Campos Numericos Andres Raya

CAMPOS NUMÉRICOS

CAMPOS NUMÉRICOS Andrés Raya

•

Alfonso Ríde R íderr

•

Rafael Rubio

CAMPOS NUMÉRICOS No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS 2007, respecto a la primera edición en español, por © Netbiblo, S. L. NETBIBLO, S. L. C/. Rafael Alberti, 6 bajo izq. Sta. Cristina 15172 Oleiros (La Coruña) – Spain Tlf: +34 981 91 55 00 Fax: +34 981 91 55 11 [email protected] •

ISBN 978-84-9745-199-4 Depósito Legal: C-3541-2007 Directora Editorial: Cristina Seco López Editora: Lorena Bello Producción Editorial: Gesbiblo, S. L. Impreso en España – Printed in Spain

Presentaci´ on NOTA DE LOS AUTORES La primera redacci´on de este libro se debe al Profesor Raya Saro, el m´as veterano de los tres. A modo de cap´ıtulo cero, ten´ıa un pr´ologo redactado en primera persona. Por su expreso deseo y porque los otros autores compartimos la  filosof´ıa  del mismo, mantenemos ´ıntegra su redacci´on original. Universidad de C´ ordoba, Septiembre de 2007.

De los n´ umeros umeros  en Matem´ Decir n´ aticas puede ir referido a los n´ umeros naturales, n´ umeros enteros, n´ umeros racionales, n´ umeros reales, n´ umeros complejos.

Hay otras muchas acepciones de la palabra (n´umeros positivos, negativos, primos, compuestos, irracionales, algebraicos, trascendentes, imaginarios, etc.), pero las categor´ıas   fundamentales   son los cinco tipos rese˜nados m´as arriba. A su estudio va dedicado esta monograf´ıa.

N´ umeros y figuras En mi ni˜ nez, los textos de Matem´aticas dec´ıan que ´estas se ocupaban del estudio de los n´ umeros  y de las  figuras. En otras palabras: comprend´ıan a la   Aritm´ etica y a la  Geometr´ıa. ¿Constituyen estas dos  ramas  una  partici´  on  o   clasificaci´  on   de las Matem´ aticas? La Historia dice que no:

 

6

Presentaci´  on 

a) La construcci´on y desarrollo de los n´umeros  inconmesurables  (hoy decimos irracionales) la hicieron los griegos (Eudoxio, Euclides, Arqu´ımedes, entre los siglos cuarto y tercero antes de Cristo) con instrumentalizaci´on y lenguaje geom´etrico. b) Con la creaci´on de la  Geometr´ıa Anal´ıtica  (Fermat y Descartes en el   XVII de nuestra era) muchas cuestiones geom´ etricas se redujeron a problemas con n´ umeros. Esta doble  invasi´  on   conduce a afirmar que  el conjunto de los n´ umeros reales y la recta eucl´ıdea son una misma cosa, de manera que el  maridaje  entre n´ umeros y figuras es poco menos que  indisoluble . En esta ligaz´on aritm´etico-geom´etrica, adem´a s de los n´umeros reales, intervienen los complejos. Por ello suele decirse que la   Aritm´etica pura   dedica su atenci´on a los n´ umeros naturales, enteros y racionales. A nuestro nivel esto va a ser as´ı, pero cualquier matem´atico medianamente informado sabe que al subir escalones (Teor´ıa anal´ıtica de n´umeros o Teorema de Fermat, por citar dos ejemplos) la invasi´on mutua entre Aritm´etica y Geometr´ıa ha resultado inevitable. Incluso en el lenguaje actual (´ultimos 150 a˜ n os) donde — como bases de la Ma´ tem´ atica — el Algebra  ha sustitu´ıdo a la Aritm´etica y la  Topolog´ıa  lo ha hecho con la Geometr´ıa, la disjunci´on de una y otra es disparatada y, por contra, la relaci´on mutua es poco menos que la  norma   frente a la   excepci´  on.

N´ umeros naturales El matem´atico alem´an Leopold Kronecker (siglo  XIX ) dec´ıa que Dios cre´o los n´ umeros naturales y que los dem´a s los cre´o el hombre. Desde posturas m´as agn´osticas, el franc´es Roger Godement (siglo XX) le replicaba que no se precisaba de Ser Supremo alguno, que estos n´ umeros se pod´ıan definir a partir de los conjuntos de Georg Cantor. Nosotros no tomamos partido por ninguna de estas posturas (anecd´oticas por otro lado) sino que nos guiamos por lo que la propia Matem´atica nos dice. En efecto, los n´umeros naturales, esto es, los habituales n´umeros 0, 1, 2, 3, . . . , pueden definirse como cardinales de ciertos conjuntos (los que   t´ ecnicamente  llamamos finitos), pero para ello nos encontramos con algunos escollos   formales   que se hacen dif´ıciles de superar para estudiantes primerizos y, en general, para personas con una escasa   cultura matem´  atica . Por ello es preferible adoptar otra postura conaticamente . Este proceder ya se produjo en el siglo XIX sistente en definirlos  axiom´  mediante los hoy conocidos como   axiomas de Dedekind-Peano. Lo   curioso de esta historia, pensamos nosotros, es que se tardara tanto tiempo en hacerlo: a fin de cuentas, la Geometr´ıa ya se axiomatiz´o en el siglo III  antes de Cristo, gracias a la obra del griego-alejandrino Euclides.

