Bazan, Ciro - Tópicos de Macroeconomía.pdf

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA DE ECONOMÍA

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

DR. CIRO EDUARDO BAZÁN NAVARRO ABRIL DE 2014 Url: https://universidadcatolicasantotoribiodemogrovejo.academia.edu/CiroEduardoBaz%C3%A1nNavarro

Chiclayo-Perú

CONTENIDO Introducción

XI

CAPÍTULO I: El modelo IS-LM: Una versión dinámica lineal Supuestos del modelo

1

Resolución del modelo

4

Análisis cualitativo

4

Caso 1: espiral convergente (autovalores complejo conjugados)

5

Análisis cuantitativo

12

Efectos de un incremento en el stock nominal de dinero

14

Efectos de largo plazo

15

Efectos de corto y mediano plazo

16

Simulación numérica

17


22

Caso 2: nodo impropio convergente (autovalores reales distintos)

22


26


27


28


28


29


34

Caso 3: nodo impropio convergente (autovalores reales repetidos)

34


38


40


40


41


41

Conclusiones

47

Bibliografía

48

CAPÍTULO II: Modelo dinámico de oferta y demanda agregadas Supuestos del modelo

49


53


54


54


59

Shock de política monetaria expansiva: Efectos de un aumento de la tasa de crecimiento el stock nominal de dinero

62


62


63

Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural

63


63


64

Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa

marginal

impositiva y un incremento del gasto público simultáneos

64


65


65


66

Simulación del shock de política monetaria expansiva

69

Simulación del shock de oferta negativo

72

Simulación del shock de política fiscal

74


77


77


80

Shock de política monetaria contractiva: Efectos de un decremento de la tasa de crecimiento el stock nominal de dinero

81


82


82

Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural

83


83

IV


84

Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa

marginal

impositiva y un incremento del gasto público simultáneos

84


84


84


86

Simulación del shock de política monetaria contractiva

90

Simulación del shock de oferta negativo

93

Simulación del shock de política fiscal

95


98

Caso 3: centro marginalmente estable (autovalores complejo conjugados)

98


101


103

Conclusiones

106

Bibliografía

107

CAPÍTULO III: Modelo de inflación en una economía cerrada Supuestos del modelo

109


113


114


115


121


124


124


125


126


129


131


131


138


140

V


140


141


142


145


147

Caso 3: centro marginalmente estable (autovalores complejo conjugados)

147


151


153

Conclusiones

156

Bibliografía

157

CAPÍTULO IV: Modelo de Overshooting cambiario con precios rígidos a corto plazo y tipo de cambio flexible Supuestos del modelo

159


166


167


173

Efectos de corto plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado

176

Efectos de mediano plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado

179

Efectos de un aumento sorpresivo y permanente del stock nominal de dinero

181

Efectos de corto plazo

182

Efectos de mediano plazo

183


184


186

Conclusiones

192

Bibliografía

193

CAPÍTULO V: El modelo de crecimiento de HarrodDomar Supuestos del modelo

195

Funcionamiento del modelo

199

VI


202

Análisis cuantitativo Simulación numérica

204 207

Conclusiones

210

Anexo 1

211

Anexo 2

212

Anexo 3

212

Bibliografía

213

CAPÍTULO VI: Modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan Supuestos del modelo

215

Análisis del modelo en variables per cápita

217

Análisis dinámico cualitativo

219

Tasas de crecimiento en el estado estacionario: crecimiento equilibrado Estática comparativa La regla de oro de acumulación del capital

221 224 225

Dinámica durante el periodo de transición hacia el estado estacionario

229

Experimentos de política económica

232

Implicaciones cuantitativas

234

Convergencia

238

El progreso tecnológico

241

El modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno

244

La contabilidad del crecimiento: aspectos analíticos

249

Análisis cuantitativo (tecnología de producción tipo Cobb-Douglas)

252

Un caso numérico (sin progreso tecnológico)

263

Conclusiones

267

Anexo 1: Función homogénea

268

Anexo 2: Tasa de crecimiento instantánea del stock de capital

268

Anexo 3: Teorema de Euler

268

Anexo 4: Optimización de las empresas

270

Anexo 5: Velocidad de convergencia

271

VII

Anexo 6: Teorema de Taylor

273

Anexo 7: Tiempo que tarda en recorrer una variable en recorrer la mitad de la distancia que hay entre su estado estacionario y su valor inicial

274

Anexo 8: La función de producción tipo Cobb-Douglas

276

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes coeficientes variables

278

Bibliografía

280

CAPÍTULO VII: El modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans Supuestos del modelo

283

a) La economía centralizada

286

La regla de Keynes-Ramsey

289

La condición de transversalidad

296

Funciones de utilidad especialmente útiles

296

Estado estacionario

298

La regla de oro modificada

298

Dinámica del modelo

299

Descarte de sendas explosivas

301

Comportamiento local alrededor del estado estacionario

302


306

b) La economía descentralizada

312

La condición de no admitir el juego de Ponzi

315

El equilibrio descentralizado

319

El papel de las expectativas

322

El gobierno en la economía descentralizada

323

Cambios de presupuesto equilibrado en el gasto del gobierno

323


325

Financiamiento a través de la deuda

331

Impuestos distorsionadores del capital

333


336

Conclusiones

341

VIII

~

Anexo 1: condiciones necesarias de primer orden utilizando Ht y H t : caso de economía centralizada

343

Anexo 2: regla de oro modificada: caso en el que hay progreso tecnológico y la función de utilidad es CRRA

344

Anexo 3: elasticidad de sustitución intertemporal instantánea

347

Anexo 4: Cálculo de

c 0 dado k 0 que conduzca al estado estacionario

348

Anexo 5: deducción de la restricción presupuestaria dinámica

352

Bibliografía

353

CAPÍTULO VIII: Ciclos económicos reales: un modelo básico Procedimiento general 355 Supuestos del modelo 355 Formulación matemática del modelo 357 Tecnología 357 Restricción de recursos de la economía 358 Demanda de los factores de producción 358 Preferencias 359 Decisión bajo incertidumbre 361 Condición de transversalidad 363 Solución del modelo 364 Equilibrio competititvo 364 Ecuaciones 365 Linealización y estado estable del modelo 366 Ley de movimiento del equilibrio recursivo vía el método de coeficientes indeterminados 370 Calibración 371 Análisis impulso-respuesta utilizando Excel 375 Simulación del modelo utilizando Excel 379 Conclusiones 387 Bibliografía 388

IX

X

Introducción En este manual se analizan sistemas dinámicos continuos y discretos (en el caso del modelo de ciclos económicos reales: RBC), lineales y no lineales (el modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans), determinísticos y estocásticos (modelo RBC) tanto desde una perspectiva cuantitativa como desde un enfoque cualitativo (utilizando diagramas de fase) aplicados a la macroeconomía y al crecimiento económico. En esta versión, preliminar e incompleta, he intentado compilar algunos modelos que he ido desarrollando en las asignaturas de macroeconomía dinámica y de modelos de desarrollo y crecimiento económico durante los últimos cinco años en la escuela de economía de la Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT). En el primer capítulo se hace un estudio de una versión lineal y determinística del modelo IS-LM dinámico. En el segundo capítulo se estudia un modelo dinámico de oferta y demanda agregadas, en el que se supone que los agentes económicos forman sus expectativas sobre la inflación bajo un marco de expectativas adaptativas. En el siguiente capítulo analizo un modelo dinámico de inflación en una economía cerrada (el cuál ha sido linealizado para facilitar su desarrollo). A continuación se efectúa el estudio de una versión dinámica del famoso modelo de overshooting cambiario desarrollado por Dornbush. A partir del quinto capítulo se abordan modelos de crecimiento económico determinísticos y estocásticos (en el último capítulo). En el capítulo 5 se efectúa un análisis del modelo de crecimiento económico actualmente conocido como modelo de crecimiento de Harrod-Domar. En el sexto capítulo se examina la estabilidad dinámica del modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan con y sin progreso tecnológico. En la penúltima sección, siguiendo casi al pie de la letra a Blanchard y Fisher (1989), se desarrolla el modelo de crecimiento intertemporal óptimo de Ramsey-Cass- Koopmans, tanto desde una perspectiva centralizada como desde una perspectiva descentralizada (en este último caso se incorpora al sector gubernamental). Finalmente, se efectúa el estudio de un modelo dinámico de equilibrio general estocástico elemental: en concreto se desarrolla una versión básica de un modelo de ciclos económicos reales (RBC). Para ello hago uso de Microsoft Excel para efectuar las simulaciones y el análisis de las

fluctuaciones cíclicas que experimentan diversas variables económicas respecto al valor que tenían en el estado estacionario antes de producirse una perturbación aleatoria tecnológica. La principal característica de estos apuntes radica en que se ha realizado un minucioso análisis teórico-matemático de cada uno de los modelos aquí abordados (el cual puede incluir, dependiendo del modelo, el análisis de los mecanismos de transferencia, la dinámica de la transición hacia el estado estacionario de las variables endógenas, y los efectos de corto, mediano y largo plazo de perturbaciones). Asimismo, para complementar el análisis anterior se han efectuado simulaciones numéricas en Microsoft Excel y/o en MATLAB 7.12.0.

CIRO EDUARDO BAZÁN NAVARRO Dr. en Economía. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (ULPGC) - Las Palmas de Gran Canaria. España. Profesor de la Escuela de Economía de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT) - Chiclayo. Perú. Abril de 2014.

XII

El modelo IS - LM: Una versión dinámica lineal La versión estática del modelo IS (Investment, Save) - LM (Liquidity preference, Money), que integra mercados financieros (de bonos y dinero) y mercados de bienes y servicios, fue planteada por Hicks (1937) para sintetizar los contenidos analíticos de la Teoría General de Keynes. En su forma estática, la curva IS representa el lugar geométrico de combinaciones de la tasa de interés y la renta real que conducen al equilibrio en el mercado de bienes y servicios (donde la inversión iguala al ahorro), mientras que la curva LM representa el lugar geométrico de combinaciones de la tasa de interés y la renta real que conducen al equilibrio en el mercado de dinero1 (donde las preferencias de liquidez igualan a la oferta de dinero). El equilibrio global2 en estos mercados se obtiene cuando el mercado de bienes y servicios y el mercado de dinero simultáneamente están en equilibrio (el equilibrio global en dichos mercados se da en el punto de corte entre las curvas IS y LM). En esta sección vamos a analizar este modelo desde una perspectiva dinámica, para una economía cerrada y con precios fijos u oferta agregada con elasticidad infinita a ese nivel dado de precios. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, vamos a efectuar una simulación numérica de una versión lineal del modelo. Finalmente, analizaremos (para los tres casos aquí presentados) la estabilidad del modelo tras una perturbación externa no anticipada (un incremento en el stock nominal de dinero). Supuestos del modelo: 1. 2.

Economía cerrada. Se supone que las exportaciones netas son nulas. Mercado real o de bienes y servicios: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:

D t  C t  I t  G  O t  Yt D  O t  t

(1)

La primera ecuación de (1) nos dice que la demanda agregada de bienes y servicios, “ D t ”, es igual al gasto real, que viene dado por la suma del gasto en consumo, “ C t ”, el gasto en inversión, “ I t ”, y el gasto público (consumo e inversión planeados por el Estado: compras de bienes y servicios por parte del Estado), “ G ”, que se considera exógenamente dado. La segunda ecuación nos dice que la oferta agregada de bienes y servicios, “ O t ”, no es más que la renta real (producción agregada de bienes y servicios), “ Yt ”. La tercera ecuación de (1) no es más que la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que:

Yt  C t  I t  G

1

(2)

Por la Ley de Walras, si el mercado de dinero y el mercado de bienes y servicios están en equilibrio, entonces el mercado de bonos también estará en equilibrio. Por tanto, tal como lo hizo Keynes (1937), será suficiente trabajar con dos de los tres mercados: el mercado de dinero y el mercado de bienes y servicios. 2 Aunque el modelo IS-LM es un modelo de equilibrio general del mercado financiero (mercado de bonos y de dinero) y del mercado de bienes y servicios, que permite determinar la demanda agregada de bienes y servicios, dicho equilibrio no representa el equilibrio general de la economía, ya que para ello sería necesario incorporar en el modelo la función de producción y el mercado de trabajo (esto es, los factores que determinan la oferta agregada de bienes y servicios de la economía).

CIRO BAZÁN


La ecuación (2), la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios, nos dice que, en cada instante, la renta real deberá ser igual al gasto real. Si suponemos que el consumo es una fracción de la renta disponible (suponemos que las transferencias gubernamentales son nulas), Yt  Tt , tenemos que: Ct  c0  cYt  Tt , c0  0, 0  c  1

(3)

Donde “c” es la propensión marginal a consumir, c 0 es el consumo autónomo o de subsistencia (consumo mínimo que la gente incurrirá independientemente de la renta), y “ Tt ” son los impuestos. Supondremos que los impuestos, Tt , son una función lineal de la renta. Esto es: Tt  0  Yt ,  0  0

0   1

(4)

Donde “τ” es la tasa marginal impositiva, y  0 es la tributación autónoma. Sustituyendo (4) en (3) resulta:

C t  c 0  cYt  0  Yt   c 0  c1  Yt  c0

(5)

Por otro lado, de (2) tenemos que:

I t  Yt  C t  G



(6)







Sumando y restando los impuestos a la expresión (6) tenemos que:

I t  Yt  Tt   Tt  G  C t  Yt  Tt  C t   Tt  G  Sprivado  Spúblico  St (7) t t It  Yt  0  Yt  c0  c1  Yt  c0   0  Yt  G 

Sustituyendo (4) y (5) en (7) resulta que:



I t  1  c1  Yt   1  c 0  c 0  0  Yt  G



I t  s1  Yt   s0  c 0  0  Yt  G





t St       I t  s1  Yt  0   c0  0  Yt  G  St , privado

S público





0  s  1  c  1 (8)

Dónde: Sprivado es el ahorro privado, que viene dado por la diferencia entre la renta t disponible y el consumo, Spúblico es el ahorro público, que viene dado por la t diferencia entre los impuestos y el gasto público, y “s” es la propensión marginal al ahorro. La ecuación (5) no es más que una versión equivalente de la ecuación (2). Dicha ecuación nos dice que en una economía cerrada, en cada instante, el equilibrio dinámico quedará garantizado siempre que la inversión, I t , iguale al ahorro, St . 2

CIRO BAZÁN


Por otro lado, supondremos que la función de inversión depende lineal e inversamente de la tasa de interés nominal (asumimos que la inflación esperada es nula), “ rt ”, tal como sigue: I t  I 0  rt ; I 0  0

0

(9)

Donde “µ” mide la respuesta de la inversión a la tasa de interés (cuando la tasa de interés es elevada el crédito será caro, y en consecuencia la inversión será relativamente baja), e I 0 es la inversión autónoma (independiente de la renta y de la tasa de interés). Finalmente, en este modelo se supondrá que, en cada instante, la renta “ Yt ” se ajusta de forma lenta (no instantáneamente) de acuerdo al exceso de la demandada de bienes y servicios (o lo que es lo mismo, de acuerdo al exceso de la inversión “ I t ” respecto al ahorro “ S t ”). En concreto, se supondrá que:

Y t  c1 D t  O t   c1 I t  St , c1  0 

(10)

Donde “ c1 ” es la velocidad de ajuste de la renta real (la producción agregada de bienes y servicios) ante excesos de demanda de bienes y servicios. Reemplazando (8) y (9) en (10) obtenemos:



Y t  c1 c1    1Yt  c1rt  c1 I 0  G  c 0  c 0 

3.



(11)

Mercado de dinero: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones: Ldt  Yt  rt ,   0    0  o L t  M P  m , m  0 (12)  d o  L L  t t

Dónde “θ” es la sensibilidad de la demanda de dinero por motivos transaccionales (dinero empleado como medio de cambio en todas las transacciones de bienes y servicios), y “γ” es la sensibilidad de la demanda de dinero por motivos especulativos (sensibilidad de la demanda de dinero a cambios en la tasa de interés). La primera ecuación nos dice que la demanda real de dinero (también conocida como preferencias de liquidez o demanda de saldos monetarios reales), “ Ldt ”, es una función lineal que depende directamente de la renta, “ Yt ” (cuando la cantidad de producción agregada es elevada la cantidad de dinero necesaria para pagar los factores de producción y los productos finales es también elevada y viceversa), e inversamente de la tasa de interés nominal, “ rt ” (cuando la tasa de interés es elevada resulta caro tener gran cantidad de dinero en efectivo. Además, el precio de mercado de los bonos es relativamente bajo en esta situación. Esto estimulará la compra de bonos ya que los compradores esperan un incremento en el precio de estos: motivos especulativos.). La segunda ecuación nos dice que la oferta real de dinero, “ Lot  m ”, es exógena (el stock nominal de dinero, “ M ”, está exógenamente determinado por el Banco Central y el índice de precios, “ P ”, se asume constante). La tercera ecuación no es más que la condición de equilibrio dinámico en el mercado financiero. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que: Yt  rt  m

3

(13)

CIRO BAZÁN


La ecuación (13), la condición de equilibrio dinámico en el mercado financiero, nos dice que, en cada instante, la demanda real de dinero (las preferencias de liquidez) deberá ser igual a la oferta real de dinero. Finalmente, se supondrá que, en cada instante, la tasa de interés nominal “ rt ” se ajusta de forma lenta (no instantáneamente) de acuerdo al exceso de la demandada de dinero. Esto es: 





r t  c 2 Ldt  Lot , c 2  0

(14)

Donde “ c 2 ” es la velocidad de ajuste de la tasa de interés ante excesos de demanda de dinero. Reemplazando las dos primeras ecuaciones de (12) en (14) obtenemos: r t  c 2 Yt  rt  m   c 2Yt  c 2 rt  mc 2 

(15)

Resolución del modelo: En este modelo los parámetros son: c1 , c 2 , , , , . Las variables exógenas son: m, G. Mientras que las variables endógenas son: Yt , rt . En consecuencia, el sistema de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (11) y (15):





    t c1 c1    1  c1   Yt   c1 I 0  G  c 0  c 0  (16)  Y     r    mc 2  r t   t   c 2   c2        X   X

b

A

Análisis cualitativo Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:    trA  c1 c1     1  c 2  0   A    1  c1    c1c 2  0    trA2  4 A  c c1     1  c 2  4c c   1  c1      1 2 1 2    

17

Dado que A  0, entonces queda garantizada la existencia del punto de equilibrio del sistema (16), que calcularemos a través de:

 Y E  1  E   A b r 

4

CIRO BAZÁN


   m  I0  G  c0  c0           1  c1         Y E    Y E m, G , I0 , c0 , 0 , , , , c,    E   m r      r E m, G , I , c ,  , , , , c,               I G c c c 1 1 0 0 0  0 0 0             1  c1         Imponiendo condiciones de no negatividad a (18) se tiene que:



 



 

  Y E  0  I0  G  c0  c0   m  0     m  E 1  c1    0 r 0 I G c c         0 0 0  

18

19

De (19), la condición que garantizará la no negatividad de los valores de equilibrio de las variables endógenas del modelo es:

I 0  G  c 0  c 0 

m 

1  c1    0

(20)

De acuerdo a los signos asumidos de todos los parámetros del modelo, en este modelo podemos encontrar tres casos (que surgen al asumir el signo del discriminante) en los que el sistema sea estable. Los casos en cuestión son:

 trA  c c1     1  c  0 1 2   Caso1: Espiral  A    1  c1     c1 c 2  0     2   c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1       0    El polinomio característico viene dado por:

p   A  I  2  trA  A  0

Dado que:

  0         

5

23

22

21

CIRO BAZÁN


Por tanto:  trA    trA  i  trA   trA 1       2 2 2 2   trA    trA  i  trA   trA      2  2 2 2 2 

 2



2

i    i i    i

24

Dónde:   trA c1 c1     1  c 2 0    2 2     2  4c1c 2   1  c1       c1 c1     1  c1         0   2 2 2     2   2  A  c1 c 2   1  c1      0 

25

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es una espiral estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1    i se calculará a partir de:  c1 c1    1    i   c2



v1    a  0   c1       c 2    i  b 0

26

De donde:   c1 c1    1    i     a  c1 c1    1    i  a  bc1  0  b  c1  

27 

La ecuación (27) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (26): c 2 a  c 2    i b  0  b 

6

c2

c 2    i

a

CIRO BAZÁN b


c 2    i   ab c 2    i c 2    i  c2

b

c22  c2  c2 i

 2c22  2c2   2  2

c 22  c 2   c 2  i

c 2   2   2

a

28

a

c1 1  c1    trA  c 2 

De la tercera ecuación de (24) tenemos que:

(29)

Sustituyendo (29) en la última expresión de (25) resulta:

 2   2  c1c 2  trA  c 2 c 2  c1c 2  c 2 trA   2 c 22

Reemplazando (30) en (28) se obtiene: b

c2     i

2  c1  trA

De la primera ecuación de (25) tenemos que:

trA  2

Sustituyendo (32) en (31) tenemos: b

31

32

c 2    i c1

a

a

33

c 2  trA  c1 c1    1  2  c1 c1    1

De (29) y por (32) tenemos que:

34

Reemplazando (34) en (33) tenemos que:

  c1 c1    1    i  a b  c1

35

Por tanto, haciendo a  1 tenemos que:

1      i  v1   c1 c1    1     c1  c1 

36

1      i  v 2   c1 c1    1      c1  c 1 

37 

 El autovector v 2 asociado a

 2    i

 será el conjugado de v1 , esto es:

7

30

CIRO BAZÁN


Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas (las curvas que determinan las combinaciones de renta real y tasa de interés que equilibran el mercado financiero (LM) y el mercado de bienes y servicios (IS) respectivamente) a partir del sistema de ecuaciones (16). Esto es:





       IS Y , r Y t  c1 c1     1Yt  c1rt  c1 I 0  G  c 0  c 0  0  t t       LM  Y , r  r t  c Y  c r  mc  0 t t 2 t 2 t 2   

38



De donde la IS, esto es la ceroclina Y t  0, viene dada por:

           I0  G  c0  c0   c1    1   rt    Yt         

39



Mientras que la LM, la ceroclina r t  0, viene dada por:        m   rt   Yt          

40

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En  primer lugar, vamos a graficar la ceroclina Y t  0. De (39), por los supuestos adoptados, se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta que tiene pendiente negativa e igual a c1    1  , y que cortará al eje de la tasa de interés (eje vertical en el plano de fase rt  Yt ) en I 0  G  c 0  c0    0 siempre que se verifique (20). Además, si estando en un 

punto de la ceroclina Y t  0 como el punto A, la tasa de interés aumenta y el nivel de renta real (producto agregado) permanece constante, pasando a un punto encima de la  ceroclina Y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (38), al haber aumentado el valor de la tasa de interés, se verifica que en un punto encima de dicha ceroclina, tal como el punto B,  Y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la renta real (producto  agregado) irá disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina Y t  0, tal como se aprecia en la figura 1, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región  del plano de fase se verifica que Y t  0. De este análisis se desprende que encima de la  IS, al ser Y t  0, entonces hay un exceso de oferta en el mercado de bienes y servicios (EOByS). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de renta (producto agregado) deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Asimismo, debajo de la IS,  al ser Y t  0, hay un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios (EDByS). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de renta (producto agregado) deberá aumentar conforme transcurra el tiempo.

8

CIRO BAZÁN


rt

rB

B

rA

A



IS : Y t  0

EOByS : Dt EDByS : Dt

 Yt   0  Y t  0 

 Yt   0  Y t  0 

YA  YB

Yt

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta real (recta IS) 

A continuación vamos a graficar la ceroclina rt  0. De (39), por los supuestos adoptados, se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente positiva e igual a   , mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje de la tasa de interés) 

será negativo e igual a  m  . Además, si estando en un punto de la ceroclina rt  0 como el punto A, la tasa de interés disminuye y el nivel de la renta real (producto agregado) permanece constante, pasando a un punto debajo de dicha ceroclina, tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (37), al haber disminuido el valor de la tasa de interés, se verifica que en un  punto debajo de dicha ceroclina, tal como el punto B, rt  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la tasa de interés irá aumentando. En consecuencia,  debajo de la ceroclina rt  0, tal como se aprecia en la figura 2, las líneas de fuerza dinámicas serán verticales apuntarán hacia arriba. Encima de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán verticales y apuntarán hacia abajo ya que en dicha región del  plano de fase se verifica que rt  0. De este análisis se desprende que encima de la recta 

LM, al ser r t  0, entonces hay un exceso de oferta de dinero (EOD). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme  transcurra el tiempo. Asimismo, debajo de la recta LM, al ser r t  0, hay un exceso de demanda de dinero (EDD). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de la tasa de interés deberá aumentar conforme transcurra el tiempo.

9

CIRO BAZÁN




LM : r t  0

rt

EOD : Ldt





 Lot  0  r t  0

rA

A

rB

B

EDD : Ldt





 Lot  0  r t  0

YA  YB

Yt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para la tasa de interés (recta LM) Superponiendo las ceroclinas de la renta real (IS) y de la tasa de interés (LM), y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el retrato de fase es una espiral convergente hacia el punto de equilibrio E. rt

EOD R3 :  EOByS

IS



rt  0 EDD R2 :  EOByS

EOD R4 :  EDByS

E

rE



Yt  0

r0

EDD R1 :  EDByS

I LM

Y0

YE

Figura 3: Retrato de fase de la economía

10

Yt

CIRO BAZÁN


Por otro lado, en la figura 3 también se aprecia que las ceroclinas dividen el primer cuadrante del espacio de fase en cuatro regiones en las que la economía está fuera del equilibrio simultáneo en ambos mercados. En la región R1 existe un exceso de demanda   de dinero (EDD), r t  0, y un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS), Y t  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) y la tasa de interés deberán subir conforme transcurra el  tiempo. En la región R2 existe un exceso de demanda de dinero (EDD), rt  0, y un 

exceso de oferta de bienes y servicios (EOByS), Yt  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) deberá disminuir y la tasa de interés deberá subir conforme transcurra el tiempo. En la región  R3 existe un exceso de oferta de dinero (EOD), rt  0, y un exceso de oferta de bienes y 

servicios (EOByS), Yt  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) y la tasa de interés deberán bajar conforme transcurra el tiempo. Mientras que en la región R4 existe un exceso de oferta   de dinero (EOD), rt  0, y un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS), Y t  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) deberá subir y la tasa de interés deberá bajar conforme transcurra el tiempo. Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I del plano de fase, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (espiral) y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. En el corto y mediano plazos, tanto la tasa de interés como la renta real tendrán un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio estacionarios.

Aunque en el punto I el mercado de dinero se encuentra en equilibrio (dado que dicho punto se encuentra sobre la LM), el mercado de bienes y servicios no lo está. Como el punto I está por debajo de la IS, entonces hay un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios (los consumidores están demandando una cantidad de bienes y servicios mayor a la cantidad que se está produciendo en la economía), entonces por  (10), Y  0, lo que significa que conforme transcurra el tiempo la renta real (producción agregada) aumentará para equilibrar el mercado de bienes y servicios. Este aumento en la renta real (producción agregada) generará que la demanda real de dinero, Ldt , se incremente, de acuerdo a la primera expresión de (12), generando un exceso de  demanda en el mercado monetario. Entonces, por (15), r  0, lo que significa que conforme transcurra el tiempo la tasa de interés aumentará para equilibrar este mercado. No obstante, de acuerdo a (9), el incremento de la tasa de interés hará que la inversión caiga, y esto a su vez hará que la demanda agregada de bienes y servicios disminuya, de acuerdo a la primera ecuación de (1). El proceso continuará conforme transcurra el tiempo hasta que ambos mercados alcancen el equilibrio global (E).

11

CIRO BAZÁN


Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producción agregada) y de la tasa de interés vienen dados por:                       2    c c 1  1 c 2    4c1c 2   1  c1     c1 c1    1  c1    t   Yt  Y E   1 2    e h1 cos   t   E  2   rt  r                                  2     4c1c 2   1  c1     c1c1    1  c1      h 2sen   t  2             

Dónde:

    h1  k1  v1  k 2  v 2      h 2  k1  v1  k 2  v 2 i

41

42

Reemplazando (36) y (37) en (42) resulta:

 k1  k 2      k 1  k 2   h 1   c1 c1     1    k1  k 2   i     c c 1 1      k 1  k 2 i      h 2   k 1  k 2  c1 c1     1    k 1  k 2 i    c1 c1     

43

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por y 0 , r0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (43), se tiene que:

 Y0  Y E  h1   E   r0  r 

44

Igualando (44) con la primera ecuación de (43) se tiene:

k 1  k 2  Y0  Y E  c1 c1    1   Y0  Y E  c1 r0  r E  k 1  k 2 i   



12







45

CIRO BAZÁN








Reemplazando (45) en la segunda ecuación de (43) resulta:



 c1 c1    1   Y0  Y E  c1 r0  r E     h2   2 2 E E    c1 c1    1   Y0  Y  c1 c1 c1    1   r0  r  c1 











      

46

Reemplazando (44) y (46) en (41) tenemos que:

Yt  Y E  e

c1 c 1  1 c2 2

   4c c   1  c1      c c1    1  c 2  1 2 1  1 t    E  Y Y cos   0 2      





   t    

  4c c   1  c1      c c1    1  c 2 1 2 1  1  c1 c1    1   Y0  Y  c1 r0  r    sen    2           4c c   1  c1      c c1    1  c 2  c1 c 1  1 c 2  1 2 1 1  t     E rt  r E  e 2 t   r0  r cos  2         



E









E



   t    

47





  4c c   1  c1      c c1    1  c 2 2 1 2 E E  1  1 2    c1 c 1    1   Y0  Y  c1 c1 c1    1   r0  r   sen   c1 2   







48     t    

Dónde Y E y r E vienen dados por (18). Sustituyendo (47) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de los impuestos, el consumo, y la inversión (ahorro) respectivamente. De igual modo, reemplazando (48) en (9) podríamos también obtener la evolución temporal de la inversión. Sustituyendo el consumo y la inversión en (1) obtenemos la demanda de bienes y servicios a lo largo del tiempo. Reemplazando (47) y (48) en (12) obtenemos la evolución temporal de la demanda de dinero. En la figura 4 se puede apreciar el comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.

13

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Yt

YE

Y0

t

Figura 4: Comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de interés es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario. rt

rE

r0

t

Figura 5: Comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, ceteris paribus, entonces la única   ceroclina que se verá afectada será la ceroclina r t  0, ya que la ceroclina Y t  0, no depende de

m  M P.

el stock real e dinero

De (40), se aprecia que al aumentar M , estando “P” fijo, aumenta m  M P,

entonces la intersección de la ceroclina



rt  0

con el eje

vertical se hará más negativa. Por tanto, debido al incremento en m, la ceroclina 



rt  0

se desplazará hacia abajo sin modificar su pendiente y la ceroclina Y t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 6. 14

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Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 6 que tras el incremento del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, se provocará un incremento en la renta real (producto agregado) y una caída en la tasa de interés. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria producirá un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de interés. rt





E0

r0E


rC r1E rB

rA

rt  0 m1 

rt  0 m0 

IS

E1


 LM m 0 

 LM m1 

EDD R2 :  EOByS

C

A

B


Yt

YA Y1E YC YB

Y0E



Yt  0

Figura 6: Retrato de fase de la economía tras el aumento del stock nominal de dinero De manera análoga, podemos verificar lo anterior determinando las derivadas estático comparativas de las componentes del nuevo equilibrio estacionario, E1, respecto a un incremento en el stock nominal de dinero, ceteris paribus. Derivando (18) respecto de m, se tiene que:

      Y m      1 c1          r E m   c1     1           1  c1     E

15

  0    0

49

CIRO BAZÁN


Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de interés convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting3) tanto de la tasa de interés (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Estando la economía en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este  incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt  0. En consecuencia, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de interés, por (9), la inversión se incrementa, y por la primera expresión de (1), la demanda agregada de bienes y servicios aumenta generando un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo hasta llegar al punto A sobre la  LM m1 . En dicho punto el mercado de dinero estará en equilibrio a una tasa de interés menor a la que había en el punto E0 y a un nivel de renta (producto agregado) superior al que había en E0. No obstante, en A el mercado de bienes y servicios no está en equilibrio. En este punto existe un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo. El incremento en la renta (producto agregado), a su vez, por la primera expresión de (12), producirá un incremento en la demanda de saldos reales. El incremento en la demanda de dinero, a su vez, generará un exceso de demanda de dinero (EDD), produciendo por (14) un incremento en la tasa de interés conforme transcurra el tiempo hasta llegar al punto B sobre la IS. En dicho punto el mercado de bienes y servicios estará en equilibrio a una renta (producto agregado) superior a la de los puntos E0, A, pero a una tasa de interés inferior a E0 y superior a la de A. No obstante, en B el mercado de dinero no está en equilibrio. En este punto existe un exceso de demanda monetaria (EDD). Este exceso, por (14), producirá un incremento en la tasa de interés conforme transcurra el tiempo. El incremento en la tasa de interés, a su vez, por (9), producirá un decremento en la inversión. La caída en la inversión, a su vez, generará un exceso de oferta en el mercado de bienes y servicios (EOByS), produciendo por (10) un decremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el  tiempo hasta llegar al punto C sobre la LM m1 . En dicho punto el mercado de dinero estará en equilibrio a una tasa de interés inferior a la de E0 y superior a la de B y a la del punto A, pero a un nivel de renta real (producto agregado) superior al de E0 y al de A aunque inferior al de B. Asimismo, en A el mercado de bienes y servicios tendrá un exceso de oferta (EOByS). El proceso continuará hasta que finalmente la economía alcanza el equilibrio simultáneo representado por E1.

3

Se dice que una variable endógena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio exógeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de largo plazo.

16

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Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso 1, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (20) y (21). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I. Parámetros

Valores 0,3 0,25 0,3 1,525 0,35

τ θ γ µ c c0

38

c1 c2 0

0,25

I0

10

0,2 0,4

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0

8

G

50

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (16) resulta: A        0,151  0,305 Y  t t Y         0,12   rt   r t   0,1



b    19 , 5825     3,2   

I 

Las ceroclinas del sistema (I) vienen dadas por:

 Y t  0  rt  0,4951Yt  64,2049     r t  0  rt  0,83Yt  26,6

II

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E   68,406  E   r   30,338

III

Mientras que por (21), tenemos que:

trA  0,271  0   A  0,04862  0   0,121039  0 

17

IV

CIRO BAZÁN


En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I). 60

IS

50

40

rt

E 30

20

10

LM (m0)

0 0

10

20

30

40

50 Yt

60

70

80

90

100

Figura I: Retrato de fase del sistema En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo de la tasa de interés y de la renta real (producto agregado) para el Y   45   . sistema (I) con las siguientes condiciones iniciales:  0    r 10 , 8 3   0  60

IS

50

40

rt

E 30

20

(Y0, r0) 10

LM (m0)

0 0

Figura II: Diagrama de fase del sistema m0  8 10

20

30

40

50 Yt

18

60

70

80

90

100

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (47) y (48) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (I). Yt  68,406  e 0,1355t 36,285sen 0,174t   23,406 cos 0,174t   (V)  0 ,1355t        r 30 , 338 e 19 , 505 cos 0 , 174 t 15 , 193 sen 0 , 174 t    t

80

75

70

Yt

65

60

55 Yt 50

45

0

10

20

30 t

40

50

60

30

rt

25

rt

20

15

10 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura III: Evolución temporal de la renta real (producción agregada) y de la tasa de interés

19

CIRO BAZÁN


Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m0  8 a m1  9, el sistema (16) resulta: 

b A          0,151  0,305 Y  19,5825 t t Y         0,12   rt    3,6   r t   0,1 

VI 

Las ceroclinas del sistema (VI) vienen dadas por:  Y t  0  rt  0,4951Yt  64,2049    r t  0  rt  0,83Yt  30

VII 

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E1  70,915  E1   E     1  r  29,096

VIII 

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero. En la figura IV se muestra el diagrama de fase del sistema (VI) tras el incremento en el stock nominal de dinero, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto es: Y   68,406 E0   0    .  r0   30,338 31 IS 30.5 E0 30

29.5

rt

E1 29 LM (m0) 28.5

28

27.5

27 LM (m1) 67

68

69

70

71

72

Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1  9 yt

20

73

74

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros (con m1  9 ), E0 y E1 en (47) y (48) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (VI). Yt  70,915  e 0,1355t 1,954sen 0,174t   2,509 cos 0,174t    0 ,1355t  1,242 cos 0,174t   1,332sen0,174t  rt  29,096  e

(IX)

En la figura V se aprecia la evolución temporal del sistema (VI) tras el incremento del stock nominal de dinero, teniendo como punto inicial a E 0  68,406;30,338. 71

70.5

yt

70

Yt

69.5

69

68.5

0

10

20

30 t

40

50

60

30.4 30.2 30 rt

29.8

rt

29.6 29.4 29.2 29 28.8 28.6 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura V: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus

21

CIRO BAZÁN



 trA  c c1    1  c  0 1 2   50 Caso2: Nodo impropio  A    1  c1    c1 c 2  0     2 2   trA  4 A  c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1      0    Teniendo en cuenta que   0 y que A  0, entonces resulta que:

trA2

0

trA2

  0

trA    0  trA    0

0  trA    trA

52

51

Asimismo, multiplicando por menos uno a (51) se obtiene que:

trA     0  trA    2      0  trA    0 53

En este caso, teniendo en cuenta (52) y (53), los autovalores de la matriz “A” serán:    2 c1 c1    1  c 2  c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1      trA         0 1  2 2     2  c1 c1    1  c 2  c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1       trA    0   2  2 2     2  1  0

54

Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un nodo impropio estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1 se calculará a partir de:  c1 c1    1  1  c 2



v1    c1  a   0      c 2  1  b 0

22

55

CIRO BAZÁN


  c1 c1    1  1      a c1 c1    1  1  a  bc1  0  b  c1  

56

La ecuación (56) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (55): c 2a  c 2  1 b  0  b 

c 2

c 2  1

a

57 

Sustituyendo 1 , dado por (54), en (57) tenemos: b

2c 2

   2c 2  trA     



 2c  trA    2  a    2c 2  trA     

2c 2 2c 2  trA    2c 2 2c 2  trA     a   b a 2 2  2 2 2c2  trA   4 c 2  4c 2 trA  trA  

58

Reemplazando la tercera expresión de (50) en (58) resulta: c 2 2c 2  trA    2c 2 2c 2  trA       a a  2 2 b 2 2 2 c 2  2c 2 trA  2 A 4 c 2  4c 2 trA  4 A

Reemplazando la segunda expresión de (50) en (59) resulta: b

b

c 2  2c 2  trA     

2 c  2c 2 trA  2  1  c1    c1 c 2

a

2 2 2

 2c 2  trA     

2 c 2  2trA  2  1  c1    c1

a

2

Sustituyendo la primera expresión de (50) en (60) se tiene: b

c1 c1    1  c 2   2c1

23

a

61

60

59

CIRO BAZÁN


De la primera expresión de (50) tenemos que:

c2  c1c1    1  trA

62

Sustituyendo (62) en (61) tenemos:  trA     c1 c1    1     2  a b c1

  c1 c1    1  1  a  c1

63

Por tanto, haciendo a  1 tenemos que: 1         v1  c1 c1    1  1       c1  

1      c2   c    1   2

64

Reemplazando 1 , dado por (54), en (64) se obtiene:

   v1    c 2  c1 c1    1  

1

2c 2

c1c1    1  c1 2  4c1c2   1  c1     



De manera análoga, el autovector asociado a  2 será: 1         v 2  c1 c1    1   2       c1  

1    c2  c   2  2

    

   65   

66

Reemplazando  2 , dado por (54), en (66) se obtiene:

   v 2    c 2  c1 c1    1  

1

2c 2

c1c1    1  c1 2  4c1c2   1  c1     

24



   67    

CIRO BAZÁN


Para este caso, las expresiones (39) y (40) de las ceroclinas correspondientes al caso 1 siguen siendo válidas, al igual que las líneas de fuerza dinámicas que se bosquejaron en las figuras 1 y 2. No obstante, superponiendo las ceroclinas del nivel de renta real y de la tasa de interés, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 7, correspondiente a un nodo impropio estable. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, las trayectorias de fase son tangentes a la línea de acción del  autovector V1 . Para comprobar esto vamos a considerar la solución general     X t  X E  k1e t V1  k 2 e t V2 donde 1 y  2 son autovalores reales, distintos y negativos, y   sus autovectores asociados son V1 y V2 . Ya que  2  1  0, cuando t   se verificará  que e1t  e 2 t . Por tanto, cuando t   la solución tenderá a alinearse con k1e t V1, esto    es, en el largo plazo tendremos que X t  X E  k1e t V1. Pero, dado que cuando t  , 1

2

1

1

resulta que e 1t  0 y e  2 t  0, entonces se tiene que en el largo plazo X t  X E independientemente de los valores de k1 y k 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán al punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del  autovector V1 . 

De particular interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 ,  entonces k 2  0 y el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si  el punto inicial se encuentra justo sobre V2 , entonces k1  0 y el sistema se mueve a lo  largo de la línea de acción de V2 , aproximándose al punto de equilibrio en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. 

Yt  0

rt

 v2

rE

 v1



rt  0

E I

r0

IS

LM Y0

Y

E

Yt

Figura 7: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 7, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. 25

CIRO BAZÁN


Asimismo, en la figura 7 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la tasa de interés y la renta real (producto agregado) crecen de forma monótona hasta sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo. Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de interés vienen dados por: 



V1 V2       1 1     Yt  Y E    1 t  2t   r    E   k 1e  c 2    k 2 e  c 2    t  r   c     c    1  2   2  2  Xt

 XE

68

De donde:  Yt  Y E  k 1e 1t  k 2 e  2 t   k 2c2 2t k 1c 2  1 t  E e e  rt  r         c c 2 1 2 2 

69

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 , r0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (69), se tiene que:

 





 c2  1  c2 Y0  Y E  c2   2  r0  r E E  Y0  Y  k1  k 2 k1   c21   2      k c k c   1 2 2 2 E c2   2  c2  1  r0  r E  c2 Y0  Y E  r0  r    c2  1 c2   2 k 2  c21   2  













70

c2  1 c2Y0  Y E   c2   2 r0  r E   t c2   2  c2  1 r0  r E   c2Y0  Y E   t e 71  e   c 21   2  c 21   2 

Reemplazando (70) en (69) se tiene que: Yt  Y

E

rt  r

E

1

c Y  Y   c  E

2

0



  2  r0  r E

1   2  2

 e

1 t

2

c 

2







 1  r0  r E  c2 Y0  Y E

1   2 

 e 72 2t

Dónde Y E y r E vienen dados por (18), mientras que 1 y  2 vienen dados por (54). Sustituyendo (71) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de los impuestos, el consumo, y la inversión (ahorro) respectivamente. De igual modo, reemplazando (72) en (9) podríamos también obtener la evolución temporal de la inversión. Sustituyendo el consumo y la inversión en (1) obtenemos la demanda de bienes y servicios a lo largo del tiempo. Reemplazando (71) y (72) en (12) obtenemos la evolución temporal de la demanda de dinero. 26

CIRO BAZÁN


En la figura 8 se pueden apreciar los plausibles comportamientos de la renta real (producto agregado) a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta real (producto agregado) converge de forma monótona (sin oscilaciones) hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. Yt

YE

t

Figura 8: Comportamiento de la renta real (producto agregado) en el tiempo En la figura 9 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la tasa de interés a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de interés es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. rt

rE

t

Figura 9: Comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 10), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, céteris paribus, entonces la única   ceroclina que se verá afectada será la ceroclina r t  0, ya que la ceroclina Y t  0, no depende de

m  M P.


De (40), se aprecia que al aumentar M , estando “P” fijo, aumenta m  M P,




rt  0

con el eje




rt  0

se desplazará hacia abajo sin modificar su pendiente y la ceroclina Y t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 10. 27

CIRO BAZÁN


Efectos de largo plazo: Por otro lado, en la figura 10 se aprecia que el incremento del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocará un incremento en la renta real (producto agregado) y una caída en la tasa de interés. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria, tal como ocurrió en el caso anterior, producirá un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de interés. rt

r0E

rt  0 m0 

IS



E0

 LM m 0 



rt  0 m1  

r1E

 LM m1 

E1




Yt  0

Y1E

Y0E


Yt

Figura 10: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 10 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de interés convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera monótona (no oscilatoria). Además, en este caso, tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, no se observa que haya una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de interés como de la renta real respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Estando la economía en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este  incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt  0. Por tanto, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de interés, por (9), la inversión se incrementa, y por la primera expresión de (1), la demanda agregada de bienes y servicios aumenta generando un exceso de demanda en dicho mercado (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo hasta que la economía alcance el equilibrio simultáneo en E1.

28

CIRO BAZÁN


Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso 2, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (50). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla III. Parámetros

Valores 0,3 0,15 0,9 0,1 0,1

τ θ γ µ c c0

38

c1 c2 0

0,25

I0

10

0,1 0,2

Tabla III: Valores de los parámetros simulados En la tabla IV se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0

8

G

50

Tabla IV: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (16) resulta: 

b A             0,093  0,01 Y  9,7975 t t Y       r     1,6   0 , 03 0 , 18  r t     t  

X 

Las ceroclinas del sistema (X) vienen dadas por:

     0,093  0,01 Y  9,7975 0 Y t  0  rt  9,3Yt  979,75 t Y t            0,18  rt    1,6  0    r t   0,03 r t  0  rt  0,16Yt  8,8

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E   104,4336854   E   r   8,516725352

29

XII

XI

CIRO BAZÁN



trA  0,273  0   A  0,01704  0   0,006369  0 

XIII

En la figura VI se muestra el retrato de fase, los autovectores y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (X). 30

25 V2 20

rt

V1

15

10 E 5

0

LM (m0) 50

IS 60

70

80

90

100 yt

110

120

130

140

150

Figura VI: Retrato de fase del sistema





En las figuras VII y VIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo de la renta real (producto agregado) y la tasa de interés  para el sistema (X) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , r0   80;4,4 . 10

9 E 8

7

rt

6

5

4

(y0, r0)

3 LM (m0) 2

1

0

IS 70

Figura VII: Diagrama de fase del sistema m0  8 75

80

85

90 Yt

30

95

100

105

110

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (X). Yt  104,434  25,025 e 0, 0966t  0,591e 0,176t    0 , 0966t   4,929e  0,176t rt  8,517  9,001e

(XIV)

105

100

yt

95

yt

90

85

80

0

20

40

60

80

100 t

120

140

160

180

200

8.5 8 7.5

rt

7 6.5 rt 6 5.5 5 4.5

0

20

40

60

80

100 t

120

140

160

180

200

Figura VIII: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés

31

CIRO BAZÁN


Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XII), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de m 0  8 a m1  9, el sistema (16) resulta: 

b A             0,093  0,01 Y  9,7975 t t Y         0,18  rt    1,8   r t   0,03

XV

Las ceroclinas del sistema (XV) vienen dadas por:      0,093  0,01 Y  9,7975 0 Y t  0  rt  9,3Yt  979,75 t Y t    XVI    r     1,8   0     0 , 03 0 , 18  r t      r t  0  r  0,16 Y  10  t   t t 

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E1   104,5510563  E1   E     1  r   7,425176056

XVII 

Mientras que los valores dados por (XIII) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero. En la figura IX se muestra el diagrama de fase del sistema (XV) tras el incremento en el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto Y   104,4336854  es: E 0   0    .  r0   8,516725352 8.6 E0 8.4

8.2

rt

8

7.8

7.6

E1

LM (m1)

7.4

7.2

IS 104

104.1

104.2

104.3

104.4

104.5 Yt

104.6

104.7

104.8

Figura IX: Diagrama de fase del sistema m1  9 32

104.9

105

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros (con m1  9 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (XV). Yt  104,551  0,259 e 0, 0966t  0,142 0,176t  (XVIII)   0 , 0966t  0 ,176t   1,185e rt  7,425  0,093e

En la figura X se aprecia la evolución temporal del sistema (XV) tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus: E 0  104,4336854; 8,516725352 . 104.56

104.54

104.52

Yt

104.5

104.48

104.46

Yt

104.44

0

10

20

30

40

50 t

60

70

80

90

100

8.6

8.4

rt

8.2

rt

8

7.8

7.6

7.4 0

10

20

30

40

50 t

60

70

80

90

100

Figura X: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus 33

CIRO BAZÁN



  trA  c1c1    1  c2  0  73 Caso3: Nodo impropio  A    1  c1   c1 c2  0     2 2   trA  4 A  c1c1    1  c1   4c1c2   1  c1      0    En este caso, teniendo en cuenta (73), los autovalores de la matriz “A” serán:

1   2   I 

trA 2



c1 c1    1  c 2 2

0

74

Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son iguales y negativos, al valor del discriminante, y a los signos de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un nodo impropio estable (convergente).

 El autovector v I asociado a 1   2   I se calculará a partir de:  c1 c1    1   I  c 2



vI    c1  a   0      c 2   I  b 0

75

  c1 c1    1   I      a c1 c1    1   I  a  bc1  0  b  c1  

76

La ecuación (76) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (75): c 2a  c 2   I b  0  b 

c 2

c 2   I

a

77 

Sustituyendo  I , dado por (74), en (77) tenemos: b b

2c2  trA a 2c2  trA 2c2  trA 2c 2

2c 22c 2  trA

2c2  trA

2

a



2c 22c 2  trA

4 2c 22  4c 2 trA  trA

2

34

a

78

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Reemplazando la tercera expresión de (73),   0  trA  4 A , en (78) resulta: 2

b

2c 22c 2  trA

4 2c 22  4c 2 trA  4 A

c 22c 2  trA

a

2 2c 22  2c 2 trA  2 A

79

a

Reemplazando la segunda expresión de (73) en (79) resulta: b

c 22c 2  trA

2 c  2 c 2 trA  2 c1 c 2   1  c1   

a

2 2 2

b

2c 2  trA

2 c 2  2trA  2 c1   1  c1    2

a

80

Sustituyendo la primera expresión de (73) en (80) se tiene: c1c1    1  c2

a

81

c2  c1c1    1  trA

82

b

2c1

De la primera expresión de (73) tenemos que:

Sustituyendo (82) en (81) tenemos:  trA   c1 c1    1    2   b a c1

Por tanto, haciendo a  1 tenemos que:

  c1 c1    1   I  a  c1

1         v1  c1 c1     1   I       c1  

1    c2  c   I  2

    

83

84

Sustituyendo (74) en (84) se tiene que: 1      v1   c 2  c1 c1    1       2c1

1     2c 2       c 2  c1 c1    1 

35

85

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Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a  I . Para encontrar un segundo  autovector que sea linealmente independiente de v1 vamos a utilizar la siguiente expresión: 

v1       1   f     c1   g    c 2  c1 c1    1  86  c 2   I      2c1  

A   I Iv 2  v1  c1c1    1   I 



 v2

c 2

1  c1g   c1 c1    1   I  f  c1g  1  f      c1 c1    1   I   

87 

La ecuación (87) es equivalente a la segunda ecuación del sistema (86): c 2f  c 2   I g 

c 2  c1 c1    1 2c1

f 

f 

c 2  c1 c1    1 2c1

c2

c 2  c1 c1    1  2c1 c 2   I g 2c1c 2

 c 2   I g

88

Sustituyendo (74) en (88) se tiene que:

   c 2  c1 c1    1 1  c1g  f  2c1c 2

89

Igualando (76) y (77) resulta:

  c1 c1    1   I     c 2  c c1    1     c1c 2 I  1   c 2   I c 2   I c1

Sustituyendo (90) en (87) resulta: f 

c2   I 1  c1g  c1c 2



c2   I   c1 c2   I g c1c 2



c2   I  c1

Reemplazando (74) en (91) resulta:

   c 2  c1 c1    1 1  c1g  f  2c1c 2

36

92

90

 c 2   I g

c 2

91

CIRO BAZÁN


Por tanto, haciendo g  1 tenemos que:      c 2  c1 c1     1 1  c1       v2     2c1c 2    1  

21  c1       c 2  c1 c1     1    1  

93

En este caso se tendrá que la solución general del sistema (16) viene dada por      X t  XE  k1et v1  k 2et tv1  v2 . Ya que por (74), 1   2    0, se verificará que cuando  t   el término dominante será k 2 tet v1 , por lo que en el largo plazo cada senda de fase  deberá aproximarse al punto de equilibrio X E de manera que sea tangente a la línea de  acción del autovector v1. Ciertamente, si k 2  0 la solución deberá permanecer sobre   la misma línea de acción del autovector v1 , y aproximarse al punto de equilibrio X E a lo largo de esta línea.

rt



rt  0

IS  v1

rE

E

I

r0



Yt  0

LM Y0

Y

E

Yt

Figura 11: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 11, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. Asimismo, en la figura 11 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la tasa de interés y la renta real (producto agregado) crecen de forma monótona hasta sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo.

37

CIRO BAZÁN


Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de interés vienen dados por: 

V1       1   E   Y    t Y It 2c 2    k e     1 r  E  t  r     c 2  c1 c1     1    V2 V1             2 1 c    1   1       It   2c 2   k 2e t     c 2  c1 c1     1        c  c c1     1     1 1     2     Xt

 XE

94

De donde:

   21  c1   It  It E  Yt  Y  k 1e  k 2  t  e   c 2  c1 c1    1        2c 2  2c 2  k 1   It rt  r E  t  eIt e  k 2 1    c 2  c1 c1    1  c 2  c1 c1    1  

95

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 , r0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (95), se tiene que:

  k   1      k 2    



 E  Y0  Y 

c 

21  c1 k 2  E Y0  Y  k1   c 2  c1 c1     1  2c 2  k 1  E  k2  r0  r   c 2  c1 c1     1

2





     c1 c1    1  21  c1  r0  r E    c 2  c1 c1    1     2      c 2  c1 c1    1  4c 2 1  c1     









      2c 2  Y0  Y E  c 2  c1 c1    1  21  c1  r0  r E    c 2  c1 c1    1       r0  r E  2          c c c 1 1 c c        1 c1     1  4c 2 1  c1   2 1 2          





Dónde Y E y r E vienen dados por (18).

38

96

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Teniendo en cuenta (96) y sustituyendo la primera expresión de (95) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de los impuestos, el consumo, y la inversión (ahorro) respectivamente. De igual modo, considerando (96) y reemplazando la segunda expresión de (95) en (9) podríamos también obtener la evolución temporal de la inversión. Sustituyendo el consumo y la inversión en (1) obtenemos la demanda de bienes y servicios a lo largo del tiempo. Teniendo en cuenta (96) y sustituyendo (95) en (12) obtenemos la evolución temporal de la demanda de dinero. En la figura 12 se pueden apreciar los plausibles comportamientos de la renta real (producto agregado) a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta real (producto agregado) converge de forma monótona (sin oscilaciones) hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. Yt

YE

t

Figura 12: Comportamiento de la renta real (producto agregado) en el tiempo En la figura 13 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la tasa de interés a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de interés es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. rt

rE

t

Figura 13: Comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo

39

CIRO BAZÁN


Efectos de un incremento del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 14), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, céteris paribus, entonces la única   ceroclina que se verá afectada será la ceroclina r t  0, ya que la ceroclina Y t  0, no depende de

m  M P.

De (40), se aprecia que al aumentar M , estando “P” fijo, aumenta


m  M P,




rt  0

con el eje




rt  0

se desplazará hacia abajo sin modificar su pendiente y la ceroclina Y t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 14. Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 14 que tras el incremento del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocará un incremento en la renta real (producto agregado) y una caída en la tasa de interés. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria, tal como ocurriera en los casos anteriores, producirá un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de interés. rt

r0E

 LM m 0 

rt  0 m0 

E0



IS



r1E

rt  0 m1  

E1

 LM m1 




Yt  0

Y0E

Y1E


Yt

Figura 14: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero

40

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Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 14 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de interés convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera monótona (no oscilatoria). Además, en este caso, al igual que en el caso anterior, tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, no se observa que haya una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de interés como de la renta real respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Estando la economía en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este  incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt  0. Por tanto, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de interés, por (9), la inversión se incrementa, y por la primera expresión de (1), la demanda agregada de bienes y servicios aumenta generando un exceso de demanda en dicho mercado (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo hasta que la economía alcance el equilibrio simultáneo en E1. Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso 3, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (73). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla V. Parámetros

τ θ γ µ c c0

Valores 0,9 0,15 0,668205080757 0,1 0,1 38

c1 c2 0

0,25

I0

10

0,1 0,2

Tabla V: Valores de los parámetros simulados

41

CIRO BAZÁN


En la tabla VI se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 G

Valores 8 50

Tabla VI: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (16) resulta: 

b A             0,099  0,01  Yt  9,7975 t Y       0,133641016  rt    1,6   r t   0,03

XIX

Las ceroclinas del sistema (XIX) vienen dadas por:  Y t  0  rt  9,9Yt  979,75  r t  0  rt  0,22448Yt  11,97605

XX

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E   97,9529   E   r   10,0163

XXI

Mientras que por (50), tenemos que: trA  0,2326  0   A  0,01353  0   0 

XXII

En la figura XI se muestra el retrato de fase, los autovectores y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (XIX).

42

CIRO BAZÁN


IS

20

18

V1

16

14

rt

12

10

E

8

6

4

2

0 LM (m0) 40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Yt

Figura XI: Retrato de fase del sistema En las figuras XII y XIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo de la tasa de interés y de la renta real (producto agregado) para el sistema (XIX) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , r0   75;4,85995. IS

12

11

10

E

rt

9

8

7

LM (m0) 6

(Y0, r0)

5 70

75

80

85 Yt

90

95

Figura XII: Diagrama de fase del sistema m0  8

43

100

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (95) y (96) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (XIX). Yt  97,953  0,346t  22,953 e 0,116t    0 , 0116t  rt  10,0163  0,5993t  5,156e

(XXIII)

100

95

Yt

90

85

80

Yt

75

0

10

20

30 t

40

50

60

10

9

rt

8

7

6

5 rt 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura XIII: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés 44

CIRO BAZÁN


Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XXI), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de m 0  8 a m1  9, el sistema (16) resulta: 

b A             0,099 Y  9 , 7975 0 , 01      t t Y          0,133641016  rt    1,8   r t   0,03

XXIV

Las ceroclinas del sistema (XXIV) vienen dadas por:  Y t  0  rt  9,9Yt  979,75  r t  0  rt  0,22448Yt  13,4689

XXV

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E1   98,1007 E1   E     1  r   8,5529 

XXVI

Mientras que los valores dados por (XXII) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero. En la figura XIV se muestra el diagrama de fase del sistema (XXIV) tras el incremento en el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto Y   97,9529  es: E 0   0    .  r0   10,0163 E0 10

rt

9.5

9

E1

LM (m1)

8.5

8 IS 97.8

97.9

98

98.1 Yt

98.2

98.3

Figura XIV: Diagrama de fase del sistema m1  9 45

98.4

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros (con m1  9 ), E0 y E1 en (95) y (96) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (XV). Yt  98,101  0,136304  0,017  e 0,116t    0 , 0116t  rt  8,553  1,464  0,029444t e

(XXVII)

En la figura XV se aprecia la evolución temporal del sistema (XII) tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus: E0  97,9529;10,0163. 98.1

98.08

98.06

yt

98.04

98.02

98

97.98

97.96 yt 97.94 0

10

20

30 t

40

50

60

rt 10

rt

9.5

9

8.5 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura XV: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus

46

CIRO BAZÁN


Conclusiones: En este documento se ha analizado la estabilidad de una versión dinámica lineal del modelo IS-LM. Hemos simulado tres casos (espiral, nodo impropio con autovalores reales distintos y nodo impropio con autovalores reales repetidos), utilizando valores adecuados de los parámetros, en los que el modelo en cuestión converge dinámica y asintóticamente a un punto de equilibrio estacionario (de forma cíclica o monótona según sea el caso). Asimismo, se ha analizado en cada uno de los tres casos aquí presentados el efecto de una perturbación externa no anticipada (un incremento en el stock nominal de dinero), encontrándose que el modelo resulta dinámicamente estable (esto es, luego que el modelo ha sido alejado de su situación de equilibrio estacionario por la perturbación, éste retorna a un nuevo punto de equilibrio). Finalmente, resaltar que el modelo podría presentar un comportamiento dinámicamente inestable para valores de los parámetros que no cumplan las condiciones de estabilidad establecidas en los tres casos aquí analizados. .

47

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA Bibliografía

Blanchard, O.; Fischer, S. (1998): “Lectures on Macroeconomics”. Primera Edición. The MIT Press. Gandolfo, G. (1997): “Economic Dynamics”, Study Edition. Springer. Hicks, J. (1937): “Mr. Keynes and the Classics”, Econometrica. Vol. 5, pp. 147-159. Jiménez, F. (2003): Macroeconomía: Enfoques y Modelos”, Tomo 1, Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP). Primera Edición. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition. Shone, R. (2003): “An Introduction to Economic Dynamics”, Cambridge University Press. First Edition (Virtual Publication). Takayama, A. (1994): “Analytical Methods in Economics”, Harvester Wheatsheaf. First Edition. Tu, P. (1994): “Dynamical Systems: An Introduction with Applications in Economics and Biology”. Segunda Edición. Springer-Verlag. Zhang, W. (2005): “Differential Equations, Bifurcations and Chaos in Economics”. Primera Edición. World Scientific Publishing.

48

Un modelo dinámico de oferta y demanda agregadas1 Este sencillo modelo, que no incorpora la regla de Taylor para describir shocks de política monetaria2, permitirá analizar, por ejemplo, fluctuaciones macroeconómicas del producto, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada ante diversos shocks económicos (shocks de política fiscal, shocks de oferta, y shocks de política monetaria). En esta sección vamos a analizar este modelo lineal desde una perspectiva dinámica, bajo el supuesto de que las expectativas de la inflación se forman bajo un esquema de expectativas adaptativas, y en un marco de una economía cerrada. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, se efectúa una simulación numérica de tres casos en los que el punto de equilibrio estacionario del sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento dinámico del modelo es (una espiral, un nodo impropio, o un centro) estable. Finalmente, para los dos primeros casos, se realiza el análisis de perturbaciones externas no anticipadas (variaciones permanentes en el gasto público o en la tasa impositiva exógena, cambios en el producto potencial debido a shocks tecnológicos exógenos, y variaciones en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria). Supuestos del modelo: 1. 2.

Economía cerrada. Se supone que las exportaciones netas son nulas. Mercado real o de bienes y servicios: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:

D t  C t  I t  G  O t  Yt D  O t  t

(1)

La primera ecuación de (1) nos dice que la demanda agregada de bienes y servicios, “ D t ”, es igual al gasto real, que viene dado por la suma del gasto en consumo, “ C t ”, el gasto en inversión, “ I t ”, y el gasto público, “ G ”, que se considera exógenamente dado. La segunda ecuación nos dice que la oferta agregada de bienes y servicios, “ O t ”, no es más que la renta real (producción agregada de bienes y servicios), “ Yt ”. La tercera ecuación de (1) no es más que la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que:

Yt  Ct  I t  G

(2)

La ecuación (2), la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios, nos dice que, en cada instante, la renta real deberá ser igual al gasto real. Si suponemos que el consumo es una fracción de la renta disponible (suponemos que las transferencias gubernamentales son nulas), Yt  Tt , tenemos que: Ct  c0  cYt  Tt , c0  0, 0  c  1

(3)

Donde “c” es la propensión marginal a consumir, c 0 es el consumo autónomo o de subsistencia, y “ Tt ” son los impuestos. 1

Este modelo se basa en Shone (2002) y (2003). Mankiw (2005) analiza una versión dinámica, en tiempo discreto, de un modelo de oferta y demanda agregadas en el que incorpora la regla de Taylor.

2

CIRO BAZÁN


Supondremos que los impuestos, Tt , son una función lineal de la renta. Esto es: Tt  Yt , 0    1

(4)

Donde “τ” es la tasa marginal impositiva dada exógenamente. Sustituyendo (4) en (3) resulta:

Ct  c0  cYt  Yt   c0  c1  Yt

(5)

Por otro lado, de (2) tenemos que:

I t  Yt  C t  G



(6)







Sumando y restando los impuestos a la expresión (6) tenemos que:

I t  Yt  Tt   Tt  G  C t  Yt  Tt  C t   Tt  G  Sprivado  Spúblico  St (7) t t It  Yt  Yt  c0  c1  Yt   Yt  G 

Sustituyendo (4) y (5) en (7) resulta que:

I t  1  c1  Yt   c0  Yt  G 

I t  s1  Yt   c0  Yt  G 

St St        I t  s1  Yt   c0  Yt  G   St , público

privado

0  s  1  c  1 (8)

es el ahorro privado, que viene dado por la diferencia entre la renta Dónde: Sprivado t disponible y el consumo, Spúblico es el ahorro público, que viene dado por la t diferencia entre los impuestos y el gasto público, y “s” es la propensión marginal al ahorro. La ecuación (8) no es más que una versión equivalente de la ecuación (2). Dicha ecuación nos dice que en una economía cerrada, en cada instante, el equilibrio dinámico quedará garantizado siempre que la inversión real, I t , iguale al ahorro, St . Por otro lado, supondremos que la función de inversión depende lineal e inversamente de la tasa de interés real, “ rt  i t  et ”, tal como sigue:





I t  I0   i t  et ; I0  0

0

(9)

Donde i t es la tasa de interés nominal,  et es la inflación esperada, “µ” mide la respuesta de la inversión a la tasa de interés (cuando la tasa de interés es elevada el crédito será caro, y en consecuencia la inversión será relativamente baja), e I 0 es la inversión autónoma (independiente de la renta y de la tasa de interés).

50

CIRO BAZÁN


Finalmente, la curva IS se obtendrá sustituyendo (9) en (8):





I0   i t  et  s1  Yt  0   c0  Yt  G

IS :

3.

 I  c  G   c  1  c     Yt  et i t   0 0      

(10)

Mercado de dinero: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:

Ldt  eYt  i t ,   0    0  o L t  M t Pt  d o L t  L t

(11)

Dónde Yt es la producción real de bienes nacionales. i t representa la tasa de interés nominal. M t es el stock nominal de dinero. Pt es el índice de precios

expresado en unidades monetarias unidades reales de consumo. M t Pt es el stock

real de dinero expresado en unidades reales de consumo. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que: eYt  i t 

Mt Pt

(12)

Aplicando logaritmos neperianos a (12) resulta:





M  ln eYt  i t  ln  t   ln M t  ln Pt  Yt  i t  ln M t   ln Pt   Pt  Si hacemos:

mt  ln Mt 

(13)

14

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo del stock nominal de dinero será: 



Mt mt  Mt Asimismo, si hacemos:

pt  ln Pt 

15

16

Entonces la tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios (la tasa de inflación) nacional será: 



Pt t  p t  Pt

51

17 

CIRO BAZÁN


Reemplazando (14), y (16) en (13) se tiene que el mercado de dinero viene caracterizado por una típica curva LM: Yt  i t  mt  pt

 m  pt  LM : i t   Yt  t   4.

18

Demanda Agregada (DA): Igualando (10) y (18) obtendremos la demanda agregada, que representa el equilibrio simultáneo en el mercado de dinero y en el mercado de bienes y servicios: 3 0 1 0 2 0  b    b    b               e    I c G   m  p     Yt   0 0  t t t       1  c1                  1 c 1 1 c 1          

DA : Yt  b1  b2 mt  pt   b3et

5.

19

Oferta Agregada (OA): La curva de oferta agregada en este modelo la obtendremos al combinar una curva de Phillips aumentada por las expectativas inflacionarias (curva que relaciona a la inflación con el desempleo y con la inflación esperada) con la ley de Okun. A saber: Curva de Phillips aumentada: t  et  1 Ut  Un ;

1  0

20

Esta curva representa la respuesta de la tasa efectiva de inflación,  t , a la tasa de

inflación esperada, et , y a la diferencia entre la tasa de desempleo, U t , y la tasa natural de desempleo3, U n .

Ley de Okun: Ut  Un  2 Yt  Yn ;

2  0

21

Dónde Yn es el nivel de producción natural (producto potencial). Yn es el nivel de producción asociado a U n .

t  et  12 Yt  Yn 

Sustituyendo (21) en (20) obtenemos finalmente la oferta agregada:

OA :

t  et  Yt  Yn ;

  12  0

22

La oferta agregada representa la relación de Phillips de corto plazo a partir de la cual se obtiene la verdadera inflación (la tasa efectiva de inflación). En el (equilibrio de) largo plazo se tiene que    e y Y  Yn , independientemente del nivel de p t , por lo que la curva de oferta agregada de largo plazo será vertical en Yn (en el plano  t  Yt ). La tasa de desempleo natural es aquella tasa de desempleo con la que la tasa efectiva de inflación es igual a la esperada t  et . 3

52

CIRO BAZÁN 6.


