Chuong 3 bien ngau nhien hai chieu.pdf

BÀI GING XÁC SUT THNG KÊ

GING VIÊN: NGUYN VIT DƯƠNG HC VIN CÔNG NGH BƯU CHÍNH VIN THÔNG Ngày 21 tháng 9 năm 2017

CHƯƠNG 3

BIN NGU NHIÊN HAI CHIU

CHƯƠNG 3

BIN NGU NHIÊN HAI CHIU

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Gii thiu

 chương trưc ta đã nghiên cu bn cht xác sut ca mt bin ngu nhiên riêng l. Nhưng trong thc t nhiu khi phi xét đng thi nhiu bin khác nhau có quan h tương h và dn ti khái nim vec tơ ngu nhiên hay bin ngu nhiên nhiu chiu. Nhng thí d v các bin nhiu chiu rt ph bin, chng hn khi nghiên cu mt chi tit máy, ta quan tâm đng thi đn nhiu khía cnh khác nhau như trng lưng, kích thưc (riêng nó đã là nhiu chiu), cht lưng, cht liu... Vic nghiên cu riêng r tng khía cnh có th cho ta các thông tin không đy đ. Đ cho đơn gin, ta nghiên cu bin ngu nhiên 2 chiu (X , Y ), trong đó X  và Y  là các bin mt chiu. Hu ht các kt qu có th m rng khá d dàng cho bin n  chiu.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.1. Bin ngu nhiên nhiu chiu.

Đnh nghĩa bin ngu nhiên nhiu chiu Mt vector ngu nhiên n  chiu là mt b có th t (X 1 , X 2 , ..., X n )  vi các thành phn là các bin ngu nhiên.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.1. Bin ngu nhiên nhiu chiu.

Đnh nghĩa bin ngu nhiên nhiu chiu Mt vector ngu nhiên n  chiu là mt b có th t (X 1 , X 2 , ..., X n )  vi các thành phn là các bin ngu nhiên.

Ví d Mt nhà máy sn xut mt loi sn phm. Nu kích thưc ca sn phm đưc đo bng chiu dài X  và chiu rng Y  thì ta có bin ngu nhiên 2 chiu, nu xét thêm chiu cao Z  thì ta có bin ngu nhiên 3 chiu.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Chú ý Vector ngu nhiên n  chiu (X 1 , X 2 , ..., X n )  là liên tc hay ri rc nu tt c các bin ngu nhiên thành phn là liên tc hay ri rc.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Chú ý Vector ngu nhiên n  chiu (X 1 , X 2 , ..., X n )  là liên tc hay ri rc nu tt c các bin ngu nhiên thành phn là liên tc hay ri rc.

III.2. Hàm phân b xác sut.

Đnh nghĩa hàm phân b xác sut bin ngu nhiên 2 chiu Xét hai s kin A = {X  < x } và B  = {Y  < y }  khi đó hàm phân b xác sut ca bin ngu nhiên hai chiu đưc xác đnh: F (x , y ) = P (AB ) = P (X  < x , Y  < y ), ∀x , y  ∈ R

Đây là mt hàm thc hai bin và v mt hình hc ta có th biu din tp xác đnh ca F {x , y }  bng các đim trên mt phng ta đ Đ - các.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Tính cht hàm phân b xác sut 1) 0 ≤ F (x 1 , x 2 , ..., x n ) ≤ 1 2) x lim F (x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, k  ∈ {1, 2, ..., n} →∞ k 

3)

lim

(x 1 ,x 2 ,..,x n )→(∞,∞,...,∞)

F (x 1 , x 2 , ..., x n ) = 1

4) F (x 1 , x 2 , ..., x n )  không gim theo tng bin. 5) x lim F (x 1 , x 2 , ..., x n ) = P {X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , ..., X n ≤ x n } →∞ k 

6) y lim F (x , y ) = P {X  < x } = F X (x ); →∞ lim F (x , y ) = P {Y  < y } = F Y (   y )  là các phân phôi ca riêng tng x →∞ thành phn X  và Y  tương ng; chúng đưc gi là các phân phi biên ca bin hai chiu (X , Y ). Đó cũng chính là các phân phôi (mt chiu) thông thưng ca X  và Y 

