Cálculo Y Diseño De Redes: Capítulo

Capítulo

CÁLCULO Y DISEÑO DE REDES

3

Este capítulo se dedica al cálculo eléctrico de las redes de distribución y de baja tensión, así como al cálculo de la sección de los conductores con los que se construyen estas redes. En el apartado de cálculo se establecen las expresiones matemáticas que proporcionan los valores de corriente y de caída de tensión en los distribuidores más habituales. El análisis se realiza tanto para redes trifásicas como monofásicas. Posteriormente, el capítulo analiza el diseño de los distribuidores, es decir, la determinación de la sección de los conductores siguiendo diversos criterios.

3.1. Cálculos eléctricos

. d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

En este apartado se introduce el cálculo de la corriente y de la caída de tensión en las redes de distribución y en las redes de baja tensión. Como se analiza posteriormente, el cálculo eléctrico es necesario para el diseño de las líneas que constituyen estas redes. Las longitudes de las líneas de las redes de distribución y de las redes de baja tensión permiten emplear modelos simplificados de líneas cortas con parámetros concentrados en los que se desprecia el efecto capacitivo. En el Capítulo 1 se establece que las redes de distribución y de baja tensión pueden ser trifásicas y monofásicas. En primer lugar, se analizan las redes trifásicas para, posteriormente, extender los resultados obtenidos al caso de las redes monofásicas.

3.1.1.

Redes trifásicas

Los cálculos desarrollados en este apartado consideran la hipótesis de sistema trifásico equilibrado en régimen estacionario sinusoidal, lo que permite hacer uso del circuito monofásico equivalente (véase el Apéndice). El cálculo de las magnitudes eléctricas se puede realizar de forma for ma exacta aplicando las leyes de Kirchhoff. Sin embargo, con el objetivo de simplificar el proceso de cálculo empleado en el diseño de las redes de distribución y de baja tensión, en este apartado se introducen expresiones

Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

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Instalaciones eléctricas

aproximadas que aprovechan las características particulares de las configuraciones más habituales de estas redes: distribuidor radial con c on un único consumo, distribuidor radial con múltiples consumos, distribuidor radial alimentado por los dos extremos y distribuidor en anillo.

3.1.1.1. Distribuidor radial con un consumo La Figura 3.1 muestra el esquema unifilar del modelo de distribuidor más simple: una línea alimentada por el extremo suministrador S y con una única carga concentrada en el extremo receptor R. La Figura 3.2 representa el circuito monofásico equivalente de la línea, donde V S y V R son, respectivamente, las tensiones simples de los extremos suministrador y receptor, I es es la corriente que circula por cada fase de la línea (corriente de línea), y R y X denotan denotan la resistencia y la reactancia por fase, respectivamente. La caída de tensión ∆V L de la línea se define como la diferencia aritmética entre los módulos de las tensiones de línea en ambos extremos de la línea. Teniendo en cuenta que el módulo de la tensión de línea es 3 veces el módulo de la tensión simple, la caída de tensión se puede expresar como:

∆V L = VLS − VLR = 3VS − 3VR = 3 (VS − VR )

(3.1)

La aplicación de la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la Figura 3.2 relaciona las tensiones simples en ambos extremos de la línea con su impedancia: R + jX ) V S = V R + I ( R

(3.2)

Si se toma la tensión V R como referencia de fase y se supone que la corriente consumida, que coincide con la que recorre la línea, I , está retrasada un ángulo j respecto a la tensión simple V R (receptor inductivo), la tensión simple en el e l extremo suministrador se puede expresar como: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

XI cos cos j + XI sen sen j + V R + j( XI cos j − RI sen sen j) V S = RI cos

(3.3)

donde j es positivo para cargas inductivas y negativo para cargas capacitivas. La Figura 3.3 muestra el diagrama fasorial correspondiente a (3.2) y (3.3). Operando convenientemente sobre (3.3), el módulo de V S se puede expresar como: VS =

(VR cos ϕ + RI )2 + (VR sen ϕ + XI )2

R S

R Consumo

Figura 3.1. Distribuidor radial con un consumo. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

(3.4)

jX

I

+

+

V S

V R

–

–

Figura 3.2. Circuito monofásico equivalente de una línea trifásica.

Cálculo y diseño de redes

71

G V S

jX I O

A

B

C

D

V R I

RI

E

F

Figura 3.3. Diagrama fasorial correspondiente a (3.2) y (3.3). resultado que se puede comprobar en la Figura 3.3. Sin embargo, (3.4) no permite obtener explícitamente la caída de tensión. De la Figura 3.3 se puede deducir la siguiente relación entre los módulos de las tensiones simples en los extremos de la línea: VS − V R = AB + BC + CD = AB + EF + CD X sen ϕ + VS − V − ( XI cos ϕ − RI sen ϕ ) = RI cos ϕ + XI 2 S

2

(3.5)

En la práctica, las caídas de tensión son pequeñas, por lo que el segmento CD se puede despreciar, dando lugar a la expresión aproximada: V S − V R ≈ AB + BC = RI cos cos j + XI sen sen j

(3.6)

El error cometido con esta aproximación es nulo cuando el ángulo j cumple la siguiente relación: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

X

ϕ = arctan

R

(3.7)

Esta afirmación se puede comprobar si se observa que la parte imaginaria de (3.3) se anula cuando se cumple (3.7). Por tanto, sustituyendo (3.6) en (3.1), la caída de tensión de la línea resulta:

∆V L = 3 ( RI cos j + XI sen j) = 3 ( RIa + XIr )

(3.8)

En (3.8) se han introducido los términos I a e I r , denominados componentes activa y reactiva de la corriente, respectivamente. La caída de tensión se descompone, por tanto, en dos sumandos: i) la caída de tensión debida a la componente activa, supuesta la línea resistiva pura, y ii) la caída de tensión debida a la componente reactiva, supuesta la línea inductiva pura. Si se tienen en cuenta las potencias activa y reactiva del receptor: P=

3V LR I cos j

(3.9)

Q=

3V LR I sen j

(3.10)


72


la caída de tensión también se puede expresar de la siguiente forma: 1

∆V L =

V LR

( RP + XQ)

(3.11)

Si se supone que la caída de tensión es pequeña, la tensión nominal de la línea V N (valor entre fases) es prácticamente igual al módulo de la tensión de línea en cualquiera de los dos extremos, V N ≈ V LR ≈ V LS . Por tanto, (3.11) se convierte en:

∆V L =

1 V N

( RP + XQ)

(3.12)

En la práctica, la caída de tensión se suele expresar en tanto por ciento de la tensión nominal de la línea:

e =

∆V L V N

·100

(3.13)

donde e es la caída de tensión relativa. Haciendo uso de (3.8), la caída de tensión relativa se puede expresar de forma aproximada como:

e=

3 ( RI cos j + XI sen j) V N

·100 =

3 ( RIa + XI r ) V N

·100

(3.14)

Finalmente, la siguiente expresión establece la relación entre la caída de tensión relativa y las potencias activa y reactiva del extremo receptor:

e =


1 2 V N

( RP + XQ)100

(3.15)

A continuación, se resuelve un ejemplo en el que se comparan las expresiones exacta y aproximada de la caída de tensión.

EJEMPLO 3.1. Cálculo eléctrico de un distribuidor trifásico radial con un consumo Se considera una línea de distribución trifásica a 50 Hz, de 20 km de longitud, que suministra 4.000 kW con un factor de potencia 0,8 inductivo a 20 kV en el extremo receptor. La línea está construida con un conductor caracterizado por una resistencia eléctrica igual a 0,6136 Ω /km y una inductancia igual a 0,00134 H/km. Se determina, a continuación, el módulo de la tensión en el extremo suministrador y la caída de tensión relativa usando las expresiones exacta y aproximada. La resistencia por fase es R = 0,6136 · 20 = 12,27 Ω. La reactancia por fase es X = w L = 2 p fL = 2 p 50 · 0,00134 · 20 = 8,42 Ω. El valor de la corriente que circula por la línea, teniendo en cuenta la potencia absorbida por el receptor es: I =

P

3V LR cos j

=

4.000.000 3 · 20. 000 · 0 ,8


= 144, 34 A

Cálculo y diseño de redes Tomando como referencia de fases la tensión simple en el extremo receptor V R = la expresión vectorial de la corriente de línea es:

20.000 3

73

∠ 0 º V,

I = 144,34 ∠ − arccos 0,8 = 144,34 ∠ −36,87º A La tensión simple en el extremo suministrador se puede calcular de forma exacta con (3.2): V S =

20.000 3

∠ 0 + (144, 34 ∠ −36, 87 ) (12,27 + j8 ,42 ) = 13. 693, 35 ∠ − 0 ,37 º V

Por tanto, el módulo de la tensión compuesta en el extremo suministrador es: V LS =

3 V S = 23.717,58 V

Con este valor se puede calcular la caída de tensión exacta (3.1):

∆V L = V LS − V LR = 23.717,58 − 20.000 = 3.717,58 V Finalmente, la caída de tensión relativa se puede obtener usando (3.13):

e =

3.717, 58 20.000

· 100 = 18, 59 %

De forma aproximada, se puede calcular el módulo de la tensión en el extremo suministrador a partir de (3.8) y teniendo en cuenta que j es igual a 36,87º (carga inductiva): V LS = VLR + ∆VL = VLR +

j) = 3 ( RI cos j + XI sen

= 20.000 + 3 (12,27 · 144 ,34 · 0 ,8 + 8 ,42 · 144 ,34 · 0 ,6 ) = 23 .717 ,0 6 V


Obsérvese que el error cometido respecto a la solución exacta es de 0,52 V, es decir, un 0,002 %. Finalmente, la caída de tensión relativa usando la expresión aproximada (3.14) es:

e =

3 (12,27 · 144 ,34 · 0 ,8 + 8 ,42 · 144 ,34 · 0 ,6 ) 20.000

· 100 = 18, 59 %

valor que coincide con el calculado de forma exacta.

