Bai Tap+Bai Giai Xac Suat Thong K

NGUYỄN VĂN THÌN

BÀI TẬP

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

9/2011

Mc lc I BÀI TP

4

1 Tp hp hp - Gii Gii tíc tích h t hp hp

1

1.1 1.1 Tp hp hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 Gii Gii tích tích t hp hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bin Bin c c và và xác xác su sutt

1 2 5

2.1 2.1 Bin in c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 2.2 Xác Xác sut sut c đin đin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.3 Xác Xác sut sut hình hình hc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

2.4 Các công thc tính tính xác xác sut sut cơ bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Công Công thc xác xác sut sut đy đy đ, công công thc thc Baye Bayess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 11

3 Bin ngu ngu nhiê nhiên n và và hàm phân phân phi phi

14

4 Mt s s phân phân ph phii xác sut sut thông thông dng dng

23

4.1 Phân phi Bernoull Bernoulli,i, nh thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2 4.2 Phân Phân phi phi Pois Poisson son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 4.3 Phân Phân phi phi chun chun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 28

5 Lí thuy thuyt t mu mu

31

6 Ưc lưn lưngg tham tham s thn thngg kê

34

6.1 Ưc lưng lưng trung trung bình bình tng th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

6.2 6.2 Ưc lưn lưngg t l tng tng th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Mc lc I BÀI TP

4

1 Tp hp hp - Gii Gii tíc tích h t hp hp

1

1.1 1.1 Tp hp hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 Gii Gii tích tích t hp hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bin Bin c c và và xác xác su sutt

1 2 5

2.1 2.1 Bin in c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 2.2 Xác Xác sut sut c đin đin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.3 Xác Xác sut sut hình hình hc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

2.4 Các công thc tính tính xác xác sut sut cơ bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Công Công thc xác xác sut sut đy đy đ, công công thc thc Baye Bayess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 11

3 Bin ngu ngu nhiê nhiên n và và hàm phân phân phi phi

14

4 Mt s s phân phân ph phii xác sut sut thông thông dng dng

23

4.1 Phân phi Bernoull Bernoulli,i, nh thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2 4.2 Phân Phân phi phi Pois Poisson son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 4.3 Phân Phân phi phi chun chun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 28

5 Lí thuy thuyt t mu mu

31

6 Ưc lưn lưngg tham tham s thn thngg kê

34

6.1 Ưc lưng lưng trung trung bình bình tng th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

6.2 6.2 Ưc lưn lưngg t l tng tng th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

MC LC 6.3 6.3 Tng ng hp hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Kim Kim đnh gi gi thuy thuyt t thng thng kê kê

3 37 39

7.1 So sánh sánh kì vng vng vi vi mt mt s cho cho trưc trưc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 7.2 So sánh sánh hai kì vng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 42

7.3 7.3 So sán sánhh t l l vi vi mt mt s cho cho trưc trưc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 7.4 So sánh sánh hai t l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 45

II BÀI BÀI GII

46

Phn I

BÀI TP

Chương 1

Tp hp - Gii tích t hp 1.1 Tp hp Bài tp 1.1. Cho dãy tp hp A1 , A2 , . . . , An , . . .. Chng minh rng luôn luôn tn ti dãy tp hp B1 , B2 , . . . , Bn , . . ., sao cho:

(a) Các Bi tng đôi mt ri nhau; ∞ B. (b) ∞ i=1 Ai = k=1 k





Bài tp 1.2. Chng minh rng các h thc sau đây tương đương nu A và B là tp hp con ca Ω: A

∪ B = Ω, A ⊂ B, B ⊂ A.

Bài tp 1.3. Khng đnh cho rng nu A,B,C là tp hp con ca tp hp Ω sao cho A

⊂ B ∪ C và B ⊂ A ∪ C, thì B = ∅,

có đúng không? Bài tp 1.4. Chng minh rng nu A,B,C là các tp hp con ca tp hp Ω, sao cho A

∩ B ⊂ C và A ∪ C ⊂ B,

thì A ∩ C = ∅

Bài tp 1.5. Tìm biu thc đơn gin ca các biu thc sau:

(a) (A ∪ B)(A ∪ C ) (b) (A ∪ B)(A ∪ B); (c) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) (d) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B)

1.2 Gii tích t hp (e) (A ∪ B)(B ∪ C ) Bài tp 1.6. H thc nào trong các h thc sau đây đúng

(a) A ∪ B ∪ C = A ∪ (B \ AB) ∪ (C \ AC ) (b) A ∪ B = (A \ AB) ∪ B (c) (A ∪ B) \ A = B (d) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C ) (e) ABC = AB(C ∪ B) (f) AB ∪ BC ∪ CA ⊃ ABC (g) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊂ (A ∪ B ∪ C ) (h) ABC ⊂ A ∪ B (i) A ∪ BC = AC ∪ BC (j) A ∪ BC = C \ (C (A ∪ B)) Bài tp 1.7. Chng minh rng:

(a) A ∪ B ∪ A ∪ B = A (b) (A ∪ B)AB = AB ∪ BA Bài tp 1.8. Chng minh

(a) Nu A ∪ B = AB thì A = B (b) A ∪ BC ⊃ (A ∪ B)C (c) Nu A1 ⊂ A, B1 ⊂ B và A ∩ B = ∅ thì A1 ∩ B1 = ∅ 1.2 Gii tích t hp Bài tp 1.9. Mt lô hàng có 50 sn phm.

(a) Có bao nhiêu cách chn ngu nhiên cùng lúc 5 sn phm đ kim tra? (b) Có bao nhiêu cách chn ngu nhiên ln lưt 5 sn phm? Bài tp 1.10. Trong mt h thng đin thoi ni b 3 s

2

1.2 Gii tích t hp

3

(a) có bao nhiêu máy có các ch s khác nhau? (b) Có bao nhiêu máy có s 9  cui còn các ch s còn li đu khác nhau? Bài tp 1.11. Mt lp hc có 40 hc sinh gm 20 nam và 20 n. Có bao nhiêu cách chia đ trong mi na lp có 10 nam sinh và 10 n sinh? Bài tp 1.12. Nu mt ngưi có 6 đôi v khác nhau và 4 đôi giày khác nhau. Có bao nhiêu cách kt hp gia v và giày? Bài tp 1.13. Năm ngưi A, B, C, D, E s phát biu trong mt hi ngh. Có bao nhiêu cách sp xp đ:

(a) Ngưi B phát biu sau A. (b) Ngưi A phát biu xong thì đn lưt B. Bài tp 1.14. Có 6 hc sinh đưc sp xp ngi vào 6 ch đã ghi s th t trên mt bàn dài. Tìm s cách xp

(a) 6 hc sinh vào bàn. (b) 6 hc sinh này vào bàn sao cho 2 hc sinh A, B ngi cnh nhau. (c) 6 hc sinh này ngi vào bàn sao cho 2 hc sinh A, B không ngi cnh nhau. Bài tp 1.15. Mt lp có 40 hc sinh. Giáo viên ch nhim mun chn ra mt ban cán s lp: 1 lp trưng, 1 lp phó, 1 th qu. Hi giáo viên ch nhim có bao nhiêu cách chn ban cán s lp? Bài tp 1.16. Mt hp có 8 bi đ, 6 bi trng, 4 bi vàng. Ngưi ta chn ra 6 bi t hp đó. Hi có bao nhiêu cách chn nu:

(a) Không yêu cu gì thêm. (b) Phi có 2 bi đ, 2 bi trng, 2 bi vàng. (c) Có đúng 2 bi vàng. Bài tp 1.17. Mt đn cnh sát khu vc có 9 ngưi. Trong ngày cn c 3 ngưi làm nhim v  đa đim A, 2 ngưi  đa đim B còn 4 ngưi trc ti đn. Hi có bao nhiêu cách phân công? Bài tp 1.18. Mt t sn xut có 12 ngưi, trong đó có 4 n, cn chia thành 4 nhóm đu nhau. Hãy tìm s cách phân chia sao cho mi nhóm có 1 n? Bài tp 1.19. Xp 12 hành khách lên 4 toa tàu. Tìm s cách sp xp:

(a) Mi toa có 3 hành khách.

