzar con definiciones claras y precisas del calor y las unidades usadas para medirlo. Si usted vierte agua fría en un vaso y pone el vaso en la mesa de la cocina, el agua se calentará lentamente hasta que alcance la temperatura del aire en el cuarto. De manera semejante, si usted vierte agua caliente en un vaso y lo coloca en la mesa de la cocina, el agua se enfriará lentamente hasta que alcance la temperatura del aire en el cuarto. El calentamiento o el enfriamiento tienen lugar con rapidez al principio y luego en forma más lenta, conforme el agua se acerca al equilibrio térmico con el aire en la cocina. En el equilibrio térmico, el agua, el vidrio y el aire en el cuarto se encuentran todos a la misma temperatura. El agua en el vaso es un sistema con temperatura T s y el aire en la cocina es un ambiente con temperatura T e. Si T s ≠ T e, entonces la temperatura del sistema cambia hasta que es igual a la temperatura del ambiente. Un sistema puede ser simple o complejo; es justamente cualquier objeto o
18.2
Equivalente mecánico del calor
583
colección de objetos que deseamos examinar. La diferencia entre el ambiente y el sistema es que el ambiente es grande comparado con el sistema. La temperatura del sistema afecta al ambiente, pero supondremos que el ambiente es tan grande que cualesquiera cambios en la temperatura son imperceptibles. El cambio en la temperatura del sistema se debe a la transferencia de energía entre el sistema y su ambiente. Este tipo de energía es la energía térmica, una energía interna relacionada con el movimiento de los átomos, moléculas y electrones que FIGURA 18.2 a) Un sistema empotrado en un ambiente que tiene una constituyen al sistema o al ambiente. La energía térmica en el temperatura mayor. b) Un sistema empotrado en un ambiente que tiene la misma temperatura. c ) Un sistema empotrado en un ambiente que tiene proceso de transferirse de un cuerpo a otro se llama calor y se una temperatura menor. simboliza con Q. Si la energía térmica se transfiere hacia dentro del sistema, entonces Q > 0 [figura 18.2a)]. Esto es, el sistema gana energía térmica cuando recibe calor de su ambiente. Si la energía térmica se transfiere desde el sistema hacia el ambiente, entonces Q < 0 [figura 18.2c)]. Si el sistema y su ambiente tienen la misma temperatura [figura 18.2 b)], entonces Q = 0. El flujo de energía térmica hace que el sistema gane o pierda energía térmica.
Definición El calor, Q, es la energía transferida entre un sistema y su ambiente (o entre dos sistemas) debido a una diferencia de temperatura entre éstos. Cuando la energía fluye dentro del sistema, Q > 0; cuando la energía fluye fu era del sistema, Q < 0.
18.2 Equivalente mecánico del calor Recuerde del capítulo 5 que la energía también puede transferirse entre un sistema y su ambiente como trabajo efectuado por una fuerza que actúa sobre el sistema o por el sistema. El concepto de calor y trabajo, discutido en la sección 18.3, puede definirse en términos de la transferencia de energía hacia o desde un sistema. Podemos referirnos a la energía interna del sistema, pero no al calor contenido en el sistema. Si observamos el agua caliente en un vaso, no sabemos si la energía térmica se transfirió al agua o se efectuó un trabajo sobre el agua. El calor es energía transferida y puede cuantificarse usando la unidad de energía del SI, el joule (J). Originalmente, el calor se medía en términos de su habilidad para elevar la temperatura del agua. La caloría (cal) se definió como la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de 1 gramo de agua por 1 °C. Otra medida común del calor, usada aún en Estados Unidos, es la unidad térmica británica (BTU), definida como la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de 1 libra de agua por 1 °F. Sin embargo, el cambio en la temperatura del agua como función de la cantidad de energía térmica transferida a ésta depende de la temperatura original del agua. Las definiciones reproducibles de la caloría y la unidad térmica británica requerían que las mediciones se efectuaran a temperatura inicial específica. En un experimento clásico realizado en 1843, el físico inglés James Prescott Joule mostró que la energía mecánica de un objeto podría convertirse en energía térmica. El aparato que Joule usó consistía en una gran masa soportada por una cuerda que pasaba por una polea y enrollada en torno de un eje (figura 18.3). Conforme la masa descendía, la cuerda al desenrollarse hacía dar vueltas a un par de paletas grandes en un recipiente con agua. Joule mostró que el aumento en la temperatura del agua estaba directamente relacionado con el trabajo mecánico efectuado por el objeto que caía. De esta manera, Joule demostró que podría convertirse en energía térmica y encontró una relación entre la caloría y el joule (la unidad de energía llamada así en su honor). La definición moderna de la caloría está basada en el joule. La caloría se define como exactamente 4.186 J, sin ninguna referencia al cambio en la temperatura del agua. Los siguientes son algunos factores de conversión para las unidades de energía: 1 cal = 4.186 J 1 BTU = 1 055 J 1 kW h = 3.60 ⋅106 J 1 kW h = 3 412 BTU.
(18.1)
Termómetro
Paletas Pesa Agua
FIGURA 18.3 Aparato para el experimento de Joule, que sirve para demostrar el equivalente mecánico del calor.
584
Capítulo 18 El calor y la primera ley de la t ermodinámica
El contenido energético de la comida se expresa normalmente en términos de calorías. Una caloría de la comida, a menudo llamada una Caloría, o una kilocaloría, no es igual a la caloría recién definida; una caloría de la comida es equivalente a 1 000 cal. El costo de energía eléctrica se manifiesta en kilowatt-hora (kWh).
EJEMPLO 18.1
Contenido energético de una barrita de dulce
PROBLEMA La etiqueta de una barrita de dulce establece que tiene 275 calorías. ¿Cuál es el contenido energético de esta barrita de dulce en joules?
SOLUCIÓN Las calorías de la comida son kilocalorías y 1 kcal = 4 186 J. La barrita de dulce tiene 275 kcal o
4 186 J 6 1kcal =1.15 ⋅10 J.
275 kcal
DISCUSIÓN Observe que esta energía es suficiente para elevar un camión pequeño con un peso de 22.2 kN (una masa de 5 000 lb) una distancia de 52 m. Una persona de 73 kg (160 lb) tendría que caminar una hora a 1.6 m/s (3.5 mph) para quemar las calorías que vienen de consumir esta barrita de dulce.
18.3 Calor y trabajo F Pistón
A Gas
F ext p
Miremos cómo la energía puede transferirse como calor o trabajo entre un sistema y su ambiente. Consideraremos un sistema que consiste de un cilindro lleno de gas con un pistón (figura 18.4). El gas en el cilindro puede des cribirse por una temperatura T , una presión p y un volumen V . Suponemos que la pared lateral del cilindro no permite que el calor l o penetre. El gas está en contacto térmico con un depósito térmico infinito, que es un objeto tan grande que su temperatura no cambia incluso cuando experimenta un flujo de energía térmica hacia dentro o hacia fuera de ésta. (Los depósitos térmicos reales incluyen el océano, la atmósfera y la Tierra misma.) Este depósito también tiene una temperatura T . En la figura 18.4a), una fuerza externa, F ext , empuja sobre el pistón. El gas entonces empuja hacia atrás con una fuerza, F dada por la presión del gas, p, por el área, A, del pistón: F = pA (vea el capítulo 13). Para describir el comportamiento de este sistema, consideramos el cambio a partir del estado inicial especificado por la presión pi, volumen V i y temperatura T i y un estado final especificado por pf , volumen V f y temperatura T f . Imagine que los cambios se realizan lentamente, de manera que permanece cerca del equilibrio, permitiendo mediciones de p, V y T . La progresión del estado inicial al estado final es un proceso termodinámico. Durante este proceso, la energía térmica puede transferirse hacia dentro del sistema (calor positivo) o puede transferirse hacia fuera del sistema (calor negativo). Cuando la fuerza externa se retira [figura 18.4b)], el gas en el cilindro empuja al pistón hacia fuera una distancia dr . El trabajo efectuado por el sistema en este proceso es
,
Depósito térmico a)
F dr A
Pistón Gas
p
dW = F idr = ( pA)(dr ) = p( Adr ) = pdV , Depósito térmico b)
donde dV = Adr es el cambio en el volumen del sistema. De esta manera, el trabajo efectuado por el sistema al pasar de la configuración inicial a la configuración final está dado por
FIGURA 18.4
Un cilindro lleno de gas con un pistón. El gas está en contacto térmico con un depósito térmico infinito. a) Una fuerza externa empuja sobre el pistón, creando una presión en el gas. b) La fuerza externa se retira, permitiendo que el gas empuje al pistón hacia fuera.
W=
∫
V f
dW =
∫
pdV .
(18.2)
V i
Observe que durante este cambio en el volumen, la presión también puede cambiar. Para evaluar esta integral, necesitamos conocer la relación entre la presión y el volumen para este proceso. Por ejemplo, si la presión permanece constante, obtenemos V f
W=
∫
V i
V f
pdV = p
∫
V i
dV = p(Vf – Vi ) (para una presión constante).
(18.3)
18.3
La ecuación 18.3 indica que, a presión constante, un cambio negativo en el volumen (compresión) corresponde a un trabajo negativo efectuado por el sistema. La figura 18.5 muestra gráficas de presión contra volumen, llamadas en ocasiones diagramas . Las tres partes de la figura muestran diferentes trayectorias, o formas de cambiar la presión y pV el volumen de un sistema desde una condición inicial hasta una condición final. La figura 18.5 a) ilustra un proceso que comienza en un punto inicial i y procede a un punto final f de tal manera que la presión disminuye conforme el volumen aumenta. El trabajo efectuado por los sistemas está dado por la ecuación 18.2. La integral puede representarse como el área bajo la curva, mostrada con un sombreado verde en la figura 18.5a). En este caso, el trabajo efectuado por el sistema es positivo porque el volumen del sistema aumenta (expansión). La figura 18.5b) ilustra un proceso que comienza en un punto inicial i y procede a un punto final f a través de un punto intermedio m. El primer paso involucra un aumento en el volumen en tanto se conserva la presión constante. Una forma de completar este paso es incrementar la temperatura del sistema conforme el volumen aumenta, manteniendo una presión constante. El segundo paso consiste en disminuir la presión mientras se mantiene el volumen constante. Una forma de lograr esta tarea es disminuir la temperatura quitando energía térmica del sistema. De nuevo, el trabajo efectuado por el sistema puede representarse por el área bajo la curva, mostrada con sombreado verde en la figura 18.5b). El trabajo efectuado por el sistema es positivo porque el volumen del sistema aumenta. Sin embargo, el trabajo realizado por el sistema se origina sólo en el primer paso. En el segundo paso, el sistema no hace trabajo porque el volumen no cambia. La figura 18.5c) ilustra otro proceso que comienza en un punto inicial i y procede a un punto final f a través de un punto intermedio m. El primer paso involucra disminuir la presión del sistema mientras se mantiene el volumen constante. El segundo paso consiste en aumentar el volumen mientras se mantiene la presión constante. De nuevo, el trabajo efectuado por el sistema puede representarse por el área bajo la curva, mostrada con sombreado verde en la figura 18.5 c). El trabajo hecho por el sistema es otra vez positivo debido a que el volumen del sistema aumenta. Sin embargo, el trabajo efectuado por el sistema se origina sólo en el segundo paso. En el primer paso, el sistema no hace ningún trabajo debido a que el volumen no cambia. El trabajo neto efectuado en este proceso es menor que el trabajo realizado por el proceso en la figura 18.5b), ya que el área verde es menor. La energía térmica absorbida también debe ser menor, debido a que los estados inicial y final s on los mismos en estos dos procesos, así que el cambio en la energía interna es el mismo. (Esta conexión entre el trabajo, el calor y el cambio en la energía interna se discute con más detalle en la sección 18.4.) De esta manera, el trabajo efectuado por un sistema y la energía térmica transferida al sistema dependen de la forma en que el sistema se mueve de un punto inicial a un punto final en un diagrama pV . Nos referimos a este t ipo de procesos como procesos dependientes de la trayectoria . Los diagramas pV en la figura 18.6 invierten los procesos mostrados en la figura 18.5 al comenzar en los puntos finales de la figura 18.5 y procediendo a lo largo de la misma trayectoria a los puntos iniciales. En cada uno de dichos casos, el área bajo la curva representa el negativo del trabajo efectuado por el sistema al moverse de un punto inicial i a un punto final f . En los tres casos, el trabajo efectuado por el sistema es negativo debido a que el volumen del sistema disminuye. Suponga que un proceso comienza en algún punto sobre el diagrama pV , sigue alguna trayectoria y regresa al punto original. Una trayectoria que regresa a su punto inicial se llama trayectoria cerrada. Dos ejemplos de trayectorias cerradas se ilustran en la figura 18.7. En la figura 18.7a), un proceso comienza en un punto inicial i y procede a un punto intermedio m1; el volumen aumenta mientras se mantiene la presión constante. De m1, la trayectoria va al punto intermedio m2; el volumen se mantiene constante mientras la presión disminuye. Desde el pun-
Las trayectorias de tres procesos en diagramas pV . Éstos son los procesos inversos de los mostrados en la figura 18.5. FIGURA 18.6
Calor y trabajo
585
Las trayectorias de tres diferentes procesos en diagramas pV . a) Un proceso en el cual la presión disminuye conforme el volumen aumenta. b) Un proceso en el cual el primer paso consiste en aumentar el volumen mientras se mantiene la presión constante y el segundo paso consiste en disminuir la presión mientras se mantiene el volumen constante. c ) Otro proceso en dos pasos, en el cual el primer paso consiste en mantener el volumen constante y disminuir la presión, y el segundo paso consiste en mantener la presión constante mientras se aumenta el volumen. En los tres casos, el área verde bajo la curva representa el trabajo efectuado durante el proceso. FIGURA 18.5
586
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
FIGURA 18.7
Dos proceso de trayectoria cerrada en diagramas pV .
18.1 Oportunidad de autoexamen Considere el proceso mostrado en el diagrama pV . La trayectoria pasa del punto i al punto f y de regreso al punto i . ¿El trabajo efectuado por el sistema es negativo, cero o positivo?
p i
f
V
to m2, la trayectoria va al punto intermedio m3, con la presión constante y el volumen decreciendo. Finalmente, el proceso se mueve desde el punto m3 al punto final, f , el cual es el mismo que el punto inicial, i. El área bajo la trayectoria de i a m1 representa el trabajo positivo efectuado por el sistema (el volumen aumenta), en tanto que el área bajo la trayectoria de m2 a m3 representa trabajo negativo efectuado sobre el sistema (el volumen disminuye). La adición del trabajo positivo y negativo produce trabajo neto positivo efectuado por el sistema, como se representa por el área del rectángulo verde en la figura 18.7 a). En este caso, el calor es positivo. La figura 18.7b) muestra la misma trayectoria sobre el diagrama pV que en la figura 18.7a), pero el proceso ocurre en la dirección opuesta. El área bajo la trayectoria desde el punto intermedio m1 al punto intermedio m2 corresponde al trabajo positivo efectuado por el sistema. El área bajo la trayectoria desde el punto intermedio m3 al punto final f corresponde al trabajo negativo efectuado sobre el sistema. El trabajo neto efectuado por el sistema en este caso es negativo, y su magnitud está representada por el área del rectángulo anaranjado en la figura 18.7 b). En este caso, el calor es negativo. La cantidad de trabajo efectuada por el sis tema y la energía térmica absorbida por el sistema dependen de la trayectoria tomada sobre el diagrama pV , lo mismo que de la dirección en la cual se toma la trayectoria.
18.4 Primera ley de la termodinámica Un sistema cerrado es un sistema hacia dentro o hacia fuera del cual la energía térmica puede transferirse, pero de la cual ningún componente puede escapar, y a la cual no se agregan componentes adicionales. El combinar varios de los conceptos cubiertos anteriormente en este capítulo nos permite expresar el cambio en la energía interna de un sistema cerrado en términos del calor y el trabajo como Eint = Eint,f – Eint,i = Q – W .
(18.4)
Esta ecuación se conoce como la primera ley de la termodinámica . Puede enunciarse como sigue: El cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual al calor adquirido p or el sistema menos el trabajo efectuado por el sistema. En otras palabras, la energía se conserva. El calor y el trabajo pueden transformarse en energía interna, pero ninguna energía se pierde. Observe que aquí el trabajo lo efectúa el sistema; no es efectuado sobre el sistema. Esencialmente, la primera ley de la termodinámica extiende la conser vación de energía (encontrada por vez primera en el capítulo 6) más allá de la energía mecánica para incluir el calor lo mis mo que el trabajo. (En otros contextos, tales como en l as reacciones químicas, el trabajo se define como el trabajo efectuado sobre el sistema, lo cual conduce a una con vención diferente para el trabajo. La convención del signo puede asignarse en cualquier forma, en tanto sea consistente.) Observe también que el cambio en la energía interna es independiente de la trayectoria, mientras que los cambios en el calor y el trabajo son dependientes de la trayectoria.
E J E M P L O 18.2
Levantador de pesas
PROBLEMA FIGURA 18.8
Un levantador de pesas compite en los Juegos Olímpicos de 2008.
Un levantador de pesas en una arrancada levanta una pesa con masa m = 180.0 kg y la mueve una distancia h = 1.25 m verticalmente, como se ilustra en la figura 18.8. Si consideramos al levantador de pesas como un sistema termodinámico, ¿cuánto calor debe emitir si su energía interna disminuye en 4 000.0 J?
18.4 Primera ley de la termodinámica
SOLUCIÓN Comenzamos con la primera ley de la termodinámica (ecuación 18.4): Eint = Q – W .
El trabajo es el trabajo mecánico efectuado sobre la pesa por el levantador de pesas:
W = mgh. El calor entonces está dado por
(
)
Q = ∆Eint + W = ∆Eint + mgh = – 4 000 J + (180.0 kg) 9.81 m/s2 (1.25 m) = – 1 790 J = –0.428 kcal. El levantador de pesas no puede convertir energía interna en trabajo útil s in emitir calor. Note que la disminución en la energía interna del levantador de pesas es menor al de una caloría de la comida: (4 000 J)/(4 186 J/kcal) = 0.956 kcal. La producción de calor es sólo de 0.428 kcal. Esta pequeña cantidad de energía interna y calor asociado con el gran esfuerzo requerido para levantar el peso es análogo a la cantidad de ejercicio que se requiere para quemar las calorías en una barrita de dulce (vea el ejemplo 18.1).
EJEMPLO 18.3
Un camión que se desliza hasta detenerse
PROBLEMA Los frenos de un camión en movimiento con una masa m = 3 000.0 kg se bloquean. El camión se desliza hasta detenerse en una carretera horizontal por una distancia L = 83.2 m. El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos del camión y la superficie de la carretera es k = 0.600. ¿Qué ocurre con la energía interna del camión?
SOLUCIÓN La primera ley de la termodinámica (ecuación 18.4) relaciona la energía interna, el calor y el trabajo efectuado sobre el sistema: Eint = Q – W .
En este caso, no se transfiere energía térmica hacia o desde el camión debido a que el proceso de deslizarse hasta detenerse es suficientemente rápido, de tal manera que no hay tiempo para transferir energía térmica en cantidades apreciables. De esta forma, Q = 0. El trabajo es efectuado por la fuerza de la fricción cinética, F f , para frenar y detener al camión. La magnitud del trabajo efectuado sobre el camión es (vea el capítulo 5) W = Ff L = k mgL ,
donde mg es la fuerza normal ejercida sobre la carretera por el camión. Debido a que el trabajo es efectuado sobre el camión, es negativo, y tenemos
(
)
Eint = 0 – – kmgL = k mgL.
Al sustituir los valores numéricos nos da ∆E int =
(0.600)(3 000.0 kg)(9.81 m/s2 )(83.2 m) = 1.47 MJ.
Este incremento en la energía interna puede calentar los neumáticos del camión. El capítulo 6 discute la conservación de la energía para fuerzas conservativas y no conservativas. Aquí vemos que la energía se conserva porque el trabajo mecánico puede convertirse en energía interna.
DISCUSIÓN Observe que hemos supuesto que el camión es un sistema cerrado. Sin embargo, cuando el camión comienza a deslizarse, los neumáticos pueden dejar marcas de frenado, quitando materia y energía del sistema. La suposición de que ninguna energía térmica se transfiere hacia o desde el (continúa)
587
588
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
(continuación)
camión en este proceso tampoco es exactamente válida. Además, la energía interna de la superficie de la carretera también se incrementará como resultado de la f ricción entre los neumáticos y la carretera, tomando algo de la energía total disponible. Así, los 1.47 MJ agregados a la energía interna del camión deberán considerarse como un l ímite superior. Sin embargo, la lección básica de este ejemplo es que la energía mecánica perdida debido a la acción de las f uerzas no conservativas se transforma a la energía interna de partes o todo el sistema y la energía total se conserva.
18.5 La primera ley para procesos especiales La primera ley de la termodinámica —esto es, la conservación básica de la energía— se cumple para todos los tipos de procesos en un sistema cerrado, pero la energía puede transformarse de energía térmica transportada en ciertas formas especiales en las cuales sólo una o unas cuantas variables caracterizan el estado del cambio del sistema. Algunos procesos especiales, los cuales ocurren a menudo en situaciones físicas, se pueden des cribir usando la primera ley de la termodinámica. Estos procesos especiales son también normalmente aquellos en los que podemos calcular los valores numéricos para el calor y el trabajo. Por esta razón, se discutirán varias veces en los siguientes capítulos. Tenga presente que estos procesos s on simplificaciones o ide alizaciones, pero éstas frecuentemente se aproximan a las situaciones del mundo real bastante bien.
Procesos adiabáticos Un proceso adiabático es aquel en el cual no fluye el calor cuando el estado del sistema cambia. Esto puede suceder, por ejemplo, si un proceso ocurre rápidamente y no hay suficiente tiempo para que se intercambie el calor. Los procesos adiabáticos son comunes debido a que muchos procesos físicos ocurren suficientemente rápido para que no tenga lugar la transferencia de energía. Para los procesos adiabáticos, Q = 0 en la ecuación 18.4, así ∆Eint = – W
(para un proceso adiabático).
(18.5)
Otra situación en la cual puede ocurrir un proceso adiabático es si el sistema está aislado térmicamente de su ambiente mientras ocurren los cambios de presión y de volumen. Un ejemplo es comprimir un gas en un recipiente aislado o bombear aire en el neumático de una bicicleta usando una bomba de neumático manual. El cambio en la energía interna del gas se debe solamente al trabajo efectuado sobre el gas.
Procesos a volumen constante Los procesos que ocurren a volumen constante se llaman procesos isocóricos. Para un proceso en el cual el volumen se mantiene constante, el sistema no puede hacer trabajo, así W = 0 en la ecuación 18.4, que da ∆Eint = Q
(para un proceso a volumen constante)).
(18.6)
Un ejemplo de un proceso a volumen constante es calentar un gas en un recipiente rígido, cerrado, que está en contacto con otros cuerpos. No puede hacerse ningún trabajo debido a que el volumen del gas no puede cambiar. El cambio en la energía interna del gas ocurre debido a que el calor fluye hacia o desde el gas como resultado del contacto entre el recipiente y otros cuerpos. Cocinar comida en una olla de presión es un proceso is ocórico.
Procesos en trayectoria cerrada En un proceso en trayectoria cerrada , el sistema regresa al mismo estado en el cual comenzó. Independientemente de cómo alcanzó el sistema este punto, la energía interna debe ser l a misma que en el comienzo, así es que Eint = 0 en la ecuación 18.4. Esto brinda Q = W (para un proceso en trayectoria cerrada)..
(18.7)
De esta manera, el trabajo neto efectuado por un sistema durante un proceso en una trayectoria cerrada es igual a la energía térmica transferida al sistema. Tales procesos cíclicos forman la base de muchos tipos de máquinas térmicas (discutidas en el capítulo 20).
18.6
Calores específicos de sólidos y fluidos
589
Expansión libre Si un recipiente aislado térmicamente (así que Q = 0) para un gas aumenta súbitamente de tamaño, el gas se expandirá para llenar al nuevo volumen. Durante esta expansión libre, el sistema no hace trabajo y no se absorbe calor. Esto es W = 0 y Q = 0, y la ecuación 18.4 se vuelve ∆E int = 0 (para la expansión libre de un gas). (18.8) Para ilustrar esta situación considere una caja con una barrera en el centro (figura 18.9). Un gas se encuentra confinado en la mitad izquierda de la caja. Cuando la barrera entre las dos mitades se retira, el gas llena el nuevo volumen. Sin embargo, el gas no realiza ningún trabajo. Esta última afirmación requiere una explicación: en su expansión libre, el gas no mueve un pistón u otro dispositivo material; así pues, no hace trabajo sobre nada. Durante la expansión, las partículas de gas se mueven libremente hasta que se encuentran con las paredes del recipiente expandido. El gas no se encuentra en equilibrio mientras se está expandiendo. Para este sistema, podemos graficar el estado inicial y el estado final sobre el diagrama pV , pero no el estado intermedio.
a)
Procesos a presión constante Los procesos a presión constante se llaman procesos isobáricos. Tales procesos son comunes en el estudio de la capacidad calorífica específica de los gases. En un proceso isobárico, el volumen puede cambiar, permitiendo al sistema efectuar un trabajo. Dado que la presión se mantiene constante, W = p(V f – V i) = pV, de acuerdo con la ecuación 18.3. De esta manera, la ecuación 18.4 puede escribirse como sigue: ante). ∆Eint = Q – p ∆V (para un proceso a presión consta (18.9) Un ejemplo de un proceso isobárico es el calentamiento lento de un cilindro adaptado con un pistón sin fricción, el cual puede moverse para mantener la presión constante. La trayectoria de un proceso isobárico en un diagrama pV es una línea recta horizontal. Si el sistema se mueve en la dirección del volumen positivo, el sistema se está expandiendo. Si el sistema se mueve en la dirección del volumen negativo, el sistema se está contrayendo. Cocinar la comida en una cacerola abierta es otro ejemplo de un proceso isobárico.
Procesos a temperatura constante Los procesos a temperatura constante se llaman procesos isotérmicos. La temperatura del sistema se mantiene constante a través del contacto con un depósito térmico externo. Los procesos isotérmicos tienen lugar suf icientemente lentos como para que el calor pueda intercambiarse con el depósito externo para mantener la temperatura constante. Por ejemplo, el calor puede fluir de un depósito caliente al sistema, permitiendo al sistema hacer trabajo. La trayectoria de un proceso isotérmico en un diagrama pV se llama una isoterma. Como veremos en el capítulo 19, el producto de la presión y el volumen es constante para un gas ideal al experimentar un proceso isotérmico, brindándole a la isoterma la forma de una hipérbola. Además, como veremos en el capítulo 20, los procesos isotérmicos juegan una parte importante en el análisis de dispositivos que producen trabajo útil a partir de fuentes de calor.
18.6 Calores específicos de sólidos y fluidos Suponga que un bloque de aluminio se encuentra a temperatura ambiente. Si se transfiere calor, Q, al bloque, la temperatura del bloque aumenta proporcionalmente a la cantidad de calor. La constante de proporcionalidad entre la diferencia de temperatura y el calor es l a capacidad calorífica, C , de un objeto, Así, Q = CT ,
(18.10)
donde T es el cambio en la temperatura. El término capacidad calorífica no implica que un objeto tenga cierta cantidad de calor. Más bien, dice cuánto calor se requiere para aumentar la temperatura del objeto en una cantidad dada. Las unidades del SI para la capacidad calorífica son j oules por kelvin (J/K). El cambio de temperatura de un objeto debido al calor puede describirse como calor específico, c, la cual se define como la capacidad calorífica por unidad de masa, m: c
C =
m
.
(18.11)
b)
FIGURA 18.9 a) Un gas se encuentra confinado en la mitad del volumen de una caja. b) La barrera que separaba a las dos mitades se retira y el gas se expande para llenar el volumen.
590
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
Tabla 18.1 Calores específicos para sustancias seleccionadas Calor específico, c Material
kJ/(kg K)
cal/(g K)
Plomo
0.129
0.0308
Cobre
0.386
0.0922
Acero
0.448
0.107
Aluminio
0.900
0.215
Vidrio
0.840
0.20
Hielo
2.06
0.500
Agua
4.19
1.00
Vapor
2.01
0.48
Con esta definición, la relación entre el cambio de la temperatura y el calor puede escribirse como Q = cmT .
(18.12)
Las unidades para calor específico son J/(kg K). En las aplicaciones prácticas, el calor específico se encuentra a menudo en cal/(g K). Las unidades J/(kg K) y J/(kg °C) pueden usarse indistintamente para el calor específico, dado que se define en términos de T. Los calores específicos de varios materiales se ofrecen en la tabla 18.1. Observe que el calor específico y la capacidad calorífica se miden normalmente en dos formas. Para la mayoría de las sustancias se miden bajo presión constante (como en la tabla 18.1) y se denotan por c p y C p. Sin embargo, para los fluidos (gases y líquidos), el calor específico y la capacidad calorífica pueden también medirse a volumen constante y denotarse con cV y C V . En general, las mediciones bajo presión constante producen valores mayores, debido a que se debe realizar trabajo mecánico en el proceso y la diferencia es particularmente grande para los gases. Discutiremos esto con mayor detalle en el capítulo 19. El calor específico o capacidad calorífica específica de una sustancia también puede definirse en términos del número de moles de un material, en lugar de su masa. Este tipo de calor específico se llama el calor específico molar y también se discute en el capítulo 19. El efecto de las diferencias en los calores específicos de las sustancias puede observarse fácilmente a la orilla del mar, donde el Sol transfiere la energía a la tierra y al agua aproximadamente por igual durante el día. El calor específico de la tierra es como cinco veces menor que el calor específico del agua. De esta forma, la tierra se calienta más rápidamente que el agua y calienta al aire sobre ésta más de lo que el agua calienta al aire sobre ésta. La diferencia de temperatura crea una brisa hacia la tierra durante el día. El alto calor específico del agua ayuda a moderar el clima en torno de los océanos y los lagos grandes.
EJEMPLO 18.4
Energía requerida para calentar agua
PROBLEMA Usted tiene 2.00 L de agua a l a temperatura de 20.0 °C. ¿Cuánta energía se requiere para elevar la temperatura del agua a 95.0 °C? Suponiendo que usted usa electricidad para calentar el agua, ¿cuánto costará a 10.0 centavos por kilowatt-hora?
SOLUCIÓN La masa de 1.00 L de agua es de 1.00 kg. De la tabla 18.1, cagua = 4.19 kJ/(kg K). Por lo tanto, la energía requerida para calentar 2.00 kg de agua de 20.0 °C a 95.0 °C es Q = caguamagua ∆T = 4 .19 kJ/( kg K) ( 2.00 kg)(95.0 °C – 20.0 °C)
= 629 000 J.
591
18.6 Calores específicos de sólidos y fluidos
Usando el factor de conversión para convertir joules a ki lowatt-horas (ecuación 18.1), calculamos el costo de calentar el agua como
10.0 centavos 1 kW h Costo= (629 000 J ) 1kW h 3.60⋅106 J =1.75 centavos.
Calorimetría Un calorímetro es un dispositivo usado para estudiar los cambios de energía interna midiendo las transferencias de energía térmica. La transferencia de energía térmica y el cambio en la energía interna pueden ser el resultado de una reacción química, un cambio físico o diferencias en la temperatura y calor específico. Un calorímetro simple consiste en un recipiente aislado y un termómetro. Para mediciones simples, un vaso de espuma de estireno y un termómetro de alcohol común bastarán. Supondremos que no se pierde o gana calor en el calorímetro o el termómetro. Cuando dos materiales con distintas temperaturas y calores específicos se colocan en un calorímetro, el calor fluirá de la sustancia más caliente a la más fría hasta que las temperaturas de las dos sustancias sean las mismas. Ningún calor fluirá hacia dentro o hacia fuera del calorímetro. El calor perdido por la sustancia más caliente será igual al calor ganado por la sustancia más fría. Una sustancia tal como el agua, con un calor esp ecífico alto, c = 4.19 kJ/(kg K), requiere más calor para elevar su temperatura por la misma cantidad que lo que requiere una sustancia con un calor específico bajo, como el acero, con c = 0.488 kJ/(kg K). El problema resuelto 18.1 ilustra el concepto de calorimetría.
PROBLEMA RESUELTO 18.1
18.1 Ejercicio en clase ¿Cuánta energía es necesaria para elevar la temperatura de un bloque de cobre con una masa de 3.00 kg de 25.0 a 125 °C? a)
116 kJ
d )
576 kJ
b)
278 kJ
e)
761 kJ
c )
421 kJ
Agua y plomo
PROBLEMA Un herrero vierte 3.00 kg de perdigones de plomo (el cual es el material usado para llenar los cartuchos de una escopeta) a una temperatura de 94.7 °C en 1.00 kg de agua a 27.5 °C en un recipiente aislado, el cual actúa como calorímetro. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla?
SOLUCIÓN PIENSE Los perdigones de plomo cederán calor y el agua absorberá calor hasta que ambos estén a la misma temperatura. (Algo que puede no ocurrírsele a usted es que los perdigones de plomo tienen una temperatura de fusión, pero es significativamente mayor a 94.7 °C; de tal manera que no tenga que tratar con un cambio de fase en esta situación. El agua seguirá líquida y los perdigones de plomo seguirán sólidos. La sección 18.7 se ocupa de estas situaciones que implican cambios de fase.)
T plomo
T agua
a)
ESBOCE La figura 18.10 muestra la situación de este problema antes y después de que los perdigones se agreguen al agua.
INVESTIGUE El calor perdido por los perdigones de plomo, Qplomo, al ambiente está dado por Qplomo = mplomocplomo(T − T plomo), donde cplomo es el calor específico del plomo, mplomo es la masa de los perdigones de plomo, T plomo es la temperatura original de los perdigones de plomo y T es la temperatura final de equilibrio. El calor ganado por el agua, Qagua, está dado por Qagua = maguacagua(T − T agua), donde cagua es el calor específico del agua, magua es la masa del agua y T agua es la temperatura original del agua. La suma del calor perdido por los perdigones de plomo y el calor ganado por el agua es cero, debido a que el proceso tuvo lugar en un recipiente aislado y debido a que la energía total se conserva, una consecuencia de la primera ley de la termodinámica. Así que podemos escribir Qplomo + Qagua = 0 = mplomocplomo (T – Tplomo ) + maguacagua (T – T agua ).
(continúa)
FIGURA 18.10
T
b)
Perdigones de plomo y agua a) antes y b) después de que los perdigones de plomo se agregan al agua.
592
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
(continuación)
SIMPLIFIQUE Multiplicamos ambos lados y reordenamos, de tal manera que todos los términos que contienen la temperatura desconocida se encuentren en el lado izquierdo de la ecuación: mplomoc plomoTplomo + m agua c aguaTagua = m aguacaguaT + mplomo cplomoT.
Podemos resolver esta ecuación para T dividiendo ambos lados entre mplomocplomo + maguacagua: T =
mplomoc plomoTplomo + maguacaguaTagua mplomocplomo + m agua cagua
.
CALCULE Al sustituir los valores numéricos nos da
(3.00 kg) 0.129 kJ/(kg K) (94.7 °C)+(1.00 kg ) 4.19 kJ/(kg K) (27.5 °C) T = k ) 0.129 kJ/(kg K) +(1.00 kg ) 4.19 kJ/(kg K) (3.00 kg = 33.182 °C.
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con tres cifras significativas: T = 33.2 °C.
V U E L VA A R E V I S A R La temperatura final de la mezcla de perdigones de plomo y agua es solamente 5.7 °C superior a la temperatura original del agua. Las masas de los p erdigones de plomo y el agua difieren por un factor de 3, pero el calor específico del plomo es mucho menor que el calor específico del agua. De esta forma, es razonable que el calor tuviese un gran cambio en la temperatura y el agua tuviese un pequeño cambio de temperatura. Para verificar, calculamos el calor perdido por el plomo, 9 kJ/(kg K)](33.2 °C – 94.7 °C) Qplomo = mplomo cplomo(T – Tplomo ) = (3.00 kg)[ 0.129 = – 23.8 kJ,
y comparamos el resultado con el calor ganado por el agua,
(
)
Qagua = magua cagua T – Tagua = (1.00 kg)[ 4.19 kJ/(kg K)](33.2 °C – 27.5 °C)
= 23.9 kJ.
Estos resultados suman 0 dentro del error de redondeo, como se requería.
18.7 Calor latente y transiciones de fase Como se hizo notar en el capítulo 13, los tres estados de la materia comunes (en ocasiones también llamados fases) son sólido, líquido y gas. Hemos estado considerando objetos para los cuales el cambio de temperatura es proporcional a la cantidad de calor que se agrega. Esta relación lineal entre el calor y la temperatura es, estrictamente hablando, una aproximación, pero tiene una gran precisión para los sólidos y los líquidos. Para un gas, agregar calor subirá la temperatura, pero también puede cambiar la presión o el volumen, dependiendo de si el gas está contenido y cómo. Las sustancias pueden tener diferentes calores específicos, dependiendo de si se encuentran en estado sólido, líquido o gaseoso. Si se agrega suficiente calor a un sólido, se funde en un líquido. Si se agrega suficiente calor a un líquido, se vaporiza en un gas. Éstos son ejemplos de cambios de fase, o transiciones de fase (figura 18.11). Durante un cambio de fase, la temperatura de un objeto permanece constante. El calor que se requiere para fundir un sólido, dividido entre su masa, se llama calor latente de fusión, Lfusión. La fusión cambia una sustancia de un sólido a un líquido. El calor que se requiere para vaporizar un líquido, dividido entre la masa, se llama calor latente de vaporización, L vaporización. La vaporización cambia una sustancia de líquido a gas. La temperatura a la cual el sólido se funde a un líquido es el punto de fusión, T fusión. La temperatura a la cual el líquido se vaporiza a un gas es el punto de ebullición, T ebullición. La relación
18.7 Calor latente y transiciones de fase
593
FIGURA 18.11
Cambios de fase que involucran los tres estados del agua, los cuales están presentes simultáneamente en esta fotografía tomada en el Parque Nacional de Yellowstone.
Gas S ub l i ma r D e p o si t ar
E v a p C o r o n a r d e n s a r
Sólido
Líquido
i r F u n d e l a r C o n g
entre la masa de un objeto a su punto de fusión y el calor necesario para cambiar al objeto de un sólido a un líquido está dada por Q = mLfusión
). (para T = Tfusión
(18.13)
De forma similar, la relación entre un objeto y su punto de ebullición y el calor necesario para cambiar el objeto de un líquido a un gas está dada p or Q = mL vaporización
(para T = Tebullición ).
(18.14)
Las unidades del SI para los calores latentes de fusión y vaporización son joules por kilogramo (J/kg); a menudo se usan unidades de calorías por gramo (cal/g). El calor latente de fusión para una sustancia dada es diferente del calor latente de vaporización para la misma sustancia. Los valores representativos para el punto de fusión, el calor latente de fusión, el punto de ebullición y el calor latente de vaporización se enlistan en la tabla 18.2. También es posible para una sustancia cambiar directamente de un sólido a un gas. Este proceso se llama sublimación. Por ejemplo, la sublimación ocurre cuando el hielo seco, el cual es dióxido de carbono sólido (congelado), cambia directamente a dióxido de carbono gaseoso sin pasar a través del estado líquido. Cuando un cometa se acerca al Sol, parte del dióxido de carbono congelado se sublima, ayudando a producir la cola visible del cometa. Si continuamos calentando el gas, se ionizará, lo cual significa que parte de los electrones en los átomos del gas, o todos ellos, se remueven. Un gas ionizado y sus electrones libres forman un estado de la materia llamado plasma. Los plasmas son muy comunes en el universo; de hecho, tanto como 99% de la masa del Sistema Solar existe en la forma de plasma. La polvorienta nube de gas conocida como la Nebulosa Omega/Cisne (M17), mostrada en la figura 18.12, también es un plasma.
Tabla 18.2 Algunos puntos de fusión, puntos de ebullición, calores latentes de fusión y calores latentes de vaporización representativos Punto de fusión Material
(K)
Hidrógeno
13.8
Calor latente de fusión, Lfusión
Punto de ebullición
(kJ/kg)
(cal/g)
(K)
58.6
14.0
20.3
(cal/g)
452
108
351
858
205
630
293
156
Mercurio
234
Agua
273
334
79.7
373
2 260
539
Aluminio
932
396
94.5
2 740
10 500
2 500
1 359
205
49.0
2 840
4 730
1 130
11.3
24.9
(kJ/kg)
Alcohol etílico
Cobre
104
Calor latente de vaporización, Lvaporización
2.70
70.0
FIGURA 18.12
La imagen de la Nebulosa Omega/Cisne (M17), tomada por el Telescopio Espacial Hubble, muestra una inmensa región de gas ionizado por la radiación de estrellas jóvenes.
594
Capítulo 18 El calor y la primera ley de la t ermodinámica
18.2 Ejercicio en clase ¿Cuánta energía se necesita para fundir un bloque de cobre con una masa de 3.00 kg que se encuentra inicialmente a la temperatura de 1 359 K? a)
101 kJ
d )
615 kJ
b)
221 kJ
e)
792 kJ
c )
390 kJ
Como se menciona en el capítulo 13, hay otros estados de la materia además de sólido, líquido, gas y plasma. Por ejemplo, la materia en el estado granular tiene propiedades específicas que la diferencian de los cuatro principales estados de la materia. La materia también puede existir como un condensado de Bose-Einstein, en el cual los átomos individuales se tornan indistinguibles, bajo condiciones muy específicas a muy bajas temperaturas. Se l es otorgó el premio Nobel de Física de 2001 a los físi cos estadounidenses Eric Cornell y Carl Wieman, junto con el físico alemán Wolfgang Ketterle, por sus estudios del condensado de B ose-Einstein. Enfriar un objeto significa reducir la energía interna del mismo. Conforme la energía térmica se remueve de una sustancia en el estado gaseos o, la temperatura del gas decrece, en relación con el calor específico del gas, hasta que el gas comienza a condensarse en un líquido. Este cambio tiene lugar a una temperatura llamada punto de condensación, la cual es la misma temperatura que el punto de ebullición de la sustancia. Para convertir todo el gas a l íquido se requiere la remoción de una cantidad de calor correspondiente al calor latente de vaporización por la masa del gas. Si la energía térmica continúa retirándose, la temperatura del líquido se reducirá, determinada por el calor específico del líquido, hasta que la temperatura alcanza el punto de congelación, la cual es la misma que la temperatura de fusión de la sustancia. Para convertir todo el líquido a un sólido se requiere remover una cantidad de calor correspondiente al calor latente de fusión por la masa. Si entonces el calor continúa removiéndose del sólido, su temperatura decrecerá en relación con el calor específico del sólido.
EJEMPLO 18.5
Calentamiento del hielo en agua y del agua en vapor
PROBLEMA ¿Cuánto calor, Q, se requiere para convertir 0.500 kg de hielo (agua congelada) a una temperatura de −30 °C en vapor a 140 °C?
SOLUCIÓN Resolvamos este problema por pasos, con cada paso correspondiente, ya sea a una elevación en la temperatura, o bien a un cambio de fase. Primero calculamos cuánto calor se requiere para elevar el hielo de −30 °C a 0 °C. El calor específico del hielo es de 2.06 kJ/(kg K), así que el calor requerido es Q1 = cmT = 2.06 kJ/(kg K) (0.500 kg)(30 K) = 30.9 kJ.
Continuamos agregando calor al hielo hasta que se funde. La temperatura permanece en 0 °C hasta que todo el hielo se funde. El calor latente de fusión del hielo es de 334 kJ/kg, así que el calor requerido para fundir todo el hielo es Q2 = mLfusión = (334 kJ/kg)(0.500 kg)=167 kJ. Una vez que todo el hielo se funda en agua, continuamos agregando calor hasta que el agua alcanza el punto de ebullición, a 100 °C. El calor requerido para este paso es Q3 = cm 4.19 kJ/( kg K) (0.500 kg )(100 K) = 209.5 kJ. T=
Continuamos agregando calor al agua hasta que se vaporiza. El calor requerido para la vaporización es Q4 = mL vaporización = (2 260 kJ/kg )(0.500 kg) = 1 130 kJ.
Ahora calentamos el vapor y elevamos su temperatura desde 100 °C hasta 140 °C. El calor necesario para este paso es Q5 = cmT = 2.01 kJ/(kg K) (0.500 kg )(40 K) = 40.2 kJ.
De esta manera, el calor total requerido es Q = Q1 + Q 2 + Q3 + Q4 + Q5
= 30.9 kJ +167 kJ + 209 .5 kJ +1 1 30 kJ + 40.2 kJ =1 580 kJ.
La figura 18.13 muestra una gráfica de la temperatura del agua como función del calor agregado. En la región a), la temperatura del hielo se incrementa de 230 °C a 0 °C. En la región b), el
18.7 Calor latente y transiciones de fase
595
e) d )
c )
b) a)
18.3 Ejercicio en clase FIGURA 18.13
Gráfica de la temperatura contra calor agregado para cambiar 0.500 kg de hielo, comenzando a la temperatura de 230 °C, en vapor a 140 °C.
hielo se funde en agua mientras la temperatura permanece en 0 °C. En la región c), el agua se calienta de 0 a 100 °C. En la región d ), el agua hierve y cambia a vapor mientras la temperatura permanece en 100 °C. En la región e), la temperatura del vapor se incrementa de 100 a 140 °C. Observe que casi dos terceras partes del calor total de este proceso entero de calentar la muestra desde 230 °C hasta 140 °C se dedican a convertir el agua líquida a vapor en el proceso de vaporización.
EJEMPLO 18.6
Trabajo efectuado al vaporizar el agua
Suponga que 10.0 g de agua a una temperatura de 100.0 °C se encuentra en un cilindro aislado equipado con un pistón para mantener una presión constante de p = 101.3 kPa. Se agrega suficiente calor al agua para v aporizarla a una temperatura de 100.0 °C. El volumen de agua es V agua = 10.0 cm 3 y el volumen del vapor es V vapor = 16 900 cm 3.
PROBLEMA ¿Cuál es el trabajo realizado p or el agua conforme se vaporiza? ¿Cuál es el cambio en la energía interna del agua?
SOLUCIÓN Este proceso se lleva a cabo a presión constante. El trabajo realizado por el agua vaporizándose está dado por la ecuación 18.3:
W=
∫
V f
V f
pdV = p
V i
∫
V i
dV = p(V vapor – Vagua ).
Al sustituir los valores numéricos nos da el trabajo realizado por el agua conforme se incrementa su volumen a presión constante: W =
(101.3 ⋅10
3
)(
–6
Pa 16 900 ⋅10
3
–6
m –10 .0 ⋅10
3
m
) = 1 710 J.
El cambio en la energía interna del agua está dado por la primera ley de la termodinámica (ecuación 18.4) Eint = Q – W .
