CAPÍTU CAPÍTULO LO 3. LA LINEA LINEA RECTA RECTA
Capítu apítulo lo 3 LA LINE INEA REC RECT TA GRUPO 9 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1; 5) y tiene de pendiente 2. Solución .
y
y = m (x x ) 1
1
sustituyendo
5
y
2x
= 2 (x
y+3
= 0
1)
2. Halla Hallarr la ecuación ecuación de la recta que pasa por el punto punto A ( 6; 3) y 3) y tiene un o ángulo de inclinación de 45 .
Solución . La pendiente para un ángulo de inclinación de 45 o es m = 1.
y
y = m (x x ) 1
1
sustituyendo = 1 (x y+4 = 0 y x
5
1)
3. Hallar Hallar la ecuación ecuación de la recta cuya pendiente pendiente es el eje y es 2.
3 y cuya intersección con
Solución . Aplicando la forma de la ecuación y = mx + b, sustituyendo
y =
y
3x 2 4 3 2 1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1
8 x
-2 -3 -4
4. Hallar la ecuación de la recta recta que pasa por los dos puntos puntos A (4; 2) y 2) y B ( 5; 7). 7).
y = xy yx (x x ), sustituyendo 72 y 2= 5 4 (x 4)
Solución . Aplicando la forma y
2
1
2
1
1
1
simpli…cando 5x + 9 y
38 = 0
GRUPO 9
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1
x
5. Los vértices vértices de un cuadrilátero cuadrilátero son A (0; 0), 0), B (2; 4), 4), C (6 (6; 7), 7), D (8; 0). 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. Solución . La ecuación del lado AB :
y
simpli…cando
0 = 24 00 (x 0) 2x
la ecuación del lado BC : y
simpli…cando
4 = 67 42 (x 2) 3x
la ecuación del lado CD : y
simpli…cando
y = 0
4y + 10 = 0
7 = 80 76 (x 6) 2y
14 7x + 2y 56
=
7x + 42
= 0
la ecuación del lado AD : y
simpli…cando
0 = 80 00 (x 0) y = 0
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-4
-2
0 -1
2
4
6
8
10
12 x
GRUPO 9
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1
x
5. Los vértices vértices de un cuadrilátero cuadrilátero son A (0; 0), 0), B (2; 4), 4), C (6 (6; 7), 7), D (8; 0). 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. Solución . La ecuación del lado AB :
y
simpli…cando
0 = 24 00 (x 0) 2x
la ecuación del lado BC : y
simpli…cando
4 = 67 42 (x 2) 3x
la ecuación del lado CD : y
simpli…cando
y = 0
4y + 10 = 0
7 = 80 76 (x 6) 2y
14 7x + 2y 56
=
7x + 42
= 0
la ecuación del lado AD : y
simpli…cando
0 = 80 00 (x 0) y = 0
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-4
-2
0 -1
2
4
6
8
10
12 x
CAPÍTU CAPÍTULO LO 3. LA LINEA LINEA RECTA RECTA
6. Lo Loss segmen segmentos tos que una recta recta determ determina ina sobre sobre los eje x y y son 2 y respectivamente. Hallar su ecuación. Solución . Aplicando la forma de la ecuación
x
2
+
y
( 3)
3,
x y + = 1, sustituyendo a b
=1
simpi…cando 3x y
2y 6 = 0
4 3 2 1 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1
x
-2 -3 -4 -5 -6
7. Una recta recta pasa por los dos punto puntoss A ( 3; 1) y 1) y B (2; 6). 6). Hallar su ecuación en la forma simétrica.
