Bemessungshilfen und Konstruktion bei geneigten Querkräften

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Fachthemen DOI: 10.1002/best.200700543

Peter Mark Veit Birtel Friedhelm Stangenberg

Bemessungshilfen und Konstruktion bei geneigten Querkräften Dargestellt wird das praktische Vorgehen der Querkraftbemessung bei geneigt zu den Querschnittshauptachsen angreifenden Querkräften (zweiachsige Querkraft). Dazu werden für Stahlbetonträger mit Rechteckquerschnitt die Widerstandsgleichungen für Zug- und Druckstrebentragfähigkeiten auf Grundlage von DIN 1045-1 und EC 2 abgeleitet, verifiziert und in Bemessungsdiagrammen aufgearbeitet. Ein Beispiel zeigt die einfache Ermittlung erforderlicher Bügelbewehrungsmengen mit gleichzeitigem Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit. Die konstruktiven Regeln für Bügelverankerungen und das Versatzmaß lassen sich bei Beachtung der räumlichen Neigung des Querkraftfachwerks und der verdrehten Nulllinienlage direkt auf Situationen geneigter Querkraftwirkungen übertragen. Design Methods and Detailing for RC Beams with Inclined Shear Forces The shear-resistant design of reinforced concrete (RC) beams with rectangular cross sections and inclined shear forces (biaxial shear) is presented. Equations for the shear resistances provided by the tensile strut and by the compressive strut are derived according to the design concepts of DIN 1045-1 and EC 2. They are verified to experimental data and elaborated to gain design charts. Examples show the practical applications. Existing detailing provisions for the anchorage of stirrups and the horizontal displacement in the tensile force of the bending reinforcement can directly be applied to cases of biaxial shear, if the rotations of the neutral axis and of the resultant strut-and-tie system are taken into account.

physikalische Verhalten im Gesamtquerschnitt, sie ist i. d. R. auch unsicher. Im Beitrag wird gezeigt, wie sich auf Basis der bestehenden Querkraftwiderstände nach DIN 1045-1 [4] oder Eurocode 2 [5] Neigungseffekte durch Zusatzfaktoren rechnerisch oder mit Bemessungsdiagrammen grafisch erfassen lassen und was bei der konstruktiven Durchbildung zu beachten ist.

2 Interpolationsansatz Grundstein des in [3] abgeleiteten Modellansatzes für Rechteckquerschnitte mit zweischnittigen Bügeln unter geneigten Querkräften (Bild 1) ist eine aus der schiefen Biegung abgeleitete Normierung. So reicht es aus, dimensionslose Querkraftneigungen αV αV =

VEdy h VEdz b

(1)

innerhalb eines dreieckigen Querschnittsbereichs zwischen Hauptachse und Querschnittsdiagonale zu betrachten, also nur ein Achtel aller möglichen Neigungen. Es muss gelten 0 ≤ αV ≤ 1, ansonsten sind die Bezeichnungen von Höhe und Breite sowie der Querkraftkomponenten VEdy und VEdz zunächst zu tauschen. αV leitet sich aus dem Verhältnis der bekannten dimensionslosen Momentenwerte μEdz zu μEdy [1], [6], [7] ab,

1 Einleitung Geneigt zu den Querschnittshauptachsen angreifende Querkräfte können aus zweiachsigen Beanspruchungen – wie Eigengewichten in Kombination mit Wind – oder verdrehten Querschnittslagen entstehen. Gleichzeitig tritt „schiefe“ Biegung auf, also ein ebenso gegenüber den Hauptachsen verdrehtes Biegemoment. Wie bei der schiefen Biegung [1], [2] sind auch bei geneigter Querkraftwirkung gesonderte Bemessungsverfahren notwendig [3], da Tragfähigkeiten bzw. Querschnittswiderstände mit Beanspruchungsneigung abnehmen. Dies gilt insbesondere für die Querkraft. Eine getrennte Behandlung nach Komponenten, die mit geschätzten inneren Hebelarmen (z. B. 0,9(b–d1) bzw. 0,9(h–d1)) horizontale Bügelschenkel nach horizontaler Querkraftkomponente und vertikale Bügelschenkel nach vertikaler Querkraftkomponente bemisst, missachtet nicht nur das reale

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Bild 1. Bezeichnungen am Querschnitt mit dimensionsloser Querkraftneigung αV Fig. 1. Notation and related shear force inclination αV

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P. Mark/V. Birtel/F. Stangenberg · Bemessungshilfen und Konstruktion bei geneigten Querkräften

−μ Ed z μ Ed y

=

−MEd z / (b2hfcd ) MEd y / (bh 2fcd )