(continúa)
Usted tiene un bloque de hielo con masa m a una temperatura de 23 °C en un recipiente aislado térmicamente y agrega la misma masa m de agua líquida a temperatura de 6 °C y deja que la mezcla alcance el equilibrio. ¿Cuál es la temperatura de la mezcla? a)
–3 °C
d )
+4.5 °C
b)
0 °C
e)
+6 °C
c )
+3 °C
596
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la t ermodinámica
(continuación)
En este caso, la energía térmica transferida es el calor requerido para vaporizar al agua. De la tabla 18.2, el calor latente de vaporización del agua es L vaporización = 2 260 kJ/kg. De esta manera, la energía térmica transferida al agua es
(
–3
Q = mL vaporización = 10.0 ⋅10
)(
)
kg 2.260 ⋅106 J/kg k = 22 600 J.
El cambio en la energía térmica del agua es entonces ∆E int = 22 600 J – 1 710 J = 20 900 J.
La mayor parte de la energía agregada permanece en el agua como energía interna aumentada. Esta energía interna está relacionada al cambio de fase del agua al vapor. La energía se usa para superar las fuerzas atractivas entre las moléculas en el estado líquido para convertirlas al estado gaseos o.
18.8 Modos de la transferencia de energía térmica Los tres modos principales de transferencia de energía térmica son conducción, convección y radiación. Los tres se ilustran en la fogata de campamento mostrada en la figura 18.14. La radiación es la transferencia de energía térmica mediante ondas electromagnéticas. Usted puede sentir el calor que radia una fogata cuando se sienta cerca de ésta. La convección involucra el movimiento físico de una sustancia (tal como el agua o el aire) desde el contacto térmico con un sistema hasta el contacto térmico con otro sistema. La sustancia que se mueve lleva energía interna consigo. Usted puede ver la energía térmica que sube en la forma de llamas y el aire caliente sobre las llamas en la fogata. La conducción involucra la transferencia de energía térmica dentro de un objeto (tal como la transferencia de energía térmica a lo largo del atizador, cuya punta está caliente) o la transferencia de calor entre dos (o más) objetos en contacto térmico. El calor se conduce a través de una sustancia por la vibración de los átomos y moléculas y por el movimiento de los electrones. El agua y la comida en las ollas en la fogata se calientan por conducción. Las ollas mismas se calientan por convección y radiación.
FIGURA 18.14 Una fogata de campamento ilustra los tres modos principales de transferencia de energía térmica: conducción, convección y radiación.
Conducción Considere una barra de material con un área de sección transversal A y una longitud L [figura 18.15a)]. Esta barra se pone en contacto físico con un depósito térmico a una temperatura más caliente, T h, y un depósito térmico a temperatura más fría, T c, lo cual significa que T h > T c [figura 18.15b)]. El calor fluye entonces del depósito con mayor temperatura al depósito con menor temperatura. Se ha encontrado que la energía térmica transferida por unidad de tiempo, P cond, por la barra que conecta a los dos depósitos de calor está dada por
T h
L
T c
A Q a)
b)
FIGURA 18.15 a) Una barra con un área de sección transversal A y longitud L. b) La barra se coloca entre dos depósitos térmicos con temperaturas T h y T c.
P cond =
Q t
= kA
Th – T c L
,
(18.15)
donde k es la conductividad térmica del material de la barra. Las unidades del SI para la conductividad térmica son W/(m K). Algunos valores típicos de la conductividad térmica se listan en la tabla 18.3. Podemos reacomodar la ecuación 18.15: P cond =
Q t
= A
Th – T c
= A
L/k
Th – T c R
,
(18.16)
donde la resistencia térmica , R, de la barra se define como R=
L .
k
(18.17)
Las unidades del SI para R son m2 K/W. Un valor superior para R significa una tasa menor de transferencia de energía térmica. Un buen aislante tiene un valor de R grande. En Estados Unidos, la resistencia térmica a menudo se especifica como un factor R, el cual tiene las unidades ft2 °F h/ BTU. Un material aislante común comercializado con un factor R de R-30 se muestra en la figura 18.16. Para convertir los v alores R de ft2 °F h/BTU a m 2 K/W, divida el factor R entre 5.678.
597
18.8 Modos de la transferencia de energía térmica
Tabla 18.3 Algunas
conductividades térmicas representativas Material
a)
k [W/(m
Cobre
386
Aluminio
220
K)]
Concreto
0.8
Vidrio
0.8
Hule
0.16
Madera
0.16
b)
FIGURA 18.16
a)
Un material aislante común con un factor R de R-30. b) El aislante se instala en un desván.
EJEMPLO 18.7
18.2 Oportunidad de autoexamen
Aislante del techo
Suponga que usted aísla sobre el cielo raso de un cuarto con un material aislante que tiene un actor R de R-30. El cuarto mide 5.00 m por 5.00 m. La temperatura dentro del cuarto es de 21.0 °C y la temperatura por encima del aislante es de 40.0 °C.
Muestre que el factor de conversión para cambiar de ft2 °F h/BTU a m 2 K/W es 5.678.
PROBLEMA ¿Cuánto calor entra al cuarto a través del cielo raso en un día si el cuarto se mantiene a una temperatura de 21.0 °C?
SOLUCIÓN Resolvemos la ecuación 18.16 para el calor: T – T c . Q = At h R
Al sustituir los valores numéricos, obtenemos (1 día tiene 86 400 s): Q = (5.00 m ⋅ 5.00 m)(86 400 s)
313 K − 294 K 2
6
(30/5. 678) m K/W
= 7.77 ⋅10 J.
PROBLEMA RESUELTO 18.2 Costo de calentar una casa en invierno 8.00
Usted construye una casa pequeña con cuatro cuartos [figura 18.17a)]. Cada cuarto mide 10.0 f por 10.0 f y el cielo raso se encuentra a 8.0 f de altura. Las paredes exteriores están aisladas con un material con un actor R de R-19 y el piso y el techo están aislados con un material con un actor R de R-30. Durante el invierno, la temperatura media dentro de la casa es de 20.0 °C y la temperatura media uera de ella es de 0.00 °C. Usted calienta la casa durante 6 meses en invierno usando electricidad que cuesta 9.5 centavos por kilowatt-hora.
Pared
20.0
8.00
20.0
10.0
Cielo raso
10.0 10.0
10.0
PROBLEMA
20.0
¿Cuánto paga usted para calentar su casa durante el invierno? (continúa)
a)
FIGURA 18.17
a)
cielo raso de la casa.
b)
Una casa de cuatro cuartos aislada. b) Una pared y el
598
Capítulo 18 El calor y la primera ley de la termodinámica
(continuación)
SOLUCIÓN PIENSE Mediante la ecuación 18.16 podemos calcular la pérdida de calor total durante 6 meses a través de las paredes (R-19), el piso y el cielo (R-30). Entonces, podemos calcular cuánto costará agregar esta cantidad de calor a la casa.
ESBOCE Las dimensiones de una pared y el cielo raso s e muestran en la figura 18.17b).
INVESTIGUE Cada una de las cuatro paredes exteriores, como se muestra en la figura 18.17 b), tiene un área Apared. El cielo raso tiene un área de Acielo, mostrada en la figura 18.17 b). El piso y el cielo tienen la misma área. La resistencia térmica de las paredes está dada por R-19; la resistencia térmica del piso y el techo está dada por R-30. De esta manera, la resistencia térmica de las paredes en unidades del SI es 19 m2 K/W = 3.346 m2 K/W, Rpared = 5.678 y la resistencia térmica del piso y el techo es Rcielo =
30 5.678
2
2
m K/W = 5.283 m K/W.
SIMPLIFIQUE Podemos calcular la pérdida de calor por unidad de tiempo mediante la ecu ación 18.16, tomando el área total de las paredes por cuatro veces el área de una pared y el área total del piso y el cielo raso como dos veces el área del cielo raso:
T – T 2 A T – T pared Acielo + = 4 Apared h c + 2 Acielo h c = 2(Th – T c ) . Rpared Rpared Rcielo t Rcielo
Q
CALCULE
El área de cada pared exterior es Apared = (8.00 ft)(20.0 ft) = 160.0 ft 2 = 14.864 m2. El área del cielo raso es Acielo = (20.0 ft)(20.0 ft) = 400.0 ft 2 = 37.161 m2. El número de segundos en 6 meses es t = (6
7
meses )(30 días/mes)(24 h/día)(3 600 s/h )=1.5552 ⋅10 s.
La cantidad de calor perdida en 6 meses es entonces
2 Apared
Q = 2t (Th – Tc )
Rpared
+
Acielo
Rcielo
2 14.864 m2 37.161 m2 = 2 1.5552 ⋅10 s (293 K – 273 K ) + 3.346 m2 K/W 5.283 m2 K/W
(
7
(
)
)
= 9.9027 ⋅ 109 J. Al calcular el costo total por 6 meses de electricidad para calentamiento, tenemos
$0.095 1kW h 9 1 kW h 3.60 ⋅106 J 9.9027 ⋅10 J = $261.32125 .
Costo =
(
)
REDONDEE Dado que los datos de entrada se dieron con dos cifras signif icativas, reportamos nuestro resultado con dos cifras significativas también: Costo = $ 260.
(Sin embargo, redondear la cantidad en una cuenta no es aceptable para la compañía que brinda el servicio y usted tendría que pagar $261.32.)
18.8
Modos de la transferencia de energía térmica
599
V U E L VA A R E V I S A R
Para verificar, usemos los valores R en la orma en que un contratista en Estados Unidos podría hacerlo. El área total de las paredes es de 4(160 f 2) y el área total del piso y el cielo es de 2(400 f2). La pérdida de calor por hora a través de las paredes es Q
(
= 4 160 ft
t
2
( ) °F 9 5
20
)19 ft
2
= 1 213 BTU/h.
°F h/BTU
El calor perdido a través del cielo y el piso es Q t
(
2
= 2 400 f t
( ) °F
20
) 30ft
2
9 5
= 960 BTU/h.
°F h/BTU
La pérdida de calor total en 6 meses (4 320 h) es Q = ( 4 320 h)(1 213 + 960) BTU/h
=9 387 360 BTU.
El costo es entonces
$0.095 1 kW h 1 kW h 3 412 BTU (9 387 360 BTU)= $261.37.
Costo =
Esto está cercano a nuestra respuesta y parece razonable. Observe que el costo de calentar una pequeña casa durante el invierno parece pequeño comparado con la experiencia de la vida real. La reducción surge debido a que la casa no tiene puertas ni ventanas y está bien aislada.
El aislamiento térmico es un componente clave de las naves espaciales que tienen que reingresar a la atmósera terrestre. El proceso de reingreso crea energía térmica por la ricción con las moléculas del aire. Debido a la gran rapidez, se orman ondas de choque enrente de la nave espacial, las cuales desvían la mayor parte de la energía térmica creada en el proceso. Sin embargo, todavía se requiere un excelente aislante térmico para prevenir que este calor se conduzca a la estructura de la nave espacial, la cual está abricada básicamente de aluminio y no puede resistir temperaturas de manera signiicativa mayores a 180 °C. El sistema de protección térmica debe ser uno de muy poca masa, como todas las partes de la nave espacial, y ser capaz de protegerla de temperaturas muy altas, hasta de 1 650 °C. En la nave espacial de las misiones Apolo, en las cuales los astronautas alunizaron a inales de la década de 1960 y a principios de la década de 1970, y en sondas planetarias como el Mars Rover , la protección térmica es simplemente un escudo de calor ablativo, el cual se quema durante el ingreso a la atmósera. Para las naves espaciales reutilizables, como el Transbordador Espacial, tal escudo no es una opción, debido a que requeriría un mantenimiento prohibitivamente costoso después de cada viaje. La nariz y los bordes de las alas del Transbordador Espacial están cubiertos, en lugar de esto, con carbono reorzado, capaz de resistir las altas temperaturas del reingreso. La parte inerior del Transbordador está recubierta por una protección del calor pasiva, que consiste en más de 20 000 baldosas cerámicas hechas de 10% de ibras de sílice y 90% de espacio vacío. Son tan buenos aislantes térmicos, que después de calentarse a una temperatura de 1 260 °C (la cual es la temperatura máxima que la parte inerior del Transbordador Espacial se encuentra durante el reingreso), pueden sostenerse con las manos desprotegidas (vea la igura 18.18).
Convección Si usted sostiene su mano sobre una vela encendida, puede sentir la energía térmica transerida desde la llama. El aire calentado es menos denso que el aire circundante y asciende. El aire ascendente lleva consigo la energía térmica hacia arriba desde la llama de la vela. Este tipo de transerencia de energía térmica se llama convección. La igura 18.19 muestra la llama de una vela en la Tierra y en el Transbordador Espacial en órbita. Usted puede ver que la energía térmica viaja hacia arriba desde la vela encendida en Tierra, pero se expande en orma casi esérica desde la vela a bordo del Transbordador Espacial. El aire en el Transbordador Espacial (en realidad, en un pequeño recipiente en el Transbordador Espacial) tiene la misma densidad en todas las direcciones, así que el aire caliente no tiene una dirección preerida en la cual viajar. El punto más bajo de la llama en la vela a bordo del Transbordador Espacial se extingue debido a que el pabilo lleva la energía térmica consigo. (Además de la
FIGURA 18.18 La baldosa cerámica de calor blanco (1 260 °C) usada para el sistema de protección térmica del Transbordador Espacial se sostiene con una mano desprotegida.
600
Capítulo 18 El calor y la primera ley de la t ermodinámica
a)
b)
FIGURA 18.19
Las llamas de una vela en a) condiciones terrestres y b) condiciones de microgravedad.
FIGURA 18.20
Imagen de satélite tomada por el satélite TERRA de la NASA, el 5 de mayo de 2001, en la que se muestra la temperatura del agua en el océano Atlántico Norte. Los colores falsos representan el rango de temperaturas del agua. La caliente Corriente del Golfo es visible en rojo y la Costa Este de Estados Unidos en negro.
convección que involucra un flujo de masa a gran escala, la convección puede ocurrir mediante las partículas individuales en un proceso llamado difusión, el cual no es cubierto en este capítulo.) La mayoría de las casas y edificios de oficinas en Estados Unidos tiene calefacción de aire forzado; esto es, el aire se sopla a través de ductos de calefacción dentro de los cuartos. Éste es un excelente ejemplo de transferencia de energía térmica mediante la convección. Los mismos ductos de aire se usan en verano para refrescar las mismas estructuras soplando aire más frío a través de los ductos y adentro de los cuartos, el cual es otro ejemplo de la transferencia de la energía térmica convectiva. (Pero, desde luego, el calor tiene el signo opuesto, debido a que la temperatura en el cuarto disminuye.) Grandes cantidades de energía se transfieren por convección en la atmósfera terrestre y en los océanos. Por ejemplo, la Corriente del Golfo lleva agua caliente del Golfo de México hacia el norte a través del Estrecho de Florida y por la costa este de Estados Unidos. La temperatura más caliente del agua en la Corriente del Golfo es revelada en una imagen de satélite de la NASA en la figura 18.20. La Corriente del Golfo tiene una temperatura de alrededor de 20 °C conforme fluye con una rapidez de aproximadamente 2 m/s por la costa este de Estados Unidos y al interior del Océano Atlántico. Entonces, la Corriente del Golfo se divide. Una parte continúa fluyendo hacia Gran Bretaña y la Europa Occidental, mientras que la otra parte dobla hacia el sur a lo largo de la costa africana. La temperatura promedio en Gran Bretaña y Europa Occidental es aproximadamente de 5 °C mayor de lo que sería sin la energía térmica transportada por las aguas cálidas de la Corriente del Golfo. Algunos modelos climáticos predicen que el calentamiento global podría posiblemente amenazar a la Corriente del Golfo debido al derretimiento del hielo en el Polo Norte. El agua fresca extra del casquete de hielo polar que se derrite reduce la salinidad del agua en el extremo norte de la Corriente del Golfo, lo cual interfiere con el mecanismo que permite a las aguas enf riadas de la Corriente del Golfo sumirse y regresar al sur. De manera paradójica, el calentamiento global podría hacer más fría a la Europa del Norte.
PROBLEMA RESUELTO 18.3 Corriente del Golfo Supongamos que una tubería rectangular de agua de 100 km de ancho y 500 m de profundidad puede usarse para aproximar la Corriente del Golfo. El agua en esta tubería se mueve con una rapidez de 2.0 m/s. La temperatura del agua es de 5.0 °C más caliente que el agua circundante.
PROBLEMA Estime cuánta potencia transporta la corriente del Golfo hacia el océano Atlántico Norte.
SOLUCIÓN PIENSE Podemos calcular la tasa de flujo volumétrica (o gasto volumétrico), sacando el producto de la rapidez de flujo y el área de la sección transversal de la tubería. Usando la densidad del agua, podemos calcular la tasa de flujo másico. Al usar el calor específico del agua y la diferencia de
18.8
Modos de la transferencia de energía térmica
601
temperatura entre el agua de la corriente del Golfo y el agua circundante, podemos calcular la potencia transportada por la corriente del Golfo hacia el Atlántico Norte. ESBOCE
La figura 18.21 muestra la corriente del Golfo idealizada que fluye al noreste en el Atlántico Norte.
Boston New York Philadelphia
INVESTIGUE
Suponemos que la corriente del Golfo tiene una sección trans versal de ancho w = 100 km y una profundidad d = 500 m. El área de flujo de la corriente del Golfo es entonces
Washington
A = wd .
Virginia Beach
La rapidez del flujo de la corriente del Golfo se supone como v = 2.0 m/s. La tasa de flujo volumétrico está dada por RV = vA.
La densidad del agua de mar es = 1 025 kg/m 3. Podemos expresar la tasa de flujo másico como Rm = RV .
FIGURA 18.21 Corriente del Golfo idealizada que fluye en el Atlántico Norte a lo largo de la línea de la costa este de Estados Unidos.
El calor específico del agua es c = 4 186 J/(kg K). El calor requerido para elevar la temperatura de una masa m por T está dado por Q = cmT .
La potencia llevada por la Corriente del Golfo es igual al calor por unidad de tiempo: Q =
t
P =
cmT
=
t
cRm T .
(Nota: La P mayúscula simboliza la potencia; no la confunda con la p minúscula usada para la presión.) SIMPLIFIQUE
La potencia llevada por la Corriente del Golfo está dada por P = cRm T
=
c RV T
=
c vwd T .
CALCULE
La diferencia de temperatura es T = 5 °C = 5 K. Al sustituir los valores numéricos nos da P = 4 186
(
)
(
)
J/( kg K) 1 025 kg/m3 (2.0 m/s) 100 ⋅103 m (500 m)(5.0 K)
= 2.1453 ⋅1015 W. REDONDEE
Reportamos nuestro resultado con dos cifras si gnificativas: 15 P = 2.1⋅ 10
W = 2.1 PW (1 PW = 1 petawatt = 1015 W).
V U E L VA A R E V I S A R
Para verificar este resultado, calculemos cuánto poder incide sobre la Tierra desde el Sol. Esta potencia total está dada por el área de la sección transversal de la Tierra por la potencia que incide sobre la Tierra por unidad de área: P total =
2
(6.4 ⋅10 m) (1 400 W/m ) =180 PW. 6
2
Calculemos cuánto de este poder podría ser absorbido por el Golfo de México. La intensidad de la luz solar a una dist ancia desde el Sol que corresponde al radio de la órbita terrestre alrededor del Sol es S = 1 400 W/m 2. Podemos estimar el área del Golfo de México como 1.0 · 106 km 2 = (continúa)
602
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
(continuación )
1.0 · 1012 m2. Si el agua del Golfo de México absorbiese toda la energía que incide del Sol durante la mitad de cada día, entonces la potencia disponible del Golfo sería
(1.0 ⋅10 P =
12
18.3 Oportunidad de autoexamen Liste algunos otros fenómenos de convección encontrados en la vida diaria.
2
m
)(1 400 W/m ) = 7.0 ⋅10 2
14
2
W = 0 .7 PW,
lo cual es menor que nuestro estimado de la potencia transportada por la Corriente del Golfo. De esta suerte, una mayor parte del océano Atlántico debe est ar involucrada en proporcionar la energía de la corriente del Golfo que sólo el Golfo de México. De hecho, la corriente del Golfo obtiene su energía de una gran parte del océano Atlántico. La corriente del Golfo es parte de una red de corrientes que fluyen en los océanos terrestres, inducidos por los vientos dominantes, diferencias de temperatura y la topología y rotación de la Tierra.
Radiación La radiación ocurre a través de la transmisión de ondas electromagnéticas. Además, a diferencia de las ondas mecánicas o de sonido (cubiertas en los capítulos 15 y 16), estas ondas no necesitan ningún medio para sustentarlas. De esta forma, las ondas electromagnéticas pueden llevar energía de un lugar a otro sin que ninguna materia tenga que estar presente entre los dos lugares. Un ejemplo del transporte de energía mediante la radiación electromagnética ocurre durante una conversación por teléfono celular; un teléfono celular actúa tanto como un transmisor de radiación a la torre celular más cercana o como un receptor de la radiación que se origina en la torre. Todos los objetos emiten radiación electromagnética. La temperatura del objeto determina la potencia radiada del objeto, P radiada, la cual está dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann: (18.18)
donde = 5.67 · 10–8 W/K4m2 se llama la constante de Stefan-Boltzmann, e es la emisividad, la cual no tiene unidades y A es el área superficial (radiante). La temperatura en la ecuación 18.18 debe estar en kelvins y se supone que es constante. La emisividad varía entre 0 y 1, con 1 representando la emisividad de un objeto ideal llamado cuerpo negro. Un cuerpo negro radia 100% de su energía y absorbe 100% Tejas planas del techo de la radiación que incide sobre éste. A pesar de que algunos objetos de la vida diaria se encuentran cerca de ser un cuerpo negro, no existe un cuerpo Armadura del techo negro perfecto; de esta suerte, la emisividad es siempre menor a 1. Barrera radiante La subsección anterior acerca de la conducción discutía cómo la capaAislante R-30 cidad aislante de varios materiales se cuantifica por el factor R. La pérdida de calor en invierno o la ganancia de calor en verano dependen no sólo de Armadura del cielo raso la conducción, sino también de la radiación. Las nuevas técnicas de construcción se han dirigido a incrementar la eficiencia del aislante de una casa usando barreras radiantes. Una barrera radiante es una capa de material que refleja de manera efectiva las ondas electromagnéticas, en especial la Aislante R-19 radiación infrarroja (la cual es la radiación que comúnmente sentimos como calor). El uso de barreras radiantes en los aislantes de la casa se ilusLadrillos Armadura de la pared tra en la figura 18.22. exteriores Una barrera radiante se construye con una sustancia reflectora, comúnmente aluminio. Una barrera radiante comercial típica se muestra en la figura 18.23. Su material es una poliolefina recubierta de aluminio, la cual refleja 97% de la radiación infrarroja. Las pruebas en el Laboratorio NacioFIGURA 18.22 Dibujo esquemático de la esquina de una casa, en el que se muestra parte del techo, parte del nal Oak Ridge de las casas en Florida con o sin barreras radiantes han cielo raso y parte de la pared. El techo consiste en una capa mostrado que las ganancias de calor en verano de techos con aislante R-19 exterior de tejas pla nas, una barrera radiante y una armadura pueden reducirse de 16 a 42%, y dar por resultado la reducción de los cosque sostiene al techo. El cielo raso consiste en una armadura tos de aire acondicionado hasta en 17%. del cielo que soporta un aislante con un factor R de R-30. La La casa de la figura 18.22 está diseñada para prevenir que el calor entre pared consiste en la drillos exteriores, una barrera radiante, o salga por conducción a través de las capas de aislante, las cuales tienen aislante con un factor R de R-19 y una armadura que soporta factores R altos. Las barreras radiantes bloquean al calor evitando que entre la pared.
18.8 Modos de la transferencia de energía térmica
603
a la casa en forma de radiación. Desafortunadamente, este tipo de barrera también impide que la casa sea calentada por el Sol en el invierno. La ganancia o pérdida de calor por convección se reduce por el espacio vacío entre el cielo raso y el techo. De esta manera, la casa está diseñada para reducir la ganancia o pérdida de calor por cualquiera de los tres modos de transferencia de energía térmica: conducción, convección y radiación.
EJEMPLO 18.8
La Tierra como un cuerpo negro FIGURA 18.23
Suponga que la Tierra absorbiese 100% de la energía que incide desde el Sol y luego radiase toda la energía de regreso al espacio, de la misma forma que lo haría un cuerpo negro.
Un tipo de material de barrera radiante, papel de aluminio ARMA, producida por Energy Efficient Solutions.
PROBLEMA ¿Cuál sería la temperatura de la superficie de la Tierra?
SOLUCIÓN
La intensidad de la luz solar que alcanza a la Tierra es aproximadamente S = 1 400 W/m 2. La Tierra absorbe la energía como un disco con el radio de la Tierra, R, en tanto que radia energía de su superficie entera. En el equilibrio, la energía absorbida iguala a la energía emitida:
(S)(
2 R
) ( )( )( =
1
2
4 R
)
4
T .
Al resolver para la temperatura, tenemos T = 4
S
4σ
2
=4
1 400 W/m
)(
−8 4 2 4 5.67 10 W/K m
(
)
= 280 K.
Este simple cálculo brinda un resultado cercano al valor real de l a temperatura promedio de la Tierra, el cual es como de 288 K.
El calentamiento global Como se ilustra en la figura 18.24, la diferencia entre la temperatura calculada para la Tierra como un cuerpo negro en el ej emplo 18.8 y la temperatura real de la superficie terrestre se debe en parte a la atmósfera terrestre. Las nubes en la atmósfera terrestre reflejan 20% y absorben 19% de la energía s olar. La atmósfera refleja 6% de la energía solar y 4% es reflejada por la superficie terrestre. La atmósfera terrestre transmite 51% de la energía solar a la superficie terrestre. La energía solar es absorbida por
FIGURA 18.24
Sol 6% reflejada por la atmósfera
20% reflejada por las nubes
Radiación infrarroja emitida de la Tierra caliente atrapada por 51% absorbida por los gases de invernadero la superficie terrestre
19% absorbida por las nubes 4% reflejada por la superficie terrestre
Superficie terrestre
La atmósfera terrestre afecta fuertemente la cantidad de energía absorbida por la Tierra desde el Sol.
604
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la t ermodinámica
a)
b)
FIGURA 18.25 a) Un científico de la NASA con su brazo dentro de una bolsa plástica negra, iluminada con luz visible. b) El mismo científico de la NASA fotografiado con una cámara infrarroja. El científico radiaba radiación infrarroja que pasó a través de la bolsa.
la superficie terrestre y la calienta, causando que la superficie emita radiación infrarroja. Ciertos gases en la atmósfera —notablemente vapor de agua y dióxido de carbono, además de otros gases— absorben algo de la radiación infrarroja, atrapando así una fracción de la energía que, de otra manera, se radiaría de regreso al espacio. Este efecto de atrapar la energía térmica se llama efecto de invernadero. El efecto de invernadero mantiene a la Tierra más caliente de lo que s ería de otra forma y minimiza las variaciones de temperatura entre el día y la noche. Las dos fotografías en la f igura 18.25 ilustran cómo la radiación a distintas longitudes de onda penetra los materiales de manera diferente. En la figura 18.25 a), un científico de la NASA tiene su brazo dentro de una bolsa plástica negra. En la figura 18.25 b), se fotografió la misma persona con las luces apagadas, usando una cámara sensible a la radiación infrarroja. El cuerpo humano emite radiación infrarroja debido a que su metabolismo produce calor. Esta radiación pasa a través de la bolsa plástica negra que bloquea la luz visible y el brazo previamente oculto resulta visible. La quema de combustibles fósiles y otras actividades humanas han incrementado la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre y aumentado la temperatura superficial, al atrapar la radiación infrarroja que de otro modo se emitiría al espacio. La concentración de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre como función del tiempo se grafica en la figura 18.26. En la figura 18.26 a), la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre se muestra desde el año 1832 hasta el año 2004. La concentración de dióxido de carbono se ha incrementado durante los últimos 150 años desde alrededor de 284 ppmv (partes por millón por volumen) en 1832 a 377 ppmv en 2004. La figura 18.26b) muestra la concentración de dióxido de carbono en el aire en los pasados 420 000 años. Visibles en esta gráfica se encuentran los periodos glaciares con concentraciones de dióxido de carbono relativamente bajas alrededor de 200 ppmv y periodos interglaciares con concentraciones de dióxido de carbono relativamente altas alrededor de 275 ppmv. La combinación de mediciones directas de los últimos 50 años y las concentraciones inferidas de los núcleos de hielo indica que la concentración al día de hoy de dióxido de carbono en la atmósfera es mayor que en cualquier momento en los últimos 420 000 años. Algunos investigadores estiman que la concentración actual de dióxido de carbono se encuentra en su nivel superior de los últimos 20 millones de años. Los modelos para la composición de la atmósfera terrestre basados en las tendencias actuales predicen que la concentración de dióxido de carbono continuará incrementándose en los próximos 100 años. Este incremento en la concentración de dióxido de carbono atmosférico contribuye al calentamiento global observado descrito en el capítulo 17. En todo el mundo, los gobiernos están reaccionando a estas observaciones y predicciones de muchas maneras, incluyendo el Protocolo de Kyoto, el cual entró en vigor en 2005. En dicho protocolo, las naciones firmantes acordaron hacer recortes sustanciales en sus emisiones de gases de invernadero para el año 2012. Sin embargo, no se les requirió a varias naciones en vías de desarrollo que redujesen sus emisiones de gases de invernadero.
400
400
) v m p p 300 (
) v m p p 300 ( 2
2
O C e d n 200 ó i c a r t n e c 100 n o C
O C e d 200 n ó i c a r t n e c 100 n o C
0
1840
1880
1920 Año a)
1960
2000
0
400 000
300 000 200 000 100 000 Año antes del presente
0
b)
FIGURA 18.26 Concentración de dióxido de carbono (CO 2) en la atmósfera terrestre en partes por millón por volumen (ppmv). a) Concentración de dióxido de carbono en la atmósfera desde 1832 hasta 2004. Las mediciones desde 1832 hasta 1978 se realizaron usando núcleos de hielo en la Antártida y las mediciones desde 1959 hasta 2004 se llevaron a cabo en la atmósfera de Mauna Loa en Hawai. b) Concentraciones de dióxido de carbono para los pasados 420 000 años, extraídos de núcleos de hielo en la Antártida.
Lo que hemos aprendido
605
18.4 Ejercicio en clase Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta (C) o falsa (F). 1. Un objeto frío no radia energía. 2. Cuando el calor se agrega a un sistema, la temperatura debe subir.
3. Cuando una temperatura en Celsius se duplica, la temperatura en Fahrenheit también se duplica. 4. La temperatura del punto de fusión es la misma que la temperatura del punto de congelación.
El calor en las computadoras Pensar acerca de la transferencia de energía térmica puede no hacerle recordar a su computadora en seguida. Pero enfriar una computadora es un problema mayor de ingeniería. Una computadora de escritorio típica usa entre 100 y 150 W de potencia eléctrica y una portátil usa entre 25 y 70 W. Como regla general, cuanto mayor es la frecuencia de os cilación del microchip, tanto mayor será el consumo de potencia. La mayoría de la potencia eléctrica se convierte en energía térmica y se tiene que eliminar de la computadora. Para lograr esto, las computadoras tienen sumideros de calor pasivos, los cuales consisten en piezas de metal con grandes áreas superficiales sujetas a las partes de la computadora que se necesitan enfri ar, principalmente la CPU y los chips gráficos (figura 18.27). Los sumideros de calor pasivos aplican la conducción para quitar la energía térmica de las partes de la computadora y entonces radiación para transferir la energía térmica al aire circundante. Un sumidero de calor activo incluye un pequeño ventilad or para mover más aire por l as superf icies metálicas a fin de incrementar la transferencia de energía térmica. Desde luego, el ventilador también consume potencia eléctrica y reduce de esta manera el periodo de carga de l as baterías en las computadoras portátiles. En tanto que podría s er sólo un ligero inconveniente que su computadora portátil le caliente el regazo, enfriar grandes grupos de computadoras es muy costoso. Si un conjunto de servidores contiene 10 000 CPU individuales, su consumo de p otencia eléctrica está en el orden de 1 MW, la mayor parte del cual se transforma en calor que tiene que ser retirado por sistemas de aire acondicionado muy grandes. De esta manera, actualmente el punto central de muchas investigaciones son los componentes más eficientes de la computadora, desde los suministros de poder hasta los microchips de la CPU y los métodos más eficientes de enfriamiento.
LO QUE HEMOS APRENDIDO |
■
ambiente o entre dos sistemas debido a una diferencia de temperatura entre éstos. Una caloría se define en términos de un joule: 1 cal = 4.186 J. El trabajo efectuado por un sistema al pasar de un volumen inicial V i a un volumen final V f es
■ En una expansión libre adi abática, Q = W = Eint = 0. ■ Si el calor, Q, se agrega a un objeto, su cambio en la temperatura, T, está dado por T =
■
∫ dW ∫ =
pdV .
V i
■ La primera ley de la termodinámica afirma que el
■ ■ ■
cambio en la energía interna de un sistema aislado es igual al calor que fluye hacia dentro del sistema menos el trabajo efectuado por el sistema, o Eint = Q – W. La primera ley de la termodinámica afirma que la energía en un sistema cerrado se conserva. Un proceso adiabático es aquel en el cual Q = 0. En un proceso a volumen constante, W = 0. En un proceso de trayectoria cerrada, Q = W.
Q C
,
donde C es la
capacidad calorífica del objeto. Si el calor, Q, se agrega a un objeto con masa m, su cambio en la temperatura, T, está dado por T =
V f
W=
Tecnología de sumidero de calor activo y pasivo montado sobre la CPU de una computadora.
GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
■ El calor es energía transferida entre un sistema y su ■
FIGURA 18.27
donde c es el calor específico del objeto.
Q cm
,
■ La energía que se requiere para fundir un sólido a
■
líquido, dividido entre su masa, es el calor latente de fusión, Lfusión. Durante el proceso de fusión, la temperatura del sistema permanece al punto de fusión, T = T fusión. La energía requerida para vaporizar un líquido a gas, dividido entre su masa es el calor latente de vaporización, L vaporización. Durante el proceso de vaporización, la temperatura del sistema permanece al punto de ebullición, T = T ebullición.
606
Capítulo 18 El calor y la primera ley de la termodinámica
■ Si una barra con un área de sección transversal A se
■ La potencia radiada de un objeto con una temperatura T y un área superficial A está dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann: P radiadas = e AT 4, donde = 5.67 · 10–8 W/K 4m2 es la constante de Stefan-Boltzmann y e es la emisividad.
coloca entre un depósito térmico con una temperatura T h y un depósito térmico con una temperatura T c, donde T h > T c, la tasa de transferencia de calor a través de la barra es P cond =
Q t
= A
Th – T c R
, donde R es la
resistencia térmica de la barra.
TÉRMINOS CLAVE sistema, p. 582 ambiente, p. 582 energía térmica, p. 583 calor, p. 583 caloría, p. 583 proceso termodinámico, p. 584 diagramas pV , p. 585 procesos dependientes de la trayectoria, p. 585 trayectoria cerrada, p. 585 sistema cerrado, p. 586 primera ley de la termodinámica, p. 586
proceso adiabático, p. 588 procesos isocóricos (volumen constante), p. 588 proceso en trayectoria cerrada, p. 588 expansión libre, p. 589 procesos isobáricos (presión constante), p. 589 procesos isotérmicos, p. 589 isoterma, p. 589 capacidad calorífica, p. 589
calor específico, p. 589 calorímetro, p. 591 estados de la materia, p. 592 fases, p. 592 cambios de fase (transiciones de fase), p. 592 calor latente de fusión, p. 592 calor latente de vaporización, p. 592 sublimación, p. 593 plasma, p. 593 radiación, p. 596
convección, p. 596 conducción, p. 596 conductividad térmica, p. 596 resistencia térmica, p. 596 ecuación de StefanBoltzmann, p. 602 constante de StefanBoltzmann, p. 602 emisividad, p. 602 cuerpo negro, p. 602 efecto de invernadero, p. 604
NUEVOS S ÍMBOL OS Y ECUACIONE S Q, calor
R, resistencia térmica de una losa de material en m 2 K/W
Eint =
Lfusión, calor latente de fusión
Q – W, cambio en la energía interna del sistema, primera ley de la termodinámica C , capacidad calorífica en J/K c, calor específico en J/(kg K) k, conductividad térmica de un material en W/(m K)
L vaporización, calor latente de vaporización T fusión, punto de fusión de una sustancia T ebullición, punto de ebullición de una sustancia
RESPUESTAS A LAS OPORTUNIDADES DE AUTOEXAMEN 18.1
El trabajo es negativo.
18.2
1 m2 K (3.281)2 ft2 9 °F 1 W s 1 0055 J 1 h 5 2 1 W 1 K 1 J 1BTU 3 600 s m = 5.678
ft2 °F h BTU
tormentas de truenos, corriente de chorro, calentar agua en una olla, calentar una casa. 18.3
.
PRÁCTICA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Lineamientos para resolución de problemas 1. Cuando use la primera ley de la termodinámica, siempre verifique los signos del calor y del trabajo. En este libro, el trabajo efectuado sobre el sistema es negativo (compresión) y el trabajo efectuado por el sistema es positivo (expansión); el calor agregado a un sistema es positivo y el calor emitido por
un sistema es negativo. Algunos libros definen los signos del trabajo y el calor de forma diferente; asegúrese que usted sabe qué convención de signos se aplica al problema particular. El trabajo y el calor son cantidades dependientes de la trayectoria, pero el cambio en la energía interna es independiente de la trayectoria. De esta manera, para calcular un cambio en la 2.
607
Práctica para resolución de problemas
energía interna, usted puede usar cualesquiera procesos que comiencen desde la misma posición inicial y terminen en la misma posición final en el diagrama pV . El calor y el trabajo pueden variar, dependiendo de la trayectoria en el diagrama, pero su diferencia, Q − W , permanecerá igual. Para estos tipos de problemas, asegúrese de tener un sistema claramente definido y de conocer cuáles son las condiciones iniciales y finales para cada paso en el proceso. Para los problemas calorimétricos, la conservación de la energía demanda que las transferencias de energía sumen cero. En otras palabras, el calor ganado por un sistema debe ser igual al calor perdido por los alrededores o algún otro sistema. Este hecho establece la ecuación básica que describe cualquier transferencia de calor entre objetos. 3.
Para calcular las cantidades de calor y los correspondientes cambios de temperatura, recuerde que el calor específico se refiere a un cambio de calor por unidad de masa del material, correspondiente a un cambio de temperatura; para un objeto de masa conocida, usted necesita usar la capacidad calorífica. También debe estar consciente de la posibilidad de un cambio de fase. Si es posible un cambio de fase, divida el proceso de transferencia de calor en pasos, calculando el calor correspondiente a los cambios de temperatura y el calor latente correspondiente a los cambios de fase. Recuerde que los cambios de temperatura son siempre la temperatura final menos la temperatura inicial. 4.
Asegúrese de verificar los cálculos de calorimetría contra la realidad. Por ejemplo, si la temperatura es mayor que una temperatura inicial, incluso a pesar de que se extrajo calor de un sistema, usted ha pasado por alto un cambio de fase. 5.
PROBLEMA RESUELTO 18.4 Flujo de la energía térmica a través de una barra de cobre/aluminio PROBLEMA Una barra de cobre (Cu) con una longitud L = 90.0 cm y un área de sección transversal A = 3.00 cm2 está en contacto térmico en un extremo con un depósito térmico a una temperatura de 100.0 °C. El otro extremo de l a barra de cobre está en contacto térmico con una barra de aluminio (Al) de la misma área de s ección transversal y una longitud de 10.0 cm. El otro extremo de la barra de aluminio se encuentra en contacto térmico con un depósito térmico a una temperatura de 1.00 °C. ¿Cuál es el flujo de energía térmica a través de la barra compuesta?
SOLUCIÓN PIENSE El flujo de energía térmica depende de la diferencia de temperatura entre los dos extremos de la barra, la longitud y el área de la sección transversal y la conductividad térmica de los materiales. Todo el calor que fluye del extremo de la temperatura superior debe fluir a través tanto del segmento de cobre como del de aluminio.
ESBOCE
LAl LCu
La figura 18.28 es un bosquejo de la barra de cobre/aluminio.
INVESTIGUE Podemos usar la ecuación 18.15 para describir el flujo de energía térmica a través de la barra de longitud L y área de sección transversal A: Pcond = kA
Th – T c
.
L
T h
100 °C
FIGURA 18.28
Th – T
.
LCu
El flujo de energía térmica a través del segmento de aluminio es PAl = kAl A
T – T c
.
LAl
El flujo de energía térmica a través del segmento de cobre debe ser igual al flujo de energía térmica a través del segmento de aluminio, así es que tenemos PCu = P Al = kCu A
Th – T LCu
= kAl A
T – T c
.
1 °C
Una barra de cobre/aluminio mantenida a 100 °C en un extremo y a 1 °C en el otro extremo.
Tenemos T h = 100 °C y T c = 1 °C. Identificamos la temperatura en la interfaz entre los segmentos de cobre y de aluminio como T . El flujo de energía térmica a través del segmento de cobre es entonces PCu = kCu A
T c
(i)
LAl
(continúa)
608
Capítulo 18 El calor y la primera ley de la termodinámica
(continuación )
SIMPLIFIQUE Podemos resolver esta ecuación para T . Primero, dividimos entre A y entonces multiplicamos ambos lados por LCuLAl
(
)
(
)
kCu LAl Th – T = kAl LCu T – Tc .
Ahora, multiplicamos en ambos lados y recolectamos todos los términos con T en un lado: kCu LAlTh − kCuLAlT = kAl LCuT − kAl LCuTc kAl LCu T + kCu LAlT = kCuLAlTh + kAl LCuTc T (kAl LCu + kCu LAl ) = kCu LAlTh + kAl LCu Tc k Cu LAlTh + kAl LCuTc T = . kCu LAl + kAl LCu
Al sustituir esta expresión para T en la ecuación (i) nos da el flujo de energía térmica a través de la barra de cobre/aluminio.
CALCULE Al colocar los valores numéricos nos da k CuLAlTh + kAl LCuTc T = kCu LAl + kAl L Cu
386 W/( mK) (0.100 m)( 373 K) + 220 W/( m K) ( 0. 900 m)( 274 K ) = 386 W/(m K) ( 0.100 m) + 220 W/( m K) ( 0.900 m)
= 290.1513 K.
Al poner este resultado para T en la ecuación (i) nos da el flujo de energía térmica a través del segmento de cobre PCu = kCu A
Th −T LCu
2 373 K – 290.1513 K −4 = 386 W/ m K 3.00 ⋅10 m 0.900 m
)(
(
)
=10.6599 W.
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con tres cifras significativas: P Cu =10.7 W.
V U E L VA A R E V I S A R Para volver a revisar, calculemos el flujo de energía térmica a través del segmento de aluminio: PAl = kAl A
T – T c LAl
2 290.1513 K − 274 K −4 = 220 W/ m K 3.00 ⋅10 m = 10.7 W. 0.100 m
(
)(
)
Esto está de acuerdo con nuestros resultados para el segmento de cobre.
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE Un objeto metálico de 2.0 kg con una temperatura de 90 °C se sumerge en 1.0 kg de agua a 20 °C. El sistema aguametal alcanza un equilibrio a 32 °C. ¿Cuál es el calor específico del metal? 18.1
a)
0.840 kJ/kg K b) 0.129 kJ/kg K
c)
0.512 kJ/kg K d ) 0.433 kJ/kg K
Un gas encerrado en un cilindro se calienta por medio de un pistón que puede moverse sin fricción y entran 1 000 J 18.2
de calor al gas. Suponiendo que el volumen del gas es constante, el cambio en la energía interna del gas es a) 0. b) 1 000 J. c) –1 000 J. d ) Ninguna de las anteriores. En la compresión isotérmica de un gas, el volumen ocupado por el gas está decreciendo, pero la temperatura del gas permanece constante. Para que esto pueda suceder, a) El calor debe entrar al gas. c) No debe tener lugar ningún intercambio de calor enb) El calor debe salir del gas. tre el gas y sus alrededores. 18.3
Preguntas
¿En qué superficie debe usted p oner una olla para mantenerla caliente por un tiempo más largo? a) Una superficie de vidrio c) Una superficie de madera lisa. lisa. b) Una superficie de acero d ) Una superficie de madera lisa. rugosa.
18.8
Suponiendo que la severidad de una quemadura se incrementa conforme la cantidad de energía puesta en la piel aumenta, ¿cuál de las siguientes causaría la quemadura más se vera (suponga masas iguales)? a) Agua a 90 °C. d ) Aluminio a 100 °C. b) Cobre a 110 °C. e) Plomo a 100 °C. c) Vapor a 180 °C.
18.9
¿En qué tipo de proceso no se efectúa trabajo sobre un gas? a) Isotérmico. c) Isobárico. b) Isocórico. d ) Ninguno de los anteriores.
ra(s)?
18.4
18.5
18.6
Un bloque de aluminio de masa M Al = 2.0 kg y un calor específico C Al = 910 J/(kg K) se encuentra a una temperatura inicial de 1 000 °C y se arroja en un cubo de agua. El agua tiene una masa M H2O = 12 kg y un calor específico C H2O = 4 190 J/(kg K) y está a temperatura ambiente (25 °C). ¿Cuál es la temperatura final aproximada del sistema cuando alcanza el equilibrio térmico? (Desprecie la pérdida de calor hacia fuera del sistema.) a) 50 °C b) 60 °C c) 70 °C d ) 80 °C 18.7
609
Un material tiene una densidad másica , volumen V y calor específico c. ¿Cuál de las siguientes es la expresión correcta para el intercambio de calor que ocurre cuando la temperatura del material cambia en T en grados Celsius? a) ( c/V )T b) ( cV )(T + 273.15)
¿Cuál de los siguientes no radia calor?
a) Un cubo de hielo. b) Nitrógeno líquido. c) Helio líquido. d ) Un dispositivo a T = 0.010 K. 18.10
c) ( cV )/T d ) cV T e) Todos los anteriores. f ) Ninguno de los anteriores.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdade-
a) Cuando un sistema efectúa trabajo, su energía interna siempre decrece. b) El trabajo efectuado sobre un sistema siempre decrece su energía interna. c) Cuando un sistema efectúa un trabajo sobre sus alrededores, el signo del trabajo es siempre positivo. d ) El trabajo positivo efectuado sobre un sistema es siempre igual a la ganancia del sistema en energía interna. e) Si usted empuja sobre el pistón de un cilindro lleno de gas, la energía del gas en el cilindro se incrementará.
