Cours Mecanique Des Fluides

NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES cours de mécaniques des fluides Janvier 2013© Noureddine GAALOUL Docteur en Sciences et Techniques de l'Eau Ecole Nationale de Génie de l’Eau et de l’Environnement Strasbourg Maître de Conférences

Cours de Mécaniques des Fluides - Université Libre de Tunis -ULT

Ce cours a pour objectif de permettre l’application des concepts appris en mécanique des fluides. Ce Cours est un cours de base de la mécanique des fluides. Cette première version est largement inspirée du cours dispensé par notre professeur M.JN. Gence à l’institut des mécaniques des fluides de Strasbourg. Ce cours introductif doit permettre à tout lecteur d’aborder un ouvrage quelconque de mécanique des fluides. A l’avenir nous l’enrichirons de compléments selon notre inspiration et selon le temps dont nous disposerons.

Nous commençons par un rappel de la mécanique des fluides classique, pour les étudiants n’ayant pas une base suffisante dans ce domaine. L'hydrostatique est la théorie des fluides au repos par rapport au référentiel considéré. Ce chapitre commence par un bref rappel du principe de Pascal, puis traite la décomposition des forces de volumes, et énonce la condition pour qu'un écoulement hydrostatique puisse exister. Dans le cas de fluides incompressibles, cette condition se résume à garder la pression motrice constante; plusieurs applications sont analysées. Ce chapitre étudie les fluides en équilibre. On y démontre l'équation fondamentale de la statique des fluides, le théorème d'Archimède. On y étudie plusieurs modèles simples d'atmosphère. On étudie ensuite les expressions des forces, couple et centre de poussée sur des surfaces immergées. On en déduit l'expression d'une force sur une surface plane ou gauche, ainsi que le célèbre principe d'Archimède. Le cas du fluide compressible est ensuite étudié, et plusieurs exemples sont traités.

Le chapitre Equations fondamentales de la mécanique des fluides débute par la détermination des équations de conservation : conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale. On en déduit les équations générales de Navier-Stokes régissant la dynamique des fluides compressibles. Ces équations sont complétées par des équations d'état ( de type gaz parfait par exemple ). Le cas particulier du fluide incompressible est ensuite abordé. Une forme intégrale de ces équations est développée, et est utilisée aux séances d'exercices pour la résolution de nombreux problèmes. Plusieurs équations sont ensuite établies à partir des équations de Navier-Stokes. Pour chacune d'elle, les conditions d'application sont clairement définies, et la définition physique de chaque terme est étudiée. On définit ensuite les notions de grandeurs totales et les fonctions de courant.

Le

chapitre Cinématique des fluides introductif présente différentes notions essentielles en mécanique des fluides: notion de milieu continu et de particule fluide, formalismes Lagrangien et Eulerien, notions de trajectoire et de ligne de courant, de dérivée particulière ou matérielle, décomposition physique de la divergence du champ de vitesse, tenseur des vitesses de déformation, tenseur des contraintes, flux thermique, flux de masse d'un constituant et transport convectif au travers d'une surface. Ce chapitre décrit les modèles Eulérien et Lagrangien. On y démontre les formules les plus utiles de cinématique. Une interprétation du tenseur "gradient de vitesses" est en outre proposée afin de bien comprendre l'influence des différents termes qui composent ce tenseur.

Dans le chapitre Dynamique des fluides, nous allons définir ce qu’est un fluide newtonien et nous allons aborder l’étude de son mouvement. On y démontre les équations de Navier-Stokes. Nous serons amenés à introduire un nombre sans dimension, le Nombre de Reynolds qui est très important et fondamental en mécanique des Fluides. On se limite ici au cas des écoulements ou les variations de la masse volumique sont négligeables.

Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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Sommaire

Chapitre 1. Hydrostatique :Statique des Fluides 1.1 La pression et ses propriétés (Forces extérieures de volume et de surface, La pression hydromécanique)

1.2 Equations fondamentales de la mécanique des fluides (Cas particulier d’un fluide soumis au champ de pesanteur (Liquide incompressible au repos, Cas des gaz) et Equations fondamentales de l’hydrostatique dans le cas général

1.3 Applications aux fluides incompressibles et compressibles 1.4 Forces hydrostatiques Chapitre 2. Cinématique 2.1 Définitions 2.2 Equations de continuité 2.3 Mouvement et déformation d’une particule 2.4 Fonction de courant 2.5 Potentiel des vitesses 2.6 Exemples d’écoulement plans Chapitre 3. Application aux fluides parfaits incompressibles 3.1 Equations de Bernouilli 3.2 Interprétation de l’équation de Bernouilli 3.3 Applications Chapitre 4. Dynamique des fluides réels 4.1 Ecoulement laminaires 4.2 Ecoulement transitoires 4.3 Interprétations de Poiseuille 4.4 Coefficient de perte de charge 4.5 Pertes singulières 4.6 Régime turbulent


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Chapitre 1 : Hydrostatique -Statique des Fluides Situations dans les quelles il n’y a pas de mouvement relatif entre les particules fluides :  Fluides au repos  Fluides uniformément accélérés  Il n’y a pas de contraintes dues aux frottements entre particules  Les forces en jeu sont uniquement des forces de surface dues a la pression

1- Pression en un point d’un fluide Dans un fluide au repos (uniformément accéléré), la pression désigne la force par unité de surface qui s’exerce perpendiculairement à un élément de surface dS.

dF est la force exercée sur l’élément de surface dS. P est la pression régnant au point M. n est un vecteur unitaire porté par la normale. La force de pression agit toujours vers l’extérieur du volume délimité par l’élément de surface. La pression est toujours indépendantes de la surface et de l’orientation de cette surface


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Pour tous fluides au repos, nous arrivons à l’expression suivante : P = Psta + ρgz = Cte P = Pression piézomètrique Psta = Pression statique absolue ρ = masse volumique du fluide g = accélération de la pesanteur z = cote du point considéré Ce qui veut dire qu’en tous point d’un fluide au repos, la pression piézomètrique est constante et nous aurons :


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PA = PB = PC = PD Pour calculer la constante, nous passerons par un point où nous connaissons la pression statique : ici le point A où la pression statique est égale à la pression atmosphérique. Nous pouvons remarquer que la pression statique augmente lorsque la cote diminue. L’ensemble des points soumis à la même pression statique est un plan horizontal.


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2-

Equation fondamentale de la statique


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3 - Application aux fluides incompressibles


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4 - Application aux fluides compressibles


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5 – Forces hydrostatiques


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Chapitre 2 : Cinématique des Fluides 1. Définitions a) Système de référence: Pour étudier le mouvement d’un fluide quelconque, on peut employer deux méthodes : - La méthode d’Euler : Cette description de l’écoulement consiste à établir à un instant t donné l’ensemble des vitesses associées à chaque point de l’espace occupée par le fluide. On déterminera donc, en fonction du temps, la vitesse des particules fluides qui viennent successivement passer par ce point. La vitesse VM(t) étant déterminée par ses trois composantes u, v, w sur trois axes OX, OY et OZ, on disposera dons des trois équations suivantes : u = f (x,y,z,t) V v = φ (x,y,z,t) w = ψ (x,y,z,t) u, v et w sont les variables d’Euler. La vitesse VM(t) associée au point M évolue au cours du temps. A chaque instant t, l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ des vecteurs vitesse. Dans cette de description d’Euler, on appelle ligne de courant la courbe qui, en chacun de ses points, est tangente aux vecteurs vitesses.


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Remarque : Les lignes de courant évoluent dans le temps, au même titre que le champ de vecteurs vitesse. - La méthode de Lagrange : Cette description de l’écoulement consiste à suivre une particule donnée au cours de son mouvement au sein du fluide. On procède donc comme pour la cinématique d’un système matériel, c’est à dire qu’on exprime les coordonnées d’un point M de la masse fluide en fonction du temps et de la position initiale du point considéré. M

x = f (x0,y0,z0,t) y = φ (x0,y0,z0,t) z = ψ (x0,y0,z0,t)

Ici, c’est l’évolution de la position des particules qui permet la description de l’écoulement. Ainsi, le lieu géométrique des positions successives occupées par une particule constitue ce qu’on appelle la trajectoire de cette particule. Attention : Il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire. CE sont deux notions bien différentes.

