1
จนวนเช นวนเชงซ งซอน อน(Complex NNumbers) พจารณาสมการ จารณาสมการ x + 1 = 0 หรอ x = – 1 จะเหนว นวาในระบบจ าในระบบจานวนจร านวนจรง จะ ไมมมจจานวนจร านวนจรงใดเป งใดเปน คาตอบ าตอบ เพราะวาจ าจานวนจร านวนจรงใดก งใดกตามเม ตามเม อยกกาลั าลังสองแล งสองแลวย วยอมม อมมคคามากกว า มากกวาหร าหรอเท อเทากั ากับศ บศนย นย ด ดวยเหต วยเหตนนัน ัก คณตศาสตร ตศาสตรจงสร ง สรางระบบจ างระบบจานวนข านวนขนใหม นใหมเพ พอให อใหสมการท สมการทมมลัลักษณะดั กษณะดังกล งกลาวม าวมคคาตอบ า ตอบ ซ ซงเร งเรยกจ ยกจานวนท านวนท นวนเชงซ งซอน อน (complex number) สรางใหม างใหมน นววา จนวนเช 2
2
1.1 จนวนเช นวนเชงซ งซอน อน านวนเชงซ งซอน อน คอจ อจานวนซ านวนซงเข งเขยนอย ยนอยในร ในรป (a, b) เม เมอ a และ b เปนจ นจานวนจร านวนจรงใดๆ งใดๆ บทนยม ยม จานวนเช เม เมอ (a, b) และ (c, d) เปนจ นจานวนเช านวนเชงซ งซอนสองจ อนสองจานวน านวน นคอ (a, b) = (c, d) กตตอเม (1) การเทากั ากัน นั นค อ เม อ a = c และ b = d (2) การบวก นั นค นคอ (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) นั นค นคอ (a, b) (c, d) = (ac – (3) การคณ (ac – bd, bd, ad + bc) เซตของจานวนเช านวนเชงซ งซอน อน เขยนแทนด ยนแทนดวยสั วยสัญลักษณ กษณ C ตัวอย วอยงท งท 1 จงหาผลบวกและผลคณของจ – 4, 4, 3) และ (7, 2) ณของจานวนเช านวนเชงซ งซอน อน ( – วธธทท ( – – 4, 4, 3) + (7, (7, 2) = ( – – 4 + 7, 3 + 2) = (3, 5)
( – – 4, 4, 3)(7, 2) = ( ( – – 4)(7) – 4)(7) – (3)(2), (3)(2), ( – 4)(2) 4)(2) + (3)(7) ) = ( – – 28 – 28 – 6, – 6, – 8+ 8+ 21) = ( – – 34, 34, 13)
– 2, 2, 5) = ( – – 1, – 1, – 2) 2) านวนเชงซ งซอน อน (a, b) ท ทททาให า ให (a, b) + ( – ตัวอย วอยงท งท 2 จงหาจานวนเช วธธทท – 2, 2, 5) = ( – – 1, – 1, – 2) 2) จาก (a, b) + ( – (a – 2, 2, b + 5) = ( – – 1, – 1, – 2) 2) จะได (a – a – 2 2 = – 1 และ b + 5 = – 2 a = 1 และ b = – 7 ดังนั งนั น (a, b) = (1, – (1, – 7) 7)
พยายามอานนะคร านนะครับ ับ
ผมจะพยายามคดคร ดครับ ับ
2
ตัวอย วอยงท งท 3 จงหาจานวนเช (3, – 7) 7) = (27, 53) านวนเชงซ งซอน อน (x, y) ท ทททาให า ให (x, y) (3, – วธธทท (x, y) (3, – (3, – 7) 7) = (27, 53) จาก (3x + 7y, – 7y, – 7x 7x + 3y) = (27, 53) จะได
จะได (2) 3 จะได (3) + (4) จะได (1) 7
3x + 7y = 27
……………………..(1)
–7x + 3y = 53
.…………………….(2)
21x + 49y = 189
.…………………….(3)
–21x + 9y = 159
.…………………….(4)
58y = 348
y =
แทนคา y ดวย วย 6 จะได
348 58
= 6
3x + 7(6) = 27 3x + 42 = 27 3x = 27 – 27 – 42 42 3x = – 15 15
x =
ดังนั งนั น บทนยม ยม
15 3
= – 5
(x, y) = ( – 5, 5, 6)
สาหรั าหรับจ บจานวนเช านวนเชงซ งซอน z = (a, b) เม เมอ a และ b เปนจ นจานวนจร านวนจรง วนจรง(real part) ของ z และแทนดวย เรยก ยก a วาสวนจร วย Re(z) เรยก ยก b วาสวนจ วนจนตภพ นตภพ (imaginary part) ของ z และแทนดวย Im(z)
จะเหนได นไดววา จนวนจร านวนเชงซ งซอนท อนทมมสสวนจ ว นจนตภาพเท นตภาพเทากั ากับ 0 ซ ซงหมายความว งหมายความวา เซตของ นวนจรง คอ จานวนเช จานวนจร านวนจรงเป งเปนสั นสับเซตของจ บเซตของจานวนเช านวนเชงซ งซอน อน และจานวนเช านวนเชงซ งซอนท อนทมมสวนจร ว นจรงเป งเปนศ นศนย แต แตสวนจ วนจนตภาพไม นตภาพไมเป เปน ศนย นยเรเรยกว ยกวาจ าจานวนจ านวนจนตภาพแท นตภาพแท (purely imaginary number) วยจนตภพ จานวนเช านวนเชงซ งซอน อน (0, 1) เขยนแทนด ยนแทนดวยสั วยสัญลั ญลักษณ กษณ 1 หรอ i ซ ซงเร งเรยก ยก i วาหนวยจ (imaginary unit)
จก
i =
1
จะได
2
2
i = ( 1 ) = ( 1 )( 1 ) = – 1 3
2
4
2
5
4
i = i i = ( – – 1)(i) 1)(i) = – i 2
i = i i = ( – – 1)( – 1)( – 1) 1) = 1 i = i ดฉันพยายามอ ันพยายามอานค านคะ S
M comple
T
i = (1)(i) = i
เปนต นตน ผมพยายามคดคร ดครับ ับ S
M complex
M
T
M
2
ตัวอย วอยงท งท 3 จงหาจานวนเช (3, – 7) 7) = (27, 53) านวนเชงซ งซอน อน (x, y) ท ทททาให า ให (x, y) (3, – วธธทท (x, y) (3, – (3, – 7) 7) = (27, 53) จาก (3x + 7y, – 7y, – 7x 7x + 3y) = (27, 53) จะได
จะได (2) 3 จะได (3) + (4) จะได (1) 7
3x + 7y = 27
……………………..(1)
–7x + 3y = 53
.…………………….(2)
21x + 49y = 189
.…………………….(3)
–21x + 9y = 159
.…………………….(4)
58y = 348
y =
แทนคา y ดวย วย 6 จะได
348 58
= 6
3x + 7(6) = 27 3x + 42 = 27 3x = 27 – 27 – 42 42 3x = – 15 15
x =
ดังนั งนั น บทนยม ยม
15 3
= – 5
(x, y) = ( – 5, 5, 6)
สาหรั าหรับจ บจานวนเช านวนเชงซ งซอน z = (a, b) เม เมอ a และ b เปนจ นจานวนจร านวนจรง วนจรง(real part) ของ z และแทนดวย เรยก ยก a วาสวนจร วย Re(z) เรยก ยก b วาสวนจ วนจนตภพ นตภพ (imaginary part) ของ z และแทนดวย Im(z)
จะเหนได นไดววา จนวนจร านวนเชงซ งซอนท อนทมมสสวนจ ว นจนตภาพเท นตภาพเทากั ากับ 0 ซ ซงหมายความว งหมายความวา เซตของ นวนจรง คอ จานวนเช จานวนจร านวนจรงเป งเปนสั นสับเซตของจ บเซตของจานวนเช านวนเชงซ งซอน อน และจานวนเช านวนเชงซ งซอนท อนทมมสวนจร ว นจรงเป งเปนศ นศนย แต แตสวนจ วนจนตภาพไม นตภาพไมเป เปน ศนย นยเรเรยกว ยกวาจ าจานวนจ านวนจนตภาพแท นตภาพแท (purely imaginary number) วยจนตภพ จานวนเช านวนเชงซ งซอน อน (0, 1) เขยนแทนด ยนแทนดวยสั วยสัญลั ญลักษณ กษณ 1 หรอ i ซ ซงเร งเรยก ยก i วาหนวยจ (imaginary unit)
จก
i =
1
จะได
2
2
i = ( 1 ) = ( 1 )( 1 ) = – 1 3
2
4
2
5
4
i = i i = ( – – 1)(i) 1)(i) = – i 2
i = i i = ( – – 1)( – 1)( – 1) 1) = 1 i = i ดฉันพยายามอ ันพยายามอานค านคะ S
M comple
T
i = (1)(i) = i
เปนต นตน ผมพยายามคดคร ดครับ ับ S
M complex
M
T
M
3
นั นันค นคอ ถา n เปนจ นจานวนเต านวนเตมบวกแล มบวกแลว 4n
i
4n + 1
i
4n + 2
i
4n + 3
i
4 n
n
=
(i )
= 1
=
(i )(i)
=
(i )(i ) =
=
(i )(i ) =
4n 4n
2
4n
3
=
= 1
(1)(i)
= i
(1)( – (1)( – 1) 1) = – 1 (1)( – (1)( – i) i) = – i
ดังนั งนั น ในการหาคา i เม เมอ m เปนจ นจานวนเต านวนเตมบวก มบวก อาจทาได าไดโดยเอา 4 ไปหาร m แลวพ วพจารณาเศษ จารณาเศษ ท ทได ไดจากการหาร จากการหาร 1. ถา 4 ไปหาร m ลงตัว แลวจะได วจะได i = 1 2. ถา 4 ไปหาร m เหลอเศษ อเศษ 1 แลวจะได วจะได i = i 3. ถา 4 ไปหาร m เหลอเศษ อเศษ 2 แลวจะได วจะได i = – 1 4. ถา 4 ไปหาร m เหลอเศษ อเศษ 3 แลวจะได วจะได i = – i m
m
m m m
ตัวอย วอยงท งท 4
(1)
i
(2)
i
(3)
i
35
125 258
32 + 3
4 8
= i
หรอ 4 ไปหาร 35 เหลอเศษ อเศษ 3) (หรอ 4 ไปหาร 125 เหลอเศษ อเศษ 1) (หรอ 4 ไปหาร 258 เหลอเศษ อเศษ 2)
3
= (i ) (i ) = (1)( – (1)( – i) i) = – i
124 + 1
= i
256 + 2
= i
(
4 31
= (i ) (i) = (1)(i) = i 4 64
2
= (i ) (i ) = (1)( – (1)( – 1) 1) = – 1
ตัวอย วอยงท งท 5 จงหาคาของ าของ 504
505
506
507
(1) i + i + i + i
วธธทท
(1)
(2) i
504
505
i
506
i
507
i
เน เน องจาก 4 ไปหาร 504 ลงตัว จะได i = 1 4 ไปหาร 505 เหลอเศษ อเศษ 1 จะได i = i 4 ไปหาร 506 เหลอเศษ อเศษ 2 จะได i = – 1 และ 4 ไปหาร 507 เหลอเศษ อเศษ 3 จะได i = – i ดังนั งนั น i + i + i + i = 1 + i – 1 – 1 – i = 0 500
501 502
501
504
(2)
หรอ i
504
i
504
505
i
506
i
M
506
506
507
i
i
507
= i
i
507
= (1) (i) ( – – 1) 1) ( – i) i) = – 1
504 + 505 + 506 + 507
= i
2022
= – 1
( 4
บทนยม ยม ถา a เปนจ นจานวนจร านวนจรงบวก งบวก แลว
a =
ดฉันพยายามอ ันพยายามอานค านคะ S
505
i
505
ไปหาร 2022 เหลอเศษ อเศษ 2) ai
ผมพยายามคดคร ดครับ ับ S
T
M complex
comple
M
T
M
4
ตัวอยงท 6
ตัวอยงท 7
(1)
4
(2)
9
(3)
25 =
= =
2
=
= 3i
(5)
8
=
25 i = 5i
(6)
27 =
9i
= 2i
9 = ( 4 i) ( 9 i) = (2i)(3i)
(1)
4
(2)
(4)(9)
(4)
4i
=
36
2i 8
i
= 2 2i
27 i = 3
3
i
2
= 6i = – 6
= 6
จกตัวอยงท 7 จะพบวา 4 9 (4)(9) นั นคอ ถา a และ b เปนจานวนจรงบวก แลว a b (a)( b) ถา b เปนจานวนจรงใดๆ แลว bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b) แสดงวา จานวนจนตภาพ (0, b) สามารถ เขยนในรปของจานวนจรง b คณกับจานวนเชงซอน i และเน องจาก (a, b) = (a, 0) + (0, b) (a, b) = a + bi นั นคอ จานวนเชงซอน (a, b) อาจเขยนแทนดวย a + bi จะได ซ งเรยก a วาสวนจรง (real part) และเรยก b วาสวนจนตภพ(imaginary part) เชน (1) (4, 0) = 4 + 0i = 4 จะได 4 เปนสวนจรง และ 0 เปนสวนจนตภาพ (2) (0, – 3) = 0 – 3i = – 3i จะได 0 เปนสวนจรง และ – 3 เปนสวนจนตภาพ (3) (2, 9) = 2 + 9i จะได 2 เปนสวนจรง และ 9 เปนสวนจนตภาพ (4) ( – 5, 2 ) = – 5 + 2 i จะได – 5 เปนสวนจรง และ 2 เปนสวนจนตภาพ (5) (2 5 , – 6 ) = 2 5 – 6 i จะได 2 5 เปนสวนจรง และ – 6 เปนสวนจนตภาพ จก (a, b) = a + bi ถา b = 0 แลวจะได a เปนจนวนจรง และ ถา a = 0 และ b 0 แลวจะได bi เปนจนวนจนตภพแท เชน (1) (4, 0) = 4 + 0i = 4 เปนจานวนจรง (2) (0, – 3) = 0 – 3i = – 3i เปนจานวนจนตภาพแท
สมบัตก ารบวกและการคนของจานวนเชงซอนท อย ในรป a + bi กรบวกจนวนเชงซอน
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di) = (a + c) + (b + d)i
กรคนจนวนเชงซอน
2
(a +bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi
= (ac – bd) + (ad + bc)i
ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
complex
M
T
M
5
ตัวอยงท 8 จงหาคาของ (1) (2 + 3i) + (5 – 6i)
วธท
(2 + 3i) + (5 – 6i) = (2 + 5) + (3 – 6)i = 7 + ( – 3i) = 7 – 3i (2)
วธท
(2 + 3i)(5 – 6i) 2
(2 + 3i)(5 – 6i) = 10 + 15i – 12i – 18i
= (10 + 18) + (15 – 12i) = 28 + 3i
ถากาหนดจานวนเชงซอน z = a + bi และ n เปนจานวนเตมบวก คาของ z นอกจากหาผลคณตาม วธด ังกลาวแลว เราสามารถหาผลคณโดยการใชสตรทางพชคณตดังตอไปน n
2
2
(x + y) = x + 2xy + y 2
2
2
( x – y) = x – 2xy + y
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
(x + y) = x + 3x y + 3xy + y
3
(x – y) = x – 3x y + 3xy – y
ตัวอยงท 9 กาหนดให z = 2 + 3i จงหาคาของ วธท (1) z = (2 + 3i) 2
2
3
เปนตน
z, z, z
4
และ z
5
2
2
= 2 + 2(2)(3i) + (3i)
2
= 4 + 12i – 9 = (4 – 9) + 12i = – 5 + 12i
(2)
3
z = (2 + 3i) 3
3
2
2
3
= 2 + 3(2) (3i) + 3(2)(3i) + (3i) = 8 + 36i – 54 – 27i = (8 – 54) + (36 – 27)i = – 46 + 9i
ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
complex
M
T
M
6
4
(3)
2 2
z = (z )
2
= ( – 5 + 12i)
2
( z = ( – 5 + 12i
2
= ( – 5) + 2( – 5)(12i) + (12i)
จากขอ (1))
2
= 25 – 120i – 144 = – 119 – 120i
(4)
z
5
4
= z z = ( – 119 – 120i)(2 + 3i) = – 238 + 360 – 357i – 240i = 122 – 597i
เอกลักษณและตัวผกผัน ( อนเวอรส ) กรบวกในระบบจานวนเชงซอน พจรณการบวกจานวนเชงซอนตอไปน (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) และ (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b)
= (a, b)
ดังนั น จะได (0, 0) เปนเอกลักษณการบวกในระบบจานวนเชงซอน หรอ 0 + 0i เปนเปนเอกลักษณการบวกในระบบจานวนเชงซอน พจรณการบวกจานวนเชงซอนตอไปน (a, b) + ( – a, – b) = (a – a, b – b) และ ( – a, – b) + (a, b) = (0, 0)
= ( – a + a, – b + b)
= (0, 0)
ดังนั น จะได ตัวผกผัน(อนเวอรส ) การบวกของ (a, b) คอ ( – a, – b) หรอ ตัวผกผัน(อนเวอรส ) การบวกของ a + bi คอ – a – bi ตัวอยงท 10 ตัวผกผันการบวกของ (3, – 4) คอ ( – 3, 4) ตัวผกผันการบวกของ 2 + 5i คอ – 2 – 5i ตัวผกผันการบวกของ – 5 + 2 i คอ 5 – ตัวผกผันการบวกของ 3 – 2 i คอ ดฉันพยายามอานคะ S
M
2
i
3+
2
i
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
complex
M
T
M
7
เอกลักษณและตัวผกผัน( อนเวอรส ) กรคณในระบบจานวนเชงซอน พจรณการคณจานวนเชงซอนตอไปน (a, b)(1, 0) = (a 1 – b 0, a 0 + b 1) และ (1, 0)(a, b) = (1 a – 0
b, 0 a + 1 b)
= (a – 0, 0 + b)
= (a – 0, 0 + b)
= (a, b)
= (a, b)
ดังนั น จะได (1, 0) เปนเอกลักษณการคณในระบบจานวนเชงซอน หรอ 1 + 0i เปนเปนเอกลักษณการคณในระบบจานวนเชงซอน
ถา (a, b) เปนจานวนเชงซอนซ งไมเทากับ (0, 0) ตัวผกผัน(อนเวอรส) การคณของ (a, b) คอจานวน เชงซอน ท คณ กับ (a, b) แลว ได (1, 0) ซ งหาไดดังน กหนดให (x, y) เปนตัวผกผัน(อนเวอรส ) การคณของ (a, b) (a, b)(x, y) = (1, 0) จะได (a, b)(x, y) = (ax – by, bx + ay) แต (ax – by, bx + ay) = (1, 0) ดังนั น จากบทนยามจะได ax – by = 1 และ bx + ay = 0 โดยการแกสมการ b a , จะได (x, y) = a b a b
2
2
2
2