7

Vuelvo a los recuerdos de mi ni˜nez. Tambi´en nos dec´ıan que los n´umeros (naturales) sirven para  contar  y  ordenar . El primer uso se refer´ıa a la interpretaci´on reci´en comentada de los n´umeros naturales como cardinales. El segundo consist´ıa en asignar un   lugar   (primero, segundo, etc´etera) a los elementos de un conjunto, si bien esta idea ha derivado desde las creaciones de Cantor hasta conceptos como los n´  umeros ordinales   de bastante complejidad t´ ecnica. Nosotros nos limitaremos a la primera idea para fundamentar el on, que usaremos eventualmente en nuestro desarrollo. concepto de  sucesi´

Primeras extensiones de los campos num´ ericos: enteros y racionales Adoptado ya el camino axiom´atico para definir los n´umeros naturales, nos encontramos con el hecho de que  operativamente   hablando estos n´ umeros son muy insuficentes: pueden sumarse y multiplicarse en todo caso, pero no siempre se pueden restar ni dividir. Los n´ umeros enteros se crean, precisamente, para que dos datos cualesquiera se puedan restar. Su construcci´on  formal , como veremos, no reviste mayores dificultades. Pero a´ un mantienen el  defecto  de no poderse dividir. El estudio de en qu´e casos s´ı y en qu´e casos no es posible la divisi´on abre las puertas de la  teor´ıa de la divisibilidad , ´ que entendemos como ineludible para un curso de Algebra-Geometr´ ıa, aunque no tanto para los cursos de An´alisis. Nosotros les dedicamos un par de cap´ıtulos de este libro. Pero, avanzando un paso m´as, se construyen los n´umeros racionales para que en ellos siempre se pueda restar y dividir (con la excepci´on para esta segunda operaci´on de que el segundo dato sea nulo). Tampoco este  salto  ofrece problemas.

Los n´ umeros reales como soluci´ on a las cuestiones de medida Con los n´ umeros racionales se satisfacen las tan tra´ıdas y llevadas  cuatro reglas   de la Aritm´ etica: sumar, restar, multiplicar y dividir. Sin embargo resultan insuficientes para expresar, por ejemplo, la medida de segmentos. Pit´agoras y sus disc´ıpulos ya lo supieron cuando quisieron medir la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo cuyo catetos midieran ambos una unidad de longitud. Aparecen as´ı en la Historia los n´umeros alogos   (inconmesurables o inexpresables) actualmente llamados   irracionales.  En una ´  primera idea, los n´umeros reales surgen como conjunci´on de los racionales con los irracionales y as´ı se siguen presentando a los estudiantes en edad adolescente. Su formalizaci´ on, empero, no es en absoluto elemental. Se han usado desde la ´epoca griega, como ya hemos se˜nalado, y con bastante ´exito por cierto en los C´alculos Diferencial e Integral de Newton y Leibniz (siglo   XVII), pero no se definieron correctamente hasta el XIX  (Weierstrass, Cantor, Dedekind).

8

 

Presentaci´  on 

Traducido esto a la ense˜nanza (arte de la   transmisi´  on de saberes ), se justifican las dificultades formales a que alud´ıamos. Claro que cualquier matem´atico puede entender el paso de los racionales a los reales mediante las   cortaduras  (Dedekind) o las  sucesiones regulares   (Cantor). M´as: afirmamos que ser´ıa grave el no presentar alguno de estos m´etodos a los estudiantes de un primer curso de la Licenciatura en Matem´ aticas. Pero, para los dem´as estudiantes (de Ciencias o de Escuelas T´ecnicas) tambi´em ser´ıa   imperdonable  que no se les presente, fuere de la manera que fuere, una definici´on formalizada de los n´umeros reales . . . Nuestra alternativa es recurrir una vez m´as (as´ı lo hizo en 1900 el insigne David Hilbert y, siguiendo su l´ınea, autores como Jean Dieudonn´e, Tom M. Apostol o aticamente : “ el campo de los n´ Michael Spivak) a presentarlos  axiom´  umeros reales es un cuerpo conmutativo y ordenado en el cual todo subconjunto no vac´ıo acotado superiormente admite una cota superior m´ınima ”. Y, aunque eludamos la cuesti´o n de que tal cuerpo es ´unico y constru´ıble a partir de los n´ umeros racionales, s´ı veremos que contiene como subconjuntos especiales a las tres categor´ıas previas de n´umeros (naturales, enteros, racionales), as´ı como que estos n´ umeros cubren las necesidades de medir cualquier segmento.

Los n´ umeros complejos por fin Los n´ umeros reales cubren tal necesidad, pero presentan otra laguna: no siempre es posible la operaci´on de  extraer ra´ıces cuadradas  (los n´ umeros negativos carecen de ellas) o, de manera general, un polinomio no siempre posee valores que lo anulen (ra´ıces ). Estos objetivos se logran con los n´umeros complejos y su definici´on  formal  no presenta dificultades (aunque s´ı el probar que cubren los objetivos comentados). Hist´ oricamente hablando estos n´umeros eran conocidos desde la escuela renancentista italiana (siglos XV y XVI), pero no cobraron   carta de naturaleza  hasta que Gauss los usara de manera sistem´atica. A partir de entonces se han mostrado como una atico   en el que se hacen evidentes muchas cuestiones que suerte de   para´ıso matem´  antes aparec´ıan  en penumbra.

¿Por qu´ e escribo este libro? En mis primeros a˜nos de docencia universitaria (final de los sesenta del siglo XX) conoc´ı una especie de   fiebre   en algunos sectores de las universidades madrile˜nas consistente en que, fuera como fuere y pesara a quien pesare, en cualquier primer curso universitario de ense˜nanzas cient´ıficas o t´ecnicas hab´ıa que presentar con todo formalismo la construcci´on de los diversos campos num´ericos. A m´ı la cuesti´on me cog´ıa  vacunado: en cierta manera Don Antonio de Castro (disc´ıpulo insigne del m´as que insigne Don Julio Rey Pastor) as´ı lo hab´ıa hecho cuando fui su alumno en Sevilla en el entonces llamado   Curso Selectivo  que me abri´o las puertas para culminar en Madrid mis estudios en Matem´aticas. Digo que la conoc´ı y debo decir m´as: cre´ı en ella y actu´e en consecuencia.