=−

MEd z h MEd y b

(2)

wenn Querkraft und Moment senkrecht zueinander stehen, also –MEdz/MEdy = VEdy/VEdz ist. Ausgehend von den bekannten Querkraftwiderständen bei hauptachsenparallelem Lastangriff (αV = 0) nehmen die Tragfähigkeiten von Zug- und Druckstreben immer weiter ab, bis sie ihr Minimum bei diagonaler Querkraftrichtung erreichen (αV = 1). Diese Abnahmen werden als nichtlinear abhängig von Querkraftneigung und Geometrie angenommen. Sie sind für Zug- und Druckstreben von unterschiedlicher Größe, da sich der Abminderungswert 1/at der Zugstrebentragfähigkeit mit 1 = at

1 1 +(

2 (b / h)2 + 1

(3) − 1) α V

aus dem rechnerischen Anstieg der Bügelkräfte von bis zu einem Faktor at = 2 ergibt (1/at = 1/2 mit αV = 1 und h/b → ⬁), der Abminderungswert 1/ac der Druckstrebentragfähigkeit sich hingegen aus einer mit der Neigung ansteigenden Einschnürung der Druckstrebe auf eine Restbreite von beff = b

1 ac

(4)

VRd,sy = VF

1 + Vc at

(6)

Solch eine Auftrennung ist für VRd3 = Vwd + Vcd nach dem Standardverfahren des Eurocode 2 [5] offensichtlich. Sie gelingt aber genauso für VRd,sy nach DIN 1045-1 [4] (vgl. [8], [9]), da sich VRd,sy für den Grenzfall des rechnerischen Zugstrebenversagens (VEd = VRd,sy) und lotrechten Bügeln in VRd,sy =

A sw f z cot β r + VRd,c s w yd

(7)

umwandeln lässt. Darin ist βr ≈ 40° der Winkel der Schrägrisse gegen die Balkenachse mit cot βr = 1,2. Die Tragfähigkeitsminderung der Druckstrebe kann direkt multiplikativ über den Faktor 1/ac in die Widerstandsgleichungen einführt werden.

Neigungsabhängige Faktoren reduzieren die Widerstände von Zug- und Druckstreben.

mit 1 1 = 2 ac 1 + αV 3

Der Modellansatz lässt sich prinzipiell in zahlreiche Bemessungsverfahren internationaler Normenwerke eingliedern, um Widerstandsgleichungen für Zug- und Druckstrebentragfähigkeiten in ihren Gültigkeiten von hauptachsenparallelem Lastangriff (αV = 0) auf beliebige Lastneigungen (αV ≠ 0) zu erweitern. Voraussetzung ist, dass eine Auftrennung des durch die Schubbewehrung begrenzten Tragwiderstands in einen Fachwerktraganteil VF und einen Betonanteil Vc möglich ist, da 1/at nur den auf die Bügel entfallenden Anteil VF reduziert.

(5)

ermittelt. Zu beachten ist, dass die Faktoren 1/at und 1/ac sich tragfähigkeitsmindernd auswirken, daher kleiner oder gleich 1 sein müssen (Bild 2). Das bedeutet bei einem ggf. erforderlichen Bezeichnungswechsel, dass in Gl. (3) b immer der kleineren und h immer der größeren der beiden Rechteckseiten entspricht.

Bild 2. Verläufe der Abminderungsfaktoren 1/at und 1/ac über αV (1/ac = 1/at für h/b = (1,22–1)–0,5 ≈ 1,51) Fig. 2. Developments of the reduction factors 1/at und 1/ac over αV (1/ac = 1/at if h/b = (1,22–1)–0,5 ≈ 1,51)

Tabelle 1 fasst die erweiterten Bemessungswerte von Druck- und Zugstrebentragfähigkeiten auf Grundlage von DIN 1045-1 bzw. des EC 2 zusammen. Zur Bemessung nach DIN 1045-1 sind in bekannter Weise zunächst der Druckstrebenwinkel θ mit dem Betontraganteil VRd,c des verbügelten Querschnitts zu ermitteln. Es gelten die bekannten Schranken von 0,58 ≤ cot θ ≤ 3 für Normalbeton. Die einwirkende Querkraft VEd entspricht der resultierenden Kraft aus den Komponenten VEdy, VEdz und der Hebelarm der inneren Kräfte liegt – aufgrund der zugehörigen schiefen Biegung – wie die Querkraft im Querschnitt geneigt (Bild 1). Die Bemessungsgleichungen erweisen sich – im Gegensatz zu hauptachsengetrennten Bemessungsstrategien – als konservativ. Bild 3 zeigt dies mit Hilfe von rund 150 experimentell oder numerisch erzeugten Datenpunkten für den maßgebenden, durch die Schubbewehrung begrenzten Tragwiderstand VR,sy bzw. VR3 auf rechnerischem Bruchniveau (vgl. [3], [8], [10]). Da der Vergleich die Querkraftwerte (Vexp, Vsim) aus einachsigen [11] bis [17] wie ersten zweiachsigen [18] bis [20] Experimenten und Simulationsrechnungen [6], [21] umfasst, ist als Bezugswert der mechanische Bügelbewehrungsgrad ωw = ρwfyw/(αcf1c) ausgewählt [8], [10] und mittels 1/at auf das Niveau einachsiger Beanspruchung angeglichenen. Die ersten experimentellen Daten mit zweiachsiger Querkraftwirkung (blaue Rauten) aus einem aktuell laufenden, durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft

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Tabelle 1. Erweiterte Bemessungsgleichungen für die Widerstände von Zug- und Druckstreben nach DIN 1045-1 und EC 2 (Standardverfahren), senkrechte Bügel (α = 90°) Table 1. Generalised design equations for the shear resistances of tensile and compressive struts acc. to DIN 1045-1 and EC 2 (Standard Method), vertical stirrups (α = 90°) DIN 1045-1 Druckstrebe

VRd,max =

Zugstrebe

VRd,sy =

mit

EC 2 (Standardverfahren)

b zα cfcd 1 cot θ + tan θ a c

VRd2 = 1/2 νfcd bz

A sw 1 f z cot θ s w yd at

cot θ nach (73) DIN 1045-1 und VRd,c nach (74)

VRd3 =

1 ac

A sw 1 f z + Vcd s w yd a t

Vcd nach (4.22) EC 2 mit d ≈ z/0,9

2 + V2 VEd = VEdy Edz Bemessungswert der einwirkenden Querkraft (Resultierende) z Hebelarm der inneren Kräfte (parallel der Querkraft, im Querschnitt geneigt) 1/at, 1/ac nach (3), (5), bzw. Bild 2

3 Bemessungsdiagramme Das im Bild 4 dargestellte Diagramm dient der Bügelbemessung mit gleichzeitigem Nachweis ausreichender Druckstrebentragfähigkeit nach DIN 1045-1 für – Stahlbetonträger unter geneigten oder nicht geneigten Querkräften, – mit Rechteckquerschnitt (h/b) und lotrechten, zweischnittigen Bügeln, – ohne Normalkräfte, – aus Normalbeton C16/20 bis C50/60. Es basiert zunächst auf bekannten Normierungen [2], [8], [22] von einwirkender Querkraft VEd und mechanischem Bügelbewehrungsgrad ωwd. v Ed =

VEd bzα cfcd

(8)

ω wd =

A sw fyd s w bα cfcd

(9)

mit z Hebelarm der inneren Kräfte (parallel der Querkraft, im Querschnitt geneigt) αc Abminderungsbeiwert für die Druckstrebenfestigkeit nach DIN 1045-1, αc = 0,75 für Normalbeton Bild 3. Verifikation an Experimenten (ein- und zweiachsig) sowie Simulationsrechnungen (ein- und zweiachsig) Fig. 3. Verification to experimental and numerical data (uniaxial and biaxial shear)

DFG geförderten Projekt [20], ordnen sich gut ein in den bekannten Streubereich der Versuche mit einachsiger Belastung. Allerdings ist eine merklich bessere Abschätzung der Tragfähigkeiten durch den Ansatz des EC 2 auffällig. Dies liegt maßgeblich an den zwangsweise hohen Längsbewehrungsgraden der Versuchskörper (3 % ≤ ρl ≤ 7 %), die in den Betontraganteilen nach Eurocode (Vcd) explizit berücksichtigt sind, im Rissreibungsansatz nach DIN 1045-1 (VRd,c) hingegen nur indirekt Eingang finden. 264


Zum Einschluss der Neigungsabhängigkeit sind zwei weitere Schritte erforderlich: Zum ersten muss der neigungsunabhängige Betonanteil vom neigungsabhängigen Fachwerkanteil getrennt werden (vgl. Gl. (6)). Dazu wird über die von der Betonfestigkeitsklasse abhängigen, grauen Flächen und eine abgetreppte Linie ein normierter Betonwiderstand v Rd,c =

VRd,c bzα cfcd

(10)

von vEd subtrahiert. Es verbleibt der von den Bügeln zu übernehmende Anteil vF = vEd – vRd,c, welcher am Einheitsquerschnitt und fester Neigung αV dem Bewehrungsgrad ωwd proportional ist (Geraden durch den Ursprung im vEd/ωwd-Diagramm).