1.2 Gii tích t hp

4

(b) Mt toa có 6 hành khách, mt toa có 4 hành khách, 2 toa còn li mi toa có 1 hành khách. Bài tp 1.20. Gi s m,n,r là các s nguyên dương. Chng minh rng 0 1 1 C m C nr −m + C m C nr− −m +

r m

0 n m

· ·· + C C −

= C nr

Bài tp 1.21. Chng minh rng

(a) C n1 + 2C n2 + · ·· + nC nn = n2n−1 (b) 2.1.C n2 + 3.2.C n3 + ·· · + n(n − 1)C nn = n(n − 1)2n−2 Bài tp 1.22. Cho m,n,r là các s nguyên dương. Chng minh rng m

(a)

 − k=0

r+1 C nr −k = C n+1

r+1 n m

− C −

m

(b)

k=0

( 1)k C nk = ( 1)mC nm−1

−


    · ··  − C n0

2

+ C n1

2

+

n + (C nn)2 = C 2n


n

k=0

2n! n 2 = (C 2n ) 2 2 (k!) [(n k)!]

Chương 2

Bin c và xác sut 2.1 Bin c Bài tp 2.1. Khi nào thì có các đng thc sau:

(a) A + B = A (b) AB = A (c) A + B = AB Hai s kin A và A + B có xung khc không? Bài tp 2.2. Mt chic tàu thy gm mt bánh lái, 4 ni hơi, 2 tuc bin. Gi A, Bi (i = 1, . . . , 4), C j ( j = 1, 2) ln lưt là các s kin bánh lái hot đng tt, ni hơi th i hot đng tt, tuc bin th j hot đng tt. Bit rng tàu hot đng tt khi và ch khi bánh lái, ít nht 1 ni hơi và ít nht mt tuc bin đu hot đng tt. Gi D là s kin tàu hot đng tt. Hãy biu din D và D qua A, Bi , C j . Bài tp 2.3. Có 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiu Bi (i = 1, . . . , 4) là bin c sinh viên th i làm bài thi đt yêu cu. Hãy biu din các bin c sau đây:

(a) Có đúng mt sinh viên đt yêu cu. (b) Có đúng ba sinh viên đt yêu cu. (c) Có ít nht mt sinh viên đt yêu cu. (d) Không có sinh viên nào đt yêu cu. Bài tp 2.4. Xét phép th: Gieo mt xúc xc 2 ln. Mô t không gian bin c sơ cp ng vi phép th trên?

2.2 Xác sut c đin

6

Gi A: “Tng s nt chia ht cho 3”, B : “Tr tuyt đi ca hiu s nt là s chn”. Biu din A, B ? Bài tp 2.5. Cho A, B là hai bin c ngu nhiên đã bit. Tìm bin c X t h thc: X + A + X + A = B

Bài tp 2.6. Xét phép th: Bn không hn ch vào 1 bia cho đn khi trúng bia ln đu tiên thì dng. Biu din không gian bin c sơ cp ca bin c trên. Ch ra mt h đy đ các bin c. Bài tp 2.7. Gieo hai con xúc xc cân đi và đng cht. Gi Ai là bin c xy ra khi s nt  mt trên con xúc xc th nht là i(i = 1, . . . , 6), Bk bin c xy ra khi s nt  mt trên con xúc xc th hai là k(k = 1, . . . , 6).

(a) Hãy mô t các bin c A6 B6 , A3 B5 (b) Vit bng kí hiu các bin c:

• A: “hiu gia s nt  mt trên con xúc xc th nht và th hai có tr s tuyt đi •

bng ba”. B : “s nt  mt trên hai con xúc xc bng nhau”.

(c) Hãy ch ra mt nhóm đy đ các bin c. 2.2 Xác sut c đin Bài tp 2.8. Mt nhóm n ngưi xp ngu nhiên thành mt hàng dài.

(a) Tìm xác sut đ 2 ngưi đnh trưc đng cnh nhau. (b) Tìm xác sut đ 2 ngưi đó đng cách nhau 2 ngưi. (c) Tìm xác sut đ 2 ngưi đó đng cách nhau r ngưi (0 < r < n − 2). (d) Xét trưng hp khi h xp thành mt vòng tròn. Bài tp 2.9. Thang máy ca mt tòa nhà 7 tng, xut phát t tng mt vi 3 ngưi khách. Tính xác sut đ:

(a) Tt c cùng ra  tng bn. (b) Tt c cùng ra  mt tng. (c) Mi ngưi ra mt tng khác nhau.

2.3 Xác sut hình hc

7

Bài tp 2.10. Có n qu cu đưc phân ngu nhiên ln lưt vào n hp, mi hp có th cha nhiu qu cu. Khi phân bit hp và cu, tìm xác sut đ mi hp cha mt qu cu. Bài tp 2.11. Cho mt lô hàng gm n sn phm trong đó có m sn phm xu. Ly ngu nhiên t lô hàng đó k sn phm. Tìm xác sut sao cho trong s sn phm ly ra có đúng s sn phm xu (s < k). Bài tp 2.12. Ta gieo liên tip 4 ln mt đng tin cân đi đng cht. Tìm xác sut ca các bin c:

(a) A: “Có hai mt sp”. (b) B : “Có ba mt nga”. (c) C : “Có ít nht mt mt sp”. Bài tp 2.13. Mưi hai sn phm đưc sp ngu nhiên vào ba hp. Tìm xác sut đ hp th nht có cha ba sn phm. Bài tp 2.14. Gieo đng thi hai con xúc xc đng cht cân đi n ln liên tip.Tìm xác sut đ xut hin ít nht mt ln hai mt trên cùng có 6 nt. 2.3 Xác sut hình hc Bài tp 2.15. Mt thanh st thng đưc b thành ba khúc mt cách ngu nhiên. Tìm xác sut đ ba khúc đó to đưc thành mt tam giác. Bit rng thanh st dài l (đơn v dài.) Bài tp 2.16. (Bài toán Butffon) Trên mt phng có các đưng thng song song cách đu nhau 2a, gieo ngu nhiên mt cây kim có đ dài 2l (l < a). Tìm xác sut đ cây kim ct mt đưng thng nào đó. Bài tp 2.17. Trên đưng tròn bán kính R có mt đim A c đnh, chn ngu nhiên mt đim B . Tìm xác sut đ cung AB không quá R. Bài tp 2.18. Trên đon thng OA ta gieo mt cách ngu nhiên hai đim B, C có ta đ tương ng là OB = x,OC = y(y ≥ x). Tìm xác sut sao cho đ dài ca đon BC bé hơn đ dài ca đon OB . 2.4 Các công thc tính xác sut cơ bn Bài tp 2.19. Mt h thng đưc cu to bi 3 b phn đc lp nhau. H thng s hot đng nu ít nht 2 trong 3 b phn còn hot đng. Nu đ tin cy ca mi b phn là 0.95 thì đ tin cy ca h thng là bao nhiêu?

2.4 Các công thc tính xác sut cơ bn

8

Bài tp 2.20. Mt hp có 7 bi đ và 3 bi đen.