9

Pasaron los a˜ nos y con ellos mi deambular por centros distintos no ya en geograf´ıa (he trabajado en cuatro universidades) sino en  titulaciones   (Facultades de Ciencias, Escuelas tanto de Ingenier´ıa T´ecnica como Superior, incluso en Escuelas de Magisterio). Nunca abandon´e la idea de cimentar la Matem´atica en un buen conocimiento de los n´ umeros, aunque s´ı fui dosificando la mezcla de formalismo e informalismo en funci´ on de los alumnos a quienes me dirig´ıa en cada ocasi´on. Hasta llegar a nuestros d´ıas (primeros a˜ nos del siglo XXI). Observador como siempre he sido de lo que se coc´ıa en mi entorno cercano y no tan cercano (la bibliograf´ıa producida por profesores espa˜noles en ciudades y centros diversos), compruebo que en muchos casos se sigue actuando poco menos que en los t´erminos que m´as arriba dije que hace a˜ nos se hac´ıa con los adolescentes: los n´umeros reales son la conjunci´on de los racionales y los irracionales. De los naturales, cuando m´as (y ya es mucho) se usa el m´etodo de Inducci´on Completa (nudo gordiano de los axiomas de DedekindPeano) aunque u ´ nicamente encaminado a la demostraci´on de algunas f´ormulas. Y tengo que decir que si la  fiebre   de algunos madrile˜nos a la que me he referido era excesiva, peor es la actualidad que contemplo. Las nociones y desarrollos que humildemente expongo en los siguientes cap´ıtulos las supongo conocidas por cualquier Profesor de Matem´aticas de primeros a˜nos universitarios. A´ un as´ı, no renuncio a ofrec´erselas de manera digamos que   medianamente  formalizada y sistematizada. En cuanto a sus alumnos, siempre encontrar´an en este   librito  una fuente en la que rellenar lagunas que en la clase   real   no se les ha podido, por una u otra causa, transmitir de forma exhaustiva. En todo caso, es un t´opico decirlo, pero lo dir´e: si una sola persona se beneficia de este texto, me considerar´e m´as que pagado. Andr´ es Raya, Universidad de C´ ordoba, Diciembre de 2003.

´ Indice general 1. Coordinabilidad entre Conjuntos

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Coordinabilidad entre conjuntos . . . . Cardinal de un conjunto . . . . . . . . Comparaci´ on de cardinales . . . . . . . Conjuntos finitos y conjuntos infinitos . Cardinales finitos y cardinales infinitos Complementos / Ejercicios . . . . . . .

15

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2. N´ umeros Naturales

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13.

Definici´ on de los n´ umeros naturales . . . . . . . . . . Demostraciones por recurrencia . . . . . . . . . . . . Infinitud del conjunto de los n´ umeros naturales . . . . Definiciones por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . Adici´ o n de n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . . Sustracci´ o n de n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . Multiplicaci´o n de n´ umeros naturales . . . . . . . . . . Divisi´o n de n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . . Ordenaci´o n de n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . El principio de la buena ordenaci´ on . . . . . . . . . . Intervalos de n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . Subconjuntos finitos e infinitos de n´ umeros naturales Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

3. Divisibilidad en los N´ umeros Naturales

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.

15 15 16 17 19 19

Divisibilidad en el conjunto de los n´ umeros naturales . Compatibilidad de la divisibilidad con la multiplicaci´ on El conjunto de divisores de un n´ umero dado . . . . . . El conjunto de m´ ultiplos de un n´ umero dado . . . . . . Divisi´on eucl´ıdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´aximo com´ un divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ınimo com´ u n m´ ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compatibilidad del m.c.d con la multiplicaci´ on . . . . . Elementos primos entre s´ı. Condici´ on de Euclides . . .

21 22 23 23 23 25 27 30 30 35 36 38 39 43

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

43 45 46 47 49 50 51 53 54

´  Indice general 

12

3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24.

Elementos primos o irreducibles. Condici´on de Gauss Existencia del m.c.d Algoritmo de Euclides . . . . . . Existencia del m.c.m F´ ormula de enlace . . . . . . . . Compatibilidad del m.c.m con la multiplicaci´ on . . . Tablas de sumar y multiplicar. Paridad e imparidad . Cuadrado de un n´ umero natural . . . . . . . . . . . . El m´ınimo divisor primo de un n´ umero natural . . . . Criba de Erat´ostenes. Criterio de primalidad . . . . . Factorizaci´ on prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevo c´alculo del m.c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevo c´alculo del m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . Factorizaci´ on de los divisores de un n´umero . . . . . . Cantidad de divisores de un n´umero . . . . . . . . . . Existen infinitos n´ umeros primos . . . . . . . . . . . . Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

4. Cardinales y n´ umeros naturales

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

73

Caracterizaci´o n de la finitud o infinitud de conjuntos Cardinales de conjuntos finitos y n´ umeros naturales . Uni´on de conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . Producto cartesiano de conjuntos finitos . . . . . . . . N´ umeros transfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sucesiones en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5. N´ umeros enteros

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12.

Definici´ on de los n´umeros enteros . . . . . . . . Los n´ umeros cero, uno y menos uno . . . . . . . Adici´ o n de n´ umeros enteros . . . . . . . . . . . . Sustracci´ o n de n´ umeros enteros . . . . . . . . . Multiplicaci´ o n de n´ umeros enteros . . . . . . . . Divisi´o n de n´ umeros enteros . . . . . . . . . . . Ordenaci´o n de n´ umeros enteros . . . . . . . . . Signo de un n´ umero entero . . . . . . . . . . . . Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´on can´onica de un n´ umero entero . Inclusi´ on de los n´ umeros naturales en los enteros Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . .

73 75 76 77 78 78 79 80 81

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

6. Divisibilidad en los n´ umeros enteros

6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

55 56 58 59 60 61 62 63 65 67 68 68 69 69 70

Divisibilidad en el conjunto de los n´ umeros enteros . . . Compatibilidad de la divisibilidad con la multiplicaci´ on El conjunto de divisores de un n´ umero dado . . . . . . El conjunto de m´ ultiplos de un n´ umero dado . . . . . .

81 82 83 84 85 88 89 94 95 96 97 98 101

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

101 103 104 105

´  Indice general 

6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15.

13

Divisi´on eucl´ıdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´aximo com´ un divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ınimo com´ u n m´ ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . Compatibilidad del m.c.d con la multiplicaci´on . . . . Elementos primos entre s´ı. Condici´on de Euclides . . Elementos primos o irreducibles. Condici´on de Gauss Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . F´ ormula de enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compatibilidad del m.c.m con la multiplicaci´on . . . Factorizaci´ on prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

7. N´ umeros racionales

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13.

