Cap. 03 Torsión.pdf

R E S

Después del estudio de este tema el alumno será capaz de:

I S

•

T E N C

Definir par de torsión.

Calcular los esfuerzos cortantes en un miembro estructural sometido a cargas de torsión. •

I A D E M

Calcular el ángulo de deformación torsional.

•

Especificar un diseño conveniente por esfuerzo de cortante.

•

De analizar los acoplamientos por medios de juntas bridas.

•

A T

Determinar la naturaleza de los esfuerzos cortantes longitudinales.

•

E R

•

I A L E

Analizar tubos de pared del delgada sometidos a torsión. t orsión.

Estudiar el comportamiento de secciones no circulares sometidas a torsión. •

INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS R E S I S T E N C I A

Un momento de torsión es aquel que tiende a hacer girar un miembro estructural respecto a su eje longitudinal, que tiende a torcerlo. Semejante carga se llama Par de Torsión, Momento de Torsión o Par. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria. T ´

D

T B

T

E M A

A

´

B A

T

T E R I A L E

Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular.

INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS R E S I S T E N C I A

Un momento de torsión es aquel que tiende a hacer girar un miembro estructural respecto a su eje longitudinal, que tiende a torcerlo. Semejante carga se llama Par de Torsión, Momento de Torsión o Par. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria. T ´

D

T B

T

E M A

A

´

B A

T

T E R I A L E

Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular.

INTRODUCCIÓN E HIPÓTESIS R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales. Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento momento torsor torsor,, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra.

ENSAYO DE TORSIÓ TORSIÓNN R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

Cuando una barra sujeta rígidamente en un extremo y sometida en el otro a un par T=Fd aplicado en un plano perpendicular al eje, se dice que esa barra esta sometida a torsión. El ensayo de torsión es un mecanismo en que se deforma una muestra aplicándole un par torsor.

ENSAYO DE TORSIÓ TORSIÓNN R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

ENSAYO DE TORSIÓN R E S

1. Medición del diámetro y largo iniciales de las probetas.

I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

2. Reconocer los componentes constitutivos de la máquina de torsión: Sistema de sujeción de la probeta, mordazas, sistema de accionamiento mecánico a través de un sinfín y corona, medidor de torque y registro del diagrama de esfuerzo cortante versus distorsión angular. 3. Calibración de la máquina y variables a controlar: Momento torsor y ángulo de torsión.

ENSAYO DE TORSIÓN R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

5. Ejecución del ensayo de torsión asistido por el profesor. Los alumnos registran las variables correspondientes en una tabla de valores. 6. Obtención del diagrama momento torsor versus ángulo de rotación para cada probeta.

TEORÍA DE LA TORSIÓN R E S I S T E N C I A D E M A T

Este tipo de carga es muy frecuente en ingeniería mecánica. Se da durante la transmisión de la rotación. Una turbina genera la rotación y la transmite al eje (o flecha) por medio de un momento torsor. El eje transmite la rotación (por medio de momento torsor) al generador con lo que se realiza algún trabajo.

E R I A L E

Fuerza interna en el eje será torsor, lo que producirá esfuerzos cortantes que actuarán en el plano perpendicular al eje.

TEORÍA DE LA TORSIÓN R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

Otro caso y tal vez el más simple en mecánica, lo vemos al realizar el par de apriete de un perno.

PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDAD R E S I S T E N C I

Par de Torsión o Torque

 =∗

La potencia está dada por el producto entre el torque y la velocidad de rotación:  =  ∗  En el SI, el Joule es la unidad estándar de la energía y es equivalente a Nm, que es la unidad estándar del Torque (1 J = 1 Nm).

A D E

La potencia es energía por unidad de tiempo, por lo que sus unidades en el SI serán:

M A T E R I A L E

El W es una unidad algo pequeña, por lo que se utiliza en la práctica el kW. 1 kW =1.000 W. La unidad estándar de rotación en el SI es rad/s (velocidad angular), por lo que la fórmula de potencia será:  = 

PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDAD R E S I S T E N

En el Sistema Inglés, las unidades características para el par de torsión, la velocidad de rotación y potencia son: T (lb*pg), n (rpm) y P (hp). Considerando que 1 hp = 6.600 (lb*pg / s) = 550 (lb*pie / s), las conversiones se unidades necesarias para garantizar la compatibilidad de las unidades son:

C I A D E M A T E R I A L E

En ocasiones se da a conocer la frecuencia de rotación de un eje, la cual es una medida del número de revoluciones o ciclos del eje por segundo y se expresa en Hertz (1 Hz = 1 ciclo /s), se debe considerar que 1 ciclo o 1 vuelta es igual a 2 rad.

