Una part´ıcula se mueve en el plano xy en una trayectoria circular de radio R. Su aceleraci´on angular viene dada por ⎧ ⎪ ⎨ α0
= +0,71 rad/s2 α(t) = α1 = +13,19 rad/s2 ⎪ ⎩ α2
si 0,00 s ≤ t ≤ 0,85 s si 0,85 s < t ≤ 1,57 s si 1,57 s < t ≤ 2,00 s
Donde α2 es desconocida pero constante. Para la part´ıcula se conoce tambi´en ciertas posiciones y velocidades angulares; ellas vienen dadas en la siguiente tabla: Tiempo t0 = 0,00 s t1 = 0,85 s t2 = 1,57 s t3 = 2,00 s
Posici´on Angular θ0 = +0,63 rad θ1 = −1,84 rad θ2 = ? θ3 = +2,68 rad
Velocidad Angular ω0 = ? ω1 = ? ω2 = +6,90 rad/s ω3 = ?
Se tom´o como positivo el giro en sentido opuesto al de las agujas del reloj.
Determinar: 1. ω0 2. ω1 3. α2 4. θ2 5. ω3 1
Para el intervalo t0 ≤ t ≤ t1 , se cumple que 1 θ(t) = 0,63 + ω0 t + 0,71 t2 , 2 adem´as ω(t) =
dθ(t) = ω0 + 0,71 t. dt
Sabemos que θ1 = θ(t1 ) = −1,84 rad y ω1 = ω(t1 ); por lo tanto 1 −1,84 = 0,63 + ω0 0,85 + 0,71 0,852 , 2 tambi´en ω1 = ω0 + 0,71 0,85. Resolviendo las ecuaciones anteriores nos queda ω0 = −3,20 rad/s; ω1 = −2,60 rad/s. Finalmente, para el intervalo t1 ≤ t ≤ t2 , 1 θ(t) = −1,84 − 2,60 (t − 0,85) + 13,19 (t − 0,85)2 , 2 Evaluando la ecuaci´on anterior en t2 , obtenemos θ2 = −0,29 rad. Finalmente, para el intervalo t2 ≤ t ≤ t3 , 1 θ(t) = −0,29 + 6,90 (t − 1,57) + α2 (t − 1,57)2 , 2 igual que siempre ω(t) =
dθ(t) = 6,90 + α2 (t − 1,57). dt
Pero conocemos que θ3 = θ(t3 ) = 2,68 rad y ω3 = ω(t3 ); por lo tanto 1 2,68 = −0,29 + 6,90 (2,00 − 1,57) + α2 (2,00 − 1,57)2 , 2 y ω3 = 6,90 + α2 (2,00 − 1,57). 2
Resolviendo el par de ecuaciones es inmediato que α2 = 0,00 rad/s2; ω3 = 6,90 rad/s. A continuci´on se escribe θ(t) y ω(t) de la part´ıcula: ⎧ ⎪ ⎨ 0,63 − 3,20
t + 21 0,71 t2 θ(t) = −1,84 − 2,60 (t − 0,85) + 21 13,19 (t − 0,85)2 ⎪ ⎩ −0,29 + 6,90 (t − 1,57) ω(t) =
si 0,00 s ≤ t ≤ 0,85 s si 0,85 s ≤ t ≤ 1,57 s si 1,57 s ≤ t ≤ 2,00 s
⎧ ⎨ −3,20 + 0,71
t si 0,00 s ≤ t ≤ 0,85 s −2,60 + 13,19 (t − 0,85) si 0,85 s ≤ t ≤ 1,57 s ⎩ 6,90 si 1,57 s ≤ t ≤ 2,00 s
Se conoce que la componente tangencial de la velocidad para t = 1,39 s es igual a 0,45 m/s 6. ¿Cu´al es el radio R de la trayectoria de la part´ıcula? Sabemos que en cualquier instante de tiempo, la velocidad tangencial v est´a relacionada con la velocidad angular ω mediante v = ωR. Podemos encontrar R si conocemos ω para el instante dado. Para t = 1,39 s tenemos que ω = −2,60 + 13,19 (1,39 − 0,85) = 4,52 rad/s. Luego R = 0,10 m. Determinar 7. El tiempo que dura la part´ıcula en movimiento circular uniforme. 8. El tiempo que dura la part´ıcula movi´endose en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido antihorario). 9. La magnitud de la aceleraci´on para t = 1,39 s. 10. El ´angulo en grados que forma la aceleraci´on total ⃗a con la velocidad ⃗v de la part´ıcula para t = 1,39 s. 3
11. La distancia total que recorre la part´ıcula en los 2,00 s. La part´ıcula se halla en movimiento circular uniforme cuando su aceleraci´on angular α es cero. S´olo en el intervalo t2 < t ≤ t3 su aceleraci´on angular es cero. Luego, durante t3 − t2 = 0,43 s, est´a en movimiento circular uniforme. La part´ıcula se mueve en sentido antihorario cuando ω > 0. La velocidad angular cambia de signo para t = 1,05 s. S´olo en el intervalo (1,05 s, 2,00 s] la velocidad ω > 0; entonces, viaja en sentido antihorario durante 0,95 s. Para calcular la magnitud de la aceleraci´on encontraremos sus componentes ar y at seg´ u%n los vectores unitarios ˆr y θˆ respectivamente; la magnitud ser´a igual a a2r + a2t . Sabemos que ar = −ω 2 R. Para t = 1,39 s ω(1,39) = −2,60 + 13,19 (1,39 − 0,85) = 4,52 rad/s luego ar = −2,04 m/s2. Por otra parte, at = αR = 13,19 × 0,10 = 1,32 m/s2. Entonces, la magnitud de la aceleraci´on para ese instante es a=
%
(−2,04)2 + (1,32)2 = 2,43 m/s2.
Una forma directa de calcular el ´angulo φ entre los dos vectores ⃗a y ⃗v es mediante su producto escalar. Los dos vectores son ⃗a = (1,32 θˆ − 2,04 ˆr) m/s2 , y
⃗v = ωR θˆ = 0,45 θˆ m/s.
Mientras que de la definici´on del producto escalar se tiene cos φ =
ˆ (1,32 θˆ − 2,04 ˆr).(0,45 θ) ⃗a.⃗v = = 0,54; av 2,43 × 0,45
luego φ = 57 ◦ . 4
La distancia recorrida d es d = θt R, donde θt es el ´angulo total recorrido, el cual se calcula mediante θt =
&
2,00
|ω(t)| dt,
0
para los dos segundos que dura el movimiento. Separando el recorrido seg´ un el signo de la velocidad angular: θt = |
&
1,05
ω(t) dt| + |
0
&
2,00
ω(t) dt|,
1,05
tenemos finalmente que θt = |θ(1,05) − θ(0,00)| + |θ(2,00) − θ(1,05)|, θt = | − 2,10 − 0,63| + |2,68 + 2,10| = 7,51 rad, y la distancia recorrida d = θt R = 7,51 × 0,10 = 0,75 m.
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