Remarque : Si l’écoulement est stationnaire, le champ de vecteurs vitesse est constant dans le temps : il y a coïncidence entre lignes de courant et trajectoires.

b) Ligne d’émission : Toutes les particules qui sont passes par un même point E sont situées, a l’instant t, sur une courbe appelée ligne d’émission relative au point E.


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c) Ecoulement permanent : Un écoulement est dit permanent (ou stationnaire) lorsque le champ de vecteurs vitesse est statique : il ne varie pas dans le temps. Dans ce cas :   

Les lignes de courant sont fixes dans l’espace ; Les trajectoires coïncident avec les lignes de courant ; Les lignes d’émission coïncident également avec les lignes de courant. Lignes de courant Ξ trajectoires Ξ lignes d’émission

2. Equation de continuité a) Cas général : L’équation de continuité doit traduire le principe de conservation de la masse. La variation de masse pendant un temps dt d ‘un élément de volume fluide doit être égale à la somme des masses de fluide entrant diminue de celle de fluide sortant. On considère alors un élément de volume fluide : dV= dx dy dz Sa masse peut s’exprimer comme : m = ρ dx dy dz Pendant le temps dt, la variation de cette masse s’écrit : dm cette variation doit alors être égale a : (i) (ii)

la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV. La somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou crées (sources à l’intérieur de dV.

la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV.

Suivant l’axe Y, le fluide entre avec la vitesse vy et sort avec la vitesse v y+dy. Par conséquent, la masse entrant pendant le temps dt s’exprime : [ρ v dx dz dt]y On, par ailleurs, pour la masse sortant : [ρ v dx dz dt]y+dy Le bilan sur l’axe Y donne alors : ([ρ v]y - [ρ v]y+dy ) dx dz dt er Un développement au 1 ordre permet d’écrire : Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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La somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou crées (sources à l’intérieur de dV Si on appelle qv le débit volumique de fluide crée (qv>0 ; source) On détruit (qv<0 : puits) par unité de volume, alors : ρ qv dV dt correspond à la masse de fluide crée ou détruite pendant le temps dt dans le volume dV. En généralisant, comme il peut y avoir plusieurs sources ou puits dans un même volume dV, on écrit plutôt :

C’est l’équation de continuité (équation locale qui traduit le principe de conservation de la masse) b) Cas particuliers Ecoulement permanent (ou stationnaire) : Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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L ‘écoulement est permanent. Ce qui signifie que quel que soit l’instant considère, le vecteur vitesse est toujours le même au point M. L’écoulement ne dépend pas du temps et nous aurons : Dans ce cas, il n’y a pas de variation explicite avec le temps :

Ecoulement d’un fluide incompressible : Le fluide est iso volume ou incompressible. Comme l’indique le terme iso volume, si nous considérons une certaine masse de fluide, elle ne changera pas de volume. Comme la masse est une constante, nous aurons la masse volumique ρ constante

Ecoulement Conservatif: Il n’y a ni puits ni source Et s’il s’agit en outre d’un fluide incompressible : C) Débits

A travers la surface S, le débit massique de fluide est donné par :

Le débit massique qm est la masse qui s’écoule par unité de temps. Comme la masse est constante, nous aurons qm constant (pour un écoulement permanent bien sur) qm = constante en Kg/s [MT-1] A travers la surface S, le débit volumique de fluide est donné par :

Le débit volumique qv est le volume de fluide qui s’écoule par unité de temps. Tous les points d’une section dS étant animés de la vitesse V, dqv est représenté par V.dS


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On a : qm = ρ qv qv est donc constant pour l’écoulement permanent d’un fluide iso volume. qv = constante en m3/s [L3T-1]

Toutes les lignes de courant s’appuyant sur une même courbe fermée constituent une surface (S’) appelée tube de courant. Si l’écoulement est permanent (le tube n’évolue pas dans le temps), alors le débit massique est conservé : qm(S1)=qm(S2) Si le fluide est incompressible, alors le débit volumique est conservé.

3- Analyse du mouvement d’un élément de volume fluide – Déformations Au sein de l’écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme. Afin d’analyser ces changements, considérons 2 points appartenant à la même particule fluide : M (x,y,z) et M’ (x+dx, y+dy, z+dz)


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Effectuons un développement au 1er ordre des 3 composantes de la vitesse


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Chapitre 3 : Application aux fluides parfaits incompressibles

1 - Rappel de quelques définitions Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.