3.1.1.2. Distribuidor radial con múltiples derivaciones La Figura 3.4 muestra el esquema unifilar de un distribuidor radial, alimentado por un extremo, con n derivaciones en su trazado. Obsérvese que este distribuidor está formado por la asociación en serie de n distribuidores simples idénticos al analizado en el apartado anterior. De la aplicación de la primera ley de Kirchhoff se deduce que la corriente que recorre cada tramo es la suma de las corrientes absorbidas por los receptores conectados entre el extremo final de ese tramo y el extremo final del tramo n. Por ejemplo, para el tramo 1:


74

Instalaciones eléctricas Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

Tramo n

S

... I S

1

2

3

n

Figura 3.4. Distribuidor radial con múltiples derivaciones.

n

IS =

∑ I

(3.16)

i

i =1

donde I S es la corriente inyectada por el extremo de alimentación S, e I i es la corriente absorbida por la derivación i. Para calcular las corrientes que recorren el distribuidor es, por tanto, necesario conocer los fasores de las corrientes consumidas I i con respecto a una única referencia de fases. Sin embargo, esta información no suele estar disponible en la práctica. Por ejemplo, los consumos se caracterizan por un factor de potencia que relaciona el ángulo de fase de la corriente consumida con el de la tensión del punto donde están conectados, siendo ambos ángulos desconocidos. Para facilitar los cálculos se asume la hipótesis de que las diferencias de fase de las tensiones de los nudos son pequeñas, por lo que es inmediato obtener las expresiones vectoriales de las corrientes consumidas en cada derivación: I i ≈ I ai − jI ri = I i cos ji − jI i sen ji


(3.17)

donde I i es el módulo de I i, I ai e I ri representan las componentes activa y reactiva de la corriente absorbida por la derivación i, respectivamente, y ji es el desfase entre la tensión y la corriente del consumo i, siendo positivo para cargas inductivas y negativo para cargas capacitivas. Si la información disponible de los consumos está expresada en términos de potencias, las corrientes en cada derivación se calculan considerando la hipótesis habitual de que la caída de tensión en el distribuidor es pequeña, por lo que la tensión en cada derivación es prácticamente igual a la tensión nominal del distribuidor: I i ≈ I ai − jI ri =

Pi

3V Li

− j

Qi

3V Li

≈

Pi

3V N

− j

Qi

3V N

(3.18)

donde V Li es el módulo de la tensión de línea en la derivación i, y Pi y Qi son las respectivas potencias activa y reactiva del consumo i, siendo Qi positiva para cargas inductivas y negativa para cargas capacitivas. En este tipo de distribuidores, la caída de tensión máxima se produce en el punto más ale jado de la alimentación, es decir, en el extremo final de la línea donde se conecta el receptor n. La caída de tensión total entre los dos extremos del distribuidor se puede obtener de forma exacta aplicando la segunda ley de Kirchhoff. En la práctica, se simplifica el cálculo aplicando el principio de superposición a la expresión aproximada (3.8), de forma que la caída de tensión total es igual a la suma de las caídas aproximadas de tensión en cada tramo. La caída de tensión en el tramo i es:


Cálculo y diseño de redes n  n  ∆V Li = 3  Ri ∑ Iaj + Xi ∑ Irj   j = i  j = i

75

(3.19)

donde Ri y X i son la resistencia y la reactancia por fase del tramo i, respectivamente. La caída de tensión total es, por tanto: n  n  ∆V LT = ∑ ∆VLi = 3 ∑  Ri ∑ Iaj + Xi ∑ Irj   i =1 i = 1  j = i j = i n

n

(3.20)

La Expresión (3.20) se puede reorganizar de la siguiente forma:

 i   i   ∆V LT = 3 ∑  ∑ Rj  Iai +  ∑ X j  I ri  =  j = 1   i =1   j = 1  n

n

3

∑ ( R I

Ti ai

+ XTi I ri )

(3.21)

i =1

donde RTi y X Ti son, respectivamente, la resistencia y la reactancia por fase acumuladas desde el extremo suministrador hasta la derivación i. A partir de las potencias activa y reactiva consumidas en cada derivación la caída de tensión total se puede expresar como:

∆V LT =

1 V N

n

∑ ( R P + X Q ) Ti i

Ti

i

(3.22)

i =1

Obsérvese que (3.21) y (3.22) se reducen respectivamente a (3.8) y (3.12) para el caso de una única derivación.

EJEMPLO 3.2. Cálculo de la caída de tensión en un distribuidor trifásico radial con múltiples cargas . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

Una red radial trifásica de 20 kV suministra a tres consumos de 100 kVA situados a 5, 15 y 20 km respectivamente del origen. Los factores de potencia de los consumos son 1, 0,6 y 0,8, todos ellos inductivos. La línea está construida con un conductor de resistencia y reactancia iguales a 0,6136 Ω /km y 0,4 Ω /km, respectivamente. Se determina a continuación la caída de tensión máxima en la línea. En primer lugar, se calculan las resistencias y reactancias por fase acumuladas hasta cada derivación: RT 1 = 0,6136 · 5 = 3,068 Ω, X T 1 = 0,4 · 5 = 2 Ω RT 2 = 0,6136 · 15 = 9,204 Ω, X T 2 = 0,4 · 15 = 6 Ω RT 3 = 0,6136 · 20 = 12,272 Ω, X T 3 = 0,4 · 20 = 8 Ω

A continuación, se calculan las potencias activa y reactiva de cada consumo: P1 = S 1 cos j1 = 100 · 103 · 1 = 100 kW, Q1 = P1 tan(arccos 1) = 100 · 103 · 0 = 0 kVAr P2 = S 2 cos j2 = 100 · 103 · 0,6 = 60 kW, Q2 = P2 tan(arccos 0,6) = 60 · 103 · 1,33 = 80 kVAr P3 = S 3 cos j3 = 100 · 103 · 0,8 = 80 kW, Q3 = P3 tan(arccos 0,8) = 80 · 103 · 0,75 = 60 kVAr


76

Instalaciones eléctricas Finalmente, la caída de tensión total se calcula aplicando (3.22):

∆V LT = =

1 V N

( RT 1 P1 + XT 1Q1 + RT 2 P2 + XT 2Q2 + RT 3 P3 + XT 3Q3 ) =

1.000 20.000

(3,068 · 100 + 2 · 0 + 9 ,204 · 60 + 6 · 8 0 + 12,272 · 80 + 8 · 60 ) = 140 ,04 V

que, en términos relativos, equivale a:

e =

∆V LT V N

· 100 =

140,04

· 100 = 0 ,70 %

20.000

Un caso especial de este tipo de distribuidor se presenta cuando a lo largo de la línea se reparte equidistantemente un número determinado de consumos idénticos, tal como muestra la Figura 3.5. Obsérvese que en la Figura 3.5 en el extremo suministrador también hay un consumo, identificado con el índice 0. De acuerdo con (3.21), la caída de tensión total es: n

∆V LT = 3

∑ (R I

Ti ai

i =1

n  n  X X Ti  + XTi Iri ) = 3  I ai ∑ RTi + I ri ∑  i = 1  i =1

(3.23)

donde se ha tenido en cuenta que los consumos son idénticos. Si se considera que el distribuidor está construido con el mismo tipo de conductor, las resistencias de todos los tramos son idénticas. De forma similar, las reactancias de todos los tramos son también iguales. Por tanto, la caída de tensión total se puede expresar como: n n   ∆V LT = 3  Iai Ri ∑ i + Iri Xi ∑ i =  i = 1 i = 1 


 

3 I ai Ri

n(n + 1)

2

+ Iri X i

n(n + 1) 

2

 

(3.24)

o finalmente:

 R

X



∆V LT = 3  T I aT + T I rT  2  2 

(3.25)

donde I aT e I rT son las componentes activa y reactiva de la corriente total consumida a lo largo del distribuidor ( n + 1 derivaciones), y RT y X T representan la resistencia y la reactancia totales por fase del distribuidor, es decir, de los n tramos. Por tanto, se concluye que el distribuidor de la Figura 3.5 es equivalente a un distribuidor simple en el que toda la carga se encuentra situada en el punto medio. Tramo 1

S

Tramo 2

Tramo n

... 0

1

2

n

Figura 3.5. Distribuidor radial con múltiples consumos idénticos y equidistantes. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.


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De forma análoga, la caída de tensión se puede expresar en función de las potencias activa y reactiva totales, PT y QT :

∆V LT =

1  RT

 V N  2

PT +

X T

2

 

QT 

(3.26)

El caso de la Figura 3.5 se puede extender al de un distribuidor de longitud , caracterizado por un consumo uniformemente repartido o consumo por unidad de longitud de componentes ia e ir , y por una impedancia por unidad de longitud y por fase igual a r + jx (Figura 3.6). Este tipo de consumo es representativo de cargas tales como el alumbrado de calles y carreteras. Si se considera un elemento diferencial de longitud de la línea, dy, situado a una distancia y del extremo suministrador, (3.21) se transforma en la siguiente forma integral: 

 ria 2 ∆V LT = 3 (ryia dy + xyir dy) = 3  + 2  0

∫

xir 2 

 R

X



= 3  T I aT + T I rT   2  2  2 

(3.27)

o igualmente:

∆V LT =

1  RT V N

 2

PT +

X T

2

 

QT 

(3.28)

Como se puede apreciar, se llega a las mismas conclusiones que en el caso de una distribución discreta de cargas. Frecuentemente, los distribuidores contienen cargas repartidas irregularmente y cargas uniformes, dando lugar a los llamados distribuidores mixtos. Para calcular la caída de tensión en los distribuidores mixtos se convierten primero las cargas uniformes a sus equivalentes y después se procede como si se tratara de un distribuidor exclusivamente con cargas irregularmente distribuidas, aplicando (3.21) o (3.22). El Ejemplo 3.3 ilustra el uso del distribuidor equivalente de un distribuidor con consumos idénticos equidistantes. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

