UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DON BOSCO
CICLO I/ 2017
Asignatura: Electricidad y Magnetismo
Tema: Circuitos de Corriente Alterna
Profesor: Ing. Mario Arturo Hernánde
Integrantes: Granados Jimne!" Ne#son Ja$ier GJ%&'()* Re+es ,-rmo#" Crist.of.er Da$id R,%/'*'0 Pe1a Pe1a" Car#os 2ederi3o
PP%/%(0'
Gue$ara 4uintani##a" Sergio Ren G4%&%5%)
Gru6o Te7ri3o: 0!"
1
INDICE
%82uentes de 3orriente a#terna9999999999999999999999999 a#terna999999999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999 9999999999999999999999999 99999999999999999998) 9999998)
1.1#olta$e %enoidal 1.2#olta$e rms &#rms'
&8Cir3uito resisti$o resisti $o de una so#a ma##a99999999999999999999999 ma##a99999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999 999999999999999999999999 9999999999 )8(
2.1 (rá)icos #*t e I*t 2.2+iagra 2.2 +iagrama ma de )asores )asores 8Cir3uito indu3ti$o de una so#a ma##a9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 (8%'
,.1 -eactancia inductia ,.2 +iagrama de )asores *8 Cir3uito 3a6a3iti$o de una so#a ma##a999999999999999999999 ma##a999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999 999999999999999999999 9999999 %'8%%
!.1 -eactancia caacitia !.2 +iagrama de )asores /8 Cir3uito R;C de una so#a ma##a999999999999999999999999999999999 ma##a999999999999999999999999999999999999999999999 9999999999999999999999999 999999999999999999999%&8% 99999999%&8%
.1 Imedancia )8 Poten3ia en un 3ir3uito 3 ir3uito de CA999999999999999999999999 CA999999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999 99999999999999999999999999 999999999999999999%*8%5 999999%*8%5
.1 actor de otencia 58 Resonan3ia en un 3ir3uito R;C9999999999999999999999999 R;C9999999999999999999999999999999999999 9999999999999999999999999 9999999999999999999999999 9999999999999999%5 9999%5
Pro<#emas de a6#i3a3i7n9999999999999999999999 a6#i3a3i7n99999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999 9999999999999999999999999 9999999999999999999999999 999999999999999999999%(8&' 99999999%(8&'
Bi<#iografia9999999999999999999999 Bi<#iografia99999999999999999999999999999999999 9999999999999999999999999 99999999999999999999999999 99999999999999999999999999 9999999999999999999999999 9999999999999999999999999 99999999999999999 99999 &%
Circuitos de Corriente Alterna.
2
En la actualidad la mayoría de los sistemas de distribución de energía para uso doméstico e industrial operan con corriente alterna. Cualquier aparato que se conecte a una toma de pared usa corriente alterna, y muchos dispositivos energizados con baterías, como radios y teléonos inal!mbricos, emplean la corriente directa que suministran las baterías para crear o ampli"car corrientes alternas. #os circuitos de los equipos modernos de comunicación, incluidos los localizadores y la televisión, también utilizan ampliamente la corriente alterna.
1$Fuentes de corriente alterna %dem!s de la e&istencia de uentes de 'E( de corriente directa o continua )C.*.+ )como la que suministran las pilas o las baterías, cuya tensión o voltae mantiene siempre su polaridad "a+, se genera también otro tipo de corriente denominada alterna )C.%.+, que se dierencia de la directa por el cambio constante de polaridad que eect-a por cada ciclo de tiempo es decir, la corriente alterna es aquella en que la que la intensidad cambia de dirección periódicamente en un conductor. Como consecuencia del cambio periódico de polaridad de la tensión aplicada en los e&tremos de dicho conductor.