Solución . Dada la forma de la ecuación simétrica
por esos puntos, sustituyendo
8>< >:
3
x y + = 1. Como pasa a b
1 = 1 a b 2 6 + =1 +
a
b
Resolviendo el sistema, tenemos que: a = x
+
4 y b = 4, sustituyendo
y
4 4 = 1 =) x + y + 4 = 0 1 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 0
y 1
2
3
4
x 5
-1 -2
-3
-4
-5 -6
-7
8. Una recta de pendiente pendiente en la forma simétrica.
2 pasa por el punto A (1; 4). 4). Hallar su ecuación
GRUPO 9 Solución . Aplicando la forma y
y = m (x x ), sutituyendo y 4 = 2 (x + 1) 2x + y = 2 (2) x
+
1
1
y
1
= 1
2 y
3
2
1
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
-2
-3
9. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A ( 3; 2), B (1; 6).
10. Una recta pasa por el punto A (7; 8) y es paralela a la recta C ( 2; 2) y D (3; 4). Hallar su ecuación.
Solución . Aplicando la forma de la ecuación y
sustituyendo y
y
=
1
y2 x2
y x
1 1
(x
x ), 1
8 = 34+22 (x 7)
simpli…cando 6x + 5 y y
82 = 0
17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0
-16 -14 -12 -10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2.5
16 x
-5
11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 2; 4), y determinar sobre el eje x el segmento 9.
Solución . Al determinar sobre el eje x un segmento
9, esto quiere decir y y que pasa por el punto (9; 0). Utilizando la forma y y = (x x ), x x sustituyendo 04 ( x + 2) y 4= 2
1
2
1
1
9+2
1
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
simpli…cando 4x
7y + 36 = 0 7
y
6 5 4 3 2 1 0 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2
12. Demostrar que los puntos A ( 5; 2), B (1; 4) y C (4; 5) son colineales hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de estos puntos.
Solución . Hallamos la ecuación de la recta
y
2 = 14 + 52 (x + 5)
simpli…cando x
3y + 11 = 0 y
7 6 5 4 3 2 1 0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
7 x
-2
13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y 15 = 0.
Solución . Hallamos los puntos de intersección con los ejes
Para:
y = 0 x = 0
= =
) )
x = 3 y = 5
= =
supendiente m1 =
5 0
por condición de perpendicularidad
0 = 5 3 3
m2 =
3 5
) )
P 1 (3; 0) P 2 (0; 5)
GRUPO 9
el punto medio entre P 1 y P 2 P
3 5 ; 2 2
la recta que cumple estas condiciones m2 y P , es y
25 = 53
3 2
x
simpli…cando 3x
5y + 8 = 0 y
6 5 4 3 2 1 0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
8 x
-2 -3
Los ejercicios 14-21 se re…eren al triángulo cuyos vértices son A ( 2; 1), B (4; 7) y C (6; 3).
14. Hallar las ecuaciones de los lados. Solución . La ecuación del lado AB :
y
1 = 47 + 21 (x + 2) =) 6x 6y + 18 = 0:
La ecuación del lado BC : y
7 = 6347 (x 4) =) 10x + 2y 54 = 0:
La ecuación del lado AC : y
1 = 63+21 (x + 2) =) x + 2y = 0 8
y
7 6 5 4 3 2 1 0 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 1 -1 -2 -3 -4
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC . Solución . Sustituyendo
y
1 = 6347 (x + 2) =) 10x + 2y + 18 = 0 8
y
7 6 5 4 3 2 1 0 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 1 -1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
-2 -3 -4
16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan al lado opuesto AC . Solución . Hallamos el punto de trisección P 1 :
8>< >:
AP 1 x ( 1 = = 2 6 P 1 B 1 AP 1 y = = P 1 B 2 3
2) x1 =) P y
1
2 ; 3
1 3
la ecuación de la recta BP 1 :
13 7 (x 4) =) y7= 2 4 3
11x
5y 9 = 0
Hallamos el punto de trisección P 2 :
8>< >:
AP 2 x ( = 2= 6 P 2 B AP 2 y = 2= 3 P 2 B
2) x1 =) P y
1
10 ; 3
5 3