TEORÍA DE LA TORSIÓN R E S I S T

Las condiciones del equilibrio exigen que los mismos esfuerzos cortantes se presentarán en los planos perpendiculares.

E N C I A D E M A T E R I A L E

Esto significa que además de esfuerzos cortantes en las secciones perpendiculares al eje, habrá también esfuerzos cortantes longitudinales. Esto se puede comprobar si se tuerce una barra que resiste menos esfuerzos cortantes longitudinales que los transversales (una pieza de madera con las fibras dirigidas a lo largo de la barra). Primeras grietas aparecerán a lo largo de la barra.

TEORÍA DE LA TORSIÓN R E S I S

Durante la torsión de una barra circular las secciones giran una con respecto a otra alrededor del eje longitudinal, permaneciendo planas y sus radios rectos.

T E N C

Por inspección se nota que el giro de una sección () con respecto a otra () depende de la magnitud del torque (T) y de la distancia entre ellas (L).

I A D E

Si se traza una línea longitudinal en la superficie de la barra circular antes de someterla a torsión, después del torque, la línea girará ángulo ; la cual será la deformación por esfuerzos cortantes.

M A T E R I A L E

  T   L

R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN Y ESFUERZOS CORTANTES EN ELEMENTOS DE SECCIÓN CIRCULAR





Considerando una parte interna del eje del radio r y trazando un rectángulo en la superficie de este segmento cilíndrico, después de someter el eje a torsión, el rectángulo se convertirá en un romboide. Se puede establecer la siguiente relación:

AA'  L  r o

 

r

L Esfuerzo cortante será proporcional al ángulo de deformación ( ) y por lo tanto al radio (r), la deformación unitaria cortante del material crece r  r linealmente con el radio r.

 max 

L

y  

r

 max

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN Y ESFUERZOS CORTANTES EN ELEMENTOS DE SECCIÓN CIRCULAR R

Multiplicando la ecuación anterior por el módulo a cortante se tiene que: r

E S

G 

I S T N I

J   r

4

1 2

A D

proporcional a la posición radial del punto.   G r Reemplazando se tiene que:    max r De la ecuación del equilibrio, la suma de los momentos de los esfuerzos en todo el área de la sección será igual al momento torsor:

E M A T E



T  r dA 

R

 max

I A L E

G max

Según Hooke, Esfuerzo cortante es linealmente

E C

r

J  12  r 2  r 1 4

4

r



r 2 dA 

 max r

J

El resultado se conoce como la formula de la torsión elástica. Tr T r 



y  

ÁNGULO DE TORSIÓN R E S I S T

En el rango elástico es valida la ley de Hook y la máxima deformación por cortante será:  max 

E N C I A D E M A T E

 max G



Tr JG

Viendo el dibujo, se concluye que la relación entre la deformación por cortante max y el giro de la sección por torsión, .

 max L   r

  

 max L

TL



r

JG

Si a lo largo de un eje el Torque cambia o la sección cambia, el giro de la sección se calcula por tramos y finalmente se suman todos los giros.

R I A L E

  

T i Li J i Gi

CONVENIO DE SIGNOS R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

Para utilizar las ecuaciones, una convención de signos para el par torsión, es la aplicación de la Regla de la Mano Derecha, según la cual tanto el par como el ángulo de torsión serán positivos si el pulgar se aleja de la sección transversal del eje cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par.

DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES R E

SOMETIDOS A TORSIÓN

S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

En un problema de diseño, por lo general se conocen las cargas que actúan en un elemento y se requiere determinar su geometría para garantizar que las soportará con seguridad. En el diseño, se puede sustituir un cierto esfuerzo de diseño diseño por

máx. Como en el caso de elementos sometidos a esfuerzo cortante directo hechos de materiales dúctiles, el diseño por esfuerzo tiene relación con la resistencia a la cedencia del material a cortante. S

 diseño 

ys

N Donde N es el factor de diseño o seguridad que selecciona el diseñador, basado en el tipo de carga. La tabla 5-1 puede usarse como guía para el valor de N.