#a orma de oscilación de la corriente alterna m!s com-nmente utilizada es la oscilación senoidal con la que se consigue una transmisión m!s e"ciente de la energía, a tal punto que al hablar de corriente alterna se sobrentiende que se re"ere a la corriente alterna senoidal. #a característica principal de una corriente alterna es que durante un instante de tiempo un polo es negativo y el otro positivo, mientras que en el instante siguiente las polaridades se invierten tantas veces como ciclos por segundo o ertz posea esa corriente. /o obstante, aunque se produzca un constante cambio de polaridad, la corriente siempre 0uir!
del polo negativo al positivo, tal como ocurre en las uentes de 'E( que suministran corriente directa. 1.1 Voltaje senoidal
na se3al sinusoidal, a)t+, tensión, v)t+, o corriente, i)t+, se puede e&presar matem!ticamente seg-n sus par!metros característicos )"gura 2+, como una unción del tiempo por medio de la siguiente ecuación4
*onde4 %5 es la amplitud en voltios o amperios )también llamado valor m!&imo o de pico+. 6 la pulsación en radianes7segundo. t el tiempo en segundos. 8 el !ngulo de ase inicial en radianes. En el gra"co podemos observar #a amplitud de onda es el valor m!&imo, tanto positivo como negativo, que puede llegar a adquirir la sinusoide de una se3al de corriente alterna. El valor m!&imo positivo que toma la amplitud de una onda senoidal recibe el nombre de 9pico o cresta9, mientras que el valor m!&imo negativo de la propia onda se denomina 9vientre o valle9. El punto donde el valor de la onda se anula al pasar del valor positivo al negativo, o viceversa, se conoce como :nodo; o :cero;. 1.2 Voltaje rms #a corriente alterna y los voltaes )cuando son alternos+ se e&presan de orma com-n por su valor eectivo o <(= )
?
n valor <(= de una corriente es el valor, que produce la misma disipación de calor que una corriente continua de la misma magnitud. En otras palabras4 El valor <(= es el valor del voltae o corriente en C.%. que produce el mismo eecto de disipación de calor que su equivalente de voltae o corriente directa. @or eemplo4 1 amperio )ampere+ de corriente alterna )c.a.+ produce el mismo eecto térmico que un amperio )ampere+ de corriente directa )c.d.+ @or esta razón se utiliza el término :eectivo;. El valor eectivo de una onda alterna se obtiene multiplicando su valor m!&imo por 5.A5A. Entonces B<(= B@DC & 5.A5A
%l ser la intensidad de esta corriente variable una unción continua i)t+ se puede calcular4
*onde4 Es el periodo de la se3al. Esta e&presión es v!lida para cualquier orma de onda, sea ésta sinusoidal o no, siendo por tanto aplicable a se3ales de radiorecuencia y de audio o vídeo. En el caso de una corriente alterna senoidal )como lo es, con bastante apro&imación, la de la red eléctrica+ con una amplitud m!&ima o de pico Dma&, el valor e"caz De es4 F
En el caso de una se3al triangular con una amplitud m!&ima Dma&, el valor e"caz De es4
@ara una se3al cuadrada es4
@ara el c!lculo de potencias e"caces @e por ser proporcional con el cuadrado de la amplitud de la tensión eléctrica, para el caso de se3ales sinusoidales se tiene4
2- Circuito resistivo de un sola malla
'igura F. Circuito resistivo
En primer lugar, hay que considerar un resistor con resistencia R a través del cual circula una corriente sinusoidal dada por la ecuación
i= I cos ωt . El
sentido positivo de la corriente es antihorario alrededor del circuito. #a amplitud de la corriente )m!&ima corriente+ es potencial instant!neo
v R
I . =eg-n la ley de hm, el
del punto a con respecto al punto b )es decir, la
dierencia de potencial entre los e&tremos del resistor+ es4
G
v R=iR = ( IR ) cos ωt
El voltae m!&imo
V R , a amplitud del voltae, es el coe"ciente de la unción
coseno4 V R = IR ( amplitud del voltaje entre losextermos de un resistor , circuito CA)
@or lo tanto se puede escribir4 v R=V R cos ωt
#a corriente
I y el voltae
V R son proporcionales a
cos ωt
, así que la
corriente est! en ase con el voltae. #as ecuaciones anteriores muestran que las amplitudes de corriente y de voltae est!n relacionadas del mismo modo que en un circuito de C*. 2.1 GRÁFICOS V-T E I-T
'igura G. Hr!"cas de la corriente y el voltae contra el tiempo
#a corriente y el voltae est!n sincronizados entre sí porque varían de manera idéntica con el tiempo. @orque
ir
y
vr varían ambos como
sen ωt
y A
alcanzan sus valores m!&imos al mismo tiempo, como se muestran en la "gura G, se dice que est!n en fase. @or lo tanto, para un voltaje senoidal
aplicado, la corriente en un resistor siempre está en fase con el voltaje en las terminales del resistor. @ara resistores en circuitos de C%, no e&isten conceptos nuevos que aprender. #os resistores se comportan esencialmente de la misma orma en circuitos de C* y de C%. 2.2 DIAGRAMA DE FASORES
'igura A. *iagrama de asores
@ara simpli"car el an!lisis de circuitos que contienen dos o m!s elementos, se usa una representación gr!"ca llamada diagrama de fasores. n asor es un vector cuya longitud es proporcional al valor m!&imo de la variable que representa y que gira en sentido contrario a las manecillas del relo con una rapidez angular igual a la recuencia angular asociada con la variable. #a proyección del asor sobre el ee vertical representa el valor instant!neo de la cantidad que representa. #a "gura A muestra asores de voltae y corriente para un circuito resistivo de una sola malla en alg-n instante. #as proyecciones de las 0echas del asor sobre el ee vertical est!n determinadas por la unción de seno del !ngulo del asor respecto al ee horizontal.