la ecuación de la recta BP 2 :
53 7 (x 4) =) y7= 10 4 3
13x
y 45 = 0
GRUPO 9
y
8
B
7 6 5 4 3
A
2 1 0
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 1 -1
P 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
P 2
-2
C
-3 -4
17. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los vértices A, B y C y son paralelas a los lados opuestos. Solución . Sea los puntos A ( 2; 1), B (4; 7) y C (6; y2 y1 forma y y1 = (x x1 ) x2 x1
3). Sustituyendo en la 3 7 (x + 2) =) 10x + 2y + 18 = 0 L : y1= 64 3 + 2 (x 4) =) x + 5y 39 = 0 L : y7= 61 71 L : y + 3 = (x 6) =) x y 9 = 0 4+2 El primer punto de intersección L \ L , resolviendo el sistema 7 17 10x + 2y + 18 = 0 =) P ; x + 5y 39 = 0 2 2 el segundo punto de intersección L \ L , resolviendo el sistema x + 5y 39 = 0 =) P (14; 5) xy9= 0 el tercer punto de intersección L \ L , resolviendo el sistema 10x + 2y + 18 = 0 =) P (0; 9) xy9= 0 1
2
3
1
2
1
2
3
2
1
3
3
y
P 1
L2
8
P 2
6 4 2 0 -14
-12
-10
-8
-6
-4
L1
-2
0
-4 -6 -8 -10
2
4
6
8
L3
-2
P 3
10
12
14 x
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
18. Hallar las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección. Este punto se llama baricentro. Solución . Sea los puntos A ( 2; 1), B (4; 7) y C (6;
P 1 (1; 4) , P 2 (5; 2) y P 3 (2;
3). Los puntos medios
1)
las rectas
1 = 52 + 21 (x + 2) =) x 7y + 9 = 0 1 7 (x 4) =) 4x y 9 = 0 y7= 24 4+3 (x 6) =) 7x + 5y 27 = 0 y + 3 = 16
L1
: y
L2
:
L3
:
las coordenadas del punto de intersección G
2 + 4 + 6 1 + 7 ; 3 3 y
3
8 5 ; 3 3
= G
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
-2 -3 -4
19. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de intersección. Este punto se llama circuncentro. Solución . Sea los puntos A ( 2; 1), B (4; 7) y C (6;
3). Del anterior ejercicio P (1; 4) , P (5; 2) y P (2; 1)
los puntos medios
1
2
3
las pendientes de los lados m1 m2 m3
7 1 = 1 = m01 = 1 4+2 3 7 1 = = 5 = m02 = 6 4 5 3 1 1 0 = = m = 2 6+2 2 3 =
) )
las ecuaciones de las mediatrices L1
: y
1 = 1 (x 4) =) x + y 5 = 0 1 y 2 = ( x 5) =) x 5y + 5 = 0 5 y + 1 = 2 (x 2) =) 2x y 5 = 0
L2
:
L3
:
GRUPO 9
De L1
\L
2
P
y
10 5 ; 3 3 8 7 6 5 4 3 2 1 0
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
-2 -3 -4
20. Hallar las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Este punto se llama ortocentro. Solución . Sea los puntos A ( 2; 1), B (4; 7) y C (6;
las pendientes m1 m2 m3
3). Del anterior ejercicio
7 1 = 1 = m01 = 1 4+2 3 7 1 = = 5 = m02 = 6 4 5 3 1 1 0 = = m = 2 6+2 2 3
=
) )
las ecuaciones de las alturas L1
: y + 3 =
1 (x 6) =) x + y 3 = 0 1 y 1 = ( x + 2) =) x 5y + 7 = 0 5 y 7 = 2 (x 4) =) 2x y 1 = 0 x+y3=0 x 5y + 7 = 0
L2
:
L3
:
O y
4 5 ; 3 3
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
21. Hallar las coordenadas del pie de la altura correspondiente al lado AC . A partir de estas coordenadas hállese la longitud de la altura y luego el área del triángulo. Solución . Sea los puntos A ( 2; 1), B (4; 7) y C (6; L2 y AC : 2x y 1 = 0 x + 2y = 0
3). La ecuación del lado
resolviendo este sistema, el punto D, tiene por coordenadas: D
2 ; 5
1 5
la longitud del segmento BD : BD =
y el lado AC :
s q p p 4
AC =
el área está dado por
2
2 5
(6 + 2)2 + ( 3
AABC =
2
1 + 7+ 5
1 4 5 2
=
p
18 5 5
p
1)2 = 4 5
18 5 = 36 5
8
y
B
7 6 5 4 3
A
2 1 0
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 1 -1
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
-2
C
-3 -4
22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3 x 2y + 9 = 0.
