Columnas - Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS COLUMNAS

Isabel Luparia La presente publicación tiene por objeto presentar ejemplos de proyecto, cálculo y verificación de secciones correspondientes a columnas simples y zunchadas sometidas a compresión simple para los alumnos de la cátedra de Hormigón Armado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de La Plata. Decimos secciones y no columnas pues no se incluye en los ejemplos la consideración de los efectos del pandeo que forman f orman parte de otra publicación. Los reglamentos o recomendaciones más importantes vigentes en el mundo difieren entre si en los diferentes valores y aún en los criterios de seguridad. Con la finalidad de ilustrar al alumno sobre la magnitud de estas diferencias, permitiéndole formar su criterio, se agregan dos tablas (una para columnas simples y otra para zunchadas) con los valores correspondientes a los reglamentos más usuales. Debe tenerse presente que muchos de los ejercicios propuestos, independientemente del aspecto reglamentario, no tienen solución única y en esos casos se ha adoptado una solución indicándose los motivos por los cuales se eligieron los distintos valores.

A) COLUMNAS SIMPLES:

A.1) Dimension Dimensionar ar la la armadu armadura ra de de una una column columna a de 25x25 25x25 cm cm para para sopor soportar tar una carga carga PD = 600 kN y P L = 400kN.

Datos: f’c = 20 Mpa fy = 420 Mpa PU: máximo entre

1.4 PD = 1.4 x 600 kN = 840 kN  1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 x 600 + 1.6 x 400 = 1360 kN

PU = φ x Pn (máx) = φ x (0.80 x Pn)

φ: coeficiente de reducción de resistencia en función del tipo de rotura. Para columnas simples vale 0.65 ∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1360 kN / (0.80 x 0.65) Pn = 2615 kN Ag = 25 cm x 25 cm = 625 cm2 Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag + Ast x (fy – 0.85 x f’c) 1

EJERCICIOS RESUELTOS

⇒

COLUMNAS

Ast = (2615 kN – 0.85 x 2 kN/cm2 x 625 cm2 ) (42 kN/cm 2 – 0.85 x 2 kN/cm 2) Ast = 38.5 cm2

Se adopta: 8 db 25 = 39.3 cm 2 (+2%) lo que conduce a una cuantía de: ρ = 39.3 / 625 = 0.063 (>0.01 y <0.08) Estribos: en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetro dbe = 8 mm y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal = 16 x 2.5 cm = 40 cm 48 dbe = 48 x 0.8 cm = 38.4 cm lado menor de la columna = 25 cm

se adopta: dbe8 c/ 25 cm

A.2) Dimension Dimensionar ar la la colum columna na de de la figura figura utiliz utilizando ando la mínima mínima cantidad cantidad de acero acero posible.

Datos: f’c = 20 MPa fy = 500 MPa PD = 1000 kN PL = 360 kN

Como se debe colocar la mínima sección de acero, la sección de hormigón será la máxima:

ρ mín. = Ast / Ag = 1 % ⇒ Ast = 0.01 x Ag 2


PU: máximo entre

COLUMNAS



∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1776 kN / (0.80 x 0.65) Pn = 3415 kN Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 0.85 x f’c x (Ag (Ag – 0.01 x Ag) + fy x 0.01 x Ag = 0.85 x f’c x Ag (1 – 0.01) + fy x 0.01 x Ag

⇒

Ag = Pn / [0.85 x f’c x (1 – 0.01) + fy x 0.01] Ag = 3415 kN kN / [0.85 x 2 kN/cm2 x (1 – 0.01) + 50 kN/cm 2 x 0.01] = 1564 cm2 Ag = 4xbx15 cm cm + 15 cmx15 cm ⇒ b = 1564 cm2 – 15 cm x 15 cm = 22.3 cm 4 x 15 cm se adopta b = 22.5 cm: Ag = 4 x 22.5cm x 15cm + 15cm x 15cm = 1575 cm como el valor adoptado para b es prácticamente igual al calculado podemos determinar As a partir de la cuantía mínima adoptada adoptada (Ast = 0.01 x Ag), pues esta expresión expresión se sigue manteniendo. Ast = 0.01 x 1575 1575 cm2 = 15.75 cm 2 se adopta: 12 db 12 + 8 db 8 = 17.56 cm 2

Estribos: en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetro dbe = 6 mm y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal = 16 x 1.2 cm = 19.2 cm 48 dbe = 48 x 0.6 cm = 28.8 cm lado menor de la columna = 15 cm


A.3) A.3) Calcul Calcular ar la máxima máxima car carga ga últim última a que que puede puede sopo soporta rtarr una colu columna mna de dimensiones dimensiones mínimas.

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COLUMNAS

Datos: f’c = 20 MPa fy = 420 MPa La mínima sección admisible para una columna es de 20x20cm.

