Calculo Centro de Rigidez

EJEMPLO DE CALCULO CENTRO DE RIGIDEZ ING. FREDY ELEAZAR LEMOS LUENGAS, Especialista en Estructuras, Univalle La siguiente figura Indica la distribución en planta de la estructura (igual en todos los pisos) con las luces indicadas en metros y las dimensiones de vigas y columnas en centímetros. Se trabaja con un módulo de 2 elasticidad igual a 1738965.21 Tn/m . El período fundamental de la estructura es 0.548 segundos. El edificio es de tres pisos con alturas entrepisos de 3.00 metros en todos los niveles.

Como el edificio es de tres pisos, se considera que tiene 3 grados de libertad, por tanto la matriz de rigidez del edificio es de 3X3, esto es para el análisis en cada dirección. Para esto se utilizará la ayuda del programa SAP2000.  

Para la dirección X tienen 3 pórticos: 1, 2, 3, para la dirección Y, también A, B, C Se encuentra la matriz de rigidez para cada uno de los 6 pórticos, mediante el siguiente método. Para los pórticos en la dirección X, se restringe el movimiento en x en los pisos 2 y 3; se aplica una fuerza horizontal en el piso 1 (arbitraria); se hace el análisis del pórtico,

EJEMPLO DE CALCULO CENTRO DE RIGIDEZ ING. FREDY ELEAZAR LEMOS LUENGAS, Especialista en Estructuras, Univalle

obteniéndose las fuerzas en los apoyos ficticios y el desplazamiento lateral del pisos 1; dividiendo estos resultados (incluida la fuerza lateral aplicada en el piso 1) entre el desplazamiento lateral del piso 1, nos da la rigidez de cada piso (las fuerzas de los apoyos ficticios y la fuerza aplicada), esto correspondería a las rigideces R11, R21, R31; luego se hace lo mismo pero restringiendo los pisos 1 y 3 y aplicando ahora la fuerza en el piso 2, obteniéndose R12, R22 y R32; luego se hace lo mismo pero restringiendo los pisos 1 y 2 y aplicando ahora la fuerza en el piso 3, obteniéndose R13, R23 y R33. Esto se observa en la siguiente figura:

Igual procedimiento para la dirección Y, solo que esta vez la fuerza va en dirección Y, las restricciones también Siguiendo este procedimiento a continuación se relacionan la matriz de rigidez de cada pórtico Pórtico 1 u1=3.7576mm F11=100Tn u2=5.5826mm F12=-82.46Tn u3=20.7903mm F13=69.94Tn

F21=-55.5Tn F22=100Tn F23=-158.57Tn

F31=12.64Tn F32=-42.59Tn F33=100Tn

 26.61  14.77 3.36  R1    14.77 17.91  7.63 Tn mm  3.36  7.63 4.81  Pórtico 2 u1=6.0384mm F11=100Tn u2=8.5453mm F12=-76.46Tn u3=28.0601mm F13=52.59Tn

F21=-54.03Tn F22=100Tn F23=-145.74Tn

F31=11.32Tn F32=-44.39Tn F33=100Tn

 16.56  8.95 1.87  R2    8.95 11.70  5.19 Tn mm  1.87  5.19 3.56 


Pórtico 3 u1=7.8504mm F11=100Tn u2=11.1114mm F12=-78.44Tn u3=37.1516mm F13=56.72Tn

F21=-55.42Tn F22=100Tn F23=-147.09Tn

F31=11.99Tn F32=-44Tn F33=100Tn

 12.74  7.06 1.53  R3    7.06 9.00  3.96 Tn mm  1.53  3.96 2.69  Pórtico A v1=13.9777mm F11=100Tn v2=18.0564mm F12=-69.51Tn v3=51.4076mm F13=37.1Tn

F21=-53.81Tn F22=100Tn F23=-132.78Tn

F31=10.09Tn F32=-46.65Tn F33=100Tn

 7.15  3.85 0.72  R A    3.85 5.54  2.58 Tn mm  0.72  2.58 1.95  Pórtico B v1=10.2689mm F11=100Tn v2=13.263mm F12=-69.97Tn v3=37.9726mm F13=38.2Tn

