Rev. Int. M´ et. Num. C´ alc. Dis. Ing. Vol. 22, 1, 19–30 (2006)
Revista Internacional de M´ etodos Num´ ericos para C´ alculo y Dise˜ no en Ingenier´ıa
Configuraciones eficientes de cables en puentes atirantados seg´ un an´ alisis de sensibilidad de su comportamiento aeroel´ astico ´ Jos´e Angel Jurado, F´elix Nieto, Alejandro Mosquera y Santiago Hern´ andez Universidade da Coru˜ na ETS Enxeneiros de Caminos, Canais e Portos (ETSECCP) Campus de Elvi˜ na, 15071 A Coru˜ na, Espa˜ na Tel.: 34-981-16 70 00; Fax: 34-981-16 71 70 e-mail:
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Resumen En el presente art´ıculo se estudian diversas configuraciones de cables para puentes atirantados de gran vano en funci´ on de su comportamiento frente al fen´ omeno de flameo. Como criterio para elegir la configuraci´ on de mayor eficiencia se han realizado varios an´ alisis de sensibilidad de los par´ ametros aeroel´ asticos estudiando, c´ omo cambia la velocidad cr´ıtica de viento, con la que se produce la inestabilidad por flameo, as´ı como la frecuencia de oscilaci´ on, cuando se modifican las propiedades mec´ anicas del tablero. Finalmente, a partir de la colecci´ on de resultados obtenidos se decide la mejor disposici´ on de cables para varias longitudes del vano principal.
Palabras clave: aeroelasticidad, flameo, puentes atirantados, an´ alisis de sensibilidad. EFFICIENT CABLE ARRANGEMENT IN CABLE-STAYED BRIDGES BASED IN SENSITIVITY ANALYSIS OF AEROELASTIC BEHAVIOUR
Keywords: aeroelasticity, flutter, cable-stayed bridges, sensitivity analysis.
Summary In this paper several cable arrangements in cable-stayed bridges are studied depending on the behaviour of the bridge due to flutter phenomena. Sensitivity analysis of the critical wind speed and frequency oscillation has been made with regard to mechanical properties of the deck in order to obtain an efficient configuration of cables. Finally, the best cable arrangement is chosen for a cable-stayed bridge with different span lengnths.
c Universitat Polit` ecnica de Catalunya (Espa˜ na).
ISSN: 0213–1315
Recibido: Abril 2005
Aceptado: Julio 2005
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´ Jurado, F. Nieto, A. Mosquera y S. Hern´ J.A. andez
´ INTRODUCCION La construcci´on de puentes atirantados ha experimentado un gran impulso durante la pasada d´ecada. Puentes de m´ as de 800 m de longitud de vano han sido construidos en Francia y Jap´ on y algunos puentes con una longitud de vano de m´ as de 1 km, como el puente Stonecutters en Hong-Kong o el puente Chongming en China, del que se muestra una imagen virtual en la Figura 1, ser´ an una realidad pr´ oximamente. Debido al aumento de su longitud, este tipo de puentes puede experimentar fen´ omenos como el flameo de manera similar, a como puede ocurrir con los puentes colgantes.
Figura 1. Puente Chongming
Los puentes atirantados presentan diversas posibilidades en la disposici´ on de los cables. Al comienzo del dise˜ no se pueden considerar disposiciones en arpa, abanico o mixtas. Tambi´en se pueden considerar variaciones en el n´ umero de planos de cables. Normalmente, durante la fase de dise˜ no las modificaciones que se hacen est´an basadas en la realizaci´ on de diversos an´ alisis usando el procedimiento de prueba y error, que dependen de reglas heur´ısticas dictadas por los conocimientos y la experiencia de los ingenieros. Esta aproximaci´ on puede ser ineficiente en problemas nuevos y frecuentemente es necesario recurrir a la realizaci´ on de ensayos experimentales, lo que encarece y alarga el proceso de dise˜ no. Estos inconvenientes pueden evitarse mediante una aproximaci´ on basada en el an´ alisis de sensibilidad1,2 , que ser´a de gran ayuda al proyectista.