1.1 - Débit-masse Si m est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit-masse est : m unité : kg·s-1 q  m

t

1.2 - Débit-volume Si V est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit-volume est : unité : m3·s-1. V

qV 

t

1.3 - Relation entre qm et qV La masse volumique  est donnée par la relation :



m d'où : V

qm   qV

Remarques : Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes. Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.

1.4 - Écoulements permanents ou stationnaires Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.


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2 - Équation de conservation de la masse ou équation de continuité 2.1 - Définitions Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne ligne de courant de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément surface S entourant le point M de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point. Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée. M Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit v section S 1 élément de surface S. La section de base S du tube ainsi définie est suffisamment filet de courant petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses tube de courant points (répartition uniforme). section S2

2.2 - Conservation du débit Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps t, infiniment petit, la masse m1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse m2 ayant traversé la section S2.

qm1  qm 2

En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant. Dans le cas d'un écoulement isovolume ( = Cte) :

q v1  q v 2

En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant

2.3 - Expression du débit en fonction de la vitesse v Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à V, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S. Il en résulte la relation importante :

qv  v S

2.4 - Vitesse moyenne En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Le débit-masse ou le débit-volume s'obtient en intégrant la relation précédente :

S

S

vmoy

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :

v moy 

qV S

La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui

assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

qV  v1moyS1  v 2moyS2  Cte

C'est l'équation de continuité.


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v1 S2  v 2 S1

La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

3 - Théorème de BERNOULLI 3.1 - Le phénomène Observations  Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné.  Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus. Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente.

3.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement. On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait, z entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine). Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S 1 z1 entre les instants t et t+t. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2. Tout se passe comme si ce z2 fluide était passé de la position (1) à la position (2). En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à ce fluide entre les 0 instants t et t+t (la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient :



gz

v2 2

p1, v1, S1, z1 p2, v2, S2, z2

 gz  p  Cte

est la pression de pesanteur,

Tous les termes s’expriment en pascal. Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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L’équation de Bernoulli montre alors que la charge reste constante le long d’une même ligne de courant c’est a dire pas de perte de charge dans l’écoulement d’un fluide parfait. 3.3 - Interprétation de l’équation de Bernoulli en énergie

3.4 - Interprétation de l’équation de Bernoulli en pression

En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide). H est la Hauteur totale,

v2 P z  H  Cte 2g g

P est la Hauteur de Pression, g z est la cote,


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v2 est la Hauteur cinétique, 2g z

P est la Hauteur piézomètrique. g

3.5 - Cas d'un écoulement (1)(2) sans échange de travail Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

1  v 22  v12   g (z2  z1)  p2  p1   0 2

ou

p  p1   0 1 2 v 2  v12  (z 2  z1 )  2 2g g





3.6 - Cas d'un écoulement (1)(2) avec échange d’énergie Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail W pendant une durée t. La puissance P échangée est

P

q v

W t

1

Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en seconde (s).  P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ;  P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine). Si le débit-volume est qv, la relation de Bernoulli s’écrit alors :



2

p o m p e



1 P  v 22  v12  g (z 2  z1)  p2  p1   2 qv

4 - Application du Théorème de Bernoulli : 4.1 - Phénomène de venturi- Mesure de débit Considérons une conduite le long de laquelle a été placé un rétrécissement ;


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4.2 - Ecoulement par orifice – Formule de Torricelli


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Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Réels 4.1 Viscosité

1 - le phénomène 1.1 - Observations   

L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière. La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de la chute libre. La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.

1.2 - Conclusion  

Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres. Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement.

2 - Viscosité dynamique - Viscosité cinématique 2.1 - Profil des vitesses Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction entre les molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse. Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse. vmax z+z z

v+v v v=0

Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe : v = v(z).


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2.2 - Viscosité dynamique Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de z. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z : Le facteur de proportionnalité  est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. Dimension :

F  S.

[] = M·L-1·T-1.