ดังนั น ตัวผกผัน(อนเวอรส ) การคณของ (a, b) คอ
a
a b
หรอ ตัวผกผัน(อนเวอรส ) การคณของ
a + bi
2
คอ a
2
,
a b
a 2
b 2
b
2
2
b a 2 b 2
i
หมยเหต ถา z = (a, b) และ z (0, 0) ตัวผกผัน(อนเวอรส ) กาคณของ z อาจเขยนแทนดวย นั นคอ z = a , b
z
-1
-1
2 2 a b
ตัวอยงท 11 ตัวผกผันการคณของ
(2, 5)
a 2 b 2
คอ 2
ตัวผกผันการคณของ (3, – 4) คอ ตัวผกผันการคณของ – 3 + 5i คอ ดฉันพยายามอานคะ S
M
5 2 = , 2 5 5 29 29 3 4 3 4 2 , , = 2 2 2 25 25 3 ( 4 ) 3 ( 4 ) 2
2
2
,
5
2
2
3 5 3 5 i i = 2 2 2 2 34 34 (3) 5 (3) 5 ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
complex
M
T
M
8
กรลบและกรหรจนวนเชงซอน กรลบจนวนเชงซอนอาศัยตัวผกผันการบวกของจานวนเชงซอนท เปนตัวลบได ดังน
บทนยาม
(a, b) – (c, d) = (a, b) + ( – c, – d)
จากบทนยามจะได (a, b) – (c, d) = (a – c, b – d) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i หรอ ตัวอยงท 12 (1)
(6, 15) – ( – 2, 4)
= (6, 15) + (2, – 4) = (6 + 2, 15 – 4) = (8, 11)
(2) (5 – 4i) – (3 + 2i) = (5 – 4i) + ( – 3 – 2i) = (5 – 3) + ( – 4 – 2)i = 2 – 6i
กรหรจนวนเชงซอน ถากาจานวนเชงซอนซ งไมเทากับ (0, 0) จะหาตัวผกผันการคณของจานวน เชงซอนนั นไดเสมอ จงนยามการหารจานวนเชงซอนไดดังน บทนยม
d c , 2 2 c 2 d 2 c d
(a, b) (c, d) = (a, b)
จากบทนยามจะได (a, b) (c, d)
=
เม อ (c, d) (0, 0)
(a, b) (c, d)
ac bd bc ad , 2 2 2 2 c d c d a bi (a + bi) (c + di) = c di d c i = (a + bi) 2 2 c 2 d 2 c d ac bd bc ad = + i c 2 d 2 c 2 d 2 =
หรอ
ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
complex
M
T
M
9
ตัวอยงท 13 จงหาคาของ 53 24ii 3 2i
วธท
5 4i
4 5 i 2 2 5 2 4 2 5 4 4 5 i = (3 – 2i) 41 41 15 8 10 12 = + i 41 41
= (3 – 2i)
=
22 – i 41 41 7 7
=
41
22
–
ตัวอยงท 14 จงหาคาของ (2 –
41
i
2 i) (3 – 2 i)
3 2 (2 – 2 i) (3 – 2 i) = (2 – 2 i) 2 3 ( 2 ) 2 32 ( 2 ) 2
วธท
i
3 2 = (2 – 2 i) 11 11 i = =
6 11
+
2 2 11
i –
3 2 11
i +
2 11
8
2 – i 11 11
การหารจานวนเชงซอนน นอกจากใชตัวผกผันการคณของตัวหารดังตัวอยางขางตนแลว ยังมอก วธห น ง คอการใชสังยค (conjugate) ของจานวนเชงซอน บทนยม ให z = a + bi เปนจานวนเชงซอน จะเรยกจานวนเชงซอน a – bi วาเปนสังยค (conjugate) ของ z และเขยนแทนดวยสัญลักษณ z นั นคอ z = a bi = a – bi (3) สังยคของ 3 + 2i คอ 3 – 2i สังยคของ (5, 4) คอ (5, – 4) (2) สังยคของ ( – 9, – 2) คอ ( – 9, 2) (4) สังยคของ 8 – 7i คอ 8 + 7i ขอสังเกต จานวนเชงซอนท สว นจนตภาพไมเทากับศนย จานวนเชงซอนและสังยคของจานวน เชงซอนนั น จะตางกันเฉพาะสวนจนตภาพ กลาวคอสวนจตภาพเปนจานวนตรงขามกัน
ตัวอยง
(1)
พจรณผลคณ (a + bi)(a – bi) = a + b – abi + abi = a + b จะเหนวา ผลคณของจนวนเชงซอนใดกับสังยคของจนวนเชงซอนนั น เปนจานวนจรง 2
ดฉันพยายามอานคะ S
M
2
2
2
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
complex
M
T
M
10
การหารจานวนเชงซอน นอกจากใชตัวผกผันการคณแลวอาจทาไดโดยนาสังยคของตัวหารมาคณ ทั งตัวตั งและตัวหารไดดังตัวอยางตอไปน ตัวอยงท 15 จงหาคาของ 53 24ii 3 2i
วธท
5 4i
3 2i
= = = =
5 4i
5 4i 5 4i 15 8 10i 12i 25 16 7 22i 41 7 41
–
22 41
i
14 23i 27 5i + 3 4i 3 7i 14 23i 27 5i (14 23i)(3 4i) (27 5i)(3 7i) + = + 3 4i 3 7i (3 4i)(3 4i) (3 7i)(3 7i) (42 92) (56 69)i (81 35) (189 15)i = + 9 16 9 49 50 125i 116 174i
ตัวอยงท 16 จงหาผลลัพธ วธท
= =
+ 25 58 25(2 5i) 58(2 3i) + 25 58
=
(2 + 5i) + (2 + 3i)
=
4 + 8i
ตัวอยงท 17 จงหาจานวนเชงซอน z ท สอดคลองกับสมการ (3 + 2i)z = 2 – i จาก (3 + 2i)z = 2 – i จะได วธท z
= = = = = =
ดฉันพยายามอานคะ S
M
2i 3 2i 2i 3 2i
3 2i 3 2i
6 3i 4i 2i 2 32 2 2 6 3i 4i 2
94 4 7i 13 4
7i – 13 13
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
11
เม อกาหนดจานวนเชงซอน z ในรปผลหาร เราสามารถหา z โดยใชความร ท วา ดังตัวอยางตอไปน ตัวอยงท 18 จงหา z เม อกาหนดให z = 1 18i 3 4i -1
-1
z
1
=
z
เม อ z 0
-1
วธท
-1
z
=
1 z
4i 1 18 i 3
= = =
(3 4i)(1 18i) (1 18i)(1 18i) (3 72) (54 4)i
1 324 75 50 = – i 325 325 3 2 = – i 13 13
สมบัตทส าคัญของสังยคของจานวนเชงซอนมดังน ทฤษฎบท ให z, z และ z เปนจานวนเชงซอน จะได 1 1 1) Re(z) = (z + z ) และ Im(z) = (z – z ) 2 2i 1
z 2 = z + z z 1 z 2 = z – z z z = z z
2) z1 3) 4) 5)
1
1
1
1
)
z
2 1
2i
ดฉันพยายามอานคะ
z
2
เม อ z 0
1
2
2
= ( z )
-1
= z
(z + z ) = (z – z ) =
นั นคอ M
z
=
2
กาหนดให z = a + bi จะได 1
S
1
2
z z
6) ( z
จากทฤษฎบท 1 พสจนขอ 1)
2
1
2
7)
2
1 2 1 2
z = a – bi
[( a + bi) + (a – bi)] =
[( a + bi) – (a – bi)] =
Re(z) =
1 2
(z + z )
1 2 1
2i
(2a) = a
=
Re(z)
(2bi) = b = Im(z)
และ Im(z) =
1 2i
(z – z )
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
12
2)
กาหนดให z
และ
= a + bi
1
z1 z 2
z2 = c + di
= (a bi) (c di) = a bi c di = (a c) ( b d)i =
(a – c) – (b – d)i
=
a – c – bi + di
= (a – bi) – (c – di) =
นั นคอ 3)
z
z1 z 2 =
1
– z 2 z
1
– z 2
กาหนดให z = a + bi และ z = c + di 1
z1 z 2
2
= (a bi)(c di) = (ac bd) (ad bc)i = (ac bidi ) (ad bc)i =
(ac + bidi) – (ad + bc)i
=
ac + bidi – adi – bci
=
(ac – bci) – (adi – bidi)
=
(a – bi)c – (a – bi)di
=
(a – bi)(c – di)
=
นั นคอ 7)
z
z1 z 2
1
=
z
( – bd = bidi)
2
z
1
z
2
กาหนดให z = a + bi z
= a bi = a bi = a + bi
นั นคอ
ดฉันพยายามอานคะ S
M
z
= z
= z
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
13
ใบกจกรรมท 1.1 1.
จงหาสวนจรง
Re(z)
และสวนจนตภาพ Im(z) ของจานวนเชงซอนตอไปน
(1) 5 – 4i
จะได สวนจรงคอ.................................................. และส วนจตภาพคอ................................................... (2) 3 + 9i
จะได สวนจรงคอ.................................................. และส วนจตภาพคอ................................................... (3) 9
จะได สวนจรงคอ.................................................. และส วนจตภาพคอ................................................... (4) 7i
จะได สวนจรงคอ.................................................. และส วนจตภาพคอ................................................... (5) (1 – i)
2
2
(1 – i) =………………………………………………………………………………………………
จะได สวนจรงคอ................................................. และส วนจตภาพคอ................................................... 2
(6) (2 +
5
i)
(2 +
5
i) =…………………………………….……………………………………………………..
2
จะได สวนจรงคอ................................................. และส วนจตภาพคอ................................................... 2.
จงหาเขยนผลลัพธใหอย ในรป a + bi เม อ a, b
R
(1) (3, 4) + (2, 6)
จะได (3, 4) + (2, 6)
= ……………………………………………..………………………………..
(2) ( – 5, 2) + (1, – 3)
จะได ( – 5, 2) + (1, – 3) =…………………............................................................................................. (3) ( 2 , – 2) + ( – 3 2 , 7)
จะได (
2 , – 2) + ( – 3 2 , 7) =………………………………………………………………………
(4) (4 – 3i) + ( – 5 + 6i)
จะได (4 – 3i) + ( – 5 + 6i) =………………………………………………………………………….. (5) (5 + 2i) + (1 – 4i) + ( – 3 + i)
จะได (5 + 2i) + (1 – 4i) + ( – 3 + i) =…………………………………………………………………
พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
14
3.
จงหาเขยนผลลัพธใหอย ในรป a + bi เม อ a, b R (1) (3, – 4)( – 2, 6)
จะได (3, – 4)( – 2, 6) =………………………………………………………………………………… (2) (1, – 7)( , – )
จะได (1, – 7)( , – ) =…………………………………………………………………………….. (3) ( 2 , – 2)( – 3 2 , 7)
จะได (
2 , – 2)( – 3 2 , 7) =………………………………………………………………………….
(5) (4 – 3i)( – 5 + 6i)
จะได (4 – 3i)( – 5 + 6i) =……………………………….…………………………………………… (6) (5 + 2i)(1 – 4i)( – 3 + i)
จะได (5 + 2i)(1 – 4i)( – 3 + i) =…………………………………………………………….……….. (7) ( – 1 + 7i)(2 + 2i)(4 – 5i)
จะได ( – 1 + 7i)(2 + 2i)(4 – 5i) =………………………………………………………….………… (8) (6i)(7 + 4i)( – 8 – i)
4.
จะได (6i)(7 + 4i)( – 8 – i) =………………………………………………………………………… จงหาคาในแตละขอตอไปน (1)
97
i
จะได i
97
(2)
=………………………………………………………………………….………...………
130
i
จะได i
130
(3)
500
i
จะได i
500
(4)
=…………………………………………………………………………………………
=…………………………………………………………………………………………
635
i
จะได i
635
5
6
=…………………………………………………………………………….……………
7
8
9
(5) i + i + i + i + i + i
10
จะได i + i + i + i + i + i 5
10
(6) i
11
i
จะได
6
12
i
10
i
7
13
8
14
i i 11
i
พยายามคดนะครับ
12
i
9
10
=………………………………………………….…………………
15
= ………………………………………………….…………………
15
i
13
i
14
i
i
ผมพยายามทาครับ
15
5.
ผกผันการบวกของจานวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน (1) z = ( – 5, 2)
จะได ผกผันการบวกของ ( – 5, 2) คอ.......................................................................................... ……… (2)
z = 4 – 3i
จะได ผกผันการบวกของ 4 – 3i คอ........................................................................................................ (3) z = – 3 +
2
i
จะได ผกผันการบวกของ – 3 + 2 i คอ................................................................................................ 6. ตัวผกผันการคณของจานวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน (1) z = ( – 5, 2)
จะได ผกผันการบวกของ ( – 5, 2) คอ.......................................................................................... ……… (2)
z = 4 – 3i
จะได ผกผันการบวกของ 4 – 3i คอ........................................................................................................ (3) z = – 3 +
2
i
จะได ผกผันการบวกของ – 3 + 2 i คอ................................................................................................ 7. จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน ในรป a + bi เม อ a, b R (1)
1 2i
……….……………………………………………………………….…...…………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… (2)
5 3 4i
…………………………………………………………………….…………………………………………… ……………………………………………………………….……...………………….……………………… ……………….………………………………………...……………………….……………………………… ………………………………………….……………………………………………………………………… (3)
2 3i 4 2i
……………………………………………...………………….……………………….……………………… ………………………………………………………………………....……………………….……………… ……………………….……………………………………...………………………….……………………… …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
16
5. กาหนดให z = 4 – 3i จงเขยนจานวนในขอตอไปน ใหอย ในรป a + bi เม อ a, b R (1) z
จะได
z =…….……………………………….………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………. (2) z z
จะได z z =…….……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………….……………………………………………………… (3) z + z
จะได z + z =………………………………………..………………………………………………… ………………………………………………………......................................................................................... (4) z(z + z )
จะได
z(z + z ) =………………………………...…………………………………………….………
…………………………………………………………….…………………………………………………… (5) z – z
จะได z – z =…….………………………………….……………………………………………….. …………………………………………………………………………………….…………………………… (6) (z – z )i
จะได (z – z )i =……………………………………...……………………………..………………… ………………………………………………………......................................................................................... (7) z 1
จะได
z 1 =………………………………………………………………………………….…...……
…………………………………………………………………………………………………………………. (8)
z i
จะได
z i
=…….……………………………………………….………………………………………
……………………………………………………………….…………………………………………………
พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
17
แบบฝกหัดท 1.1 1.