113

Definici´ on de los n´umeros racionales . . . . . . . . Los n´ umeros cero, uno y menos uno . . . . . . . . Adici´ o n de n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . Sustracci´ o n de n´ umeros racionales . . . . . . . . . Multiplicaci´o n de n´ umeros racionales . . . . . . . Divisi´o n de n´ umeros racionales . . . . . . . . . . . Ordenaci´o n de n´ umeros racionales . . . . . . . . . Signo de un n´ umero racional . . . . . . . . . . . . Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´ on can´onica de un n´ umero racional . Inclusi´ on de los n´umeros enteros en los racionales Propiedad de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

8. La recta racional

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13.

Potenciaci´ on . . . . . . . . . . . . . Radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . Cotas superiores m´ınimas . . . . . . La recta racional . . . . . . . . . . . Distancia entre n´ umeros racionales . Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . Entornos sim´etricos . . . . . . . . . Convergencia de sucesiones . . . . . Sucesiones mon´otonas . . . . . . . . Series num´ericas . . . . . . . . . . . Progresiones y series geom´etricas . . Regularidad de sucesiones . . . . . . Complementos / Ejercicios . . . . .

106 107 108 109 109 109 110 110 110 111 111

113 114 115 116 117 119 120 122 123 124 125 126 126 129

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

129 129 130 131 133 134 135 135 138 139 140 142 144

´  Indice general 

14

9. N´ umeros reales

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17. 9.18. 9.19.

151

Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiomas de grupo aditivo . . . . . . . . . . . . . Sustracci´ o n de n´ umeros reales . . . . . . . . . . Axiomas de cuerpo conmutativo . . . . . . . . . Divisi´o n de n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . Axiomas de conjunto ordenado . . . . . . . . . . Ordenaci´ on total . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiomas de cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . Signo de un n´ umero real . . . . . . . . . . . . . Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inclusi´ on de los n´u meros naturales en los reales . Inclusi´ on de los n´umeros enteros en los reales . . Inclusi´ on de los n´u meros racionales en los reales El axioma de continuidad . . . . . . . . . . . . . N´ umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . La propiedad de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . Contenido denso de Q I  en IR . . . . . . . . . . . . Cuerpos ordenados. Cuerpos arquimedianos . . . Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.La recta real

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8.

Potenciaci´ on y radicaci´o n de n´ umeros reales La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia, intervalos y entornos . . . . . . . Convergencia y regularidad de sucesiones . . Encajes y encajes contractivos . . . . . . . . La condici´on de Cantor . . . . . . . . . . . . La condici´on de Cauchy . . . . . . . . . . . . Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . .

177

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

11.N´ umeros complejos

11.1. Definici´ on de los n´umeros complejos . . . . . . . . 11.2. Los n´ u meros cero, uno y unidad imaginaria . . . . 11.3. Adici´ o n de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . 11.4. Sustracci´ o n de n´ umeros complejos . . . . . . . . . 11.5. Multiplicaci´ o n de n´ umeros complejos . . . . . . . 11.6. Divisi´ o n de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . 11.7. Descomposici´on bin´omica de un n´ umero complejo 11.8. Conjugaci´o n de n´ umeros complejos . . . . . . . . 11.9. M´ odulo de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . 11.10.Convergencia en el cuerpo complejo . . . . . . . . 11.11.Complementos / Ejercicios . . . . . . . . . . . . . Bibliografía

151 151 152 152 153 153 154 154 156 156 157 159 160 162 168 169 169 170 170 177 178 179 180 182 184 186 187 193

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

193 193 193 194 194 195 196 197 198 200 201 205

Cap´ıtulo 1

Coordinabilidad entre Conjuntos 1.1.

Coordinabilidad entre conjuntos

Dados dos conjuntos X  e Y , se dice que X  es cooordinable con Y   (o que X  es equipotente a Y ) cuando exista una aplicaci´ on biyectiva f  : X  →  Y . Si uno de los conjuntos es vac´ıo y el otro no, la coordinabilidad es imposible. Admitiremos, pues, que el conjunto  ∅  es coordinable consigo mismo y s´olo consigo mismo. Proposici´ on 1.1   La coordinabilidad entre conjuntos es reflexiva, sim´ etrica y transitiva. Demostraci´ on:

La biyecci´on identidad I  : X  → X   muestra que todo conjunto es coordinable consigo mismo. Si tenemos una biyecci´on f  : X  → Y , considerando su biyecci´on inversa f  1 : Y  →  X , vemos que si X  es coordinable con Y , tambi´en Y  lo es con X . Si tenemos dos biyecciones f  : X  → Y , g : Y  → Z , considerando su biyecci´on compuesta g ◦ f  : X  → Z , comprobamos que, si X  es coordinable con Y  a la vez que Y  lo es con Z , tambi´en X  es coordinable con Z .  −

1.2.

Cardinal de un conjunto

Por poseer las mismas propiedades de una relaci´on de equivalencia, la coordinabilidad permite clasificar a los conjuntos. Dado un conjunto X , llamamos   cardinal de X  a la clase constitu´ıda por X  y todos los conjuntos coordinables con ´el. Este nuevo concepto, obtenido por abstracci´on, se anota como

C ard(X ).

Cap´ıtulo 1. Coordinabilidad entre Conjuntos

16

En definitiva, a cada conjunto X   le hemos asignado el nuevo   ente matem´  atico C ard(X ), de manera que, para dos conjuntos X  e Y , se tenga

C ard(X ) = C ard(Y )  ⇔  X es coordinable con  Y . Con lenguaje m´as  coloquial  suele decirse que dos conjuntos tienen igual cardinal si poseen la misma cantidad de elementos .

1.3.