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Tính cht hàm phân b xác sut 7) Vi x 1 ≤ x 2 , y 1 ≤ y 2  ta luôn có P (x 1 ≤ X  < x 2 ; y 1 ≤ Y  < y 2 ) = F (x 2 , y 2 ) − F (x 2 , y 1 ) − F (x 1 , y 2 ) +  F (x 1 , y 1 ) Đó chính là xác sut đ đim ngu nhiên (X , Y )  rơi

nht ABCD (xem hình v sau)

vào min ch

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.3. Bng phân b xác sut ca vector ngu nhiên ri rc hai chiu. Bng phân b xác sut đng thi.  Chương 1 ta đã bit ti khái nim s đc lp ca 2 bin c nu tha mãn P (AB ) = P (A)P (B )

Tương t vi đnh nghĩa s đc lp ca 2 bin c ta có khái nim s đc lp ca 2 bin ngu nhiên.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.3. Bng phân b xác sut ca vector ngu nhiên ri rc hai chiu. Bng phân b xác sut đng thi.  Chương 1 ta đã bit ti khái nim s đc lp ca 2 bin c nu tha mãn P (AB ) = P (A)P (B )

Tương t vi đnh nghĩa s đc lp ca 2 bin c ta có khái nim s đc lp ca 2 bin ngu nhiên.

1. Khái nim đc lp ca 2 bin ngu nhiên Hai bin ngu nhiên X  và Y  đưc gi là đc lp nu F (x , y ) = F X (x )F X (y )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU 2. Phân phi xác sut ca bin ngu nhiên ri rc 2 chiu

Bng phân phi xác sut ca bin ngu nhiên ri rc 2 chiu Trong đó p ij  = P (X  = x i ; Y  = y i )  là xác sut đng thi đ  X  ly giá tr x i  và y  j . Bng này có th vô hn khi m, n → ∞.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU

Bng phân b xác sut biên

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha 1 Cho bng phân phi đng thi ca 2 bin ngu nhiên X  và Y 

Tìm bng phân phi biên ca xác sut và sau đó tính F (2, 3)

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Hưng dn gii Ly tng hàng và tng ct tương ng ca bng s, ta có các phân phi biên cn tìm.

  Tính F (2 3) = P  = P   +  P  ,

x i <2 y i <3

ij 

11

12 = 0.10 + 0.25  =  0.35

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha 2 Có hai hp, mi hp đng 6 viên bi. Hp I có 1 viên bi s 1, 2 viên bi s 2 và 3 viên bi s 3. Hp II có 2 viên bi s 1, 3 viên bi s 2 và 1 viên bi s 3. Rút ngu nhiên t mi hp ra mt viên bi. Gi X  và Y  ln lưt là s ghi trên viên bi rút t hp I và II. Hãy lp bng phân b xác sut đng thi ca X  và Y  .

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha 2 Có hai hp, mi hp đng 6 viên bi. Hp I có 1 viên bi s 1, 2 viên bi s 2 và 3 viên bi s 3. Hp II có 2 viên bi s 1, 3 viên bi s 2 và 1 viên bi s 3. Rút ngu nhiên t mi hp ra mt viên bi. Gi X  và Y  ln lưt là s ghi trên viên bi rút t hp I và II. Hãy lp bng phân b xác sut đng thi ca X  và Y  .