Expectativas de la inflación: Se asume que las expectativas sobre la inflación se forman bajo un esquema de expectativas adaptativas. Esto es: e





t   t  et ;

23

0

La ecuación (23) nos dice que los agentes económicos revisan sus expectativas e

hacia arriba, t  0, cuando en algún instante del tiempo la tasa de inflación excede la tasa esperada, t  et , y viceversa. Resolución del modelo: El modelo completo viene dado por las ecuaciones (19), (22) y (23). No obstante, vamos a reducirlo a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (las variables endógenas de referencia: la producción real y la inflación esperada) tal como sigue: Derivando (19) respecto del tiempo tenemos:

    Y t  b 2  m t  p t   b3  t   

e

Sustituyendo (17) en (24) tenemos que:

    Y t  b 2  m t   t   b3  t  

e

De (22) se obtiene:

t  et  Yt  Yn 


t   Yt  Yn  e

24 25

26 27

Sustituyendo (22) y (27) en (25) se obtiene:

   Y t  b2 m t  et  Yt  Yn   b3 Yt  Yn   

Y t  b3  b 2 Yt  b 2 et  b 2 m t  b 3  b 2 Yn 



28

En consecuencia, el sistema reducido de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (27) y (28):

   b   b   b   Y     t t 3 2 2 b 2 m t  Yn b3  b 2  Y       e e   0   t    t      Yn                        A X  X

b

53

(29)

CIRO BAZÁN


Análisis cualitativo Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:

trA  b3  b 2    A   b 2  0  2 2   trA  4 A  b3  b 2   4 b 2

30

Dado que A  0, entonces queda garantizada la existencia del punto de equilibrio del sistema (30), que calcularemos a través de:

 Y 1  e   A b   

 Y   Yn   e        m t 

31

Evaluando en el equilibrio la ecuación (22) y sustituyendo en la expresión resultante la primera ecuación de (31) se tiene que:

  e  Y  Yn   e  Yn  Yn     e

32

Sustituyendo (32) en (31) resulta:  Y  Yn   Yn   e              m t 

33

Por tanto, por (33), en el equilibrio estacionario, la producción real viene dada por el nivel natural del producto y la inflación verdadera coincide con la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero. De acuerdo a los signos asumidos de todos los parámetros del modelo, en este modelo podemos encontrar tres casos (que surgen al asumir el signo del discriminante) en los que el sistema sea estable [siempre que trA  0 ]. Los casos en cuestión son:

trA  b 3  b 2   0  b 3  b 2  Caso 1: Espiral:  A   b 2  0  2 2   trA  4 A  b 3  b 2   4 b 2  0 El polinomio característico viene dado por:

p   A  I  2  trA  A  0

54

35

34

CIRO BAZÁN Dado que:


  0         

36

Por tanto:

  trA   trA    trA  i  trA 1      i    i  2 2 2 2 2    trA   trA    trA  i  trA     i    i  2  2 2 2 2 2 

Dónde:

trA b 3  b 2   0   2  2  2   4 b 2  b 3  b 2       0  2 2 2   2   2  A   b 2  0  

37 

38

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es una espiral estable (convergente).  El autovector v1 asociado a 1    i se calculará a partir de:

b3  b 2     i    



v1   b 2  a  0     i  b 0

39

  i b 40

De la segunda ecuación del sistema (39) se tiene que: a



La ecuación (40) también se puede obtener a partir de la primera ecuación del sistema (39), pero esto no lo vamos a demostrar aquí. Haciendo b   tenemos que:

2  b   b  4 b 2  b3  b 2   3 2    i     i  v1     2 2  41           El autovector v 2 asociado a  2    i será el conjugado de v1 , esto es:

  2   i  b3  b 2   4 b 2   b3  b 2   v2    2 2      

55

 i   

42

CIRO BAZÁN


Ahora, para entender los mecanismos de transferencia del modelo, vamos a bosquejar el retrato de fase del mismo, determinando las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones diferenciales (29). Esto es:   e Y t  b 3  b 2 Yt  b 2  t  b 2 m t  Yn b 3  b 2   0   e  t   Y  Y   0 t n 

43



De donde la ceroclina Y t  0, viene dada por: et 

 b 3  b 2  Yn b 3  b 2  Yt  m t  b2 b2

De (19), sustituyendo b 2 y b 3 en la expresión anterior resulta:

et    1Yt  m t    1Yn 

44

e

Mientras que la ceroclina  t  0, viene dada por:

Yt  Yn 45

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En  primer lugar, vamos a graficar la ceroclina Y t  0. De (44), por los supuestos adoptados, se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta que tiene pendiente negativa e igual a   1 y que cortará al eje de la inflación esperada (eje vertical en el plano de fase et  Yt )

en

m t    1Yn  0 





siempre que m t  0. Además, si estando en un punto de la

ceroclina Y t  0 como el punto A, la tasa de inflación esperada aumenta y el nivel de renta real (producto agregado) permanece constante, pasando a un punto encima de la  ceroclina Y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (43), al haber aumentado el valor de la tasa de inflación esperada, se verifica que en un punto encima de dicha ceroclina, tal como el  punto B, Y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la renta real  (producto agregado) irá disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina Y t  0, tal como se aprecia en la figura 1, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región  del plano de fase se verifica que Y t  0.

56

CIRO BAZÁN


 et  et B



Yt  0

B

 et A

A



Yt  0



Yt  0

YA  YB

Yt

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta real e

A continuación vamos a graficar la ceroclina  t  0. De (45), por los supuestos adoptados, se aprecia que esta ceroclina es una línea recta vertical que corta al eje de la producción real en Yn . Además, de la primera ecuación del sistema (43), para valores de Yt  Yn , a la derecha de la recta vertical, que se aprecia en la figura 2,  t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa esperada de inflación irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la e izquierda de dicha recta  t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa esperada de inflación irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo. e

 et

e

t  0 e

t  0

e

t  0

Y  Yn

Yt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para la tasa de inflación esperada 57

CIRO BAZÁN


Superponiendo las ceroclinas de la renta real y de la tasa de inflación esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el retrato de fase es una espiral convergente hacia el punto de equilibrio E.  et

e



et  0



Yt  0

E

 e0

I

Y  Yn

Y0

Yt

Figura 3: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I del plano de fase, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (espiral) y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. En el corto y mediano plazos, tanto la producción real como la tasa de inflación esperada tendrán un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio estacionarios.

58

CIRO BAZÁN


Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producción agregada) y de la tasa de inflación esperada vienen dados por:

 Yt  Y   e e  e    t  

      b3  b 2    t 2  

          4 b  b   b 2     2 3 2 h cos  t   1    2          

       2    4 b 2  b 3  b 2     h 2sen t    2       

Dónde:

    h1  k1  v1  k 2  v 2      h 2  k1  v1  k 2  v 2 i

46

47


  k 1  k 2   k 1  k 2 i   h1     k 1  k 2        k 1  k 2   k 1  k 2 i  h 2     k 1  k 2 i     

48





Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 ,  e0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (46), se tiene que:

  Y0  Y  h1   e e  0   

49


  e0   e k k    1 2    Y0  Y     e0   e  k 1  k 2 i   



59



50

CIRO BAZÁN







 Y0  Y    2   2  e0   e     h2   Y0  Y     e0   e   









   51  



Sustituyendo la tercera expresión de (38) en (51) resulta:

 Y0  Y   b 2  e0   e     h2   e e  Y0  Y     0    



   52  





 b 3   b 2 Y0  Y   2b 2  e0   e  2 4 b 2  b 3   b 2    h2    2Y0  Y   b 3   b 2   e0   e  2  4 b 2  b 3   b 2 



Reemplazando las dos primeras expresiones de (38) en (52) tenemos:



     



53

Sustituyendo (49) y (53) en (46) tenemos que:

Yt  Y  e

   b 3  b 2   t  2  

2   Y  Y cos  4 b 2  b 3   b 2     0 2  



 b   b Y  Y   2b  e   e 3 2 0 2 0   2 4 b 2  b 3   b 2      e e t

e

  b 3   b 2    t 2  

 sen   

2  4 b 2  b 3   b 2    t     2   

2    e  e cos   4 b 2  b3  b 2     0 2  







 2Y  Y   b   b  e  e 0 3 2 0  2  4 b 2  b3  b 2  

  t      

 sen  

  t      

55 

4 b 2  b3  b 2    2 

 

54

2

   t     

Dónde Y y  e vienen dados por (33), mientras que b 2 y b 3 vienen dadas por (19).

60

CIRO BAZÁN


Sustituyendo (54) y (55) en (22) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. En la figura 4 se puede apreciar el comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario. Yt

Y0

Yn

t

Figura 4: Comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de inflación es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.  et

e

 e0

t

Figura 5: Comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo

61

CIRO BAZÁN


Shock de política monetaria expansiva: Efectos de un aumento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se produce un incremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina   e Y t  0, ya que la ceroclina  t  0, no depende de m t . De (44), se aprecia que al aumentar 

m t , entonces

la intersección de la ceroclina



Yt  0

con el eje vertical se hará más positiva 

(ya que por los supuestos adoptados, en este caso, m t  0 ). Por tanto, debido al   incremento en m t , la ceroclina Y t  0 se desplazará hacia arriba sin modificar su  e

pendiente y la ceroclina  t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 6. Efectos de largo plazo: Por otro lado, en la figura 6 se aprecia que tras el incremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, se provocará un incremento en la tasa de inflación esperada y la renta real (producto agregado) permanecerá invariable en su nivel natural. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria producirá un mayor nivel de inflación esperada y no tendrá efectos sobre la renta real (producto agregado).  et



et  0

   Y t  0  m0   

1e

B E1

A

0e

E0

Y  Yn

   Y t  0  m1   

Yt

Figura 6: Retrato de fase de la economía tras shock de política monetaria expansiva

62

CIRO BAZÁN


De manera análoga, podemos verificar lo anterior determinando las derivadas estático comparativas de las componentes del nuevo equilibrio estacionario, E1, respecto a un incremento en la tasa de crecimiento instantáneo del stock nominal de dinero, ceteris  paribus. Derivando (33) respecto de m t , se tiene que:      Y m t   0     0   1      e 0    m t      

56

Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento de la tasa instantánea del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el incremento de la tasa instantánea del stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting4) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto B) como de la renta real (punto A) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 7), se produce un decremento en la renta real natural, ceteris paribus, entonces las ceroclinas 

Y t  0,

y

e

t  0

se verán afectadas. De (44), se aprecia que al disminuir 

Yn ,

entonces la

intersección de la ceroclina Y t  0 con el eje vertical disminuirá (aunque por los supuestos adoptados en este caso seguirá siendo positiva). Por tanto, debido al  decremento en Yn , la ceroclina Y t  0 se desplazará hacia abajo (hacia la izquierda) sin modificar su pendiente. Asimismo, de (45) se aprecia que al disminuir Yn , la ceroclina  e

t  0

se moverá hacia la izquierda. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 7. Efectos de largo plazo: En la figura 7 se puede apreciar que tras el decremento de la renta real natural (producto potencial) ceteris paribus, en el largo plazo, se provocará un decremento en la renta real (producto agregado) y la tasa de inflación esperada permanecerá igual al valor que ésta tenía antes del shock de oferta negativo. En consecuencia, en el largo plazo, el shock de oferta negativo producirá un producto agregado por debajo del producto potencial y no tendrá efecto sobre la inflación esperada.

4

Se dice que una variable endógena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio exógeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de largo plazo.

63

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  et



 

 



Y t  0 Yn1

A

et  0 Yn0

E1

E0

B

1e  0e 

 

et  0 Yn1

 



Y t  0 Yn0

Y1  Yn1

Y0  Yn0

Yt

Figura 7: Retrato de fase de la economía tras shock de oferta negativo Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 7 se aprecia que, tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 7 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el shock de oferta negativo, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa marginal impositiva y un incremento del gasto público simultáneos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 8), se produce un decremento en la tasa marginal impositiva y simultáneamente se incrementa el gasto público, ceteris paribus, entonces por (44) y (45), las ceroclinas no se verán afectadas.

64



Y t  0,

y

e

t  0

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Efectos de largo plazo: e

Dado que las ceroclinas Y t  0, y  t  0 no se ven afectadas por el shock de política fiscal, en consecuencia, el punto de equilibrio de la economía seguirá siendo el mismo que había antes del shock de política fiscal, esto es: E0 = E1, tal como se aprecia en la figura 8. 

Efectos de corto y mediano plazo: En el instante, t 0 , que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada permanecerá invariable y la renta real se incrementará a Yt 0  Yn . La renta real se incrementará tras el shock de política fiscal ya que por (19), al subir permanentemente G , y al caer permanentemente , en t 0 , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán. En consecuencia, tras el shock de política fiscal la economía se encontrará en desequilibrio en el punto I de la figura 8. En esta figura se aprecia que, tras el shock de política fiscal, la economía, partiendo del punto I, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 8 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. 

e t

1e  0e



Yt  0



et  0

E 0  E1

I

Y  Yn

Yt 0

Figura 8: Retrato de fase de la economía tras shock de política fiscal

65

Yt

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Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso I, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I. Parámetros

Valores 0,05 0,05 0,1 0,8

θ γ µ c c0   I0

5 0,8 1,5 10

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0 Yn τ G

0,05



1 0,3 5

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (29) resulta: b A           2,741  3,704  Y  2,926 t t Y   e    e    0   t    1,2   t   1,2   



I


 e Y t  0   t  0,74Yt  0,79  e  t  0  Y  Y  1 t n 

II

Asimismo, por (31), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Y  Yn   Yn   1   e                 m t  0,05

III


trA  2,741  0   A  4,444  0   10,266  0 

66

IV

CIRO BAZÁN


En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas del sistema dado por (I). Yt' = 0

0.1 0.09 0.08

Inflación Esperada

0.07 0.06 E 0.05 0.04 0.03

 et '  0

0.02 0.01 0 0.8

0.85

0.9

0.95

1 1.05 Renta Real

1.1

1.15

1.2

Figura I: Retrato de fase del sistema En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución en el tiempo de la verdadera inflación, de la inflación esperada, y de la renta real para el sistema (I) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , e0   1,5;0,01. 0.18 Yt ' = 0

 et '  0

0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 E 0.04 0.02 I 0

0.6

0.8

1

1.2 Renta Real

1.4

1.6

 Figura II: Diagrama de fase del sistema  m 0  0,05 



67



CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (54) y (55) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (I). Yt  1  e 1,37t 0,5 cos1,602t   0,335sen1,602t    e 1, 37t  0,34sen1,602t   0,04 cos 1,602t   t  0,05  e

(V)

1.5

1.4 Yt

Yt

1.3

1.2

1.1

1

0.9 0

5

10

15 t

20

25

30

0.45 Inflación Esperada Verdadera Inflación

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura III: Evolución temporal de la renta real (producción agregada), de la inflación esperada y de la verdadera inflación 68

CIRO BAZÁN


Sustituyendo   0,8; Yn  1, y (V) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación (su evolución temporal se muestra en la figura III).  t  0,05  e 1,37t 0,36 cos1,602t   0,072sen 1,602t 

VI 

Simulación del Shock de política monetaria expansiva: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de 



m0  0,05 a m1  0,09, el sistema (29) resulta:

b A            2,741  3,704  Y  3,074 t t Y   e    e    0   t    1,2   t   1,2   

VII 

Las ceroclinas del sistema (VII) vienen dadas por:  e Y t  0  t  0,74Yt  0,83  e t  0  Y  Y  1 t n 

VIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (VIII) vendrá dado por:  Yn   1  E1        IX m1  0,09

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero. En la figura IV se muestra el diagrama de fase del sistema (VII) tras el incremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar dicha tasa, esto es:  Yn   1  E0       . m0   0,05

69

CIRO BAZÁN


0.12

   Yt '  0  m 0   

0.11

 et '  0

Inflación Esperada

0.1 E1

0.09

0.08

0.07

0.06

   Yt '  0  m1   

0.05 E0 0.04 0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95 Renta Real

1

1.05

1.1

1.15

1.2

 Figura IV: Diagrama de fase del sistema  m1  0,09 







Sustituyendo los parámetros (con m1  0,09 ), E0 y E1 en (54) y (55) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (VII). Yt  1  0,092e1,37t sen1,602t    e 1, 37t  0,034sen1,602t   0,04 cos 1,602t  t  0,09  e

(X)

Sustituyendo   0,8; Yn  1, y (X) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. t  0,09  e1,37t 0,039sen 1,602t   0,04 cos1,602t 

XI

En la figura V se aprecia la evolución temporal del sistema (VII) junto con la verdadera inflación, dada por (VI), tras el incremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, teniendo como punto inicial a E0  1;0,05.

70

CIRO BAZÁN


1.1 1.08 Yt

1.06 1.04

Yt

1.02 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9

0

5

10

15 t

20

25

30

0.12 Inflación Esperada Verdadera Inflación 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura V: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de política monetaria expansiva

71

CIRO BAZÁN


Simulación del Shock de oferta negativo: Tomando como punto de inicio el punto de equilibrio dado por (III), si ahora disminuimos la renta real natural (producto potencial), ceteris paribus, pasando de Yn0  1 a Yn1  0,5, el sistema (29) resulta: b A          2,741  3,704 Y  1,556 t t Y   e    e    0   t    0,6    t   1,2   

XII

Las ceroclinas del sistema (XII) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  0,74Yt  0,162  e  t  0  Y  Y  0,5 t n 

XIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn1   0,5  E1        m 0  0,05

XIV

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el decremento de la renta real natural (producto potencial). En la figura VI se muestra el diagrama de fase del sistema (XIII) tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir el producto potencial, esto es:    E 0   Yn0 ; m 0   1;0,05.  

 

Yt '  0 Yn1

0.2

 

 

Yt '  0 Yn0

et ' 0 Yn1

 

et ' 0 Yn0

0.18 0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 E1

E0

0.04 0.02 0 0

0.2

0.4

0.6 0.8 Renta Real

1

1.2

1.4

Figura VI: Diagrama de fase del sistema tras shock de oferta negativo

72

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros (con Yn1  0,5 ), E0 y E1 en (54) y (55) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XIII). Yt  0,5  e 1,37t 0,5 cos1,602t   0,428sen1,602t    e 1, 37t  0,375sen1,602t   t  0,05  e

XV

Sustituyendo   0,8; Yn  0,5, y (XV) en (22), obtenemos la verdadera inflación.  t  0,05  e 1,37t 0,0324sen 1,602t   0,4 cos1,602t  XVI 

En la figura VII se aprecia la evolución temporal del sistema (XIII) junto con la verdadera inflación, dada por (XVI), tras el decremento de la renta real natural, teniendo como punto inicial a E0  1;0,05. 1

0.9

Yt

Yt

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0

5

10

15 t

20

25

30


0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura VII: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de oferta negativo

73

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Simulación del Shock de política fiscal: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora disminuimos la tasa marginal impositiva, pasando de  0  0,3 a 1  0,2 y simultáneamente aumentamos el gasto público, de G 0  5 a G1  6 , ceteris paribus, el sistema (29) resulta:

b A            3,217  4,348 Y  3,435 t t Y   e    e    0   t    1,2    t   1,2   

XVII

Las ceroclinas del sistema (XVII) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  0,74Yt  0,79  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XVIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XVIII) vendrá dado por:  Yn   1  E1         E0 m 0  0,05

XIX

Mientras que los valores dados por (34), tras el shock de política fiscal, ahora serán:

trA  3,217  0   A  5,217  0   10,518  0 

XX

Para hallar el valor de la renta real tras el shock de política fiscal, Yt 0 , vamos a utilizar la ecuación (19). Primeramente, vamos a despejar de (19) los saldos reales (en términos logarítmicos), teniendo presente que antes del shock de política fiscal (que se da en el instante t 0 ) la economía se encuentra en equilibrio, esto es:











Y  b1  b 2 m t 0  p t 0  b3  e  Yn  b1  b 2 m t 0  p t 0  b3 m 0  

XXI

Y  b1  b 3 m 0 m t0  p t0  n b2

En el instante t 0 en el que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada 

permanecerá invariable,  e  m 0  0,05; y el valor de la renta real Yt 0  Yn , ya que al subir permanentemente G , y al caer permanentemente , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán y sus nuevos valores los denotaremos por b I , b II , y b III . Entonces, de (19), en t 0 , tendremos:





Yt 0  b I  b II m t 0  p t 0  b III m 0 XXII

74



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Sustituyendo (XXII) en (XXI) tenemos que:      Yn  b1  b 3 m 0  Yt 0  b I  b II  b m  0 XXIII III  b2   

Utilizando los parámetros y variables exógenas de las tablas I y II, hallamos b1 , b 2 , y b3 antes del shock de política fiscal. Empleando los valores de las tablas I y II con 1  0,2 

y G1  6 , determinamos b I , b II , y b III . Reemplazando b1 , b 2 , b 3 , b I , b II , b III , y m 0 en (XXIII) se obtiene Yt 0  3,348.

En la figura VIII se muestra el diagrama de fase del sistema (XVII) tras el shock de Yt 0   3,348 política fiscal, teniendo como punto de partida el punto: I       .  m 0   0,05   et '  0

Yt '  0 0.6

Inflación Esperada

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1 E0 = E1 0

0

0.5

1

I

1.5

2 Renta Real

2.5

3

3.5

Figura VIII: Diagrama de fase del sistema tras shock de política fiscal

Sustituyendo los parámetros (con 1  0,2 y G1  6 ), y E1 en (54) y (55) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XVII). Yt  1  e 1,609t 2,348 cos1,622t   2,3298sen1,622t    e 1, 609t  1,737sen1,622t   t  0,05  e

75

XXIV

CIRO BAZÁN


Reemplazando   0,8; Yn  1, y (XXIV) en (22), obtenemos la verdadera inflación.  t  0,05  e 1,609t 1,878 cos1,622t   0,126sen 1,622t  XXV

En la figura IX se aprecia la evolución temporal del sistema (XVII) junto con la verdadera inflación, dada por (XXV), tras el shock de política fiscal, teniendo como punto inicial a I  3,348;0,05. 3.5

3

Yt

2.5

Yt

2

1.5

1

0.5 0

5

10

15 t

20

25

30

2 Inflación Esperada Verdadera Inflación

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura IX: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de política fiscal

76

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trA  b3  b 2   0  b3  b 2  Caso 2: Nodo Impropio:  A   b 2  0  2 2   trA  4 A  b3  b 2   4 b 2  0

57 

Teniendo en cuenta que   0 y que A  0, entonces resulta que:

trA2

0

trA2

  0

trA    0  trA    0 0  trA    trA

59

58


trA     0  trA    2      0  trA    0 60

En este caso, teniendo en cuenta (59) y (60), los autovalores de la matriz “A” serán: 2  trA   b 3  b 2   b 3  b 2   4 b 2 1   0 2 2   2 b 3  b 2   b 3  b 2   4 b 2  2  trA    0  2 2    2  1  0

61


 El autovector v1 asociado a 1 se calculará a partir de: b3  b 2   1   



v1   b 2  a  0   1  b 0

62

b3  b2   1 a  bb2  0  b  b3  b2   1  a 63 b2

La ecuación (63) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (62), pero esto no lo vamos a demostrar aquí.

77

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Haciendo a  b 2 tenemos que: b2    v1    b3  b 2   1 

64

Reemplazando 1 , dado por (61), en (64) se obtiene:

   v1   b   b 2    3 

  b2  2 b3  b2   4 b2    2   2  b2

65

De manera análoga, el autovector asociado a  2 será: b2    v2    b 3  b 2    2 

66

Reemplazando  2 , dado por (61), en (66) se obtiene:

   v 2   b   b   2  3 

b2

b 3   b 2 2 2

  b 2   4 b 2        1  

67

Para este caso, las expresiones (44) y (45) de las ceroclinas correspondientes al caso 1 siguen siendo válidas, al igual que las líneas de fuerza dinámicas que se bosquejaron en las figuras 1 y 2. No obstante, superponiendo las ceroclinas del nivel de renta real y de la tasa de inflación esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 9, correspondiente a un nodo impropio estable. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, las trayectorias de fase son tangentes a la línea de  acción del autovector V1 . Para comprobar esto vamos a considerar la solución general     X t  X E  k1e t V1  k 2 e t V2 donde 1 y  2 son autovalores reales, distintos y negativos, y   sus autovectores asociados son V1 y V2 . Ya que  2  1  0, cuando t   se verificará  que e1t  e 2 t . Por tanto, cuando t   la solución tenderá a alinearse con k1e t V1, esto    es, en el largo plazo tendremos que X t  X E  k1e t V1. Pero, dado que cuando t  , 1

2

1

1

resulta que e 1t  0 y e  2 t  0, entonces se tiene que en el largo plazo X t  X E independientemente de los valores de k1 y k 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán al punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del  autovector V1 .

78

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TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

De particular interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 ,  entonces k 2  0 y el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si  el punto inicial se encuentra justo sobre V2 , entonces k1  0 y el sistema se mueve a lo  largo de la línea de acción de V2 , aproximándose al punto de equilibrio en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. et

 e0 



Yt  0

e

t  0

I  v2

E

e

 v1

Y0

Y  Yn

Yt

Figura 9: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 9, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. Asimismo, en la figura 9 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la tasa de inflación esperada disminuye monótonamente y la renta real crece de forma monótona hasta alcanzar sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo.

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Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de inflación esperada vienen dados por: 







V1 V2 Xt XE     b 2  b 2  Yt   Y  1t 2t k e k e        1 2  e    e   1   2   t  

68

De donde: 1t 2t   Yt  Y  k1b 2e  k 2 b 2e  e 1t 2t e   t    k1 2e  k 21e

69





Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 ,  e0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (69), se tiene que:  1 Y  Y0   b 2 e0   e   k  Y0  Y  k1b 2  k 2 b 2  1 b 2  2  1     e e  2 Y  Y0   b 2 e0   e  0    k1 2  k 21  k 2  b 2 1   2  



e



 e

 1 Y  Y0   b 2  e0   e Yt  Y    2  1  

Reemplazando (70) en (69) se tiene que:

 1 Y  Y0   b 2 e0   e et   e   b 2  2  1  

 

 

2

1t

1t

70



  2 Y  Y0   b 2  e0   e  1   2  



  2 Y  Y0   b 2 e0   e  b 2 1   2  

e 71   

2t

 e 72  

2t

1

Dónde Y y  e vienen dados por (33), mientras que 1 y  2 vienen dados por (61). Sustituyendo (71) y (72) en (22) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. En la figura 10 se pueden apreciar los plausibles comportamientos de la renta real (producto agregado) a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta real (producto agregado) converge hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial.

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Yt

Y

t

Figura 10: Comportamiento de la renta real (producto agregado) en el tiempo En la figura 11 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la tasa de la inflación esperada a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la inflación esperada es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial.  et

e

t

Figura 11: Comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo Shock de política monetaria contractiva: Efectos de un decremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 12), se produce un decremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, céteris paribus, entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina   e Y t  0, ya que la ceroclina  t  0, no depende de m t . De (44), se aprecia que al disminuir 

mt ,

entonces el valor de la intersección de la ceroclina

más pequeña. Por tanto, debido a la disminución en



mt ,



Yt  0

con el eje vertical se hará

la ceroclina



Yt  0

se desplazará e

hacia abajo (hacia la izquierda) sin modificar su pendiente y la ceroclina  t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 12.

81

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Efectos de largo plazo: Por otro lado, en la figura 12 se aprecia que la disminución de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocará una caída en la tasa de inflación esperada mientras que la renta real volverá a alcanzar su nivel natural. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria contractiva, producirá una menor tasa de inflación esperada pero no alterará a la renta real de su nivel natural.  et

0E

E0

1E

E1     Y t  0  m1   

    Y t  0  m0   

e

t  0

Yn

Yt

Figura 12: Retrato de fase de la economía tras política monetaria contractiva Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 12 se aprecia que, tras la política monetaria contractiva, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo. Además, en este caso, tras el decremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa el fenómeno de overshooting en la renta real respecto de su valor de equilibrio de largo plazo.

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Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 13), se produce un decremento en la renta real natural, ceteris paribus, entonces las ceroclinas 

Y t  0,

y

e

t  0

se verán afectadas. De (44), se aprecia que al disminuir 

entonces la

Yn ,

intersección de la ceroclina Y t  0 con el eje vertical disminuirá (aunque por los supuestos adoptados en este caso seguirá siendo positiva). Por tanto, debido al  decremento en Yn , la ceroclina Y t  0 se desplazará hacia abajo (hacia la izquierda) sin modificar su pendiente. Asimismo, de (45) se aprecia que al disminuir Yn , la ceroclina  e

t  0

se moverá hacia la izquierda. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 13.  et

 

e

A

t  0 Yn1

 



Y t  0 Yn0

B

1E  0E

E1

E0



 

e

Y t  0 Yn1

 

t  0 Yn0

Yn1

Yn0

Yt

Figura 13: Retrato de fase de la economía tras shock de oferta negativo Efectos de largo plazo: En la figura 13 se puede apreciar que tras el decremento de la renta real natural (producto potencial) ceteris paribus, en el largo plazo, se provocará un decremento en la renta real (producto agregado) y la tasa de inflación esperada permanecerá igual al valor que ésta tenía antes del shock de oferta negativo. En consecuencia, en el largo plazo, el shock de oferta negativo producirá un producto agregado por debajo del producto potencial y no tendrá efecto sobre la inflación esperada.

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Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 13 se aprecia que, tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 13 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el shock de oferta negativo, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa marginal impositiva y un incremento del gasto público simultáneos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 14), se produce un decremento en la tasa marginal impositiva y simultáneamente se incrementa el gasto público, ceteris paribus, entonces por (44) y (45), las ceroclinas no se verán afectadas.



Y t  0,

y

e

t  0

Efectos de largo plazo: e

Dado que las ceroclinas Y t  0, y  t  0 no se ven afectadas por el shock de política fiscal, en consecuencia, el punto de equilibrio de la economía seguirá siendo el mismo que había antes de dicho shock, esto es: E0 = E1, tal como se aprecia en la figura 14. 

Efectos de corto y mediano plazo: En el instante, t 0 , que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada permanecerá invariable y la renta real se incrementará a Yt 0  Yn . La renta real se incrementará tras el shock de política fiscal ya que por (19), al subir permanentemente G , y al caer permanentemente , en t 0 , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán. En consecuencia, tras el shock de política fiscal la economía se encontrará en desequilibrio en el punto I de la figura 14. En esta figura se aprecia que, tras el shock de política fiscal, en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo. Además, tras el shock de pol’itica fiscal, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo.

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 et

A B

1e  0e



et  0

E 0  E1

I



Yt  0

Y  Yn

Yt 0

Figura 14: Retrato de fase de la economía tras shock de política fiscal

85

Yt

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Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso II, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan todos los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla III. Parámetros θ

Valores 0,05 0,05 0,1 0,8

γ µ c

c0   I0

10 5 1 10

Tabla III: Valores de los parámetros simulados En la tabla IV se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0 Yn τ G

0,09



1 0,3 5

Tabla IV: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (29) resulta: b A          17,593  3,704 Y  17,926 t t Y  e    e  0   t    5   t   5   



XXVI

Las ceroclinas del sistema (XXVI) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  4,75Yt  4,84  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XXVII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn   1  E   m 0  0,09

86

XXVIII

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Mientras que por (57), tenemos que: trA  17,592  0   A  18,519  0   235,425  0 

XXIX

En la figura X se muestra el retrato de fase, los autovectores y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (XXVI). Yt '  0

0.2

 et '  0

0.18 0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12

0.1 E 0.08

V2

0.06

V1

0.04 0.02

0 0.96

0.97

0.98

0.99

1 Renta Real

1.01

1.02

1.03

1.04

Figura X: Retrato de fase del sistema





En la figura XI se muestra el diagrama de fase de la renta real (producto agregado) y la tasa de inflación esperada del sistema (XXVI) con las siguientes condiciones iniciales:  x 0  Y0 , e0  0,98;0,11.

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TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  et '  0

Yt '  0

0.2 0.18 0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12

 X0

0.1

E

0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.96

0.97

0.98

0.99

1 Renta Real

1.01

1.02

1.03

1.04

   Figura XI: Diagrama de fase del sistema  m 0  0,09   

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (XXVI). Yt  1  0,00336 e 1,125t  0,0166e 16, 468t  (XXX)  e 1,125t 16, 468t   0,0051e  t  0,09  0,0149e

Sustituyendo   5; Yn  1, y (XXX) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación.  t  0,09  0,00019e 1,125t  0,078e 16, 468t





XXXI

La evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada se muestran en la figura XII con las siguientes condiciones iniciales:  x 0  Y0 , e0  0,98;0,11.

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1

Yt

0.995

0.99 Yt

0.985

0.98 0

5

10

15 t

20

25

30

0.12 Inflación Esperada Verdadera Inflación 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XII: Evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación y de la inflación esperada

89

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Simulación del shock de política monetaria: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XXVIII), si ahora disminuimos la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de 



m 0  0,09 a m1  0,04 el sistema (29) resulta:

b A          17,593  3,704 Y  17,741 t t Y  e    e  0   t    5   t   5   



XXXII

Las ceroclinas del sistema (XXXII) vienen dadas por:  e Y t  0   t  4,75Yt  4,79  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XXXIII

Asimismo, por (31), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn   1  E1        m1  0,04

XXXIV

Mientras que los valores dados por (XXIX) se mantienen invariables ante el decremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero. En la figura XIII se muestra el diagrama de fase del sistema (XXXII) tras el decremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir dicha tasa, esto es: Y   1  E 0   e0    .  0   0,09

90

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  et '  0

0.1

E0

0.09 0.08

Inflaci'on Esperada

0.07 0.06 0.05 0.04

E1

0.03 0.02 0.01

   Yt '  0  m1   

0 0.98

0.985

0.99

0.995

1 1.005 Renta Real

1.01

   Yt '  0  m 0    1.015

1.02

   Figura XIII: Diagrama de fase del sistema  m1  0,04    

Sustituyendo los parámetros (con m1  0,04 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (XXXII). Yt  1  0,0121 e 1,125t  0,0121e 16, 468t  (XXXV)  e 1,125t 16, 468t   0,0037e  t  0,04  0,0537e

Sustituyendo   5; Yn  1, y (XXXV) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación.

t  0,04  0,0067e 1,125t  0,0567e 16, 468t

XXXVI

En la figura XIV se aprecia la evolución temporal del sistema (XXXII) junto con la verdadera inflación, dada por (XXXVI), tras la disminución de la tasa de crecimiento del stock nominal de dinero, ceteris paribus, teniendo como punto inicial a E 0  1; 0,09.

91

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1

0.998

Yt

0.996 Yt 0.994

0.992

0.99 0

5

10

15 t

20

25

30


0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XIV: Evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada tras la política monetaria contractiva

92

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Simulación del Shock de oferta negativo: Tomando como punto de inicio el punto de equilibrio dado por (XXVIII), si ahora disminuimos la renta real natural (producto potencial), ceteris paribus, pasando de Yn0  1 a Yn1  0,5, el sistema (29) resulta: b A         17,593  3,704 Y   9,13  t t Y   e    e  0   t   2,5  t   5   

XXXVII

Las ceroclinas del sistema (XXXVII) vienen dadas por:  e Y t  0   t  4,75Yt  2,465  e  t  0  Y  Y  0,5 t n 

XXXVIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn1  0,09 E1        m 0   0,5 

XXXIX

Mientras que los valores dados por (XXIX) se mantienen invariables ante el decremento de la renta real natural (producto potencial). En la figura XV se muestra el diagrama de fase del sistema (XXXVII) tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir el producto potencial, esto es:    E 0   Yn0 ; m 0   1;0,09.  

 

 

 et '  0 Yn1

0.25

Yt '  0 Yn0

Inflación Esperada

0.2

0.15

0.1 E0

E1

0.05

 

 

Yt '  0 Yn1

 et '  0 Yn0

0 0.4

0.5

0.6

0.7 Renta Real

0.8

0.9

1

Figura XV: Diagrama de fase del sistema tras shock de oferta negativo

93

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Sustituyendo los parámetros (con Yn1  0,5 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XXXVII). 1,125t   0,537e 16, 468t Yt  0,5  0,037e XL  e 1,125t 16, 468t      0 , 05 0 , 163 e 0 , 163 e  t Sustituyendo   5; Yn  0,5, y (XL) en (22), obtenemos la verdadera inflación.

XLI

 t  0,05  0,02e 1,125t  2,52e 16, 468t

En la figura XVI se aprecia la evolución temporal del sistema (XXXVII) junto con la verdadera inflación, dada por (XLI), tras el decremento de la renta real natural, teniendo como punto inicial a E 0  1;0,09 . 1

0.9

0.8

Yt

Yt 0.7

0.6

0.5

0

5

10

15 t

20

2.5

25

30

Inflación Esperada Verdadera Inflación

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Figura XVI: Evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada tras el shock de oferta negativo 94

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Simulación del shock de política fiscal: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora disminuimos la tasa marginal impositiva, pasando de  0  0,3 a 1  0,25 y simultáneamente aumentamos el gasto público, de G 0  5 a G1  5,25 , ceteris paribus, el sistema (29) resulta: b A         19  4 Y  19,36 t t Y   e    e    0   t    5   t   5   

XLII

Las ceroclinas del sistema (XLII) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  4,75Yt  4,84  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XLIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XLII) vendrá dado por:  Yn   1  E1         E0 m 0  0,09

XLIV

Mientras que los valores dados por (57), tras el shock de política fiscal, ahora serán:

trA  19  0   A  20  0   281  0 

XLV

En el instante t 0 en el que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada 

permanecerá invariable,  e  m 0  0,09; y el valor de la renta real Yt 0  Yn , ya que al

subir permanentemente G , y al caer permanentemente , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán y sus nuevos valores los denotaremos por b I , b II , y b III . Utilizando los parámetros y variables exógenas de las tablas III y IV, hallamos b1 , b 2 , y b3 antes del shock de política fiscal. Empleando los valores de las tablas III y IV con 1  0,25 y 

G1  5,25 , determinamos b I , b II , y b III . Reemplazando b1 , b 2 , b 3 , b I , b II , b III , y m 0 en (XXIII) se obtiene Yt 0  4,82.

En la figura XVII se muestra el diagrama de fase del sistema (XLII) tras el shock de Yt 0   4,82 política fiscal, teniendo como punto de partida el punto: I       . 0,09 m    0 

95

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1 0.9

et '  0

0.8

Inflación Esperada

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

E0 = E1

I

Yt '  0

0 0.5

1

1.5

2

2.5 3 Renta Real

3.5

4

4.5

5

Figura XVII: Diagrama de fase del sistema tras shock de política fiscal

Sustituyendo los parámetros (con 1  0,25 y G1  5,25 ), y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XLII). Yt  1  0,255 e 1,118t  4,075e 17,882t   e 1,118t   1,139e 17,882t  t  0,09  1,139e

XLVI 

t  0,09  0,135e 1,118t  19,235e17,882t

XLVII

Reemplazando   5; Yn  1, y (XLVI) en (22), obtenemos la verdadera inflación.

En la figura XVIII se aprecia la evolución temporal del sistema (XLII) junto con la verdadera inflación, dada por (XLVII), tras el shock de política fiscal, teniendo como punto inicial a I  4,82;0,09 .

96

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5 4.5 4 3.5 Yt

Yt

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

5

10

15 t

20

25

30

20 Inflación Esperada Verdadera Inflación

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Figura XVIII: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de política fiscal

97

CIRO BAZÁN



trA  b 3  b 2   0  b 3  b 2    1  Caso3: Centro  A   b 2  0  2   trA  4 A  4 b 2  0

73

De acuerdo a (37), los autovalores o raíces características son:   trA   trA 1    i    i  i  2 2 2    trA   trA  i  trA    i    i  i  2  2 2 2 2 

Dónde:

       

trA 0 2 

2



74

75

   b 2  0 2

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es nula,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un centro marginalmente estable.

 El autovector v1 asociado a 1  i se calculará sustituyendo la primera condición de (73) y   0 en (41), de donde:   i    b 2 i  v1          

76

  El autovector v 2 asociado a  2  i será el conjugado de v1 , esto es:  i   b 2 i    v2          

77

Reemplazando la primera condición de (73) y   0 en (43) obtenemos las ceroclinas del sistema:    e e Y t  0 : b2  mt   t   0   t  mt     e   t  0 : Yt  Yn  0  Yt  Yn

98

(78)

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TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

A continuación vamos a graficar la ceroclina Y t  0 en el plano de fase et  Yt . De la primera ecuación de (78), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente nula, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje de la inflación 



esperada) será igual a m t  0. Además, si estando en un punto de la ceroclina Y t  0 como el punto A de la figura 15, la inflación esperada aumenta y el nivel de renta 

permanece constante, pasando a un punto encima de la ceroclina Y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (78), al haber aumentado el valor de la inflación esperada, se verifica que en 



un punto encima de la ceroclina Y t  0, tal como el punto B, Y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la renta irá disminuyendo. En consecuencia, 

encima de la ceroclina Y t  0, tal como se aprecia en la figura 15, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Por debajo de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a 

derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que Y t  0.

eB

et B



e  m t



Yt  0

A

YA  YB

Yt

Figura 15: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta real e

Por otro lado, de la segunda ecuación de (78), se puede apreciar que la ceroclina  t  0, en el plano de fase et  Yt , es una recta vertical que corta al eje de la renta real en Yn . Además, de la segunda ecuación del sistema (78), para valores de Yt  Yn , a la derecha e

de la recta vertical, que se aprecia en la figura 16,  t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor de la inflación esperada irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta e

 t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor de la inflación esperada irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo.

99

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et

e

t  0

Yt

Yn

Figura 16: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta agregada Superponiendo las ceroclinas de la renta real y de la inflación esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase et  Yt , se obtiene la figura 17. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el punto de equilibrio es un centro (elipse) marginalmente estable.

et

e

t  0 C

e D e0

B

E



Yt  0

I

F

Y0

Yn

Yt

Figura 17: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 17, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (elipse) y se mantendrá girando por siempre alrededor del punto de equilibrio estacionario E, siempre que no haya ningún shock aleatorio. Además, en la figura 17 se observa que en el trayecto que va desde del punto I al punto B, la economía presenta un periodo en el que la renta real y la inflación esperada aumentan, entre el punto B y el punto C la inflación esperada y la renta real disminuye, entre el punto C y el punto D la renta real la inflación esperada disminuyen, entre el punto D y el punto F la renta real aumenta y la inflación esperada disminuye. A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico se repetirá perpetuamente, siempre que no haya ningún shock aleatorio.

100

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Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta real y de la tasa de inflación esperada vienen dados por:             Yt  Y        e e   h 1 cos  b 2 t   h 2 sen  b 2 t       t       

Dónde:

79

    h1  k1  v1  k 2  v 2 80      h 2  k1  v1  k 2  v 2 i


    b 2 k1  k 2 i   h1       k1  k 2       b 2 k1  k 2  h 2       k1  k 2 i   

81





Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 ,  e0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (79), se tiene que:

  Y0  Y  h1   e e  0   

82


 e0   e k k    1 2    k  k i  Y0  Y 2  1  b 2 



83




   b 2  e0   e     h2     b 2 Y0  Y   b2 

101

   84   

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



Yt  Y  Y0  Y cos  b 2 t 



 

et   e  e0   e cos



 b 2 e0   e





 b 2 t 

 sen

 b 2 t



 b 2 Y0  Y  sen  b 2 t b2





85

86

Dónde Y y  e vienen dados por (33), mientras que b 2 viene dada por (19). Sustituyendo (85) y (86) en (22) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. En la figura 18 se puede apreciar el comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta es oscilante (de amplitud constante: Ay) alrededor de Yn . Yt

Y0 Yn

Figura 18: Comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo En la figura 19 se puede apreciar el comportamiento de la inflación esperada a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la inflación esperada es oscilante (de amplitud constante: Ap) alrededor de  e .  et

e

 e0

Figura 19: Comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo

102

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Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso III, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla V. Parámetros

Valores 0,05 0,5 0,1 0,8

θ γ µ c c0   I0

5 0,8 2 10

Tabla V: Valores de los parámetros simulados En la tabla VI se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0 Yn τ G

0,09



1 0,3 5

Tabla VI: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (29) resulta: b A         0  0,444 Y   0,04  t t Y  e    e    0   t   1,6   t  1,6   



XLVIII

Las ceroclinas del sistema (XLVIII) vienen dadas por:  e Y t  0   t  0,09  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XLVII 

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Y  Yn   Yn   1   e                 m t  0,09

L


trA  0   A  0,711  0   2,844  0 

103

LI 

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En la figura XIX se muestra el retrato de fase y las ceroclinas del sistema (XLVIII).  et '  0

0.5

0.4

Inflación Esperada

0.3

0.2

Yt '  0

0.1 E 0

-0.1

-0.2

-0.3 0.8

0.85

0.9

0.95

1 Renta Real

1.05

1.1

1.15

1.2

Figura XIX: Retrato de fase del sistema En las figuras XX y XXI se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución en el tiempo de la verdadera inflación, de la inflación esperada, y de la renta real para el sistema (XLVIII) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , e0   0,9;0,3.  et '  0

0.5

Y ,  

0.4

0

Inflación Esperada

0.3

e 0

0.2

Yt '  0

0.1 E 0

-0.1

-0.2

-0.3 0.8

0.85

0.9

0.95

1 Renta Real

1.05

1.1

Figura XX: Diagrama de fase del sistema 104

1.15

1.2

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Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (85) y (86) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (XLVIII). Yt  1  0,1 cos0,843t   0,111sen0,843t   e  t  0,09  0,21 cos0,843t   0,19sen0,843t 

(LII)

1.15

1.1

Yt

1.05

1

0.95

0.9

0.85

Yt 0

5

10

15 t

20

25

30

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2 Inflación Esperada Verdadera Inflación 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XXI: Evolución temporal de la renta real (producción agregada), de la inflación esperada y de la verdadera inflación 105

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Sustituyendo   0,8; Yn  1, y (LII) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación (su evolución temporal se muestra en la figura XXI). t  0,09  0,13 cos0,843t   0,278sen0,843t 

LIII

Conclusiones: En este documento se ha analizado la estabilidad de una versión dinámica lineal de un modelo de oferta y demanda agregadas. Hemos simulado tres casos (espiral, nodo impropio, y centro), utilizando valores adecuados de los parámetros, en los que las variables endógenas del modelo en cuestión convergen a un punto de equilibrio estacionario (de forma cíclica o monótona según sea el caso), tanto para el caso de espiral como para el caso de nodo impropio. Sin embargo, para el caso de un centro marginalmente estable, las variables endógenas se mantienen oscilando alrededor de su valor de equilibrio estacionario (sin alejarse ni acercarse a él). Asimismo, se ha analizado para los casos de espiral y nodo impropio el efecto de una perturbación externa no anticipada (shocks de política monetaria, de política fiscal, y de oferta), encontrándose que el modelo resulta dinámicamente estable (esto es, luego que el modelo ha sido alejado de su situación de equilibrio estacionario por la perturbación, éste retorna a un nuevo punto de equilibrio). Finalmente, resaltar que el modelo podría presentar un comportamiento dinámicamente inestable para valores de los parámetros que no cumplan las condiciones de estabilidad establecidas en los tres casos aquí analizados.

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Mankiw, G. (2005): “Macroeconomics”, Worth Publishers. Seventh Edition. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition. Shone, R. (2003): “An Introduction to Economic Dynamics”, Cambridge University Press. First Edition (Virtual Publication).

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Modelo de inflación en una economía cerrada En este capítulo analizamos un modelo dinámico de inflación en una economía cerrada en la que únicamente existen dos mercados: un mercado de bienes y servicios y un mercado de dinero. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, se efectúa una simulación numérica de tres casos en los que el punto de equilibrio estacionario del sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento dinámico del modelo es (una espiral, un nodo impropio, o un centro) estable. Finalmente, para los dos primeros casos, se realiza el análisis de perturbaciones de carácter nominal (incrementos en el stock nominal de dinero). Supuestos del modelo: 1.

El mercado de dinero siempre permanece en equilibrio. Esto implica que en cada instante la oferta real de dinero debe ser igual a la demanda real de dinero.

LM :

Lo M t , Pt  

 Ld Yt , i t   Yt e  i t

Mt Pt

1

Dónde Yt es la producción real de bienes nacionales. i t representa la tasa de interés nominal. M t es el stock nominal de dinero. Pt es el índice de precios

expresado en unidades monetarias unidades reales de consumo. M t Pt es el stock real de dinero expresado en unidades reales de consumo.  es la elasticidad de los saldos reales de dinero respecto de la producción real, y  es la semielasticidad de los saldos reales de dinero respecto a la tasa de interés nominal. Siendo:



M t

Yt

Pt 



M t Pt  Yt





ln M t Pt 


ln Yt 

i t

2

3

Aplicando logaritmos neperianos a (1) se tiene:

 Mt ln   P  t





   ln Yt e  i t   ln Yt  i t  

ln M t   ln Pt    ln Yt   i t

Si hacemos:

y t  ln Yt 

4

5

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo de la producción (crecimiento económico) será: 



y t  Y t Yt

6

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Si hacemos:

m t  ln M t 

7

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo del dinero será: 

mt 



Mt Mt

p t  ln Pt 

Asimismo, si hacemos:

8

9

Entonces la tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios (inflación) nacional será: 

pt 



Pt Pt

10

Reemplazando (5), (7), y (9) en (4) se tiene que el mercado de dinero viene caracterizado por una típica curva LM: LM :

2.

m t  p t  y t  i t

11

Se supone que existen expectativas racionales sobre la inflación. Además, dado que este modelo es determinista, el supuesto de expectativas racionales equivale a suponer previsión perfecta1 sobre las expectativas de inflación. Es decir, supondremos que la economía está poblada por agentes racionales con previsión perfecta. Este supuesto implica que la tasa esperada de crecimiento instantáneo del índice de precios (expresado en términos logarítmicos) sea igual al verdadero valor de la tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios (expresado en términos logarítmicos). Esto es:   e  p t  ln Pt  p t  dln Pt  dt  P t Pt    Si  e p p  e t t e e p t  ln Pt p  d ln P e dt  P t P e t t  t

 

3.

  

12

La inflación (tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios) se ajusta de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial: Y Pt   ln  t Pt  Yt 

   ln Yt   ln Yt ; 

1

0

13

La previsión perfecta implica que el error de predicción de los agentes racionales es nulo en cada instante del tiempo. Esto es, ante una perturbación, los agentes racionales conocen sus efectos de corto y de largo plazo, y los tienen en cuenta en sus decisiones en el instante actual.

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 

Si hacemos:

14

y t  ln Yt

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del nivel de producción de pleno empleo será: 

yt 



15

Yt Yt

Por tanto, reemplazando (5) y (14) en (13) se tiene: p t  y t  y t  

16

Dónde  es la velocidad de ajuste, no instantánea, del índice de precios (en términos logarítmicos) ante las diferencias entre el nivel de producción y el nivel de producción a pleno empleo (expresadas en términos logarítmicos). La ecuación (16), una versión dinámica de la curva de Phillips, determina la inflación y nos dice que si el nivel de actividad económica se encuentra por encima del nivel de equilibrio, y t  y t , entonces los precios se elevarán (inflación por demanda: el exceso de demanda por bienes y factores hará que se incrementen los costos y los precios). 4.

La demanda agregada, se supone que es afectada inversamente por la tasa de interés nominal y directamente por la tasa esperada de crecimiento instantáneo del índice de precios (inflación esperada)2.

Ytd  e

IS :

 e    0  1  i t  P t Pte       

17 

Dónde  0 es el componente autónomo de la demanda agregada (que incluye el gasto público), 1 es la semielasticidad de la demanda agregada de bienes respecto e

e t

a la tasa de interés nominal, i t , P el índice de precios esperado, P t es la tasa e

esperada de cambio instantáneo del índice de precios, y P t Pte es la tasa esperada de crecimiento instantáneo del índice de precios (inflación esperada). Siendo:

1  

  

 ln Ytd


  d t

ln Y

18

i t

 0  1  i t  P et     ln e  

2

 Pte    

   

19

Este modelo difiere de la versión dinámica del modelo IS-LM por dos razones: En primer lugar, en el modelo IS-LM los precios permanecen rígidos en el tiempo mientras que aquí no. En segundo lugar, en el modelo IS-LM dinámico la demanda agregada no depende de las expectativas de inflación, mientras que en este modelo sí.

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  d t

ln Y

e    0  1  i t  P t Pte  20  

  21

Si hacemos:

y dt  ln Ytd

Entonces la tasa de crecimiento instantánea de la demanda agregada de bienes y servicios será: d

yt 

 d

22

Yt

Ytd


e  y dt  0  1  i t  p t   

23

La ecuación (23) es una IS en términos logarítmicos en la que el nivel de la demanda agregada depende de su componente autónomo,  0 , y de la tasa de interés e

real, rt  i t  p t . 5.

La producción real se ajusta de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial:  Ytd   ln  Y Yt  t 

Yt

  

Reemplazando (6), (5) y (14) en (13) se tiene: 



    ln Ytd  ln Yt   





y t   y dt  y t ;

0

25

24

Dónde  es la velocidad de ajuste, no instantánea, de la producción (en términos logarítmicos) ante los excesos de demanda u oferta de la economía. La ecuación (25) nos dice que la producción expresada en términos logarítmicos (la tasa de crecimiento de la economía) se ajusta con lentitud a los desequilibrios entre la demanda y oferta agregadas. 6.

Todos los parámetros del modelo son positivos.

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Resolución del modelo:

En este modelo las variables exógenas son: 0 , m t , y t . Mientras que las variables endógenas son: y dt , p t , i t , y t . Para resolver este modelo vamos a suponer que las variables endógenas de referencia son p t y y t . Por tanto, ahora deberemos determinar las ecuaciones diferenciales para dichas variables. Para obtener las dos ecuaciones diferenciales que van a determinar el comportamiento dinámico de nuestra economía, tenemos que sustituir en las ecuaciones de ajuste de las variables endógenas de referencia [nivel de precios (16) y nivel de producción (25) expresados en logaritmos neperianos] el resto de variables endógenas [la tasa de interés (obtenida a partir de (11) y el nivel de demanda agregada (23) expresada en términos logarítmicos]. En el caso de la ecuación diferencial para el nivel de precios (en términos logarítmicos), no aparecen dichas variables, por lo que la primera ecuación diferencial es exactamente igual a la ecuación (16) que proporciona el modelo, esto es: p t   y t  y t  

26

Para determinar la ecuación diferencial correspondiente a la producción, en primer lugar, vamos a despejar la tasa de interés nominal nacional de la ecuación (11):

it 

1



y t

 mt  pt 

27 

Reemplazando (12) y (27) en (23) obtenemos la demanda agregada de la economía nacional: e  1 1  y dt   0  1  y t  m t  p t   p t    0  1  y t  m t  p t   p t  28    

Sustituyendo (26) en (28) obtenemos:

m     y dt  0   1  1  y t  1 p t  1 t  1y t 29      Reemplazando (29) en (25) obtenemos: yt          m     y t   0   1  1  y t  1 p t  1 t  1y t  y t           d

            y t   1 p t   1  1  1 y t   0   1 m t   1 y t  30           

113

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En consecuencia, el sistema de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (26) y (30):

0      p  p 1   t      1     t          1   1  y t   y   t        

0   

0  1 

    0   m    1   t    y t 

31



A b      0      y     t pt    p   t  1         1    1       1           m y y  1 t 1 t    y t   0  t           

32

Análisis cualitativo Ahora vamos a determinar el punto de equilibrio del sistema (32):        m           y   p E m t , y t ,  0  p E  1 t 0  t   E      E   A b    1 1     y   y m t , y t ,  0    yt  

33

De imponer condiciones de no negatividad estricta sobre (33) resulta:  E    0     0  y t y t  0  m t        p  0  m t      1  1 1  1    yE  0  yt  0 

34

Restando y t  0 a ambos lados de la primera desigualdad de (34) se cumple que: mt 

 0 1

    y t        y t   1  

35

Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:  1    1  1   2 trA   1        1   1   2  0 A    2  1  1    trA2  4 A   2  1   1 4         

114

36

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Dado que hemos asumido que todos los parámetros del modelo son positivos, entonces en este modelo podemos encontrar cuatro casos en los que el sistema sea estable. Aquí analizaremos tres casos, a saber:  1    1   1   2  0 trA   1        1  Caso1: Espiral  A   1   2  0   2   1 1    trA2  4 A   2  1    0  1 4       

p   A  I  2  trA  A  0

37 

38

El polinomio característico viene dado por:

Los autovalores o raíces características son:

 Dado que:

trA 

trA2  4 A 2



trA   2

  0         

39

40

Por tanto:

 trA    trA  i  trA   trA 1       2 2 2 2   trA    trA  i  trA   trA      2  2 2 2 2 

Dónde:

 2



2

i    i i    i

  1    1   1  trA    0      2 2  2   1 1   2 4    1   1         0     2 2 2     2   2  A   1  0   115

42

41

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En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es una espiral estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1    i se calculará a partir de:    i     1         

v1     a   0  1    1   1    i  b 0     

De donde:    i a  b  0  a 



  i 

b

  i 

  i   i 

ba

43   i   2  2

b

44

La ecuación (44) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (43):   1    

   1   a   1   1    i  b  0      

45


  2  2    

   i  a  2    i b  0  a  b 2 2     

46

Por tanto, haciendo b  1 tenemos que:     v1    2   2  

       2  2   1

 i     

47 

Reemplazando (42) en (47) se obtiene:

  1  1     v1   21  

2      1  1          2   1 1     

1

116

  i     

48

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 El autovector v 2 asociado a  2    i se calculará a partir de:

v2      i    c   0     1  1     1      1    i  d  0         

De donde:    i c  d  0  c 



  i 

d

  i 

  i   i 

dc

49   i   2  2

d

50


   1   c   1   1    i  d  0      

51


  2  2    

   i  c  2    i d  0  c  d 2 2     

52

Por tanto, haciendo d  1 tenemos que:

    v 2    2   2  

       2  2   1

 i     

53

Reemplazando (42) en (53) se obtiene:

  1  1     v 2   21  

2      1  1          2   1 1     

1

  i     

54

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones (32). Esto es:

 p t  y t  y t  0            y t   1 p t   1  1  1 y t   0  1 m t   1 y t   0          

117

55

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De donde la ceroclina p t  0 viene dada por:

yt  yt

56



Mientras que la ceroclina y t  0 viene dada por:  trA 0  1    1  1     0  y pt    m t  y t    t    1   1

57 

Por otro lado, de la primera inecuación de (37) se tiene que:

1 1   trA   1   1  0 58  1  0  como   0  1      Multiplicando ambos lados de la desigualdad (58) por

   



1

0



1



1

 0 se cumple que:

   0 59

Teniendo en cuenta la segunda inecuación de (34) y (59), de (35) resulta que: mt 

 0 1

      y t  0  y t       1  

60

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En 

primer lugar, vamos a graficar la ceroclina p t  0. De la segunda ecuación del sistema (33) y por (55) tenemos que:

yt  yE  yt

61

Por tanto, de (61), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje de la producción (en términos logarítmicos) en y E . Además, de la primera ecuación del sistema (55), para valores de y t  y E , a la derecha de la recta vertical, que 

se aprecia en la figura 1, p t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta 

p t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo.

118

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pt  0

pt

yt

yE

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el índice de precios en términos logarítmicos 

A continuación vamos a graficar la ceroclina y t  0. De (57), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente negativa, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del índice de precios expresado en logaritmos neperianos) será 

positivo, de acuerdo a (60). Además, si estando en un punto de la ceroclina y t  0 como el punto A, el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y el nivel de producción en términos logarítmicos permanece constante, pasando a un punto encima 

de la ceroclina y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (55), al haber aumentado el valor del índice de precios en términos logarítmicos, se verifica que en un punto encima de dicha 

ceroclina, tal como el punto B, y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la producción en términos logarítmicos irá disminuyendo. En consecuencia, 

encima de la ceroclina y t  0, tal como se aprecia en la figura 2, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de 

izquierda a derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que y t  0. 

Por otro lado, tal como se aprecia en la figura 2, encima de la ceroclina y t  0, al ser 

y t  0, de acuerdo a (25), existe un exceso de oferta de bienes y servicios (EOByS). Por 



el contrario, debajo de la ceroclina y t  0, al ser y t  0, conforme a (25), existe un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS). Superponiendo las ceroclinas del índice de precios en términos logarítmicos y de la tasa de la producción en términos logarítmicos, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el punto de equilibrio es una espiral convergente.

119

CIRO BAZÁN


pt pB

B

pA

A



EOByS: y t  0 

yt  0



EDByS: y t  0

yA  yB

yt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de producción en términos logarítmicos

pt



pt  0

EOByS

EOByS

pE EDByS

E

EOByS 

EDByS

p0

I

yE

yt  0

y0

yt

Figura 3: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I del plano de fase, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (espiral) y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. En el corto y mediano plazos, tanto la producción como el índice de precios (ambos expresados en términos logarítmicos) tendrán un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio estacionarios. Además, se observa que en el trayecto que va desde del punto I al punto E, en determinados tramos, la economía presenta periodos en los que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), en otros tramos la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), en otras etapas la economía experimenta una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), y en otras partes la economía entra en una fase de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye). A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico (expansión-estanflaciónrecesión-recuperación) se repetirá, hasta que la economía alcance su valor de equilibrio estacionario (E), pero cada vez con menor amplitud (cada fase del ciclo económico, con el devenir del tiempo, se presentará más amortiguada). 120

CIRO BAZÁN


Análisis cuantitativo El comportamiento de la producción y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, vienen dados por:

p t  p E  e  E y t  y 

1   1     1    t 2

2    1  1    2   1     1   4       h 1 cos t     2         

2    1 1    2    1   1   4        t  h 2 sen    2      

62

Dónde:     h1  c1  v1  c 2  v 2      h 2  c1  v1  c 2  v 2 i

63


 2     1  1   c  c      1  1    c  c i  2 2   h    1  1  1  21 21    1      c1  c 2       2        1  1    c  c    1  1   c  c i  2  2 h     1   1 21 21     2   1      c1  c 2 i     

64

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por p 0 , y 0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (62), se tiene que:

 p  p E  h1   0 E y0  y 

121

65

CIRO BAZÁN



c1  c 2  y 0  y E   1     c  c i   2  1   

 1    y 0  y E   p 0  p E   21   1  1        21  1   

2

66


    y 0     1       h2     1         

  p 0  p E       2    1  1         1  21      1    y 0  y E   p 0  p E     21   2    1  1          1  21   1  1    yE     21 

67 


pt  pE  e          1     

1      1  1     t 2



2     1 1    2    4 1          1        p 0  p E cos t     2         





  2     1  1    E 2  p0  p   1     1   4          sen t 68    2 2    1  1               21  1    



  1  1    y0  yE     21  





122

CIRO BAZÁN

yt  yE  e


1   1     1     t 2

   1        

2     1 1    2    4 1          1       y 0  y E cos t     2         

  2     1     1 1    E E 2 y 0  y   p 0  p    1    4 1      21         sen t    2 2    1  1               21  1    

69

Dónde p E y y E vienen dados por (33). Reemplazando (68) y (69) en (27) obtenemos el comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de interés nominal. Asimismo, reemplazando (68), (69) y la derivada respecto del tiempo de (68) en (29) se obtiene el comportamiento a lo largo del tiempo de la demanda agregada de la economía. En la figura 4 se puede apreciar el comportamiento del índice de precios, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento del índice de precios es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario. pt

pE

p0

t

Figura 4: Comportamiento del índice de precios en términos logarítmicos a lo largo del tiempo En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la producción en logaritmos neperianos a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la producción es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.

123

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TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA yt

y0

yE

t

Figura 5: Comportamiento de la producción en términos logarítmicos a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, en logaritmos neperianos, 

entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina y t  0, ya que la 

ceroclina p t  0, no depende de m t . De (55), se aprecia que al aumentar m t , entonces 

la intersección de la ceroclina y t  0 con el eje vertical se incrementa. Por tanto, 

debido al incremento en m t , la ceroclina y t  0 se desplazará hacia arriba sin 

modificar su pendiente y la ceroclina p t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 6.

Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 6 que el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), en el largo plazo, provocará únicamente un incremento en el índice de precios, en logaritmos neperianos, de la economía. Ya que el incremento del stock de dinero es de carácter nominal, entonces éste no tendrá efectos de largo plazo sobre la producción de la economía (expresada en términos logarítmicos) que es de carácter real. En consecuencia, la perturbación monetaria sólo producirá inflación en el largo plazo. De manera análoga, podemos verificar lo anterior determinando las derivadas estático comparativas de las componentes del nuevo equilibrio estacionario, E1, respecto a un incremento en el stock nominal de dinero, en términos logarítmicos, ceteris paribus. Derivando (33) respecto de m t , se tiene que:

 p E   m t  y E   m t

    1   0  

124

70

CIRO BAZÁN


Se puede apreciar que la derivada del índice de precios (expresado en logaritmos neperianos) en el equilibrio estacionario respecto al stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, es positiva e igual a la unidad. Esto nos dice que en el largo plazo el índice de precios (expresado en logaritmos neperianos) se incrementará en el mismo porcentaje en que se ha incrementado el stock nominal de dinero (expresado en logaritmos neperianos). Es decir, tal como señala la teoría cuantitativa del dinero, en el largo plazo la inflación resulta ser un fenómeno monetario. Por otro lado, la derivada de la producción en el estado de equilibrio estacionario respecto al stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, es nula. Esto nos dice que en el largo plazo la producción (expresada en logaritmos neperianos) no se ve afectada por el incremento del stock nominal de dinero (expresado en logaritmos neperianos). Sin embargo, esto no implica que en el corto y mediano plazos dicho incremento no afecte a la producción (en términos logarítmicos). Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, en determinados tramos, la economía presenta periodos en los que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), en otros tramos la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), en otras etapas la economía experimenta una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), y en otras partes la economía entra en una fase de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye). A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico (expansión-estanflación-recesión-recuperación) se repetirá, hasta que la economía alcance su nuevo valor de estado estacionario (E1), pero cada vez con menor amplitud (cada fase del ciclo económico, con el transcurrir del tiempo, se presentará más amortiguada). 

pt  0

pt EOByS

EOByS

E1

E 1

p

y t  0 m1  

EOByS

EDByS

EDByS

y t  0 m 0  

p 0E

E0

y y y E 0

yt

E 1

Figura 6: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos 125

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Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso I, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (37). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I. Parámetros

Valores 0,2 0,02 0,5 0,02 90

ϕ µ θ 

1

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 0

y0

Valores 100 2500 200

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (32) resulta: b A          0 p 4 0 , 02    t    p t         y   36  0,56  y t  4028   t 

I 


    0 p 0 , 02  4 0        p p t  0  y t  200 t t              y   36  0,56  y t  4028  0   t  y t  0  p t  0,015 y t  111,8

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:   p E  108,7 III   E    y   200  Mientras que por (37), tenemos que:

trA  0,56  0   A  0,72  0   2,5664  0 

126

IV

II

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En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I). 500 400 300 yt ' =0 (m0 =100)

200

E

pt

100 0 -100 -200 -300 -400 pt ' =0

-500 -6000

-4000

-2000

0 yt

2000

4000

6000

Figura I: Retrato de fase del sistema En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (I) con las siguientes condiciones iniciales: p0 , y0   500;1000. 500 (y0,p0) 400 300 yt ' =0 (m0=100) 200 100

pt

E 0 -100 -200 -300 -400 -500

pt ' =0 -10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

Figura II: Diagrama de fase del sistema m0 yt

127

2000

 100

4000

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (67) y (68) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (I).   p t  108,7  e 0, 28t 391,2 cos0,8t   156,732sen0,8t   (V)  0, 28t        y 200 e 800 cos 0 , 8 t 17862 , 686 sen 0 , 8 t     t





pt

500

400

pt

300

200

100

0

0

5

10

15 t

20

25

30

5000

yt

0

-5000

yt

-10000

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura III: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos

128

CIRO BAZÁN


Simulación del Shock de política monetaria expansiva: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m0  100 a m1  101, el sistema (32) resulta: b A           0 p  0 , 02 4      p t t         y   36  0,56  y t  4064   t 

VI 

Las ceroclinas del sistema (VI) vienen dadas por:

    0 p  0 , 02 4 0        p t  0  y t  200 t  p t    VII             y   36  0,56  y t  4064  0   t y t  0  p t  0,015y t  112,8

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (VI) vendrá dado por:   p E1  109,7 E1   E     VIII  1 y 200     Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos. En las figuras IV y V se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (VI) teniendo como punto de partida el punto de equilibrio  estacionario antes de dicho incremento, esto es: E0  p0 , y0   108,7;200 .





pt ' =0 111

110.5

110 E1

pt

yt ' =0 (m0=101) 109.5

109 E0

108.5

yt ' =0 (m0=100)

108

pt ' =0 190

195

200

205

210 yt

215

220

Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1 129

 101

225

230

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros (con m1  101 ), E0 y E1 en (67) y (68) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (VII).   p t  109,7  e 0, 28t 390,2 cos0,8t   156,382sen0,8t   (IX)  0, 28t  800 cos0,8t   17817,742sen 0,8t  y t  200  e





110.2

110

109.8

pt

109.6

109.4

109.2 pt

109

108.8

0

5

10

15 t

20

25

30

230

225

220 yt

yt

215

210

205

200

195

190 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura V: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus 130

CIRO BAZÁN



 1    1  1   2  0 trA   1        1  1   2  0 Caso2: Nodo impropio  A    2   1 1  2 2          trA 4 A 1 0    4  1     

71

Teniendo en cuenta que   0 y que A  0, entonces resulta que:

    trA   2 2   1 1  1     0  2  1   1   2  1   1  4           2

trA      2

   

 1 1 1     0  1  4   1   1   2  1         2

2

2

 trA     2  1 1 1     0  1  4  1   1   2  1        

    trA   2  1 1 1      0   trA   1  4   1   1   2  1        

  0 72

De (72) resulta que:

1 1  1 1        1   2  1   1  4   1   1 0   1            2

0  trA    trA 73


trA     0  trA    2      0  trA    0 74

131

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En este caso, de (39) y teniendo en cuenta (73) y (74) resulta que: 2  1 1  1     2   1   1    1   1  4  trA           0  1  2 2   2 1 1  1    2    1   1    1   1  4  trA           2   0  2 2    2   1  0

75


 El autovector v1 asociado a  1 se calculará a partir de:   1    1     

  

 1

   a   0     1   1  1  b 0      v1

De donde:

 1a  b  0  a  De (75), reemplazando 1 en (77) se obtiene: a

2

trA  

b



1

b



2 trA  

trA2  

76

77 

b

78

De (71), reemplazando trA y  en el denominador de (78) resulta:

a



2 trA   4 1

 b  trA    b 2 1

79

La ecuación (79) es equivalente a la segunda ecuación del sistema (76):   1    

   1   a   1   1  1  b  0      

132

80

CIRO BAZÁN


Reemplazando (71) en (80) se tiene que:   1    

  a  trA  1 b  0  a  trA  1 b  1 

81

De la primera ecuación de (75) resulta: trA  

1 

 trA  21  

2



 b

Reemplazando (82) en (81) se obtiene: a

 trA   2 1

Por tanto, haciendo b  1 tenemos que:



 1



   b 1



   1      v1    1    1  

82

83

84

Reemplazando (71) y (75) en (84) se obtiene: 2     1 1 1     2      1 1 4           1 1                 v1    1  2        1  El autovector v 2 asociado a  2 se calculará a partir de:

  2    1     

  

 1

   c   0     1   1   2  d  0    

133

 v2

          

  2     1   1 0

86

 0  85  

CIRO BAZÁN


De donde:

  2 c  d  0  c  De (75), reemplazando  2 se obtiene:

c

2

trA  

d



2

87

d



2 trA  

trA2  

d

88

De (71), reemplazando trA y  en el denominador de (88) resulta:

c



2 trA   41

 d  trA    d

89

2 1

La ecuación (89) es equivalente a la segunda ecuación del sistema (86):   1    

   1   c   1   1   2  d  0      

90

Reemplazando (71) en (90) se tiene que:   1    

  c  trA   2 d  0  c  trA   2 d  1 

De la segunda ecuación de (75) resulta: 2 



trA   2

 trA  2 2  

 d

Reemplazando (92) en (91) se obtiene: c

 trA   2 1

Por tanto, haciendo d  1 tenemos que:



 1





2



   2      v 2    1    1  

134



  d

94

92

93

91

CIRO BAZÁN


Reemplazando (75) en (94) se obtiene:       v 2    1    

2    1 1 1     2   1  4  1    1    1           2   

1

             1 1     1  0   

 0  95  

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir de (32). Esto es:

 p t  y t  y t  0   1 1     1  p t   1   1 y t   0  m t   1 y t  0  y t          

96



De donde la ceroclina p t  0 viene dada por: yt  yt

97



Mientras que la ceroclina y t  0 viene dada por:  trA 0  1    1  1     0  y pt    m t  y t    t    1   1

98



yt  yE  yt

99

Por tanto, de (99), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje de la producción (en términos logarítmicos) en y E . Además, de la primera ecuación del sistema (96), para valores de y t  y E , a la derecha de la recta vertical, que 

se aprecia en la figura 7, p t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta 


135

CIRO BAZÁN


pt



pt  0

yt

yE

Figura 7: Equilibrio dinámico parcial para el índice de precios en términos logarítmicos 

A continuación vamos a graficar la ceroclina y t  0. De (98), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente negativa, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del índice de precios expresado en logaritmos neperianos) será 

positivo, de acuerdo a (60). Además, si estando en un punto de la ceroclina y t  0 como el punto A, el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y el nivel de producción en términos logarítmicos permanece constante, pasando a un punto encima 

de la ceroclina y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (96), al haber aumentado el valor del índice de precios en términos logarítmicos, se verifica que en un punto encima de la ceroclina 



y t  0, tal como el punto B, y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la producción en términos logarítmicos irá disminuyendo. En consecuencia, encima 

de la ceroclina y t  0, tal como se aprecia en la figura 8, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a 

derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que y t  0.

Superponiendo las ceroclinas del índice de precios en términos logarítmicos y de la tasa de la producción en términos logarítmicos, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 9. Como puede apreciarse en este modelo dinámico,  las trayectorias de fase son tangentes a la línea de acción del autovector V1 . Para     comprobar esto vamos a considerar la solución general X t  X E  c1e t V1  c 2e t V2 donde λ1 y λ2 son autovalores reales, distintos y negativos, y sus autovectores asociados son   V1 y V2 . Ya que  2  1  0, cuando t   se verificará que e 1 t  e  2 t . Por tanto,  cuando t   la solución tenderá a alinearse con c1e 1t V1 , esto es, en el largo plazo    tendremos que X t  X E  c1e  t V1. Pero, dado que cuando t  , resulta que 1

2

1

e 1t  0 y e  2 t  0,

entonces se tiene que en el largo plazo X t  X E independientemente de los valores de c1 y c 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán  al punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del autovector V1 .

136

CIRO BAZÁN


pt pB

B

pA

A



EOByS: y t  0



EDByS: y t  0



yt  0

yA  yB

yt

Figura 8: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de producción en términos logarítmicos En este caso se tendrá un nodo impropio estable tal como el de la figura 9. De particular  interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 , entonces c 2  0 y  el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si el punto inicial  se encuentra justo sobre V2 , entonces c1  0 y el sistema se mueve a lo largo de la línea  de acción de V2 , aproximándose al punto de equilibrio en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable.

pt



yt  0



pt  0

EDByS  v 2 EOByS  v1

EOByS

E

EDByS

I

p0

EDByS

EOByS

y

E

y0

Figura 9: Retrato de fase de la economía

137

yt

CIRO BAZÁN


Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 9, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. Asimismo, en la figura 9 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la economía presenta un periodo (entre el punto I y 

el punto de intersección de la senda celeste con la ceroclina p t  0 ) en el que la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), otro 

periodo (entre el punto de intersección de la senda celeste con la ceroclina p t  0 y el 

punto de intersección de la senda celeste con la ceroclina y t  0 ) en el que la economía entra en una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), y por último, la economía entra en un periodo (entre el punto 

de intersección de la senda celeste con la ceroclina y t  0 y el punto E) de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye) hasta que, en el largo plazo, alcanza su valor de estado estacionario (E). Análisis cuantitativo El comportamiento de la producción y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, vienen dados por: 



V1 V2               1  2    p t  p E  1t 2t   c 2 e   1  100  y    E   c1e   1  t  y       1   1   Xt

 XE

De donde:  2 c1 1t  1c 2  2 t  E   p p e  e t    1  1    y t  y E  c1e 1t  c 2 e  2 t 

101










  y 0  y E 1  p 0  p E  1   c1   2 c1 1c 2 E 1   2      p p   0   1  1   p 0  p E  1  y 0  y E  2   y 0  y E  c1  c 2 c 2   1   2    



138







102

CIRO BAZÁN


Reemplazando (102) en (101) se tiene que:



  y0  yE  pt  pE     











 





      1  2   p 0  p E  2   p 0  p E 1  y 0  y E   1 t    1  e   1   2 1   2      











     1  2     2t   1   e 103    



 y 0  y E  1  p 0  p E  1   t  p 0  p E  1  y 0  y E  2   t yt  yE   e 1   e 2                 1 2 1 2 De (71) resulta:







  y0  yE   2 p0  pE pt  pE   1   2 









 e  

1t



 

 1 p 0  p E   y 0  y E  1   2 







 e



 

2t

104

105

 y 0  y E  1  p 0  p E  1   t  p 0  p E  1  y 0  y E  2   t yt  y   e 1    e 2 106 1   2  1   2      E

Dónde p E y y E vienen dados por (33). Reemplazando (105) y (106) en (27) obtenemos el comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de interés nominal. Asimismo, reemplazando (105), (106) y la derivada respecto del tiempo de (105) en (29) se obtiene el comportamiento a lo largo del tiempo de la demanda agregada de la economía. En la figura 10 se pueden apreciar algunos plausibles comportamientos del índice de precios, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento del índice de precios es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. pt

pE

t

Figura 10: Comportamiento del índice de precios en términos logarítmicos a lo largo del tiempo

139

CIRO BAZÁN


En la figura 11 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la producción, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la producción es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. yt

yE

t

Figura 11: Comportamiento de la producción en términos logarítmicos a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 12), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, en logaritmos neperianos, 

entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina y t  0, ya que la 

ceroclina p t  0, no depende de m t . De (55), se aprecia que al aumentar m t , entonces 

la intersección de la ceroclina y t  0 con el eje vertical se incrementa. Por tanto, 

debido al incremento en m t , la ceroclina y t  0 se desplazará hacia arriba sin 

modificar su pendiente y la ceroclina p t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 12.

Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 12 que tras el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), en el largo plazo, provocará únicamente un incremento en el índice de precios, en logaritmos neperianos, de la economía. Ya que el incremento del stock de dinero es de carácter nominal, entonces éste no tendrá efectos de largo plazo sobre la producción de la economía (expresada en términos logarítmicos) que es de carácter real. En consecuencia, al igual que en el caso 1, la perturbación monetaria sólo producirá inflación en el largo plazo.

140

CIRO BAZÁN


Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 12 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria dada por la curva de fase de color azul. Asimismo, en la figura 12 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, la economía presenta un periodo (entre E0 y A) en el que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), y otro tramo (entre A y E1) en el que la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), hasta que la economía, en el largo plazo, alcanza su nuevo valor de estado estacionario (E1). 

pt  0

pt

E1

p1E y t  0 m 0  

A

y t  0 m1  

E0

p 0E

y y y E 0

yt

E 1

Figura 12: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos

141

CIRO BAZÁN


Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso II, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (71). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla III. Parámetros

Valores 0,3 0,02 0,5 0,05 60

ϕ µ θ 

1

Tabla III: Valores de los parámetros simulados En la tabla IV se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 0

y0

Valores 100 2100 2000

Tabla IV: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (32) resulta: b A           0 p  0 , 02 40      t  p t          y   36  1,74  y t  3510   t 

X 

Las ceroclinas del sistema (X) vienen dadas por:

    0 p  0 , 02 40 0        p p t  0  y t  2000 t  t             y   36  1,74  y t  3510  0   t y t  0  p t  0,0483y t  97,5

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:   p E   0,83   XII  E    y  2000 Mientras que por (71), tenemos que:

trA  1,74  0   A  0,72  0   0,1476  0 

142

XIII

XI

CIRO BAZÁN


En la figura VI se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (X). pt ' =0 500 400 300 200 100 E

pt

0 -100 -200 -300

yt ' =0 (m0=100) -400 -500 -6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

yt

Figura VI: Retrato de fase del sistema En las figuras VII y VIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (X) con las siguientes condiciones iniciales: p0 , y0   500;1000. (y0,p0)

pt ' =0

500 400 300 200

pt

100 E

0 -100 -200 -300

yt ' =0 (m0=100) -400 -500 -6000

-4000

-2000

0

2000

4000

Figura VII: Diagrama de fase del sistema m0 yt

143

6000

 100

8000

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (105) y (106) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (X).  0 , 678t   828,73e 1,062t p t  0,83  1327,9e (XIV)  0 , 678t   44009,52e 1,062t y t  2000  45009,52e

500 450 400 350 300

pt

pt 250 200 150 100 50 0

0

5

10

15 t

20

25

30

2000 1000 0

yt

-1000

-2000 yt -3000 -4000 -5000 -6000 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura VIII: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos

144

CIRO BAZÁN


Simulación del Shock de política monetaria expansiva: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (X), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m0  100 a m1  101, el sistema (32) resulta: b A           0 0,02  p t    40   p t          y   36  1,74  y t  3546   t 

XV

Las ceroclinas del sistema (XV) vienen dadas por:

    0 p  0 , 02 40 0        p p t  0  y t  2000 t  t   XVI            y   36  1,74  y t  3546  0   t y t  0  p t  0,0483y  98,5

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XV) vendrá dado por:   p E1   1,83  E1   E     XVII  1  y  2000 Mientras que los valores dados por (XIII) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos. En las figuras IX y X se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (XV) teniendo como punto de partida el punto de  equilibrio estacionario antes de dicho incremento, esto es: p0 , y0   0,83;2000 .



1.8



E1

yt ' =0 (m0=100)

1.7 1.6 1.5

pt

1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9

yt ' =0 (m0=101)

E0 0.8 pt ' =0 1980

1985

1990

1995

2000

2005 yt

2010

2015

2020

Figura IX: Diagrama de fase del sistema m1 145

2025

 101

2030

CIRO BAZÁN


Sustituyendo los parámetros (con m1  101 ), E0 y E1 en (105) y (106) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (XV).  0, 678t   826,97e 1,062t p t  1,83  1325,13e (XVIII)  0, 678t 1, 062t     y 2000 44915 , 82 e 43915 , 82 e  t 1.8

1.6

pt

1.4 pt 1.2

1

0.8 0

5

10

15 t

20

25

30

2016 2014 2012

yt

2010 yt

2008 2006 2004 2002

2000

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura X: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus 146

CIRO BAZÁN



 1 1   1  0  1  0  1  trA   1        1  0 Caso3: Centro  A     1 2 0   trA  4 A  4   

         1  

107 

Sustituyendo la primera condición de (107) en (33) y en (35) respectivamente, resulta:               y t  m t   0  y t   p E  m t   0           E   1       1   1 y      yt yt     pE  mt 

0 1

 y t  0

108

109

De acuerdo a (41), los autovalores o raíces características son:   trA   trA 1  i    i  i    2 2 2   trA  i   trA   trA i    i  i     2  2 2 2 2 

Dónde:

trA  0   2           2 2 

1

 0   1 



 2 

110

111

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es nula,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un centro marginalmente estable.

 El autovector v1 asociado a 1  i se calculará sustituyendo la primera condición de (107) y   0 en (43), de donde:   i    1     

v1     a   0   i  b  0  

   

147

112

CIRO BAZÁN


De donde:  i a  b  0  a 



i 

b

 i 

i  i 

ba

i 

b

113


i   a  i b  0  a   b   1 

114

Sustituyendo  1 , dado por (111), en (114) resulta: a

i   2

Por tanto, haciendo b  1 tenemos que:

b

     v1       1

i 

 i     

b

115

116

Reemplazando , dado por (111), en (116) se obtiene:

     i       v1   1        1  

117 

  El autovector v 2 asociado a  2  i será el conjugado de v1 , esto es:     i     v 2    1       1  

118

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones (32), teniendo en cuenta la primera condición de (107). Esto es:

 p t  y t  y t  0     1  p t   0  1 m t   1 y t  0  y t         148

119

CIRO BAZÁN


De donde la ceroclina p t  0 viene dada por: yt  yt

120 

Teniendo en cuenta (109), de la segunda ecuación de (119), la ceroclina y t  0 viene dada por: pt 

0 1

 m t  y t  p E  0

121



yt  yE  yt

122

Por tanto, de (122), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje de la producción (en términos logarítmicos) en y E . Además, de la primera ecuación del sistema (119), para valores de y t  y E , a la derecha de la recta vertical, 

que se aprecia en la figura 13, p t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta 


pt



pt  0

yE

yt

Figura 13: Equilibrio dinámico parcial para el índice de precios en términos logarítmicos

149

CIRO BAZÁN


A continuación vamos a graficar la ceroclina y t  0. De (121), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente nula, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del índice de precios expresado en logaritmos neperianos) será positivo e igual a p E , de acuerdo a (109). Además, si estando en un punto de la 

ceroclina y t  0 como el punto A, el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y el nivel de producción en términos logarítmicos permanece constante, 

pasando a un punto encima de la ceroclina y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (119), al haber aumentado el valor del índice de precios en términos logarítmicos, se verifica que 



en un punto encima de la ceroclina y t  0, tal como el punto B, y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la producción en términos logarítmicos irá 

disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina y t  0, tal como se aprecia en la figura 14, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Por debajo de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región del plano de 

fase se verifica que y t  0.

Superponiendo las ceroclinas del índice de precios en términos logarítmicos y de la tasa de la producción en términos logarítmicos, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 15. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el punto de equilibrio es un centro (elipse) marginalmente estable.

pt

EOByS B

pB



yt  0

A

pE

EDByS

yA  yB

yt

Figura 14: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de producción en logaritmos

pE p0



pt

pt  0 C

D

EOByS EOByS E EDByS EDByS

B



yt  0

I

F

y

E

y0

Figura 15: Retrato de fase de la economía 150

yt

CIRO BAZÁN


Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 15, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (elipse) y se mantendrá girando por siempre alrededor del punto de equilibrio estacionario E, siempre que no haya ningún shock aleatorio. Además, en la figura 15 se observa que en el trayecto que va desde del punto I al punto B, la economía presenta un periodo en el que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), entre el punto B y el punto C la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), entre el punto C y el punto D la economía experimenta una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), entre el punto D y el punto F la economía entra en una fase de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye). A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico (expansiónestanflación-recesión-recuperación) se repetirá por siempre, siempre que no haya ningún shock aleatorio. Análisis cuantitativo El comportamiento de la producción y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, vienen dados por:   pt  pE      h cos   1 E   y t  y   

Dónde:

 1   t  h 2sen     

    h1  c1  v1  c 2  v 2      h 2  c1  v1  c 2  v 2 i

1  t    

123

124

Reemplazando (117) y (118) en (124) resulta:       c1  c 2 i  h 1     1       c1  c 2           c1  c 2   h 2    1       c1  c 2 i    

125


  p0  pE  h1   E  y0  y  151

126

CIRO BAZÁN



c1  c 2  y 0  y E   p0  pE      c c i  1 2     1 



   127


    y0  y E     1    h 2    p  p E   0         1  

128






 1  p t  p E  p 0  p E cos t     



 1

y

0



 1   y E sen t  129    

  1    1  p 0  p E  y t  y  y 0  y  cos t  sen t            1 E

E

130

Dónde p E y y E vienen dados por (108). Reemplazando (129) y (130) en (27) obtenemos el comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de interés nominal. Asimismo, reemplazando (129), (130) y la derivada respecto del tiempo de (129) en (29) se obtiene el comportamiento a lo largo del tiempo de la demanda agregada de la economía. En la figura 16 se puede apreciar el comportamiento del índice de precios, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se ve que dicho comportamiento es oscilante (de amplitud constante: Ap) alrededor de p E .

Figura 16: Comportamiento temporal del índice de precios en logaritmos 152

CIRO BAZÁN


En la figura 17 se aprecia el comportamiento de la producción en logaritmos neperianos a lo largo del tiempo. Se ve que dicho comportamiento es oscilante (de amplitud constante: Ay) alrededor de y E .

Figura 17: Comportamiento de la producción en términos logarítmicos a lo largo del tiempo Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso III, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (107). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla V. Parámetros

Valores 0,2 0,02 0,5 0,005 100

ϕ µ θ 

1

Tabla V: Valores de los parámetros simulados En la tabla VI se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 0

y0

Valores 100 2500 200

Tabla VI: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (32) resulta: b A            0 0,02  p t    4   p t     0   y t  4420   y   40  t Las ceroclinas del sistema (XIX) vienen dadas por: 



XIX

    0 p 0 , 02 4 0         p t  0  y t  200 t  p t            0   y t  4420  0   y   40  t y t  0  p t  110,5

153

XX

CIRO BAZÁN


Asimismo, por (108), el punto de equilibrio del sistema (XIX) vendrá dado por:  p E  110,5  E     y   200 

XXI


trA  0   A  0,8  0   3,2  0 

XXII

En la figura XI se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (XIX). 500

400

300

200 yt ' =0 (m0=100) pt

100

E

0

-100

-200

-300 pt ' =0 -1.5

-1

-0.5

0 yt

0.5

1

1.5 4

x 10

Figura XI: Retrato de fase del sistema En las figuras XII y XIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (XIX) con las siguientes condiciones iniciales: p0 , y0   500;1000. (y0,p0) 500

400

300

200

pt

yt ' =0 (m0=100) 100

E

0

-100

-200

-300 pt ' =0 -1.5

-1

-0.5

0 yt

0.5

1

Figura XII: Diagrama de fase del sistema m0 154

1.5

 100

4

x 10

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Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (129) y (130) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (XIX). p t  110,5  389,5 cos0,894t   17,89sen0,894t  (XXIII)  y t  200  800 cos0,894t   17418,97sen 0,894t 

pt 500 400 300

pt

200 100 0 -100 -200 -300 0

5

10

15 t

20

25

30

4

x 10 2

yt

1.5

1

yt

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XIII: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos

155

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Conclusiones: Este sencillo modelo dinámico de inflación en una economía cerrada nos ha permitido analizar las diversas trayectorias que siguen las variables endógenas del modelo a lo largo del tiempo hasta alcanzar el equilibrio estacionario (para los dos primeros casos: espiral y nodo impropio) partiendo de un desequilibrio inicial. También se ha analizado el comportamiento dinámico de las trayectorias de las variables endógenas para el caso de un centro marginalmente estable en el que dichas variables se mantienen oscilando alrededor de su valor de equilibrio estacionario (sin alejarse ni acercarse a él). Asimismo, para los dos primeros casos, se ha estudiado el efecto que tendría un incremento del stock nominal de dinero sobre la economía encontrándose ésta en una situación de equilibrio estacionario. Para estos casos, se comprobó que las variables endógenas del modelo convergen en el largo plazo a un nuevo punto de equilibrio tras la perturbación (para el caso de espiral convergente las variables endógenas convergen a su estado estacionario de forma cíclica). Además, es importante resaltar que en este documento sólo se han analizado los casos en los que los valores de los parámetros del modelo permiten que el comportamiento dinámico del mismo sea (asintóticamente o marginalmente) estable. Finalmente, como posible línea de extensión, quedaría pendiente analizar la posible caracterización del presente modelo como Clásico o Keynesiano en función de los posibles valores que pudieran adoptar las velocidades de ajuste de la producción, , y del índice de precios, . Como caso particular, sería interesante verificar que si    y   0, entonces estaríamos frente al caso extremo de un modelo Keynesiano con precios rígidos, mientras que si   0 y   , entonces estaríamos frente al caso extremo de un modelo Clásico con perfecta flexibilidad de precios.

156

CIRO BAZÁN


Argandoña, A.; Gámez, C.; y Mochón, F. (1996): “Macroeconomía Avanzada I: Modelos Dinámicos y Teoría de la Política Económica”, McGraw Hill. Primera Edición. Gandolfo, G. (1997): “Economic Dynamics”, Study Edition. Springer. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition.

157

CIRO BAZÁN


158

Modelo del Overshooting cambiario con precios rígidos a corto plazo y tipo de cambio flexible Rudiger Dornbusch fue uno de los primeros en estudiar las implicancias de las expectativas racionales en modelos macroeconómicos. En 1976, publicó un artículo en el que estudiaba un típico modelo IS-LM-BP (Equilibrio en el mercado de bienes y servicios-Equilibrio en el mercado financiero-Balanza de Pagos) de economía abierta o modelo de Mundell-Fleming consistente con la formación de expectativas racionales determinísticas (es decir, consistente con los supuestos de previsión e información perfectas) pero donde el índice de precios en el mercado de bienes y servicios se ajusta lentamente a lo largo del tiempo hacia su valor de equilibrio estacionario (de ahí la denominación de modelo monetario de la determinación del tipo de cambio con precios rígidos en el corto plazo, pero con precios flexibles en el largo plazo) y el mercado de activos financieros se ajusta instantáneamente (en este mercado Dornbusch asume que tanto la tasa de interés como el tipo de cambio nominal tienen una velocidad de ajuste infinita). El resultado fundamental del modelo de Dornbusch, radica en que a pesar de que se supone que los agentes racionales tienen previsión perfecta, el tipo de cambio nominal puede desbordar su valor de largo plazo (overshooting1). Supuestos del modelo: 1.

Economía pequeña y abierta. Este supuesto implica que la tasa de interés nominal extranjera i *t y el índice de precios en el extranjero Pt* expresado en unidad de moneda extranjera unidades reales de consumo extranjero  se podrán considerar como variables exógenas dadas (Nuestra economía, al suponerse que es pequeña, no tiene capacidad de alterar la determinación de i *t y Pt* ).

2.

La producción real de bienes nacionales, Yt , se encuentra a su nivel de pleno empleo, Yt . Esto es: Yt  Yt

1

 

Entonces, si hacemos:

y t  ln Yt   y t  ln Yt  y t  y t

3.

El mercado de dinero siempre permanece en equilibrio. Esto implica que en cada instante la oferta real de dinero debe ser igual a la demanda real de dinero.

LM :

1

2

Lo M t , Pt  

Mt Pt

 Ld Yt , i t   Yt e i t ;   0;   0

3

Se dice que una variable endógena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio exógeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de estado estacionario.

CIRO BAZÁN


Dónde Yt es la producción real de bienes nacionales. i t representa la tasa de

expresado en unidad de moneda nacional  . Pt es el índice de precios nacional expresado en unidad de moneda nacional unidades reales de consumo nacional . M t Pt es el stock real de dinero expresado en unidades reales de consumo nacional .  es la elasticidad de los saldos reales de dinero respecto de la producción real nacional, y  es la semielasticidad de los saldos reales de dinero en el mercado nacional respecto a la tasa de interés nominal nacional. Siendo:

interés nominal nacional. M t es el stock nominal de dinero en el mercado nacional



M t

Yt

Pt 



M t Pt  Yt







ln Yt 

4

5

i t

Bajo la hipótesis de índice de precios nacional rígido a corto plazo y producción real a su nivel de pleno empleo, Yt , la ecuación (3) determina la tasa de interés nominal nacional para cada nivel del stock real del dinero, M t Pt , en el mercado nacional. Aplicando logaritmos neperianos a (3) se tiene:

 Mt ln   P  t





   ln Yt e i t   ln Yt  i t  

ln M t   ln Pt    ln Yt   i t Si hacemos:

m t  ln M t 

6

7

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo del dinero será: 

mt 




Mt Mt

p t  ln Pt 

8

9

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del índice de precios (inflación) nacional será: 

pt 



Pt Pt

160

10

CIRO BAZÁN


Si ahora hacemos:

y t  ln Yt 

11

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del nivel de producción de bienes nacionales (crecimiento económico) será: 



y t  Y t Yt

12

Reemplazando (2), (7), (9) y (11) en (6) se tiene que el mercado de activos financieros viene caracterizado por una típica curva LM:

LM : 4.

m t  p t  y t  i t

13

La relación de equilibrio entre los mercados financieros nacional y extranjero viene determinada por la condición de paridad no cubierta de intereses. Esta condición implica que en mercados de capitales totalmente integrados en los que ante activos financieros con las mismas características (riesgo, liquidez y rentabilidad esperada) los agentes no muestran preferencias por activos específicos (los activos financieros internos y externos, denominados en distintas monedas, son sustitutivos perfectos) y en los que los agentes son neutrales al riesgo cambiario (no se cubren de los posibles riesgos de la variación del tipo de cambio, por lo que van a formarse expectativas sobre el tipo de cambio futuro)2, los activos financieros nacionales y extranjeros, denominados en moneda nacional y extranjera, ofrecen la misma tasa de rentabilidad esperada (movilidad perfecta de capitales3). Esto a su vez nos lleva a que la diferencia entre las tasas de interés nominal de los activos financieros nacionales y extranjeros sea igual a la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado4. Esto es: e

i t  i *t  s t Dónde, haciendo:

14

  15

s et  ln Set

Entonces tenemos que la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado viene dada por la siguiente expresión: e

st 

e

St

Set

2

16

Riesgo cambiario: variaciones del tipo de cambio afectan a la rentabilidad de los depósitos en divisas. La movilidad perfecta del capital supone que no existen barreras que dificulten la movilidad del capital (no hay barreras contra la inversión) y que los inversores son neutrales al riesgo cambiario. Asimismo, una movilidad perfecta del capital implica que si existe cualquier diferencia en la rentabilidad esperada entre los activos nacionales y extranjeros, los inversores destinarían toda su riqueza a la inversión más rentable. Dado que ambos tipos de activos deben estar en manos de alguien, la rentabilidad esperada entre los activos nacionales y extranjeros debería ser igual. 4 A la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado (en logarítmicos neperianos) también se le conoce con el nombre de tasa de depreciación (apreciación) esperada de la moneda nacional.

3

161

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA e

Dónde Set es el tipo de cambio nominal esperado, y S t es la tasa de cambio instantánea del tipo de cambio nominal esperado. 5.

A diferencia del modelo original de Dornbusch (que asume expectativas adaptativas5), se supone que existen expectativas racionales (se supone que los inversores forman sus expectativas respecto de las variaciones del tipo de cambio nominal empleando toda la información disponible). Además, dado que este modelo es determinista, el supuesto de expectativas racionales equivale a suponer previsión perfecta. Es decir, supondremos que ambas economías, la nacional y la extranjera, están pobladas por agentes racionales con previsión perfecta6. Este supuesto implica que la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado sea igual al verdadero valor de la tasa de crecimiento (decrecimiento) del tipo de cambio nominal. Esto es: e



st  st 6.

17

En el mercado de bienes y servicios nacional los precios se ajustan de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial:  Ytd   ln   Y Pt  t 

Pt

Si hacemos:

  

  ;   0

    ln Ytd  ln Yt  

18

  19

y dt  ln Ytd

Entonces la tasa de crecimiento instantánea de la demanda agregada de bienes nacionales será: d

yt 

 d

Yt

Ytd

20

  21

De manera análoga, tal como en (2), si hacemos: y t  ln Yt

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del nivel de producción de pleno empleo será: 

yt 



Yt Yt

5

22

En su modelo original Dornbusch demuestra que el supuesto de expectativas adaptativas, que inicialmente adopta, resulta equivalente al supuesto de expectativas racionales para algún valor adecuado del parámetro de ajuste de las expectativas adaptativas. 6 La previsión perfecta implica que el error de predicción de los agentes racionales es nulo en cada instante del tiempo. Esto es, ante una perturbación, los agentes racionales conocen sus efectos de corto y de largo plazo, y los tienen en cuenta en sus decisiones en el instante actual.

162

CIRO BAZÁN


Por tanto, reemplazando (10), (19) y (21) en (18) se tiene:





p t   y dt  y t

 23

Dónde  es la velocidad de ajuste de los precios en el mercado nacional de bienes y servicios o el grado de flexibilidad del índice de precios en términos logarítmicos. La ecuación (23) no es más que la curva de Phillips, que nos dice que la inflación depende del exceso de oferta ydt  y t  0 o de demanda y dt  y t  0 en el mercado de bienes y servicios. Es por eso que, a diferencia de lo que ocurre en el mercado de activos financieros, donde la tasa de interés y el tipo de cambio nominal (expresado en logaritmos neperianos) se ajustan en todo instante para garantizar el equilibrio, en el mercado nacional de bienes y servicios pueden darse desequilibrios transitorios. 7.

La relación de equilibrio entre los mercados de bienes y servicios nacional y extranjero viene determinada por el mantenimiento de la hipótesis de la paridad del poder adquisitivo en el largo plazo, pero no en el corto plazo7. La hipótesis de la Paridad del Poder Adquisitivo (PPA) indica que el índice de precios en un país es igual al índice de precios en otro luego de convertirlo a través de un mercado cambiario. Por tanto, la PPA implica que:

St 

 

P  Pt  s t  ln St   ln  t*   ln Pt   ln Pt*  * Pt  Pt 

24

s t  p t  p*t

 

Si normalizamos el índice de precios en el exterior, esto es si hacemos: Pt*  1  ln Pt*  ln 1 

p*t  0

25

Reemplazando (25) en (24) obtenemos que la condición de PPA es la siguiente:

PPA : s t  p t 8.

26

La demanda agregada, se supone que es afectada directamente por el tipo de cambio real e inversamente por la tasa de interés.

 S  P*  Y   t t  e0 2it  ; 0  0; 1  0; 2  0  Pt  1

IS :

d t

7

27

Al suponer que los precios son rígidos en el corto plazo, el supuesto de la PPA se cumplirá sólo en el largo plazo.

163

CIRO BAZÁN


unidad de moneda nacional

unidad de moneda extranjera  . Pt es el índice de precios en el mercado nacional expresado en * unidad de moneda nacional unidades reales de consumo nacional  . Pt es el índice de precios en el mercado extranjero expresado en unidad de moneda extranjera unidades reales de consumo extranjero  . 0 es el componente autónomo de la demanda agregada (que incluye el gasto público), 1 es la elasticidad de la demanda agregada de bienes respecto al tipo de cambio real9, SR t . Mientras que  2 es la semielasticidad de la demanda agregada de bienes Dónde

St

es

el

tipo

de

cambio

nominal8

expresado

en

respecto a la tasa de interés nominal nacional, i t . Siendo:

1  SR t 

 

Y

Y  SR  SR t d t



d t

t

Preciode bienesextranjeros en moneda nacional Precio de bienes nacionales en moneda nacional

2  

 

   ln Ytd     ln SR t  

28

S t  Pt*  unidadesreales de consumonacional    29  unidadesrealesde consumoextranjero  Pt  

  

 ln Ytd

30

i t


  d t

ln Y

 S  P * t t  ln    Pt 

 

1  S  P*    i    e 0 2 t   1 ln  t t  P   t   

 

   0   2i t  

  ln Ytd  1 ln St   ln Pt*  ln Pt   0  2i t  

Ahora hacemos:

s t  ln St 

8

31

32

El tipo de cambio nominal representa el precio de una unidad de divisa extranjera expresado en unidades de la moneda local. Es decir, una unidad de moneda extranjera equivaldría a St unidades de moneda nacional. Un incremento en el tipo de cambio nominal denota una depreciación de la moneda doméstica, o equivalentemente una apreciación de la moneda extranjera. 9 El tipo de cambio real es el precio relativo de los bienes extranjeros (es el cociente entre el índice de precios de los bienes extranjeros expresado en moneda nacional y el índice de precios de los bienes nacionales expresado en moneda nacional). Es decir, una unidad real de consumo extranjera equivale a SRt unidades reales de consumo nacional, o equivalentemente, el índice de precios de los bienes extranjeros expresado en moneda nacional equivale a SRt veces el índice de precios de los bienes nacionales expresado en moneda nacional. Por tanto, el tipo de cambio real denota la competitividad de los bienes nacionales en relación a los bienes extranjeros.

164

CIRO BAZÁN


  33


p*t  ln Pt*

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del índice de precios (inflación) extranjero será: *

pt 

*

Pt

Pt*



34



Reemplazando (9), (19), (32), y (33) en (31) obtenemos: ydt  0  1 s t  p*t  p t  2i t


ydt  0  1 s t  p t   2i t

35

36

La ecuación (36) es una IS en términos logarítmicos en la que el nivel de la demanda agregada depende de su componente autónomo, del nivel de exportaciones netas de bienes y servicios, que a su vez depende del tipo de cambio real expresado en términos logarítmicos (definido como las desviaciones de la paridad del poder adquisitivo), y de la tasa de interés nominal nacional. Es importante resaltar que en la función de la demanda deberíamos haber utilizado la e

tasa de interés real, rt  i t  p t , y no la nominal, i t . No obstante, dado que los resultados serán los mismos independientemente de que tasa de interés se use, entonces por simplicidad aquí utilizaremos la tasa de interés nominal. Esto explica porque en la IS no aparecen expectativas de inflación y porque se utiliza la tasa de interés nominal en lugar de la real, que sería lo correcto. Asimismo, como ya se ha mencionado, debido al supuesto de que el índice de precios nacional es fijo en el corto plazo, en el mercado nacional de bienes y servicios pueden darse desequilibrios transitorios, a diferencia del mercado de activos financieros, donde la tasa de interés nominal y el tipo de cambio nominal (expresado en logaritmos neperianos) se ajustan en todo momento para garantizar el equilibrio10.

9.

El régimen cambiario es de tipo de cambio flexible.

10. Todos los parámetros del modelo son positivos.

10

En 1976 Dornbusch señala, y en 2003 García-Cobián lo demuestra, que el supuesto de índice de precios fijo en el corto plazo en el mercado de bienes y servicios doméstico no es necesario para garantizar el overshooting del tipo de cambio. Para ello, basta con que el índice de precios se ajuste más lentamente que el tipo de cambio. No obstante, Dornbusch en su célebre artículo “Expectations and Exchange Rate Dynamics”, opta por la simplificación al suponer que el índice de precios es rígido en el corto plazo.

165

CIRO BAZÁN


Resolución del modelo:

En este modelo las variables exógenas son: m t , p*t , i *t , y t , 0 . Aunque hay que recordar que hemos normalizado el índice de precios en el extranjero a uno, esto es equivalente a que el logaritmo neperiano del índice de precios en el extranjero sea nulo: p*t  0. Mientras que las variables endógenas son: s t , p t , i t , ydt . Para resolver este modelo vamos a suponer que las variables endógenas de referencia son p t y s t . Por tanto, ahora deberemos determinar las ecuaciones diferenciales para dichas variables. Para determinar la ecuación diferencial correspondiente al índice de precios en términos logarítmicos, en primer lugar, vamos a despejar la tasa de interés nominal nacional de la ecuación (13):

it 

1



y t  m t  p t  37

Reemplazando (37) en (36) obtenemos la demanda agregada de la economía nacional:

y dt  0  1 s t  p t  

2 

y t  m t  p t  38

Sustituyendo (38) en (23) obtenemos:  2   y t  m t  p t   y t  p t   0  1 s t  p t        2     m   p t  1 s t   0  2 t  1  2  y t  p t    1             

39

La ecuación (39) representa la ecuación de equilibrio en el mercado financiero y de bienes y servicios. Ahora, para determinar la ecuación diferencial para el tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) vamos a reemplazar la ecuación (37) en la ecuación (14):

1



y t

 m t  p t   i*t  s t

e

Reemplazando (17) en (40) se tiene: 

st 

1



pt 

1



y t

 m t   i*t

40 41

La ecuación (41) representa la ecuación de equilibrio conjunto en el mercado de activos financieros. 166

CIRO BAZÁN


En consecuencia, el sistema de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (39) y (41):

   2    1        1   p t   p  t           s t   1 st      0  0     

2

 1  

2     1       

  0  0   m  t   yt   1  *   it 

42



b A             2      2 m t    1  1  2  y t               1  0    p            t     p t       st   1 st   1    0    y t  m t   i*t      

43

Análisis cualitativo Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:

 2   0 trA    1        1  0 A     2   2   2 2   trA  4 A       4 1 0 1       

44

Ahora vamos a determinar el punto de equilibrio del sistema (43):

 p E  1  E   A b s   m t  i *t  y t p    E    m t 1   0  y t 1  1  1   2 i *t s   1  E



El polinomio característico viene dado por:



p   A  I  2  trA  A  0

167





   p E m t , y t , i *t   E  *  s m t , y t , i t ,  0  



46



45

CIRO BAZÁN


Los autovalores o raíces características son:

 trA   1  0 trA  trA  4 A trA    2    2 2 trA    0  2  2  2

47 

De (44) y (47) podemos concluir que el punto de equilibrio del sistema es un punto de silla. En este caso será necesario calcular los autovectores asociados a cada uno de los autovalores de (47) para poder determinar la ecuación de las trayectorias estable (una recta cuyo vector generador es el autovector asociado al autovalor negativo y que pasa por el punto de equilibrio) e inestable (una recta cuyo vector generador es el autovector asociado al autovalor positivo y que pasa por el punto de equilibrio).

 La pendiente del autovector v1 asociado a 1  0 se calculará a partir de:  2     1    1        1   

 v1  1    a   0   b  0  1  

48

De donde:

  2   1    1   a    b     1  1  

 2     1    1    a  b  1    1 a 1  

   1  0

49

La ecuación (49) nos representa la tangente del ángulo de inclinación que forma el autovector asociado a 1  0 con el eje horizontal (eje del índice de precios). Es decir, la ecuación (49) es la pendiente del brazo (recta) inestable (asociada a 1  0 ). Por tanto, la ecuación del brazo inestable, que en general pasará por el punto genérico s t , pt  y que en particular pasará por el punto de equilibrio s E , p E del sistema será:



2     1   1  st  s b 1       0 E 1 1 pt  p a E

 1 st  sE      1

  1 s t  s E       1



  pt  pE  

 E  1 p           1 168



 p t 51  



50

CIRO BAZÁN


 La pendiente del autovector v 2 asociado a  2  0 se calculará a partir de:  2     2    1        1   

 v2  1    c   0   d  0  2  

52

De dónde:

  2   1    1   c    d     1  2  

    2 

 2    1    c  d  1    1 c  2  

    2  0

53

La ecuación (53) nos representa la tangente del ángulo de inclinación que forma el autovector asociado a  2  0 con el eje horizontal (eje del índice de precios). Es decir, la ecuación (53) es la pendiente del brazo (recta) estable (asociada a  2  0 ). Por tanto, la ecuación del brazo estable, que en general pasará por el punto genérico s t , p t  , que





en particular pasará por el punto de equilibrio s E , p E del sistema, y que buscamos que pase por el punto cuyas coordenadas son las condiciones iniciales de la economía nacional s0 , p0  será:

2       1 st  sE s0  sE d 1       E E 1 pt  p p0  p c  2

 1 st  sE      2



  pt  pE  

  1  E  1 p    s t  s E           2   2

    2  0

54



 p t 55  

De (54), conocido el valor de p 0 , se obtiene el valor de s 0 necesario para que los valores iniciales de la economía nacional se encuentren sobre el brazo estable:

 1 s0  sE      2



  p0  pE  

169

 56

CIRO BAZÁN


Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones (43). Esto es:

  m    2    p t  1 s t   0  2 t  1  2  y t   0 p t    1                 1 1  y t  m t   i*t  0 s p  t  t   

57 

En el sistema de ecuaciones del equilibrio estacionario, es evidente que el nivel del índice de precios en términos logarítmicos queda determinado por la segunda ecuación, mientras que el nivel del tipo de cambio nominal en términos logarítmicos queda determinado por la primera ecuación de (57). 

De donde la ceroclina p t  0 viene dada por:





 1 m  2  yt  0  2 t  s t   1 1 1   1

IS 0 , m t , y t , p*t  0 :

  2  p t   1   1   

58

La ecuación (58), una curva IS, representa el equilibrio en el mercado financiero y el mercado de bienes y servicios. 

Mientras que la ceroclina s t  0 viene dada por:



* t



de  45

 p t  m t  i  y t  p E * t

LM m t , y t , i :

59

La ecuación (59), una curva LM, representa el equilibrio conjunto en el mercado de activos financieros. Note que al reemplazar (17) en la condición de paridad no cubierta de intereses, dada por (14), resulta: 

e

s t  s t  i t  i*t

60

Ahora, si igualamos a cero la ecuación (60), resulta que: 

e

s t  s t  i t  i *t  0  i t  i *t  i E  i *t

61

En consecuencia, de la condición de paridad no cubierta de intereses deducimos que 

sobre los puntos de la ceroclina s t  0, para que el logaritmo neperiano del tipo de cambio nominal s t permanezca constante, la tasa de interés nominal nacional debe coincidir con la tasa de interés nominal del extranjero para cualquier instante del tiempo. Por tanto, la tasa de interés nominal de equilibrio de la economía es igual al tipo







de interés del extranjero i E  i *t . Además, de (45), sobre la ceroclina s t  0, se debe verificar que el logaritmo neperiano del índice de precios en el mercado nacional debe ser igual a p E . 170

CIRO BAZÁN



primer lugar, vamos a graficar la ceroclina s t  0. De la segunda ecuación del sistema (57) y por (59) tenemos que: 

st 

1



pE 

y t  m t   i*t  0

1



62

Por tanto, de (62), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje del índice de precios nacionales en p E . Además, para valores de p t  p E , a la 

derecha de la recta vertical, que se aprecia en la figura 1, s t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa de cambio nominal nacional en términos logarítmicos irá aumentando (la moneda nacional se irá depreciando), lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha 

recta s t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa de cambio nominal nacional en términos logarítmicos irá disminuyendo (la moneda nacional se irá apreciando), lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo. 

st  0

st

pt

pE

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el tipo de cambio nominal en términos logarítmicos 

A continuación vamos a graficar la ceroclina p t  0. De (58), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente positiva (mayor a uno), mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del tipo de cambio nominal nacional expresado en logaritmos neperianos) dependerá del valor de los parámetros del modelo. Además, si 

estando en un punto de la ceroclina p t  0 como el punto A, el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos disminuye y el nivel del índice de precios en términos 

logarítmicos permanece constante, pasando a un punto debajo de la ceroclina p t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (57), al haber disminuido el valor de la tasa de cambio nominal 171

CIRO BAZÁN


nacional en términos logarítmicos, se verifica que en un punto debajo de la ceroclina 



p t  0, tal como el punto B, p t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor del índice de precios nacional en términos logarítmicos irá disminuyendo. En 

consecuencia, debajo de la ceroclina p t  0, tal como se aprecia en la figura 2, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que 

p t  0.

Superponiendo las ceroclinas del índice de precios nacional en términos logarítmicos y de la tasa de cambio nacional en términos logarítmicos, graficando los brazos estable e inestable del punto de silla y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Lo peculiar de este modelo radica en que el equilibrio de largo plazo resulta ser inestable, ya que se trata de un punto de silla. Sólo si la economía inicia en un punto que exactamente esté sobre el brazo estable del punto de silla, entonces el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos y el índice de precios nacional en términos logarítmicos convergerían a sus valores de equilibrio de largo plazo. 

pt  0

st

sA

A

sB

B

pA  pB

pt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de precios en términos logarítmicos En este tipo de modelo es usual suponer que el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos, al ser flexible, se ajusta inmediatamente para ubicarse sobre el brazo estable de manera tal que posteriormente tanto el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos como el índice de precios nacional en términos logarítmicos se ajuste a sus valores de equilibrio de largo plazo. Este supuesto ha sido muy criticado ya que las ecuaciones del modelo no garantizan dicho ajuste hacia el brazo estable que conduce al equilibrio11.

11

No obstante, Begg (1989) muestra que en los modelos con expectativas racionales, como el que se desarrolla aquí, los equilibrios son convergentes.

172

CIRO BAZÁN


st  0

st

sE



pt  0 st  pt

E

p

pt

E

Figura 3: Retrato de fase de la economía Análisis cuantitativo El comportamiento del tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos y del índice de precios nacional en términos logarítmicos vienen dados por: 



v2 v1   p t  p E  c  a   c1   e 1t  c 2   e 2t  E  d  b  st  s 

p t  p E  c1  a  e 1t  c 2  c  e  2 t  1t 2t E  s t  s  c1  b  e  c 2  d  e

63

64

Si suponemos que el estado inicial de la economía viene dado por s 0 , p 0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (64), se tiene que:



 

 d p0  pE  c s0  sE  c  1 p 0  p E  c1  a  c 2  c  ad  bc   E a s0  sE  b p0  pE  s 0  s  c1  b  c 2  d  c 2  ad  bc 



 

Reemplazando los valores de c1 y c 2 en (64) resulta:



 

  d p0  pE  c s0  s E E p t  p   ad  bc    E E s  s E   d p0  p  c s 0  s   t ad  bc  



 







 



 a s0  s E  b p0  pE  ae   ad  bc     t  a s0  s E  b p0  pE  be 1   ad  bc   1t

173



 

65







 ce 2   t  de 2 

 t

66

CIRO BAZÁN


De donde:



 

  d  E E     p 0  p  s 0  s p  p E    c   t  d b    c a     c  p 0  p E    s 0  s E   d  st  sE    a c     b d  







  







 b E E  s 0  s    p 0  p a  e 1t     d b    c a    a   E E    s 0  s  p 0  p   e 1t    b    a c    b d  



 

  

 e 2t       e 2t   

67 

Reemplazando (49) y (53) en (67), y efectuando sencillas operaciones algebraicas se tiene que:







  1 p 0  p E  1 2 s 0  s E p t  p E   1   2     1   E E     p 0  p   2 s 0  s  s  sE       t  1   2    



















 1 2 s 0  s E   2 p 0  p E   t 1t e   e 2  1   2       1 E E  1 s 0  s    p 0  p     e 2t  e 1t      1   2      









68

En la senda estable los coeficientes que acompañan al término e 1t deberán ser nulos para eliminar su efecto explosivo. Esto es:















 1 p 0  p E  1 2 s 0  s E  0  1 p 0  p E  1 2 s 0  s E  1   2    1 E E    p 0  p   2 s 0  s 1    0    p 0  p E   2 s 0  s E  1   2 



















69

Reemplazando (69) en (68) resulta que sobre el brazo estable el índice de precios en términos logarítmicos y el tipo de cambio nominal en términos logarítmicos evolucionan a lo largo del tiempo de acuerdo a:







  1 p 0  p E   2 p 0  p E E p t  p   1   2    E E  s  s E   1 s 0  s   2 s 0  s   t 1   2  







 e







 t  t E E  2  pt  p  p0  p e 2   t  t E E e 2  s t  s  s 0  s e 2 

174





70

CIRO BAZÁN


De donde: e 2t 

pt  pE

p0  pE



st  sE

s0  sE

  s0  sE  E   s0  sE  p    p  s t  s E    p  pE    p  pE  t   0    0 

71

Reemplazando (54) en (71) obtenemos la ecuación del brazo estable, que coincide con la ecuación (55):

  1  E  1 p    s t  s E         2     2

 p t 72  

De la primera ecuación del sistema (70) podemos obtener el índice de precios de la economía nacional si suponemos que las condiciones iniciales de nuestra economía se encuentran sobre el brazo estable del punto de silla, y que p 0  p E . Esto es: E 2t E Pt  e pt  ep  p0  p e 

73

En la figura 4 se puede apreciar como el índice de precios en la economía nacional, sobre el brazo estable del punto de silla, se ajusta lentamente a su valor de equilibrio estacionario. Pt

e p0

ep

E

t Figura 4: Comportamiento temporal del índice de precios nacional a lo largo del brazo estable del punto de silla Derivando las ecuaciones de (70) respecto del tiempo resulta:

 

 

 p t   2 p 0  p E e  2 t  2t E   s t   2 s0  s e

74

Reemplazando (71) en (74) se tiene que las tasas de crecimiento instantáneo del índice de precios de la economía doméstica y del tipo de cambio nominal a lo largo del brazo estable del punto de silla vienen dadas por:

 

 75 

 p t   2 p t  p E  E   st  2 st  s

175

CIRO BAZÁN






Por otro lado, siendo s 0E , p 0E los valores de equilibrio estacionario del sistema antes del cambio de alguna variable exógena, de (72), el brazo estable del punto de silla correspondiente viene dado por:

  1  E  1 p    s t  s 0E      0      2   2





 p t 76  

Además, siendo s1E , p1E los valores de equilibrio estacionario del sistema luego del cambio de alguna variable exógena, de (72), el brazo estable del punto de silla correspondiente viene dado por:

  1 s t  s1E       2

 E  1  p1           2

 p t 77   

Efectos de corto plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado12 Ahora vamos a analizar qué pasaría en el corto plazo con los valores de las variables endógenas de referencia si habiendo alcanzado sus valores de equilibrio estacionario se produce un aumento permanente y no anticipado (shock) de alguna de las variables exógenas del modelo ceteris paribus.





Si suponemos que la economía inicialmente se encontraba en el estado estacionario, que denotaremos por s 0E , p 0E , y que el tipo de cambio nominal y el índice de precios

expresados en términos logarítmicos en el corto plazo vienen dados por s0, p0 respectivamente. Entonces, los efectos de corto plazo de un cambio permanente y no anticipado de alguna variable exógena en el tipo de cambio nominal y en el índice de precios en términos logarítmicos respectivamente vendrán dados por:





dp0  p0  p 0E  ds0  s0  s 0E

78

Ya que s 0E , p 0E , es un punto que pertenece al brazo estable del punto de silla, entonces debe satisfacer la ecuación (76) verificándose que:

  1 s 0E  s 0E       2

 E  1 p 0           2

 E p 0  

79

Asimismo, el punto s0, p0 debe encontrarse sobre el nuevo brazo estable, y en consecuencia deberá satisfacer la ecuación (77) cumpliéndose que:

  1  E  1 p    s0  s1E      1      2   2

12

 p0  

80

Estas secciones se basan fundamentalmente en Mendoza y Herrera (2006).

176

CIRO BAZÁN


Restando (79) de (80) y teniendo en cuenta (78) y que se ha supuesto que el índice de precios expresado en términos logarítmicos es fijo en el corto plazo, p0  p 0E  dp0  0, obtenemos la variación del tipo de cambio nominal expresado en términos logarítmicos:







  1  E  p1  p 0E ds0  s0  s 0E   s1E  s 0E        2  Haciendo:

E E E  ds  s1  s 0  E E E  dp  p1  p 0



  1     2



dp0 0

 81

   p0  p 0E  

82

Reemplazando (82) en (81) se tiene:

 1 ds0  ds E      2

 E dp  

83

La ecuación (83) nos dice que, dado un cambio exógeno permanente y no anticipado de alguna variable exógena ceteris paribus, la variación del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) en el corto plazo es igual a la suma de la variación del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) en el largo plazo y de una fracción positiva de la variación del índice de precios (expresado en términos logarítmicos) en el largo plazo. Es decir, si un cambio exógeno permanente y no anticipado de alguna variable exógena ceteris paribus produce un incremento simultáneo del tipo de cambio nominal y del índice de precios (ambos expresados en logaritmos neperianos) en el largo plazo, la variación del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) en el corto plazo será mayor que la de largo plazo, esto es, se producirá un desbordamiento (overshooting) del tipo de cambio. Por otro lado, calculando la diferencial total para las ecuaciones del sistema (45) tenemos: dp  E

ds  E





p E m t , y t , i*t m t

s E m t , y t , i *t ,  0 



m t

t





p E m t , y t , i*t i*t

 di

dp E  dm t  di*t  dy t

 dm

s E m t , y t , i *t ,  0  0

 dm

 d t





s E m t , y t , i *t ,  0 i *t

* t





p E m t , y t , i*t

84

 di

* t



y t



 dy

s E m t , y t , i *t ,  0 y t

0

 1   2 ds E  dm t    1 

 *  1  1 di t      1   177

t

 1   dy t   d 0     1 

85

 dy

t



CIRO BAZÁN


Por otra parte, teniendo en cuenta que hemos normalizado a uno el índice de precios en el extranjero, p*t  0, y dado que el tipo de cambio real expresado en términos logarítmicos viene definido, como ya hemos dicho, como las desviaciones de la paridad del poder adquisitivo. Esto es:

86

0  srt  s t  p*t  p t  srt  s t  p t

En el estado estacionario, el tipo de cambio real, expresado en términos logarítmicos, vendrá dado por: sr E  s E  p E

87


 1 sr E     1



  1     0    y t   2 i *t  sr E y t , i *t ,  0        1  1

Calculando la diferencial total de (87) resulta: dsr E  ds E  dp E



 di



Calculando la diferencial total de (88) resulta: dsr E 

sr E m t , y t , i *t ,  0 i *t

 2 dsr E     1

* t



88

89

sr E m t , y t , i *t ,  0 y t



 dy

t

 *  1   1  di t   dy t   d 0        1  1





sr E m t , y t , i *t ,  0  0

 d

0

90

Note que la ecuación (90) también se obtiene reemplazando (84) y (85) en (89). Asimismo, reemplazando (84) y (85) en (83) resulta:

     2  1  *  1  1  1    1  dm t   1 di t   dy t   d 0  ds0  1         2  1  2   2  1     1

91

Teniendo en cuenta (86), el tipo de cambio real de corto plazo, expresado en logaritmos neperianos, viene dado por:

sr0  s0  p0

92

Diferenciando (92) y teniendo en cuenta que hemos supuesto que en el corto plazo el índice de precios es fijo, dp0  0, obtenemos la variación del tipo de cambio real (expresado en términos logarítmicos) en el corto plazo: 0    dsr0  ds0  dp0  dsr0  ds0

178

93

CIRO BAZÁN


Es decir:

     2  1    1  1  *  1  1 dm t   1 dy t   d 0 di t     dsr0  1          2   2   2  1 1     1

94

A partir de la ecuación (37) podemos obtener el valor de la tasa de interés nominal doméstica en el estado estacionario:

iE 

1



y

t



 m t  p E  i E y t , m t 

En el brazo estable inicial se tiene que:

i 0E 

1



y

0

 m 0  p 0E

95

 96

En el nuevo brazo estable se debe verificar que:

i0 

1



y1  m1  p0 97

La variación de corto plazo de la tasa de interés nominal nacional vendrá dada por:





dp0 0

dy t dmt     1    1      E E di0  i0  i 0   m1  m 0     p0  p 0   y1  y 0    

 1 di0   dm t   dy t   Diferenciando (95) resulta: di E 

i E m t , y t  m t

dm t 

99

i E m t , y t  y t

98

1  di E   dm t   dy t  di0  

dy t

100

Efectos de mediano plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado

Para el mediano plazo, una vez que la economía alcanza el punto s0, p0 del nuevo brazo estable, ésta se conduce a través de dicho brazo hasta alcanzar el nuevo punto de equilibrio estacionario s1E , p1E .





179

CIRO BAZÁN


La ecuación del nuevo brazo estable la podemos obtener adaptando las ecuaciones del sistema dado por (70), tal como sigue:

 

 

p t  p1E  p0  p1E e  2 t  2t E E  s t  s1  s0  s1 e

101

Adaptando la segunda ecuación de (69) tenemos:













 1  1  p0  p1E 102   p0  p1E   2 s0  s1E  s0  s1E        2  Reemplazando p0  p 0E , y reemplazando (102) en (101) tenemos que en el mediano plazo las trayectorias del índice de precios doméstico y el tipo de cambio nominal (ambos en términos logarítmicos) vienen dadas por:





 p t  p1E  p 0E  p1E e  2 t  s  s E   1  p E  p E e  2 t 1 1  t    0  2 



103



Restando la primera ecuación a la segunda ecuación del sistema (103) obtenemos el comportamiento de mediano plazo del tipo de cambio real (en términos logarítmicos) tal como sigue:









sr      1  E srt  s1  p1E    1 p 0E  p1E e  2 t     2  E



104



 1   1 p 0E  p1E e  2 t 105 srt  sr E       2 

Finalmente, reemplazando la primera ecuación del sistema (103) en (37) resulta:

it 

1



y

t



  106

 m t  p1E  p 0E  p1E e  2 t

El valor de largo plazo de la tasa de interés nominal doméstica será:

i LP  lím i t  t 

1



y

 m t  p1E

t



107 

Bajo el supuesto de que la economía doméstica alcanza el estado estacionario en el largo plazo, entonces resulta que:

i LP  i E  i *t 

1



y

t

180

 m t  p1E

 108

CIRO BAZÁN


Reemplazando (108) en (106) obtenemos el comportamiento de mediano plazo de la tasa de interés nominal en función de su valor de estado estacionario:

i t  i *t 

1



p

E 0

  109

 p1E e  2 t

Efectos de un aumento sorpresivo (no anticipado) y permanente del stock nominal de dinero (política monetaria expansiva: dm t  0 ) Ahora vamos a analizar qué pasaría con los valores de las variables endógenas del modelo si habiendo alcanzado sus valores de equilibrio estacionario se produce un aumento no anticipado del stock nominal de dinero ceteris paribus. En el corto plazo: De (78), (91), (94) y (99), y teniendo en cuenta que la única diferencial no nula es dm t , se tiene:

dp0  0

110

 1  dm t  0 ds0  1     2  

 1  dm t  0 dsr0  1    2  

1 di0   dm t  0 

111

112

113

En el largo plazo:

De (84) y (85), teniendo en cuenta que dm t  0 y que di *t  dy t  0, resulta que: dp E  dm t  0

ds E  dm t  0

114

115

Las ecuaciones anteriores nos dicen que, ante un cambio permanente y sorpresivo en la oferta monetaria, en el nuevo estado estacionario, E1, el índice de precios y la tasa de cambio nominal (ambos en logaritmos neperianos) se incrementan en proporción al incremento de la oferta monetaria, de manera que todas las variables reales no se verán afectadas [tal como ocurre con el tipo de cambio real: ver ecuación (116)]. Es decir, se mantiene la neutralidad monetaria en el nuevo equilibrio de largo plazo. Asimismo, las ecuaciones (114) y (115) nos indican que en el nuevo equilibrio estacionario, E1, se debe seguir verificando la condición de paridad del poder adquisitivo (el nuevo equilibrio estacionario se ubica sobre una recta que forma 45º con cualquiera de los ejes del plano de fase, esto es, sobre una recta con pendiente igual a 1, y cuya ecuación viene dada por: s t  p t ). En la figura 5 se aprecia que ante el incremento sorpresivo y 181

CIRO BAZÁN




permanente de m t , dm t  0, las ceroclinas s t  0 y p t  0 se desplazarán hacia la derecha hasta intersecarse en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Asimismo, se aprecia que la pendiente de la recta que pasa por E1 y por E0 es igual a: ds E dp E  dm t dm t  1. Por otro lado, se aprecia que en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1, al igual que en el punto de equilibrio estacionario inicial E0, se sigue cumpliendo la condición de paridad de poder adquisitivo, s t  p t , por tanto se verifica que: dsr E  0

116

Finalmente, en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1, al igual que en el punto de equilibrio estacionario inicial E0, se sigue cumpliendo que la tasa nominal de interés doméstica debe ser igual a la tasa nominal de interés extranjera, por tanto se cumple que: di E  0

117

Efectos de corto plazo: Efecto 1: Ante un incremento sorpresivo del stock nominal de dinero (expresado en logaritmos neperianos), m t , ceteris paribus, dado que se ha supuesto que en el corto plazo el índice de precios nacional es fijo, los saldos reales expresados en términos logarítmicos se incrementarían, m t  p t   . En consecuencia, resulta que el mercado

financiero estaría en desequilibrio en el corto plazo ya que m t  p t  y t  i t . Por tanto, la tasa de interés nominal doméstica, disminuiría ya que ésta depende inversamente de los saldos reales, expresados en términos logarítmicos. Es decir, si m t  p t  , entonces y t  m t  p t  , por lo que i t  y t  m t  p t   . Esto, a su vez, hace que los activos financieros extranjeros sean más rentables que los nacionales, generando que la demanda de los activos financieros extranjeros se incremente y que el tipo de cambio nominal, expresado en términos logarítmicos, aumente (que se deprecie la moneda nacional). Efecto 2: Por otro lado, dado que se ha supuesto que los agentes económicos tienen expectativas racionales, éstos conocen que en el largo plazo el tipo de cambio nominal en términos logarítmicos será mayor que su valor actual (antes del shock monetario expansivo), por lo que los agentes económicos tendrán una razón más para adquirir activos financieros extranjeros, lo que a su vez incrementará adicionalmente el tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos). Ambos efectos hacen que el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) se eleve por encima de su valor de largo plazo (overshooting cambiario). En la figura 5, la economía se desplaza del punto E0 al punto A.

182

CIRO BAZÁN


El fenómeno económico del overshooting cambiario puede explicarse de la siguiente manera: En el punto A, debido al shock monetario no anticipado, la tasa de interés nominal doméstica ha disminuido a un valor inferior al de la tasa de interés nominal extranjera, por lo que la condición de paridad no cubierta de intereses se verificará únicamente si los agentes esperan que el tipo de cambio nominal expresado en 

logaritmos neperianos disminuya (se aprecie), esto es: s t  i t  i *t  0. En consecuencia, ya que por hipótesis, los agentes tienen expectativas racionales, para que ello ocurra, debe verificarse que en el corto plazo el tipo de cambio nominal, en logaritmos neperianos, aumente instantáneamente a un valor mayor a su nuevo valor de equilibrio estacionario. Por tanto, por los efectos antes descritos, en el corto plazo, el tipo de cambio nominal (expresado en logaritmos neperianos) se incrementa por encima de su nuevo valor de equilibrio estacionario. Esto es, ante un incremento permanente y sorpresivo del stock nominal de dinero (en términos logarítmicos), en el corto plazo se produce un sobreajuste del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos): overshooting cambiario. En la figura 5, el shock monetario expansivo hace que la economía pase del punto E0 al punto A, donde se aprecia que el índice de precios (en términos logarítmicos) permanece constante y el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) aumenta instantáneamente por encima de su nuevo valor de largo plazo, esto es: s0  s1E . Efectos de mediano plazo: En la figura 5, el mediano plazo se da entre el punto A y el punto E1. En el punto A, se tiene un tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) mayor que en el punto E0, pero una tasa de interés nominal menor (undershooting de la tasa de interés nominal doméstica). En consecuencia, al haber simultáneamente una disminución de la tasa de interés nominal y un incremento del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) al pasar del punto E1 al punto A, entonces de (36) se observa que la demanda agregada de bienes y servicios se incrementa. Además, por (23) resulta que al incrementarse la demanda agregada de bienes y servicios respecto a la producción a pleno empleo, el índice de precios nacional aumenta. El índice de precios más alto reduce la oferta real de dinero, es decir, m t  p t  , y esto a su vez, de acuerdo a (37), produce un incremento en la tasa de interés nominal doméstica. No obstante, este incremento en la tasa de interés nominal doméstica es en términos absolutos menor a la disminución que se produjo en la tasa de interés nominal nacional debido al shock monetario expansivo. Es por esto que la tasa de interés nominal doméstica todavía sigue 

e

siendo menor a la extranjera, i t  i*t  s t  s t  0, lo que a su vez generará expectativas de disminución (apreciación) del tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) respecto del punto A. En consecuencia, en el punto E1 se tendrá un tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) menor al del punto A, pero mayor al del punto E0.

Este proceso de índice de precios nacional aumentando, tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) disminuyendo y tasa de interés nominal doméstica aumentando se produce hasta llegar al nuevo punto de equilibrio estacionario, E1.