F21=-54.17Tn F22=100Tn F23=-133.36Tn

F31=10.33Tn F32=-46.6Tn F33=100Tn

 9.74  5.28 1.01  RB    5.28 7.54  3.51 Tn mm  1.01  3.51 2.63  Pórtico C v1=8.2945mm F11=100Tn v2=10.9191mm F12=-71.63Tn v3=32.2263mm F13=41.63Tn

F21=-54.41Tn F22=100Tn F23=-136.07Tn

F31=10.72Tn F32=-46.12Tn F33=100Tn

 12.06  6.56 1.29  RC    6.56 9.16  4.22 Tn mm  1.29  4.22 3.10 




Se encuentra la matriz de rigidez de la estructura para cada dirección, sumando las matrices de rigidez de cada pórtico en la dirección en consideración. Dirección X

R X   R1   R2   R3 

 26.61  14.77 3.36   16.56  8.95 1.87   12.74  7.06 1.53  R X    14.77 17.91  7.63   8.95 11.70  5.19   7.06 9.00  3.96  7.63 4.81   1.87  5.19 3.56   1.53  3.96 2.69   3.36  55.91  30.78 6.76  R X    30.78 38.61  16.78 Tn mm  6.76  16.78 11.06  Dirección Y

RY   R A   RB   RC 

 7.15  3.85 0.72   9.74  5.28 1.01   12.06  6.56 1.29  RY    3.85 5.54  2.58   5.28 7.54  3.51   6.56 9.16  4.22  0.72  2.58 1.95   1.01  3.51 2.63   1.29  4.22 3.10   28.95  15.69 3.02  RY    15.69 22.24  10.31 Tn mm  3.02  10.31 7.68 



Para cada dirección se supone un vector de fuerza (Se asume igual a 1 Tn en cada piso) y se encuentran los desplazamientos en cada dirección por medio de la matriz de rigidez de la estructura.

0.0506 u  R X  * F  u  0.0790 0.0889 0.0859 1 v  RY  * F  v  0.1190 0.1260 1



0.0790 0.0889 1 0.2186  0.1993 0.2541 * 1  u  0.5325 mm 0.2541 0.4216 1 0.7647 0.1190 0.1260 1 0.3308  0.2839 0.3343 * 1  v  0.7372 mm 0.3343 0.5295 1 0.9897

Ya teniendo los desplazamientos se multiplican por la matriz de rigidez de cada pórtico para cada dirección, así encontraremos el porcentaje de fuerza que cada pórtico recibe conforme a su rigidez (Como se asumió fuerzas de 1 Tn en todos los pisos, no hay necesidad de calcular el porcentaje, si se hubiese asumido otro valor, estas fuerzas se deberían dividir entre el valor asumido para encontrar el porcentaje).


0.5209 F1  R1 * u  F1  0.4739 0.3497

0.2838 F2  R2 * u  F2  0.3051 0.3675

0.1953 F3  R3 * u  F3  0.2211 0.2828

F  F1  F2  F3 0.2399 FA  R A * v  FA  0.2568 0.2663

0.3295 FB  RB * v  FB  0.3376 0.3497

0.4306 FC  RC * v  FC  0.4056 0.3841

F  FA  FB  FC



Ya teniendo el porcentaje de las fuerzas que soporta cada pórtico en cada piso y en cada dirección se aplica para cada piso: 3

Y

 yi * Fi i 1

3

 Fi i 1

C

X 

x i A

i

* Fi

C

F i A

i

Piso 1

0.3497 *10  0.3675 * 5  0.2828 * 0  Y  5.3345 m 1 0.2663 * 0  0.3497 * 4  0.3841*10 X   X  5.2398 m 1

Y

Piso 2

0.4739 *10  0.3051* 5  0.2211* 0  Y  6.2645 m 1 0.2568 * 0  0.3376 * 4  0.4056 *10 X   X  5.4064 m 1

Y

Piso 3

0.5209 *10  0.2838 * 5  0.1959 * 0  Y  6.6280 m 1 0.2399 * 0  0.3295 * 4  0.4306 *10 X   X  5.6240 m 1

Y

Calculo Centro de Rigidez

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