(a) Ly ngu nhiên 1 viên bi t hp ra đ kim tra. Tính xác sut nhn đưc bi đen. (b) Ly ngu nhiên ln lưt có hoàn li 2 bi. Tính xác sut đ ly đưc 2 bi đen. (c) Ly ngu nhiên ra 2 viên bi t hp. Tính xác sut đ ly đưc 2 bi đen. Bài tp 2.21. Cho P (A) = 13 , P (B) = 12 và P (A + B) = 34 . Tính P (AB), P (A.B), P (A + B), P (AB), P (AB). Bài tp 2.22. T l ngưi mc bnh tim trong mt vùng dân cư là 9%, mc bnh huyt áp là 12%, mc c hai bnh là 7%. Chn ngu nhiên mt ngưi trong vùng. Tính xác sut đ ngưi đó

(a) B bnh tim hay b bnh huyt áp. (b) Không b bnh tim cũng không b bnh huyt áp. (c) Không b bnh tim hay không b bnh huyt áp. (d) B bnh tim nhưng không b bnh huyt áp. (e) Không b bnh tim nhưng b bnh huyt áp. Bài tp 2.23. Bn quên mt s cui cùng trong s đin thoi cn gi (s đin thoi gm 6 ch s) và bn chn s cui cùng này mt cách ngu nhiên. Tính xác sut đ bn gi đúng s đin thoi này mà không phi th quá 3 ln. Nu bit s cui cùng là s l thì xác sut này là bao nhiêu ? Bài tp 2.24.

(a) Cho A, B là hai bin c đc lp. Chng minh rng A, B ; A, B và A, B đu là các cp bin c đc lp. (b) Cho A1 , A2 , . . . , An là n bin c đc lp. Chng minh rng A1 , A2 , . . . , An cũng là n bin c đc lp. T đó suy ra rng nu xét n bin c B1 , B2 , . . . , Bn vi Bi = Ai hoc Bi = Ai thì B1, B2, . . . , Bn cũng là n bin c đc lp. Bài tp 2.25. Mt đt x s phát hành N vé, trong đó có M vé có thưng. Mt ngưi mua r vé (r < N − M ). Tính xác sut đ ngưi đó có ít nht mt vé trúng thưng.

Bài tp 2.26. Mt ngưi có 3 con gà mái, 2 con gà trng nht chung mt lng. Mt ngưi đn mua, ngưi bán bt ngu nhiên ra mt con. Ngưi mua chp nhn mua con đó.

(a) Tìm xác sut đ ngưi đó mua đưc con gà mái. Ngưi th hai đn mua, ngưi bán li bt ngu nhiên ra mt con.


9

(b) Tìm xác sut ngưi th hai mua đưc gà trng, bit rng ngưi th nht mua đưc gà mái. (c) Xác sut trên bng bao nhiêu nu ngưi bán gà quên mt rng con gà bán cho ngưi th nht là gà trng hay gà mái? Bài tp 2.27. Có mt nhóm n sinh viên, mi ngưi có mt áo mưa ging ht nhau. Mt hôm tri mưa, c nhóm cùng đn lp và treo áo  mc áo. Lúc ra v vì vi vàng mi ngưi ly hú ha mt cái áo. Tính xác sut có ít nht mt sinh viên chn đúng áo ca mình. Bài tp 2.28. Mt ngưi vit n lá thư và b n lá thư này vào trong n phong bì đã vit sn đa ch. Tìm xác sut sao cho có ít nht mt lá thư đưc b đúng vào phong bì ca nó. Bài tp 2.29. Ba x th, mi ngưi bn mt viên đn vào mc tiêu vi xác sut trúng đích ca mi ngưi là 0.6; 0.7; 0.8. Tìm xác sut

(a) ch có ngưi th hai bn trúng. (b) có đúng mt ngưi bn trúng. (c) có ít nht mt ngưi bn trúng. (d) c ba ngưi đu bn trúng. (e) có đúng hai ngưi bn trúng. (f) có ít nht hai ngưi bn trúng. (g) có không quá hai ngưi bn trúng. = 0, P (B)  = 0. Bài tp 2.30. Cho hai bin c xung khc A và B , sao cho P (A)  Chng minh rng A và B ph thuc nhau.

Bài tp 2.31. Ba con nga a,b,c trong mt cuc đua nga. Nu xut hin bac có nghĩa là b đn đích trưc, sau đó là a và v cui là c. Khi đó tp hp tt c các kh năng xut hin là Ω = abc, acb, bac, bca, cab, cba .

{

}

Gi s rng P [{abc}] = P [{acb}] = 1/18 và bn kh năng còn li đu có xác sut xy ra là 2/9. Hơn na, ta đnh nghĩa các bin c A = "a đn đích trưc b" và B = "a đn đích trưc c"

(a) Hai bin c A và B có to thành mt h đy đ ca Ω? (b) Hai bin c A và B có đc lp nhau? Bài tp 2.32. Có tn ti hai bin c xung khc và đc lp không?


10

Bài tp 2.33. Mt máy tính đin t gm có n b phn. Xác sut hng trong khong thi gian T ca b phn th k bng pk (k = 1, 2, . . . , n). Nu dù ch mt b phn b hng thì máy tính ngng làm vic. Tìm xác sut đ máy tính ngng làm vic trong khong thi gian T . Bài tp 2.34. Chng minh rng nu P (A B) > P (A), thì P (B A) > P (B)

|

|

Bài tp 2.35. Gi s P (AB) = 1/4, P (A|B) = 1/8 và P (B) = 1/2. Tính P (A). Bài tp 2.36. Bit rng ta đã nhn đưc ít nht mt mt nga trong 3 ln tung đng xu đc lp. Hi xác sut đt đưc c 3 mt nga là bao nhiêu? Bài tp 2.37. Tung mt con xúc sc hai ln đc lp nhau. Bit rng ln tung th nht đưc s nt chn. Tính xác sut tng s nt hai ln tung bng 4. Bài tp 2.38. Gi s P (A) = P (B) = 1/4 và P (A|B) = P (B). Tính P (AB). Bài tp 2.39. Bn liên tip vào mt mc tiêu cho đn khi có mt viên đn đu tiên rơi vào mc tiêu thì ngng bn. Tìm xác sut sao cho phi bn đn viên th 6, bit rng xác sut trúng đích ca mi viên đn là 0.2 và các ln bn là đc lp. Bài tp 2.40. Gi s các bin c A1, . . . , An đc lp có xác sut tương ng P (Ak ) = pk (k = 1, . . . , n). Tìm xác sut sao cho:

(a) không mt bin c nào trong các bin c đó xut hin. (b) có ít nht mt bin c trong các bin c đó xut hin. T đó suy ra công thc khai trin tích n

− (1

pk )

k=1

Bài tp 2.41. Có ba tiêu chí ph bin cho vic chn mua mt chic xe hơi mi nào đó là A: hp s t đng, B : đng cơ V6, và C : điu hòa nhit đ. Da trên d liu bán hàng trưc đây, ta có th gi s rng P (A) = 0.7, P (B) = 0.75, P (C ) = 0.80, P (A + B) = 0.80, P (A + C ) = 0.85, P (B + C ) = 0.90 và P (A + B + C ) = 0.95, vi P (A) là xác sut ngưi mua bt kì chn tiêu chí A, v.v. . . . Tính xác sut ca các bin c sau:

(a) ngưi mua chn ít nht mt trong 3 tiêu chí. (b) ngưi mua không chn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên. (c) ngưi mua ch chn tiêu chí điu hòa nhit đ. (d) ngưi mua chn chính xác mt trong 3 tiêu chí.