Comparaci´ on de cardinales

on inyectiva  Proposici´ on 1.2   Sean dos conjuntos  X  e  Y . Si existe una aplicaci´  f  : X  → Y  , tambi´en existe cuando alguno de los datos se sustituya por un conjunto coordinable con ´ el. Demostraci´ on:

Si X  es coordinable con U , existe una biyecci´on g  : X  →  U , en cuyo caso f  ◦ g 1 es una aplicaci´on inyectiva de U  en Y . Si Y  es coordinable con V , existe una biyecci´on h : Y  → V , en cuyo caso h ◦ f  es una aplicaci´on inyectiva de X  en V . Si se cambiaran los dos datos, h ◦ f  ◦ g 1 ser´ıa una aplicaci´on inyectiva entre U  y V .  −

−

Despu´es de esta demostraci´on, tiene sentido la siguiente definici´on: dados dos con juntos X  e Y  se dice que  el cardinal de  X  es menor o igual que el cardinal de Y , y se escribe

C ard(X ) ≤ C ard(Y ), siempre que exista una aplicaci´on inyectiva f  : X  → Y . Siendo f  : X  → Y   inyectiva y B = im f  ⊆ Y , la aplicaci´on f  : X  → B  es biyectiva. Por ello, tambi´en puede decirse que C ard(X ) ≤ C ard(Y ) significa que X  es coordinable con una parte B de Y . on menor o igual entre cardinales de conjuntos es refleProposici´ on 1.3   La relaci´  xiva y transitiva. Demostraci´ on:

La aplicaci´on identidad I  : X  →  X  es inyectiva, luego

C ard(X )  ≤ C ard(X ). Si C ard(X )  ≤ C ard(Y ) y C ard(Y ) ≤ C ard(Z ), es porque existen aplicaciones inyectivas f  : X  → Y , g : Y  → Z , en cuyo caso su compuesta g  ◦  f   es una aplicaci´on inyectiva entre X  y Z , luego

1.4.

Conjuntos finitos y conjuntos infinitos

17

C ard(X )  ≤ C ard(Z ). 

Cantor enunci´o que la comparaci´on entre cardinales ten´ıa las propiedades de una ordenaci´ on total. Esto es, adem´as de las propiedades que acabamos de probar, se deb´ıan de cumplir la antisim´etrica,

C ard(X )  ≤ C ard(Y ), C ard(Y ) ≤ C ard(X )  ⇒ C ard(X ) = C ard(Y ), as´ı como la de totalidad: dados X  e Y , necesariamente es

C ard(X )  ≤ C ard(Y ),   o bien, C ard(Y )  ≤ C ard(X ). Aunque el propio Cantor no lleg´o a demostrarlas, su veracidad se prob´o m´ as adelante: Bernstein razon´o en 1897 la antisim´etrica y Zermelo en 1904 la de totalidad. Las demostraciones son complejas y requieren una teor´ıa de conjuntos  formalizada , la cual queda muy lejos de nuestro desarrollo   elemental , raz´o n por la que no las presentamos en nuestro libro. Por otra parte, procuraremos hacer nuestro desarrollo sin necesidad de usarlas. Proposici´ on 1.4   Sean  X  e  Y   dos conjuntos. Entonces,

X  ⊆  Y  ⇒ C ard(X )  ≤ C ard(Y ). Demostraci´ on:

La restricci´on ι  de la biyecci´on identidad I  al subconjunto X , es claramente una aplicaci´ on inyectiva entre X  e Y .  Tambi´en se considera la relaci´on  el cardinal de  X  es menor que el cardinal de Y , y se escribe C ard(X )  <  C ard(Y ), para referirse a la conjunci´on = C ard(Y ), C ard((X ) ≤ C ard(Y ), C ard(X )   esto es, existe una aplicaci´on inyectiva de X  a Y , pero no pueda haberla biyectiva.

1.4.

Conjuntos finitos y conjuntos infinitos

Un conjunto X   se dice   finito  cuando no sea coordinable con ninguno de sus subconjuntos propios. Estos, por tanto, tendr´an un cardinal menor que el del conjunto total. Por carecer de subconjuntos propios, el conjunto vac´ıo es finito. Por la misma raz´on lo son los conjuntos unitarios  X  =  { x}.

Cap´ıtulo 1. Coordinabilidad entre Conjuntos

18

Un conjunto X  se dice  infinito  cuando no sea finito, esto es, cuando exista al menos un subconjunto propio A de X   que sea coordinable con X . En otras palabras, X  admite un subconjunto propio A con un cardinal igual al suyo. Cuando definamos el conjunto de los n´umeros naturales, lo mostraremos como primer ejemplo de conjunto infinito.

Proposici´ on 1.5 Si  X   es coordinable con  Y , Y    es finito o infinito de acuerdo a  c´  omo sea  X . Demostraci´ on:

Partimos de que existe una biyecci´on f  : X  →  Y . Sea X  finito y supongamos una biyecci´on g : Y  →  B, donde B es un subconjunto de Y . La aplicaci´on f  1 ◦ g ◦ f   ser´a una biyecci´on entre X  y su parte A = f  1 (B), por lo que necesariamente X  = A. Si existiera un elemento b ∈ Y   tal que b ∈  B, 1 consideramos el elemento f  (b) = a ∈ X . Por ser X  = A  y por la definici´o n de A, existir´a un elemento c ∈ B  tal que f  1 (c) = a, y se tendr´ıa c =  b porque uno est´ a en B y el otro no. Ahora bien, esto contradice la inyectividad de f  1 , luego la existencia de tal elemento b es imposible. De aqu´ı se sigue que B = Y , luego Y  es finito. Si X   es infinito, Y  tambi´en lo es, pues de lo contrario, por la simetr´ıa de la coordinabilidad, aplicando lo anterior deducir´ıamos que X  es finito.  −

−

−

−

−

en  X   es finito. Proposici´ on 1.6 Si  X  ⊆  Y  e  Y  es finito, tambi´ Demostraci´ on:

Sea f   una aplicaci´on biyectiva de X  sobre un subconjunto A ⊆ X . Se extiende a otra de Y   sobre A ∪ (Y  − X ) tomando f (x) = x  para los elementos de Y   que no est´en en X . Esta extensi´on sigue siendo biyectiva. Como Y  es finito, se tiene A ∪ (Y  − X ) = Y. Supongamos un elemento x ∈ X  −  A. No puede estar en A. Tampoco en Y  −  X , luego este elemento no existe. En otras palabras  X  − A =  ∅ , o sea X  = A. 

en  Y   es infinito. Proposici´ on 1.7 Si  X  ⊆  Y  y  X  es infinito, tambi´ Demostraci´ on:

Si Y   fuese finito, X  lo ser´ıa.