Solución . Resolviendo el sistema
2x + y 8 = 0 3x 2y + 9 = 0
la solución es: x = 1 y y = 6, sustituyendo la pendiente y este punto en la forma y y1 = m (x x1 )
y 6 = 4 (x 1) =) 4x + y 10 = 0
GRUPO 9
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
9 x
-2 -3
23. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x 8y +36 = 0, x+y 10 = 0, 3x 8y 19 = 0 y x+y +1 = 0. Demostrar que la …gura es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus vértices.
Solución . La demostración lo realizamos por sus pendientes
L1 : L2 : L3 : L4 :
3x 8y + 36 = 0 x + y 10 = 0 3x 8y 19 = 0 x+y+1=0
= = = =
) ) ) )
m1 = m2 = m3 = m4 =
3 8
1 1 3 8
podemos notar que m1 = m 3 y m2 = m 4 , luego las cuatro rectas forman un paralelogramo. Para el punto A :
Para el punto B :
Para el punto C :
Para el punto D :
3x
8y + 36 = 0 =) A (4; 3) x + y + 1 = 0
3x
8y + 36 = 0 =) B (4; 6) x + y 10 = 0
x + y 10 = 0 = 3x 8y 19 = 0
) C (9; 1)
3x
8y 19 = 0 =) D (1; 2) x + y + 1 = 0 y
7 6 5 4 3 2 1 0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
24. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x + 4y + 20 = 0. Solución . Hallamos los puntos de intersección con las coordenadas
Para:
x = 0 y = 0
el área está dado por
= =
y = 5 x = 4
) )
1 A = (4)( 5) = 10 2 y
3 2
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1 0 0
-1
1
2
3
4
5
x
6
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
25. Las coordenadas de un punto P son (2; 6), y la ecuación de una recta l es 4x + 3y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta l siguiendo en orden los siguientes pasos: a) Hallar la pendiente de l. b) Hallar la ecuación de la recta l0 que pasa por P y es perpendicular a l. c) Hallar las coordenadas de P 0 , punto de intersección de l y l0 . d) Hallar la longitud del segmento P P 0 . Solución . La pendiente de l :
m =
43 =) m
0
=
3 4
la ecuación de l0 y
la coordenada de l
6 = 43 (x 2) =) 3x 4y + 18 = 0
\l
0
:
4x + 3y = 12 = 3x 4y + 18 = 0
0
) P
6 108 ; 25 25
la longitud de P P 0 :
0
P P =
s 6 2+ 25
2
+ 6
108 25
2
=
14 5
GRUPO 9
7
y
6 5 4 3 2 1 0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
26. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A (7; 2). Calcular la abscisa de P .
Solución . Hallando la ecuación punto pendiente
y + 2 = 3 (x
7) =) 3x y 23 = 0
como el punto P pasa por la recta, entonces para y = 10 , x es 3x
y
10 23 = 0 =) x = 11
12
10
8
6
4
2 0 -2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 x
27. Determinar el valor de los coe…cientes A y B de la ecuación Ax de una recta, si debe pasar por los puntos C ( 3; 1) y D (1; 6).