2.5 Công thc xác sut đy đ, công thc Bayes

11

2.5 Công thc xác sut đy đ, công thc Bayes Bài tp 2.42. Gi s P (B |A1) = 1/2, P (B |A2 ) = 1/4 vi A1 và A2 là hai bin c đng kh năng và to thành mt h đy đ các bin c. Tính P (A1 |B).

Bài tp 2.43. Mt hp đng 10 phiu trong đó có 2 phiu trúng thưng. Có 10 ngưi ln lưt rút thăm. Tính xác sut nhn đưc phn thưng ca mi ngưi. Bài tp 2.44. Có hai hp đng bi. Hp 1 đng 20 bi trong đó có 5 bi đ và 15 bi trng. Hp 2 đng 15 bi trong đó có 6 bi đ và 9 bi trng. Ly mt bi  hp 1 b vào hp 2 , trn đu ri ly ra mt bi. Tính xác sut nhn đưc bi đ? bi trng? Bài tp 2.45. Trong mt vùng dân cư, c 100 ngưi thì có 30 ngưi hút thuc lá. Bit t l ngưi b viêm hng trong s ngưi hút thuc lá là 60%, trong s ngưi không hút thuc lá là 30%. Khám ngu nhiên mt ngưi và thy ngưi đó b viêm hng.

(a) Tìm xác sut đ ngưi đó hút thuc lá. (b) Nu ngưi đó không b viêm hng thì xác sut đ ngưi đó hút thuc lá là bao nhiêu. Bài tp 2.46. Mt trung tâm chn đoán bnh dùng mt phép kim đnh T . Xác sut đ mt ngưi đn trung tâm mà có bnh là 0.8. Xác sut đ ngưi khám có bnh khi phép kim đnh dương tính là 0.9 và xác sut đ ngưi khám không có bnh khi phép kim đnh âm tính là 0.5. Tính các xác sut

(a) phép kim đnh là dương tính. (b) phép kim đnh cho kt qu đúng. Bài tp 2.47. Mt cp tr sinh đôi có th do cùng mt trng (sinh đôi tht) hay do hai trng khác nhau sinh ra (sinh đôi gi). Các cp sinh đôi tht luôn luôn có cùng gii tính. Các cp sinh đôi gi thì gii tính ca mi đa đc lp vi nhau và có xác sut là 0.5. Thng kê cho thy 34% cp sinh đôi là trai; 30% cp sinh đôi là gái và 36% cp sinh đôi có gii tính khác nhau.

(a) Tính t l cp sinh đôi tht. (b) Tìm t l cp sinh đôi tht trong s các cp sinh đôi có cùng gii tính. Bài tp 2.48. Có 10 hp bi, trong đó có 4 hp loi I, 3 hp loi II, còn li là hp loi III. Hp loi I có 3 bi trng và 5 đ, hp loi II có 4 bi trng và 6 bi đ, hp loi III có 2 bi trng và 2 bi đ.

(a) Chn ngu nhiên mt hp và t đó ly hú ha 1 bi. Tìm xác sut đ đưc bi đ. (b) Chn ngu nhiên mt hp và t đó ly 1 bi thì đưc bi trng. Tìm xác sut đ bi ly ra thuc loi II.


12

Bài tp 2.49. Có hai lô sn phm, lô th nht có 10 sn phm loi I và 2 sn phm loi II. Lô th hai có 16 sn phm loi I và 4 sn phm loi II. T mi lô ta ly ngu nhiên mt sn phm. Sau đó, t 2 sn phm thu đưc ly hú ha ra mt sn phm. Tìm xác sut đ sn phm ly ra sau cùng là sn phm loi I. Bài tp 2.50. Có 2 lô gà. Lô th nht gm 15 con, trong đó có 3 con gà trng. Lô th hai gm 20 con, trong đó có 4 gà trng. Mt con t lô th hai nhy sang lô th nht. Sau đó t lô th nht ta bt ngu nhiên ra mt con. Tìm xác sut đ con gà bt ra là gà trng. Bài tp 2.51. Ba máy t đng sn xut cùng mt loi chi tit, trong đó máy I sn xut 25%, máy II sn xut 30% và máy III sn xut 45% tng sn lưng. T l ph phm ca các máy ln lưt là 0.1%;0.2%;0.4%. Tìm xác sut đ khi chn ngu nhiên ra 1 sn phm t kho thì

(a) đưc chi tit ph phm. (b) chi tit ph phm đó do máy II sn xut. Bài tp 2.52. Gi s 3 máy M 1 , M 2 , M 3 sn xut ln lưt 500, 1000, 1500 linh kin mi ngày vi t l ph phm tương ng là 5%, 6% và 7%. Vào cui ngày làm vic nào đó, ngưi ta ly mt linh kin đưc sn xut bi mt trong 3 máy trên mt cách ngu nhiên, kt qu là đưc mt ph phm. Tìm xác sut linh kin này đưc sn xut bi máy M 3 . Bài tp 2.53. Ba khu pháo cùng bn vào mt mc tiêu vi xác sut trúng đích ca mi khu là 0.4; 0.7; 0.8. Bit rng xác sut đ mc tiêu b tiêu dit khi trúng mt phát đn là 30%, khi trúng 2 phát đn là 70%, còn trúng 3 phát đn thì chc chn mc tiêu b tiêu dit. Gi s mi khu pháo bn 1 phát.

(a) Tính xác sut đ mc tiêu b tiêu dit. (b) Bit rng mc tiêu đã b tiêu dit. Tính xác sut đ khu th 3 có đóng góp vào thành công đó. Bài tp 2.54. Hp I có 10 linh kin trong đó có 3 b hng. Hp II có 15 linh kin trong đó có 4 b hng. Ly ngu nhiên t mi hp ra mt linh kin.

(a) Tính xác sut đ c 2 linh kin ly ra đu hng. (b) S linh kin còn li trong 2 hp đem b vào hp III. T hp III ly ngu nhiên ra 1 linh kin. Tính xác sut đ linh kin ly ra t hp III b hng. (c) Bit linh kin ly ra t hp III là hng. Tính xác sut đ 2 linh kin ly ra t hp I và II lúc ban đu là hng. Bài tp 2.55. Có 3 ca hàng I, II, III cùng kinh doanh sn phm Y , trong đó th phn ca ca hàng I, III như nhau và gp đôi th phn ca ca hàng II. T l sn phm loi A trong 3 ca hàng ln lưt là 70%, 75% và 50%. Mt khách hàng chn ngu nhiên 1 ca hàng và t đó mua mt sn phm.


13

(a) Tính xác sut đ khách hàng mua đưc sn phm loi A. (b) Gi s khách hàng đã mua đưc sn phm loi A, hi kh năng ngưi y đã mua đưc  ca hàng nào là nhiu nht. Bài tp 2.56. Cho ε là mt phép th ngu nhiên vi 3 bin c sơ cp có th xy ra là A, B và C . Gi s ta tin hành ε vô hn ln và đc lp nhau. Tính theo P (A), P (B) xác sut bin c A xut hin trưc B .

Chương 3

Bin ngu nhiên và hàm phân phi Bài tp 3.1. Cho bin ngu nhiên ri rc X có bng phân phi xác sut cho bi bng sau: X

−2 −1

P

1/8

2/8

0

1

2

2/8

2/8

1/8

(a) Tìm hàm phân phi xác sut F (x).





(b) Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P X ≤ −1 hoc X = 2 . (c) Lp bng phân phi xác sut ca bin ngu nhiên Y = X 2 . Bài tp 3.2. Bin ngu nhiên ri rc X có hàm xác sut cho bi f (x) =

2x + 1 , 25

x = 0, 1, 2, 3, 4

(a) Lp bng phân phi xác sut ca X . (b) Tính P (2 ≤ X < 4) và P (X > −10). Bài tp 3.3. Gi X là bin ngu nhiên ri rc có bng phân phi xác sut sau

(a) Tính đ lch chun ca X . (b) Tính kì vng ca X 3 .

