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chapitre1
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cours RÉHABILITATION ET MAINTENANCE DES BÂTIMENTS Chapitre 4Description complète
Chapitre IV: Système à plusieurs degrés de liberté
Pour 1 DDL on a une équation du mouvement
Pour +eurs DDL on a autant d’équation du mouvement
Chargement dynamique
Chargement dynamique quelconque
Excitation à la base (cas du séisme)
Définition C’est un système qui a N possibilités de déplacement c’est-à-dire
Equation du mouvement F(t) est équilibrée par les forces de rigidité, d’amortissement et d’inertie
L’équilibre nous donne :
DDL 1 : ……..
……………………………………….
DDL j : ……..
……………………………………….
……..
……………………………………….
DDL N :
Sous forme matricielle :
Vecteur de rigidité
Vecteur d’amortissement
Détermination des vecteurs a) Détermination du vecteur de rigidité
Vecteur d’inertie ou de masse
Sous forme matricielle
Sous forme compacte
Vecteur de rigidité rigidit é
matrice de rigidité rigidit é
Vecteur de déplacement déplacem ent
: valeur d’une force crée au nœud i par un déplacement au nœud j et les autres
déplacements sont nuls.
b) Détermination du vecteur d’amortissement
Vecteur d’amortissement
matrice d’amortissement
Vecteur de vitesse
: valeur d’une force d’amortissement crée au nœud i par une vitesse au nœud j et
les autres vitesses sont nulles.
c) Détermination du vecteur d’inertie
Vecteur d’inertie
matrice d’inertie ou
Vecteur d’accélération
de masse : valeur d’une force d’inertie crée au nœud i par une accélération unitaire au nœud j et les autres accélérations sont nulles.
Équation de mouvement de ce système non dissipatif à 3 degrés de liber té :
En appliquant la 2 ème loi de Newton : (1a)
(1b)
(1c) Les forces élastiques en fonction des déplacement :
(2a) (2b) (2c)
En remplaçant les équations (2) dans les équations (1) on aura : (3a) (3b) (3c)
On peut écrire le système précédent (3) sous forme matricielle matricielle et on aura :
(4)
Sous forme condensée :
(5)
Équation de mouvement mouvement de ce système dissipatif à 3 degrés de liberté liber té :
Modes propres de vibration …………… (1)
En remplaçant la solution et la deuxième dérivée de la solution dans l’équation du
mouvement (1), on aura :
On pose :
Cette solution est triviale correspondant à aucun mouvement et ne nous intéresse pas
Cette solution est non triviale et elle n’est possible que si
le déterminant déterminant de [ A ] est nul Il faut que :
avec :
On connait les valeurs de
et
En développant ce déterminant, on obtient une équation polynômiale de degré N en Pour un système à N degrés de liberté.
Les N racines de cette équation sont les pulsations propres, appelées plus fréquemment fréquences naturelles du système qui sont associées chacune à un vecteur modal ou mode propre de vibration du système. Les racines sont des valeurs positives et on les classe du plus petit vers le plus grand c’est è dire l’ordre croissant croissant :
On peut alors former une matrice des fréquences :
Première pulsation propre
première période
fondamentales
Période grande c’est-à-dire le temps de retour à la position initiale grand la vitesse faible structure souple. Période petite c’est-à-dire le temps de retour à la position initiale petit la vitesse grande structure rigide.
Lorsqu’on a déterminé les pulsations naturelles, on peut les substituer à tour de rôle dans l’équation :
pour obtenir chaque mode de vibration
On a N valeurs de donc N vecteur de {}
Il est important de noter que chaque vecteur vecteur absolue, car seule sa forme est déterminée. déterminée.
ne possède pas de valeur
En fait, les pulsations naturelles ou propres représentent des valeurs propres alors que les modes de vibration représentent des vecteurs propres de l’équation
Comme les modes de vibration ne possèdent pas de valeurs absolues, on doit toujours les normaliser. On peut poser le premier (ou le dernier) élément de chaque mode égal à l’unité.
Une autre façon de normaliser un mode On normalise chaque élément de sorte que :
, réside dans la matrice de masse.
(0)
Les modes propres d’une structure présentent la propriété fondamentale d’être
orthogonaux. Cette propriété propriété permet de reformuler les équations couplées du mouvement d’un
système à n inconnues en n équations découplées.
Pour chaque mode de vibration
on a :
ou bien :
On pose cette équation pour deux modes différents
et
(r s)
(1) (2) On multiplie équation (1) par
, on aura :
(3)
On calcule la transposée de l’équation ( 2) et on multiplie multiplie l’équation l’équation (2) par
On obtient alors : Les matrices de masse et de rigidité sont symétriques :
(4)
En soustrayant l’équation (4) de l’équation (3) , on obtient :
Puisque les modes sont différents :
On doit conclure que pour r s : et
On dit alors que les modes de vibration sont normaux (ou orthogonaux) par rapport aux matrices de masse et de rigidité.
Ces conditions d’orthogonalité seront très utiles pour :
- Simplifier l’analyse modale - Permettre de vérifier l’exactitude des calculs des modes de vibration.
De plus, si tous les modes de vibration vibr ation sont normalisés par rapport à la matrice de masse (équation (0) , nous aurons :
(5) Où
est la matrice identité.
Nous aurons aussi :
(6)
Si les relations (5) et (6) sont satisfaites, on dit que les modes sont orthogonaux. or thogonaux.
Excitation à la base (problème sismique)
Soit un système modélisé non amorti à 2 degrés de liberté
Sous forme matricielle :
Sous forme condensée : Si on intègre l’amortissement visqueux au modèle, on introduit la matrice d’amortissement [c] et l’équation précédente précédente devient :
Pour déduire le système d’équations du mouvement sous excitation à la base (cas
du séisme), nous considérons le même système à 2 degrés de liberté soumis à un déplacement de sa base .
Sous forme matricielle :
Sous forme condensée :
Si on introduit l’amortissement visqueux dans le modèle, on obtient :
: Accélération absolue à la base : vecteur de couplage dynamique
Le vecteur de couplage dynamique r relie la direction du mouvement à la base avec la direction de chaque degré de liberté lorsque la structure s tructure se déplace comme un corps rigide. En général, ce vecteur est composé de 1 et 0.
Il est à noter que l’équation
est identique à l’équation
Sauf en ce qui concerne le vecteur de chargement dynamique, F(t) remplacé par un vecteur de chargement dynamique fictif :