By +4 = 0
Solución . Como la recta pasa por los puntos C y D, entonces cumplen
B + 4 = 0 =) A = 20 y B = 16 A 6B + 4 = 0 19 19 3A
sustituyendo 20 x 19
y + 4 = 0 =) 5x 4y + 19 = 0 16 19
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
y
7 6 5 4 3 2 1 0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
28. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x 7y +27 = 0, 9x 2y 15 = 0 y 4 x + 5y + 11 = 0. Hallar sus ángulos y comprobar los resultados.
Solución . Las pendientes
7y + 27 = 0 =) m = 75 9 9x 2y 15 = 0 =) m = 2 4 4x + 5y + 11 = 0 =) m = 5
L1
: 5x
1
L2
:
2
L3
:
3
El ángulo A :
mA
=
1+
mB
5 7
4 5
5 7
9 2
= 1+
mC =
1+ comprobando
4 5
5 7
9 2 4 5
9 2
b b b
53 = 15
b
o
) A = 74;20
53 = 59
=
5 7 9 2
4 5
=
b
o
) B = 41;93
=
53 = 26
b
o
) C = 63;87
A + B + C = 74;20o + 41;93o + 63;87o = 180o 7
y
6 5 4 3 2 1 0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1 -2 -3 -4
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
GRUPO 10
29. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determinar sobre el eje x el segmento a. Compárese este resultado con la ecuación de una recta conocida su pendiente y su ordenada en el origen, dada en el Artículo 27. Solución . Sea la pendiente m y el punto (a; 0), sustituyendo en la forma y y1 = m (x x1 ) y = m (x a)
30. Una recta pasa por los dos puntos A ( 1; 3) y B (5; 4). Escríbase su ecuación en forma de determinante. Verifíquese el resultado desarrollando el determinante.
Solución . Sea la ecuación en forma de determinante
1 1 3 1 5 4 1
x
y
GRUPO 10 Dibujar una …gura para cada ejercicio.
=0
1. Transformar la forma general de la ecuación de una recta a la forma simétrica. Establecer las restricciones a que deben estar sometidos los coe…cientes para permitir esta transformación. Solución . Sea la ecuación de la recta
Ax + By + C = 0 By Ax 1 C C x C A
y C B
si a =
+
1
C
= 0 = 1
C C y b = , sustituyendo A B x y + =1 a b x
6
+
y
8
=1
y
x
Si a = 0 es el eje y y si b = 0 es el eje x.
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
2. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coe…cientes de la forma general, que pasa por el punto ( 2; 4) y tiene una pendiente igual a 3.
Solución . Sea la ecuación de la recta
BA
Ax + By + C = 0 y m =
sustituyendo el punto y la pendiente se forma el sistema
( resolviendo el sistema A =
2A + 4B + C = 0
3 = BA
C 3 C y B = , sustituyendo en la ecuación general 2 2
3 C Cx + y + C = 0 2 2 3x + y + 2 = 0 y
4 3 2 1 0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1 -2 -3 -4
3. Hallar la ecuación de una recta, determinando los coe…cientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes x y y, es decir, sus intersecciones, son 3 y 5, respectivamente.
Solución . Sea la ecuación general de la recta
Ax + By + C = 0
y los puntos de intersección (3; 0) y (0; 5), sustituyendo se forma un sistema
resolviendo el sistema A =
3A + C = 0 5B + C = 0
C 3 y B = C 5 , sustituyendo en la ecuación general C 3 x + C 5 y + C 5x 3y 15
= 0 = 0
GRUPO 10
y
2 1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
6
x 7
-1 -2 -3 -4 -5 -6
4. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coe…cientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3 x 4y + 11 = 0 y pasa por el punto ( 1; 3).
Solución . Sea la ecuación general de la recta
Ax + By + C = 0
y el punto ( 1; 3) y la pendiente perpendicular la recta dada m = sustituyendo A 3B + C = 0 A 4 = 3 B 4 3 resolviendo el sistema A = C y B = C , sustituyendo 13 13
(
43 ,
4 3 Cx + Cy + C = 0 13 13 4x + 3y + 13 = 0 3
y
2 1 0 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4 x
-2 -3 -4 -5
5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k la recta 4 x + 3y + 7 = 0.