X

−1

0

3

P

0.5

0.2

0.3

15 (c) Tìm hàm phân phi ca X . (d) Ta đnh nghĩa Y = X 2 + X + 1. Lp bng phân phi xác sut ca Y . Bài tp 3.4. Bin ngu nhiên X có hàm mt đ f (x) như sau f (x) =

 

kx(2

khi 1 < x < 2

− x)

nơi khác

0

(a) Xác đnh giá tr ca k đ f (x) là hàm mt đ ca bin ngu nhiên X . Vi k va tìm đưc tính kỳ vng và phương sai ca bin ngu nhiên X . (b) Tìm hàm phân phi F (x) ca bin ngu nhiên X . (c) Tìm hàm phân phi G(y) ca bin ngu nhiên Y = X 3 . Bài tp 3.5. Bin ngu nhiên liên tc X có hàm mt đ

 

f (x) =

(a) Tính P (3 ≤ X ).

e−x

khi x > 0

0

khi x ≤ 0

(b) Tìm giá tr ca a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1.

√

(c) Xác đnh hàm phân phi và mt đ xác sut ca bin ngu nhiên Y = X . Bài tp 3.6. Tính P (X ≥ 8) nu f X (x) =

Bài tp 3.7. Cho f X (x) =

Tính P (X < 0).

 

 − 2 π

1 3 x e x/2 96

nu x ≥ 0

0

nu khác

x2

−

  − ≤ ≤ 2 π

vi

x

Bài tp 3.8. Bin ngu nhiên X có hàm mt đ f (x) =

 −   a exp 0

Xác đnh:

x 2

khi x ≥ 0 nơi khác

2 π

16 (a) Hng s a. (b) Hàm phân phi xác sut F (x) (c) Kỳ vng và phương sai ca bin ngu nhiên X . (d) Kỳ vng và phương sai ca bin ngu nhiên Y = (X/2) − 1. Bài tp 3.9. Cho X là bin ngu nhiên có hàm mt đ sau f X (x) =

vi c là mt hng s dương. Tìm

 

c(1

2

−x ) 0

nu

−1 ≤x ≤ 1 nu |x| > 1

(a) hng s c (b) trung bình ca X (c) phương sai ca X (d) hàm phân phi F X (x). Bài tp 3.10. Bin ngu nhiên liên tc X có hàm mt đ f (x) =

 

1 x 2 0

khi 0 < x < 2 nơi khác

Tìm hàm phân phi và hàm mt đ xác sut ca các bin ngu nhiên sau: (a) Y = X (2 − X ). (b) Z = 4 − X 3. (c) T = 3X + 2. Bài tp 3.11.

√ Tính phương sai ca X nu pX (x) =

 

1/4 nu x = 0 1/2 nu x = 1 1/4 nu x = 4

17 Bài tp 3.12. Tính phân v mc 25% (tc là giá tr x0.25 sao cho P (X < x0.25 ) = 0.25) ca bin ngu nhiên liên tc X có hàm mt đ sau: f X (x) =

Bài tp 3.13. Cho

F X (x) =

   

 

2

xe−x

/2

nu x ≥ 0 nu x < 0

0

nu x < 0

0

nu 0 ≤ x ≤ 1

x/2

x/6 + 1/3 nu 1 < x < 4

nu x ≥ 4

1

là hàm phân phi ca bin ngu nhiên liên tc X . (a) Tính hàm mt đ ca X . (b) Tìm phân v mc 75% ca X (tc là tìm x0.75 sao cho P (X < x0.75 ) = 0.75). (c) Tính kì vng ca X . (d) Tính E (1/X ). (e) Ta đnh nghĩa Y =

 − 

1 nu X

1

(i) Tìm F Y (0). (ii) Tính phương sai ca Y .

≤1

nu X > 1

Bài tp 3.14. Bin ngu nhiên liên tc X có hàm mt đ xác sut f (x) =

 

3 x(2 4 0

− x)

khi 0 ≤ x ≤ 2 nơi khác

(a) Xác đnh hàm phân phi xác sut F (x) ca bin ngu nhiên X . (b) Tính E(X ), Var (X ) và trung v ca bin ngu nhiên X .

√

(c) Đt Y = X , xác đnh hàm phân phi và hàm mt đ xác sut ca bin ngu nhiên Y .

18 Bài tp 3.15. Tui th ca mt loi côn trùng nào đó là mt bin ngu nhiên liên tc X (đơn v tháng) có hàm mt đ f (x) =

(a) Tìm hng s k.

 

kx2 (4

− x)

khi 0 ≤ x ≤ 4 nơi khác

0

(b) Tìm F (x). (c) Tìm E (X ), Var (X ) và M od(X ). (d) Tính xác sut đ côn trùng cht trưc mt tháng tui. Bài tp 3.16. Bin ngu nhiên liên tc X có hàm mt đ f (x) =

(a) Tìm hng s k.

 

kx 2 e−2x

khi x ≥ 0

0

nơi khác

(b) Tìm hàm phân phi xác sut F (x). (c) Tìm E (X ), Var (X ) và M od(X ). Bài tp 3.17. Có hai thùng thuc A và B , trong đó:

- thùng A có 20 l gm 2 l hng và 18 l tt - thùng B có 20 l gm 3 l hng và 17 l tt. (a) Ly  mi thùng 1 l. Gi X là s l hng trong hai l ly ra. Tìm hàm mt đ ca X . (b) Ly  thùng B ra 3 l. Gi Y là s l hng trong 3 l ly ra. Tìm hàm mt đ ca Y . Bài tp 3.18. Mt thùng đng 10 l thuc trong đó có 1 l hng. Ta kim tra tng l (không hoàn li) cho ti khi phát hin đưc l hng thì dng. Gi X là s ln kim tra. Tìm hàm mt đ ca X. Tính kì vng và phương sai. Bài tp 3.19. Mt bin ngu nhiên liên tc có hàm mt đ xác sut sau: f X (x) =

 

cxe−x/2 nu x 0

≥0

nu x < 0

19 (a) Tìm hng s c. (b) Tìm hàm phân phi xác sut F X (x). (c) Tìm trung bình ca X (d) Tìm đ lch chun ca X . (e) Tìm M ed(X ). Bài tp 3.20. Gi X là tui th ca con ngưi. Mt công trình nghiên cu cho bit hàm mt đ ca X là cx2 (100 − x)2 khi 0 ≤ x ≤ 100 f (x) =

(a) Xác đnh hng s c.

 

0

khi x < 0 hay x > 100

(b) Tính kì vng và phương sai ca X. (c) Tính xác sut ca mt ngưi có tui th ≥ 60 (d) Tính xác sut ca mt ngưi có tui th ≥ 60, bit rng ngưi đó hin nay đã 50 tui.

Bài tp 3.21. Mt thit b gm 3 b phn hot đng đc lp vi nhau, xác sut trong khong thi gian t các b phn hng tương ng bng 0.2; 0.3; 0.25. Gi X là s b phn b hng trong khong thi gian t.

(a) Lp bng phân phi xác sut ca X . (b) Vit biu thc hàm phân phi ca X . (c) Tính P (0 < X ≤ 4) theo hai cách.

Bài tp 3.22. Mt mu 4 sn phm đưc rút ra không hoàn li t 10 sn phm. Bit rng trong 10 sn phm này có 1 th phm. Tính xác sut th phm có trong mu. Bài tp 3.23. Mt cái hp cha 100 transistor loi A và 50 transistor loi B .

