MÉTODOS ELÉCTRICOS INGENIERÍA EN GEOCIENCIAS CIENCIAS DE LA TIERRA CVE.:4523 GPO.: C 16:00-17:00 HRS AULA: U11 Equipo:
OULOMBS
ORTÍZ ROSALES CINDY L. OSORIO VALLEJO NOHEMI OSORIO ORTIZ ADRIANA M. PACHECO AVIÑA IVAN RIVAS MALDONADO GILBERTO E. CASTILLO FLORES ADHEMAR
ING. MARTINEZ FLORES MIGUEL
L CAMPO ELECTRICO
La ley de Coulomb puede expresarse como: La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario. La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas. Se nombra en reconocimiento del físico francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que la enunció en 1785 y forma la base de la electroestática.
Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra.
La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas o positivas. En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.
Dichas mediciones permitieron determinar que: La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas: y
En consecuencia:
Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
Asociando ambas relaciones:
Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:
Variación de la fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales en función de la distancia. Enunciado de la Ley: La ley de Coulomb es válida solo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática. En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se expresa como:
Dadas dos cargas puntuales
y separadas una distancia en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:
Donde es un vector unitario, siendo su dirección desde las cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta. Al aplicar esta fórmula fór mula en un ejercicio, se debe colocar coloca r el signo de las cargas q1 o q2, según sean estas positivas o negativas. El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma
, entonces
.
La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es. es.
La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.
Concepto de campo Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia. Supongamos, que solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.
Cada punto P del espacio que rodea a la carga Q tiene una nueva propiedad, que se denomina campo eléctrico E que describiremos mediante una magnitud vectorial, que se define como la fuerza sobre la unidad de carga positiva imaginariamente situada en el punto P.
La unidad de medida del campo en el S.I. de Unidades es el N/C En la figura, hemos dibujado el campo en el punto P producido por una carga Q positiva y negativa respectivamente.
Energía potencial La La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa. El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía potencial.
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria. ·cosθ =F·dr . dW =F·dl=F·dl ·cos Donde dr es el desplazamiento des plazamiento infinitesimal de la partícula par tícula cargada q en la dirección radial. Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante r A del centro de fuerzas y la posición final B, distante r B del centro fijo de fuerzas.
El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es conservativa. es conservativa. La fórmula de la energía potencial es
=∞, E p=0 El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r =∞,
El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.
Concepto de potencial Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P, V=E p /q. El potencial es una magnitud escalar.
La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).
Relaciones entre fuerzas y campos Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es F=qE , cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mismo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o negativa.
Relaciones entre campo y diferencia de potencial La relación entre campo eléctrico y el potencial es.
En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es el área bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constante V A-V B=E·d que que es el área del rectángulo sombreado.
El campo eléctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino cerrado se cumple
Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante el operador gradiente.
Trabajo realizado por el campo eléctrico e léctrico El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una posición en el que el potencial es V A a otro lugar en el que el potencial es V B es
El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y V A>V B entonces W >0. >0. El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto. Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el potencial más alto. Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el potencial más bajo.
Campo eléctrico y potencial de una carga puntual El campo El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene representado por un vector de
módulo dirección radial sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa
El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale
Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos. En la figura, se representan las líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga. Las equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.
Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas. Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la figura.
El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es
Y las componentes del campo total son
Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es
Tal como se muestra en la figura.
El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.
Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
La ecuación de las líneas equipotenciales es
SUPERPOSICIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS La descripción de la influencia de una carga aislada en términos de campos puede generalizarse al caso de un sistema formado por dos o más cargas y extenderse posteriormente al estudio de un cuerpo cargado. La experiencia demuestra que las influencias de las cargas aisladas que constituyen el sistema son aditivas, es decir, se suman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E en un punto cualquiera del espacio que rodea dos cargas Q1 y Q2 será la suma vectorial de las intensidades E1 y E2 debidas a cada una de las cargas individualmente consideradas. Este principio de superposición se refleja en el mapa de líneas de fuerza correspondiente. Tanto si las cargas son de igual signo como si son de signos opuestos, la distorsión de las líneas de fuerza, respecto de la forma radial que tendrían si las cargas estuvieran solitarias, es máxima en la zona central, es decir, en la región más cercana a ambas.
Si las cargas tienen la misma magnitud, el mapa resulta simétrico respecto de la línea media que separa ambas cargas. En caso contrario, la influencia en el espacio, que será predominante para una de ellas, da lugar a una distribución asimétrica de líneas de fuerza.
