´ rio sobre congru encias ˆncias modulares e Semininario a e ˜ es Diofantinas lineares equac ¸ oes o Luiz Fernando Bossa
Agosto de 2010
Resumo
Esse ´e um seminin´ario ario sobre congruˆ encias encias modulares e equa¸c˜ coes ˜ oes diofantinas apresentado no PIC 2009, no p´olo olo de Brusque/SC. Ser´a uma breve explana¸c˜ cao ˜ ao sobre o assunto, com ˆenfase enfase sobre suas aplica¸ apli ca¸c˜ c˜oes oes na resolu¸c˜ cao ˜ ao de problemas do tipo ol´ ol´ımpico.
1
1
Congruˆ encias encias
A Aritm´ em em chamada de Aritm´etica etica dos restos ´e o que estudaremos estudar emos agora. Ela ´e Ari tm´etica et ica Modula Modu lar r , tamb´ a aritm´etica etica que trata dos problemas envolvendo os restos de inteiros, problemas de divisibilidade, entre outros.
Dados dois inteiros a e b, dizemos que a ´e congruente b m´odulo odulo n, se e somente se, e b deixam o mesmo resto na divis˜ao ao por n. Escrevemos assim: a
≡ b (mod n)
a
(1.1)
Seja r o resto de a e b na divis˜ao ao por n. Logo, a = kn + r e b = k n + r, para inteiros k e k . Sendo assim, podemos escrever: a = kn + r b = kn + r a−b
= a−b = a−b = a−b =
kn + r − (k n + r) kn + r − k n − r kn − k n n(k − k )
Ou seja, a − b ´ e multiplo u ´ ltiplo de n, que equivale a dizer que n divide a − b (simbolizamos isso por n | a − b). Portanto Portanto,, podemos p odemos dizer que a ´e con c ongru gruent entee a b em m´ odulo odulo n, se e somente se, a − b ´e multiplo u ´ltiplo de n, ou seja, n divide a − b. Podemos escrever o seguinte: a≡b
(mod n) ⇐⇒ a − b = kn
n | a − b ⇐⇒ k∈Z
Essa ´e a outra defini¸c˜ cao a˜o para congruˆ encia. encia. Dessa defini¸c˜ c˜ao, ao, segue uma importante propriedade, que ´e a forma reduzida de um n´ umero umero a m´ odulo odulo n. A forma reduzida reduzid a tamb´em em ´e chamada de res´ res´ıduo de a m´ odulo odulo n, e nada na da mais ´e que q ue o resto da divis˜ ao ao de a por n. Sendo assim, podemos escrever: a a−r ∴ a
= kn + r = kn ≡ r
0≤r ≤n−1
(mod n)
Um exemplo e xemplo pra esclarecer esclarece r melhor: mel hor: Qual ´e o res´ res´ıduo de 64 6 4 m´odulo 13 ? Para sabermos, basta dividir 64 por 13, obtendo quociente 4 e resto 12. Assim: 64 = 13 · 4 + 12 64 ≡ 12 (mod (mod 13) Mas e se eu dissesse que 64 ≡ −1 (mod 13) 13) ? Eu poderia poderia ser chamado chamado de doido, doido, n˜ao ao ? Mas espere espere,, observe: 64 ≡ −1 (mod (mod 13) ⇐⇒ 64 − (−1) = 13k 65 = 13k Mas como 65 ´e multiplo de 13 (65 = 13 · 5), ent˜ ao ao est´a provado que 64 ≡ −1 (mod 13) pela segunda defini¸c˜ c˜ao ao de congruˆ congruˆ encia. encia. Sendo assim, p odemos ter um inteiro inteiro congruente congruente a um n´umero umero negativo em m´ odulo odulo n. Sendo mais r´ıgidos nessa defini¸c˜ c˜ao, ao, digamos que o res´ res´ıduo de a m´ odulo odulo n seja r. Ent˜ Ent˜ ao, ao, a tamb´ mb´em ser´ a congruente a r − n m´ odulo odulo n. Isso por que: a≡r
(mod n) ⇐⇒ a − r = n 2
a−r+n= n+n a − (r − n) = 2n ∴ a
≡ r − n (mod n)
Por exemplo, 48 quando dividido por 17 deixa resto 14 (48 = 17 · 2 + 14). Isso significa significa que 48 ≡ 14 (mod 17), e tamb´ em em que 48 ≡ 14 − 17 ≡ −3 (mod 17). Isso geralmente ´e importante imp ortante para resolvermos alguns problemas.