จงหาคาของในแตละขอตอไปน (1) i 241 + i 242 + i 243 + …+ i 644
จะได i
241
+ i 242 + i 243 + …+ i 644 =…………………………………………………………………
………………………………………………………………...………………………………………………..
เม อ n I
(2) i n + i n 1 + i n 2 + i n 3
จะได
+
i n + i n 1 + i n 2 + i n 3 =………………………………….…………………………………
…………………………………………………………………………….…………………………………… (3) i 505 i 506 i 507 i 508
จะได i
505
i 506
i 507
i 508 =………………………………………………………………………
…………………………………………..………………..………………….………………………………… (4) i n i n 1 i n 2 i n 3
จะได
in
เม อ n I
+
i n 1 i n 2 i n 3 =…………………………………..….………………………………
……….…….………………….………………………………………………………………………………..
2. จงหาคาของในแตละขอตอไปน โดยเขยนใหอย ในรป
a + bi
เม อ a, b R
(1) (2 – 5i) + (8 + 6i)
จะได (2 – 5i) + (8 +
6i) = ……………….……………………...……………………………………
…………………………………………………………………………….…………………………………… (2) ( – 8 + 4i) – (2 – 3i)
จะได ( – 8 + 4i) – (2 – 3i) =…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… (3) 2(3 + 4i) + 3(2 – i) – 5(4 + 2i)
จะได 2(3 + 4i) + 3(2 – i) – 5(4 + 2i) =…………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… (4) (3 + 4i)(2 + 5i) – (2 + 3i)(3 – 7i)
จะได (3 + 4i)(2 + 5i) – (2 + 3i)(3 – 7i) =…….……………………………………………………… ………………………………………………………………………….………………………………………
พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
18
3.
กาหนด z = 2 + 3i, z 1
2
= – 3 + 4i
และ z
3
= 4 + 7i
จงหา
(1) z1(z2 + z3) ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… (2) z1z2 + z1z3 ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… 4.
จงหาจานวนจรง x และ y ท สอดคลองกับสมการในแตละขอตอไปน (1) 3 + 2i + x + yi = 5 – 7i
…………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… (2) ( – 3 + 5i)( x – yi) = 3 + 29i …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… (3) x + y + (x – y + 3)i = 1 + 7i ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… 2
2
(4) x + y + 2xyi – 1 + i = 0 ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
19
5.
ผกผันการบวกของจานวนเชงซอน zในแตละขอตอไปน (1) z = ( – 7, 4)
………………………………………….……………………………………………………………………… ………………………………………….……………..……….……………………………………………… (2) z = (1, – 3 ) ………………………………………….………………..….….……………………………………………… ……………….…………………………………………...………………………….………………………… (3) z = 3 –
2
i
……………………….…………………………………...…….……………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………… (4) z = (2 – 3i) + (4 + 7i) ……………………………………………………….……...….……………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………… (5) z = (2 + 3i)(3 – 4i) ………………………………………………………….……………………………………………………… ………………….…………………………………………………...…………….…………………………… 6.
ตัวผกผันการคณของจานวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน (1) z = ( – 7, 4)
……………………………….…………………...…………….……………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………… (2) z = – 3 + 2i ……………………………….……………………………...….……………………………………………… ……………………………………….……………………………...….……………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………… (3) z = (2 – 3i) + (4 + 7i) ……………………………….……………………………….…………………..…………………………… ……………………………………….……………………………….………...……………………………… ……………………………………………….……………………...………….……………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
20
7. จงหา
-1
z
เม อกาหนดจานวนเชงซอน z ใหในแตละขอตอไปน 3
(1) z =
4
5i
……………………………………………………………….……..………………….……………………… …………………………………………………………….………..….……………………….……………… …………………………………………………………………...…………….……………………….……… ………………………………………………………………...……………………….………………………. ……………………………………………………………………………………………….………………… (2) z =
2
i 5
……………………………………………………………..….……………………….……………………… ……………………………………………………………...………….……………………….……………… ………………………………………………………...……………………….……………………….……… …………………………………………………………...…………………………….………………………. ……………………………………………………………………………………………….………………… (3) z =
2i 3 2i
………………………………………………………...……….……………………….……………………… ………………………………………………...……………………….……………………….……………… ………………………………………………...……………………………….……………………….……… ……………………………………………………...………………………………….………………………. ……………………………………………………………………………………………….………………… …….……………………………………………………...………………………………………….………… (4) z =
(1
3i)( 2 i ) 5 4i
…………………………………………………..…………….……………………….……………………… …………………………………………………...…………………….……………………….……………… ……………………………………………………………...………………….……………………….……… ……………………………………………………………..………………………….………………………. ……………………………………………………………………………………………….………………… …….………………………………………………………...……………………………………….………… …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
21
8.
กาหนดให
z1 = 3 – i
และ z
2
= – 2 + 3i
จงหา
(1) z 1 ………………………………………………………………………….……………………………………… (2) z 2 ……………………………………………………………….………………...…………………………….… (3) z1 z 2 ……………………………………………………………….………………………………………………… (4) z 1 z 2 ……………………………………………………………….………………………………………………… (5) z 1
z2
……………………………………………………………….………………………………………………… (6) z1 + z 2 ……………………………………………………………….………………………………………………… (7) z 1 z 2 ……………………………………………………………….………………………………………………… (8) z 1 + z 2 ……………………………………………………………….………………………………………………… 9.
จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน ในรป a + bi เม อ a, b (1)
R
4 2i 1 2i
……………………………………………………………….………………………………………………… …….…………………………………………………...…………….………………………………………… …………….………………………………………………...……………….………………………………… ………….………………….……………………………..………………………………….………………… (2)
1 4 3i
+
5 3i 2i
……….…………………………………………………...…………….……………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….……………………………………………..………………….………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
22
(3)
1 7i 4 3i
–
2 5i 1 2i
……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….………………..……………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….………………..……………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………
i 2i 2i 3i 5
(4)
……….………………………...……………………………………….……………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….……………………………..………………………………….………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….…………………………………………..…………………….………………………………… (5) 3 + i –
( 2 i) 2 (1 i)
……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….………………………………………..……………………….………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….…………………………………………..…………………….………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… .…………….………………………………………..……………………….………………………………… i
(6) 1
i
1 1
i 1 i
……….………………………………………………………..……….……………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… …………….………………………………………………...……….………………………………………… …………………….…………………………………………………………...…….………………………… ……………….…………………….………………..……………………………………………….………… …………………………………………………….…………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
23
10.
จงหาจานวนเชงซอน z ท สอดคลองกับสมการในขอตอไปน เม อกาหนด z = x + yi (1)
(2 + i)z =
4 – 2i
……………………………………………………………….………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… (2)
4(1 – 3i)z = – 2 + i
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… (3) (3 – 2i)z + i
= 7
……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… 11.
ให z เปนจานวนเชงซอน จงแสดงวาขอตอไปน เปนจรง (1) iz = – i z
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… (2) Im(iz) =
Re(z)
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… (3)
Re(iz) = – Im(z)
…………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… (4)
Re(z) =
z z 2
………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… (5)
Im(z) =
z z 2i
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
24
1.2 รกท สองของจนวนเชงซอน (Square R R oots o of Complex N Numbers) การหารากท สองของจานวนเชงซอนใด ๆ และหาคาตอบของสมการกาลังสองท มสัมประสทธ เปนจานวนจรง ให z เปนจานวนเชงซอนใด ๆ รากท สองของ z คอ จานวนเชงซอน w ซ ง w = z นั นคอ ถา w เปนรากท สองของ z แลว – w จะเปนรากท สองของ z ดวย และรากท สองของ จานวนเชงซอนท ไมใชศนยจะมเพยงสองจานวนเทานั น ตอไปน จะหาสตรเพ อใชในการหารากท สองของจานวนเชงซอนใด ๆ ให z = x + yi เปนจานวนเชงซอน ซ ง x และ y เปนจานวนจรงท ไมเปนศนยพรอมกัน และให w = a + bi เปนรากท สองของ z ดังนั น z = x + yi = w = (a + bi) = (a – b ) + 2abi a – b = x ……………………. (1) จงทาให 2ab = y ……………………. (2) และ (a + b ) = a + 2a b + b เน องจาก 2
2
2
(1) + (3)
2
ดังนั น (3) – (1)
2 2
a + b
จะได
a
2
a
จะได
ดังนั น
2
2
2
2
จะได
2
2
b
b
2
4
2 2
4
2 2
4
4
2 2
=
(a – 2a b + b ) + 4a b
=
(a – b ) + 4a b
2
2 2
2
2
=
x + y
=
x 2 y2
=
1 2
= =
1 2
=
2 2
……………………. (3)
( x 2 y2 x x 2 y2 x 2
( x 2 y2 x x 2 y2 x 2
แตรากท สองของ z มเพยงสองจานวนเทานั น เราจงเลอกเคร องหมายของ a และ b ใหถกตอง โดยสังเกตจากสมการ (2) ซ งแสดงวา 2ab = y นั นคอเคร องหมายของผลคณ ab ตองเหมอนกับ เคร องหมาย ของ y เราจงเลอก a และ b ดังน พยายามอานนะครับ
ผมพยายามคดครับ
25
ถา y
0
รากท สองของ z คอ
x 2 y2 x 2
x 2 y2 x
+
2
x 2 y2 x
กับ –
i
2
–
x 2 y2 x 2
i
ถา y < 0 รากท สองของ z คอ x 2 y2 x 2
x 2 y2 x
–
2
กับ –
i
x 2 y2 x 2
+
x 2 y2 x 2
i
เราสรปเปนทฤษฎบทไดดังน ทฤษฎบท กาหนดใหจานวนเชงซอน z = x + yi และให r = จะไดรากท สองของ z คอ r x 2
r x i 2
r x r x 2 2
i
เม อ y
x 2 y2
0
เม อ y < 0
ตัวอยงท 1 จงหารากท สองของ – 7 – 24i วธท ให z = – 7 – 24i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา x = – 7 และ และ r = x y = (7) (24) = 49 576 = 625 = 25 2
2
2
2
r x r x 2 2 25 (7) 25 (7) i 2 2 18 32 i = 2 2
เน องจาก y < 0 จากสตร รากท สองของ z คอ จะได รากท สองของ – 7 – 24i คอ
= =
ดังนั น รากท สองของ – 7 – 24i คอ
พยายามอานนะครับ
9 16 i
24
y = –
i
(3 – 4i)
และ – 3 + 4i
3 – 4i
ผมพยายามคดครับ
26
ตัวอยงท 2 จงหารากท สองของ 3 + 5i วธท ให z = 3 + 5i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา และ r = x y = 9 5 = 9 25 = 34 2
2
2
จะได รากท สองของ 3 + 5i คอ ดังนั น รากท สองของ 3 + 5i คอ ตรวจคตอบ
34 3 2
34
r x 2
34 3 i = 2
=
34 3 2
34 3 i 2
34
2 34
3
2 6 2
3
= =
i
2 34
2 25
+ 2
3 2
34 3
และ
+ 2
2
2
34 3
34 3
2
2
34 9 4
i
i
i
4
34 3 2
34 3 2 6 2
+ 2
34 3 2
25 4
– 2
34 3 2
+ 2
34 3
2
34 3 2
34 3 i 2
34 3 2
i
3 + 5i
กรณจานวนเชงซอนเปนจนวนจรงลบ การหารากท สองสามารถทาไดดังน ให z = – a เม อ a เปนจานวนจรงบวก จะได รากท สองของ z คอ a i และ 16 i และ 16 i เชน รากท สองของ – 16 คอ หรอ 4i และ – 4i 19 i และ 19 i รากท สองของ – 19 คอ 50 i และ 50 i รากท สองของ – 50 คอ หรอ 5 2 i และ – 5 2 i พยายามอานนะครับ
34 3
3 + 5i
=
3
34 3
2
=
2
2
+ 2
r x i 2
34 3 i 2
2
34 3
= =
34 3
2
2
5
y =
2
เน องจาก y > 0 จากสตร รากท สองของ z คอ
และ
x = 3
ai
ผมพยายามคดครับ
i
i
27
เราจะนาความร เร องรากท สองของจานวนจรงลบไปใช เพ อหาคาตอบของสมการกาลังสองได ดังตัวอยางตอไปน ตัวอยงท 3 จงหาสตรสาหรับคาตอบของสมการพหนามกาลังสอง ax + bx + c = 0 เม อ a, b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ โดยท a 0 วธท ax + bx + c = 0 โดยท a 0 จาก c b x + = 0 จะได x + a a 2
2
2
2 b b 2 c b 2 x x – + 2 a a 4a 4a 2 2 b 2 4ac b x – 4a 2 2a
ถา
=
0
=
0
2 b b – 4ac 0 x – 2a 2 x b b 4ac x b 2a 2a 2a b b 2 4ac b x x 2a
จะได
2
ดังนั น
x
=
b b 2 4ac 2a
หรอ
จัดใหอย ในรปกาลังสองสมบรณ)
(
b 2 4ac
2
b 2 4ac 2a b 2 4ac 2a
x
2a
=
=
0
2a
b 4ac b 2 i
ดังนั น x = หรอ x = 2a นั นคอ คาตอบของสมการพหนาม ax + bx + c = 2
x
และ x
=
0
=
0
2a
0
b b 2 4ac 2a
2a
i
b b 2 4ac i
b b 2 4ac i =
=
2
4ac b 2 b i x – 2a 2a 2 2 x b 4ac b i x b 4ac b 2a 2a 2a 2a
พยายามอานนะครับ
0
2
2
คอ
=
4ac b 1 b x – 2a 4a 2
2
0
0
b b 2 4ac
2
แตถา b – 4ac < 0 จะได
โดยท a
=
เม อ a, b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ เม อ b – 4ac 2
เม อ
0
2
b – 4ac < 0
ผมพยายามคดครับ
28
ตัวอยงท 4 จงหาเซตคาตอบของสมการ 4x – 2x + 3 = 0 วธท จากสมการ 4x – 2x + 3 = 0 เม อเทยบกับสมการ ax + bx + c = 0 จะได a = 4 , b = – 2 และ c = 3 และ b – 4ac = ( – 2) – 4(4)(3) = 4 – 48 = – 44 ซ ง – 44 < 0 2
2
2
2
2
b b 2 4ac i
จากสตร
x =
จะได
x =
2a
(2)
44 i
2(4) 2 2 11 i
=
2( 4) 1 11 i
=
4
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ
11 1 11 1 i, i 4 4 4 4
ตัวอยงท 5 จงหาเซตคาตอบของสมการ x + 9 = 0 วธท 1 จากสมการ x + 9 = 0 เม อเทยบกับสมการ ax จะได a = 1 , b = 0 และ c = 9 และ b – 4ac = 02 – 4(1)(9) = – 36 ซ ง – 36 2
2
2
2
+ bx + c = 0
< 0
b b 2 4ac i
จากสตร
x =
จะได
x =
2a
36 i 2(1)
6i
=
2
= 3i
วธท 2
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ จากสมการ x + 9 = 0 x – 9i = 0 จะได
{ 3i, – 3i }
2
2
2
2
2
x – (3i) = 0
(x – 3i)(x + 3i)
= 0
x = 3i
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ พยายามอานนะครับ
{ 3i, – 3i } ผมพยายามคดครับ
29
ใบกจกรรมท 1.2 1. จงหารากท สองของจานวนเชงซอนตอไปน (1) – 25 รากท สองของ – 25 คอ ................และ.................. (2) – 73 รากท สองของ – 73 คอ ................และ.................. (3) – 25i ให z = – 25i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา x = 0 และ และ r = x y = 0 (25) = 25 2
เน องจาก
2
2
25
y = –
2
จากสตร รากท สองของ z คอ
y < 0
จะไดรากท สองของ – 25i คอ
r x r x i 2 2 ...... .... ....... .... i 2 2 ..... ..... i = 2 2
ดังนั น รากท สองของ – 25i คอ ..............................................................................................................