183

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Efectos de largo plazo: La economía se ubica sobre el punto E1. En este punto, el índice de precios y el tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) coinciden con sus valores de estado estacionario finales, la tasa de interés nominal doméstica coincide con la extranjera (la tasa esperada de crecimiento instantáneo del tipo de cambio nominal es nula), y se mantiene la paridad del poder adquisitivo. Principales resultados del shock monetario expansivo permanente y sorpresivo: Ante un incremento sorpresivo y permanente del stock nominal del dinero, el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) sobrerreacciona (overshooting) instantáneamente a un nivel superior a su nivel de estado estacionario (debido a la diferencia de las velocidades de ajuste del mercado financiero y del mercado de bienes y servicios). En el nuevo estado estacionario, el índice de precios nacional y el tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) son mayores a los valores que tenían antes del shock monetario expansivo. Además, se cumple la neutralidad monetaria de largo plazo. Asimismo, la tasa de interés nominal interna y el tipo de cambio real se mantienen constantes. s t  0 m 0  s t  0 m1  

st



BI1

T2

s0 

p t  0 m1  

C

BE 0

st  pt

A B

ds0

s1E

E1

ds E

E0

s 0E

s0

I p t  0 m 0  

BE1

T1

p  p0 p 0 p1E E 0

dp E

Figura 5: Comportamiento dinámico de la economía ante una expansión monetaria permanente no anticipada 184

pt

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Finalmente, es importante resaltar que en la figura 5 se representa cómo ha evolucionado la economía a lo largo del tiempo, ante un shock monetario expansivo. En esta figura se aprecia que la economía inicialmente se encontraba ubicada en el plano de fase en el punto I, perteneciente al brazo estable inicial (BE0) del punto de silla. Con el devenir del tiempo, la economía se ha desplazado a lo largo de BE0 hasta el punto de equilibrio estacionario inicial, E0. Se aprecia que en el desplazamiento desde el punto I hasta el punto E0 el índice de precios (en términos logarítmicos) ha disminuido hasta converger con el valor de estado estacionario inicial, p 0E . Asimismo, en este mismo trayecto el tipo de cambio nominal doméstico se ha incrementado hasta converger a su valor de estado estacionario inicial: s 0E . Estando la economía en el punto de equilibrio inicial, E0, se produce un incremento sorpresivo y permanente del stock nominal de dinero (pasando de m 0 a m1 , con m1  m0 : dm t  0 ). Ante este shock monetario expansivo, la ceroclina s t  0 m 0  se desplaza hacia la derecha un 

dp E  dm t , siendo ahora la ceroclina s t  0 m1 , mientras que la ceroclina 

p t  0 m 0 , a su vez, se desplaza hacia la derecha, siendo ahora la ceroclina 

p t  0 m1 . El cruce de las ceroclinas s t  0 m1  y p t  0 m1  se da en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Asimismo, ante el shock monetario expansivo sorpresivo y permanente, dado que se ha supuesto que el índice de precios es rígido en el corto plazo (pero flexible en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible (con velocidad de ajuste infinita), y que los agentes tienen expectativas racionales (información y previsión perfecta), la economía se desplazará de forma instantánea a lo 





largo de la ceroclina s t  0 m 0  hasta el punto A, perteneciente al nuevo brazo estable (BE1) del punto de silla13. Se aprecia que en el desplazamiento desde el punto E0 hasta el punto A el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) ha aumentado (la moneda nacional se ha depreciado) a un valor superior al valor del nuevo equilibrio estacionario (overshooting)14. Una vez que la economía ha alcanzado el punto A del nuevo brazo estable (BE1), la economía convergerá hacia el punto E1, eventualmente restableciendo la paridad del poder adquisitivo en dicho punto. Cualquier error por parte del mercado enviaría a la economía lejos del punto E1 y hacia el brazo inestable (BI1) del punto de silla. 

13

Aquí es importante resaltar que, desafortunadamente en este modelo, cualquier carencia de perfección alejaría a la economía del nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Por ejemplo, si tras el shock monetario expansivo el mercado subestima la depreciación de la moneda nacional moviéndose desde el punto E0 al punto B, entonces la economía, conforme transcurra el tiempo, se alejaría del equilibrio estacionario E1 a lo largo de la trayectoria T1, con tipos de cambio nominales (en términos logarítmicos) disminuyendo (moneda nacional apreciándose) y con periodos de inflación y de deflación. Similarmente, si el mercado sobreestima la depreciación y se mueve al punto C, entonces el sistema dinámico se hará explosivo, con índice de precios crecientes conforme transcurre el tiempo (inflación) y con el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) aumentando (moneda nacional depreciándose), como se muestra a lo largo de la trayectoria T2. 14 Es importante resaltar que en el punto A se produce, además, un undershooting de la tasa de interés nominal doméstica, ya que su valor de corto plazo (el que tiene en el punto A) resulta inferior que el valor que alcanza en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1.

185

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Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (44). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I.

2 µ θ  1

Parámetros

Valores 0,1 0,06 0,8 0,06 20

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0

Valores 150

i *0

2,5

y0

De (45), se cumplirá la hipótesis de PPA:

s E  p E   0   2 i *0  y 0

1800 1800,25

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (43) resulta: 

b A         1,2075 1,2 p   0,33  t p t      s    55  1 , 25 0 st    t     

I 


 p t  0  s t  1,00625p t  0,275  s t  0  p t  44

II

Asimismo, por (45), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: p E  44  E     s  44

III


trA  1,2075  0   A  1,5  0   7,45806  0 

186

IV

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En la figura I se muestra el retrato de fase, los brazos estable (BE) e inestable (BI), y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I). y ' = 1.25 x - 55 100 st ' = 0 90

80

70

st

60

50 E 40

30 BI 20 BE pt ' = 0 10

0

0

10

20

30

40

50 pt

60

70

80

90

100

Figura I: Retrato de fase del sistema Sustituyendo (IV) en (47) tenemos que:

1  0,7617221  0   2  1,9692221  0

V 

Reemplazando el valor de “θ”, dado por la tabla I, (III) y (V) en (55) obtenemos la ecuación del brazo estable del punto de silla. Esto es: s t  0,63476842 p t  71,92981

VI 

Supondremos que en el instante inicial el índice de precios en la economía doméstica asciende a p 0  90. Sustituyendo este valor en (VI) obtenemos que el tipo de cambio nominal (en logaritmos) que deberá tener la economía para estar sobre el brazo estable deberá ascender a s 0  14,8006527.

Sustituyendo p 0 , s 0 ,  2 y (III) en (70) obtenemos cómo evolucionan en el tiempo el tipo de cambio nominal y el índice de precios, ambos en términos logarítmicos, sobre el brazo estable. Esto es: 1, 9692221t  p t  44  46e  1, 9692221t  s t  44  29,2e

187

VII 

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En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del tipo de cambio nominal y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (I), sobre el brazo estable (E), con las siguientes condiciones iniciales: I  p0 , s 0   90; 14,8006527. 100 st ' = 0 90

80

70

st

60

50 E 40

30 BI 20 P0 BE

pt ' = 0 10

0

0

10

20

30

40

50 pt

60

70

80

90

100

Figura II: Diagrama de fase del sistema sobre el brazo estable m0  150 Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m 0  150 a m1  151, el sistema (43) resulta: 

b A         1,2075 1,2 p   0,3375  p t  t     s    56,25  1 , 25 0 st     t    

VIII 

Las ceroclinas del sistema (V) vienen dadas por:

 p t  0  s t  1,00625p t  0,28125  s t  0  p t  45

188

IX

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45

40

35

st

st 30

25

20

15

0

2

4

6

8

10 t

12

14

16

18

20

90 85 80 75 70 pt

pt

65 60 55 50 45 40 0

2

4

6

8

10 t

12

14

16

18

20

Figura III: Evolución temporal del tipo de cambio nominal y del índice de precios en términos logarítmicos sobre el brazo estable (BE)

189

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Asimismo, por (45), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: p1E  45 E1   E      s1  45

X 

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos. Reemplazando el valor de “θ”, dado por la tabla I, (X) y (V) en (77) obtenemos la ecuación del brazo estable (BE1) del punto de silla. Esto es: s t  0,63476842 p t  73,5645788

XI

Como hemos supuesto que antes del shock monetario la economía se encontraba en E 0  p 0E , s 0E   44;44, al producirse el shock monetario expansivo sorpresivo y permanente, dado que hemos supuesto que el índice de precios es rígido en el corto plazo (pero flexible en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible (con velocidad de ajuste infinita), y que los agentes tienen expectativas racionales (información y previsión perfecta), la economía se desplazará de forma instantánea a lo  largo de la ceroclina s t  0 m 0  hasta el punto A, perteneciente al nuevo brazo estable (BE1) del punto de silla que aparece en la figura 5. Por tanto, teniendo en cuenta (III), en el punto A, el índice de precios será p A  p 0E  p0  p E  44. Para determinar el tipo de cambio nominal en dicho punto reemplazaremos p A  44 en (XI). En consecuencia: s A  45,63597752  A  p A , s A   44; 45,63597752

XII

Cambiando p 0 por p A , s 0 por s A , p E por p1E , s E por s1E , y sustituyendo  2 en (70) obtenemos cómo evolucionan en el tiempo el tipo de cambio nominal y el índice de precios, ambos en términos logarítmicos, sobre el nuevo brazo estable (BE1). Esto es: 1, 9692221t  p t  45  e  1, 9692221t  s t  45  0,6372684e

XIII

En la figura IV se muestra se muestra el diagrama de fase del sistema (VIII) tras el incremento en el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de dicho incremento, esto es: E 0  p0E , s 0E  44;44.





En la figura V se aprecia la evolución temporal del sistema (VIII), el índice de precios y el tipo de cambio nominal (expresados en logaritmos neperianos), tras el incremento del stock nominal de dinero, en términos logarítmicos, ceteris paribus, siendo el punto inicial E 0  p0E , s 0E  44.





190

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st ' = 0 (m1)

st ' = 0 (m0)

48

47.5

47

46.5

46

st

A 45.5 E1 45

44.5 BI1

E0 44 pt ' = 0 (m0)

43.5

BE1 43

pt ' = 0 (m1) 43

43.5

44

44.5

45

45.5 pt

46

46.5

47

47.5

48

Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1  151

st

45.5

45

st

44.5

44

43.5

43

0

1

2

3

4

5 t

191

6

7

8

9

10

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45 44.9 44.8 44.7 44.6

pt

pt 44.5 44.4 44.3 44.2 44.1 44

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Figura V: Evolución temporal del tipo de cambio nominal y del índice de precios en términos logarítmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus Conclusiones: En este documento hemos estudiado el comportamiento dinámico del modelo de overshooting cambiario de Dornbush. Este modelo incorpora la balanza de pagos al típico modelo IS-LM en un contexto de economía pequeña y abierta en la que se supone que los agentes económicos tienen expectativas racionales determinísticas sobre el tipo de cambio nominal, que los precios en el corto plazo son rígidos (aunque flexibles en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible, y que la velocidad de ajuste del mercado financiero es infinita. Asimismo, se ha analizado el efecto de un incremento de la oferta monetaria de forma permanente e imprevista sobre el tipo de cambio nominal. En concreto, la expansión monetaria genera que en el corto plazo el tipo de cambio nominal sobre reaccione por encima de su nivel de largo plazo y que el índice de precios permanezca constante. No obstante, en el largo plazo, en el nuevo equilibrio estacionario el índice de precios y el tipo de cambio nominal son más altos que los valores que tenían antes de la expansión monetaria. Asimismo, tras el incremento en la oferta monetaria, se aprecia que el tipo de cambio real y la tasa de interés doméstica han permanecido invariables. Finalmente, es importante resaltar que en este modelo, dada su característica de ensilladura (normalmente inestable), cualquier carencia de perfección (en la formación de las expectativas racionales determinísticas del tipo de cambio nominal por parte de los agentes económicos) alejaría a la economía del punto de equilibrio estacionario. 192

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Argandoña, A.; Gámez, C.; y Mochón, F. (1996): “Macroeconomía Avanzada I: Modelos Dinámicos y Teoría de la Política Económica”, McGraw Hill. Primera Edición. Begg, D. (1989): “La Revolución de las Expectativas Racionales en la Macroeconomía”, Fondo de Cultura Económica, México. Primera Edición. Dornbusch, R. (1976): “Expectations and Exchange Rate Dynamics”, The Journal of Political Economy. Vol. (84), pp. 1161-1176. Gandolfo, G. (2002): “International Finance and Open-Economy Macroeconomics”, Springer. Gandolfo, G. (1997): “Economic Dynamics”, Study Edition. Springer. García-Cobián, R. (2003): “Compleción del Modelo del Overshooting de Dornbusch”, Revista de la Facultad de Ciencias Económicas de la UNMSN. Año VIII. Nº 22, pp. 137-144. Mendoza, W.; y Herrera, P. (2006): “Macroeconomía: Un Marco de Análisis para una Economía Pequeña y Abierta”, Fondo Editorial. Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP). Primera Edición. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition.

193

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194

El modelo de crecimiento de Harrod-Domar La teoría del crecimiento (análisis de largo plazo) de Harrod (1939)-Domar (1946) es una extensión dinámica del más sencillo modelo Keynesiano real (de corto plazo). Harrod y Domar, desarrollaron sus modelos por separado, explorando las condiciones de un crecimiento equilibrado (donde todas las variables, capital, trabajo, y PBI, crecen a una misma tasa) en una economía, analizando los requerimientos para mantener el pleno empleo de los factores productivos a lo largo del tiempo. No obstante, dado que sus hipótesis y resultados son básicamente los mismos, en la literatura se suelen presentar estos dos modelos como uno solo denominado modelo de crecimiento de Harrod-Domar. Supuestos del modelo: 1.

Se asume que la función de producción es una función Walras-Leontief. Esto es, se asume que la función de producción es de coeficientes técnicos fijos (proporciones fijas), 1   0 y 1   0, para los factores de producción “K” y “L”. Esto implica que para producir una unidad del bien, el capital y el trabajo siempre deben utilizarse en proporciones fijas: k  K L     cte. En consecuencia, estamos suponiendo que para producir una unidad del bien, necesitamos 1  unidades de capital y 1  unidades de trabajo. Por tanto, para producir “Y” unidades del bien, necesitaremos Y  unidades de capital y Y  unidades de trabajo. En otras palabras, K  Y  son los requerimientos de capital y L  Y  son los requerimientos de trabajo para producir “Y” unidades del bien. Esta función de producción nos dice que si K  Y  o L  Y  , el respectivo exceso permanecerá ocioso. Y  FK, L  minK, L

1

Analíticamente, la función de producción viene dada por la siguiente expresión:

 Si en la economía se cumple que K  L   K  L. Entonces, la producción vendrá dada por Y  K y el trabajo requerido para el nivel de producción óptimo será L  Y    K. En este caso, el capital determina el nivel de producción y el trabajo existente en la economía es mayor a la cantidad requerida para el nivel de producción óptimo. En este caso, el excedente de trabajo, L    K  0, permanecerá ocioso.

De (1) se desprende que:

 Si en la economía se cumple que K  L   K  L. Entonces, la producción vendrá dada por Y  K  L y el trabajo requerido para el nivel de producción óptimo será L  Y    K. Por tanto, se cumple que K L     cte. En este caso, no hay existencias en exceso de trabajo o de capital que no sean utilizadas. Es decir, si k  K L     cte los factores productivos de la economía son utilizados plenamente.  Si en la economía se cumple que L  K    L  K. Entonces, la producción vendrá dada por Y  L y el capital requerido para el nivel de producción óptimo será K  Y     L. En este caso, el trabajo determina el nivel de producción y la cantidad de capital existente en la economía es mayor a la cantidad requerida para el nivel de producción óptimo. En este caso, el excedente de capital, K    L  0, permanecerá ocioso.

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Gráficamente, la ecuación (1) está representada en la figura 1. La ecuación (1) geométricamente representa la esquina de una pirámide que será dada por el mínimo de dos planos: El plano OAC (cuya ecuación está dada por Y  L, pasa por el eje “K”, y su pendiente en la dirección del eje “L” es ), y el plano OBC (cuya ecuación está dada por Y  K, pasa por el eje “L”, y su pendiente en la dirección del eje “K” es  ). Ambos planos se intersectan en la recta OC, cuya proyección sobre el plano K-L, la recta OD, satisface la ecuación: k  K L     cte. Y  FK, L  minK, L planos OAC y OCB

Y  L plano OAC

C

E

K

F A

 

G



O

Y  minK,  Línea EF1

D

K

 

1

Y  K plano OBC

B

L

L

Fuente: Elaboración propia basada en De la Grandville (2009).

Figura 1: Función de producción de Walras-Leontief La expresión analítica de una isocuanta para un nivel de producción igual a “Yi” viene dada por: K  Yi  ; K    L  Yi  minK , L   L  Yi  ; K    L L  Y  ; K    L i 

Que se puede resumir en la siguiente:

K  Yi  ; K    L Yi  minK, L    L  Yi  ; K    L

La representación gráfica de un par de isocuantas de una función de producción de coeficientes fijos para los niveles de producción iguales a “Y0”, “Y1” y “Y2” vienen dados por la figura 2. En esta figura se puede apreciar que las isocuantas tienen forma de una “L” y sus vértices se encuentran sobre la recta K    L. Asimismo, en la figura 2 se puede apreciar que en una isocuanta correspondiente a un nivel de producción constante e igual a “Yi”, si K    L, entonces el exceso de “L” permanece ocioso y “K” es plenamente empleado y permanece constante e igual a Yi  ; y si K    L, entonces el exceso de “K” permanece ocioso y “L” es plenamente empleado y permanece constante e igual a L  Yi  .

196

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K

K    L

K    L

Y2 

H

Y1 

F

Y0 

J

I

Y0  Y1  Y2 

Y2  minK, L Y1  minK, L

Y0  minK, L K    L

L

Figura 2: Mapa de isocuantas para el caso de una función de producción de Walras-Leontief

Es importante resaltar que en los puntos de la recta K    L, la producción de “Yi” unidades del bien se realiza manteniéndose la relación entre el capital y el trabajo en una proporción fija: k  K L     cte. En este tipo de función de producción con coeficientes fijos no permite sustitución entre los factores. Por ejemplo, no se puede sustituir capital por trabajo para mantener el mismo nivel de producción (Por ejemplo “Y1” en el punto “F”) ya que dicha sustitución necesariamente haría que pasáramos por ejemplo del punto “F” a un punto como el “I”, donde K L    , y donde el nivel de producción es inferior a “Y1”. Además, en “I” habría un exceso del factor trabajo (magnitud del segmento JI) que permanecería ocioso. Este supuesto sobre la imposibilidad de sustituir capital por trabajo o viceversa llevaron a Harrod y a Domar a predecir que la economía se vería inmersa en incrementos perpetuos de desempleo de trabajadores o de capital.

En la figura 1, la sección horizontal de Y  FK, L  minK, L para Y   (la línea EFG) representa una isocuanta de una función de producción con coeficientes técnicos fijos para un nivel de producción igual a .

Por otro lado, la tecnología de la producción admite rendimientos constantes a escala (la función de producción es homogénea de grado uno); multiplicando “K” y “L” por “α” la función de producción “Y” queda multiplicada en “α”. En particular, si hacemos   1 L , multiplicando (1) por “α” se obtiene la producción por unidad de trabajo: Y  minK, L

 K   y  f k   min  ,    mink ,   L  L 

Y

k; si k    y  f k   mink ,     ; si k   

197

2

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 Si k    k    . En consecuencia la producción por unidad de trabajo empleado será y  k.  Si   k  k    . En consecuencia la producción por unidad de trabajo empleado será y    k.  Si   k  k    . En consecuencia la producción por unidad de trabajo empleado será y  .

En la figura 3, en el plano y-k, se aprecia la producción por unidad de trabajo empleado para el caso de una función de producción de Walras-Leontief. Geométricamente hablando, para una función de producción homogénea de grado uno, la producción por unidad de trabajo empleado es la sección vertical de la superficie Y  FK, L  minK, L en el punto L  1 del eje “L”. Teniendo en cuenta la figura 1, la función de producción por unidad de trabajo empleado viene dada por la línea de color celeste (EF1). y

Y L

 f k 

y  k

si k    k;  y  f k   mink ,    k  ; si k    ; si k    



k

 

K L

Figura 3: Producción por unidad de trabajo empleado para el caso de una función de producción de Walras-Leontief En resumen, de (1) se desprende lo siguiente:

K, si K    L Y  FK, L   minK, L    L, si K    L

3

Pero como se ha supuesto que el capital y el trabajo siempre deben utilizarse en proporciones fijas, entonces debe verificarse siempre lo siguiente: k  K L     K    L

4

Teniendo en cuenta (4), de (3) resulta que: K  Y  Y  K  L   L  Y 

198

5

CIRO BAZÁN


Esta ecuación nos da información acerca de los verdaderos requerimientos de capital y trabajo como proporciones de “Y” de acuerdo a sus respectivos coeficientes técnicos 1  y 1  . 2.

Se asume que la economía es cerrada y que se está produciendo un único bien homogéneo “Y”. Este bien puede utilizarse como un bien de inversión “I” o como un bien de consumo “C”. El uso de éste depende del agente económico. Las familias consumen y ahorran mientras las empresas producen e invierten. Todas las variables son reales y el mercado de dinero está ausente. Por tanto, el PBI que es igual en cada instante a la renta nacional viene dado por:

6

Y  CI

3.

El consumo se supone que viene dado por una función canónica de consumo Keynesiano de largo plazo. Esto es, se asume que la función de consumo depende de la renta y que tiene propensiones media y marginal a consumir constantes e idénticas. En concreto, se asume que: CY  C  cY, 0  c  1

7

También se asume que la función de ahorro tiene propensiones media y marginal a ahorrar constantes e idénticas. Esto es, resulta que: SY  S  1  cY  sY, 0  s  1

8

La ecuación (8) nos dice que una proporción “s” constante de la renta “Y” es dedicada al ahorro. 4.

Se asume que el stock de capital no se deprecia y que el efecto global del progreso técnico es neutro.

5.

El stock de capital y el trabajo crecen a lo largo del tiempo. El capital crece debido a las inversiones y el trabajo debido al crecimiento de la población (que se supone exponencial y cuya tasa de crecimiento “n” es exógenamente dada). Estas circunstancias le dan al modelo un carácter dinámico. Esto se puede expresar como sigue en términos matemáticos:

9



KI 

L L

6.

 n, n  0

10

Los empresarios maximizan sus beneficios.

Funcionamiento del modelo: El equilibrio requiere que el mercado de bienes y servicios y el mercado de trabajo se vacíen simultáneamente en cada instante. El mercado de bienes está en equilibrio cuando el ahorro es igual a la inversión. Igualando (8) y (9) resulta: SY   I  sY  K 

199

11

CIRO BAZÁN


El mercado de trabajo está en equilibrio cuando los requerimientos de trabajo igualan la disponibilidad de trabajo. De (5) y (10) resulta: L

Y 





L n





 L  nL  L  nL  0

12

Derivando respecto del tiempo la primera ecuación de (5) resulta:  1  K    Y 

13

Igualando (11) y (13) tenemos que:    1 I  K    Y  sY  Y  s Y  Y  s Y  0 

14

La ecuación (14) nos permite ver que la inversión es explicada por el principio de aceleración, esto es, la inversión es proporcional al cambio instantáneo en la producción. Donde 1    0 es el coeficiente acelerador. Asimismo, de (12) y (14), las sendas de equilibrio son descritas por el siguiente sistema desacoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas: Y  L  nL  0  L     Y  s Y  0

15a 

15b 

En la ecuación (15a), junto a la ecuación diferencial correspondiente al trabajo aparece una restricción técnica sobre el conjunto de soluciones. Suponiendo que las condiciones iniciales para el trabajo y el stock de capital son las siguientes: L0   L 0  K 0   K 0

16

La trayectoria de equilibrio del mercado de bienes y servicios y la disponibilidad instantánea de la fuerza laboral vendrán dadas por: s t  Yt   Y0 e  nt   L t   L 0 e

17a  17b 

En la trayectoria dada por (17a), la producción en cada instante es igual a la demanda efectiva y la tasa de crecimiento instantánea de la producción viene dada por:  GY 

Y t  

Y t 



sY0 e s t Y0 e s t

200

 s

18

CIRO BAZÁN


Esta es la tasa que Harrod (1939) denominó tasa de crecimiento garantizado. Para Harrod, la tasa de crecimiento garantizado es la tasa de crecimiento de la inversión que mantiene la tasa de crecimiento de la demanda (producto verdadero) igual a la tasa de crecimiento de la oferta (producto potencial). Es la tasa a la que los empresarios estarán satisfechos con sus decisiones de inversión, y a dicha tasa los empresarios estarían dispuestos a propiciar una inversión que permita seguir sosteniendo dicho crecimiento. A esta tasa, la demanda es lo suficientemente alta para que los empresarios vendan lo que han producido, y continúen produciendo a la misma tasa de crecimiento. En consecuencia, esta es la trayectoria en la que la oferta y la demanda de bienes y servicios permanecerán en equilibrio, dada la propensión marginal al ahorro. Con la tasa de crecimiento garantizada se mantiene el pleno empleo del capital, pero no se garantiza el pleno uso del trabajo. Teniendo en cuenta los requerimientos técnicos dados por (15a), una trayectoria de producción que satisface dichos requerimientos es una trayectoria a pleno empleo. Teniendo en consideración (15a) y (17b), ésta trayectoria viene dada por: Yt   Lt   L 0 e nt  Y0PE e nt

19

Dónde Y0PE  L 0 es la producción inicial que, cuando se efectúa, utiliza toda la fuerza laboral L 0 en el instante inicial t 0 . Para que una economía partiendo de una producción a pleno empleo Y0PE permanezca por siempre funcionando a pleno empleo, ésta debe crecer a la siguiente tasa:  YN



Y t  

Y t 



nY0PE e nt Y0PE e nt

n

20

Esta es la tasa que Harrod (1939) denominó tasa de crecimiento natural1. Teniendo en consideración (17a) y (19), el equilibrio a pleno empleo en cada instante requiere: Y0 e s t  Y0PE e nt

21

La condición anterior nos dice que una economía que comienza en algún instante desde una situación de pleno empleo Y0  Y0PE permanecerá por siempre a pleno empleo si, desde aquel instante en adelante, la tasa de crecimiento garantizada es igual a la tasa de crecimiento natural. Una economía que en cada instante iguala la tasa de crecimiento natural con la garantizada se dice que sigue una trayectoria de crecimiento equilibrada. Un aspecto importante del modelo de Harrod-Domar es que las magnitudes “s”, “n” y “ν”, sobre las que una solución de crecimiento equilibrado depende, son parámetros libremente asignados (exógenos). No hay necesidad de asumir los valores requeridos para un crecimiento equilibrado. También uno podría asumir que “s” y “ν” varían, admitiendo algún mecanismo que genere los valores requeridos para “s” y “ν”. No obstante, la carencia de tal mecanismo es una importante característica teórica del modelo de Harrod-Domar en la que el crecimiento sigue una trayectoria al “filo de la navaja”, Chirichiello (2000). 1

La tasa de crecimiento natural es la tasa de progreso, que el incremento en la población y las mejoras tecnológicas permiten. Esta tasa se determina por variables macro como la población, los recursos naturales, la tecnología y el equipo de capital. La tasa de crecimiento natural es la tasa de crecimiento máximo posible de una economía.

201

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Para analizar la cuestión referente al “filo de la navaja” vamos a determinar la tasa de cambio instantánea del stock de capital por unidad de trabajo. Para ello vamos a derivar respecto del tiempo la ecuación (4) y remplazaremos en esta derivada las ecuaciones (4) y (10): dk dt



k





KL  KL L2







K L



L L



K L





K L

 nk

22

Dividiendo (11) entre “L” y teniendo en cuenta (2) resulta: 

K L

s

Y L

 sy  sf k 

23

Remplazando (23) en (22) obtenemos la denominada ecuación de movimiento de la economía: k  sf k   nk  s mink,    nk  minsk, s   nk 

24

Dividiendo (24) entre “k” obtenemos la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo. Esto es:  k  k k  sf k  k  n 25 

Análisis Cualitativo: Para efectuar el análisis dinámico cualitativo del modelo de Harrod-Domar vamos a 

construir su diagrama de fase en el plano k k. No obstante, debemos distinguir tres casos dependiendo si la tasa garantizada es menor, igual o mayor a la tasa natural. En la parte superior de la figura 4 se muestran los diagramas de fase correspondientes a cada caso. En los respectivos diagramas inferiores se muestran las trayectorias temporales del stock de capital por unidad de trabajo correspondientes a diversos valores iniciales del stock de capital por unidad de trabajo.  Caso 1: Para el caso en el que s  n, en el panel izquierdo de la figura 4,

resulta que k  minsk, s   nk  0. En este caso la tasa natural “n” es tan grande que, para cualquier valor de “k”, la inversión (ahorro) por persona necesaria para mantener “k” constante nk  , es siempre mayor que la inversión (ahorro) real por persona sf k   minsk, s. En consecuencia “k”, y por tanto la renta y el consumo por unidad de trabajo, disminuirán por siempre hasta converger a cero. Por ende, la economía termina a la izquierda de   y tendrá un permanente y creciente desempleo (ver anexo 1). Para este caso, no existe un valor de equilibrio de estado estacionario positivo. 

202

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 Caso 2: En el caso en el que s  n, para k    se verifica que 

k  sk  nk  nk  nk  0. Si el capital inicial es menor a k *    , la

economía permanecerá en ese nivel por siempre sin alcanzar el valor de capital de estado estacionario. Además, en tal caso, como k a0    , entonces hay trabajadores desempleados, y esto no es deseable. Si el capital inicial es mayor a tenemos que por lo que s  sk, k*    , k  minsk, s   nk  s  nk  s  sk  0, 

con lo cual la economía convergerá a k    , donde la tasa de crecimiento es nula,  *k  0. En este caso la economía se encuentra en un estado estacionario eficiente ya que el stock de capital y el trabajo se utilizan completamente.  Caso 3: Para el caso en el que s  n, en el panel derecho de la figura 4, se aprecia que para 0  k    tenemos que sk  s, por lo que *

k  minsk, s   nk  sk  nk  s  n k  0. Para estos valores de “k” la tasa 

de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo es 

constante e igual a k k  s  n  0. Mientras que para k    se cumple que sk  s, por lo que k  minsk, s   nk  s  nk. Para estos valores de ‘k” la 

tasa de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo, 

k k  s k  n , comienza a disminuir conforme “k” aumenta. El stock de

capital por unidad de trabajo de estado estacionario es tal que k *  s n    . Esta desigualdad implica que en el estado estacionario se cumple que K * L*     K *  L* , por lo que hay un exceso de stock de capital (en el estado estacionario no hay pleno empleo del factor capital. Esto es, existe capital ocioso) aunque no hay trabajadores desempleados. Ya que en el estado estacionario “ k * ” es constante, tanto “K” como “L” crecen a una tasa “n” en el estado estacionario (ver anexo 2). Además, en el estado estacionario, debido a que la fracción del capital “K” que es utilizado permanece constante, la cantidad de capital ocioso (el exceso de capital) también crece de forma sostenida a la tasa “n”2 (Sin embargo, aún se sume que las familias se mantienen ahorrando a una tasa “s”), y obviamente esto no es un resultado deseable. Excepto para el caso 2), el modelo de Harrod-Domar predice que una economía que por casualidad parte del pleno empleo (de capital y de trabajo) se encuentra al “filo de la navaja”. En el largo plazo, esta economía corre el riesgo de presentar dos indeseables resultados: crecimiento perpetuo de desempleo o crecimiento perpetuo de capital ocioso. Otro punto importante es que el crecimiento al estilo de Harrod-Domar no muestra ninguna tendencia a permanecer o converger hacia un estado estacionario. La inestabilidad del estado estacionario se deriva trivialmente notando que gracias a que s  0, se sigue que: lím Kt   lím K 0 e s t  

t 

2

t 

Ver anexo 3.

203

26

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Caso 1 : s  n 





nk

k

Caso 2 : s  n 



sνk = nk

k

Caso 3 : s  n 

k nk

sk

sk

s

s

sf(k)



k0

s n

k 0 *

 

k a0

k 0b

n   s      

n   s       * k     s n

k 0b

k a0

k

s

sf(k)

k



k  s  nk



k

k

k* 

k 0b

k



s



n

 

k* 

k k 0b

s



n

 

s n

 

k a0

k a0

t ta

k 0b

k  s  nk

 

  k a0

k a0  



k  s  n k

k 0b

k *  s n

k  s  n k



k  s  nk

sf(k)

t

t ta

k*  0


Figura 4: Diagramas de fase y las correspondientes trayectorias temporales del stock de capital por unidad de trabajo en el modelo de Harrod-Domar Análisis Cuantitativo:

 Caso 1 s  n  : Si k a0    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k 

27

Cuya solución, para la condición inicial k a0    , viene dada por: k t   k  k 0a es  n t t  0,

204

28

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En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a cero:        a s  n t   k a0 e    0 lím k t   lím k 0 e t   t     

29

Por otro lado, si k 0b    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

30

Cuya solución, para la condición inicial k 0b    , viene dada por: k t   k 

s

s   nt  e t  0, t a    k 0b   n  n 

31

Donde t a , es el instante en el que el stock de capital por unidad de trabajo alcanza el valor   , y que podemos obtener a partir de la ecuación (31):  



s

s   nt a  e   k 0b   n  n 

  s     1   0 n  t a    ln    s  n   kb    0 n  

32

Para t  t a , el stock de capital por unidad de trabajo se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k 

33

Cuya solución, para la condición inicial k t a     , viene dada por: k t   k    es  n  t  t a  t  t a , 

34

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a cero:         s  n  t  t a      e    0 lím k t   lím   e t   t     

35

 Caso 2 s  n  : Si k a0    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k  0  k  k a0    

36

Es decir, si k a0    , entonces el stock de capital por unidad de trabajo de la economía permanecerá desde el principio hasta el infinito en k a0    . 205

CIRO BAZÁN


Por otro lado, si k 0b    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

37

Cuya solución, para la condición inicial k 0b    , viene dada por: k t   k 

s   nt   b    s t  e    k 0  e   k 0b  t  0,     n  n    

s

38

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a   :    b        s   k 0  e   lím k t   lím    k 0b  e  s t   t   t       n     

39

 Caso 3 s  n  : Si k a0     s n , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k 

40

Cuya solución, para la condición inicial k a0     s n , viene dada por: k t   k  k a0es  n t t  0, t a 

41

Donde t a es el instante en el que el stock de capital por unidad de trabajo alcanza el valor   . Dicho instante lo podemos obtener a partir de la ecuación (41): 

 1  k a0 e s  n t a  t a     s  n

    ln   a   k 0

 0  

42

Para t  t a , el stock de capital por unidad de trabajo se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

43

Cuya solución, para la condición inicial k t a     , viene dada por: k t   k 

s

  s   n  t  t a  e    t  t a ,   n  n 

44

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a s n :  s   s   n  t  t   s   s     s a e e        lím k t   lím      t   t   n n  n  n  n    

206

45

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Por otro lado, si k 0b  s n    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

46

Cuya solución, para la condición inicial k 0b  s n    , viene dada por: k t   k 

s

s   nt  e t  0,    k 0b   n  n 

47

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a s n :  s  b s   nt  s  b s    s e   e    k 0  lím k t   lím    k 0    t   t   n n  n  n  n   

48

Simulación numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica, efectuada en Microsoft Excel 2010, del modelo de crecimiento de HarrodDomar para cada uno de los tres casos antes analizados. 

Caso 1 s  n  : Los valores de los parámetros utilizados en este caso se muestran a continuación: Parámetros k0 n s ν sν /ν s /n ta

k0< /ν Valores 45 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 -----

k0> /ν Valores 100 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 0.16666667 2.31606008

Tabla 1: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 2 muestra las ecuaciones utilizadas en la simulación. Condición k0< /ν k0> /ν k0> /ν

t  0,  

Intervalo de tiempo t  0, t a 

t  t a ,  

Ecuación utilizada (28) (31) y (32) (33)

Tabla 2: Ecuaciones utilizadas en la simulación 207

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A continuación, para los valores de la tabla 2, se muestra el comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo en el modelo de Harrod Domar.

Figura 5: Comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo



Caso 2 s  n  : Los valores de los parámetros utilizados en este caso se muestran a continuación: Parámetros k0 n s ν sν /ν s /n

k0< /ν Valores 4.5 0.01 0.5 0.02 0.1 0.01 5 ---

k0> /ν Valores 6.5 0.01 0.5 0.02 0.1 0.01 5 5

Tabla 3: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 4 muestra las ecuaciones utilizadas en la simulación. Condición k0< /ν k0> /ν

t  0,  

Intervalo de tiempo t  0,  

Ecuación utilizada (36) (38)

Tabla 4: Ecuaciones utilizadas en la simulación

208

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Figura 6: Comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo



Caso 3 s  n  : Los valores de los parámetros utilizados en este caso se muestran a continuación: Parámetros k0 n s ν sν /ν s /n ta

k0< /ν Valores 45 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 -----

k0> /ν Valores 100 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 0.16666667 2.31606008

Tabla 5: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 6 muestra las ecuaciones utilizadas en la simulación. Condición k0< /ν
t  0, t a 

Intervalo de tiempo t  t a ,   t  0,  

Ecuación utilizada (41) y (42) (44) (47)

Tabla 6: Ecuaciones utilizadas en la simulación 209

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Figura 7: Comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo Conclusiones: En este documento hemos analizado la estabilidad dinámica del modelo de crecimiento económico de Harrod-Domar. Hemos visto que salvo para el caso en el que la tasa de crecimiento garantizado coincida con la tasa de crecimiento natural, s  n, el modelo pronostica que una economía que por casualidad parte del pleno empleo (de capital y de trabajo) se encuentra al “filo de la navaja”. En el largo plazo, esta economía corre el riesgo de presentar dos resultados no deseados: crecimiento perpetuo del desempleo (en el caso en que s  n ) o crecimiento perpetuo de capital ocioso (en el caso en que s  n ). Asimismo, es importante tener presente que el crecimiento al estilo de HarrodDomar no muestra ninguna tendencia a permanecer o converger hacia un estado estacionario, tal como lo muestra la ecuación (26).

210

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TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA Anexo 1

En este caso, para k    , hay exceso del factor trabajo (es decir trabajo ocioso: desempleo) igual a:  k  K L     K  L    L   K  0   



    L   K    L  K        L  K L   K    

I 

II

De (22) se tiene: 

K L

 k  nk  K  L k  nkL III 





Remplazando (4), (10) y (III) en (II) tenemos:      nL   L k  nkL nL  L k  nkL n   k  nk       L  kL L  kL   k

IV

Por otro lado, para k    , y teniendo en cuenta (24), resulta que: k  minsk, s   nk  sk  nk  s  n k 

V 

Remplazando (V) en (IV) tenemos:  

n  s  n k   nk   k



n   2 sk   k

VI 

Evaluando (VI) en k *  0 resulta:  

n 

n0

VII 

Se observa que en el largo plazo esta economía converge a k *  0, y para ese nivel de stock de capital por unidad de trabajo, el trabajo ocioso (desempleo) crece perennemente a una tasa igual a “n”.

211

CIRO BAZÁN


En el estado estacionario la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo debe ser nula. Igualando (25) a cero tenemos:

 

    k k   sf k * k *  n  0  

 *k

*

VIII

Por otro lado, sabemos que: K  kL  ln K  ln k  ln L  



K K



k K





L L

d ln K dt



d ln k dt de 10

  K  k  L  k  n



d ln L dt

IX

Por tanto, en el estado estacionario se debe cumplir que “K” debe crecer a una tasa constante e igual a la tasa de crecimiento instantánea de la fuerza laboral, “n”:  *K



*

K

K*



0: de  VIII 

  *k

n  n

X 

Anexo 3 En este caso, el stock de capital por unidad de trabajo de estado estacionario es tal que k *  s n    . Esta desigualdad implica que en el estado estacionario se cumple que K * L*     K *  L* , por lo que hay capital ocioso. Esto es, en este caso en el estado estacionario hay un exceso de stock de capital igual a:  k *  K * L*     K *  L*    K *   L*  0 

XI

En consecuencia, teniendo presentes las ecuaciones (10) y (X), la tasa de crecimiento instantánea del exceso de stock de capital en el estado estacionario será:  *    * K    L nK *    nL*      n     *   *  * * K    L K    L     

212

XII

CIRO BAZÁN


Bibliografía Barro, R., Sala-i-Martin, X. (2004): “Economic Growth”, the MIT Press. Segunda Edición. Chirichiello, G. (2000): “Intertemporal Macroeconomic Models, Money and Rational Choices”, Palgrave Macmillan. Primera Edición. De la Grandville, O. (2009): “Economic Growth: A Unified Approach”, Cambridge University Press. Primera Edición. Domar, E. (1946): “Capital Expansion, Rate of Growth and Employment”, Econometrica, 14, pp. 137-47. Harrod, R. (1939): “An Essay in Dynamic Theory”, Economic Journal, 49, pp. 14-33. Sala-i-Martin, X. (2000): “Apuntes de Crecimiento Económico”, Antoni Bosch Editor. Segunda edición.

213

CIRO BAZÁN


214

Modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan Solow (1956) y Swan (1956) buscan comprobar, que el crecimiento equilibrado a pleno empleo en una economía es factible si se remplaza el supuesto adoptado en el modelo de Harrod-Domar de una función de producción con coeficientes técnicos fijos, que no permite la sustitución entre los factores de producción, por una función de producción neoclásica (que permite sustitución entre los factores de producción, que presenta rendimientos constantes a escala, que se caracteriza porque la productividad marginal de cada uno de los factores de producción es positiva, pero decreciente, y que cumple las denominadas condiciones de Inada, 1963). Supuestos del modelo: 1. En una economía abierta la identidad de la renta nacional sería: Y  rD  C  I  G  XN (1)

Donde “Y” es el Producto Bruto Interno (PBI), “r” es el tipo de interés internacional, “D” es la deuda internacional, “C” es el consumo privado, “G” es el gasto público, y “XN” son las exportaciones netas. No obstante, por simplicidad, en este modelo vamos a suponer que el gobierno no gasta nada, por lo que el gasto público es nulo, G  0, y que la economía es cerrada, con lo cual se tiene que D  XN  0. En consecuencia, la identidad (1) se reduce a: Y  C  I  Y  C  S  I (2)

Por tanto, en una economía cerrada sin gasto público la producción1 (que es igual a la renta agregada) se destina al consumo o a la inversión bruta. De forma equivalente, esta misma expresión nos permite afirmar que en una economía cerrada sin gasto público, se debe cumplir que en el equilibrio el ahorro es igual a la inversión. 2. La tasa de ahorro es exógena y constante. En aras de la simplicidad, supondremos que la tasa de ahorro (propensión marginal al ahorro), esto es, la parte ahorrada de la producción, es constante e igual a “s”. Por tanto, la parte consumida de la producción (la propensión marginal a consumir) será: 1  s. Con lo cual, el ahorro y el consumo agregados serían: 0  s 1 S  sY ,  C  1  s Y

3

Y  1  s Y  I  I  sY (4)

Remplazando (3) en (2) resulta:

3. Asumimos que el capital se deprecia a una tasa constante e igual a   0. Esto significa que, en cada intervalo de tiempo, una fracción constante del stock de capital, “K”, se deteriora, y por ende ya no puede ser empleada en el proceso productivo. Por tanto, la depreciación, “DEP” del stock de capital será: DEP  K (5)

1

En este modelo podemos representar la oferta agregada de bienes y servicios a través de una función agregada de producción gracias a que implícitamente se está suponiendo la existencia de un único bien homogéneo (modelo de un sector).

CIRO BAZÁN


De esa forma, la parte de la producción que es comprada por las empresas (inversión bruta: “I”) será igual al aumento neto del stock de capital (inversión neta: 

K  dK dt ) más la depreciación. Esto es: 



I  K  K  K  I  K

6

4. Supondremos que la población de la economía, “N”, es equivalente a la fuerza laboral (factor trabajo), “L”. Asimismo, se supondrá que el trabajo (la población total) crece de forma exponencial en el tiempo (esto es, que la tasa de crecimiento instantánea del trabajo es una constante no negativa): L 



L L





N N

 n,

n0

7 

Integrando (7) entre el instante inicial y un instante posterior “t”, obtenemos la fuerza laboral de la economía en un instante “t”:

 t

0



t  L dt   ndt  ln L  ln L 0  nt  ln  L  L 0 0

L

 nt   nt  L  L 0 e 

8

5. Se supondrá que el stock de capital “K”, el trabajo “L”, y la tecnología2 “A”, en el instante “t”, se pueden combinar para producir bienes finales a través de una función de producción. En este caso vamos a suponer que la función de producción de la economía es neoclásica, y su forma funcional se muestra a continuación: ~ Y  FK, L, A 

(9)

Una función de producción será neoclásica si satisface las siguientes propiedades: 



Presenta rendimientos constantes a escala 3 (es una función homogénea de grado uno4). Esto significa que si multiplicamos por una constante positiva,   0, al stock del capital y al trabajo, entonces la producción quedará multiplicada por dicha constante. En términos analíticos esto se representa de la siguiente forma: ~ ~ FK, L, A     FK, L, A 

(10)

La productividad marginal (PMg) de cada uno de los factores de producción es positiva, pero decreciente. En términos matemáticos, para todo K  0 y L  0 esto significa lo siguiente: ~ ~  FK , L, A  PMgK  2 FK , L, A  PMgK   0,  0  K K K 2  ~ ~ FK , L, A  PMgL  2 FK , L, A    0,  0 PMgL  L L L2 

2

11

La tecnología o conocimiento puede entenderse como la fórmula o programa que describe como deben combinarse el capital y el trabajo para producir bienes finales. 3 Cuando hacemos referencia a rendimientos constantes a escala nos interesa saber que ocurre con la producción cuando aumentamos simultáneamente el capital y el trabajo (pero no la tecnología). 4 Ver anexo 1.

216

CIRO BAZÁN 


Satisface las condiciones de Inada. Para todo K  0 y L  0, estas condiciones son las siguientes: ~  FK , L, A   lím  lím PMgK   0 K   K   K ~   lím FK , L, A   lím PMg    K K  0 K 0 K  ~  FK , L, A   lím PMgL   0 Llím L   L    ~  FK , L, A   lím  lím PMgL    L0 L  0 L  ~  F0, L, A   0 

12

6. Por ahora, supondremos que el nivel tecnológico es constante (la tecnología no crece conforme transcurre el tiempo), y sin pérdida de generalidad lo normalizaremos a uno. Es decir: A  A  1.

13

Análisis del modelo en variables per cápita: Ya que la riqueza de un país está ligada a su renta o a su consumo por persona, entonces vamos a expresar todas las variables del modelo en términos per cápita (en este caso por unidad de trabajo, ya que hemos supuesto que la población total coincide con la fuerza laboral). Para ello bastaría con dividir a las variables del modelo por “L” o mejor aún multiplicarlas por 1 L . Entonces, teniendo en cuenta (2), (3) y (13), el consumo, la inversión bruta (ahorro bruto), la renta o producción, y el stock de capital, todos en términos per cápita, serán: Y C   1  s   1  s y  1  s f k , c  L L   I S sY    sy  sf k   s bp , i  L L L   ~ ~ Y F K , L, A FK , L,1 FK , L  C I        c  i, y  L L L L L L  K  , k  L 



14a 

14b 



14c 

14d 

Donde “ s bp ” representa el ahorro bruto en términos per cápita (por unidad de trabajo). Por otra parte, teniendo en cuenta la propiedad de rendimientos constantes a escala de la función de producción, (14c), (14d), y haciendo   1 L , la función de producción puede expresarse en términos per cápita tal como sigue:



  





~ F K, L, A  ~ ~ K L F , , A   F k ,1, A  f k , A  y L L L 

217

CIRO BAZÁN


 

y  f k, A  f k,1  f k 

15

Esta expresión nos dice que la producción en términos per cápita es una función del stock de capital per cápita (ratio capital producto) y de la tecnología. Por otro lado, para el caso de nivel tecnológico constante y normalizado a uno, gracias a las propiedades de “F”, la función de producción por unidad de trabajo satisface las siguientes propiedades:  df k   f ' k   0  dk   d 2 f k    f '' k   0 2  dk    df k   f ' k    lím    lím  k 0 k 0   dk   df k    lím   lím f ' k   0 k   dk  k   f 0   0 

16a 

16b 

16c 

16d 

16e 

Las anteriores ecuaciones nos dicen que f k  es una función: de valor nulo para k  0, estrictamente creciente con “k”, estrictamente convexa respecto a “k”, para valores muy pequeños del stock de capital por unidad de trabajo la recta tangente a f k  es casi vertical, y para valores muy grandes del stock de capital por unidad de trabajo la recta tangente a f k  es casi horizontal (su pendiente es casi nula). En la figura 1 se muestra la gráfica de f k . y  f k 

f k 

k

Figura 1: Producción por unidad de trabajo expresada en función del stock de capital por unidad de trabajo Ahora estamos en condiciones de calcular la tasa de cambio instantánea del stock de capital per cápita. Para ello vamos a derivar respecto del tiempo a la expresión (14d), para luego remplazar en esta derivada la misma ecuación (14d) y la ecuación (7), resultando: dk dt



k





KLKL L2







L K K      nk, L L L L K

218

17

CIRO BAZÁN


Remplazando (4) en (6) se tiene: 

K  sY  K

18

Dividiendo (18) entre “L” y teniendo en consideración (14c) y (14d) resulta: 

K L



sY L



K L

Sustituyendo (18) en (16) tenemos:





 

 sy  k  sf k , A  k 



19



k  sf k, A  k  nk  sf k, A    n k  sf k     n k, 

20

Esta ecuación es la denominada ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan. Dado el stock de capital per cápita existente en la economía en el instante “t’, esta ecuación nos dice como evolucionará el stock de capital per cápita desde el instante “t” hasta el infinito. Nos dice en cuanto se incrementa de un instante “t” a otro el stock de capital en términos per cápita (inversión neta en términos per cápita). Es decir, esta 

ecuación nos dice que la inversión neta en términos per cápita, k , en todo momento debe ser igual a la diferencia entre la inversión bruta en términos per cápita, sf k , y la inversión que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos trabajadores con capital,   n k. Análisis dinámico cualitativo: Para efectuar el análisis dinámico cualitativo del modelo de Solow-Swan vamos a 

construir su diagrama de fase en el plano k k. En la figura 2 se muestra el diagrama de fase del modelo de Solow-Swan. En dicha figura se muestran: la función de producción en términos per cápita, f k , la inversión bruta en términos per cápita, sf k , la inversión per cápita que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos trabajadores con capital,   n k, y la tasa de cambio instantánea del stock de 

capital en función del stock de capital per cápita, k . Asimismo, para un nivel genérico “k”, se muestra que la suma del consumo y la inversión bruta por persona son iguales a la producción per cápita. Esto es: c  i  f k .

La inversión bruta en términos per cápita, sf k , es proporcional a f k . En consecuencia sf k  tiene las mismas propiedades que f k , esto es: de valor nulo para k  0, estrictamente creciente, estrictamente cóncava, con recta tangente casi vertical para valores del stock de capital per cápita positivos próximos a cero, y con recta tangente casi horizontal para valores del stock de capital muy grandes. Además, debido a que “s” es una constante cuyos valores se encuentran entre cero y uno, la función sf k  será proporcionalmente inferior a la función f k , tal como se aprecia en la figura 2. Por otro lado, la función   n k representa una línea recta, que pasa por el origen y que posee una pendiente positiva e igual a   n , en el plano de fase. 219

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA f k 

 

n   k

 

c*  1  s f k *

f k*

sf k 

c

i

 

i*  sf k *  n   k *

k 0b k a0

k

k

k*

k  sf k   n   k 

Figura 2: Diagrama de fase del modelo de Solow-Swan

Asimismo, ya que sf k  y   n k son de valor nulo para k  0, ambas funciones se 

cortan en el origen, por lo que en dicho punto se verifica que k  0. Esto significa que en k  0 tenemos un punto de equilibrio estacionario. No obstante, si k  0, entonces f 0  0, lo que significa que no habría producción. Entonces, este punto de equilibrio carece de interés económico, y por ende no lo vamos a considerar en nuestro análisis. Pero, por otra parte, en k  0, la recta tangente a la función sf k  es casi vertical (con pendiente casi infinita en términos absolutos) mientras que la pendiente de la recta   n k es finita e igual a   n . Es por eso que para valores de “k” próximos a cero la función sf k  se encuentra encima de la recta   n k, tal como se aprecia en la figura 2.

Conforme “k” aumenta, la pendiente de la recta tangente a sf k  es estrictamente decreciente: sf ' k   0. En consecuencia dado que la pendiente de la recta tangente a sf k  va convergiendo hacia cero y gracias a que la pendiente de la recta   n k es finita e igual a   n , entonces existirá un valor de “k” no nulo donde ambas funciones se corten nuevamente. En la figura 2 dicho valor bien dado por k * . Para valores de “k” mayores a k * , la pendiente de la recta tangente a sf k  sigue disminuyendo mientras que la pendiente de la recta   n k sigue siendo una constante positiva igual a   n . En consecuencia, para k  k * las funciones sf k  y   n k no vuelven a cortarse más. Entonces, por todo lo anteriormente dicho, descartando el punto k  0, el punto k * es el único punto de equilibrio estacionario en el modelo de Solow-Swan. Es decir, en este 

punto se verifica que k  0, por lo que en dicho punto el stock de capital per cápita de la economía permanecería constante por siempre. 220

CIRO BAZÁN


Finalmente, la figura 2, como ya hemos dicho, nos muestra también el diagrama de fase (curva de color celeste) junto con las líneas de fuerza dinámicas (flechas de color rojo) del modelo de Solow-Swan. Este diagrama nos muestra el comportamiento de “k” para los siguientes casos: k  k * , k  k * , y k  k * . 





Caso 1 k  k *  : Para valores de “k” menores a k * la curva sf k  se encuentra

encima de la recta   n k, por lo que k  sf k     n k  0. Esto significa que conforme transcurra el tiempo, entonces “k” aumentará. Por ejemplo, si la economía empieza con un nivel de capital k a0  k * , entonces las líneas de fuerza dinámica harán que la economía se desplace de izquierda a derecha en la dirección de “k” hacia el punto k * . Caso 2 k  k *  : Para valores de “k” mayores a k * la curva sf k  se encuentra 

debajo de la recta   n k, por lo que k  sf k     n k  0. Esto significa que conforme transcurra el tiempo, entonces “k” disminuirá. Por ejemplo, si la economía empieza con un nivel de capital k 0b  k * , entonces las líneas de fuerza dinámica harán que la economía se desplace de derecha a izquierda en la dirección de “k” hacia el punto k * . Caso 3 k  k *  : Para valores de “k” iguales a k * la curva sf k  coincide con 

la recta   n k, por lo que k  sf k     n k  0. En consecuencia, k *  cte. 

En consecuencia, del análisis anterior podemos deducir que el punto k * es un punto de equilibrio dinámicamente estable. Independiente del nivel de partida de “k”, en el largo plazo la economía siempre convergerá al nivel k * . En el estado estacionario k *  k * s, , n  se obtendrá resolviendo la siguiente ecuación:

 

k  sf k *    n k *  0 

21

Tasas de crecimiento en el estado estacionario: Crecimiento equilibrado La tasa de crecimiento económico de largo plazo es la tasa de crecimiento medio de la economía durante un periodo de tiempo relativamente amplio. Por tanto, la tasa de crecimiento de largo plazo es la tasa de crecimiento de la economía (la tasa de crecimiento del PBI potencial o de largo plazo) en estado estacionario. En esta sección vamos a demostrar que el modelo de crecimiento económico de SolowSwan garantiza que en el largo plazo todas las variables en términos agregados (K, Y, y C) crezcan a una tasa constante e igual a la de la fuerza laboral. Es decir, el modelo de Solow-Swan garantiza un crecimiento equilibrado de la economía.

 Tasa de crecimiento del capital per cápita, “k”5: Teniendo en cuenta (20), tenemos que: k 



k k



sf k     n k k



sf k  k

   n 

22

Se puede demostrar fácilmente que la tasa de crecimiento del stock de capital per cápita, “k” es estrictamente decreciente con “k” (véase anexo 2).

5

221

CIRO BAZÁN


 Tasa de crecimiento del PBI per cápita, “y”: Teniendo en cuenta (15), tenemos que:   kf ' k  k k  ' y f k  f k  k   kf k  y      k y f k  f k  f k  f k  





'

23

 Tasa de crecimiento del consumo per cápita, “c”: Teniendo en cuenta (14a), tenemos que: c 



c c



d 1  s f k  dt

1  s f k 



1  s f ' k  k 1  s f k  



f ' k  k 

f k 

 y

24

Como mostraremos a continuación, en el estado estacionario las tasas de crecimiento del stock de capital, del consumo, y del PBI, todas en términos per cápita, son nulas. 

En el estado estacionario k  k *  cte. Entonces, debe verificarse que k  0, con lo cual la tasa de crecimiento del capital per cápita será nula. Esto es:

25

 *k  0

Remplazando (25) en (23) y (24) obtenemos las tasa de crecimiento del PBI y del consumo en términos per cápita para el estado estacionario.  *y   *c  0

26

En conclusión, en el modelo de Solow-Swan, las variables per cápita, PBI, consumo y stock de capital, crecen en largo plazo a una tasa nula. Es decir, este modelo nos dice que el PBI, el consumo y el stock de capital por persona permanecerán constantes en el largo plazo. Esto no es válido ya que en economías reales se ha observado que, por ejemplo, los niveles de PBI medios per cápita han variado mucho desde principios hasta finales del siglo XX. En este sentido el modelo de Solow-Swan no resulta satisfactorio ya que no explica los determinantes del crecimiento económico. El hecho que las tasas de crecimiento del stock de capital, del consumo, y del PBI, todas en términos per cápita, sean nulas en el largo plazo implica que sus respectivas tasas en términos agregados sean constantes e iguales a la tasa de crecimiento del trabajo en el largo plazo, tal como mostraremos a continuación. De (14d) se tiene que: k

K  ln k  ln   ln K  ln L  ln k  ln K  ln L L L

K

Derivando (27) respecto del tiempo resulta: dln k  dt



dln K  dt



222

dln L  dt

28

27

CIRO BAZÁN


k k









K K

L L

 k  K  L

Remplazando (7) en (29) tenemos: k  K  n

29

30

En el estado estacionario, teniendo en cuenta (25) resulta que:  *k   *K  n  0   *K  n

31

De (14c) se tiene que: y

Y  ln y  ln   ln Y  ln L  ln y  ln Y  ln L L L

Y

Derivando (32) respecto del tiempo resulta: dln y  dt 

y y





Y Y



 

L L

dln Y  dt



dln L  dt

 y  Y  L

Remplazando (7) en (34) tenemos: y  Y  n

32

33 34

35

En el estado estacionario, teniendo en cuenta (26) resulta que:  *y   *Y  n  0   *Y  n

36

Finalmente, de (14a) se tiene que: c

C  ln c  ln   ln C  ln L  ln c  ln C  ln L L L

C

Derivando (37) respecto del tiempo resulta: dln c  dt 

c c





C C



 

L L

dln C  dt



dln L  dt

 c  C  L

223

38 39

37

CIRO BAZÁN


Remplazando (7) en (39) tenemos:

c  C  n

40

En el estado estacionario, teniendo en cuenta (26) resulta que:  *c   *C  n  0   *C  n

41

Estática Comparativa: El impacto de un cambio en la tasa de ahorro o en la tecnología Supongamos que una economía ha alcanzado su estado estacionario y que partiendo de este punto (punto “A” en la figura 3) la tasa de ahorro se incrementa inesperada y permanentemente debido a un cambio en la conducta de los consumidores, ceteris paribus. En la figura 3, un incremento en la tasa de ahorro s  s 2  s1  0 hace que la curva de inversión bruta per cápita s1f k  se convierta en s 2 f k . Esto es, ante un aumento en la tasa de ahorro, la curva de inversión bruta “salta” hacia arriba, y el punto de corte entre la curva de inversión bruta per cápita y la recta n   k se produce en un nivel de stock de capital mayor, k *2 . Es decir, ante una tasa de ahorro mayor, el stock de capital per cápita de estado estacionario es más alto. Por tanto, el stock de capital per cápita de estado estacionario es creciente con la tasa de ahorro.

n   k f k 

B

s 2 f k 

s1f k 

A

k1*

k *2

k

Figura 3: Efecto de un incremento súbito y permanente en la tasa de ahorro Ya que el nivel de renta (producción) per cápita es una función creciente del stock de capital per cápita, en consecuencia, la renta per cápita de estado estacionario también será una función creciente del stock de capital per cápita. Pero como el stock de capital per cápita de estado estacionario es una función creciente de la tasa de ahorro, entonces la renta per cápita de estado estacionario también será una función creciente de la tasa de ahorro. Es decir, en el estado estacionario, los países que posean una renta per cápita elevada (países ricos) también poseerán unas tasas de ahorro mayores. 224

CIRO BAZÁN


Por otra parte, un aumento de la tecnología (es decir, un aumento en “A”) haría saltar las curvas f k  y sf k  hacia arriba, produciendo un efecto similar al incremento en la tasa de ahorro. Esto es, ante un incremento en la tecnología, el stock de capital de estado estacionario aumentaría. El impacto en un cambio en las tasas de depreciación del capital o de la población Supongamos que una economía ha alcanzado el estado estacionario y que partiendo de este punto (punto “A” en la figura 4) la tasa de depreciación del stock de capital o la tasa de crecimiento de la población (por ejemplo debido a la inmigración) se incrementa, ceteris paribus. Ante un incremento en la tasa de depreciación del stock de capital    2  1  0, o de la tasa de crecimiento de la población n  n 2  n1  0, o de ambas simultáneamente, la pendiente de la recta n   k aumenta, con lo cual dicha recta “salta” hacia arriba, tal como se aprecia en la figura 4. Pero, ahora el punto de corte entre la curva sf k  y la recta n   k se produce en un nivel de stock de capital inferior, con lo cual el nivel del stock de capital de estado estacionario disminuye: k  k *2  k 1*  0.

n 2

  2 k

n1  1 k

f k 

sf k 

A B

k *2

k

k 1*

Figura 4: Efecto del incremento de la tasa de depreciación del stock de capital y/o de la tasa de crecimiento de la población La regla de oro de acumulación del capital:6 La variable que realmente afecta al bienestar de la sociedad no es la producción de bienes y servicios, ni el stock de capital, sino el consumo per cápita. De acuerdo a la ecuación (14a), este consumo en el estado estacionario viene dado por:

   

 

c *  1  s f k *  f k *  sf k *

6

42

El nombre de regla de oro de la acumulación del capital se debe a Phelps, 1966.

225

CIRO BAZÁN


Pero de (21), en el estado estacionario se cumple que:

 

 

k  sf k *    n k *  0  sf k *    n k * 

 

Remplazando (43) en (42) resulta:

   

c*  f k*  sf k*  f k*    n k *

43

44

Esta ecuación nos dice que en el estado estacionario el consumo per cápita es igual a la diferencia entre la producción por persona y la inversión per cápita que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos trabajadores con capital. Este consumo es el correspondiente a una senda de crecimiento equilibrado. El problema que nos atañe en esta sección es determinar el nivel de la tasa de ahorro que maximiza el consumo per cápita en el estado estacionario. Para ello, primeramente vamos a hallar la “regla de oro” de acumulación del stock de capital maximizando (44) respecto de “k”. Esto es: Max f k     n k  45 k 

La regla de oro de acumulación del capital, es decir, la condición necesaria de primer orden para maximizar el consumo per cápita de estado estacionario viene dada por: f ' k oro     n 

46

Esta regla nos dice que el nivel de stock de capital per cápita que maximiza el consumo per cápita de estado estacionario, “ k oro ”, será aquel para el cual la pendiente de la función de producción per cápita coincide con la pendiente de la función de inversión per cápita que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos trabajadores con capital. En la figura 5 se muestra que la distancia máxima entre f k  y n   k se da en “ k oro ”, donde la recta tangente a f k  y la recta n   k tienen la misma pendiente (son paralelas). Pero no hay que perder de vista que como se ha supuesto que en este modelo la tasa de ahorro es exógena, es decir en este modelo la tasa de ahorro de la sociedad no se obtiene de un proceso de optimización de la trayectoria del consumo, una vez hallada la “ k oro ”, se supone que es posible llevar la tasa de ahorro (por ejemplo a través de políticas de incentivos fiscales) al nivel “ s oro ”. Es decir, dado que en este modelo no hay nada que garantice que la economía tenderá a cumplir la regla de oro, entonces para alcanzar esta posición, se tendrá que escoger la tasa de ahorro, “ s oro ”, que haga que el estado estacionario se de en “ k oro ”. En la figura 5 también se puede apreciar que si la tasa de ahorro de la economía “s” es superior a la de oro, “ s oro ”, entonces el stock de capital, “ k * ”, será mayor al stock de capital per cápita de oro, “ k oro ”. No obstante, mantener permanentemente una tasa de ahorro superior a “ s oro ” es ineficiente ya que mayores cantidades de consumo per cápita podrían obtenerse en cada instante del tiempo reduciendo la tasa de ahorro.

226

CIRO BAZÁN


Consideremos una economía, tal como la descrita por la tasa de ahorro “s” en la figura 5, para s  s oro , de manera que k *  k oro , y c *  c oro . Supongamos que estando la economía en el estado estacionario (punto “A”) se produce una disminución súbita y permanente de la tasa de ahorro, de “s” a “ s oro ” (saltando de la curva verde a la curva azul), con lo cual se produce un incremento instantáneo del consumo per cápita, de “ c * ” a “ c1 ”, con c1  c oro . Luego de esto, se produce un periodo de transición en el que el consumo per cápita disminuye monótonamente hasta converger a su nuevo valor de estado estacionario, c oro . Ya que c *  c oro , entonces durante todo el periodo de transición el consumo per cápita será mayor a “ c * ” e incluso mayor al consumo de su nuevo estado estacionario, “ c oro ”. Por tanto, cuando s  s oro , la economía está “sobreahorrando” en el sentido que el consumo per cápita en todos los instantes del tiempo podría aumentarse disminuyendo la tasa de ahorro. Una economía que está “sobreahorrando” se dice que es dinámicamente ineficiente ya que la trayectoria de consumo per cápita permanece por debajo de trayectorias factibles alternativas en cada instante del tiempo, Barro y Sala (2004). Además, ya que hemos supuesto que la sociedad obtiene utilidad del consumo, siendo la utilidad creciente con el consumo, disminuir la tasa de ahorro será una política que socialmente proporcionará una mayor satisfacción independientemente de la forma funcional de su utilidad, por lo que mantener una s  s oro , no es socialmente eficiente.

n   k

Recta paralela a n   k

f k 

P

sf k 

c* Q

A

c oro

s oro f k 

c1

B

C

k oro

k*

k

Figura 5: Regla de oro de la acumulación del stock de capital En la figura 6 se muestra la trayectoria del consumo, del capital per cápita y de su tasa 

de cambio instantánea, “ k ”, cuando se produce una reducción repentina y permanente de la tasa de ahorro, siendo la tasa de ahorro inicial de la economía superior a la de la regla de oro. Asimismo, en esta misma figura se aprecia la trayectoria de la tasa de ahorro en cada instante del tiempo.

227

CIRO BAZÁN


La figura 6 nos permite apreciar que la reducción de la tasa de ahorro se da en el instante “ t 0 ”. Antes de dicha reducción la tasa de ahorro tiene un nivel igual “s”, y justo después de dicha reducción la tasa de ahorro permanece constante a lo largo del tiempo en un nivel igual a “ s oro ”. Por su parte, el consumo per cápita antes de la reducción permanente de la tasa de ahorro era el consumo de estado estacionario, “ c * ”. Justo cuando la tasa de ahorro disminuye, el consumo per cápita se incrementa al nivel “ c1 ”. Posteriormente, durante la transición hacia el nuevo consumo de estado estacionario, “ c oro ”, el consumo es superior al que había en el anterior estado estacionario, “ c * ”. Asimismo, antes de la reducción de la tasa de ahorro, el stock de capital per cápita era 

igual a “ k * ” y en este punto k  0. Justo cuando la tasa de ahorro disminuye, el valor del stock de capital per cápita no salta inmediatamente al nuevo valor de estado

estacionario, “ k oro ”, sino que permanece en “ k * ”. En este nivel k  0, ya que s oro f k  es menor que n   k. Por tanto, “k” empieza a disminuir hasta alcanzar el nuevo nivel 



de estado estacionario, “ k oro ”, donde nuevamente k  0. Por tanto, en el periodo de 

transición al nuevo estado estacionario, “ k ” será estrictamente creciente (pasando de un valor negativo a un valor nulo).

s

s oro

t

t0 c1 c oro

c*



k0

t

t0



k0

t0

t



k0 k*

k oro

t

t0

Figura 6: Efectos sobre el consumo per cápita ante la reducción súbita y permanente de la tasa de ahorro cuando la tasa de ahorro inicial es superior a la de oro 228

CIRO BAZÁN


Dinámica durante el periodo de transición hacia el estado estacionario En esta sección vamos a analizar el comportamiento dinámico de la tasa de crecimiento instantáneo del stock de capital per cápita conforme “k” aumenta hasta converger a su valor de estado estacionario, para luego hacer lo propio con las tasas de crecimiento de la renta (producto) y el consumo per cápita.