´ ´ ANALISIS AEROELASTICO DE PUENTES Las fuerzas provocadas por una velocidad de viento uniforme U a lo largo del tablero de un puente se representan normalmente mediante tres componentes: D (arrastre), L (levantamiento) y M (momento). Estas fuerzas se linealizan en funci´ on de los movimientos y velocidades del tablero del puente usando la siguiente formulaci´ on matricial3,4,5
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Configuraciones eficientes de cables en puentes atirantados
K 2 P4∗ v −K 2 P6∗ −BK 2 P3∗ 1 2 = ρU w + −K 2 H6∗ K 2 H4∗ BK 2 H3∗ 2 ϕx −BK 2 A∗6 BK 2 A∗4 B 2 K 2 A∗3 ∗ ∗ 2 ∗ −BKP5 /U −B KP2 /U BKP1 /U v˙ 1 BKH1∗ /U B 2 KH2∗ /U w˙ + ρU 2 −BKH5∗ /U 2 −B 2 KA∗5 /U B 2 KA∗1 /U B 3 KA∗2 /U ϕ˙ x D L M
(1)
donde ρ es la densidad del aire, K par´ ametro de frecuencia reducida K = Bωa /U , ωa la frecuencia de vibraci´ on del puente y Pi∗ , Hi∗ , A∗i (i = 1, . . . , 6) son los coeficientes aeroel´asticos o coeficientes de flameo obtenidos mediante ensayos experimentales. Los coeficientes aeroel´asticos son funci´ on de la frecuencia reducida K. En la Figura 2 se representan estas fuerzas y movimientos sobre la secci´on de un tablero de puente.
Z v
ϕx
U L
w
D
M
Y
B
Figura 2. Fuerzas aeroel´ asticas sobre un tablero de puente
En el tablero el conjunto de fuerzas producidas por el viento puede expresarse como P = Ca u˙ + Ka u
(2)
donde Ca y Ka son las llamadas matrices de amortiguamiento y rigidez aeroel´ asticas respectivamente, las cuales representan el efecto del viento sobre todo el tablero del puente. El equilibrio din´ amico de la estructura puede expresarse de la siguiente manera M¨ u + Cu˙ + Ku = P = Ca u˙ + Ka u
(3)
donde M, C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la estructura completa, respectivamente. Reorganizando la expresi´ on (3) se llega a M¨ u + (C − Ca )u˙ + (K − Ka )u = 0
(4)
La ecuaci´on (4) representa la vibraci´ on libre amortiguada de un sistema estructural, ecuaci´ on que se resuelve aplicando an´ alisis modal considerando los m modos de vibraci´ on m´as importantes en el fen´ omeno del flameo u=
m r=1
φr qr = Φ q
(5)
´ Jurado, F. Nieto, A. Mosquera y S. Hern´ J.A. andez
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on amortiguada en la forma donde Φ es la matriz modal y el vector q representa una oscilaci´ q = weµt
(6)
Sustituyendo esta u ´ ltima expresi´ on en la ecuaci´ on (4), premultiplicando por ΦT , agrupando t´erminos como se indica en la expresi´ on (7) y normalizando los autovectores respecto a la matriz M se obtiene Φ, I = ΦT MΦ
Φ, CR = ΦT (C − Ca )Φ
Φ KR = ΦT (K − Ka )Φ
(7)
Sustituyendo (6) y (7) en (4), resulta (µ2 Iw + µCR w + KR w)eµt = 0
(8)
Con lo que se obtiene un problema de autovalores. Para obtener la soluci´ on del problema, (8) se combina con −µIw + µIw = 0
(9)
y se obtiene
I 0
0 I
CR µ2 w + µw −I
KR 0
µw w
eµt = 0
(10)
llamando wµ =
µw w
A=
−CR I
−KR 0
(11)
se llega al cl´asico problema de autovalores (A − µI)wµ eµt = 0
(12)
¯i del que resultan m pares de autovalores complejos conjugados µi y µ µi = αi + iβi
µ ¯i = αi − iβi
(13)
µ ¯i = −ωi ζai − iωai
(14)
o tambi´en µi = −ωi ζai + iωai
donde ωi es la frecuencia natural, ωai la frecuencia amortiguada y ζai el factor de amortiguamiento correspondiente al autovalor i-´esimo. ´ DEL PROBLEMA DE FLAMEO SOLUCION an Con velocidades de viento U peque˜ nas todos los factores de amortiguamiento ζai ser´ positivos y por lo tanto la respuesta estructural decrecer´ a con el tiempo. A medida que la velocidad de viento U aumenta, los factores de amortiguamiento decrecer´ an y para un cierto a un valor de amortiguamiento aeroel´ astico ζaj = 0 propi– valor Uf , el modo j-´esimo tendr´