Δv Δz

Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pas) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pa·s = 1 Pl = 1 kg/m·s Autres unités (non légales) :

On trouve encore les tables de valeurs numériques le coefficient de viscosité dans un ancien système d'unités (CGS) : l'unité est le Poise (Po) ;1 Pl = 10 Po =1 daPo = 103 cPo. La viscosité de produits industriels (huiles en particulier) est exprimée au moyen d'unités empiriques : ENGLER en Europe, degré Redwood en Angleterre, degré Saybolt aux USA.

degré

2.3 - Viscosité cinématique Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique  et de la masse volumique . Ce rapport est appelé viscosité cinématique  :



 

Dimension : [] = L2·T-1.

Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m2/s). Dans le système CGS (non légal), l'unité est le Stokes (St) : 1 m2/s = 104 St

2.4 - Ordre de grandeur ; influence de la température Fluide

 (Pa·s)

eau (0 °C) eau (20 °C) eau (100 °C) huile d'olive (20 °C)

1,787 x 10–3 1,002·x 10–3 0,2818·x 10–3

glycérol (20 °C)

 1,0 0,860·x 10–5 1,95·x 10–5

H2 (20 °C) O2(20 °C)

 100·x 10–3

La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente. Il n'existe pas de relation rigoureuse liant  et T. Contrairement à celle des liquides, la viscosité des gaz augmente avec la température. Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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3 - Mesurage de viscosités 3.1 - Viscosimètre d'Ostwald On mesure la durée d'écoulement t d'un volume V de liquide à travers un tube capillaire. On montre que la viscosité cinématique  est proportionnelle à la durée t. Si on connaît la constante de l'appareil (K) fournie par le constructeur :  = K·t Si on ne connaît pas cette constante, on la détermine préalablement à l'aide de l'eau.

3.2 - Viscosimètre à chute de bille ou viscosimètre d'Hoepler Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien calibré renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine distance. On montre que la viscosité dynamique  est proportionnelle à la durée t :  = K·t

3.3 - Viscosimètre rotatif ou viscosimètre de Couette Un cylindre plein (A) tourne à vitesse constante dans un liquide contenu dans un récipient cylindrique (B) ; celui-ci, mobile autour de son axe de révolution, est entraîné par le liquide. Un ressort, exerçant un couple de torsion après avoir tourné d'un angle , retient (B) en équilibre. On montre que la viscosité dynamique  est proportionnelle à l'angle  :  = K·

3.4 - Applications ; conséquences

A

B

La propulsion par hélice d’un avion ou d’un bateau est possible grâce à la  viscosité de l’air ou de l’eau. A cause de sa viscosité, la pression d’un fluide réel diminue en s’écoulant dans une canalisation ; cela nécessite parfois d’introduire des pompes à distance régulière tout au long de la canalisation.


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4.2 PERTES DE CHARGE

1 - Le phénomène Observations  La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.  La pression d'un fluide réel diminue après le passage à travers un coude, une vanne ou un rétrécissement. Conclusion  Un fluide réel, en mouvement, subit des pertes d'énergie dues aux frottements sur les parois de la canalisation (pertes de charge systématiques) ou sur les "accidents" de parcours (pertes de charge singulières).

2 - Les différents régimes d'écoulement : nombre de Reynolds

Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent. filet coloré

écoulement laminaire

écoulement turbulent vue instantanée

écoulement turbulent vue en pose


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En utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :

Re 

vD 

ou

Re 

vD 

avec :  = masse volumique du fluide, v = vitesse moyenne, D = diamètre de la conduite  = viscosité dynamique du fluide,  = viscosité cinématique  

 

L'expérience montre que :

si Re < 2000 le régime est LAMINAIRE si 2000 < Re < 3000 le régime est intermédiaire si Re > 3000 le régime est TURBULENT Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement.


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3 - Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel avec pertes de charge Lors d'un écoulement d'un fluide réel il peut y avoir des pertes de charge entre les points (1) et (2) : dans le cas d’une installation ne comportant pas de machine hydraulique (pompe ou turbine) on écrira la relation de Bernoulli sous la forme :





1  v 22  v12  g( z 2  z1 )  p 2  p1   p 2 

p représente l’ensemble des pertes de charge entre (1) et (2) exprimées en Pa.