(4) 49i ให z = 49i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา x = 0 และ และ r = x y = 0 49 = 49 2
เน องจาก
2
2
y = 49
2
จากสตร รากท สองของ z คอ
y > 0
จะไดรากท สองของ 49i คอ
r x 2 ...... .... 2 ..... = 2
r x i 2 ....... .... i 2 ..... i 2
ดังนั น รากท สองของ 49i คอ ............................................................................................................... พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
30
(5) – 1 + 4i
ให z = – 1 + 4i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา x = ……. และ y และ r = x y = ……………… = …………………….. 2
เน องจาก
= ……………
2
r x r x 2 2 ..... ....... 2 ............ = 2
จากสตร รากท สองของ z คอ
y > 0
i ..... ........ i 2
จะไดรากท สองของ – 1 + 4i คอ
............. i 2
ดังนั น รากท สองของ – 1 + 4i คอ ........................................................................................................... (6) 3 + 2i
ให z = 3 + 2i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา x = …….. และ y และ r = x y = ……………… = …………………….. 2
เน องจาก
= ………………
2
r x r x 2 2 ..... ....... 2 ............ = 2
จากสตร รากท สองของ z คอ
y > 0
i ..... ........ i 2
จะไดรากท สองของ 3 + 2i คอ
............. i 2
ดังนั น รากท สองของ 3 + 2i คอ ............................................................................................................ (7) 1 – 7i
ให z = 1 – 7i เม อเทยบกับ x + yi ในทฤษฎบทจะไดวา x = ……. และ y และ r = x y = ……………… = …………………….. 2
เน องจาก
= ……………
2
จากสตร รากท สองของ z คอ
y < 0
จะไดรากท สองของ 1 – 7i คอ
r x r x 2 2 ..... ....... 2
i ..... ........ i 2
ดังนั น รากท สองของ 1 – 7i คอ ........................................................................................................... พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
31
2. จงหาเซตคาตอบของสมการตอไปน (1) x + 7 = 0 วธท 1 จากสมการ x + 7 = 0 เม อเทยบกับสมการ ax + bx + c = 0 จะได a = 1 , b = 0 และ c = 7 และ b – 4ac = 02 – 4(1)(7) = – 28 ซ ง – 28 < 0 2
2
2
2
b b 2 4ac i
จากสตร
x =
จะได
x =
2a
........ i 2(....)
= …….. = ……..
วธท 2
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ ....................................................... ................................. x +7 = 0 จากสมการ x – (……) = 0 จะได (x – …….)(x + ……..) = 0 2
2
2
x = ………………………………
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ........................................................ .................................
(2) 2x + 3x + 5 = 0 วธท จากสมการ 2x + 3x + 2 = 0 เม อเทยบกับสมการ ax + bx + c = 0 จะได a = …….. , b = …….. และ c = ……… และ b – 4ac = .................................................................................. 2
2
2
2
b b 2 4ac i
จากสตร
x =
จะได
x =……………………………
2a
=…………………………... =…………………………...
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ........................................................ ................................ พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
32
แบบฝกหัดท 1.2 1. จงหารากท สองของจานวนเชงซอนตอไปน (1) 8 – 6i ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (2) 5 + 12i ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (3) 1 – 2 2 i ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
33
จงหาเซตคาตอบของสมการตอไปน (1) x = – 72 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2.
2
2
(2) 5x + 2 = 0
............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (3) x – 2x + 40 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2
2
(4) x + 2x + 1 = 0
............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
34
(5) x + 7x + 2 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (6) x – 6x + 10 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2
2
2
(7) x – x + 5
= 0
............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
35
(8) (x + 1) + 49 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (9) 2x + 5x + 25 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2
2
2
(10) 3x + 5x – 16 = 0
............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
36
(11) 4x – x + 1 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (12) 3x + 5x + 3 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (13) x + ix + 2 = 0 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2
2
2
2
(14) x + 2ix – 1 = 0
............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
37
1 .3 กรฟและคสัมบรณของจนวนเชงซอน กรฟของจนวนเชงซอน จานวนเชงซอนท อย ในรปค อันดับ (a, b) หรอ a + bi โดยท a เปนสวนจรง และ b เปนสวนจนต ภาพ เราสามารถแทนจานวนเชงซอน (a, b) ดวยจดบนระนาบในระบบแกนมมฉากได เรยกแกนนอนวา แกนจรง(real axis) และเรยกแกนตั งวา แกนจนตภพ(imaginary axis) ระนาบท เกดจากแกนจรงและแกน จนตภาพ จะเรยกวา ระนาบเชงซอน(complex plane) เพ อความสะดวกจะใชแกน X แทนแกนจรง และแกน Y แทนแกนจนตภาพ ดังรป
แกนจนตภาพ)
Y(
X
O
(แกนจรง)
ถากาหนดจานวนเชงซอน z = (a, b) = a + bi กราฟของ z อาจเขยนได 2 แบบ ดังน 1. เขยนจด(a, b) ลงในระนาบเชงซอนไดดังรป Y (a, b)
b
a
O
2.
X
เขยนเวกเตอรท มจเร มตนจด(0, 0) และจดส นสดท จด (a, b) ดังรป Y (a, b) b O
พยายามอานนะครับ
a
X
ผมพยายามคดครับ
38
ตัวอยงท 1 จงเขยนกราฟของจานวนเชงซอน z = (4, 3), z = ( – 2, 4), z = – 3 – 2i, z = 4 – 4i และ z = 2 ในรปของจด วธท เขยนกราฟไดดังรป 1
5
2
3
z4 = – 3i,
6
Y
5 z2= ( – 2, 4) z1 = (4, 3)
z6 = (2, 0) – 5
O
X
5
z3 = ( – 3, – 2) z4 = (0, – 3) z5 = (4, – 4) – 5
ตัวอยงท 2 จงเขยนกราฟของจานวนเชงซอน z = (4, 3), z = ( – 2, 4), z = – 3 – 2i, z = 4 – 4i และ z = 2 ในรปของเวกเตอร วธท เขยนกราฟไดดังรป 1
5
2
3
z4 = – 3i,
6
Y 5 z2= ( – 2, 4) z1 = (4, 3)
z6 = (2, 0) – 5
O
5
X
z3 = ( – 3, – 2) z4 = (0, – 3) z5 = (4, – 4) – 5
พยายามอานนะครับ
ผมพยายามคดครับ
39
คสัมบรณของจนวนเชงซอน บทนยม คาสัมบรณ (absolute value หรอ modulus) ของจานวนเชงซอน a + bi เขยนแทนดวยสัญลักษณ | a + bi | โดยท | a + bi | = a b 2
2
จกบทนยม จะเหนวาคาสัมบรณของ a + bi คอ ระยะทางจากจดกาเนด (0, 0) ถงจด (a, b) นั นเอง ถา z = (a, b) = a + bi แลว | z | = a b 2
2
ตัวอยงท 3 จงหาคาสัมบรณของจานวนเชงซอนตอไปน (1) z = (4, 3)
จะได | (4, 3) | =
4 2 32 =
25 = 5
(2) z = 2 – 5i
จะได |2 – 5i | =
2 2 (5) 2 =
29
(3) z = – 7i
จะได | – 7i | = (4) z = – 1 –
2
49
= 7
i
จะได |– 1 – (5)
0 2 (7) 2 =
2
i| =
(1) 2 ( 2 ) 2 =
3
z = – 8
จะได | – 8| = 1
(6)
z =
จะได
2
+
1 2
(8) 2 0 2 = 5 2 5 2
= 8
i 2 5 1 2 2
i =
= =
พยายามอานนะครับ
64
1 4
2
5 4
6 2
ผมพยายามคดครับ
40
สมบัตท ส าคัญของคาสัมบรณของจานวนเชงซอนมดังน ทฤษฎบท 2 ให z, z , z เปนจานวนเชงซอน จะได 1
2
2
1. | z | = z
z
2. | z | = | – z | 3. | z | = | z | 4. | z1 z2 | = | z1 | | z2 | -1
-1
5. | z | = | z | z
6.
z
z
1
= z
2
1
, z2 0
2
7. | z1 + z2 | | z1 | + | z 2 | 8. | z1 – z2 | | z1 | – | z2 |
จกทฤษฎบท 2 พสจ นขอ 1, 2 และ ขอ 4 1.
2
|z| =z
z
กาหนดให z = a + bi ดังนั น z = a – bi จะได z z = (a + bi)(a – bi)
2
2
= a + b
2
= ( a 2 b 2 ) = |z|
นั นคอ 2.
z
z
2
= |z|
2
| z | = | – z |
กาหนดให z = a + bi ดังนั น – z = – a – bi จะได | z | = a b และ | – z | = (a) ( b) = a b นั นคอ | z | = | – z | 2
2
2
พยายามอานนะครับ
2
2
2
ผมพยายามคดครับ
41
4. | z1 z2 | = | z1 | | z2 |
กาหนดให z = a + bi และ z = c + di ดังนั น z z = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i จะได | z | = a b และ | z | = c d 1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
(ac bd) 2 (ad bc) 2
| z1 z2 | = =
a 2 c 2 2acbd b 2 d 2 a 2 d 2 2abcd b 2 c 2
=
a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 b 2 c 2
=
(a 2 b 2 )(c 2 d 2 )
=
a 2 b 2
c2 d 2
= | z1 | | z2 |
นั นคอ | z
1
z2 | = | z1 | | z2 |
ตัวอยงท 4 กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน จงเขยนกราฟในแตละขอตอไปน (1) | z | = 3 Y
ให z = x + yi |z| จาก จะได | x + yi |
วธท
(0, 3) =
3
=
3
x 2 y2 = 2
x + y
2
( – 3, 0)
O
(3, 0)
X
3 2
(0, – 3)
= 3
ดังนั น | z | = 3 เปนสมการวงกลมมจดศนยกลางท จด (0, 0) และ มรัศม 3 หนวย (2) | z + 2 | = 3
ให z = x + yi |z+2| จาก จะได | x + yi + 2 |
วธท
Y
= 3
Y
( – 2, 3)
= 3
|(x + 2) + yi | = 3
( – 5, 0)
( – 2,0) O
(1, 0)
X
(x 2) 2 y 2 = 3 2
(x + 2) + y
2
2
= 3
( – 2, – 3)
ดังนั น | z + 2 | = 3 เปนสมการวงกลมมจดศนยกลางท จด ( – 2, 0) และ มรัศม 3 หนวย พยายามอานนะครับ
ผมพยายามคดครับ
42
(3) | z – 5i – 5i | = 4 Y
ให z = x + yi | z – z – 5i 5i | จาก จะได | x + yi – yi – 5i 5i |
วธธทท
(0, 9) =
4
=
4
| (x + (y – (y – 5)i 5)i |
=
4
x 2 ( y 5) 2
=
4
=
4
2
2
x + (y – (y – 5) 5)
( – – 4, 4, 5)
(0, 5)
(4, 5)
(0, 1)
X
O
2
X
ดังนั งนั น | z – z – 5i 5i | = 4 เปนสมการวงกลมม นสมการวงกลมมจจดศ ดศนย นยกลางท กลางทจจด (0, 5) และ มรัรัศม ศม 4 หนวย วย (4)
| z + 3 – 2i – 2i | = 2
ให จาก จะได
วธธทท
Y
z = x + yi | z + 3 – 2i – 2i |
=
2
| x + yi + 3 – 2i – 2i |
=
2
| (x + 3) + (y – (y – 2)i 2)i |
=
2
(x 3) 2 ( y 2) 2 =
2
2
2
(x + 3) + (y – (y – 2) 2)
ดังนั งนั น (5)
วธธทท
|z + 3 – 3 – 2i 2i | = 2
z
=
Y
( – – 3, 3, 4)
( – – 5, 5, 2)
2
( – – 3, 3, 2) ( – – 3, 3, 0)
( – – 1, 1, 2)
X X
O
2
– 3, 3, 2) และ มรั เปนสมการวงกลมม นสมการวงกลมมจจดศ ดศนย นยกลางท กลางทจจด ( – รัศม ศม 2 หนวย วย
– z – z = 2i
ให จะได จาก จะได
z = x + yi z
Y
= x – x – yi yi =
2i
(x – (x – yi) – yi) – (x (x + yi) =
2i
x – yi – yi – x – x – yi yi =
2i
– 2yi 2yi =
2i
z
– z – z
X
O
y = – 1
(0, – (0, – 1) 1)
y = – 1
ดังนั งนั น
พยายามอ พยายาม อานนะคร านนะครับ ับ
z
– z – z = 2i
เปนเส นเสนตรงขนานกั นตรงขนานกับแกน บแกน
X
(อย (อยใต ใตแกน แกน X )
ผมพยายามคดคร ดครับ ับ
43
ตัวอย วอยงท งท 5 กาหนดให าหนดให z เปนจ นจานวนเช านวนเชงซ งซอน อน จงเขยนกราฟแสดงจ ยนกราฟแสดงจด z ทั ทังหมด งหมด ท ทสอดคล สอดคลองกั องกับอสมการ บอสมการ | z | 4 Y วธธทท จาก | z | 4 (0, 4) ให z = x + yi 4 | x + yi | จะได ( – – 4, 4, 0) (0, 5) (4, 0) O x 2 y2 2
2
x + y
4
4
2
X
(0, – (0, – 1) 1)
ดังนั งนั น | z | 4 คอเซตของจ อเซตของจานวนเช านวนเชงซ งซอนหร อนหรอจดทั ทังหมดท งหมดท อย ยภายในวงกลม ภายในวงกลม รวมทั รวมทังจ งจดบนเส ดบนเสนรวบวงด นรวบวงดวย วย ซ ซงม งมจจดศ ดศนย นยกลางท กลางท (0, (0, 0) และมรัศม ศมยาว ยาว 4 หนวย วย ดังร งรป ตัวอย วอยงท งท 6 กาหนดให าหนดให z เปนจ นจานวนเช านวนเชงซ งซอน อน จงเขยนกราฟแสดงจ ยนกราฟแสดงจด z ทั ทังหมด งหมด ท ทสอดคล สอดคลองกั องกับอสมการ บอสมการ | z | 4 และอสมการ | z + 3 | < 2 จาก | z | 4 วธธทท ให z = x + yi 4 จะได | x + yi | x 2 y2 2
x + y
2
4
4
2
จะได | z | 4 คอเซตของจ อเซตของจานวนเช านวนเชงซ งซอนหรอจ อจดทั ดทังหมดท งหมดท อย ยบนเส บนเสนรอบวง นรอบวง และภายนอกของวงกลมท และภายนอกของวงกลมทมมจจดศ ดศนย นยกลางท กลางท (0, (0, 0) และมรัรัศม ศม 4 4 หนวย วย จาก | z + 3 | < 2 Y ให z = x + yi 4 |z+3| < 2 จาก จะได | x + yi + 3 | < 2 |(x + 3) + yi |
<
2
(x 3) 2 y 2 <
2
2
(x + 3) + y
2
<
2
2
– 5
O
– 3
4
X
– 4
จะได | z + 3 | < 2 คอเซตของจ อเซตของจานวนเช านวนเชงซ งซอนหร อนหรอจดทั ทังหมดท งหมดทอย อยภายในวงกลม ภายในวงกลม – 3, (ไมรวมจ รวมจดท ดทอย อยบนเส บนเสนรอบวง) นรอบวง) ซ ซงม งมจจดศ ดศนย นยกลางท กลางท ( ( – 3, 0) และมรัรัศม ศม 2 2 หนวย) วย) งหมดทสอดคล สอดคลองกั องกับอสมการทั บอสมการทังสองค งสองคอ สวนท วนทแรเงาดั แรเงาดังร งรป ดังนั งนั น กราฟของจด z ทั ทังหมดท พยายามอานนะคร านนะครับ ับ
ผมพยายามคดคร ดครับ ับ
44
ใบกจกรรมท จกรรมท 1.3 1.
จงเขยนจ ยนจดแทนจานวนเช านวนเชงซอนต อนตอไปน ไปนในระนาบเช ในระนาบเชงซ งซอน z1 = (5, 0), z2 = (3, 6), z3 = – 4 + 2i, z4 = – = – 6, 6, z5 = – 4 – 3i, – 3i, z6 = – 5i 5i
และ
z7 = 5 – i i
Y
X
O
2.