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Bild 4. Bemessungsdiagramm für Rechteckquerschnitte aus Normalbeton unter geneigten Querkräften nach DIN 1045-1 Fig. 4. Design chart for rectangular cross sections with normal strength concrete under inclined shear forces (acc. to DIN 1045-1)

v F = ω wd cot βR

1 ηzt z / t z0

(11)

mit ηz = tz tz0 tz/tz0 βR

α 2V + 1 α 2V(b / h)2 + 1

dimensionsloser Geometrieparameter, 1 ≤ ηz < 앀2 苵 [19] Kraft im vertikalen Bügelschenkel am Einheitsquerschnitt für V = „1“ tz bei einachsiger Querkraft, tz0 = 1/2 Steigerung der Einheitsbügelkräfte nach Bild 5 Winkel der Schubrisse zur Balkenachse, cot βR = 1,2

Als Funktion der Einheitsbügelkräfte tz/tz0 in Abhängigkeit von der Querkraftneigung ist eine Ausgleichskurve auf Basis räumlicher Fachwerkmodelle und üblichen Querschnittsausführungen implementiert (Bild 5, gestrichelte Linie). Ihre komplexe mathematische Form spielt aufgrund der grafischen Umsetzung keine Rolle. Der Rückschluss von vF auf ωwd ist für αV ≠ 0 geometrieabhängig. Im zweiten Schritt sind daher am Einheitsquerschnitt ermittelte Werte ωwd mit einem Geometrie-

faktor ηz zu multiplizieren, was je nach h/b-Verhältnis und Querkraftneigung bis zu einem Faktor von 앀2 苵 ausmacht. Dieser Schritt ist – um Zwischenrechnungen gänzlich zu vermeiden – ebenso grafisch umgesetzt und zwar im linken Teildiagramm. Dort wird nur eine den Bewehrungsgrad erhöhende Neigung der Ablesegeraden im vEd/ωwdDiagramm bestimmt, so dass die Ablesegerade die Ordinate am passenden Bewehrungswert ωwd schneidet. Für geringe Querkraftneigungen bis αV = 0,2 kann vereinfacht horizontal abgelesen werden.

Die Bemessungsdiagramme dienen der Ermittlung erforderlicher Bügelbewehrungsmengen mit qualitativem Nachweis der Druckstrebe.

Zum Nachweis ausreichender Druckstrebentragfähigkeit (VRd,max) sind Begrenzungskurven für die Normalbetonklassen angegeben. Sie entsprechen den Schnittpunkten von Bemessungslinien und Plastizitätskreisen unter Berücksichtigung des Versatzes durch den Betonabzug vRd,c und der Neigungsabhängigkeit über 1/ac. Schneidet die Verbindung von vEd–vRd,c eine Bemessungslinie unterhalb der jeweiligen Begrenzungskurve, ist VRd,max Beton- und Stahlbetonbau 102 (2007), Heft 5

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Bild 5. Variationsbereich der Einheitsbügelkräfte über der Querkraftneigung Fig. 5. Variation range of unit stirrup forces over the shear force inclination

nicht maßgebend, ansonsten sind beispielsweise Querschnitt oder Betongüte zu verbessern. Zur Bemessung empfiehlt sich das folgende, praktische Vorgehen. Bild 9 zeigt die Einzelschritte am Beispiel: 0. Berechnung von vEd und αV nach Gl. (8) und Gl. (1) 1. Grafischer Abzug des normierten Betonanteils vRd,c (abgetreppte Linie) 2. (a) Verbindung von vEd–vRd,c mit passender Diagrammgerade (nach αV) (b) Kontrolle der Druckstrebentragfähigkeit (Schnittpunkt liegt unterhalb der jeweiligen Betongrenzkurve → Druckstrebe nicht maßgebend) 3. Geometrieverzerrung über ηz (geneigte Verbindungslinie zwischen rechtem Rand und zu αV passendem Punkt auf der jeweiligen h/b-Kurve) Hinweis: Horizontale Linie für αV ≤ 0,2 oder bei h/b = 1 4. Ablesen des erf. mechanischen Bügelbewehrungsgrads ωwd mit geneigter Ablesegerade (Neigung aus Schritt 3) und Rückrechnen der Bügelbewehrung A f erf. sw = ω wd bα c cd sw fyd Vorteile des Diagramms sind, dass viele Berechnungen entfallen. So ist kein rechnerischer Druckstrebenwinkel θ über VRd,c zu ermitteln. Das Diagramm nutzt automatisch den minimal möglichen Winkel. Auch die Abminderungsfaktoren 1/at und 1/ac sind grafisch erfasst. Ebenso erübrigt sich die Berechnung der Druckstrebentragfähigkeit, die bei Rechteckquerschnitten i. d. R. nicht maßgebend wird. Ihre qualitative Prüfung folgt automatisch aus dem grafischen Ablesevorgang. Die Begrenzung des Druckstrebenwinkels auf Werte größer cot θmin = 3 (rechnerisch sehr flache Druckstrebenneigungen) ist nicht in das Diagramm eingearbeitet. Daher ist die errechnete Bügelbewehrung gegen die Min-