Configuraciones eficientes de cables en puentes atirantados
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ciando la inestabilidad conocida como flameo de la estructura. La identificaci´ on de la velocidad de flameo Uf se realiza seg´ un el diagrama de flujo6 , que se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Diagrama de flujo para el c´ alculo de la velocidad de flameo
SENSIBILIDAD DE LA VELOCIDAD DE FLAMEO un autovalor αj definido seg´ un Al alcanzar la velocidad de flameo Uf , la parte real de alg´ las ecuaciones (13) y (14) se hace cero7 . En consecuencia la expresi´ on (12) puede escribirse (A + iβj I)wµ = 0 Escribiendo en funci´ on de la frecuencia reducida K Kf Uf A+i I wµ = 0 B
(15)
(16)
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y derivando la ecuaci´ on (16) respecto a una cierta variable de dise˜ no x se obtiene i dKf dwµ Kf Uf dwµ dUf dA wµ + A + Uf + Kf iI =0 I wµ + dx dx B dx dx B dx
(17)
De la misma manera que se hizo para el autovector wµ , un autovector vµ puede definirse mediante la expresi´ on siguiente Kf Uf I =0 vµT (A + iβj I) = vµT A + i B
(18)
Premultiplicando (17) por vµT dA wµ vµT dx
+
vµT
Kf wµ Kf Uf i dKf dUf T iI + vµ Uf + Kf A+ I wµ = 0 B dx B dx dx
(19)
Teniendo en cuanta que ∂A ∂A dUf ∂A dKf dA = + + dx ∂x ∂Uf dx ∂Kf dx
(20)
y sustituyendo en (19), se obtiene ∂A wµ vµT ∂x
+ vµT
i ∂A dUf ∂A dUf + vµT + wµ wµ ∂Uf dx ∂Kf dx B
dUf dKf Uf + Kf dx dx
vµT Iwµ = 0 (21)
Definiendo los siguientes n´ umeros complejos hAx = vµT
∂A wµ , ∂x
hAU = vµT
∂A wµ , ∂Uf
hAK = vµT
∂A wµ ∂Kf
(22)
queda dUf iKf T dKf iUf T hAU + (vµ Iw) + hAK + (vµ Iw) = 0 hAx + dx B B B
(23)
Denominando iKf T (vµ Iwµ ) B iUf T (vµ Iwµ ) + B
gU = hAU + gK = hAK
finalmente se llega a la siguiente ecuaci´ on en variable compleja
(24)
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Configuraciones eficientes de cables en puentes atirantados
gU
dUf dKf + gK = −hAx dx dx
(25)
donde dUf /dx y dKf /dx son n´ umeros reales. Multiplicando la expresi´ on (25) por g¯U o g¯K , complejos conjugados de gU y gK , y comparando las partes imaginarias a ambos lados de la igualdad se obtienen las siguientes sensibilidades −Im(¯ gU hAx ) dKf = , dx Im(¯ gU gK )
dUf −Im(¯ gK hAx ) = dx Im(¯ gK gU )
(26)
El conjunto de variables de dise˜ no x escogido est´ a compuesto por par´ ametros mec´anicos de la secci´ on transversal del tablero, como son el momento de inercia a torsi´on J y los momentos de inercia a flexi´ on Iy y Iz . Se han elegido estos tres par´ametros, ya que son fundamentales en la deformaci´ on del tablero del puente. COMPORTAMIENTO DE PUENTES ATIRANTADOS CON DIFERENTES CONFIGURACIONES DE CABLES Los desarrollos anteriormente mostrados han sido utilizados con el fin de mejorar el dise˜ no de puentes atirantados. Se han considerado las configuraciones de cables de la Figura 4, que son: en forma de arpa (cables paralelos); en abanico (los cables se unen en la parte superior de las torres); y la forma mixta (situaci´ on intermedia entre las dos anteriores). Para estos tres tipos de puentes atirantados se han considerado diferentes longitudes del vano central: - vano principal de 800 m, - vano principal de 1000 m, - vano principal de 1200 m.