จงเขยนเวกเตอร ยนเวกเตอรแทนจานวนเช านวนเชงซ งซอนต อนตอไปน อไปนในระนาบเช ในระนาบเชงซ งซอน อน z1 = (5, 0), z2 = (3, 6), z3 = – 4 + 2i, z4 = – = – 6, 6, z5 = – 4 – 3i, – 3i, z6 = – 5i 5i
และ
z7 = 5 – i i
Y
O
พยายามคดนะคร ดนะครับ ับ
X
ผมพยายามทาคร าครับ ับ
45
3.
จงหาคาสัมบรณของจานวนเชงซอนตอไปน (1) z = ( – 2, 3)
จะได | ( – 2, 3) | =
………………….………………………….………………………………………
…………………………………………………………………………….…………………………………… (2) z = – 15 + 12i
จะได
| – 15 + 12i | = ………………….…………………………….…………………………………
………………………………………………………………………………….……………………………… (3) z = 2
จะได
2
– i
|2
2
– i | = ………………….……………………………….………………………………
…………………………………………………………………………………….…………………………… 4.
กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน จงเขยนกราฟในแตละขอตอไปน (1) | z | = 5
วธท า
ให จาก จะได
z = x + yi |z|
=
5
| x + yi |
=
5
x 2 y2 =
5
…………..=……..
ดังนั น ...................................................................................................................................... (2) | z – 5| < 3
วธท า
ให z = x + yi | z – 5| จาก จะได | x + yi – 5 |
<
3
<
3
.………………… < …… …………………. < …… …………………. < …...
ดังนั น ...................................................................................................................................... ………………………………………………………..………………………………
พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
46
5. จงหาสมการหรออสมการของจานวนเชงซอน z จากกราฟท กา หนดใหในแตละขอตอไปน Y (1) วธท จากรปเปนกราฟวงกลมมจดศนยกลางท จด (0, 0) (0, 2) มรัศมยาว 2 หนวย จากสมการวงกลม x + y = r ( – 2, 0)
O
(2, 0)
แต จะได ดังนั น กราฟท กา หนดใหเปนกราฟของสมการ | z Y (0, 4)
( – 4, 0)
O
(4, 0)
2
2
x + y
2
2
= 2
x 2 y2
= 2
X
(0, – 2)
(2)
2
X
2
x 2 y 2 = | x + yi | | x + yi |
= 2
| = 2
วธท จากรปเปนกราฟวงกลมมจดศนยกลางท จด (0, 0) มรัศมยาว 4 หนวย จากสมการวงกลม x + y = r x + y = ……. จะได 2
2
2
2
x 2 y2
(0, – 4)
2
= ……
แต x y = | x + yi | | x + yi | = …….. จะได ดังนั น กราฟท กา หนดใหเปนกราฟของสมการ …………………………………………………… 2
(3)
Y
รอบวง
วธท จากรปคอเซตของจดทั งหมดท อย ภายในวงกลมและจดบนเสน
Y
(3, 5)
( – 2, 0)
O (3,0)
2
(8, 0)
X
ของวงกลมท มจดศนยกลางท (3, 0) และมรัศมยาว 5 หนวย จากสมการวงกลม (x – h) + (y – k) = r (x – 3) + (y – 0) = 5 จะได
(3, – 5)
2
2
2
2
2
2
(x 3) 2 y 2 = 5
แต จะได
(x 3) 2 y 2
= | (x – 3) + yi |
| (x – 3) + yi | = ……… | (x + yi) – 3 | =……….
ดังนั น กราฟท กา หนดใหเปนกราฟของอสมการ…………………..……………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
47
แบบฝกหัดท 1.3 1.
จงหาคาสัมบรณของจานวนเชงซอนตอไปน (1) z = (4 – 5i) – ( – 1 + 7i)
…………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… (2) z = (4 + 3i)(4 – 3i) …………………………………………………………………….…………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… (3) z =
1 1 i
……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… (4) z =
2 5i 3i
……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
48
2.
กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน จงเขยนกราฟในแตละขอตอไปน (1) | z – 3 | = 2
………..………………………………………...……………………………………………………………… ………………..…………………………………...…………………………………………………………… ……………………...……...……………………...…………………………………………………………… …………………………………………………….…………………………………………………………… ………………………………………………...……………...…………...…………………………………… ……………………………………………………………………..………………………...………………… ………………………….…………………………………………………..………………………………….. .……………………………….………………………………………………………………………………... (2) | z – 4 + 3i | = 3 …………………………………………………...…………………………..………………………………… …………………...………………………………………………………………..…………………………… ……………………………………...…………………………………………………..……………………… ………………………………………………………...……………………………………..………………… …………………………………………………………………………...………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………...…………..……… ………………………………………………………………………………………………………………..... ………………………………………………………………………………………………………………… (3) | z – 1| = | z + 2 | ………..………………………………………………...……………………………………………………… ………………………………………………………...…………………………………………......………… ……………………………...……………………….…..…………………………………...………………… …………………………………………………...…...………………………………...……………………… ………………………………………………………………………...………………………..……………… …….…………………………………………………...…………………………………...………..………… ………….…………………………………………………………………………………………………..….. .…………….……………………………………...…………………………………………………………… ……..……………...………………………………....………………………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
49
(4) | z | = z +
z
……………………………………………………………...……………………………......………………… ……………………...………………………...……………………………………...………………………… …………………………………………...…...………………………………...……………………………… ………………………………………………………………...………………………..……………………… …………………………………………………………………………………...………..…………………… …………………………………………………………………………………………………..…...………… ………………………………………………...…………………………………………………………..…… ………...…………………………………………..…………………………………………………………… (5) Im(i +
z
)= 4
……………………………………………………...……………………………………......………………… ……………………...………………………………...……………………………...………………………… …………………………………………...…………...………………………...……………………………… ………………………………………………………………...………………………..……………………… …………………………………………………………………………………...………..…………………… …………………………………………………………………………………………………..…...………… ………………………………………………………………...…………………………………………..…… ………...………………………………………………………..……………………………………………… 3.
, 5) ถา (14( x , y)
= (4, 1)
จงหาคาของ
| (x, y) |
………………………………………………………………...…………………………......………………… ………………………………………………..………….………………………………………......………… ……………………………...…………………..………….………………………………...………………… ………………………………………………….....……….…………………………...……………………… ………………………………………………………………………...………………………..……………… …….……………………………………………...………………………………………...………..………… …………………………….………………………………………………………………………………..….. .…………………….………………………..………….……………………………………………………… ……..……………...…….…………………..….……………………………………………………………… …………………………….………………………………………………………………………………..….. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
50
4.
ถา z = x + yi และ zz 23 = 1 แลว จงหาคาของ
x
………………………………………………………………….……………..…………......………………… ……………………...…………………………………………….……………….....………………………… …………………………………………...…………………………………...…...…………………………… ………………………………………………………………...………………………..……………………… …………………………………………………………………………………...………..…………………… …………………………………………………………………………………………………..…...………… ………………………………………………………………………………….……..…………………..…… ………...…………………………………………………………………………..…………………………… 5.
ถา z เปนจานวนเชงซอน และ | z – 4 | =
2| z – 1|
แลวจงหาคาของ | z |
………………………………………………………………………………...…………......………………… ……………………...……………………………………….…………………….....………………………… …………………………………………...…………………….…………..…...……………………………… ………………………………………………………………...………………………..……………………… …………………………………………………………………………………...………..…………………… …………………………………………………………………………………………………..…...………… ……………………………………………………………..……….……………………………………..…… ………...……………………………………………………….….…………………………………………… 6.
กาหนด z = a + bi โดยท a 0 และ b 0 จงแสดงวา
-1
z
=
z z
2
………………………………………………………………...…………………………......………………… ……………………………………………………………………..……………………………......………… ……………………………...……..………………………………….……………………...………………… …………………………………..………………...…………………………………...……………………… ………………………………………………………………………...………………………..……………… …………………….………………………...……………………………………………...………..………… ………….…………………………………………………………………………………………………..….. .……………….…………………...…………………………………………………………………………… ……..……………...….……………………………………………………………………………………… .. ……..……………...….……………………………………………………………………………………… .. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
51
7.
ถา z เปนจานวนเชงซอน จงพสจนวา | z |
= |z |
………………………………………………………...…………………………………......………………… ……………………...………………………………….…..………………………...………………………… …………………………………………...………………..….………………...……………………………… ………………………………………………………………...………………………..……………………… …………………………………………………………………………………...………..…………………… …………………………………………………………………………………………………..…...………… ………………………………………………………………………………...…………………………..…… ………...………………………………………………………..……………………………………………… 8.
ถา z เปนจานวนเชงซอน จงพสจนวา | z
-1
| = |z|
-1
………………………………………………………………….…..……………………......………………… ……………………...…………………………………………..…………….……...………………………… …………………………………………...……………………...……………...……………………………… ………………………………………………………………...………………………..……………………… …………………………………………………………………………………...………..…………………… …………………………………………………………………………………………………..…...………… …………………………………………………………………………...………………………………..…… ………...………………………………………………………………..……………………………………… 9.
ถา z เปนจานวนเชงซอน จงพสจนวา
z z
1 2
z
= z
1
, z2 0
2
……………………………………………………………………...…………………......…………………… …………………...…………………………………...…………………………...…………………………… ………………………………………...………………...…………………...………………………………… ……………………………………………………………...………………………..………………………… ………………………………………………………………………………...………..……………………… ………………………………………………………………………………………………..…...…………… ………………………………………………………………...………………………………………..……… ……...…………………………………………………………..……………………………………………… ……………………......………………………………………………...……………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
52
10. จงเขยนกราฟของจด z ทั งหมดในระนาบเชงซอนซ งสอดคลองกับอสมการในขอตอไปน (1) | z – 2 | 3 ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… (2) | z + i | 2 ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… (3) | z + 2 – 3i | < 4 …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… ……..………………………………………………………………...………………………………………… ……………..……………………………………………………...…………………………………………… (4) | z – 2 + 3i | 4 …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……..…………………………………………………………………...……………………………………… ……………..……………………………………………………...…………………………………………… ……..…………………………………………………………………...……………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
53
(5) Im (z) > 5 ……………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… (6) Re(z) < 3 ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… (7) Re(z – i) 5 …………………………………………………………………….…………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… (8) | z – 3 | | z | …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
54
11. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน จงเขยนกราฟแสดงจด z ทั งหมดท สอดคลองกับอสมการ | z | > 4 และอสมการ | z + 3i | 2 ………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… ……..……………………………………………………………………...…………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….………………………………………
12. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน จงเขยนกราฟแสดงจด z ทั งหมดท สอดคลองกับอสมการ | z – 2 – 2i | 3 และอสมการ | z – 3 – 2i | < 2 ……………………………………………………………….………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………… ……..…………………………………………………………...……………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
55
1 .4 จนวนเชงซอนในรปเชงขั ว ( P o l a r f o r m ) ถา z = (a, b) = a + bi เปนจานวนเชงซอน เราสามารถเขยน z ดวยเวกเตอรบนระนาบเชงซอน ไดดังน
Y z = (a, b) b
O
X
a
กาหนดจานวนซอน z 0 และให เปนมมบวกท เลกท สด ท วัดมมทวนเขมนาฬกาจากแกน X ทางดานบวกไปยัง oz และจะได r = | oz | จากรปจะได r
=
a 2 b 2
| oz | =
tan = sin = cos =
b a b r a r
หรอ b = r sin หรอ
a = r cos
z = a + bi จาก z = r cos + ri sin จะได ดังนั น z = a + bi จงสามารถเขยนอย ในรป r (cos + i sin ) โดยท tan = ba และเรยก r (cos + i sin ) วารปเชงขั ว(polar form) ของจานวนเชงซอน a + bi และเรยก วา อารกว เมนตของ z (arqument of z) แตเน องจาก cos = cos( + 2k ) และ sin = sin( + 2k ) เม อ k เปนจานวนเตม ดังนั น r[cos( + 2k ) + i sin( + 2k )] เปนรปเชงขั ว(polar form) ของจานวนเชงซอน a + bi ดวย
ตัวอยงท 1 จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปน ใหอย ในรปเชงขั ว
วธท
(1) z = 1 – 3i
(2)
z = – 3 – 3i
(3) z = – 4i
(4)
z = – 3
(1)
z = 1 – 3i
a 2 b 2 =
r = | z | = tan =
พยายามอานนะครับ
ซ ง a = 1 และ
b a
=
3 1
b = – 3
2 2 1 ( 3 ) =
1 3 =
4
= 2
= 3
ผมพยายามคดครับ
56
เน องจาก (1 , –
3)
เปนจดอย ในควอดรันตท 4 จะได = 300๐ = 53 Y ๐ 300
O 3
ดังนั น เขยน z = 1 –
X
1
(1 , –
3
)
อย ในรปเชงขั ว เทากับ
3i
๐ ๐ 2(cos 300 + i sin 300 )
= 2(cos
รปเชงขั วอ นของ 1 – 3i คอ 2 cos 53
(2)
tan =
a 2 b 2 = b a
3
+ i sin
5 3
5 2k i sin 2k 3
)
เม อ k I
ซ ง a = – 3 และ b = – 3
z = – 3 – 3i r = | z | =
5
=
9 9 =
(3) 2 (3) 2 =
18 = 3 2
3 = 1 3
เน องจาก ( – 3, – 3) เปนจดอย ในควอดรันตท 3 จะได = 225๐
=
5 4
Y
๐ 225 O
– 3
X
( – 3 , – 3) – 3
ดังนั น เขยน
ในรปเชงขั ว เทากับ
z = – 3 – 3i
๐ ๐ 3 2 (cos 225 + i sin 225 ) = 3 2 (cos
รปเชงขั วอ นของ – 3 – 3i คอ 3 (3)
r = | z | =
a 2 b 2 = a
=
4 0
0 2 (4) 2 =
5 4
)
เม อ k I
16 = 4
หาคาไมได
เน องจาก (0, – 4) เปนจดอย บนแกน Y (แกนจตภาพ) ทางดานลบจะได
พยายามอานนะครับ
+ i sin
5 2k i sin 2k 4 4 5
ซ ง a = 0 และ b = – 4 b
4
2 cos
z = – 4i
tan =
5
3 ๐ = 270 = 2
ผมพยายามคดครับ
57
Y
๐ 270
X
O
(0, – 4)
ดังนั น เขยน
ในรปเชงขั ว เทากับ 4(cos 270๐+ i sin 270๐) = 4(cos 32 + i sin 32 )
z = – 4i
รปเชงขั วอ นของ – 4i คอ 4 cos 32 2k i sin 32 2k เม อ k I
(4)
ซ ง a = – 3 และ b
z = – 3
a 2 b 2 =
r = | z | = tan =
b a
=
0
3
=0
(3) 2 0 2 =
9 = 3
= 0
เน องจาก ( – 3, 0) เปนจดอย บนแกน X ทางดานลบ จะได = 180๐ = Y
180๐
X
O
( – 3 , 0)
ดังนั น เขยน z = – 3 อย ในรปเชงขั ว เทากับ 3 (cos 180๐ + i sin 180๐) = 3(cos + i sin ) รปเชงขั วอ นของ – 3 คอ 3 [cos( + 2k )+ i sin( + 2k ) ] เม อ k I ตัวอยงท 2 จงหา r และ เม อกาหนด r(cos + i sin ) = 1 + 3 i และ 0 < 6 วธท จาก r(cos + i sin ) = 1 + 3 i จะได r = | 1 + 3 i | = 1 ( 3 ) = 2 3 b ๐ tan = = = 3 จะได = = 60 a 3 1 2
จะได 1 +
3i =
2(cos
+ i sin
2
) 3 3 2 [cos ( + 2k ) + i sin( + 2k ) ] 3 3
เม อ k I เน องจากตองการหา 0 < 6 เทานั น จะตองเลอก k เปน 0 หรอ 1 หรอ 2 ซ งทาใหได = 3 หรอ = 3 + 2 = 73 หรอ = 3 + 4 = 133 =
ดังนั น
r = 2
และ
=
3
,
7 3
,
13 3
ท กลาวมาขางตน เปนการกลาวถงรปเชงขั วของจานวนเชงซอน รปเชงขั วคอ 0(cos + i sin ) เม อ เปนมมขนาดใดกได พยายามอานนะครับ
z
0
สาหรับ
z = 0
เราจะได
ผมพยายามคดครับ
58
ซ งในกรณนจ ะเหนไดวา ถา 0 = 0(cos + i sin ) แลว – ไมตองอย ในรป 2k เม อ k I การเขยนจานวนเชงซอนในรปเชงขั ว จะทาใหการคานวณผลคณหรอการยกกาลังตาง ๆ สามารถทา ไดงา ยข น ดังทฤษฎตอไปน ทฤษฎบท ให z
1
= r 1 (cos 1 + i sin 1 )
1. z z 1
2. 3.