4 - Expression des pertes de charge 4.1 - Influence des différentes grandeurs Lorsqu'on considère un fluide réel, les pertes d'énergie spécifiques ou bien comme on les appelle souvent, les pertes de charge dépendent de la forme, des dimensions et de la rugosité de la canalisation, de la vitesse d'écoulement et de la viscosité du liquide mais non de la valeur absolue de la pression qui règne dans le liquide. La différence de pression p = p1 - p2 entre deux points (1) et (2) d'un circuit hydraulique a pour origine :  Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie ; on les appelle pertes de charge régulières ou systématiques.  La résistance à l'écoulement provoquée par les accidents de parcours (coudes, élargissements ou rétrécissement de la section, organes de réglage, etc.) ; ce sont les pertes de charge accidentelles ou singulières. Le problème du calcul de ces pertes de charge met en présence les principales grandeurs suivantes : Le fluide caractérisé par :  sa masse volumique .  sa viscosité cinématique .  sa section (forme et dimension) en général circulaire (diamètre D).  sa longueur L.  sa rugosité k (hauteur moyenne des aspérités de la paroi). Ces éléments sont liés par des grandeurs comme la vitesse moyenne d'écoulement v ou le débit q et le nombre de Reynolds Re qui joue un rôle primordial dans le calcul des pertes de charge. Un tuyau caractérisée par : -

4.2 - Pertes de charge systématiques 4.2.1 - Généralités Ce genre de perte est causé par le frottement intérieur qui se produit dans les liquides ; il se rencontre dans les tuyaux lisses aussi bien que dans les tuyaux rugueux. Entre deux points séparés par une longueur L, dans un tuyau de diamètre D apparaît une perte de pression p. exprimée sous la forme suivante :

v 2 L p   2 D Différence de pression (Pa)

v2 L h   2g D Perte de charge exprimée en mètres de colonne de fluide (mCF)

 est un coefficient sans dimension appelé coefficient de perte de charge linéaire. Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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Le calcul des pertes de charge repose entièrement sur la détermination de ce coefficient . 4.2.2 - Cas de l'écoulement laminaire : Re < 2000 Dans ce cas on peut montrer que le coefficient  est uniquement fonction du nombre de Reynolds Re ; l'état de la surface n'intervient pas et donc  ne dépend pas de k (hauteur moyenne des aspérités du tuyau), ni de la nature de la tuyauterie.



64 Re

avec

Re 

vD 

Il est alors immédiat de voir que h est proportionnel à la vitesse v et donc au débit q, ainsi qu'à la viscosité cinématique . 4.2.3 - Loi de Poiseuille Pour un écoulement laminaire, dans une conduite cylindrique horizontale, le débit-volume d'un fluide est donné par :

qv 

 r4  p1  p 2  8 

avec :

–1

  

qv : débit-volume (m ·s ), r : rayon intérieur (m),  : viscosité dynamique du fluide (Pa·s),



 : longueur entre les points (1) et (2) (m),



p1 et p2 : pression du fluide aux points (1) et (2) (Pa).

3

h

2r p1

p2

v

l

4.2.4 - Cas de l'écoulement turbulent : Re > 3000 Les phénomènes d'écoulement sont beaucoup plus complexes et la détermination du coefficient de perte de charge résulte de mesures expérimentales. C'est ce qui explique la diversité des formules anciennes qui ont été proposées pour sa détermination. En régime turbulent l'état de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grande que le nombre de Reynolds Re est grand. Tous les travaux ont montré l'influence de la rugosité et on s'est attaché par la suite à chercher la variation du coefficient  en fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité k du tuyau. La formule de Colebrook est actuellement considérée comme celle qui traduit le mieux les phénomènes d'écoulement en régime turbulent. Elle est présentée sous la forme suivante :

1 k 2, 51  2 log(  ) 3, 7 D Re   L'utilisation directe de cette formule demanderait, du fait de sa forme implicite, un calcul par approximations successives ; on emploie aussi en pratique des représentations graphiques (abaques). Pour simplifier la relation précédente, on peut chercher à savoir si l'écoulement est hydrauliquement lisse ou rugueux pour évaluer la prédominance des deux termes entre parenthèses dans la relation de Colebrook. Remarque : On fait souvent appel à des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers et dans un certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple : Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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Formule de Blasius : (pour des tuyaux lisses et Re < 105)

  0, 316Re0,25

4.3 - Pertes de charge accidentelles Ainsi que les expériences le montrent, dans beaucoup de cas, les pertes de charge sont à peu près proportionnelles au carré de la vitesse et donc on a adopté la forme suivante d'expression :

v 2 p  K 2

v2 h  K 2g

Différence de pression (Pa).