Figura 4. Configuraci´ on de cables: arpa, mixta y abanico
En todos los casos el vano lateral considerado ha sido un tercio de la longitud del vano principal y tiene dos pilas de anclaje equiespaciadas. Se han realizado modelos de elementos finitos en 3D usando elementos tipo barra con el fin de obtener sus modos y frecuencias naturales. Se ha supuesto un tablero id´entico al del puente del Gran Belt en Dinamarca (Figura 5).
´ Jurado, F. Nieto, A. Mosquera y S. Hern´ J.A. andez
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Figura 5. Secci´ on transversal del tablero del puente del Gran Belt
En la Tabla I se observa, c´ omo los puentes son m´as r´ıgidos, cuanto m´ as corta es la longitud del vano central y mayor es la aproximaci´ on de la configuraci´ on de cables a la disposici´ on en abanico. Los modos, que tienen mayor influencia para el an´ alisis del flameo, son los que est´an marcados con colores. La notaci´ on empleada para los diversos modos de flameo es: -
V: modo vertical, T: modo de torsi´ on, L: modo lateral, S: modo sim´etrico, A: modo antim´etrico.
Tabla I. Frecuencias naturales y modos de vibraci´ on para los modelos de puentes estudiados
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Configuraciones eficientes de cables en puentes atirantados
VELOCIDADES CR´ ITICAS DE VIENTO Y SENSIBILIDADES Se han realizado varios an´ alisis aeroel´ asticos de dificultad creciente para evaluar la velocidad cr´ıtica y la frecuencia de la respuesta para cada una de las configuraciones de puente consideradas. En un caso, usando los dos modos de vibraci´ on cl´ asicos en los problemas de flameo, como son el primer modo vertical y el primer modo de torsi´ on; en otro, considerando los 25 primeros modos de vibraci´ on calculados mediante an´ alisis din´ amico; y finalmente empleando s´ olo aquellos modos que tienen mayor influencia en el fen´ omeno del flameo. La Tabla II y las Figuras 6, 7 y 8 muestran un ejemplo de los resultados obtenidos para el puente m´ as flexible: el de 1200 m de vano central y configuraci´ on de cables en forma de arpa. Puente 1200 Arpa 1200 Arpa 1200 Arpa 1200 Arpa
An´ alisis 2VS,8LTS 2VS,10TS 1,2,5,7,8,10 1-25
Uf (m/s) 144,16 105,46 96,53 96,59
Kf 0,5571 0,7104 0,7935 0,7929
dUf /dIy -0,105599 -0,554288 -0,026380 -0,031096
dKf /dIy 0,002366 0,007397 0,000590 0,000635
dUf /dIz -0,105599 0,054744 0,062505 0,062259
dKf /dIz 0,002365 -0,000133 0,000184 0,000184
dUf /dJ 8,34466 3,04412 3,06822 3,06622
dKf /dJ -0,282332 -0,007946 -0,009798 -0,009726
Tabla II. Velocidad cr´ıtica de flameo y sensibilidades para configuraci´ on en arpa y vano de 1200 m
Figura 6. Evoluci´ on de los autovalores en funci´ on de la velocidad de viento para el puente de 1200 m de vano y configuraci´ on en arpa, considerando 2 modos
El c´ alculo empleando s´ olo los dos modos cl´asicos, el primero vertical y el primero de torsi´on, da mayor velocidad de flameo y sensibilidades muy diferentes respecto al momento de inercia vertical Iy y por consiguiente no puede cosiderarse aceptable. El c´ alculo empleando los seis modos sim´etricos m´as importantes permite obtener resultados muy similares a los obtenidos usando los 25 primeros modos de vibraci´ on. Lo mismo sucede con los restantes puentes. En cualquier caso, cuanto mayor sea el n´ umero de modos considerados, mayor es la exactitud en el c´ alculo y, en consecuencia, para comparar los resutados obtenidos con cada tipo de puente se han considerado los resultados de los c´ alculos, en los que se emplearon los 25 primeros modos de vibraci´ on.