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Bild 6. Querkraftbemessungsdiagramm für Bauteile aus Normalbeton nach DIN 1045-1 Fig. 6. Shear design chart for normal strength concrete members, acc. to DIN 1045-1

destbewehrung zu prüfen, was in etwa einer Strebenwinkelbegrenzung auf cot θmin = 3 entspricht (vgl. [8], [23]). Reduziert man das Diagramm des Bildes 4 auf einachsige Querkraftbeanspruchungen (αV = 0), vereinfacht sich seine Anwendung merklich (Bild 6). Die Geometrieverzerrung über ηz und damit das linke Teilbild entfällt (Schritt 3) und nur eine Bemessungslinie mit Grenzpunkten für die Druckstrebentragfähigkeit verbleibt. Der Bemessungsweg führt nun direkt über vEd, den grafischen Abzug des Betonanteils über eine abgetreppte Verbindung zur Bemessungslinie und mit horizontaler Ablesung zum gesuchten Bewehrungsgrad ωwd. Das Diagramm ist nicht nur für Rechteckquerschnitte, sondern allgemein auch für profilierte Querschnitte mit Stegbreite bw gültig. Auch hier ist nachträglich die Einhaltung der Mindestbewehrung zu prüfen.

4 Hinweise zur Konstruktion Bei Balken mit Rechteckquerschnitt und geneigten Querkräften erhalten alle vier Bügelschenkel planmäßig Zugkräfte. Daher bieten sich in der Druckzone verankerte, geschlossene Bügelformen an, mit den bekannten Veranke-

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rungselementen nach DIN 1045-1 Kap.12.7. Kappenbügel sind meist ungünstig, da durch die schiefe Biegung i. d. R. nur ein Verankerungsschenkel des Kappenbügels in der Druckzone und der andere bereits in der Zugzone liegt. Bei über den Umfang verteilter Längsbewehrung sind Zwischenbügel über die Höhe eine konstruktiv sinnvolle Ergänzung (Bild 7). Sie ermöglichen ein direkteres Abstützen der Druckstreben auf die gezogenen seitlichen Längsstäbe durch Aufnahme horizontaler Abtriebskräfte. Ausreichende Tragfähigkeiten erreichen in ersten Experimenten [20] allerdings auch Balken ohne Zwischenbügel. Das bei der Zugkraftdeckung zu berücksichtigende Versatzmaß al [4] (senkrechte Bügel mit α = 90°) al =

z cot θ 2

(12)

kann direkt auf Situationen geneigter Querkräfte übertragen werden. Dabei ist – wie bei der Bemessung – der im Querschnitt geneigte Hebelarm der inneren Kräfte z mit zugehörigem resultierendem Strebenwinkel θ anzunehmen. Zwar bilden sich im Balken komplexe, räumliche Strebenverläufe [19], dennoch bleibt für einen Fachwerksabschnitt der Längsschritt in Balkenrichtung z cot θ, also gleich dem Abstand der Vertikalstreben im bekannten einfachen Gelenkfachwerk [2], [24] für einachsige Querkraftbeanspruchungen (Bild 8).

Bild 7. Zwischenbügel bei verteilter Längsbewehrung Fig. 7. Intermediate stirrups in cases of distributed longitudinal reinforcement

5 Beispiel Ein Stahlbetonbalken mit h/b/d1 = 50/35/5 [cm] C20/25, BSt 500 S Längsbewehrung 3 ∅20 je Ecke, As,tot = 4 · 3 · 3,14 = 37,7 cm2 ist gegen folgende drei Querkraftwirkungen zu bemessen: VEdz = 200 kN (A) VEdy = 0 (Referenz, einachsig) (B) VEdy = 20 kN VEdz = 200 kN (zweiachsig, geringe Querkraftneigung) (C) VEdy = 100 kN VEdz = 200 kN (zweiachsig, große Querkraftneigung) Der rechnerische Bemessungsgang ist in Tabelle 2 für die drei Varianten zusammengefasst. Er verläuft über die Bestimmung der erforderlichen Bügelbewehrungsmengen hin zum Nachweis der Druckstreben und unterscheidet sich nur in der zusätzlichen Berücksichtigung der Reduktionsbeiwerte 1/at und 1/ac vom bekannten Ablauf bei hauptachsenparallelen Einwirkungen. 1/at und 1/ac können nach Gl. (3) und Gl. (5) berechnet oder alternativ aus Bild 2 abgelesen werden. Bereits die geringe horizontale Zusatzlast von nur 10 % der vertikalen Querkraft lässt im Fall (B) die Bewehrungsmengen gegenüber der Referenz (A) merklich ansteigen, auch wenn die angreifende Querkraftresultierende sich so gut wie nicht ändert. Druck- und Zugstrebentragfähigkeiten sinken in etwa gleichem Maße, da die Reduktionsbeiwerte 1/at und 1/ac bei einem h/b-Verhältnis nahe 1,5 fast identische Werte liefern.