La tasa de crecimiento del capital per cápita,  k , viene dada por (22). Esta tasa es la diferencia entre la función sf k  k y la suma de las tasas de depreciación del capital y de crecimiento de la población,   n. Es fácil notar que mientras mayor sea “s”, mayor será  k . Asimismo, a mayor “  ” o a mayor “n”, menor será  k . Ahora, para efectuar el análisis del comportamiento dinámico de  k , vamos a graficar dicha tasa y sus componentes ( sf k  k y   n ) en función de “k”. Para ello, primeramente debemos tener en cuenta que la expresión   n representa una recta horizontal para todo “k”, y que sf k  k tiene las siguientes propiedades:  Es decreciente con “k”: La derivada de sf k  k es negativa. Teniendo en cuenta la condición (IV) del anexo 2, resulta: dsf k  k  dk 

skf ' k   sf k  k

2



s k2

kf k   f k   0

47

'

 Tiende a infinito cuando “k” se aproxima a cero (se aproxima asintóticamente al eje vertical cuando “k” tiende a cero). Aplicando L’Hôpital y teniendo en cuenta la condición de Inada (16c) tenemos:









 sf k   sf ' k   s lím f ' k    lím    lím  k 0 k 0 k 0  k 

48

 Tiende a cero cuando “k” se aproxima a infinito (se aproxima asintóticamente al eje “k” cuando “k” adopta valores muy grandes). Aplicando L’Hôpital y teniendo en cuenta la condición de Inada (16d) tenemos:









 sf k   sf ' k   s lím f ' k   0 lím    klím k   k      k 

49

Teniendo en cuenta lo anteriormente analizado, en la figura 7 se muestran las funciones sf k  k y   n. Asimismo, en esta figura las líneas verticales entre sf k  k y   n, representan la tasa de crecimiento instantánea de “k”. Gracias a que la función sf k  k es estrictamente decreciente con “k” y a que la función   n es constante y positiva para todo “k”, entonces ambas curvas se cruzan una y sólo una vez para valores de “k” positivos. El punto donde se cruzan las funciones sf k  k y   n, es “ k * ”, el capital

per cápita de estado estacionario. Además, si la economía parte en k a0  k * , inicialmente  k  0 ya que la recta   n está debajo de la función sf k  k , con lo cual “k” comienza a aumentar conforme transcurre el tiempo. Mientras “k” aumenta, “  k ” disminuye y tiende a cero según “k” converge a “ k * ”. Si la economía parte en k 0b  k * , inicialmente  k  0 ya que la recta   n está encima de la función sf k  k , con lo cual “k” comienza a disminuir conforme transcurre el tiempo. Mientras “k” disminuye, “  k ” aumenta y tiende a cero según “k” converge al estado estacionario “ k * ”, en el que “k” (y, por tanto, “y” y “c”) no varía. Por tanto, el sistema es dinámicamente estable. 229

CIRO BAZÁN


k  0

k  0

n

A sf k  k

k a0

k

k 0b

k*

Figura 7: Dinámica del modelo de Solow-Swan durante el periodo de transición hacia el estado estacionario A continuación vamos a estudiar como varía la tasa de crecimiento instantánea de la renta (producción) per cápita durante el periodo de transición hacia el estado estacionario. Dividiendo y multiplicando (23) por “k” resulta:   kf ' k  k k  y   y   y f k  

50

Remplazando (22) en (50) se obtiene:

  sf k  kf ' k     n   kf ' k   y k   '  sf k     n  y     sf ' k     n  k k  y f k   f k   

Donde:  k k  

kf ' k  f k 

51

52

La ecuación (52)7 no es más que la participación del ingreso per cápita percibido por los dueños del capital per cápita, kf ' k , en el ingreso total per cápita, p  f k   1  f k   f k . Por tanto: 0   k k   1

7

Véase ecuación (XIV) del anexo 3.

230

53

CIRO BAZÁN


Ahora, derivando (51) respecto de “k” se tiene: d y dk

Por su parte:

d k k  dk

 sf ' ' k     n 

d k k  dk

54

f k   kf k f k   kf k   '

''

Remplazando (55) en (54) tenemos que:

f k 2



'



55

2





 f ' k   kf ' ' k  f k   k f ' k  2  sf k     n   f k 2 dk 

d y

''

   

   n k  f ' k   kf ' k     n  f ' ' k s  1        dk f k   f k   f k   

d y

kf ' ' k   sf k  f ' k   kf ' k        n     n   1   dk f k   k f k   f k   

d y

Remplazando (22) y (52) en (54) obtenemos: d y



dk

kf ' ' k  f k 

 k     n 

f ' k  f k 

56

1   k k  57

Teniendo en consideración los supuestos del modelo de crecimiento de Solow-Swan, f k   0 k  0, f ' k   0 k  0, f ' ' k   0 k  0, 0   k k   1  1   k k   0, se

  con lo cual kf k  f k 

tiene que:    n  f ' k  f k  1   k k   0 . En consecuencia, si k  k * , entonces  k  0,

''

  0, de donde se desprende que

d y dk  0. Por

tanto, si k  k , “  y ” disminuye conforme “k” aumenta (y por ende conforme “y” k

*

aumenta8). Ahora, si k  k * , entonces  k  0, el signo de d y dk no resulta evidente cuando utilizamos una función de producción genérica. Finalmente, de las ecuaciones (23) y (24) sabemos que las tasas de crecimiento instantáneo del consumo y de la renta (producto) per cápita son iguales. Por tanto, el consumo per cápita tiene el mismo comportamiento dinámico que el producto per cápita.

Dado que y  f k   0  f ' k   0 k  0, por tanto conforme “k” aumenta entonces “y” aumenta. En consecuencia, un incremento en “k” supone un incremento en “y”. 8

231

CIRO BAZÁN


Experimentos de política económica Incrementos sucesivos en la tasa de ahorro Supongamos que la economía inicialmente se encuentra en el estado estacionario (punto “A” en la figura 8) y que súbita y permanentemente se produce un incremento en la tasa de ahorro, pasando de “s0” a “s1”, ceteris paribus. Ante el incremento en “s”, la función s 0 f k  k se desplazaría hacia la derecha, mientras la recta   n permanecería inalterada, tal como se aprecia en la figura 8. Asimismo, en el instante justo en el que se produce el incremento de “s” la tasa de crecimiento instantánea de “k” se hace positiva (salta de cero en “A” a un valor positivo en “B”), por lo que conforme transcurra el tiempo “k” aumentará (y por tanto también “y”) y en el largo plazo convergerá a un nuevo valor de estado estacionario (punto “C” en la figura 8), donde la tasa de crecimiento instantánea de “k” será nula y “k” (al igual que “y”) permanecerá constante perennemente. Por tanto, aunque una política de incremento de la tasa de ahorro consigue incrementar “k” e “y” en el estado estacionario, no consigue incrementar las tasas de crecimiento instantáneas de “k” ni de “y” en el largo plazo (en el estado estacionario dichas tasas son nulas).

 Bk  0

B  Dk  0

D

 Ek  0

 Ak  0

A

E

C

s 2 f k  k s1f k  k

 Ck  0

k *0

n

s 0 f k  k k 1*

k 1*

k

Figura 8: Incrementos súbitos y permanentes de la tasa de ahorro Por otro lado, un incremento sucesivo9 de la tasa de ahorro (pasando ahora de “s1” a “s2”), tal como se aprecia en la figura 8, transitoriamente conseguiría incrementar la tasa de crecimiento instantánea del capital per cápita (pasando de cero en “C” a un valor positivo en “D”), pero finalmente la economía terminaría en un nuevo estado estacionario donde la tasa de crecimiento instantánea de “k” es nula (en el punto “E”). En consecuencia, incrementos sucesivos de “s” no consiguen solucionar el problema del modelo de crecimiento de Solow-Swan, que no logra explicar el crecimiento de largo plazo observado en economías reales con la inversión en capital físico de una fracción constante del PBI. 9

Es importante resaltar que se podrán realizar sucesivos incrementos en la tasa de ahorro pero hasta alcanzar el límite superior que ésta permite, que corresponde a la unidad. Esto elimina la posibilidad de realizar infinitos incrementos de “s” y así conseguir una tasa de crecimiento positiva.

232

CIRO BAZÁN


Decrementos sucesivos en la tasa de crecimiento de la población Supongamos que la economía inicialmente se encuentra en el estado estacionario (punto “A” en la figura 8) y que súbita y permanentemente se produce un decremento en la tasa de crecimiento de la población, pasando de “n0” a “n1” (n0 > n1), ceteris paribus. Ante el decremento en “n”, la función   n se desplazaría hacia abajo, mientras la función sf k  k permanecería inalterada, tal como se aprecia en la figura 8. Asimismo, en el instante justo en el que se produce el decremento de “n” la tasa de crecimiento instantánea de “k” se hace positiva (salta de cero en “A” a un valor positivo en “B”), por lo que conforme transcurra el tiempo “k” aumentará (y por tanto también “y”) y en el largo plazo convergerá a un nuevo valor de estado estacionario (punto “C” en la figura 8), donde la tasa de crecimiento instantánea de “k” será nula y “k” (al igual que “y”) permanecerá constante perennemente. Por tanto, aunque una política de decremento de la tasa de crecimiento de la población consigue incrementar “k” e “y” en el estado estacionario, no consigue incrementar las tasas de crecimiento instantáneas de “k” ni de “y” en el largo plazo (en el estado estacionario dichas tasas son nulas).

  n0   n1

  n2

 Ak  0

A  Bk  0

 Ck  0

B

 Dk  0

 Ek  0

C

D

k *0

E

k 1*

k *2

sf k  k

k

Figura 9: Reducciones súbitas y permanentes de la tasa de crecimiento de la población Por otro lado, un decremento sucesivo de la tasa de crecimiento de la población (pasando ahora de “n1” a “n2”), tal como se aprecia en la figura 8, transitoriamente conseguiría incrementar la tasa de crecimiento instantánea del capital per cápita (pasando de cero en “C” a un valor positivo en “D”), pero finalmente la economía terminaría en un nuevo estado estacionario donde la tasa de crecimiento instantánea de “k” es nula (en el punto “E”). En consecuencia, decrementos sucesivos de “n” no generan tasas de crecimiento positivas en el largo plazo. Finalmente, es importante resaltar que sería imposible realizar infinitos decrementos de “n” para conseguir una tasa de crecimiento del capital (y también del producto) per cápita positiva en el largo plazo, ya dichas reducciones finalmente conducirían a tasas de crecimiento de la población cada vez más negativas, corriendo peligro la población mundial de extinción. 233

CIRO BAZÁN


Implicaciones cuantitativas Efectos sobre la renta per cápita de un incremento en la tasa de ahorro en el largo plazo En esta sección vamos a analizar si la tasa de ahorro puede tener un efecto cuantitativamente importante sobre la renta per cápita de largo plazo (en el estado estacionario), de modo que explique las significativas diferencias que se observan en la renta per cápita entre los países. En ese sentido, vamos a determinar el efecto que a largo plazo tiene un cambio en la tasa de ahorro en la renta (producción) per cápita. En términos analíticos, esto es: y*

   f k  k s, n,  

f k *



s

58

*

s

'

s

*

Pero, para poder determinar (58) primeramente deberemos calcular k * s, n,   s . Para ello, vamos a derivar implícitamente la ecuación (43) respecto de la tasa de ahorro, esto es:

 

    n k s, n,  

 sf k * s, n ,   s

 

 

f k  sf k *

k * s

'



Remplazando (59) en (58) resulta: y* s



*

*

s

k * s

 

   n 

 

s

s

59

  n   sf ' k *  f k*

f k *

k *

      n   sf k  f ' k*  f k* '

60

*

Multiplicando por s y* a ambos lados de la ecuación (60) obtenemos la elasticidad parcial de la renta per cápita de estado estacionario respecto a la tasa de ahorro,  y * s :  y*s 

s y*



y * s



    f k    n   sf k  s

*



f ' k*  f k* '

*

61

Por otro lado, de (43) se tiene que en el estado estacionario:

 

sf k *    n k *  s 

234

  n k *

 

f k*

62

CIRO BAZÁN


   

Sustituyendo (62) en (61) obtenemos:  y*s 

  n k *

f k 

2

*

f ' k*  f k*



  n  

  f k   f k k 1 f k 

  n k *

 

f k*

f ' k* k*

 y*s

63

*

'

*

 

f ' k*

*

*

Remplazando (52) en (63) se obtiene:  y*s 

s y*



y * s

   y % 1   k  s% k k*



*

*

64

Donde  k k *  es la participación del ingreso per cápita percibido por los dueños del capital per cápita, k * f ' k * , en el ingreso total per cápita, p  f k *   1  f k *   f k * , en el estado estacionario. k

Esta participación relativa del capital, en un gran número de países industrializados, se ha encontrado que aproximadamente es de 0,33, con lo cual la elasticidad parcial de la renta per cápita de estado estacionario respecto a la tasa de ahorro ascendería aproximadamente a 0,5. Entonces, un incremento del 10% en “s” produciría aproximadamente un incremento en la renta per cápita en el largo plazo del 5% respecto al valor que hubiese tenido de no haberse producido el incremento en “s”. Mientras que un incremento de mayor magnitud en “s”, digamos del 50%, únicamente incrementaría a y*  f k *  en un 25% aproximadamente. En consecuencia, incrementos sustanciales de “s” tienen un efecto relativamente moderado sobre la renta (producción) per cápita en el largo plazo. La velocidad de convergencia 1. Definiciones alternativas de velocidad de convergencia:  Definición 1: La velocidad de convergencia de “k” hacia su estado estacionario “ k * ”, según Sato (1966), viene dada por: k  





 k *  k t k k *

65

En consecuencia,  k es la tasa a la que k *  k disminuye en relación a su magnitud conforme transcurre el tiempo. Asimismo,  k aproximadamente mide





en cuanto disminuye la  k *  k % conforme transcurre una unidad de tiempo de magnitud infinitesimal. 235

CIRO BAZÁN


 Definición 2: Teniendo en consideración que k * permanece constante, la velocidad de convergencia de “k” hacia su estado estacionario “ k * ”, alternativamente a la definición 1, se puede expresar como: k t

k 



k*  k



k

k*  k

66

 Definición 3: La velocidad de convergencia de “k” hacia su estado estacionario “ k * ”, según Barro et al. (2004) y Sala-i-Martin (2000), viene dada por:  BS k

   k k      k    k  k    k  ln k   ln k 

67

Es decir,  BS k es la semi-elasticidad de la tasa de crecimiento instantáneo de “k” respecto de “k”. Para Sala-i-Martin (2000),  BS mide el cambio en la tasa de k crecimiento instantáneo de “k” cuando “k” aumenta en un 1%. Mientras que en Barro/Sala-i-Martin (2004),  BS mide en cuánto la tasa de crecimiento k instantánea de “k” declina según “k” se incrementa en un sentido proporcional. 2. Una interpretación geométrica de la velocidad de convergencia en el modelo de Solow-Swan Haciendo uso de la definición 2 de velocidad de convergencia, en la figura 10 se muestra el diagrama de fase correspondiente al modelo de Solow-Swan, cuya función 

de producción satisface las condiciones de Inada, en el plano k k. Se puede apreciar que, partiendo de cualquier “ k 0 ”, la velocidad de convergencia de “k” hacia su estado estacionario “ k * ”, viene dada por el valor negativo de la pendiente del segmento de recta que une los puntos “A” y “ k * ”:  k  tg 



k0

k  k0 *



k 0 t

k*  k 0

68



k k  sf k   n   k 

A



k0 

k*

k0

k

Figura 10: Interpretación geométrica de la velocidad de convergencia 236

CIRO BAZÁN


En la figura 11 se puede apreciar que para k 0  k * , conforme “k” aumenta y se aproxima a su valor de estado estacionario, su velocidad de convergencia aumenta ya que el valor absoluto de la pendiente del segmento de recta que une los puntos “Ai” (i = 0, 1) y “ k * ” aumenta. Cuando “k” tiende a su valor de estado estacionario, “ k * ”, la 

velocidad de convergencia es el valor negativo de la derivada de “ k ” evaluada en “ k * ” respecto de “k”, Reiss (2000). Aplicando la regla de L’Hôpital al límite de  k , ecuación (66), cuando “k” tiende a “ k * ” obtenemos la velocidad de convergencia de “k” en el estado estacionario. Esto es:

 

k k*

 

       k k k k* k     k t       lím  lím   lím*  *  * * *   k k k  k  k  k k  k  k  k k   1     

69

Derivando (20) respecto de “k” y evaluando dicha derivada en “ k * ” se tiene:

 

k k*  



   sf k     n 

 k k* k

'

*

70

Remplazando (62) en (70) tenemos:

  

k k

 

*

k k*  

      n k f k     n    k   f k 



 k k*

*

'

*

*



     n 

k

 

Sustituyendo (52) en (71) se tiene:

   

 

 

 k* f ' k *  1  *  f k 

 k k*



 

 k k *     n   k k *  1    n  1   k k *

71

72



k k  sf k   n   k 

A1

A0



k0

k0



k1

θ1

0 k*

k1

k

Figura 11: Variación de la velocidad de convergencia conforme aumenta “k” 237

CIRO BAZÁN


Se puede demostrar que la velocidad de convergencia de la renta per cápita hacia su estado estacionario evaluada en “ y * ” coincide con la velocidad de convergencia de “k”10. Por tanto, la velocidad de convergencia de la renta per cápita hacia su estado estacionario evaluada en “ y * ” viene dada por:

 



 

 

 y y*    n  1   k k *   k k *

73

Ahora vamos a calibrar la ecuación (72) para ver cuán rápido es posible que las economías reales se aproximen a sus estados estacionarios. Normalmente, en un gran número de países industrializados, se ha encontrado que la participación relativa del capital,  k k * , aproximadamente es de 0,33, que la población crece entre 1 y 2 % (nosotros tomaremos n  0,02 ), y que la depreciación lo hace entre 3 a 4% (tomaremos   0,04 ). Con estos datos, la velocidad de convergencia de “k” (y también de “y”) evaluada en el estado estacionario aproximadamente sería:

 

 

 k k *   y y*   0,04  0,021  0,33  0,04  4%

74

Entonces, “k” y “y” cada año se mueven aproximadamente el 4% de la distancia restante hacia “ k * ” y hacia “ y * ” respectivamente, y les toma aproximadamente 17 años estar a mitad del camino hacia sus respectivos valores estacionarios11. En el ejemplo de un incremento del 10% de “s”, la renta (producción) per cápita está 0,04 5%  0,2% arriba de su anterior valor de estado estacionario (valor previo al incremento en “s”) después de un año; 0,5 5%  2,5% arriba después de 17 años (cuando ha avanzado el 50% (≡ 0,5) de la distancia restante hacia “ y * ”); y asintóticamente se aproxima a un 5% arriba de su anterior valor de estado estacionario. En consecuencia, no solo el impacto total de un sustancial cambio en la tasa de ahorro es modesto, sino que además éste no ocurre muy rápido, Romer (2006). Convergencia12 La convergencia hace referencia a la reducción de las diferencias entre dos economías de sus rentas per cápita. Una cuestión de suma importancia en trabajos empíricos sobre el crecimiento económico es si las economías pobres tienden a crecer a una velocidad mayor a la que crecen las economías ricas. En la figura 12 podemos observar que si dos países, uno rico y otro pobre, tienen la misma función de producción (en este modelo una función de producción neoclásica), y las mismas tasas de ahorro, de crecimiento de la población, y de depreciación del stock de capital per cápita, el modelo de SolowSwan predice que un país pobre (con un stock de capital per cápita inicial, k 0P , inferior al del país rico, k 0R ) crece más rápido que un país rico. Finalmente, el país pobre debe alcanzar el nivel del stock de capital de estado estacionario, y una renta en términos per cápita igual a la del país rico. A esto se le denomina convergencia absoluta. Lamentablemente, la evidencia empírica no favorece esta hipótesis. Por ejemplo, De Long (1988), analizó una muestra de 98 países para el periodo 1960-1985 en el que rechazó la hipótesis de convergencia absoluta que había obtenido Baumol (1986) analizando una muestra de 16 países industrializados para el periodo 1870-1979. 10

Ver anexo 5. Ver anexo 7. 12 Para mayores detalles sobre el análisis empírico de la convergencia puede referirse a: Sala-i-Martin (2000), Cunado et al. (2003), Abreu et al. (2004), Barro y Sala-i-Martin (2004), Acemoglu (2009), y Jiménez (2010). 11

238

CIRO BAZÁN


 Pk   Rk  0

 Pk

n

k 0P

 Rk

E

k 0R

sf k  k k

k*

Figura 12: Convergencia absoluta Sin embargo, las economías reales lejos están de compartir las mismas tasas (de ahorro, de crecimiento de la población y de depreciación del capital). En consecuencia, se espera que cada país converja a su propio estado estacionario. A este tipo de convergencia se le denomina convergencia relativa o condicional (condicionada por los valores de las tasas de cada país en particular). Por ejemplo, Barro y Sala-i-Martin (1992) y Mankiw, Romer y Weil (1992) respectivamente analizaron 20 y 22 países de la OECD entre 1960 y 1985 encontrando evidencia de convergencia condicional manteniendo invariables la acumulación del stock de capital y el crecimiento de la población. sP  sR k *p  k 0P  k *R  k 0R  Pk   Rk

n

 Pk

 Rk ER EP

k 0P

k *P k 0R

k *P

Figura 13: Convergencia condicional

239

s R f k  k

s P f k  k k

CIRO BAZÁN


En la figura 13 se muestra un caso en la que un país rico, con tasa de ahorro alta y cuyo stock de capital inicial, k 0R , está más alejado de su stock de capital per cápita de estado estacionario, k *R , crece más rápido que un país pobre con tasa de ahorro baja y cuyo stock de capital inicial, k 0P , está más próximo de su stock de capital per cápita de estado estacionario, k *P . Además, en esta figura podemos observar que cada país, con distintas tasas de ahorro y con k 0P  k 0R , converge13 a su estado estacionario a tasas de crecimiento instantáneo decrecientes. Por tanto, a manera de conclusión, podemos decir que el modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan predice convergencia condicional en el sentido que cada país converge a su propio estado estacionario y que su velocidad de convergencia se relaciona inversamente con la distancia que hay entre sus niveles de stock de capital per cápita inicial y sus niveles de estado estacionario. Una ecuación de convergencia: 14 En el anexo 2 de este documento se ha demostrado que la tasa de crecimiento del stock de capital per cápita, “k” es estrictamente decreciente con “k”. Es decir, existe una relación inversa entre el stock de capital per cápita y su tasa de crecimiento, tal como se aprecia en (22). Pero, dado que la tasa de crecimiento de la renta per cápita, dada por (23), es proporcional a la tasa de crecimiento del stock de capital per cápita [siendo el coeficiente de proporcionalidad 0   k k   kf ' k  f k   1 , dado por (52)], entonces el modelo de crecimiento de Solow-Swan predice también una relación inversa entre la renta y su tasa de crecimiento, siempre que la única diferencia entre los países sea su stock de capital inicial. Esta es la denominada hipótesis de convergencia absoluta. Por tanto, la hipótesis de convergencia absoluta 15 propone la existencia de una relación inversa entre la tasa de crecimiento de la renta per cápita de un país y su nivel de renta en el momento actual, de modo que en el proceso de convergencia hacia un mismo estado estacionario los países más pobres crezcan más rápido que los países ricos. No obstante, como ya se ha dicho, los países pueden tener diferentes niveles de renta per cápita en sus respectivos estados estacionarios, ya que dichos estados estacionarios dependen de la función de producción (tecnología empleada), de la tasa de depreciación del stock de capital, de la tasa de crecimiento poblacional, de la tasa de progreso tecnológico (como veremos en las siguientes secciones), y de la tasa de ahorro. Teniendo en cuenta esto, es posible considerar la hipótesis de convergencia condicional, que postula que además de existir una relación inversa entre la tasa de crecimiento de la renta per cápita de un país y su nivel de renta per cápita en el momento actual del tiempo, existirá una relación directa entre la tasa de crecimiento de su renta per cápita y el nivel de renta per cápita de su estado estacionario, “ y * ”, de modo que las economías pobres no tendrían porqué tener tasas de crecimiento superiores a las de las ricas. 13

La convergencia queda garantizada gracias a que la función de producción per cápita presenta rendimientos decrecientes del capital (con ello la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital per cápita se va haciendo cada vez menor conforme “k” tiende a su valor de estado estacionario). 14 Esta sección está basada en Congregado (2004). 15 A este tipo de convergencia Sala-i-Martin (2000) le denomina β-convergencia.

240

CIRO BAZÁN


Ahora vamos a escribir una ecuación que relacione la tasa de crecimiento instantánea de la renta per cápita con el valor de la renta per cápita de una economía en el momento actual, “y”, y con el valor de su renta per cápita en el estado estacionario, “ y * ”, de manera que dicha ecuación incorpore las hipótesis de convergencia absoluta y de convergencia condicional. Para ello vamos a postular una relación lineal inversa entre la tasa de cambio instantánea de la renta per cápita y “y” (como postula la hipótesis de convergencia absoluta), y directa con “ y * ” (como postula la hipótesis de convergencia condicional). Esto es: 

y

y t



  y  y*



75

Donde “β” es un parámetro que será positivo siempre que haya convergencia. Dividiendo (75) entre “y” obtenemos la tasa de crecimiento de la renta per cápita: y 



  y*  y*      1   1   y  y  y   

y

76

Esta ecuación nos dice que habrá convergencia condicional, esto es, cada país convergerá a su propio estado estacionario y su velocidad de convergencia dependerá de la distancia entre “ y * ” e “y”. Por tanto, a mayor distancia entre “ y * ” e “y”, la relación entre “ y * ” e “y” se hará mucho mayor que uno, y* y   1, con lo cual la tasa de crecimiento “  y ” será mayor. Pues bien, esto puede ocurrir tanto para países pobres como para países ricos. El progreso tecnológico Una de las conclusiones que obtuvimos en secciones anteriores es que el modelo de Solow-Swan predice que en el largo plazo la economía no crece, y esto no concuerda con la realidad. Es decir, en este modelo de crecimiento neoclásico con tasa de ahorro (e inversión) exógena, la inversión en capital físico no permite explicar el crecimiento de las economías en el largo plazo. Por tanto, para poder explicar el crecimiento de los países en el largo plazo se hace necesario introducir exógenamente el progreso tecnológico en el modelo de Solow-Swan. Pero, antes de ello vamos a estudiar los tipos de progreso tecnológico que existen para después poder analizar qué tipo deberemos introducir en el modelo de Solow-Swan, de modo que la función de producción, que incorpore determinado tipo de progreso tecnológico, sea consistente con un crecimiento equilibrado. Las innovaciones tecnológicas pueden trasladarse totalmente al capital y al trabajo, o pueden introducirse sólo a través de nuevos bienes de capital y de una fuerza laboral recientemente empleada. Cuando las innovaciones se trasladan a la totalidad del capital y de la mano de obra, se clasifican como innovaciones ahorradoras de capital y/o trabajo si permiten obtener la misma cantidad de producto con una menor cantidad de capital o de trabajo. Aquellas innovaciones que no reducen el uso de ningún factor de producción se les denomina progreso tecnológico neutral. La definición exacta de progreso tecnológico neutral depende del sentido dado a los términos ahorrador de capital y ahorrador de trabajo, Chirichiello (2000). 241

CIRO BAZÁN


Dada una función de producción agregada, FK, L, A  , que no cambia a lo largo del tiempo, el progreso tecnológico neutral puede clasificarse en: ~

 Progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks: Para Hicks (1932), una innovación tecnológica es neutral respecto a los factores de producción, siempre que, el ratio entre las productividades marginales de dichos factores (la tasa marginal de sustitución entre el capital y el trabajo) permanezca constante para un ratio capital-trabajo dado. Una función de producción agregada con progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks tiene la siguiente forma funcional: ~ Y  FK, L, A   AFK, L

(77)

Donde el término “A”16 es un índice tecnológico en el instante “t” cuya tasa de

crecimiento instantánea es una constante, A A   A , y F es una función homogénea de grado uno. 

Derivando (77) respecto del tiempo se obtiene: Y  A FK, L ; 





con A  0

(78)

Gracias a (78) al progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks también se le denomina progreso tecnológico potenciador del producto.

 Progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod: Para Harrod (1942), una innovación tecnológica es neutral, si para un ratio capital-trabajo, K L , dado el siguiente ratio permanece constante:

K  PMgK  FK, L  L  PMgL  FK, L 



K  PMgK L  PMgL



K  FK, L  K L  FK, L  L

(79)

Donde (79) representa las participaciones relativas de los factores de producción en la renta (producción) agregada. Una función de producción agregada con progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod tiene la siguiente forma funcional: ~ Y  FK, L, A   FK, AL

(80)

Donde el término “A” es un índice tecnológico en el instante “t” cuya tasa de


Al progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod también se le denomina progreso tecnológico potenciador del trabajo ya que la innovación tecnológica tiene un efecto sobre el producto similar al de un incremento en el factor trabajo. 16

En una función de producción agregada con progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks, al índice tecnológico, “A”, se le suele llamar productividad total de los factores, debido a que éste representa la productividad agregada de la economía expresada en términos de la combinación de los factores de producción que se emplean en la producción.

242

CIRO BAZÁN


 Progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow: Para Solow (1963) una innovación tecnológica es neutral, si para un ratio trabajo-capital, L K , dado el siguiente ratio permanece constante:

L  PMgL  FK, L   K  PMgK  FK, L 

L  PMgL

K  PMgK



L  FK, L  L

K  FK, L  K

(81)

Una función de producción agregada con progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod tiene la siguiente forma funcional: ~ Y  FK, L, A   FAK, L

(82)

Donde el término “A” es un índice tecnológico en el instante “t” cuya tasa de


Al progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow también se le denomina progreso tecnológico potenciador del capital ya que la innovación tecnológica tiene un efecto sobre el producto similar al de un incremento en el factor capital. Para entender cómo estas diversas formas de progreso tecnológico afectan a la producción, las isocuantas se pueden representar mediante la combinación de diferentes cantidades de trabajo y capital físico para una tecnología dada, “A”, de tal manera que el nivel de producción sea constante en “ Y ”. La figura 14 muestra el efecto de aumentar los tres tipos de progreso tecnológico discutidos, respectivamente, duplicando “A”. El panel “(a)” ilustra el progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks, el panel “(b)” muestra el progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow, mientras que el panel “(c)” muestra el progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod. K

K

K

Y Y

Y Y

Y

a 

Y

L

b 

L

c 

L

Fuente: Elaboración propia basada en Acemoglu (2009).

Figura 14: Isocuantas de tecnologías neutrales en los sentidos de Hicks, Solow y Harrod Se debe tener en cuenta que un aumento en el progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks, simplemente mueve la isocuanta linealmente hacia afuera. Mientras que un incremento, tanto en el progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow como en el progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod cambiará la forma de la isocuanta. 243

CIRO BAZÁN


 En el caso de progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow, las isocuantas se desplazan hacia el interior, como si el eje del stock de capital se hubiese reducido (ya que a un mayor valor de “A” le corresponde ahora un mayor nivel de capital efectivo).  En el caso de progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod, las isocuantas se desplazan hacia el interior, como si el eje del trabajo se hubiese reducido. Una vez revisadas las diversas formas de clasificar el progreso tecnológico nos queda decidir cuál de ellas nos permitirá obtener un crecimiento equilibrado en el modelo de Solow-Swan. Uzawa (1961) muestra que sólo las funciones de producción con progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod son consistentes con un crecimiento equilibrado. Asimismo, Phelps (1962) nos dice que una condición necesaria y suficiente para garantizar la existencia de estado estacionario en una economía con progreso exógeno neutral es que dicho progreso sea neutral en el sentido de Harrod, esto es, potenciador del trabajo, Sala-i-Martin (2000)17. El modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno18 Ahora vamos a relajar el supuesto de crecimiento tecnológico nulo que adoptamos en las secciones precedentes, y vamos a introducir exógenamente el progreso tecnológico en el modelo de crecimiento de Solow-Swan. Para ello, a las hipótesis del modelo de Solow-Swan sin progreso tecnológico les añadiremos algunas hipótesis adicionales. Supuestos adicionales: 1. Se supondrá que la función de producción agregada de la economía viene dada por: ~ Y  FK, L, A   FK, AL

(83)

En otras palabras, como ya se dijo, vamos a suponer que el progreso tecnológico es neutral en el sentido de Harrod, o si se prefiere, potenciador del trabajo. Es decir, supondremos que la tecnología hace que el trabajo sea más eficiente: con la misma cantidad de trabajo, “L”, un aumento en la eficiencia del trabajo hace que la producción aumente, Sala-i-Martin (2000). Donde el producto “ AL ”, que aparece en el argumento de (83), representa las unidades de eficiencia del trabajo, y que denotaremos por: ~ L  AL 84

17

Véase Sala-i-Martin (2000) para una demostración de un caso particular (con una función de producción CES) de este resultado. Para una demostración general de este resultado véase Barro y Sala-iMartin (2004). 18 En este contexto, el término exógeno hace referencia a que se supondrá que la sociedad no destina recursos en I+D para generar crecimiento tecnológico. Es decir, se supone que ningún agente económico destina recursos para que la tecnología crezca a lo largo del tiempo. Por tanto, al suponer que la tecnología crece exógenamente, únicamente estudiaremos que repercusiones tiene el progreso tecnológico sobre el crecimiento económico, y no nos preocuparemos en averiguar por qué en algunas economías el progreso tecnológico es mayor que en otras.

244

CIRO BAZÁN


 

Sustituyendo (84) en (83) se obtiene:

~ ~ Y  FK, L, A   FK, AL  F K, L

(85)

2. Supondremos que el nivel tecnológico “A” crece a una tasa exógena y constante, “  ”. Es decir: A 



A A

 ,

  0  At   A 0 e t

86

Análisis del modelo: Para facilitar el análisis del modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno y constante, será conveniente trabajar en términos del stock de capital por unidad de trabajo eficiente. Esto es:

K L  k K ~ K   k  ~   L AL A A    C C L c C ~c    ~   L AL A A

87

~

Dividiendo (85) entre “ L ”, teniendo en cuenta la propiedad de rendimientos constantes a escala de “F”, y la ecuación (87), resulta:

 

~ K F K, L y FK, AL Y ~ y ~     F ~ ~ ~ L L L L A 

  

~ L  K  ~ ~ , ~  F ~ ,1  F k ,1  f k  L L 

~

(88)

Dividiendo (18) entre “ L ”, y teniendo en consideración las ecuaciones (87) y (88), tenemos: 





K sY  K K K Y ~ ~  s ~    ~   ~  sf k  k ~ ~  L L L L L

89

Derivando (87) respecto del tiempo resulta:    K      K AL  K  A L  A L     AL    2 AL t t

~ k

       A  K  L  K  K A L  K                     AL A  AL  L  AL  AL  A L   AL  t  

~ k



K

Sustituyendo (7), (84), (86) y (87), obtenemos que:   ~ k K K ~ ~  ~    n k  ~     n k t t L L

~ k

245

91

90

CIRO BAZÁN


Igualando (89) y (91) obtenemos la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico potenciador del trabajo:





~ ~ ~ ~ k ~ ~ k ~ ~ sf k  k   sf k    n   k    n k  k  t t

92

La ecuación (92) es muy similar a la ecuación (20). No obstante, estas dos ecuaciones tienen un par de diferencias. En primer lugar, el stock de capital de la ecuación (92) es por unidad de trabajo eficiente, mientras que en (20) el stock de capital es por persona (o equivalentemente por unidad de trabajo). En segundo lugar, en la ecuación (92) aparece el término “  ” dentro del paréntesis que multiplica al stock de capital por unidad de trabajo efectivo, a diferencia de la ecuación (20). El estado estacionario de esta economía se obtendría igualando a cero la ecuación (92) y resolviendo para el stock de capital por unidad de trabajo eficiente la expresión resultante. Esto es:

   sf ~k     n   ~k

~~ k k * t

*

*

 

~ f k* n 0 ~  k* s

93

Más allá de las diferencias existentes entre (20) y (92), el comportamiento dinámico de este nuevo modelo es muy similar al modelo sin crecimiento tecnológico de SolowSwan. No obstante, en este nuevo modelo, aun cuando las tasas de crecimiento del PBI y del stock de capital por unidad de trabajo eficiente son nulas en el estado estacionario, las tasa de crecimiento de estas mismas variables en términos per cápita en el largo plazo ahora ya no son nulas sino que son constantes e iguales a la tasa de crecimiento de la tecnología, como veremos a continuación. Tasas de crecimiento: La tasa de crecimiento del stock de capital por unidad de trabajo eficiente se obtendrá ~ dividiendo (92) entre “ k ”: ~ k



~ sf k t   ~k  ~  ~    n    k k

94

Teniendo en consideración (88), la tasa de crecimiento de la renta por unidad de trabajo eficiente vendrá dada por: ~ y



~ f k



 ~y  t  t ~ ~ y f k







~ ~ ~ ~ ~ f k ~ k  f k ~  f k k  ~ k  ~ k ~   t  k   t k  ~  ~   k     k ~ ~ ~ k f k f k  f k   







95

En la figura 15 podemos apreciar el comportamiento dinámico de la tasa de crecimiento instantáneo del stock de capital por unidad de trabajo eficiente en el modelo de SolowSwan con progreso tecnológico exógeno.

246

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 ~k  0

n

 ~k  0



E

~ ~ sf k k

~a k0

~ k

~b k0

~* k

Figura 15: Modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno En el estado estacionario, la tasa crecimiento del stock de capital por unidad de trabajo eficiente la obtendremos remplazando (93) en (94):  ~k*    n       n     0

96

Teniendo presente (95) y (96), en el estado estacionario, la tasa crecimiento de la renta por unidad de trabajo eficiente es nula. Esto es:  ~y*

 

 

~  f k * ~  *   ~ k   ~   k   k* ~*  f k   

~  f k * ~ *  ~ k   k  ~*  f k 

 

 

 

   0   0   

97

No obstante a que las ecuaciones (96) y (97) nos dicen que en el estado estacionario el PBI y el stock de capital por unidad de trabajo eficiente permanecen constantes, ahora demostraremos que no ocurre lo mismo con estas variables en términos per cápita en el estado estacionario, ya que en dicho estado crecen a un ritmo constante e igual al del progreso tecnológico.

 

Para ello de (87) y por (14d), se deduce que:

K L k K ~ ~ ~ ~ K k ~     k  kA  ln k  ln kA  ln k  ln k  ln A L AL A A

Derivando (98) respecto del tiempo tenemos:  ln k t



~  ln k t



 ln A t



k t

 k   ~k   A

247

k

~ k t A t  ~  k A

99

98

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Sustituyendo (86) en (99) resulta:  k   ~k  

100

Teniendo en cuenta (96) y (100), en el estado estacionario tenemos que:  k*   ~k*    0    

101

Por otro lado, de (88) y por (14c) tenemos:

Y L y Y Y ~ y  ln y  ln A~ y   ln y  ln A  ln ~ y y ~     y  A~ L AL A A

(102)

Derivando (102) respecto del tiempo tenemos:  ln y t



 ln A t



Sustituyendo (86) en (103) resulta:

y  ln ~ t



y t y



 y   A   ~y 103

A t A



~ y t ~ y

 y     ~y 104

Teniendo en cuenta (97) y (104), en el estado estacionario tenemos que:  y*     ~y*    0  

105

Las ecuaciones (101) y (105) nos dicen que el progreso tecnológico es el motor fundamental del crecimiento económico, ya que ahora la tasa de crecimiento del PBI per cápita no más es nula. Sin embargo, lo que no explica esta versión del modelo de crecimiento de Solow-Swan es de dónde surge el progreso tecnológico, que hemos supuesto exógeno, con lo cual tampoco explicaría el crecimiento económico. Por otra parte, en el anexo 4 hemos demostrado que si la función de producción agregada presenta rendimientos constantes a escala y el mercado de factores productivos es competitivo y no hay externalidades, entonces si a cada uno de los factores productivos se le retribuye por el valor de su productividad marginal, la producción total se distribuirá exactamente en todos los factores de producción en función de su participación. Por tanto, una vez pagado el salario a los trabajadores y la renta al capital, el producto de la economía se acaba. Entonces, en una economía neoclásica no se puede dedicar recursos a la financiación del progreso tecnológico. Por esto es que los economistas neoclásicos se ven obligados a suponer exógeno el progreso tecnológico, Sala-i-Martin (2000). Finalmente, para elaborar un modelo que explique los determinantes del crecimiento económico de largo plazo será necesario relajar alguno o algunos de los supuestos del modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan. 248

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La contabilidad del crecimiento: Aspectos analíticos19 En esta sección vamos a presentar dos enfoques alternativos (primal y dual) para descomponer contablemente el crecimiento económico de un país. La contabilidad del crecimiento es una metodología, inicialmente desarrollada por Abramovitz (1956) y Solow (1957), que nos permite averiguar en que medida el crecimiento del capital, el crecimiento del trabajo, el progreso tecnológico, el aumento en la calidad de los factores productivos, y otros factores han sido determinantes directos en el crecimiento económico de un país en determinado periodo de tiempo, aunque no nos permite saber las causas de dicho crecimiento. Enfoque primal:



  ~FK, L, A  K  ~FK, L, A  L  ~FK, L, A  A

Derivando (9) respecto del tiempo resulta: Y t



~  FK, L, A  t 

Y



t

L

t

K

A

  K  ~FK, L, A  L ~FK, L, A  A

~  FK, L, A  K





L

A

t



106

 ~  ~  ~  Y  FK  K  FL  L FA  A

Dividiendo (106) entre “L” tenemos que la tasa de crecimiento instantánea de la renta agregada en el instante “t” viene dada por: 

Y Y



~ FK Y



 K

~ FL Y



~ FA

 L

Y



A



   ~ ~  K  LFL  L  AFA  A       K  Y  L  Y  A     



   ~ ~  K  LFL  L  AFA  A       K  Y  L  Y  A     

~  KFK   Y  Y

Y

~  KFK   Y  Y

Y



Y Y

  ~FK 



K K

  ~FL 



L L

 Y   ~FK   K   ~FL   L  R

R

107

Esta ecuación es la denominada ecuación fundamental de la contabilidad del crecimiento. 19

Para profundizar en detalles de evidencia empírica internacional sobre la contabilidad del crecimiento económico puede recurrir a Sala-i-Martin (2000) y a Barro y Sala-i-Martin (2004).

249

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Donde:

~  KFK Elasticidad parcial de la renta respecto al capitalen " t" :  ~FK   Y ~  Elasticidad parcial de la renta respecto al trabajo en " t" :  ~  LFL FL  Y  ~   AFA  Re siduo de Solow en " t" : R  Y       Y Y  T asa de crecimiento de la renta agregada en " t" : Y    K  K  T asa de crecimiento del stock de capital en " t" : K    L  L  T asa de crecimiento del trabajo en " t" : L 

108a 

108b  

 A   A 

108c  108d  108e  108f 

Por otro lado, teniendo en cuenta que “ FK, L, A  ” es una función homogénea de grado uno (   1 ), respecto al capital y al trabajo, pero no respecto de la tecnología, por el teorema de Euler (ver anexo 3) se tiene que: ~

K

~ FK, L, A  K

L

~ FK, L, A  L

Dividiendo (109) entre “ FK, L, A  ” resulta:

~  FK, L, A 

109

~

K

~ FK , L, A 

K ~ FK , L, A 



L

~ FK, L, A 

L ~ FK , L, A 

 1   ~FK   ~FL  1   ~FL  1   ~FK





Sustituyendo (110) en (107) se tiene que:

111

 Y   ~FK   K  1   ~FK   L  R



110



Sustituyendo (29) y (34) en (111) podremos expresar (111) en términos per cápita:  y   L   ~FK   k   L   1   ~FK   L  R

 Y   L    y

  ~FK   k  R   ~FK  K   L   R

112

La ecuación (112) nos permite descomponer la tasa de crecimiento de la renta per cápita en la contribución del capital per cápita y un término no observable denominado el residuo de Solow (el denominado crecimiento de la productividad total de los factores). Las tasas de crecimiento de “Y”, “K”, y “L” son relativamente sencillas de medir. Además, si cada factor de producción recibe como pago su producto marginal, entonces “  ~FK ” se puede medir utilizando datos sobre la participación del capital en la renta agregada.

250

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Enfoque dual: Otra forma de calcular el residuo de Solow es en función de las tasas de crecimiento de los precios del capital y del trabajo. Para ello, suponiendo un mercado de factores productivos competitivo y sin externalidades, vamos a remplazar en la ecuación (109) las productividades marginales de los factores de producción por sus respectivos precios. Esto es: ~ Y  FK, L, A   Kr  Lw

113

Derivando (113) respecto del tiempo se obtiene: Y t

r

K t

K

r t

L

w

t

L

w

114

t

Dividiendo (114) entre “Y” obtenemos la tasa de crecimiento de la renta agregada: 

Y Y

Y

 t  Y 

Y Y

r



K

t  Y

r

t  Y

K

w

L

t  Y

L

w









t     Y Y Y Y Y rK

Kr

wL

Lw

Kr     Kr    wL    Lw   w w  L L  r r  K K     Y   Y  Y  Y  

Y Y



  Kr     wL   L L  w w K K  r r    Y  Y 

Y 

Kr

 K   r  

wL

 L   w 

 Y   ~FK  K   r    ~FL  L   w  Y

Y




115



 Y   ~FK  K   r   1   ~FK  L   w 

 Y   L   ~FK  K   ~FK  r   ~FK  L   w   ~FK  w

 Y   L    ~FK  K   L   ~FK  r   w 1   ~FK  116 Comparando (116) con (112), resulta que los términos encerrados en el corchete de (116) representan el residuo de Solow. Esto es:



R   ~FK  r   w 1   ~FK

 117

Para determinar el residuo de Solow a través de (117) no es necesario determinar ni el trabajo ni el stock de capital. Únicamente se necesita determinar adecuadamente la participación del stock de capital en la renta agregada (elasticidad parcial de la renta agregada respecto del stock de capital) y las tasas de crecimiento instantáneo de los precios de los factores de producción.

251

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Análisis cuantitativo (tecnología de producción tipo Cobb-Douglas): En esta sección vamos a desarrollar el modelo de crecimiento neoclásico de SolowSwan para una tecnología de producción tipo Cobb-Douglas, cuya forma funcional viene dada por: ~ Y  FK, L, A   AK a L1 a

118

Modelo de Solow-Swan sin progreso tecnológico Tal como hicimos anteriormente, ya que en esta sección estamos considerando que la tecnología permanece constante en el tiempo, sin pérdida de generalidad, vamos a normalizar el parámetro tecnológico, que aparece en la función de producción agregada tipo Cobb-Douglas20, a la unidad. Esto es: ~ ~ Y  FK, L, A   FK, L,1  FK, L  K a L1 a

119

Sustituyendo la ecuación (LVIII) del anexo 8 en (20) obtenemos la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan para este caso: k  sk a    n k 

120

El stock de capital per cápita de estado estacionario lo podemos determinar igualando a cero (120). Esto es: 

 

ksk

* a

 s    n k *  0  k *   n

 1 a   

121

1

El PBI (renta agregada) per cápita de estado estacionario lo podemos obtener remplazando (121) en la ecuación (LVIII) del anexo 8. Es decir:

   

y*  f k *  k

* a

 s   n

 1 a    a

122

Sustituyendo (121) en (14a) obtenemos el consumo per cápita en el estado estacionario:

 

 

c*  1  s f k *  1  s  k

* a

 s  1  s  n

 1 a    a

123

Podemos observar que el PBI (renta agregada) per cápita en el estado estacionario depende directamente de la tasa de ahorro, “s”, e indirectamente de la tasa de crecimiento instantánea de la población (fuerza laboral en este caso) y de la tasa de depreciación del stock de capital. Asimismo, de (121) y (123) se puede observar que los países con más altas tasas de ahorro tendrán más capital y PBI por persona a largo plazo. Además, según el modelo de Solow-Swan, los países con mayores tasas de crecimiento poblacional tenderán a ser más pobres (tendrán un menor PBI per cápita en el largo plazo). 20

En el anexo 8 se efectúa un análisis de las propiedades de este tipo de función de producción.

252

CIRO BAZÁN


Ahora, para determinar el comportamiento dinámico del stock de capital per cápita, necesitamos resolver la ecuación diferencial ordinaria dada por (120). Para ello vamos a dividir dicha ecuación entre k a , con lo cual se tiene: 

k k

a

 s    n k

1 a





k k

a

   n k1 a  s

124

Para transformar (124), que es un caso particular de la denominada ecuación de Bernoulli, en una ecuación diferencial ordinaria lineal, vamos a efectuar el siguiente cambio de variable:

125

w  k1 a

Derivando (125) respecto del tiempo resulta: w  1  a  



k ka





k ka





w

1 a

126

Sustituyendo (125) y (126) en (124) se obtiene: 

w

1 a

   n w  s  w    n 1  a w  s1  a  

127

Para resolver (127) vamos a utilizar la ecuación (LXII) del anexo 9. Esto es:    n 1 a dt     n 1 a dtdt  C w t   e    s1  a e   



w t   e   n 1 a t s1  a  e  n 1 a dt  C



 s1  a   w t   e    n 1 a t  e   n 1 a   C    n 1  a    s   Ce    n 1 a t  w t      n 

128

Sustituyendo (125) en (128) tenemos: k t 

1 a

  s  Ce    n 1 a t   k t       n

 1 a  s  Ce    n 1 a t      n 1

129

Suponiendo que en t  0 tenemos que k 0  k 0 . Entonces, de (129) tenemos que: s  s  1 a k0    C  C  k10 a  n   n  1

253

130

CIRO BAZÁN


Remplazando (130) en (129), finalmente tenemos como se comporta el stock de capital per cápita a lo largo del tiempo. Esto es:  s s  k t      k 10a  n    n 

   n 1a t  1a e   

131

1

Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del stock de capital per cápita tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es:   s  lím k t   lím     k0 t   t       n  

 

1 a

  e n s

1        1 a    n 1  a t

 

   s     n 

 1 a   k*   1

De (132) se tiene que:  s  n

 

s  1a   k*   k* n    1

133

1a


 

k t    k *  k t 

1 a

 

  k0 

1 a

 

 k

* 1 a

 e    n 1 a t  1 a , t  0  

k 0III

1

k i0  k * ,

 i  I, II, III

k 0j  k * ,

 j  IV, V, VI 

134

k 0II

k 0I

k* k 0VI

k 0V

k 0IV

t

Figura 16: Comportamiento dinámico del stock de capital per cápita 254

132

CIRO BAZÁN


En la figura 16 se muestran algunos de los posibles casos que podrían presentarse en el comportamiento dinámico del stock de capital per cápita, dependiendo de su valor inicial en relación a su valor de estado estacionario. En concreto, hemos dibujado algunas curvas del stock de capital per cápita (estrictamente decrecientes y estrictamente convexas) para el caso en el que el valor inicial del stock de capital per cápita es mayor a su valor de estado estacionario. Además, hemos dibujado algunas curvas del stock de capital per cápita (estrictamente crecientes y estrictamente cóncavas) para el caso en el que el valor inicial del stock de capital per cápita es menor a su valor de estado estacionario. Asimismo, en esta figura se aprecia que conforme el tiempo tiende a infinito, el stock de capital per cápita, independientemente de su valor inicial, converge asintóticamente hacia su estado estacionario. Lo que no hace más que corroborar que el modelo es dinámicamente estable. Por su parte, el comportamiento dinámico del PBI per cápita lo podemos obtener remplazando (134) en la ecuación (LVIII) del anexo 8. Es decir:

 

 

yt    k * 

  k0 

1 a

 

 k

1 a

* 1 a

e 

   n 1  a t

135

 1 a , t  0  a

Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del PBI per cápita tiende al valor de equilibrio estacionario. Esto es:   lím yt   lím   k * t   t     

 

 

  k0 

1 a

1 a

 

 k*

1 a

e 

 

       n 1  a t

a   1 a  *   k   

 

a

 y*

136

Mientras que la evolución dinámica del consumo per cápita se puede obtener sustituyendo (135) en (14a), con lo cual obtenemos la siguiente expresión:

 

ct   1  s  k * 

1 a

 

  k0 

1 a

 

 k

* 1 a

e 

   n 1  a t

 1 a , t  0  a

137

Se puede observar que en el largo plazo, el valor del consumo per cápita tiende al valor de equilibrio estacionario. Esto es:   s   lím ct   lím 1  s    k0 t   t      n   

 

1 a



 e n s

     1 a    n 1  a t  

 

a

a   s  1   a   c* 138   1  s    n 

Para determinar el stock de capital de oro, vamos a sustituir la primera ecuación de (LX) del anexo 8 en (46), con lo cual se tiene: a k oro 

a 1

   n   k oro

255

 a   n

 1 a    1

139

CIRO BAZÁN


De la ecuación (44) tenemos que:

coro  f k oro   s orof k oro   f k oro     n k oro

140

Por otro lado, sustituyendo (139) en la ecuación (LVIII) del anexo 8 tenemos:  a   n

y oro  f k oro   k oro 

a

 1 a  ,   a

141

0  a 1

Remplazando (139) y (141) en la ecuación (140) resulta:

c oro

 a   n

 a  1 a     n   n  a

Asimismo, de (140) tenemos que: s oro 

 a  1 a   1  a   n  1

f k oro  c oro

 1 a    a

142

143

f k oro 

Sustituyendo (141) y (142) en (143), y teniendo en consideración la ecuación (LVI) del anexo 8 se obtiene:

s oro

 a  n  

 a  1 a   1  a  n  a

 a  n

 1 a   a

 1 a    a   FK a

144

Es decir, la ecuación (144) nos dice que la tasa de ahorro de la regla de oro para el modelo de Solow-Swan sin progreso tecnológico y con una función de producción agregada tipo Cobb-Douglas neoclásica coincide con la elasticidad parcial de la producción respecto del stock de capital. Ahora calcularemos el comportamiento dinámico de las tasas de crecimiento instantáneas del stock de capital, del PBI, y del consumo, en términos per cápita. Sustituyendo la ecuación (LVIII) del anexo 8 en (22) tenemos que: k 

sk a k

   n 

145

Remplazando (134) en (145) obtenemos el comportamiento dinámico de la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital per cápita con tecnología tipo CobbDouglas y sin progreso tecnológico. Esto es:

 

s k*   k t   

1 a

 

  k0 

1 a

 

 k

* 1 a     n 1 a t

k

256



e

 1 a     n  a

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  k t  

e

n

  n 1a t



1  k 0 k*



1

1 a

, t0

146

Se puede apreciar que esta tasa converge a cero conforme el tiempo tiende a infinito. Es decir, en el largo plazo la tasa de crecimiento del stock de capital per cápita converge a su valor de estado estacionario. Esto es:     n   * lím  k t   lím    k  0   n 1  a t t   t   e   1   * 1 a  1  k0 k 



147



Remplazando la ecuación (LVIII) del anexo 8 y su derivada respecto del stock de capital per cápita en (23) resulta: kaka 1

y 

 k  a k

ka

148

Sustituyendo (146) en (148) obtenemos el comportamiento dinámico de la tasa de crecimiento instantánea de la renta per cápita. Esto es:  y t  

e

a   n 

  n 1  a t



1  k 0 k*



1 a

1

, t0

149

Al igual que antes, se puede apreciar que esta tasa converge a cero conforme el tiempo tiende a infinito. Es decir, en el largo plazo la tasa de crecimiento del PBI per cápita converge a su valor de estado estacionario. Esto es:     a   n    * lím  y t   lím    y  0   n 1  a t t   t    e  1   * 1 a  1  k0 k 





150

Teniendo en cuenta (24), resulta que el consumo y el PBI expresados en términos per cápita crecen a la misma tasa. En consecuencia tenemos que:  c t    y t  

e

a   n 

  n 1  a t



1  k 0 k*



1 a

1

, t0

151

Obviamente, esta tasa también convergerá a su valor de estado estacionario (cero), al igual que pasó con la tasa de crecimiento del PBI per cápita. 257

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En este punto, podemos resaltar que las todas las tasas de crecimiento analizadas convergen a cero en el estado estacionario. A continuación vamos a determinar el valor en el tiempo de las velocidades de convergencia del stock de capital y del PBI en términos per cápita. Para ello, empezaremos remplazando (20) en (66), con lo que resulta: k 

sf k   n   k

152

k*  k

Sustituyendo la ecuación (LVIII) del anexo 8 en (152) se obtiene: k 

sk a  n   k



k*  k

sk a 1  n   

k k   1 *

153

Remplazando (134) en (153) obtenemos como se comporta a lo largo del tiempo la velocidad de convergencia del stock de capital per cápita. Esto es:

 

s k*   k t         *   k 

1 a

 

 

  k0 

1 a

 

 k*

1 a

 e    n 1 a t   

1

 n   

k*

1 a

 

1 a  k 0   k * 

1 a

 e    n 1 a t  1 a   1

    1   

154

Para hallar el valor de la velocidad de convergencia del stock de capital per cápita en el estado estacionario, vamos a sustituir la ecuación (LVIII) del anexo 8 y su derivada respecto del stock de capital per cápita en la ecuación (71). Es decir:

 

 

 k* a k*  k k *    n  a *  k

 

a 1

  1    n 1  a  

155

Esta ecuación nos dice que cada año se cubre el 100    n   1  a % de la distancia existente entre el stock de capital inicial, “ k 0 ”, y su valor de estado estacionario, “ k * ”. Asimismo, a esta velocidad la mitad de la distancia entre “ k 0 ” y “ k * ” se habrá dejado

  n 1  a  0,69

atrás en un periodo aproximadamente de

años, de acuerdo a la ecuación

(XLVI) del anexo 7. Ahora, para determinar la velocidad de convergencia del PBI per cápita vamos a sustituir la ecuación (LVIII) del anexo 8 y su derivada respecto del stock de capital per cápita en la ecuación (XX) del anexo 5. Es decir: y 

 k 

ak a 1 sk a    n k * a

 ka

  ask    n  k  k  1 a 1

* a

258

a

156

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Remplazando (134) en (156) obtenemos como evoluciona a lo largo del tiempo la velocidad de convergencia del PBI per cápita. En concreto, se tiene:  y t  

 

 a s  k *   

 

  k0 

1 a

k  k 

* 1 a

* a

1 a

 

 k*

 

  k0 

1 a

 

 k*

1 a

 e    n 1 a t    1 a

1

    n  

 e    n 1 a t  a 1  1   a

157

Por la ecuación (27) del anexo 5, resulta que en el estado estacionario las velocidades de convergencia de “k” y del PBI per cápita coinciden. Esto es:

 

 

 y y*   k k *    n 1  a 

158

Modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico En esta sección supondremos que la función de producción agregada con progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod (potenciador del trabajo) es del tipo CobbDouglas, tal como se muestra a continuación: ~ 1 a Y  FK, L, A   FK, AL  K a AL

(159)

Dividiendo (159) entre (84) y teniendo en cuenta (87), obtendremos la producción por unidad de trabajo eficiente. Esto es:



K a AL ~ ~ yf k  AL

1 a



AL1 a  ALa AL1 a Ka

 K  ~   ka     AL  a

(160)

Teniendo en cuenta y dividiendo (3) entre “AL” se obtiene el consumo por unidad de trabajo eficiente. Esto es: C AL

 1  s 

Y AL

~ c  1  s ~ y (161)


~ ~ c  1  s k a

(162)

Por otra parte, remplazando la ecuación (160) en (92) obtenemos la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan para este caso:



~ k ~ ~ sk k t

a

~    n   k

163

El stock de capital por unidad de trabajo eficiente de estado estacionario lo podemos determinar igualando a cero (163). Esto es: ~ k t

 

~  s k*

a

 1 a

 s ~ ~     n   k *  0  k *   n   

259

1

164

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El PBI (renta agregada) por unidad de trabajo eficiente de estado estacionario lo podemos obtener remplazando (164) en la ecuación (160). Es decir:

   

~ ~ ~ y*  f k *  k *

a

 s  n 

 1a    a

(165)

El consumo por unidad de trabajo eficiente de estado estacionario lo podemos obtener remplazando (164) en la ecuación (162). Es decir:

 

~c *  1  s  ~ k*

a

 s   1  s  n   

 1 a a

(166)

Podemos observar que el PBI (renta agregada) por unidad de trabajo eficiente en el estado estacionario depende directamente de la tasa de ahorro, “s”, e indirectamente de la tasa de crecimiento instantánea de la fuerza laboral, de la tasa de depreciación del stock de capital, y de la tasa de crecimiento instantánea del índice tecnológico. Asimismo, de (164) y (165) se puede observar que los países con más altas tasas de ahorro tendrán más stock de capital y PBI por unidad de trabajo eficiente a largo plazo. Además, según el modelo de Solow-Swan, los países con mayores tasas de crecimiento de la fuerza laboral tenderán a tener un menor PBI por unidad de trabajo eficiente en el largo plazo.

~ 

Ahora, para determinar el comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo eficiente, necesitamos resolver la ecuación diferencial ordinaria dada por (163). a

Para ello vamos a dividir dicha ecuación entre k , con lo cual se tiene:





~ ~ k k ~ 1 a ~ 1 a  ~ a    n    k s ~ a  s    n    k k k





167

La ecuación diferencial (167) es muy similar a (124). Aplicando un procedimiento casi idéntico al utilizado en la solución de (124) se tiene que:  ~ s s ~ k t      k 10 a  n      n 

      n 1 a t  1 a e     1

168

Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del stock de capital por unidad de trabajo eficiente tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es: 1 1       1 a    1 a      s s s ~ ~ ~ e      n 1 a t      lím k t   lím     k 10 a   k * 169     t   t           n  n       n   

De (164) se tiene que:  s  n 

 

 1 a ~ * s ~  k   k*  n  1

260

1 a

170

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 

 

~  ~ 1 a  ~1 a ~* 1 a       n 1 a t  1 a  k0  k k t    k * e    

De (87) y (171) resulta que:

 

~ ~ k  Ak  k t   At    k * 

1a

171

1

 

~ ~   k 10a  k * 

1a

e 

172

    n 1a t  1a



1

Sustituyendo (86) en (172) tenemos que el stock de capital per cápita viene dado por:

 

~ k t   A 0 e   k *  t

1a

 

~ ~   k 10a  k * 

1a

173

 e   n 1a t  1a   1

Remplazando (171) en (160) obtenemos el comportamiento dinámico del PBI por unidad de trabajo eficiente. Esto es:

 

~ ~ y t    k * 

1 a

 

~ ~   k 10 a  k * 

e 

1 a

174

     n 1  a t  1  a a



Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del PBI por unidad de trabajo eficiente tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es:   lím ~ y t   lím   k * t   t     

 

1 a

 

 k

 

~ ~   k 10 a  k * 

  k0 


~ y  A~ y  y t   A t    k * 

1 a

1 a

 

* 1 a

e 

 

       n 1  a t

 

1 a

e 

 1 a  

a

 

  ~*  k  

176

     n 1  a t  1  a



175

y* ~

a

a

Sustituyendo (86) en (176) tenemos que el PBI per cápita viene dado por:

 

~ yt   A 0 e t  k * 

1 a

 

~ ~   k 10 a  k * 

1 a

e 

     n 1  a t  1 a



a

177

Mientras que la evolución dinámica del consumo por unidad de trabajo eficiente se puede obtener sustituyendo (174) en (161), con lo cual obtenemos la siguiente expresión:

 

~ ~ c t   1  s  k * 

1a

 

~ ~   k 10a  k * 

1a

 e    n 1a t  1a , t  0  

261

a

178

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Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del consumo por unidad de trabajo eficiente tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es:    lím ~c t   lím 1  s  k * t   t     

 

1 a

 

  k0 


1 a

 

~ c  A~ c  ct   At   1  s  k * 

 

 k*

1 a

e 

1 a

 

       n 1  a t

 

~ ~   k 10 a  k * 

1 a

 

a   1 a  ~    1  s  k *   

a

 ~c *

179

180

 e      n 1 a t  1 a   a

Sustituyendo (86) en (180) tenemos que el consumo per cápita viene dado por:

 

~ ct   A 0 e t 1  s  k * 

1 a

 

~ ~   k 10 a  k * 

1 a

e 

181

     n 1  a t  1  a



a

Recurriendo a la definición de tasa de crecimiento instantánea de una variable, el comportamiento dinámico de las tasas de crecimiento instantáneas del stock de capital, del PBI, y del consumo expresadas por unidad de trabajo eficiente, viene dado por las siguientes expresiones:

   

 ~ * 1 a  ~ ~ k 10 a      n e      n 1 a t k t   k   ~k t   ~  1 a  ~* ~ ~ 1 a       n 1 a t k t  k e   k 10 a  k *  

 

 

~ ~   k 10 a  k * 

 

~ ~   k 10 a  k * 

 ~* ~y t  a     n  k   ~y t    ~y t 

 ~* ~c t  a     n  k   ~c t   ~  c t 

1 a

1 a

 

1 a

1 a

 

~  k 10 a  

 

~  k 10 a  

*  e      n 1 a t   ~   k 

e     n 1 a t

 

182

*  e      n 1 a t   ~   k 

e     n 1 a t

1 a

1 a

183 184

Se puede comprobar fácilmente que las tasas de todas las variables por unidad de trabajo eficiente convergen a cero en el largo plazo. Esto es: lím  ~k t   lím  ~y t   lím  ~c t   0

t 

t 

t 

185

Teniendo en cuenta (100) y (182), la tasa de crecimiento instantáneo del stock de capital per cápita viene dada por:

   

~ k*   k t   ~* k

1 a

1 a

~  k 10a      n e     n 1a t   ~ 1a ~ * 1a     n 1a t  e  k0  k  

 

262

186

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Teniendo en cuenta (104) y (183), la tasa de crecimiento instantáneo del stock de capital per cápita viene dada por:

 

~ a     n  k *   y t  

1 a

 

~ ~   k 10a  k * 

1a

 

*  e     n 1a t   ~   k 

e     n 1a t

1 a

~  k 10a  



187

Dado que el consumo per cápita es proporcional al PBI per cápita, entonces ambos crecen al mismo ritmo. Esto es:

 

~ a     n  k *   c t  

1 a

 

~ ~   k 10a  k * 

1 a

 

*  e   n 1a t   ~   k 

e    n 1a t

1a

~  k 10a  

    y t 

188

Se puede comprobar fácilmente que en el largo plazo las tasas de crecimiento instantáneo de todas las variables en términos per cápita convergen a la tasa de crecimiento instantáneo de “A”. Esto es: lím  k t   lím  y t   lím  c t   

t 

t 

t 

189

Un Caso numérico (sin progreso tecnológico): A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación, efectuada en Microsoft Excel 2010, del modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan sin progreso tecnológico y con una función de producción tipo Cobb-Douglas [ecuación (LVIII) del anexo 8] , y para los siguientes valores de los parámetros del modelo: Parámetros

Valores 0.04 0.8 0.05 0 0.1 0.6

s n k0 a

Tabla 1: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 2 muestra los valores y las velocidades de convergencia en el estado estacionario, y el tiempo que tardan “k” y “y” en recorrer la mitad de la distancia entre sus valores estacionarios y sus valores iniciales. Variables k* y* c* βk* βy* t

Ecuación utilizada (121) (122) (123) (158) (158) (XLVI) de anexo 7

Valores 235.57 26.50 5.30 0.036 0.036 19.25 años

Tabla 2: Valores y velocidades de convergencia de estado estacionario, y tiempo que tardan “k” y “y” en recorrer la mitad de la distancia entre sus valores estacionarios y sus valores iniciales

263

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A continuación, en el mismo orden que se muestra en la tabla 3, se muestra el comportamiento dinámico del stock de capital per cápita en el modelo de Solow-Swan. Variables dk/dt k ɣk βk

Ecuación utilizada (120) (134) (146) (153)

Tabla 3: Comportamiento dinámico del stock de capital per cápita

Figura 17: Comportamiento dinámico del stock de capital per cápita





Figura 18: Diagrama de fase en  k  k  



Figura 19: Tasa de crecimiento instantánea del stock de capital per cápita 264

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Figura 20: Velocidad de convergencia del stock de capital per cápita A continuación, en el mismo orden que se muestra en la tabla 4, se muestra el comportamiento dinámico del PBI per cápita en el modelo de Solow-Swan. Variables y ɣy βy

Ecuación utilizada (135) (148) (156)

Tabla 4: Comportamiento dinámico del PBI per cápita

Figura 21: Comportamiento dinámico del PBI per cápita

Figura 22: Tasa de crecimiento instantánea del PBI per cápita 265

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Figura 23: Velocidad de convergencia del PBI per cápita A continuación, en el mismo orden que se muestra en la tabla 5, se muestra el comportamiento dinámico del consumo per cápita en el modelo de Solow-Swan. Variables c ɣc

Ecuación utilizada (137) (151)

Tabla 5: Comportamiento dinámico del consumo per cápita

Figura 24: Comportamiento dinámico del consumo per cápita

Figura 25: Tasa de crecimiento instantánea del consumo per cápita

266

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Conclusiones: En este documento se ha analizado el modelo de crecimiento neoclásico de SolowSwan, con y sin progreso tecnológico, en tiempo continuo, tanto desde su perspectiva cualitativa (a través de los diagramas de fase) como desde su perspectiva cuantitativa. Las principales conclusiones que se pueden extraer del análisis aquí realizado son las siguientes: En el modelo de Solow-Swan, sin progreso tecnológico, las variables per cápita, PBI, consumo y stock de capital, crecen en largo plazo a una tasa nula. Es decir, este modelo nos dice que el PBI, el consumo y el stock de capital por persona permanecerán constantes en el largo plazo. Como ya se ha dicho, esto no es válido ya que en economías reales se ha observado que, por ejemplo, los niveles de PBI medios per cápita han variado mucho desde principios hasta finales del siglo XX. En este sentido el modelo de Solow-Swan sin progreso tecnológico no resulta satisfactorio para explicar los determinantes del crecimiento económico. El modelo de Solow-Swan, sin progreso tecnológico, predice que si dos países, uno rico y otro pobre, tienen la misma función de producción (neoclásica), y las mismas tasas de ahorro, de crecimiento de la población, y de depreciación del stock de capital per cápita, el país pobre (con un stock de capital per cápita inicial inferior al del país rico) crece más rápido que el país rico. Asimismo, el modelo pronostica que el país pobre debe alcanzar el nivel del stock de capital de estado estacionario, y una renta en términos per cápita igual a la del país rico. A esto se le denomina convergencia absoluta. Desafortunadamente, la evidencia empírica no favorece esta hipótesis. No obstante, podemos decir que este modelo predice convergencia condicional en el sentido que cada país converge a su propio estado estacionario y que su velocidad de convergencia se relaciona inversamente con la distancia que hay entre sus niveles de stock de capital per cápita inicial y sus niveles de estado estacionario. Para tratar de explicar el crecimiento de los países en el largo plazo se hizo necesario introducir exógenamente el progreso tecnológico en el modelo de Solow-Swan. Con esto se consiguió que la tasa de crecimiento del PBI per cápita no fuese más nula. Sin embargo, esta versión del modelo no logra explicar de dónde surge el progreso tecnológico, por lo que tampoco consigue explicar el crecimiento económico. Finalmente, para elaborar un modelo que explique los determinantes del crecimiento económico de largo plazo será necesario relajar alguno o algunos de los supuestos del modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan (Por ejemplo, endogeneizar el progreso tecnológico o suponer que la función de producción no es neoclásica).