Perte de charge exprimée en mètres de colonne de fluide (mCF)

K est appelé coefficient de perte de charge singulière (sans dimension). La détermination de ce coefficient est principalement du domaine de l'expérience.

5 - Théorème de Bernoulli généralisé Lors d'un écoulement d'un fluide réel entre les points (1) et (2) il peut y avoir des échanges d'énergie entre ce fluide et le milieu extérieur :  par travail à travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance échangée étant P (voir Théorème de Bernoulli § 3.7)  par pertes de charge dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents de parcours ; la différence de pression étant p (voir ci-dessus § 3.1 et §3.2) Le théorème de Bernoulli s'écrit alors sous la forme générale :





1  P  p  v 22  v 12  g( z 2  z1 )  p 2  p1   2 qv avec : 

P : somme des puissances échangées entre le fluide et le milieu extérieur, à travers une machine, entre (1) et (2) : P >0 si le fluide reçoit de l'énergie de la machine (pompe), P <0 si le fluide fournit de l'énergie à la machine (turbine), P = 0 s'il n'y a pas de machine entre (1) et (2).

p: somme des pertes de charge entre (1) et (2)


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Références Bibliographiques

Audoye P., 1992. Mécanique des fluides. Exercices résolus avec rappels de cours. Ed. Masson. 104 pages. Beckers J.M., 2000. Cours des Mécanique des fluides géophysiques. Université de Liége. 714 pages.http://modb.oce.ulg.ac.be/GHER/Beckers.html Comolet R. et Bonnin J., 1981. Mécaniques expérimentales des fluides. Tome 3.Ed. Masson. 413 pages. Gence M.J, 1989. Cours des mécaniques des Fluides. ENGEES et l’institut des mécaniques des fluides de Strasbourg. 45 pages. Michel M. et Laborde J.P, 1992. Exercices de mécanique des fluides. Ed. Eyrolles. 284 pages. Ravier S. et Rigaut M., 2000. Cours des mécaniques des Fluides. Ecole Normale Superieure de Lyon. 70 pages. Salin j., 2000. Cours des mécaniques des Fluides. Natan Université. 30 pages.


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Quelques grands noms de la mécanique des Fluides


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Epreuve de Mécanique des Fluides

Exercice 1. Cinématique des Fluides On remplit un manomètre en U avec trois fluides en procédant de la manière suivante : Dans le fond du tube on place du mercure puis on remplit simultanément la branche de droite avec de l’eau, la branche de gauche avec un fluide F. Le tube est remplit à ras bord. 1. Faire un schéma ? 2. Trouver la relation entre la masse volumique du fluide F et les masses volumiques de l’eau et de mercure ? 3. Calculer la masse volumique du fluide F sachant que la hauteur d’eau est de 1000 mm et la hauteur de fluide F est de 970 mm ? Pour les applications numériques, on prendra : ρeau= 103 kg.m-3 et ρmercure = 13600 kg.m-3

Exercice 2. Forces de pression Pour être évacuées dans l'océan, Les eaux douces de drainage passent par un petit collecteur terminal qui est relié à la mer par une passe fermée par une vanne carrée à ouverture automatique par différence de pression. La vanne a 1 m de côté, elle peut pivoter autour d'un axe placé sur son rebord supérieur. A marée haute, une butée de seuil B, de dimensions négligeables, empêche la vanne de s'ouvrir côté eau douce. Sachant que la hauteur d'eau douce dans ce bassin est He = 2 m et que la hauteur d'eau salée de l'autre côté de la digue est Hm = 3 m (ces deux hauteurs étant comptées à partir du même fond horizontal) 1. Faire un schéma avec les forces ? 2. Ecrire les deux relations d’équilibre de la vanne ? 3. Déterminer la réaction qu'exerce la butée de seuil sur la vanne ? A marée basse, la hauteur d'eau douce restant la même, déterminer la hauteur d'eau salée pour laquelle la vanne commencera à s'ouvrir pour permettre l'évacuation des eaux de drainage. On prendra: eau douce; ρo = 1000 kg/m3, eau salée; ρ = 1025 kg/m3, g = 9,8 m/s2.