EJEMPLO 3.3. Cálculo de la caída de tensión en un distribuidor trifásico radial con cargas idénticas equidistantes La Figura 3.7 a) muestra una red radial trifásica de 20 kV que suministra a 10 consumos de 100 kW y factor de potencia 0,707 inductivo, espaciados entre sí 1 km. El primer consumo se encuentra



y

S

dy

ia  jir dy

Figura 3.6. Distribuidor radial con consumo uniformemente repartido. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

78

Instalaciones eléctricas 10 km S

1 km

5,5 km

1 km

S

... 100 kW 100 kW 100 kW 0,707 inductivo 0,707 inductivo 0,707 inductivo

1000 kW 0,707 inductivo

a)

b)

Figura 3.7. Distribuidor del Ejemplo 3.3 y distribuidor equivalente.

a 1 km del extremo suministrador de la red. La línea está construida con un conductor caracterizado por una resistencia eléctrica igual a 0,6136 Ω /km y una reactancia igual a 0,4 Ω /km. Se determina a continuación la caída de tensión máxima en la línea. El distribuidor de la Figura 3.7 a) es idéntico al de la Figura 3.5 con la excepción de que no hay consumo en el extremo suministrador. Para resolver este problema se transforman las 10 cargas en una carga equivalente de 1.000 kW y factor de potencia 0,707 inductivo, situada en el punto medio del tramo de línea comprendido entre las cargas extremas, es decir, a 5,5 km del extremo suministrador. Como se puede apreciar en la Figura 3.7 b), el distribuidor equivalente es un distribuidor radial simple con un consumo, como el analizado en el Apartado 3.1.1.1. La potencia reactiva total consumida es: QT = PT tan (arccos 0,707) = 1.000.000 tan 45 = 1.000 kVAr

Por otro lado, los valores de la resistencia y de la reactancia por fase del distribuidor equivalente son: Req = 0,6136 · 5,5 = 3,3748 Ω X eq = 0,4 · 5,5 = 2,2 Ω

La caída de tensión total es igual a la caída de tensión en el distribuidor equivalente, que se obtiene aplicando (3.12): . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

∆V LT =

1 V N

( Req PT + Xeq QT ) =

1.000 20.000

(3, 3748 · 1.0 000 + 2, 2 · 1.000 ) = 278 ,74 V

Por último, la caída de tensión relativa es:

e =

∆V LT V N

· 100 =

278,74 20.000

· 100 = 1,39 %

3.1.1.3. Distribuidor alimentado por los dos extremos En las redes de distribución y en las redes de baja tensión es habitual encontrar distribuidores alimentados por ambos extremos con los objetivos de reducir el coste de la línea y aumentar la seguridad del suministro. La Figura 3.8 muestra el esquema unifilar de un distribuidor alimentado por los dos extremos que da servicio a n consumos. I A e I B denotan las corrientes inyectadas por cada extremo A y B, respectivamente, ZTi es la impedancia por fase del distribuidor


Cálculo y diseño de redes I A

A

I A  I 1

1

2

I B

n

B

... I 1

I 2

79

I n

Z T 1

Z T 2

Z Tn

Z T

Figura 3.8. Distribuidor alimentado por los dos extremos.

acumulada desde el extremo A hasta la derivación i, y ZT es la impedancia total por fase del distribuidor. El objetivo de los siguientes cálculos es obtener las corrientes que recorren el distribuidor y determinar el punto en el que se produce la máxima caída de tensión, denominado punto de mínima tensión. El punto de mínima tensión siempre es alguno de los puntos de consumo. Las corrientes inyectadas por los puntos de alimentación se relacionan por la primera ley de Kirchhoff: n

I A + IB =

∑ I i

(3.29)

i =1

Para obtener la caída de tensión total entre los extremos se puede usar la expresión aproximada (3.21), considerando la corriente I B como un consumo negativo situado en el extremo B: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

n

∆V LT = VLA − VLB = 3

∑ (R I

Ti ai

X T I rB ) + XTi Iri ) − 3 ( RT I aB + X

(3.30)

i =1

donde I aB e I rB son las componentes activa y reactiva de I B, y RT y X T representan la resistencia y la reactancia totales por fase del distribuidor. Como se puede apreciar, el problema formado por (3.29) y (3.30) es indeterminado ya que hay 4 incógnitas ( I aA, I rA, I aB e I rB) y sólo 3 ecuaciones (las dos correspondientes a (3.29) y la (3.30)). Por tanto, es necesario aplicar de forma exacta la segunda ley de Kirchhoff: n

DVT

= VA − VB = ZT 1 IA +

∑ (Z

Ti

− ZTi − 1)

i=2

 i − 1  IA − ∑ I j − ( ZT − ZTn) I B  j = 1 

(3.31)

donde DV T es la diferencia vectorial entre las tensiones simples de los extremos A y B. Combinando (3.29) y (3.31) y operando convenientemente se pueden determinar las corrientes inyectadas por los extremos en función de las corrientes de los consumos, de las impedancias y de la caída de tensión fasorial entre los extremos del distribuidor:


80

Instalaciones eléctricas n

n

I A =

∑ I −

∑ Z

I − DV T

Ti i

i =1

i

ZT

i =1

(3.32)

n

∑ Z

I − DV T

Ti i

i =1

I B =

ZT

(3.33)

Es importante resaltar que para resolver (3.32) y (3.33) es necesario conocer los fasores I i y DV T con respecto a una única referencia de fases. Considerando las mismas hipótesis que para un distribuidor radial alimentado por un extremo, se obtienen las expresiones vectoriales de las corrientes consumidas mediante (3.17) o (3.18). Una vez conocidas las corrientes inyectadas en cada extremo es posible calcular la diferencia entre la tensión del extremo A y la tensión en el punto de derivación k : k

V A − Vk = ZT 1 IA +

∑ (Z

Ti

i=2

 i −1  − ZTi − 1) I A − ∑ I j  j =1 

(3.34)

La caída de tensión fasorial entre el extremo B y el punto de derivación k se calcula de forma inmediata a partir de (3.34): k

V B − Vk = VB − VA + VA − Vk = − DVT + Z1 IA +

∑ (Z

Ti

i=2

i −1   − ZTi − 1) IA − ∑ I j   j = 1

(3.35)

Finalmente, se determinan las caídas de tensión de línea considerando el factor 3, y se identifica el punto de mínima tensión. El ejemplo siguiente ilustra los desarrollos matemáticos de este apartado. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

EJEMPLO 3.4. Cálculo de la caída de tensión en un distribuidor trifásico alimentado por los dos extremos La Figura 3.9 muestra las características de un distribuidor trifásico de 20 kV alimentado por los dos extremos. La línea se caracteriza por una resistencia igual a 0,6 Ω /km y una reactancia igual a 0,4 Ω /km. Se determina a continuación la caída de tensión máxima en la línea y el punto donde se produce si las tensiones en los dos extremos son idénticas.

1 km

1 km 1

A

cos

141,42 A 0,707 capacitivo

1 km 2

cos

100 A 0,8 inductivo

1 km 3

cos

100 A 0,8 capacitivo

Figura 3.9. Distribuidor del Ejemplo 3.4. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

B


81

Primero, se determinan las corrientes derivadas en los puntos de consumo: I 1 = 141,42 ∠ arccos 0,707 = 100 + j100 A I 2 = 100 ∠ −arccos 0,8 = 80 − j60 A I 3 = 100 ∠ arccos 0,8 = 80 + j60 A A continuación, se determinan las impedancias por fase acumuladas desde el extremo A hasta cada punto de derivación: ZT 1 = (0,6 + j0,4)1 = 0,6 + j0,4 Ω ZT 2 = (0,6 + j0,4)2 = 1,2 + j0,8 Ω ZT 3 = (0,6 + j0,4)3 = 1,8 + j1,2 Ω Igualmente, la impedancia total por fase de la línea es: ZT = (0,6 + j0,4)4 = 2,4 + j1,6 Ω La corriente I B se determina mediante (3.33) teniendo en cuenta que las tensiones de los dos extremos son idénticas: I B =

DV T es

(0,6 + j 0,4 )(100 + j100 ) + (1,2 + j0 ,8 )(80 − j60 ) + (1,8 + j1,2)(80 + j60 ) 2,4 + j1,6

igual a 0, ya que

= 125 + j 40 A

Haciendo uso de (3.29) se obtiene I A: I A = 100 + j100 + 80 − j60 + 80 + j60 − (125 + j40) = 135 + j60 A Con los valores de I A e I B se calcula la diferencia vectorial entre las tensiones de los extremos y de cada punto de derivación. Como las tensiones de los dos extremos son iguales es indiferente el extremo con respecto al cual se realiza este cálculo. Por ejemplo, para el extremo A se obtiene: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

V A − V 1 = ZT 1 I A = (0,6 + j0,4) (135 + j60) = 106,53 ∠ 57,65º V V A − V 2 = ZT 1 I A + ( ZT 2 − ZT 1) ( I A − I 1) = = 106,53 ∠ 57,65 + [(1,2 + j0,8) − (0,6 + j0,4)] [(135 + j60) − (100 + j100)] = = 123,43 ∠ 40,4º V V A − V 3 = ZT 1 I A + ( ZT 2 − ZT 1) ( I A − I 1) + ( ZT 3 − ZT 2) ( I A − I 1 − I 2) = = 106,53 ∠ 57,65 + [(1,8 + j1,2) − (1,2 + j0,8)] [(135 + j60) − (100 + j100) − (80 − j60)] = = 94,64 ∠ 51,43º V Finalmente, los módulos de las caídas de tensión de línea son:

∆V LA1 = 3 · 106,53 = 184,52 V ∆V LA2 = 3 · 123,43 = 213,79 V ∆V LA3 = 3 · 94,64 = 163,92 V


82

Instalaciones eléctricas Por tanto, el punto de mínima tensión se corresponde con la derivación del consumo 2. La máxima caída de tensión relativa en el distribuidor es: máx

e

=

∆V Lmáx

213,79

· 100 =

V N

20.000

· 100 = 1,07 %

El análisis de líneas alimentadas por los dos extremos puede simplificarse si los dos extremos están a la misma tensión y las impedancias de los tramos del distribuidor tienen el mismo desfase. Esta última condición se corresponde con casos prácticos en los que el distribuidor está construido con el mismo tipo de conductor o con casos en los que la reactancia de la línea es despreciable frente a la resistencia (por ejemplo, en líneas subterráneas). En este caso, (3.32) y (3.33) se transforman en: n

n

I A =

∑ I − i

i =1

n

∑ Z

I

Ti i

n

i =1

=

ZT

∑ I −

Ti i

i =1

Z T

i =1 n

∑ Z i =1

ZT

n

=

∑ I − i

i =1

Ti i

=

∑ R I Ti i

i =1

RT

(3.36)

n

∑ Z I ∑ R

I

Ti i

I B =

∑ Z I

i

n

n

i =1

=

Z T

I

Ti i

i =1

RT

(3.37)

Obsérvese que los fasores ZTi y ZT se han sustituido primero por sus módulos y finalmente por sus resistencias, aprovechando la relación constante entre resistencia e impedancia en todos los tramos. Estas relaciones son útiles para el cálculo de la sección de los conductores según el criterio de caída de tensión, que se analiza en el Apartado 3.2.2. La parte real y la parte imaginaria de (3.36) y (3.37) están desacopladas por lo que se pueden resolver de forma separada. Por ejemplo, para I B: n

∑ R I cos j Ti i


I B cos jB =

i

i =1

RT

(3.38)

(3.39)

n

∑ R I sen j Ti i

I B sen jB =

i

i =1

RT

Usando las definiciones de componentes activa y reactiva de la corriente: n

∑ R I

Ti ai

I aB =

i =1

RT

(3.40)

(3.41)

n

∑ R I

Ti ri

I rB =

i =1

RT



83

Teniendo en cuenta la hipótesis de caída de tensión pequeña, si se multiplican ambas expresiones por el factor 3 V N se obtienen expresiones análogas en función de las potencias activa y reactiva: n

∑ R P Ti i

P B =

i =1

RT

(3.42)

(3.43)

n

∑ R Q Ti

Q B =

i

i =1

RT

La aplicación de la primera ley de Kirchhoff permite obtener de forma sencilla la inyección de corriente o de potencia en el extremo A. Considerando que en todas las derivaciones se consume potencia activa, el punto de mínima tensión queda identificado como el nudo de carga a partir del cual el flujo de potencia activa (o de la componente activa de la corriente) cambia de sentido. De esta forma se ahorra el cálculo de las caídas de tensión de todos los nudos para determinar el punto de máxima caída. El Ejemplo 3.5 ilustra el uso de estas expresiones simplificadas.

EJEMPLO 3.5. Determinación del punto de mínima tensión en un distribuidor trifásico alimentado por los dos extremos a la misma tensión y construido con el mismo tipo de conductor Se identifica a continuación el punto de mínima tensión del distribuidor del Ejemplo 3.4. El distribuidor está alimentado por dos extremos a la misma tensión y emplea un único tipo de conductor, por lo que se pueden aplicar las expresiones simplificadas (3.36) a (3.43). Las resistencias por fase acumuladas desde el extremo A hasta cada punto de derivación son: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

RT 1 = 0,6 Ω, RT 2 = 1,2 Ω, RT 3 = 1,8 Ω

Asimismo, la resistencia total por fase de la línea es RT = 2,4 Ω. La componente activa de la corriente inyectada en el extremo B, I aB, se determina mediante (3.40): I aB =

0,6 · 100 + 1,2 · 80 + 1,8 · 80 2,4

= 125 A

Aplicando la primera ley de Kirchhoff se obtiene la componente activa de la corriente inyectada en el extremo A, I aA: 3

IaA =

∑I

ai

− I aB = 100 + 80 + 80 − 125 = 135 A

i =1

La Figura 3.10 muestra las componentes activas de las corrientes por los tramos del distribuidor. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

84

Instalaciones eléctricas 135 A A

35 A

1

100 A

2

45 A

80 A

125 A

3

B

80 A

Figura 3.10. Flujo de componentes activas de la corriente en el distribuidor del Ejemplo 3.5. Se puede observar que el flujo de corriente por el distribuidor cambia de sentido a partir del consumo 2, identificando el mismo punto de mínima tensión obtenido en el Ejemplo 3.4 sin tener que calcular las caídas de tensión correspondientes.

3.1.1.4. Distribuidor en anillo Un distribuidor en anillo es una red cerrada con uno o varios puntos de alimentación y uno o varios puntos de consumo. Para analizar la caída de tensión en este distribuidor se abre el anillo por los puntos de alimentación dando lugar a un conjunto de distribuidores alimentados por los dos extremos, cuyo estudio es idéntico al descrito en el apartado anterior. La Figura 3.11 a) muestra un distribuidor en anillo alimentado por un solo punto F, mientras que la Figura 3.11 b) muestra el distribuidor equivalente alimentado por los dos extremos. En este caso los dos extremos se corresponden con el mismo punto de alimentación, por lo que la caída de tensión entre los extremos del distribuidor equivalente es nula.

EJEMPLO 3.6. Determinación del punto de mínima tensión en un distribuidor trifásico en anillo


El distribuidor trifásico de la Figura 3.12 forma un cuadrado en el que cada lado tiene una longitud de 1 km. Se determina a continuación el punto de mínima tensión si la resistencia y la reactancia por fase de la línea son iguales a 0,6 Ω /km y 0,4 Ω /km, respectivamente. Abriendo el distribuidor en anillo por el punto de alimentación se obtiene un distribuidor alimentado por los dos extremos idéntico al del Ejemplo 3.4 (Figura 3.9), por lo que la solución es la I 3

3 I B

I A

2

F

I 2

F

I A

1

1

2

3

I 1

I 2

I 3

I B

F

b) I 1

a)

Figura 3.11. Distribuidor en anillo con un punto de alimentación y distribuidor equivalente. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.


85

100 A 0,8 inductivo

cos

2

cos

141,42 A 0,707 capacitivo

1

3

cos

100 A 0,8 capacitivo

F

Alimentación

Figura 3.12. Distribuidor del Ejemplo 3.6.

misma. El punto de mínima tensión es el punto 2 y para su determinación se pueden utilizar las expresiones simplificadas (3.36) a (3.43) ya que la caída de tensión entre los extremos es nula (por ser un anillo) y las impedancias de todos los tramos tienen el mismo desfase (por ser el mismo tipo de conductor).

3.1.2.


Redes monofásicas

El proceso de cálculo eléctrico para líneas monofásicas es análogo al de las líneas trifásicas, pues el análisis de éstas se realiza mediante el circuito monofásico equivalente. Las dos únicas diferencias son: i) en el caso monofásico no hay valores de tensión compuesta o de línea, por lo que las caídas de tensión se refieren a diferencias entre módulos de tensiones simples, y ii) la resistencia y la reactancia por fase de las líneas trifásicas se sustituyen respectivamente por la resistencia y la reactancia del conductor de ida y de vuelta en el caso monofásico. La Tabla 3.1 muestra un resumen de las expresiones de la caída de tensión en los distribuidores radiales monofásicos más habituales. La notación empleada en la Tabla 3.1 se basa en la usada en el Apartado 3.1.1. En el caso de distribuidores alimentados por los dos extremos, el análisis eléctrico realizado en el Apartado 3.1.1.3 es directamente aplicable al caso monofásico y se resume a continuación. De forma general, las corrientes inyectadas por cada extremo del distribuidor, A y B, se obtienen mediante: n

n

I A =

∑ I − i

i =1

∑ Z

I − DV T

Ti i

i =1

ZT


(3.44)

86


Tabla 3.1. Caída de tensión en distribuidores radiales monofásicos Tipo de distribuidor

Caída de tensión

∆V = RI a + XI r Con un consumo

1

∆V =

V N

( RP + XQ)

n

∆VT =

∑ (R

I + XTi Iri )

Ti ai

i =1

Con n consumos

∆V T =

n

1 V N

∆V T =

∑ ( R

Ti

Pi + XTi Qi )

i =1

RT

I aT +

X T

I rT 2 X T  ∆V T = P + QT  T  2 2 V  N

2 1  RT

Con múltiples consumos idénticos y equidistantes

∆V T =

RT

I aT +

X T

I rT 2 X T  P QT  ∆V T = + T  V 2  N  2

2 1  RT

Con consumo uniformemente repartido

n

∑ Z

I − DV T

Ti i

I B = . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

i =1

ZT

(3.45)

donde DV T es la diferencia vectorial entre las tensiones de los dos extremos. La tensión de cada punto de derivación k se relaciona con las tensiones de los extremos mediante las siguientes expresiones: k

V A − Vk = ZT 1 IA +

∑ (Z

Ti

i=2

i −1   − ZTi − 1) IA − ∑ I j   j = 1

k

V B − Vk = VB − VA + VA − Vk = − DVT + ZT 1 IA +

∑ (Z

Ti

i=2

i −1   − ZTi − 1) IA − ∑ I j   j = 1

(3.46)

(3.47)

El punto de mínima tensión es aquél con el menor módulo de tensión y establece la máxima caída de tensión en el distribuidor. Al igual que en el caso trifásico, el análisis de estos distribuidores se simplifica si los dos extremos están a la misma tensión (por ejemplo, en distribuidores en anillo) y las impedancias de los tramos del distribuidor tienen el mismo desfase (por ejemplo, líneas construidas con un



87

único tipo de conductor o líneas con reactancia despreciable). Las expresiones simplificadas de las componentes activa y reactiva de las corrientes inyectadas por los extremos son: n

∑ R I

Ti ai

n

I aA =

∑ I

−

ai

i =1

RT

i =1

(3.48)

n

∑ R I

Ti ai

i =1

I aB =

RT

(3.49)

n

∑ R I

Ti ri

n

IrA =

∑ I

−

ri

i =1

RT

i =1

(3.50)

n

∑ R I

Ti ri

I rB =

i =1

RT

(3.51)

Igualmente, las potencias activa y reactiva inyectadas en los extremos del distribuidor son: n

n

P A =

∑P −

∑ R P Ti i

i =1

i

RT

i =1

(3.52)

(3.53)

n


n

Q A =

∑Q −

∑ R Q Ti

i =1

i

RT

i =1

i

n

∑ R P Ti i

P B =

i =1

RT

(3.54)

(3.55)

n

∑ R Q Ti

Q B =

i

i =1

RT

Finalmente, el punto de mínima tensión queda identificado como el nudo de carga a partir del cual el flujo de potencia activa (o de la componente activa de la corriente) cambia de sentido. A continuación se resuelve un ejemplo en el que se emplean estas expresiones simplificadas.