1) y 18 = 0 sea paralela a
Solución . Por condición de paralelismo
k k 1 = 43 donde k = 4. 4x + 3 y
18 = 0
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
y
7
6
5 4
3
2
1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 x
-1
6. Determinar el valor de k para que la recta k2 x + (k + 1) y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x 2y 11 = 0.
Solución .
k2
k + 1 = 23 p
1 1 1 donde las constantes buscadas son: k1 = + 7 y k2 = 3 3 3 tuyendo las ecuaciones son:
31 p 7, susti-
( p p p p 1 1+
-12
-11
-10
-9
7 7
-8
2 2
x+3 4
x+3 4+
7 y + 27 = 0 7 y + 27 = 0
-6
-2
-7
-5
-4
-3
1 0 0
-1
y 1
2
3
x 4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
7. Hallar la pendiente e intersecciones de la recta 7 x
9y + 2 = 0.
Solución . La pendiente:
m =
7 9
Los puntos de intersección 7x
9y + 2 7x 9y x
2 7
+
y
2 9
= 0 =
2
= 1
12
GRUPO 10
pasa por los puntos
2 ;0 7
y
0;
y
2 9
3
2
1
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
-2
-3
8. Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intersecciones de la recta que pasa por el punto (2; 3) y es perpendicular a la recta 2 x 7y + 2 = 0.
Solución . Sea la ecuación de la recta: Ax + By + C = 0, su pendiente es la perpendicular a la recta 2x 7y + 2 = 0, esto es
72
m =
el ángulo de inclinación 1
= tan
7 2
= 105o 570
la recta que pasa por (2; 3) y pendiente dada
( donde A =
2A + 3B + C = 0 7 A = B 2
C 207 C y B = 10 , sustituyendo
7 C Cx y + C = 0 20 10 7x + 2y 20 = 0
20
C
las intersecciones con los ejes son y
20 ; 0 y (0; 10). 7
6
5
4
3
2
1 0 -4
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4
5
6
7
8 x
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
9. Determinar el valor de k para que la recta 4 x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 2 12 unidades cuadradas. Solución . Sea la ecuación de la recta 4x + 5 y + k = 0, llevando a la forma
simétrica
x y + =1 k k
4 5
como forma con los ejes coordenados un área, entonces 1 2 resolviendo k =
k
k
4
5
=
5 2
10, sustituyendo
4x + 5y + 10 = 0 4x + 5y 10 = 0
y
5 4 3 2 1 0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
6
7
8 x
-2 -3 -4 -5
10. En las ecuaciones ax + (2 b) y 23 = 0 y ( a 1) x + by + 15 = 0 hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (2; 3).
Solución . Para que pase las dos rectas por un mismo punto, entonces
2a 3 (2 2 (a 1)
b) 23 = 0 3b + 15 = 0
resolviendo el sistema: a = 4 y b = 7, sustituyendo
4x 5y 23 = 0 3x + 7y + 15 = 0
y
-7.5
-5
-2.5
0
-1.25 -2.5 -3.75 -5 -6.25 -7.5
0
2.5
5
x 7.5
GRUPO 10
11. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4; 1) y (7; 2) bisecta al segmento cuyos extremos son los puntos (8 ; 3) y ( 4; 3).
Solución . Sea la ecuación de la recta Ax + By + C = 0, que pasa por los puntos (4; 1) y (7; 2) 4A B + C = 0 7A + 2B + C = 0
resolviendo el sistema A =
C 5 y B = C 5 , sustituyendo
C 5 x + C 5 y + C xy5 y
= 0 = 0
5 4 3 2 1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1
12 x
-2 -3 -4 -5 -6
8>< >:
resolviendo el sistema
x
y5=0 y = 3
encontramos el punto de intersec-
ción: (2; 3), este punto bisecta al segmento (8
3) y ( 4; 3), esto es
4 =2 2 ) (2; 3) 33 = 3 y = x =
8
2
como vemos el punto medio del segmento y la interección de las rectas es el mismo. 12. Demostrar que las rectas L1 : 2x y 1 = 0, L2 : x 8y + 37 = 0, L3 : 2x y 16 = 0 y L 4 : x 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales.