PRE GUN TAS Calcule la potencia radiada por una persona promedio. (Piense en el cuerpo humano como un cuerpo negro cilíndrico.) 18.11
Varios días después de que termine una tormenta de nieve, el techo de una casa se encuentra completamente cubierto con nieve y el techo de otra casa no tiene una cubierta de nieve. ¿Cuál de las dos casas se encuentra probablemente mejor aislada? 18.12
¿Por qué siente mucho más frío en sus pies en el azulejo después de bañarse que en la alfombra de baño? ¿Por qué este efecto es más notable cuando sus pies están fríos? 18.13
¿Puede usted pensar en una forma de hacer un cuerp o negro, un material que absorbe esencialmente toda la energía radiante que cae sobre éste, si usted sólo tiene un material que refleja la mitad de la energía radiante que cae sobre éste? 18.14
En 1883, el volcán en la isla Krakatoa en el Pacífico hizo erupción violentamente en la mayor explosión terrestre jamás registrada en la historia, destruyendo gran parte de la isla en el proceso. Las mediciones de la temperatura global indican que dicha explosión redujo la temperatura promedio de la Tierra en cerca de 1 °C durante las siguientes dos décadas. ¿Por qué? 18.15
Caminar sobre el fuego se practica en algunas partes del mundo por diversas razones y es también una atracción 18.16
turística en algunos complejos turísticos a las orillas del mar. ¿Cómo puede una persona caminar a través de carbones ardiendo a una temperatura bastante mayor a 500 °F sin quemarse sus pies? ¿Por qué un abrigo seco y mullido es mejor aislante que el mismo abrigo cuando está mojado? 18.17
Se ha propuesto que el calentamiento global podría contrarrestarse dispersando grandes cantidades de polvo en la atmósfera superior. ¿Por qué podría funcionar esto y cómo? 18.18
Una botella térmica adaptada con un pistón está llena con un gas. Dado que la botella está bien aislada, ningún calor puede entrar o salir de ésta. El pistón se empuja hacia dentro, comprimiendo al gas. a) ¿Qué pasa con la presión del gas? ¿Aumenta, disminuye o se queda igual? b) ¿Qué pasa con la temperatura del gas? ¿Aumenta, disminuye o se queda igual? c) ¿Cambian otras propiedades del gas? 18.19
¿Cómo diferirían las tasas de transferencia de calor entre un depósito térmico a una mayor temperatura y a una menor temperatura si los depósitos estuviesen en contacto con una barra de vidrio de 10 cm de longitud en lugar de una barra de aluminio de 10 m de longitud que tienen un área de sección transversal idéntica? 18.20
610
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
¿Por qué podría un excursionista preferir una botella de plástico a una cantimplora de aluminio para llevar su agua de beber? 18.21
Una niña ha descubierto una muy antigua moneda de plata de un dólar de Estados Unidos y está sosteniéndola apretadamente en sus manitas. Suponga que ella puso el dólar 18.22
en una superficie de madera (aislante) de una mesa y después una amiga vino de afuera y colocó encima del dólar de plata un centavo igualmente antiguo que recientemente se encontró en la nieve, donde se quedó toda la noche. Estime la temperatura de equilibrio final del sistema de las dos monedas en equilibrio térmico.
PROBLEMAS Una y dos problema. •
indican un nivel creciente de dificultad del
••
Secciones 18.2 y 18.3 Usted levantará un elefante (masa = 5.0 · 103 kg) sobre su cabeza (un desplazamiento vertical de 2.0 m). 18.23
a) Calcule el trabajo requerido para hacer esto. Usted levantará al elefante lentamente (¡no se permite lanzar al elefante!). Si usted quiere, puede usar un sistema de poleas. (Como usted vio en el capítulo 5, esto no cambia la energía requerida para levantar al elefante, pero definitivamente reduce la fuerza necesaria para hacerlo.) b) ¿Cuántas donas (a 250 calorías de comida cada una) debe usted metabolizar para suministrar la energía para esta proeza? Un gas tiene un volumen inicial de 2.00 m 3. Se expande a tres veces su volumen inicial a través de un proceso en el cual P = V 3, con = 4.00 N/m11. ¿Cuánto trabajo se efectúa al expandirse el gas? 18.24
¿Cuánto trabajo se efectúa por ciclo por el gas que sigue la trayectoria mostrada en el diagrama pV ? 18.25
Secciones 18.4 y 18.5 La energía interna de un gas es de 500. J. El gas se comprime adiabáticamente y su volumen decrece en 100. cm 3. Si la presión aplicada sobre el gas durante la compresión es de 3.00 atm, ¿cuál es la energía interna del gas después de la compresión adiabática? 18.26
Sección 18.6 Usted tiene 1.00 cm3 de cada uno de los materiales listados en la tabla 18.1, todos a temperatura ambiente, 22.0 °C. ¿Cuál material tiene la temperatura más alta después de que se agrega 1.00 J de energía térmica a cada muestra? ¿Cuál tiene la temperatura inferior? ¿Cuáles son dichas temperaturas? 18.27
Suponga que usted mezcla 7.00 L de agua a 2.00 · 101 °C con 3.00 L de agua a 32.0 °C; el agua está aislada de tal modo que ninguna energía puede fluir hacia dentro o hacia fuera de ésta. (Usted puede lograr esto, aproximadamente, mezclando los dos fluidos en una nevera portátil del tipo que se usa para mantener las bebidas frías para los días de campo.) Los 10.0 L de agua alcanzarán alguna temperatura final. ¿Cuál es esta temperatura final? 18.28
Un pedazo de 25 g de aluminio a 85 °C se arroja en 1.0 L de agua a 1.0 · 101 °C, la cual se encuentra en un vaso de pre18.29
cipitados aislado. Suponiendo que hay una pérdida de calor despreciable a los alrededores, determine la temperatura de equilibrio del sistema. 18.30 Una bala de plomo de 12 g se dispara con una rapidez de 250 m/s a una pared de madera. Suponiendo que 75% de la energía cinética se absorbe por la bala como calor (y 25% por la pared), ¿cuál es la temperatura final de la bal a? 18.31 Un bloque de cobre de 1.00 kg a 80.0 °C se deja caer en un recipiente con 2.00 L de agua a 10.0 °C. Compare la magnitud del cambio de energía del cobre con la magnitud del cambio en la energía del agua. ¿Cuál valor es mayor? •
18.32 Una olla de aluminio de 1.19 kg contiene 2.31 L de agua. Tanto la olla como el agua se encuentran inicialmente a 19.7 °C. ¿Cuánto calor debe fluir en la olla y el agua para llevar su temperatura a 95.0 °C? Suponga que el efecto de la evaporación del agua durante el proceso de calentamiento puede despreciarse y que la temperatura permanece uniforme por toda la olla y el agua. •
18.33 Un ladrillo metálico encontrado en una excavación se envía a un laboratorio de pruebas para una identificación no destructiva. El laboratorio pesó el ladrillo de muestra y encontró que su masa era de 3.0 kg. El ladrillo se calentó hasta una temperatura de 3.0 · 102 °C y sumergido en un calorímetro de cobre aislado con una masa de 1.5 kg, que contenía 2.0 kg de agua a 2.0 · 101 °C. La temperatura final en el equilibrio se anotó como de 31.7 °C. Calculando el calor específico de la muestra a partir de estos datos, ¿puede usted identificar el material del ladrillo? •
Un pedazo de cobre de 2.0 · 102 g a una temperatura de 450 K y un pedazo de aluminio de 1.0 · 102 g a una temperatura de 2.0 · 102 K se arrojan en una cubeta aislada que contiene 5.0 · 102 g de agua a 280 K. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio de la mezcla? 18.34
•
Cuando se usa un termómetro de vidrio de inmersión para medir la temperatura de un líquido, la lectura de la temperatura se verá afectada por un error debido a la transferencia de calor entre el líquido y el termómetro. Suponga que usted quiere medir la temperatura de 6.00 mL de agua en un frasquito de vidrio Pyrex aislado térmicamente del ambiente. El frasquito vacío tiene una masa de 5.00 g. El termómetro que usted usa está hecho de vidrio Pyrex también y tiene una masa de 15.0 g, de los cuales 4.00 g son del mercurio que está dentro del termómetro. El termómetro se encuentra inicialmente a una temperatura ambiente (20.0 °C). Usted coloca su termómetro en el agua del frasquito y, después de un tiempo, usted lee una temperatura de equilibrio de 29.0 °C. ¿Cuál era la temperatura real del agua en el frasquito antes de que se midiese la temperatura? 18.35
••
Problemas
La capacidad calorífica específica del vidrio Pyrex alrededor de la temperatura ambiente es de 800. J/(kg K) y la del mercurio líquido a temperatura ambiente es de 140. J/(kg K). Sección 18.7
18.36 Suponga que 400. g de agua a 30.0 °C se vierten sobre un cubo de hielo de 60.0 g con una temperatura de −5.00 °C. Si todo el hielo se funde, ¿cuál es la temperatura final del agua? Si no todo el hielo se funde, ¿cuánto hielo queda cuando la mezcla agua-hielo alcanza el equilibrio? •
18.37 Una persona emitió 180 kcal de calor en la evaporación del agua en su piel en una sesión de ejercicios. ¿Cuánta agua perdió esta persona, suponiendo que el calor emitido sólo se usó para evaporar el agua?
da, después de calentarla a 1 346 °F, la hoja necesita llevarse a una temperatura inferior a 5.00 · 10 2 °F. Si la hoja tiene una masa de 0.500 kg y el agua se encuentra en un recipiente de cobre abierto con una masa de 2.000 kg y con un volumen suficientemente grande, ¿cuál es la mínima cantidad de agua que necesita estar en el recipiente para que el proceso de endurecimiento sea exitoso? Suponga que la hoja no está en contacto mecánico (y por lo tanto térmico) directo con el recipiente y desprecie el enfriamiento a través de la radiación hacia el aire. Suponga que el agua no hierve, pero alcanza los 100 °C. La capacidad calorífica del cobre alrededor de la temperatura ambiente es ccobre = 386 J/ (kg K). Use los datos en la tabla inferior para la capacidad calorífica del acero al carbono. Rango de temperatura (°C) 150 a 200 200 a 250 250 a 350 350 a 450 450 a 550 550 a 650 650 a 750
18.38 Un bloque de aluminio de 1.3 kg a 21 °C se ha de fundir y darle nueva forma. ¿Cuánto calor debe fluir hacia el bloque con objeto de fundirlo?
18.39 El calor latente de vaporización del nitrógeno líquido es como de 200. kJ/kg. Suponga que usted tiene 1.00 kg de nitrógeno líquido hirviendo a 77.0 K. Si usted suministra calor a una tasa constante de 10.0 W mediante un calentador eléctrico inmerso en el nitrógeno líquido, ¿cuánto tomará en vaporizarse por completo? ¿Cuál es el tiempo para 1 kg de helio líquido, cuyo calor de vaporización es de 20.9 kJ/kg? 18.40 Suponga que 0.010 kg de vapor (a 100.00 °C) se agrega a 0.10 kg de agua (inicialmente a 19.0 °C). El agua está dentro de una taza de aluminio con una masa de 35 g. La taza está dentro de un recipiente de calorimetría perfectamente aislado, que previene el flujo de calor con el ambiente exterior. Encuentre la temperatura final del agua una vez que se ha alcanzado el equilibrio. •
18.41 Suponga que 1.0 · 102 g de aluminio fundido a 932 K se arrojan en 1.00 L de agua a temperatura ambiente, 22 °C. •
a)
¿Cuánta agua hervirá? b) ¿Cuánto del aluminio se solidificará? c) ¿Cuál será la temperatura final del sistema agua-aluminio? d ) Suponga que el aluminio estaba inicialmente a 1 150 K. ¿Podría usted todavía resolver este problema usando la información dada en este problema? ¿Cuál sería el resultado? 18.42 En una de sus rigurosas sesiones de ejercicio, usted perdió 150 g de agua a través de la evaporación. Suponga que la cantidad de trabajo efectuado por su cuerpo fue de 1.80 · 105 J y que el calor requerido para evaporar el agua vino de su propio cuerpo. •
a)
Encuentre la pérdida de energía interna de su cuerpo, suponiendo que el calor latente de vaporización es de 2.42 · 10 6 J/kg. b) Determine el número mínimo de calorías de comida que debe consumir para reponer la energía interna perdida (1 caloría de comida 4 186 J). 5
18.43 Las hojas de los cuchillos a menudo se fabrican con acero al carbono endurecido. El proceso de endurecimiento es un tratamiento de calor en el cual la hoja primero se calienta a una temperatura de 1 346 °F y entonces se enfría rápidamente, sumergiéndola en un baño de agua. Para lograr la dureza desea••
611
Capacidad calorífica (J/kg K) 519 536 553 595 662 754 846
18.44 Se ha postulado que cae “nieve” de etanol cerca de los polos de los planetas Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Si las regiones polares de Urano, definidas como aquéllas a una latitud al norte de los 75.0° N y a una latitud al sur de los 75° S, experimentan 1.00 ft de nieve de etanol, ¿cuál es la mínima cantidad de energía perdida a la atmósfera para producir tal cantidad de nieve a partir del vapor de etanol? Suponga que el etanol sólido tiene una densidad de 1.00 g/cm 3 y que la nieve de etanol —la cual es esponjada como la nieve terrestre— es como 90.0% de espacio vacío. La capacidad calorífica específica es de 1.30 J/ (g K) para el vapor de etanol, 2.44 J/(g K) para el etanol líquido y de 1.20 J/(g K) para el etanol sólido. ¿Cuánta potencia se disipa si 1 ft de nieve de etanol cae en un día terrestre? ••
Sección 18.8
18.45 Un bloque de hielo de 100. mm por 100. mm por 5.0 mm a 0 °C se coloca sobre su cara plana sobre un disco de metal que cubre una olla de agua hirviendo a presión atmosférica normal. El tiempo necesario para que el bloque entero se funda se mide en 0.400 s. La densidad del hielo es de 920. kg/m 3. Use los datos en la tabla 18.3 para determinar de qué metal está hecho el disco con mayor probabilidad. 18.46 Una lámina de cobre con un espesor de 2.00 mm está pegada a una lámina de acero con un espesor de 1.00 mm. La superficie exterior de la lámina de cobre se mantiene a una temperatura de 100.0 °C y la de la lámina de acero a 25.0 °C. a)
Determine la temperatura en la interfaz cobre-acero. 2 b) ¿Cuánto calor se conduce a través de 1.00 m de las láminas combinadas por segundo? 18.47 El Sol es aproximadamente una esfera con un radio de 6.963 · 105 km, a una distancia media a = 1.496 · 108 km de la Tierra. La constante solar , la intensidad de la radiación solar en el borde exterior de la atmósfera terrestre, es de 1 370 W/m 2. Suponiendo que el Sol radia como un cuerpo negro, calcule su temperatura superficial.
612
Capítulo 18
El calor y la primera ley de la termodinámica
El motor de una motocicleta enfriada por aire pierde una cantidad significativa de calor a través de la radiación térmica de acuerdo con la ecuación de Stefan-Boltzmann. Suponga que la temperatura ambiente es T 0 = 27 °C (300 K). Suponga que el motor genera 15 hp (11 kW) de potencia y, debido a varias aletas superficiales profundas, tiene un área superficial A = 0.50 m2. Un motor reluciente tiene una emisividad e = 0.050, en tanto que un motor pintado de negro tiene una emisividad e = 0.95. Determine las temperaturas de equilibrio para el motor negro y el motor brillante. (Suponga que la radiación es el único modo mediante el cual el calor se disipa del motor.) 18.48
•
18.49 Un día de verano, usted decide hacer una paleta de agua helada. Usted coloca un palo de paleta dentro de un vaso de jugo de naranja de 8.00 oz, el cual se encuentra a temperatura ambiente (71.0 °F). Entonces pone el vaso dentro del congelador, el cual se encuentra a 215.0 °F y tiene una potencia de enfriamiento de 4.00 3 103 BTU/h. ¿Cuánto tarda en congelarse su paleta helada? •
Un cubo de hielo a 0 °C mide 10.0 cm en cada arista. Reposa sobre un bloque de cobre con una sección transversal cuadrada de 10 cm por lado y una longitud de 20.0 cm. El bloque se sumerge parcialmente en una gran tina de agua a 90.0 °C. ¿Cuánto tarda en fundirse el cubo de hielo? Suponga que sólo la parte en contacto con el bloque se derrite; esto es, el cubo se hace más corto conforme se funde. La densidad del hielo es de 0.917 g/cm 3. 18.50
•
18.51 Una ventana de una sola hoja es un mal aislante. En un día frío, la temperatura en la superficie interior de la ventana es a menudo mucho menor que la temperatura del aire en el cuarto. Del mismo modo, la superficie exterior de la ventana es quizás mucho más caliente que el aire a la intemperie. Las temperaturas superficiales reales dependen fuertemente de los efectos convectivos. Por ejemplo, suponga que las temperaturas del aire son de 21.5 °C dentro y de 23.0 °C fuera y la superficie interior de la ventana está a 8.5 °C y la superficie exterior de la ventana está a 4.1 °C. ¿A qué tasa fluirá el calor a través de la ventana? Tome el grosor de la ventana como 0.32 cm, la altura de 1.2 m y el ancho de 1.4 m. •
18.52 Un recipiente de almacenamiento criogénico contiene helio líquido, el cual hierve a 4.2 K. Suponga que un estudiante pintó la cubierta exterior del recipiente de negro, convirtiéndola en un pseudocuerpo negro y que la cubierta tiene un área efectiva de 0.50 m 2 y se encuentra a 3.0 · 102 K. a) Determine la tasa de pérdida de calor debida a la radiación. b) ¿Cuál es la tasa a la cual el volumen de helio líquido en el recipiente decrece como resultado de la ebullición? El calor latente de vaporización del helio líquido es de 20.9 kJ/kg. La densidad del helio líquido es de 0.125 kg/L. 18.53 Marte se encuentra 1.52 veces más distante del Sol que la Tierra y tiene un diámetro de 0.532 veces el de la Tierra. a) ¿Cuál es la intensidad de la radiación solar (en W/m2) en la superficie de Marte? b) Estime la temperatura superficial de Marte. 18.54 Dos depósitos térmicos están conectados por una barra de cobre sólido. La barra tiene una longitud de 2.00 m y las temperaturas de los depósitos son de 80.0 °C y 20.0 °C. •
•
••
a) Suponga que la barra tiene una sección transversal rectangular constante, de 10.0 cm por un lado. ¿Cuál es la tasa de flujo de calor a través de la barra? b) Suponga que la barra tiene una sección transversal rectangular que se ensancha gradualmente desde el depósito más frío al depósito más caliente. El área está determinada 2 por A = (0.0100 m )[1.0 + x /( 2. 0 m) ], donde x es la distancia a lo largo de la barra del depósito más frío al más caliente. Encuentre el flujo de calor y l a tasa de cambio de temperatura con la distancia del extremo más frío, en el extremo más caliente y a la mitad de la barra. 18.55 La radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura T tiene una distribución de frecuencias dada por el espectro de Planck: 2 h f 3 ( f ) = , T c2 ehf /kBT – 1 donde eT ( f ) es la densidad de energía de la radiación por unidad de incremento de la frecuencia, ν (por ejemplo, en watts por metro cuadrado por hertz), h = 6.626 · 10–34 J s es la constante de Planck, kB = 1.38 · 10–23 m 2 kg s–2 K –1 es la constante de Boltzmann y c es la rapidez de la luz en el vacío. ( De manera notable, el ejemplo más exacto y más precisamente medido de esta distribución de energía en la naturaleza es la radiación cósmica de fondo en microondas.) Esta distribución tiende a cero en los límites f 0 y f ∞ con un solo pico entre estos dos límites. Conforme la temperatura se incrementa, la densidad de energía a cada valor de frecuencias se incrementa y el pico se desplaza a un valor de frecuencia mayor. a) Encuentre la frecuencia correspondiente al pico del espectro de Planck, como función de la temperatura. b) Evalúe la frecuencia pico a la temperatura T = 6.00 · 103 K, aproximadamente la temperatura de la fotosfera (superficie) del Sol. c) Evalúe la frecuencia pico a la temperatura T = 2.735 K, la temperatura de la radiación cósmica de fondo en microondas. d ) Evalúe la frecuencia pico a la temperatura T = 300. K, la cual es aproximadamente la temperatura superficial de la Tierra. ••
→
→
Problemas adicionales ¿Cuánta energía se requiere para calentar 0.30 kg de aluminio desde 20.0 °C hasta 100.0 °C? 18.56
La conductividad térmica de la guata de fibra de vidrio, la cual tiene un grosor de 4.0 in, es de 8.0 · 10–6 BTU/(ft °F s). ¿Cuál es su valor R (en ft2 °F h/BTU)? 18.57
El agua es un excelente refrigerante como resultado de su capacidad calorífica muy grande. Calcule la cantidad de calor que se requiere para cambiar la temperatura de 10.0 kg de agua en 10.0 K. Ahora calcule la energía cinética de un coche con m = 1.00 · 103 kg, moviéndose a una rapidez de 27.0 m/s (60 mph). Compare estas dos cantidades. 18.58
Aproximadamente 95% de la energía desarrollada por un filamento en una bombilla esférica de 1.0 · 10 2 W se disipa a través de la bombilla de vidrio. Si el espesor de la bombilla es de 0.50 mm y su radio es de 3.0 cm, calcule la diferencia de temperatura entre las superficies interior y exterior de la bombilla. 18.59
La etiqueta en un refresco gaseoso manifiesta que 12 fl oz (355 g) proporciona 150 kcal. La bebida se enfría a 10.0 18.60
Problemas
°C antes de consumirse. Entonces, alcanza la temperatura del cuerpo de 37 °C. Encuentre el contenido de energía neto de la bebida. (Pista: Usted puede tratar al refresco como idéntico al agua en términos de su capacidad calorífica.) El cuerpo humano transporta calor desde los tejidos internos, a una temperatura de 37.0 °C, hasta la superficie de la piel, a una temperatura de 27.0 °C, a una tasa de 100 W. Si el área de la piel es de 1.5 m 2 y su espesor es de 3.0 mm, ¿cuál es la conductividad térmica efectiva, , de la piel? 18.61
18.62 Se ha dicho que en ocasiones las balas de plomo se funden al impacto. Suponga que una bala recibe 75% del trabajo hecho sobre ésta por la pared al impacto como un incremento en la energía interna. a) ¿Cuál es la rapidez mínima con la cual una bala de 15 g podría impactar una superficie (suponiendo que la bala se detiene por completo y toda la energía cinética es absorbida por ésta) para empezarse a fundir? b) ¿Cuál es la rapidez de impacto mínima requerida para que la bala se funda por completo? 18.63 La radiación solar en la superficie terrestre tiene una intensidad de unos 1.4 kW/m 2. Suponiendo que la Tierra y Marte son cuerpos negros, calcule la intensidad de la luz solar en la superficie marciana. •
•
Usted se perdió al hacer excursionismo a la intemperie, vistiendo sólo un traje de baño. a) Calcule la potencia radiada por su cuerpo, suponiendo que su área superficial es de unos 2.00 m 2 y su temperatura es de unos 33.0 °C. También, suponga que su cuerpo tiene una emisividad de 1.00. b) Calcule la potencia radiada neta desde su cuerpo cuando usted estaba dentro de un albergue a 20.0 °C. c) Calcule la potencia radiada neta de su cuerpo cuando la temperatura de su cuerpo bajó a 27.0 °C. 18.65 Un cubo de hielo de 10.0 g a –10.0 °C se deja caer en 40.0 g de agua a 30.0 °C. a) Después de que ha transcurrido suficiente tiempo para permitir que el cubo de hielo y el agua alcancen un equilibrio, ¿cuál es la temperatura del agua? b) Si se agrega un segundo cubo de hielo, ¿cuál es la temperatura del agua? 18.66 Arthur Clarke escribió una interesante narración corta llamada “Un ligero caso de insolación”. Los descontentos fanáticos del fútbol fueron al estadio un día equipados con espejos y estaban dispuestos a hacer barbacoa al árbitro si favorecía a un equipo en lugar del otro. Imagine que el árbitro es como un cilindro lleno con agua y una masa de 60.0 kg a 35.0 °C. También suponga que este cilindro absorbe toda la energía reflejada sobre él desde 50 000 espejos. Si la capacidad calorífica del agua es de 4.20 · 10 3 J/(kg °C), ¿cuánto tardará en subir la temperatura del agua hasta 100. °C? Suponga que el Sol emite 1.00 · 103 W/m2, las dimensiones de cada espejo son de 25.0 cm por 25.0 cm y los espejos se sostienen con un ángulo de 45.0°. 18.64
•
•
•
Si la temperatura promedio del Atlántico Norte es de 12.0 °C y la temperatura de la Corriente del Golfo promedia los 17.0 °C, estime la cantidad neta de calor que la Corriente del Golfo radia al océano circundante. Use los detalles del problema resuelto 18.3 (la longitud es como de 8.00 · 10 3 km) 18.67
•
613
y suponga que e = 0.930. No olvide incluir el calor absorbido por la Corriente del Golfo. Para una demostración en el salón de clases, su instructor de física vierte 1.00 kg de vapor a 100.0 °C sobre 4.00 kg de hielo a 0.00 °C y permite que el sistema alcance el equilibrio. Entonces, él medirá la temperatura del sistema. Mientras el sistema alcanza el equilibrio, a usted le facilitan los calores latentes del hielo y el vapor y el calor específico del agua: Lhielo = 3.33 · 105 J/kg, L vapor = 2.26 · 106 J/kg, cagua = 4 186 J/(kg °C). A usted se le pide calcular la temperatura de equilibrio final del sistema. ¿Qué valor encuentra usted? 18.68
•
18.69 Determine la razón del flujo de calor hacia el interior de un paquete de seis latas de aluminio de refresco gaseoso con respecto al flujo de calor hacia el interior de una botella de plástico de refresco gaseoso de 2.00 L, cuando ambas se sacan del mismo refrigerador, esto es, tienen la misma diferencia de temperaturas con el aire en el cuarto. Suponga que cada lata de refresco tiene un diámetro de 6.00 cm, una altura de 12.0 cm y un espesor de 0.100 cm. Use 205 W/(m K) como la conductividad térmica del aluminio. Suponga que la botella de refresco de 2 L tiene un diámetro de 10.0 cm, una altura de 25.0 cm y un espesor de 0.100 cm. Use 0.100 W/(m K) como la conductividad térmica del plástico. •
18.70 El factor R para el aislante de construcción reporta la resistencia térmica en unidades de ft 2 °F h/BTU. Una buena pared para climas rigurosos, correspondiente a unas 10.0 pulgadas de fibra de vidrio, tiene R = 40.0 ft 2 °F h/BTU. a) Determine la resistencia térmica en unidades del SI. b) Encuentre el flujo de calor por metro cuadrado a través de una pared que tiene un factor R de 40.0, con una temperatura exterior de 222.0 °C y una temperatura interior de 23.0 °C. 18.71 Suponga que usted tiene un cuarto en el desván que mide 5.0 m por 5.0 m y se mantiene a 21 °C cuando la temperatura exterior es de 4.0 °C. •
•
a)
Si usted usó un aislante R-19 en lugar de un aislante R-30, ¿cuánto más calor saldrá de este cuarto en un día? b) Si la energía eléctrica para calentar el cuarto cuesta 12 centavos por kilowatt-hora, ¿cuánto más le costará calentar por un periodo de 3 meses con el aislante R-19? 18.72 Una ventana térmica consiste en dos hojas de vidrio separadas por un espacio de aire. Cada hoja de vidrio tiene un espesor de 3.0 mm y el espacio de aire tiene un espesor de 1.0 cm. El vidrio de la ventana tiene una conductividad de 1.00 W/ (m K) y el aire tiene una conductividad de 0.0260 W/(m K). Suponga que la ventana térmica separa un cuarto a una temperatura de 20.00 °C del exterior que está a 0.00 °C. ••
a)
¿Cuál es la temperatura en cada una de las cuatro interfaces aire-vidrio? b) ¿A qué tasa se pierde el calor del cuarto, por metro cuadrado de ventana? c) Suponga que la ventana no tuviese espacio de aire, sino que consistiese en una sola capa de vidrio de 6.00 mm de espesor. ¿Cuál sería la tasa de pérdida de calor por metro cuadrado, bajo las mismas condiciones de temperatura? d ) La conducción de calor a través de la ventana térmica podría reducirse a esencialmente cero, evacuando el espacio entre las hojas de vidrio. ¿Por qué no se hace esto?
19 615
LO QUE APRENDEREMOS
19.1 Leyes empíricas de gases Ley Ley Ley Ley
de Boyle de Charles de Gay-Lussac de Avogadro
19.2 Ley de los gases ideales Ejemplo 19.1 Ejemplo 19.2 Ejemplo 19.3
Gases ideales
Gas en un cilindro Enfriamiento de un globo Calor en el campo de golf
Trabajo hecho por un gas ideal a temperatura constante Ley de Dalton
19.3 Teorema de equipartición
615 616 616 617 617 617 619 620 621 622 622 623
Ejemplo 19.4
Energía cinética media de las moléculas de aire
19.4 Calor específico de un gas ideal Calor específico con volumen constante Calor específico con presión constante Grados de libertad Proporción de calores específicos
19.5 Procesos adiabáticos para un gas ideal Problema resuelto 19.1
626 626 627 628 628 630 630
Bomba para inflar
632
neumáticos de bicicleta
Trabajo hecho por un gas ideal en un proceso adiabático
19.6 La teoría cinética de los gases Distribución de rapidez de Maxwell Distribución de energía cinética de Maxwell
634 634 634 636
Ejemplo 19.5
Temperatura del plasma de quark-gluones
Camino libre medio
637 638
Ejemplo 19.6
El camino libre medio de las moléculas de aire
LO QUE HEMOS APRENDIDO/ GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN Práctica para resolución de problemas
Problema resuelto 19.2
FIGURA 19.1 640 641
Densidad del
642
aire con STP
Problema resuelto 19.3
639
Presión de una
nebulosa planetaria
Preguntas de opción múltiple Preguntas Problemas
643 644 644 645
Un buzo respira aire comprimido debajo del agua.
19.1
Leyes empíricas de gases
615
LO QUE APRENDEREMOS ■ Un gas es una sustancia que, puesta en un recipiente, se expande para llenar el recipiente.
■ Las propiedades físicas de un gas son presión, volumen, temperatura y número de moléculas.
■ Un gas ideal es uno en el cual se tratan las moléculas ■ ■ ■ ■
del gas como partículas puntuales que no interactúan entre sí. La ley de los gases ideales da la relación entre presión, volumen, temperatura y número de moléculas de un gas ideal. El trabajo hecho por un gas ideal es proporcional al cambio de volumen del gas si la presión es constante. La ley de Dalton dice que la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones parciales ejercida por cada gas en la mezcla. El calor específico de un gas se puede calcular tanto para procesos de volumen constante como de
■ ■ ■
■
presión constante. Gases compuestos de moléculas monoatómicas, biatómicas o poliatómicas tienen diferentes calores específicos. La teoría cinética, que describe el movimiento de los componentes de un gas ideal, explica sus propiedades macroscópicas, tales como temperatura y presión. La temperatura de un gas es proporcional a la energía cinética media de sus moléculas. La distribución de rapideces de las moléculas de un gas se describe mediante la distribución de rapideces de Maxwell, y la distribución de las energías cinéticas de las moléculas de un gas se describe mediante la distribución de energía cinética d e Maxwell. La trayectoria libre media de una molécula en un gas es la distancia media que recorre la molécula antes de interactuar con otra molécula.
El buceo con escafandra ( scuba diving ) (scuba fue originalmente un acrónimo para “self-contained underwater breathing apparatus” [“aparato de respiración subacuática autosuficiente”]) es una actividad popular en lugares con agua marina tibia. Sin embargo, también es una gran aplicación de la física de los gases. El buzo de la figura 19.1 depende de un tanque de aire comprimido para respirar debajo del agua. El aire se mantiene normalmente a una presión de 200 atm (~3 000 psi, o ~20 MPa). Sin embargo, para respirar este aire, su presión se tiene que modificar para que sea más o menos igual a la presión que rodea el cuerpo del buzo en el agua, lo que incrementa por aproximadamente 1 atm por cada 10 m debajo de la superficie (vea la sección 13.4). En este capítulo estudiamos la física de los gases. Los resultados se basan sobre un gas ideal, que en realidad no existe, pero muchos gases reales se comportan aproximadamente como un gas ideal en muchas situaciones. Primero examinaremos las propiedades de gases basados en obser vaciones, incluyendo las leyes que primero pronunciaron los pioneros de la navegación de globos de aire caliente, que tenían un interés muy práctico en el comportamiento de los gases en grandes alturas. Luego vamos a adquirir ideas adicionales de la teoría cinética de un gas ideal, lo que aplica el análisis matemático a partículas de gas bajo varias condiciones supuestas. Las propiedades clave de gases, que veremos, son las cantidades termodinámicas de temperatura, presión y volumen, por lo que este capítulo se enlaza con los demás sobre la termodinámica. Sin embargo, la física de los gases tiene aplicaciones para diferentes áreas de la ciencia, desde la astronomía hasta la meteorología, desde la química hasta la biología. Muchos de estos conceptos van a ser importantes en capítulos posteriores.
19.1 Leyes empíricas de gases El capítulo 13 presentó una visión general de los estados de la materia. Se introdujo la presión como una cantidad física y declaró que un gas es un caso especial de un líquido. Con el concepto de la temperatura, introducido en el capítulo 17, podemos ver ahora cómo gases responden a cambios de temperatura, presión y volumen. Las leyes de los gases que se introducen en esta sección ofrecen la evidencia empírica que llevará a la derivación de la ley de gases ideales en la siguiente sección. Veremos que todas las leyes empíricas de gases son casos especiales de la ley de gases ideales. Un gas es una sustancia que se expande para llenar el recipiente en el que se coloca. Por lo tanto, el volumen de un gas es el volumen de su recipiente. Este capítulo utiliza el término moléculas de gas para referirse a los elementos de un gas, aunque un gas podrá consistir en átomos o moléculas o puede ser una combinación de átomos y moléculas. En el capítulo 17, la temperatura de una sustancia se definió en términos de su tendencia a emitir calor a su entorno o de absorber calor de su entorno. La presión de un gas se determina
616
Capítulo 19
Gases ideales
como la fuerza por unidad de área ejercida por las moléculas de gas en las paredes de un recipiente. Para muchas aplicaciones, la temperatura y presión estándar (STP) se definieron a 0 °C (273.15 K) y 100 kPa. Otra característica de un gas, aparte del volumen, temperatura y presión, es el número de moléculas del gas en el volumen en un recipiente. Este número se expresa en términos de moles: 1 mol de un gas se determina para tener 6.022 · 1023 partículas. Este número se conoce como número de Avogadro, introducido en el capítulo 13, y s e discutirá con mayor detalle en conexión con la ley de Avogadro más adelante en esta sección. Varias relaciones simples existen entre las cuatro propiedades de un gas, o sea presión, volumen, temperatura y número de moléculas. Esta sección cubre cuatro leyes simples de los gases que relacionan estas propiedades. Todas estas leyes de los gases llevan el nombre de su descubridor (Boyle, Charles, Gay-Lussac, Avogadro) y son empíricas; es decir, se encontraron tras la ejecución de una serie de mediciones y no se derivaron a partir de alguna teoría más fundamental. En la siguiente sección vamos a combinar estas cuatro leyes para formular la ley de los gases ideales, relacionando todas las características macroscópicas de los gases. Una vez que se entiende la ley de los gases ideales, todas las demás leyes empíricas de gases siguen inmediatamente. ¿Por qué no saltarlos, entonces? La respuesta es que estas leyes empíricas de gases forman la base de la que se deriva la ley de los gases ideales.
Ley de Boyle
p
V
La primera ley empírica de los gases es la ley de Boyle, también conocida en Europa como ley de Mariotte. El científico inglés Robert Boyle publicó esta ley en 1662; el científico francés Edme Mariotte publicó un resultado similar en 1676. La ley de Boyle establece que el producto de la presión de un gas p y su volumen V con temperatura constante y con un número fijo de partículas es una constante (figura 19.2). Matemáticamente, la ley de B oyle se expresa como pV = constante (con temperatura constante). Otra manera de expresar la ley de Boyle es la de declarar que el producto de la presión p1 y el volumen V 1 de un gas en el tiempo t 1 es igual al producto de la presión, p2, y el volumen, V 2, del mismo gas a la misma temperatura en otro momento de tiempo, t 2: p1V1 = p2 V 2 (con temperatura constante).
FIGURA 19.2
Relación entre presión y volumen expresada como la ley de Boyle.
(19.1)
Un ejemplo cotidiano de la aplicación de la ley de Boyle es la respiración. Cuando usted inspira, se expande el diafragma y esta expansión produce un mayor volumen en su cavidad del pecho. De acuerdo con la ley de Boyle, la presión de aire en los pulmones se reduce en relación con la presión atmosférica normal del entorno. Entonces, la presión más alta fuera de su cuerpo fuerza aire hacia sus pulmones con objeto de igualar la presión. Para expirar, su diafragma se contrae, reduciendo el volumen de su cavidad del pecho. Esta reducción de volumen produce una presión más alta que lleva a sacar el aire de sus pulmones.
Ley de Charles La segunda ley empírica de los gases es la ley de Charles, que establece que para un gas que se mantiene con una presión constante y con un número fijo de partículas, el volumen del gas V , dividido entre su temperatura T , es constante (figura 19.3). El físico francés (y piloto pionero de globos aerostáticos a gran altura) Jacques Charles propuso esta ley en 1787. Matemáticamente, la ley de Charles es V /T = constante (a presión constante y número fijo de partículas). Otra forma de establecer la ley de Charles es decir que la proporción de la temperatura, T 1, y el volumen, V 1, de un gas en un momento dado, t 1, es igual a la proporción de la temperatura, T 2, y el volumen, V 2, del mismo gas con la misma presión en otro momento, t 2:
V
T
FIGURA 19.3
Relación entre volumen y temperatura expresada como la ley de Charles.
V 1 T 1
=
V 2 T 2
⇔
V 1 V 2
=
T 1 T 2
(con presión constante).
(19.2)
Observe que la temperatura debe siempre expresarse en Kelvin (K). Debido a que la densidad, , de una masa dada, m, de un gas es = m/V, la ley de Charles también se puede escribir como T = constante (a presión constante). Como corolario a la ecuación 19.2, entonces tenemos que ρ1T1
= ρ 2T 2 ⇔
ρ 1 ρ 2
=
T 2 T 1
(con presión constante).
(19.3)
19.2
Ley de los gases ideales
617
Ley de Gay-Lussac Una tercera ley empírica de los gases es la ley de Gay-Lussac , que establece que la proporción del volumen V , presión p de un gas con su temperatura T con la misma presión y con un número fijo de partículas es constante (figura 19.4). Esta ley la presentó en 1802 el químico francés Joseph Louis Gay-Lussac (por cierto, otro piloto ávido de globos aerostáticos de gran altura). Matemáticamente, la ley de Gay-Lussac se expresa como p/T = constante (con volumen constante). Otra forma de expresar la ley de Gay-Lussac es establecer que la proporción del volumen presión de un gas p1, y su temperatura, T 1, en un momento dado, t 1, es igual que la proporción del volumen presión p2, y la temperatura, T 2, del mismo gas con el mismo volumen pero en otro tiempo o momento, t 2: p1 p2 = (con presión constante). (19.4) T 1 T 2 Nuevamente, la temperatura debe indicarse en Kelvin (K).
Ley de Avogadro La cuarta ley empírica de los gases trata de la cantidad de gas. La ley de Avogadro establece que la proporción del volumen de un gas, V , con el número de moléculas de gas, N , en este volumen es constante si la presión y la temperatura se mantienen constantes. Esta ley la introdujo en 1811 el químico italiano Amadeo Avogadro. Matemáticamente, la ley de Avogadro se expresa como V /N = constante (con presión y temperatura constantes). Otra manera de expresar la ley de Avogadro es la de establecer que la proporción del volumen, V 1, y el número de moléculas, N 1, de un gas en un momento dado, t 1, es igual que la proporción del volumen, V 2, y el número de moléculas, N 2, del mismo gas con la misma presión y temperatura en otro momento, t 2: V 1 N 1
=
V 2 N 2
(con presión y temperatura constanttes).
(19.5)
Se encontró que un volumen de 22.4 L (1 L = 10 –3 m3) de un gas con temperatura y presión constantes contiene 6.022 · 10 23 moléculas. Este número de moléculas se conoce como el número de Avogadro, N A. Actualmente el valor aceptado para el número de Avogadro es N A
23
= (6.02214179± 0 .00000030)⋅ 10 .
Un mol de cualquier gas tiene por defi nición el número de moléculas de Avogadro. El número de moles usualmente se simboliza por n. Por ende, el número de moléculas, N , y el número de moles, n, de un gas están relacionados por el número de Avogadro: N = nN A .
(19.6)
Por lo tanto, la masa de un mol de un gas es igual a la masa atómica o masa molecular de l as partículas constitutivas en gramos. Por ejemplo, el gas nitrógeno consiste en moléculas compuestas de dos átomos de nitrógeno. Cada átomo de nitrógeno tiene un número de masa atómica de 14. Por lo tanto, la molécula de nitrógeno tiene una masa molecular de 28, y un volumen de gas nitrógeno de 22.4 L a la temperatura y presión estándares tiene una masa de 28 g.
19.2 Ley de los gases ideales Podemos combinar las leyes empíricas de gases que se describen en la sección 19.1 a fin de obtener una ley más general relacionando las propiedades de los gases que se llama ley de los gases ideales : pV = nRT ,
(19.7)
donde p, V y T son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, de n moles de un gas, y R es la constante universal de los gases. El valor de R está determinado en forma experimental y está dado por R = (8.314472± 0. 000015)
J/(mol K).
p
T
FIGURA 19.4
Relación entre presión y temperatura expresada como la ley de Gay-Lussac.
618
Capítulo 19 Gases ideales
La constante R también se puede expresar en otras unidades, lo que cambia su valor numérico; por ejemplo, R = 0.08205746 L atm/(mol K). La ley de los gases ideales la estableció primero el científico francés Benoit Paul Émile Clapeyron en 1834. Es el resultado principal de este c apítulo.
DEDUCCIÓN 19.1 { p0,V 0,T 0}
Ley de Charles ( p constante) T Ley de Boyle (T constante) { p1,V 1,T 1}= { p0,aV 0,aT 0}
{ p2,V 2,T 2}= {bp1,b–1V 1,T 1}= {bp0,b–1aV 0,aT 0}
p
Ley de los gases ideales
Para derivar la ley de los gases ideales, comenzamos con un mol de un gas ideal, descrito por una presión p0, un volumen V 0 y una temperatura T 0, lo que se puede indicar utilizando la notación breve { p0, V 0, T 0}. (Recuerde que un gas ideal no tiene interacciones entre sus moléculas.) Este particular estado del gas se muestra en una gráfica de temperatura versus presión (un diagrama Tp) en la figura 19.5. Luego se cambia el estado del gas mediante la variación de su volumen y temperatura mientras que se mantenga su presión constante. En la figura 19.5, el estado del gas va de { p0, V 0, T 0} a { p1, V 1, T 1} en el diagrama Tp (flecha roja). Utilizando la ley de Charles (ecuación 19.2), podemos escribir
FIGURA 19.5
Trayectoria del estado de un gas en una gráfica de temperatura versus presión (diagrama Tp). La primera parte de la trayectoria toma lugar con una presión constante y la describe la ley de Charles. La segunda parte de la trayectoria toma lugar con una temperatura constante y la describe la ley de Boyle.
V 0 T 0
=
aV 0 aT 0
V 1
=
T 1
,
donde hemos multiplicado el numerador y denominador del cociente V 0/T 0 por una constante a. Podemos describir el gas en este nuevo estado con (i)
{ p1 ,V1 ,T1} = { p0 , aV0 , aT 0 }.
A partir de este punto en el diagrama Tp cambian la presión y volumen del gas mientras la temperatura se mantenga constante. En la figura 19.5, la trayectoria va desde { p1, V 1, T 1} a { p2, V 2, T 2} como lo indica la flecha azul. Usando la ley de Boyle (ecuación 19.1) podemos escribir b p1V 1 = p1V1 = (bp1 ) b–1V1 b
(
) = p V , 2
2
donde el producto p1V 1 es multiplicado y dividido por una constante, b. Ahora podemos describir el estado del gas con −1
{ p2 ,V2 ,T2 } = {bp1 , b V1 ,T 1},
(ii)
La combinación de las ecuaciones (i) y (ii) nos da –1
{ p2 ,V2 ,T2 } = {bp0 , b aV0 , aT 0 }.
Ahora podemos escribir la proporción
(bp )(b
–1
p2V 2 T 2
0
=
)
aV0
aT 0
=
p0V 0 . T 0
Esto implica que p0V 0/T 0 es una constante que llamamos R, la constante universal de gas. Esta deducción se hizo para 1 mol de gas. Para n moles de gas, la ley de Avogadro dice que con presión y temperatura constante, el volumen de n moles de gas será igual al número de moles multiplicado por el volumen de un mol de gas. Podemos ordenar p0V 0/T 0 = R y multiplicarlo por n para obtener np0V0 = nRT 0 .
Ahora escribimos la ley de gases ideales como pV /T = nR o bien, en forma más común, como pV = nRT ,
donde p = p0, V = nV 0 y T = T 0 son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, de n moles de gas.
619
19.2 Ley de los gases ideales
La ley de los gases i deales también se puede escribir en términos del número de moléculas de gas en lugar del número de moles de gas. Esto es a veces útil si describimos las relaciones de las propiedades de la materia a nivel molecular. molecular. En esta forma, la ley de los gases ideales es
pV = NkBT ,
(19.8)
donde N es es el número de átomos o moléculas y kB es la constante de Boltzmann, dada por kB =
R
.
N A
El valor actualmente aceptado de la constan constante te de Boltzmann B oltzmann es –23
381065 6504 04± 0. 0000 000002 024 4) ⋅ 10 kB = (1.3810
J/K.
19.1 Ejercicio en clase La presión dentro de un tanque de buceo es de 205 atm a 22.0 ºC. Suponga que el tanque se deja en el sol y la temperatura del aire comprimido dentro del tanque sube a 40.0 ºC. ¿Cuál será la presión dentro del tanque?