2
1 z2 z1 z2
4. z 1
พสจน
1.
และ z = r (cos 2
2
2
โดยท
+ i sin 2 )
z2
0 แลว
= r 1 r 2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin( 1 + 2 )] = =
1 r 2 r 1 r 2
(cos 2 – i sin 2 ) [cos ( 1 – 2 ) + i sin( 1 – 2 )]
= r 1 [ cos ( – 1 ) + i sin( – 1 )]
z1 z2 = r 1 (cos 1 + i sin 1 ) r 2 (cos 2 + i sin 2 ) = r 1 r 2(cos 1 + i sin 1 ) (cos 2 + i sin 2 ) = r 1 r 2(cos 1 cos 2 – sin 1 sin 2 ) + i (sin 1 cos 2 + sin 2 cos 1 ) = r 1 r 2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin( 1 + 2 )]
2.
1 z2
= = = =
3.
1 r 2 (cos 2 i sin 2 ) 1 r 2 (cos 2 i sin 2 )
cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2
cos 2 i sin 2 r 2 (cos 2 2 sin 2 2 ) 1
2
(cos 2 – i sin 2 )
r 2
2
( cos 2 + sin 2 = 1)
เน องจากสาหรับจานวนจรง ใด ๆ จะได cos( – ) = cos และ sin( – ) = – sin ดังนั น z1 = r 1 (cos – i sin ) = r 1 [ cos( – ) + i sin( – ) ] 2
2
2
นั นคอ
z1 z2
= z1 =
r 1 r 2
2
2
2
2
1 z2
= r 1 (cos 1 + i sin 1 )
1 r 2
[ cos( – 2 ) + i sin( – 2 ) ]
[cos ( 1 – 2 ) + i sin( 1 – 2 )]
4. ใชเหตผลเดยวกับขอ 3 จะได z1
พยายามอานนะครับ
= r 1 (cos 1 – i sin 1 ) = r 1 [ cos ( – 1 ) + i sin( – 1 )]
ผมพยายามคดครับ
59
ตัวอยงท 3 จงหาผลคณของจานวนเชงซอนตอไปน ในรป a + bi ๐ ๐ ๐ ๐ [4 cos 20 + i sin 20 ] [3 cos 25 + i sin 25 ]
วธท
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ [4 cos 20 + i sin 20 ] [3 cos 25 + i sin 25 ] = (4)(3) [cos (20 + 25 ) + i sin(20 + 25 )] ๐ ๐ = 12(cos 45 + i sin 45 ) = 12(
ดังนั น
2 2
+
2 2
i)
= 6 2 + 6 2i ๐ ๐ ๐ ๐ [4 cos 20 + i sin 20 ] [3 cos 25 + i sin 25 ] = = 6 2 + 6 2 i
ตัวอยงท 4 จงหาคาของ z z z ใหอยาในรปของ a + bi เม อกาหนดให ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ z = 2 cos 18 + i sin 18 ), z = 3 cos 70 + i sin 70 ) และ z = 4 cos 47 + i sin 47 ) ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ วธท z z z = (2)(3)(4)[cos(18 + 70 + 47 ) + i sin(18 + 70 + 47 )] 1
2
3
1
2
1
2
3
3
๐ ๐ = 24(cos 135 + i sin 135 ) 2
= 24((
2
+
2
i)
2
= – 12 2 + 12 2 i
ดังนั น z z z = – 12 2 + 12 2 i ตัวอยงท 5 กาหนดให z = 24(cos 300๐ + i sin 300๐) และ z 1
2
3
1
วธท
z1 z2
=
24 8
2
๐ ๐ = 8(cos 75 + i sin 75 )
จงหา
๐ ๐ ๐ ๐ [ cos (300 – 75 ) + i sin (300 – 75 )]
๐ ๐ = 3(cos 225 + i sin 225 ) = 3( =
ดังนั น
พยายามอานนะครับ
2
2
2
3 2 2 z1 z2
i)
2
3 2 2
=
i
3 2 2
3 2 2
i
ผมพยายามคดครับ
z1 z2
60
ตัวอยงท 6 จงหาคาของ
z1z 2 z
ในรป a + bi เม อกาหนดให
๐ ๐ = 6(cos 300 + i sin 300 ) ๐ ๐ z1 = 8(cos 315 + i sin 315 ) ๐ ๐ z2 = 9(cos 225 + i sin 225 ) ๐ ๐ ๐ ๐ z1 z2 = [ 8(cos 315 + i sin 315 ) ] [ 9(cos 225 + i sin 225 ) ] ๐ ๐ ๐ ๐ = 72 [ cos (315 + 225 ) + i sin (315 + 225 ) ] ๐ ๐ = 72(cos 540 + i sin 540 ) z
และ วธท
z1 z 2 z
72(cos 540 i sin 540 )
=
6(cos 300 i sin 300 )
72
=
6
๐ ๐ ๐ ๐ [cos (540 – 300 ) + i sin (540 – 300 ) ]
=
๐ ๐ 12(cos 240 + i sin 240 )
=
12((
1
z1z 2
3
2
= – 6 – 6
ดังนั น
3
2
i)
i
= – 6 – 6 3 i
z
จากสตรจากคณจานวนเชงซอนในรปเชงขั ว จะเหนวา ถา z = r(cos + i sin ) แลว 2
2
z = z z = r (cos 2 + i sin 2 ) 3
2
3
3
z = z z = r [cos (2 + ) + i sin (2 + ] = r (cos 3 + i sin 3 )
เม อ n เปนจานวนเตมบวกใด ๆ เราสามารถพสจนไดวา n
n
z = r (cos n + i sin n )
จงสรปเปนทฤษฎบทไดดังน ทฤษฎบทของเดอมัวร ( De Moivre s Theorem) ถา z = r(cos + i sin ) และ n เปนจานวนเตมบวก แลว จะได z = r (cos n + i sin n ) ,
n
พยายามอานนะครับ
n
ผมพยายามคดครับ
61
ตัวอยงท 7 กาหนดให z = 2(cos 20๐ + i sin 20๐) และ
z2 =
1
2 (cos
4
+ i sin
4
)
จงหา
(1) z 16
จาก จะได
วธท
z1 z 16
๐ ๐ 2(cos 20 + i sin 20 ) ๐ ๐ 6 = 2 [cos (6 20 ) + i sin (6 20 )] ๐ ๐ = 64(cos 120 + i sin 120 ) =
=
1
64 (
3
2
2
i)
= – 32 + 32 3 i
ดังนั น (2)
วธท
z 16 = – 32 + 32
3
i
5
z2
จาก
z2
=
จะได
z 52
= ( 2 ) [cos (5
2 (cos
4
+ i sin
5
= 4 2 (cos = 4
2
(
5 4 1
4
)
4
) + i sin 5 5
+ i sin
2
1 2
4
4
)]
)
i)
= – 4 – 4i
ดังนั น
z 52
= – 4 – 4i
ตัวอยงท 8 จงใชทฤษฎบทของเดอมัวฟ หาคาของ ( – 1 + 3 i) วธท ให z = – 1 + 3 i ซ ง a = – 1 และ b = 3 จะได r = | z | = (1) ( 3 ) = 1 3 = 2 12
2
tan =
b a
=
3
1
2
= – 3
เน องจาก ( – 1, 3 ) เปนจดอย ในควอดรันตท 2 จะได = 120๐ = 23 จะได z = – 1 + 3 i = 2(cos 120๐ + i sin 120๐) ดังนั น z = ( – 1 + 3 i) = 2 [ cos (12 120๐) + i sin (12 120๐) ] 12
12
12
๐ ๐ = 4096 [ cos (4 360 ) + i sin(4 360 ) ] ๐ ๐ = 4096 (cos 0 + i sin 0 ) = 4096 (1 + 0i ) = 4096 พยายามอานนะครับ
ผมพยายามคดครับ
62
ใบกจกรรมท 1.4 1.
จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปน ใหอย ในรปเชงขั ว (1) z = 1 + i ซ ง a = ……… และ b = ………. a 2 b 2 = ………………… = ……………. = …………….
r = | z | = tan =
b
= ……… = ………………….
a
เน องจาก ……………. เปนจดอย ในควอดรันตท …….. จะได
= ………………
ดังนั น เขยน z = 1 + i อย ในรปเชงขั ว เทากับ…………………………..……………………………
รปเชงขั วอ นของ (2)
คอ……………………………………………………. เม อ k I
ซ ง a = ……… และ b = ……….
z = 3 i
a 2 b 2 = ………………… = ……………. = …………….
r = | z | = tan =
1+i
b
= ……… = ………………….
a
เน องจาก ……………. เปนจดอย ในควอดรันตท …….. จะได ดังนั น เขยน z =
3 i
รปเชงขั วอ นของ
= ………………
อย ในรปเชงขั ว เทากับ…………………………..………………………
3 i
คอ…………………………………………………. เม อ k I
2. จงหาคา r และ ท เปนไปไดทั งหมด เม อกาหนด r(cos + i sin ) = 1 – i และ 0 < 7 จาก r(cos + i sin ) = 1 – i จะได r = ……………………………………………………… b tan = =................................................... จะได = .……………………………… a จะได 1 – i = ………………………………………………………..…………………………… =…………………………………………………………………………….
เน องจากตองการหา 0 ซ งทาใหได ดังนั น
< 7
เม อ
k
I
เทานั น จะตองเลอก k ...............................................................
= ……………………………………………………...………………………………
r = ………
พยายามคดนะครับ
และ
= …………………………………………………………………………
ผมพยายามทาครับ
63
3.
จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน ใหอย ใน (1)
a + bi ๐ ๐ ๐ ๐ [3(cos 15 + i sin 15 )] [2(cos 75 + i sin 75 )] ๐ ๐ ๐ ๐ [3(cos 15 + i sin 15 )] [2(cos 75 + i sin 75 )] =…………….………………………………
วธท
=……………….…………………………… =…………….………………………………
20(cos 83 i sin 83 )
(2)
5(cos 23 i sin 23 )
วธท
20(cos 83 i sin 83 )
5(cos 23 i sin 23 )
=…………………………………….……………………………… =…………………………………….……………………………… =…………………………………….………………………………
4.
จงหาคาของ 2 2 i ในรป a + bi เม อ a, b R วธท ให z = 2 + 2 i ซ ง a = ……… และ b = …………… จะได r = | z | = …………………………………………………..…………………… 5
tan =
b a
= ………………………………………………….…………………
เน องจาก ………… เปนจดอย ในควอดรันตท ……. จะได =…...………………… จะได z = 2 + 2 i =……………………………………………...……………… ดังนั น
5
z =
2 2 i
5
=……………………………………………...…………… = ………………………………………..………………… = ……………………………………..…………………… = ……………………………………..…………………… = ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
64
แบบฝกหัดท 1.4 1.
จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปน ใหอย ในรปเชงขั ว (1) –
5
–
5
i
…………………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… (2) 12 – 12 3 i …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… (3)
1 2
+
1 2
i
…………………………………………………………………………………….…………………………… ……..………………………………………………………………………………...………………………… ……………..…………………………………………………………………...……………………………… ……………………..…………………………………………………………………...……………………… ……………………………..…………………………………………………………...……………………… ……………………………………..…………………………………………………...……………………… (4)
i 1 i 1
………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
65
2. จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน ใหอย ใน (1)
a + bi
๐ ๐ ๐ ๐ [ 9(cos 175 + i sin 175 )] [3(cos 275 + i sin 275 )]
………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… (2)
[2(cos
5 6
+ i sin
5
)] [
6
3 (cos
7 6
+ i sin
7 6
)]
…………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… 9(cos 313 i sin 313 )
(3)
3(cos 268 i sin 268 )
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… 6 3 (cos 40 i sin 40 )
(4)
3(cos 190 i sin 190 )
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… 4(cos
(5)
4 3
i sin
4
3 2(cos i sin ) 3 3
)
…………………………………………………………….…………………………………………………… …………………………………………………………….…………………………………………………… …………………………………………………………….…………………………………………………… …………………………………………………………….…………………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
66
3.
กาหนดให
z = 2(cos
6
+ i sin
6
)
จงเขยน z ใหอย ในรป a + bi 10
………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….……………………………………
4. จงหาเขยนจานวนเชงซอนในแตละขอตอไปน ในรป a + bi เม อ a, b R (1) 3 1 7
…………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….……………………………………………
1 3 i (2) 2 2
12
…………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
67
3 1 i (3) 2 2
100
……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….…………………………………………
(4) 3 i
2 3
3 2i
5
……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………… (5)
1 i 6 1 i 4
…………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
68
5.
กาหนดให
z1 =
1 2
+
1 2
i
และ
z2 = 1 +
3
i
จงหา
6 (z 10 1 )( z 2 )
…………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… 6.