267

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Anexo 1

Función homogénea: f x1 , x 2 ,, x n  es homogénea de grado “δ” en

D   n si:

 f x 1 , x 2 , , x n     f x 1 , x 2 , , x n    0  x  x 1 , x 2 , , x n   D

I

Para el caso de la función de producción agregada neoclásica con tecnología ~ ~ normalizada a uno, FK, L, A   FK, L,1  FK, L, tenemos:  Fx 1 , x 2     Fx 1 , x 2    0  x  x 1 , x 2   K, L  D

FK, L    FK, L   0  K, L  D

II

FK, L  FK, L   0  K, L  D

III

Dado que se ha supuesto que “F” es homogénea de grado uno, entonces   1. Por tanto, en este caso se debe verificar:

Anexo 2 Tasa de crecimiento instantánea del stock de capital: Para el caso de la función de producción agregada neoclásica con tecnología normalizada a uno, ~ ~ FK, L, A   FK, L,1  FK, L, y teniendo en cuenta (11) tenemos que: PMgL 

F( K, L)

 f (k )  k  f ' (k )  0

L

IV

Derivando (22) respecto de “k” y teniendo en cuenta (IV) resulta:   k  k

skf ' k   sf k 



k

2



s k

2

kf k   f k   0 '

V 

Esta ecuación nos muestra que la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital es estrictamente decreciente con “k”.

Anexo 3

Teorema de Euler: Si f x   f x1 , x 2 ,, x n  es de  f x   f x1 , x 2 , , x n  será homogénea de grado “δ” en D   n si: 

 xi n

i 1

f x 1 , x 2 ,  , x n  x i

clase

 f x 1 , x 2 ,  , x n  x  x 1 , x 2 ,  , x n   D

1,

C1 ,

VI 

Aplicando el teorema de Euler a la función de producción agregada neoclásica con ~ ~ tecnología normalizada a uno, FK, L, A   FK, L,1  FK, L, tenemos:

 xi 2

i 1

x1

Fx 1 , x 2  x 1

Fx 1 , x 2  x i

 x2

 Fx 1 , x 2  x  x 1 , x 2   K, L   D   2

Fx 1 , x 2  x 2

  Fx 1 , x 2  x  x 1 , x 2   K, L   D   2

268

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA FK, L  K

K

L

FK, L 

 FK, L  K, L   D   2

VII 

 FK, L  K, L   D   2

VIII

L

Dado que se ha supuesto que “ FK, L  ” es homogénea de grado uno, entonces   1. Por tanto, en este caso se debe verificar: K

FK, L  K

L

FK, L  L

Dividiendo la expresión anterior entre FK, L  resulta: FK, L  K

FK, L  K



FK, L  L

FK, L  L

 1 K, L   D   2

 FK   FL  1 K, L  D  2

IX

X

Donde “  FK ” es la elasticidad parcial de la producción agregada respecto del stock de capital (la participación relativa del capital en la producción total). Mientras que “  FL ” es la elasticidad parcial de la producción agregada respecto del trabajo (la participación relativa del trabajo en la producción total). Por otro lado, bajo el supuesto que las empresas maximizan sus beneficios en un mercado de factores productivos competitivo y sin externalidades, las productividades marginales de los factores productivos pueden remplazarse en el teorema de Euler por los precios de alquiler de dichos factores21. Esto es, si: F( K , L)   f ' (k ) r  PMgK   K  w  PMg  F( K , L)  f ( k )  k  f ' ( k ) L  L

XI 

Entonces, remplazando (XI) en (IX) resulta: FK, L  rK



FK, L  wL

 1 K, L   D   2

XII

Donde rK FK, L es la participación de los costos del capital en la producción total y wL FK, L es la participación de los costos laborales en la producción total. También se puede interpretar rK FK, L como la participación del ingreso percibido por los dueños del capital, rK, en el ingreso total, p  FK, L  1  FK, L  FK, L. Asimismo, wL FK, L , también se puede interpretar como la participación del ingreso percibido wL , en el ingreso total, por los dueños del factor trabajo, p  FK, L  1  FK, L  FK, L.

Dividiendo y multiplicando (XII) por “L” resulta: r K L 



w L L 

FK, L  L FK, L L 21

Véase anexo 4.

269

 1 k   

XIII

CIRO BAZÁN


Remplazando (XI) en (III), y teniendo en cuenta (14c) y (14d), resulta: rk y





w y

f k  rk



f k  w

f ' k k



f k 



f k   kf ' k  f k 

XIV

 1 k   

Donde rk y es la participación del ingreso per cápita percibido por los dueños del capital per cápita, rk, en el ingreso total per cápita, p  y  1  y  y. Asimismo, w y , es la participación del ingreso per cápita percibido por los dueños del factor trabajo, w , en el ingreso total per cápita, p  y  1  y  y.

Anexo 4 Optimización de las empresas: El objetivo de las empresas se supone que es maximizar sus beneficios en un mercado de factores productivos competitivo y sin externalidades, donde se toman como dados los precios de alquiler del trabajo y del capital: “w” y “r”. Ya que se ha supuesto la existencia de una función de producción agregada, entonces podemos concentrarnos en el problema de optimización de la empresa representativa. Dicho problema viene dado por: Max (K, L)  K ,L

XV 

 F(K, L)  w  L  r  K

1  precio del bien

Donde se ha normalizado el precio de bien final (output) a 1 y se ha supuesto que la función de producción agregada es neoclásica con tecnología normalizada a uno, ~ ~ FK, L, A   FK, L,1  FK, L.

Por lo tanto, las condiciones de primer orden de la empresa implican que: 



K





L

F(K, L) K

F( K, L) L

 r  0  PMgK   w  0  PMgL 

L  f (k )

F( K, L) K

F( K, L) L

XVI 

r

XVII 

w

Por otro lado, teniendo en cuenta (14c), tenemos que: F( K, L) K

F(K, L) L





K

L  f ( k ) L

 L  f ' (k ) 

1  L  f '  k )   f ' ( k ) dK L dk

 dk  f (k )  L  f ' (k )    dL

F( K, L) L

 f (k )  f ' (k )  k

XVIII

 K   f  k )  f ' (k )      2 L   L 

XIX

Luego, remplazando (XVI) y (XVII) en (XVIIII) y (XIX), y teniendo en cuenta (11) con A  1, resulta: r  PMgK  w  PMgL 

F( K , L) K

F( K , L) L

 f ' (k)  0

XX 

 f (k)  k  f ' (k)  0

270

XXI 

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Estas ecuaciones nos dicen que en un mercado de factores productivos competitivo y sin externalidades, para maximizar sus beneficios, la empresa debe garantizar que las productividades marginales de sus factores de producción sean iguales a sus respectivos precios de alquiler (siendo “r” el precio de alquiler del capital y “w” el precio de alquiler del trabajo o salario).

 

Remplazando (14c), (14d) y (15) en (XV), resulta:

( K * , L* )  F( K * , L* )  w  L*  r  K *  f k *  L*  w  L*  r  k *  L*

 

( K * , L* )  f k *  w  r  k *

  

 L

XXIII 

*



Sustituyendo (XI) en (XXIII) se tiene:

XXII 

( K * , L* )  f k *  f ( k * )  k *  f ' ( k * )  f ' ( k * )  k *

 L

*

0

XXIV 

Económicamente, el teorema de Euler nos dice que en condiciones de rendimientos constantes a escala y en un mercado de factores productivos competitivo y sin externalidades, si a cada uno de los factores productivos se le retribuye por el valor de su productividad marginal, la producción total se distribuirá exactamente en todos los factores de producción en función de su participación, o, en otras palabras, el beneficio económico puro de la empresa será nulo, tal como se aprecia en (XXIV). De hecho, con tales hipótesis, cualquier beneficio en un mercado dado se supone que induce a nuevas empresas a ingresar en el mercado, conduciendo a la baja al precio a un nivel de equilibrio correspondiente a beneficios nulos, De la Grandville, 2009.

Anexo 5 Velocidad de convergencia: De manera análoga a (66), la velocidad de convergencia de la renta per cápita hacia su estado estacionario viene dada por: y t

y 

y*  y



f k  t

 

f k *  f k 

Sustituyendo (20) en (XXV) se tiene: y 

y t

y*  y



f k  t

 

f k *  f k 





f ' k  k

 



f k *  f k 

XXV 

f ' k sf k     n k 

 

f k *  f k 

XXVI 

La velocidad de convergencia de “y” hacia su valor de estado estacionario, “ y * ”, evaluada en el estado estacionario la podremos obtener resolviendo el siguiente límite:  f ' k sf k     n k    f ' k sf k     n k    lím *   y y*  lím*    * * f  k  f k  yy      f k f k f k f k       

 

 

 

271

XXVII 

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Pero, tenemos que:

y  f k   k  f 1 f k   f 1 y   gy   gf k 

XXVIII

Derivando (XXVIII) respecto de “y” resulta: k

y



k

f k 





  g f k   g y 

 f 1 f k  f k 

'

'

f ' k  1

XXIX

Sustituyendo (XXVIII) en (XXVII) tenemos que:

 

 y y* 

 f ' k sf k     n gf k     * f  k  f k*    f k f k   

 

lím

XXX 

Aplicando la regla de L’Hôpital a (XXX) obtenemos la velocidad de convergencia de “y” en el estado estacionario. Esto es:

 

y y

*





 f ' k  s    n g ' f k    lím *    f ' k * s    n g ' f k * f  k  f k  1  

 

  

XXXI

Sustituyendo (62) y (XXIX) en (XXXI) se obtiene:

   n k * 1   y y *  f ' k *     n  ' *  * f k   f k

 

 

 

   

 

 f ' k* k*  y y *    n 1  f k* 



 

Sustituyendo (52) en (XXXII) tenemos:

 

  

 

XXXII

 

 y y*    n  1   k k *   k k *

XXXIII

Finalmente, vamos a demostrar que la velocidad de convergencia de “y” hacia “ y * ” 

evaluada en “ y * ” es el negativo de la derivada de “ y ” respecto de “y” evaluada en “ y * ”. Para ello debemos tener presente que: y  f k   y  f ' k  k 



XXXIV

Remplazando (20) en (XXXIV) tenemos que:

y  f ' k sf k   n   k  XXXV 

Sustituyendo (XXVIII) en la expresión anterior obtenemos que:

y  f ' k sf k   n   gf k   XXXVI  

272

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Derivando (XXXVI) respecto de “y” se tiene:  yy  

y

yf k  



f k 



 f ' k  s  n   g ' f k 

 XXXVII

Evaluando (XXXVII) en “ y * ” tenemos que: 

   yf k   f k s  n   g f k   XXXVIII 

 y y*

f k 

y

*

'

*

'

*

Sustituyendo (62) y (XXIX) en (XXXVIII) se obtiene:

   yf k   f k    n k  f k  y  f k  



 y y*

*

'

*

*

*



 f ' k * k * n       n      f ' k    f k * 

     n  k   1    n 1   k 

  1 XXXIX 

Remplazando (52) en (XXXIX) tenemos: 

 y y* y

*

XL

*

k

k

     n 1   k    k 

Teniendo en cuenta (XXXIII) tenemos que:

 

 y y*  



 y y* y

*

XLI

*

k

k

Anexo 6 Teorema de Taylor Versión unidimensional:

Sea f x  una función de una variable real. El teorema de Taylor nos dice que podemos aproximar esta función alrededor del punto x * con un polinomio de grado “n” como sigue:

 

f x   f x  *

Donde

  x  x   1

df x *

 

dnf x*

*

dx

  x  x 

d 2f x*

2!

dx

* 2

2



  x  x 

1 d n f x* n!

dx

* n

n

 R n XLII

es la “n”-ésima derivada de “f” respecto a “x” evaluada en el punto x * ,

dx n!  n  n  1  n  2    3  2  1 es el factorial de “n”, y “ R n ” es un residuo o resto. La n

expresión de la ecuación (XLII), sin considerar “ R n ”, es la denominada expansión de las series de Taylor de f x  alrededor de x * .

 

f x   f x

*

  x  x   1

df x * dx

*

2!

  x  x 

d 2f x* dx

* 2

2

273



  x  x 

1 d n f x* n!

dx

n

* n

XLIII 

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La presencia del residuo “ R n ” en la ecuación (XLII) indica que la expansión de Taylor no es una fórmula exacta para f x  . El teorema de Taylor describe las condiciones bajo las cuales la aproximación (la ecuación (XLII) sin el residuo) se hace más exacta según “n” aumenta.

Anexo 7 Tiempo que tarda una variable en recorrer la mitad de la distancia que hay entre su estado estacionario y su valor inicial: De la ecuación (20) 

podemos percatarnos que k es una función de “k”:

k  sf k     n k  k  k k  



 

XLIV



Además, en el estado estacionario, se cumple que: 

k k*  0

XLV

Efectuando una aproximación lineal de la expansión de las series de Taylor de k k  alrededor de k * , (ver anexo 6), se tiene que: 



 

kkk  *





  k  k 

 k k* k

 



Sustituyendo (69) y (XLV) en (XLVI) resulta que; 

k   k k * k  k *

Resolviendo (XLVII) se tiene22:

  

 

XLVI 

*

XLVII



 

 * * k   k k * k  k * k k *  k  e k k t B   k * k k * e k k t dt



* * k t   e  k k t B  k *ek k t



XLVIII



Suponiendo que el valor inicial de “k” es k 0, de (XLVIII) resulta: k 0  B  k *  B  k 0  k *









Sustituyendo (XLIX) en (XLVIII) obtenemos:

* k t   k *  k 0  k * e  k k t

XLIX

L

El tiempo que le toma a “ k t  ” recorrer la mitad de la distancia que le separa de su valor de estado estacionario, k * , partiendo de “ k 0  ” la calcularemos teniendo en cuenta que: k 0  k *  2 k t   k *

22

Ver anexo 9.

274

t  0

LI

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Sustituyendo (LI) en (L) obtenemos la siguiente expresión:







 



* * k t   k *  k 0  k * e k k t  k t   k *  2 k t   k * e k k t

 

* 1 2  e  k k t  ln 1 2    k k * t

t

 



t

0,69

ln 2

k k

*

LII

 

0,69

k k*

Por ejemplo, si  k k *   0,04, entonces a “k” le tomará aproximadamente 17 años estar a mitad de camino de su valor de estado estacionario k * :

0,04

 17

Taylor de yy  alrededor de y * , (ver anexo 6), se tiene que:

Por otro lado, efectuando una aproximación lineal de la expansión de las series de 





 

y  y y* 



  y  y 

 y y* y

*

LIII

Además, en el estado estacionario se cumple que: 

 

LIV

y y*  0

Remplazando (LIV) y (XLI) en (LIII), tenemos que:

 



y   y y* y  y*



LV

Resolviendo esta ecuación diferencial tal como hicimos con (XLVII) resulta:





yt   y*  y0  y* e

 

  y y* t

LVI 

Ya que “y” y “k” se aproximan a sus respectivos estados estacionarios a la misma velocidad, entonces ambos tardarán lo mismo en recorrer la mitad de la distancia que les separa de su respectivo valor de estado estacionario. En consecuencia, de manera análoga a como hicimos con “k”, el tiempo que le toma a “ yt  ” recorrer la mitad de la distancia que le separa de su valor de estado estacionario, y * , partiendo de “ y0  ” será: t

 

ln 2

 y y*



 

0,69

 y y*

275

LVII

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Por tanto, si  y y*    k k *   0,04, entonces a “y” le tomará aproximadamente 17 años estar a mitad de camino de su valor de estado estacionario y* : t

0,69 0,04

 17

Anexo 8 La función de producción tipo Cobb-Douglas: La función de producción agregada tipo Cobb-Douglas que analizaremos en esta sección, para K  0 y L  0, viene representada por: Y  FK, L  K a L1a ,

0  a  1,

LVIII

En la figura I se puede apreciar la representación geométrica de (LVIII). Asimismo, se aprecia su sección vertical para L  1, que como veremos, no es otra cosa que la función de producción en términos per cápita (por unidad de trabajo), y  f k   k a . Y

Y  FK,1

K

Y  FK, L  K a L1 a

L 1

L


Figura I: La función de producción tipo Cobb-Douglas A continuación vamos a demostrar que ésta es una función de producción neoclásica. Esto es, satisface las siguientes propiedades:  Presenta rendimientos constantes a escala: Es decir, es una función homogénea de grado uno. Esto es: FK, L  K  L a

1 a

 K a L1 a  FK, L  Y

276

LIX

CIRO BAZÁN 




La productividad marginal (PMg) de cada uno de los factores de producción es positiva, pero decreciente. Para todo K  0, L  0, con 0  a  1, y teniendo en cuenta (14d), tenemos lo siguiente: a 1  FK , L  K PMgK     ak a 1  0  a   K L   2 FK , L  Ka 2  PMgK      0 a a 1   K K 2 La 1  a FK , L   K  1  a    1  a k a  0 PMgL  L L   2 a  PMgL   FK , L   a a  1 K  0  L L2 La 1

LX

Satisface las condiciones de Inada. Para todo K  0 y L  0, y con 0  a  1 estas condiciones son las siguientes:  1 a   K  a 1    FK , L   1  1 a  lím a     aL  lím     0  lím K      K   K   K   K  L   1 a    K  a 1    FK , L  1    lím  lím a     aL1 a  lím      K 0 K  0 K   K  0 K    L   a  a        F K , L K 1       lím 1  a     1  a K a  lím     0 Llím   L    L  L   L    L      a a    FK , L  K   1  a  lím  lím 1  a     1  a K  lím      L0 L  0 L  L  0 L    L      a 1 a F0, L   0 L  0   

LXI

Ahora calcularemos las elasticidades parciales de los factores de producción para la función de producción agregada tipo Cobb-Douglas neoclásica, teniendo en cuenta (LVIII) y (LX):    K  a 1  FK , L   K a    K   L  K  FK    a 1a   a  FK , L  K L  a   K    F K , L        L 1 a      L  L     1 a L    FL  a 1 a  FK , L  K L

277

LXII

CIRO BAZÁN


Como podemos apreciar, la función dada por (LVIII) también satisface el teorema de Euler. Esto es:  FK   FL  a  1  a  1

LXIII

Por otro lado, dividiendo (LVIII) entre “L”, y teniendo en cuenta (14d), la función de producción tipo Cobb-Douglas en términos per cápita (por unidad de trabajador) viene dada por: y  f k  

Y L



FK, L  L



K a L1a L



K     k a , L

K a L1a

La L1a

LXIV

0  a 1

a

Teniendo en cuenta la propiedad de rendimientos constantes a escala de la función de producción agregada tipo Cobb-Douglas y la ecuación (14d), la expresión (LXIV) la podemos obtener remplazando L  1 en (LVIII). Esto es: FK,1  FK L ,1  Fk,1  f k   y  K a 1

1a

 K a  kL  k a ,

0  a  1,

a

LXV

En consecuencia, como ya se dijo, la función de producción per cápita tipo CobbDouglas, no es más que la sección vertical, para L  1, de (LVIII). Su representación gráfica se puede apreciar en la figura I. Esta función tiene una representación geométrica muy similar a la bosquejada en la figura 1. Por tanto, ésta debe satisfacer las condiciones de Inada dadas por (16a), (16b), (16c), (16d), y (16e). Esto es:  df k   f ' k   ak a 1  0   dk  d 2 f k    f ' ' k   a a  1k a  2  0  dk 2  1 a 1   df k   ' a 1    a lím   ak klím   lím f k   klím  k 0 k 0     0  dk  k  0  1 a 1  df k    ' a 1 0  a lím   f k   lím ak   klím  klím k   k   k     dk       a f 0   0   0 









LXVI 

Anexo 9 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes variables: La forma general de este tipo de ecuaciones puede expresarse como:

a 1 t x '  a 0 t x  f t   Si a 1 t   0 t   x '  x '  w t x  qt 

LXVII

a 0 t  a 1 t 

x

f t 

a 1 t 

Su solución general la obtendremos multiplicando (LXVII) por el factor denominado factor de integración, de donde tenemos que: x 'e 

w  t dt

 w t xe

w  t dt

278

 qt e 

w  t dt

e

w  t dt

,

CIRO BAZÁN


Resultando que: w  t dt   d xe      x 'e  w  t dt  w t xe w  t dt   qt e  w  t dt     dt

Entonces, integrando a ambos lados de la ecuación anterior tenemos:    w  t dt     d xe w  t dt w  t dt w  t dt    dt   q t e  dt  xe    q t e  dt  C   dt    

Entonces la solución general (no homogénea) será:  w  t dt   w t dt dt  C x t   e     qt e  

279

LXVIII

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280

CIRO BAZÁN


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281

CIRO BAZÁN


282

El modelo de crecimiento óptimo de RamseyCass-Koopmans1 En esta sección analizaremos los fundamentos del consumo y la acumulación de capital físico en un modelo de equilibrio dinámico no monetario: El modelo determinístico de crecimiento económico óptimo de Ramsey, Cass y Koopmans. Este modelo lo resolveremos utilizando la teoría de control óptimo. Supuestos del modelo: 1. Este modelo estudia la asignación óptima de los recursos de una nación en cada instante del tiempo entre consumo actual y ahorro. En primera instancia se asumirá que la asignación intertemporal de recursos es resuelta exógenamente por un planificador central, cuyo objetivo es maximizar el bienestar social sujeto a una restricción presupuestaria dinámica (versión centralizada). En segundo lugar, se asume que la trayectoria de consumo, y por tanto, la tasa de ahorro son determinadas endógenamente (a diferencia del modelo de Solow-Swan en el que la tasa de ahorro se considera constante y exógenamente dada) por el proceso de optimización de las familias y empresas representativas que interactúan en mercados competitivos sujetas a una restricción presupuestaria dinámica (versión descentralizada). 2. Los individuos tienen un horizonte infinito, es decir, vida infinita. Si bien puede considerarse este supuesto absurdo, su conceptualización puede hacerse por ejemplo a partir de suponer la existencia de dinastías. Este supuesto ilustra la idea de que los padres tienen en cuenta el bienestar de su descendencia al momento de realizar sus decisiones de consumo. Es decir, las familias escogen consumo y ahorran maximizando su utilidad dinástica, sujetas a una restricción presupuestaria intertemporal. 3. El supuesto de horizonte infinito tiene fuertes implicancias: junto con el supuesto de mercados competitivos (bajo el contexto de una economía cerrada), rendimientos constantes a escala en la producción y agentes homogéneos, típicamente implica que la asignación de recursos alcanzada por una economía descentralizada será la misma a la elegida por un planificador central que maximiza la utilidad del agente económico representativo de la economía en el modelo. Se demostrará la equivalencia entre la asignación de recursos en la economía descentralizada y en una economía planificada. 4. No hay incertidumbre.

5. La población, “ N t ” crece a una tasa “n”  n  N t N t  ; ésta puede ser pensada como 





una familia o muchas familias idénticas, creciendo a lo largo del tiempo. 6. La fuerza de trabajo (población económicamente activa) es igual a la población. No hay niños ni ancianos (jubilados). La oferta de trabajo es inelástica. 7. La producción se puede consumir o invertir. La inversión aumenta el stock de capital. Formalmente:

Yt  FK t , N t   C t 



K t

(1)

Inversión Neta

1

Este modelo fue inicialmente desarrollado por Ramsey (1928) y luego fue refinado por Cass (1965) y Koopmans (1965). Estas notas replican fundamentalmente las secciones 2.1, 2.2 y 2.3 del capítulo 2 de Blanchard y Fisher (1989), pero deduciendo paso a paso la mayoría de las ecuaciones desarrolladas en dichas secciones, y agregando a su versión del modelo de Ramsey-CassKoopmans simulaciones numéricas desarrolladas en Matlab 7.12.0.

CIRO BAZÁN


8. Por simplicidad asumimos que no hay depreciación física de capital o que Yt es la producción neta en vez de producción bruta. 9. La función de producción es homogénea de grado uno, es decir, hay rendimientos constantes a escala. No hay crecimiento de la productividad, es decir, no hay progreso tecnológico. En términos per cápita, la producción viene dada por:



Yt Nt

FK t , N t 



Nt

N t  FK t N t , 1 Nt

 f k t  

Dónde:

ct 

y kt 

Ct Nt

Kt Nt



 kt 

Ct Nt







Kt

(2)

Nt 

Kt  Nt  Kt  Nt N 2t

      K t  N t  Kt Kt         k k n k kt  t  kt  n t t   Nt Nt N t  N t  N t   



Kt

kt

(3)

n

Reemplazando (3) en (2):

f k t   ct  k t  n  k t  k t  f k t   ct  n  k t (4) 



f k t  : Producción per cápita.

f '' k t   0

k t : Capital per cápita. Figura 1. Producción per cápita

10. Asumimos que f k t  es estrictamente cóncava y que satisface las condiciones de INADA:

f 0  0

f ' 0  

(5) : Con capital nulo no se produce nada.

(6) : El incremento de f k t  ante un incremento de k t , cuando k t es

muy pequeño, es muy grande.

f '    0

(7) : El incremento de f k t  ante un incremento de k t , cuando k t es

muy grande, es muy pequeño. 284

CIRO BAZÁN


11. Se asume que la economía empieza con algún capital k 0  0 . Donde k 0  K 0 N 0 , y N 0  0 es la población inicial. 12. Las preferencias de la familia acerca del consumo a lo largo del tiempo son representadas por la integral de la utilidad:

Us   u c t   e  t s   dt  U0   u c t   e t  dt 



s

0

(8)

Bienestar de la familia en el instante “s”. Representa la suma de utilidades instantáneas “ u c t  ” descontadas. u c t  : Función instantánea de utilidad. Es no negativa, creciente y estrictamente cóncava en el consumo per cápita de los miembros de la familia. Tasa de preferencias temporal o tasa de descuento del agente (tasa de : descuento subjetiva). Da una medida de la preferencia de un consumo anterior frente a un consumo posterior. Así, si   0 , un consumo “ c 0 ” en el presente se valora igual que un consumo dentro de “t” unidades de tiempo. Para un   0 cualquiera, un consumo “ c 0 ” en el presente se valora igual que un

Us :

consumo ct  e t  c0  dentro de “t” unidades de tiempo. Por tanto, a mayor “  ” se exige mayor cantidad de consumo futuro a cambio de consumo presente. A diferencia de Ramsey, que asumió   0 argumentando que desde la perspectiva de un planificador central benevolente no era ético descontar el futuro, asumimos que   0 .

La ecuación (8) nos dice que el bienestar de la familia en el momento “s” es igual al flujo de utilidades instantáneas descontadas por una tasa de preferencia temporal “  ”. Nota: Una alternativa plausible es la formulación de la función bienestar de “Benthamite” en la cual la función instantánea de utilidad viene dada por N t  u c t  de modo que el número de miembros de la familia que reciben el nivel de utilidad dado sean tomados en cuenta. Dado que la tasa de crecimiento instantánea de la población es:

n





Nt Nt

dN t Nt

  nN  dN t  nN  dN t  n  d  N t t t t Nt dt

  n  d t  ln N t  n  t    N t  e nt   

Teniendo en consideración que en el instante inicial el tamaño de la población es: N0  N0  N0  e  Nt  N0 ent



Si la función instantánea de utilidad viniese dada por N t  uct , considerando   , y suponiendo que s  0, entonces (8) se transformaría en: U 0   N t u c t   e  t  dt   N 0e ntu c t   e t  dt  N 0  u c t   e    n t  dt 





0

0

0

285

CIRO BAZÁN


Entonces, vemos que la formulación de Benthamite es equivalente a reducir la tasa de preferencia intertemporal a   n  en nuestro modelo, debido a que el tamaño más grande de la familia en fechas posteriores en efecto incrementa el peso dado a la utilidad del individuo representativo en una generación posterior. Por tanto, bajo esta formulación, los resultados serían ligeramente diferentes a los obtenidos en este modelo. a)

La economía centralizada: La planificación óptima: En este punto se establecerán las propiedades dinámicas de una economía, mediante un análisis agregado del funcionamiento de la misma, donde la asignación intertemporal de recursos es resuelta exógenamente por un planificador central, cuyo objetivo es maximizar el bienestar social. Se supone que un planificador central benevolente está interesado en maximizar el bienestar de una familia representativa de la economía en el instante t  0 . La única elección que tiene que hacer en cada instante del tiempo es: ¿Cuánto debería consumir la familia representativa, y en cuánto debería incrementar el stock de capital físico (ahorrar o invertir) para proporcionar consumo en el futuro, dado un stock de capital inicial arbitrario, k 0 ? Formalmente, el planificador tiene que encontrar la senda óptima c t para maximizar la integral U 0 , definida por (9), sujeta a la condición de factibilidad dada por (10), a las condiciones de no negatividad del stock de capital y del consumo per cápita, y a un stock de capital inicial arbitrariamente dado, k 0 . Esto es:

M ax U 0   u c t  e   t  dt  0

s.a :

k t  f k t   c t  nk t 

k t  0 t

9

10

c t  0 t

k 0  0 dado 

Dónde: La ecuación (10), es la restricción (dinámica) presupuestaria de la economía (en términos per cápita). Es la ecuación de estado o de movimiento de la variable de estado. La variable de estado es k t y la variable de control es c t . Hallaremos la solución del problema que enfrenta el planificador central benevolente utilizando el principio del máximo de Pontryagin. La solución óptima se obtiene ajustando la función Hamiltoniana a valor presente: H t  uc t e t   t f k t   nk t  c t  (11)

286

CIRO BAZÁN


El precio sombra del capital “  t ” representa el valor del capital en el instante “t”

en unidades de utilidad del instante t  0 . Es decir, “  t ” representa cuánto estaría dispuesto a pagar el planificador central benevolente, en unidades de utilidad, para tener una unidad adicional de stock de capital físico per cápita en el instante “t”. La variable “  t ” es llamada variable de co-estado asociada con la variable de estado “ k t ”, y también se le conoce como el multiplicador de Pontryagin de la restricción (10). Por conveniencia, trabajaremos con el valor marginal, a partir del instante “t”, de ~    et , que con “  ”. una unidad adicional de capital en el instante “t”,  t t t  t ~ Remplazando    e en (11) obtenemos: t

~ f k   nk  c e t H t  uct    t t t t t

(12)

Las condiciones necesarias y suficientes (principio del máximo de Pontryagin) para que una senda sea óptima bajo los supuestos hechos acerca de las funciones de utilidad y producción son:

 H t 0   c t  H t  t    k t  lím k     0 t  t t  H   t  k t  f k t   c t  nk t   t

i 

ii 

iii 

iv 

Note que i  y ii  son condiciones necesarias de primer orden, pero además son suficientes ya que el Hamiltoniano a maximizar es cóncavo [donde u c t  es

cóncava, f k t   nk t  c t es cóncava y podemos suponer que  t  0 ya que  *t representa el precio sombra de una unidad de capital]. La ecuación iii  nos representa la condición de transversalidad y nos dice que o bien el precio sombra del capital  t  debe ser asintóticamente nulo o bien la cantidad de capital k t debe ser nula. La condición iv  no es más que la ecuación de movimiento de la variable de estado.

~ ”, Utilizando la definición de “ H t ”2, ecuación (11), y remplazando “  t ” por “  t obtenemos: ~ u ' c t    t

Ecuación de Euler:

~ d t dt

2



(13)



~   n  f ' k   t t

Ver anexo 1.

287

(14)

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



Lím k t  u ' c t e  t  0 t 

(15)

Derivando respecto a “t” la ecuación (13) tenemos. c t  dt du   

 ~ u '' c t   c t   t '

Igualando (14) y (16) tenemos:

(16)





 ~   n  f ' k  u ' ' c t   c t   t t

(17)

Reemplazando (13) en (17) tenemos: du c t  dt      '' c t  u c t     n  f ' k t   ' u c t  '





u ' ' c t   c t  u ' c t    n  f ' k t  

17  '

Multiplicando por c t c t  al término que se encuentra en el lado izquierdo de la

 

ecuación 17 ' se tiene que:

Ecuación de Euler: Donde Sc t  

c t  u ' ' c t 

 ct  c  t

   c t  u ' ' c t       n  f ' k  (18)  t   u ' c   t   

representa la curvatura de la función de utilidad. u ' c t  Asimismo, representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo. Si la función de utilidad es casi lineal y si la utilidad marginal es casi constante, entonces la elasticidad es cercana a cero. Esta elasticidad está estrechamente relacionada a la “elasticidad instantánea de sustitución”. La elasticidad de sustitución entre dos puntos en el tiempo “t” y “s”, está dada por:

cs , c t   

u ' cs  u ' c t  cs c t



dcs c t 

du ' c s  u ' c t 

Por tanto:

c t   lím cs , c t    st

288



dln cs c t 

dln u ' c s  u ' c t 

u ' c t 

c t  u ' ' c t 

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Por los supuestos hechos acerca de la función de utilidad u ' c t   0 , u ' ' c t   0 y debido a que c t  0  c t   0 entonces el agente es averso al riesgo: Mientras mayor (menor) sea la elasticidad de sustitución intertemporal instantánea3 c t  mayor (menor) será la sustitución de consumo en el instante “t” del individuo. De microeconomía sabemos que el valor de “  Sc t  ” entrega una medida del grado de aversión relativa al riesgo. En general se plantea que si este coeficiente es mayor que cero, el individuo no estaría dispuesto a aceptar una lotería ante la alternativa de recibir el valor esperado del premio con certeza, lo contrario es cierto para el caso del amante al riesgo. Claramente esta medida está muy relacionada con la forma de la función de utilidad, y en particular, cuando la función de utilidad es cóncava se tiene que el individuo es averso al riesgo. Dado esto, note que es entonces el inverso del coeficiente de aversión al riesgo lo que define con cuanta fuerza el individuo estará dispuesto a sustituir el consumo en el tiempo (aplanar consumo), este coeficiente recibe el nombre de elasticidad de sustitución intertemporal, como vimos antes:

c t   

sc t  1



u ' c t 

c t  u ' ' c t 

Cuando la utilidad es casi lineal, la elasticidad de sustitución es muy grande. [Nota: coeficiente de aversión relativa al riesgo  Sc t   1 c t  ]. Podemos reescribir como:

c t ct

 c t f ' k t     n 

(19)

(Ecuación de Euler)

Las condiciones clave son: (14)  17'  18  19 y 15. La ecuación (14)  19 es la ecuación de Euler. Esta ecuación diferencial describe la condición necesaria que debe ser satisfecha en cualquier senda óptima. Ésta es la versión en tiempo continuo análoga a la condición de eficiencia estándar que establece que la tasa marginal de sustitución debe ser igual a la tasa marginal de transformación, como demostraremos en breve. Ésta fue derivada por Ramsey en su clásico artículo, el cual incluye una explicación verbal atribuida a Keynes. Aquí se desarrollará una explicación intuitiva de esta condición. La regla de Keynes – Ramsey: Tiempo discreto: la forma más sencilla de entender la regla de Keynes – Ramsey es suponer que el tiempo fuese discreto y considerar la elección del planificador central que trata de asignar “el consumo de una familia” entre “t” y “t+1”. Si en el momento “t” el planificador disminuye la cantidad de consumo (que asignaría a la familia) en un “ c t ”, la “familia” perderá en el instante “t” una cantidad de utilidad equivalente a u ' c t   c t . 3

Ver enexo 3.

289

CIRO BAZÁN


En términos per cápita (por trabajador), en el instante “t”:

u c t  Nt



u ' c t c t Nt

Nota: recuerde que si:

u  u c t  

du dc t

 u ' c t 

Si:

c t  0  c t  dc t



du dc t

 u ' c t  

u

c t

 u  u ' c t   c t

Sin embargo, este decremento en el consumo en el instante “t”, permitirá acumular más capital y consumir más en el instante “t+1”: esto es, se producirá un c t 1 , el cual producirá un incremento en la utilidad de “t+1” igual a uc t 1   u' c t 1   c t 1 . Para calcular u c t 1  , primero calcularemos c t 1.

Como la cantidad “ c t ” la podemos invertir (incrementando k en el sector empresarial), entonces esta cantidad a una tasa “r” en el periodo “t+1” nos produciría: c t 1  c t  r  c t  c t 1  r  (20)

Como estamos en competencia perfecta y además todos los agentes de la economía son homogéneos, podemos utilizar como tasa de interés de la economía a la productividad marginal de una empresa representativa. Verifiquemos esto: Beneficio de una empresa representativa del sector empresarial:   1  FK t , N t   W  Nt  rK t

Dónde: w: precio de la mano de obra. r: precio del factor capital.  

Recuerde que: N t  L t ya que estamos considerando solo la población económicamente activa. Se ha normalizado el precio del bien final (output) a 1.



K t



F

K t

r 0  r 

290

F

K t

 FK t

(21)

CIRO BAZÁN


Sea “  ” el beneficio por trabajador (“per cápita”) de una empresa representativa.

d dk t

  f k t   w  r  k t

 f ' k t   r  0  r  f ' k t 

(22)

Ojo: Como:

 1  FK t , N t f k t    N   t

 1  FK t , N t  f ' k t    N  K t  t





 K t     k  t

K t  Nt k t 

Por lo tanto, reemplazando (21) en (20):

K t k t



 Nt



 1  F  N t   FK  r  t  N  Kt  t

ct 1  ct 1  FK t



En consecuencia, el incremento de la utilidad (“de la familia representativa”) en t+1 producido por c t 1 será:





u c t 1   u ' c t 1  1  FK t c t

En términos per cápita (por trabajador), en el instante t+1:

u c t 1  N t 1



u ' c t 1 1  f ' k t c t N t 1

(recuerde que: r  f ' k t   FK t )

Por otro lado, la tasa de crecimiento de la población viene dada por:

N t Nt

(versión discreta). Entonces:

n

N t  n  N t  N t 1  N t  n  N t  N t 1  N t  n  N t  N t 1  N t n  1

Por lo que:

u c t 1  N t 1



u ' c t 1 1  f ' k t c t N t 1  n 

291

CIRO BAZÁN


En la senda óptima pequeñas reasignaciones en el consumo deben dejar el bienestar (utilidad) inalterable de modo que las pérdidas en utilidad en el instante “t” sean iguales al incremento (descontado) en la utilidad en el instante “ t  1 ”. Esto es:

u c t  Nt



u c t 1  N t 1

 1  

1

Donde “  ” es la tasa de descuento intertemporal.

u ' c t   c t Nt

  u ' c t 1 1  f ' k t c t   N t 1  n  

  1 1    

u' c t   1    1  n   1  f ' k t   u' c t 1  1

1

Esta condición puede ser reescrita como: Ecuación de Euler (versión discreta):

1  1  u ' c t 1  1 n  u ' c t  1  f ' k t 

(23)

La ecuación (23) representa la ecuación de Euler en tiempo discreto. La ecuación (23) establece que la tasa marginal de sustitución (MRS) entre consumir en el instante “t” y en el instante “ t  1 ” es igual a la tasa marginal de transformación (MRT) de la producción entre el consumo en los instantes “t” y “ t  1 ”. Si el periodo es suficientemente pequeño, esta condición se reduce a la ecuación 17 ' . Tiempo continuo: un argumento más riguroso se presenta a continuación: consideremos dos puntos en el tiempo, “t” y “s”, s  t. Imaginemos la reasignación de consumo desde un pequeño intervalo que sigue a “t” (de “t” a “ t  t ”) hasta un pequeño intervalo de la misma longitud que sigue a “s” ” (de “s” a “ s  t ”). El decremento de “ c t ” en una cantidad “ c t ” en el instante “t” para un periodo de longitud t , por tanto incrementará la acumulación de capital en c t  t . Se permite acumular este capital entre “ t  t ” y “s”, con consumo sobre este intervalo sin que sea alterado de su valor original. Todo el capital incrementado es consumido durante un intervalo de longitud “ t ” que empieza en “s”, con consumo a partir de entonces (en s  t ) sin ser alterado del nivel de la senda original. Esta variación de la senda óptima se ilustra en la figura 2: Para un “ c ” y un “ t ” suficientemente pequeños, tal reasignación no debería tener efectos en el bienestar, siempre que la senda sea óptima. Por tanto:  u c t   u cs   e s  t   

(24)

"actualizada al instante t "

Dónde, si t  0  t  dt, y si ct  0  ct  dct , por tanto:

u c t  t



du c t  dt



du c t   dc t   dc t  dt

 c    u ' c t  t    t 

292

   u c t   u ' c t   c t (25)  

CIRO BAZÁN


kt

 c t

c s

k s

k t

Senda óptima de k t

k0

t  t

t

s  t

s

t

Fuente: Elaboración propia basada en Blanchard y Fisher (1989).

Figura 2. Trayectoria óptima de kt En el instante “s” por tanto tendremos que:

ucs   u' cs   cs

(26)

Reemplazando (25) y (26) en (24) y multiplicando por “ t ” a ambos lados de (24):  u' c t   c t  t  uc t   u' cs   e s  t cs  t

(27)

La relación entre “ c t ” y “ c s ” es supuesta por:

c t  t  k t  cs  t  k s

28

El capital acumulado en el primer intervalo “ t ” crece a una tasa “ f ' k   n ” entre “ t  t ” y “s”. Esto es:

dk t dt k t

 f ' k t   n 

ln

ln

e

k s k t

k s k t





k s k t

dk v k v



 f ' k v   n dv s

t  t

 f ' k v   n dv s

t  t

     S   f ' k v  n dv  k s  k s  t t    e    k  k t t  

293

CIRO BAZÁN


k s  k t  e



 S   f '  k v  n dv  t  t 

29


 u' c t   k t  u ' cs   e s  t k s (30)

Reemplazando (29) en (30):   S   f '  k v   n dv        u ' c t   k t  u ' c s   e  s  t   k t  e  t  t       f '  k v   n dv   u ' c t    t t  e         s  t    u ' c s   e MRT  t , s   



S

(31)

MRS  t , s 

La ecuación (31) tiene la misma interpretación que la ecuación (23), a saber, que las tasas marginales de sustitución y de transformación son iguales. Como esta igualdad debe mantenerse para todo “t” y “s”, se sigue que:

 dMRSt , s    dMRTt , s    lím  lím    (32) st ds ds   st  

 dMRSt , s   Calculemos primero lím  . Aplicando las reglas de derivación de un st ds   cociente y de la cadena: dMRSt , s  ds

dc s  s  t     u ' c t u ' ' c s   e    u ' c s   e  s  t   ds      s  t  2 u ' c s   e





dc t 0    u ' c t u ' ' c t    e    u ' c t   e 0   dMRSt , s   dt   lím   0 2 st ds u ' c t   e  





dc t      u ' c t  u ' ' c t     dMRSt , s   dt     u ' ' c t   c t  lím   st ds u ' c t  u ' c t   

294

(33)

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Ahora, aplicando la regla de Leibniz a la tasa marginal de transformación, b Ia , b        f b  resulta: si I a , b   f x   dx  b a  

dMRTt , s 

 f ' k s   n   e



  S  f '  k v   n dv   t  t

 dMRTt , s   0 lím    f ' k t   n   e  f ' k t   n (34) st ds  

ds

Recuerde que si:

s  t  t  0  t  t  S   f ' k v   n dv  0 S

t  t

Reemplazando (33) y (34) en (32):



u ' ' c t   c t u ' c t 



 f ' k t   n

Ecuación de Euler (versión continua):

u ' ' c t   c t u ' c t 



   n  f ' k t 

Esta última representa la ecuación de Euler en tiempo continuo. Que es justamente la ecuación 17 ' . La regla de Keynes – Ramsey, en tiempo discreto o en tiempo continuo, implica que el incremento, decremento o inalterabilidad del consumo óptimo dependerán si la productividad marginal del capital neta del crecimiento de la población, f ' k t   n, es mayor, menor o igual que la tasa de preferencia temporal, . Esta regla es fundamental y muy intuitiva: cuanto mayor sea la productividad marginal del capital respecto a la tasa preferencial, más convendrá disminuir el consumo presente para disfrutar de un mayor consumo futuro. Por tanto, si inicialmente la productividad marginal del capital es elevada, el consumo se incrementará a lo largo del tiempo sobre la senda óptima. La ecuación (19) nos muestra el papel específico de la elasticidad de sustitución en esta condición: a mayor elasticidad, más fácil es, en términos de utilidad, renunciar al consumo actual para incrementar el consumo futuro, y por tanto mayor será la tasa de cambio del consumo para un valor dado del exceso de productividad marginal sobre la tasa de descuento subjetiva.

295

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La condición de transversalidad: La ecuación (15), la condición de transversalidad, se entiende mejor considerando el mismo problema de maximización con horizonte infinito reemplazado por un horizonte finito “T”. En este caso, si u ' cT   e T fuese positivo (esto es, si el valor presente de la utilidad marginal del consumo terminal fuese positivo), no sería óptimo llegar al instante “T” con un stock de capital positivo, ya que podría ser consumido (note que de la formulación del problema del planificador central implícitamente se asume que se puede consumir capital incrementando la utilidad de la familia, es decir, incrementando la función objetivo). Entonces, la condición sería: k T  u' cT   e T  0  k T  0 ó u' cT   0

La condición de transversalidad en el horizonte infinito (TVC) puede pensarse como el límite de esta condición cuando “T” se hace grande. Es necesario enfatizar que nuestro argumento para la condición de transversalidad es intuitivo y por tanto se hace notar que existen problemas con horizonte infinito en los que la condición de transversalidad no es necesaria para la senda óptima. Funciones de utilidad especialmente útiles: * “CRRA: Constant Relative Risk Averse”: Dos funciones de utilidad son frecuentemente utilizadas en modelos de optimización intertemporal. La primera es la función de utilidad con elasticidad de sustitución constante, o también conocida como función de utilidad isoelástica:

 c t 1   u c t    1    ln c t ,

para   0,   1 para   1

Para calcular u c t  cuando   1 calcularemos el siguiente límite haciendo uso de la regla de L’ Hôpital:



  ln c t  c t 1   c t 1     u c t   lím  u c t   lím   1   1  1 1     

 

   ln c  lím c  

t

 1

uc t   ln c t c0t  uc t   ln c t

Ahora calculemos la elasticidad instantánea de sustitución:    ct 1  u ' c t    c t     1 c t  u ' ' c t   c t   c t    1 c t        1 c t   c t  1 c 2t 





296

para   1 para   1

1 

t

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Podemos observar que c t   cte y si remplazamos c t  en (19) tendremos la ecuación de Euler: 

f ' k t     n 



ct ct 

ct ct



para   1

 f ' k t     n  para   1

Debido a que el coeficiente de aversión relativa al riesgo Sc t    caso tenemos:

c t  1

, en este

Sc t     cte. (para   1 )

Sc t   1  cte. (para   1 )

Por tanto, esta función también es llamada “función de utilidad con aversión relativa al riesgo constante (CRRA: Constant Relative Risk Averse)”. * “CARA: Constant Absolute Risk Averse”: La segunda clase de funciones de utilidad más utilizada es la función de utilidad exponencial o función con coeficiente de aversión absoluta al riesgo constante (CARA: Constant Absolute Risk Averse).

u c t   

Dónde:

e  ct 

para   0

 e   1 c     c c   e    ct

   ct

t

Se observa que c t  es decreciente en el consumo. Se define el coeficiente de aversión absoluta al riesgo como: t

c t   

u ' ' c t  u ' c t 



 e  ct e  ct

t



Para la función de utilidad “CARA”, la ecuación de Euler se hace:

dc t dt

  1 f ' k t   n  

En este caso el cambio en el consumo es proporcional al exceso de productividad marginal del capital (neto de crecimiento de la población) sobre la tasa de descuento. 297

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Estado estacionario:

La senda óptima es caracterizada por las ecuaciones 17 ', (15) y la restricción (10). En el estado estacionario tanto “ k t ” como “ c t ” son constantes. Denotaremos





los valores en el estado estacionario de estas variables como k * y c* , respectivamente. Al estado estacionario lo denotaremos como E  k * , c* , y en este punto se deberá verificar que:

 c t  0  k t  0

35

36

La regla de oro modificada:

 

De (19), utilizando (35) obtenemos:

f ' k *    n (37)

A la ecuación (37) se le conoce como regla de oro modificada. De (37): utilizando la función inversa de la productividad marginal. k *  f '1   n 

De (10), utilizando (36) obtenemos:

 

c*  f k *  nk *

(38)

(39)

Maximizando c* con respecto a k * obtenemos la “regla de oro”, que nos indica que la productividad marginal del capital (o la tasa de interés “r”) es igual a la tasa de crecimiento de la población.

dc* dk *

 f ' k g   n  0  f ' k g   n (40)

Es decir, la “regla de oro” es la condición sobre el stock de capital que maximiza el consumo per cápita en el estado estacionario. De (40), utilizando la función inversa de la productividad marginal:

k g  f '1 n 

(41)

La modificación en (37) es que el stock de capital es reducido por debajo del nivel de la regla de oro en una cantidad que depende de la tasa de preferencia temporal. Aun cuando la sociedad o la familia pudiesen consumir más en el estado estacionario con el stock de capital de la regla de oro k g , la impaciencia reflejada en la tasa de preferencia temporal implica que no es óptimo reducir el consumo actual para alcanzar el mayor nivel de consumo (dado por la regla de oro). 298

CIRO BAZÁN


La regla de oro modificada es muy potente y finalmente establece que la productividad del capital, y por tanto la tasa de interés real “r”, es determinada por la tasa de preferencia temporal y por “n”. Las tasas de preferencia “  ” y de la población “n” determinan la tasa de interés real   n  , y la tecnología determina entonces el stock de capital y el consumo consistente con esa tasa de interés. [El resultado que la tasa de interés en el estado estacionario no depende de la función utilidad, puede sin embargo, ser fácilmente derribado. Si el progreso tecnológico es aumentativo en el trabajo (neutral en el sentido de Harrod), y éste crece a una tasa “  ” de forma exponencial, de modo que:



Yt  F K t , et  N t



Dónde:

kˆ t  yˆ t 

Kt

e t  N t

Yt

e t  N t

,

,

k t  K t N t  et  kˆ t

cˆ t 

Ct

et  N t

 

,

F K t , et  N t f kˆ  et  N t



c t  Ct N t  et  cˆ t

Dónde: et  N t es el trabajo efectivo.

1   ct   , entonces la regla Y si la función utilidad es de la clase “CRRA”  u c t     1     Kt , y el estado de oro modificada sería: f ' kˆ *    n     , donde kˆ *  e t  N t estacionario es uno en el cual el consumo per cápita está creciendo a la tasa “”4].

 

Dinámica del modelo: Para estudiar la dinámica del modelo, utilizaremos el diagrama de fase de la figura 3, dibujando en el plano k t , c t  . Todos los puntos del primer cuadrante son factibles, excepto los puntos sobre el eje vertical arriba del origen, sin capital [esto es, si k t  0 ], la producción es cero, y por tanto un “ c t ” positivo no es factible. El lugar geométrico de puntos 

k t , c t ,

ceroclina, que satisface la condición

k t  0 empieza desde el origen, alcanza un máximo en el stock de capital de la regla de oro “ k g ” en el que f ' k g   n , y cruza el eje horizontal en el punto “A”

en donde se debe verificar que f k t   nk t , ya que en dicho punto c t  0. 

El lugar geométrico de puntos, la ceroclina, que satisface la condición c t  0 es, de (19), vertical al stock de capital de la regla de oro modificada, k * . 4

Ver anexo 2.

299

CIRO BAZÁN


En cualquier punto arriba de la ceroclina k t  0 , el capital per cápita es decreciente: el consumo está encima del nivel que mantendría a “ k t ” constante 

(esto es, el nivel de “ c t ” sobre la curva k t  0 ). De manera similar, “ k t ” se 

incrementa en puntos debajo de la ceroclina k t  0. Las flechas horizontales demuestran esas direcciones de movimiento. 

En el caso de la rama vertical de la ceroclina c t  0, para valores de k t  k * , el consumo se incrementa conforme transcurre el tiempo a la izquierda de dicha ceroclina, donde f ' (k t )    n , y disminuye a la derecha de la rama vertical 

c t  0. Las flechas verticales demuestran esas direcciones de movimiento.

El comportamiento del consumo sobre el eje horizontal (la otra rama de la 

ceroclina c t  0 ), donde c t  0 , depende del valor de la elasticidad instantánea de

sustitución (c t ) para c t  0 . La ecuación (19) implica que: c t  c t c t f ' k t     n  



En consecuencia, si  1 (0) no es cero, entonces c t  0 cuando c t  0. Asumimos que este es el caso. Si la condición no se satisface, uno deberá examinar el comportamiento de c t  (c t ) en c t  0 . Hay tres puntos de equilibrio (donde ce cruzan las ceroclinas), el origen si  1 (0)  0 (la función inversa de la elasticidad es no nula para c t  0 ), el punto “E” y el punto “A”. A continuación demostraremos que únicamente la trayectoria “DD”, “el brazo estable del punto de silla”, que converge al punto “E”, satisface las condiciones necesarias (4), 17' y (15). En todas las demás sendas, la condición de Keynes-Ramsey eventualmente falla o la condición de transversalidad no se satisface. 

ct  0



ct



D

I B

E

c* II



F

III c0

0

D' D



kt  0



IV

D' '

k0

k*

a

kg k 0

A

kt


Figura 3: Dinámica del capital y del consumo (diagrama de fase) 300

CIRO BAZÁN


Descarte de sendas explosivas: Demostraremos que el punto de silla “E” de la senda “DD” en la figura 3 está en una senda óptima, suponiendo que el stock de capital inicial es k 0 , 0  k 0  k * . Consideramos cualquier trayectoria que empiece en la zona III encima del punto “D”, digamos en “ D' ”. Esta senda implica que la economía alcanzaría capital cero (punto “B”) en tiempo finito. La demostración gira en torno al hecho que en tal trayectoria (senda “ D' B ”) la derivada d 2 k t dt 2 eventualmente se hace negativa (a lo largo del tramo “FB”). Derivando (4) respecto del tiempo tenemos que: 



f ' (k t )  k t  c t 

d 2k t dt

2



 n kt 

d 2k t dt

2

 f ' (k t )  n  k t  c t  0 



Ya que en la zona II de la figura 3 (a lo largo del tramo “FB”), donde k t  k * , se cumple que: 



c t  0, k t  0 y f ' (k t )  f ' (k * )    n  f ' (k t )  n    0

Por lo tanto: k t  k 0   dk v / dv dv alcanzaría el valor cero en tiempo finito. t

0

Note que “ c t ” está aumentando sobre la senda que parte de “ D' ” todo el tiempo hasta que toca el eje en el punto “B”. Pero cuando la senda alcanza “B”, k t es cero, y la economía tiene que moverse hacia el origen (ya que al hacerse el capital per cápita nulo, k t  0, entonces la producción per cápita cae a cero, y  f (0)  0, y entonces el consumo per cápita inmediatamente salta a cero). Por tanto, el consumo per cápita c t tiene que saltar de un valor positivo (en el punto “B”) a cero (en el origen) en un tiempo muy pequeño, lo cual significa que    c t c t   . Pero dado que por una de las condiciones de Inada tenemos que  

f k   , de 19 tendríamos que  c ct  0



'

t kt 0



t

 c t   . Por ende, tal salto (de “B” al 

origen) viola la ecuación de Euler 19  17' , y por tanto no puede haber sido óptimo partir de “ D' ”. ct  0

Consideremos, alternativamente, una trayectoria partiendo debajo de “D”, por ejemplo, en “ D' ' ”. Esta senda converge asintóticamente a “A”. Pero tal senda viola la condición de transversalidad. En puntos cercanos a “A”, k t es aproximadamente constante, mientras de 17' y para k t  k g , tenemos que:

du ' (c t ) / dt u ' (c t )

   n  f ' (k t )

301

CIRO BAZÁN


En “A” ocurre que k A  k g  f ' (k A )  f ' (k g ) ya que f ' (k t ) es decreciente, entonces:

  n  f ' (k A )    n  f ' (k g )   n  f ' (k A )    n  n   n  f ' (k A )  

Por lo tanto, se verifica que: tasa de crecimient o de u'(c t )

    du ' (c t ) / dt     u ' (c t ) 



Y por otro lado: Tasa de decrecimiento de e t

    t  d(e ) / dt    e  t  



 e  t e  t

 

Por lo tanto, cuando t   y la trayectoria se aproxima a “A” ( k t  cte, ), la condición de transversalidad es violada.

  lím  t 0 t   k t  u ' c t   e   decrece a tasa " " crece a tasa " "  

Argumentos similares se aplican si el stock de capital inicial es mayor a k * . Se sigue que el punto de silla de la senda “DD” es la única senda que satisface las condiciones: (4), 17'  19 y (15). La solución al problema de optimización (1) por parte del planificador central es completamente resumida por la senda “DD”. Para cada stock de capital inicial, éste implica un único nivel inicial de consumo. Por ejemplo, con stock de capital inicial “ k 0 ”, el nivel de consumo optimo es “ c 0 ”. La convergencia de “ c t ” y “ k t ” hacia c* y k * es monótona. Note que en este modelo el planificador central conoce con certeza a partir del instante inicial cual será el nivel de consumo y de stock de capital en cada momento en el futuro. La linealización de la dinámica del sistema dado por (4) y 17' genera otras ideas en el comportamiento dinámico de la economía. Linealizando el sistema alrededor del estado estacionario: Las leyes del movimiento son: Comportamiento local alrededor del estado estacionario:

 k t  f k t   nk t  c t  1 k t , c t    c t  c t c t f ' k t   n     2 k t , c t  302

CIRO BAZÁN


Por el teorema de Taylor: Despreciando los términos con derivadas de orden mayor a 1.













 1 k * , c* 1 k * , c* * *  k t  k *   c t  c * 1 k t , c t   1 k , c  k t c t   2 k * , c* 2 k * , c*  * *  k t  k *   c t  c * 2 k t , c t   2 k , c  k c   t t 









 





 

 * * k t  1 k , c  0 En el estado estacionario:   c t   2 k * , c*  0

1 k t , c t 

1 k t , c t 

Calculamos las siguientes derivadas parciales:

k t

2 k t , c t  k t

 f ' k t   n

 2 k t , c t 

 c t c t f ' ' k t 





c t

c t

 1

 f ' k t   n    c t   c t ' c t 

Evaluando las derivadas antes calculadas en el estado estacionario: 1 k * , c* k t

 

 f' k  n  *



2 k * , c*



 2 k * , c* c t



1 k * , c*



k t



c t

   n

de la ecuación de Euler



n 

 1

   

       * *  c  c f ' ' k*    0

 

 

 

   f ' k *  n    c*  c*' c*  0     0 

La linealización de las leyes del movimiento en las cercanías del estado estacionario da: 



1 (k t , c t )  k t  (k t  k * )  c t  c*



2 k t , c t   c t   k t  k * 





(42)

(43)

Colocando las ecuaciones (42) y (43) en forma matricial:

  * ~    k t     1 k t  k   A k t      0  c t  c*  ~ct  c       t    ~ ~ A 

 ~ XX

X

303

X

(44)

CIRO BAZÁN


Dónde:  ~ ~ * kt  kt  k  k t  kt   ~ ct  c t  c*  ~ c t  ct

  k t  X       c t 

~  ~  k t   X ~   c t 

El sistema (44) tendrá las siguientes soluciones:

~ k t  a1e1t  a 2e2t

~ ct  b1e1t  b 2e2t

45 46

Donde “ 1 ” y “  2 ” son las raíces características o “autovalores” de la matriz “A” y a1 , a 2 , b1 , b 2 son constantes a determinar. Cálculo de los autovalores:

p   A  I 

Siendo: 1 

  2





y 2 

1



 2      0   

 

   2  4 2

.

2

Dónde   2  4 es el discriminante y como   0    0 , por lo que las raíces características (autovalores) serán reales y distintas. Además, ya que

2  2  4  2  2  4     . 0  

     0  1  0   .         0 0 2 

Por

tanto,

dado

que

Ahora veamos una proposición que resulta útil para analizar la estabilidad del sistema dinámico (44)5. Proposición: Sea el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

    x t  a 1 x t  a 2 y t  x t  a 1       b1   y t  b1x t  b 2 y t  y t 

Se define la matriz “J” (Jacobiano) tal que:

  x t   J x t  y     t  y t 

5

Esta proposición se ha extraído de Urzúa (2001).

304

a 2  x t  b 2   y t 

CIRO BAZÁN


Y “J” sea una matriz no singular (con determinante distinto de cero), se dice que: 1.- El sistema tendrá un brazo estable si los valores propios (autovalores) de la matriz son reales y de signos distintos, es decir:

sign (1 )  sign ( 2 ).

2.- El sistema estará caracterizado por un equilibrio de brazo estable si evaluado en el estado estacionario el J  0 , esto último es trivial si es que consideramos que en general se cumple que 1   2  J .

Para el sistema (44) tenemos que:

 JA 

 1  1  A     0  0  no singular.  0  0

Como sign (1 )  sign ( 2 ) ya que 1  0 y  2  0  el sistema tendrá un brazo estable (senda “DD”). La presencia de una raíz positiva implica que para una condición inicial arbitraria, el sistema explota (diverge); para cualquier valor dado de k 0 , hay un único valor 

de k t tal que el sistema converge al estado estacionario. Para que el sistema formado por las ecuaciones (45) y (46) converja al estado estacionario “E” deberemos eliminar el efecto explosivo de “ 1 ”. Por lo que impondremos a1  b1  0 y tomando como condiciones iniciales “ c 0 ” y “ k 0 ”, tendremos:

~ k t  a 2 e 2 t  k t  k *  a 2 e 2 t  k 0  k *  a 2 e0  a 2  k 0  k * k t  k *  (k 0  k * )e 2t (47) ~ ct  b2e 2 t  ct  c*  b2e 2 t  c0  c*  b2e0  b2  c0  c*

c t  c*  (c0  c* )e2t (48)

Despejando e 2 t de (47) y (48):

e

2t

 c0  c*  ( k t  k * )    ct  c   * *  *  k0  k c0  c  k0  k  k t  k*

c t  c*

 c*  k 0  k *  c 0  c 0  c*    ct  k   k  k*  t  k 0  k*    0 6

Ver anexo 4.

305

*

   

(49) 6

CIRO BAZÁN


La ecuación (49) representa la aproximación lineal de la senda óptima en los alrededores de “E”. La ecuación (47) nos indica que partiendo de “ k 0 ”, el sistema converge a k * y para la ecuación (48), si se parte de “ c 0 ”, el sistema convergerá a c* . La velocidad de convergencia está dada por  2 . A su vez,  2 es una función creciente de f ' ' (k t ) y de (c t ) , y decreciente en “  ”. Cuando mayor sea la elasticidad de sustitución, mayor será la disposición de la gente a resignar consumo presente para obtener consumo futuro y más rápida será la acumulación de capital y la economía convergerá al estado estacionario. Nota: Los cambios en f ' ' (k t ) y en “  ” afectan a la velocidad de convergencia, al estado estacionario, y al estado estacionario del capital en sí mismo. ~ dk t / dt d~ct / dt 2   . ~ ~c kt t Simulación numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación, efectuada en Matlab 7.12.0, del caso centralizado del modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans, con una función de producción de Elasticidad de Sustitución Constante (Constant Elasticity of Substitution: CES), para una función de utilidad (Constant Relative Risk Averse: CRRA), y con determinados valores para los parámetros del modelo.