88


EJEMPLO 3.7. Cálculo de la caída de tensión en un distribuidor monofásico Una línea monofásica de 15 m de longitud está construida con conductores de cobre de 6 mm 2 y alimenta a 220 V a una instalación de 3 kW y factor de potencia 0,8 inductivo. La resistividad del cobre es 0,018 Ωmm2 /m y la reactancia de la línea es despreciable. Se calcula a continuación la caída de tensión en la línea. En primer lugar, se calcula la resistencia total de la línea monofásica: R =

r

A

=

0,018 · 2 · 15 6

= 0, 09 Ω

Obsérvese, que la longitud total del conductor es el doble de la longitud de la línea, es decir, se consideran los conductores de ida y de vuelta. Haciendo uso de la expresión correspondiente de la Tabla 3.1 (distribuidor con un consumo) se obtiene la caída de tensión en la línea:

∆V =

1 V N

( RP + XQ) =

0,09 · 3.000 220

= 1, 23 V

donde se ha tenido en cuenta que la reactancia de la línea es despreciable. Por tanto, la caída de tensión relativa es:

e =

∆V V N

· 100 =

1 ,23 220

· 100 = 0 ,56%

3.2. Cálculo de la sección de los conductores . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

El cálculo de la sección de los conductores es el proceso por el cual se determina la sección mínima normalizada que cumple simultáneamente una serie de criterios, entre los que cabe destacar los siguientes: 1. Criterio térmico, también llamado de calentamiento, capacidad de carga o densidad de corriente. La densidad de corriente no debe superar unos valores determinados que garantizan que el conductor no se calienta excesivamente en su operación normal. 2. Criterio de caída de tensión. Los consumidores deben recibir la energía eléctrica con un nivel de tensión suficiente para el funcionamiento correcto de los receptores. 3. Criterio de corrientes de cortocircuito. Los conductores deben soportar los efectos de las corrientes de cortocircuito: calentamientos peligrosos y esfuerzos electrodinámicos elevados. 4. Criterio de límite mecánico. Los conductores deben tener la suficiente resistencia mecánica para soportar los esfuerzos mecánicos a los que pueden estar sometidos. 5. Criterio económico. El coste total de la red (adquisición, instalación y explotación) debe ser lo más bajo posible. Las redes de distribución y las redes de baja tensión están constituidas por líneas aéreas y líneas subterráneas, lo que da lugar a procesos de diseño diferentes.



89

En el caso de línea aérea, al iniciar el proceso de diseño se desconoce la distancia entre las fases y, por consiguiente, la reactancia de la línea. La distancia entre fases viene impuesta por el tipo de apoyo, que es un resultado del cálculo mecánico. Por tanto, el diseño comienza aplicando los criterios eléctricos, utilizando un valor aproximado de reactancia. A continuación se realiza el cálculo mecánico, comprobando que la sección obtenida por los criterios eléctricos proporciona una resistencia mecánica que permita soportar las condiciones más desfavorables establecidas por la reglamentación. El cálculo mecánico establece las características de los conductores, apoyos y aisladores. Por último, es necesario comprobar el cumplimiento de los criterios eléctricos con el valor de la reactancia obtenido tras el cálculo mecánico. En las líneas subterráneas se emplean cables aislados y el cálculo mecánico no es tan relevante como en las líneas aéreas. Los criterios de diseño más importantes son el criterio de calentamiento, de caída de tensión y de corrientes de cortocircuito, predominando generalmente este último. Obsérvese que satisfacer los cuatro primeros criterios conduce a aumentar la sección de los conductores, mientras que el criterio económico persigue el objetivo contrario. Por tanto, es necesario establecer un compromiso entre la seguridad, generalmente impuesta por la reglamentación vigente, y el coste. En los apartados siguientes se describen brevemente estos criterios excepto el correspondiente al cálculo mecánico, cuyo estudio se resume en el Capítulo 10.

3.2.1.


Criterio térmico

La determinación de la capacidad de conducción de corriente de un conductor es un problema de transferencia de energía en forma de calor. En el régimen de operación normal un conductor experimenta pérdidas debidas, principalmente, al efecto Joule y, de forma secundaria, a corrientes parásitas o por histéresis en las armaduras de los cables aislados. La energía calorífica en la que se convierten las pérdidas en el conductor, junto con el aporte de conductores cercanos o incluso de la radiación solar (líneas aéreas), por un lado se almacena en el conductor, elevando su temperatura, y, por otro lado, se transfiere al exterior del conductor debido a la diferencia de temperatura con respecto a los aislantes (cable aislado) o al ambiente (conductor desnudo). La transferencia de calor que tiene lugar en un conductor se puede expresar matemáticamente por [Incropera 1999]: Q = A s c

d q dt

+ Q e

(3.56)

· donde Q es la energía calorífica total por unidad de tiempo, A es la sección transversal del conductor,  es la longitud del conductor, s c es el calor específico volumétrico del conductor, q es · la temperatura del conductor y Qe es la energía calorífica por unidad de tiempo transferida al exterior. La elevación de la temperatura que experimenta el conductor puede perjudicar al propio conductor, a los aislamientos de los cables aislados y a las propiedades mecánicas de los conductores desnudos. Por ejemplo, se ha comprobado experimentalmente que el funcionamiento permanente de un conductor superando en 10 ºC la temperatura máxima admisible reduce su vida útil a la mitad.


90


El criterio térmico considera el calentamiento del conductor en régimen estacionario. Por tanto, (3.56) se convierte en: · · Q = Qe

(3.57)

El proceso de transferencia de calor desde el conductor hacia el exterior del conductor tiene lugar, primero, por conducción a través de las capas de aislantes, y, finalmente, por convección al ambiente que envuelve al conductor. Obsérvese que, en el caso de un conductor desnudo, sólo existe transferencia de calor al ambiente por convección. En este problema de · transferencia de calor se puede emplear la analogía eléctrica en la que Q se asemeja a la corriente y la variación de temperatura se asemeja a la caída de tensión. Esta analogía da lugar a la ley de Ohm térmica: ·

∆q = RqQ

(3.58)

donde ∆q es la variación de temperatura y Rq es la resistencia térmica del medio bien por conducción, bien por convección. La resistencia térmica por conducción depende de la conductividad térmica, que es una característica del material aislante. La resistencia térmica por convección depende del coeficiente de transferencia de calor por convección, que depende de las características de la superficie de contacto con el ambiente así como de las propiedades de éste (temperatura, densidad, etc.). En el caso de un cable aislado con n capas de materiales de conductividades térmicas diferentes (Figura 3.13), la transferencia de calor tiene lugar a través de las diferentes resistencias térmicas que el flujo de energía encuentra a su paso hacia el exterior del cable. Considerando que el calor por unidad de tiempo es idéntico para cada capa se obtiene la siguiente expresión: Q


=

qc − q1 Rq1

=…=

q j − q j +1 Rq j + 1

=…=

qn − qa Rqa

(3.59)

donde qc es la temperatura del conductor, q j es la temperatura del límite exterior de la capa j, qa es la temperatura del ambiente, Rq j es la resistencia térmica por conducción de la capa j, y Rqa es la resistencia térmica por convección en la superficie del cable. Obsérvese que el estudio de la transferencia de calor en un conductor desnudo es un caso particular. A partir de (3.59) se obtiene la expresión siguiente, que proporciona la variación total de temperatura entre la superficie interior de la primera capa (temperatura del conductor) y el ambiente:

 n ∆q = qc − q a = Q ∑ Rqi +  i =1

  Rqa = QR qT 

(3.60)

donde RqT es la resistencia térmica total. Suponiendo que el calor producido se debe únicamente al efecto Joule, · Q = RI 2

(3.61)

donde I es la corriente que circula por el conductor y R es su resistencia eléctrica, se puede obtener la siguiente expresión simplificada:

∆q = RI 2 RqT Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

(3.62)


91

 n

 a

 n 1

R n R 2

 2

. . .

 1

R 1  c

Figura 3.13. Sección transversal de un cable aislado.

Por tanto, la corriente se puede expresar como:

∆q

I =

RRqT

(3.63)

Si se expresa la resistencia eléctrica del conductor como: R = r . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C



A

(3.64)

donde r es la resistividad, (3.63) se convierte en:

∆qA r RqT

I =

(3.65)

Igualmente, se puede obtener una expresión de la densidad de corriente, J : J =

I A

=

∆q A rRqT

(3.66)

Se puede apreciar que la densidad de corriente disminuye al aumentar el tamaño del conductor si los parámetros restantes se mantienen fijos. La normativa vigente proporciona expresiones más completas para calcular la corriente o la densidad de corriente máximas admisibles de un conductor según sus condiciones de operación. En general, estas expresiones dependen de:


92

Instalaciones eléctricas 1. La diferencia de temperaturas máxima admisible. 2. Las resistencias térmicas de los materiales empleados en la fabricación del conductor. 3. Los factores de pérdidas en la envolvente o en la armadura del conductor, si éste está aislado. 4. Las dimensiones del conductor. 5. Las condiciones de la instalación.