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Figura 7. Evoluci´ on de los autovalores en funci´ on de la velocidad de viento para el puente de 1200 m de vano y configuraci´ on en arpa, considerando 6 modos
Figura 8. Evoluci´ on de los autovalores en funci´ on de la velocidad de viento para el puente de 1200 m de vano y configuraci´ on en arpa, considerando 25 modos
La Tabla III muestra los resultados de la velocidad cr´ıtica de flameo y las sensibilidades respecto a las propiedades mec´anicas de la secci´ on del tablero para todos los casos estudiados empleando el an´alisis con 25 modos de vibraci´on. L´ ogicamente, al aumentar la longitud del vano central disminuye la velocidad de flameo. De acuerdo con los valores obtenidos de Uf , la configuraci´ on en abanico es la m´ as segura frente a la inestabilidad por flameo, mientras que la configuraci´ on en arpa es la m´ as inestable. Analizando los resultados de la Tabla III se infiere, como es bien conocido, que la inercia a torsi´ on tiene una gran influencia en el fen´ omeno del flameo. Sin embargo, la ventaja del an´ alisis realizado es el haber determinado el valor exacto de las sensibilidades. dU/dJ es positiva en todos los casos, por lo tanto el aumento de la inercia a torsi´ on producir´ a un aumento en la velocidad de flameo. Puede observars, c´ omo la derivada respecto a J es
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Configuraciones eficientes de cables en puentes atirantados
mayor, cuanto menor el la longitud de vano. La configuraci´ on en abanico tiene una derivada menor en comparaci´ on con las otras configuraciones para la misma longitud de vano. El signo de la sensibilidad de Uf respecto a Iy cambia seg´ un la ordenaci´ on de los modos de vibraci´ on m´ as importantes. En la configuraci´ on en abanico esta inercia tiene una influencia especial, ya que los valores de la sensibilidad aumentan considerablemente. Por u ´ ltimo, Iz es la variable que menos afecta al flameo y los valores de la sensibilidad son bajos. Puente 1200 Arpa 1200 Mixto 1200 Aban. 1000 Arpa 1000 Mixto 1000 Aban. 800 Arpa 800 Mixto 800 Aban.
An´ alisis 1-25 1-25 1-25 1-25 1-25 1-25 1-25 1-25 1-25
Uf (m/s) 96,59 102,07 107,38 111,84 119,17 123,69 132,27 141,85 150,14
Kf 0,7929 0,7883 0,7501 0,7760 0,8013 0,7803 0,7609 0,7796 0,7339
dUf /dIy -0,031096 -0,199393 0,951117 -0,353811 -0,270324 0,139377 -0,223054 0,386524 1,088010
dKf /dIy 0,000635 0,002155 -0,007419 0,004208 0,004013 -0,012720 0,002648 -0,001887 -0,012537
dUf /dIz 0,062259 0,012618 -0,189688 0,009646 0,028508 0,015828 0,008388 0,007961 0,006128
dKf /dIz 0,000184 0,002586 0,004184 -0,000015 -0,000051 0,000088 -0,000015 -0,000009 0,000011
dUf /dJ 3,06622 3,57518 3,34559 4,13231 4,08028 2,68867 5,24735 4,79048 4,35305
dKf /dJ -0,009726 -0,022853 -0,019705 -0,009889 -0,008982 0,006047 -0,009262 -0,004880 0,003976
Tabla III. Velocidad de flmeo y sensibilidades para los puentes atirantados estudiados