Bild 8. Typisches räumliches Fachwerksystem und resultierende Streben Fig. 8. Typical spatial strut-and tie system and resultant struts

Belastungsfall (C) führt zu einer stark geneigten und um rund 10 % erhöhten Querkraft. Widerstandsreduktionen bzw. die Erhöhung der Bewehrung fallen aber wesentlich ausgeprägter aus. Dies liegt zum Großteil an der Lastneigung, die mit 71 % zur Steigerung der Bügelmenge auf fast das Doppelte beiträgt. Die restliche Erhöhung ist der größeren Querkraft und dem geringeren Hebelarm z zuzuschreiben. Das gleiche Beispiel ist in der Tabelle 3 mit dem Bemessungsdiagramm des Bildes 4 ausgewertet. Zu berechnen sind nur die Eingangswerte αV und vEd und nach dem grafischen Schritt die erforderlichen Bügelmengen aus den abgelesenen Bewehrungsgraden ωwd. Die grafischen Einzelschritte zeigt Bild 9, wobei nur im Fall (C) eine ansteigende Ablesegerade für ωwd zu ermitteln ist. Im einachBeton- und Stahlbetonbau 102 (2007), Heft 5

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Tabelle 2. Rechnerische Auswertung des Beispiels Table 2. Calculative analysis of the example

VEd [kN]

(A)

(B)

(C)

200

201

224

0

20 50 ⋅ = 0,14 200 35

0,71

0,40

0,40

0,39

αV nach (1) z [m] (schiefe Biegung)

201/3

VRd,c [kN] DIN 1045-1 (74)

0,24 · · 0,35 · 0,40 · 103 = 91

91

89

cot θ DIN 1045-1 (73)

1, 2 = 2, 20 1 − 91 / 200

2,19

1,99

1

= 0, 81

1/at nach (3) bzw. Bild 2 mit h/b = 1,43

1

1/ac (5) bzw. Bild 2

1

erf. Asw/sw [cm2/m] nach Tab. 1

200 = 5, 2 43, 5 ⋅ 0, 40 ⋅ 2, 20

201 = 6, 5 43, 5 ⋅ 0, 40 ⋅ 2,19 ⋅ 0, 81

10,2

0, 35 ⋅ 0, 40 ⋅ 0, 75 ⋅ 11, 33 2, 20 + 1 / 2, 20 ⋅ 103 = 448 ≥ VEd

0, 35 ⋅ 040 ⋅ 0, 75 ⋅ 11, 33 2,19 + 1 / 2,19 ⋅ 0, 80 ⋅ 103 = 360 ≥ VEd

298 ≥ VEd

VRd,max [kN]

1 +(

2 (1, 43)2 + 1

− 1) 0,14

0,65

= 0, 80

0,64

1 1+

2 3

0,14

Tabelle 3. Auswertung des Beispiels nach Bemessungsdiagramm Table 3. Graphical analysis of the example using the design chart (A)

(B)

(C)

0

0,14

0,71

0,40

0,40

0,39

0, 200 = 0,168 0, 35 ⋅ 0, 40 ⋅ 0, 75 ⋅ 11, 33

0,169

0,193

horizontal

vereinfacht horizontal (αV ≤ 0,2)

Kurve h/b = 0,50/035 = 1,43 ≈ 1,5; Linie zwischen αV =0,71 und 0

0,08

0,09

0,155

6,2

10,6

αV nach (1) z [m] (schiefe Biegung) vEd [–] nach (8) Neigung der Ablesegerade wwd [–] (abgelesen)

11, 33 ⋅ 102 = 5, 5 435

erf. Asw/sw [cm2/m] aus ωwd

0, 08 ⋅ 35 ⋅ 0, 75 ⋅

Prüfung VRd,max

Schnittpunkte mit den Bemessungsgeraden unterhalb der Begrenzungskurven für Druckstrebenversagen → Druckstrebe nicht maßgebend

sigen Beanspruchungsfall (A) kann auch direkt das Bemessungsdiagramm des Bildes 6 verwendet werden. Es liefert gleiche Ergebnisse.