La constante de Boltzmann es una constante fundamental de la naturaleza que a menudo surge en relaciones basadas en el comportamiento atómico o molecular. Se volverá a usar más adelante en este capítulo capítulo y nuevamente en discusiones de la electrónica de estado s ólido y la mecánica cuántica. Se podrá haber dado cuenta por ahora que la letra k se utiliza frecuentemente en matemáticas y física para denotar una constante (la palabra alemana para constante constante es es Konstante Konstante,, donde se originó el uso de la letra k). Sin embargo, la constante de Boltzmann es de tal significado básico que se usa el subíndice B para distinguirla de otras constantes físicas denotadas por k. Otra manera de expresar la ley de los gases ideales para un número constante de moles de gas es p1V 1 p2V 2 (19.9) = , T 1 T 2
a)
205 atm
d )
321 atm
b)
218 atm
e)
373 atm
c )
254 atm
donde p1, V 1 y T 1 son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, donde p respectivamente, en el tiempo 1, y p y p2, V 2, y T 2 son la l a presión, volumen y temperatura, respectivamente, en el tiempo 2. La ventaja de esta formulación es que no se tiene que conocer el valor numérico de la constante universal de gas o de la constante de Boltzmann para relacionar las presiones, volúmenes y temperatura temperaturass en dos diferentes momentos del tiempo. Es sencillo confirmar que las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac están comprendidas en la ley de los gases ideales. En la figura 19.6, una superficie tridimensional representa la relación entre la presión, volumen y temperatura de un gas ideal. Si se proyecta esta superficie al eje de presión constante, constante, se obtiene una curva que refleja la ley de Charles. Si se proyecta al eje de la temperatura constante, se obtiene una curva que refleja la ley de Boyle. Si se proyecta al eje del volumen constante, constante, se obtiene una curva que refleja la ley de Gay-Lussac. Observe que la ley de los gases ideales se obtuvo en esta discusi ón mediante la combinación de las leyes empíricas de los gases. La siguiente sección analizará el comportamiento de moléculas de los gases ideales en un recipiente y, por lo tanto, proporcionará una idea de la base microscópica física para la ley de los gases ideales. Primero vamos a explorar las consecuencias y poderes predictivos de la ley de los gases ideales mediante unos cuantos ejemplos ilustrativos.
Charles
EJEMPLO 19.1
T
V p
p p
T
V
Boyle Gay-Lussac
V
T
FIGURA 19.6
La relación entre la ley de los gases ideales y la ley de Charles (presión constante), la ley de Boyle (temperatura constante) y la ley de Gay-Lussac (volumen constante).
Gas en un cilindro
Considere un gas con una presión de 24.9 kPa en un cilindro con un volumen de 0.100 m 3 y un pistón. Esta presión y volumen corresponden al punto 1 de la f igura 19.7. La presión de este gas se deberá reducir para permitir que un proceso de manufactura funcione de manera eficiente. El pistón está diseñado para incrementar el volumen del cilindro de 0.100 m3 a 0.900 m 3 mientras la temperatura se mantenga constante.
PROBLEMA
30 1 ) a P k ( p
20
10 2
¿Cuál es la presión del gas con un volumen de 0.900 m 3? 0 0
SOLUCIÓN
El punto 2 en la figura f igura 19.7 representa la presión del gas con un volumen de 0.900 m 3. Puede ver que la presión se s e reduce conforme aumenta el volumen. (continúa)
0.5
1.0
V (m (m3)
FIGURA 19.7
Gráfica de presión para un gas descrito por la ley de Boyle. versus volumen
620
Capítulo 19 Gases ideales
(continuación)
Puesto que la temperatura es constante ( T 1 = T 2) en esta situación, la ley de los gases ideales (en la forma de la ecuación 19.9), p1V 1/T 1 = p2V 2/T 2 se reduce a p1V 1 = p2V 2. (La sección 19.1 identifica este caso especial de la ley de los gases ideales como la ley de Boyle.) B oyle.) Podemos usar esto para calcular la nueva presión: 100 m ) (24.9 kPa)(0.10 3
p2 =
p1V 1
=
3
V 2
= 2.77 kPa.
0.900 900 m
Desde luego que hay muchas aplicaciones donde cambia la temperatura temperatura de un gas. El ejemplo 19.2 contempla una de ellas.
EJEMPLO 19.2
Enfriamiento de un globo
FIGURA 19.8
La hilera superior muestra un globo inflado a temperatura ambiente que luego se coloca en nitrógeno líquido. En la hilera inferior, inferior, el globo frío se saca del nitrógeno líquido y se permite que se caliente hasta la temperatura ambiente. El tiempo entre cada toma en cada secuencia es de 20 s. Observe que el nitrógeno líquido causa un cambio de fase en el aire dentro del globo, lo que deja que el globo se contraiga más de lo que predice la ley de los gases ideales.
Un globo se infla a temperatura ambiente y luego se coloca en nitrógeno líquido (figura 19.8). Se permite que el globo se enfríe hasta la temperatura del nitrógeno líquido y se contrae en forma drástica. El globo f río se saca entonces del nitrógeno líquido y se permite que se vuelva a calentar hasta la temperatura ambiente. ambiente. El globo regresa a su volumen original.
PROBLEMA ¿Por qué factor se reduce el volumen del globo mientras que la temperatura del aire dentro del globo disminuye desde la temperatura ambiente hasta la temperatura del nitrógeno líquido?
SOLUCIÓN El gas dentro del globo se mantiene a una presión atmosférica constante ( p1 = p2) porque es la presión de su ambiente. La ley de gases ideales (ecuación 19.9), p1V 1/T 1 = p2V 2/T 2 se vuelve en este caso V 1/T 1 = V 2/T 2. (En la sección 19.1, este caso especial de la ley de los gases ideales se identificó como la ley de Charles.) Suponga que la temperatura ambiente sea de 22 °C o T 1 = 295 K, y la temperatura del nitrógeno líquido sea T 2 = 77.2 K. Podemos calcular el cambio fraccional en el volumen del globo: V 2 V 1
=
T 2 T 1
=
77.2 K =
0.262.
295 295 K
EXPLICACIÓN El globo de la figura 19.8 encogió por más del factor calculado según la ley de Charles. (Una proporción de volumen frío al volumen caliente de 25% implica que el radio del globo frío deberá ser 63% del radio del globo a temperatura ambiente.) En primer lugar, lugar, el vapor de agua en el aire del globo se congela en forma de partículas de hielo. En segundo lugar, una parte del oxígeno y el nitrógeno en el aire dentro del globo se condensa a líquidos a los que no se aplica la ley de gases ideales.
19.2 Ley de los gases ideales
621
El ejemplo 19.3 trata de la relación de la temperatura del aire y la presión del aire.
EJEMPLO 19.3
Calor en el campo de golf
El campeonato de 2007 de la PGA se realizó en agosto en Oklahoma en el Southern Hills Country Club, con la temperatura media más alta de cualquier campeonato de golf en la historia, que llegó hasta aproximadamente 101 °F (38.3 °C = 311.5 K). Por lo tanto, la densidad del aire fue más baja que en temperaturas menores, lo que provocó que la pelota de golf volara más lejos. Los jugadores tenían que corregir este efecto, igual que tienen que considerar trayectorias más largas cuando juegan juega n en elevacio elevaciones nes más más altas.
PROBLEMA El Southern Hills Country Club se encuentra a una altura de 213 m (700 ft) sobre el nivel del mar.. ¿A qué altura se mar s e debería encontrar el Old Course de St. Andrews, Escocia, que se muestra en la figura 19.9, si la temperatura del aire fue de 48 °F (8.9 °C = 282.0 K), para que la pelota de golf tuviera el mismo incremen incremento to de longitud de vuelo que en Southern Hills?
SOLUCIÓN Primero calculamos cómo la temperatura influye en la densidad del aire. Podemos usar la relación entre la densidad y la temperatura para la presión constante 1/ 2 = T 2/T 1, ecuación 19.3. Si sustituimos los valores conocidos (recuerde que necesitamos usar la escala de Kelvin para valores de temperatura temperatura del aire), obtenemos obtenemos 1
=
T 2 T 1
2
=
282 282.0 K
= 0.9053 9053.
3115 . K
En otras palabras, el aire a 101 °F tiene sólo 90.53% de la densidad del aire a 48 °F, a la misma presión. Ahora tenemos que calcular la altura que corresponde a la misma proporción de densidad. En la sección 13.4 dedujimos una fórmula que relaciona la densidad con la altura. –h 0 g / p0 , (h) = 0e
donde h es la altura sobre el nivel del mar mar,, 0 es la densidad de aire a nivel del mar y p y p0 es la presión del aire a nivel del mar. Las constantes en la fórmula que relacionan la densidad con la altura se pueden escribir como 1.01⋅105 Pa p0 = = 8 37 7 m. ρ 0 g 1.229 kg/m3 9.81 m/s2
(
)(
)
La altura en Southern Hills es de h1 = 213 m y la l a densidad del aire es –h1/(8 377 m )
ρ(h1) = ρ 0 e
.
La densidad del aire en el Old Course a una altura h2 sería –h2 /(8 377 m )
ρ(h2 ) = ρ 0 e
.
Si tomamos el cociente de estas dos densidades, obtenemos ρ (h2 ) ρ (h1)
– h2/(8 377 m )
=
ρ 0 e
–h1/(8 377 m )
ρ 0 e
–(h2–h1 )/(8 377 377 m )
=e
.
Si ponemos este cociente igual al cociente de las densidades según la diferencia de temperaturas, nos da –(h2–h1 )/(8 377 m )
e
= 0.9053.
Sacando el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación obtenemos –(h2 – h1) / (8 377 m) = ln( 0.9053),
que se puede resolver para la altura h2: 9053) = 1 046 046 m. h2 = h1 – (8 377 m ) ln(0.9053) = ( 213 m) – ( 8 377 m ) ln( 0. 9053 continúa)) (continúa
FIGURA 19.9
Primer golpe a la pelota en el Old Course de St. Andrews, Escocia, a nivel del mar y a finales de invierno. A elevaciones más bajas o con temperaturas inferiores, la pelota no se va tan lejos.
622
Capítulo 19 Gases ideales (continuación)
Por lo tanto, con la temperatura de 101 °F, el campo en Southern Hills daría vuelos de pelota tan largos como en el campo Old Course a una altura de 1 046 m (3 432 ft) y una temperatura de 48 °F.
EXPLICACIÓN Nuestra solución ignoró el efecto de la alta humedad en Southern Hills, que redujo la densidad del aire en 2% adicional en relación con la densidad de aire seco, causando que en el campo hubiera vuelos de pelota como en un campo con aire seco y una temperatura de 48 °F a una altura de más de 4 000 pies sobre el nivel del mar. (El efecto del vapor de agua sobre la densidad del aire se discutirá más adelante, al referirnos a la ley de Dalton.)
Trabajo hecho por un gas ideal a temperatura constante Suponga que tenemos un gas ideal con temperatura constante en un recipiente cerrado cuyo volumen se pueda cambiar, como por ejemplo, un cilindro con un pistón. Esta configuración nos permite realizar un proceso isotérmico, que s e describe en el capítulo 18. Para un proceso isotérmico la ley de gases ideales dice que la presión es igual a una constante multiplicado por el inverso del volumen p = nRT /V . Si se cambia el volumen del recipiente desde un volumen inicial, V i, a un volumen final, V f , el trabajo hecho por el gas (vea el capítulo 18) está dado por V f
W=
∫
pdV .
V i
19.2 Ejercicio en clase Suponga que un gas ideal tiene presión p, volumen, V , y temperatura T . Si el volumen se duplica con presión constante, el gas hace el trabajo W p = const. Si en su lugar se duplica el volumen a temperatura constante, el gas hace el trabajo W T = const. ¿Cuál es la relación entre estas dos cantidades de trabajo hecho por el gas? a) W p = const < W T = const
Al sustituir la expresión para la presión en esta integral, obtenemos
W=
∫
V i
pdV = (nRT )
que halla el valor numérico a
V f
∫
V i
V f dV = nRT ln V , V i V
V f V . i
W = nRT ln
(19.10)
La ecuación 19.10 indica que el trabajo hecho por el gas es positivo si V f > V i y es negativo si V f < V i. Podemos comparar lo que se obtiene a los resultados que encontramos en el capítulo 18 para el trabajo realizado por el gas bajo otros supuestos. Por ejemplo, si el volumen se mantiene constante, en lugar de la temperatura, el gas no puede realizar ningún trabajo: W = 0. Si la presión se mantiene constante, el trabajo hecho por el gas está dado por (vea el capítulo 18)
b) W p = const = W T = const
W=
c ) W p = const > W T = const d ) La relación no puede ser determinada a partir de la información dada.
V f
∫
V f
V i
V f
pdV = p
∫
V i
dV = p (Vf – Vi ) = pV .
Ley de Dalton ¿Cómo cambian las deducciones que obtuvimos de los gases ideales si hay más de un tipo de gas en un volumen dado, como, por ejemplo, en el caso de la atmósfera terrestre? La ley de Dalton establece que la presión de un gas compuesto por una mezcla homogénea de diferentes gases es igual que la suma de la presión parcial de cada uno de los gases. La presión parcial se define como la presión que el gas ejercería si se extraen los otros gases presentes. La ley de Dalton significa que la presión parcial de cada gas no presenta efecto alguno por la presencia de otros gases, mientras que no haya interacción entre las moléculas de los gases. La ley se denomina así por John Dalton, químico inglés, que la publicó en 1801. La ley de Dalton da la presión total, ptotal, ejercida por una mezcla de m gases, cada uno con la presión parcial pi: m
ptotal = p1 + p2 + p3 + + pm =
∑ pi .
(19.11)
i =1
La ley de Avogadro se puede extender para establecer que el número total de moles de gas, ntotal, contenidos en una mezcla de m gases es igual a la suma del número de moles de cada gas, ni: m
ntotal = n1 + n2 + n3 + + nm =
∑n . i
i =1
19.3
Tabla 19.1
Teorema de equipartición
623
Principales gases que componen la atmósfera de la Tierra
Gas
Porcentaje por volumen
Símbolo químico
Masa molecular
Nitrógeno
78.08
N2
28.0
Oxígeno
20.95
O2
32.0
Argón
0.93
Ar
40.0
Dióxido de carbono
0.038
CO2
44.0
Neón
0.0018
Ne
20.2
Helio
0.0005
He
Metano
0.0002
CH4
16.0
Criptón
0.0001
Kr
83.8
4.00
Luego, la fracción molar, r i, para cada gas en una mezcla es el número de moles de este gas dividido entre el número total de moles de todos los gases: r i =
ni n total
.
(19.12)
m
La suma de la fracción molar es igual a:
∑ r = 1. Si el número de moles de gas aumenta, con la i
i =1
temperatura y el volumen constante, la presión ti ene que subir. Entonces podemos expresar cada presión parcial como pi = ri ptotal = ni
ptotal ntotal
.
(19.13)
19.3 Ejercicio en clase ¿Cuál es la masa de 22.4 L de aire seco con temperatura y presión estándares?
Esto significa que las presiones parciales en una mezcla de gases s on simplemente proporcionales a las fracciones molares de aquellos gases presentes en la mezcla.
a)
14.20 g
d )
32.22 g
b)
28.00 g
e)
60.00 g
La atmósfera terrestre
c )
28.95 g
La atmósfera de la Tierra tiene una masa de aproximadamente 5.1 · 1018 kg (5 mil billones de toneladas métricas). Es una mezcla de varios gases, vea la tabla 19.1. La tabla nombra solamente los componentes de aire seco; además, el aire contiene vapor de agua (H 2O), que forma aproximadamente 0.25% de la atmósfera. (Este número parece ser pequeño, ¡pero su masa iguala aproximadamente a 10 16 kg de agua, una cantidad que es semejante a cuatro veces el volumen de agua en todos los Grandes Lagos entre Estados Unidos y Canadá!) Cerca de la superficie de la Tierra, el contenido de agua del aire se encuentra entre un poco menos de 1% y un poco más de 3%, dependiendo principalmente de la temperatura del aire y la disponibilidad de agua líquida en el entorno. El vapor tiene una masa molecular de 18 g/mol, que es menor que la masa molecular o atómica de casi todos los demás gases atmosféricos. Por eso el vapor agua en el aire disminuye la densidad media de la atmósfera.
19.3 Teorema de equipartición Hemos discutido las propiedades macroscópicas de los gases, incluido volumen, temperatura y presión. Para explicar estas propiedades en términos de las moléculas (o los átomos) de un gas, s e requiere hacer varias suposiciones acerca del comportamiento de estas partículas en un recipiente. Estas suposiciones, junto con los resultados derivados de ellas, se conocen como la teoría cinética del gas ideal. Suponga que un gas llenara de manera uniforme un recipiente de un volumen V . Hacemos las siguientes suposiciones:
■ El número de moléculas, N , es grande, pero las moléculas en sí son pequeñas, así que la distancia media entre las moléculas es grande en comparación con su tamaño. Todas las moléculas son idénticas, y cada una tiene masa m.
■ Las moléculas están en constante movimiento aleatorio en trayectorias de líneas rectas y no interactúan entre sí y, por lo tanto, pueden considerarse como partículas puntuales.
19.4 Ejercicio en clase ¿Cuál es la presión de oxígeno en la atmósfera de la Tierra al nivel del mar? a)
0
d )
4.8 atm
b)
0.21 atm
e)
20.9 atm
c )
1 atm
624
Capítulo 19 Gases ideales
■ Las moléculas tienen colisiones elásticas con las paredes del recipiente. ■ El volumen, V , del recipiente es mucho más grande que el promedio del volumen que ocupan las moléculas del gas. Las paredes del recipiente son rígidas y estacionarias. La teoría cinética explica cómo las propiedades microscópicas de las moléculas de gas causan las propiedades macroscópicas observadas por nosotros como presión, volumen y temperatura que aparecen en la ley de los gases ideales. Por ahora estamos principalmente interesados en lo que es la energía cinética media de las moléculas de gas y cómo se relaciona con la temperatura del gas. Esta conexión se llama teorema de equipartición. En la siguiente sección usaremos este teorema para deducir expresiones para los calores específicos de gases. Veremos entonces que el teorema de equipartición está fuertemente entrelazado con la idea de los grados de libertad del movimiento de las moléculas de gas. Por último, en la sección 19.6, regresaremos a la teoría cinética, incluyendo la distribución de energías cinéticas de las moléculas (en vez de solamente la energía cinética media) en la teoría, y discutiremos las limitaciones del concepto del gas ideal. Primero obtenemos la energía cinética media del gas ideal, si calculamos el promedio de las energías cinéticas de las moléculas individuales de gases: K media =
1 N
N
∑ i=1
K i =
1 N
N
1
∑2
2
mvi
i =1
1 = m N 2 1
N
∑ i =1
2
v i
1 = mv 2rms . 2
(19.14)
Por lo tanto, la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de gas, v rms, se define como v rms =
N
1
∑ v . N 2 i
(19.15)
i =1
Observe que la rapidez de la raíz media cuadrática no es la misma que la rapidez media de las moléculas de gas. Pero puede considerarse como el promedio adecuado porque se relaciona inmediatamente con la energía cinética media, como se ve en la ecuación 19.14. La deducción 19.2 muestra cómo la energía cinética media de las moléculas en un gas ideal se relaciona con la temperatura del gas. Veremos que la temperatura del gas es simplemente proporcional a la energía cinética media, con una proporcionalidad constante veces la constante de Boltzmann: 3 2
Kmedia = 3 kBT .
(19.16)
2
Éste es el teorema de equipartición. Por ende, cuando medimos la temperatura de un gas, estamos determinando la energía cinética media de las moléculas del gas. Esta relación es uno de los entendimientos clave de la teoría cinética y será muy útil para el resto de este capítulo. Veamos cómo despejar el teorema de equipartición empezando desde la mecánica newtoniana y utilizando la ley de los gases ideales.
DEDUCCIÓN 19.2 m
v
x
Pared –v
x
m
x
FIGURA 19.10
Molécula de gas con la masa m y la velocidad v , rebotando de la pared de u n recipiente. x
Teorema de equipartición
La presión de un gas en las paredes de un recipiente es consecuencia de la interacción de las moléculas de gas con las paredes del recipiente; por medio del cambio del momento de las moléculas se genera una fuerza. La presión del gas es entonces una consecuencia de colisiones elásticas de las moléculas de gas con las paredes del recipiente. Cuando una molécula de gas impacta en la pared, rebota con la misma energía cinética que tuvo antes de la colisión. Supongamos que la pared sea estacionaria y, por lo tanto, el componente del momento de la molécula de gas perpendicular a la superficie de la pared se invierte en la colisión (vea la sección 7.5). Considere una molécula de gas con masa m y un componente x de velocidad, v x , viajando perpendicular a la pared de un recipiente (figura 19.10). La molécula de gas rebota en la pared y se mueve en dirección opuesta con la velocidad –v x . (Recuerde que supusimos colisiones elásticas entre moléculas y paredes.) El cambio en el componente x del momento, px , de la molécula de gas durante la colisión con la pared es
( )( ) ( )( )
px = pf ,x – pi ,x = m –vx – m vx = – 2mv x .
19.3
Para calcular la fuerza media en el tiempo promediado ejercida por el gas sobre la pared del recipiente, no sólo necesitamos conocer qué tanto cambia el momento durante la colisión, sino también cuántas veces ocurre una colisión de una molécula de gas con una pared. Para obtener una expresión para el tiempo entre colisiones supongamos que el recipiente sea un cubo con el lado L (figura 19.11). Luego ocurre una colisión como la que se muestra en la figura 19.10 cada vez que la molécula de gas realiza un viaje completo de un lado del cubo al otro y viceversa. Este viaje redondo cubre una distancia 2 L. Podemos expresar el intervalo de tiempo t, entre colisiones con la pared así: t =
2 L
.
=
∆t
=–
(2L /v x )
L
,
donde hemos usado px = –2mv x y t = 2L/v x . El componente x de la fuerza ejercida por la molécula de gas sobre la pared, F x , tiene la misma magnitud que F pared,x , pero está en la dirección opuesta; es decir, F x = 2F pared,x , que es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton (vea el capítulo 4). Si hay N moléculas de gas, podemos establecer la fuerza total debido a las moléculas de gas en las paredes como N
F tot ,x =
2
∑
mv x ,i
=
L
i =1
N
m
∑ v L
2
x ,i
(i)
.
i =1
Este resultado para la fuerza sobre la pared ubicada en x = L es independiente de las componentes y y z de los vectores velocidad de las moléculas de gas. Puesto que las moléculas están en movimiento aleatorio, el cuadrado medio de las componentes x de la velocidad es el mismo que N
el cuadrado medio de la componente y o las componentes z : N
2
2
2
2
que v i = v x,i + v y,i + v z,i, tenemos
∑v
x ,i
=1
3
i =1
∑
N
vx2 ,i =
i =1
N
2
∑
N
v y2 ,i =
i =1
∑ v z i . Puesto 2 ,
i =1
∑ v , o el cuadrado medio de las componentes 2
i
i =1
x de la velocidad es del cuadrado medio de la velocidad. Ésta es la razón para el nombre del 1
3
teorema de equipartición: cada componente de velocidad cartesiana tiene una parte igual, , de la energía cinética global. Podemos usar este hecho para reescribir la ecuación (i) para el componente x de la fuerza del gas en la pared: 1 3
F tot , x =
N
m
∑ v . 3L 2
i
i =1
Al repetir este análisis de fuerza para las otras cinco paredes o caras del cubo, encontramos que cada una experimenta una fuerza de la misma magnitud, dada por
F tot =
m 3L
N
∑ v . Para 2 i
i =1
encontrar la presión ejercida por las moléculas de gas, dividimos esta fuerza entre el área de la pared A = L2: p =
F tot A
=
m 3L
N
N
∑ v i
∑ v i
2
i =1 2
L
2
m =
i =1
=
3
3L
m
N
∑ v i , 3V 2
i =1
en el último paso hemos usado el volumen del cubo V = L3. Si usamos la ecuación 19.15 para la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de gas, podemos expresar la presión como: p =
2 Nmv rms
3V
625
z L
L y x L
v x
Sabemos de la segunda ley de Newton que el componente x de la fuerza ejercida por la pared sobre la molécula de gas, F pared,x está dada por 2 mv x −2mv x ∆px F pared ,x =
Teorema de equipartición
.
(ii)
Este resultado es válido para cada cara del cubo y se puede aplicar a un volumen de cualquier forma. La multiplicación de ambos lados de la ecuación (ii) por el volumen nos lleva a pV = (continúa)
FIGURA 19.11 Un recipiente cúbico con una longitud de lado L. Tres de las caras del cubo están en los planos xy , xz y yz .
626
Capítulo 19 Gases ideales (continuación)
Nmv 2rms, y puesto que la ley de los gases ideales (ecuación 19.8) estipula que pV = NkBT, obtenemos NkBT = Nmv 2rms. Al anular el factor de N en ambos lados nos lleva a 1
3
1
3
2
3kBT = mvrms .
(iii)
Puesto que mv 2rms = K media, la energía cinética media de una molécula de gas, hemos llegado al resultado deseado, la ecuación 19.16: 1
2
Kmedia = 32 kBT .
Observe que si reescribimos la ecuación (iii) de la deducción 19.2 como 3kBT = mv 2rms, obtenemos una ecuación para la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de gas: v rms =
EJEMPLO 19.4
3kBT
m
.
(19.17)
Energía cinética media de las moléculas de aire
Suponga una habitación llena de aire con una temperatura de 22.0 °C.
PROBLEMA ¿Cuál es la energía cinética media de las moléculas (y átomos) en el aire?
19.5 Ejercicio en clase La energía cinética media de moléculas de un gas ideal se duplica si _______ se duplica. a)
la temperatura
b)
la presión
c )
la masa de las moléculas de gas
d )
el volumen del recipiente
e)
ninguna de las declaraciones anteriores
SOLUCIÓN La energía cinética media de moléculas de aire está dada p or la ecuación 19.16:
(
–23 J/K Kmedia = 32 kBT = 32 1.38 ⋅10
)(273 .15 K + 22 .0 K)=6.11⋅10
–21
J.
A menudo, la energía cinética media de moléculas de aire se expresa en electrón-volt (eV) en lugar de joules (J): K media
(
–21
= 6.11 ⋅10
J
)1.6021 ⋅eV 10
–19
J
= 0.0381 eV.
Una aproximación útil para recordar es que la energía cinética media de moléculas de aire a nivel del mar y temperatura ambiental es de aproximadamente 0.04 eV.
19.4 Calor específico de un gas ideal El capítulo 18 aborda el calor específico de los materiales que ahora vamos a considerar para los gases. Los gases consisten en átomos o moléculas, y la energía interna de los gases puede expresarse en términos de sus propiedades atómicas y moleculares. Estas relaciones llevan a los calores específicos molares de los gases ideales. Vamos a empezar con los gases monoatómicos , que son gases en los cuales los átomos no están enlazados con otros átomos. Los gases monoatómicos incluyen helio, neón, argón, criptón y xenón (los gases nobles). Supongamos que toda la energía interna de un gas monoatómico esté en la forma de energía cinética de traslación. La energía cinética media de traslación depende solamente de la temperatura, como se determina en la ecuación 19.16. La energía interna de un gas monoatómico es el número de átomos, N , multiplicado por la energía cinética media de traslación de un átomo en el gas: Eint = NKmedia = N
(
3 2
)
kBT .
19.4 Calor específico de un gas ideal
El número de átomos del gas es el número de moles, n, multiplicado por el número de Avogadro, N A: N = nN A. Puesto que N AkB = R, podemos expresar la energía interna como Eint =
3 2
nRT .
(19.18)
La ecuación 19.18 muestra que l a energía interna de un gas monoatómico depende solamente de la temperatura del gas.
Calor específico con volumen constante Suponga que un gas ideal monoatómico con la temperatura T se mantenga en un volumen constante. Si ahora dejamos fluir el calor Q al gas, se ha demostrado empíricamente (capítulo 18) que la temperatura del gas cambia conforme a Q = nCV ∆T (con volumen constante),
donde C V es el calor molar específico con volumen constante. Puesto que el volumen del gas es constante, no puede hacer trabajo. Por lo tanto, podemos usar la primera ley de la termodinámica (vea el capítulo 18) para escribir ∆Eint
= Q – W = nCV ∆T (con volumen constante).
(19.19)
Al recordar que la energía interna de un gas monoatómico depende solamente de su temperatura, usamos la ecuación 19.18 y obtenemos Eint =
3 2
nRT . 3
Si combinamos este resultado con Q = nC V T nos da nC V T = nRT. Si cancelamos los términos n y T, que aparecen en ambos lados, obtenemos una expresión para el calor molar específico de un gas ideal monoatómico con volumen constante: 2
CV
= 3 R = 12.5 J/(mol K).
(19.20)
2
Este valor para el calor molar específico de un gas ideal monoatómico concuerda bien con valores medidos para gases monoatómicos a temperatura y presión estándares. Es tos gases son principalmente los gases nobles. Los calores molares específicos de gases diatómicos (moléculas de gas con dos átomos) y gases poliatómicos (moléculas de gas con más de dos átomos) son más altos que los calores molares específicos de gases monoatómicos, como se muestra en la tabla 19.2. Más adelante en esta sección discutiremos esta diferencia. Para un gas ideal podemos usar la ecuación 19.18 y es cribimos Eint = nCV T ,
(19.21)
lo que significa que la energía interna de un gas ideal depende solamente de n, C V y T.
Tabla 19.2 Algunos típicos calores molares específicos de diferentes tipos de gases Gas
C V [J/(mol K)]
C p[J/(mol K)]
= C p /C V
Helio (He)
12.5
20.8
1.66
Neón (Ne)
12.5
20.8
1.66
Argón (Ar)
12.5
20.8
1.66
Criptón (Kr)
12.5
20.8
1.66
Hidrógeno (H2)
20.4
28.8
1.41
Nitrógeno (N2)
20.7
29.1
1.41
Oxígeno (O2)
21.0
29.4
1.41
Dióxido de carbono (CO2)
28.2
36.6
1.29
Metano (CH4)
27.5
35.9
1.30
627
628
Capítulo 19
Gases ideales
Una generalización de la ecuación 19.21, Eint = nC V T, se aplica a todos los gases mientras que se usa el apropiado calor molar específico. De acuerdo con esta ecuación, el cambio de la energía interna de un gas ideal solamente depende de n, C V y el cambio de temperatura, T, pero no depende de cualquier tipo de cambio de presión o volumen.
Calor específico con presión constante Ahora vamos a describir el caso en el cual aumenta la temperatura de un gas ideal mientras que su presión se mantiene constante. Se ha demostrado en forma empírica que el calor agregado, Q, está relacionado con el cambio de temperatura como sigue: Q = nC p ∆T (para presión constante),
(19.22)
donde C p es el calor molar específico con presión constante. El calor molar específico con presión constante es mayor que el calor molar específico con volumen constante porque el calor se debe suministrar, tanto para hacer trabajo como para aumentar la temperatura. Para vincular el calor molar específico con volumen constante al calor molar específico con presión constante empezamos con la primera ley de la termodinámica: Eint = Q –W. Sustituimos de la ecuación 19.19 para Eint y de la ecuación 19.22 para Q. En el capítulo 18, el trabajo W , hecho cuando la presión permanece constante, se expresó como W = pV. Con estas sustituciones para Eint = Q –W, obtenemos
19.1 Oportunidad de autoexamen Use los datos de la tabla 19.2 y verifique la relación dada en la ecuación 19.23 entre el calor molar específico con presión constante, y el calor molar específico con volumen constante para un gas ideal.
nCV T = nCp T – pV .
La ley de los gases ideales (ecuación 19.7) enlaza un cambio en el volumen al cambio de una temperatura si la presión se mantiene constante: pV = nRT. Al sustituir esta expresión para el trabajo tenemos finalmente nCV T = nCp T –nRT .
Cada término en esta ecuación contiene el factor común nT. Al dividirla se da la muy simple relación entre calores específicos con volumen constante y con presión constante: C p = CV + R.
He
(19.23)
Grados de libertad
z
3
Como puede observar en la tabla 19.2, la relación C V = R es válida para gases monoatómicos, pero no para gases diatómicos y poliatómicos. Esta discrepancia se puede explicar en términos de los posibles grados de libert ad de movimiento con que cuentan las distintas moléculas. En general, un grado de libertad es una orientación de un tipo de movimiento que puede mostrar una molécula. Para una partícula puntual en el espacio tridimensional hay tres direcciones ortogonales que son independientes entre sí. Para una colección de N partículas puntuales hay 3N grados de libertad para el movimiento de traslación en el espacio tridimensional. Pero si las partículas puntuales están ordenadas en un objeto sólido, no s e pueden mover independientemente entre sí, y el número de grados de libertad se reduce a los grados de libertad de traslación del centro de masa del objeto (3), más rotaciones independientes del objeto alrededor del centro de masa. En general hay tres posibles orientaciones de rotación independientes, lo que da un total de seis grados de libertad, tres de traslación y tres de rotación. Vamos a considerar tres diferentes tipos de gases (f igura 19.12). El primero es un gas monoatómico, como por ejemplo el helio (He). El segundo es un gas diatómico, representado por el nitrógeno (N 2). El tercero es una molécula poliatómica, por ejemplo el metano (CH 4). La molécula del gas poliatómico puede girar alrededor de los tres ejes de coordenadas y, por lo tanto, tiene tres grados rotacionales de libertad. La molécula di atómica que se muestra en la figura 19.12 está alineada con el eje x , y la rotación alrededor de este eje no da ninguna configuración diferente. Por ende, esta molécula sólo tiene dos grados rotacionales de libertad, que se muestran en la figura como asociados con rotaciones alrededor de los ejes y y z . El gas monoatómico consiste en átomos esféricamente simétricos que no tienen ningún grado de libertad rotacional. Las diferentes maneras en las que se puede asignar la energía interna de un gas ideal están especificadas por el principio de equipartición de energía, que estipula que moléculas de gas en equilibrio térmico tienen la misma energía media asociada con cada grado de libertad indepen2
x y N2
z
x
y CH4
FIGURA 19.12 Grados rotacionales de libertad para un átomo de helio (He), una molécula de nitrógeno (N 2) y una molécula de metano (CH4).
19.4
1
diente de su movimiento. La energía media por grado de libertad está dada por kBT para cada molécula de gas. Con el teorema de equipartición (ecuación 19.16), la energía cinética media de un gas monoatómico con temperatura T se calcula como: K prom = kBT. Esto es consistente con la equipartición de la energía cinética de traslación de las moléculas entre las tres direcciones (o tres grados de libertad), x , y y z . La energía cinética de traslación tiene tres grados de libertad, la energía cinética media por grado de libertad de traslación es kBT, y la energía cinética media de las moléculas de gas está dada por 3 12 kBT = 32 kBT . De este modo, el calor molar específico con volumen constante pronosticado por la teoría cinética para gases monoatómicos que cuentan con tres grados de libertad para el movimiento de traslación, es consistente con la realidad. Sin embargo, los calores molares específicos observados con volumen constante son más altos para gases diatómicos que para gases monoatómicos. Para gases poliatómicos, los calores molares específicos observados son incluso más altos. 2
3 2
1
(
2
)
Calor específico con volumen constante para un gas diatómico La molécula de nitrógeno en la figura 19.12 está alineada a lo largo del eje x . Si observamos a lo largo del eje x a la molécula, vemos un punto y por ende no podemos dis cernir ninguna rotación alrededor del eje x . Sin embargo, si observamos a lo largo del eje y o z , podemos ver que la molécula de nitrógeno puede tener un movimiento rotacional visible alrededor de cualquiera de estos dos ejes. Por lo tanto, hay dos grados de libertad para la energía cinética rotacional de la molécula de nitrógeno y, por extensión, todas las moléculas diatómicas. Por ende, la energía cinética media por molécula diatómica es (3 + 2) 1 kBT = 5 kBT . 2 2 Este resultado supone que el cálculo del calor molar específico con un volumen constante para un gas diatómico deberá ser similar al cálculo para un gas monoatómico, pero con dos grados de libertad adicionales para la energía media. De esta manera modificamos la ecuación 19.20 para obtener el calor molar específico con volumen constante para un gas diatómico:
(
CV
=
3+ 2 2
R=
5 2
)
R=
5 8.31 J/ mol K 2
(
) = 20.8 J/ (mol K).
Si comparamos este valor con los calores molares específicos reales medidos con volumen constante dados en la tabla 19.2 para los gases diatómicos ligeros hidrógeno, nitrógeno y oxígeno, vemos que esta predicción de la teoría cinética de gases ideales concuerda de manera razonable con estas mediciones.
Calor específico con volumen constante para un gas poliatómico Ahora vamos a considerar el gas poliatómico metano (CH 4) que se muestra en la figura 19.12. La molécula de metano está compuesta por cuatro átomos de hidrógeno ordenados en un tetraedro, enlazados a un átomo de carbono en el centro. Al observar a lo largo de cualquiera de los tres ejes, podemos discernir la rotación de esta molécula. Por lo tanto, esta molécula particular y todas las moléculas poliatómicas tienen tres grados de libertad relacionados con la energía cinética rotacional. Por ende, el cálculo del calor molar específico con volumen constante para un gas poliatómico deberá ser similar al cálculo para un gas monoatómico, pero con tres grados de libertad adicionales para la energía media. Modificamos la ecuación 19.20 para obtener el calor molar específico con volumen constante para un gas poliatómico: CV
=
3+3 2
R=
6 2
R = 3 8.31
J/ mol K = 24.9 J/ mol K .
(
)
(
)
Si comparamos este valor con los calores molares específicos reales medidos con volumen constante dados en la tabla 19.2 para el gas poliatómico de metano, vemos que el valor pronosticado por la teoría cinética de los gases ideales es cerca de, pero algo más bajo, que el valor medido. Lo que explica las diferencias entre valores pronosticados y reales de los calores molares específicos para moléculas diatómicas y poliatómicas es el hecho de que estas moléculas pueden tener grados de libertad internos, además de grados de libertad de traslación y rotación. Los átomos de estas moléculas pueden oscilar u no con respecto al otro. Por ejemplo, imagine que los dos átomos de oxígeno y un átomo de carbono de una molécula de dióxido de carbono estén conectados por resortes. Los tres átomos podrían oscilar hacia adelante y atrás uno con respecto al otro, lo que corresponde a grados extra de libertad. El calor molar específico de un volumen constante sería entonces más grande que los 24.9 J/(mol K) pronosticados para un gas poliatómico.
Calor específico de un gas ideal
629
630
Capítulo 19 Gases ideales
Se requiere cierta energía mínima para excitar el movimiento de oscilación interna en moléculas. Este hecho no se puede entender desde el punto de vista de la mecánica clásica. Por ahora, todo lo que usted necesita saber es que se observa un efecto de umbral para grados de libertad vibracionales. De hecho, los grados de libertad rotacionales de moléculas de gas diatómicas y poliatómicas también muestran este efecto de umbral. En temperaturas bajas, la energía interna del gas podrá ser demasiado baja para facilitar la rotación de las moléculas. Sin embargo, con temperatura y presión estándares, la mayoría de los gases diatómicos y poliatómicos ligeros tienen un calor molar específico con volumen constante que es consistente con los grados de libertad de traslación y rotación de sus moléculas.
19.6 Ejercicio en clase El cociente de calor específico a presión constante con el calor específico a volumen constante C p / CV , para un gas ideal
Proporción de calores específicos Finalmente calculamos el cociente del calor específico con presión constante con el calor específico de volumen constante. Este cociente se llama coeficiente de dilatación adiabática y por convención se simboliza con la letra griega :
a) siempre es igual a 1.
≡
b) siempre es menor que 1. c ) siempre es mayor que 1. d ) puede ser menor o mayor que 1, dependiendo de los grados de libertad de las moléculas de gas.
C p C V
.
(19.24)
Si sustituimos los valores pronosticados para los calores específicos de gases ideales con diferentes grados de libertad nos da = C p/C V = R/ R = para gases monoatómicos, = C p/C V = R/ R = para gases diatómicos y = C p/C V = R/ R = para gases poliatómicos. La tabla 19.2 también contiene valores para obtenidos de datos empíricos. Los valores empíricos de los calores específicos para los gases, salvo los gases nobles, no son muy cercanos a los valores calculados para un gas ideal; sin embargo, los coeficientes de dilatación adiabática sí cumplen bien nuestras expectativas teóricas. 5
3
2
5
2
3
7
5
7
8
6
4
2
2
5
2
2
3
19.5 Procesos adiabáticos para un gas ideal Como vimos en el capítulo 18, en un proceso adiabático el estado de un sistema puede cambiar en ausencia de un intercambio de calor con el entorno. Un proceso adiabático puede ocurrir cuando el cambio de sistema se realiza rápidamente. Por lo tanto, Q = 0 para un proceso adiabático. Desde la primera ley de la termodinámica tenemos entonces Eint = –W , como se demostró en el capítulo 18. Vamos a analizar cómo el cambio de volumen está relacionado con el cambio de presión de un gas ideal cuando ocurre un proceso adiabático; es decir, un proceso en ausencia de un flujo de calor. La relación está dada por pV γ = constante (en un proceso adiabático),
(19.25)
donde = C p/C V es el coeficiente de dilatación adiabática que se calcula como cociente entre el calor específico a presión constante y el calor específico a volumen constante del gas ideal.
DEDUCCIÓN 19.3
Presión y volumen en un proceso adiabático
A fin de derivar la relación entre presión y volumen para un proceso adiabático, vamos a contemplar pequeños cambios diferenciales en la energía interna durante este tipo de proceso: dEint = –dW. En el capítulo 18 vimos que dW = p dV, y por ende para el proceso adiabático tenemos
dEint = – pdV .
(i)
Sin embargo, la ecuación 19.21 dice que la energía interna depende nada más de la temperatura, si suponemos que N sea constante: Eint = nC V T. Puesto que queremos calcular dEint, tomamos la derivada de esta ecuación con respecto a la temperatura: dEint = nCV dT .
(ii)
La combinación de las ecuaciones (i) y (ii) para dEint nos da entonces
pdV = nCV dT .
–
(iii)
631
19.5 Procesos adiabáticos para un gas ideal
Podemos tomar la derivada total de la ley de los gases ideales (ecuación 19.7), pV = nRT (con n y R constantes):
pdV + V dp = nRdT .
(iv)
Al resolver la ecuación (iii) para dT y sustituir esta expresión en la ecuación (iv) nos da
pdV . pdV + V dp = nR– nC V Ahora podemos recabar los términos con proporción a dV del lado izquierdo, lo que da
pdV + V dp = 0. V
1 + R C
(v)
Puesto que R = C p – C V de la ecuación 19.23, vemos que 1 + R/C V = 1 + (C p – C V )/C V = C p/C V . La ecuación 19.24 define el coeficiente de dilatación adiabática . Con esto, la ecuación (v) se vuelve p dV + V dp = 0. La división de ambos lados entre pV nos deja finalmente escribir
dp dV + = 0. p V
20 ) a P k ( p
La integración da entonces ln p +
30
ln V = constante.
(vi)
Con las reglas de los logaritmos, la ecuación (vi) también se simplifica y obtenemos: ln( pV ) = constante. Podemos exponenciar ambos lados de esta ecuación para obtener el resultado deseado: pV γ = constante.
10
T =
300 K
T =
400 K
Adiabática 0 0
0.2
0.4
0.6
V (m3)
FIGURA 19.13 Gráfica Otra manera de escribir la relación entre presión y volumen para un proceso adiabático involucrando un gas ideal en la lengua matemática es: γ
γ
pf V f = piV i
(para un proceso adiabático),
(19.26)
donde pi y V i son presión y volumen iniciales, respectivamente, y pf y V f son presión y volumen finales, respectivamente. La figura 19.13 grafica el comportamiento de un gas durante tres diferentes procesos como función de presión y volumen. La curva roja representa un proceso adiabático, en el que pV es constante, para un gas monoatómico con = . Las otras dos curvas representan procesos isotérmicos (constante T ). Un proceso isotérmico ocurre en T = 300 K, y el otro ocurre en T = 400 K. El proceso adiabático muestra un decremento más empinado en presión como función del volumen que los procesos isotérmicos. Podemos escribir una ecuación que enlaza la temperatura y el volumen de un gas en un proceso adiabático mediante la combinación de la ecuación 19.25 y la ley de los gases ideales (ecuación 19.7): 5
3
del comportamiento de un gas monoatómico durante tres diferentes procesos en un diagrama pV . Un proceso es adiabático (rojo). El segundo proceso es isotérmico con T = 300 K (verde). El tercer proceso es también isotérmico con T = 400 K (azul).
19.7 Ejercicio en clase Un gas ideal monoatómico ocupa el volumen V i , que luego 1 se reduce a 2 V i siguiendo un proceso adiabático. ¿Qué relación es correcta para la presión de este gas? c ) pf = 25/3 pi
a) pf = 2 pi
d ) pf = ( 2 )5/3 pi
1
pV
=
⎧ nRT ⎫V ⎩ V ⎭
=
(nR)TV
–1
= constante.
Suponiendo que el gas esté en un recipiente cerrado, n es constante, y podemos reescribir esta relación como TV –1 = constante (para un proceso adiabático) o γ –1
Tf Vf
1
b) pf = 2 pi
γ –1 = TV (para un proceso adiabático), i i
(19.27)
donde T i y V i son temperatura y volumen inicial, respectivamente, y T f y V f son temperatura y volumen final, respectivamente. Una expansión adiabática como la que describe la ecuación 19.27 ocurre cuando se abre un recipiente que contiene una bebida fría con gas. El dióxido de carbono de la carbonación y el vapor de agua crean un gas con una presión arriba de la presión atmosférica. Cuando este gas se expande y una parte sale de la apertura del recipiente, el sistema tiene que hacer trabajo. Puesto que el pro-
19.8 Ejercicio en clase Un gas ideal monoatómico ocupa el volumen V i, que luego 1
es reducido a 2 V i siguiendo un proceso adiabático. ¿Qué relación es correcta para las temperaturas de este gas? a) T f = 22/3T i
c ) T f = ( 2 )2/3T i
b) T f = 25/3T i
d ) T f = ( 2 )5/3T i
1
1
632
Capítulo 19 Gases ideales
ceso sucede muy rápidamente, no hay tiempo para transferir calor al gas; por lo tanto, el proceso es adiabático, y el producto de la temperatura y el volumen elevado a la potencia –1 –1 permanece constante. El volumen del gas aumenta, y la temperatura debe reducirse. Por ende, la condensación, que se percibe como una pequeña neblina, ocurre alrededor de la apertura del recipiente.
PROBLEMA RESUELTO 19.1 Bomba para inflar neumáticos de bicicleta
a)
T i
T f
V i
V f
b)
Una bomba bomba de aire de operación manual manual [figura 19.14 a)] se usa para inflar el neumático de una bicicleta. La bomba de aire consiste en un cilindro con pistón. La bomba está conectada al neumático mediante una pequeña manguera. Hay una válvula entre la bomba y el neumático que permite que el aire entre en el neumático, pero no pueda salir. Además hay otra válvula que permite que el aire entre a la bomba del entorno después de que termine la carrera de compr compresión esión y el pistón regresa a su posición original. La figura 19.14 b) muestra la bomba y el neumático antes de la compresión. La figura 19.14 c) muestra el pistón y la llanta después de la compr compresión. esión. El radio interno del cilindro de la bomba es r p = 1.00 cm, la altura del volumen activo antes de la carrera de compresión es de hi = 60.0 cm, y después de la carrera de compresión disminuye a hf = 10.0 cm. El neumático puede ser considerado como un anillo cilíndrico con radio interior r 1 = 66.0 cm, radio exterior r 2 = 67.5 cm y espesor t = = 1.50 cm. La temperat temperatura ura del aire en la l a bomba y el neumático antes de la carrera de compresión es T i = 295 K (22 °C).
c )
FIGURA 19.14
a) Una bomba de aire manual utilizada para inflar un neumático de bicicleta. b) La bomba y el neumático antes de la carrera de compresión. c ) La bomba y el neumático después de la carrera de compresión.