Considerando que los valores de Sys no están disponibles, la tabla anterior utiliza un valor aproximado de Sys  Sy / 2. Así se obtienen valores razonables y por lo general conservadores para metales dúctiles, en especial el acero. S S

 diseño 

ys



y

N 2 N Sys = Resistencia a la cedencia del material a cortante. Sy = Esfuerzo de Fluencia o resistencia a la cedencia.

R E S I S T E

Para el caso de ejes de sección circular, el diámetro d o radio r junto con el momento polar de inercia J son desconocidos, pero son propiedades geométricas del elemento que se va a diseñar y es el diámetro el que define la geometría por completo.

N C

r 

I A D E

d

2

A E R

 max

T   J Z p Tr

I A L E

32

Realizando la división entre J y r, se obtiene un término denominado “módulo de sección polar” y se denota por Zp.

M T

J 

 d 4

Z p 

J r



 d 4

32



2 d



 d 3

16

R E S

 diseño

Considerando que diseño = máx

I S T

Despejando Zp se tiene que: Z p



E N C I A D

T

T  Z p

 diseño

La ecuación anterior entrega el valor que se requiere para el módulo de sección polar (Zp)de un eje o flecha circular que limita el esfuerzo cortante torsional a diseño cuando se somete a un torque T. Luego se puede determinar el diámetro necesario usando la siguiente ecuación:

E M A T E R I

d  3

E



Para ejes huecos, uno de los diámetros o la relación entre ellos se debe especificar para definir la geometría completa del eje, para este caso:

A L

16 Z p

Z p 

4 ext

 d

 d int

16 * d

4

EJERCICIOS RESUELTOS R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E

1.-




2.-

La flecha de la figura de radio c está sometida al momento de torsión T, determinar la fracción de T que resiste el material contenido dentro de la región exterior de la flecha, que tiene un radio interior de c/2 y radio exterior c.



EJERCICIOS RESUELTOS R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E S

3.-




4.-




5.-



6.-


7.- Aplicar el convenio de signos y graficar.


8.-





9.-


10.-


11.-


12.Una transmisión de una transportadora que alimenta carbón a un carro de ferrocarril es una flecha que se somete a torsión pura y que transmite un par de torsión de 800 Nm, si el material de la flecha es acero AISI 1141 OQT 1300 cuyo esfuerzo de fluencia es de 469 Mpa, calcular:

EJERCICIOS RESUELTOS R E S I S T E N C

a) El diámetro de la flecha si se considera que ésta debe tener una sección transversal circular y sólida. b) El diámetro interno de la flecha si ésta fuese un tubo hueco cuyo diámetro exterior es de 60 mm y debe someterse al mismo esfuerzo cortante máximo del caso a)

I A D

Solución: a) Primero se estima el factor de diseño de la tabla 5-1  N = 6

E M A

 diseño 

T

S y

2 N



469 MPa 12

 39,1 _ mm

2

E R I A L E

Z p 

T  diseño

800.000 Nmm   20,5  10 3 _ mm 3 N 39 ,1 mm 2

EJERCICIOS RESUELTOS R E S I S T E N

d  3

16 Z p 

3

16  20,5 103 

mm  47,1 _ mm

De acuerdo al valor obtenido, un diámetro adecuado o conveniente es:

C I A D E M A T E R I A L E

D = 50 mm. Para este diámetro seleccionado, el esfuerzo de corte máximo en la superficie externa de la flecha será menor que el esfuerzo de diseño porque se especificó un diámetro mayor.

EJERCICIOS RESUELTOS R E S

b) El esfuerzo cortante máximo será:

I S T E N C

dext = 60 mm, T = 800 Nm y como los valores del esfuerzo de corte máximo y el torque se mantienen, el valor de Zp también, de Zp = 24,5x103 mm3.

I A D E M A

4

Z p 

 d ext  d int

4

16 * d ext

 4 16 * d ext * Z p   d int   d ext    

1

4

T E R I A L E

 4 16 * 60 * 24,5 10 d int   60    d int  48,4 _ mm

3

1

 4  mm 

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