Cuando una partícula de carga q y masa m se sitúa en un campo eléctrico E. la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga es q E . Si ésta es la única fuerza ejercida sobre la partícula, debe ser la fuerza neta y, por ende, debe causar que la partícula se acelere. En este caso la segunda ley de \newton aplicada a la partícula produce
Por tanto, la aceleración de la partícula es
Si E es uniforme (es decir, constante en magnitud y dirección), entonces la aceleración es constante. Si la partícula tiene una carga positiva, la aceleración está en la dirección del campo eléctrico. Si la partícula tiene carga negativa, entonces la aceleración es en la dirección opuesta del campo eléctrico. El campo eléctrico en la región entre 2 placas metálicas planas con cargas opuestas es casi uniforme (Fig. 6.1). Suponga que un electrón de carga —c se proyecta horizontalmente dentro de este campo a una velocidad inicia! v\. Puesto que- el campo eléctrico E en la figura 6.1 está en la dirección y positiva, la aceleración fiel electrón es en la dirección y negativa. Es decir:
Ya que la aceleración es constante, se pueden aplicar las ecuaciones de la cinemática en dos dimensiones con V xi = V i y V yi . Después de que el electrón ha estado en el campo eléctrico durante un tiempo t, las componentes de su velocidad son V x
= V i = constante
Un electrón se lanza horizontalmente en un campo eléctrico uniforme producido por dos placas cargadas . El electrón experimenta una aceleración descendente (opuesta a E) y su movimiento es parabólico mientras está entre las placas. ECUACION 6.5
ECUACION 6.6
Al sustituir el valor t = x/ V i , de la ecuación 6.5, en la ecuación 6.6, se ve que y es proporcional a x². Por tanto, la trayectoria es una parábola. Después de que el electrón abandona el campo continúa moviéndose en una línea recta en la dirección de v en la figura 6.1, obedeciendo la primera ley de Newton, a una rapidez v > v t . Observe que se ha ignorado la fuerza gravitacional que actúa sobre el electrón.
Esta es una buena aproximación cuando se trabaja con partículas atómicas. Para un campo eléctrico de 10 4 N/C, la relación entre la magnitud de la fuerza eléctrica e.E y la magnitud de la fuerza gravitacional mg es del orden de 10 14 para un electrón y del orden de 10 11 para un protón.
EY DE GAUSS Y FLUJO ELECTRICO
¿Qué es el flujo de campo eléctrico? El matemático y físico alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855) estableció una relación entre el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada y la carga almacenada en su interior. El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (ΦE) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el newton por metro cuadrado y por culombio (N·m 2/C). Esta definición comprende dos conceptos importantes: Por un lado, el número de líneas de fuerza, que como ya estudiamos anteriormente es siempre proporcional al módulo de la la intensidad del campo eléctrico. Por otro, la superficie que atraviesan dichas líneas de fuerza. Cada superficie plana se puede representar por medio de un vector S→ que se caracteriza porque: S→ es siempre perpendicular a a dicha superficie.
El módulo de S→ equivale al área de la superficie.
Para calcular el flujo eléctrico consideraremos varios casos: Campo eléctrico uniforme o Superficie plana perpendicular al campo eléctrico. Superficie plana no perpendicular al campo eléctrico. o Campo eléctrico no uniforme Superficie cualquiera abierta. o o Superficie cualquiera cerrada.
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA PERPENDICULAR Si nos atenemos a la definición de flujo eléctrico, cuando disponemos de un campo eléctrico uniforme E→ y una superficie S→, el flujo eléctrico (Φ E) se puede calcular por medio de la siguiente expresión: ΦE=E→·S→
Si consideramos que la superficie es perpendicular al campo eléctrico (es decir, S y E forman un ángulo de 0º entre ellos), aplicando la definición la definición de producto escalar obtenemos que: ΦE=E→·S→=E·S·cos 0 =E·S
El flujo eléctrico que atraviesa una superficie plana perpendicular a un campo eléctrico uniforme, viene determinado por la siguiente expresión: ΦE=E·S
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA NO PERPENDICULAR En este caso, el ángulo (α) que forman el vector E→ y el vector S→ no es 0, por
tanto el flujo eléctrico dependerá de dicho ángulo: ΦE=E→·S→=E·S·cos α El flujo eléctrico (Φ E) que atraviesa una superficie plana S→ no perpendicular a un campo eléctrico uniforme E→, viene determinado por la siguiente expresión:
ΦE=E·S·cos α
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME A TRAVÉS DE CUALQUIER TIPO DE SUPERFICIE ABIERTA. Lo más común es que los campos eléctricos no sean uniformes y las superficies no sean planas. En este caso, para calcular el flujo eléctrico es necesario dividir la superficie en pequeñas superficies elementales (d S→), cuyo carácter infinitesimal nos permita considerar que E→ en cada una de esas superficies elementales es constante. De esta forma, podemos definir el flujo que atraviesa cada superficie elemental de la siguiente forma: dΦ=E→·dS→
Una vez conocido el flujo que atraviesa cada superficie elemental, el flujo total que atraviesa toda la superficie será la suma de todos esos diferenciales de flujo. El flujo eléctrico que atraviesa una superficie no plana y creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión: ΦE=∫SE→·dS→
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME A TRAVÉS DE CUALQUIER TIPO DE SUPERFICIE CERRADA. Basándonos en el flujo de campo eléctricos no uniformes que atraviesan superficies abiertas, es posible deducir que si disponemos de una superficie cualquiera cerrada, el flujo en dicha superficie se puede obtener como la suma de los flujos de cada una de las superficies sup erficies abiertas que constituyen dicha superficie. El flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión: ΦE= SE→·dS→
En clase definimos la cantidad de flujo como la cantidad de energía que penetra una superficie por unidad de tiempo.