PROBLEMA ¿Cuál es la temperatura T f , del aire después de una carrera de compresión?
SOLUCIÓN PIENSE El volumen y la temperatura del aire antes de la carrera de compresión son V i y T i, respectivamente, y el volumen y la temperatura del aire después de la carrera de compresión son V f y T f , respectivamente.. La carrera de compresión toma lugar con rapidez, así que no hay tiempo para respectivamente transferir calor hacia dentro o hacia fuera del sistema, y este proceso se puede tratar como un proceso adiabático. adiabático. El volumen del aire en la bomba se reduce cuando se empuja la manija de la bomba mientras que el volumen del aire en el neumático permanece constante.
ESBOCE Las dimensiones de la bomba de aire y el neumático se muestran en la figura 19.15.
FIGURA 19.15
a) Dimensiones de la bomba de aire antes de la carrera de compresión. b) Dimensiones de la bomba de inflar después de la carrera de compresión. c ) Dimensiones del neumático de bicicleta.
t T i V i
r 1
T f V f
r 2
hi hf r p
r p
a)
b)
c )
19.5
Procesos adiabáticos para un gas ideal
INVESTIGUE
El volumen de aire en el neumático es Vneumático = t
(
2
r2 –
2
)
r 1 .
El volumen de aire en l a bomba antes de la carrera de compr compresión esión es Vbomba,i
2
rp hi .
=
El volumen de aire en l a bomba después de la carrera de compresión es Vbomba,f
2
rphf .
=
El volumen inicial de aire en el sistema de bomba-neumático es V i = V bomba,i + V neumático, y al terminar la carrera de compre compresión sión es V f = V bomba,f + V neumático. Despreciamos el volumen de aire en la manguera entre la bomba y el neumático. Este proceso es adiabático, así que podemos usar la ecuación 19.27 para describir el sistema antes y después de la carrera de compresión: compresión: –1
Tf V f
–1
= TiV i .
(i)
SIMPLIFIQUE
Podemos resolver la ecuación (i) para la temperatura final:
V i –1 = T i = T i . –1 V V –1
Tf
V i
f
f
Luego podemos insertar las expresiones para el volumen inicial y el volumen final: Tf
r 2h + t p i = T i r2 h + t p f
–1
2 r2
– r12
2 r2
–
( (
) r ) 2 1
r2 h + t p i = T i r 2 h + t p f
–1
(r – r ) (r – r ) 2 2
2 1
2 2
2 1
.
CALCULE
El aire consiste principalmente en gases diatómicos (78% N2 y 21% O2, vea la tabla 19.1), así que usamos = = , de la sección 19.4. Al sustituir los valores numéricos, obtenemos 7 5
( 7/ 5) –1 2 2 2 (0. 01 0100 m) (0. 60 600 m) + ( 0. 0150 m)( 0.675 m) – (0. 66 660 m) T f = (295 K ) 2 2 2 (0.01 0100 m) (0.1 100 m) + (0.0150 m)( 0.675 m) – ( 0. 660 m)
=313..162 .162 K. REDONDEE
Reportamos nuestro resultado con tres cifras signifi cativas: T f = 313 K.
V U E L VA VA A R E V I S A R
La razón entre el volumen inicial y final del sistema s istema bomba-neumático es: V i
=1.16.
V f
Durante la carrera de compresión, la temperatura del aire aumenta aumenta de 295 K a 313 K, así que la proporción propor ción de la temperatura final a la temperatura inicial es T f T i
=
313 K 295 295 K
= 1.06,
lo cual parece razonable porque la temperatura final deberá ser igual a la temperatura inicial, –1 multiplicado por la proporción del volumen inicial y final elevado a la potencia –1: –1: (1.16) –1 0.4 = 1.16 = 1.06. Si usted oprime el pistón muchas veces en un periodo corto, cada carrera de compresión aumentará la temperatura del aire en el neumático por aproximadamente 6%. Por lo tanto, el aire en el neumático y en la bomba se vuelve más caliente conforme se infla el neumático.
633
634
Capítulo 19
Gases ideales
Trabajo hecho por un gas ideal en un proceso adiabático También podemos encontrar el trabajo realizado por un gas que experimenta un proceso adiabático desde un estado inicial hasta un estado final. En general, el trabajo está dado por f
W=
∫ p dV .
i
Para un proceso adiabático podemos usar la ecuación 19.25 para escribir p = cV – (donde c es constante), y con esto la integral que determina el trabajo se vuelve: W=
V 1– V – – cV dV dV = c V dV dV = c 1 – V V V
V f
V f
∫
∫
i
f
c
=
1 –
(V
1– f
1–
– V i
).
i
i
La constante c tiene el valor c = pV . Usando la ley de gases ideales en la forma p = nRT /V , tenemos nRT nRT V = nRTV –1. c = V
Ahora sustituimos esta constante en la expresión que hemos obtenido en resolver la integral y usamos la ecuación 19.27. Finalmente encontramos el trabajo hecho por un gas experimentando un proceso adiabático: nR
W =
1 –
(T – T ). f
(19.28)
i
c inética de los gases 19.6 La teoría cinética Como se prometió antes, en la introducción del teorema de equipartición, en esta sección, conocerá algunos resultados adicionales importantes de la teoría cinética de los gases.
Distribución de rapidez de Maxwell
19.2 Oportunidad de autoexamen
La ecuación 19.17 nos da la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas molécu las de un gas con una temperatura dada. Ésta es una rapidez media, pero ¿cuál es la distribución de rapidez? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de que una molécula de gas tenga alguna velocidad dada entre v y y v +dv ? La distribución de rapidez de Maxwell, o a veces también llamada la distribución de rapidez de Maxwell-Boltzmann Maxwell-Boltzm ann, está dada por m 3/2 2 − mv v e mv /2k T . f (v ) = 4 (19.29) 2 kBT 2
B
Demuestre de manera explícita que la integración de la distribución de rapidez de Maxwell de v = = 0 a v = = ∞ nos da 1, como se requiere para una distribución de probabilidad.
Las unidades de esta distribución son (m/s)–1. Como se requiere para una distribución de probabilidad, la integración de esta distribución de todas las velocidades v con con respecto a dv nos nos da 1: ∞
∫ f (v)dv
= 1.
0
Una característica muy importante de distribuciones dist ribuciones de probabilidad para cantidades obser vables, como la de la ecuación 19.29 para la rapidez molecular es que todos l os promedios que se pueden deducir de ellas se calculan c alculan simplemente multiplicando la cantidad a promediar por la distribución de probabilidad e integrando a través del rango entero. entero. Por ejemplo, podemos obtener la rapidez media de la distribución de rapidez de Maxwell mediante la multiplicación de la rapidez por la distribución de probabilidad f (v ) e integrando este producto vf (v ) a través de todos los v por valores posibles desde cero hasta el infinito. La rapidez media se da entonces entonces por ∞
vmedia =
∫ vf(v)dv =
8kBT
0
∞
donde usamos la integral definida
∫
2
3 – x /a
x e
2
m
dx = a /2 al
,
integrar.
0
Para encontrar la rapidez de la raíz media cuadrática para la distribución de Maxwell, tenemos que hallar primero la rapidez de la media cuadrática: c uadrática:
( ) v2
media
∞
=
∫ 0
v2 f (v) dv =
3kBT
m
,
19.6
∞
donde empleamos la integral definida
∫
2
4 – x /a
x e
dx =
0
vrms =
(v ) 2
3 8
5 /2
a
3kBT
=
. Luego tomamos la raíz cuadrada:
.
Como se pide, esto coincide con la ecuación 19.17 para la rapidez media cuadrática de moléculas en un gas ideal. La velocidad más probable de la distribución de Maxwell —es decir, el valor en el cual f (v ) tiene un máximo— se calcula al igualar la derivada de f (v ) con cero y despejar el resultado por la velocidad v ; este procedimiento nos da: 2kBT m
635
m
media
v mp =
La teoría cinética de los gases
.
v mp
0.002
v media v rms
Moléculas de N2 ) 1 – ) s / m 0.001 ( ( ) v (
T =
295 K
La figura 19.16 muestra la distribución de rapidez de Maxwell para moléculas de nitrógeno (N2) en el aire, a una temperatura de 295 K (22 °C), con la rapidez más probable, media y la rapidez de la raíz media cuadrática, indicadas por flechas. Usted puede observar en la figura 19.16 0 que las rapideces de las moléculas de nitrógeno están distribuidas alrededor de la rapidez media, 0 400 800 1 200 v media. Sin embargo, la distribución no es simétrica alrededor de v rms. Una cola en la distribución v (m/s) se extiende a velocidades altas. Usted también puede comprobar que la rapidez más probable FIGURA 19.16 Distribución de corresponde al máximo de la distribución. la rapidez de Maxwell para moléculas La figura 19.17 muestra la distribución de rapidez de Maxwell para moléculas de nitrógeno de nitrógeno a una temperatura de a cuatro diferentes temperaturas. Cuando se incrementa la temperatura, la distribución de rapi- 295 K graficada en una escala lineal. deces de Maxwell se amplía. El valor máximo de f (v ) disminuye cuando la temperatura aumenta, porque el área total debajo de la cur va siempre es 1; una condición que toda distribución de probabilidad tiene que cumplir. Además, a una temperatura dada, la distribución de Maxwell para partículas más ligeras es más amplia y tiene más de una cola de rapideces altas que la de átomos o moléculas más pesados (figura 19.18). La figura 19.18a) muestra las distribuciones de rapideces de Maxwell para moléculas de hidrógeno y nitrógeno graficadas en una escala logarítmica a una temperatura de 22 °C, típica para la superficie terrestre. El hecho de que esta curva no tiene cola de alta velocidad es importante para la composición de la atmósfera terrestre. Como hemos visto en el capítulo 12, la rapidez de escape, v e, para cualquier objeto cerca de la superficie de la Tierra es de 11.2 km/s. Por lo tanto, cualquier molécula de aire que tiene por lo menos esta rapidez de escape puede salirse FIGURA 19.17 Distribución de rapidez de Maxwell para moléculas de la atmósfera terrestre. El hecho de que no haya una cola en la de N2 a cuatro diferentes temperaturas. distribución para altas rapideces significa que no hay moléculas de aire que puedan escapar al espacio. Sin embargo, el gas hidrógeno es ligero en comparación con los otros gases en la atmósfera de la Tierra y tiende a moverse hacia arriba. La temperatura de la FIGURA 19.18 Distribuciones de rapideces de Maxwell para moléculas de hidrógeno y de nitrógeno en la atmósfera de la Tierra, graficadas en una escala logarítmica: a) a una temperatura de 22 °C; b) a una temperatura de 1 500 °C.
636
Capítulo 19
Gases ideales
atmósfera de la Tierra depende de la altitud. A una altitud de 100 km sobre la superficie, la atmósfera de la Tierra empieza a estar muy caliente y puede llegar a temperaturas de 1 500 °C. Esta capa de la atmósfera se llama termosfera. La figura 19.18b) muestra las distribuciones de rapideces de Maxwell para moléculas de hidrógeno y nitrógeno graficadas en una escala logarítmica a una temperatura de 1 500 °C. Podemos calcular la fracción de moléculas de hidrógeno que tendrán una rapidez más alta que la velocidad de escape, si calculamos la integral de la distribución de Maxwell sobre todas las rapideces mayores o iguales a esta velocidad: ∞
∫
Fracción de H2 con rapidez mayor que la velocidad de escape =
f (v )dv = 6 ⋅10–4 = 0.06%.
v = 11.2 km/s
120
Moléculas de N2 ) 1 –
80
J
8 1
0 1 ( )
K g 40
(
K media
0 0
Sólo una pequeña fracción de las moléculas de hidrógeno en la termosfera tiene rapideces arriba de la rapidez de escape. Las moléculas de hidrógeno con rapideces arriba de la rapidez de escape pueden salir al espacio. Las moléculas de hidrógeno, que se quedan atrás, tienen la misma temperatura que el resto de la termosfera, y la dist ribución de rapidez reflejará esta temperatura. Por lo tanto, a través del tiempo en la escala geológica, la mayoría de las moléculas de hidrógeno en la atmósfera de la Tierra suben a la termosfera y finalmente salen de la Tierra. ¿Qué pasa en el resto de la atmósfera, que consiste principalmente de nitrógeno y oxígeno? Prácticamente ninguna molécula de nitrógeno tiene una rapidez arriba de la rapidez de escape. Si suponemos la temperatura de 1 500 °C, la razón entre la probabilidad de encontrar una molécula de nitrógeno entre moléculas del mismo gas con una velocidad arriba de 11.2 km/h y la probabilidad de encontrar una molécula de hidrógeno entre moléculas del mismo gas arriba del mismo umbral de velocidades es de 3 · 10–48. Puesto que la atmósfera completa tiene una masa de 5 · 1018 kg y contiene aproximadamente 10 44 moléculas de nitrógeno, puede ver que virtualmente ninguna molécula de nitrógeno tiene una rapidez arriba de la de escape. Por ende, hay muy poco hidrógeno en la atmósfera de la Tierra, mientras que el nitrógeno y gases más pesados (oxígeno, argón, dióxido de carbono, neón, etcétera) permanecen en la atmósfera de manera permanente.
Distribución de energía cinética de Maxwell 10
20
30
–21 J) K (10
FIGURA 19.19
Distribución de energía cinética de Maxwell para moléculas de nitrógeno a una temperatura de 295 K, graficada en una escala lineal.
Como se puede hallar una distribución de rapidez, también se puede encontrar la distribución de energía cinética. La distribución de energía cinética de Maxwell (a veces llamada distribución de energía cinética de Maxwell-Boltzmann) describe los espectros de energía de moléculas de gas y está dada por 3/ 2
g ( K ) =
1 kBT
2
K e−K /k T . B
(19.30)
El valor de la distribución para energías cinéticas K dentro de un margen de dK da la probabilidad de observar una molécula de gas con una energía cinética entre K y K + dK. La integración de esta ∞
distribución con respecto a dK da 1:
∫ g (K ) dK 0
FIGURA 19.20
Distribución de energía cinética de Maxwell para moléculas de nitrógeno a T = 295 K y T = 1 500 K, graficada en una escala logarítmica.
= 1, como se requiere para toda distribución de
probabilidad. La unidad de esta distribución es J –1. La figura 19.19 muestra la distribución de energía cinética de Maxwell para moléculas de nitrógeno a una temperatura de 295 K. Las energías cinéticas de las moléculas de nitrógeno están distribuidas alrededor de la energía cinética media. Igual que la distribución de rapideces de Maxwell la distribución de energía cinética de Maxwell no es simétrica alrededor de K media y tiene una cola significativa con energías cinéticas altas. Esta cola de energía cinética alta contiene información sobre la temperatura del gas. La figura 19.20 muestra la distr ibución de energía cinética de Maxwell de moléculas de nitrógeno a dos temperaturas, T = 295 K y T = 1 500 K. La distribución de energía cinética a T = 1 500 K es mucho más plana y extiende a energías cinéticas mucho más altas que la distribución de energía cinética a T = 295 K. La cola de energía cinética alta para T = 295 K en la figura 19.20 se acerca a una simple distribución exponencial de energía cinética con una pendiente de –1/ kBT, donde T = 295 K, como se ilustra mediante la línea interrumpida. Observe que las expresiones dadas aquí para las distribuciones de rapideces y de energías cinéticas de Maxwell no toman en cuenta los efectos explicados por la teoría de la relatividad. Por ejemplo, la distribución de rapidez se extiende hasta velocidades infinitas, aunque ningún objeto puede viajar más rápido que la velocidad de l a luz. Sin embargo, las velocidades relevantes para gases ideales son pequeñas en comparación con la rapidez de la luz. La rapidez más alta que
19.6
La teoría cinética de los gases
637
se muestra en la figura 19.18 es v = 1.5 · 104 m/s (para el gas de hidrógeno con la temperatura de T = 1 500 K), que es apenas el 0.005% de la rapidez de la luz. Las distribuciones de la rapidez y de la energía cinética de Maxwell también se basan en la suposición de que las moléculas del gas no interactúan. Si las moléculas de gas interactúan, entonces hay que analizar si éstas todavía se aproximan con precisión suficiente al comportamiento real. Para moléculas de gas que se mueven en la atmósfera de la Tierra, la suposición de no interacción se puede justificar ya que muchas de las propiedades de la atmósfera terrestre pueden describirse usando como base la distribución de rapideces de Maxwell y la distribución de la energía cinética de Maxwell.
EJEMPLO 19.5
Temperatura del plasma de quark-gluones
La medición de la distribución de energía cinética de los elementos de un gas puede revelar la temperatura del gas. Esta técnica se usa en muchos experimentos científicos, incluyendo el estudio de gases que consisten en partículas y núcleos elementales. La figura 19.21 muestra por ejemplo las distribuciones de energía cinética de antiprotones y piones que salen como productos de colisiones entre iones pesados de núcleos de oro con velocidades relativistas. Los datos generados en experimentos de la colaboración “STAR” se muestran como puntos rojos. Como el aparato experimental no puede detectar energías debajo de cierto umbral, no hay datos en este rango. Las líneas azules representan los mejores ajustes para los datos, usando la ecuación 19.30 con el valor de mejor ajuste para la temperatura T . Se extrajeron valores de kBT = 6.71 · 10–11 J = 417 MeV para los antiprotones y kBT = 3.83 · 10–11 J = 238 MeV para los piones, lo que significa que las temperaturas de los antiprotones y piones son de 4.86 · 10 12 K y 2.77 · 1012 K, respectivamente. (¡Estas temperaturas son varios cientos de millones de veces más altas que la temperatura de la superficie del Sol!) Con estas observaciones (entre otras) los investigadores pueden deducir que un plasma de quark-gluones con una temperatura de 2 · 10 12 K se creó para un tiempo fugaz de aproximadamente 10 –22 s en las colisiones. Nota: Como las colisiones de los núcleos de oro son eventos explosivos la conexión entre la temperatura del plasma de quark-gluones y de los valores de temperatura extraídos de las distribuciones de energía de partículas no es tan sencilla. También hay que mencionar que un gas ideal no es el modelo correcto. Además, las energías cinéticas en la figura 19.21 se determinaron mediante fórmulas que cumplen las exigencias de la física relativista. No obstante, es asombroso el grado hasta donde la energía cinética observada sigue a la distribución de Maxwell. FIGURA 19.21 a) El acelerador de partículas “Relativistic Heavy Ion Collider” del Brookhaven National Laboratory tiene la forma de un anillo con una circunferencia de 3.83 km. Datos experimentales sobre la distribución de energía cinética de b) antiprotones y c ) piones, producidos en colisiones de núcleos de oro. Durante los breves momentos que existen, estas colisiones son por mucho el lugar más caliente del sistema solar. El estado de materia que se genera en el momento del choque se llama plasma de quarkgluones. Se cree que durante una fracción de un segundo después del Big Bang la materia tenía este estado de agregación. Las líneas azules representan ajustes a las distribuciones de energía cinética usando la ecuación 19.30.
)
a
6 Antiprotones ) V e M / e l a v 5 0 1 1 ( ) K (
g
0
Piones
2
) V e 4 M / e l a v 3 0 1 ( ) 2 K (
g
100
200 300 K (MeV) b)
400
500
0 0
100
200 300 K (MeV) c )
400
500
638
Capítulo 19 Gases ideales
Para terminar esta subsección, vamos a contemplar la fusión nuclear en el centro del Sol. Esta fusión nuclear es la fuente de energía que causa toda la radiación s olar y con eso permite la vida terrestre. La temperatura en el centro del Sol es de aproximadamente 1.5 · 10 7 K. Conforme a la ecuación 19.16, la energía cinética media de los iones de hidrógeno en el centro del Sol es de kBT = 3.1 · 10–16 J = 1.9 keV. Sin embargo, para que dos átomos de hidrógeno experimenten una fusión nuclear, se tienen que acercar lo suficientemente entre sí para superar su mutua repulsión electrostática. La mínima energía requerida para superar la repulsión electrostática es del orden de 1 MeV, o más que quinientas veces más alta que la energía cinética media de los iones de hidrógeno en el centro del Sol. Por lo tanto, sólo iones de hidrógeno en la cola extrema de la distribución de Maxwell tienen la energía suficiente para participar en reacciones de fusión. 3 2
Camino libre medio Una de las suposiciones de un gas ideal es que las moléculas de éste son partículas puntuales que no interactúan entre sí. En cambio las moléculas de gases reales sí tienen tamaños (muy pequeños, pero no cero) y por lo tanto chocan entre sí. Las colisiones de moléculas de gases entre sí producen un efecto de dispersión que causa que el movimiento sea aleatorio. Si perturbamos en un momento la distribución de velocidades de Maxwell, por las colisiones, el gas regresará extremadamente rápido a la distribución anterior. ¿Qué camino recorren regularmente las moléculas de un gas real hasta que chocan contra otra molécula del mismo gas? Esta distancia media se llama el camino libre medio , de las moléculas de un gas. El camino libre medio es proporcional a la temperatura e inversamente proporcional a la presión del gas y el área de sección transversal de la molécula: kBT =
(
2 4 r r
v
DEDUCCIÓN 19.4
b
2
)p
.
(19.31)
Camino libre medio
r
Para estimar el camino libre medio empezamos con la definición geométrica de una sección transversal para la dispersión. Supongamos que todas las moléculas en el gas sean esferas con el radio r . Si en sus trayectorias dos moléculas se acercan y se tocan, tendrán una colisión elástica, en la que se conserva el momento total y la energía cinética total (vea el capítulo 7). Vamos a imaginar que una molécula de gas en movimiento encuentre otra molécula de gas en reposo, como se muestra en la figura 19.22 a). El parámetro de impacto b, como se muestra en la figura 19.22 a), es la distancia perpendicular entre dos líneas que conectan los centros de las dos moléculas, y que está orientada paralelamente a la dirección de la velocidad de l a molécula en movimiento. La molécula en mo vimiento colisionará con la molécula estacionaria si b ≤ 2r. De este modo la sección transversal para la dispersión está dada por un círculo con el área
a)
2r
b)
2
( )
A = 2r
2
= 4 r ,
como se ilustra en la figura 19.22b). En un espacio de tiempo t , moléculas con la rapidez media v barren en su camino un volumen de:
( )
(
V = A vt = 4 r
vt v
c )
FIGURA 19.22
a) Una molécula de gas en movimiento se acerca a una molécula de gas estacionaria con el parámetro de impacto b. b) La sección transversal para la dispersión se representa por un círculo con el radio 2r . c ) El volumen barrido por las moléculas dentro del área de sección transversal A en un tiempo t si viaja con la rapidez v .
2
)(
)
2
vt = 4 r vt ,
como se muestra en la figura 19.22 c). Por lo tanto, este camino libre medio , es la distancia que recorre la molécula en el periodo t dividida entre el número de colisiones con otras moléculas con las que va a colisionar en esta distancia. El número de moléculas que la molécula va a encontrar es simplemente el volumen barrido multiplicado por el número de moléculas por unidad de volumen nV . El camino libre medio es entonces =
vt VnV
=
vt
(
2
)
4 r vt nV
=
1
(
4 r
2
)
.
nV
Este resultado necesita ser modificado porque supusimos que una molécula en movimiento chocara con una molécula estacionaria. En un gas ideal, todas las moléculas están en movimiento, así que tenemos que usar la velocidad relativa, v rel, entre las moléculas en lugar de la velocidad media.
19.6 La teoría cinética de los gases
Se puede demostrar que v rel = 2
2
4 r v relt = 4 r
v
2t .
2 ; así que el
v
volumen barrido por las moléculas cambia a V =
Por ende, la expresión para el camino libre medio se vuelve 1
=
(
2 4 r
2
.
)
nV
Para gases difusos podemos reemplazar el número de moléculas por unidad de volumen con el valor del gas ideal, usando la ecuación 19.8: N p nV = = . V kBT El camino libre medio para una molécula en un gas real es entonces: 1
= 2
(
p 4 r kBT 2
=
)
kBT
(
2 4 r
2
)
.
p
Ahora que hemos derivado la fórmula para el camino libre medio, será instructivo aplicarlo a un caso real. Vamos a contemplar el gas más importante, la atmósfera de la Tierra. Un gas ideal tiene un camino libre medio “infinitamente” largo en relación con el espaciado entre moléculas del gas. Qué tan cerca un gas real se aproxima al gas ideal está determinado por la proporción del camino libre medio al espaciado intermolecular en el gas. Vamos a ver qué tan cerca está de ser la atmósfera de la Tierra un gas ideal.
EJEMPLO 19.6
El camino libre medio de las moléculas de aire
PROBLEMA ¿Cuál es el camino libre medio de una molécula de gas en aire con una presión atmosférica de 101.3 kPa y a una temperatura de 20.0 °C? Puesto que el aire es de 78.1% nitrógeno, vamos a suponer por el bien de la simplicidad que el aire sea 100% nitrógeno. El radio de una molécula de nitrógeno es de aproximadamente 0.150 nm. Compare el camino libre medio con el radio de una molécula de nitrógeno y al espaciado medio entre las moléculas de nitrógeno.
SOLUCIÓN Podemos usar la ecuación 19.31 para calcular el camino libre medio:
(1.381⋅10 J/K)(293.15 K) = 9.99 ⋅10 2 (4 )(0.150 ⋅ 10 m) (101.3 ⋅10 Pa) –23
=
639
–8
–9
2
m.
3
La razón entre el camino libre medio y el radio molecular es, entonces, r
–8
=
9.99 ⋅10
–9
0.150 ⋅10
m
= 666.
m
El volumen por partícula en un gas ideal se puede obtener usando la ecuación 19.8: V kBT = . N p 1
El espaciado medio entre moléculas es entonces el volumen medio a la potencia: 3
1/3
1.381⋅10–23 J/K 293.15 K 1/3 ( ) V 1/3 kBT = = = 3.42 ⋅10–9 m. p N 3 101.3 ⋅10 Pa
(
)
(
)
(continúa)
19.9 Ejercicio en clase El camino libre medio de una molécula de gas se duplica si _________ se duplica. a)
la temperatura
b)
la presión
c )
el diámetro de las moléculas de gas
d )
ninguna de las anteriores
640
Capítulo 19 Gases ideales
(continuación)
Por lo tanto, la razón entre el camino libre medio y el espaciado medio entre moléculas es –8
9.99 ⋅1 0
–9
3.42 ⋅1 0
m
= 29.2.
m
El valor de esta razón demuestra que tratando el aire como un gas ideal es una buena aproximación. La figura 19.23 compara el diámetro de moléculas de nitrógeno, la distancia media entre moléculas y el camino libre medio. Moléculas de N2
Distancia media entre moléculas
FIGURA 19.23
Dibujo a escala que muestra el tamaño de las moléculas de nitrógeno, el camino libre medio de las moléculas en el gas, y la distancia media entre moléculas.
LO QUE HEMOS APRENDIDO |
GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
■ La ley de los gases ideales relaciona la presión p, el
■
■
volumen V , el número de moles n y la temperatura T de un gas ideal, pV = nRT, donde R = 8.314 J/(mol K) es la constante universal de los gases. (Las leyes de Boyle, Charles, Gay-Lussac y Avogadro son casos especiales de la ley de los gases ideales.) La ley de los gases ideales también se puede expresar como pV = NkBT, donde N es el número de moléculas en el gas y kB = 1.381 · 10–23 J/K es la constante de Boltzmann. La ley de Dalton establece que la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones parciales de los gases en la mezcla:
■ El calor molar específico de un gas con presión
■ ■
3 2
5
2
■
ptotal = p1 + p2 + p3 + … + pn.
■ El trabajo hecho por un gas ideal a temperatura ■
constante al cambiar de un volumen inicial V i a un volumen final V f está dado por W = nRT ln(V f /V i). El teorema de equipartición establece que la energía cinética media de traslación de las moléculas de un gas es proporcional a la temperatura: K media = kBT. La rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas
■
f (v ) = 4
3 2
■ ■
de un gas es v rms = 3kBT /m , donde m es la masa de cada molécula. El calor molar específico de un gas con volumen constante, C V , está definido por Q = nC V T, donde Q es el calor, n es el número de moles de gas y T es el cambio de la temperatura del gas.
constante, C p, está definido por Q = nC pT, donde Q es el calor, n es el número de moles de gas y T es el cambio de la temperatura del gas. El calor molar específico de un gas con presión constante se relaciona con el calor molar específ ico de un gas con volumen constante por C p = C V + R. El calor molar específico de un gas con presión constante es C V = R = 12.5 J/(mol K) para un gas monoatómico y C V = R = 20.8 J/(mol K) para un gas diatómico. Para un gas que experimenta un proceso adiabático, Q = 0, y las siguientes relaciones son válidas: pV = constante y TV –1 = constante, donde = C p/C V . Para gases monoatómicos, = ; para gases diatómicos, = . La distribución de rapideces de Maxwell está dada por
■
m
7
3
5
3/ 2 2
− mv2 /2kBT
v e
2 kBT
, y f (v ) dv describe la
probabilidad de que una molécula tenga una rapidez entre v y v + dv. La distribución de energía cinética de Maxwell está dada por g ( K ) =
■
5
1 3/2 K e−K/k T , y g (K ) dK kBT
2
B
describe la probabilidad de que una molécula tenga una energía cinética entre K y K + dK. El camino libre medio , de una molécula en un gas kBT ideal está dada por = , donde r es el 2 2 4 r p radio de la molécula.
(
)
641
Práctica para resolución de problemas
T É R M I N O S C L AV E gas, p. 615 mol, p. 616 ley de Boyle, p. 616 ley de Charles, p. 616 ley de Gay-Lussac, p. 617 ley de Avogadro, p. 617 número de Avogadro, p. 617
ley de los gases ideales, p. 617 constante universal de los gases, p. 617 constante de Boltzmann, p. 619 ley de Dalton, p. 622 presión parcial, p. 622 fracción molar, p. 623
teoría cinética del gas ideal, p. 623 teorema de equipartición, p. 624 rapidez de la raíz media cuadrática, p. 624 gas monoatómico, p. 626 gas diatómico, p. 627
gas poliatómico, p. 627 grado de libertad, p. 628 equipartición de energía, p. 628 distribución de rapidez de Maxwell, p. 634 distribución de energía cinética de Maxwell, p. 636 camino libre medio, p. 638
NUEVOS SÍMBOLOS Y ECUACIONES N A = (6.02214179 ± 0.00000030) · 1023, número de Avogadro pV = nRT, ley de los gases ideales, para el número de moles pV = NkBT, ley de los gases ideales, para el número de moléculas
3
K media = kBT, energía cinética media de traslación de una molécula de gas 2
, el camino libre medio de una molécula en un gas
R = (8.314472 ± 0.000015) J/(mol K), la constante universal de los C V , el calor molar específico de un gas con volumen constante gases C p, el calor molar específico de un gas con presión constante –23 kB = (1.38106504 ± 0.0000024) · 10 J/K, la constante de = C p/C V , proporción de calores molares específicos Boltzmann
RESPUESTAS A OPORTUNIDADES DE AUTOEXAMEN 19.1 Compare C p con (C V + R)
∞
C V [J/(mol K)]
C p [J/(mol K)]
(C V + R) [J/(mol K)]
Helio (He)
12.5
20.8
20.8
Neón (Ne)
12.5
20.8
20.8
Argón (Ar)
12.5
20.8
20.8
Criptón (Kr)
12.5
20.8
20.8
Hidrógeno (H2)
21.6
28.8
29.9
Nitrógeno (N2)
20.7
29.1
29.0
Oxígeno (O2)
20.8
29.4
29.1
Dióxido de carbono (CO2)
28.5
36.9
36.8
Metano (CH4)
27.5
35.9
35.8
Gas
19.2 Utilice la integral definida
∫
2
2 – x /a
x e
dx =
1 4
3/2
a
.
0
P R Á C T I C A PA R A R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Lineamientos para resolución de problemas
3. Ponga mucha atención a las unidades, las cuales se puedan
1. A menudo es útil hacer una lista de todas las cantidades
dar en diferentes sistemas. Para temperaturas, la conversión de unidades no sólo involucra constantes multiplicativas; las diferentes escalas de temperatura también son contrarrestadas por constantes aditivas. Para estar seguro, las temperaturas siempre se deberán convertir en Kelvin. También asegúrese de que el valor de R o kB que use sea consistente con las unidades con las que esté trabajando. Además, recuerde que las masas molares se dan usualmente en gramos; posiblemente tendrá que convertir las masas a kilogramos.
conocidas y desconocidas cuando aplica la ley de los gases ideales, a fin de clarificar qué es lo que tiene y qué es lo que busca. Este paso incluye la identificación de un estado i nicial, un estado final y una list a de cantidades para cada estado. 2. Si usted se está ocupando con moles de un gas, necesita
la forma de la ley de los gases ideales que involucra R. Si está abordando números de moléculas, necesita la forma que in volucra kB.
642
Capítulo 19
Gases ideales
PROBLEMA RESUELTO 19.2
Densidad de aire con STP
PROBLEMA ¿Cuál es la densidad de aire con temperatura y presión estándares (STP)?
SOLUCIÓN PIENSE Sabemos que un mol de algún gas con temperatura y presión estándares ocupa un volumen de 22.4 L. Conocemos las fracciones relativas de los gases en los que consiste la atmósfera. Podemos combinar la ley de Dalton, la ley de Avogadro y las fracciónes de gases en el aire para obtener la masa de aire contenida en 22.4 L. La densidad es la masa dividida entre el volumen.
ESBOCE Ésta es una de las raras ocasiones donde un trazo no es útil.
INVESTIGUE Contemplamos solamente los cuatro gases de la tabla 19.1 que representan una fracción significativa de la atmósfera: nitrógeno, oxígeno, argón y dióxido de carbono. Sabemos que 1 mol de algún gas tiene una masa de M (en gramos) en un volumen de 22.4 L con STP. Según la ecuación 19.12 sabemos que la masa de cada gas en 22.4 L será la fracción por volumen multiplicada por la masa molecular, así que tenemos maire = r N2 MN2 + rO2 MO2 + rAr MAr + r CO2 MCO 2
y ρ aire =
maire
=
V aire
maire
.
22.4 L
SIMPLIFIQUE La densidad de aire es entonces ρ aire =
(0.7808 ⋅ 28 g)+( 0.2095⋅ 32 g) + ( 0. 0093⋅ 40 g) + (0. 00038⋅ 44 g) 22.4 L
.
CALCULE Si calculamos el resultado numérico, obtenemos ρ aire =
0.0218624 kg + 0.006704 kg + 0.000372 kg + 0.00001672 kg 22.4 ⋅10–3 m3
=1.29264 kg/m3 .
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con tres cifras significativas: ρ aire
= 1.29 kg/m3 .
V U E L VA A R E V I S A R Podemos volver a verificar nuestro resultado mediante el cálculo de la densidad del gas nitrógeno sólo con STP, ya que el aire es 78.08% nitrógeno. La densidad de nitrógeno con STP es N 2
=
28.0 g = 1.25 g/L =1.25 kg/m3 . 22.4 L
Este resultado es cercano y levemente más bajo que nuestro resultado para la densidad del aire, así que es razonable.
Práctica para resolución de problemas
PROBLEMA RESUELTO 19.3
643
Presión de una nebulosa planetaria
PROBLEMA Una nebulosa planetaria es una nube que consiste principalmente del gas hidrógeno con una densidad, , de 1 000.0 moléculas por centímetro cúbico (cm3) y una temperatura, T , de 10 000 K. Un ejemplo de una nebulosa planetaria, la Nebulosa del Anillo, se muestra en la figura 19.24. ¿Cuál es la presión de gas en la nebulosa?
SOLUCIÓN PIENSE Debido a la muy baja densidad del gas en una nebulosa planetaria, el camino libre medio de las moléculas de gas (vea la sección 19.6) es extremadamente largo. Por lo tanto, es una muy buena aproximación tratar la nebulosa como un gas ideal y aplicar la ley de los gases ideales. Conocemos la densidad, que es el número de moléculas de gas por unidad de volumen. Podemos reemplazar en la ley de los gases ideales el producto entre la densidad y el volumen de la nebulosa. Entonces el volumen se cancela y así podemos resolver la presión del gas.
FIGURA 19.24
La Nebulosa del Anillo como se ve mediante el Telescopio Espacial Hubble.
ESBOCE Un trazo aproximado de una nebulosa planetaria se muestra en la figura 19.25.
INVESTIGUE La ley de los gases ideales está dada por pV = NkBT ,
(i)
donde p es la presión, V es el volumen, N es el número de moléculas de gas, kB es la constante de Boltzmann, y T es la temperatura. El número de moléculas N es N
= V ,
(ii)
donde es el número de moléculas por unidad de volumen en la nebulosa.
SIMPLIFIQUE Si sustituimos para N según la ecuación (ii) en (i ), obtenemos
FIGURA 19.25
Una nebulosa planetaria idealizada.
pV = NkBT = VkBT , que podemos simplificar para obtener una expresión para la presión del gas en la nebulosa:
p = kBT .
CALCULE Al sustituir los valores numéricos, obtenemos
1 000 moléculas 1cm3 1.381 ⋅10–23 J/K (10 000 K) p = ρ kBT = 3 –6 3 1 cm 10 m
(
–10
= 1.381⋅10
)
Pa.
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con dos cifras si gnificativas: –10
p = 1.4 ⋅10
Pa.
V U E L VA A R E V I S A R Podemos volver a verificar nuestro resultado si lo comparamos con la presión de un buen vacío en un laboratorio en la Tierra, que es plab = 10–7 Pa. Esta presión es aproximadamente 1 000 veces más alta que la presión dentro de una nebulosa planetaria.
644
Capítulo 19
Gases ideales
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE Un sistema puede ir de un estado i al estado f como se muestra en la figura. ¿Qué relación es verídica?
d ) Oxígeno con 2 atm y 30 °C. e) Nitrógeno con 2 atm y 15 °C.
19.1
p a) Q A > QB b) Q A = QB c) Q A < QB d ) Es imposible decidir a partir de la información dada.
A f
i B
V
Un neumático en un vehículo es inflado hasta una presión manométrica de 32 lb/in 2 a una temperatura de 27 °C. Después de que el vehículo se haya manejado durante 30 mi, la presión ha aumentado a 34 lb/in 2. ¿Cuál es la temperatura en el interior del neumático en este momento? a) 40 °C b) 23 °C c) 32 °C d ) 54 °C 19.2
El calor molar específico con la presión constante, C p, es mayor que el calor molar específ ico con un volumen constante, C V , para c) los dos gases anteriores. a) un gas ideal monoatómico. d ) ninguna de las respuestas anteriores. b) un gas ideal diatómico. 19.3
Un gas ideal se puede expandir desde una presión inicial, pi, y un volumen, V i, hasta un volumen final, V f , de manera isotérmica, adiabática o isobárica. ¿Para qué tipo de proceso el calor transferido al gas es más grande? (Suponga que pi, V i y V f son los mismos para cada proceso.) 19.4
a) Proceso isotérmico b) Proceso adiabático c) Proceso isobárico
d ) Todos los procesos tienen el mismo flujo de calor.
¿Cuál de los siguientes gases tiene la mayor rapidez de la raíz media cuadrática? 19.5
a) Nitrógeno con 1 atm y 30 °C. b) Argón con 1 atm y 30 °C. c) Argón con 2 atm y 30 °C.
Dos recipientes idénticos contienen masas iguales de gas, con oxígeno en uno y nitrógeno en el otro. Los gases se mantienen a la misma temperatura. ¿Cómo se compara la presión del oxígeno con la del nitrógeno? a) pO > pN d ) No se puede determinar con la información dada. b) pO = pN c) pO < pN 19.6
Un mol de un gas ideal a una temperatura de 0 °C está limitado a un volumen de 1.0 L. La presión de este gas es 19.7
a) 1.0 atm. b) 22.4 atm.
c) 1/22.4 atm. d ) 11.2 atm.