Yt  FK t , N t   K t   1   N t 



La función de producción en términos agregados viene dada por:

FK t , N t 

K  f k  

 1   N t 



1 

(I)





La función de producción en términos per cápita viene dada por:

yt 

Yt



 t

t

1 

 k t   1   

f ' k t  y f ' ' k t  vienen dadas por las siguientes expresiones:

Nt

Nt



Nt



f ' k   k  1   k    1     1    t t t   ''   1  1k t  2 k t    k t   1    f k  t 2  k t   1  



 





1 

(III)

La función de utilidad viene dada por:

u c t  

ct

1 

1 

  u ' c t   c t para   0,   1     1  u ' ' c t     c t

306

1 

(IV)

(II)

CIRO BAZÁN


 u ' c t 

La elasticidad de sustitución instantánea del consumo per cápita viene dada por:

c t  



c t  u ' ' c t 

 ct



 ct   ct

  1



1 

para   1

(V)

La dinámica del modelo viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias7:



 c t  c t c t f ' k t     n    k t  f k t   c t  n  k t





(VI)



Sustituyendo (II), (III), y (V) en (VI) obtenemos la dinámica del modelo: ct   1    k t 1   k t   1    n c t     1  k t  k t   1     ct  n  k t





(VII)

Las ceroclinas del sistema (VII) vienen dadas por: 1             n  1                t  0, c t  0  c t  0  k t         1                 1  k t  0  c t  1   k t     n  kt



(VIII)



Los valores de los parámetros que utilizaremos en la simulación se muestran en la siguiente tabla: Parámetros

Valores 1,5 0,5 0,01 0,5 2

ɤ n θ α ρ

Tabla I: Valores de los parámetros simulados

7





Recordar que la senda de fase óptima deberá satisfacer las condiciones del principio del máximo de Pontryagin, dadas por (VI), junto con la condición de transversalidad:





lím k t u ' c t e  t  lím k t c t e  t  0.

t  

t  



307

CIRO BAZÁN


Remplazando los valores de los parámetros de la tabla I en (VII) y en (VIII) tenemos que las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de esta economía centralizada y sus ceroclinas vienen dadas por:











  0,5  0,5k 2 2 t c t  c t 0,5k t 3 0,5k t 2  0,5 1,5  0,51  c t    3 3    k t  0,5k t 2  0,5 1 2  c t  0,5k t







 c t  0  c t  0  k t  0,9868 t  0,   0,5 2   0,5k t k t  0  c t  0,5k t  0,5





  0,34  

1, 5

(IX)

(X)

Los puntos de equilibrio del modelo se encontrarán igualando las ecuaciones de las ceroclinas dadas por (X). Esto es:

  

  

E1  k1* , c1*  0,0   * * E 2  k 2 , c 2  0,9868; 0,4999  * * E 3  k 3 , c 3  2,6458; 0

En la figura I se muestra el retrato de fase y el campo vectorial para el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con los valores de los parámetros que se muestran en la tabla I, para una función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES) y una función de utilidad CRRA. ct ' = 0 2

1.8

1.6

1.4 A 1.2

ct

P0 1

0.8

0.6

E2 kt ' = 0

0.4

0.2 E1 0

0

0.5

1

ct ' = 0

1.5

2

2.5

E3

3

kt

Figura I: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans para una función de producción CES y una función de utilidad CRRA

308

CIRO BAZÁN




Asimismo, en la figura I, se han dibujado las ceroclinas, c t  0 y k t  0, que se cortan en los puntos E1 , E 2 , y E 3 . No obstante, como ya se ha dicho, los puntos E1 y E3 son descartados porque no cumplen la ecuación de Euler y la condición de transversalidad respectivamente. Las trayectorias óptimas son las ramas (E1-E2 y E2-A) del brazo estable del punto de silla E2. Finalmente, se muestra que si la economía inicia en un punto como P0  2,5;1,101774656, en el largo plazo, si no hay perturbaciones, ésta convergerá al punto de equilibrio E2. Esto es, las trayectorias óptimas del capital y del consumo per cápita decrecen monótonamente conforme transcurre el tiempo y convergen hacia sus respectivos valores de largo plazo (las componentes de E2), tal como se aprecia en la figura II. 2.5 kt ct

kt and ct

2

1.5

1

0.5

0

5

10

15

20

25

t

Figura II: Comportamiento dinámico del capital y del consumo per cápita Linealización alrededor del punto de equilibrio estacionario: Para los parámetros dados en la tabla I se tiene que: k *  k *2  0,9868  * * c  c 2  0,4999 (c* )  0,6666  f ' ' ( k * )  -0,7649  * * *   c  (c )  f ' ' ( k )  0,254944  2     4  1,0199 1  0,5099   2  0,4999

309

(XI)

CIRO BAZÁN


Reemplazando k * , c* , , y  en (44), el sistema (IX) linealizado alrededor del punto de equilibrio E 2  k *2 , c*2  0,9868; 0,4999 queda transformado en:





  0,01  1 k t  0,9868  k t          0,254944 0 c t  0,4999 c t 

 k t  0,01k t  c t  0,49006623 (XII)  c t  0,25494393k t  0,25157812

Las ceroclinas del sistema linealizado (XII) vendrán dadas por:

 k t  0  c t  0,01k t  0,49006623   c t  0  k t  0,9868

(XIII)

Suponiendo que el stock de capital per cápita en el instante inicial es k 0  2,5, por la ecuación (4)* del anexo 4 tenemos que el nivel de consumo per cápita que sitúa a la economía en el instante inicial sobre el brazo estable del sistema linealizado es: c 0  1,27158. Sustituyendo c0 , k 0 , c* , y k * en (49) obtenemos el brazo estable (la senda óptima linealizada en los alrededores de E2) del sistema linealizado: c t  0,50994k t  0,003278

(XIV)

En la figura III se muestra el campo vectorial, las ceroclinas y el diagrama de fase del sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio E2. En esta figura se puede apreciar que iniciando la economía en el punto P0  2,5;1,27158, en el largo plazo, si no hay perturbaciones, ésta convergerá al punto E2. En la figura IV se muestra el comportamiento dinámico del consumo y del stock de capital per cápita cuando el sistema inicia en P0 . Se aprecia que tanto el consumo como el capital convergen de manera monótona hacia sus respectivos valores de largo plazo. Se puede ver que a pesar de que el punto inicial del sistema linealizado no coincide con el del sistema no lineal (para el mismo stock de capital inicial, k 0  2,5, el consumo inicial en ambos sistemas difiere ligeramente debido a la aproximación lineal), en el largo plazo, ambos sistemas convergen a E2. Sustituyendo c0 , k 0 , c* , k * y  2 en (47) y (48) obtenemos la evolución dinámica del capital y del consumo per cápita a lo largo del brazo estable del sistema linealizado: 0 , 4999t  k t  0,9868  1,5132e (XV)   0 , 4999t  c t  0,4999  0,7716e

310

CIRO BAZÁN


2 ct ' =0 1.8

1.6

1.4 P0

ct

1.2

1

0.8

0.6

E2 kt ' =0

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5 kt

2

2.5

3

Figura III: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans linealizado alrededor de su equilibrio estacionario

2.5

kt ct

kt and ct

2

1.5

1

0.5

0

5

10

15

20

25

t

Figura IV: Comportamiento dinámico del capital y del consumo per cápita para el sistema linealizado alrededor de su equilibrio estacionario

311

CIRO BAZÁN


Ahora vamos a comparar el resultado obtenido en el caso centralizado con el resultado del caso descentralizado. b)

La economía descentralizada: Los agentes económicos son los llamados a encontrar los valores de decisión k t  y c t . Se supone que la economía es descentralizada en vez de suponer que es centralmente planificada. Hay dos mercados de factores (insumos productivos), uno para servicios de trabajo y otro para servicios de capital. El precio de alquiler del trabajo, el salario, es denotado por “wt”; “rt” es el precio del alquiler del capital. Hay un mercado de deuda en el que las familias pueden pedir prestado y prestar. Hay muchas familias idénticas, cada una con una función de bienestar dada por la ecuación (8). Cada familia decide, en cualquier punto del tiempo, cuánto trabajo y cuánto capital alquilar a las empresas y cuánto ahorrar o consumir. Ellas pueden ahorrar acumulando capital o prestando a otras familias. Las familias son indiferentes en cuanto a la composición de su riqueza, así que el tipo de interés de la deuda debe ser igual a la tarifa de alquiler del capital. Nota: La condición de que la tarifa de alquiler del capital es igual al tipo de interés es especial para un modelo de un único bien. Si el precio relativo del capital, “pk”, pudiese variar, el equilibrio del mercado del activo aseguraría que la tasa de retorno esperada de alquilar capital sería igual a la tasa de interés. La tasa de retorno de alquilar capital es la tarifa de alquiler, “rk” más las ganancias sobre el capital menos la depreciación, todas expresadas respecto al precio relativo del capital. Tasa de retorno 

rk  (d P k dt )  p k

 tasa real de interés, donde “  ” es la pk tasa de depreciación. En el modelo de único bien, “pk” es igual a uno, de modo que no hay cambios en el precio relativo del capital, y estamos asumiendo que “  ” es cero, por consiguiente, la tasa de retorno del capital es “rk”, que es igual a la tasa de interés (Nosotros estamos implícitamente asumiendo que la economía nunca se especializa totalmente, si ésta no ahorró todo, el precio relativo de los bienes de capital, podría ser menor que uno; si ésta no consumió todo, el precio relativo del capital podría exceder a uno). Hay muchas empresas idénticas, cada una con la misma tecnología la cual es descrita por la ecuación (4); las empresas alquilan los servicios de capital y trabajo para producir “output”. Por conveniencia notacional podemos asumir que hay sólo una familia y una firma, ambas actuando competitivamente. El supuesto de rendimientos constantes a escala permite suponer la existencia de un comportamiento competitivo. Los precios de los factores productivos (el salario real y la tarifa del alquiler del capital) la firma los considera como dados.

312

CIRO BAZÁN


Nota: Hay muchas formas alternativas de describir la economía descentralizada 8. Por ejemplo, las firmas pueden poseer el capital y financiar la inversión pidiendo prestado o emitiendo acciones. O, en vez del funcionamiento con los mercados disponibles de factores, la economía puede operar en el marco de mercado completo de Arrow-Debreu en que los mercados para los bienes actuales y todos los bienes futuros, incluyendo servicios, están abiertos al principio del tiempo; todos los contratos son hechos luego, y el resto de la historia ejecuta simplemente estos contratos. Bajo previsión prefecta, todas estas economías tendrán la misma asignación de recursos. Las familias y las empresas tienen previsión perfecta; esto es, ellas conocen los valores actuales y futuros de “w” y “r” y los toman como dados. (Bajo certidumbre, la previsión perfecta es equivalente a las expectativas racionales). Más formalmente, permítase a w t , rt , t  0,, ser la secuencia de salarios y tarifas de alquiler. Entonces, dada esta secuencia, cada familia maximiza en cualquier instante “s”:

Us 

 ( t  s ) dt (50) s u(c t )e 

Sujeta a la restricción presupuestaria:

ct 

da t dt

 n  a t  w t  rt  a t t , k 0 dado (51) 9

Dónde:

a t  k t  b pt (52)

La riqueza de la familia, o más precisamente, la riqueza no humana, es dada por “ a t ”, que es igual a las posesiones de capital menos la deuda familiar, “ b p t ”. En cualquier instante “t” la familia oferta servicios de capital y de trabajo inelásticamente: el capital es el resultado de decisiones previas y está dado en el instante “t”; por suposición, el trabajo es ofertado inelásticamente. Por tanto, la única decisión que la familia tiene que hacer en cada instante del tiempo, es cuánto consumir o cuánto ahorrar. Las empresas maximizan los beneficios en cada punto del tiempo ya que su tecnología es caracterizada por (4), entonces las empresas deberán resolver el siguiente problema de maximización de beneficios:

Max (K t , N t )  K t , Nt

1 

 F(K t , N t )  w t  N t  rt  K t

(53)

precio de output

Donde se ha normalizado el precio de bien final (output) a 1. Luego, aprovechando la propiedad de homogeneidad de grado uno de la función de producción se tiene que: f (kt )   Max (K t , N t )  N t  F(K t / N t ,1)  w t  N t  rt  K t (54)  K t , Nt kt 8 9

Para ver una forma alternativa de describir la economía descentralizada remítase a Novales et al. (2010). Ver anexo 5.

313

CIRO BAZÁN


Por lo tanto, las condiciones de primer orden de la firma implican que:



K t





N t

F(K t , N t ) K t



 rt  0 

F(K t , N t )

F(K t , N t )

 wt  0 

N t

K t

 rt

F(K t , N t ) N t

(55)

 wt

(56)

En términos per cápita tenemos que:

F(K t , N t ) K t



N t  f (k t ) K t

F(K t , N t ) N t

F(K t , N t ) N t

Luego:



 1    f ' (k t )  N t  f '  k t )   dK t  Nt 

 N t  f ' (k t ) 

N t  f (k t ) N t

dk t

 dk t  f (K t )  N t  f ' (k t )    dN t 

  Kt  f  k t )  f ' (k t )    N2  t rt  f ' (k t )

   

   N t  f (k t )  f ' (k t )  k t  

(57)

w t  f (k t )  k t  f ' (k t )

(58)

Considérese una senda arbitraria de salarios y tarifas de alquiler. Esta secuencia permitiría a cada familia elegir una senda de consumo y de acumulación de riqueza. Dado que la deuda privada debe siempre ser igual a cero en el agregado (ya que los montos prestados no pueden ser distintos a los montos recibidos por los deudores), la acumulación de riqueza determinará la acumulación de capital que poseen los distintos hogares, es decir, a t  k t ya que b pt  0. La senda de capital a su vez implicará una senda de salarios y de tarifas de alquiler. Las sendas de equilibrio de salarios y tarifas de alquiler son definidas como aquellas sendas que se reproducen dadas las decisiones óptimas tanto de las empresas como de las familias. Ahora caracterizaremos la senda de equilibrio de la economía. (**) Nota: Nos limitaremos en lo que sigue a sendas de salarios y tasas de alquiler de modo que la siguiente condición se satisfaga:  t      0( rv  n ) dv   lím e 0 t     

(59)

Esta condición nos dice, aproximadamente, que asintóticamente la tasa de interés debe exceder a la tasa de crecimiento de la población. Demostraremos que la senda de equilibrio de hecho satisface esta condición. Un completo argumento demostrará que si esta condición no se satisface, no habrá equilibrio. 314

CIRO BAZÁN


La condición de no admitir el juego de Ponzi10 Al plantear el problema de maximización de la familia, no impusimos la restricción que la riqueza no humana de la familia, que está dada por “ a t ” en el instante “ t ”, sea no negativa. En ausencia de alguna restricción sobre el endeudamiento, la solución al problema de maximización sería entonces trivial. Para la familia es suficiente pedir prestado para mantener un nivel de consumo tal que la utilidad marginal del consumo sea igual a cero (o un nivel de consumo infinito si la utilidad marginal es siempre positiva) y permitir que la restricción presupuestaria dinámica determine el comportamiento dinámico de “ a t ”. De la restricción presupuestaria dinámica se sigue que esta senda de consumo conduciría a mayores y mayores niveles de endeudamiento ( a t  0 ), el préstamo sería utilizado para cubrir el pago de los interés sobre la deuda existente. En última instancia, el endeudamiento neto por miembro de la familia estará creciendo a una tasa “ rt  n ”. Necesitamos por tanto una condición adicional que evite que las familias elijan tal senda, con una deuda que explote con respecto al tamaño de la familia. Al mismo tiempo no queremos imponer una condición que elimine el endeudamiento temporal. Nota: En el presente modelo, en que todas las familias son idénticas, ellas en el equilibrio tienen la misma posición de riqueza y tienen la misma fracción de stock de capital. Ya que el stock de capital agregado debe ser positivo, cada familia, en equilibrio, tendrá riqueza positiva. Ésta es, sin embargo, una característica de equilibrio, no una restricción que debería ser impuesta a priori en el problema de maximización de cada familia. En una economía con familias heterogéneas, o con familias con diferentes sendas de la renta del trabajo, capital agregado positivo puede coexistir con el préstamo temporal de algunas familias. Una condición natural es requerir que la deuda de la familia no se incremente asintóticamente más rápido que la tasa de interés.  t       0( rv  n ) dv  lím a t e 0 t     

(60)

Esta condición es algunas veces conocida como la condición de no admitir el juego de Ponzi (No Ponzi Game: NPG). Aunque (60) es establecida como una desigualdad, es claro que mientras la utilidad marginal sea positiva, las familias no querrán tener que incrementar su riqueza por siempre a tasa “ rt  n ”, y que la condición se cumplirá como una igualdad (ya que la familia prefiere consumir su riqueza que mantenerla eternamente, la condición se cumplirá como igualdad). Por tanto, en lo que sigue usamos directamente la condición como una igualdad. La condición “NPG” permite asegurar que las familias no se sobre endeuden. 10

El juego de Ponzi básicamente consiste en pedir dinero a “n” personas, cada una de las cuales hace lo mismo con otros “n” individuos y así sucesivamente. Charles Ponzi fue condenado por el fraude de organizar esquemas de inversión tipo “pirámide”. En particular, Ponzi emitió un tipo de bono llamado cupón postal y pagaba los rendimientos de los mismos con nueva deuda, es decir, con la venta de más cupones.

315

CIRO BAZÁN


El caso obsesivo sería aquel en que la gente se endeudaría para mantener un alto nivel de consumo ( b pt  0 y a t  0 ) para luego pagar los intereses de la deuda 

con nuevo endeudamiento ( a t  0 ), mientras siguen aumentando la deuda para mantener el consumo que desean (infinito si la utilidad marginal del consumo nunca llega a cero). Es decir, lo que se quiere evitar es que “ b p t ” aumente

infinitamente a una tasa neta de rt  n . La ecuación (60) implica que no es posible tener por siempre una tasa de crecimiento del endeudamiento mayor que la tasa de interés. La condición “ NPG ” nos dice que en el límite de valor presente de los activos debe ser positivo. En términos prácticos la “NPG” no implica que “ b p t ” debe ser menor que cero siempre, sino que sólo debe serlo en el límite, Urzúa (2001). A continuación se presenta una proposición que nos será útil para posteriormente ver que implica la NPG11. 

Proposición: Sea la expresión ( t )  X( t )  X( t )( t ) una ecuación diferencial a integrar. Se define el factor de integración I( t ), tal que: 





I( t ) X( t )  I( t )X( t )( t )  I( t )X( t )  I( t ) X( t )  



I( t )X( t )( t )  I( t )X( t )  I( t )( t )  I( t ) 

d I (t) I( t )

 ( t )dt 

eln I ( t )  e

 ( t ) dt



dI( t ) I( t )

 I( t )  e 



I( t ) I( t )

dI( t )X( t )

 ( t ) 

dt d I ( t ) / dt I( t )

 ( t )

  ( t )dt  ln I( t )   ( t )dt

 ( t ) dt

[factor de integración de ( t ) ]

Note que:              d I ( t ) X ( t ) I ( t ) X ( t ) I ( t ) X ( t ) dt I ( t ) X ( t ) I ( t ) X ( t ) I ( t ) X ( t )dt       

Notar que en el caso en que al derivar I( t ) se produzca un cambio de signo   ( t ) dt entonces I( t )  e  . El concepto de factor de integración tiene importancia producto de las consecuencias que tiene la condición de no admitir el juego de Ponzi sobre la restricción dinámica de nuestra economía. Para visualizar esto, recordemos que en (51) hemos considerado: ( t ) (t)      c t  a t  na t  w t  rt a t  a t  a t (n  rt )  ( w t  c t ) 





(c t  w t )  a t  a t (n  rt )  0

11

Esta proposición se ha extraído de Urzúa (2001).

316

 

CIRO BAZÁN


Para nuestro caso tenemos que:  ( rv  n ) dv T

I( t )  R Tt  e t

Se puede interpretar al factor de integración I( t ) como un factor de interés entre “t” y “T” (equivalente al factor de interés (1  r ) t en tiempo discreto). Entonces multiplicando a la ecuación   por I( t ) tenemos:

 ( rv  n ) dv T

(c t  w t )e t

( r  n ) dv   v  0  a t  a t (n  rt ) e t   T



(61)

Para ver lo que la “NPG” implica, permítasenos integrar la restricción presupuestaria entre “0” e “  ”: Para lo cual integraremos primero (61) entre “0” y “T” y luego calculamos el límite cuando T   de la integral: T  T   ( rv  n ) dv   )e t dt  a

T

  ( c t  w t 

0

  

  



0



t

T  ( r  n ) dv   t v e dt  0

 a t  n  rt  

  

( 62)

La aplicación de la proposición tiene su fundamento en que (por Leibniz): ( rv  n ) dv   d a t e t T   T( r  n ) dv ( rv  n ) dv   a e t v   a t (rt  n )e t t dt T

( rv  n ) dv   d a t e t   T( r  n ) dv T ( rv  n ) dv    a e t v  t  a t (n  rt )e t dt T

( rv  n ) dv   d a t e t  T    a  a (n  r ) e t ( rv  n ) dv t t   t  dt T

Integrando:

( rv  n ) dv   d a t e t   dt   dt T

0

T

a T e T

  0   T

( rv  n ) dv

a T  a 0 e 0

 a 0 e 0

( rv  n ) dv

T

( rv  n ) dv

T

0

T

  t ( rv  n ) dv dt a t  a t (n  rt ) e T

  ( rv  n ) dv T  0 a t  a t (n  rt )e t dt   T

  ( rv  n ) dv T dt  0 a t  a t (n  rt )e t   T

317

(63)

CIRO BAZÁN


Reemplazando (63) en (62) tenemos:

  ( rv  n ) dv d  a  a e 0( rv  n ) dv  0  ( c t  w t ) e t T 0  t   T

T

T 0

(64)

 ( rv  n ) dv Multiplicando por el factor de descuento entre “0” y “T”, (R To )1  e 0 , y aplicando límite cuando T   : T

0   T    rv  n dv     rv  n dv T 0 0 lím  (c t  w t )e a Te  a0  0 dt  Tlím T  0      t

( NPG )

Por lo que:

0



0

   rv  n dv   0 ( c t  w t ) e dt    t

valor presente del consumo c t



 t    rv  n dv 0 ce t

0



dt  a 0  0



  rv  n dv c t e 0 dt  a 0  h 0

a0  activo inicial

 rv  n dv w t e 0 dt 

t

t

(65)

La ecuación (65) representa la restricción presupuestaria considerando todos los periodos conjuntamente e imponiendo la condición NPG. El término de la izquierda de (65) es la historia del consumo, esto es, el valor presente de todo el consumo futuro (y presente). El término de la derecha, es la riqueza total. Dónde:

h0  historia de los salarios



0



 rv  n dv w t e 0 dt : valor presente de los salarios. 

t

Donde (65) implica que el valor actual del consumo es igual a la riqueza total, que es la suma de la riqueza no humana “ a 0 ” y de la riqueza humana, “ h 0 ”, el valor presente de la renta del trabajo (salarios: w t ). Por tanto, la condición (60) nos permitió pasar de una restricción presupuestaria dinámica (51) a una restricción presupuestaria intertemporal. La ecuación (65) nos dice que la historia del consumo debe ser financiada con los activos iniciales más la historia de los salarios. Nota: Esto plantea la cuestión de cómo la condición de no admitir el juego de Ponzi se hace cumplir realmente. El hecho que los padres no puedan, para la mayor parte, dejar legados negativos a sus hijos implica que la deuda de la familia no pueda incrementarse exponencialmente. En realidad puede imponerse una condición más fuerte sobre las peticiones de préstamos que la condición “NPG” aquí utilizada. 318

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El equilibrio descentralizado: El problema que debe resolver el agente es:

max t  0 u (c t )e  t dt 



s.a : a t  ( w t  c t )  a t (rt  n ) k 0 : dado  0

66

k t  0 t

c t  0 t

 rv  n dv lím a t e 0 0 t 



t

H t (c t , a t ,  t )  u(c t )e t   t w t  c t   a t rt  n  (67)

El Hamiltoniano es:

Calculamos las condiciones de primer orden:

H t c t

 u ' (c t )e  t   t  0   t  u ' (c t )e  t 

68



 t  u ' ' (c t ) c t e  t  u ' (c t )e  t (69)

H t a t





   t   t (rt  n )    t

(70)

Reemplazando (68) y (69) en (70):

   u ' (c t )e  t (rt  n )   u ' ' (c t ) c t  u ' (c t ) e  t  



u ' (c t )(rt  n )  u ' (c t )  u ' ' (c t ) c t 

u ' (c t )(rt    n )  u ' ' (c t ) c t

(71)


u ' (c t )f ' (k t )    n   u ' ' (c t ) c t 



u ' ' (c t ) c t u ' (c t )

   n  f ' (k t ) (72)  rt

líma t   t   0

De la condición de transversalidad: t 

319

(73)

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



lím a t  u ' (c t )e  t  0 t 

(74)

Tal como se mencionó antes, en equilibrio las deudas agregadas de las familias deben ser iguales a cero, por lo que se puede afirmar que: 



at  kt  at  kt



(75)



lím k t  u ' (c t )e  t  0 t 

(76)

Reemplazando (57) y (58) en (51): 

c t  a t  n  a t  f ( k t )  k t f ' ( k t )  f ' ( k t )a t

Reemplazando (75): 

c t  k t  nk t  f (k t )  k t f ' (k t )  f ' (k t )k t 

k t  f (k t )  nk t  c t

(77)

Las ecuaciones (72), (74) y (77) caracterizan el comportamiento de la economía descentralizada. Note que estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (17), (10) y (15) que caracterizan el comportamiento de la economía según la elección de un planificador central. Por tanto, el comportamiento dinámico de la economía descentralizada será el mismo que el de una economía centralmente planificada. Nuestro análisis de la dinámica nos lleva a la economía descentralizada. Esta conclusión era de esperar ya que no hay externalidades, ni falta de información o ausencia de mercado. Nota: Debemos hacer notar que la condición de no admitir el juego de Ponzi coincide con la condición de transversalidad, esto es: líma t   t   0 t 

Pero como a t  k t en el agregado, entonces:

límk t   t   0 t 

(78)

Además, de (70) tenemos que: 

t

t

 rt  n  

0

t



v

v

 dv   0 rv  n dv  ln  v t

320

t 0

  0 rv  n dv t

CIRO BAZÁN


 t ln    0

 t     t rv  n dv   t   0  e  0 rv  n dv 0  




lím k t  0  e t 

 0t  rv  n dv

(79)

 0

Por otro lado de (68): 0  u' (c0 )e0  0  u' (c0 )  como c0  0 y u' (ct )  0 t  0  u' (c0 )  0



0  lím k t  e t 

 0t  rv  n dv

  0  límk  e t 

 0t  rv  n dv

t

 0

La última ecuación no es más que la “NPG” ya que como dijimos antes, dado que la familia prefiere consumir su riqueza antes que mantenerla eternamente entonces la “NPG” se cumplirá como igualdad. Por otro lado, siguiendo con la nota (**) de la página 33, hay un punto flojo en nuestra demostración de equivalencia, que vamos a solucionar. Nos hemos restringido a sendas donde la tasa de interés excede asintóticamente a la tasa de crecimiento de la población. Dada esta restricción demostraremos que hay una senda de equilibrio, que es la misma que la del planeamiento central, de modo que “ r ” converja asintóticamente a “   n ”. Necesitamos demostrar que en las sendas en las que la tasa de interés es asintóticamente menor que “ n ”, no pueden estar los equilibrios. Para ver porqué, reescribimos la restricción presupuestaria que afronta la familia como: 

a t  (rt  n )a t  (c t  w t ) (80)

Consideremos entonces dos sendas de consumo, que tienen el mismo nivel de consumo a cabo de un tiempo “ T ”, de modo que “ c t  w t ” sea la misma en ambas sendas al cabo de “ T ”. Entonces, si “ rt  n ” es asintóticamente negativa, ambas sendas conducirán al mismo valor asintótico de “ a t ” (el mismo nivel de endeudamiento neto si “ a t ” es negativo). Si una senda satisface la condición de no admitir el juego de Ponzi, por tanto, la otra también. Pero esto implica que la familia deseará siempre tener consumo muy alto (posiblemente infinito) hasta el tiempo “ T ”. Éste no puede ser un equilibrio.

321

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El papel de las expectativas: La ecuación (72), la ecuación de Euler, da la tasa de cambio del consumo como una función de variables conocidas en el momento actual. Podría ser interpretada como sugerir que las familias no necesitan formar expectativas de las variables futuras al hacer sus decisiones de consumo/ahorro y que el supuesto de previsión perfecta no es necesario. Sin embargo, es claro de la restricción presupuestaria intertemporal que la familia no puede planificar sin conocer la senda completa del salario y de la tasa de interés. Las expectativas por tanto son cruciales en la asignación de recursos en la economía descentralizada. En términos de la ecuación de Euler, la ecuación (72) sólo determina la tasa de cambio, no el nivel de consumo. Aunque es en general difícil resolver explícitamente para el nivel de consumo, ésta puede ser fácilmente resuelta cuando la función de utilidad es de la familia “CRRA”. En este caso la ecuación (72) da: 

 (c t )(rt  n  )

ct ct

(81)

Para un valor dado de consumo inicial “ c 0 ”, podemos integrar esta ecuación hacia delante para obtener: ct  c0  e0 t

 ( c t )  rv  n   dv

(82)

Reemplazando en la restricción presupuestaria intertemporal el valor dado de “ c 0 ” consistente con la ecuación de Euler y la restricción presupuestaria: c 0   0 (a 0  h 0 )

(83)


0



 ( c t )( rv  n   )dv  ( rv  n ) dv c0  e 0  dt  a 0  h 0  e 0 t

t

0



( rv  n )  ( ct ) 1  ( ct )dv c0  e 0  dt  a 0  h 0 t

  ( rv  n ) ( ct ) 1  ( ct )dv   dt   a 0  h 0 c0  0 e 0     t

01

c 0   0 (a 0  h 0 )

Dónde:

0

1

  ( rv  n ) ( ct ) 1  ( ct )dv    0 e 0  dt    t

322

84

CIRO BAZÁN


El consumo es una función lineal de la riqueza humana y no humana. El parámetro “  0 ” es la propensión a consumir sin riqueza. Es generalmente una función de la senda esperada de las tasas de interés. Un incremento en las tasas de interés, dada la riqueza, tiene dos efectos. El primero es hacer el consumo futuro más atractivo: este es el efecto sustitución. El segundo es tener en cuenta un consumo más alto ahora y más adelante: este es el efecto renta. En general, el efecto neto de la propensión marginal a consumir es ambigüo. Para la función de utilidad logarítmica, sin embargo, (c t )  1 y los dos efectos se cancelan, la propensión a consumir es entonces exactamente igual a la tasa de preferencia temporal, “  ” y es independiente de la senda de las tasas de interés. En general, la expectativa de las tasas de interés afecta a la propensión marginal a consumir sin riqueza y al valor de la riqueza en sí mismo, a través de “ h 0 ”. Las expectativas de los salarios también afectan a “ c 0 ” a través de “ h 0 ”. Dadas esas expectativas, la familia decide cuanto consumir y cuanto ahorrar. Ésta, a su vez, determina la acumulación de capital y la secuencia de los precios de los factores. ¿Qué sucede si las expectativas son incorrectas? Los agentes escogerían un plan diferente al de nuestro hipotético planificador central. Cuando la divergencia entre los eventos presentes y los esperados les motive a modificar sus expectativas, ellos escogerían una nueva senda que es óptima dadas sus expectativas. Para investigar en esta línea tendríamos que especificar cuantas expectativas se han formado y modificado. Aquí, dejaremos esto de lado. El gobierno en la economía descentralizada: En esta sección introducimos al gobierno en el modelo. Asumimos que los requerimientos de gasto del gobierno son fijados exógenamente, y examinamos los efectos sobre el equilibrio de la economía, primero, ante cambios en el nivel del gasto del gobierno y segundo ante diferentes formas de financiar un nivel dado del gasto del gobierno a través de impuestos o a través de préstamos. Cambios del presupuesto equilibrado en el gasto del gobierno: Suponemos que el gobierno está consumiendo recursos y pagando por ellos con impuestos. La demanda per cápita de recursos por parte del gobierno “ g t ” es exógena y además, no afecta directamente a la utilidad marginal del consumo de la familia representativa. Nota: El gasto del gobierno, por ejemplo en educación, podría sustituir al gasto privado en cuyo caso la función de utilidad tendría que ser modificada apropiadamente. Similarmente, el gasto del gobierno en defensa y en seguridad pública podría contribuir a la capacidad productiva de la economía, pero nosotros no modelamos tales efectos.

323

CIRO BAZÁN


Para empezar, permítase al gobierno imponer un gravamen per cápita tipo lump – sum “  t ” de modo que el presupuesto del gobierno este balanceado en cada momento, esto es: g t   t (no hay déficit público).

La restricción presupuestaria de la familia ahora es: 

c t  a t  n  a t  w t  rt  a t   t

(85)

O bien: 

c t  a t  w t  (rt  n )  a t  g t

Con:

a t  k t  b pt

(86)

(87)

Integrando la restricción presupuestaria y usando la condición “NPG” [de forma similar al caso de economía centralizada: ecuaciones 61  65 ]:

0



 rv  n dv   rv  n dv   rv  n dv   c t  e 0  dt  a 0  0 w t  e 0  dt  0 g t  e 0  dt      k b 

t

0

Haciendo:

p0

R 

t 1 0

t

t

h 0 : valor presente de los salarios

G0

  rv  n dv  e 0 t

Esta ecuación muestra el factor de descuento entre “0” y “t”. Factor que se utiliza para descontar a valor presente el gasto futuro. Donde G0 es el valor presente del gasto del gobierno que coincide con el valor presente del gravamen per cápita tipo lump - sum (“suma fija”), 0 . historia del consumo     t 1 0 c t (R 0 )  d t 

k 0  b p0    a 0 : riqueza no humana

riqueza humana      Go h0 

(88)

historia de los salarios

Ahora el gasto del gobierno forma parte de la restricción presupuestaria intertemporal, afectando las decisiones de la familia, al equilibrio real de la economía y por tanto a las sendas temporales de “ w t ” y “ rt ” [y por tanto a

(R 0t ) 1 ]. Supongamos que el gobierno demanda una cantidad constante de recursos, “ g ”, per cápita, donde “ g ” es pequeña. Utilizando la equivalencia entre la economía descentralizada y la economía planificada centralmente, dibujamos la figura 4 para mostrar la dinámica. El diagrama es el mismo que la figura 3, excepto que el output disponible para el sector privado se reduce en una cantidad uniforme “ g ”, contabilizada por el movimiento vertical hacia abajo del lugar geométrico dk t / dt  0 al lugar geométrico (dk t / dt  0)' .

324

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA dct / dt  0

ct

E

c* c

*'

g E'

dkt / dt  0

dkt / dt  0'

0

k'

k*

kt


Figura 4: Los efectos de un incremento en el gasto público No hay equilibrio para bajos niveles de stock de capital. Pero una vez que hay capital suficiente para producir bienes para el gobierno, más allá de “ k ' ”, el análisis es similar al de la figura 3. La economía continúa hasta el estado estacionario “ E ' ” con el stock de capital de la regla de oro modificada y con consumo “ c*' ” menor en un monto “ g ” respecto al estado estacionario “ E ”. En el estado estacionario el gobierno desplaza al consumo privado en el monto “ g ” (crowding out effect) pero no tiene efectos sobre el stock de capital. ¿Un cambio en el gasto de gobierno tiene efectos dinámicos sobre la acumulación de capital? Si la economía está en el estado estacionario inicialmente, el incremento del gasto del gobierno es reflejado instantáneamente en el menor consumo de las familias sin efectos dinámicos sobra la acumulación del capital. Si la economía no está inicialmente en el estado estacionario, que el incremento tenga o no un efecto transitorio dependerá de las características de la función de utilidad. Si por ejemplo, la utilidad pertenece a la clase “CARA”, no hay efecto dinámico sobre la acumulación de capital. Simulación numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación, efectuada en Matlab 7.12.0, del caso descentralizado del modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans, con una función de producción de Elasticidad de Sustitución Constante (Constant Elasticity of Substitution: CES), para una función de utilidad (Constant Relative Risk Averse: CRRA), con cantidad constante de recursos g  0,2 per cápita demandada por el gobierno, y con los mismos valores para los parámetros que para el caso centralizado sin impuestos (dados en la tabla I).

325

CIRO BAZÁN


De (72) y (86), teniendo en cuenta (57) y (58), que en equilibrio a t  k t , la dinámica del modelo viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias12:

 c t  c t c t f ' k t     n  (XVI)   k t  f k t   c t  n  k t  g





Sustituyendo (II), (III), y (V) en (XVI) obtenemos la dinámica del modelo:





ct  1  k k t 1  k t   1    1      n ct       1     ct  n  k t  g k t  k t  1   





(XVII)

Las ceroclinas del sistema (XVII) vienen dadas por: 1             n  1             t  0, c t  0  c t  0  k t        1                   1  k t  0  c t  1   k t     n  kt  g



(XVIII)



Remplazando g  0,2; y los valores de los parámetros de la tabla I en (XVII) y en (XVIII) tenemos que las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de esta economía centralizada y sus ceroclinas vienen dadas por:









2  1, 5 3 2  0,51 c t  c t 0,3k t 0,5k t  0,5 3   1 2 2  c t  0,5k t  0,2 k t  0,5k t  0,5





 c t  0  c t  0  k t  0,9868 t  0,  0,5 2   0,5k t  0,2 k t  0  c t  0,5k t  0,5





(XIX)

(XX)

Los puntos de equilibrio del modelo se encontrarán igualando las ecuaciones de las ceroclinas dadas por (XX). Esto es: 12





Recordar que la senda de fase óptima deberá satisfacer las condiciones del principio del máximo de Pontryagin, dadas por (XVI), junto con la condición de transversalidad:






t  

t  



326

CIRO BAZÁN


  

  

E1  k1* , c1*  0,2275;0  ' * * E 2  k 2 , c 2  0,9868; 0,2999  * * E 3  k 3 , c3  2,1685; 0 En la figura V se muestra el retrato de fase y el campo vectorial para el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con los valores de los parámetros que se muestran en la tabla I, para una función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES), con incremento en el gasto gubernamental, y con una función de utilidad CRRA. Asimismo, en esta figura se han dibujado las ceroclinas,    '  k t  0  y c t  0, que se cortan en los puntos E1 , E 2 , y E3 . No obstante, los   puntos E1 y E3 son descartados porque no cumplen la ecuación de Euler y la condición de transversalidad respectivamente. Las trayectorias óptimas son las ramas (E1- E '2 y E '2 -A) del brazo estable del punto de silla E '2 . Se puede apreciar '



que la ceroclina c t  0 es la misma del modelo sin incremento en el gasto por

  parte del gobierno, pero que la ceroclina  k t  0  ahora se encuentra desplazada   hacia abajo 0,2 unidades respecto de la ceroclina del modelo sin incremento del '



gasto gubernamental, k t  0. En esta figura también se aprecia que si antes del incremento en el gasto gubernamental la economía estaba en el equilibrio estacionario (E2), luego de dicho incremento la economía pasaría a un nuevo punto de equilibrio estacionario ( E '2 ) en el que el stock de capital per cápita no se alteraría, pero el consumo per cápita disminuiría en el valor del incremento en el gasto (el consumo en E2 era 0,4999 mientras que en E '2 ha caído a 0,2999). ct ' = 0 2

1.8

1.6

1.4

ct

1.2

1

A

0.8

P0

0.6

E2 0.4

kt '  0

E2 ' (kt ' = 0) '

0.2

0

ct '  0 0

E1

0.5

1

1.5

2

E3

2.5

3

kt

Figura V: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans para una función de producción CES y una función de utilidad CRRA con incremento en el gasto gubernamental 327

CIRO BAZÁN


Finalmente, en la figura V también se aprecia que si la economía inicia en un punto como P0  2,5; 0,775882, en el largo plazo, si no hay perturbaciones, ésta convergerá al punto de equilibrio E '2 . Esto es, las trayectorias óptimas del capital y del consumo per cápita decrecen monótonamente conforme transcurre el tiempo y convergen hacia sus respectivos valores de largo plazo (las componentes de E '2 ), tal como se aprecia en la figura VI.

2.5 kt ct

kt and ct

2

1.5

1

0.5

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura VI: Comportamiento dinámico del capital y del consumo per cápita Linealización alrededor del punto de equilibrio estacionario: En este caso, el sistema (XVI) linealizado en las cercanías del estado estacionario coincidirá con (44). Para los parámetros dados en la tabla I y con g  0,2 se tiene que: k *  k *2  0,9868  * * c  c 2  0,2999 (c* )  0,6666  f ' ' ( k * )  -0,7649  * * *   c  (c )  f ' ' ( k )  0,152953  2     4  0,6119 1  0,3961   2  0,3861

328

(XXI)

CIRO BAZÁN






Con lo cual el sistema (XIX) linealizado alrededor del punto de equilibrio E'2  k*2 , c*2  0,9868; 0,2999 queda transformado en:

  0,01  1  k t  0,9868  k t         0,152953 0 c t  0,2999 c t  

 k t  0,01k t  c t  0,290032 (XXII)  c t  0,152953k t  0,1509340204 Las ceroclinas del sistema linealizado (XXII) vendrán dadas por:  k t  0  c t  0,01k t  0,290032 (XXIII)   c t  0  k t  0,9868

Suponiendo que el stock de capital per cápita en el instante inicial es k 0  2,5, por la ecuación (5)* del anexo 4 tenemos que el nivel de consumo per cápita que sitúa a la economía en el instante inicial sobre el brazo estable del sistema linealizado es: c0  0,89935. Sustituyendo c0 , k 0 , c* , y k * en (49) obtenemos el brazo estable (la senda óptima linealizada en los alrededores de E '2 ) del sistema linealizado:

ct  0,3961k t  0,09096

(XXIV)

En la figura VII se muestra el campo vectorial, las ceroclinas y el diagrama de fase del sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio E '2 . En esta figura se puede apreciar que iniciando la economía en el punto P0  2,5; 0,89935, en el largo plazo, si no hay perturbaciones, ésta convergerá al punto E '2 . En la figura VIII se muestra el comportamiento dinámico del consumo y del stock de capital per cápita cuando el sistema inicia en P0 . Se aprecia que tanto el consumo como el capital convergen de manera monótona hacia sus respectivos valores de largo plazo. Se puede ver que a pesar de que el punto inicial del sistema linealizado no coincide con el del sistema no lineal (para el mismo stock de capital inicial, k 0  2,5, el consumo inicial en ambos sistemas difiere ligeramente debido a la aproximación lineal), en el largo plazo, ambos sistemas convergen a E '2 .

Sustituyendo c0 , k 0 , c* , k * y  2 en (47) y (48) obtenemos la evolución dinámica del capital y del consumo per cápita a lo largo del brazo estable del sistema linealizado: 0 , 386124t  k t  0,9868  1,5132e   0 , 0 , 386124t  c t  0,2999  0,5994e

329

(XXV)

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA ct ' = 0

2

1.8

1.6

1.4

kt

1.2

1 P0 0.8

0.6

0.4

E2 '

(kt ' = 0) '

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ct

kt

Figura VII: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con incremento en el gasto gubernamental linealizado alrededor de su equilibrio estacionario 3

2.5 kt ct

kt and ct

2

1.5

1

0.5

0

0

2

4

6

8

10 t

12

14

16

18

20

Figura VIII: Comportamiento dinámico del capital y del consumo per cápita para el sistema linealizado alrededor de su equilibrio estacionario

330

CIRO BAZÁN


Financiamiento a través de la deuda:

En lugar de financiarse el gobierno así mismo a través de impuestos con  t  g t , el gobierno financia sus gastos pidiendo prestado al sector privado. La deuda del gobierno debe pagar la misma tasa que el capital, de lo contrario, las familias (agentes) no la incluirían en su portafolio. Permítase a “ b t ” ser la deuda del gobierno en términos per cápita. El gobierno encara la siguiente restricción presupuestaria dinámica: 

bt  n  bt  g t 

 t

recaudación de impuestos



 rt  b t

pagos de interés

(89)

El lado izquierdo de la ecuación (89) representa los préstamos del gobierno en términos per cápita, los cuales son iguales al incremento en la deuda per cápita 

( db t / d t  b t ) más la cantidad de deuda (n  b t ) que puede, como resultado del crecimiento de la población, ser emitida sin incrementar la cantidad de la deuda per cápita. El lado derecho de la ecuación representa el exceso de gastos del gobierno compuestos de sus compras de bienes y servicios y de los pagos de interés, sobre su recaudación de impuestos. La restricción dinámica (89) nos dice que sólo el gobierno tiene que pedir prestado cuando sus gastos excedan su recaudación de impuestos.

Integrando (89) e imponiendo la condición “NPG” en ese instante sobre el gobierno (que la deuda no se incremente asintóticamente a una tasa mayor que la tasa de interés) da una restricción intertemporal para el gobierno:

 b0

deudainicial

 0 g t (R 0t ) 1  dt  0  t (R 0t ) 1  dt     



" historia de los gastos"

(90)

" historia de los impuestos"

El valor presente de los impuestos (recaudación) debe ser igual al valor presente del gasto del gobierno más el valor de la deuda inicial del gobierno (en términos per cápita) “ b 0 ”; dada la condición “ NPG ”. Equivalentemente, el gobierno debe elegir sendas de gastos y de impuestos tal que el valor presente de “ g t   t ”, que es algunas veces llamada “déficit primario”, sea igual al negativo de la deuda inicial per cápita, “ b 0 ”; si el gobierno tiene una deuda positiva sin pagar (pendiente), éste deberá anticiparse a la corriente de superávits primarios en algún punto en el futuro. Por ejemplo, es consistente con la ecuación (90) que el gobierno mantenga el valor inicial de la deuda per cápita, “ b 0 ”, por siempre. Para ello deberá obtener en todos los periodos superávits primarios lo suficientemente grandes como para pagar los intereses netos del monto de la deuda que puede ser financiada vendiendo “ b 0 ” a cada persona recién nacida (netos de la deuda que se pueda colocar dado el aumento de la población).

331

CIRO BAZÁN


La presencia de la deuda del gobierno también modifica la restricción presupuestaria dinámica de la familia, que se hace: 

c t  a t  n  a t  w t  rt  a t   t (91)

Con:

a t  k t  b pt  b t

(92)

Note que hay un supuesto implícito en (91), que la familia puede pedir prestado y prestar a la misma tasa de interés, “ rt ”, que el gobierno. Integrando (91) sujeta a la condición “NPG” obtenemos la siguiente restricción presupuestaria intertemporal: t 1 t 1 t 1 0 c t  (R 0 )  dt  a 0  0 w t  (R 0 )  dt  0 t  (R 0 )  dt 



Dónde:



a 0  k 0  b 0  b p0

(93)

(94)


t 1 t 1 t 1 0 c t  (R 0 )  dt  k 0  b0  b p  0 w t  (R 0 )  dt  0 t  (R 0 )  dt 







0



(95)

El valor presente del consumo debe ser igual a la suma de la riqueza no humana k 0  b p0  b 0 más la riqueza humana, que es el valor presente de los salarios menos el valor presente de la recaudación del gobierno (impuestos). La restricción presupuestaria del gobierno muestra que para un modelo dado del gasto del gobierno (y dado “ b 0 ”), el gobierno tiene que recaudar impuestos de un valor presente dado, equivalentemente, el gobierno no necesita tener un presupuesto balanceado en cada momento del tiempo. Por ejemplo, partiendo de un presupuesto balanceado, éste puede reducir impuestos en algún punto, pidiendo prestado del público, e incrementando futuros impuestos para devolver los intereses y la deuda. ¿Cuál es entonces el efecto de un cambio en el patrón que ajusta en el tiempo los impuestos recaudados para financiar un patrón dado de los gastos del gobierno? La respuesta es dada reemplazando la restricción presupuestaria intertemporal del gobierno en (95) esto da: t 1 t 1 t 1 0 c t  (R 0 )  dt  k 0  b p  0 w t  (R 0 )  dt  0 g t  (R 0 )  dt 





0

(96)

La ecuación (96) es exactamente la misma que la ecuación (88). Ni los impuestos (recaudación impositiva) ni la deuda del gobierno aparecen en la restricción presupuestaria de la familia. Sólo el gasto del gobierno importa (afecta a la familia). Esto tiene una fuerte repercusión para una senda dada del gasto del gobierno, el tipo de financiamiento a través de gravámenes tipo lump – sum (suma fija) o el déficit financiero, no tienen efectos sobre la asignación de recursos. “Equivalencia Ricardiana”. 332

CIRO BAZÁN


La intuición para este resultado se obtiene mirando las restricciones presupuestarias intertemporales del gobierno y de las familias. Un decremento en los impuestos, y por tanto un mayor déficit hoy, debe de acuerdo a la restricción presupuestaria del gobierno conducir a un incremento en los impuestos luego. De acuerdo a la restricción presupuestaria de la familia, el decremento actual y el esperado (previsto) incremento futuro exactamente se compensan el uno al otro en valor presente, dejando la restricción presupuestaria inalterada. Las familias por tanto no modifican sus sendas de consumo. Ellas de buena gana ahorran el incremento en la renta actual, exactamente compensando el desahorro del gobierno. Impuestos distorsionadores del capital: Los impuestos distorsionadores ciertamente afectan la asignación de los recursos. Se supone que el gobierno impone un gravamen a los retornos del capital a la tasa “  k ”, y remite las ganancias (recaudaciones) al sector privado en forma de transferencias tipo lump – sum. Si “ rt ” es la tasa de retorno del capital antes de impuestos, entonces 1  k rt es la tasa de retorno del capital después de impuestos y debe también ser la tasa de retorno de la deuda privada si el capital y la deuda son sustitutos perfectos en el portafolio de la familia. La restricción presupuestaria dinámica de la familia ahora es: 

c t  a t  n  a t  w t  (1   k )  rt  a t  z t (97)

Donde “ Z t ” son las transferencias per cápita tipo lump – sum (igual a lo que el gobierno recibe de los impuestos del capital) que el gobierno hace a la familia. El problema que enfrentan las familias en el instante “t = 0” es:

Max U 0  0 u (c t )e  t  dt 

(98)

Sujeto a: 

ct  a t  n  a t  w t  (1  k )  rt  a t  z t (99)

H t  u(c t )e t   t w t  (1  k )rt  n a t  z t  c t  (100)

El Hamiltoniano es:

Las condiciones de primer orden son:

(i)

H t c t

(ii )

 u ' (c t )e  t   t  0   t  u ' (c t )e  t H t a t

(iii )

  t (1   k )rt  n     t (102) 

líma t   t   0 t 

333

(103)

(101)

CIRO BAZÁN







lím a t  u ' (c t )e  t  0 t 

(104)

Derivando respecto a “ t ” la ecuación (101) tenemos: 



 t  u ' ' (c t ) c t  e  t  u ' (c t )    e  t (105)

Reemplazando (101) y (105) en (102) tenemos:

  u ' (c t )(1   k )rt  n   e  t  u ' (c t )    u ' ' (c t ) c t 

u ' ' (c t ) c t  u ' (c t )   (1   k )rt  n 

  t   e





u ' ' (c t )  c t u ' (c t )

   n  (1   k )rt

  c t  u ' ' (c t )  c t   u ' (c t )  c t  



ct ct

(106)

    (1   k )rt  (  n )  

 (c t )(1   k )rt  (  n )

(107)

Note primero que el impuesto del capital afecta al estado estacionario del stock de capital. Con rt  f ' (K t ) , el estado estacionario del stock del capital (cuando 

c t  0 ) está dado por:

rt  f ' (k t ) 

(1  k )rt  (  n)  0

 n  k *  f '1  1  1  k k  n

   

(108)

La tasa de retorno del capital después de impuestos será igual a la tasa de preferencia temporal ajustada por el crecimiento de la población “   n ”; por esta razón la tasa de retorno del capital antes de impuestos será mayor que “   n ”. La productividad marginal del capital en el estado estacionario es en consecuencia mayor, lo que significa que en el estado estacionario el stock de capital es menor que cuando el capital no estaba sometido a impuestos. Sin impuestos teníamos que:

k *  f '1 n  

rt  f ' k t   n  

334

CIRO BAZÁN


Con impuestos resulta que:

 n k *  f '1  1  k 

   

 n rt  f ' k t    1  k 

   

Por lo tanto, resulta que:

 n  1  k 

     n ya que 1  k  1.  

Además, como f ' () es decreciente:

k *  k * .

La figura 5 muestra como los impuestos del capital afectan a la economía. El estado estacionario se mueve de “ E ” a “ E ' ”, el stock de capital en el estado estacionario cae de k * a k * y la tasa de consumo en el estado estacionario es menor a la que había en ausencia de los impuestos distorsionantes. Equivalentemente, si el gobierno en su lugar subsidiase el capital utilizando gravámenes tipo lump – sum, podría incrementarse el stock de capital en el estado estacionario y el nivel de consumo, siempre que el stock de capital en el estado estacionario estuviese por debajo del nivel de capital de la regla de oro. dct / dt  0

dct / dt  0'

ct

c* c *

E

E'

0

k *

dkt / dt  0

k*

kt


Figura 5: Los efectos del impuesto del capital

335

CIRO BAZÁN


Simulación numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación, efectuada en Matlab 7.12.0, del caso descentralizado del modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans, con una función de producción de Elasticidad de Sustitución Constante (Constant Elasticity of Substitution: CES), para una función de utilidad (Constant Relative Risk Averse: CRRA), con impuestos a los retornos del capital, k  0,4; y con los mismos valores para los parámetros que para el caso centralizado sin impuestos (dados en la tabla I). De (99) y (107), teniendo en cuenta (57) y (58), que en equilibrio a t  k t , y que las transferencias per cápita tipo lump – sum que el gobierno hace a la familia igualan a lo que el gobierno recibe de los impuestos del capital, z t  k  rt  a t , la dinámica del modelo viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias13:

 c t  c t c t 1  k f ' k t     n    k t  f k t   c t  n  k t



(XXVI)



Sustituyendo (II), (III), y (V) en (XXVI) obtenemos la dinámica del modelo:





ct   1     n ct  1  k k t 1   k t   1         1     ct  n  k t k t  k t  1   





(XXVII)

Las ceroclinas del sistema (XXVII) vienen dadas por: 1              n  1          t  0, c t  0  c  0  k    1  k   t t    1                   k t  0  c  1   k     1   n  k t t t 



(XXVIII)



Remplazando k  0,4; y los valores de los parámetros de la tabla I en (XXVII) y en (XXVIII) tenemos que las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de esta economía centralizada y sus ceroclinas vienen dadas por: 13





Recordar que la senda de fase óptima deberá satisfacer las condiciones del principio del máximo de Pontryagin, dadas por (XXVI), junto con la condición de transversalidad:






t  

t  



336

CIRO BAZÁN










2  1, 5 3 2  0,51 c t  c t 0,3k t 0,5k t  0,5 3   1 2 2  c t  0,5k t k t  0,5k t  0,5





 c t  0  c t  0  k t  0,63569 t  0,   0,5 2   0,5k t k t  0  c t  0,5k t  0,5





(XXIX)

(XXX)

Los puntos de equilibrio del modelo se encontrarán igualando las ecuaciones de las ceroclinas dadas por (XXX). Esto es:

  

  

E1  k1* , c1*  0,0   ' * * E 2  k 2 , c 2  0,63569; 0,44084  * * E 3  k 3 , c3  2,6458; 0 

En la figura IX se muestra el retrato de fase y el campo vectorial para el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con los valores de los parámetros que se muestran en la tabla I, para una función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES), con impuestos sobre los retornos del capital, y con una función de utilidad CRRA. En esta figura se aprecia que los valores de capital y de consumo per cápita en E '2 son menores a los del equilibrio estacionario sin impuestos sobre los retornos del capital, E 2 . (ct ' =0) ' 2

ct ' =0

1.8

1.6

1.4 P0

ct

1.2

1

0.8

0.6 E2 '

E2

0.4

0.2

kt ' =0 E1

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

E3

3

kt

Figura IX: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans para una función de producción CES y una función de utilidad CRRA con impuestos en los retornos del capital

337

CIRO BAZÁN


   Asimismo, en la figura IX, se han dibujado las ceroclinas,  c t  0  y k t  0, que se   ' cortan en los puntos E1 , E 2 , y E3 . No obstante, como ya se ha dicho, los puntos E1 y E3 son descartados porque no cumplen la ecuación de Euler y la condición de transversalidad respectivamente. Las trayectorias óptimas son las ramas (E1- E '2 y E '2 '



A) del brazo estable del punto de silla E '2 . Se puede apreciar que la ceroclina k t  0 es la misma del modelo sin impuestos sobre el capital, pero que la rama vertical de la

  ceroclina  c t  0  ahora se encuentra desplazada hacia la izquierda respecto de la   '



ceroclina del modelo sin impuestos sobre el capital c t  0. Finalmente, se muestra que si la economía inicia en un punto como P0  2,5;1,306637689, en el largo plazo, si no hay perturbaciones, ésta convergerá al punto de equilibrio E '2 . Esto es, las trayectorias óptimas del capital y del consumo per cápita decrecen monótonamente conforme transcurre el tiempo y convergen hacia sus respectivos valores de largo plazo (las componentes de E '2 ), tal como se aprecia en la figura X.

2.5 kt ct 2

kt and ct

1.5

1

0.5

0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura X: Comportamiento dinámico del capital y del consumo per cápita

338

CIRO BAZÁN


Linealización alrededor del punto de equilibrio estacionario: En este caso, el sistema (XXVI) linealizado en las cercanías del estado estacionario vendrá dado por: A      1  k t  k *  k t         1   k    k   n   c*  c* ' c*  c t  c*  c t  

 

 

(XXXI)

Para los parámetros dados en la tabla I y con k  0,4 se tiene que:





k *  k *2  0,63569  * * c  c 2  0,44084 trA  0,126  det A  0,2049354  * (c )  0,6666  ' *  (c )  0 f ' ' ( k * )  -1,15448    c*  (c* )  f ' ' ( k * )  0,33929  2   trA  4det A   0,835617595   0,39406  1  2  0,52006

(XXXII)

Con lo cual el sistema (XXIX) linealizado alrededor del punto de equilibrio E'2  k*2 , c*2  0,63569; 0,44084 queda transformado en:

  0,01 k t         0,2035754 c t 

 1 k t  0,63569   0,136 c t  0,44084

 k t  0,01k t  c t  0,377271  c t  0,2035754k t  0.136c t  0,18936509

(XXXIII)

Las ceroclinas del sistema linealizado (XXXIII) vendrán dadas por:  k t  0  c t  0,01k t  0,377271   c t  0  c t  1,4968779k t  1,392390338

339

(XXXIV)

CIRO BAZÁN


Suponiendo que el stock de capital per cápita en el instante inicial es k 0  2,5, por la ecuación (7)* del anexo 4 tenemos que el nivel de consumo per cápita que sitúa a la economía en el instante inicial sobre el brazo estable del sistema linealizado es: c0  1,429037. Sustituyendo c0 , k 0 , c* , y k * en (49) obtenemos el brazo estable (la senda óptima linealizada en los alrededores de E '2 ) del sistema linealizado:

c t  0,46206k t  0,103889

(XXXV)

En la figura XI se muestra el campo vectorial, las ceroclinas y el diagrama de fase del sistema linealizado alrededor del punto de equilibrio E '2 . En esta figura se puede apreciar que iniciando la economía en el punto P0  2,5; 1,429037, en el largo plazo, si no hay perturbaciones, ésta convergerá al punto E '2 . En la figura XII se muestra el comportamiento dinámico del consumo y del stock de capital per cápita cuando el sistema inicia en P0 . Se aprecia que tanto el consumo como el capital convergen de manera monótona hacia sus respectivos valores de largo plazo. 2

1.8

1.6

P0

1.4 (ct ' =0) '

ct

1.2

1

0.8

0.6 E2 ' kt ' =0

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

kt

Figura XI: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con impuesto sobre el capital linealizado alrededor de su equilibrio estacionario Se puede ver que a pesar de que el punto inicial del sistema linealizado no coincide con el del sistema no lineal (para el mismo stock de capital inicial, k 0  2,5, el consumo inicial en ambos sistemas difiere ligeramente debido a la aproximación lineal), en el largo plazo, ambos sistemas convergen a E '2 . 340

CIRO BAZÁN


Sustituyendo c0 , k 0 , c* , k * y  2 en (47) y (48) obtenemos la evolución dinámica del capital y del consumo per cápita a lo largo del brazo estable del sistema linealizado: 0 , 52006t  k t  0,63569  1,8643e   0 , 52006t  c t  1,429037  0,9882e

(XXXVI)

2.5

2 kt

kt and ct

ct 1.5

1

0.5

0

5

10

15

20

25

t

Figura XII: Comportamiento dinámico del capital y del consumo per cápita para el sistema linealizado alrededor de su equilibrio estacionario Conclusiones: En este documento, inicialmente, se ha estudiado la versión determinística del modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans, en tiempo continuo, tanto desde una perspectiva centralizada como desde una perspectiva descentralizada, en un horizonte de tiempo infinito, en un marco de una economía cerrada, y sin gobierno. Posteriormente, para el caso descentralizado, se ha introducido el sector gubernamental en el modelo para, en primer lugar, poder analizar el efecto que tiene sobre el equilibrio de la economía un incremento en el gasto gubernamental y en segundo lugar para analizar el efecto de las diferentes formas de financiar un determinado nivel de gasto gubernamental: ya sea a través de la imposición de impuestos (tipo lump-sum y sobre el capital) o mediante endeudamiento.

341

CIRO BAZÁN


En el modelo sin gobierno (versión descentralizada), que hemos resuelto utilizando la técnica de la teoría de control óptimo, las decisiones de ahorro (inversión) y de consumo óptimas son determinadas, en cada instante, endógenamente teniendo en consideración las preferencias y las restricciones presupuestarias dinámicas de los agentes representativos de la economía. En consecuencia, este modelo está mejor microfundamentado que el modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan en el que la tasa de ahorro se supone exógena (y constante) y en el que no se tienen en cuenta las preferencias de los agentes económicos representativos. Además, el modelo de RamseyCass-Koopmans logra explicar de forma consistente el crecimiento en economías que presentan una función de producción agregada neoclásica y en la que los agentes representativos son racionales (en el caso descentralizado, las familias maximizan en cada instante del tiempo su función de bienestar sujetas a su restricción presupuestaria dinámica, y las empresas maximizan en cada instante sus beneficios, mientras que en el caso centralizado un planificador benevolente maximiza el bienestar social sujeto a una restricción presupuestaria dinámica). Asimismo, en el modelo sin gobierno, se ha mostrado que el comportamiento dinámico de la economía descentralizada es el mismo que el de una economía centralmente planificada ya que no hay externalidades, ni falta de información o ausencia de mercado. Por otro lado, en el modelo sin gobierno, se aprecia que la única senda que satisface todas las condiciones de optimalidad es la que corresponde al brazo estable del punto de silla (trayectoria DD de la figura 3). Asimismo, en este caso, una importante diferencia entre el modelo de Solow-Swan y el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans es que una senda de crecimiento equilibrado con stock de capital mayor al correspondiente a la regla de oro no es posible en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans. Por ejemplo, si k a0  k g , entonces levantando una vertical por k a0 hasta cortar a la senda DD estaremos 

en la zona I, donde k t  0, entonces conforme transcurra el tiempo, el stock de capital

decrecerá hasta converger al nivel de la regla de oro modificada, k * , que es menor al stock de capital de la regla de oro, k g . Además, para el modelo con gobierno, si la economía está en el estado estacionario inicialmente, un incremento en el gasto del gobierno (considerado exógeno) se refleja instantáneamente en el menor consumo de las familias sin tener efectos dinámicos sobra la acumulación del capital. Si la economía no está inicialmente en el estado estacionario, que el incremento en el gasto gubernamental tenga o no un efecto transitorio sobre la acumulación de capital dependerá de las características de la función de utilidad. Asimismo, para el modelo con gobierno, se concluye que el tipo de financiamiento del gobierno, a través de impuestos tipo lump – sum (suma fija) o a través de préstamos financieros al sector privado, no tiene efectos sobre la asignación de recursos. Finalmente, los impuestos al capital si afectan a la economía: tanto el stock de capital como el consumo de estado estacionario son menores a los que había antes de aplicar el impuesto distorsionador al capital.

342

CIRO BAZÁN


Condiciones necesarias de Primer Orden utilizando Ht: Caso de economía centralizada

M ax Pc t , k t   dt 

s.a. : k t  g c t , k t  0



variable de estado variable de control

kt  0 :

ct  0 :

k 0  0 : dado

H t  u c t e  t   t f k t   nk t  c t     

H t c t

P c t , k t 

g c t , k t 

 0  u ' c t e t   t  0   t  u ' c t e t   (i)  t  u ' ' c t   c t    u ' c t  e  t  

(ii)

(iii)

H t

   t   t f ' k t   n     t

H t

 gc t , k t   k t  f k t   nk t  c t

k t

 t





(iv) Lím t  k t   0

(condición de transversalidad)

t 

Como:



~ ~ H t  H t  et  H t  H t  e  t

~    e t     ~  e  t     ~   ~  e  t  t t t t t t  t  ~

Condiciones necesarias de Primer Orden Utilizando H t : Caso de economía centralizada ~ ~ H t H t  t H t De (i):   e  0   0 (1) c t c t   c t ~ ~ H t H t   t H t  t ~ ~ ~   ~    t   t  e     e (2) De (ii): t t   k t k t k t ~ ~ ~ ~ ~  H H t H t  t   H t H t  t t t t     (3) De (iii):  e   e e     kt ~ ~      t      t t t t  t  ~  k  e  t  0 (4) De (iv): Lím  t 



t

343

t



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Regla de oro modificada. Caso en el que hay progreso tecnológico ( At ) y la función de utilidad es CRRA 

Kt Yt F( K t , A t  N t ) C t    ˆ ˆ ˆ ˆ N N N N t t t t

(1 )

Hacemos: 







 Nt  At  Nt  Nt  At  Nt  At 

Nt 

(1)

Trabajo efectivo

Pero: 

 n  N t  N 0  e nt

Nt Nt

(2)



N t  n  N 0  e nt  n  N t 

   A t  A 0  e t  Si A 0  1  A t  e t

At At



A t    et    A t 

kt 

Kt 



Nt  At

Dónde: k t  

 Kt  Nt  Kt  Nt K t  K t kt      2   Nt Nt  Nt 







Kt



Kt

(8)  (1*) 





(6)

At (7)



   Kt   k t  n    k t    Nt 





(5)

        N t  K t   Nt  A  N  At t t    kt      Nt  At   N t  N t   



F(K t , N t )

kt





 c t  k t  ( n  ) k t 



ct 





N t  F(k t ,1) 

Nt

Ct 

Nt



Ct

At  Nt 344



ct At

    



Nt

Dónde:

4

Nt

 n  Nt  At Nt    At kt    kt    N A Nt  At t t  Nt 





Kt

Nt



(3)

(10)

(8) 

 f (k t ) (9)

CIRO BAZÁN


Siendo:

ct 

Ct Nt



 ct  At

 





(11) 

ct  ct  At  ct  At

   c t  c t  c t    A t (12)   



De (6):



k t  k t  A t (13)

De (9): 









k t  f ( k t )  ( n  )  k t  c t Hamiltoniano:

a)

H 

 ct

De (17):

b)

(14)

     H t  u (c t )e  t   t f (k t )  (n  ) k t  c t   

 u ' (c t )e  t  A t   t  0   t  A t  u ' (c t )e  t

(16)

      t  A t  u ' ' (c t )  c t  u ' (c t ) A t    A t  e t   

(17)

     t  A t  u ' ' (c t )  c t  u ' (c t )(  )A t  e  t  

     t  u ' ' (c t )  c t  u ' (c t )(  ) A t  e  t  

H

(15)

(18)

    f ' ( k ) ( n )  (19)        t t t     kt




      u ' (c t ) f ' (k t )  (n  )   u ' ' (c t )  c t  u ' (c t )(  )    



ct          ( c ) f ' ( k t )  (  n )  t f ' ( k t )  (   n )       ct ct u ' ' (c t )  c t 

ct

u ' (c t )

345

CIRO BAZÁN


Pero para:

u (c t ) 

c1t 

1 

 (c t ) 

1 





ct ct



1   f ' (k t )  (  n ) 

Entonces:

    c t  c t    A t   ct ct 1        ct  ct  At ct 





ct 

ct



1  1  f ' ( k t )  (  n )        





   f ' (k t )  (  n )

   f ' (k t )  (  n     )

En el estado estacionario: c t  0  f ' (k *)    n     : “Regla de oro modificada”.