จงหาคา r และ ท เปนไปไดทั งหมด เม อกาหนดท ทา ใหสมการในแตละขอตอไปน เปนจรง (1) r(cos + i sin ) = 1 – 3 i เม อ 2 < 6
………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… (2) r(cos + i sin ) = – 1 – i
เม อ 6
12
……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… 2
(3) r (cos 2 + i sin 2 ) = – 1 – i
เม อ 0
< 2
……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
69
1.5 รกท n ของจนวนเชงซอน ((The nn
th
R oots o of Complex Numbers) R
ประโยชนของทฤษฎบทของเดอรมัวร คอการหาคาตอบของ z = w เม อ w เปนจานวนเชงซอน ท กา หนดให และ n เปนจานวนเตมบวก ซ งคาตอบของสมการกคอ รากท n ของจานวนเชงซอน w นั นเอง ดังนั นในหัวขอน จะนาทฤษฎบทของเดอรมัวร ไปชวยในการหารรากท n ของจานวนเชงซอน ดังตัวอยางตอไปน n
ตัวอยงท 1 จงหารากท สามของ 1 ให z = 1 = 1 + 0i เขยนในรปเชงขั วจะได 1 + 0i = 1(cos 0๐ + i sin 0๐) วธท ถาให z = r(cos + i sin ) เปนรากท สามของ 1 โดยทฤษฎบทของเดอรมัวร จะได z = r (cos 3 + i sin 3 ) = 1(cos 0๐ + I sin 0๐) ฉะนั น r = 1 และ (cos 3 + i sin 3 ) = cos 0๐ + I sin 0๐ จงไดวา r = 1 และ 3 = 0 + 2k เม อ k I 2k = นั นคอ เม อ k I 3 3
3
3
จะได เม อ เม อ
z k = 1(cos k = 0 k = 1
2k
จะได จะได
3
+ i sin
2k 3
เม อ
)
k I
๐ ๐ z 0 = 1(cos 0 + i sin 0 ) = 1(1 + 0i) = 1 z1 = 1(cos
2 3
+ i sin
2 3
1
) = 1( – + 2
3 2
1
i) = – + 2
3 2
i
เม อ k = 2 จะได z = 1(cos 43 + i sin 43 ) = 1( – 12 – 23 i) = – 12 – 23 i เม อแทนคา k ดวยจานวนเตมอ น ๆ จะไดจานวนเชงซอนท ซ า กับ z , z , z ดังนั น รากท สามของ 1 คอ 1, – 12 + 3 i, – 12 – 3 i 2 2 แผนภาพของรากท สามของ 1 แสดงไดโดยวงกลมรัศมหน งหนวย ดังน 2
0
1
2
Y z1
1
1 120๐ – 1
๐
240
z2
O
z0 1
X
– 1
ขอสังเกต จะเหนวา เวกเตอรทแ ทนรากท สามของ 1 แตละค ท อย ในลาดับเดยวกัน ทามมขนาด 23 หรอ 120๐ เทากันทกค ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
70
ตัวอยงท 2 จงหารากท สข อง – 81 วธท ให z = – 81 = – 81 + 0i เขยนในรปเชงขั วจะได – 81 + 0i = 81(cos + i sin ) ถาให z = r(cos + i sin ) เปนรากท ส ของ – 81 โดยทฤษฎบทของเดอรมัวร จะได z = r (cos 4 + i sin 4 ) = 81(cos + i sin ) ฉะนั น r = 81 และ cos 4 + i sin 4 = cos + i sin จงไดวา r = 3 และ 4 = + 2k เม อ k I 2k + นั นคอ = เม อ k I 4 4 4
4
4
จะได
2k 2k i sin 4 4 4 4
เม อ
z k = 3cos
เม อ k = 0 จะได
z 0 = 3(cos
เม อ k = 1 จะได
z1 = 3(cos
เม อ k = 2 จะได
z 2 = 3(cos
+ i sin
4
3 4 5 4
4
+ i sin + i sin
) = 3(
3 4 5
2 2
4
2
2
) = 3(
) = 3(
2
+
2 2 2
+
–
k I i) = 2
2
2
i) =
2 2
3 2
3 2
+
2
3 2 2
3 2
i) = –
2
i
3 2
+
i
2
–
3 2 2
i
เม อ k = 3 จะได z = 3(cos 74 + i sin 74 ) = 3( 22 – 22 i) = 3 22 – 3 22 i เม อแทนคา k ดวยจานวนเตมอ น ๆ จะไดจานวนเชงซอนท ซ า กับ z , z , z และ z ดังนั น รากท ส ของ – 81 คอ 3 2 + 3 2 i, 3 2 + 3 2 i, – 3 2 – 3 2 i, 3 2 – 3 2 i 2 2 2 2 2 2 2 2 แผนภาพของรากท ส ของ – 81 แสดงไดโดยวงกลมรัศมยาว 3 หนวย ดังน
3
0
1
2
3
Y 3
z0
z1
๐ 135 ๐ 45 ๐ O 225
3
– 3
๐ 315
z2
3
X
z3
– 3
ขอสังเกต จะเหนวา เวกเตอรทแ ทนรากท ส ของ – 81 แตละค ทอ ย ในลาดับเดยวกัน ทามมขนาด 2 หรอ 90๐ เทากันทกค ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
71
ตัวอยงท 3 จงหารากท สามของ – 1 + 3 i วธท ให z = – 1 + 3 i เขยนในรปเชงขั วจะได – 1 + 3 i = 2 (cos 23 + i sin 23 ) ถาให z = r(cos + i sin ) เปนรากท สามของ – 1 + 3 i โดยทฤษฎบทของเดอรมัวร จะได z = r (cos 3 + i sin 3 ) = 2(cos 23 + i sin 23 ) 3
ฉะนั น
r 3 = 2
จงไดวา
r =
3
และ
cos 3 + i sin 3 = cos
และ
2
3
3 2
=
z k =
2
3 =
นั นคอ จะได
3
9
2 3
+ i sin
k I
2k
เม อ
k I
3
2 2k 2 2k i sin 3 3 9 9
เม อ k = 0 จะได
z0 =
เม อ k = 1 จะได z
1
เม อ k = 2 จะได z
2
3
=
3
=
3
=
3
=
เม อ
9
2
+ i sin
9
3
) =
k I
๐ ๐ 2 (cos 40 + i sin 40 )
2 2 2 2 i sin 3 3 9 9
2 cos
2 (cos
8
+ i sin
9
8 9
)
=
3
๐ ๐ 2 (cos 160 + i sin 160 )
2 4 2 4 i sin 3 3 9 9
2 cos
3
2
2 (cos
3
เม อ
2 cos
2
+ 2k +
2 (cos
14 9
+ i sin
14 9
) =
3
๐ ๐ 2 (cos 280 + i sin 280 )
เม อแทนคา k ดวยจานวนเตมอ น ๆ จะไดจา นวนเชงซอนท ซ า กับ z , z และ z ดังนั น รากท สามของ – 1 + 3 i คอ 2 (cos 40๐ + i sin 40๐), 2 (cos 160๐+ i sin 160๐), 0
3
3
แผนภาพของรากท สามของ – 1 + 3
z1
3 2
3
๐ ๐ 2 (cos 280 + i sin 280 )
3i
Y
2
1
แสดงไดโดยวงกลมรัศมยาว
3
2
หนวย ดังน
2
z0 ๐
160
๐
๐ 40
O
280
3
X 2
3 2 z2
ขอสังเกต จะเหนวา เวกเตอรทแ ทนรากท สข อง – 81 แตละค ท อย ในลาดับเดยวกัน ทามมขนาด 23 หรอ 120๐ เทากันทกค ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
72
จากตัวอยางทั งสาม สามารถสรปเปนทฤษฎบทไดดังน ทฤษฎบท ถา w = r(cos + i sin ) แลวรากท n ของ w มทั งหมด n รากท แตกตางกันคอ z k =
n
2k 2k i sin n n
เม อ
r cos
ตัวอยงท 4 จงหารากท หา ของ – 16 + 16 3 i วธท ให z = – 16 + 16 3 i จะได r = | z | = tan =
16 3
(16) 2 (16 3 ) 2 = 256 768 = 32
= – 3
16
เน องจาก ( – 16 , 16 3 ) อย ในควอดรันตท 2 ดังนั น เขยนในรปเชงขั วจะได z = – 16 + 16 จากทฤษฎบทจะได z
k { 0, 1, 2, …, n – 1 }
k =
5
3i =
=
2 3
= 120
32(cos 23 + i sin 23 )
2 2 2k 2k 3 i sin 3 32 cos 5 5
เม อ k = 0 จะได z
0
=
เม อ k = 1 จะได z
1
=
2 (cos
เม อ k = 2 จะได z
2
=
2 (cos
เม อ k = 3 จะได z
3
=
2 (cos
2 (cos
2
+ i sin
15 8
๐
2
เม อ k = 0, 1, 2, 3, 4
๐ ๐ ) = 2(cos 24 + i sin 24
)
15 8 ๐ ๐ + i sin ) = 2(cos 96 + i sin 96 15 15 14 14 ๐ ๐ + i sin ) = 2(cos 168 + i sin 168 15 15 4 4 ๐ ๐ + i sin ) = 2(cos 240 + i sin 240 3 3 26 26 ๐ ๐ + i sin ) = 2(cos 312 + i sin 312 15 15
)
)
)
เม อ k = 4 จะได z = 2 (cos ) งนั น รากท หาของ – 16 + 16 3 i คอ 2(cos 24๐ + i sin 24๐), 2(cos 96๐ + i sin 96๐), ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ 2(cos 168 + i sin 168 ) , 2(cos 240 + i sin 240 ), 2(cos 312 + i sin 312 ) แผนภาพของรากท สามของ – 16 + 16 3 i แสดงไดโดยวงกลมรัศมยาว 2 หนวย ดังน 4
Y z1
๐ ๐ 168 96
z2
z0 ๐
24
๐ 240 z3
ดฉันพยายามอานคะ S
M
2
O
X
๐ 312 z4
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
73
ตัวอยงท 5 จงหาจานวนเชงซอนทั งหมดซ งสอดคลองกับสมการ z – 1 + i = 0 วธท จากสมการ z – 1 + i = 0 จะได z = 1 – i แสดงวา z เปนรากท สามของ 1 – i ให w = 1 – i จะได r = | w | = 1 (1) = 2 และ tan = 11 = – 1 3
3
3
2
2
เน องจาก (1, – 1) อย ในควอดรันตท 4 จะได
=
เขยนในรปเชงขั วจะได
7
จาก
z k =
n
w =
1 – i =
(
2 cos
4
7 4
+ i sin
2k 2k i sin n n
เม อ
r cos
๐ = 315 7 4
)
k { 0, 1, 2, …, n – 1 }
จะไดรากท สาม ของ w คอ z k =
3
z k =
6
7 7 2k 4 2k i sin 4 2 cos 3 3 7 7 2k 2k i sin 4 2 cos 4 3 3
เม อ k = 0 จะได
z0 =
เม อ k = 1 จะได
z1
6
2 (cos
7 12 5
+ i sin
7
6
เม อ k = 0, 1, 2 =
12 5 = 6 2 (cos + i sin ) = 4 4 23 23 = 6 2 (cos + i sin )= 12 12
เม อ k = 2 จะได z ดังนั น จานวนเชงซอนทั งหมดท สอดคลองกับสมการ 0
)
เม อ k = 0, 1, 2
๐ ๐ 2 (cos 105 + i sin 105 ),
แผนภาพจานวนเชงซอนท สอดคลองกับสมการ
6 3
๐ ๐ 2 (cos 105 + i sin 105 )
6
๐ ๐ 2 (cos 225 + i sin 225 )
6
๐ ๐ 2 (cos 345 + i sin 345 )
1
z 3 – + i =
๐ ๐ 2 (cos 225 + i sin 225 ),
1
6
6
0 คอ
๐ ๐ 2 (cos 345 + i sin 345 )
0 แสดงไดโดยวงกลมรัศมยาว
z – + i =
6
2
หนวย ดังน
Y
z0
๐
105
๐ 225 O ๐ 345
6
2
X
z2
z1
ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
74
ใบกจกรรมท 1.5 1.
จงหารากท 3 ของ – 8 วธท ให z = – 8 = – 8 + 0i จะได r = | z | = (8) 0 = 64 = 8 และ tan = 08 = 0 เน องจาก ( – 8, 0) อย บนแกนจรง (แกน X) ทางลบ จะได = ..............=………………… เขยนในรปเชงขั วจะได z = – 8 =……………..……………………….…………………… ถาให z = r(cos + i sin ) เปนรากท สามของ – 8 โดยทฤษฎบทของเดอรมัวร จะได z = r (cos 3 + i sin 3 ) = …………………………. ฉะนั น r = 8 และ (cos 3 + i sin 3 ) = …………………………….………..………. จงไดวา r = …………….. และ 3 = …………………. เม อ k I = ………………… นั นคอ เม อ k I 2
2
3
3
3
จะได
เม อ
z k =………………………………………………………….
k I
เม อ k = 0 จะได z =……………………………………………………………………… เม อ k = 1 จะได z =……………………………………………………….……………… เม อ k = 2 จะได z =……………………………………………………………………… เม อแทนคา k ดวยจานวนเตมอ น ๆ จะไดจานวนเชงซอนท ซ ากับ z , z , z 0
1
2
0
1
2
ดังนั น รากท สามของ – 8 คอ .................................................................................................... ....................................................................................................... แผนภาพของรากท สามของ – 8 แสดงไดโดยวงกลมรัศมยาว...........หนวย ดังน
พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
75
2. จงหารากทส ของ 4 – 4 3 i วธท ให z = 4 – 4 3 i จะได r = | z | =…………………………………..……………………. tan = …………. = ………………………………………………….…..………………….
เน องจาก (4 , – 4 3 ) อย ในควอดรันตท ........... ดังนั น = …………..…………………. เขยนในรปเชงขั วจะได z = 4 – 4 3 i =……………………………………..……………… จาก
z k =
n
2k 2k i sin n n
r cos
เม อ
k { 0, 1, 2, …, n – 1 }
จะได z =............................................................................................... เม อ k = 0, 1, 2, 3 เม อ k = 0 จะได z =............................................................................................................ k
0
……….………………………………………………………………..
เม อ k = 1 จะได z
1
=……………………………………………………………………
.....
………………………………………………………………………...
เม อ k = 2 จะได z
2
=……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………,,
เม อ k = 3 จะได z
3
=……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
ดังนั น รากท ส ของ 4 – 4
3i
คอ ………………………………………………………….. ……………………………………………………………
แผนภาพของรากท ส ของ 4 – 4
พยายามคดนะครับ
3i
แสดงไดโดยวงกลมรัศมยาว..........หนวย ดังน
ผมพยายามทาครับ
76
3. จงหาจานวนเชงซอนทั งหมดซ งสอดคลองกับสมการ z = 2 3 2i วธท จากสมการ z = 2 3 2i แสดงวา z เปนรากท ส ของ 2 3 2i ให w = 2 3 2i จะได r = | w | = ………………………………….. tan = ……………………… 4
4
เน องจาก ( – 2 3 , – 2) อย ในควอดรันตท ............ จะได = ..................................... เขยนในรปเชงขั วจะได w = 2 3 2i = ................................................................. จาก
z k =
n
2k 2k i sin n n
r cos
เม อ
k { 0, 1, 2, …, n – 1 }
จะไดรากท ส ของ w คอ เม อ k = 0, 1, 2, 3 z = .................................................................................... เม อ k = 0, 1, 2, 3 เม อ k = 0 จะได z = ……………………………………………………………… เม อ k = 1 จะได z = ……………………………………………………………… z k = ……………………………………………………… k
0
1
เม อ k = 2 จะได z = ……………………………………………………………… เม อ k = 2 จะได z = ……………………………………………………………… ดังนั น จานวนเชงซอนทั งหมดท สอดคลองกับสมการ z = 2 3 2i คอ 0
0
5
………………………………………………………………………………….. ...………………………………………………………………….……………..
แผนภาพจานวนเชงซอนท สอดคลองกับสมการ z รัศมยาว..........หนวย ดังน
พยายามคดนะครับ
4
= 2 3 2i
แสดงไดโดยวงกลม
ผมพยายามทาครับ
77
แบบฝกหัด 11.5 1.
จงหารากท 3 ของจานวนเชงซอนตอไปน พรอมทั งแสดงแผนภาพ (1) 8 cos 3 i sin 3
……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….…………………………
(2) 27 cos
5 3
i sin
5
3
……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
78
(3) 8i …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… (4) 27i ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………………………………….……………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
79
(5) – 64 ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… (6) 1 +
3i
……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
80
(7)
3 i
………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… (8) 2 3 2i ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
81
2.
จงหารากท 4 ของ 2 2
3i
…………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… 3.
จงหารากท 5 ของ 2 2
3i
…………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… …………………………………………………………………………….…………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
82
4.