Mit der Querkraft neigt sich auch das resultierende Fachwerkmodell. Beim Vergleich von rechnerischer Auswertung und Lösung mittels Bemessungsdiagramm fallen geringe Diffe-

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renzen in den Bewehrungsmengen auf. Diese sind im Belastungsfall (A) allein durch die begrenzte Genauigkeit der grafischen Lösung bedingt. Bei Querkraftneigung, also in den Fällen (B) und (C), kommt die unterschiedliche Art der Interpolation der Bügelkräfte hinzu (Bild 5). Die dem Diagramm zugrunde liegende Ausgleichsfunktion schätzt den Kraftanstieg für kleine Querkraftneigungen geringer ab, liefert dort also auch geringere Bewehrungswerte. Der rechnerische Interpolationsansatz ist hier konservativ überschätzend.

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Bild 9. Grafische Schritte zum Beispiel im Bemessungsdiagramm Fig. 9. Graphical steps of the example in the design chart

6 Zusammenfassung Querkraftbemessungen bei gegen die Querschnittshauptachsen geneigten Querkräften können auf Basis der bekannten Widerstandsgleichungen nach DIN 1045-1 oder EC 2 durchgeführt werden, führt man Abminderungsfaktoren für die Druck- und Zugstrebentragfähigkeiten ein. Dieses Konzept lässt sich auch auf eine grafische Auswertung mittels Bemessungsdiagrammen übertragen. Dazu sind neigungsabhängige Parameter wie die Bügeltragfähigkeit und die rechnerische Breite der Druckstreben vom neigungsunabhängigen Betontraganteil zu trennen und zu normieren. Die Ermittlung der Bügelbewehrung mit gleichzeitigem qualitativem Nachweis ausreichender Druckstrebentragfähigkeit gelingt über wenige grafische Züge. Die Konstruktionsregeln der DIN 1045-1 für die Verankerung von Bügeln und das Versatzmaß lassen sich direkt auch auf geneigte Querkraftwirkungen anwenden. Zu berücksichtigen sind dabei die spezielle Form der Druckzone (schiefe Biegung) und die im Querschnitt geneigte Lage von innerem Hebelarm z und resultierendem Querkraftfachwerk.

Danksagung Die Autoren danken der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die finanzielle Unterstützung des Forschungsvorhabens „Experimentelle und numerische Untersuchungen an Stahlbetonträgern mit zweiachsigen Querkraftbeanspruchungen“ (http://www.dfg.de/gepris/). Literatur [1] Schmitz, P. U. und Goris, A.: Bemessungstafeln nach DIN 1045-1, Werner Verlag, Düsseldorf 2001. [2] Zilch, K. und Zehetmaier, G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer Verlag, Berlin 2006. [3] Mark, P.: Ein Bemessungsansatz für zweiachsig durch Querkräfte beanspruchte Stahlbetonbalken mit Rechteckquerschnitt, Beton- und Stahlbetonbau 100 (2005), Heft 5, S. 370–375. [4] DIN 1045-1: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton (2001), Beuth Verlag, Berlin. [5] Eurocode 2: Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken, Teil 1 (1992), Beuth Verlag, Berlin. [6] Mark, P.: Zweiachsig durch Biegung und Querkräfte beanspruchte Stahlbetonträger, Schriftenreihe des Inst. f. Konstr. Ingenieurbau 2006-3 (Habilitationsschrift), Ruhr-Universität Bochum, Shaker Verlag, Aachen.