⇒

Ag = 20 cm x 20 20 cm = 400 cm2

Para obtener la carga máxima (P Umáx.) debemos colocar la máxima cantidad de armadura, suponiendo que no existen empalmes adoptamos;

ρ máx. = Ast / Ag = 8% ⇒ Ast máx. = 0.08 x Ag = 0.08 x 20 x 20 = 32 cm2 ⇒

Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x 2 kN/cm2 x (400cm 2 – 32cm2) + 42 kN/cm2 x 32cm 2 Pn = 1970 kN

Para columnas simples se tiene: PU = 0.65 x 0.80 x Pn = 0.65 x 0.80 x 1970 kN = 1024.4 kN

Para el armado de la columna adoptamos (2db20 + 1db16) en cada esquina (33.16 cm2) Estribos: para diámetros de armadura longitudinal > 32mm y para paquetes de barras corresponde adoptar estribos con un diámetro dbe = 12 mm y una separación igual al menor valor de: -

16 db longitudinal (equivalente)* = 16 x 3.25 cm = 52 cm 48 dbe = 48 x 1.2 cm = 57.6 cm lado menor de la columna = 20 cm

se adopta: dbe12 c/ 20 cm * db equivalente = √ [(2 x 3.14 cm2 + 2.01 cm2) x 4 / π] = 3.25 cm

Si existieran empalmes de armadura longitudinal a lo largo de la columna la cuantía máxima debería limitarse al 4% para no sobrepasar en la zona de empalme la cuantía máxima del 8%. Si calculamos la separación c entre armaduras longitudinales, se tiene: (adoptando un recubrimiento de 3.00 cm, ambiente moderado) c = 20cm – 2x3cm – 2x1.2cmx1.20 – 2x3.25cmx1.20 = 3.32 cm 4


COLUMNAS

valor que podría resultar inválido dependiendo del tamaño del agregado grueso del hormigón. Es por esto que en general no conviene trabajar en el límite superior de la cuantía. A.4) Dimensio Dimensionar nar una columna columna circular circular con cuantía cuantía mínima capaz capaz de soporta soportarr una carga PD = 2000 kN y PL = 1000 kN, suponiendo un hormigón de f’c = 25 Mpa y acero con un fy = 420 Mpa.


PU: máximo entre


∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 4000 kN / (0.80 x 0.65) Pn = 7692 kN Se pide que esté armada con cuantía mínima, por lo tanto:

ρ mín. = Ast / Ag = 0.01 Pn = 0.8 0.85 5 x f’c f’c x (Ag (Ag – Ast) Ast) + fy fy x Ast Ast

(1) (1)

= 0.85 x f’c x Ag (1 – 0.01) + fy x 0.01 x Ag Ag = Pn / [0.85 x f’c x (1 – 0.01) + fy x 0.01] ⇒ = 7692 kN / [0.85 x 2.5 kN/cm2 x (1 –0.01) + 42 kN/cm 2 x 0.01] Ag = 3048 cm

2

Ag = π x D^2 = 3048cm 2 ⇒ Para redondear el valor de D, se adopta: D = 60 cm 4

⇒

Ag = π x 60^2 = 2827.4 cm2 4

volviendo a la expresión (1) se vuelve a calcular Ast: Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag – 0.85 x f’c x Ast + fy x Ast

⇒

Ast = (Pn – 0.85 x f’c x Ag) / (fy – 0.85 x f’c) = (7692 kN – 0.85 x 2.5kN/cm 2 x 2827.4 cm 2) / (42 kN/cm2 – 0.85 x 2.5 kN/cm2) 2

Ast = 42 cm , se adopta: 14 db 20

Verificamos la cuantía: ρ = Ast / Ag = 42 cm2 / 2827.4 cm2 = 0.015 > 0.01, pero igual sigue siendo una cuantía pequeña. Téngase presente que cuando se adopta como cuantía mínima 1% siempre que se redondea la sección de hormigón debe hacerse adoptando un valor menor al calculado pues si se elige uno mayor se obtendría una cuantía menor que la mínima reglamentaria. 5


COLUMNAS

Estribos: en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetro dbe = 8 mm y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal longitudi nal = 16 x 2 cm = 32 cm 48 dbe = 48 x 0.8 cm = 38.4 cm lado menor de la columna = 60 cm


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COLUMNAS

A.5) Dimension Dimensionar ar la armadura armadura de la la columna columna de la la figura figura para resistir resistir una carga carga máxima de: PD = 1000 kN y P L = 100 kN.