La determinación exacta de la corriente máxima admisible es un problema complejo. El cálculo riguroso debe considerar la expresión precisa de la resistencia térmica equivalente del conductor, la influencia de las pérdidas por histéresis y por corrientes de Foucault, así como los fenómenos de convección y radiación, en el caso de conductores expuestos al aire. Para evitar la realización de estos cálculos, la reglamentación proporciona tablas que permiten determinar la corriente máxima admisible para cada tipo de conductor en función de su sección, tipo de aislamiento, condiciones de operación, etc., de forma que la temperatura del conductor no resulte peligrosa para su vida útil. Cuando las condiciones de operación no coinciden con las normalizadas, los valores obtenidos en las tablas deben corregirse con unos coeficientes también establecidos por la reglamentación. En resumen, el cálculo de la sección de un conductor atendiendo al criterio térmico incluye los siguientes pasos: 1. En primer lugar, se calcula la corriente que circulará por el conductor de acuerdo con las expresiones derivadas en el Apartado 3.1. 2. En segundo lugar, a partir de las tablas de corrientes o densidades de corriente admisibles según la reglamentación aplicable, se elige la sección que proporcione una corriente admisible mayor o igual que el valor de corriente demandada previamente calculado. La elección de la sección debe tener en cuenta los factores de corrección correspondientes. 3. Finalmente, si la sección determinada por el criterio térmico no coincide con ningún valor comercial, se elige la sección inmediatamente superior. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

La utilización del criterio térmico se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3.8. Aplicación del criterio térmico Una línea aérea trifásica de 20 kV, 50 Hz está construida con conductores de sección igual a 54,6 mm2, formados por 6 hilos de aluminio alrededor de un alma de acero. Se determina a continuación si esta línea puede alimentar a una instalación rural de 5.000 kVA, teniendo en cuenta el criterio térmico y el Reglamento de Líneas Eléctricas Aéreas de Alta Tensión vigente en España [RLAT]. La instalación objeto de estudio se corresponde con el caso más simple de distribuidor radial con un único consumo. En primer lugar, se calcula la máxima corriente que recorre la línea en condiciones normales a partir de los datos de potencia aparente y tensión en el extremo receptor: I =

S R

3V LR

=

5.000.000 3 · 20.000

= 144, 34 A

En segundo lugar, se comprueba si la corriente máxima admisible del conductor, de acuerdo con la reglamentación aplicable, es superior a la corriente máxima demandada. El reglamento español Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.


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[RLAT] establece las densidades de corriente máximas de los conductores de cobre, aluminio, y aleaciones de aluminio en función de su sección. Para conductores formados por hilos de aluminio y acero este reglamento proporciona unos factores reductores que deben aplicarse a los valores de densidad de corriente correspondientes al aluminio. Para conductores como el del ejemplo, con una composición 6 + 1, el factor reductor es igual a 0,926. Según el reglamento, la densidad de corriente máxima admisible de un conductor de aluminio de 50 mm2 (sección normalizada más próxima a la sección del conductor empleado) es 4 A/mm 2. Por tanto, la corriente máxima admisible para un conductor de aluminio y acero de 50 mm 2 y composición 6 + 1 es: I máx = AJ máx0,926 = 50 · 4 · 0,926 = 185,2 A

Dado que la corriente máxima demandada es inferior a la corriente máxima admisible para 50 mm2, también lo será para la corriente máxima admisible del conductor empleado, de sección algo superior, por lo que este conductor cumple el criterio térmico.

3.2.2.


Criterio de caída de tensión

La reglamentación suele imponer límites máximos de caída de tensión principalmente por la necesidad de que el sistema de regulación de tensión sea económico y funcione correctamente, para lo cual, la caída de tensión ha de ser moderada. Además, la operación correcta de determinada maquinaria eléctrica (motores asíncronos, transformadores) limita la caída de tensión en las líneas de alimentación. El criterio de caída de tensión es un criterio adicional al criterio térmico, por lo que la sección calculada debe cumplir simultáneamente ambos criterios. Generalmente, en el diseño de líneas cortas, la determinación de la sección del conductor mediante el criterio térmico suele ser suficiente ya que las caídas de tensión obtenidas son inferiores a las máximas permitidas. Sin embargo, en distribuidores de gran longitud suele ser más restrictivo el criterio de caída de tensión. En cualquier caso, la sección del conductor será la menor sección normalizada que cumpla ambos criterios. Para determinar la sección de los conductores de un distribuidor atendiendo a una caída de tensión máxima admisible es necesario el uso de las expresiones de la caída de tensión derivadas en el Apartado 3.1. Estas expresiones dependen de la resistencia y de la reactancia de los conductores, las cuales son a su vez función de su sección. La Expresión (3.64) establece la relación entre la resistencia de un conductor y su sección transversal a través de la resistividad y de la longitud. En el problema de diseño se debe emplear la resistividad correspondiente a la temperatura máxima prevista de operación, que representa el caso más desfavorable. Sin embargo, la dependencia de la reactancia con la sección no responde a una expresión analítica explícita, por lo que la resolución del problema se debe llevar a cabo de forma iterativa. A continuación, se describe el proceso de diseño general para un distribuidor en el que la sección es constante en todos los tramos: 1. El proceso comienza con una estimación previa de la reactancia por unidad de longitud de la línea. Por ejemplo, en líneas aéreas es frecuente el uso de 0,4 Ω /km. 2. Se calcula la reactancia acumulada de cada tramo del distribuidor.


94

Instalaciones eléctricas 3. En la expresión de la caída de tensión correspondiente al distribuidor analizado, se sustituyen las resistencias acumuladas por sus expresiones correspondientes en función de la sección. Igualmente se introducen los valores de las reactancias acumuladas calculadas en el paso 2. En el caso de distribuidores alimentados por los dos extremos o en anillo se utiliza la expresión de la caída de tensión para el punto de mínima tensión. 4. Teniendo en cuenta la caída de tensión máxima admisible se obtiene el valor de la sección. 5. A partir de esta sección se elige la sección normalizada inmediatamente superior. 6. Considerando la sección normalizada elegida en el paso 5 y la configuración geométrica de los conductores de la línea, se calcula la nueva reactancia unitaria de la línea. 7. Si la nueva reactancia es igual a la empleada en la iteración anterior el proceso termina. En caso contrario se vuelve al paso 2.

Con frecuencia, las líneas de las redes de distribución y de las redes de baja tensión son cortas, de sección pequeña, y construidas con cable aislado, por lo que la reactancia es despreciable frente a la resistencia. En estos casos, el cálculo de la sección se reduce a los pasos 3 a 5, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3.9. Aplicación del criterio de caída de tensión La Figura 3.14 muestra un distribuidor trifásico radial, subterráneo, de 20 kV y sección uniforme, alimentado por una subestación en el punto A. Se determina a continuación la sección mínima del distribuidor para que la caída de tensión máxima no exceda del 5 %. Los conductores son de cobre de resistividad igual a 0,01759 Ωmm2 /m y la reactancia de la línea se considera despreciable. Como la reactancia de la línea es despreciable sólo es necesario conocer las potencias activas consumidas en cada extremo: PC = S C cos jC = 1 · 106 · 0,8 = 8 · 105 W . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

P D = S D cos j D = 2 · 106 · 1 = 2 · 106 W

C 5 km cos A 20 kV

1 MVA inductivo

1 km B

3 km D 2 MVA cos

Figura 3.14. Distribuidor del Ejemplo 3.9. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.


95

La máxima caída de tensión admisible es:

∆V Lmáx = 0,05 · 20.000 = 1.000 V En la red radial de la Figura 3.14 la máxima caída de tensión puede ocurrir entre los extremos A y C o entre los extremos A y D. Por tanto, es necesario aplicar la expresión de la caída de tensión (3.22) para los dos distribuidores resultantes, dando lugar a dos secciones mínimas A AC y A AD, respectivamente. Tramo AC El distribuidor resultante se muestra en la Figura 3.15. Obsérvese que en el punto B se tiene en cuenta la potencia consumida en D (aplicación del principio de superposición). Particularizando (3.22) al distribuidor de la Figura 3.15 se obtiene:

∆V LT = ∆V Lmáx =

1 V N

( RTB PB + RTC PC ) =

ρ  AB r(( AB +  BC )  + P PC   B V N  A AC A AC  1

Por tanto, se puede obtener la sección mínima para el tramo AC: A AC =

=

r

 AB PB + (AB +

∆V LmáxV N 

0,01759 1..000 · 20.000



BC ) PC

(1.000 · 2 · 106 + 6.000 · 0 ,8 · 10 6 ) = 5 ,9 8 mm2

Tramo AD El distribuidor resultante se muestra en la Figura 3.16. De forma análoga, en el punto B se tiene en cuenta la potencia consumida en C (aplicación del principio de superposición). Particularizando (3.22) al distribuidor de la Figura 3.16 se obtiene:


∆V LT = ∆V Lmáx =

1 V N

A

( RTB PB + RTD PD ) =

1 km

 r AB r( AB +  BD )  + P P D  B V N  A AD A AD  1

5 km

C

B 2 MW

0,8 MW

Figura 3.15. Distribuidor correspondiente al tramo AC. A

1 km

3 km B

0,8 MW

D

2 MW

Figura 3.16. Distribuidor correspondiente al tramo AD. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

96

Instalaciones eléctricas Por tanto, se puede obtener la sección mínima para el tramo AD: A AD =

=

ρ

 AB PB + (  AB +  BD) PD =

∆V LmáxV N 

0,01759 1.000 · 20.000

(1.000 · 0 ,8 · 106 + 4 .000 · 2 · 10 6 ) = 7 ,74 mm2

Finalmente, la sección mínima con la que se debe diseñar el distribuidor es A AD, que es mayor que A AC .