8 Cir3uito indu3ti$o de una so#a ma##a
I
3.1 REACTANCIA INDUCTIVA
#a corriente en un circuito inductivo alcanza su valor m!&imo cuando
=1 ó
cos ωt
I max=
=−1 , así4
cos ωt
V max ωL
Esta e&presión es semeante a la correspondencia entre corriente, voltae y I =
resistencia en un circuito C*,
en voltios,
V I max est! en amperios y R . @orque
ωL debe medirse en ohms. @or lo tanto,
V
ωL tiene las mismas
unidades que la resistencia y est! relacionada con la corriente y el voltae en la misma orma que la resistencia. *ebe comportarse de una manera semeante a una resistencia, en el sentido de que representa oposición al paso de carga. Ja que
ωL depende de la recuencia aplicada
modo
dierente,
oreciendo
recuencias. @or esta razón,
oposición
a
la
ω , el inductor reacciona de corriente,
para
dierentes
ωL es la reactancia inductiva X L
X L= ωL
En consecuencia, la corriente m!&ima se puede e&presar de la siguiente manera4
I max=
V max X L
@ara cierto voltae aplicado, la reactancia inductiva aumenta cuando la
frecuencia aumenta. Esta conclusión es consistente con la ley de 'araday4 cuanto mayor es la rapidez de cambio de la corriente en el inductor, mayor es K
la uerza contraelectromotriz. #a mayor uerza contraelectromotriz se traduce en un aumento en la reactancia y una disminución en la corriente.
En conclusión, la reactancia inductiva
X L en realidad es una descripción de
la em autoinducida que se opone a cualquier cambio en la corriente a través del inductor.
3.2 DIAGRAMAS DE FASORES
'igura 15. *iagrama de asores de circuito inductivo
En la "gura 15 se muestra el diagrama de asores de la corriente y el voltae en un circuito inductivo. /ótese que los asores est!n a K5L uno del otro, lo cual representa una dierencia de ase de K5L entre la corriente y el voltae.
4-Circuito capacitivo de una sola malla n circuito que est! constituido por la em y un capacitor se le llama circuito capacitivo puro. #a impedancia )M+ de un capacitor o de un circuito capacitivo puro se representa por un n-mero compleo con la reactancia capacitiva )NC+ cambiada de signo en su parte imaginaria y sin parte real.
15
4.1 Reactancia capacitiva n circuito capacitivo de una sola malla o circuito capacitivo en %C es aquel que -nicamente est! compuesto por la em O de %C y un capacitor C. En corriente continua vimos que luego de un tiempo denominado transitorio, por el capacitor pr!cticamente no contin-a circulando corriente. En corriente alterna los circuitos se comportan de una manera distinta oreciendo una resistencia denominada reactancia capacitiva, que depende de la capacidad y de la recuencia senoidal %C. %plicando la segunda regla de PirchhoQ para el circuito anterior nos resulta O R Bc 5
#a reactancia capacitiva )NC+ es la resistencia que orece un capacitor al paso de la corriente alterna. Es unción de la velocidad angular )por lo tanto de la recuencia+ y de la capacidad. =e calcula con la siguiente e&presión4
NC
11
4.2 iagrama de fasores El desasae en orma asorial lo podemos ver en el siguiente diagrama de tensión$corriente
%l contrario de la inductancia aquí no es un atraso sino un adelanto al asor de voltae C.