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[7] Kordina, K. et. al.: Bemessungshilfsmittel zu Eurocode 2 Teil 1, DAfStb H. 425, Beuth Verlag, Berlin 1992. [8] Reineck, K.-H.: Hintergründe zur Querkraftbemessung in DIN 1045-1 für Bauteile aus Konstruktionsbeton mit Querkraftbewehrung, Bauingenieur 76 (2001), Heft 4, S. 168-179. [9] Hegger, J. und Görtz, S.: Querkraftbemessung nach DIN 1045-1, Beton- und Stahlbetonbau 97 (2002), Heft 9, S. 460– 470. [10] Hegger, J. und Görtz, S.: Querkrafttragfähigkeit von monolithischen und nachträglich ergänzten Bauteilen mit und ohne Querkraftbewehrung, DIBt-Forschungsvorhaben IV 1-5876/98: Überprüfung und Vereinheitlichung der Bemessungsansätze für querkraftbeanspruchte Stahlbeton- und Spannbetonbauteile aus normalfestem und hochfestem Beton nach DIN 1045-1, Teilbericht, (Kap. 6), 1999. [11] Görtz, S.: Zum Schubrissverhalten von Stahlbeton- und Spannbetonbalken aus Normal- und Hochleistungsbeton, Dissertation, RWTH Aachen 2004. [12] Anderson, N. S. and Ramirez, J. A.: Detailing of stirrup reinforcement, ACI Structural Journal 86 (1989), (5), pp. 507–515. [13] Los, M.: Zur Auswirkung von Längszugspannungen auf das Schubtragverhalten von Stahlbetonträgern mit Rechteckquerschnitt, Dissertation, TU Hamburg-Harburg 2000. [14] Regan, P. E. and Reid, I. L. K.: Shear strength of RC beams with defective stirrup anchorages, Magazine of Concrete Research 56 (2004), (3), S. 159–166. [15] Sarsam, K. F. and Al-Musawi, J. M. S.: Shear design of high- und normal strength concrete beams with web reinforcement, ACI Structural Journal 89 (1992), (6), S. 658–664. [16] Toongoenthong, K. and Maekawa, K.: Computational performance assessment of damaged RC members with fractured stirrups, Journal of Advanced Concrete Technology 3 (2005), (1), S. 123–136. [17] Zararis, P. D.: Shear strength and minimum shear reinforcement of reinforced concrete slender beams, ACI Structural Journal 100 (2003), (2), S. 203–214. [18] Hansapinyo, C., Maekawa, K. and Chaisomphob, T.: Behavior of reinforced concrete beams subjected to bi-axial shear, J.Materials Conc.Struct., Pavements, JSCE 58 (2003), (725), S. 321–331. [19] Mark, P.: Stahlbetonträger mit zweiachsiger Querkraftbeanspruchung: Fachwerkmodelle, Experiment und Bemessungsansatz, Beton- und Stahlbetonbau 99 (2004), Heft 9, S. 744–753.

[20] Stangenberg, F., Mark, P. und Birtel, V.: Experimentelle und numerische Untersuchungen an Stahlbetonträgern mit zweiachsigen Querkraftbeanspruchungen, Forschungsprojekt gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft (2005), http://www.dfg.de/gepris/. [21] Birtel, V. and Mark, P.: Numerical analyses of the biaxial shear capacity of transverse reinforced concrete members, In: CST 2006, ed. by B. H. V. Topping, Civil-Comp Press, Stirlingshire, S. 1–13 (CD-Rom, Paper 126). [22] Friedrich, R.: Bemessung der Bügel, Querkraftzulagen und Schrägstäbe nach DIN 1045-1 und EC 2, Bautechnik 83 (2006), Heft 7, S. 505–510. [23] Hegger, J. und Görtz, S.: Zur Mindestbewehrung nach DIN 1045-1, DAfStb H. 525: Erläuterungen zur DIN 1045-1, Beuth Verlag, Berlin 2003, S. 210–214. [24] König, G. und Tue, N. V.: Grundlagen des Stahlbetonbaus – Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, 2. Aufl., Teubner Verlag 2003, Wiesbaden.

Priv.-Doz. Dr.-Ing. Peter Mark [email protected]

Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Stahlbeton- und Spannbetonbau IA 4/150, Universitätsstraße 150 44780 Bochum

Prof. Dr.-Ing. Friedhelm Stangenberg [email protected]

Aktuelles

Hangsicherung mit kompakter Nassspritz-Betonpumpe In Laos, einem der ärmsten Länder der Region, spielt die Nutzung der Wasserkraft zur Stromgewinnung eine zunehmend wichtige Rolle. Das Land benötigt die Elektrizität nicht nur zur Versorgung der eigenen Bevölkerung und der heimischen Industrie, sondern auch für den Export gegen Devisen. Hauptabnehmer

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Dipl.-Ing. Veit Birtel [email protected]

Hangsicherung mit Naßspritzbeton (Foto: Putzmeister)

der Stromlieferung ist das benachbarte Thailand. Zur Zeit wird das Wasserkraftwerk Nam Ngum 2 gebaut. Das Staudamm-

projekt besteht im Wesentlichen aus einer 169 m hohen Bogenstaumauer, einem Wasserkraftwerk mit 615 MW Leistung sowie aus zwei je 1 km langen Druckstollen von 12 m Durchmesser. Bevor das Tal geflutet wird, muss lockeres Gestein an den relativ steil abfallenden Berghängen vor dem Abrutschen bewahrt werden. Die Sicherung dieser Stellen erfolgt mit Nassspritzbeton. Dazu setzt die Baufirma Ch. Karnchang zwei kleine hydraulisch gesteuerte Kolbenpumpen P 715 TD ein, die mit separaten Dosiervorrichtungen die synchronisierte Zugabe des BE-Mittels regeln. Th

Bemessungshilfen und Konstruktion bei geneigten Querkräften

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