1.1
Propriedades das congruˆ congruˆ encias encias
Como toda to da Aritm´ Arit m´etica, etica, a Aritm´etica etica modular modu lar apresenta apr esenta as suas propriedad pr opriedades, es, que q ue n˜ao ao s˜ ao ao muito diferentes das Aritm´eticas eticas usuais. Vou provar provar de uma maneira bem simples. 1.1. 1.1.1 1
Soma Soma
Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ent˜ aaoo a + c ≡ b + d (mod n). aaoo a − b = kn para algum k inteiro. Analogamente, c − d = k n. Demonstra¸ c˜ cao. a ˜o. Se a ≡ b (mod n) ent˜ Portanto, podemos escrever:
a−b+c−d
= kn + k n a + c − (b + d) = n(k + k ) ∴ a + c ≡ b + d (mod n)
Essa propriedade se aplica tamb´ em em ´a subtra¸c˜ cao, a˜o, ou seja, Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ent˜ aaoo a − c ≡ b − d (mod n). 1.1.2 1.1.2
Multip Multiplic lica¸ a¸ c˜ cao a ˜o
Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ent˜ aaoo a · c ≡ b · d (mod n). aaoo a − b = kn ⇐⇒ a = kn + b para algum k inteiro. Demonstra¸ c˜ cao. a ˜o. Se a ≡ b (mod n) ent˜ Analogamente, c − d = k n ⇐⇒ c = k n + d. Portanto, podemos escrever: a·c ac ac ac − bd ∴ ac
= = = = ≡
(kn + b) · (k n + d) n2 kk + nkd + nk b + bd n(nkk + kd + k b) + bd n(nkk + kd + k b) bd (mod n)
Como consequˆ encia encia dessa propriedade, vem a propriedade da potencia¸c˜ cao, a˜o, que ´e a seguinte: Se a ≡ b (mod n) e n ´e um inteiro inte iro n˜ao ao negativo, ent˜aaoo a ≡ b (mod n). n
n
Essa propriedade ´e muito importante quando temos que resolver problemas, como o seguinte: e o resto da divis˜ao ao de 31547 por 7 ? Problema 1.1 Qual ´ Solu¸ c˜ ao. Vamos observar o seguinte:
33 ≡ 27 ≡ −1 (mod 7) Isso por que 27 − (−1) = 28, que ´e m´ ultiplo ultiplo de 7. Ent˜ao, ao, podemos usar a propriedade das potˆencias: encias: 31547 ≡ (33 )515 · 32 3
(mod 7)
(−1)515 · 32 ≡ −1 · 9 (mod 7) 9 ≡ 2 (mod 7) 31547 ≡ −2 (mod 7) Assim, conclu´ımos ımos que 31547 ≡ −2 (mod 7). 7). Ma Mass isso isso n˜ ao ´e o resto desejado. ao desejado. Mas como 5 ≡ −2 (mod 7), ent˜ ao ao conclu´ conc lu´ımos ımo s que: 31547 ≡ 5 (mod 7) Ou seja, o resto da divis˜ao ao de 31547 por 7 ´e 5. Se fossemos fos semos desenvolver a potˆencia encia pra depois dep ois dividirm di vidirmos, os, ter´ıamos ıam os algo alg o como como:: 1547
3
=
12781477248950761899960882052762428818517530460756609060071293313329921182439312 08195252453911940407248823040426728537683887132809592348556931645930676336373480 98377684914081314189848414610606360174355550233771109555732794607789774271054575 69231234025372018993872285250128138150430010917932913841749334563557564236433226 78739586802627323487331734988987061453883203484231274116008854024034998426248162 71061568248602938464769352972973435955545085399284184000980594746750310465852883 66968160137612812273148698532369002651669960099499520298034874610937521496980654 32480485486899751064720986286152508488294500082688371530660676313706690474461515 79050589537151641751486239980324880744107988304881971832193258079097061898561562 1499990424350497787
Que ´e da ordem de 10738 . E ainda ter´ ter´ıamos que dividir por 7, obtendo 7 · (182592532127868027142298315039463268835964720867951558001018475904713159 749133029742178921987420058178403291489532648240555304687084621222418 806561525190910497283396692734401877414069163729437657391936500333958 727936761135153985391815792250989017628933885985626746932144687687863 285870256184483453561922336536631949046096962798114661046212475962141 283865921983314783461610588001264860576428346606880387230811783718483 521099075675676337079350121998977405715686563923929014951218405242402 287680183032473552836176700037880999429992850289971926780156250307099 723633211497926699964437817283755164644069756357154669767361522953759 100955782065930827215127910216631073551771400464115348725697578402816 903133225827281516997945088785712917764356826) + 5
Ou seja, as congruˆencias encias s˜ao ao muito bem vindas nesses nesses casos. casos. Para Para finalizarmos finalizarmos,, alguns alguns problemas problemas que eu selecionei.