!-Circuito R"C de una sola malla
12
En un circuito <#C participan tres elementos principales los cuales dan las características a este tipo de circuito, los cuales son el resistor )<+, la inductancia )#+ y el capacitor )C+. #a em del generador hace circular por el circuito una corriente también sinusoidal, esto es4 I =ε max Sen ( ωt )
*onde4 ω 4 es la recuencia angular
2 πf
ε max 4 es la amplitud de la em.
*e acuerdo a la regla de los bucles de PirchhoQ la suma de los voltaes de los tres elementos debe ser igual al voltae neto del circuito que es el que produce el generador4 ε =V R + V L + V C
#a corriente del circuito tiene la orma de la siguiente ecuación4 i= im Sen ( ωt −φ )
*onde4 φ 4 es el !ngulo de ase
im 4 es la amplitud de la corriente.
/uestro propósito es determinar la amplitud de la corriente y el !ngulo de ase, los cuales después de una sucesión de c!lculos y sustituciones obtenemos la siguiente ormula4 ωt −φ
(¿¿ ) Rsen ( ωt −φ )+ ( X l− X C ) cos ¿ ε max Sen ( ωt ) =i m ¿ Wue se reduce a4 ε max Sen ( ωt )=im √ R +( X l − X C ) Sen ( ωt ) 2
2
1
#a amplitud de la corriente se obtiene directamente con la ecuación4 i m=
εmax
√ R +( X l − X C ) 2
2
podemos utilizar de igual manera4 i m=
ε max
√
1
2
R +( ωL −
2
)
ωC
@ara encontrar !ngulo de ase4
tanφ =
X l− X C = R
ωL −
1
ωC
R
Con logramos e&presar la amplitud de corriente y la ase a partir de los par!metros del circuito. /ótese que la ase no depende de la amplitud de la em.!.1 #mpedancia #a impedancia )M+ es la magnitud que establece la relación entre los valores m!&imos o valores e"caces de la tensión y la intensidad de corriente. #a unidad de medida de la impedancia en el =D es el ohm y se de"ne de la siguiente manera4
=iguiendo el principio de la #ey de hm la relación que se establece entre la amplitud de la corriente y la impedancia es inversamente proporcional. imax=
Vmax
1?
6.POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CA #a corriente alterna desempe3a un papel central en los sistemas para distribuir, convertir y usar energía eléctrica, por lo que es importante estudiar las relaciones de potencia en los circuitos de C%. @ara un circuito de C% con corriente instant!nea
i
y amplitud de corriente
I , se considerar! uno de
sus elementos a través del cual la dierencia de potencial instant!nea es con amplitud de voltae
V . #a potencia instant!nea
!
v ,
entregada a este
elemento de circuito es4 != vi
@rimero hay que ver lo que signi"ca para los elementos individuales del circuito. =e supondr! que en cada caso
i = I cos ωt .
POTENCIA DE UN RESISTOR
En primer lugar, se supone que el elemento de circuito es un resistor puro , así que
v =v R
est! en fase con
i . #a gr!"ca que representa
obtiene multiplicando las alturas de las gr!"cas de
v
e
i
!
R
se
en la "gura G en
cada instante. Esta gr!"ca se indica en color negro en la "gura 1Ga. El producto
vi
siempre es positivo porque los valores de
v
e
i
siempre
son los dos positivos o los dos negativos. *e ahí que en todo momento se suministre energía al resistor para ambos sentidos de
i , aunque la potencia
no sea constante. 1F
#a curva de potencia correspondiente a un resistor es simétrica con respecto a un valor igual a la mitad de su valor m!&imo
VI , así que la potencia media
!med es4 1
!med = VI 2
na e&presión equivalente es4
!med =
V I
√ 2
√ 2
%sí mismo,
=V rms I rms
V rms = I rms R , asi que
!med
se puede e&presar mediante
cualquiera de las ormas equivalentes4
2
!med = I rms R =V rms I rms
'igura 1G. Hr!"cos de corriente, voltae y potencia como unciones del tiempo
1G
POTENCIA DE UN INDUCTOR
% continuación, se conecta la uente a un inductor
L . El voltae
adelanta K5L a la corriente. Cuando se multiplican las curvas de producto
vi
es negativo durante la mitad del ciclo cuando
v =v L
v
v e
i , el
e i
se
tienen
signos opuestos . #a curva de potencia, que se aprecia en la "gura 1Gb, es simétrica con respecto al ee horizontalX es positiva la mitad del tiempo y negativa la otra mitad, y la potencia media es igual a cero. Cuando
!
es
positiva, la energía se suministra para establecer el campo magnético en el inductorX cuando !
es negativa, el campo desaparece y el inductor devuelve
energía a la uente. #a transerencia neta de energía en un ciclo es igual a cero.