Datos: f’c = 20 Mpa fy = 420 Mpa

PU: máximo entre



∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1400 kN / (0.80 x 0.65) Pn = 2692 kN Ag = 15 cm x 35 cm + 45 cm x 20 cm = 1425 cm2 Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag + Ast x (fy – 0.85 x f’c)

⇒

Ast = (2692 kN – 0.85 x 2 kN/cm2 x 1425 cm 2 ) (42 kN/cm 2 – 0.85 x 2 kN/cm 2) Ast = 6.6 cm2

se verifica la cuantía : ρ = 6.6 / 1425 = 0.0046 < 0.01 (ρ mín.) Por lo tanto se adopta la armadura correspondiente a la cuantía mínima: Ast = ρ x Ag = 0.01 x 1425 cm 2 = 14.25 cm 2 se adopta: 12 db 12 = 13.6 cm 2 (diferencia < 5%, aceptable) Estribos: en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetro dbe = 6 mm y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal = 16 x 1.2 cm = 19.2 cm 48 dbe = 48 x 0.6 cm = 28.84 cm lado menor de la columna = 15 cm


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COLUMNAS

A.6) Calcular Calcular la carga carga última última y de serv servicio icio de la columna columna que que se se indica indica y verific verificar ar su su dimensionado.

Datos: f’c = 25 Mpa fy = 420 Mpa PD= 1.50 x P L As = 16 db 25

Primero verificamos la cuantía de la columna: Ast = 16 x 4.91 4.91 cm2 = 78.56 cm 2 Ag = 40 x 40 = 1600 1600 cm2

⇒

ρ = Ast / Ag = 78.56 cm 2 / 1600 cm 2 = 4.9 % , aceptable

Debe tenerse presente que en caso de tener que empalmar las armaduras no podrán empalmarse todas en la misma sección pues tendríamos una cuantía, en la zona de empalme de ρ = 9.8% > 8% (cuantía máxima). Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x 2.5 x (1600 – 78.56) + 42 x 78.56 = 6532.6 kN PU = 0.65 x 0.80 x Pn = 0.65 x 0.80 x 6532.6 kN = 3397 kN

haciendo: Pu = 1.2 PD + 1.6 PL = 1.2 (1.5 x P L) + 1.6 PL ⇒

PL = 3397 kN / (1.2 x 1.5 + 1.6) = 999 kN PD = 1.5 x P L = 1.5 x 999 kN = 1498.5 kN

Verificación de estribos:

•

Estribo interno: -

db long. = 25 mm ⇒

dbe = 8 mm

y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal = 16 x 2.5 cm = 40 cm 48 dbe = 48 x 0.8 cm = 38.4 cm lado menor de la columna = 40 cm

por lo tanto dbe8 c/ 30 cm ,es correcto.

•

Estribo externo:

para paquetes de barras se debe adoptar un diámetro de estribos de: dbe = 12mm y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal equivalente * = 16 x 4.33 cm = 69 cm 48 dbe = 48 x 1.2 cm = 57 cm lado menor de la columna = 40 cm 8


COLUMNAS

* db equivalente = √ [(3 x 4.91 cm 2) x 4 / π] = 4.33 cm Por lo tanto se ve que la separación del estribado externo es correcta (30 cm) pero no lo es el diámetro de la barra (dbe = 10mm). Se tendría que haber adoptado: dbe 12 c/ 30cm. A.7) Dimension Dimensionar ar la armadura armadura de la la siguien siguiente te colum columna na para para soporta soportarr una carga carga de: de: PD = 930 kN y P L = 930 kN.


PU: máximo entre



∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 2604 kN / (0.80 x 0.65) Pn = 5008 kN Ag = 50 cm x 50 cm = 2500 cm cm2 Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag + Ast x (fy – 0.85 x f’c)

⇒

Ast = (5008 kN – 0.85 x 2.5 kN/cm 2 x 2500 cm 2 ) (42 kN/cm 2 – 0.85 x 2.5 kN/cm 2) Ast < 0

El Reglamento CIRSOC 201-02 en los casos en que la sección de hormigón viene impuesta por condiciones no estructurales indica que: “a los efectos del cálculo de la cuantía mínima puede utilizarse un área efectiva reducida producto de despejar el área necesaria para obtener una columna con cuantía mínima. En ningún caso el área efectiva a utilizar puede ser menor al 50% del área bruta de la columna”, esto es:

ρ mín. = 0.01 = Ast / Ag Pn = 0.85 x f’c x (Ag – ρ x Ag) + fy x ρ x Ag

⇒

Ag =

Pn . 0.85 x f’c x (1 - ρ) + ρ x fy

Ag =

5008 kN . 2 (0.85 x 2.5 kN/cm x (1 – 0.01) + 0.01 x 42 kN/cm )

Ag ficticia = 1984 1984 cm2

⇒

2

Ag real = 2500 cm2 ∴ Ag ficticia > 0.5 Ag real real , correcto

Ast = 0.01 x Ag ficticia ficticia = 0.01 x 1984 1984 cm2 = 19.8 cm 2, se adopta (4db20 + 4db16) 9


COLUMNAS

lo que representa una cuantía real de: ρ = 19.8 cm 2 / 2500 cm 2 = 0.0079 valor que no es recomendable en elementos de gran compromiso estructural como las columnas (podría admitirse en parte inferior de pilotes). El Reglamento CEB-90 ha dejado sin efecto esta disminución de cuantía geométrica mínima pero tiene como valor de cuantía mínima: 0.008 < 0.01. Por lo tanto se tiene:

• •

CIRSOC 201-02: As = 0.0079 x 50 cm x 50 cm = 19.8 cm2 CEB-90: As = 0.008 x 50 cm x 50 cm = 20 cm2

A.8) Dimension Dimensionar ar la armadura armadura de la la siguien siguiente te colum columna na para para soporta soportarr una carga carga de: de: PD = 800 kN y P L = 600 kN, con la sección indicada en la figura:

Datos: f’c = 20 MPa fy = 420 MPa

PU: máximo entre



∴ Pn = PU / (0.80 x 0.65) = 1920 kN / (0.80 x 0.65) Pn = 3692.3 kN Ag = 20 cm x 20 cm = 400 cm2 Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x f’c x Ag + Ast x (fy – 0.85 x f’c)

⇒

Ast = (3692.3 kN – 0.85 x 2 kN/cm 2 x 400 cm2 ) (42 kN/cm 2 – 0.85 x 2 kN/cm 2) Ast = 74.7 cm2

se verifica la cuantía : ρ = 74.7 / 400 = 0.18 > 0.08 (ρ máx.) 10

(1)


COLUMNAS

Por lo tanto se debe redimensionar la columna, para ello se adopta una cuantía máxima ρ = 0.08 suponiendo que no va a haber empalmes a lo largo de la columna. Ast = ρ x Ag = 0.08 x Ag

⇒

Ag =

Pn . 0.85 x f’c x (1 - ρ) + ρ x fy

Ag =

3692.3 kN kN . (0.85 x 2. kN/cm2 x (1 – 0.08) + 0.08 x 42 kN/cm 2)

Ag = 750 cm cm2 ∴ b = √ 750 = 27.3 cm , se adopta b = 30 cm por lo tanto: Ag = 30 cm x 30 cm = 900 cm 2, nuevamente de (1) se calcula Ast:

⇒

Ast = (3692.3 kN – 0.85 x 2 kN/cm 2 x 900 cm2 ) (42 kN/cm 2 – 0.85 x 2 kN/cm 2) Ast = 53.7 cm2

se verifica la cuantía : ρ = 53.7 / 900 = 0.06 (> 0.01 y < 0.08) se adopta: 12 db 20 + 4 db 25 = 57.3 cm 2 Estribos: en función de la armadura longitudinal adoptada corresponde adoptar estribos con un diámetro dbe = 12 mm (paquetes de barras) y una separación igual al menor valor de: -

16db longitudinal equivalente * = 16 x 3.46 cm = 55 cm 48 dbe = 48 x 1.2 cm = 57 cm lado menor de la columna = 30 cm se adopta: dbe12 c/ 30 cm

* db equivalente = √ [(3 x 3.14 cm 2) x 4 / π] = 3.46 cm c = (30 – 2.5 x 2 – 2 x 0.8 x 1.20 – 4 x 2 x 1.20 – 2.5 x 1.2) / 2 = 5.24 cm c = 5.24 cm < 15 dbe = 18 cm, por lo tanto no requiere un estribado intermedio.

11


COLUMNAS

A.9) Proyectar una columna simple para las siguientes condiciones

Materiales:

- Hormigón: f’c = 20 MPa - Acero: fy = 420 MPa

Secc Secció ión n Tran Transv sver ersa sal:l: Estribos:

- A defi defini nir r

- Recubrimiento = 0.02 m

- Diámetro: A definir definir Armadura Longitudinal: Longitudinal: - A definir Solicitación:

- PD = 550 kN

; P L = 300 kN

Resolución:

1.4 PD = 1.4×550 = 770 kN Pu = máximo entre

⇒

1.2 PD + 1.6 PL= 1.2×550+1.6×300 = 1140 kN

Pu = 1140 kN

Pn = Pu / (0.80φ) = 1140 / (0.80×0.65) = 2192 kN Se adopta una cuantía geométrica “ ρ = 0.025” por lo que resulta: Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] = 2192 /[0.85×2 + 0.025×(42 - 0.85 ×2)] = Ag = 809.7 cm 2 Se adopta una columna cuadrada de bx = by = 0.30 m con lo que que resulta Ag = 900 cm 2 y la armadura se obtiene como: Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (f y - 0.85 f’c) = (2192 - 0.85 ×2×900) / (42 - 0.85 ×2) = Ast = 16.41 cm 2 Para la armadura longitudinal se adopta:

8 d b16 = 8×2.01 = 16.08 cm 2

Lo que conduce a una cuantía:

ρ = 16.08 / 900 = 0.018

En función del diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribado de 6 mm de diámetro con una separación igual al menor valor entre: 16 db longitudinal longitudina l = 16×1.6 = 25.6 cm 48 dbe = 48×0.6 = 28.8 cm lado menor columna = 30 cm es decir, 26 cm.