346

CIRO BAZÁN


Elasticidad de sustitución intertemporal instantánea

Sean dos instantes de tiempo “s” y “t”, tales que t  s, s  t  t, con niveles de consumo c s y c t tales que cs  c t  , siendo    pequeño en relación a c t .

cs , c t   

u ' cs  u ' c t  cs c t

cs , c t   

cs , c t   



dcs c t 

du ' c s  u ' c t 

dln cs c t  d

dln cs c t  d





 d

dln cs c t 

dln u ' c s  u ' c t 

dln u ' cs  u ' c t 

dln u ' cs  u ' c t  1

(1)

d Efectuando una expansión de Taylor de primer orden de la utilidad marginal del consumo alrededor de c s tenemos que: u' cs   u' c t   u' ' c t cs  c t   u' c t   u' ' c t 

u ' c s  u ' c t 

1 

u ' ' c t  u ' c t 

(2)

Por otro lado, tenemos que:

 cs ln  c  t

 c   dln cs c t    ct   ln 1      ln  t    c    c t  d t     1 ct 1

(3)

u ' ' c t 

Aplicando logaritmos neperianos a (2) tenemos que:

  u ' cs   u ' ' c t   dln u ' cs  u ' c t  u ' c t  ln      ln 1   u ' ' c t  u ' c t   d   u ' c t   1  u ' c t  Sustituyendo (3) y (4) en (1) resulta:

cs , c t   

1 ct

1   ct



1   u ' ' c t  u ' c t  u ' ' c t  u ' c t 

(5)

(4)

Bajo el supuesto que cuando t  0  s  t     0  cs  ct , aplicando límites a (5) resulta:

lím cs , c t   lím cs , c t   lím cs , c t   c t    st

cs  c t

 0

347

u ' c t 

c t  u ' ' c t 

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Cálculo de c0 dado k0 que conduzca al estado estacionario Sin impuestos:





El punto E  k * , c* se encuentra en la intersección de los lugares geométricos 



dados por k t  0 y c t  0. 

k t  0  f (k t )  nk t  c t  0

(1)*



c t  0  f ' (k t )  n    0  k *  f '1 (  n )



Reemplazando (2) * en (1) *:



f f '1 (  n)  nf '1 ((  n))  c *

(2)*

(3)*

Determinación del consumo per cápita inicial “ c 0 ” que conduzca a la estabilidad: El sistema (44) se puede reescribir:             ~    x y 0 u v   1 ~   1 1  1 1  kt k t                  ~c t   x 2 y 2  0  2  u 2 v 2  ~ct     1

 T Donde “  ” es la matriz modal (sus columnas son los autovectores v1  x1 x 2   T y v1  y1 y 2  asociados a “ 1 ” y “  2 ”) y “  ” es la forma canónica de Jordan. " A"

Operando:

~ ~   ~c )  y  (u ~ ~c )  x ( u k v k v    t t t t  k  t 1 1 1 1 1 2 2 2     ~  ~ ~  c t   x 2 1 (u1 k t  v1 ~c t )  y 2  2 (u 2 k t  v 2 ~c t )

La condición de transversalidad sobre el stock de capital [ecuación (15)] se verificará sólo si el coeficiente en el autovalor inestable, 1  0, se iguala a cero. Dado que x1  0 , ya que depende de los parámetros estructurales (los que conforman la matriz “A”), por lo tanto:

u1 u1 ~ ~ k t  c t  c*   u1 k t  v1 ~c t  0  ~c t   (k t  k * ) v1 v1 Para:

t  0  c 0  c*  

348

u1 v1

(k 0  k * )

(4)*

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Como ya conocemos k * [de (2)*] y c* [de (3)*] entonces para un “ k 0 ” dado, la ecuación (4)* nos dará el valor de “ c 0 ” que nos conduce a “E” a través de DD. Dónde: Para 1 

   1   

 

:

2 

v1   1   x 1  0   si x1  1  (  1 )x1  x 2  0  x 2    1   1   x 2  0

x2 

Para  2 

   2   

 

1          v1   .    2  

  2

:

2 

v2   1   y1  0  si y1  1  (   2 ) y1  y 2  0  y 2     2    2   y 2  0

y2 

1          v 2   .    2  

  2

Además:

 u1 v1   x1 y1        u 2 v2   x 2 y2 

 u1   u2

1



 y 2  y1    x1  x1y 2  x 2 y1   x 2 1

       ( ( ) )  1    1 1 v1  2 2     v 2              ( )( ) ( ) ) 1 ( 2 2 2 2   

Reemplazando “u1” y “v1” en (4)*:









      k  k *  c       k  k *  c* (5)* c 0  c*   0   0   0 2 2    

349

  1    1 

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Reemplazando (5)* en (49):







         k  k *  c*  k *   c*  k 0    0        2      ( 6) *    ct  kt    *    k k 2   0      



La ecuación (6)* es la senda DD que partiendo de E  k* , c* .

k 0 , c0 

2      4 Nota: Recuerde que:  * * *    c  (c )  f ' ' (k )

Con impuestos sobre el retorno del stock de capital: Teniendo en cuenta que:

1 

trA   2

 El autovalor v1 del sistema (XXI) se calcularán a partir de:   1  1   k 

1

 

 

  k   n   c*  c* ' c*



v1    x 1  0        1   x 2  0

Entonces, si x1  1  (  1 )x1  x 2  0  x 2    1

x2 

2  trA   2

1     2  trA     v1   .   2  

Teniendo en cuenta que:

2 

trA   2

 El autovalor v 2 del sistema (XXI) se calcularán a partir de:    2  1   k 

1

 

 

  k   n   c*  c* ' c*

350



v2    y1  0        2   y 2  0 

nos lleva a

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Entonces, si y1  1  (   2 ) y1  y 2  0  y 2     2

y2 

1     2  trA     v 2   .    2  

2  trA   2

Además:

 u1 v1   x1 y1        u 2 v2   x 2 y2   u1   u2

1



 y 2  y1    x1  x1y 2  x 2 y1   x 2 1

 2  trA    1  v1  2    v2     2  trA    2 

Reemplazando “u1” y “v1” en (4)*:



  1    1 







 2  trA     2  trA    *    k  k *  c* ( 7 ) * c0  c  k 0  k  c0       0 2 2     *

Reemplazando (7)*en (49):

  2  trA    c*  k 0      2  trA    2  k   ct    t   k 0  k* 2     







La ecuación (8)* es la senda DD que partiendo de E  k ,c . *

*



    k  k *  c*  k *   0      (8)*    

k 0 , c0 

nos lleva a

  trA2  4det A   * * ' * trA     k   n   c  c  c Nota: tenga presente que:  * * ' * det A  1   k    k   n   c  c  c   c*  (c* )  f ' ' ( k * ) 

 

351

   

 

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Deducción de la restricción presupuestaria dinámica 

F(K t , N t )  C t  K t  kt 

Kt Nt



 kt 

   Kt  f (k t )  c t    Nt 

F(K t , N t ) Nt 

Kt Nt

 nk t 



Kt Nt



 k t  nk t

    

(1)

(2)

Reemplazando (2) en (1): 

f (k t )  c t  k t  nk t

(3)

Maximizando los beneficios de la empresa representativa:

(K t , N t )  1  F(K t , N t )  w t  N t  rt  K t

 Kt  FK t  rt  0  rt  FK t

Pero:

F(K t , N t )  N t  f (k t )  FK t  N t  f ' (k t ) 

k t

K t

rt  FK t  f ' (k t )

 N t  f ' (k t ) 

1 Nt

(7)

  Kt  f (k t )  N t  f ' (k t ) 2  N N t  t k t

FN t  w t  f (k t )  f ' (k t )  k t  f (k t )  w t  f ' (k t )  k t


 f ' (k t ) (5)

(6)

Nt  FN t  w t  0  FN t  w t

FNt  f (k t )  N t  f ' (k t ) 

(4)

    (8)

f (k t )  w t  rt  k t (9)

Igualando (3) y (9): 

Pero: a t  k t  b p t En el agregado:

f (K t )  Wt  rt .K t  Ct  K t  n.K t (10)

Bp t  N t  bp t  0  bp t  0  a t  k t

(11)

Reemplazando (11) en (10): 

f (a t )  w t  rt  a t  c t  a t  n  a t : Restricción presupuestaria dinámica. 352

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Bibliografía [1] Blanchard, O.; Fischer, S. (1989): “Lectures on Macroeconomics”. Primera Edición. The MIT Press. [2] Cass, D. (1965): “Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation”. The Review of Economics Studies. Vol. 32, nº3, pp. 233240. [3] Koopmans, T. (1965): “On the Concept of Optimal Economic Growth” in (Study Week on the) Econometric Approach to Development Planning, chap. 4, pp. 225-87. North Holland Publishing Co., Amsterdam. [4] Novales, A.; Fernández, E.; Ruíz, J. (2010): “Economic Growth: Theory and Numerical Solution Methods”. Primera Edición. Springer. [5] Ramsey, P. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”. Economic Journal, Vol. 38, nº152, pp. 543-559. [6] Takayama, A. (1994): “Analytical Methods in Economics”. Primera Edición. Harvester Wheatsheaf. [7] Urzúa, S. (2001): “Tópicos en Macroeconomía: Modelo Ramsey”. Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas. Universidad de Chile. Mimeo.

353

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354

Ciclos económicos reales: Un modelo básico Una economía puede ser alterada de su equilibrio de largo plazo por perturbaciones (shocks), que pueden ser: permanentes o temporales y anticipadas o no anticipadas. En función de los tipos de shocks, la economía puede permanecer inalterada en su posición de equilibrio o ésta puede ser separada de dicha posición, pudiendo ser el ajuste óptimo para retornar al equilibrio instantáneo o lento. A la trayectoria seguida por la economía durante su retorno al equilibrio se le suele denominar ciclo económico. La teoría de los Ciclos Económicos Reales (Real Business Cycles en la terminología anglosajona) intenta utilizar el marco del crecimiento neoclásico para estudiar las fluctuaciones de los ciclos económicos. Para ello, esta teoría se concentra en los efectos que tienen sobre la economía dos particulares tipos de shocks: un shock de productividad tecnológica, que afecta a la función de producción de un periodo a otro, y un shock en el nivel de gasto público, que modifica la cantidad de bienes que quedan disponibles para la economía privada dado un determinado nivel de la producción. Ya que ambos tipos de shocks económicos no son de carácter nominal ni monetario sino de naturaleza real, es que se habla de modelos de ciclos económicos reales. En el presente documento vamos a desarrollar un modelo estándar de ciclos reales basado en la versión estocástica y discreta del modelo de crecimiento óptimo de Ramsey al que se le ha agregado aleatoriedad en el progreso tecnológico, con lo cual se podrá efectuar el análisis de los efectos de shocks tecnológicos sobre la economía mediante una simulación numérica utilizando Microsoft Excel. Procedimiento general: De acuerdo a Uhlig (1999), el procedimiento general para resolver y analizar un modelo básico de ciclos económicos reales toma los siguientes pasos:  Encontrar las ecuaciones necesarias que caracterizan el equilibrio competitivo. Esto es, restricciones, condiciones de primer orden, etc.  Linealizar las ecuaciones necesarias que caracterizan el equilibrio del sistema para hacer que sean aproximadamente lineales en términos de desviaciones porcentuales respecto al estado estacionario.  Encontrar el estado estable.  Resolver la ley de movimiento del equilibrio recursivo vía el método de los coeficientes indeterminados.  Realizar la calibración.  Efectuar un estudio de la solución vía un análisis impulso-respuesta y a través de un estudio de propiedades de segundo orden (posiblemente considerando el filtro de Hodrick-Prescott) o una simulación numérica. Supuestos del modelo: 1.

1

Se supone que los agentes económicos (las familias y las empresas 1) son idénticos, que éstos toman los precios como dados, y que viven infinitamente. Por tanto, las elecciones económicas se reflejan por las decisiones efectuadas por un agente representativo único.

Se ignora al sector gubernamental.

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2.

Se supondrá que en los mercados de factores de producción y de bienes y servicios se da la competencia perfecta. En esta economía se descarta entonces el comportamiento estratégico de los agentes económicos.

3.

Las familias rentan capital, “ K t ”, a las empresas al precio de alquiler del capital, “ R t ”, y venden trabajo, “ L t ”, al salario real, “ Wt ”.

4.

Preferencias: Las familias derivan utilidad del consumo, “ C t ”, de un bien final, y desutilidad del trabajo, “ L t ”. Se supondrá que las familias son adversas al riesgo.

5.

Optimización de las empresas: En cada periodo las empresas eligen capital “ K t ”, y trabajo, “ L t ”, para maximizar sus beneficios, sujetas a una función de producción.

6.

Proceso productivo: Se supone que el bien final es producido por las empresas con una función de producción que depende del capital, “ K t ”, del trabajo, “ L t ”, y del progreso tecnológico exógeno, “ A t ”, que tiene rendimientos constantes a escala, y que está sujeta a shocks aleatorios tecnológicos. Es decir, se supone que existe aleatoriedad en el progreso tecnológico de la función de producción (el modelo es estocástico).

7.

Por simplicidad y sin pérdida de generalidad, el precio del bien final producido es normalizado a la unidad.

8.

Optimización bajo incertidumbre de las familias: Para un stock de capital inicial, “ K 1 ”, y conocido “ A0 ”, las familias determinan cuánto trabajo ofertar, “ L t ”, y cuánto consumir “ C t ”, e invertir (acumular capital físico), “ I t ”, buscando maximizar el valor esperado de la suma de sus utilidades descontadas. Las familias deben pronosticar las trayectorias futuras de los salarios, “ Wt ”, y de los precios de alquiler del capital, “ R t ”. Para ello se asume que dichos pronósticos son efectuados bajo un esquema de expectativas racionales. En el proceso de formación de las expectativas, se supone que la familia representativa conoce la relación entre el estado de la economía, K t1 , A t , y los precios Wt  WK t 1 , A t , y R t  R K t 1 , A t . Además, se supone que conoce el proceso que gobierna la evolución del stock de capital per cápita, y las leyes de movimiento de “ A t ”.

9.

Dotaciones: Asumiremos que la dotación de tiempo en cada periodo “t” es igual a uno (que representa el total de horas, 24 horas de un día, disponibles para la familia representativa). Esta dotación se reparte entre ocio, “  t ”, y oferta de trabajo2, “ L t ”. La dotación del stock de capital inicial, en t  0, es “ K 1 ”.

10. Información: Los agentes económicos efectúan sus decisiones de consumo “ C t ”, capital físico, “ K t ”, y trabajo, “ L t ” con la información disponible hasta el periodo “t”. 11. Se asumirá que el tamaño de la población es constante. 12. Se supone que el capital se deprecia a una tasa “δ”. 2

Debe notarse que en la función de producción de la empresa representativa, “ L t ”, representa empleo,

mientras que en la dotación de tiempo disponible de la familia representativa, “ L t ”, representa oferta de trabajo. No obstante, en el equilibrio competitivo del modelo ambas representaciones coinciden.

356

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13. Equilibrio competitivo: Se asume que existe un equilibrio competitivo en la economía y que éste es único. Un equilibrio competitivo es una sucesión óptima de  asignaciones de consumo, capital, y trabajo, C t , K t , L t  t  0 , y de precios (salarios, y

precios de alquiler del capital), Wt , R t  t  0 , de manera tal que la empresa y la familia representativas resuelven sus problemas de optimización, y los mercados de factores de producción y de bienes y servicios se vacían. Como ya se dijo, existe incertidumbre acerca de los valores futuros de “ Wt ” y de “ R t ”, pero se supone que la familia representativa conoce los procesos estocásticos que siguen estas variables (o, lo que es lo mismo, los procesos estocásticos que están detrás, es decir, los del factor de productividad “ A t ”). Esto es, la familia representativa conoce la distribución de probabilidad que genera a “ A t ”, así como también el valor actual de “ A t ”. 

Formulación matemática del modelo Tecnología Se asumirá que el proceso productivo se efectúa bajo una tecnología de producción tipo Cobb-Douglas3 (con rendimientos constantes a escala). En concreto: Yt  FK t 1 , L t , A t   A t K t 1L1t  ,

0   1

1

Donde “α” es la participación relativa del capital en la producción total, “ A t ” es el progreso tecnológico de la función de producción, que en este caso es un factor estocástico, que determina cuales son las perturbaciones tecnológicas que afectan a la función de producción. Asumiremos que el factor estocástico “ A t ” evoluciona de acuerdo a la siguiente ley exógena de movimiento4: A t  A1  At 1e t

2

ln At  1   ln A   ln At 1  t,

En términos logarítmicos, la ecuación (2) resulta:

0   1

3

Donde “ A ” es la tendencia tecnológica (el valor esperado de largo plazo de “ A t ”5), y “  t ” es una sucesión de variables aleatorias que representan las perturbaciones (shocks) tecnológicas reales, que serán el mecanismo de impulso del ciclo económico, y que tienen las siguientes propiedades estadísticas: E  t   0   E  t ,  s   

 2 , si t  s  0, si t  s

4

Siguiendo a Uhlig (1999), utilizamos el subíndice “ t  1 ” en lugar del usual subíndice “t” para el stock de capital en la función de producción. Con esta notación, la fecha de una variable se refiere al punto en el tiempo cuando ésta es verdaderamente elegida. Dicho de otro modo, se refiere a la información respecto a la cual una variable es medida. Es decir, se está suponiendo que para el proceso productivo que se efectúa en “t” hemos elegido el número de unidades necesarias de stock de capital en “t-1” (en el periodo anterior). 4 Se expresará “ A t ” como un proceso autoregresivo aditivo de primer orden, (AR1). Además, ya que “ A t ” forma parte de cómo se combinan “ K t 1 ” y “ L t ” para producir “ Yt ”, entonces tomaremos a “ A t ” como conocida en el periodo “t”. 5 Ya que Eln A t   ln A, entonces el “ ln A ” representa el valor esperado de largo plazo del “ ln A t ”. Por tanto, “ A ” es el valor esperado de largo plazo de “ A t ”. 3

357

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A la secuencia de variables estocásticas “  t ”, que se distribuyen independiente e

idénticamente a una distribución normal, con media nula, con varianza constante,  2 , y con covarianza nula (no está autocorrelada) se le denomina ruido blanco. El coeficiente de autocorrelación, “  ”, mide el grado de persistencia a lo largo del tiempo del efecto de una perturbación sobre el ln A t . Si   0, entonces el efecto es sólo temporal; mientras que si   0, hay algo de persistencia. Restricción de recursos de la economía: Supondremos que la identidad del gasto agregado, sin gasto gubernamental y sin exportaciones netas, viene dada por: Yt  Ct  I t

5

Esta ecuación, la restricción agregada de recursos, nos dice que todo lo que se produce en esta economía, en el periodo “t”, se asigna entre consumo e inversión. Por otro lado, la ecuación de movimiento del stock de capital viene dada por la siguiente expresión: I t  K t  1   K t 1  K t  K t 1

Inversión neta     I t  K t 1  K t  I t  1   K t 1

6

Donde “ I t ” es la inversión bruta efectuada en el periodo “t” (la diferencia entre el stock de capital en el periodo “t” y el stock de capital del periodo “ t  1 ” neto de la depreciación), y “ 0    1 ” es la tasa de depreciación del stock de capital. Sustituyendo (1) y (6) en (5) obtenemos una versión equivalente de la restricción agregada de recursos. Esto es: At Kt 1L1t  Ct  Kt  1  Kt 1  Ct  Kt  At Kt 1L1t  1  Kt 1

7

Demanda de los factores de producción Se ha asumido que la empresa representativa maximiza sus beneficios bajo competencia perfecta. Ya que no existen costos de instalación de capital convexos, el problema de la empresa representativa se reduce a maximizar estáticamente sus beneficios en cada periodo. Además, ya que se ha supuesto que en el periodo “t” la empresa representativa conoce la función de producción, “F”, y las realizaciones de “ A t ”, entonces ésta no encara incertidumbre. La empresa representativa compra el stock de capital y lo utiliza en el proceso de producción para producir el bien único. En el proceso productivo el capital se deprecia en “δ”. Después de la producción, efectuada en ‘t”, la empresa representativa necesita pagar a las familias “ R t K t 1 ” unidades del producto, y a ésta aún le quedan “ 1   K t 1 ” unidades de capital, de modo que necesita pagar “ R t    1 ” por unidad de capital. Este es el costo de utilizar el capital. El problema de maximización de la empresa representativa se muestra a continuación:



Max   Max At Kt 1L1t  R t    1K t 1  Wt  Lt

L t ,K t 1

L t ,K t 1

358



8

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Este problema implica que las funciones de demanda de los factores de producción satisfagan las siguientes condiciones de primer orden: 

K t 1

 1    R t  A t K t 11L1t   0  R t  A t K t 11L1t   1  

R t K t 1  Yt  1   K t 1  rt  R t  1  A t K t 11L1t      

Lt

 1  AtKt 1Lt   Wt  0  Wt  1  AtKt 1Lt   Wt L t  1   Yt

12

Yt K t 1

1  Yt Lt



9

10 11

La ecuaciones (9) y (10), de manera equivalente, representan la función de demanda del stock de capital. No obstante, la ecuación (10) nos dice que para maximizar sus beneficios, la empresa representativa iguala en cada periodo la productividad marginal del stock de capital, “ 

Yt K t 1

”, neta de su depreciación, “  ”, a la tasa de interés,

“ rt  R t  1 ”. Siendo “ R t ” los rendimientos del stock de capital.

La ecuaciones (11) y (12), de manera equivalente, representan la función de demanda del trabajo. No obstante, la ecuación (11) nos dice que para maximizar sus beneficios, la empresa representativa iguala en cada periodo la productividad marginal del trabajo, “ 1   Yt  L t ”, a su salario real, “ Wt ”. Mientras que la ecuación (12) nos dice que el pago de los salarios iguala a la participación relativa del trabajo en la producción total. Por tanto, para cada periodo “t”, los precios “ R t ”y “ Wt ” vienen dados por las ecuaciones (9) y (11). Preferencias Por simplicidad, se definen las preferencias, de la familia representativa, como sigue:  C1t 

    t     t  t 0 1  

  t  UC t ,  t     t   



t 0

t 0

 C1t     1  L t  1    

13

Donde (13) nos representa la suma de las utilidades descontadas de la familia representativa a lo largo de su vida (que se ha supuesto vive eternamente). Siendo 0    1, el factor de descuento intertemporal (una medida de impaciencia) de la familia representativa, y “  ” un parámetro de preferencias (mientras mayor sea el valor de “  ”, entonces la familia preferirá más al ocio, “  t ”, en relación al consumo, “ C t ”). En este caso se ha supuesto que la familia representativa obtiene utilidad del consumo y desutilidad en el trabajo (ya que pierde tiempo para destinar al ocio). En concreto, se ha asumido una función de utilidad, UCt,  t , que es separable entre consumo y ocio6. En concreto, UC t ,  t , es “isoelástica” en el consumo, “ Ct ”, y lineal en el ocio, “  t  1  Lt ”. 6

Suponer que la función de utilidad de la familia representativa es separable entre el consumo y el ocio, implica que la utilidad marginal del consumo no dependa del ocio y viceversa.

359

CIRO BAZÁN


Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt (la inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal) viene dado por: C t   



C t   2 UC t ,  t  C 2t

UC t ,  t  C t 







14

Para nuestra función de utilidad, podemos comprobar que: Ct   

Ct   Ct  1 Ct  1

15

Es decir, “  ” representa el coeficiente de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt (o equivalentemente la inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal). Aun cuando la forma funcional de la utilidad de la familia representativa podría no ser representativa de las preferencias sociales verdaderas. No obstante, nos permite endogeneizar la oferta de trabajo de manera relativamente sencilla. Asimismo, para la función de utilidad asumida, tenemos que:   UCt ,  t   Ct   0,  C t   UCt ,  t  0    t  2 C1t   UCt ,  t    t   Si UCt ,  t    Ct 1  0, 2 1  Ct   2   UCt ,  t   0   2t   UC ,   UC ,     2 UC ,    2 t t t t t t       C t  0      C C    t t t t   

16

La ecuación (16) nos dice que las utilidades marginales del consumo y del ocio son estrictamente positivas, que la utilidad marginal del consumo es estrictamente decreciente, y que la utilidad marginal del ocio es invariable a las variaciones del ocio. Asimismo, la última desigualdad que aparece en (16) nos dice que la función de utilidad es cóncava respecto al consumo y al ocio. Además, por conveniencia, se ha adoptado una función de utilidad tal que

 2 UC t ,  t  C t  t

 0, con lo cual se imposibilita la sustitución

entre el consumo y el ocio. El supuesto de utilidad marginal decreciente en el consumo implica que existe aversión a las variaciones del consumo a lo largo del tiempo. Mientras que el supuesto de utilidad marginal constante en el ocio implica que la familia representativa es neutral a las variaciones del ocio a lo largo del tiempo.

360

CIRO BAZÁN


Decisión bajo incertidumbre Dados “ A 0 ”, y el stock de capital inicial “ K 1 ”, la familia representativa tiene incertidumbre sobre los precios futuros “ Wt ” y “ R t ”. Por tanto, bajo un esquema de formación de expectativas racionales de “ Wt ” y “ R t ”, el problema de decisión de la familia representativa, desde el periodo “0”, es elegir el consumo y el trabajo actuales, “ C0  CK 1 , A0  ” y “ L0  LK 1 , A0  ”, así como una serie de planes de contingencia “ CK t 1 , A t  ” y “ LK t 1 , A t  ”, para t  1,2, , de modo que se maximice el valor esperado de la suma de las utilidades descontadas, condicionado a la información disponible al final del periodo “0”7, y sujeto a dos restricciones. En concreto, el problema que debe resolver la familia representativa viene dado por:    Max E 0    t  U C t ,  t   Max E 0    t C t ,  t , K t   t  0  C t ,  t , K t   t  0 s.a :

C t  K t  Wt  L t  R t  K t 1 ,  t  1  Lt ,

  C1t     t    1   

(17)

t  0,1,2, 

t  0,1,2, 

La primera restricción es una restricción presupuestaria dinámica que viene definida por la siguiente ecuación: Ct  Kt  Wt  Lt  R t  Kt 1

18

Donde:          

Es el precio bruto de alquiler del capital neto de depreciación en el periodo “t”. Es el consumo (variable de control) en el periodo “t”. Ct : Es el stock de capital (variable de estado) en el periodo “t” Kt : (los activos de la familia en el periodo “t”). Son las horas trabajadas en el periodo “t” (variable de Lt : control). Es el salario por hora trabajada en el periodo “t”. Wt : Es el stock de capital en el periodo anterior utilizado en el K t 1 : proceso productivo del periodo actual “t”. Wt  L t  R t  K t 1 : Es la renta de la familia representativa en el periodo “t”. Gasto en bienes de consumo y bienes de capital que efectúa Ct  K t : la familia en el periodo “t”. Es lo que recibe la familia por su trabajo (renta del trabajo) Wt  L t : en el periodo “t”. Es lo que recibe la familia por su capital (renta del capital) R t  K t 1 : en el periodo “t”. Rt :

Cuando hablamos del periodo “t”, hacemos referencia al intervalo t , t  1. La información disponible al final del periodo “t” incluye el conocimiento de todas las variables hasta el periodo “t”, incluyendo dicho periodo.

7

361

CIRO BAZÁN


La ecuación (18) representa la asignación de la rentas del capital y del trabajo hacia nuevo consumo y nuevas posesiones de capital en el periodo “t”. La segunda restricción, que es una restricción de tiempo disponible, a la que está sujeta la empresa representativa que maximiza (13) viene dada por:

19

Lt   t  1

Donde el tiempo del que dispone la familia representativa (normalizado a la unidad) se distribuye entre las horas trabajadas, “ L t ”, y el tiempo destinado al ocio, “  t ”. Sustituyendo la ecuación (19) en (17) resulta:

   Max E0  t  UCt ,  t   Max E0  t C t , t , K t  t 0  C t ,L t ,K t  t 0

 C1t    1  Lt  1     

s.a :

Ct  K t  Wt  Lt  R t  K t 1 t  0,1,2, 

20

De manera equivalente, el problema anterior se puede formular tal como se muestra a continuación:





  Max E0  t  UCt,  t   t  Wt  Lt  R t  K t 1  Ct  K t  C t ,L t ,K t , t  t 0 

Max £ 

C t ,L t ,K t , t 

21

Las condiciones de primer orden del problema, denominadas ecuaciones de Euler, que enfrenta la familia representativa vienen dadas por: £

Ct £

Lt

£

K t

£

t





 E t t  UC t  t  t  UC t  t  0  t  t  UC t  t  Ct  22





 E t  U t   t Wt  U t   t Wt  0  t  t

U  t t Wt



 t Wt

 E t t  t 1R t 1  t  E tt 1R t 1  0  t  E tt 1R t 1

 E tWt  Lt  R t  K t 1  Ct  K t   Wt  Lt  R t  K t 1  Ct  K t  0

23

24 25

La ecuación (22) nos dice que el multiplicador “  t ” representa la utilidad marginal del consumo descontada a valor presente. En la ecuación (24) aparece la esperanza matemática “ E t ”, ya que la información del periodo “t+1” aún no es conocida en el periodo “t”, cuando se escoge “ K t ”. Igualando (22) y (23) resulta:   UCt  t

U t t Wt



U t UCt



Wt 1



362



Ct 

 Wt  Ct  

 Wt

26

CIRO BAZÁN


A esta ecuación se le conoce con el nombre de condición de Euler “intratemporal” y nos indica que la familia representativa debe elegir su consumo de manera que el ratio de utilidades marginales, U t UCt , sea igual al ratio de precios Wt 1. Por otra parte, adelantando un periodo la ecuación (22) se obtiene: t 1  t 1UCt 1  t 1  t 1Ct 1












27

t UCt  Et t 1UCt 1R t 1  UCt   Et UCt 1R t 1  Ct    Et Ct 1R t 1



28

Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación de Euler “intertemporal” y nos dice como la familia asigna el consumo entre el periodo “t” y el periodo “t+1”. La familia representativa asigna el consumo entre el periodo “t” y el periodo “t+1” de la siguiente manera: 1. Descuenta a la tasa “β”: UCt 1  UCt . 2. El descuento se da en valores esperados ya que tenemos una variable aleatoria. 3. R t 1 es el precio del bien en el periodo “t” en términos del precio del bien en el periodo “t+1”. Remplazando (11) en (26) tenemos que la ecuación de Euler “intratemporal” se puede expresar tal como se muestra: Ct  



1  Yt Lt 

29

Condición de transversalidad: La condición de transversalidad, que se impone en el problema de optimización que enfrenta la familia representativa para evitar soluciones explosivas, viene dada por la siguiente expresión: lím E0tKt   0 30

t  

Sustituyendo (22) en (30) resulta:

 



lím E0 t UCt Kt  0 31

t  

Esta condición nos dice que el valor presente (esperado), en términos de utilidades, del capital (activos) en “t” debe ser nulo cuando “t” tienda a infinito. Rescribiendo la ecuación (24) resulta: t  E tt   E tt 1R t 1  t  t 1R t 1  t 1 

363

t R t 1

CIRO BAZÁN t 1 

t R t 1



TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA t 1

R t 1  R t



t 2

R t 1  R t  R t 1



t  t 1R t 1 

0

R t 1  R t  R t 1    R1

 Rs t

0

32



0

R t 1   R s t

s 1

s 1

Sustituyendo (32) en (30) tenemos que:          K     0 t  0 lím E0 K t   0 lím E0 t   t    t t       Rs     Rs     s 1    s 1

33

Por otro lado, si en la restricción presupuestaria del problema de optimización de la familia representativa, ecuación (20), remplazáramos “ K t ” por su riqueza financiera y le permitiéramos a la familia pedir prestado, de manera que la riqueza pudiese ser negativa. Entonces podría ocurrir que la familia representativa pudiese pedir prestado indefinidamente Kt  0 y refinanciar la deuda hasta el infinito. Para eliminar esta posibilidad, se tendría que introducir la siguiente condición, denominada condición de no permitir el juego de Ponzi, en términos esperados. Esto es:      K  t  0 lím E0  t    t    R s    s 1 

34

La condición de no admitir el juego de Ponzi estipula que, en términos de valor neto presente, el agente no debe tener un capital sobrante en el infinito o pedir prestado nada en el infinito. Comparando (34) con (33), podemos ver que la condición de no admitir el juego de Ponzi es en esencia nada más que la condición transversalidad del problema. Solución del modelo Aun cuando este modelo podríamos resolverlo desde la perspectiva centralizada de un planificador benevolente, en este documento lo resolveremos desde la perspectiva descentralizada de un equilibrio competitivo. No obstante, de los teoremas del bienestar8, la solución para el equilibrio competitivo produce la misma asignación que la solución del problema del planificador social benevolente. Equilibrio Competitivo Hasta este punto, hemos obtenido las condiciones que determinan el equilibrio competitivo de esta economía: 8

Los teoremas del bienestar nos dicen que: el equilibrio competitivo es Pareto óptimo, y que un equilibrio Pareto óptimo puede obtenerse como un equilibrio competitivo (tal vez reasignando dotaciones).

364

CIRO BAZÁN


 Mercado de trabajo: La demanda de trabajo por parte de la empresa representativa y la oferta de trabajo por parte de la familia representativa coinciden y las denotamos por “ L t ”.  Mercado de capital: La demanda de stock de capital por parte de la empresa representativa y la oferta de stock de capital por parte de la familia representativa coinciden y las denotamos por “ K t 1 ”.  Mercado de bienes: Lo que se produce o bien se consume o bien se invierte. Ver ecuación (7). Por la ley de Walras sólo necesitamos dos de estas tres condiciones para determinar el equilibrio competitivo de la economía. Un equilibrio competitivo de esta economía es una sucesión de asignaciones de Ct , K t , L t  t  0 , y de precios Wt , R t  t  0 , tal que: I. Dado el stock de capital inicial “ K 1 ”, “ Wt ” y “ R t ”, la familia representativa resuelve el problema de optimización dado por (20) teniendo en cuenta la condición de no permitir el juego de Ponzi, dada por (34).  II. Dados Wt, R tt 0, la empresa representativa resuelve el problema de optimización dado por (8), teniendo en cuenta (3). III. Los tres mercados arriba señalados se vacían. Ecuaciones De (29) tenemos que:

  1  Yt Lt Ct   1  At Kt 1LtCt  35

Adelantando la expresión (9) en un periodo tenemos: R t 1  At 1Kt 1L1t1  1  




36



  Ct    E t Ct 1 A t 1Kt 1L1t1  1     

37

Las ecuaciones (35) y (37) junto con las ecuaciones (3) y (7), conforman un sistema de ecuaciones en diferencias estocásticas no lineales en “ Ct ”, “ K t ”, y “ L t ”, que describe la dinámica de este modelo, y que se muestra a continuación:   1   A t K t 1Lt  C t         1 1  C t   E t C t 1 A t 1K t L t 1  1         1  C t  K t  A t K t 1L t  1   K t 1  ln A t  1    ln A   ln A t 1   t





365

38

CIRO BAZÁN


Esta economía es la versión descentralizada de la economía del modelo de Ramsey, por lo que sabemos que existe un estado estacionario, Aee, Kee, Yee, Cee, de la economía a donde ésta converge, situándose para ello en el subespacio estable. Linealización y estado estable del modelo En este punto vamos a linealizar el modelo para poder resolverlo. Además, para simplificar la resolución del modelo, vamos a suponer que “   0 ”. Con esto, el ocio, “  t  1  L t ” no aparece en la función de utilidad de la familia representativa (modelo básico neoclásico estocástico). Por tanto, bajo este nuevo supuesto, la familia representativa ofrece todo su tiempo disponible para la producción “ Lt  1   t  0 ”. Asimismo, separando el retorno del capital, “ R t ”, del producto “ Yt ”, el sistema (38) se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias:   1   Yt  AtK t 1Lt  AtK t 1    Ct    Et Ct 1 R t 1      Yt   1   R t   K t 1  C  K  Y  1  K t t t 1  t  ln At  1   ln A   ln At 1  t 

39

Las ecuaciones del sistema (39) en el estado estacionario9, y con ee  0, se transforman en: 1    Y Y ee ee  1 Y ee  A ee K ee    K1ee   A ee K ee  A ee    K ee K ee    1      Cee  E t Cee R ee  Cee  R ee Cee  1  R ee  R ee     Yee 1 Yee   1      R ee  1    R ee   K ee K ee   C  K  Y  1   K  C  Y  K ee ee ee ee ee ee  ee 0   ln A ee  1    ln A   ln A ee   ee  1    ln A ee  1    ln A  A ee  A   





40

Sustituyendo la segunda en la tercera ecuación, el sistema (40) se transforma en el siguiente sistema: 9

Recordar que para una ecuación en diferencias, su estado estacionario se caracteriza por: xee  x t 1  x t  x t 1  . Además, en el estado estacionario no hay nada estocástico.

366

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA   Y 1 Aee ee   K1ee    Kee   1  R ee     Y  1 1 ee    1     Kee   C Y  ee  ee   Kee Kee  Aee  A  

41

Se puede apreciar que dados los valores de “  ”, “  ”, “  ”, y “ A ” tenemos los valores de estado estacionario. Ahora vamos a linealizar alrededor del estado estacionario de cada una de las variables que aparecen en las ecuaciones del sistema (39) en términos de sus desviaciones porcentuales. Por ejemplo, para la variable “ x t ” tenemos que:  x t  x ee  x t  x ee 1  xˆ t  xˆ t   x ee

42

Además, si “  ” y “  ” son pequeños, entonces se cumple que “     0 ”. Por tanto, vamos a hacer uso de las siguientes aproximaciones: 1   1    1       1     1   ln 1      







 

43

 







De la primera ecuación de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta: ˆ K 1 K ˆ 1 K ˆ  A 1 A ˆ   A K 1  A ˆ  Yee 1  Y t ee t ee t 1 ee ee t t 1



    1  Yˆ   1  Aˆ  Kˆ 

ˆ 1  K ˆ  Y 1 A ˆ Yee 1  Y t ee t t 1 t

t

ˆ  K ˆ A ˆ Y t t t 1

 



t 1

44

 



De la última ecuación de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta: ˆ  1   ln A   ln A 1  A ˆ ln Aee 1  A t ee ee t 1  t

367

CIRO BAZÁN














ˆ  ln A   ln A   ln A   ln 1  A ˆ  ln Aee  ln 1  A t ee ee ee t 1 t















ˆ   ln 1  A ˆ  ln 1  A t t 1 t



ˆ  A ˆ  A t t 1 t



45



De la cuarta ecuación de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta:

ˆ  K 1 K ˆ  Y 1 Y ˆ  1  K 1  K ˆ Cee 1  C t ee t ee t ee t 1





ˆ K K K ˆ ˆ ˆ Cee  CeeC t ee ee t  Yee  YeeYt  1   Kee  KeeKt 1

ˆ K K K ˆ ˆ ˆ Cee  CeeC t ee ee t  Yee  YeeYt  Kee  Kee  1  KeeKt 1

Cee  Kee  CeeCˆ t  KeeKˆ t  Yee  YeeYˆ t  1  KeeKˆ t 1 ˆ K K ˆ ˆ ˆ Yee  CeeC t ee t  Yee  YeeYt  1  KeeKt 1 ˆ Y Y ˆ ˆ ˆ CeeC t ee t  1  KeeKt 1  KeeKt

K  K    ˆ   Yee Y ˆ  1   ee K ˆ   ee K ˆ C  t t t 1 C  t C  C   ee   ee   ee 









46

De la tercera ecuación de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta: ˆ Yee 1  Y t  1    R ee 1  Rˆ t   ˆ K ee 1  K t 1













ˆ 1 K ˆ Yee 1  Y t t 1 R ee 1  Rˆ t   K ee











1



 1   

ˆ 1 K ˆ Yee 1  Y t t 1  1    R ee 1  Rˆ t   K ee









ˆ K ˆ Yee 1  Y t t 1  1    R ee 1  Rˆ t   K ee







ˆ K ˆ ˆ K ˆ   Yee Yee Y Yee Y t t 1 t t 1  R ee   R ee  Rˆ t R ee    1      K ee K ee   K ee





ˆ K ˆ  1 Yee Y t t 1 Rˆ t R ee    Rˆ t   R K ee  ee

368



ˆ K ˆ  Yee Y t t 1   K ee 





CIRO BAZÁN






 



ˆ ˆ K Yee Y t t 1 Rˆ t   K ee

C 1  Cˆ 

47





De la segunda ecuación de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta:   E t  C ee 1  Cˆ t 1 



ee



t

 C ee 1  Cˆ t





1  Cˆ 

  C ee R ee E t  1  Cˆ t 1 





t



R ee 1  Rˆ t 1  





 E t  1  Cˆ t 1 



 1  Rˆ   

t 1

 1  Rˆ   

t 1

 

ˆ ˆ ˆ ˆ 1  Cˆ t  E t 1  C t 1 1  R t 1  E t 1  R t 1  C t 1











ˆ  1  E Rˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1  C t t t 1  C t 1  E t R t 1  C t 1  C t  0





ˆ ˆ ˆ Et R t 1   C t 1  C t

  0

48

Sustituyendo (44) en (46) y teniendo en cuenta (40) resulta:  ˆ   Yee C t C  ee

 ˆ   Yee C t C  ee





 K ee  ˆ  K ˆ  A t t 1  1    C   ee 

  ˆ   K ee A t  C   ee

 ˆ   Yee C t C  ee

 ˆ   Yee C t C  ee

 K ee  ˆ  K t 1  C   ee 

  Yee   K ee ˆ     1    K t 1   K C  ee    ee

  ˆ   K ee A t C   ee 

  ˆ  1  K ee A  t C   ee



 K ee  ˆ  R ee K t 1  C   ee 

  K ee ˆ K    t 1  C   ee





 ˆ K  t 

 ˆ K  t 

 ˆ K  t 

 ˆ K  t 

49

Sustituyendo (44) en (47) y teniendo en cuenta (40) resulta: ˆ  K ˆ K ˆ  Yee Yee A t t 1 t 1 Rˆ t     K K ee  ee





 ˆ    1K ˆ A t 1  t 





1  ˆ 1 ˆ    1K ˆ ˆ  1    A Rˆ t   R ee  1    A t t 1    t    1K t 1        



ˆ    1K ˆ Rˆ t  1  1   A t t 1

369



50



CIRO BAZÁN


El sistema de ecuaciones en diferencias linealizado a resolver es10: ˆ  A ˆ  A t t 1 t  E Rˆ   Cˆ  Cˆ  0 t 1 t  t t 1  K   Yee  1 K  ˆ ˆ   ee Kˆ   ee Kˆ Ct   A t 1 t C  t   Cee    ee   Cee   Rˆ t  1  1  A ˆ    1Kˆ t t 1 









51



Ley de movimiento del equilibrio recursivo vía el método de coeficientes indeterminados En este punto vamos a suponer que la elección de los agentes económicos es lineal y para esto asumiremos una ley de movimiento recursiva de la siguiente manera: ˆ ˆ ˆ K  t   K1 K t 1   K 2 A t  ˆ ˆ  A Cˆ t   C1 K t 1 C2 t

52

ˆ y Cˆ son variables de Donde K1 , K 2 , C1 , y C2 son coeficientes indeterminados, K t t ˆ ˆ control y K y A son las variables de estado. t 1

t





Adelantando un periodo la última ecuación de (51) tenemos: ˆ    1K ˆ Rˆ t 1  1  1   A t 1 t



 

53



Sustituyendo (53) en la segunda ecuación de (51) tenemos:

 ˆ    1K ˆ   Cˆ  Cˆ   0 Et 1  1   A t 1 t t 1 t   



Remplazando (52) en la tercera ecuación de (51) tenemos que:

54

 Yee  K  1 K  ˆ ˆ   ee K ˆ ˆ  A ˆ   ee   K ˆ  A  A C1 K t 1 C2 t  t t 1 K2 t C  C   C  K1 t 1   ee   ee   ee 

 Kˆ C1

t 1

 

 1 Y K  Kee  ˆ ˆ      ee K ˆ   ee   A  C 2 A t K t 1 K  t 1 2    C C C   ee  ee   ee

 55

ˆ ” respectivamente en ˆ ” y a “A Comparando los coeficientes que multiplican a “ K t 1 t ambos lados de la ecuación (55) resulta:  1  K ee  C1     K1     Cee  Yee K ee      K2  C2 Cee Cee 

10

56

No es necesario utilizar la ecuación (44) debido a que ya la hemos utilizado para deducir las ecuaciones (49) y (50).

370

CIRO BAZÁN


Adelantando un periodo la segunda ecuación de (52) tenemos:

57

ˆ  K ˆ ˆ C t 1 C1 t  C 2 A t 1 Sustituyendo (52) y (57) en (54) tenemos:



 

 

 ˆ  ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E t 1  1   A t 1    1K1 K t 1  K 2 A t    C1 K t  C 2 A t 1  C1 K t 1  C 2 A t    



  0  

1  1   Et Aˆ t 1    1EtK Kˆ t 1  K Aˆ t  Et C Kˆ t  C Aˆ t 1   C Kˆ t 1  C Aˆ t   0 

1

2



1

2

1

2

Remplazando (52) en la expresión anterior resulta:

1   1   EtAˆ t 1    1EtK Kˆ t 1  K Aˆ t   EtC K Kˆ t 1  K Aˆ t   C Aˆ t 1  C Kˆ t 1  C Aˆ t  0 

1



2

1

1

2

2

1

2

Recordando que las variables con subíndices “t” y “t-1” son conocidas. Por tanto, su esperanza matemática en “t” coincidirá con el valor de dichas variables. Entonces la expresión anterior queda:

1   1  E t Aˆ t 1   1  1    1 K Kˆ t 1   K Aˆ t   C  K Kˆ t 1   K Aˆ t 

  



1

2

1

1

2

  C2 E t Aˆ t 1    C1 Kˆ t 1   C2 Aˆ t  0

(58)

Por otra parte, adelantando un periodo a la primera ecuación de (51) tenemos:

59

ˆ  A ˆ  A t 1 t t 1

Aplicando esperanzas matemáticas a cada lado de la ecuación (59) resulta:

 

 

 

0  ˆ ˆ ˆ ˆ Et At 1  Et At  Et  t 1  Et A t 1  A t


1   1  Aˆ t  1  1    1 K Kˆ t 1   K





  C 2 Aˆ t    C1 Kˆ t 1   C 2 Aˆ t  0

1

371

2



60



Aˆ t   C1  K 1 Kˆ t 1   K 2 Aˆ t



CIRO BAZÁN




 

 1   1        1 K 2     1 C 2   C1  K 2 

 Aˆ  1  1    1  1    

t



K1

K1

0 Aˆ t  0 Kˆ t 1  0

ˆ C 1  K t 1  0 

ˆ ” respectivamente en las ˆ ” y a “A Comparando los coeficientes que multiplican a “ K t 1 t ecuaciones anteriores resulta:



   



 1   1        1 K 2     1 C 2   C1  K 2  0  1  1      1  1     0 K1 K1 C1 

Rescribiendo el sistema (61) tenemos:



  1   1      1  C1  K 2   1   1           1  1     1   C1   K 1   C1  0  

C2

  

C2

61

0

62

Por tanto, el sistema de ecuaciones que nos permitirá encontrar los coeficientes indeterminados K1 , K 2 , C1 , y C2 vendrá dado por las ecuaciones que aparecen en (56) y en (62). Esto es:   K ee 1  C1     K 1    C ee     Yee   K ee K2  C2 C ee C ee    1   1      1      1   1      C1  K 2       1  1     1        0 C1  K 1 C1    



C2

  

C2

0

63

Para encontrar los coeficientes indeterminados basta con hallar el valor de “ K1 ”. El ˆ ”. ˆ ” y “K coeficiente “  ” es el valor crucial que relaciona “ K K1

t

t 1

Sustituyendo la primera ecuación de (63) en la última ecuación de dicho sistema se obtiene:

  1 K 1  K ee   1  1    1    K1   K1    K1  ee  0   Cee   Cee    

372

CIRO BAZÁN


   1  K ee  K ee 2  K ee     K1  0   K1  1  1     1    1 C C  C    ee  ee ee    2K1

   1  1   1    1  1      1 K1   0 K ee        Cee   2K1   K1 

Donde:



1



1  1   1   K ee

0

64

1     1  0  

65

Cee Resolviendo (64) resulta:

 K1

   2  41     a   2  41   K1 2   2   2  41      K1b 2 

66a

66b

Nosotros queremos que en valor absoluto K1  1, de manera que el proceso autoregresivo de orden 1, (AR1), que gobierna al progreso tecnológico sea convergente. 1 Además, sabemos que K a  K b   1, entonces dado que deseamos que K1  1, 1 1  para que el producto de las dos raíces sea menor a la unidad, la mayor raíz tendrá que ser mayor a la unidad y la menor raíz deberá ser menor a la unidad, tal como queremos. Entonces, la menor raíz vendrá dada por la ecuación (66b). Calibración En esta sección vamos a calibrar (escoger valores para) los parámetros del modelo. En lugar de tratar de estimar los parámetros estructurales a través de técnicas econométricas. Por ejemplo, Prescott (1986) calibró su modelo escogiendo valores de los parámetros que fuesen consistentes con los promedios históricos de largo plazo y con la evidencia microeconómica. Nosotros vamos a utilizar los valores de los parámetros utilizados por Uhlig (1999) y Hansen (1985). En concreto:   0,36;   0,99;   0,99    0,025;   0,95; A  1

373

67

CIRO BAZÁN


Ahora vamos a determinar los valores de las variables en su estado estacionario remplazando en (41) los parámetros adoptados en (67). Esto es: 1 1   1,01 R ee    0,99  Y    ee  1  1  1     1  1  1  0,025  0,0975   K     0,36  0,99   ee Yee  Cee     0,0975  0,025  0,0725  K ee  K ee  A ee  A  1 1    Yee  1  K1ee   0,0975  K1ee 0,36  K ee  37,99 A ee     K ee  

Remplazando (68e) en (68b) y (68c) se obtiene:

 Yee  0,0975  Yee  0,0975 K ee  0,0975 37,99  3,704   K ee   Cee  0,0725  C  0,0725K  0,072537,99  2,754 ee ee K  ee

68a 

68b 

68c 

68d 

68e 

69a 

69b 

A continuación vamos a calcular “  ” y “ K1 ”. De (65) resulta: 

1  0,991  0,0251  0,36  1    1  2,0117 70 1 0,990,0725  0,99 

 K1a  1,04626 . La raíz que nos interesa  K1b  0,9654

Sustituyendo (70) en (66a) y (66b) obtenemos: 

es  K b  0,9654  1. Sustituyendo esta raíz, los parámetros de (67), y las ecuaciones 1

(68) y (69) en el sistema (63) obtenemos:   1  1  0,96540,0725  0,617  C1     0,99   Yee K ee  3,704     0,07251  K  1,345  13,793 K  K 2    C 2  2 2 Cee C ee  2,754     0,63307 K  0,0330125 0,0495 C  0 2 2  

Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por (71b) y (71c) se tiene que:  K 2  0,07569    C 2  0,3011

374

71c 

71d 

71a  71b 

71c 

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Análisis impulso respuesta utilizando excel En esta sección vamos a ver lo que ocurre con todas las variables del modelo luego que en el periodo t = 1 (primer trimestre) ocurre un shock tecnológico transitorio 1  0,01,  t  0 t  1, cuando partimos del estado estacionario. Éste es el denominado análisis impulso respuesta. En la tabla 1 se muestran los valores de los parámetros empleados para efectuar el análisis impulso respuesta del modelo de ciclos económicos reales básico. Condiciones iniciales A(0) Aee C(0) Cee K(0) Kee A(0) Aee Y(0) Yee R(0) Ree I(0) Iee

Valores de los Parametros 0.36 0.99 Ā 1 δ 0.025 ρ 0.95 σ 0.99 σν 0.0072

Estado estable Aee 1 Cee 2.754 Kee 37.99 Aee 1 Yee 3.704 Ree 1.01 Iee 0.94975

Tabla 1: Parámetros del modelo de ciclos económicos reales básico

En la tabla 2 se muestra el shock tecnológico en t = 1, 1  0,01, y la variación porcentual11 de las variables del modelo respecto de sus respectivos valores de estado estacionario (la variaciones porcentuales iniciales, en t = 0, de las variables son nulas ya que se ha supuesto que inicialmente la economía se haya en el estado estacionario). t 0 1 2 3 4 5 ⁞

νt 0 0.01 0 0 0 0 ⁞

(At-Aee)/Aee 0 0.01 0.0095 0.009025 0.00857375 0.008145063 ⁞

(Kt-Kee)/Kee 0 0.0007569 0.001449766 0.002082707 0.002659592 0.00318407 ⁞

(Ct-Cee)/cee 0 0.003011 0.003327457 0.003611933 0.003866586 0.004093447 ⁞

(Yt-Yee)/Yee 0 0.01 0.009772484 0.009546916 0.009323524 0.009102516 ⁞

(It-Iee)/Iee 0 0.030276 0.02847155 0.02676738 0.025158126 0.023638708 ⁞

(Wt-Wee)/Wee 0 0.01 0.009775006 0.009551382 0.009329449 0.009109494 ⁞

Rt-Ree 0 0.000350975 0.000316424 0.00028419 0.000254135 0.000226131 ⁞

Tabla 2: Análisis impulso respuesta del modelo de ciclos económicos reales básico En la tabla 3 se aprecian las diferentes ecuaciones utilizadas en la tabla 2 para efectuar el análisis impulso respuesta del modelo de ciclo económico real básico. Variables R ee , A ee , y K ee Yee , y C ee I ee ˆ A t ˆ K

t

Cˆ t ˆ Y t Î t ˆ W

t

ˆ *R R t ee

Ecuación utilizada (68a), (68d), y (68e) K ee  1  K ee  K ee

(69a), y (69b)

ˆ   , t  1 De (45): A t 1 t

ˆ , t  1 ˆ  0,07569A De (52) y (71): 0,9654K t 1 t ˆ ˆ De (52) y (71): 0,617K  0,3011A , t  1 t 1

ˆ  K ˆ , t  1 De (44): A t t 1 ˆ , t  1 ˆ De (6) y por (42): 1 K t  1   K t 1



t



ˆ  K ˆ ˆ De (11), con L t  1 y por (42): A t t 1  Yt , t  1

ˆ    1K ˆ * R , t  1 De (50): 1  1   A t t 1 ee

Tabla 3: Ecuaciones utilizadas en el análisis impulso respuesta A excepción de “ R t ”, para la que únicamente se ha calculado su desviación respecto de su valor de estado estacionario. Esto es: “ R t  R ee ”.

11

375

CIRO BAZÁN


En las siguientes figuras se muestran las diversas respuestas de las variables del modelo básico de ciclos económicos reales a lo largo de 25 años (medidos en trimestres), cuyos valores inicialmente coincidían con sus valores de estado estacionario, ante un impulso transitorio puramente tecnológico, sin eliminarles todavía su tendencia de largo plazo (por ejemplo utilizando el filtro de Hodrick-Prescott: HPF).

Figura 1: Variación porcentual de la productividad, del stock de capital y del consumo

Figura 2: Variación porcentual de la produción, de la inversión y del salario

376

CIRO BAZÁN


Figura 3: Variación del retorno del capital respecto a su valor de estado estacionario A continuación vamos a eliminar la tendencia de largo plazo de cada una de las series de datos antes obtenidas utilizando el filtro de Hodrick-Prescott (HPF). Para ello, vamos a utilizar un complemento para Excel desarrollado por Kurt Annen (http://www.webreg.de/hp_addin.html) que permite filtrar series de tiempo con el HPF. Tras aplicar el HPF a las series de datos trimestrales obtenidas artificialmente con el modelo RBC (para 25 años) se han obtenido sus tendencias de largo plazo, restando a cada serie sus tendencias se han obtenido las componentes cíclicas de cada una de las series de datos correspondientes a las variables aquí analizadas. En las siguientes figuras se muestran las componentes cíclicas de las diversas respuestas de las variables del modelo básico de ciclos económicos reales a lo largo de 25 años (medidos en trimestres), cuyos valores inicialmente coincidían con sus valores de estado estacionario, ante un impulso transitorio puramente tecnológico, habiéndoseles eliminado su tendencia de largo plazo con el HPF.

Figura 4: Variación porcentual de la productividad, del stock de capital y del consumo 377

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Figura 5: Variación porcentual de la produción, la inversión y del salario

Figura 6: Variación del retorno del capital respecto a su valor de estado estacionario

378

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Simulación del modelo utilizando Excel Para efectuar la simulación del modelo de ciclo económico real básico se utilizarán los mismos valores de los parámetros que figuran en la tabla 112. Además, para realizar la simulación, se hará uso de las mismas ecuaciones utilizadas en la tabla 3. No obstante, la única y sustancial diferencia radica en que los valores de la columna de la sucesión de variables aleatorias que representan las perturbaciones tecnológicas reales, “  t ”, que aparecían en la segunda columna de la izquierda de la tabla 2, se calcularán hallando la inversa de la distribución de probabilidades acumulativas de dichas variables aleatorias, que se ha supuesto tienen una distribución normal con media cero y con desviación estándar igual a   0,0072. En la tabla 4 se aprecia la fórmula utilizada para determinar “  t ”. 1

A

2

B

C

Valores de los Parámetros

D

…

Estado estable

3

α

0,36

Aee

1

4

β

0,99

Cee

2,754

5

Ā

1

Kee

37,99

6

δ

0,025

Zee

1

7

ρ

0,95

Yee

3,704

8

σ

0,99

Ree

1,01

9

σν

0,0072

Iee

0,94975

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

17

t

νt

(At-Aee)/Aee

(Kt-Kee)/Kee

18

0

0

0

19

1

2,4399E-06

1,84676E-07

20

2

0 =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),0,$B$9^2)= 1,0487E-05 =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),0,$B$9^2)= 2,85698E-05

3,22976E-05

2,62289E-06

⁞

⁞

⁞

⁞

318

300

-4,44907E-05

-0,00032504

⁞ =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),0,$B$9^2)= 9,5616E-05

⁞ …

⁞

Tabla 4: simulación del modelo de ciclos económicos reales básico En las siguientes figuras se muestra una realización de unos 25 años de historia de datos (artificiales) trimestrales de la economía simulada a partir del modelo de ciclos económicos reales básico. A estas series aún no se les ha eliminado su tendencia de largo plazo (por ejemplo, con el HPF).

12

Hemos utilizado como valor de la desviación estándar de “  t ” el valor que adoptaron King y Rebelo

(1999). En concreto, se ha asumido que   0,0072.

379

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Figura 7: Variación porcentual de la productividad

Figura 8: Variación porcentual del stock de capital

Figura 9: Variación porcentual del consumo 380

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Figura 10: Variación porcentual de la producción

Figura 11: Variación porcentual de la inversión

Figura 12: Variación porcentual del salario real

381

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Figura 13: Variación del retorno del capital respecto de su valor de estado estacionario A continuación, en la tabla 5, se muestran las propiedades de segundo orden [las desviaciones estándar de las series de Yˆ t , Cˆ t , Î t , Wˆ t , R~ t , y de Aˆ t ; las desviaciones típicas de las series de Cˆ t , Î t , Wˆ t , R~ t , y de Aˆ t relativas a la desviación estándar de Yˆ t ; las auto correlaciones de primer orden de todas las variables (correlación entre las series de una misma variable desfasadas un periodo); y la correlación contemporánea de todas las variables con Yˆ t ] de la realización de unos 25 años de series13 de datos trimestrales de la economía simulada a partir del modelo básico de ciclos reales (figuras 7-13). En la tabla 6, se muestran las fórmulas utilizadas en Excel (basadas en las celdas de la tabla 4) para determinar los valores mostrados en la tabla 5. Finalmente, en la figura 11 se muestra la pantalla en Excel del modelo simulado. Variables

Xˆ 

ˆ  Y  Y  Y Y t t ee ee t

ˆ  C  C  C C t t ee ee Iˆ t  I t  I ee  I ee

ˆ  W  W  W W t t ee ee ~ R t  R t  R ee ˆ  A  A  A A t t ee ee

s.d.

r.s.d.

f.o.a.

c.c.w.o.

0,000107 0,000072 0,000247 0,000107 0,000003 0,000087

1 0,671468 2,304866 1,000000 0,024503 0,811084

0,893647 0,979708 0,811277 0,893647 0,765383 0,835115

1 0,901625 0,930945 1,000000 0,575344 0,967349

Tabla 5: Propiedades de segundo orden de una realización de las series de la economía simulada con el modelo básico de ciclos económicos reales s.d.: standard deviation (Desviación estándar) r.s.d.: relative standard deviation (Desviación estándar relativa a Yˆ t ) f.o.a.: first-order autocorrelation (Autocorrelación de primer orden: corrXˆ t

ˆ X t 1



c.c.w.o.: contemporaneous correlation with output (Correlación contemporánea con Yˆ t : 13



ˆ Y ˆ corr X t t



A estas series aún no se les ha eliminado su tendencia de largo plazo (por ejemplo, con el filtro de Hodrick-Prescott: HPF).

382

CIRO BAZÁN Variables(Xt)

ˆ Y t ˆC

t

Iˆ t ˆ W t ~ Rt ˆ A t


s.d.

r.s.d.

f.o.a.

c.c.w.o.

=DESVEST($F$18:$F$1017)

=1

=COEF.DE.CORREL($F$18:$F$1016,$F$19:$F$1017)

=1

=DESVEST($E$18:$E$1017)

=$I$3/$I$2

=COEF.DE.CORREL($E$18:$E$1016,$E$19:$E$1017)

=COEF.DE.CORREL($F$18:$F$1017,$E$18:$E$1017)

=DESVEST($E$18:$E$1017)

=$I$4/$I$2

=COEF.DE.CORREL($G$18:$G$1016,$G$19:$G$1017)

=COEF.DE.CORREL($F$18:$F$1017,$G$18:$G$1017)

=DESVEST($E$18:$E$1017)

=$I$5/$I$2

=COEF.DE.CORREL($H$18:$H$1016,$H$19:$H$1017)

=COEF.DE.CORREL($F$18:$F$1017,$H$18:$H$1017)

=DESVEST($E$18:$E$1017)

=$I$6/$I$2

=COEF.DE.CORREL($I$18:$I$1016,$I$19:$I$1017)

=COEF.DE.CORREL($F$18:$F$1017,$I$18:$I$1017)

=DESVEST($E$18:$E$1017)

=$I$7/$I$2

=COEF.DE.CORREL($C$18:$C$1016,$C$19:$C$1017)

=COEF.DE.CORREL($F$18:$F$1017,$C$18:$C$1017)

Tabla 6: Fórmulas utilizadas para hallar los valores de la tabla 5

Figura 11: Simulación en excel del modelo de ciclos económicos reales básico Ahora, utilizando el HPF, vamos a eliminar la tendencia de largo plazo de la realización de las series de datos antes simuladas (esto es, vamos a obtener las componentes cíclicas de las series mostradas en las figuras 4-13). Para ello, al igual que para el caso de las funciones impulso-respuesta, vamos a utilizar el complemento para Excel desarrollado por Kurt Annen (http://www.web-reg.de/hp_addin.html). En las siguientes figuras se muestran las componentes cíclicas de una realización de unos 25 años de historia de datos (artificiales) trimestrales de la economía simulada a partir del modelo de ciclos económicos reales básico. A la realización de estas series artificiales se les ha eliminado su tendencia de largo plazo con el HPF.

383

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Figura 14: Variación porcentual de la productividad

Figura 15: Variación porcentual del stock de capital

Figura 16: Variación porcentual del consumo

384

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Figura 17: Variación porcentual de la producción

Figura 18: Variación porcentual de la inversión

Figura 19: Variación porcentual del salario real 385

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Figura 20: Variación del retorno del capital respecto de su valor de estado estacionario A continuación, en la tabla 7, se muestran las propiedades de segundo orden [las desviaciones estándar de las series de Yˆ t , Cˆ t , Î t , Wˆ t , R~ t , y de Aˆ t ; las desviaciones típicas de las series de Cˆ t , Î t , Wˆ t , R~ t , y de Aˆ t relativas a la desviación estándar de Yˆ t ; las auto correlaciones de primer orden de todas las variables (correlación entre las series de una misma variable desfasadas un periodo); y la correlación contemporánea de todas las variables con Yˆ t ] de la realización de unos 25 años de series14 de datos trimestrales de la economía simulada a partir del modelo básico de ciclos reales (figuras 14-20). Variables

Xˆ 

ˆ  Y  Y  Y Y t t ee ee t

ˆ  C  C  C C t t ee ee Iˆ t  I t  I ee  I ee

ˆ  W  W  W W t t ee ee ~ R t  R t  R ee ˆ  A  A  A A t t ee ee

s.d.

r.s.d.

f.o.a.

c.c.w.o.

0,000063 0,000020 0,000193 0,000063 0,000002 0,000064

1 0,322329 3,038378 1,000000 0,035767 1,001575

0,692018 0,749711 0,684801 0,692018 0,683077 0,686158

1 0,940421 0,994521 1,000000 0,977388 0,996996

Tabla 7: Propiedades de segundo orden de una realización de las series filtradas de la economía simulada con el modelo básico de ciclos económicos reales

14

A estas series aún ya se les ha eliminado su tendencia de largo plazo con el filtro de Hodrick-Prescott: HPF.

386

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Conclusiones: En este documento se ha efectuado un análisis impulso-respuesta de la solución del modelo básico de ciclos económicos reales eliminando la tendencia de largo plazo de las series de datos trimestrales analizados con el filtro de Hodrick-Prescott. Asimismo, se ha efectuado la simulación numérica, en Microsoft Excel, del modelo básico de Ciclos Económicos Reales ante una perturbación tecnológica aleatoria, obteniendo tras la perturbación los momentos de segundo orden de una realización de las series filtradas de datos trimestrales de la economía simulada. Finalmente, es importante resaltar que para determinar las propiedades de segundo orden del modelo aquí simulado, sería necesario efectuar al menos 100 simulaciones aleatorias (similares a la simulación aquí realizada) de las series de datos trimestrales correspondientes a las variables que aparecen en la tabla 5, tras extraerles sus tendencias de largo plazo (por ejemplo con el filtro de Hodrick-Prescott), de manera que podamos completar las cuatro columnas de dicha tabla con los valores medios (acompañados de sus desviaciones estándar entre paréntesis) de los momentos de segundo orden de cada variable. Por último, quedaría pendiente comparar los momentos de segundo orden del modelo simulado con los momentos de segundo orden de series trimestrales (para un periodo de 100 trimestres: 25 años) de alguna economía real (por ejemplo, la economía estadounidense, tal como lo ha efectuado Hansen, 1985).

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Bibliografía Hartley, J.; Hoover, K.; and Salyer, K. (1998): “A User’s Guide to Solving Real Business Cycle Models”, In Hartley, J., Hoover, K. and Salyer, K. (Eds.), Real Business Cycles: A Reader. New York: Routledge Press. Hansen, G. (1985): “Indivisible Labor and the Business Cycle”, Journal of Monetary Economics. Vol. 16, pp. 309-327. Hokari, T.; Masaki, L.; Murakoshi, S.; and Onuma, Y. (2007): “Simulating a Simple Real Business Cycle Model using Excel”, Computers in Higher Education Economics Review. Vol. 19 (1), pp. 16-20. King, R.; and Rebelo, S. (1999): “Resuscitating Real Business Cycles”, In Handbook of Macroeconomics, Volume 1B, by J.B. Taylor and M. Woodford (Eds). Elsevier, pp. 927–1007. Prescott, E. (1986): “Theory Ahead of Business Cycle Measurement”, CarnegieRochester Conference Series on Public Policy. Vol. 25, pp. 11-44. Uhlig, H. (1999): “A Toolkit for Analyzing Nonlinear Dynamic Stochastic Models Easily”, in Computational Methods for the Study of Dynamic Economies, ed. By Marimon, and Scott, pp. 30-61. Oxford University Press.

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Ciro Eduardo Bazán Navarro Doctor y Master en Economía por la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (ULPGC) – España. Ingeniero Mecánico – Eléctrico por la Universidad de Piura (UDEP) – Perú. Su línea de investigación se centra en el Análisis Económico de los Mercados Eléctricos y cuenta con diversas publicaciones en esta línea. Ha presentado trabajos de investigación, tanto de forma presencial como en formato poster, en congresos internacionales organizados por prestigiosas instituciones: Regulatory Policy Institute (University of Oxford), Centre for Competition & Regulatory Policy (City University London), Research Group in Economics of Infraestructure & Transport (ULPGC), Universidad de Barcelona (UB), Universidad de La Rioja (UR), Universidad de Vigo (UV), Latin American and Caribbean Environmental Economics Program (LACEEP). Ha recibido becas de reconocidas instituciones nacionales e internacionales que le han permitido efectuar cursos de especialización en Análisis Económico (BCRP), y en Reestructuración Gubernamental (Real Colegio Complutense Harvard University); Defensa y Promoción de la Competencia (ULPGC); Regulación de la Energía (UB); y en Temas Actuales en Economía del Medioambiente y del Desarrollo (LACEEP). Ha realizado Estancia de Investigación (Economic Analysis of Wholesale Electricity Markets) en el Departamento de Análisis Económico Aplicado (DAEA) de la ULPGC gracias al auspicio del Programa de Becas Robert S. McNamara del World Bank Institute, 2008 – 2009. Cuenta con 15 años de experiencia docente a nivel superior (pre y post grado). Ha realizado labores docentes y de investigación en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UDEP, 1999 – 2007. Adscrito a la Escuela de Economía de la USAT, desde 2007, donde imparte diversas asignaturas de corte cuantitativo (Estadística Matemática, Optimización y Sistemas Dinámicos aplicados a la economía, Crecimiento Económico, Macroeconomía Dinámica, entre otras). Ha sido Director de Investigación de la USAT, 2010 – 2011. Actualmente, es Director del Departamento Académico de Ciencias Empresariales de la USAT.

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Bazan, Ciro - Tópicos de Macroeconomía.pdf

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