Cien mililitros de nitrógeno líquido con una masa de 80.7 g están sellados dentro de un recipiente de 2 L. Después de que el nitrógeno líquido se calienta y se convierte en gas, ¿cuál es la presión en el interior del recipiente? 19.8
a) 0.05 atm b) 0.08 atm
c) 0.09 atm d ) 9.1 atm
e) 18 atm
Considere una caja llena de un gas ideal. La caja experimenta una repentina expansión libre de V 1 a V 2. ¿Cuál de las siguientes respuestas describe este proceso en forma correcta? 19.9
a) El trabajo realizado por el gas durante la expansión es igual a nRT ln (V 2/V 1). b) Se agrega calor a la caja. c) La temperatura final es igual a la temperatura inicial multiplicado por (V 2/V 1). d ) La energía interna del gas permanece constante. Compare la energía cinética media a temperatura ambiente de una molécula de nitrógeno con la de un átomo de nitrógeno. ¿Cuál tiene la mayor energía cinética? a) El átomo de nitrógeno. c) Tienen la misma energía. b) La molécula de nitrógeno. d ) Depende de la presión. 19.10
PREGUNTAS El aire caliente es menos denso que el aire frío y por ende experimenta una fuerza de flotación neta y sube. Puesto que el aire caliente sube, entre más alta sea la elevación, más caliente deberá ser el aire. Por lo tanto, la cima del Monte Everest debería ser muy caliente. Explique por qué el Monte Everest es más frío que Death Valley. 19.11
La distribución de rapidez de Maxwell supone que el gas esté en equilibrio. Por lo tanto, si un gas cuyas moléculas se mueven todas con la misma rapidez tuviese el tiempo suficiente, finalmente llegarían a cumplir con esta distribución. Sin embargo, las derivaciones de la teoría cinética en el texto supusieron que cuando una molécula de gas impacta con la pared de un recipiente, rebotará con la misma energía que tuvo antes de la colisión, y que las moléculas de gas no ejercen fuerzas una sobre la otra. Si las moléculas de gas ni intercam19.12
bian energía con las paredes del recipiente ni entre sí, ¿cómo podrán encontrar un equilibrio? ¿No es cierto que si todas tu vieron inicialmente la misma rapidez, algunas hubiesen llegado a desacelerar y otras a acelerar, conforme a la distribución de rapidez de Maxwell? Cuando usted sopla fuertemente en su mano, se siente frío, pero cuando sopla suavemente, se siente caliente. ¿Por qué? 19.13
Explique por qué la velocidad media de moléculas de aire en un auditorio cerrado es cero, pero su rapidez de l a raíz media cuadrática o rapidez media no es cero. 19.14
En un motor diesel, la mezcla de combustible y aire es comprimida rápidamente. Como resultado, la temperatura sube hasta la temperatura de combustión espontánea del combustible, causando que el combustible se encienda. ¿Cómo el 19.15
Problemas
aumento de temperatura es posible, dado el hecho de que la compresión ocurre tan rápidamente que no hay tiempo suficiente para que una cantidad significativa de calor entre o salga de la mezcla de combustible y aire? Un cilindro con un pistón de deslizamiento contiene un gas ideal. El cilindro (con el gas en el interior) es calentado mediante la transferencia de la misma cantidad de calor al sistema en dos diferentes maneras: 19.16
1) El pistón es bloqueado para evitar su movimiento. 2) Se permite que el pistón se deslice sin fricción hasta el final del cilindro. ¿Cómo se compara la temperatura final del gas bajo la condición 1 con la temperatura final del gas bajo la condición 2? ¿Es posible que la temperatura esté igual? Demuestre que el módulo de compresibilidad adiabático, definido como B = –V (dP /dV ), para un gas ideal es igual a P. 19.17
Un gas ideal monoatómico se expande en forma isotérmica de { p1, V 1, T 1} a { p2, V 2, T 1}. Luego experimenta un proceso isocórico que lo lleva de { p2, V 2, T 1} a { p1, V 2, T 2}. Finalmente el gas experimenta una compresión isobárica que lo lleva de regreso a { p1, V 1, T 1}. 19.18
a) Utilice la primera ley de la termodinámica para encontrar Q para cada uno de estos procesos. b) Escriba una expresión para Q total en términos de p1, p2, V 1 y V 2. Dos gases monoatómicos reaccionarán para formar un gas diatómico: A + B AB. Suponga que usted realiza esta reacción con 1 mol de c/u A y B en una cámara de aislamiento térmico, de tal modo que no hay intercambio de calor con el entorno. ¿Aumentará o disminuirá la temperatura del sistema? 19.19
→
Una relación que da la presión, p, de una sustancia como función de su densidad, , y su temperatura, T , se lla19.20
645
ma una ecuación de estado. Para un gas con la masa molar M , escriba la ley de gases ideales como una ecuación de estado. La compresión y rarefacción asociadas con una onda sonora propagándose en un gas son tanto más rápidas que el flujo de calor en el gas que se puedan tratar como procesos adiabáticos. a) Busque la rapidez del sonido, v s, en un gas ideal de masa molar M . b) De acuerdo con el refinamiento de Einstein de la mecánica newtoniana, v s no puede exceder la rapidez de la luz en un vacío c. Este hecho implica una temperatura máxima para un gas ideal. Busque esta temperatura. c) Evalúe la temperatura máxima del inciso b) para el gas monoatómico de hidrógeno (H). d ) ¿Qué le pasa al hidrógeno a esta temperatura máxima? 19.21
La teoría cinética de un gas ideal toma en cuenta no sólo el movimiento de traslación de átomos o moléculas, sino también la vibración y la rotación para gases diatómicos y poliatómicos. ¿Diferirá el aumento de temperatura a partir de una transferencia dada de calor que se suministre a un gas monoatómico del aumento de temperatura debido a la misma cantidad de calor que se suministre a un gas diatómico? Explique. 19.22
En la termosfera, la capa de la atmósfera terrestre que se extiende desde una altitud de 100 km hasta 700 km, l a temperatura puede alcanzar aproximadamente 1 500 °C. ¿Cómo se sentiría el aire en esta capa en la piel desnuda? 19.23
Un vaso de agua se deja a temperatura ambiente en la mesa de la cocina durante la noche. En la mañana, la cantidad de agua en el vaso es menor debido a la evaporación pero el agua en el vaso está debajo del punto de ebullición, así que ¿cómo es posible que una parte del agua líquida se haya con vertido en gas? 19.24
PROBLEMAS Una y dos indican un nivel mayor de dificultad del problema. •
••
Sección 19.1
Un neumático tiene una presión manométrica de 300 kPa a 15.0 °C. ¿Cuál es la presión manométrica a 45.0 °C? Suponga que el cambio de volumen del neumático es insignificante. 19.25
Un tanque de helio comprimido para inflar globos tiene la indicación de contener helio de una presión de 2 400 psi, el cual ocupará un volumen de 244 ft 3 cuando se permite su expansión a la presión atmosférica. Suponiendo que no sucede ningún cambio de temperatura durante la expansión, ¿cuál es el volumen del tanque en pies cúbicos? 19.26
Antes de emprender un viaje en automóvil desde Michigan a Florida para escapar del frío del invierno, usted infla los neumáticos de su auto con una presión de 33 psi, sugerida por el fabricante, mientras que la temperatura exterior es de 25 °F, y luego se asegura de que las tapas de las válvulas estén herméticamente cerradas. Usted llega a Florida dos días después, y la temperatura exterior es agradable a 72 °F. 19.27
•
a) ¿Cuál es la nueva presión de sus neumáticos en unidades de SI? b) Si usted deja escapar aire de los neumáticos para llevar la presión nuevamente a los 33 psi recomendados, ¿qué porcentaje de la masa de aire original en los neumáticos va a liberar? 19.28 Un volumen de 1.00 L de un gas experimenta un proceso isocórico en el cual duplica su presión, seguido por un proceso isotérmico hasta que se logre la presión original. Determine el volumen final del gas. •
19.29 Suponga que tiene una olla llena de vapor a 100.0 °C y con una presión de 1.00 atm. La olla tiene un diámetro de 15.0 cm y una altura de 10.0 cm. La masa de la tapa es de 0.500 kg. ¿Hasta qué temperatura tendrá que calentar el vapor para levantar la tapa de la olla? •
Sección 19.2
Una cantidad de agua líquida entra en equilibrio con el aire en un recipiente cerrado, sin evaporar por completo, a una temperatura de 25.0 °C. ¿Cuántos gramos de vapor de 19.30
•
646
Capítulo 19
Gases ideales
agua contiene un litro del aire en esta situación? La presión de vapor de agua a 25.0 °C es de 3.1690 kPa. Utilice la ecuación T = constante y la información del capítulo 16 para estimar la rapidez del sonido en el aire a 40.0 °C, dado que la rapidez a 0.00 °C es de 331 m/s. 19.31
•
Suponga que 2.00 moles de un gas ideal están encerrados en un recipiente que tiene un volumen de 1 · 100–4 m 3. El recipiente luego se coloca en un horno y se eleva a una temperatura de 400. K. ¿Cuál es la presión final del gas? 19.32
1.00 mol de un gas ideal se mantiene con un volumen constante de 2.00 L. Encuentre el cambio de presión si la temperatura aumenta por 100. °C. 19.33
¿Cuánto calor se agrega al sistema cuando 2 000 J de trabajo es realizado por un gas ideal en un proceso isotérmico? Dé una razón para su respuesta. 19.34
El nitrógeno líquido, que se usa en muchos laboratorios de investigación física, puede presentar un riesgo de seguridad si una cantidad grande evapora en un espacio cerrado. El nitrógeno evaporado reduce la concentración de oxígeno, creando el riesgo de asfixia. Suponga que 1.00 L de nitrógeno líquido ( = 808 kg/m3) evapora y entra en equilibrio con el aire a 21.0 °C y 101 kPa. ¿Qué volumen ocupará? 19.35
•
Se derrama bromo líquido (Br2) en un accidente de laboratorio y se evapora. Suponiendo que el vapor se comporte como un gas ideal con una temperatura de 20.0 °C y una presión de 101.0 kPa, encuentre su densidad. 19.36
•
19.37 Dos recipientes contienen el mismo gas con diferentes temperaturas y presiones, como lo indica la figura. El recipiente pequeño tiene un volumen de 1.00 litro y el recipiente grande tiene un volumen de 2.00 litros. Entonces se conectan los dos recipientes entre sí por medio de un tubo delgado, y s e permite que se iguale la presión y temperatura en ambos recipientes. Si la temperatura final es de 300. K, ¿cuál es la presión final? Suponga que el tubo de conexión tiene un volumen y masa despreciables. •
19.38 Una muestra de gas con p = 1 000. Pa, V = 1.00 L y T = 300. K es encerrada en un cili ndro. •
a) Encuentre la nueva presión si el volumen se reduce a la mitad del volumen original a la misma temperatura. b) Si la temperatura se eleva a 400. K en el proceso del inciso a), ¿cuál es la nueva presión? c) Si el gas es entonces calentado a 600 K desde el valor inicial y la presión del gas se convierte a 3 000 Pa, ¿cuál es el nuevo volumen? Un cilindro de un área de sección transversal de 12.00 cm2 es equipado con un pistón, que está conectado a un resorte con una constante de resorte de 1 000. N/m, como se muestra en la figura. El cilindro se llena 19.39
•
0.00500 moles de gas
L0
con 0.00500 moles de gas. A temperatura ambiente (23.0 °C), el resorte está ni comprimido ni estirado. ¿Qué tanto se comprime el resorte si la temperatura del gas es elevada a 150. °C? 19.40 Aire con 1.00 atm se encuentra en el interior de un cilindro de 20.0 cm de radio y 20.0 cm de largo que reposa en una mesa. La parte superior del cilindro está sellada mediante un pistón movible. Se deja caer un bloque de 20.0 kg sobre el pistón. ¿Desde qué altura arriba del pistón se tiene que soltar el bloque para comprimir el pistón por 1.00 mm, 2.00 mm y 1.00 cm? ••
Sección 19.3 El espacio interestelar lejos de alguna estrella usualmente está lleno de hidrógeno atómico (H) con una densidad de 1 átomo/cm 3 y una temperatura muy baja de 2.73 K. a) Determine la presión en el espacio interestelar. b) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de los átomos? c) ¿Cuál sería la longitud de arista de un cubo que contiene una cantidad de átomos con una energía interna de 1.00 J ? 19.41
a) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática para un grupo de átomos de 4He (helio-4) a 300. K? 19.42
b) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática para un grupo de átomos de 3He (helio-3) a 300. K? Dos isótopos de uranio, 235U y 238U, están separados por un proceso de difusión de gas que involucra su combinación con flúor para hacer el compuesto UF 6. Determine la proporción de la rapidez de la raíz media cuadrática de moléculas de UF6 para los dos isótopos. Las masas de 235UF6 y 238 UF6 son de 249 uma y 252 uma. 19.43
Los electrones, que causan la conductividad de un metal, se comportan aproximadamente como moléculas de un gas ideal. La masa de un electrón es me 9.109 · 10–31 kg. Si la temperatura del metal es de 300.0 K, ¿cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de los electrones? 19.44
En un periodo de 6.00 s, 9.00 · 10 23 moléculas de nitrógeno impactan en una sección de una pared con un área de 2.00 cm2. Si las moléculas se mueven con una rapidez de 400.0 m/s y se impactan contra la pared de frente en colisiones elásticas, ¿cuál es la presión que se ejerce sobre la pared? (La masa de una molécula de N 2 es de 4.68 · 10–26 kg.) 19.45
•
Suponiendo que la presión permanezca constante, ¿a qué temperatura la rapidez de la raíz media cuadrática de un átomo de helio es igual a la rapidez de la raíz media cuadrática de una molécula de aire con STP? 19.46
•
Sección 19.4 Dos cilindros de cobre, inmersos en un tanque de agua a 50.0 °C contienen helio y nitrógeno, respectivamente. El tanque lleno de helio tiene un volumen dos veces más grande que el tanque de nitrógeno. 19.47
a) Calcule la energía cinética media de una molécula de helio y la energía cinética media de una molécula de nitrógeno. b) Determine el calor molar específico con volumen constante (C V ) y con una presión constante (C p) para los dos gases. c) Encuentre para los dos gases.
Problemas
A temperatura ambiente, cilindros idénticos de gas contienen 10 moles de gas nitrógeno y de argón, respectivamente. Determine el cociente de las energías internas almacenadas en los dos sistemas. Suponga el comportamiento de un gas ideal. 19.48
Calcule el cambio de energía interna de 1.00 mol de un gas ideal diatómico que empieza a temperatura ambiente (293 K) cuando su temperatura es incrementada por 2.00 K. 19.49
Tratando al aire como un gas ideal de moléculas diatómicas, calcule cuánto calor se requiere para subir la temperatura del aire en una habitación de 8.00 m por 10.0 m por 3.00 m de 20.0 °C a 22.0 °C con 101 kPa. Ignore el cambio en el número de moles de aire en la habitación. 19.50
19.51 ¿Cuál es la energía aproximada que se requiere para subir la temperatura de 1.00 L de aire por 100. °C mientras el volumen se mantiene constante? •
19.52 Usted está diseñando un experimento que requiere un gas con un coeficiente de dilatación adiabática de = 1.60. Sin embargo, usted recuerda de sus clases de física que ningún gas tiene este tipo de valor de . Y al mismo tiempo también recuerda que la mezcla de gases monoatómicos y diatómicos puede dar un gas con tal valor de . Determine la fracción de moléculas diatómicas que una mezcla debe tener para obtener este valor. •
Sección 19.5
Suponga que 15.0 L de un gas ideal monoatómico con una presión de 1.50 · 105 kPa se expande en forma adiabática (sin transferencia de calor) hasta que se duplique el volumen. 19.53
a) ¿Cuál es la presión del gas con el nuevo volumen? b) Si la temperatura inicial del gas fue de 300. K, ¿cuál es su temperatura final después de la expansión? Un motor diesel trabaja con una relación de compresión alta para comprimir aire hasta que alcance una temperatura suficientemente alta para encender el combustible diesel. Suponga que la relación de compresión (razón de volúmenes) de un motor diesel específico sea de 20 a 1. Si entra aire en un cilindro con 1.00 atm y es comprimido en forma adiabática, el aire comprimido alcanza una presión de 66.0 atm. Suponiendo que el aire entra en el motor a temperatura ambiente (25.0 °C) y que el aire se pudiese tratar como un gas ideal, encuentre la temperatura del aire comprimido. 19.54
El aire en un cilindro de un motor diesel es rápidamente comprimido desde una temperatura inicial de 20.0 °C, una presión inicial de 1.00 atm y un volumen inicial de 600. cm 3 a un volumen final de 45.0 cm3. Suponiendo que el aire fuese un gas diatómico ideal, encuentre la temperatura y presión finales. 19.55
6.00 litros de un gas ideal monoatómico, originalmente a 400. K y presión de 3 atm (llamado estado 1) experimenta los siguientes procesos: 19.56
•
1 2 3
→ → →
2 3 1
expansión isotérmica a V 2 = 4V 1 compresión isobárica compresión adiabática a su estado inicial
Encuentre la presión, volumen y temperatura del gas en los estados 2 y 3. ¿Cuántos moles del gas existen?
647
¿Cuánto trabajo realiza el gas durante cada uno de los tres procesos en el problema 19.56 y cuánto calor fluye al gas en cada proceso? 19.57
•
19.58 Dos cilindros geométricamente idénticos de un diámetro interior de 5.0 cm, uno hecho de cobre y el otro de teflón, son inmersos en un tanque de agua de gran volumen a temperatura ambiente (20 °C), como se muestra en la figura. En cada cilindro se coloca un pistón de teflón sin fricción con un vástago y plato fijo. La masa del ensamble de pistón y plato es de 0.50 kg, y los cilindros están llenos de gas helio así que inicialmente ambos pistones están en equilibrio a 20.0 cm del fondo de sus respectivos cilindros. ••
a) Un bloque de plomo de 5.0 kg se coloca lentamente en cada plato y se baja el pistón lentamente hasta que llegue a su estado de equilibrio final. Calcule la altura final de cada pistón (medida desde el fondo de su respectivo cili ndro). b) Si los dos bloques de plomo se dejan caer repentinamente sobre los platos, ¿cómo se compararán las alturas finales de los dos pistones? El capítulo 13 examinó la variación de presión con altitud en la atmósfera de la Tierra, suponiendo una temperatura constante, un modelo que se conoce como la atmósfera isotérmica. Una mejor aproximación es tratar las variaciones de presión con altitud como adiabática. Suponga que el aire se pueda tratar como un gas i deal diatómico con una masa molar efectiva de M aire = 28.97 g/mol. 19.59
••
a) Encuentre la presión y temperatura de la atmósfera como funciones de altitud. Suponga que la presión a nivel del mar sea p0 = 101.0 kPa y la temperatura a nivel del mar sea de 20.0 °C. b) Determine la altitud en la que la presión y densidad del aire estén a la mitad de sus valores a nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a esta altitud, en este modelo? c) Compare estos resultados con el modelo isotérmico del capítulo 13. Sección 19.6
Considere el gas nitrógeno N 2 a 20.0 °C. ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de nitrógeno? ¿Cuál es la rapidez más probable? ¿Qué porcentaje de moléculas de nitrógeno tienen una rapidez dentro de 1.00 m/s de la rapidez más probable? (Pista: Suponga que la probabilidad de que los átomos de neón tengan rapideces entre 200.00 m/s y 202.00 m/s es constante.) 19.60
Como se menciona en el texto, la distribución de rapideces de moléculas en la atmósfera de la Tierra tiene un impacto significativo sobre su composición. 19.61
a) ¿Cuál es la rapidez media de una molécula de nitrógeno en la atmósfera a una temperatura de 18.0 °C y una presión (parcial) de 78.8 kPa? b) ¿Cuál es la rapidez media de una molécula de hidrógeno a la misma temperatura y presión?
648
Capítulo 19
Gases ideales
Un recipiente sellado contiene 1 mol de gas neón con STP. Estime el número de átomos de neón que tienen rapideces en el rango de 200.00 m/s a 202.00 m/s. 19.63 Para una habitación a 21.0 °C y a 1.00 atm, escriba una expresión para la fracción de moléculas de aire que tienen rapideces mayores que la rapidez del sonido, conforme a la distribución de Maxwell. ¿Cuál es la rapidez media de cada molécula? ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática? Suponga que el aire consiste en moléculas uniformes de un gas diatómico con una masa de 15.0 uma. 19.64 Si un transbordador espacial es golpeado por un meteoro y le produce un agujero de 1.0 cm de diámetro en la ventana, ¿cuánto tiempo tarda antes de que la presión en el interior de la cabina se reduce a la mitad de su valor original? Suponga que la cabina del transbordador sea un cubo con bordes que miden 5.00 m con una temperatura constante de 21 °C con 1.0 atm, y que el aire en el interior consiste de mo-léculas diatómicas uniformes con una masa de 15 uma. (Pista: ¿Qué fracción de las moléculas se está moviendo en la dirección correcta para salir a través del agujero, y cuál es su rapidez media? Derive una expresión para la rapidez con la que las moléculas salen por el agujero como función de la presión y, por ende, de dp/dt .) 19.62
•
••
Problemas adicionales 19.65 1.00 mol de gas nitrógeno molecular se expande en volumen rápidamente, así que no se intercambia calor con el entorno durante el proceso. Si el volumen aumenta de 1.00 L a 1.50 L, determine el trabajo hecho sobre el entorno si la temperatura del gas baja de 22.0 °C a 18.0 °C. Suponga el comportamiento de un gas ideal. 19.66 Calcule la rapidez de la raíz media cuadrática de moléculas de aire a temperatura ambiente (22.0 °C) a partir de la teoría cinética de un gas ideal. 19.67 En Party City usted compra un globo lleno de helio con un diámetro de 40.0 cm a 20.0 °C y con 1.00 atm. a) ¿Cuántos átomos de helio se encuentran dentro del globo? b) ¿Cuál es la energía cinética media de los átomos? c) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de los átomos? 19.68 ¿Cuál es la masa total de todas las moléculas de oxígeno en un metro cúbico de aire a temperatura normal (25 °C) y presión normal (1.01 · 105 Pa)? Observe que el aire es aproximadamente 21% (por volumen) de oxígeno (O2 molecular), y el resto es principalmente nitrógeno (N 2 molecular). Los neumáticos de un auto de 3.0 · 10 3 lb están llenos de aire con una presión manométrica (presión adicional a la presión atmosférica) de 32 lb/in 2 mientras que el vehículo se encuentra en el ascensor de un taller de reparación. Luego se baja el auto al piso. a) Suponiendo que el volumen interno de los neumáticos no cambie de manera apreciable como resultado del contacto con el piso, calcule la presión absoluta en los neumáticos en pascales cuando el auto está en el piso. b) ¿Cuál es el área total de contacto entre los neumáticos y el piso? 19.69
Un gas se expande con una presión constante desde 3.00 L a 15.0 °C hasta que el volumen es de 4.00 L. ¿Cuál es la temperatura final del gas? 19.71 Un gas ideal tiene una densidad de 0.0899 g/L a 20.00 °C y 101.325 kPa. Identifique el gas. 19.72 Un tanque de gas que consiste en 30.0% de O2 y 70.0% de Ar tiene un volumen de 1.00 m 3. Se mueve del almacén a 20.0 °C a las afueras en un día soleado. Inicialmente el manómetro marca 1 000. psi. Después de varias horas, el manómetro señala 1 500. psi. ¿Cuál es la temperatura del gas en el tanque en ese momento? 19.70
Suponga que 5.0 moles de un gas ideal monoatómico se expanden a una temperatura constante de 22 °C desde un volumen inicial de 2.0 m3 a 8.0 m3. a) ¿Cuánto trabajo hizo el gas? b) ¿Cuál es la presión final del gas? 19.74 Suponga que 0.0400 moles de un gas ideal monoatómico tiene una presión de 1.00 atm a 273 K y luego es enfriado con presión constante hasta que su volumen es reducido a la mitad. ¿Cuál es la cantidad de trabajo hecho por el gas? 19.73
19.75 Una botella de 2.00 L contiene 1.00 mol de bicarbonato sódico y 1.00 mol de ácido acético. Éstos se combinan para producir 1.00 mol de gas de dióxido de carbono, junto con agua y acetato de sodio. Si se sella la botella herméticamente antes de que ocurra la reacción, ¿cuál es la presión dentro de la botella cuando la reacción está completa? •
Una cámara cilíndrica con un radio de 3.5 cm contiene 0.12 moles de un gas ideal. Está equipada con un pistón de 450 g que reposa en la parte superior, encerrando un espacio de una altura de 7.5 cm. Cuando el cilindro se enfría a 15 °C ¿a qué distancia debajo de la posición inicial terminará el pistón? 19.76
•
Encuentre la energía cinética más probable para una molécula de un gas a la temperatura T = 300 K. ¿De qué manera depende este valor de la identidad del gas? 19.77
•
Un auditorio cerrado con un volumen de 2.50 · 104 m3 está lleno con 2 000 personas al principio de un evento. Al principio el aire en el espacio está a una temperatura de 293 K y una presión de 1.013 · 105 Pa. Si no hubiera ventilación, ¿qué tanto subirá la temperatura del aire durante el evento de 2.00 horas si cada persona metabolizara a una rapidez de 70.0 W? 19.78
•
19.79 A la temperatura de 295 K, la presión de vapor de pentano (C5H12) es de 60.7 kPa. Suponga que 1.000 g de pentano gaseoso está contenido en un cilindro con paredes diatérmicas (de conducción térmica) y un pistón para variar el volumen. El volumen inicial es de 1.000 L, y el pistón se mueve lentamente, manteniendo la temperatura a 295 K. ¿A qué volumen aparecerá la primera gota de pentano líquido? •
19.80 Helio llena un cilindro bien aislado equipado con un pistón a 22.0 °C y con 1.00 atm. El pistón se mueve muy lentamente (expansión adiabática), así que el volumen aumenta hasta cuatro veces su volumen original. a) ¿Cuál es la presión final? b) ¿Cuál es la temperatura final del gas? •
La segunda ley de la termodinámica
20
LO QUE APRENDEREMOS
20.1 Procesos reversibles e irreversibles Tiempo recurrente de Poincaré
Ejemplo 20.1 Mazo de naipes
20.2 Motores y refrigeradores
650 650 651 651 652
Ejemplo 20.2 Calentar una casa con una bomba de calor
20.3 Motores ideales El ciclo de Carnot
653 654 654
Ejemplo 20.3 Trabajo realizado por un motor de Carnot
657
Ejemplo 20.4 Eficiencia máxima de una planta de energía eléctrica
20.4 Motores reales y eficiencia Ciclo de Otto
657 658 658
Problema resuelto 20.1 Eficiencia de un motor de automóvil
Ciclo de Diesel Automóviles híbridos Eficiencia y la crisis de energía
a)
20.5 La segunda ley de la termodinámica 20.6 Entropía
b)
660 662 662 663 664 666
Ejemplo 20.5 Cambio de la entropía para el congelamiento del agua
668
Ejemplo 20.6 Cambio de la entropía para el calentamiento del agua
669
20.7 Interpretación microscópica de la entropía
669
Ejemplo 20.7 El incremento de la entropía Muerte de la entropía
671 672
LO QUE HEMOS APRENDIDO/ GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
672
durante la libre expansión de un gas
FIGURA 20.1
Práctica para resolución de problemas a)
Una locomotora de vapor. b) El Thrust SSC.
674
Problema resuelto 20.2 Costo de operar una planta de energía eléctrica
674
Problema resuelto 20.3 Congelar agua en un refrigerador
Preguntas de opción múltiple Preguntas Problemas
676 677 678 679
650
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
LO QUE APRENDE REMOS ■ Los procesos termodinámicos reversibles son procesos
■
■ ■
idealizados en los cuales un sistema se puede mover de un estado termodinámico a otro y de regreso, mientras permanece cerca del equilibrio termodinámico. Muchos de los procesos son irreversibles; por ejemplo, las piezas rotas de una taza de café tiradas en el suelo no se pueden volver a armar espontáneamente hasta formar la taza de nuevo. Prácticamente todos los procesos termodinámicos del mundo real son irreversibles. La energía mecánica se puede transformar en energía térmica, y la energía térmica se puede transformar en energía mecánica. El motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en energía mecánica. Este motor
■ ■ ■ ■ ■
opera en un ciclo termodinámico, regresando periódicamente a su estado original. Ningún motor térmico puede ser 100% eficiente. La segunda ley de la termodinámica impone limitaciones fundamentales en la eficiencia del motor térmico. Los refrigeradores y acondicionadores de aire son motores térmicos que operan al revés. La entropía de un sistema es una medida de qué tan lejos del equilibrio está dicho sistema. La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía de un sistema cerrado jamás puede disminuir. La entropía de un sistema puede relacionarse a los estados microscópicos de los elementos de un sistema.
Los primeros estudios de la termodinámica estuvieron motivados por el deseo de los científicos e ingenieros de descubrir los principios que gobiernan a los motores y las máquinas, para que ellos pudieran diseñarlos en forma más eficiente y poderosa. El motor de vapor podía ser usado para impulsar las primeras locomotoras y barcos; sin embargo, las calderas de vapor sobrecalentadas podían explotar causando daños y fallecimientos. Hoy en día, las locomotoras y barcos de vapor se usan principalmente en rutas panorámicas para turistas. Los principios que afectan la eficiencia de l os motores térmicos se aplican a todos los motores, desde locomotoras de vapor [figura 20.1a)] hasta los motores de propulsión a chorro. El Thrust SSC (automóvil supersónico) mostrado en la figura 20.1b), usaba dos poderosos motores de propulsión a chorro para establecer un récord de rapidez terrestre de 763 mph en octubre de 1997. Sin embargo, a pesar de toda su rapidez y potencia, aún produce más gasto calórico que energía aprovechable, lo cual también es cierto para la mayoría de los motores. En este capítulo examinamos en la teoría y en la práctica los motores térmicos. Su operación está gobernada por la segunda ley de la termodinámica, uno de los enunciados científicos de mayor alcance y poder. Existen diversos modos de expresar esta ley, incluyendo uno que implica un concepto llamado entropía. Las ideas que se abordan en este capítulo tienen aplicaciones en prácticamente todas las áreas de la ciencia, incluyendo el procesamiento de la información, la biología y la astronomía.
20.1 Procesos reversibles e irreversibles
a)
b)
40 °C
10 °C
0 °C Hielo
10 °C Agua
0 °C
0 °C
0 °C
0 °C Hielo
0 °C Agua
0 °C Hielo
FIGURA 20.2 Dos procesos termodinámicos: a) Un proceso irreversible en el cual un disco de hielo a una temperatura de 0 °C es colocado dentro de una lata de metal que se encuentra a una temperatura de 40 °C. b) Un proceso reversible en el cual un disco de hielo a una temperatura de 0 °C es colocado dentro de una lata de metal a una temperatura igual de 0 °C.
Como advertimos en el capítulo 18, si usted vierte agua caliente en un vaso y lo coloca sobre una mesa, el agua se enfriará lentamente hasta alcanzar la temperatura ambiente. El aire en la habitación también se entibiará, aunque de manera imperceptible. Usted se sorprendería si el agua se calentara y el aire de la habitación se enfriara ligeramente, mientras conserva la energía. De hecho, la primera ley de la termodinámica se aplica para ambos escenarios. Sin embargo, siempre es el caso de que el agua se enfría hasta tener la temperatura ambiente. De esta manera, otros principios físicos son requeridos para explicar por qué la temperatura cambia de un modo y no de otro. Prácticamente todos los procesos termodinámicos de la v ida real son irreversibles. Por ejemplo, si un disco de hielo a una temperatura de 0 °C es colocado en una lata de metal a una temperatura de 40 °C, el calor fluirá irreversiblemente de la lata hacia el hielo, como se muestra en la figura 20.2a). El hielo se derretirá, el agua entonces se calentará y la lata se enfriará hasta que el agua y la lata estén a la misma temperatura (10 °C en este caso). No es posible hacer pequeños cambios en ninguna variable termodinámica y regresar el sistema al estado correspondiente a la lata caliente y el agua hecha hielo. Sin embargo, podemos imaginarnos una clase de idealización de procesos reversibles. Con un proceso reversible, un sistema está siempre cerca de estar en un equilibrio termodinámico. En ese caso, hacer un pequeño cambio en el estado del sistema puede revertir cualquier cambio en las variables termodinámicas del sistema. Por ejemplo, en la figura 20.2 b), un disco de hielo
20.1 Procesos reversibles e irreversibles
a una temperatura de 0 °C es colocado en una lata de metal que también está a una temperatura de 0 °C. Al subir ligeramente la temperatura de la lata el hielo se derretirá formando agua. Así al bajar la temperatura de la lata de metal hará que el agua forme hielo otra vez, regresando de esta manera el sistema a su estado original. (Técnicamente hablando, la estructura de cristal del hielo sería distinta y de ese modo el estado final sería diferente del estado inicial, pero no de un modo que nos preocupe aquí.) Podemos pensar en procesos reversibles como procesos de equilibrio en los cuales el sistema siempre conserva su equilibrio térmico o se mantiene cerca de él. Si un sistema estuviera en verdad en equilibrio térmico, no habría calor que fluyera y el sistema no trabajaría. Es por ello que el proceso reversible es una idealización. Sin embargo, para un proceso casi reversible, pequeños ajustes en la presión y temperatura pueden mantener al sistema cerca del equilibrio térmico. Por otra parte, si un proceso involucra el flujo de calor con una diferencia limitada de temperatura, la expansión libre de un gas, o la conversión de trabajo mecánico a energía térmica, es un proceso irreversible. No es posible hacer pequeños cambios en la presión o temperatura del sistema y causar que el proceso continúe en la dirección opuesta. Adicionalmente, mientras que un proceso irreversible está sucediendo, el sistema no se encuentra en equilibrio térmico. La irreversibilidad de un proceso está relacionada con la aleatoriedad o desorden del sistema. Por ejemplo, suponga que ordena un mazo de naipes por rango y categoría y entonces toma los primeros cinco naipes, como se muestra en la figura 20.3 a). Usted obsera) vará un sistema de naipes bien ordenado, por ejemplo, todas las espadas, empezando por el as y bajando hasta el diez. Después pone usted esos cinco naipes de regreso al mazo, lo lanza al aire y deja que los naipes caigan al piso. Levanta los naipes de uno en uno sin ver su rango o categoría, y entonces toma los primeros cinco naipes de la parte superior de su mazo. Es sumamente improbable que esos cinco naipes estén ordenados por rango y categoría. Es b) mucho más probable que vea como resultado el que se muestra en la figura 20.3 b); es decir, FIGURA 20.3 a) Los primeros cinco los naipes en un orden aleatorio. El proceso de lanzar y recoger los naipes es irreversible. naipes de un mazo ordenado por rango y Otro ejemplo de un proceso irreversible es la libre expansión de un gas, que ya vimos categoría. b) Los primeros cinco naipes en el capítulo 18 y que discutiremos con mayor detalle en la sección 20.7. de un mazo que fue lanzado en el aire y recogido de manera aleatoria.
Tiempo recurrente de Poincaré
La experiencia común de un déjà vu (del francés y significa “ya visto o algo ya conocido”) es el sentimiento de haber vivido ya una situación particular antes. Pero, ¿los eventos realmente se repiten? Si los procesos que conducen de un suceso a otro son realmente irreversibles, entonces un suceso no se puede repetir con exactitud. El físico y matemático francés Henry Poincaré hizo una importante contribución a esta discusión en 1890, al afirmar su famoso teorema de recurrencia. En él postula que ciertos sistemas dinámicos cerrados regresarán a estar arbitrariamente cercanos a su estado inicial transcurrido el suficiente tiempo. Dicho tiempo es conocido como el tiempo recurrente de Poincaré , o simplemente como el tiempo de Poincaré de un sistema. Dicho tiempo puede ser calculado relativamente directo para varios sistemas que únicamente tienen un número finito de diferentes estados, como ilustra el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 20.1
Mazo de naipes
Supongamos que usted vuelve a lanzar y recoger el mazo de naipes, como en la figura 20.3, una y otra vez. A la larga, existe la posibilidad de que el orden aleatorio en el que usted recogió los naipes arrojará la secuencia de ases hasta el diez de espadas en los primeros cinco naipes del mazo.
PROBLEMA Si en promedio tarda un minuto lanzar los naipes al aire y luego apilarlos formando el mazo otra vez, ¿cuánto tiempo espera usted que le tome, en promedio, antes de que encuentre la secuencia de ases hasta el diez de espadas en los primeros cinco naipes del mazo?
SOLUCIÓN 1
Hay 52 naipes en el mazo. Cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de de ser la primera carta. Así es que la probabilidad de que el as de espadas quede como la primera carta del mazo es de . Si el as es la primera carta, entonces aún hay 51 naipes abajo. La probabilidad 52
1
52
(continúa)
651
652
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica
(continuación ) 1
de que el rey de espadas esté en la primera posición de los 51 naipes que restan es de . De este modo, la probabilidad combinada de que el as y el rey de espadas ocupen los primeros dos lugares en ese orden, es de 1/(52 · 51) = 1/2 652. Del mismo modo, la probabilidad de que la secuencia ordenada desde el as hasta el diez de espadas ocurra es de 1/(52 · 51 · 50 · 49 · 48) = 1/311 875 200. Así es que el número promedio de intentos para obtener la secuencia deseada es de 311 875 200. Como cada uno de estos intentos toma un minuto, el término exitoso de este ejercicio tomaría aproximadamente 593 años. 51
EXPLICACIÓN Podemos afirmar casi inmediatamente el número promedio de intentos que requeriríamos para tener los 52 naipes en una secuencia ordenada del as al dos, para las cuatro categorías. ¡Esto es 52 · 51 · 50 · … · 3 · 2 · 1 = 52! Si cada uno de estos intentos tomara un minuto, requeriríamos un promedio de 1.534 · 1062 años para obtener el orden deseado. Pero, aun después de ese tiempo, no habría ninguna garantía que la secuencia ordenada tendría que aparecer. Sin embargo, como hay 52 posibles secuencias diferentes de los naipes en el mazo, ¡por lo menos una de estas secuencias aparecería por lo menos dos veces!
20.2 Motores y refrigeradores Un motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en trabajo útil. Por ejemplo, un motor de combustión interna o un motor de propulsión a chorro extrae trabajo mecánico de la energía térmica generado al quemar la mezcla de gasolina y aire [figura 20.4 a)]. Para que un motor térmico trabaje repetidamente, debe operar en un ciclo. Por ejemplo, se haría trabajo si usted pone un petardo debajo de una lata de sopa y lo prende, estallándolo. La energía térmica producida por la explosión se convertiría en movimientos mecánicos para la lata de sopa. (Sin embargo, las aplicaciones de este motor de petardo y sopa enlatada s on limitadas.) Un motor que funciona en ciclo pasa por varios estados termodinámicos y al final regresa a su estado original. Podemos pensar en el motor como operando entre dos depósitos térmicos [figura 20.4b)]. Uno de los depósitos térmicos está a temperatura alta, T H, y el otro depósito térmico está a baja temperatura, T L. El motor toma el calor, QH, del depósito de alta temperatura, convierte un poco de dicho calor en trabajo mecánico, W , y agota el calor restante, QL (donde QL > 0), en el depósito de baja temperatura. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica (equivalente a la conservación de energía), QH = W + QL. De esta forma, para lograr que un motor funcione, debe estar provisto de energía en la forma de QH, y entonces regresará trabajo útil, W . La eficiencia, e, de un motor se define como
=
W QH
.
(20.1)
Un refrigerador, como el que se muestra en la figura 20.5 a), es un motor térmico que funciona al revés. En vez de convertir el calor en trabajo, el refrigerador usa el trabajo para mover el calor de un depósito térmico de baja temperatura a un depósito térmico de alta temperatura [figura 20.5b)]. En un refrigerador real, un motor eléctrico dirige el compresor, el cual transfiere energía térmica del interior del refrigerador al aire de la habitación. Un acondicionador de aire también es un refrigerador; transfiere energía térmica desde el aire de la habitación hasta el aire de la intemperie.
FIGURA 20.4
Depósito térmico de alta temperatura
a)
Un motor de propulsión a chorro convierte la energía térmica en trabajo mecánico. b) Diagrama de flujo de un motor térmico que funciona entre dos depósitos térmicos.
W
Depósito térmico de baja temperatura
T H QH
QL
Motor térmico a)
b)
T L
20.2
Depósito térmico de alta temperatura
Para este refrigerador, la primera ley de la termodinámica requiere Q que L + W = QH. Es deseable que un refrigerador remueva cuanto calor sea posible del depósito frío, QL, dado el trabajo, W , puesto en el refrigerador. El coeficiente de desempeño, K , de un refrigerador está definido como K =
QL
.
W
QL
T L
Refrigerador a)
b)
En Estados Unidos los refrigeradores generalmente se evalúan de acuerdo FIGURA 20.5 a) Un refrigerador de casa. b) Diagrama con su uso anual de energía, sin hacer alusión a su verdadera eficiencia. Un de flujo de un refrigerador que funciona entre dos depósitos refrigerador eficiente es aquel cuyo us o de energía es comparable con otro térmicos. de la misma categoría de capacidad pero con el uso más bajo de energía. Los acondicionadores de aire a menudo se evalúan en términos de la categorización de la eficiencia energética (EER, por sus siglas en inglés), definidos por su capacidad de remover el calor, H , en BTU/hora dividido entre la potencia P usada en watts. La relación entre K y EER es K =
QL W
=
Ht Pt
=
H EER P
=
3.41
,
donde t es el tiempo de intervalo. El factor 1/3.41 surge de la definición del BTU por hora: 1BTU/h 1 watt
=
(1 055 J) / (3 600 s) 1 J/s
=
1 3.41
.
Los valores típicos de EER para un acondicionador de aire de habitación van desde 8 hasta 11, esto significa que los valores de K alcanzan entre 2.3 a 3.2. De este modo, un acondicionador de aire de habitación típico puede remover aproximadamente tres unidades de calor por cada unidad de energía que utiliza. Los acondicionadores de aire centrales a menudo se evalúan por su capacidad de ajustar su eficiencia energética a las estaciones (SEER, por sus siglas en inglés) que toma en cuenta qué tanto tiempo puede funcionar el acondicionador de aire durante un año. Una bomba de calor es la variación de un refrigerador que se puede utilizar para calentar edificios. Esa bomba de calor calienta el edificio al enfriar el aire del exterior. Así como para un refrigerador, QL + W = QH. Sin embargo, para una bomba de calor, la cantidad de interés es el calor puesto en el depósito más cálido, QH, en vez de remover el calor del depósito más frío. De esta manera, el coeficiente de desempeño de una bomba de calor es K bomba de calor =
QH W
,
(20.3)
donde W es el trabajo que se requiere para mover el calor del depósito de baja temperatura al depósito de alta temperatura. El típico coeficiente de desempeño de una bomba de calor comercial está en el rango de 3 a 4. Las bombas de calor no trabajan bien cuando la temperatura exterior está por debajo de los –18 °C (0 °F).
EJEMPLO 20.2
Calentar una casa con una bomba de calor
Una bomba de calor con un coeficiente de desempeño de 3.500 se usa para calentar una casa que pierde 75 000 BTU/h de calor en un día frío. Suponga que los costos de electricidad son de 10.00 centavos por kilowatt-hora.
PROBLEMA ¿Cuánto cuesta calentar la casa por un día?
SOLUCIÓN El coeficiente de desempeño de la bomba de calor se da por l a ecuación 20.3: K bomba de calor =
QH
.
W
El trabajo necesario para calentar la casa es entonces W =
QH
.
K bomba de calor
(continúa)
653
Depósito térmico de baja temperatura
T H QH
(20.2)
W
Motores y refrigeradores
654
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica
(continuación)
La casa está perdiendo 75 000 BTU/h, que convertimos a unidades SI: 75000 BTU 1055 J 1h
⋅
1h
⋅
1BTU 3 600 s
= 21.98 kW.
Por lo tanto, la energía que se requiere para calentar la casa es P =
W t
QH/t
=
=
K bomba de calor
21.98 kW 3.500
= 6.280 0 kW.
El costo de calentar la casa por 24 horas es entonces Costo = (6.280 kW)( 24 h)
$0.1000 1kWh
= $15.07.
20.3 Motores ideales Un motor ideal es el que utiliza únicamente procesos reversibles. Además, el motor incorpora no tener efectos de desechos de energía, tales como la fricción o la viscosidad. Recuerde, como definimos en la sección anterior, un motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en trabajo utilizable. Usted quizá pensará que un motor ideal sería uno 100% eficiente; que con vertiría toda la energía térmica provista en trabajo mecánico utilizable. Sin embargo, veremos que incluso el más eficaz motor ideal no puede lograr esto. Esta inhabilidad fundamental de convertir energía térmica totalmente en trabajo mecánico recae en el meollo de l a segunda ley de la termodinámica y la entropía, los dos temas centrales de este capítulo.
El ciclo de Carnot 1
20
Adiabático ) a P k ( p
10
4
2
Adiabático 0
0
0.2
0.4
3 0.6
0.8
1
3
V (m
FIGURA 20.6
)
El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos.
Un ejemplo de un motor ideal es el motor de Carnot, el cual es el motor más eficiente que opera entre dos depósitos de temperatura. El ciclo del proceso termodinámico usado por el motor de Carnot se llama ciclo de Carnot. Un ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos, como se muestra en la figura 20.6 en un diagrama pV (diagrama de presión-volumen). Podemos escoger un punto de partida arbitrario para el ciclo; v amos a decir que comienza en el punto 1. El sistema primero sufre un proceso isotérmico durante el cual el sistema se expande y absorbe calor del depósito térmico a una temperatura fija T H (en la figura 20.6, T H = 400 K). En el punto 2, el sistema comienza una expansión adiabática en la cual no se gana ni se pierde calor. En el punto 3 el sistema empieza otro proceso isotérmico, esta vez dejando calor en el segundo depósito térmico de baja temperatura, T L (en la figura 20.6 T L = 300 K), mientras que el sistema se comprime. En el punto 4 el sistema comienza un segundo proceso adiabático en el cual no se gana ni se pierde calor. El ciclo de Carnot está completo cuando el sistema regresa al punto 1. La eficiencia del motor de Carnot no está al 100% pero en cambio está dada por = 1–
T L T H
.
(20.4)
Notablemente, la eficiencia del motor de Carnot depende sólo en la proporción de la temperatura de los dos depósitos térmicos. Para los motores mostrados en la figura 20.6, por ejemplo, la eficiencia es e = 1 – (300 K)/(400 K) = 0.25.
DEDUCCIÓN 20.1
Eficiencia del motor de Carnot
Podemos determinar el trabajo y el calor ganado y perdido en un ciclo de Carnot. Para realizar esto, necesitamos suponer que el sistema consiste en un gas ideal en un contenedor cuyo volumen puede cambiar. Este sistema se coloca en contacto con un depósito térmico y originalmente tiene una presión P 1 y volumen V 1, correspondiente al punto 1 de la figura 20.6. El depós ito térmico sostiene la temperatura del sistema constante en T H. Al volumen del sistema se le permite entonces incrementarse hasta que el sistema alcanza el punto 2 de la figura 20.6. En el punto 2,
20.3
la presión es p2 y el volumen es V 2. Durante este proceso isotérmico, el trabajo, W 12, lo realiza el sistema, y el calor, QH, es transferido al s istema. Ya que este proceso es is otérmico, la energía interna del sistema no cambia. De este modo, la cantidad de trabajo realizado por el sistema y la energía térmica transferida al sistema son correspondientes, dado por (vea la deducción en el capítulo 19):
V 2 . V
W12 = QH = nRTH ln
(i)
1
El sistema entonces se aleja del contacto con el depósito térmico cuya temperatura es T H. El sistema continúa expandiéndose adiabáticamente hasta el punto 3 en la figura 20.6. En el punto 3 la expansión se detiene, y el sistema se pone en contacto con el segundo depósito térmico que tiene una temperatura T L. Una expansión adiabática significa que Q = 0. En el capítulo 19 vimos que el trabajo hecho por un gas ideal que pasa por un proceso adiabático es W = nR(T f – T i)/(1 – ), donde = C p/C V y C p es el calor específico del gas en constante presión y C v es el calor específico del gas en volumen constante. De este modo, el trabajo hecho por el sistema cuando pasa del punto 2 al punto 3 es W 23 =
nR 1 –
(T
L
)
– T H .
Al permanecer en contacto con el depósito térmico cuya temperatura es T L, el sistema está isotérmicamente comprimido desde el punto 3 hasta el punto 4. El trabajo realizado por el sistema y el calor absorbido por el sistema son
V 4 . V
W34 = – QL = nRTL ln
(ii)
3
(En el capítulo 18 esto se habría escrito W 34 = QL porque QL habría sido el calor añadido al sistema y por ello QL < 0. Sin embargo, en este capítulo usamos la definición de QL como el calor entregado al depósito de baja temperatura, en T = T L, y por lo tanto, QL > 0.) Finalmente, el sistema se remueve del contacto con el segundo depósito térmico y comprimido adiabáticamente del punto 4 de regreso a su punto de origen, el punto 1. Para este proceso adiabático, Q = 0, y el trabajo realizado por el sistema es W 41 =
nR 1 –
(T
H
)
– T L .
Advierta que W 41 = – W 23, ya que el trabajo realizado por el proceso adiabático depende únicamente de las temperaturas inicial y final. Por consiguiente, W 41 + W 23 = 0, y para el ciclo completo, el total del trabajo realizado por el sistema es W = W12 + W23 + W34 + W41 = W12 + W34 .
Al sustituir las expresiones por W 12 y por W 34 de las ecuaciones (i) y (ii), tenemos
V V 2 + nRT L ln 4 . V V 1 3
W = nRTH ln
Ahora podemos encontrar la eficiencia del motor de Carnot. La eficiencia se define en la ecuación 20.1 como la proporción del trabajo realizado por el sistema, W , a la cantidad de calor abastecido al sistema QH: =
W QH
V V 2 V + nRT L ln 4 T L ln 4 V V V 3 1 3 =1+ . V 2 V 2 nRT H ln T H ln V 1 V 1
nRT H ln =
(iii)
Esta expresión para la eficiencia del motor de Carnot contiene los volúmenes de los puntos 1, 2, 3 y 4. Sin embargo, podemos eliminar los volúmenes de esta expresión usando la relación para la expansión adiabática de un gas ideal del capítulo 19, TV –1 = constante. Para el proceso adiabático del punto 2 al punto 3, tenemos –1
THV 2
–1
= TLV3 .
(iv) (continúa)
Motores ideales
655
656
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
(continuación)
Similarmente, para el proceso adiabático del punto 4 al punto 1 tenemos –1
TLV 4
–1
(v)
= THV1 .
Al tomar las proporciones de ambos lados de las ecuaciones (iv) y (v) –1
THV 2
–1
THV 1
–1
=
TLV 3
–1
⇒
TLV 4
V 2
=
V 1
V 3
.
V 4
Al usar la relación entre los volúmenes, podemos ahora reescribir la ecuación (iii) para la eficiencia como V –T L ln 3 V T 4 = 1– L , = 1 + V 2 T H T H ln V 1
la cual corresponde a la ecuación 20.4.
¿Puede la eficiencia del motor de Carnot alcanzar el 100%? Para poder obtener una eficiencia de 100%, T H, en la ecuación 20.4 habría sido elevado al infinito o T L habría sido disminuido hasta el cero absoluto. Ninguna de estás opciones es posible. De este modo, la eficiencia del motor de Carnot siempre será menor a 100 por ciento. Advierta que el total del trabajo realizado por el sistema durante el ciclo de Carnot de la derivación 20.1 es W = W 12 + W 34, y las dos contribuciones al total del trabajo debido a los dos procesos isotérmicos son W 12 = QH y W 34 = –QL. Por consiguiente, el total del trabajo mecánico producido por el ciclo de Carnot también se puede escribir como W = QH – QL .
(20.5)
Como la eficiencia generalmente se define como e = W /QH (ecuación 20.1), la eficiencia de un motor de Carnot puede de este modo, ser expresada también como =
QH – QL QH
.
(20.6)
En esta formulación, la eficiencia de un motor de Carnot está determinada por el calor que se toma del depósito caliente menos el calor que se da al depósito frío. Para que esta expresión de la eficiencia del motor de Carnot pueda producir una eficiencia de 100%, el calor que se regresa al depósito frío tendría que ser cero. Inversamente, si la eficiencia del motor de Carnot es menor a 100%, el motor no puede convertir todo el calor que toma del depósito caliente a trabajo aprovechable. El físico francés Nicolás Carnot (1796-1832), quien desarrolló el ciclo de Carnot en el siglo ���, demostró la siguiente afirmación, conocida como el teorema de Carnot: Ningún motor térmico que opera entre dos depósitos térmicos puede ser más eficiente que el motor de Carnot cuando opera entre dos depósitos térmicos.