(a) Các transistor đưc rút ra ln lưt, ngu nhiên và đưc hoàn li, cho đn khi ly đưc transistor loi B đu tiên. Tính xác sut 9 hoc 10 transistor đưc rút ra. (b) S lưng các transistor ít nht phi rút ra, ngu nhiên và đưc hoàn li, là bao nhiêu nu ta mun xác sut ly đưc ch loi A nh hơn 1/3? Bài tp 3.24. Gi X là s ln mt nht xut hin sau ba ln tung mt con xúc xc.

(a) Lp bng phân phi xác sut ca X .

20 (b) Tính xác sut có ít nht mt ln đưc mt nht. (c) Tính xác sut có ti đa hai ln mt nht. (d) Tính EX,Var(X ) Bài tp 3.25. Xét trò chơi, tung mt con xúc xc ba ln: nu c ba ln đưc 6 nút thì lĩnh 6 ngàn đ, nu hai ln 6 nút thì lĩnh 4 ngàn đ, mt ln 6 nút thì lĩnh 2 ngàn đ, và nu không có 6 nút thì không lĩnh gì ht. Mi ln chơi phi đóng A ngàn đ. Hi :

(a) A là bao nhiêu thì ngưi chơi v lâu v dài hu vn (gi là trò chơi công bng). (b) A là bao nhiêu thì trung bình mi ln ngưi chơi mt 1 ngàn đ. Bài tp 3.26. Mt h thng an ninh gm có 10 thành phn hot đng đc lp ln nhau. H thng hot đng nu ít nht 5 thành phn hot đng. Đ kim tra h thng có hot đng hay không, ngưi ta kim tra đnh kì 4 thành phn đưc chn ngu nhiên (không hoàn li). H thng đưc báo cáo là hot đng nu ít nht 3 trong 4 thành phn đưc kim tra hot đng. Nu tht s ch có 4 trong 10 thành phn hot đng, thì xác xut h thng đưc báo cáo là hot đng là bao nhiêu? Bài tp 3.27. Trong mt trò chơi ném phi tiêu, ngưi chơi hưng v mt tm bia ln có v mt vòng tròn có bán kính 25 cm. Gi X là khong cách (theo cm) gia đu phi tiêu cm vào bia và tâm vòng tròn. Gi s rng P (X

≤ x) =

vi c là mt hng s nào đó.

 

cπx 2 nu 0 1

≤ x < 25 nu x ≥ 25

(a) Tính (i) hng s c (ii) hàm mt đ, f X (x), ca X (iii) trung bình ca X (iv) xác sut P (X ≤ 10|X ≥ 5). (b) Ngưi chơi s mt 1 (đơn v: ngàn đng) cho mi ln phóng và thng

 

10 nu X

≤r

1

nu r < X ≤ 2r

0

nu 2r < X < 25

Vi giá tr nào ca r thì s tin trung bình ngưi chơi đt đưc bng 0.25?

21 Bài tp 3.28. Cho X là mt đi lưng ngu nhiên có phân phi xác sut như sau X

0

1

2

3

4

5

6

7

P

0

a

2a

2a

3a

a2

2a2

7a2 + a

(a) Xác đnh a (b) Tính P (X ≥ 5), P (X < 3).

1 2

(c) Tính k nh nht sao cho P (X ≤ k) ≥

Bài tp 3.29. Cho hàm mt đ ca bin ngu nhiên X có dng

(a)

       

f (x) =

(b)

f (x) =

(c) f (x) =

(d)

Ax

khi x ∈ [0, 1]

0

khi x ∈/ [0, 1]

A sin x

khi x ∈ [0, π]

0

khi x ∈/ [0, π]

A cos πx

khi x ∈ [0, 12 ]

0

khi x ∈/ [0, 12 ]

f (x) =

A x4

khi x ≥ 1

0

khi x < 1

Hãy xác đnh A. Tìm hàm phân phi xác sut ca X . Tính EX, V ar(X ) nu có. Bài tp 3.30. Cho bin ngu nhiên liên tc X có hàm phân phi

F (x) =

vi a, b là hng s.

 

0

khi x < − π2

a + b sin x

khi

1

khi x >

π 2

− ≤x≤ π 2

π 2

22 (a) Tìm a và b. (b) Vi a và b tìm đưc  câu a), tính hàm mt đ f (x) ca X và Mod(X ),Med(X ), P (X > π4 ) Bài tp 3.31. Cho X và Y là hai bin ngu nhiên đc lp và có phân phi xác sut tương ng là X

−1

0

1

2

Y

−1

0

1

P

0.2

0.3

0.3

0.2

P

0.3

0.4

0.3

Tìm phân phi xác sut ca X 2 , X + Y . Tính kì vng, phương sai ca X , X + Y . Bài tp 3.32. Mt mu gm 4 bin ngu nhiên X 1, X 2 , X 3 , X 4 đc lp vi nhau tng đôi mt. Mi bin ngu nhiên X i , i = 1, . . . , 4 có hàm mt đ như sau: f (x) =

 

2x

khi 0 < x < 1

0

nơi khác

Đt Y = max{X 1 , X 2 , X 3, X 4 } và Z = min{X 1 , X 2 , X 3 , X 4 }. Tìm hàm mt đ ca Y và Z . Bài tp 3.33. Cho F X là hàm phân phi xác sut ca bin ngu nhiên X . Tìm hàm phân phi xác sut ca bin ngu nhiên X =0 |X | nu X  Y =

 

1

nu X = 0

1 2

Bài tp 3.34. Tìm hàm phân phi ca (X + |X |) nu hàm phân phi ca X là F X . Bài tp 3.35. Gi s X có hàm phân phi liên tc F (x). Xác đnh hàm phân phi ca Y = F (X ). Bài tp 3.36. Gi s F (x) là hàm phân phi ca bin ngu nhiên dương liên tc X , có tính cht P (X < t + x|X > t) = P (X < x) vi x, t > 0 Chng minh rng F (x) = 1 − e−λx vi x > 0.

Chương 4

Mt s phân phi xác sut thông dng 4.1 Phân phi Bernoulli, nh thc Bài tp 4.1. Có 8000 sn phm trong đó có 2000 sn phm không đt tiêu chun k thut. Ly ngu nhiên (không hoàn li) 10 sn phm. Tính xác sut đ trong 10 sn phm ly ra có 2 sn phm không đt tiêu chun. Bài tp 4.2. Khi tiêm truyn mt loi huyt thanh, trung bình có mt trưng hp phn ng trên 1000 trưng hp. Dùng loi huyt thanh này tiêm cho 2000 ngưi. Tính xác sut đ

(a) có 3 trưng hp phn ng, (b) có nhiu nht 3 trưng hp phn ng, (c) có nhiu hơn 3 trưng hp phn ng. 1

Bài tp 4.3. Gi s t l sinh con trai và con gái là bng nhau và bng . Mt gia đình có 4 2 ngưi con. Tính xác sut đ 4 đa con đó gm

• 2 trai và 2 gái. • 1 trai và 3 gái. • 4 trai. Bài tp 4.4. Mt nhà máy sn xut vi t l ph phm là 7%.

(a) Quan sát ngu nhiên 10 sn phm. Tính xác sut đ i) có đúng mt ph phm. ii) có ít nht mt ph phm.