Solución . Para demostrar que las rectas forman un paralelogramos su…ciente
con demostrar que las pendientes de los lados opuestos son iguales, esto es:
L3
: m1 = 2 : m3 = 2
L2
: m2 =
L1
y
L4
1 8 1 : m4 = 8
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
Para encontrar una diagonal hacemos la intersección de: 3
: (11; 6)
4
: (1; 1)
\L \L
L2 L1
hallamos la ecuación:
1 = 116 11 (x 1) ) x 2y + 1 = 0
y
la otra diagonal de la misma manera: L1 L3
2
: (3; 5)
4
: (9; 2)
\L \L
hallamos su ecuación y
y
2 = 35 29 (x 9) ) 3x + 6y 39 = 0 7 6 5 4 3 2 1 0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
13. Demostrar que las rectas 5 x y 6 = 0, x + 5y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.
22 = 0, 5 x y 32 = 0 y
Solución . Su…ciente con demostrar que los lados son iguales:
5x y 6 = 0 x + 5y 22 = 0
La solución es: [ x = 2; y = 4]
5x y x + 5y
32 = 0 22 = 0
La solución es: [ x = 7; y = 3]
La solución es: [ x = 6; y =
13 x
5x y 32 = 0 x + 5y + 4 = 0
2]
5x y 6 = 0 x + 5y + 4 = 0
GRUPO 10
La solución es: [ x = 1; y = L = L = L = L =
: y
1]
q q q q
2
(6
1) (7 2) (2 1) (7 6)
2
p 26 p = 26 p = 26 p
+ ( 2 + 1)2 =
+ (3 4)
2
2
+ (4 + 1)2
2
+ (3 + 2)2 =
26
5 4 3 2 1 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
12 x
-2 -3 -4
14. Demostrar que los ángulos suplementarios formados por las dos rectas Ax + By + C = 0 y A0 x + B 0 y + C 0 = 0 están dados por las fórmulas tan =
A0 B AB 0 AA0 + BB 0
Solución . La pendiente de ambas rectas 0
m1 =
BA y m = BA 2
0
el ángulo entre dos rectas tan = 1+
A0 A + B0 B A0 A B0 B
0
=
AB AAAB BB 0+
0
0
y el otro ángulo suplermentario tan = 1+
A A0 + 0 B B 0 A A 0 B B
=
A0 B AB 0 AA0 + BB 0
15. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x 9y +11 = 0 y 3x +2 y 7 = 0. 3 4 Solución . La pendiente m1 = y m2 = , sustituyendo 2 9 4 3 + 35 9 2 = 80;27o tan = = 4 3 6 1+ 9 2
)
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
y
4
3
2
1
0 -5
-3.75
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
3.75
5 x
-1
-2
16. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2; 1) y que forman cada una un ángulo de 45 o con la recta 2 x 3y + 7 = 0.
Solución . Dado la fórmula del ángulo entre dos rectas tan = Caso 1. Donde m2 =
2 3
m
1
1 + m1
2 3
15 , sustituyendo en la forma punto - pendiente y + 1 =
Caso 2. Donde m1 =
15 (x 2) ) x + 5y + 3 = 0
2 , sustituyendo 3 m2
1=
23
2 1 + m2 3
resolviendo m2 = 5, sustituyendo en la forma punto - pendiente y + 1 = 5( x
2) ) 5x y 11 = 0 y
6 5 4 3 2 1 0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
6
7
8 x
m
1
1 + m1 m2
2 , = 45o , entonces tan45o = 1 sustituyendo 3 1=
donde m 1 =
m2
.