20.1 Ejercicio en clase ¿Cuál es el máximo coeficiente de desempeño (de Carnot) de un refrigerador en una habitación con una temperatura de 22.0 °C? La temperatura en el interior del refrigerador se mantiene a 2.0°C. a)
0.10
d )
5.8
b)
0.44
e)
13.8
c )
3.0
No vamos a presentar pruebas del teorema de Carnot. Sin embargo, advertiremos la idea que está detrás de la prueba después de discutir la segunda ley de la termodinámica en la sección 20.5. Nos podemos imaginar ejecutando un motor de Carnot en reversa, creando un “refrigerador de Carnot”. El máximo coeficiente de desempeño de tal refrigerador funcionando entre dos depósitos térmicos es K máx =
T L
.
(20.7)
TH – T L
De igual modo, el máximo coeficiente de desempeño de una bomba de calor funcionando entre dos depósitos térmicos está dado por K bomba de calor máx =
T H TH – T L
.
(20.8)
20.3 Motores ideales
Observe que el ciclo de C arnot constituye constituye el proceso termodinámico ideal, el cual es el límite superior absoluto en lo que es teóricamente alcanzable. Las complicaciones del mundo real aminoran drásticamente la eficiencia, como veremos en la sección 20.4. El típico coeficiente de desempeño para un refrigerador real o bomba de calor es alrededor de 3.
EJEMPLO 20.3
Trabajo realizado realizado por un motor de Carnot
Un motor de Carnot necesita 3 000 J de calor de un u n depósito térmico con una temperatura T H = 500 K y descarga calor a un depósito térmico con una temperatura T L = 325 K.
PROBLEMA ¿Cuánto trabajo hace el motor de Carnot en este proceso?
657
20.2 Ejercicio en clase ¿Cuál es el máximo coeficiente de desempeño (de Carnot) de una bomba de calor que se usa para calentar una casa a 22.0 °C de temperatura interior? La temperatura fuera de la casa es de 2.0 °C. a)
0.15
d )
6.5
b)
1.1
e)
14.8
c )
3.5
SOLUCIÓN Empezamos con la definición de la eficiencia, e, de un motor térmico (ecuación 20.1):
=
W QH
,
donde W es es el trabajo que el motor realiza y QH es el calor que se toma del depósito térmico caliente. Es entonces cuando podemos usar la ecuación 20.4 para la eficiencia de un motor de Carnot: = 1–
T L
.
T H
Al combinar estas dos expresiones para la eficiencia nos da W
=1–
QH
T L
.
T H
Ahora podemos expresar el trabajo realizado por el motor de Carnot:
W = QH1–
T L
.
T H
Al poner los valores numéricos nos da la cantidad de trabajo realizado por el motor de Carnot: W =
000 J)1 – (3 00
325 K
= 1050 J. 500 K
20.1 Oportunidad de autoexamen ¿Cuál es la eficiencia del motor de Carnot en el ejemplo 20.3?
EJEMPLO 20.4
Eficiencia máxima de una planta de energía eléctrica
En Estados Unidos, 85% de la electricidad se genera al quemar combustibles fósiles para producir vapor, el cual a su vez impulsa los alternadores que producen la electricidad. Las plantas de energía pueden producir vapor con una temperatura tan alta como 600 °C presurizando el vapor.. El desperdicio de calor resultante necesita descargarse al medio ambien vapor ambiente te a una temperatura de 20.0 °C.
PROBLEMA ¿Cuál es la eficiencia máxima de una planta de energía?
SOLUCIÓN La eficiencia máxima de una planta de energía es la eficiencia de un motor térmico de Carnot (ecuación 20.4) funcionando entre los 20.0 °C y los 600 °C: = = 1 –
T L T H
=1 –
293 K
= 66.4%.
873 873 K
Las plantas de energía reales alcanzan una eficiencia disminuida de alrededor de 40%. Sin embargo, muchas plantas bien diseñadas simplemente no desechan el desperdicio de calor al medio ambiente. En vez de esto, emplean cogeneración cogeneración o o energía y calor combinado (ECC). combinado (ECC). El (continúa continúa))
658
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
FIGURA 20.7 La planta
(continuación continuación))
de energía eléctrica generada por carbón de la Michigan State University provee toda la electricidad que se usa en el campus, así como también provee de calefacción en el invierno y aire acondicionado en el verano.
calor que normalmente se habría perdido se usa para calentar casas y edificios aledaños. Este calor incluso puede usarse para operar acondicionadores acondicion adores de aire que enfrían estructuras cercanas, un proceso llamado trigeneración trigeneración.. Al emplear ECC, plantas de energía modernas pueden utilizar hasta 90% de la energía usada para generar electricidad. Por ejemplo, la planta de energía de Michigan State University (figura 20.7) quema carbón para generar electricidad para su campus. El calor de desecho se utiliza para calentar los edificios del campus en invierno y para accionar los acondicionadores cionador es de aire de los l os edificios del campus en verano. verano.
20.4 Motores reales reales y eficiencia ef iciencia Un motor térmico real basado en el ciclo de Carnot no es práctico. Sin embargo, muchos de los motores térmicos prácticos que se utilizan a diario son diseñados para funcionar por medio de procesos termodinámicos cíclicos. Como ejemplo de una operación de un motor del mundo real, vamos a examinar el ciclo de Otto. De nuevo, suponemos que como medi o de trabajo tenemos un gas ideal. i deal.
Ciclo de Otto El ciclo de Otto se usa en los motores de combustión interna modernos de los automóviles. Este ciclo consiste en dos procesos adiabáticos y dos procesos de volumen constante (isocóricos) (figura 20.8) y es la configuración predeterminada de un motor de combustión interna de cuatro ciclos. El típico arreglo del pistón cilíndrico de un motor de combustión interna se muestra en la figura 20.9. La energía térmica se provee por el encendido de una mezcla de combustible y aire. El ciclo empieza con el pistón en lo alto del cilindro y prosigue a través de los pasos siguientes:
FIGURA 20.8 El ciclo de Otto consiste en dos procesos adiabáticos y dos procesos de volumen constante.
■ Carrera de admisión. El pistón se mueve hacia abajo con la válvula de admisión abierta, ■ ■ ■ ■
■
aspirando la mezcla de combustible y aire [punto 0 a punto 1 en las figuras 20.8 y 20.9 a)] y la válvula de admisión se cierra. Carrera de compresión. El pistón se mueve hacia arriba, comprimiendo la mezcla de combustible y aire adiabáticamente [punto 1 a punto 2 en las figuras 20.8 y 20.9 b)]. La bujía prende la mezcla de combustible y aire, incrementando la presión a volumen constante (punto 2 a punto 3 en la figura 20.8). Carrera de potencia. Los gases calientes empujan el pistón hacia abajo adiabáticamente [punto 3 a punto 4 en las figuras 20.8 y 20.9 c)]. Cuando el pistón desciende por completo (punto 4 en la figura 20.8), la válvula de escape se abre. Esto reduce la presión en volumen constante, provee el rechazo del calor y mueve el sistema de regreso al punto 1. Carrera de escape. El pistón se mueve hacia arriba, forzando a los gases quemados a salir [punto 1 al punto 0 en las figuras 20.8 y 20.9 d )], )], y la válvula de escape se cierra.
Bujía de Admisión encendido Escape
Bujía de Admisión encendido Escape
Pistón Carrera de admisión Pistón Carrera de compresión Cilindro
Cilindro a)
b)
Bujía de Admisión encendido Escape
Bujía de Admisión encendido Escape
Pistón Carrera de potencia
Pistón Carrera de escape
Cilindro
Cilindro c )
d )
FIGURA 20.9 Las cuatro carreras de un motor de combustión interna: a) Carrera de admisión, en la cual la mezcla de combustible-aire es aspirada hacia el cilindro. b) Carrera de compresión, en la cual la mezcla de combustible-aire es comprimida. c ) Carrera de potencia, donde la mezcla de combustible-aire es encendida por la bujía, liberando el calor. d ) Carrera de escape, durante la cual los gases quemados son empujados fuera del cilindro.
20.4
La proporción del volumen expandido, V 1, al volumen comprimido, V 2, se conoce como proporción de compresión proporción compresión:: r =
V 1
.
V 2
(20.9)
La eficiencia, e, del ciclo de Otto se puede expresar como una función de la proporción de compresión únicamente: 1–
=1 – r
.
(20.10)
(En contraste, para el ciclo de Carnot, la ecuación 20.4 mostró que la eficiencia depende solamente en la proporción de las dos temperaturas.)
DEDUCCIÓN 20.2
La eficiencia del ciclo de Otto
El ciclo de Otto empieza en el punto 0 de la figura 20.8. El proceso del punto 0 al punto 1 simplemente extrae la mezcla de combustible y aire hacia el cilindro y no juega un rol adicional en las consideraciones de eficiencia. Tampoco Tampoco lo hace el proceso inverso del punto 1 al punto 0, la carrera de escape, la cual remueve los productos de combustión del cilindro. El proceso del punto 1 al punto 2 es adiabático. La energía térmica transferida es de cero, y el trabajo hecho por el sistema (vea el capítulo 19) está dado por W 12 =
nR 1–
(T – T ). 2
1
Para el proceso de volumen constante del punto 2 al punto 3, el trabajo hecho por el sistema es de cero, W 23 = 0, y la l a energía térmica transferida al sistema (vea el capítulo 18) está dada por
(
)
Q23 = nCV T3 – T2 .
El proceso del punto 3 al punto 4 es otra vez adiabático, y la energía térmica transferida es cero. El trabajo hecho por el sistema es W 34 =
nR 1–
(T
4
)
– T 3 .
El proceso del punto 4 al punto 1 toma lugar con el volumen constante, así que el trabajo hecho por el sistema es de cero, W 41 = 0, y el calor expulsado del sistema es
(
)
Q41 = nCV T4 – T1 .
El trabajo total hecho por el sistema es entonce entoncess simplemente la suma de las cuatro contribuciocontribuciones del ciclo entero (recuerde que W 23 = W 41 = 0) W = W12 + W 34 =
nR
nR T – T ) + ( (T 1– 1– 2
1
4
)
– T 3 =
nR 1 –
(T – T + T – T ). 2
1
4
3
El factor R/(1 – ) se puede expresar en términos de la capacidad específica del calor, C V : R
=
1 –
C p – C V 1−
C p
= – C V .
C V
La eficiencia del ciclo de Otto es entonc entonces es (el trabajo neto hecho dividi do entre el calor ganado por el sistema por ciclo) = =
W
=
(T – T + T – T ) (T – T ) =1– . nCV (T – T ) (T – T )
–nCV
Q23
2
1
3
4
3
2
4
1
3
2
(i)
Podemos usar el hecho de que el proceso del punto 1 al punto 2 y el proceso del punto 3 al punto 4 se escriben adiabáticamen adiabáticamente te (vea la sección s ección 19.5) –1
T1V1
–1
= T2V 2
V 1 –1 ⇒ T2 = T 1 V
(ii)
2
(continúa )
Motores reales y eficiencia
659
660
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica (continuación)
y
–1
T3V 2
–1
= T4V 1
V 1 –1 ⇒ T3 = T 4 , V
(iii)
2
donde V 1 es el volumen en los puntos 1 y 4 y V 2 es el volumen de los puntos 2 y 3. Al sustituir las expresiones T 2 y T 3 de las ecuaciones (ii) y (iii) en la ecuación (i) para la eficiencia, obtenemos la ecuación 20.10: V 1 1− (T4 – T 1 ) = 1 – r 1– . =1 – =1– –1 –1 V V 1 V 1 2 T – T 4 1 V V 2
20.2 Oportunidad de autoexamen ¿Cuánto aumentaría la eficiencia teórica de un motor de combustión interna si la proporción de compresión aumentara de 4 a 15?
20.3 Ejercicio en clase ¿Cuál de las cuatro temperaturas en el ciclo de Otto es la más alta? a) T 1
d ) T 4
b) T 2
e)
c ) T 3
Las cuatro son idénticas
2
Como un ejemplo numérico, la proporción de compresión del ciclo de Otto mostrado en la figura 20.8 es de 4, y así, la eficiencia de ese ciclo de Otto es e = 1 – 4 1–7/5 = 1 – 4 –0.4 = 0.426. De esta manera, la eficiencia teórica de un motor que funciona en el ciclo de Otto con una proporción de compresión de 4 es 42.6%. Observe, sin embargo, que éste es el límite superior teórico para la eficiencia en esta proporción de compresión. En principio, un motor de combustión interna se puede hacer más eficiente al incrementar la proporción de compresión, pero factores prácticos impiden este planteamiento. Por ejemplo, si la proporción de compresión es demasiado alta, la mezcla de combustible y aire se detonará antes de terminar la compresión. Proporciones de compresión muy altas ponen altos esfuerzos en los componentes del motor. Las verdaderas proporciones de motores de combustión interna accionados por gasolina alcanzan rangos entre 8 y 12.
Motores reales de Otto La verdadera eficiencia de un motor de combustión interna es de cerca de 20%. ¿Por qué esto es mucho más bajo que el límite superior teórico? Existen muchas razones. Primero, las partes “adiabáticas” del ciclo no proceden realmente sin el intercambio de calor entre el gas en el pistón y el bloque del motor. Esto es obvio; todos sabemos por experiencia que los motores se calientan cuando están funcionando, y esta elevación de la temperatura es una consecuenc ia directa del calor que se filtra del gas que está experimentando la compresión y la ignición. Segundo, la mezcla de gasolina y aire no es exactamente un gas ideal y de este modo tiene pérdidas de energía debido a la excitación interna. Tercero, durante el proceso de rechazo del calor y la ignición, el volumen no se mantiene exactamente constante, porque ambos procesos toman un poco de tiempo, y los pistones se siguen moviendo constantemente durante ese tiempo. Cuarto, durante las carreras de admisión y escape, la presión en la cámara no es exactamente la presión atmosférica por las consideraciones dinámicas del gas. Todos estos efectos, junto con pérdidas pequeñas de fricción, se combinan para reducir la eficiencia del motor. Todas las empresas grandes de automóviles, así como los equipos de carreras automotrices, gobiernos y laboratorios de universidades, incluso algunos aficionados, constantemente están buscando maneras de incrementar la eficiencia del motor, porque una mayor eficiencia significa mayor potencia de salida y (o) mejor consumo de combustible por kilómetro. Desde la crisis del petróleo de mediados de la década de 1970, la eficiencia de los motores automovilísticos en Estados Unidos se ha incrementado de manera constante (vea la sección 5.7), pero aún se requiere un desempeño mucho mejor del litro por kilómetro para que dicho país reduzca las emisiones de gas de invernadero y su dependencia del petróleo extranjero.
PROBLEMA RESUELTO 20.1 Eficiencia de un motor de automóvil Un automóvil con un motor de combustión interna accionado por gasolina viaja con una rapidez de 26.8 m/s (60.0 mph) en un camino nivelado y usa gasolina a una proporción de 6.92 L/100 km (34.0 mpg). La energía contenida por la gasolina es de 34.8 MJ/L.
PROBLEMA Si el motor tiene una eficiencia de 20.0%, ¿cuánta potencia se entrega para mantener al automó vil moviéndose a una rapidez constante?
SOLUCIÓN PIENSE Podemos calcular cuánta energía está siendo abastecida al motor, al calcular la cantidad de combustible usado y multiplicando el contenido energético de dicho combustible. La eficiencia es el
20.4
trabajo útil dividido entre la energía que está siendo abastecida; así, una vez que determinemos la energía abastecida, podemos encontrar el trabajo útil de la eficiencia dada del motor. Al dividir el trabajo y la energía entre un intervalo de tiempo arbitrario, podemos determinar la media de la potencia entregada. ESBOCE
La figura 20.10 muestra un motor de automóvil accionado por gasolina que funciona como un motor térmico. W
Impulsa el automóvil
QH de la T H
gasolina que se quema
QL es calor
FPO
T L
desechado
Motor de automóvil
FIGURA 20.10 Motor de automóvil accionado por g asolina funcionando como un motor térmico para accionar un automóvil viajando a una rapidez constante v en una superficie horizontal.
INVESTIGUE
El automóvil está viajando a una rapidez v . La tasa, , a la cual el automóvil quema la gasolina, se puede expresar en términos del volumen de gasolina quemada por unidad de distancia. Podemos calcular el volumen de la gasolina quemada por unidad de tiempo, V t, al multiplicar la rapidez del automóvil por la tasa, , a la que el automóvil quema la gasolina: (i) Vt = v . La energía por unidad de t iempo abastecido al motor al consumir el combustible es la potencia, P , dada por el volumen de gasolina usada por unidad de tiempo multiplicada por la energía contenida en la gasolina, Eg: (ii) P = Vt E g . La eficiencia del motor, e, está dada por la ecuación 20.1:
=
W QH
,
donde W es el trabajo útil y QH es la energía térmica provista por el motor. Si dividimos tanto W como QH entre el tiempo de intervalo, t , obtendremos
=
W /t QH/t
=
P dada P
,
(iii)
donde P dada es la potencia dada por el motor del automóvil. SIMPLIFIQUE
Podemos combinar las ecuaciones desde (i) hasta (iii) para obtener Pdada
=
P = Vt Eg
=
χ vEg .
CALCULE
La potencia dada es Pdada
= vE g = (0.200)
6.92 L (26.8 m/s) 34.8 ⋅106 J/L =12 907.7 W. 3 100 ⋅10 m
(
)
REDONDEE
Reportamos nuestro resultado con tres cifras signifi cantes: P dada =12 900 W = 12.9 kW = 17.3 hp.
(continúa)
Motores reales y eficiencia
661
662
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
(continuación)
V U E L VA A R E V I S A R Para volver a revisar nuestro resultado, calculamos la potencia requerida para mantener al automóvil moviéndose a 60.0 mph en contra de la resistencia del aire. La potencia requerida, P aire, es igual al producto de la f uerza de la resistencia del aire, F arrastre, y la rapidez del automóvil: Pa ir e = Fa rr as tr ev .
(iv)
La fuerza de arrastre creada por la resistencia del aire está dada por 2
(v)
Farrastre = Kv .
La constante K ha sido encontrada empíricamente como K
= 1 cd A ,
(vi)
2
donde cd es el coeficiente de arrastre del automóvil, A es su área de sección transversal frontal, y es la densidad del aire. Al combinar las ecuaciones desde (iv) hasta (vi ) nos da
( )v =
Paire = Farrastrev = Kv
2
1 2
3
cd Aρ v .
Al usar cd = 0.33, A = 2.2 m2 y = 1.29 kg/m 3, obtenemos P aire
FIGURA 20.11
Diagrama pV para el ciclo de Diesel.
(
)(
)
3
= 12 (0.33) 2.2 m2 1.29 kg/m3 (26.8 m/s) = 9 014 W = 9.0 kW.
Este resultado de la potencia requerida para vencer la resistencia del aire ( P aire = 9.0 kW = 12 hp) está cerca de 70% del valor calculado para la potencia dada ( P dada = 12.9 kW = 17.3 hp). La potencia sobrante se usa para vencer otras clases de fricciones, como la fricción de rodamiento. De este modo, nuestra respuesta parece razonable.
20.4 Ejercicio en clase ¿En qué parte del ciclo de Diesel en la figura 20.11 hay calor agregado? a) En el trayecto del punto 0 al punto 1. b) En el trayecto del punto 1 al punto 2. c ) En el trayecto del punto 2 al punto 3. d ) En el trayecto del punto 3 al punto 4. e) En el trayecto del punto 4 al punto 1.
20.5 Ejercicio en clase ¿Durante qué parte(s) del ciclo de Diesel en la figura 20.11 el trabajo mecánico está hecho por el motor? a) En el trayecto del punto 0 al punto 1 y en el trayecto del punto 1 al punto 0. b) En el trayecto del punto 1 al punto 2. c ) En el trayecto del punto 2 al punto 3 y en el trayecto del punto 3 al punto 4. d ) En el trayecto del punto 4 al punto 1.
Ciclo de Diesel Los motores diesel y de gasolina tienen diseños algo diferentes. Los motores diesel no comprimen la mezcla de combustible y aire, sino más bien únicamente el aire (trayectoria desde el punto 1 hasta el punto 2 en la figura 20.11, curva verde). Este combustible es introducido (entre el punto 2 y el punto 3) únicamente después de que el aire ha sido comprimido. La energía térmica de la compresión enciende la mezcla (de este modo, no se requiere de una bujía de ignición). Este proceso de combustión empuja al pistón hacia afuera en una presión constante. Después de la combustión, los productos de la combustión empujan al pistón aún más lej os en el mismo modo adiabático que en el ciclo de Otto (trayectoria desde el punto 3 al punto 4, curva roja). El proceso del rechazo del calor hacia el medio ambiente en un volumen constante (entre los puntos 4 y 1 en el diagrama) también procede del mismo modo que en un ciclo de Otto, como la carrera de admisión (trayectoria desde 0 hasta 1) y la carrera de escape (trayectoria desde 1 hasta 0). L os motores diesel tienen una proporción de compresión más alta y de este modo tienen una eficiencia más alta que los motores de cuatro tiempos accionados por gasolina, aunque tienen un ciclo termodinámico un poco diferente. La eficiencia de un motor diesel ideal está dada por
1–
=1 – r
–1
( – 1)
,
(20.11)
donde la proporción de la compresión es, otra vez, r = V 1/V 2 (del mismo modo que lo es para el ciclo de Otto), es nuevamente la proporción del calor específico a presión constante y volumen constante, = C p/C V (introducidos en el capítulo 19), y = V 3/V 2 es llamada la relación de corte, la proporción entre los volúmenes inicial y final de la fase de combustión. La derivación de está fórmula procede similarmente a las derivaciones 20.1 y 20.2 para los ciclos de Carnot y Otto, pero está omitida aquí.
Automóviles híbridos Los automóviles híbridos combinan el motor de gasolina con un motor eléctrico para lograr una eficiencia mejor de lo que un motor de gasolina podría lograr solo. La mejora en la eficiencia es resultado de usar un motor de gasolina más pequeño de lo que en realidad se necesitaría y un motor eléctrico que funciona con una batería cargada por el motor de gasolina, para suplemen-
20.4
tar el motor de gasolina cuando se requiere mayor potencia. Por ejemplo, el Ford Escape Hybrid (figura 20.12) tiene 99.2 kW (133 hp) de motor de gasolina acoplado con un motor eléctrico de 70 kW (94-hp), y el Ford Escape tiene 149-kW (200 hp) de motor de gasolina. Además, el motor de gasolina usado en el Ford Escape Hybrid, así como también en los vehículos de Toyota y Honda, aplica un ciclo termodinámico diferente al ciclo de Otto. Este ciclo de Atkinson incluye tiempo de válvulas variable para incrementar la fase de expansión del proceso, permitiendo que más trabajo útil sea extraído de la energía consumida por el motor. Un motor de ciclo de Atkinson produce menos potencia por el desplazamiento comparado con el motor de ciclo de Otto, pero tiene mayor eficiencia. En un manejo de frena y avanza, los automóviles híbridos tienen la ventaja de usar frenos regenerativos en vez de los frenos normales. Los frenos convencionales usan fricción para parar el automóvil, lo que convierte a la energía cinética del automóvil en energía desperdiciada en la forma de energía térmica (y desgasta las almohadillas de los frenos). Los frenos regenerativos conectan los neumáticos a un generador eléctrico (lo que puede ser el motor eléctrico que maneja el automóvil), lo que convierte la energía cinética del automóvil en energía eléctrica. Esta energía se almacena en la batería del automóvil híbrido para ser usada después. Además, el motor de gasolina del automóvil híbrido puede ser apagado cuando el automóvil se detiene, así el automóvil no utiliza energía mientras espera en un alto. Cuando se manejan en carretera, los automóviles híbridos se aprovechan del hecho de que el motor de gasolina puede correr a una rapidez constante, correspondiente a su más eficiente rapidez de operación, en vez de tener que correr a una rapidez dictada por la rapidez del automóvil. La operación de un motor de gasolina a una rapidez constante mientras la rapidez del automóvil cambia se logra por una transmisión continuamente variable. La transmisión se acopla con el motor de gasolina y con el motor eléctrico a los neumáticos del automóvil, permitiendo que el motor de gasolina corra a su rapidez más eficiente mientras toma la potencia del motor eléctrico cuando la necesita.
Motores reales y eficiencia
663
FIGURA 20.12 El motor de gasolina y el motor eléctrico de un automóvil híbrido.
Eficiencia y la crisis de energía La eficiencia de los motores y refrigeradores no son únicamente constructos teóricos, sino que han tenido consecuencias económicas muy importantes, las cuales son extremadamente relevantes para solucionar la crisis de energía. Las eficiencias y los coeficientes de desempeño calculados en este capítulo con la ayuda de los principios de termodinámica son límites superiores teóricos. Las complicaciones del mundo real siempre reducen las eficiencias verdaderas de los motores y los coeficientes de desempeño de los refrigeradores. Pero la investigación de la ingeniería puede vencer estas complicaciones del mundo real y proveer un mejor desempeño de los dispositivos reales, acercándose a los límites ideales. Un ejemplo impresionante de mejora en el desempeño ha ocurrido con los refrigeradores vendidos en Estados Unidos, de acuerdo con los datos recopilados por Steve Chu (vea la figura 2 200
22
2 000 ) o ñ 1 800 a / h W 1 600 k ( d a ) d 1 400 i U E n $ u 2 r o 0 1 200 p 0 2 a ( d o a s i 1 000 u c e r a p í g l r 800 e e y n e a l 600 e d a i d 400 e M 200 0 1947
18
Estándar de California en 1978
$999.00 $893.58
Estándar de California en 1987 NAECA en 1990 DOE DOE en 2001 en 1993
Media del volumen ajustado (pies cúbicos) Ventas en EU ponderadas a la media del uso de energía Media del precio real 1963
1971
1979
1987
) s o c i b ú c s 10 i e P (
6
$576.11
1955
14
Estándar de California en 1980
$1 272.03
$462.99
FIGURA 20.13 Media del 2 1995
2003
volumen de los refrigeradores en EU (línea roja), precio (línea verde) y uso de energía (línea azul) desde 1947 hasta 2003.
664
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
20.13). Desde 1975, el tamaño medio de un refrigerador en las cocinas de Estados Unidos se ha incrementado cerca de 20%, pero a través de una combinación de estándares de energía más duros e investigaciones y desarrollo en el diseño y tecnología de los refrigeradores, la media de consumo de electricidad decayó por dos tercios, un total de 1 200 kWh/año, de 1 800 kWh/año en 1975 a 600 kWh/año en el 2003. Alrededor de 150 millones de nuevos refrigeradores y congeladores se compran cada año en Estados Unidos, y cada uno ahorra aproximadamente 1 200 kWh/año, un total de 180 mil millones de kWh (6.5 · 1017 J = 0.65 EJ) de energía s e ha ahorrado cada año. Este ahorro (en 2009) es aproximadamente el doble tanto como la energía combinada producida por el us o de la energía eólica (30 mil millones de kWh/año), la energía solar (2 mil millones de kWh/año), geotérmica (14 mil millones de kWh/año) y de biomasa (54 mil mil lones de kWh/año). El consumo de energía es directamente proporcional al costo de la energía, así es que l a media de las casas de Estados Unidos está ahorrando un total de casi 200 dólares cada año en costos de electricidad por usar refrigeradores más eficientes a los estándares de 1975. Además, aunque los refrigeradores se han vuelto mucho mejores, su precio ha disminuido más de la mitad, también indicado en la figura 20.13. Así es que un refrigerador más eficiente no es más caro. ¡Y mantiene nuestras comidas y bebidas favoritas tan frías como lo haría un modelo de 1975!
20.5 La segunda ley de la termodinámica Vimos en la sección 20.1 que la primera le y de la termodinámica se satisface si un vaso de agua fría se entibia al permanecer a temperatura ambiente o se vuelve más frío. Sin embargo, la segunda ley de la termodinámica es un principio general que establece inhibiciones en la cantidad y dirección de la energía térmica transferida entre los sistemas y en las posibles eficiencias de los motores térmicos. Este principio va más allá de la conservación energéT H T L QL tica de la primera ley de l a termodinámica. En el capítulo 18 discutimos el famoso experimento de Joule que demostró que el trabajo mecánico podría ser convertido por completo en calor, Motor térmico como se ilustra en la figura 20.14. En contraste, los experimentos muestran FIGURA 20.14 Diagrama de flujo de calor que muestra que es imposible construir un motor térmico que convierta completamente un sistema que convierte trabajo en calor completamente. el calor en trabajo. Este concepto se ilustra en la figura 20.15. En otras palabras, no es posible construir un motor térmico que sea 100% eficiente. Este hecho constituye la base de la segunda ley de la termodinámica : Depósito térmico de alta temperatura
W
Depósito térmico de baja temperatura
Es imposible para un sistema experimentar un proceso en el cual absorba calor de un depósito térmico a cierta temperatura y convierta ese calor completamente en trabajo mecánico sin rechazar calor hacia un depósito térmico de menor temperatura. Esta formulación es a menudo llamada la enunciación de Kelvin-Planck sobre la segunda ley de la termodinámica. Como ejemplo, considere un libro que se desliza sobre una mesa. El libro se desliza hasta detenerse, y entonces la energía mecánica de movimiento se vuelve energía térmica. Esta energía térmica toma la forma de movimiento aleatorio de las moléculas del libro, del aire y de la mesa. Es imposible convertir los movimientos aleatorios de regreso a los movimientos organizados del libro. Sin embargo, es posible convertir algo del movimiento aleatorio relacionado con la energía térmica de regreso a la energía mecánica. Los motores térmicos hacen esa clase de con versión. Si la segunda ley de la termodinámica no fuera cierta, varios escenarios imposibles ocurrirían. Por ejemplo, una planta de energía eléctrica podrí a operar al tomar calor del aire circundante y un transatlántico podría impulsarse a sí mismo tomando el calor del agua del océano. Estos escenarios no violan la primera ley de la termodinámica porque la energía se conserva. El hecho de que no pueden ocurrir demuestra que la segunda ley contiene información adicional acerca de cómo la naturaleza funciona, más allá del principio de conservación de la energía. La segunda ley limita las maneras en las que la energía puede ser us ada. Otra forma de establecer la s egunda ley de la termodinámica se relaciona con los refrigeradores. Sabemos que los flujos calientes son espontáneos de un depósito térmico caliente a un depósito térmico frío. El calor nunca fluye espontáneamente de un depósito térmico frío a un depósito
20.5
W
Depósito térmico de alta temperatura
T H
Depósito térmico de alta temperatura
Depósito térmico de baja temperatura
QH
La segunda ley de la termodinámica
T H
T L
665
Depósito térmico de baja temperatura
QH
QL
T L
Refrigerador
Motor térmico
FIGURA 20.15
Diagrama de flujo de calor que ilustra la imposibilidad del proceso de convertir completamente el calor en trabajo útil sin rechazar calor hacia el depósito térmico de baja temperatura.
FIGURA 20.16
Diagrama de flujo de calor que demuestra el proceso imposible de mover el calor del depósito térmico de baja temperatura al depósito térmico de alta temperatura sin usar ningún tipo de trabajo.
térmico caliente. Un refrigerador es un motor térmico que mueve el calor de un depósito térmico frío a un depósito térmico caliente; sin embargo, la energía necesita ser abastecida al refrigerador para que esta transferencia tenga lugar, como se muestra en la figura 20.5 b). El hecho es que es imposible para un refrigerador transformar la energía térmica de un depósito frío a un depósito caliente sin hacer trabajo, como se ilustra en la figura 20.16. Este hecho es de los f undamentos de otra forma de la segunda ley de l a termodinámica: Es imposible para cualquier proceso transferir la energía térmica del depósito térmico frío al depósito térmico caliente sin que no s e haga ningún trabajo para conseguir hacer la transferencia. Esta formulación equivalente es a menudo llamada la enunciación de Clausius para la segunda ley de la termodinámica.
DEDUCCIÓN 20.3
Teorema de Carnot
Lo siguiente explica cómo probar el teorema de Carnot, indicado en la sección 20.3. Suponga que hay dos depósitos térmicos, un motor térmico trabaja entre estos dos depósitos, y un motor de Carnot opera en reversa como un refrigerador entre los depósitos, como se muestra en la f igura 20.17. Depósito térmico de alta temperatura
Motor térmico
Depósito térmico de baja temperatura
QL1 QH1
FIGURA 20.17 Un motor térmico entre los dos depósitos térmicos produce trabajo. Un motor de Carnot que opera en reversa como un refrigerador entre dos depósitos térmicos es conducido por el trabajo producido por el motor térmico.
W T H
T L
QH2 QL2
Refrigerador
(continúa)
666
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
(continuación)
Vamos a suponer que el refrigerador de Carnot opera con la eficiencia teórica dada por
2
=
W QH 2
,
(i)
donde W es el trabajo requerido para proporcionar calor QH2 dentro del depósito de alta temperatura. También suponemos que este trabajo requerido está siendo provisto por el motor térmico que funciona entre los mismos dos depósitos. La eficiencia del motor térmico se puede expresar como
1
=
W
QH1
,
(ii)
donde QH1 es el calor removido del depósito de alta temperatura por el motor térmico. Como ambas ecuaciones (i) y (ii) contienen el mismo trabajo, W , podemos resolver cada una por el trabajo y entonces establecer las expresiones iguales una a l a otra: QH1 = 2QH2.
1
De este modo, la proporción de las dos eficiencias es 1
=
2
QH2
.
QH1
Si la eficiencia del motor térmico es igual a la eficiencia del refrigerador de Carnot ( e1 = e2), entonces tenemos que QH1 = QH2, lo que significa que el calor removido del depósito de alta temperatura es igual al calor añadido por el depósito de alta temperatura. Si la eficiencia del motor térmico es más alta que la eficiencia del refrigerador de Carnot ( e1 > e2), entonces tenemos que QH2 > QH1, lo que significa que se gana más calor de lo que se pierde por el depósito de alta temperatura. Al aplicar la primera ley de la termodinámica a todo el sistema nos dice que el motor térmico que trabaja en conjunto con el refrigerador de Carnot es entonces capaz de transferir l a energía térmica del depósito de baja temperatura al depósito de alta temperatura sin que se haya proporcionado ningún trabajo. Al actuar en conjunto, estos dos dispositivos estarían v iolando la afirmación de Clausius sobre la segunda ley de la termodinámica. De esa manera, ningún motor térmico puede ser más eficiente que un motor de Carnot.
La conversión de trabajo mecánico a energía térmica (como cuando hay fricción) y el flujo de calor de depósito térmico caliente a uno frío son procesos irreversibles. La segunda ley de la termodinámica indica que estos procesos pueden ser revertidos únicamente de manera parcial, por consiguiente reconociendo su calidad inherente de una sola dirección.
20.6 Entropía Como se indica en la sección 20.5, la segunda ley de la termodinámica es un poco diferente de otras leyes que se han presentado en capítulos anteriores, tal como las leyes de Newton, porque están expresadas en términos de imposibilidades. Sin embargo, la segunda ley s e puede establecer de un modo mucho más directo usando el concepto de entropía . En los últimos tres capítulos hemos discutido la noción del equilibrio térmico. Si dos objetos que se encuentran a diferentes temperaturas tienen contacto térmico, ambas temperaturas se aproximarán de manera asintótica a un equilibrio de temperatura común. Lo que impulsa a este sistema a un equilibrio térmico es la entropía, y el estado de equilibrio térmico es el estado de máxima entropía. La entropía provee una medida cuantitativa de qué tan cercano al equilibrio está un sistema. La dirección de la transferencia de la energía térmica no está determinada por la conservación de energía sino por el cambio en la entropía de un sistema. El cambio en la entropía de un sistema, S, durante un proceso que lleva al sistema de un estado inicial a un estado final está definida como f
S =
dQ
∫ T , i
(20.12)
20.6
donde Q es el calor y T es la temperatura en kelvins. Las unidades SI para el cambio en la entropía son joules por kelvin (J/K). Debemos notar que la ecuación 20.12 se aplica únicamente a procesos reversibles; esto es, la integración puede ser realizada solamente durante el curso que representa un proceso reversible. Observe que la entropía está definida en términos de su cambio de una configuración inicial a una final. El cambio de entropía es la cantidad físicamente significativa, no el valor absoluto de la entropía en cualquier punto. Otra cantidad física de la cual únicamente el cambio es importante es la energía potencial. El valor absoluto de la energía potencial siempre se define únicamente como una constante arbitraria aditiva, pero el cambio en la energía potencial entre los estados inicial y final es una cantidad física precisamente medible que eleva la(s) fuerza(s). De manera similar a la forma en que las conexiones entre las fuerzas y l a energía potencial cambian y se explicaron en el capítulo 6, esta sección muestra cómo calcular cambios en la entropía dadas por cambios en la temperatura y el calor y trabajo en diferentes sistemas. En el equilibrio térmico, la entropía tiene un extremo (un máximo). En un equilibrio mecánico estable, la fuerza neta es de cero, y por consiguiente, la energía potencial tiene un extremo (un mínimo, en este caso). En un proceso irreversible en un sistema cerrado, la entropía, S, del sistema nunca disminuye; siempre se incrementa o se mantiene constante. En un sistema cerrado, la energía siempre se conserva, pero la entropía no. De este modo, el cambio en la entropía define la dirección del tiempo, esto es, el tiempo se mueve hacia adelante si la entropía de un sistema cerrado se incrementa. La definición de la entropía dada por la ecuación 20.12 descansa en las propiedades macroscópicas de un sistema, como lo son el calor y la temperatura. Otra definición de entropía, basada en descripciones estadísticas de cómo los átomos y las moléculas de un sistema están arreglados, se presentará en la siguiente sección. Ya que la integral en la ecuación 20.12 puede ser únicamente evaluada como un proceso reversible, ¿cómo podemos calcular el cambio en la entropía de un proceso irreversible? La respuesta se debe al hecho de que la entropía es un estado termodinámico variable, así como la temperatura, la presión y el volumen. Esto significa que podemos calcular la diferencia de entropía entre un estado inicial conocido y un estado final conocido incluso en un proceso irreversible si existe un proceso reversible (¡para el cual la integral en la ecuación 20.12 puede ser evaluada!) que lleva al sistema del mismo estado inicial al mismo estado final. Quizás éste es el punto más sutil de la termodinámica dado a conocer en todo este capítulo. Para poder ilustrar este método general de calcular el cambio de la entropía en un proceso irreversible, vamos a regresar a la situación descrita en el capítulo 18, la libre expansión de un gas. La figura 20.18a) muestra un gas confinado a la mitad izquierda de una caja. En la f igura 20.18b), la barrera entre las dos mitades s e elimina y el gas se expande para llenar el volumen entero de la caja. Claramente, una vez que el gas se expande para llenar el volumen entero de la caja, el sistema no regresará espontáneamente al estado en el que las moléculas del gas estaban localizadas en la mitad izquierda de la caja. Las variables del estado del sistema antes de que la barrera se eliminara es la temperatura inicial, T i, el volumen inicial, V i, y la entropía inicial, Si . Después de que la barrera se eliminó y el gas está otra vez en equilibrio, el estado del sistema se puede describir en términos de la temperatura final, T f , el volumen final, V f , y la entropía final, Sf . No podemos calcular el cambio de entropía de este sistema usando la ecuación 20.12 porque el gas no está en equilibrio durante la fase de expansión. Sin embargo, el cambio en las propiedades del sistema depende únicamente en los estados inicial y final, no en cómo el sistema pasó de uno a otro. Por lo tanto, podemos escoger un proceso que el sistema podría haber sufrido por el cual podemos evaluar la integral de la ecuación 20.12. En la libre expansión de un gas ideal, la temperatura se mantiene constante, de este modo, parece razonable usar la expansión isotérmica de un gas ideal. Podemos entonces evaluar la integral en la ecuación 20.12 para calcular el cambio en la entropía de un sistema que ha sufrido un proceso isotérmico: f f S =
∫ i
dQ T
=
1
dQ T ∫
=
Q
T
.
(20.13)
i
(Podemos mover el factor 1/ T fuera de la integral, porque estamos tratando con un proceso isotérmico, para el cual la temperatura es una constante por definición.) Como v imos en el capítulo 19, el trabajo realizado por un gas ideal en expansión de V i a V f en una temperatura constante T está dado por
V f V . i
W = nRT ln
Entropía
667
a)
b)
FIGURA 20.18 a) Un gas
confinado a la mitad del volumen de una caja. b) La barrera que separa las dos mitades se quita y el gas se expande para llenar el volumen entero de la caja.
668
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica
Para un proceso isotérmico, la energía interna del gas no cambia; así que Eint = 0. De este modo, como se mostró en el capítulo 18, podemos utilizar la primera ley de la termodinámica para escribir Eint = W – Q = 0.
Consecuentemente, para un proceso isotérmico, el calor agregado al sistema es V Q = W = nRT ln f . V i El cambio de la entropía resultante para el proceso isotérmico es entonces V nRT ln f V V f Q i = = nR ln S = . T T V i
(20.14)
El cambio de la entropía para la expansión libre irreversible de un gas debe ser igual al cambio de la entropía para el proceso isotérmico porque ambos procesos tienen el mismo estado inicial y final y de este modo deben tener el mismo cambio en la entropía. Para la expansión libre irreversible de un gas, V f >V i, y así ln (V f /V i) > 0. De este modo, > S 0 porque n y R son números positivos. De hecho, el cambio de la entropía de cualquier proceso irreversible es siempre positivo. Por consiguiente, la segunda ley de la termodinámica se puede indicar en una tercera forma. La entropía de un sistema cerrado nunca puede disminuir.
EJEMPLO 20.5
Cambio de la entropía para el congelamiento del agua
Suponga que tenemos 1.50 kg de agua a una temperatura de 0 °C. Ponemos el agua en un congelador y el calor suficiente es removido del agua para poderla congelar por completo hasta el hielo a una temperatura de 0 °C.
PROBLEMA ¿Cuánto cambia la entropía del sistema del agua helada durante el proceso de congelamiento?
SOLUCIÓN El derretimiento del hielo es un proceso isotérmico, así es que podemos usar la ecuación 20.13 para el cambio de entropía: S =
Q
T
,
donde Q es el calor que necesita ser removido para convertir el agua en hielo a T = 273.15 K, el punto de congelación del agua. El calor que necesita ser removido para congelar el agua se determina por el calor latente de la fusión de agua (hielo), definida en el capítulo 18. El calor que necesita ser removido es Q = mLfusión = (1.50 kg)(334 kJ/kg) = 501 kJ.
De este modo, el cambio en la entropía del sistema del agua-hielo es ∆S =
–501 kJ 273.15 K
= – 1 830 J/K.
Observe cómo la entropía del sistema de agua-hielo en el ejemplo 20.5 ha disminuido. ¿Cómo puede disminuir la entropía de este sistema? La segunda ley de la termodinámica afirma que la entropía de un sistema cerrado nunca puede disminuir. Sin embargo, el sistema de agua-hielo no es un sistema cerrado. El congelador usó energía para remover el calor del agua y poder congelar, y desechó el calor hacia el ambiente local. De este modo, la entropía del ambiente se incrementó más de lo que la entropía del sistema de agua-hielo disminuyó. Ésta es una diferencia muy importante.
20.7 Interpretación microscópica de la entropía
Un análisis similar se puede aplicar a los orígenes de formas de vida complejas que tienen entropías más bajas de las que hay en sus alrededores. El desarrollo de formas de vida con entropía baja está acompañado por un incremento global de la entropía en la Tierra. Para que un subsistema vivo en la Tierra reduzca su propia entropía a costa de su ambiente, necesita una fuente de energía. Esta fuente de energía puede ser de enlaces químicos u otros tipos de energía potencial, que a la larga surge de la energía proporcionada a la Tierra por la radiación solar. La evolución hacia formas de vida cada vez más complejas no está en contra de la segunda ley de la termodinámica, porque las formas de vida evolucionadas no forman sistemas cerrados. Una contradicción entre la evolución biológica y la segunda ley de la termodinámica a veces es falsamente aclamada por los oponentes de la evolución en el debate de evolución/creación. Desde el punto de vista de la termodinámica, este argumento tiene que s er rechazado inequívocamente.
EJEMPLO 20.6
Cambio de la entropía para el calentamiento del agua
Suponga que empezamos con 2.00 kg de agua a una temperatura de 20.0 °C y calentamos el agua hasta que alcance una temperatura de 80.0 °C.
PROBLEMA ¿Cuál es el cambio de la entropía del agua?
SOLUCIÓN Empezamos con la ecuación 20.12 referente al cambio de la entropía en la integración del f lujo diferencial de calor, dQ, con respecto a la temperatura: f
S =
dQ
∫ T
.
(i)
i
El calor, Q, requerido para elevar la temperatura de la masa, m, del agua está dada por Q = cmT ,
(ii)
donde c = 4.19 kJ/(kg K) es el calor específico del agua. Podemos reescribir la ecuación (ii) en términos del cambio diferencial de calor, dQ, y el cambio diferencial de la temperatura, dT: dQ = cm d T .
Entonces podemos reescribir l a ecuación (i) como T f
f
S =
∫ i
dQ T
=
∫ T i
cmdT T
T f
= cm
dT
∫ T
= cm ln
T i
T f
.
T i
Con T i = 293.15 K y T f = 353.15 K, el cambio de la entropía es S = 4.19 kJ/
353.15 K
(kg K ) (2.00 kg) ln 293.15 K = 1.56 ⋅103 J/K.
Existe otro punto importante acerca de la definición macroscópica de la entropía y el cálculo de la entropía con ayuda de la ecuación 20.12: la segunda ley de la termodinámica también implica esto para todos los procesos cíclicos (tales como el ciclo de Carnot, de Otto y de Diesel); esto es, todos los procesos en los cuales el estado inicial es el mismo que el estado final, el total del cambio en la entropía del ciclo completo tiene que ser mayor que o igual a cero: S ≥ 0.
20.7 Interpretación microscópica de la entropía En el capítulo 19 vimos que la energía interna de un gas ideal puede ser calculada al sumar las energías de partículas constituyentes del gas. También podemos determinar la entropía de un gas ideal al estudiar sus partículas constituyentes. Ocurre que esta definición microscópica de entropía está de acuerdo con la definición anterior.