Estr. d b6 c/26cm

Armado:

0.30 m

8 d b 16

0.30 m 12


COLUMNAS

A.10) Recalcular la columna del ejemplo anterior minimizando la sección de hormigón Resolución:

Se adopta una cuantía geométrica “ ρ = 0.04” para tener en cuenta la posibilidad de que existan empalmes en el tramo considerado. Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] = 2192 / [0.85 ×2 + 0.04×(42 - 0.85×2)] Ag = 661.83 cm 2

por lo que se adopta bx = by = 0.26 m obteniéndose

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (f y - 0.85 f’c) = (2192 - 0.85 ×2×676) / (42 - 0.85 ×2) = Ast = 25.88 cm 2 Para la armadura longitudinal se adopta:

4 d b25 + 4 db16 = 27.68 cm 2


ρ = 27.68 / 676 = 0.041 ≈ 0.04

En función del máximo diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribado de 8 mm de diámetro con una separación igual al menor valor entre: 16×1.6 = 25.6 cm 48×0.8 = 38.4 cm 26 cm

16 menor db longitudinal = 48 dbe = lado menor columna = es decir, 26 cm. Armado:

4 d b25

4 d b 16 0.26 m Estr. d b8 c/26cm 0.26 m

A.11) Calcular “Pu” para una columna simple con dimensiones y armaduras longitudinales mínimas reglamentarias y adoptar su estribado.

Materiales:



- b x = by = 0.20 m


- Diámetro: A definir definir Armadura Longitudinal: Longitudinal: - Ast = 4 db12 = 4×1.13 = 4.52 cm 2

13


COLUMNAS

Resolución:

La columna verifica las cuantías límites pues se tiene: 0.01 < 4.52 / 400 = 0.0113 < 0.08 Pu = 0.80 φ [0.85 f’c (Ag - Ast) + f y Ast] = 0.80×0.65×[0.85×2×(400-4.52)+4.52 ×42] = Pu = 448 kN En función del máximo diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribado de 6 mm de diámetro con una separación igual al menor valor entre: 16 menor db longitudinal = 48 dbe = lado menor columna =

16×1.2 = 19.2 cm 48×0.6 = 28.8 cm 20 cm

es decir, 19 cm. Armado:

b

4 d b12

0.20 m

0.20 m

A.12) Desarrollar unas expresiones simples que permitan el predimensionado de columnas simples cortas para resistencias usuales de hormigones y f y = 420 MPa. Resolución:

Se adopta una cuantía geométrica de 0.02 que conduce a columnas de dimensiones razonables y sencillas de armar y hormigonar aún en presencia de empalmes. Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] = 1.92 P u / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] Ag = 1.92 Pu / [0.85 f’c + 0.02 (42 - 0.85 f’c)] =1.92 P u / (0.833 f’c + 0.84) Para f’c = 20 MPa resulta

Ag (cm2) ≈ 0.77 Pu (kN)

Para f’c = 25 MPa resulta

Ag (cm2) ≈ 0.66 Pu (kN)

Para f’c = 30 MPa resulta

Ag (cm2) ≈ 0.58 Pu (kN)

A.13) Calcular “PL“ para la siguiente columna

Materiales:


Secció Sección n Tran Transve sversa rsal:l:

- Circul Circular ar de de 0.21 0.21 m de diáme diámetro tro ⇒

14

Ag = π×212 / 4 = Ag = 346.36 cm2


Estribos:

COLUMNAS


- Diámetro: 6 mm - Separación: 15 cm Armadura Longitudinal: Longitudinal: - 6 db16 = 6 x 2.01 = 12.06 cm 2 ⇒ Solicitación:

- PD = 400 kN

ρ = 12.06 / 346.36 ρ = 0.0348

; P L = ?

Resolución:

Se descarta que se trate de una columna zunchada dado que la separación entre estribos es mayor que 8 centímetros. La cuantía geométrica de la armadura longitudinal vale 0.0348 por lo que se encuentra dentro de los límites reglamentarios. El diámetro de los estribos es adecuado para el diámetro utilizado en las armaduras longitudinales mientras que la separación de 15 cm resulta menor que el menor valor entre: 16 menor db longitudinal = 48 dbe = menor dimensión columna =

16×1.6 = 25.6 cm 48×0.6 = 28.8 cm 21 cm

La columna cumple entonces con las condiciones reglamentarias como para poder ser calculada como una columna simple. Pu = φ Pn(máx) = φ 0.80 [0.85 f’c (Ag - Ast) + f y Ast] = Pu = 0.65×0.80×[0.85×2.5×(346.36 - 12.06) + 42 ×12.06] = Pu = 632.79 kN recordando que 1.4 PD = 1.4 × 400 = 560 kN < P u Pu = 632.79 kN = máximo entre

1.2 PD + 1.6 PL

resulta que debe ser de donde

Pu = 632.79 kN = 1.2 P D + 1.6 P L = 1.2 × 400 + 1.6 PL PL = (632.79 - 1.2 ×400) / 1.6 = 95.49 kN

Armado:

0.21 m

6 d b16 Estr. d b 6 c/15cm

15


COLUMNAS

A.14) Calcular las armaduras de una columna simple para las siguientes condiciones