1.2 1.2
Prob Proble lema mass
Problema 1.2 Ache o restos de cada caso abaixo:
(a) 25345 dividido por 7. (b) 2131 dividido por 17. (c) 879 87966321 + 164 dividido por 5. (d) 4100 + 3230 dividido por 3. umero umero da forma 4 n + 3 pode ser escrito como a soma de Problema 1.3 Vamos mostrar que nenhum n´ dois inteiros quadrados perfeitos. (a) Mostre Mostre que o quadrado quadrado de um inteiro s´ o pode ser congruente a 0 ou 1 m´odulo 4. (b) Use (a) para para mostrar mostrar que se x e y s˜ ao ao inteiros, ent˜aaoo x2 + y 2 s´o pode ser congruente a 0,1 ou 2 m´odulo odulo 4. (c) Use (b) para mostrar que um inteiro da forma 4 n + 3 n˜ao ao pode ser escrito como a soma de dois quadrados de inteiros. e divis´ div is´ıvel ıvel por po r 3, mostre most re que a ≡ −2b (mod 3). Problema 1.4 Se 2a + b ´ u ´ ltimo algarismo do n´ umero umero 12 + 22 + 32 + · · · + 992 . Problema 1.5 Encontre o ultimo 4
2
Equa¸ c˜ coes ˜ oes Diofantinas Equa¸c˜ c˜ao ao diofantina diofanti na ´e toda equa¸c˜ cao a˜o com coeficientes inteiros, que se apresenta na forma: ax + by = c
(2.1)
Recebem esse nome devido `a Diofanto de Alexandria, um algebrista grego que viveu no s´ ec. ec. III. Sua principal obra, “Arit em os m´etodos eto dos para resolverm reso lvermos os equa¸ equa ¸c˜ c˜oes oes assim. “Ar itm´ m´ etica et ica” ” cont´em Essas equa¸c˜ c˜oes oes s´o apresentam solu¸c˜ c˜ao ao se mdc(a, b) divide c. Isso por que podemos reduzir reduzir qualquer qualquer equa¸c˜ cao a˜o dessa a outra equivalente dividindo a e b por mdc(a, b). Logo, se c n˜ao ao for divis´ div is´ıvel ıvel por po r mdc(a, b), ent˜ao ao n˜ao ao h´ a como efetuar a divis˜ao ao inteira. Vamos explicar melhor: a = mdc(a, b) · a b = mdc(a, b) · b mdc(a, b) · a x + mdc(a, b) · b y = c mdc(a, b) · (a x + b y ) = c
Como podemos ver, a equa¸c˜ c˜ao ao s´o admite solu¸c˜ cao a˜o se mdc(a, b) | c. Caso Caso contr´ contr´ ario, ario, n˜ao ao ter´a solu¸c˜ c˜oes oes inteiras. Agora, supondo que mdc(a, b) | c, ent˜ ao ao existe um c tal que c = mdc(a, b) · c . Logo, obtemos:
mdc(a, b) · (a x + b y ) = mdc(a, b) · c a x + b y = c
Com isso, vemos que toda equa¸c˜ cao a˜o diofantina da forma ax + by = c corresponde a uma outra, da forma a x + b y = c , onde mdc(a , b ) = 1. Isso simplifica bastante os c´alculos. alculos. Outra coisa que devemos saber, ´e o Teorema de d e B´ezout. ezout. Ele diz o seguinte: ao ao existem inteiros x e y tais que Teorema Teore ma de B´ ezout ez out.. Dados dois inteiros a e b, ent˜
ax + by = mdc(a, b)
Ent˜ao, ao, se reduzimos uma equa¸c˜ c˜ao ao para a forma a x + b y = c , onde mdc(a, b) = 1, ent˜ao ao existem inteiros x0 e y0 tais que a x0 + b y0 = 1
Multiplicando ambos os lados por c , obtemos
a c x0 + b c y0 = c
Sendo assim, o par ( c x0 , c y0 ) ´e uma solu¸ solu c˜ c¸˜ao ao da equa¸ eq ua¸c˜ c˜ao. ao.