669
670
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
Las ideas de orden y desorden son intuitivas. Por ejemplo, una taza de café es un sistema ordenado. Romper la taza al tirarla al suelo crea un sistema que está menos ordenado, o más desordenado, que el sistema original. Este desorden de sistema se puede describir cuantitativamente usando el concepto de estados microscópicos. Otro término para un estado microscópico es un grado de libertad . Supongamos que lanzamos n monedas al aire, y la mitad cae con la cara arriba y la otra mitad cae con la cruz arriba. La afirmación “la mitad de las monedas son cara y la otra mitad son cruz” es una descripción de un estado macroscópico del sistema de n monedas. Cada moneda puede tener uno de dos estados microscópicos: cara o cruz. Al afirmar que la mitad de las monedas son caras y la mitad de las monedas son cruces no especifica nada acerca del estado microscópico de cada moneda, porque existen muchas posibles maneras de arreglar el estado microscópico de las monedas sin cambiar el estado macroscópico. Sin embargo, si todas las monedas son caras o todas las monedas son cruces, el estado microscópico de cada moneda será conocido. El estado macroscópico consistente de la mitad de caras y la mitad de cruces es un sistema desordenado porque muy poco se conoce acerca del estado microscópico de cada moneda. El estado macroscópico con todas las caras o el estado macroscópico con todas las cruces es un sistema ordenado porque el estado microscópico de cada moneda es conocido. Para cuantificar este concepto, imagine lanzar cuatro monedas al aire. Únicamente existe una manera de obtener cuatro caras con tal lanzamiento, cuatro maneras de obtener tres caras y una cruz, seis maneras de obtener dos caras y dos cruces, cuatro maneras de obtener una cara y tres cruces, y únicamente una manera de obtener cuatro cruces. De esta manera, existen cinco posibles estados macroscópicos y dieciséis posibles estados microscópicos (vea la figura 20.19, donde las caras están representadas por círculos rojos, y las cruces por círculos azules). Ahora vamos a suponer que lanzamos cincuenta monedas al aire en vez de cuatro. Existen 2 50 = 1.13 · 1015 posibles microestados de este sistema con cincuenta monedas lanzadas. El estado macroscópico más probable consiste en la mitad de caras y la mitad de cruces. Existen 1.26 · 1014 posibles microestados con la mitad de caras y la mitad de cru3 caras 2 caras 1 cara 4 caras 4 cruces ces. La probabilidad de que la mitad de las monedas caiga con la cara 1 cruz 2 cruces 3 cruces arriba y la otra mitad con la cruz, es de 11.2%, mientras que la probabiFIGURA 20.19 Los 16 estados microscópicos posibles para lidad de que todas las cincuenta monedas caigan con la cara arriba es de cuatro monedas lanzadas al a ire, conduciendo a c inco estados 1 en 1.13 · 1015. macroscópicos posibles. Vamos a aplicar estos conceptos a un sistema real de moléculas de gas: un mol de gas, o el número de moléculas de Avogadro, a presión p, volumen V , y temperatura T . Estas tres cantidades describen el estado macroscópico del gas. La descripción microscópica del sistema requiere especificar la cantidad de movimiento y la posición de cada molécula de gas. Cada molécula tiene tres componentes de sus momentos y tres componentes de su posición. De este modo, en cualquier momento, el gas puede estar en un gran número de estados microscópicos, dependiendo de las posiciones y velocidades de cada una de sus 6.02 · 1023 moléculas. Si el gas sufre una libre expansión, el número de posibles estados microscópicos incrementa y el sistema se vuelve más desordenado. Porque la entropía de un gas que está sufriendo una libre expansión aumenta, el incremento en el desorden está relacionado con el aumento en la entropía. Esta idea puede generalizarse de la siguiente manera: El estado macroscópico más probable de un sistema es el estado con el número más grande de estados microscópicos, que también es el estado macroscópico con más desorden. Dejemos que w sea el número de estados microscópicos posibles de un estado macroscópico dado. Se puede mostrar que la entropía del estado macroscópico se da por S = kB ln w ,
(20.15)
donde kB es la constante de Boltzmann. Esta ecuación fue la primera que escribió el físico austriaco Ludwig Boltzmann y es también su más grande logro (está cincelado en su lápida). Puede ver de la ecuación 20.15 que al incrementar el número de estados microscópicos posibles aumenta la entropía.
20.7 Interpretación microscópica de la entropía
El aspecto importante de un proceso termodinámico no es la entropía absoluta, sino el cambio de la entropía entre el estado inicial y el estado final. Tomando la ecuación 20.15 como la definición de entropía, el número más pequeño de microestados es uno, y la más pequeña entropía que puede existir es entonces cero. De acuerdo con esta definición, la entropía no puede ser nunca negativa. En la práctica, es difícil determinar el número de posibles estados microscópicos excepto con los sistemas especiales. Sin embargo, el cambio en el número de posibles estados microscópicos a menudo puede ser determinado, de este modo se fundamenta al permitir el cambio en la entropía del sistema. Considere un sistema que inicialmente tiene wi microestados y entonces experimenta un proceso termodinámico hasta tener un estado macroscópico con wf microestados. El cambio de la entropía es S = Sf – Si = k B ln wf – kB ln wi = kB ln
w f w i
.
(20.16)
De este modo, el cambio de la entropía entre dos estados macroscópicos depende del número de microestados posibles. La definición de la entropía de un sistema en términos del número de posibles microestados nos guía a una comprensión más profunda de la segunda ley de la termodinámica, la cual afirma que la entropía de un sistema cerrado no puede nunca disminuir. Este planteamiento de la segunda ley combinado con la ecuación 20.15 significa que un sistema cerrado no puede nunca experimentar un proceso termodinámico que baje el número de posibles microestados. Por ejemplo, si el proceso mostrado en la figura 20.18 ocurriera en reversa; esto es, que el gas experimentara una libre contracción hacia un volumen de la mitad de su tamaño original, el número de los posi bles microestados por cada molécula dismi nuiría por un factor de 2. La probabilidad de encontrar una molécula de gas a la mitad del volumen original es entonces y la probabilidad de enconN trar todas las moléculas de gas a la mitad de su volumen original es ( 12 ) , donde N es el número de moléculas. Si existen 100 moléculas de gas en el sistema, entonces la probabilidad de que las 100 moléculas terminen teniendo la mitad de su volumen original es de 7.9 · 10 –31. Tendríamos que revisar el sistema aproximadamente 1/(7.9 · 10–31) ≈ 1030 veces para encontrar las moléculas a la mitad de su volumen sólo una vez. Al revisar una por segundo, esto nos tomaría alrededor de 1014 mil millones de años, mientras que la edad del universo es s olamente de 13.7 mil millones de años. Si el sistema contiene el número de moléculas de gas de Avogadro, entonces la probabilidad de que las moléculas estén a la mitad de su volumen original es aún más pequeña. De este modo, aunque la probabilidad de que este proceso ocurra no es cero, es tan pequeño que lo podemos tratar como cero. Podemos, de este modo, concluir que la segunda ley de la termodinámica, aun cuando se expresa en términos de probabilidades, nunca es violada en ninguna s ituación práctica. 1
2
EJEMPLO 20.7
,
El incremento de la entropía durante la libre expansión de un gas
Vamos a considerar la libre expansión de un gas como el que se muestra en la figura 20.18. Inicialmente 0.500 moles de gas nitrógeno están confinados en un volumen de 0.500 m 3. Cuando la barrera se quita, el gas se expande para llenar el nuevo volumen de 1.00 m 3.
PROBLEMA ¿Cuál es el cambio en la entropía del gas?
SOLUCIÓN Podemos usar la ecuación 20.14 para calcular el cambio de la entropía del sistema, suponiendo que podemos tratar el sistema como una expansión isotérmica de un gas ideal:
1.00 m3 V f = nR ln 2 = nR ln 3 V i 0.500 m
∆S = nR ln
(i)
= (0.500 mol)[ 8.31 J/(mol K)](ln 2) = 2.88 J/K.
Otra aproximación es examinar el número de microestados del sistema antes y después de la expansión para calcular el cambio en la entropía. En este sistema, el número de moléculas de gas es N = nN A ,
(continúa)
671
672
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica (continuación)
20.6 Ejercicio en clase Todos los procesos termodinámicos reversibles siempre proceden en a) presión constante.
donde N A es el número de Avogadro. Antes de la expansión, había wi microestados para las moléculas de gas en la mitad izquierda del contenedor. Después de la expansión, cualquiera de las moléculas podía estar en la mitad izquierda o en la mitad derecha del contenedor. Por consiguiente, el número de microestados después de la expansión es N
wf = 2 w i .
Al usar la ecuación 20.16 y al recordar que nR = NkB, podemos expresar el cambio en la entropía del sistema como N S = kB ln
b) temperatura constante. c ) entropía constante. d ) volumen constante. e) ninguna de las anteriores.
w f w i
= kB ln
2 w i
w i
= NkB ln 2 = nR ln 2.
De esta manera, obtenemos el mismo resultado por el cambio de la entropía de un gas l ibremente expandido al observar las propiedades microscópicas del sistema que al usar las propiedades macroscópicas del sistema en la ecuación (i).
Muerte de la entropía El universo es el sistema cerrado extremo. La vasta mayoría de los procesos termodinámicos en el universo son irreversibles, y de esta manera, la entropía del universo como un todo s e está incrementando de manera continua y asintóticamente aproximándose a su máximo. De este modo, si el universo existe durante suficiente tiempo, toda la energía será distribuida de manera uniforme por todo su volumen. Además, si el universo s e sigue expandiendo por siempre, la gravedad —la única fuerza importante de largo alcance— no tendrá la capacidad de seguir jalando los objetos para mantenerlos juntos. Esta condición más reciente es la principal diferencia del primer universo en los primeros momentos después del Big Bang, cuando la materia y la energía también estaban distribuidas uniformemente a través del universo, como lo revelaron los análisis de la radiación de fondo de microondas (visto en el capítulo 17). Pero en el primer universo, la gravedad era muy fuerte, como resultado de la concentración de la materia en un espacio pequeño, y era capaz de desarrollar fluctuaciones mínimas y contraer la materia para formar estrellas y galaxias. De este modo, aunque la materia y la energía fueron distribuidas uniformemente en el primer universo, la entropía no estaba cerca de su máximo, y el universo entero estaba lejos del equilibrio térmico. En el futuro a largo plazo del universo, todas las estrellas, las cuales en la actualidad representan las fuentes de energía de otros objetos como nuestro planeta, estarán finalmente extintas. Entonces, la vida será imposible, porque la vida necesita una fuente de energía para poder disminuir la entropía localmente. Mientras el universo se acerca de manera asintótica a su estado de entropía máxima, cada subsistema del universo alcanzará el equilibrio termodinámico. En ocasiones, a este destino a largo plazo del universo se le l lama muerte térmica. Sin embargo, la temperatura del universo en ese momento no será alta, como su nombre lo sugeriría, sino muy cercana al cero absoluto y muy similar en todas partes. Esto no es algo de lo que nos tengamos que preocupar por ahora, porque algunas estimaciones indican que la muerte de la entropía del universo está a 10 100 años en el futuro (con una inseguridad en muchos órdenes de magnitud). Obviamente, el futuro a largo plazo del universo es muy interesante y en la actualidad es un área de investigación intensa. Nuevos descubrimientos acerca de la materia oscura y la energía oscura pueden cambiar nuestra imagen del futuro a l argo plazo del universo. Pero tal como está en este momento, el universo no desaparecerá con una explosión, sino con un quejido.
LO QUE HEMOS APRENDIDO |
GUÍA DE ESTUDIO PARA EXAMEN
■ En un proceso reversible, el sistema siempre está cercano al equilibrio termodinámico. Al hacer un pequeño cambio en el estado del sistema puede revertir cualquier cambio en las variables termodinámicas del sistema.
■ Un proceso irreversible involucra el flujo de calor con una diferencia limitada de temperatura, libre expansión de un gas, o la conversión de trabajo mecánico a energía térmica.
■ Un motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en trabajo útil.
■ La eficiencia, , de un motor térmico se define como e
= W /QH, donde W es el trabajo útil extraído del motor y QH es la energía que se provee al motor en forma de calor. e
Respuestas a oportunidades de autoexamen
■ Un refrigerador es un motor térmico que funciona en
■ La segunda ley de la termodinámica se puede
forma inversa.
establecer como sigue: es imposible para un sistema pasar por un proceso en el cual absorbe calor de un depósito térmico a cierta temperatura y convierte ese calor completamente en trabajo mecánico sin rechazar el calor hacia un depósito térmico de temperatura baja.
■ El coeficiente de desempeño, K , de un refrigerador se define como K = QL/W, donde QL es el calor extraído del depósito térmico de baja temperatura y W es el trabajo requerido para extraer el calor.
■ Un motor ideal es uno en el que todos los procesos
■ La segunda ley de la termodinámica también puede establecerse como sigue: es imposible para cualquier proceso transferir energía térmica de un depósito térmico de baja temperatura a un depósito térmico de alta temperatura sin que ningún trabajo sea realizado para lograr la transferencia.
involucrados son reversibles.
■ Un motor de Carnot usa el ciclo de Carnot, un proceso termodinámico ideal que consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos. El motor de Carnot es el motor más eficiente que puede funcionar entre dos depósitos térmicos.
■ El cambio en la entropía de un sistema se define como f
S=
■ La eficiencia del motor de Carnot está dada por (T H – T L)/T H, donde T H es la temperatura del depósito térmico más caliente y T L es la temperatura del depósito térmico más frío. =
■ El coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot es K máx = T L/(T H – T L), donde T H es la temperatura del depósito térmico más caliente y T L es la temperatura del depósito térmico más f río.
■ El ciclo de Otto describe la operación de los motores
673
dQ
∫ T , donde dQ es el calor diferencial añadido al i
sistema, T es la temperatura y la integración se realiza desde un estado termodinámico inicial hasta un estado termodinámico final.
■ Una tercera manera de establecer la segunda ley de la termodinámica es la que sigue: la entropía de un sistema cerrado nunca puede disminuir.
■ La entropía de un sistema macroscópico se puede definir en términos del número de posibles estados microscópicos, w, del sistema: S = kB ln w, donde kB es la constante de Boltzmann.
de combustión interna. Consiste en dos procesos adiabáticos y dos procesos de volumen constante. La eficiencia de un motor que usa el ciclo de Otto está dada por = 1 – r 1– , donde r = V 1/V 2 es la proporción de compresión y = C p/C V .
TÉRM INOS CLAVE refrigerador, p. 652 coeficiente de desempeño, p. 653 bomba de calor, p. 653 motor ideal, p. 654
proceso reversible, p. 650 proceso irreversible, p. 651 motor térmico, p. 652 eficiencia, p. 652
motor de Carnot, p. 654 ciclo de Carnot, p. 654 teorema de Carnot, p. 656 ciclo de Otto, p. 658
segunda ley de la termodinámica, p. 664 entropía, p. 666 estados microscópicos, p. 670
NUEVOS SÍMBOLOS Y ECUACIONES f
=
W QH
K =
QL W
,
eficiencia de un motor térmico
S =
dQ
∫ T , cambio de la entropía de un sistema i
, coeficiente de desempeño de
un refrigerador
S = kB ln w, definición microscópica de la entropía W , número de posibles estados microscópicos
RESPUESTAS A OP ORTUNIDADES DE AUTOEXAME N 20.1
La eficiencia está dada por =1 –
T L T H
=1–
325 K 500 K
20.2
= 0.35 (o 35%).
15 10
La proporción de las dos eficiencias es
=
1 – 15–0.4 66.1% = = 1.55, que es una mejoría de 55%. 1 – 4–0.4 42.6%
674
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica
PRÁCTICA PARA RESO LUCIÓN D E PROBLEM AS Lineamientos de problemas resueltos Con los problemas en termodinámica, necesita poner mucha atención a los signos de trabajo ( W ) y calor (Q). El trabajo hecho por un sistema es positivo, y el trabajo realizado en un sistema es negativo; el calor que es transferido a un sistema es positivo, y el calor que es emitido por un sistema es negativo. 2. Algunos problemas que involucran motores térmicos tienen que ver con la potencia y con la tasa de la transferencia de energía térmica. La potencia es trabajo por unidad de tiempo (P = W /t ) y la tasa de la transferencia de la energía térmica es calor por unidad de tiempo (Q/t ). Usted puede tratar a estas cantidades como al trabajo y el calor, pero recuerde que involucran la unidad de tiempo. 3. La entropía puede parecerse un poco a la energía, pero éstos son conceptos muy diferentes. La primera ley de la termodinámica es una ley de conservación; la energía se conserva. La segunda ley de la termodinámica no es una ley de conservación; la entropía no se conserva; siempre o se queda igual o incrementa y nunca disminuye en un sistema cerrado. 1.
Usted puede requerir identificar los estados inicial y final para calcular el cambio en la entropía, pero recuerde que la entropía puede cambiar. Recuerde que la entropía de un sistema cerrado siempre permanece igual o se incrementa (nunca disminuye), pero asegúrese de que en un problema la situación es realmente acerca de un sistema cerrado. La entropía de un sistema que no está cerrado puede disminuir si incrementa más la entropía en los alrededores y lo contrarresta; no suponga que todos los cambios en la entropía deben ser positivos. 4.
f
5.
No aplique la fórmula
S =
dQ
∫ T para el cambio de la i
entropía sin primero asegurarse de que usted está tratando con un proceso reversible. Si necesita calcular el cambio de la entropía de un proceso irreversible, primero necesita hallar un proceso equivalente reversible que conecte los mismos estados inicial y final.
PROBLEMA RESUELTO 20.2 Costo de operar una planta de energía eléctrica Una planta de energía eléctrica funciona con turbinas de vapor a una temperatura de 557 °C y usa torres de enfriamiento para mantener frío el depósito térmico a una temperatura de 38.3 °C. El costo operativo de la planta por año es de 52.0 millones de dólares. Los gerentes de la planta proponen usar agua de un lago cercano para bajar la temperatura del depósito frío a 8.90 °C. Suponga que la planta opera a su eficiencia máxima posible.
PROBLEMA ¿Cuánto se reduciría el costo de operación de la planta en un año como resultado del cambio en la temperatura del depósito? Suponga que la planta genera la misma cantidad de electricidad.
SOLUCIÓN PIENSE Podemos calcular la eficiencia de l a planta de energía suponiendo que ésta opera con la efi ciencia teórica de Carnot, la cual depende únicamente de las temperaturas del depósito térmico caliente y del depósito térmico frío. Podemos calcular la cantidad de energía térmica puesta en el depósito térmico caliente y suponer que el costo de operación de la planta es proporcional a esa energía térmica. Esta energía térmica puede provenir de quemar un combustible (carbón, aceite o gas) o tal vez de un reactor nuclear. Bajar la temperatura del depósito frío va a incrementar la eficiencia de la planta de energía, y de este modo disminuirá la cantidad requerida de energía térmica y los costos asociados. Los costos ahorrados son entonces los costos de operación de la planta original menos los costos de operación de la planta mejorada.
ESBOCE W
T H QH1 QH2
FIGURA 20.20
La figura 20.20 es un esbozo referente a las cantidades termodinámicas involucradas en el funcionamiento de una planta de energía eléctrica. La temperatura del depósito caliente es T H, la energía térmica abastecida a la planta de energía original es QH1, la energía térmica provista a la planta de energía mejorada es QH2, el trabajo útil hecho por la planta de energía es W , la temperatura original del depósito frío es T L1, y la temperatura del depósito frío T L1 mejorado es T L2. T L2
Las cantidades termodinámicas relacionadas a la operación de una planta de energía eléctrica.
INVESTIGUE La máxima eficiencia de la planta de energía cuando está operando con las torres de enfriamiento está dada por la eficiencia teórica de Carnot: 1
=
TH – T L1 T H
.
(i)
Práctica para resolución de problemas
La eficiencia de la planta de energía bajo esta condición también puede ser expresada como
1
=
W QH1
,
(ii)
donde QH1 es la energía térmica abastecida cuando las torres de enfriamiento se están usando. Podemos escribir expresiones similares para la eficiencia de la planta de energía cuando el lago se está usando para disminuir la temperatura del depósito frío: 2
=
TH – T L 2 T H
(iii)
y 2
W
=
.
QH 2
(iv)
El costo de operar la planta de energía es proporcional a la energía térmica abastecida al depósito caliente. De este modo podemos igualar la proporción del costo original, c1, al costo reducido, c2, con la proporción de la energía térmica originalmente requerida, QH1, a la energía térmica requerida subsecuentemente, QH2: c1
c2
=
QH1
.
QH2
SIMPLIFIQUE
Podemos expresar el nuevo costo como c2 = c1
QH2
.
QH1
Podemos obtener una expresión para la energía térmica originalmente requerida usando las ecuaciones (i) y (ii): QH1 =
W
=
1
W
=
THW
TH – T L1 TH – T L1 T H
.
Podemos obtener una expresión similar para la energía térmica requerida después de la mejora usando las ecuaciones (iii) y (iv): QH2 =
W 2
=
W
=
THW
TH – T L 2 TH – T L2 T H
.
Podemos ahora expresar el nuevo costo como
THW T – T QH2 TH – T L1 H L2 c2 = c1 = c1 = c1 . THW QH1 T – T L 2 H T – T H L1 Observe que el trabajo W hecho por la planta de energía se cancela porque la planta genera la misma cantidad de electricidad en ambos casos. Los costos ahorrados son entonces c1 – c2 = c1 – c1
TH – T L1 TH – T L 2
= c1 1 –
TH – T L1
T
– T
= c1 L1 L 2 . TH – T L2 TH – T L 2
CALCULE
Al sustituir los valores numéricos obtenemos c1 – c2 = c1
TL1 – T L 2 TH – T L 2
311.45 K – 282.05 K = ($52.0 millones) = $2.78927 millones. 830.15 K – 282.05 K
(continúa)
675
676
Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica
(continuación)
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con tres cifras signif icativas Costos ahorrados = $2.79 millones.
V U E L VA A R E V I S A R Para volver a revisar nuestro resultado, calculamos la eficiencia de la planta de energía usando las torres de enfriamiento:
1
=
TH – T L1
=
830.15 K – 311.45 K
T H
= 62.5%..
830.15 K
La eficiencia de la planta de energía usando el lago para bajar la temperatura del depósito frío es
2
=
TH – T L 2
=
830.15 K – 282.05 K
T H
= 66.0%..
830.15 K
Estas eficiencias parecen razonables. Para revisar aún más, verificamos que la proporción de las dos eficiencias sean iguales a la proporción inversa de los dos costos, porque mayor eficiencia significa menores costos. La proporción de las dos eficiencias es
1
2
=
62.5%
= 0.947.
66.0%
La proporción inversa de los dos costos es c 2
=
$52 millones – $2.79 millones
c 1
$52 millones
= 0.946.
Estas proporciones coinciden dentro del error redondeado. De este modo, nuestro resultado parece razonable.
PROBLEMA RESUELTO 20.3 Congelar agua en un refrigerador Suponga que tenemos 250 g de agua a 0.00 °C. Queremos congelar esta agua poniéndola en un refrigerador que funciona en una habitación con una temperatura de 22.0 °C. La temperatura dentro del refrigerador se mantiene en –5.00 °C.
PROBLEMA ¿Cuál es la cantidad mínima de energía eléctrica que se requiere abastecer para que el refrigerador congele el agua? W
Interior del refrigerador
Habitación
T H
QH
T L QL
Refrigerador
FIGURA 20.21
Diagrama de flujo de calor para u n refrigerador que toma calor del interior del refrigerador y lo desecha a la habitación usando una fuente de energía eléctrica.
SOLUCIÓN PIENSE La cantidad de calor que debe ser removida depende del calor latente de la fusión y la masa dada de agua. El refrigerador más eficiente posible es el refrigerador Carnot, así es que utilizaremos el máximo coeficiente de desempeño teórico de tal refrigerador. Al conocer la cantidad de calor que va a ser removido del depósito de baja temperatura y el coeficiente de desempeño, podemos calcular el mínimo de energía que requerimos abastecer.
ESBOCE En la figura 20.21 se muestra un diagrama de flujo de calor para el refrigerador.
Preguntas de opción múltiple
677
INVESTIGUE El refrigerador más eficiente posible es el refrigerador de Carnot. El coeficiente máximo de desempeño de un refrigerador de Carnot se obtiene con las ecuaciones 20.2 y 20.7: K máx =
QL W
=
T L TH – T L
(i)
,
donde QL es el calor removido dentro del refrigerador, W , es el trabajo (en términos de energía eléctrica) que requiere ser abastecido, T L es la temperatura interior del refrigerador, y T H es la temperatura de la habitación. La cantidad de calor que necesita ser retirada para poder congelar la masa de agua m se da por (vea el capítulo 18) QL = mLfusión ,
(ii)
donde Lfusión = 334 kJ/kg es el calor latente de la fusión del agua (el cual puede ser encontrado en la tabla 18.2).
SIMPLIFIQUE Podemos resolver la ecuación (i) por la energía que se requiere abastecer para el refrigerador: W = QL
TH – T L
.
T L
Al sustituir la expresión del calor removido de la ecuación (ii), obtenemos
(
W = mL fusión
)
TH – T L
.
T L
CALCULE Al colocar los valores numéricos obtenemos W =
mLfusión K
= (0.250 kg)(334 kJ/kg)
295.15 K – 268.15 K =8.41231 kJ. 268.15 K
REDONDEE Reportamos nuestro resultado con tres cifras signifi cativas: W = 8.41 kJ.
V U E L VA A R E V I S A R Para volver a revisar nuestro resultado, vamos a calcular el calor removido del agua: QL = mLfusión = (0.250 kg)(334 kJ/kg) = 83.5 kJ.
Al usar nuestro resultado de la energía requerida para congelar el agua, podemos calcular el coeficiente de desempeño del refrigerador: K =
QL W
=
83.5 kJ 8.41 kJ
= 9.93.
Podemos comparar este resultado con el máximo coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot: K máx =
T L
TH – T L
=
268.15 K
= 9.93..
295.15 K – 268.15 K
De esta manera, nuestro resultado parece razonable.
PREGUN TAS DE OPCI ÓN MÚLTIPLE ¿Cuál de los siguientes procesos siempre resulta en un incremento de la energía de un sistema? a) El sistema pierde calor y trabaja en los alrededores. b) El sistema gana calor y trabaja en los alrededores. 20.1
c) El sistema pierde calor y tiene que trabajar en él por los al-
rededores. d ) El sistema gana calor y tiene que trabajar en él por los alrededores. e) Ninguno de las anteriores.
678
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
¿Cuál es la magnitud del cambio en la entropía cuando 6.00 g de vapor a 100 °C se condensan formando agua a 100 °C? 20.2
a) 46.6 J/K b) 52.4 J/K
c) 36.3 J/K d ) 34.2 J/K
El cambio de la entropía de un sistema puede ser calculada porque 20.3
a) Depende únicamente en c) La entropía siempre los estados inicial y final. aumenta. b) Cualquier proceso es d ) Ninguna de las reversible. anteriores. 20.4 Un gas ideal experimenta una expansión isotérmica. ¿Qué pasará con su entropía? a) Aumentará. b) Disminuirá.
c) Es imposible determinarlo. d ) Permanecerá sin cambios.
¿Cuáles de los siguientes procesos (todos son expansiones de temperatura constantes) producen más trabajo? 20.5
a) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 20 °C que se expande de 1 L a 2 L. b) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 20 °C que se expande de 2 L a 4 L. c) Un gas ideal que consiste en 2 moles de argón a 10 °C que se expande de 2 L a 4 L. d ) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 40 °C que se expande de 1 L a 2 L. e) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 40 °C que se expande de 2 L a 4 L. Un motor térmico funciona con una eficiencia de 0.5. ¿Cuáles pueden ser las temperaturas de depósitos de temperatura alta y de temperatura baja? 20.6
a) b) c) d ) e)
T H = 600 K y T L = 100 K T H = 600 K y T L = 200 K T H = 500 K y T L = 200 K T H = 500 K y T L = 300 K T H = 600 K y T L = 300 K
El número de macroestados que pueden resultar de lanzar un conjunto de N dados de seis lados es el número de los totales diferentes que pueden ser obtenidos al sumar los puntos de los dados en las N caras que caen hacia arriba. E l número de macroestados es a) 6N . b) 6N. c) 6N – 1. d ) 5N + 1. 20.7
¿Qué capacidad debe tener una bomba de calor con un coeficiente de desempeño de 3 de calentar una casa que pierde energía térmica a una velocidad de 12 kW en el día más frío del año? 20.8
a) 3 kW b) 4 kW
c) 10 kW d ) 30 kW
e) 40 kW
¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca del ciclo de Carnot es (son) incorrecta(s)? 20.9
a) La máxima eficiencia de un motor de Carnot es de 100% ya que el ciclo de Carnot es un proceso ideal. b) El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos. c) El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos isentrópicos (entropía constante). d ) La eficiencia del ciclo de Carnot depende solamente de las temperaturas de los dos depósitos térmicos. ¿Puede funcionar un motor térmico con el parámetro especificado en la figura? 20.10
a) Sí. b) No. c) Necesitaría saber el ciclo específico utilizado por el motor para contestar. d ) Sí, pero únicamente con un gas monoatómico. e) Sí, pero únicamente con un gas diatómico.
QC
50 joules
PREGUNTAS Uno de sus amigos empieza a hablar acerca de qué tan desafortunada es la segunda ley de la termodinámica, qué triste es que la entropía tenga que aumentar siempre, conduciendo a la irreversible degradación de energía útil a calor y la decadencia de todas las cosas. ¿Hay algún contraargumento que le pueda dar que sugeriría que la segunda ley es en realidad una bendición? 20.12 Mientras contempla un sistema muy pequeño, un científico observa que la entropía del sistema disminuye espontáneamente. De ser cierto, ¿es este un descubrimiento digno del premio Nobel o no es tan s ignificativo? 20.13 ¿Por qué habría una bomba térmica de tener ventaja sobre un calentador unitario que convierte la energía eléctrica directamente en energía térmica? 20.14 Imagine dividir una caja en dos partes iguales, la parte A en la izquierda y la parte B en la derecha. Cuatro átomos de gas idéntico, numerados del 1 al 4, se colocan en la caja. ¿Cuá20.11
les son la primera y la segunda distribución más probable (por ejemplo, 3 átomos en A, 1 átomo en B) de los átomos de gas en la caja? Calcule la entropía, S, de esas dos distribuciones. Observe que las configuraciones con los 3 átomos en A y 1 átomo en B, y con 1 átomo en A y 3 átomos en B cuentan como diferentes configuraciones. Una característica clave de la termodinámica es el hecho de que la energía interna, Eint de un sistema y su entropía, S, son estados variables; esto es, dependen únicamente en el estado termodinámico del sistema y no en los procesos por los cuales alcanza ese estado (a diferencia de, por ejemplo, el calor contenido, Q). Esto significa que las diferenciales dEint = T dS – p dV y dS = T –1dEint + pT –1dV, donde T es la temperatura (en kelvins), p es la presión y V es el volumen, son diferenciales exactas como se definen en el cálculo. ¿Qué relaciones se siguen de este hecho? 20.15
Problemas
Otros estados variables útiles para la caracterización de diferentes clases de procesos se pueden definir como Eint, S, P , y V . Éstas incluyen la entalpía, H Eint + pV , la energía libre de Helmholtz, A Eint – TS, y la energía libre de Gibbs, G Eint + pV – TS. a) Escriba las ecuaciones diferenciales para dH, dA, y dG. b) Todas éstas son también diferenciales exactas. ¿Qué relaciones se siguen de este hecho? Use la primera ley para simplificar. 20.17 Pruebe que la definición microscópica de la entropía de Boltzmann, S = kB ln w, implica que la entropía es una variable acumulativa: dados dos sistemas, A y B, en estados termodinámicos específicos, con entropías SA y SB, respecti vamente, muestran que la entropía correspondiente al sistema combinado es SA + SB. 20.16
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≡
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679
Explique cómo es posible para una bomba de calor, como aquella en el ejemplo 20.2, operar con únicamente 6.28 kW de energía y calentar una casa que está perdiendo energía térmica a una velocidad de 21.98 kW. 20.19 La temperatura en las nubes superiores de Saturno es aproximadamente de 50 K. La atmósfera de Saturno produce vientos tremendos; rapideces del viento de 600 km/h han sido inferidas de medidas espaciales. ¿El factor del efecto enfriador del viento en Saturno puede producir una temperatura de (o menor a) cero absoluto? ¿Cómo, o por qué no? 20.20 ¿Es una violación a la segunda ley de la termodinámica capturar todo el calor desechado del motor de vapor y entubarlo de regreso al sistema a que trabaje? ¿Por qué sí o por qué no? 20.21 Le han dado una cubeta de agua. ¿Qué puede hacer para incrementar su entropía? ¿Qué puede hacer para disminuir su entropía? 20.18
PROB LEM AS
Una y dos problema. •
indican un nivel creciente de dificultad del
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Sección 20.2
Con cada ciclo, un motor de 2 500. W extrae 2 100. J de un depósito térmico a 90.0 °C y expulsa 1 500. J a un depósito térmico a 20.0 °C. ¿Cuál es el trabajo hecho para cada ciclo? ¿Cuál es la eficiencia del motor? ¿Cuánto tiempo le toma a cada ciclo? 20.22
Un refrigerador con un coeficiente de desempeño de 3.80 se está usando para enfriar 2.00 L de agua mineral de temperatura ambiente (25.0 °C) a 4.00 °C. Si el refrigerador usa 480. W, ¿cuánto tiempo le llevará al agua llegar a los 4.00 °C? Recuerde que la capacidad calórica del agua es de 4.19 kJ/(kg K), y la densidad del agua es de 1.00 g/cm3. Suponga que el resto del contenido del refrigerador está ya a 4.00 °C. 20.23
•
Quemar combustible transfiere 4 · 105 W de potencia al motor de 2 000. kg del vehículo. Si la eficiencia del motor es de 25.0%, determine la rapidez máxima que el vehículo puede alcanzar 5.00 s después de iniciar en el reposo. 20.24
•
20.25 Un motor térmico consiste en una fuente de calor que causa la expansión de un gas monoatómico, empujando al pistón, para de esta forma hacer el trabajo. El gas comienza con una presión de 300. kPa, un volumen de 150. cm3, y una temperatura ambiente de 20.0 °C. Al alcanzar un volumen de 450. cm3, el pistón está asegurado en su lugar y la fuente de calor es removida. En este momento, el gas enfría de regreso a la temperatura ambiente. Por último, el pistón es liberado y se usa para comprimir isotérmicamente el gas de regreso a su estado original. a) Esboce el ciclo en un diagrama pV . b) Determine el trabajo realizado en el gas y el flujo de calor que sale del gas en cada parte del ciclo. c) Usando los resultados del inciso b), determine la eficiencia del motor. •
Un ciclo de motor térmico que se usa a menudo en la refrigeración es el ciclo de Brayton, el cual involucra una compresión adiabática, seguida de expansión isobárica, una expansión adiabática y finalmente una compresión isobárica. El sistema comienza en una temperatura T 1 y hace una transición a temperaturas T 2, T 3 y T 4 después de partes respectivas del ciclo. a) Esboce este ciclo en un diagrama pV . b) Muestre que las eficiencias del ciclo entero están dadas por e = 1 – (T – T )/(T – T ). 4 1 3 2 20.27 Suponga que un motor de Brayton (vea el problema 20.26) es manejado como un refrigerador. En este caso, el ciclo comienza a una temperatura T 1, y el gas se expande isobáricamente hasta que alcanza una temperatura T 4. Entonces el gas es comprimido de manera adiabática hasta que su temperatura es T 3. Después es comprimido isobáricamente y la temperatura cambia a T 2. Por último, se expande en forma adiabática hasta que regresa a una temperatura T 1. a) Esboce este ciclo en un diagrama pV . b) Muestre que el coeficiente de desempeño del motor está dado por K = (T 4 – T 1)/(T 3 – T 2 – T 4 + T 1). 20.26
•
•
Sección 20.3
Se desea construir una bomba térmica que tenga una temperatura de salida de 23 °C. Calcule el coeficiente de desempeño máximo para la bomba cuando la fuente de entrada es a) el aire externo de un día frío de invierno está a 210.0 °C y b) el agua subterránea está a 9 °C. 20.29 Considere un motor de Carnot que trabaja entre depósitos térmicos con temperaturas de 1 000.0 K y 300.0 K. La potencia media del motor es de 1.00 kJ por ciclo. a) ¿Cuál es la eficiencia de este motor? b) ¿Cuánta energía es extraída del depósito caliente por ciclo? c) ¿Cuánta energía es entregada al depósito frío? 20.28
680
Capítulo 20
La segunda ley de la termodinámica
Un refrigerador de Carnot está operando entre depósitos térmicos con temperaturas de 27.0 °C y 0.00 °C. 20.30
a) ¿Cuánto trabajo necesita introducirse para extraer 10.0 J de calor del depósito frío? b) ¿Cuánto trabajo se necesita si el depósito frío está a –20.0 °C? Se ha sugerido que se puede usar la vasta cantidad de energía térmica en los océanos. El proceso descansaría en las diferencias de temperatura entre la capa superior del océano y la inferior; la temperatura del agua en la parte inferior es bastante constante, pero la temperatura del agua en la superficie cambia dependiendo del momento del día, la estación y el clima. Suponga que la diferencia de temperatura entre la superficie y el fondo en la ubicación de una planta de energía térmica propuesta sea de 3 °C. Suponiendo que la planta funcionara con la mayor eficiencia posible, ¿existe un límite de cuánta de la energía térmica del océano se puede extraer? Si es así, ¿cuál es el límite? 20.31
20.32 Un motor de Carnot toma una cantidad de calor QH = 100. J de un depósito de alta temperatura a una temperatura T H = 1 000. °C, y desecha el calor restante a un depósito de baja temperatura a T L = 10.0 °C. Encuentre la cantidad de trabajo que se obtiene en este proceso. •
Un motor de Carnot opera entre un depósito caliente a una temperatura T 1 y un depósito frío a una temperatura T 2. Se encuentra que al incrementar la temperatura del depósito caliente por un factor de 2 mientras se mantiene a la misma temperatura el depósito frío también incrementa la eficiencia del motor de Carnot por un factor de 2. Encuentre la eficiencia del motor y la proporción de las temperaturas de los dos depósitos en sus formas originales. 20.33
•
Un motor térmico usa 100. mg de gas helio y sigue el ciclo mostrado en la figura. 20.39
•
p (atm) 5.00
2
Isotérmico a) Determine la presión, volumen y temperatura 1.00 3 del gas en los puntos 1, 1 2 y 3. V V máx 1 200. cm3 b) Determine la eficiencia del motor. c) ¿Cuál sería la eficiencia máxima del motor si fuera capaz de funcionar entre el máximo y el mínimo de temperaturas?
Los motores de las turbinas de gas, como las de las aeronaves de propulsión a chorro, operan en un ciclo termodinámico conocido como el ciclo de Brayton. El ciclo básico de Brayton, como se muestra en la figura, consiste de dos procesos adiabáticos —la compresión y expansión de un gas a través de la turbina— y de dos procesos isobáricos. El calor es transferido al gas durante la combustión en un proceso de presión constante (trayecto del punto 2 al punto 3) y removido del gas en un intercambio térmico durante el proceso de presión constante (trayecto del punto 4 al punto 1). El parámetro clave para este ciclo es la proporción de la presión, definida como, r p = pmáx/ pmín p2/ p1, y éste es el único parámetro necesario para calcular la eficiencia del motor de Brayton. 20.40
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a) Determine una expresión para la eficiencia. b) Calcule la eficiencia de un motor de Brayton que utiliza un gas diatómico y tiene una proporción de presión de 10.0.
Cierto refrigerador está calificado con una eficiencia de 32.0%. Para remover 100. J de calor del interior a 0 °C y eyectarlo hacia afuera a 22 °C, ¿cuánto trabajo debe hacer el motor del refrigerador?
pmáx
20.34
•
Combustión 2 3
QH
p (N/m2)
Sección 20.4 Un refrigerador tiene un coeficiente de desempeño de 5.0. Si el refrigerador absorbe 40.0 cal de calor del depósito de baja temperatura en cada ciclo, ¿cuál es la cantidad de calor expulsado al depósito de alta temperatura?
pmín
Una bomba de calor tiene un coeficiente de desempeño de 5.0. Si la bomba de calor absorbe 40.0 cal de calor del frío al aire libre en cada ciclo, ¿cuál es la cantidad de calor expulsado al aire caliente bajo techo?
Secciones 20.6 y 20.7
20.35
20.36
Un motor de Otto tiene una máxima eficiencia de 20.0%; encuentre la proporción de compresión. Suponga que el gas es diatómico. 20.37
20.38 Un motor fuera de borda para un barco es enfriado por el agua del lago a 15.0 °C y tiene una proporción de compresión de 10.0. Suponga que el aire es un gas diatómico. •
a) Calcule la eficiencia del motor del ciclo de Otto. b) Usando su respuesta del inciso a) y el hecho de que la eficiencia de un ciclo de Carnot es mucho mayor que aquella del ciclo de Otto, estime la máxima temperatura del motor.
1
QC Enfriamiento V mín
V (m3)
4
V máx
Uno de los extremos de una barra de metal está en contacto con el depósito térmico a 700. K, y el otro extremo está en contacto con un depósito térmico a 100. K. La barra de metal y los depósitos forman un sistema cerrado. Si 8 500. J son conducidos de un extremo al otro de la barra uniformemente (sin que cambie la temperatura de la barra), ¿cuál es el cambio en la entropía del sistema en a) cada depósito, b) la barra y c) el sistema? 20.41
La entropía de un estado macroscópico está dada por S = kB lnw, donde kB es la constante de Boltzmann y w es el número de posibles estados microscópicos. Calcule el cambio de la entropía cuando n moles de un gas ideal experimentan libre expansión para llenar el volumen entero de una caja después de que la barrera entre las dos mitades de la caja se quitó. 20.42
Problemas
20.43 Se envía una propuesta para un motor nuevo que estará funcionando entre 400. K y 300. K. a) ¿Cuál es la máxima eficiencia teórica del motor? b) ¿Cuál es el cambio total de la entropía por ciclo si el motor funciona a su eficiencia máxima? 20.44 Un bloque de 10.0 kg inicialmente se desliza a 10.0 m/s en una superficie plana rugosa y a la larga se detiene. Si el bloque se enfría a temperatura ambiente, que es de 27.0 °C, ¿cuál es el cambio en la entropía del sistema? 20.45 Suponga que un átomo con un volumen V A está dentro de un contenedor con volumen V . El átomo puede ocupar cualquier posición dentro de su volumen. Para este simple modelo, el número de estados disponibles para el átomo se da por V /V A. Ahora suponga que el mismo átomo está dentro de un contenedor con volumen 2V . ¿Cuál será el cambio de entropía? 20.46 Un gas ideal está encerrado en un cilindro con un pistón movible en la parte superior. Las paredes del cilindro están aisladas, para que el calor no pueda salir ni entrar. Al inicio el gas ocupa el volumen V 1 y la presión p1 y la temperatura T 1. El pistón se mueve entonces de manera muy rápida al volumen de V 2 = 3V 1. Este proceso ocurre tan rápidamente que el gas encerrado no realiza ningún trabajo. Encuentre p2, T 2 y el cambio de la entropía del gas. •
20.47 Los electrones tienen una propiedad llamada giratoria que puede ser tanto hacia arriba como hacia abajo, de manera análoga como una moneda puede ser cara o cruz. Considere cinco electrones. Calcule la entropía, S5arriba, para el estado donde los giros de los cinco electrones van hacia arriba. Calcule la entropía, S3arriba, para el estado donde tres giros van hacia arriba y dos van hacia abajo. •
20.48 Se toma una barra de hierro de 0.545 kg de un fogón a 1 000.0 °C y se deja caer dentro de 10.00 kg de agua a 22.0 °C. Suponiendo que no se pierde ninguna energía en forma de calor a los alrededores mientras el agua y la barra alcanzan su temperatura final, determine el total del cambio de entropía del sistema de agua-barra. •
20.49 Si la Tierra se trata como un cuerpo negro esférico de un radio de 6 371 km, que absorbe el calor del Sol a una proporción dada por la constante solar (1 370 W/m 2) e inmerso en un espacio con una temperatura aproximada de T sp = 50.0 K, irradia calor de regreso al espacio a una temperatura en equilibrio de 278.9 K. (Esto es un refinamiento leve del modelo en el capítulo 18.) Estime la proporción en la cual la Tierra gana entropía en este modelo. ••
20.50 Suponga que una persona metabolice 2 000 kcal/día.
••
a) Con una temperatura corporal de 37.0 °C y una temperatura ambiente de 20.0 °C, ¿cuál es la eficiencia máxima (Carnot) con la cual la persona puede trabajar? b) Si la persona pudiera trabajar con esa eficiencia, ¿a qué tasa, en watts, tendrían que deshacerse de los desechos de calor al medio ambiente? c) Con un área de piel de 1.50 m2, una temperatura de piel a 27.0 °C, y una efectiva emisividad de e = 0.600, ¿a qué tasa neta irradia esta persona calor de los 20.0 °C que lo rodean?
681
d ) El resto de los desechos de calor necesitan ser removidos evaporando agua, ya sea como sudoración o desde los pulmones. A temperatura corporal, el calor latente de vaporización del agua es de 575 cal/g. ¿A qué tasa, en gramos por hora, pierde agua esta persona? e) Estime la tasa a la que la persona gana entropía. Suponga que toda la evaporación requerida del agua sucede en los pulmones, a una temperatura interna del cuerpo de 37.0 °C. Problemas adicionales
20.51 Una fuente de energía no contaminante es la energía geotérmica, del calor del interior de la Tierra. Estime la eficiencia máxima de un motor térmico funcionando entre el centro de la Tierra y la superficie de la Tierra (use la tabla 17.1). 20.52 En algunos de los ciclos termodinámicos discutidos en este capítulo, una intersección es isotérmica y una curva es adiabática. Para un gas ideal, ¿por qué factor es l a curva adiabática más profunda que la is otérmica? 20.53 Los motores de combustión interna en los automóviles de hoy operan con el ciclo de Otto. La eficiencia de este ciclo, 1– eOtto = 1 – r , como se deriva en este capítulo, depende de la proporción de la compresión, r = V máx/V mín. Incrementar la eficiencia de un motor Otto puede hacerse al aumentar la proporción de compresión. Esto, a su vez, requiere combustible con una valoración de octanos más alta, p ara evitar la propia combustión de una mezcla de combustible y aire. La tabla que sigue muestra algunos valores de octanos y la proporción máxima de compresión que el motor debe tener antes de que la propia combustión llegue (de golpe). Valoración en octanos del combustible
Máxima proporción de compresión sin golpear
91
8.5
93
9.0
95
9.8
97
10.5
Calcule la máxima eficiencia teórica de un motor de combustión interna funcionando en cada uno de estos cuatro tipos de gasolina y el porcentaje de incremento en la eficiencia entre usar combustible con un grado de octanos de 91 y usar un combustible con un grado de octanos de 97. 20.54 Considere un acondicionador de aire para habitación usando un ciclo de Carnot a su máxima eficiencia teórica y operando entre una temperatura de 18 °C (dentro de la habitación) y 35 °C (fuera de la habitación). Por cada 1.00 J de calor que fluye fuera de la habitación hacia el acondicionador de aire:
a) ¿Cuánto calor fluye fuera del aire acondicionado hacia el exterior de la habitación? b) Aproximadamente, ¿por cuánto disminuye la entropía de la habitación? c) Aproximadamente, ¿por cuánto se incrementa la entropía del exterior de la habitación? 20.55 Suponga que le toma 0.0700 J de energía para calentar una muestra de 1.00 g de mercurio de 10.000 °C a 10.500 °C y como la capacidad de calentamiento del mercurio es constan-