Hưng dn gii

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU 3.Xác sut có điu kin ca bin ngu nhiên 2 chiu ri rc Gi s Y  ly mt giá tr c đnh nào đó và ta mun quan tâm đn lut phân phi xác sut ca X  có b nh hưng không. Theo công thc xác sut có điu kin  chương 1 ta có: P (X  = x i , Y  = y k ) , i  = 1, n P (X  = x i |Y  = y k ) = P (Y  = y k )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU 3.Xác sut có điu kin ca bin ngu nhiên 2 chiu ri rc Gi s Y  ly mt giá tr c đnh nào đó và ta mun quan tâm đn lut phân phi xác sut ca X  có b nh hưng không. Theo công thc xác sut có điu kin  chương 1 ta có: P (X  = x i , Y  = y k ) , i  = 1, n P (X  = x i |Y  = y k ) = P (Y  = y k )

Ví d minh ha Tìm phân phi có điu kin ca X   bit rng Y  = 1 trong Ví d minh ha 1

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Hưng dn gii 0, 10 P (X  = 1, Y  = 1) p 11 = = = 0, 4 0, 25 P (Y  = 1) P 2 (1) 0, 15 P (X  = 2, Y  = 1 p 21 = = = 0, 6.  Ta P (X  = 2|Y  = 1) = 0, 25 P (Y  = 1) P 2 (1) phân b xác sut có điu kin ca X  khi Y  = 1 là: P (X  = 1|Y  = 1) =

có bng

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU 4. Phân phi xác sut ca bin ngu nhiên 2 chiu liên tc Nu hàm phân phi F (x , y )  ca bin hai chiu (X , Y )  có dng:

    x 

F (x , y ) =

y 

f   (u , v )dvdv 

−∞ −∞

Trong đó f   (x , y )  đưc gi là hàm mt đ đng thi ca X  và Y . V mt hình hc hàm f   (x , y )  có th xem như là mt cong trong R3 và đưc gi là mt phân phi xác sut.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Tính cht hàm mt đ ca bin ngu nhiên 2 chiu liên tc 1) f   (x , y ) ≥ 0

  2) f   (x  y )dxdy  = 1   3) P  [(X  Y ) ∈ D] = f   (x  y )dxdy  trong đó D  là min thuc Oxy  +∞

,

−∞

,

,

D

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Tính cht hàm mt đ ca bin ngu nhiên 2 chiu liên tc 1) f   (x , y ) ≥ 0

  2) f   (x  y )dxdy  = 1   3) P  [(X  Y ) ∈ D] = f   (x  y )dxdy  trong đó D  là min thuc Oxy  +∞

,

−∞

,

,

D

Hàm mt đ biên ca bin (X 

  f   (x ) = f   (x  y )dy    f    (y ) = f   (x  y )dx  +∞

,

X 

−∞ +∞

,

Y 

−∞

,

Y  )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha Tìm các hàm mt đ biên ca bin (X , Y )  có hàm mt đ hai chiu 1 f   (x , y ) = 2 , x , y  ∈ R 2 2 π (1 +  x  )(1 +  y  )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha Tìm các hàm mt đ biên ca bin (X , Y )  có hàm mt đ hai chiu 1 f   (x , y ) = 2 , x , y  ∈ R 2 2 π (1 +  x  )(1 +  y  )

Hưng dn gii

 

Áp dng đnh nghĩa ta có: 1 +∞ 1 1  Tương t ta có f  X (x ) = 2 dy  = 2 2 2 π −∞ (1 +  x  )(1 +  y  ) π (1 +  x  ) 1 f  Y  (y ) = π (1 +  y 2 )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Chú ý Ta cũng đnh nghĩa tương t s đc lp ca 2 bin ngu nhiên liên tc nu tha mãn: f   (xy ) = f   (x )f   (y )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Chú ý Ta cũng đnh nghĩa tương t s đc lp ca 2 bin ngu nhiên liên tc nu tha mãn: f   (xy ) = f   (x )f   (y )

Đnh nghĩa hàm mt đ có điu kin Nu mt đ đng thi ca X  và Y  không bng tích các mt đ biên f  1 và f  2 , ta nói X  và Y  không đc lp. Trong trưòng hp đó có th đưa vào khái nim hàm mt đ có điu kin ca thành phn X  bit Y  = y , ký hiu là :

