Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas on del problema 1. (40 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
Comenzamos con el sistema lineal asociado al problema a valor inicial:
x˙ 3
−4 1 −1
=
y
x −2 y
+
−1
Partimos con la resoluci´on on de (LH) asociado, aplicando la variante de la matriz exponencial.
x˙ 3 y
=
−4 1 −1
x y
⇒ A = A =
3
−4 1 −1
⇒ p A (λ) = (λ − 3)(λ 3)(λ + 1) + 4 = λ 2 − 2λ 2λ − 1 = (λ − 1)2
λ = 1 es un valor propio que se repite dos veces; por lo tanto, la familia generadora de soluciones es FG = on general: {et , tet }. Planteamos como soluci´on x = c = c 11 et + c12 tet , y = c = c 21 et + c22 tet . Reemplazamos en la segunda ecuaci´on on de (LH) asociada: y˙ = (c21 + c + c22 )et + c22 tet , x − y = y = (c11 − c21 )et + (c (c12 − c22 )tet
c ⇒
+ c22 = c = c 11 − c21 21 + c
c22 = c = c 12 − c22
= c 1 , c22 = c = c 2 , c12 = 2c2 c 11 = 2c1 +c2 ⇒ c 21 = c
La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociada es on (2c1 + c + c2 )et + 2c 2c2 tet , x = (2c y = c = c 1 et + c2 tet . La soluci´ on particular se obtiene por tanteo, planteando x = α, y = β , lo que da como soluci´on on on particular x = 2, y 2, y = 1. Por lo tanto, la soluci´on on general de (L) es x = (2c (2c1 + c + c2 )et + 2c 2c2 tet + 2, 2, t t y = c = c 1 e + c2 te + 1. 1. Hallamos los valores de c de c 1 y c 2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general general x(0) = 2c 2c1 + c + c2 + 2 = 3, 3, ⇒ c 1 = 0, y = c = c 1 + 1 = 1. 1.
c2 = 1
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x = e = et + 2te 2tet + 2, 2, t y = te = te + 1. 1. De donde y (ln (ln 2) = ln = ln22eln 2 + 1 = 1 + 2ln 2.
on del problema a valor inicial 2. (30 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, y(0) = 2, 2, y (0) = 0.0.
on on diferencial diferencial del problema a valor valor inicial Respuesta: Resolvemos la ecuaci´
y + 4y 4y = 6 cos cos t,
Para tal efecto, consideramos la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada asoci ada
y + 4y 4y = 0,
(LHC)
cuyo polinomi p olinomioo caracter´ ca racter´ıstico ıstico es p( p(λ) = λ 2 + 4, 4, de ra´ıces ıc es λ 1 = 2i y λ 2 = −2i, que contribuyen al (SF) de (LHC) con: SF = { cos(2t cos(2t), sin(2t sin(2t)}. La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on diferencial del problema, la hallamos por tanteo, planteando y planteando y = = α α cos t + β sin sin t, derivando dos veces y remplazando se obtiene:
−α cos t − β sin sin t + 4α 4α cos t + 4β 4β sin sin t = 6 cos cos t ⇒ α = α = 2, quadβ quadβ = = 0. Por lo tanto, la soluci´on on general de la ecuaci´on on diferencial del problema es y = c = c 1 cos(2t cos(2t) + c + c2 sin(2t sin(2t) + 2 cos x. Hallamos c Hallamos c 1 y c 2 remplazando las condiciones iniciales: y (0) = c1 + 2 = 2, 2, y (0) = 2c2 = 0
⇒ c 1 = c = c 2 = 0.
Por lo tanto, y tanto, y = 2 cos cos t e y (π/2) π/2) = 0.