GRUPO 10
17. A partir del resultado del ejercicio 14, deducir las condiciones necesarias y su…cientes para el paralelismo y perpendicularidad de dos rectas, dadas en los apartados (a) y (b) del teorema 6, Artículo 30. Solución .
18. Si k es una constante cualquiera diferente de cero, demuéstrese que todo punto que esté sobre la recta Ax + B y + C = 0 también estará sobre la recta kAX + kBy + kC = 0. Por tanto, dedúzcase la condición necesaria y su…ciente para la coincidencia de dos rectas, dada en el apartado (c) del teorema 6, Artículo 30. 19. Por medio de determinantes obténgase la condición necesaria y su…ciente para que las dos rectas Ax + By + C y A 0 x + B 0 y + C 0 = 0 se corten en uno y solamente un punto, dada en el apartado (d) del teorema 6, Artículo 30. Sugestión: Véase apéndice IB.6. 20. Si tres rectas se cortan en un punto común, se dice que son concurrentes. Si las tres rectas A 1 x + B2 y + C 1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 = 0 y A 3 x + B3 y + C 3 = 0 son concurrentes, demuéstrese que sus coe…cientes satisfacen la condición
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C 1 C 2 C 3
=0
Solución . Si las tres rectas tienen un punto común, entonces la solución del
sistema:
es x =
y =
A1 x + B2 y + C 1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 = 0 C 1 C 2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
B1 B2 B1 B2
C C
1 2
B1 B2
=
B C + B C A B A B 2
1
=
1
1
2
2
2
1
A C + A C A B A B 1
1
2
2
2
2
1
1
esta solución debe satisfacer la tercera ecuación
A3 B1 C 2
B2 C 1 + B1 C 2 A3 A1 B2 A2 B1 A3 B2 C 1 + A2 B3 C 1
A1 C 2 + A2 C 1 + B3 + C 3 A1 B2 A2 B1 A1 B3 C 2 + A1 B2 C 3 A2 B1 C 3
= 0 = 0
ordenando A1 B2 C 3 + A2 B3 C 1 + A3 B1 C 2
A B C A B C A B C = 0 3
2
escribiendo en forma de determinante
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C 1 C 2 C 3
1
=0
1
3
2
2
1
3
CAPÍTULO 3. LA LINEA RECTA
21. Demostrar que las tres rectas 3x 5y +7 = 0, 2x +3 y 8 = 0 y 6x 7y +8 = 0 son concurrentes.
22. Demostrar analíticamente que las medianas de cualquier triángulo son concurrentes. 23. Demostrar analíticamente que las mediatrices perpendiculares a los lados en su punto medio en cualquier triángulo son concurrentes. 24. Demostrar analíticamente que las alturas de cualquier triángulo son concurrentes. 25. Los vértices de un triángulo son (1 ; 1), (4 ; 7) y (6 ; 3). Demostrar que el baricentro (punto de intersección de las medianas), el circuncentro (punto de intersección de las mediatrices) y el ortocentro (punto de intersección de las alturas) son colineales. 26. Demostrar analíticamente que el baricentro, circuncentro y ortocentro de cualquier triángulo son colineales. La recta que los une se llama recta de Euler. 27. Desde el punto (6; 0) se trazan perpendiculares a los lados 5x y 4 = 0, y = 1 y x y 4 = 0 de un triángulo. Demostrar que los pies de estas perpendiculares son colineales.
Solución . Sea las pendientes de las rectas:
) m = 15 0 ) m = 1 1 ) m = 1
m1
= 5
0
m2
=
0
m3
=
1 2 0
3
las perpendiculares a las rectas son: L01
: x + 5y
L02
: x 6=0 : x+y 6= 0
L03
6= 0
sea los puntos de intersección:
L1 : 5x y L01 : x + 5y
4= 0 6= 0 0
\ L : (1; 1) L : y 1 = 0 L : x 6 = 0 L \ L : (6; 1) L : x y 4 = 0 L : x + y 6 = 0 L \ L : (5; 1) L1
2
0
2
1
1
0
1
3 0
3
1
0
1