1.5.

Cardinales finitos y cardinales infinitos

1.5.

19

Cardinales finitos y cardinales infinitos

Los cardinales se adjetivan como finitos o infinitos de acuerdo con el car´acter que tenga el conjunto que los representa. Una posible forma de definir el conjunto de los n´umeros naturales consiste en tomar como tales los cardinales de los conjuntos finitos. Nosotros no seguiremos este camino y el argumento es el mismo que hemos comentado m´ as arriba al hablar de la propiedades antisim´etrica y de totalidad en la ordenaci´on de los cardinales: la  debilidad   de nuestra teor´ıa de conjuntos no permitir´ıa avanzar mucho. Nuestra definici´on ser´ a axiom´atica. No es el momento de contraponer ambos m´etodos, pero se˜nalemos on completa, el que la v´ıa axiom´atica incluye el llamado   principio de inducci´ cual no s´olo permite una construcci´on totalmente formal de los n´umeros, sino que adem´as cubre muchos de los  huecos formales   en la teor´ıa de conjuntos. Una vez conocidos los n´umeros, conectaremos ´estos con los cardinales finitos y daremos unas primeras ideas sobre cardinales infinitos.

1.6.

Complementos / Ejercicios

1. Dados dos conjuntos X  e Y , se supone que X ∪ Y  es finito. Razonar que ambos lo son. 2. Si X  es un conjunto infinito, X  ∪ Y  lo es, cualquiera que sea el conjunto Y . 3. Dados dos conjuntos X  e Y , se supone que X  ∩  Y   es infinito. Razonar que ambos lo son. 4. Si X  es un conjunto finito, X  ∩ Y  lo es, cualquiera que sea el conjunto Y . 5. Razonar que cada dos segmentos geom´ etricos son coordinables, independientemente de sus respectivas longitudes. 6. Restringiendo la funci´on y  = tan x al intervalo abierto (−π/2, π/2), razonar que ´este es coordinable con el conjunto IR. 7. Usando la funci´on y = ln x, razonar que IR+ y IR son coordinables.

Cap´ıtulo 2

N´ umeros Naturales 2.1.

Definici´ o n de los n´ umeros naturales

umeros naturales   a un conjunto IN , dotado de una Llamamos   conjunto de n´ aplicaci´ o n sg : IN  →  IN , que a cada n´umero le asigna otro llamado su  siguiente, y umero cero, de manera que se cumplan en el cual existe un elemento 0, llamado n´ los tres siguientes axiomas:

1. ∀x ∈  IN  ⇒  sg(x)  = 0, 2. (∀x, y  ∈  IN/x   =  y) ⇒  sg(x)   = sg(y) 3. Si C  ⊆  IN  cumple las condiciones a ) 0  ∈  C , b ) ∀x  ∈  C  ⇒  sg(x) ∈  C ,

necesariamente es C  = IN . El primer axioma indica que cero no es siguiente de ning´un n´ umero. El segundo dice que la aplicaci´on siguiente es inyectiva. El tercero se conoce como   principio de inducci´ on completa o   principio de recurrencia. Colectivamente, se nombran como  axiomas de Dedekind-Peano. Si al conjunto de n´umeros naturales le quitamos el elemento 0, resulta un nuevo conjunto que en lo sucesivo anotaremos por IN  . ∗

umero uno  y se anota El n´ umero sg(0) se nombra como n´

1.

Cap´ıtulo 2. N´  umeros Naturales

22

2.2.

Demostraciones por recurrencia

umero naProposici´ on 2.1 Sea  T (x)  un teorema cuyo enunciado depende de un n´  tural  x. Entonces, si  1. T (0)   es cierto 2. (∀x  ∈  IN/T (x)   es cierto)  ⇒  T (sg(x))  tambi´ en es cierto el teorema se cumple para todo n´  umero natural. Demostraci´ on:

Basta llamar C , dentro de IN , al conjunto de naturales para los cuales T  se  cumple y aplicar el principio de recurrencia. Las demostraciones realizadas con la  t´ecnica  de la anterior proposici´on se dir´an que on completa. son  demostraciones por recurrencia o  inducci´ umero x  ∈  IN , se cumple  Proposici´ on 2.2   Cualquiera que sea el n´ 

x   = sg(x). Demostraci´ on:

La haremos por recurrencia: 0   = sg(0), por el primer axioma. Si suponemos que x  = sg(x), del segundo axioma se sigue que sg(x)   = sg(sg(x)). 

umero x  ∈  IN  es el siguiente de otro. Proposici´ on 2.3   Todo n´  ∗

Demostraci´ on:

Sea C  =  { 0} ∪ sg(IN ). Entonces, 0  ∈  C . Sea x ∈ C . Si x = 0, evidentemente sg(x) ∈ C . Si x =  0, debe ser x ∈ sg(IN ), luego existe z tal que x = sg(z), en cuyo caso sg(x) = sg(sg(z)) ⇒  sg(x)  ∈  C. De estos dos hechos se sigue que C  = IN , y, en particular, IN  = sg(IN ) , lo que prueba nuestra afirmaci´on.  ∗

2.3.

Infinitud del conjunto de los n´  umeros naturales

2.3.

23

Infinitud del conjunto de los n´ umeros naturales

Proposici´ on 2.4   El conjunto IN   es infinito. Demostraci´ on:

Basta ver que la aplicaci´o n sg : IN  → IN  , seg´ un los dos primeros axiomas, es inyectiva y, seg´un 2.3, es suprayectiva. Como IN  es una parte propia de IN , el teorema queda probado.  ∗

∗

2.4.

Definiciones por recurrencia

on dependa de un n´  umero natural  Proposici´ on 2.5 Sea  D(x)  un objeto cuya definici´  x. Entonces, si  1. D(0)  est´  a definido. 2. Para todo x  ∈  IN , D(sg(x))  puede definirse a partir de  D(x). El objeto queda definido para todo n´  umero natural. Demostraci´ on:

Basta llamar C , dentro de IN , al conjunto de naturales para los cuales  D est´e de finido y aplicar el principio de recurrencia. Las definiciones realizadas con la  t´ecnica  de la anterior proposici´on se dir´an que son definiciones por recurrencia  o  inducci´ on completa.