Por último, existen distribuidores de gran longitud en los que la sección no es constante para reducir el coste de la línea. Estos distribuidores de sección escalonada se denominan distribuidores telescópicos. El proceso de diseño tiene ahora un grado de libertad adicional por lo que es necesario añadir una restricción extra para que el problema no tenga múltiples soluciones. Generalmente, el distribuidor se diseña de forma que se cumpla la caída de tensión máxima admisible con el mínimo volumen de material conductor (véase el Ejemplo 3.10).

EJEMPLO 3.10. Diseño de redes telescópicas Se determinan a continuación las secciones de cada uno de los tramos del distribuidor radial telescópico de la Figura 3.17 en el que la caída de tensión máxima es igual a ∆V Lmáx. Se considera que la línea es trifásica, de reactancia despreciable y que todos los tramos están construidos con el mismo material conductor (resistividad constante). La caída de tensión total en el distribuidor debe ser igual a la caída de tensión máxima admisible. Particularizando (3.20) al distribuidor de la Figura 3.17 se obtiene:

 n  = 3 ∑ Ri ∑ I aj =  i = 1  j = i n

∆V LT = ∆V

máx L


 r i n  3∑  ∑ I a j  i = 1  Ai j = i n

donde Ri, i y Ai son la resistencia por fase, la longitud y la sección del tramo i, respectivamente, e I aj es la componente activa de la corriente consumida por la derivación j. El volumen de material conductor empleado es: n

∑ A 

Vol = 3

i

i

i =1

Para determinar los valores de las secciones de cada tramo, Ai, se impone la condición de que el volumen sea mínimo. Resolviendo este problema de optimización [Castillo 2002] se obtiene: Ai =

S

Tramo 1

3 r

∆V Lmáx

 n Iaj ∑  k ∑  k = 1 j = i n

Tramo 2

n

∑ m = k

Tramo 3



I am 



Tramo n

... 1

2

3

Figura 3.17. Distribuidor radial telescópico. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

n


97

La caída de tensión en cada tramo se puede expresar sustituyendo el resultado anterior en (3.19): n

n

∆V Li = 3 Ri ∑ I aj = 3 j = i

r i Ai

∑ I

∆V

máx i L

n

∑ I

=

aj

aj

j = i n

n

∑  ∑ I

j = i

k

k = 1

am

m = k

Si los consumos se expresan en términos de potencia, las expresiones anteriores se modifican de la siguiente forma:

r Ai = V N ∆V Lmáx

 n P j  ∑  k ∑ j = i  k = 1 n

n

∑

Pm

m = k

  

n

∑P

∆V

máx i L

∆V Li =

j

j = i n

n

∑ ∑ P k

k = 1

m

m = k

donde V N es la tensión nominal de la línea y P j es la potencia activa consumida en la derivación j.


En la práctica no se cambia de sección en cada derivación, sino que la red se divide en ramales de sección constante que comprenden varios consumos. En estos distribuidores la sección de los ramales disminuye a medida que éstos se alejan del punto de alimentación. Un ejemplo de este tipo de redes telescópicas es la red ramificada de la Figura 3.18 en la que se distinguen los ramales AC, CE y CF. El diseño de este distribuidor sigue pasos análogos a los del Ejemplo 3.10, es decir, se minimiza el volumen total de material conductor sujeto a que la máxima caída de tensión en la red no supere el límite admisible.

E D S E

A

B

C

S B

S C

S D

F

S F

Figura 3.18. Red telescópica ramificada. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

98


3.2.3.

Criterio de corrientes de cortocircuito

El criterio de corrientes de cortocircuito es un criterio térmico por el que se establece la sección mínima del conductor atendiendo a sobrecargas elevadas y transitorias como son los cortocircuitos. Durante los cortocircuitos la temperatura del conductor no debe superar un valor límite, establecido por la capacidad del conductor para soportar las solicitaciones térmicas y electrodinámicas originadas. La corriente de cortocircuito máxima admisible es, por tanto, la que produce la máxima elevación de temperatura permitida en el conductor. Las redes de distribución y las redes de baja tensión están dotadas de un sistema de protección contra estas faltas (véase el Capítulo 6), por lo que se puede considerar que un cortocircuito es una sobrecarga de muy corta duración a la que sucede una desconexión permanente. Dado que las sobrecargas son transitorias, la elevación de temperatura máxima es mayor que la considerada para el funcionamiento permanente. Bajo la hipótesis de cortocircuitos de corta duración, se considera que el conductor experimenta un calentamiento adiabático, es decir, el calor producido por la corriente de cortocircuito se convierte totalmente en un aumento de la temperatura del conductor. En estas condiciones de calentamiento adiabático, (3.56) se reduce a: Q = A s c

d q dt

2 = RiCC (t )

(3.67)

donde iCC (t ) es la corriente de cortocircuito instantánea. De (3.64) y (3.67) se obtiene: i (t )dt = 2 CC

A s c d q R

=

A2 s c d q

r

(3.68)

Asimismo, la resistividad depende de la temperatura a través de la siguiente expresión: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

r = r20 ºC[1 + n20 ºC(q − 20)]

(3.69)

donde r20 ºC es la resistividad a 20 ºC y n20 ºC es el coeficiente de variación de la resistividad con la temperatura. Haciendo uso de (3.69) en (3.68) e integrando se obtiene: t f

∫

i (t )dt = 2 CC

t i

A2 s c

r 20 º C n20 º C

1 + n20 º C (q f − 20) ln   n q + − 1 ( 20 )   i 20 º C

(3.70)

donde t i y t f representan los instantes de tiempo inicial y final del cortocircuito, respectivamente, y qi y q f representan respectivamente las temperaturas al inicio y al final del cortocircuito expresadas en ºC. El término integral de (3.70) se conoce como la integral de Joule y es la energía por unidad de resistencia (J/ Ω) que pasa por el conductor antes de que el sistema de protección interrumpa la falta. La integral de Joule también se denomina energía de paso o energía específica. Como se puede apreciar, la integral de Joule es función de la sección del conductor y de las tempera-



99

turas inicial y final. La duración del cortocircuito está limitada por el tiempo de actuación de las protecciones existentes en la red. Para considerar el caso más desfavorable se supone que la temperatura al comienzo del cortocircuito es la temperatura máxima admisible en régimen permanente y que la temperatura al final del cortocircuito es la temperatura de fusión del conductor o del aislante. Particularizando (3.70) para el caso más desfavorable, se obtiene: t f

∫

2 iCC (t )dt = K 2A2

(3.71)

t i

donde K es un coeficiente que depende del conductor y del aislante. Por tanto, K 2 A2 representa la energía máxima de paso o energía admisible durante el cortocircuito. En la práctica se suele simplificar el problema suponiendo que la corriente de cortocircuito es constante durante la falta, por lo que (3.71) se convierte en: 2 I CC ∆t CC = K 2 A2

(3.72)

donde I CC es la corriente eficaz de cortocircuito y ∆t CC es la duración del cortocircuito. La normativa proporciona un factor de corrección para tener en cuenta el efecto del calentamiento no adiabático. De esta forma, la corriente de cortocircuito admisible en el supuesto de calentamiento no adiabático es igual al producto del factor de corrección por la corriente de cortocircuito adiabática. En la práctica, la reglamentación vigente y los fabricantes proporcionan tablas y gráficas con las corrientes de cortocircuito que pueden soportar diferentes tipos de conductores. El cálculo de la sección de un conductor según el criterio de corrientes de cortocircuito consiste en:


1. Cálculo de la corriente de cortocircuito en el punto más desfavorable del conductor. 2. Determinación de la duración del cortocircuito a partir de las características del sistema de protección. 3. A partir de tablas o gráficas, determinación de la sección correspondiente al producto del cuadrado del valor de la corriente de cortocircuito por el tiempo de disparo de la protección. 4. Finalmente, si la sección determinada no coincide con ningún valor comercial, se selecciona la sección inmediatamente superior. En general, el criterio de corrientes de cortocircuito es más restrictivo que el criterio térmico en régimen permanente para conductores de sección pequeña conectados a redes con potencia de cortocircuito elevada. La utilización del criterio de corrientes de cortocircuito se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3.11. Aplicación del criterio de corrientes de cortocircuito Una línea subterránea trifásica de 380 V está construida con conductores de cobre con aislamiento de PVC de 50 mm 2. La línea está conectada al devanado de BT de un transformador MT/BT de 1.000 kVA e impedancia de cortocircuito igual a 0,05 pu. Se determina a continuación si la sección del conductor cumple el criterio de corrientes de cortocircuito según el Reglamento Electrotécnico


100

Instalaciones eléctricas para Baja Tensión vigente en España [RBT]. Se supone que la potencia de cortocircuito en bornas del devanado de MT del transformador es infinita y que el tiempo máximo de actuación de la protección contra cortocircuitos es 0,2 s. En primer lugar, se calcula la corriente de cortocircuito en el punto más desfavorable del conductor, que es el punto de conexión con el transformador (véase el Apartado 6.3.2 del Capítulo 6). Dado que la potencia de cortocircuito en bornas del devanado de MT del transformador es infinita, la impedancia de Thévenin en el punto más desfavorable es igual a la impedancia del transformador, resultando la siguiente corriente de cortocircuito por unidad (véase el Apartado 2.1.1 del Capítulo 2): iCC =

1 zTh

=

1 0,05

= 20 pu

Esta corriente de cortocircuito se puede expresar en valores reales multiplicando por la base de corriente del devanado de BT del transformador:

ICC

1.000 · 103 S 3 = iCC B = 20 · = 30.386,9 A 380 V B 3

Por tanto, la densidad de corriente de cortocircuito es: J CC =

I CC A

=

30.386,9 50

= 607,7 A/mm2

El reglamento español establece las densidades máximas de corriente de cortocircuito de los conductores subterráneos de cobre y aluminio en función de su aislamiento, de su sección y de la duración de la falta (instrucción ITC-BT-07 [RBT]). En el caso de conductores de cobre, con aislamiento de PVC, de sección no superior a 300 mm 2 y duración del cortocircuito de 0,2 s, la densidad máxima de corriente de cortocircuito es 257 A/mm 2. Por tanto, el cable elegido no cumple el criterio de corrientes de cortocircuito. Finalmente, la sección mínima requerida por el reglamento es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

Amín =

I CC máx CC

J

=

30.386,9 257

= 118,2 mm2

Como se puede apreciar, esta sección mínima es menor que 300 mm 2, por lo que la densidad máxima de corriente de cortocircuito aplicada es correcta. En caso contrario, es necesario emplear la densidad máxima de corriente de cortocircuito establecida por el reglamento para cables de sección superior a 300 mm 2.