จงหาจานวนเชงซอนทั งหมดท สอดคลองกับสมการตอไปน (1) z 4 = 1 3 i
……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… (2) z 5 i = 0 ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
83
(3) z 7 1 = 0 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (4) z 8 4 4i = 0 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
84
(5) z 8 1 = 0 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. (6) z 9 1 = 0 …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
85
1.6
สมกรพห น ม ( P o l y n o m i a l
Equation)
เราทราบแลววา สมการพหนาม a x a x ... a x a 0 เม อ n เปนจานวนเตมบวก และ a , a , …, a , a เปนจานวนจรง ซ ง a 0 อาจไมมคา ตอบเปนจานวนจรง เชน x 1 = 0, x x 1 = = 0 0 ทฤษฎตอ ไปน ยนยันวาสมการพหนามจะมคา ตอบเปนจานวนเชงซอนเสมอ n
n 1
n 1
n
1
0
2
n
n 1
0
1
n
2
ทฤษฎบทหลักมลของพชคณต (The Fundamental Theorem of Algebra) ถา p(x) เปนพหนามท มดก รมากกวาศนยแลว สมการ p(x) = 0 จะมคา ตอบท เปนจานวนเชงซอนอยางนอยหน งคาตอบ ทฤษฎบท ถา p(x) เปนพหนามท มดก ร n 1 แลวสมการ p(x) = 0 จะมคา ตอบทั งหมด n คาตอบ (นับคาตอบท ซ ากันดวย) ตัวอยงท 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ x ++ xx – 20 = จากสมการ วธท x + + x x – 20 (x – 4)(x + + 5 5) จะได 4
2
4
2
2
2
2
2
(x – 2 )[x – (
2
5 i) )
(x – 2)(x + + 2 2)(x – 5 i)(x + +
ดังนั น เซตคาตอบของสมการคอ
5
0 = 0 = 0 = 0
i) = 0
x
= 2, – 2,
{ 2, – 2,
5 i, –
5
i
5 i, – 5 i }
ในหนังสอเรยนสาระการเรยนร เพ มเตมคณตศาสตร ม. 4 เลม 1 ไดกลาวถง ทฤษฎบทตัวประกอบ และ ทฤษฎบทตัวประกอบตรรกยะ ซ งสามารถนามาชวยในการหาคาตอบของสมการพหนามไดดังน ทฤษฎบทตัวประกอบ (Factor Theorem) กาหนด p(x) คอ พหนาม a x a x ... a x a เม อ n เปนจานวนเตมบวก และ , a , …, a , a เป เปนจานวนจรง ซ ง a 00 จะไดวา p(x) ม x – c เปนตัวประกอบกตอเม อ p(x) = n
n 1
n
an
n 1
1
0
n 1
1
0
n
0
ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
86
ทฤษฎบทตัวประกอบจนวนตรรกยะ กาหนด p(x) คอ พหนาม a x a x ... a x a เม อ n เปนจานวนเตมบวก และ a , a , …, a , a เป เปนจานวนเตม ซ ง a 00 ถา x – mk เปนตัวประกอบของพหนาม p(x) โดยท m และ k เปนจานวนเตม ซ ง m 0 และ ห.ร.ม. ของ k และ m เทากับ 1 แลว m หาร a ลงตัว และ k หาร a ลงตัว n
n 1
n
n
n 1
1
n 1
1
0
0
n
n
0
ตัวอยงท 2 จงหาคาตอบทั งหมดของสมการ 3x + 5x + 8x + 4 = 0 วธท ให p(x) = 3x + 5x + 8x + 4 เน องจากจานวนเตมท หาร 4 ลงตัว คอ 1 , 2 , 4 และจ และ านวนเตมท หาร 3 ลงตัว คอ 1 , 3 จะไดจานวนตรรกยะ mk ท ทา ให p( mk ) == 0 จะเปนจานวนท อย ในกล มของจานวน 3
3
ตอไปน คอ
2
2
1, 2 , 4
1
2
3
3
,
,
4 3
พจารณา p( 23 ) โดยวธก ารหารสังเคราะห ไดดังน
2
3
3
5
8
4
– 2
– 2
– 4
3
6
0
3
จากสมการ จะได
3
2
3x + 5x + 8x + 4 = 0 (x+ (x+
2 3 2 3
2
)(3x + 3x + 6 ) = 2
0
2
0
)(3) (x + x + 2 ) =
(3x + + 2 2) (x + x + 2 ) =
ฉะนั น ถา
x = 2
x +x+2 =
0
2 3
2
หรอ x + x + 2 = 0
แลว x =
1 12 4(1)(2) i
ดังนั น คาตอบทั ตอบทั ง หมดของสมการคอ 23 , ดฉันพยายามอานคะ S
M
0
=
2(1)
1 7 i 2
,
1 7 i 2
1 7 i 2
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
87
ทฤษฎบท ถาจานวนเชงซอน z เปนคาตอบของสมการพหนาม ... a x a = 0 โดยท a , …, a เปนจานวนจรง p(x) = x a x แลว สังย เปนคาตอบของสมการพห นามน ดวย งยคของ z ( คคอ z ) เป ตอบของ n 1
n
n 1
1
n
n
1
จากทฤษฎบท ถา z = a + bi เปนคาตอบของสมการแลว z เม อ a และ b เปนจานวนจรง โดยท b 0
= a – bi
จะเปนคาตอบของสมการดวย
ตัวอยงท 3 จงแสดงวา 2 – 3i เปนคาตอบหน งของสมการ x – 4x + 10x + 12x – 39 = 0 และหาคาตอบทั งหมดของสมการน ให p(x) = x – 4x + 10x + 12x – 39 วธท จกทฤษฎบท เม อ 2 – 3i เปนคาตอบแลว แสดงวา 2 + 3i เปนคาตอบดวย โดยใชวธ การหารสังเคราะหไดดังน 4
4
2 – 3i
3
1
1
– 4
10
12
– 39
– 13
– 6 + 9i
39
– 2 – 3i
– 3
6 + 9i
0
2 + 3i
0
– 6 – 9i
1
จากสมการ จะได
2
2
2 – 3i 2 + 3i
3
0 4
– 3 3
0
2
x – 4x + 10x + 12x – 39 = 0 2
[x – (2 – 3i)] [x – (2 + 3i)] (x – 3) = 0
[x – (2 – 3i)] [x – (2 + 3i)] (x – 3 )(x +
3) = 0
หรอ x – (2 + 3i) = 0 หรอ x – 3 = 0 หรอ x + 3 = 0 x = 2 – 3 หรอ x = 2 + 3i หรอ x = 3 หรอ x = 3 ดังนั น คาตอบทั งหมดของสมการน คอ 3 , 3 , 2 – 3i, 2 + 3i x – (2 – 3i) = 0
ดฉันพยายามอานคะ S
M
ผมพยายามคดครับ S
T
M complex
comple
M
T
M
88
1, – 4 นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนเต านวนเตม และมดกร กรตต าส าสดท ดทมม 1, – ตัวอย วอยงท งท 4 จงหาสมการพหนามท และ 3 + 2 i เปนค นคาตอบ าตอบ วธธทท 1, – 4 และ ม 3 + 2 i เปนค สมการพหนามท นามทมม 1, – นคาตอบ าตอบ นคาตอบด าตอบดวย วย จกทฤษฎบทแสดงวา 3 – 2 i เปนค (x – 1)(x 1)(x + 4)[x – 4)[x – (3 (3 + 2 i )[(x – )[(x – (3 – (3 – 2 i )] = 0 จะไดสมการ สมการ (x – 2
(x + 3x – 3x – 4)(x – 4)(x – 3 – 3 – 2 i )(x – )(x – 3 + 2 i )
=
0
(x + 3x – 3x – 4)[(x – 4)[(x – 3) – 3) – 2 i ][(x – ][(x – 3) 3) + 2 i ]
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
2
2
2
2
(x + 3x – 3x – 4)[(x – 4)[(x – 3) 3) – ( ( 2 i ) ] 2
2
(x + 3x – 3x – 4)(x 4)(x – 6x – 6x + 9 + 2) 2
2
(x + 3x – 3x – 4)(x 4)(x – 6x – 6x + 11) 4
3
2
x – 3x 3x – 11x 11x + 57x – 44 – 44
ดังนั งนั น สมการพหนามท 1, – 4 นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนเต านวนเตม และมดกร กรตต าสดท ดทมม 1, – 3x – 11x 11x + 57x – 44 = 0 และ 3 + 2 i เปนค นคาตอบ าตอบ คอ x – 3x 4
3
2
ตัวอย วอยงท งท 5 จงหาสมการพหนามท 3 – 5 นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนเต านวนเตม และมดดกร ก รตต าส าสดท ดทมม 2, 3 – และ 7i เปนค นคาตอบ าตอบ วธธทท 3 – 5 และ 7i เปนค สมการพหนามท นามทมม 2, 3 – นคาตอบ าตอบ จกทฤษฎบท บทแสดงวา – 7i เปนค นคาตอบด าตอบดวย วย แตสมการพห สมการพหนามท นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนเต านวนเตมแสดงว มแสดงวา 3 + 5 เปนค นคาตอบด าตอบดวย วย [x – (3 – (3 – 5 )] [(x – [(x – (3 (3 + 5 )] (x – (x – 7i)(x 7i)(x + 7i) = 0 จะไดสมการ สมการ (x – 2 2) [x – (x – 2 2) [[(x – 3 3) ++ 5 ] [(x – 3 3) – 5 ] ((x – 4 49i ) = 0 2
2
2
2
2
(x – 2 2) [[(x – 3 3) – ( ( 5 ) ](x + 49) 2
2
(x – 2 + 9 9 – 5 2)(x – 6 6x + 5 ))( (x + 49) 2
2
(x – 2 + 4 4)( (x + 49) 2)(x – 6 6x + 3
2
2
(x – 7 + 1 16x – 8 7x + 8)( x + 49) 5
4
3
= 0 = 0 = 0 = 0
2
x – 7 + 6 65x – 3 + 7 784x – 3 7x + 351x + 392 = 0
นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนเต านวนเตม และมดกร กรต าส า สดท ดทมม 2, 3 – ดังนั งนั น สมการพหนามท 3 – และ 7i เปนค นคาตอบ าตอบ คอ x – 7 7x ++ 665x – 3 351x ++ 7784x – 3 392 = 0 5
ดฉันพยายามอ ันพยายามอานค านคะ S
M
4
3
2
ผมพยายามคดคร ดครับ ับ S
M complex
comple
T
5
M
T
M
89
นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนจร านวนจรง และมดดกร ก รตต าส า สดท ดทมม – 2 และ – 1 + 3i ตัวอย วอยงท งท 6 6 จงหาสมการพหนามท เปนค นคาตอบซ าตอบซ ากั ากัน 2 ครั ครัง ทั ทังสองค งสองคาตอบ าตอบ วธธทท สมการพหนามท – 2 และ – 1 + 3i เปนค นามทมม – นคาตอบซ าตอบซ ากั ากัน 2 ครั ครัง ทั ทังสองค งสองคาตอบ าตอบ นคาตอบซ าตอบซ ากั ากัน 2 ครั ครังด งดวย วย จะไดสมการ สมการ คอ จกทฤษฎบท บทแสดงวา – 1 – 3i 3i เปนค (x + 2)(x + 2)[x – 2)[x – ( ( – – 1 + 3i)] [x – [x – ( ( – – 1 – 3i)][x – 3i)][x – ( ( – – 1 + 3i)] [x – [x – ( ( – – 1 – 3i)] – 3i)]
=
0
=
0
=
0
=
0
(x + 4x + 4)(x + + 2 2x + + 1 10)(x + + 2 2x + + 1 10)
=
0
2
=
0
=
0
2
(x + 4x + 4)[( x + 1) – 1) – 3i][(x 3i][(x + 1) + 3i] [( x + 1) – 3i][(x – 3i][(x + 1) + 3i] 2
2
2
2
2
(x + 4x + 4)[( x + 1) – (3i) (3i) ] )[( x + 1) – (3i) (3i) ] 2
2
2
(x + 4x + 4)(x + + 2 2x + + 1 1 + + 9 9) ((x + + 2 2x + + 1 1 + + 9 9) 2
2
4
2
3
2
(x + 4x + 4)(x + + 4 4x + + 2 24x + + 4 40x + 1 100) 6
5
4
3
2
x + + 8 8x + + 4 44x + + 1 152x + + 3 356x + +560x + + 4 400
ดังนั งนั น สมการพหนามท นามทมมสัสัมประส มประสทธ ทธ เป เปนจ นจานวนจร านวนจรง และมดดกร ก รตต าส าสดท ดทมม – 2 และ – 1 + 3i เปนค นคาตอบซ าตอบซ ากั ากัน 2 ครั ครัง ทั ทังสองค งสองคาตอบ าตอบ คอ 6
5
4
3
2
x + + 8 8x + + 4 44x + + 1 152x + + 3 356x + +560x + + 4 400 = 0
ตัวอย วอยงท งท 7 จงหาสมการพหนามด นามดกร กรสาม สาม p(x) = 0 ท ทมม 3, i, – i เปนค นคาตอบ าตอบ และ p(2) = 20 วธธทท สมการพหนามด นามดกร กรสาม สาม ท ทมม 3, i, – i เปนค นคาตอบ าตอบ และ p(2) = 20 ให a เปนจ นจานวนจร านวนจรง a(x – 3)(x – 3)(x – i)(x i)(x + i) จะไดพห พหนาม นาม p(x) = a(x – 2
= a(x – a(x – 3)(x 3)(x + 1) 2
p(2) = a(2 – a(2 – 3)(2 3)(2 + 1) = a( – – 1)(5) 1)(5) = – 5a 5a
จะไดพห พหนาม นาม
20
= – 5a 5a
a
= – 4
p(x)
2
= – 4(x – 4(x – 3)(x 3)(x + 1) 3
2
= – 4(x 4(x – 3x 3x + x – x – 3) 3) 3
2
= – 4x 4x + 12x – 4x 4x + 12
นามดกร กรสามท สามทตตองการค องการคอ ดังนั งนั น สมการพหนามด
ดฉันพยายามอ ันพยายามอานค านคะ S
M
3
2
– 4x 4x + 12x – 4x 4x + 12 = 0
ผมพยายามคดคร ดครับ ับ S
T
M complex
comple
M
T
M
90
ใบกจกรรมท จกรรมท 1 1.6 1.
จงหาเซตตาตอบของสมการ าตอบของสมการ x – 8 = 0 วธธทท า............... า ............................................................................................................................................................... 3
…………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… 2.
8x + 20x – 20x – 16 16 = 0 จงหาเซตตาตอบของสมการ าตอบของสมการ x – 8x ………………………………………………………………..……………………………………… วธธทท า.. า ..……………………………………………………………… 3
2
…………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………… ………………………………………………………………………… ……..……………………………………………………………………..…….. ……..…………………………………………………………………… ……..……………………………… ……………………………… ……………………………………………………………………………..…………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………..…………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………..…………………………………… …………………………………………………………………………… 3.
จงหาเซตตาตอบของสมการ าตอบของสมการ x + x – 20x – 20x – 50 50 = 0 วธธทท า ………………………………………………………………………………………………………… 3
2
………………………………………………………………………………..………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………… …………………………………………………………………………………
พยายามคดนะคร ดนะครับ ับ
ผมพยายามทาคร าครับ ับ
91
4.
จงแสดงวา 1 เปนคาตอบหน งของสมการ x – 5x + 17x – 13 = 0 และหาเซตคาตอบของสมการน 3
2
………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ……..……………………………………………………………………………...…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… 5.
จงหาสมการพหนามท มสัมประสทธ เปนจานวนเตม และมดกรต าสดท ม 5 และ 1+ 2i เปนคาตอบ
………………………………………………………………….……………………………………………… ……..……………………………………………………………...…………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ……..……………………………………………………………...…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… ……..……………………………………………………………...…………………………………………… 6.
จงหาสมการพหนามดกรสาม p(x) = 0 ท ม 1, – 2, 0 เปนคาตอบ และ p(2) = 4
………………………………………………………………….……………………………………………… ………………………………………………………………….……………………………………………… ……..……………………………………………………………...…………………………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………….…………………………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… ……..………………………………………………………………………………...………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………….…………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
92
แบบฝกหัดท 1.6 จงหาเซตคาตอบของสมการในขอตอไปน (1) x + 1 = 0 …………………………...………………………………….…..…………………………...………………… 1.
4
……………………………………………..……………………..………………….………………………… ……………………………………………………..……………..….………………………………………… ……………………………………………………………………..…………..….…………………………… ……………………………………………………………………..……………….…………..……………… ……………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………
………………………………………….… 4
(2) x – 6x – 40 = 0
…………………………………………………………………………………….…………………………… ……..……………………………………………………………………………..….………………………… ……………..…………………………………………………………………..……….……………………… ……………………..……………………………………………………………..…….……………………… ……………………………..………………………………………………………….…..…………………… ……………………………………..………………………………………………………...………………… ……………………………………………..………………………………………...………………………… ……………………………………………………..……………………………………...…………………… 4
3
2
(3) x – 3x – 20x – 24x – 8 = 0
………………………………………………………………………………………….……………………… ……..……………………………………………………………………………...…………………………… ……………..…………………………………………………………………………...……………………… ……………………..………………………………………………………………...………………………… ……………………………..…………………………………………….………………..…………………… ……………………………………..………………….…………………………………..…………………… ……………………………………………..…………….……………………………………..……………… ……………………………………………………..…………….…………………………..………………… ……………………………………………………………..…………………………...……………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
93
2. จงแสดงวา – 3 + i เปนคาตอบหน งของสมการ x + x – 20x – 50 = 0 และหาเซตคาตอบของสมการน 3
2
………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….……………………………………… ………………………………………………………………………….………………………………………
3. จงแสดงวา 1 + i เปนคาตอบหน งของสมการ 2x – 5x + 6x – 2 = 0 และหาเซตคาตอบของสมการน 3
2
……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… …………………………………………………………………………………………………….…………… ……………………………………………………………………………………….………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
94
4.
จงแสดงวา – 3i เปนคาตอบหน งของสมการ x + 8x + 26x + 72x + 153 = 0 และหาเซตคาตอบ ของสมการน 4
3
2
…………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………….…………………… 5.
จงหาสมการพหนามท มสัมประสทธ เปนจานวนเตม และมดกรต า สดท ม 3, – 2 และ 4 – 3i เปนคาตอบ
……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………… 6.
จงหาสมการพหนามท มสัมประสทธ เปนจานวนเตม และมดกรต า สดท ม – 5, 3 – เปนคาตอบ
2
และ 2 + 4i
……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ
95
7.
จงหาสมการพหนามท มสัมประสทธ เปนจานวนจรง และมดก รต า สดท ม 2 – i และ 3 เปนคาตอบท ซ ากัน 1 ครั ง และ 2 ครั ง ตามลาดับ
………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… 8.
จงหาสมการพหนามท มสัมประสทธ เปนจานวนจรงและมดก รต า สดท ม 4i และ 3 + 2 i เปนคาตอบท ซ ากัน 2 ครั ง ทั งสองคาตอบ
………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………………………………….……………………………… พยายามคดนะครับ
ผมพยายามทาครับ