2.5.

Adici´ o n de n´ umeros naturales

Dados dos n´ umeros x, y  ∈  IN , fijando x, definiremos el n´umero x + y, llamado  suma de x con  y, mediante la siguiente ley recurrente a) x + 0 = x b) ∀y  ∈  IN  ⇒  x + sg(y) = sg(x + y). La operaci´on interna IN × IN  →  IN   que a cada pareja de n´umeros le asigna su suma se conoce como  adici´ o n de n´ umeros naturales. Los datos se nombran como  primer y  segundo sumando. Proposici´ on 2.6   Cualquiera que sea  x  ∈  IN , se cumple que 

x + 1 = sg(x) = 1 + x.

Cap´ıtulo 2. N´  umeros Naturales

24

Demostraci´ on:

Aplicando las reglas de la adici´on, resulta x + 1 = x + sg(0) = sg(x + 0) = sg(x). La segunda igualdad se prueba por recurrencia: a) 1 + 0 = 1 = sg(0) b) 1 + sg(x) = sg(1 + x) = sg(sg(x)). 

Despu´es de esta proposici´on, escribiremos x + 1en lugar de sg(x). umeros  x, y,z ∈  IN , se cumple  Proposici´ on 2.7   Cualesquiera que sean los n´ 

(x + y) + z = x + (y + z), x + 0 = x = 0 + x, x + y = y + x. Demostraci´ on:

1. Fijados x e y, haremos recurrencia en z: a ) (x + y) + 0 = x + y = x + (y + 0), b ) (x + y) + (z + 1) = ((x + y) + z) + 1 =

= (x + (y + z)) + 1 = x + ((y + z) + 1) = x + (y + (z + 1)). 2. La igualdad x + 0 = x  va inclu´ıda en la definici´on de la operaci´on. La otra se prueba por recurrencia: a ) 0 + 0 = 0, b ) 0 + (x + 1) = (0 + x) + 1 = x + 1.

3. Fijado x, haremos recurrencia en y: a ) x + 0 = x = 0 + x, b ) x + (y + 1) = (x + y) + 1 = (y + x) + 1 = y + (x + 1) =

= y + (1 + x) = (y + 1) + x. 

Este teorema indica que la adici´o n de n´ umeros naturales es asociativa, que admite ´ al n´ umero 0 como elemento neutro y que es conmutativa. Con lenguaje del Algebra, dir´ıamos que la pareja (IN.+) es un   semigrupo conmutativo con elemento neutro.

2.6.

Sustracci´  on de n´  umeros naturales

25

Proposici´ on 2.8   Siendo  x, y,z ∈  IN   se cumple que 

1. x + y = 0  ⇒  x = y = 0, 2. x + z = y + z  ⇒  x = y . Demostraci´ on:

1. Si y =  0, existe z tal que es y = z + 1, con lo cual 0 = x + y = x + (z + 1) = (x + z) + 1  ⇒  0 = sg(x + z), hecho que contradice al primer axioma. Por tanto,  y  = 0, en cuyo caso x = x + 0 = x + y = 0. 2. Haremos recurrencia en z: a) x + 0 = y + 0  ⇒  x = y, porque x + 0 = x, y + 0 = y. b) x + (z + 1) = y + (z + 1)  ⇒  (x + z) + 1 = (y + z) + 1  ⇒

⇒ x + z = y + z ⇒  x = y, donde se ha aplicado que sg es una aplicaci´on inyectiva. 

Este teorema significa que en la adici´o n de n´ umeros naturales el u ´ nico elemento con sim´ etrico es el cero (sim´etrico de s´ımismo) y que se cumple la propiedad de simplificaci´ on.

2.6.

Sustracci´ o n de n´ umeros naturales

Dados dos n´ umeros naturales x ( minuendo) e y ( sustraendo) se llama  diferencia entre x e y, en caso de existir, a un tercer n´umero z tal que x = y + z. Proposici´ on 2.9  Si existe la diferencia entre  x e  y , ´ esta es unica. ´  Demostraci´ on:

Suponiendo que x = y + z = y + w, por la propiedad de simplificaci´on se obtiene z = w.  El proceso que a ciertas parejas de n´umeros naturales le asigna una diferencia se on. El resultado se anota como conoce como  sustracci´ z = x − y.

Cap´ıtulo 2. N´  umeros Naturales

26

A modo de ejemplo, la igualdad x = x +0 nos indica que siempre existe la diferencia x − x, as´ı como que su valor es 0. Tambi´en existe el n´umero sg(x) − x, y vale 1, como se sigue de la igualdad sg(x) = x +1. Sin embargo, no existe x − sg(x) pues, de haber un z  tal que x = sg(x) + z, aplicando la propiedad de simplificaci´on, se tendr´ıa x + 0 = x = sg(x) + z = (x + 1) + z = x + (1 + z) = x + sg(z)  ⇒

⇒  0 = sg(z), lo que contradice al primer axioma de Peano. umeros  x, y ∈ IN , existe al menos  Proposici´ on 2.10   Cualesquiera que sean los n´  uno de los n´  umeros  x − y , y − x. Demostraci´ on:

Fijado x, hacemos recurrencia en y: 1. Si y = 0, existe x − y = x  porque x = 0 + x = y + x. 2. Suponiendo que exista uno de los n´umeros x − y, y  − x, debemos probar que existe al menos uno de los x − (y + 1), (y + 1) − x. a ) Si existe z = x − y, caben dos opciones:

La primera es z = 0. Entonces, existe (y + 1) − x porque x − y = 0  ⇒  x = y + 0 = y ⇒  x + 1 = y + 1  ⇒  (y + 1) − x = 1. La segunda, z =  0. Ahora va a existir x − (y + 1), ya que, siendo z =  0, existe un w tal que z = w + 1, en cuyo caso x − y = z  ⇒  x = y + z = y + (w + 1) = (y + 1) + w  ⇒  x − (y + 1) = w. b ) Si existe z = y − x, tambi´ en va a existir (y + 1) − x porque

y − x = z ⇒  y = x + z ⇒  y + 1 = (x + z) + 1 = x + (w + 1)  ⇒

⇒  (y + 1) − x = w + 1. 

olo existe uno de los n´  umeros  Proposici´ on 2.11   Dados  x, y  ∈  IN , tales que  x   =  y , s´  x − y , y − x. Demostraci´ on:

Si tanto z = x − y como w = y − x, existen, se tiene y + 0 = y = x + w = (y + z) + w = y + (z + w) ⇒

⇒  0 = z + w  ⇒  z = w = 0  ⇒  x = y, en contra de la hip´otesis x   =  y.