4.1 Phân phi Bernoulli, nh thc

24

iii) có nhiu nht mt ph phm. (b) Hi phi quan sát ít nht bao nhiêu sn phm đ xác sut nhn đưc ít nht mt ph phm ≥ 0.9 Bài tp 4.5. T l mt loi bnh bm sinh trong dân s là p = 0.01. Bnh này cn s chăm sóc đc bit lúc mi sinh. Mt nhà bo sinh thưng có 20 ca sinh trong mt tun. Tính xác sut đ

(a) không có trưng hp nào cn chăm sóc đc bit, (b) có đúng mt trưng hp cn chăm sóc đc bit, (c) có nhiu hơn mt trưng hp cn chăm sóc đc bit. Tính bng quy lut nh thc ri dùng quy lut Poisson đ so sánh kt qu khi ta xp x phân phi nh thc B(n; p) bng phân phi Poisson P (np). Bài tp 4.6. T l c tri ng h ng c viên A trong mt cuc bu c là 60%. Ngưi ta hi ý kin 20 c tri đưc chn mt cách ngu nhiên. Gi X là s ngưi b phiu cho A trong 20 ngưi đó.

(a) Tìm giá tr trung bình, đ lch chun và Mod ca X . (b) Tìm P (X ≤ 10) (c) Tìm P (X > 12) (d) Tìm P (X = 11) Bài tp 4.7. Gi s t l dân cư mc bnh A trong vùng là 10%. Chn ngu nhiên 1 nhóm 400 ngưi.

(a) Vit công thc tính xác sut đ trong nhóm có nhiu nht 50 ngưi mc bnh A. (b) Tính xp x xác sut đó bng phân phi chun. Bài tp 4.8. Mt máy sn xut ra sn phm loi A vi xác sut 0.485. Tính xác sut sao có trong 200 sn phm do máy sn xut ra có ít nht 95 sn phm loi A. Bài tp 4.9. Da vào s liu trong quá kh, ta ưc lưng rng 85% các sn phm ca mt máy sn xut nào đó là th phm. Nu máy này sn xut 20 sn phm mi gi, thì xác sut 8 hoc 9 th phm đưc sn xut trong mi khong thi gian 30 phút là bao nhiêu? Bài tp 4.10. Xác sut trúng s là 1%. Mi tun mua mt vé s. Hi phi mua vé s liên tip trong ti thiu bao nhiêu tun đ có không ít hơn 95% hy vng trúng s ít nht 1 ln.

4.1 Phân phi Bernoulli, nh thc

25

Bài tp 4.11. Trong trò chơi "bu cua” có ba con xúc sc, mi con có sáu mt hình là: bu, cua, hưu, nai, tôm và gà. Gi s có hai ngưi, mt ngưi chơi và mt ngưi làm cái. Nu mi ván ngưi chơi ch đt  mt ô (mt trong các hình: bu, cua, hưu, nai, tôm và gà) sau khi chơi nhiu ván thì ngưi nào s thng trong trò chơi này. Gi s thêm mi ván ngưi chơi đt 1000 đ nu thng s đưc 5000 đ, nu thua s mt 1000 đ. Hi trung bình mi ván ngưi thng s thng bao nhiêu? Bài tp 4.12. Có ba l ging nhau: hai l loi I, mi l có 3 bi trng và 7 bi đen; mt l loi II có 4 bi trng và 6 bi đen. Mt trò chơi đưc đt ra như sau: Mi ván, ngưi chơi chn ngu nhiên mt l và ly ra hai bi t l đó. Nu ly đưc đúng hai bi trng thì ngưi chơi thng, ngưc li ngưi chơi thua.

(a) Ngưi A chơi trò chơi này, tính xác sut ngưi A thng  mi ván. (b) Gi s ngưi A chơi 10 ván, tính s ván trung bình ngưi chơi thng đưc và s ván ngưi A thng tin chc nht. (c) Ngưi A phi chơi ít nht bao nhiêu ván đ xác sut thng ít nht mt ván không dưi 0,99. Bài tp 4.13. Cho X và Y là hai đi lưng ngu nhiên đc lp. (a) Gi s X ∼ B(1, 15 ), Y rng X + Y ∼ B(3, 15 )

∼ B(2,

. Lp bng phân phi xác sut ca X + Y và kim tra

1 ) 5

(b) Gi s X ∼ B(1, 12 ), Y ∼ B(2, 15 ). Tìm phân b xác sut ca X + Y . Chng minh rng X + Y không có phân b nh thc. Bài tp 4.14. Hai cu th ném bóng vào r. Cu th th nht ném hai ln vi xác sut trúng r ca mi ln là 0.6. Cu th th hai ném mt ln vi xác sut trúng r là 0.7. Gi X là s ln trúng r ca c hai cu th. Lp bng phân phi xác sut ca X , bit rng kt qu ca các ln ném r là đc lp vi nhau. Bài tp 4.15. Bưu đin dùng mt máy t đng đc đa ch trên bì thư đ phân loi tng khu vc gi đi, máy có kh năng đc đưc 5000 bì thư trong 1 phút. Kh năng đc sai 1 đa ch trên bì thư là 0,04% (xem như vic đc 5000 bì thư này là 5000 phép th đc lp).

(a) Tính s bì thư trung bình mi phút máy đc sai. (b) Tính s bì thư tin chc nht trong mi phút máy đc sai. (c) Tính xác sut đ trong mt phút máy đc sai ít nht 3 bì thư. Bài tp 4.16. Mt bài thi trc nghim gm có 10 câu hi, mi câu có 4 phương án tr li, trong đó ch có mt phương án đúng. Gi s mi câu tr li đúng đưc 4 đim và câu tr li sai b tr 2 đim. Mt sinh viên kém làm bài bng cách chn ngu nhiên mt phương án cho mi câu hi.

4.2 Phân phi Poisson

26

(a) Tính xác sut đ hc sinh này đưc 4 đim. (b) Tính xác sut đ hc sinh này b đim âm. (c) Gi X là s câu tr li đúng, tính E (X ) và V ar(X ). (d) Tính s câu sinh viên này có kh năng tr li đúng ln nht. Bài tp 4.17. Các sn phm đưc sn xut trong mt dây chuyn. Đ thc hin kim tra cht lưng, mi gi ngưi ta rút ngu nhiên không hoàn li 10 sn phm t mt hp có 25 sn phm. Quá trình sn xut đưc báo cáo là đt yêu cu nu có không quá mt sn phm là th phm.

(a) Nu tt c các hp đưc kim tra đu cha chính xác hai th phm, thì xác sut quá trình sn xut đưc báo cáo đt yêu cu ít nht 7 ln trong mt ngày làm vic 8 gi là bao nhiêu? (b) S dng phân phi Poisson đ xp x xác sut đưc tính trong câu (a). (c) Bit rng ln kim tra cht lưng cui cùng trong câu (a), quá trình sn xut đưc báo cáo đt yêu cu. Hi xác sut mu 10 sn phm tương ng không cha th phm là bao nhiêu? 4.2 Phân phi Poisson Bài tp 4.18. Mt trung tâm bưu đin nhn đưc trung bình 3 cuc đin thoi trong mi phút. Tính xác sut đ trung tâm này nhn đưc 1 cuc, 2 cuc, 3 cuc gi trong 1 phút, bit rng s cuc gi trong mt phút có phân phi Poisson. Bài tp 4.19. Tính P (X ≥ 1|X ≤ 1) nu X ∼ P (5) Bài tp 4.20. Cho X , Y là các bin ngu nhiên đc lp, X ∼ P (λ1 ), Y ∼ P (λ2 )

(a) Tính xác sut P (X + Y = n) (b) Tính xác sut P (X = k|X + Y = n) Bài tp 4.21. Mt ca hàng cho thuê xe ôtô nhn thy rng s ngưi đn thuê xe ôtô vào ngày th by cui tun là mt đi lưng ngu nhiên X có phân phi Poisson vi tham s λ = 2. Gi s ca hàng có 4 chic ôtô.