Materiales:

- Hormigón: f’c = 20 Mpa - Acero: fy = 500 MPa


- b x = 0.25 m ;

by = 0.30 m


- Diámetro: A definir definir Armadura Longitudinal: Longitudinal: - A definir Solicitación:

- PD = 200 kN

; PL =

a) 350 kN

b) 100 kN

Resolución:

a)

Pu = máximo (1.4×200 = 280 kN ; 1.2×200 + 1.6×350 = 800 kN) = 800 kN Pn = Pu / (0.80 φ) = 800 / (0.80×0.65) = 1538.46 kN Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (f y - 0.85 f’c) = (1538.46 - 0.85 ×2×25×30) / (50 - 0.85 ×2) = Ast = 5.45 cm 2 ⇒ ρ = 5.45 / (25×30) = 0.007

Por lo que no verifica cuantía mínima ( ρmín = 0.01) y se procede a calcular el área efectiva reducida necesaria para resistir “P u” con cuantía mínima: Area Efectiva Reducida = Pn / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] = Area Efectiva Reducida = 1538.46 1538.46 / [0.85×2 + 0.01×(50 - 0.85×2)] = Area Efectiva Efectiva Reducida = 704.75 704.75 cm2 > Ag / 2 = 375 cm 2 Por lo que se adopta una armadura longitudinal igual a la cuantía mínima aplicada al área efectiva mínima calculada anteriormente: anteriormente: Ast = 0.01×704.75 = 7.05 cm 2 A st = 6 db12 = 6.78 cm 2

Se adopta la siguiente armadura:

(dif. -3.8%)

Estribos: db6 c / 19 cm

Estr. d b 6 c/19cm

Armado:

0.30 m

6 d b12

0.25 m

16


b)

COLUMNAS

Pu = máximo (1.4×200 = 280 kN ; 1.2×200 + 1.6×100 = 400 kN) = 400 kN Pn = Pu / (0.80 φ) = 400 / (0.80×0.65) = 769.23 kN Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (f y - 0.85 f’c) = (769.23 - 0.85 ×2×25×30) / (50 - 0.85 ×2) Ast < 0

Por lo que no verifica cuantía mínima ( ρmín = 0.01) y se procede a calcular el área efectiva reducida necesaria para resistir “P u” con cuantía mínima: Area Efectiva Reducida = Pn / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] = Area Efectiva Reducida = 769.23 769.23 /[0.85×2 + 0.01×(50 - 0.85×2)] = Area Efectiva Efectiva Reducida = 352.37 352.37 cm2 < Ag / 2 = 375 cm 2 Por lo que se adopta una armadura longitudinal igual a la cuantía mínima aplicada a la mitad del área bruta de la sección: Ast = 0.01×375 = 3.75 cm 2 A st = 4 db12 = 4.52 cm 2

Se adopta la siguiente armadura:

(dif. +20.5%)

Estribos: db6 c / 19 cm

Estr. d b 6 c/19cm

Armado:

4 d b 12

0.30 m

0.25 m

Conclusiones

Cuando se presentan problemas en los que el área de hormigón está fija y la cuantía resultante del cálculo es menor que la mínima, el área de armadura puede determinarse de la siguiente forma: Ast mín = máximo ( 0.01 ×Pn / [0.85 f’c + 0.01 (f y - 0.85 f’c)] ; 0.01 Ag /2) = Ast mín = máximo ( P n / [84.15 f’c + f y] ; 0.005 Ag)

A.14) Calcular “Pu” para la siguiente columna

Materiales:


Secció Sección n Tran Transve sversa rsal:l:

- Circul Circular ar de 0.50 0.50 m de diáme diámetro tro

17


Estribos:

COLUMNAS


- Diámetro: 8 mm - Separación: 20 cm Armadura Longitudinal: Longitudinal: - 8 db16 = 16.08 cm 2 Estr. d b8 c/20cm

Armado:

0.50 m

8 d b16

Resolución:

La separación de estribos es mayor que 8 cm por lo que no se trata de una columna zunchada. El diámetro de los estribos es mayor que 6 mm por lo que resulta adecuado. La separación de estribos también cumple con los requisitos reglamentarios por lo que puede continuarse el cálculo como columna simple. La cuantía geométrica vale: verifica cuantía mínima.