2.1
M´ aximo aximo divisor comum
Bem, at´e agora agor a s´o vimos a parte te´orica orica de como saber se uma equa¸c˜ cao ˜ao admite solu¸c˜ cao, a˜o, mas n˜ao ao vimos como obtˆe-la. e-la. Com o Algoritmo de Euclides para o c´alculo alculo do mdc, obtemos uma solu¸c˜ cao. a˜o. Vamos a um exemplo pr´atico. atico. Para resolvermos a equa¸c˜ cao a˜o 16x + 6y = 8, vamos calcular o mdc(16, 6). Procedemos da seguinte maneira: (i) Dividimos Dividimos 16 por 6, obtendo obtendo 16 = 6 · 2 + 4. Escrevemos isso em uma tabela: 2 6
16 4
(ii) Pegamos o resto 4 e escrevemos ao lado do 6 na tabela. Agora, dividimos 6 por 4, obtendo obtendo 6 = 4· 4 ·1+2, e escrevemos na tabela: 16 4 5
2 6 2
1 4
(iii) Pegamos Pegamos o resto 2 e escrevemos escrevemos ao lado do 4 na tabela. Agora, Agora, dividimos dividimos 4 por 2, obtendo 4 = 2 · 2, e escrevendo na tabela, fica: 2 6 2
16 4
1 4 0
2 2
(iv) Como obtemos obtemos resto 0, ent˜ ao ao o mdc(16, 6) = 2, que ´e o ultimo u ´ ltimo resto n˜ao ao nulo. Al´em em de descobrirmos descobri rmos o mdc(16, 6), podemos descobrir mais coisas, apenas observando a tabela: 2
= 6−4·1
4 2 2 2
= = = =
16 − 6 · 2 6 − (16 − 6 · 2) 6 − 16 + 6 · 2 6 · 3 + 16 · (−1)
Observe s´o ! Obtivemos dois inteiros, 3 e −1 tais que 6 · 3 + 16 · (−1) = mdc(16, 6) = 2. Sendo assim, poder´ poder´ıamos aplicar isso para resolvermos a nossa equa¸c˜ cao ˜ao diofantina: 16x + 6y = 8 Como sabemos que 16 · (−1) + 6 · 3 = 2, podemos multiplicar essa igualdade por 4, obtendo: 16 · (−4) + 6 · 12 = 8 Assim, obtivemos a solu¸c˜ c˜ao ao (−4, 12) para a equa¸c˜ c˜ao ao 16x + 6 y = 8. Por´ em, em, poder po der´´ıamos ter feito de outra maneira: reduzir a equa¸c˜ c˜ao. ao. Se dividirmos a equa¸c˜ c˜ao ao por mdc(16, 6) = 2, obtemos 8x + 3 y = 4 Ent˜ao, ao, calculamos mdc(8, 3): (i) Dividi Dividimos mos 8 por 3, obtendo obtendo 8 = 3 · 2 + 2. Escrevemos isso em uma tabela: 2 3
8 2
(ii) Pegamos o resto 2 e escrevemos ao lado do 3 na tabela. Agora, dividimos 3 por 2, obtendo obtendo 3 = 2· 2 ·1+1, e escrevemos na tabela: 2 3 1
8 2
1 2
(iii) Pegamos Pegamos o resto 1 e escrevemos escrevemos ao lado do 2 na tabela. Agora, Agora, dividimos dividimos 2 por 1, obtendo 2 = 1 · 2, e escrevendo na tabela, fica: 8 2
2 3 1
1 2 0
2 1
(iv) Como obtemos obtemos resto 0, ent˜ ao ao o mdc(8, 3) = 1, que ´e o ultimo u ´ ltimo resto n˜ao ao nulo. Podemos agora, observar os n´umeros umeros da tabela para encontrar os inteiros x e y tais que 8x + 3 y = (8 3) = 1: mdc , 1= 3−2·1 2= 8−3·2 1 = 3 − (8 − 3 · 2) 1 = 3 − 8 + 3 · 2 = 8 · (−1) + 3 · 3 Agora, multiplicando a igualdade acima por 4, obtemos 8 · (−4) + 3 · 12 = 4. 6
2.2 2.2
Mais Mais solu solu¸ c˜ c ¸oes o ˜es
Agora que j´a sabemos como obter a solu¸c˜ c˜ao ao de uma equa¸c˜ c˜ao ao diofantina diofantina (quando ela existir), po demos encontrar todas as solu¸c˜ c˜oes. oes. Mas como como isso isso ? N˜ ao ao existe somente somente um resultado resultado ? A resposta para essa perg pe rgunt untaa ´e n˜ao, ao, e isso ´e o que veremos adiante: Seja x0 e y0 uma solu¸c˜ cao ˜ particular da equa¸c˜ cao ˜ ax + by = c, onde mdc(a, b) = 1. Ent˜ ao as solu¸c˜ coes ˜ da equa¸c˜ cao ˜ s˜ ao da forma x = x0 + tb e y = y0 − ta, para t variando em Z.