 

f   (x , y ) f   (x , y ) = +∞ ϕ(x |y ) = f  Y  (y ) f   (x , y )dx  −∞

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.4. Các tham s đc trưng ca bin ngu nhiên. III.4.1. Kỳ vng và phương sai ca các bin ngu nhiên 2 thành phn. Các bin X  và Y  đã có các s đc trưng quan trng là kỳ vng và phương sai.  đây ta nhc li kt qu đã bit có đ ý đn các khái nim mi  chương này, các công thc ch vit cho bin X , đôi vi Y  hoàn toàn tương t.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.4. Các tham s đc trưng ca bin ngu nhiên. III.4.1. Kỳ vng và phương sai ca các bin ngu nhiên 2 thành phn. Các bin X  và Y  đã có các s đc trưng quan trng là kỳ vng và phương sai.  đây ta nhc li kt qu đã bit có đ ý đn các khái nim mi  chương này, các công thc ch vit cho bin X , đôi vi Y  hoàn toàn tương t.

Trưng hp ri rc

 EX  = x  p (x  ) ; n

i =1

i 

i 

VX  = E X 2 − (EX )2 ;

 EY  = y  p (y  ) m

 j =1

 j 

 j 

VY  = E Y 2 − (EY )2

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Trưng hp liên tc

  xf   (x )dx  = +∞

EX

X 

−∞

VX  = E X 2 − (EX )2

  y f    (y )dy  = +∞

EY

Y 

−∞

VY  = E Y 2 − (EY )2

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Trưng hp liên tc

  xf   (x )dx  = +∞

EX

X 

EY

−∞

VX  = E X 2 − (EX )2

  y f    (y )dy  = +∞

Y 

−∞

VY  = E Y 2 − (EY )2

III.6.2. Hip phương sai.

Đnh nghĩa hip phương sai Hip phương sai ca hai bin ngu nhiên X , Y  ký hiu là cov   , là kỳ vng toán ca các tích sai lch ca hai bin ngu nhiên đó vi kỳ vng toán ca chúng: cov (X , Y ) = E [(X  − EX )(Y  − EY )]

  1) Nu X  Y  ri rc ta có EXY  = i  = 1 x  y  p   (x  y  )     xyf    (x  y )dxdy  2) Nu X  Y  liên tc ta có EXY  = m

,

 j =1

n

i   j  XY 

+∞ +∞

,

X ,Y 

−∞ −∞

,

i ,  j 

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU

Tính cht hip phương sai 1) cov (X , Y ) = cov (Y , X ) 2) cov (X , X ) = DX  3) cov (aX  + c ; bY  + d ) =  abcov (Y , X )  vi mi hng s a, b , c , d  4) Nu X , Y  đc lp cov (X , Y ) = 0 nhưng điu ngưc li chưa chc đã đúng.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.6.3. H s tương quan.

Đnh nghĩa h s tương quan H s tương quan ca hai bin ngu nhiên X , Y , đưc ký hiu và đnh nghĩa bi công thc: ρx ,y 

=

cov (X , Y ) σX σY 

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU III.6.3. H s tương quan.

Đnh nghĩa h s tương quan H s tương quan ca hai bin ngu nhiên X , Y , đưc ký hiu và đnh nghĩa bi công thc: ρx ,y 

=

cov (X , Y ) σX σY 

Ý nghĩa h s tương quan H s tương quan đo mc đ ph thuc tuyn tính gia X  và Y . Khi |ρX ,Y  |  càng gn 1 thì tính cht quan h tuyn tính càng cht, khi |ρX ,Y  | càng gn 0 thì s ph thuc tuyn tính càng ít.

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha 1 Cho bng phân phi xác sut đng thi ca X , Y  như sau:

a)  Lp bng phân phi thành phn X  và Y  b)  Lp bng phân phi xác sut có điu kin X ,Y  c)   Tính cov (X , Y )

CHƯƠNG 3. BIN NGU NHIÊN 2 CHIU Ví d minh ha 2 Các đi lưng ngu nhiên X  và Y  có bng phân phi xác sut đng thi như sau:

a)  Chng minh rng X và Y đc lp. b)  Lp bng phân phi xác sut ca Z  = XY . T đó tính E (Z )  và kim tra E (Z ) = E (X )E (Y )