ρ = 16.08 / 1963.50 = 0.0082

por lo que, en principio, no

Dado que la cuantía resulta superior a 0.005 (A st > 0.01 Ag /2), calcularemos “P u” a partir de la resistencia que produce la cuantía mínima aplicada al área efectiva reducida. Área Efectiva Reducida Reducida = 16.08 16.08 cm2 / 0.01 = 1608 cm 2 Pn = 0.85 f’c (Ag - Ast) + f y Ast = 0.85×2×(1608 - 16.08) + 50 ×16.08 = 3510.26 kN Pu = φ 0.80 Pn = 0.65×0.80×3510.26 = 1825.34 kN Conclusiones

“A priori” puede decirse que una columna no es reglamentaria cuando su cuantía geométrica es menor que 0.005. Para cuantías mayores, y aplicando el criterio de suponer que la armadura existente corresponde a la cuantía mínima de un área efectiva reducida, se obtiene: Pu = φ 0.80 [0.85 f’c (100 Ast - Ast) + f y Ast] = 0.52 (84.15 f’ c + f y) Ast

18


COLUMNAS

B) COLUMNAS ZUNCHADAS B.1) B.1)

Calcu Calcular lar la car carga ga de de rotu rotura ra de de la siguie siguient nte e colum columna: na:

Datos: f’c = 20 Mpa fy = 420 Mpa PD = PL rec = 4 cm

Ag = π x (80 cm)2 / 4 = 5026.5 cm 2 Ac = π x (72 cm)2 / 4 = 4071.5 cm 2 Ast = 8 db 25 = 39.27 39.27 cm2 Asp = dbe 12 = 1.13 cm2 Como primer paso se debe verificar que realmente sea una columna zunchada, para eso se debe cumplir:

ρs ≥ 0.45 (Ag / Ac -1) f’c / f y ρs = 4 Asp / (s x hc) = 4 x 1.13 cm 2 / (5 cm x 72 cm) = 0.0126 0.0126 ≥ 0.45 x (5026.5 cm 2 / 4071.5 cm 2 – 1) x 2 kN/cm2 / 42 kN/cm 2 = 0.011, verifica por lo tanto es una columna zunchada. Pn = PU / (0.85 x φ) = PU / (0.85 x 0.70) Pn = 0.85 x f’c x (Ag – Ast) + fy x Ast = 0.85 x 2 kN/cm 2 x (5026.5 cm 2 – 39.27 cm 2) + 42 kN/cm 2 x 39.27 cm 2 Pn = 10127.6 kN = 1.2 P D + 1.6 PL con PD = PL PD = 10127.6 kN / (1.2 + 1.6) = 3617 kN

⇒

PD = PL = 3617 kN

B.2) Calcular Calcular el zunch zuncho o mínimo mínimo necesari necesario o para para que que la siguient siguiente e column columna a se comporte comporte como zunchada:


Primero verificamos que la cuantía de la columna esté dentro de los límites reglamentarios: Ag = π x (30 cm)2 / 4 = 707 cm 2 Ast = 8 db 16 = 16.08 16.08 cm2

⇒

ρ = 16.08 / 707 = 0.022 (> 0.01 y < 0.08), es correcto.

19


COLUMNAS

Ahora si calculamos calculamos la armadura armadura del del zuncho:

ρs ≥ 0.45 (Ag / Ac -1) f’c / f y Ac = π x (22 cm)2 / 4 = 380.1 cm 2

ρs ≥ 0.45 x (707 cm 2 / 380.1 cm 2 -1) x 2.5 kN/cm 2 / 42 kN/cm 2 = 0.023 ρs = 0.023 = 4 Asp / (s x hc) ⇒

Asp / s = ρs x hc / 4 = 0.023 x 22 cm / 4 = 12.65 cm 2/m

Se adopta el diámetro mínimo reglamentario para zunchos, es decir 10 mm La separación se calcula como: s = 0.79 cm 2 / 12.65 cm 2/m = 0.062 m, por lo tanto se adopta: dbe 10 c/ 6 cm

La separación anterior verifica: s

≤ 8 cm ≥ 2.5 cm > tamaño máximo del agregado grueso a utilizar

B.3) Proyectar una columna simple y otra zunchada, ambas de sección circular, para las siguientes condiciones:

Materiales:



- A dete determ rmin inar ar


- Diámetro: A determinar - Separación: A determinar Armadura Longitudinal: Longitudinal: - A determinar determinar Solicitación:

- PD = 380 kN

; P L = 500 kN

Resolución:

Para ambas soluciones se tendrá: Pu = 1.2 PD + 1.6 PL = 1.2×380 + 1.6×500 = 1256 kN a)

Columna Simple:

Pn = Pu / (0.80 φ) = 1256 / (0.80×0.65) = 2415 kN Se adopta una cuantía geométrica “ ρ = 0.02” por lo que resulta: Ag = Pn / [0.85 f’c + ρ (f y - 0.85 f’c)] = 2415 /[0.85×3 + 0.02×(42 - 0.85×3)] = Ag = 723.27 cm 2 Se adopta una columna circular de 0.30 m de diámetro con lo que resulta A g = 706.86 cm 2 y la armadura se obtiene como: 20


COLUMNAS

Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (f y - 0.85 f’c) = (2415 - 0.85 ×3×706.86) / (42 - 0.85 ×3) = Ast = 15.52 cm 2 Para la armadura longitudinal se adopta: 8 db16 = 8 × 2.01 = 16.08 cm 2

ρ = 16.08 / 706.86 = 0.023


En función del diámetro de las barras longitudinales corresponde adoptar un estribado de 6 mm de diámetro con una separación igual al menor valor entre: 16 db longitudinal longitudina l = 48 dbe = menor dimensión columna =