e uma um a solu so lu¸¸c˜ cao a˜o qualquer da equa¸c˜ c˜ao, ao, temos que Demonstra¸ c˜ cao. a ˜o. Se x, y ´ ax + by = ax0 + by0 = c
daonde ax − ax0 = by0 − by a(x − x0 ) = b(y0 − y) a b
Como mdc(a, b) = 1, ent˜ ao ao a fra¸c˜ c˜aaoo t
a b
=
y0 − y x − x0
´e irred i rredut´ ut´ıvel. ıvel. Ou seja, sej a, para t inteiro, podemos multiplicar
a b
por , obtendo uma fra¸c˜ cao ˜ao equilavente. Logo: t
ta tb
=
y0 − y x − x0
x − x0 = tb ⇒ x = x0 + tb y0 − y = ta ⇒ y = y0 − ta
Substituindo esses valores na equa¸c˜ caao ˜o ax + by = c, obtemos: obtemos: a(x0 + bt) + b(y0 − ta) = ax0 + by0 + abt − bat = ax0 + by0 = c
Aplicando isso na equa¸c˜ cao a˜o que hav´ hav´ıamos resolvido, 8x + 3y = 1, e obtivemos solu¸c˜ c˜aaoo x0 = −4 e y0 = 12, podemos escrever todas as solu¸c˜ coes o˜es como: x = −4 + 3t y = 12 − 8t
De fato, fazendo t = 2, temos a solu¸c˜ c˜aaoo x = −4 + 3 · 2 = 2 e y = 12 − 8 · 2 = −4, o que nos d´a: a: 8 · 2 + 3 · (−4) = 16 − 12 = 4 Agora, vamos resolver alguns problemas que eu selecionei:
2.3 2.3
Prob Proble lema mass
coes ˜oes das euqa¸c˜ coes o˜es a seguir: Problema 2.1 Encontre todas as solu¸c˜ (a) 5x + 3y = 1 (b) 24x + 9y = 6 (c) 7x + 4y = 5 (d) 13x + 8y = 4 a de m´ usica, usica, reserva num certo cert o mˆes es uma certa quantia q uantia para pa ra a compra com pra Problema 2.2 Uma aluna, Bianca, f˜ de CDs ou DVDs. Se um CD custa R$ 12,00 e um DVD R$ 16,00, quais s˜ao ao as v´arias arias possibilidades de aquisi¸c˜ c˜ao ao de um deles ou de ambos, gastando-se exatamente R$ 70,00? E qual a equa¸c˜ cao a˜o que representa este problema? 7
encias encias e equa¸c˜ c˜oes oes diofantinas, diofanti nas, vocˆe consegue c onsegue obter Problema 2.3 Com os conhecimentos sobre congruˆ as solu¸c˜ coes o˜es para as equa¸ equ a¸c˜ c˜oes oes a seguir ? (a) 4x ≡ 3 (mod 7) (b) 3x ≡ 1 (mod 4) (c) 2x ≡ 3 (mod 5) (d) 4x ≡ 7 (mod 11) Dica. Observe que ax ≡ c (mod y ) ⇐⇒ ax − c = by .
cao a˜o para o seguinte sistema de equa¸c˜ coes: o˜es: Desafio. Encontre a solu¸c˜
x≡3 x≡6
(mod 5) (mod (mod 11)
Ref Re ferˆ encias ci as [1] S. C. Coutinho. Coutinho. N´ umeros Inteiros e Criptografia RSA. IMPA e SBM, 2000. [2] S. C. Coutinho. Coutinho. Criptografia . IMPA, 2008. [3] A. Hefez. Hefez. Inicia¸c˜ cao ˜ ` a Aritm Ari tm´ ´ etica et ica . IMPA, 2009. [4] S. Jurkiewicz Jurkiewicz.. Divisibilidade e N´ umeros Inteiros: Introdu¸ Introdu¸ c˜ cao ˜ ` a Artim´etica eti ca Modular Modula r . IMPA, 2007.
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