Los dos enunciados anteriores no son sino lemas para probar un resultado importante:

2.7.

Multiplicaci´  on de n´  umeros naturales

27

Proposici´ on 2.12   Dados dos naturales  x, y   se cumple una y s´  olo una de las tres  siguientes opciones 

1. Existe z = x − y con z   = 0, 2. x = y, 3. Existe w = y − x con w   = 0. Demostraci´ on:

De entrada hay dos alternativas: a) x = y. En tal caso, se tiene z = x − y = 0, w = y  − x = 0, con lo cual se cumple la segunda opci´o n y s´olo ella. b) x   =  y. Despu´ es de las proposiciones previas existe uno y s´o lo uno de los n´umeros z = x − y, w = y − x. Sea el que sea, no puede ser nulo porque ello lleva a que x = y. Por tanto, se cumple una y s´olo una de las opciones primera o tercera. 

2.7.

Multiplicaci´ o n de n´ umeros naturales

Dados dos n´ umeros x, y ∈ IN , fijando x, definiremos el n´umero xy, llamado   producto de x por y, mediante la siguiente ley recurrente a) x0 = 0. b) ∀y  ∈  IN  ⇒  x(y + 1) = xy + x. La operaci´on IN × IN  →  IN  que a cada pareja de n´umeros le asigna su producto on de n´ umeros naturales. Los datos se nombran como se llama  multiplicaci´ multiplicando (o  primer factor) y   multiplicador (o   segundo factor).

Proposici´ on 2.13   Para cualesquiera  x, y,z ∈  IN , se cumple 

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, (xy)z = x(yz). Demostraci´ on:

Se hace por recurrencia en z: 1. x(y + z) = xy + xz, a ) x(y + 0) = xy = xy + 0 = xy + x0,

Cap´ıtulo 2. N´  umeros Naturales

28

b ) x(y + (z + 1)) = x((y + z) + 1) = x(y + z) + x =

= (xy + xz) + x = xy + (xz + x) = xy + x(z + 1). 2. (x + y)z = xz + yz a ) (x + y)0 = 0 = 0 + 0 =  x0 + y0, b ) (x + y)(z + 1) = (x + y)z + (x + y) =

= (xz + yz) + (x + y) = (xz + x) + (yz + y) = x(z + 1) + y(z + 1). 3. (xy)z = x(yz), a ) (xy)0 = 0 = x0 = x(y0), b ) (xy)(z + 1) = (xy)z + xy = x(yz) + xy =

= x(yz + y) = x(y(z + 1)). 

Este teorema dice que la multiplicaci´o n de n´ umeros naturales es distributiva (por ambos lados) respecto de la adici´on y que es asociativa. Proposici´ on 2.14   Para todo x  ∈  IN   se cumple 

x0 = 0 = 0x, x1 = x = 1x. 1. La igualdad x0 = 0 va inclu´ıda en la definici´on. La otra se prueba por recurrencia en x: a ) 00 = 0, b ) 0(x + 1) = 0x + 0 = 0 + 0 = 0.

2. En primer lugar, tenemos x1 = x(0 + 1) = x0 + x = 0 + x = x. La otra igualdad se prueba por recurrencia en  x: a ) 10 = 0, b ) 1(x + 1) = 1x + 1 = x + 1.

Ahora se afirma que todo producto por cero es nulo y que el n´umero 1 es neutro en la multiplicaci´on. Proposici´ on 2.15   Para cualesquiera  x, y  ∈  IN , se cumple 

xy = yx.

2.7.

Multiplicaci´  on de n´  umeros naturales

29

Demostraci´ on:

Se hace por recurrencia en y: a) x0 = 0 = 0x, b) x(y + 1) = xy + x = yx + x = yx + 1x = (y + 1)x. 

Esta es la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on. Si a las propiedades de la adici´ on unimos las probadas para la multiplicaci´on, la terna (IN, +, ·) aparece como ´ ejemplo de lo que en Algebra se llama un   semianillo unitario y conmutativo. Hay otras propiedades de inter´es: Proposici´ on 2.16   Sean  x, y  ∈  IN , z ∈  IN  . Entonces, ∗

1. xy = 0  ⇒  x = 0, o bien, y = 0, 2. xz = yz  ⇒  x = y , 3. xy = 1  ⇒  x = y = 1. Demostraci´ on:

1. Si x = 0, no hay nada que probar. Si x =  0, existe z ∈  IN   tal que x =  z + 1, en cuyo caso 0 = xy = (z + 1)y = zy + y  ⇒  y = 0. 2. Sabemos (proposici´ on 2.10) que existe uno de los n´ umeros x − y, y − x. Si, por ejemplo, existe el primero, hay un natural  w  tal que x = y + w, en cuyo caso xz = (y + w)z = yz + wz = yz  ⇒  wz = 0. Como z =  0, seg´un lo anterior debe ser w = 0, con lo cual x = y. 3. Puesto que 1 =  0, ni x ni y   son nulos. Por ello existen c, d ∈ IN   tales que x = c + 1, y  = d + 1, en cuyo caso, xy = (c + 1)(d + 1) = cd + c + d + 1 = 1  ⇒

⇒  cd + c + d = 0 ⇒  c = d = 0  ⇒  x = 1, y = 1. 

La primera propiedad indica que en IN   no existen  divisores de cero. La segunda es on de factores no nulos. La tercera expresa que en la  propiedad de simplificaci´ la multiplicaci´on de IN  el u ´nico elemento con sim´etrico es el 1 y que ´este es sim´etrico de s´ı mismo.