POTENCIA DE UN CAPACITOR
@or -ltimo, conectamos la uente a un capacitor
C . El voltae
v =v c
se
retrasa K5L con respecto a la corriente. #a "gura 1Gc muestra la curva de la potenciaX de nuevo, la potencia media es igual a cero. =e suministra energía para cargar el capacitor y se devuelve a la uente cuando el capacitor se descarga. #a transerencia neta de energía en un ciclo es, una vez m!s, igual a cero.
POTENCIA DE UN CIRCUITO GENERAL DE CA
En cualquier circuito de C%, con cualquier combinación de resistores, capacitores e inductores, el voltae !ngulo de ase instant!nea
!
"
v
a través de todo el circuito tiene un
con respecto a la corriente
i . %sí, la potencia
est! dada por4
!= vi=[ V cos ( ωt + " ) ] [ I cos ωt ]
1A
#a curva de potencia instant!nea tiene la orma que se presenta en la "gura 1Gd. El !rea entre las espiras positivas y el ee horizontal es mayor que el !rea entre las espiras negativas y el ee horizontal, y la potencia media es positiva. % partir de la ecuación anterior se puede deducir una e&presión de la potencia !med con la ayuda de la identidad del coseno de la suma de dos
media !ngulos4
!=[ V ( cos ωt cos " −sen ωt sen" ) ] [ I cos ωt ]
2
!=VI cos " cos ωt −VI sen " cos ωt sen ωt
cos ωt
El valor medio de 1 2
sen ωt
es cero porque este producto es igual a
sen 2 ωt , cuyo promedio en un ciclo es cero. @or lo tanto, la potencia media
!med es4
1
!med = VI cos " =V rms I rms cos " 2
Cuando
v
1
igual a
2
e
i
est!n en ase, de manera que
VI =V rms I rms X cuando
v
e
i
est!n K5L uera de ase, la potencia
media es igual a cero. En el caso general, cuando
" con respecto a
"= 0 , la potencia media es
v
tiene un !ngulo de ase
i , la potencia media es igual al producto de
1 2
por
1I
V cos " , la componente del asor de voltae que est! en fase con el asor de
corriente. 6.1 FACTOR DE POTENCIA
El actor de potencia de un dispositivo o circuito de corriente alterna es la relación de la potencia real ) ! + con la potencia aparente ) !ap +, es decir4
! factor de potencia =cos " = !ap
*ónde4 ! 4 @otencia activa suministrada o absorbida por el circuito o dispositivo
!ap 4 @otencia aparente del circuito o dispositivo
Cuando la corriente y el voltae est!n en ase, el actor de potencia ser! 1X la potencia real ser! la misma que la aparente. Cuando la corriente y el voltae orman K5Y, el actor de potencia ser! 5. %sí que el actor de potencia de un circuito puede tener cualquier valor comprendido entre 5 y 1. % veces el actor de potencia se e&presa en porcentae. Entonces el actor de potencia puede variar desde 5 y 155Z.
$. Resonancia en un circuito R"C Cuando se conecta un circuito <#C en serie, alimentado por una se3al alterna )uente de tensión de corriente alterna+, hay un eecto de ésta en cada uno de los componentes. En el condensador aparecer! una reactancia capacitiva, y en la bobina una reactancia inductiva, dadas por las siguientes órmulas4 XL=2 πfL
1K
XC =
1 2 πfC
*onde4 recuencia en ertz # Balor de la bobina en henrios C Balor del condensador en aradios En resonancia como los valores de NC y N# son iguales, se cancelan y en un circuito <#C en serie la impedancia que ve la uente es el valor de la resistencia. % recuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es grande y la impedancia es capacitiva. % recuencias superiores a la de resonancia, el valor de la reactancia inductiva crece y la impedancia es inductiva. Es importante visualizar que los eectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilación )resonancia+.