16×1.6 = 25.6 cm 48×0.6 = 28.8 cm 30 cm

es decir, 26 cm. Armado:

Estr. d b 6 c/26cm

0.30 m

b)

8 d b16

Columna Zunchada:

Pn = Pu / (0.85 φ) = 1256 / (0.85 ×0.70) = 2110.92 kN Se adopta la misma sección de hormigón que para el caso de la columna simple: Ag = 706.86 cm 2 Ast = (Pn - 0.85 f’c Ag) / (f y - 0.85 f’c) = (2110.92 - 0.85 ×3×706.86) / (42 - 0.85 ×3) = Ast = 7.81 cm 2 que conduce a una cuantía de 0.011 que se encuentra dentro de los límites reglamentarios. Para tal sección se adopta: 8 d b12 = 8x1.13 = 9.04 cm 2 La cuantía de zunchado debe verificar:

ρs ≥ 0.45 (Ag / Ac -1) f’c / f y = 0.45×(706.86 / 380.13 - 1) × 30 / 420 = 0.02763 siendo en este caso : Ac = π×hc2 / 4 = 380.13 cm 2 con Recordando que:

hc = 30 - 2×4 = 22 cm

ρs = 4 Asp / (s hc) queda Asp / s = ρs hc / 4 = 15.20 cm 2/m

Se adopta el diámetro mínimo reglamentario para zunchos es decir, 10 mm. La separación se calcula como:

s = 0.785 / 15.20 = 0.05 m = 5 cm

21


COLUMNAS

La separación anterior verifica: s

≤ 8 cm ≥ 2.5 cm > tamaño máximo del agregado grueso a utilizar Zuncho d b10 c/5cm

Armado:

0.30 m

c)

8 d b 12

Comp Compa arac ración ión (p (peso esos de de ar armad madura uras te teóric ricas)

Se comparará el peso teórico de armadura por metro de columna. El peso por metro de una barra de acero de área As es igual a : 0.785 kg/m/cm2 × As (cm 2). Para la columna simple:

Armadura longitudinal: El peso de acero de armadura armadura longitudinal, longitudinal, para un metro de columna 2 vale, siendo Ast = 15.52 cm Peso Arm. longitudinal = 0.785 kg/cm 2/m × 15.5 cm 2 × 1m = 12.17 kg/m Armadura Transversal Transversal (Estribos): En este caso hay que evaluar la longitud de estribos para un metro de columna. Considerando que el diámetro del eje de los estribos vale 22cm, y sumando unos 10cm para considerar el anclaje de cada estribo, su longitud es igual a : π × 22cm + 10cm = 79 cm; y por metro se tienen 1m / 0.26m = 3.85 estribos. De manera tal que : Peso estribos = 0.785 kg/cm 2/m × 0.28 cm 2 × 0.79m/estribo × 3.85 estribo/m = 0.67 kg/m è Peso

Total de acero en la columna simple: 12.84 kg/m

Para la columna zunchada:

Armadura longitudinal: longitudinal: El peso de acero de armadura armadura longitudinal, longitudinal, siendo A st = 7.81 cm 2 es igual a: Peso Arm. longitudinal = 0.785 kg/cm 2/m × 7.81 cm 2 × 1m = 6.13 kg/m Armadura Transversal Transversal (zuncho): (zuncho): De manera simplificada, simplificada, se evaluará la sección de zuncho (ya 2 expresada en cm /m) con una longitud igual al perímetro del eje medio del zuncho, que vale 22cm, es decir que su longitud es igual a : π × 22cm = 69 cm; y entonces Peso estribos = 0.785 kg/cm 2/m × 15.20 cm 2/m × 0.69m = 8.23 kg/m è Peso

Total de acero en la columna zunchada: 14.36 kg/m

22


COLUMNAS

Como puede apreciarse, para las condiciones del ejemplo, la columna zunchada presenta un mayor consumo de acero que la columna simple. Esto se debe al particular enfoque que tiene el reglamento en lo referente a este tipo de columnas y a su seguridad (no se permite que el zunchado incremente la capacidad resistente de la columna -sólo compensa la pérdida de resistencia producida por el descascaramiento- y no existen coeficientes de reducción de resistencia diferenciados entre el descascaramiento y la rotura de la columna zunchada).

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COLUMNAS

BIBLIOGRAFÍA 1)

CIRSOC 201-02

2)

CÓDIGO MODELO CEB-FIP 1990

3)

CÓDIGO MODELO CEB-FIP 1978

4)

ACI 318-99, ACI 318R-99: Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-99) and Commentary (318R-99)

5)

CIRSOC 201: Proyecto, Cálculo y Ejecución de Estructuras de Hormigón Armado y Pretensado

6)

Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón (PRAEH)

7)

LIMA, Luis Julián: Solicitaciones normales simples, tracción y compresión.

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Columnas - Ejercicios resueltos

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