Y el flujo eléctrico como el número de líneas de campo que pasa por una superficie determinada. Una imagen representando el flujo eléctrico. Un flujo eléctrico uniforme atraviesa un área, las líneas de fuerza en la figura señalan que el campo es uniforme.
Cuando el área de superficie se gira deja de ser perpendicular el campo eléctrico, el flujo se reduce, hay un menor número de líneas de campo a través de ella. Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar.
EJEMPLOS Una lámina plana tiene forma rectangular, con lados cuya longitud es de 0.400 m y 0.600 m. Se introduce la lámina en un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 75.0 N/C y cuya dirección forma un ángulo de 20o con respecto al plano de la lámina (ver figura). Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina. Datos: E = 75 N/C Base Base = 0.6 0.6 m Altura Altur a = 0.4 m Calcular la magnitud del flujo eléctrico. ΦE = EA Sen θ ΦE = 75 (0.6 x 0.4) Sen (20) ΦE = 6.16 Nm 2/ C
Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico total vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide. Datos: E = 52 N/C Base = 6m Altura = 6m Calcular el flujo eléctrico total. ΦE= EA ΦE = 52 (6x6) ΦE = 1872 Nm 2/C
Puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday (Un volumen V sin carga eléctrica rodeado por una superficie conductora cerrada S). El potencial φ en el interior del conductor cumple la ecuación de Laplace: ∇2φ = 0 ∀r ∈V Dado que el conductor está en equilibrio en su
superficie no hay corrientes, de modo que el potencial en su superficie es constante:φ|S=φ0.
En virtud del teorema de unicidad del potencial el potencial que cumple tales condiciones es único y puede verse que la solución es trivialmente: φ = φ0 ∀r ∈ R. Por lo tanto E = − ∇φ = 0
De modo que el campo eléctrico en el interior es nulo. ◦ Evitar el ruido molesto de las interferencias entre el teléfono móvil y su altavoz. ◦ Dejar sin señal: (teléfonos móviles, módems, etc.) ◦ Evitar interferencias entre altavoces y una frecuencia de radio.
AULA DE FARADAY Una jaula de Faraday es una caja metálica que protege de los campos eléctricos estáticos. Debe su nombre al físico Michael Faraday, que construyó una en 1836. Se emplean para proteger de descargas eléctricas, ya que en su interior el campo eléctrico es nulo. El funcionamiento de la jaula de Faraday se basa en las propiedades de un conductor en equilibrio electrostático. Cuando la caja metálica se coloca en presencia de un campo eléctrico externo, las cargas positivas se quedan en las posiciones de la red; los electrones, sin embargo, que en un metal son libres, empiezan a moverse puesto que sobre ellos actúa una fuerza dada por: =
Donde e es la carga del electrón. Como la carga del electrón es negativa, los electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico y, aunque la carga total del conductor es cero, uno de los lados de la caja (en el que se acumulan los electrones) se queda con un exceso de carga negativa, mientras que el otro lado queda con un defecto de electrones (carga positiva). Este desplazamiento de las cargas hace que en el interior de la caja se cree un campo eléctrico de sentido contrario al campo externo, representado en azul. El campo eléctrico resultante en el interior del conductor es por tanto nulo. Como en el interior de la caja no hay campo, ninguna carga puede atravesarla; por ello se emplea para proteger dispositivos de cargas eléctricas. El fenómeno se denomina apantallamiento eléctrico.
PRACTICA 1 Introducción: Tomando como base la jaula de Faraday, pero orientado más hacia los campos eléctricos y magnéticos que utilizan los celulares, probaremos entonces que la jaula de Faraday y la teoría que maneja es cierta con ésta práctica. Materiales: Tela de malla Estaño Cautín Celulares
Metodología: 1. Se crea una pequeña jaula, que en nuestro caso fue una especie de caja, con la ayuda del cautín y el estaño para poder unir los lados de la caja. (Ver Fig 1 y 2) 2. Una vez ensamblada, se coloca un celular dentro, y se busca la manera de que este bien cerrada dicha caja, que no queden lados abiertos, y que la tapa toque muy bien los lados de la caja para un mejor resultado, y así evitando agujeros que hagan pasar los campos. 3. Se hace una llamada desde otro celular, y si estamos haciendo bien el sellado de nuestra caja, tal como en nuestra practica se hizo, no entra la llamada (Ver Fig 3) debido a que el campo electromagnético en el interior de nuestra jaula es nulo y ésta anula los efectos de campos externos. 4. Para comprobar que era cierto, y no solo casualidad, decidimos abrir la caja y realizar otra llamada, y ésta vez si entró. (Ver Fig 4)
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Fig 4
Conclusión: Es cierto lo que se dice de la jaula, aunque no podemos ver los campos con los que el celular trabaja, podemos darnos cuenta que si no entra la llamada obviamente la jaula es la que hace este efecto, dado que si abrimos la jaula, o la cerramos de una manera errónea, la llamada entrará normalmente.