3.2.4.

Criterio económico

El objetivo del criterio económico es determinar la sección que minimiza el coste total de la red a lo largo de su vida útil. Para resolver este problema de optimización se realizan las siguientes simplificaciones: 1. Se consideran datos conocidos el período de amortización, el coste de las pérdidas futuras y la tasa de depreciación, lo que permite determinar el coste capitalizado.



101

2. Asimismo, se considera conocido el precio de la energía (véase el Capítulo 9). 3. El análisis se realiza para un distribuidor con sección constante. 4. Para calcular las pérdidas de la red se supone una corriente equivalente que produce las mismas pérdidas que las corrientes que recorren el distribuidor en los distintos regímenes de carga. El coste total de la red anualizado se puede expresar como: C T = C i + C p

(3.73)

donde C i y C p representan los costes anuales de inversión y de pérdidas, respectivamente. El coste anual de inversión se desglosa a su vez en un término fijo y otro dependiente de la sección: C i = k f i + k iv A

(3.74)

donde k f i representa el coste de inversión fijo (coste de la canalización, mano de obra, etc.) y k iv representa el coste de inversión variable (coste de adquisición). Por otro lado, el coste anual de las pérdidas se expresa como: 2 C p = 3 RIeq t λ e =

2 3 r Ieq t le

A

=

k p A

(3.75)

donde t es el tiempo de funcionamiento anual de la red, le es el precio de la energía, I eq es la corriente equivalente mencionada anteriormente, y k p es el coeficiente de pérdidas. Por tanto, la función objetivo a minimizar es: CT = ki f + kiv A +

k p A

(3.76)

Finalmente, la sección que minimiza el coste total anual es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

A =

k p v i

k

(3.77)

Obsérvese que esta sección es la que iguala el coste anual de pérdidas y el coste anual variable de inversión, dando lugar a la denominada regla de Kelvin. Si la sección óptima no coincide con una sección normalizada se calcula el coste para las secciones normalizadas inmediatamente superior e inferior, escogiendo la que resulte más económica.

3.3. Resumen Este capítulo presenta el cálculo eléctrico de las redes de distribución y de baja tensión, que es necesario para el diseño de los conductores con los que se construyen estas redes. El capítulo introduce en primer lugar las expresiones matemáticas para redes trifásicas. Posteriormente,


102


estas expresiones se particularizan para las redes monofásicas. El capítulo concluye con la descripción de los principales criterios empleados en el diseño de redes de distribución y de baja tensión. El lector interesado puede encontrar información adicional sobre el cálculo y diseño de distribuidores en [Carmona, 2004], [Fraile, 1996], [Ramírez, 1998], [Ras, 1973] y [Roger, 2002].

3.4. Ejercicios Ejercicio 3.1. Una línea aérea trifásica se emplea para suministrar energía eléctrica a 10 km de distancia. La resistencia y reactancia por fase de la línea son 0,2 Ω /km y 0,4 Ω /km, respectivamente. Determine de forma exacta y mediante el método aproximado las potencias activa y reactiva máximas con factor de potencia igual a 0,707 inductivo que pueden consumirse en el extremo final de la línea si la tensión en el extremo suministrador es 20 kV y la caída de tensión máxima admisible es igual al 7 %.

Soluciones: Método exacto: P Rmáx = 4.322,60 kW, Q Rmáx = 4.322,60 kVAr; método aproximado: P Rmáx = 4.339,89 kW, Q Rmáx = 4.339,89 kVAr. Ejercicio 3.2. Una línea aérea trifásica alimenta a un centro de transformación que consume 3.000 kW con factor de potencia igual a 0,9 inductivo a una tensión de 20 kV. La línea tiene 20 km de longitud y se caracteriza por una resistencia y una reactancia por fase iguales a 0,4 Ω /km y 0,35 Ω /km, respectivamente. Determine las caídas de tensión absoluta y relativa de forma exacta y por el método aproximado.

Soluciones: Método exacto: ∆V L = 1.713,67 V, e = 8,57 %; método aproximado: ∆V L = = 1.708,63 V, e = 8,54 %.


Ejercicio 3.3. En el distribuidor del Ejemplo 3.9, calcule la caída de tensión relativa máxima si la sección es constante e igual a 10 mm 2.

Solución: emáx = e AD = 3,87 %. Ejercicio 3.4. En el distribuidor del Ejemplo 3.9 suponga que los tramos tienen secciones distintas para economizar en material conductor. Determine las secciones de cada tramo si la caída de tensión relativa máxima es igual al 5 %.

Soluciones: A AB = 11,54 mm2, A BC = 4,47 mm2, A BD = 6,71 mm2. Ejercicio 3.5. La Figura E3.1 muestra un distribuidor trifásico alimentado a 20 kV. La línea tiene una resistencia y una reactancia por fase iguales a 0,4 Ω /km y 0,2 Ω/km, respectivamente. Calcule la caída de tensión relativa máxima en el distribuidor.

Solución: emáx = 0,45 %. Ejercicio 3.6. La red trifásica de la Figura E3.2 está alimentada por los extremos A y F, los cuales están a la misma tensión. Todos los tramos están construidos con el mismo tipo de


Cálculo y diseño de redes 3 km

1 km

103

2 km

20 kV cos

10 A 0,707 inductivo

5A cos

12 A 0,8 inductivo

cos

Figura E3.1. Distribuidor del Ejercicio 3.5.

A

2 km

3 km

3 km

B

C

6 + j4,5 MVA

6 + j6 MVA

2 km D

E

1 km

3 + j0 MVA G

2 km

F

2 + j1,5 MVA

mín

 GH

H 2 + j0 MVA

Figura E3.2. Distribuidor del Ejercicio 3.6. conductor siendo la resistencia y la reactancia por fase respectivamente iguales a 0,5 Ω /km y 0,4 Ω /km. Determine la longitud del tramo GH,  mín GH , a partir de la cual H es el punto de mínima tensión. Asimismo, identifique el punto de mínima tensión para longitudes del tramo GH inferiores a  mín GH . Soluciones: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

 GH = 3,85 mín

km, Punto C.

Ejercicio 3.7. Determine si una línea construida con un conductor de 6 hilos de aluminio y 1 de acero, con resistencia por fase igual a 0,6136 Ω /km y reactancia por fase igual a 0,4 Ω /km, se puede emplear en el distribuidor trifásico de la Figura E3.3 de acuerdo con el criterio térmico y el Reglamento de Líneas Eléctricas Aéreas de Alta Tensión vigente en España. El anillo recibe la energía por el punto A.

Solución: Sí, ya que I AB = 126,27 A es la máxima corriente que circula por el anillo y es inferior a la corriente máxima admisible establecida por el reglamento. Ejercicio 3.8. La Figura E3.4 representa el esquema de una línea subterránea trifásica de 20 kV que alimenta a dos cargas formando un anillo. Determine el punto de mínima tensión y la sección mínima del conductor para que la caída de tensión máxima no supere el 2 %. Considere que la reactancia de la línea es despreciable y que la resistividad del conductor es igual a 0,018 Ωmm2 /m.

Soluciones: Puntos de mínima tensión: B y C, Amín = 36 mm2. Conejo, A. J., et al. Instalaciones eléctricas, McGraw-Hill España, 2007. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/umgsp/detail.action?docID=3194911. Created from umgsp on 2018-02-03 11:41:28.

104

Instalaciones eléctricas 20 A cos 1

Alimentación 5 km A

D

3 km

3 km

B

C 5 km

100 A 0,8 inductivo

cos

cos

80 A 0,85 inductivo


cos

2 km

8 MW = 0,9 inductivo

C 2 km

A 20 kV


B

cos

4 MW = 0,8 inductivo

4 km


Ejercicio 3.9. Determine la sección mínima del distribuidor monofásico de la Figura E3.5 para que la caída de tensión máxima admisible sea del 7 %. La línea está construida con cobre de resistividad igual a 0,018 Ωmm2 /m y su reactancia es despreciable. El anillo se alimenta por el punto E a 220 V.

Solución: Amín = 42,89 mm2. Ejercicio 3.10. La Figura E3.6 muestra un distribuidor monofásico alimentado por el punto A a 220 V y en el que las secciones de los tramos BC y BD son idénticas pero diferentes de la del tramo AB. Determine ambas secciones para una caída de tensión máxima admisible del 5 %.



105

30 kW 70 m

D

60 m

E 220 V C 50 m

A B

20 kW 30 m

25 m 10 kW 40 kW


La línea está construida con cobre de resistividad igual a 1/56 Ωmm2 /m y su reactancia es despreciable. Soluciones: A AB = 147,70 mm2, A BC = A BD = 76,27 mm2.

C

50 m A 220 V

150 m B

120 A cos

100 m . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a ñ a p s E l l i H w a r G c M . 7 0 0 2 © t h g i r y p o C

D

80 A cos



Cálculo Y Diseño De Redes: Capítulo

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