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Exercice 3. Circuit Hydraulique On étudie ici, l'énergie fournie par un barrage à une turbine hydraulique. On désire donc connaître l'énergie que la turbine va récupérer. La figure suivante montre le circuit hydraulique du barrage. L'eau dans le barrage, en 1, se situe à une hauteur de 1705 m. On donne les informations suivantes :  Débit volumique du fluide dans la conduite : qv = 245 l /s ;    

  

Longueur de la conduite entre A et D: L = 7280 m; Diamètre nominal de la conduite : d = 400 mm ; Les pertes de charges singulières entre A et B seront négligeables ; On prendra en compte les pertes de charges singulières entre C et D: il s'agit d'un coude à 90º tel que le rayon moyen vaut 3 fois le diamètre nominal de la conduite. De plus en D, il y a un élargissement brusque tel que la section en aval soit très supérieure à la section en amont. La viscosité dynamique de l'eau vaut : μ = 10-3 Pa.s. K coude =0,1 ; K élargissement brusque = 1 En rappel que, pour un régime d’écoulement turbulent, le coefficient de perte de charge linéaire peut être calculé par la formule de Blasius.

Questions 1. Déterminer le nombre de Reynolds, en déduire le régime d’écoulement ? 2. Calculer, en mètres, puis en pascals, la charge reçue par la turbine ? 3. Déterminer alors la puissance hydraulique mise à la disposition de la turbine?


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Exercice 4. Statique des Fluides Montrer, que dans un fluide au repos, la pression hydrostatique, toujours dirigée vers l’intérieur de la masse fluide considérée, est indépendante en un point donné de l’angle d’inclinaison de l’aire sur la quelle elle agit en ce lieu.

Exercice 5. Cinématique des Fluides On observe trois liquides, non miscibles entre eux, dans un tube en U. La surface de séparation entre le liquide L1 et le liquide L2 est parfaitement discernable et donc repérable. Les deux liquides L2 et L3, identiquement translucides, ont une surface de séparation difficilement discernable. 1. Donner la cote de cette dernière surface. Exprimer le résultat en fonction de ρ1, ρ2, ρ3 (les masses volumiques) et de h1, h3 (les cotes facilement repérables). 2. Déterminer l'épaisseur de la tranche liquide 3 pour que la surface de séparation entre 2 et 3 soit au même niveau que la surface libre du liquide 1.

Exercice 6. Application de Bernoulli On permet l’écoulement de l’eau contenue dans un réservoir de section libre constante S, par l’intermédiaire d’un siphon    , tube cylindrique de section constante de diamètre D = 8 cm. L’extrémité  du tube débouche à l’air libre a une distance L= 7,2 m sous le niveau de la surface libre de l’eau dans le réservoir. La pression atmospherique est de 1020 hPa. En prenant : ρeau= 103 kg.m-3 et g = 10 m.s-2 1. Calculer la vitesse de ce siphon, en déduire le débit volumétrique en (l/s) ?



D





2. A quelle hauteur au-dessus de la surface libre dans le réservoir, devrait se situer le point le plus haut du siphon pour que, en ce lieu se produise la cavitation ? On donne la pression de vapeur saturante de l’eau a la température de l’écoulement est Pvs= 20 hPa.

L



On négligera la vitesse d’abaissement dans le réservoir par rapport à la vitesse d’écoulement dans le tube. On supposera l’écoulement permanent. Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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Exercice 7. Installation d’une turbine

Questions 1. Calculer la charge au point 3? (sachant que les pertes de charges singulières est de 20,790 m/km) 2. Calculer la charge au point 4 ? (sachant que K coude = K4-5 = 0,145 et Kélargissement = K5 = 1) 3. La turbine T a un rendement ηT =81%, elle est couplée a un alternateur de rendement ηa = 92%. Faire le schéma des puissances, y préciser les différentes valeurs ? 4. La cote du point 2 est à 721 m, calculer la pression effective en ce point ? (sachant que K 2-3 = 0,145) 5. Calculer la pression effective au point 3 ? 6. Calculer en grandeur et direction l’action de l’eau sur le coude 2-3 ?

En prenant : ρeau= 103 kg.m-3 et ν = 10-6 m2/s


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Cours Mecanique Des Fluides

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