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x + x2 y 2 ) dx + dx + (x ( x − x2 y ) dy = dy = 0 Resolveremos mediante manipulaciones de diferenciales. La ecuaci´on on la escribimos como (x dy + dy + y y dx) dx) − x2 y dy + dy + x x2 y 2 dx = 0, d(xy) xy) dy d y + dx = dx = 0 − x2 y2 y 1 −1 d( ) − d(ln d(ln y ) + dx + dx = 0 ⇒ d( d(− + x)) = 0 − ln y + x xy xy 1 + x = c. − − ln y + x xy
d(xy) xy ) − x2 y dy + dy + x x2 y 2 dx = 0 ⇒
1 La soluci´ soluci´ on on general est´a dada por − xy + x = = c c.. − ln y + x
2
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Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
on del problema 1. (35 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = − 1, d) y(ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 4 + 2ln 2, e) y(ln (ln 2) = 0, 0,
c) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2, f) y(ln (ln 2) = − 2,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/ 2) = − 1, d) y (π/2) 1/2, π/ 2) = 1/ g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/ 2) = 2, 2, e) y (π/2) 0, π/ 2) = 0,
c) y (π/2) π/ 2) = − 2, f) y (π/2) 1, π/ 2) = 1,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x + x2 y 2 ) dx + dx + (x ( x − x2 y ) dy = dy = 0 1 − ln y + x a) − xy + x = = c, c, y 1 3 d) ln x = 3 y + c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) xy = − x1 + y + y + + c, c, y 1 e) − x = − x + x + x + + c, c,
c) ln y = cxy, = cxy, f) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0,
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3 de diciemb diciembre re de 2018
2
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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
a
3.
c
on del problema 1. (35 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
b) y(ln (ln 2) = −2, e) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2,
a) y(ln (ln 2) = 0, 0, d) y(ln (ln 2) = 4 + 2ln 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) y(ln (ln 2) = − 1, f) y(ln (ln 2) = 2, 2,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y(π/2) π/2) = 0, 0, d) y(π/2) 2, π/2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(π/2) π/2) = 1, 1, e) y(π/2) π/2) = − 2,
c) y(π/2) π/2) = −1, f) y(π/2) 1/2, π/2) = 1/
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x + x2 y 2 ) dx + dx + (x ( x − x2 y ) dy = dy = 0 a) − xy = − x1 + x + x + + c, c, 1 x d) y = − x + y + y + + c, c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0, e) ln y = cxy, = cxy,
1 − ln y + x c) − xy + x = = c, c, y 1 3 f ) ln x = 3 y + c,
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Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
f
3.
b
on del problema 1. (35 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = −2, d) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = −1, e) y(ln (ln 2) = 2, 2,
c) y (ln (ln 2) = 4 + 2ln 2, f ) y (ln (ln 2) = 0, 0,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/2) = 1, 1, d) y (π/2) π/2) = − 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/2) = − 1, e) y (π/2) 1/2, π/2) = 1/
c) y(π/2) π/2) = 2, 2, f) y(π/2) 0, π/2) = 0,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x + x2 y 2 ) dx + dx + (x ( x − x2 y ) dy = dy = 0 a) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0, d) ln y = cxy, = cxy, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
1 − ln y + x b) − xy + x = = c, c, y 1 3 e) ln x = 3 y + c,
c) xy = − x1 + y + y + + c, c, y 1 f) − x = − x + x + x + + c, c,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
3 de diciemb diciembre re de 2018
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
b
3.
d
on del problema 1. (35 puntos ) Hallar y y (ln2), sabiendo que y y es soluci´
x˙ = 3x − 4y 4y − 2, 2, = x − y − 1, 1, xy˙ = x (0) = 3, 3, y(0) = 1. 1.
Respuesta:
a) y(ln (ln 2) = 2, 2, d) y(ln (ln 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y(ln (ln 2) = 0, 0, e) y(ln (ln 2) = 4 + 2ln 2,
c) y(ln (ln 2) = − 2, f) y(ln (ln 2) = 1 + 2ln 2,
on del problema a valor inicial 2. (35 puntos ) Hallar y y (π/2) π/2), sabiendo que y es soluci´
y + 4y4y = 6 cos cos t, yy(0)(0)==2,20.0,.
Respuesta:
a) y (π/2) π/ 2) = 1/ 1/2, d) y (π/2) π/ 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (π/2) π/ 2) = 0, 0, e) y (π/2) 2, π/ 2) = 2,
c) y (π/2) π/ 2) = 1, 1, f) y (π/2) π/ 2) = − 2,
on general de la ecuaci´ on en diferenciales 3. (30 puntos ) Hallar la soluci´
(y + x + x2 y 2 ) dx + dx + (x ( x − x2 y ) dy = dy = 0 a) ln xy = 31 y3 + c, 1 d) − xy + x = = c, c, − ln y + x g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) − yx = − x1 + x + x + + c, c, 1 x e) y = − x + y + y + + c, c,
c) 3x + x + x3 y 4 + cy = cy = 0, f ) ln y = cxy, = cxy,