Eercicios 1% &n Cierto circuito R"C la fem má'ima del generados es de 1()V * la corriente má'ima es de ).() A. "a corriente se atrasa a la fem del generador +.). a% Cuál es la impedancia del circuito/ *atos4 ε max 1I5B
=
Vmax 180 = =225 # Imax 0.80 A
i max 5.I5%
[ G.5L 0% Cuál es la resistencia/
25
Sen$ =
(V L−V C ) V
V Sen$ =( V L −V C ) = IX L− IX C
cos $
R=
=
V R
V cos $=V R = IR
V
VCos$ 180 VCos ( 36.0 % ) = =182.03 # I 0.80
c% &s el circuito predominantemente inductivo o capacitivo/ Ja que la corriente se atrasa con respecto al voltae de la 'em, se puede a"rmar que el circuito es predominantemente inductivo.
2% n circuito serie R"C con R1(3, "1!m * C2.!5F está conectado a un generador de
ε m =100 V * una 6 varia0le.
eterminar7 ωo .
a% "a frecuencia de resonancia ω o=
1
√ LC
=
√ (
1 −3 −6 15 x 10 & 2.5 x 10 '
)(
)
=¿ F1G.KA rad7s
0% "a amplitud de la corriente I m en la resonancia. 21
En un circuito en resonancia X L X C y por lo tanto M< I m=
c%
V m
X L *
=
V m R
=
100 V 18 #
=5.55 A 3
X C si
ω =8 x 10 rad / s . −3
3
X L= ωL=( 8 x 10 rad / s )( 15 x 10 & )=120 #
X C =
1
1
=
ωC ( 8 x 103 rad / s )( 2 x 10−6 ' )
=50 #
d% "a amplitud de la corriente
I m
para el literal
anterior. =√ R +( X L − X C ) =√ ( 18 # ) +( 120 #−50 # ) =72.28 # 2
I m=
V m
2
=
100 V 72.28 #
2
2
=1.38 A
e% &l ángulo fase 8.
( 120−50 ) 18
( X L − X C )
=¿ 75.58 % =¿ tan− ¿ 1
R −1 $ = tan ¿
+% &n el circuito 9ue se muestra en la figura, R1(3, C!)5F, "(!.)m * el generador proporciona un voltaje senoidal de 12) V :rms% a una frecuencia de ) ;.
22
a% Calcule la corriente rms. −3
X L= 2 πfL =(2 π )( 60 &( )( 85 x 10 & )=32.04 # X C =
1
=
2 πC
1
( 2 π )( 60 &( )(
−6 50 x 10 '
)
=53.05 #
=√ R +( X L − X C ) = ( 18 # ) +( 32.04 # −53.05 # ) =27.66 # 2
I rms =
V rms
√
2
=
120 V 27.66 #
2
2
= 4.33 A V )c ,
0% alle los voltajes rms
V cd ,
V )d
V )c = I rms X c =( 4.33 A ) ( 53.05 # )= 229.70 V V cd = I rms X L =( 4.33 A ) ( 32.04 # )=138.73 V V )d= I rms| X L− X C |=( 4.33 A ) (|32.04− 53.05|)= 90.97 V
c% eterminar el factor de potencia * la promedio 9ue la fem entrega al circuito. 'actor de potencia4
34
tan
34
tan
34
tan
−1
−1
−1
(
(
potencia
Xl − Xc ) R
(32.04 −53.05 ) 18
)
(−1.167 )
3 4 *!5.!16
2
@otencia promedio4 !c =0
! L =0 2
! R =( I rms ) R=( 4.33 A )
2
( 18 # )=337.48 *
! !rom = !C + ! L + ! R =337.48 *
<#<"#=>RAF#A
8SER=A>" RA>,OND A? JE=ETT" JO@N = FISICA para ciencias e ingeniería con Física Moderna8 olumen 2 8 SEARS" 2RANCIS =9? E,ANS>" ,AR =9? >OUNG" @UG@ D9? 2REED,AN ROGER A9? Física universitaria, con física moderna 8 olumen 28 +ecimosegunda edici9n9 8 RESNIC" ROBERT? @A;;IDA>" DAVID? RANE" ENNET@ S9 Física, #olumen 28 :uinta edici9n 8 ;tt
2?