CONCLUSIONES El comportamiento de los puentes de gran vano est´ a gobernado en buena medida por las cargas de viento. Consecuentemente cualquier mejora en el dise˜ no, que permita mejorar su comportamiento aeroel´astico, es vital. Son muy escasas las referencias en la literatura sobre la combinaci´ on del dise˜ no de puentes de gran vano con la optimizaci´ on estructural. Por ello es crucial el disponer de an´ alisis de sensibilidad precisos, que permitan la utilizaci´ on de m´etodos num´ericos de optimizaci´on no lineal as´ı como estudios profundos sobre la sensibilidad de respuestas aeroel´ asticas. Para los puentes atirantados analizados en este trabajo, los resultados obtenidos muestran que la configuraci´ on en abanico da la mayor velocidad de flameo, es decir, resulta m´ as estable. En lo referente a las sensibilidades de dicha velocidad respecto a los par´ ametros del tablero, es decir, Iy , Iz y J, hay que distinguir el comportamiento, que aparece con respecto a cada uno de ellos: La sensibilidad respecto al momento de inercia a torsi´ on J presenta el mismo signo para las tres configuraciones de cables en todo el intervalo de longitudes de vano considerado en el estudio. Es decir, aumentos en este momento de inercia se traducir´ an en mayor estabilidad del tablero y viceversa. En lo que respecta a la sensibilidad respecto al momento de inercia Iz , asociado a la flexi´ on horizontal, los valores de la sensibilidad son positivos para las menores longitudes de vano y cambia de signo en la configuraci´ on en abanico en el extremo superior del intervalo de luces considerado. En relaci´ on con el momento de inercia Iy , que corresponde a la flexi´ on vertical del tablero, el comportamiento de la configuraci´on en abanico y en arpa es completamente distinto, con sensibilidad positiva en aqu´el y negativa en la disposici´ on en arpa. La configuraci´ on mixta muestra un comportamiento intermedio parecido a la disposici´ on en abanico para la longitud de vano de 800 m y a la de en arpa en las otras longitudes incluidas en el estudio. Esta variedad de resultados de sensibilidad pone de manifiesto, que la determinaci´ on de los par´ ametros mec´anicos del tablero de un puente y la disposici´ on de la geometr´ıa de los cables es un proceso muy complejo, si se incluyen consideraciones aeroel´asticas. Por ello requiere el uso de metodolog´ıas m´as depuradas que la simple experiencia del proyectista.
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REFERENCIAS 1 S. Hern´ andez, “M´etodos de dise˜ no o´ptimo de estructuras”, Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, (1990). 2 R.T. Haftka y Z. G¨ urdal, “Elements of structural optimization”, Kluwer Academic Publishers, (1992). 3 E. Simiu y R.H. Scanlan, “Wind effects on structures, fundamentals and applications to design”, John Wiley & Sons, (1996). 4 J.A. Jurado y S. Hern´ andez, “An´ alisis de sensibilidad del flameo de puentes de gran vano en casos de frecuencias de vibraci´on simult´ aneas”, Revista Internacional de M´etodos Num´ericos para C´ alculo y Dise˜ no en Ingenier´ıa, Vol. 20, No 3, pp. 261–276, (2004). 5 J.A. Jurado y S. Hern´ andez, “Review of the theories of aerodynamic forces en bridges”, Journal of Bridge Engineering, Vol. 5, No 1, pp. 8–13, (2000). 6 F. Nieto, J.A. Jurado y S. Hern´ andez, “Aplicaci´ on de la programaci´on distribuida en la obtenci´ on de la velocidad de flameo y los an´ alisis de sensibilidad del flameo en puentes de gran vano”, Revista Internacional de M´etodos Num´ericos para C´ alculo y Dise˜ no en Ingenier´ıa, Vol. 21, No 1, pp. 83–101, (2005). 7 J.A. Jurado y S. Hern´ andez, “Sensitivity analysis of bridge flutter with respect to mechanical parameters of the deck”, Structural and Multidiciplinary Optimization, Vol. 27, No 4, pp. 272– 283, (2004).