(a) Tìm xác sut không phi tt c 4 chic ôtô đu đưc thuê. (b) Tìm xác sut tt c 4 chic ôtô đu đưc thuê. (c) Tìm xác sut ca hàng không đáp ng đưc yêu cu.

4.2 Phân phi Poisson

27

(d) Trung bình có bao nhiêu ôtô đưc thuê. (e) Ca hàng cn có ít nht bao nhiêu ôtô đ xác sut không đáp ng đưc nhu cu thuê bé hơn 2% Bài tp 4.22. Mt tng đài bưu đin có các cuc đin thoi gi đn xut hin ngu nhiên, đc lp vi nhau và có tc đ trung bình 2 cuc gi trong 1 phút. Tìm xác sut đ

(a) có đúng 5 cuc đin thoi trong 2 phút, (b) không có cuc đin thoi nào trong khong thi gian 30 giây, (c) có ít nht 1 cuc đin thoi trong khong thi gian 10 giây. Bài tp 4.23. Các cuc gi đin đn tng đài tuân theo phân phi Poisson vi mc λ trên mi phút. T kinh nghim có đưc trong quá kh, ta bit rng xác sut nhn đưc chính xác mt cuc gi trong mt phút bng ba ln xác sut không nhn đưc cuc gi nào trong cùng thi gian.

(a) Gi X là s cuc gi nhn đưc trong mi phút. Tính xác sut P (2 ≤ X ≤ 4). (b) Ta xét 100 khong thi gian mt phút liên tip và gi U là s khong thi gian mt phút không nhn đưc cuc gi đin nào. Tính P (U ≤ 1).

Bài tp 4.24. Ti mt đim bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 ngưi đn mua vé. Tính xác sut đ:

(a) Trong 10 phút có 7 ngưi đn mua vé. (b) Trong 10 phút có không quá 3 ngưi đn mua vé. Bài tp 4.25. Các khách hàng đn quy thu ngân, theo phân phi Poisson, vi s lưng trung bình 5 ngưi mi phút. Tính xác sut xut hin ít nht 10 khách hàng trong khong thi gian 3 phút. Bài tp 4.26. S khách hàng đn quy thu ngân tuân theo phân phi Poisson vi tham s λ = 1 trong mi khong 2 phút. Tính xác sut thi gian đi đn khi khách hàng tip theo xut hin (t khách hàng trưc đó) nh hơn 10 phút. Bài tp 4.27. S lưng nho khô trong mt cái bánh quy bt kì có phân phi Poisson vi tham s λ. Hi giá tr λ là bao nhiêu nu ta mun xác sut có nhiu nht hai bánh quy, trong mt hp có 20 bánh, không cha nho khô là 0.925? Bài tp 4.28. Mt trm cho thuê xe Taxi có 3 chic xe. Hàng ngày trm phi np thu 8 USD cho 1 chic xe (bt k xe đó có đưc thuê hay không). Mi chic đưc cho thuê vi giá 20USD. Gi s s xe đưc yêu cu cho thuê ca trm trong 1 ngày là đi lưng ngu nhiên có phân phi Poisson vi µ = 2.8.

4.3 Phân phi chun

28

(a) Tính s tin trung bình trm thu đưc trong mt ngày. (b) Gii bài toán trên trong trưng hp trm có 4 chic xe. (c) Theo bn, trm nên có 3 hay 4 chic xe? Bài tp 4.29. Ta có 10 máy sn xut (đc lp nhau), mi máy sn xut ra 2% th phm (không đt chun).

(a) Trung bình có bao nhiêu sn phm đưc sn xut bi máy đu tiên trưc khi nó to ra th phm đu tiên? (b) Ta ly ngu nhiên mt sn phm t mi máy sn xut. Hi xác sut nhiu nht hai th phm trong 10 sn phm này là bao nhiêu? (c) Làm li câu (b) bng cách s dng xp x Poisson. (d) Phi ly ra ít nht bao nhiêu sn phm đưc sn xut bi máy đu tiên đ xác sut đt đưc ít nht mt th phm không nh hơn 1/2 (gi s rng các sn phm là đc lp vi nhau)? 4.3 Phân phi chun Bài tp 4.30. Các kt qu ca bài kim tra ch s thông minh (IQ) cho các hc sinh ca mt trưng tiu hc cho thy đim IQ ca các hc sinh này tuân theo phân phi chun vi các tham s là µ = 100 và σ 2 = 225. T l hc sinh có đim IQ nh hơn 91 hoc ln hơn 130 là bao nhiêu? Bài tp 4.31. Gi s chiu dài X (đơn v tính m) ca mt nơi đ xe bt kì tuân theo phân phi chun N (µ, 0.01µ2 ).

(a) Mt ngưi đàn ông s hu mt chic xe hơi cao cp có chiu dài ln hơn 15% chiu dài trung bình ca mt ch đu xe. Hi t l ch đu xe có th s dng là bao nhiêu? (b) Gi s rng µ = 4. Hi chiu dài ca xe là bao nhiêu nu ta mun ch ca nó có th s dng 90% ch đu xe? Bài tp 4.32. Đưng kính ca mt chi tit máy do mt máy tin t đng sn xut có phân phi chun vi trung bình µ = 50 mm và đ lch chun σ = 0.05 mm. Chi tit máy đưc xem là đt yêu cu nu đưng kính không sai quá 0.1 mm.

(a) Tính t l sn phm đt yêu cu. (b) Ly ngu nhiên 3 sn phm. Tính xác sut có ít nht mt sn phm đt yêu cu.


29

Bài tp 4.33. Trng lưng X (tính bng gam) mt loi trái cây có phân phi chun N (µ, σ2 ), vi µ = 500 (gam) và σ 2 = 16 (gam2 ). Trái cây thu hoch đưc phân loi theo trng lưng như sau:

(a) loi 1 : trên 505 gam, (b) loi 2 : t 495 đn 505 gam, (c) loi 3 : dưi 495 gam. Tính t l mi loi. Bài tp 4.34. Mt công ty kinh doanh mt hàng A d đnh s áp dng mt trong 2 phương án kinh doanh. Ký hiu X 1 là li nhun thu đưc khi áp dng phương án th 1, X 2 là li nhun thu đưc khi áp dng phương án th 2. X 1 , X 2 đu đưc tính theo đơn v triu đng/ tháng) và X 1 ∼ N (140, 2500), X 2 ∼ N (200, 3600). Nu bit rng, đ công ty tn ti và phát trin thì li nhun thu đưc t mt hàng kinh doanh A phi đt ít nht 80 triu đng/tháng. Hãy cho bit công ty nên áp dng phương án nào đ kinh doanh mt hàng A? Vì sao? Bài tp 4.35. Nghiên cu chiu cao ca nhng ngưi trưng thành, ngưi ta nhn thy rng chiu cao đó tuân theo quy lut phân b chun vi trung bình là 175 cm và đ lch tiêu chun 4 cm. Hãy xác đnh:

(a) t l ngưi trưng thành có tm vóc trên 180 cm. (b) t l ngưi trưng thành có chiu cao t 166 cm đn 177 cm. (c) tìm h0 , nu bit rng 33% ngưi trưng thành có tm vóc dưi mc h0 . (d) gii hn bin đng chiu cao ca 90% ngưi trưng thành xung quanh giá tr trung bình ca nó. Bài tp 4.36. Ta quan tâm đn tui th X (theo năm) ca mt thit b. T kinh nghim trong quá kh, ta ưc lưng xác sut thit b loi này còn hot đng tt sau 9 năm là 0.1.

(a) Ta đưa ra mô hình sau cho hàm mt đ ca X f X (x) =

a (x + 1)b

vi x ≥ 0

trong đó a > 0 và b > 1. Tìm hai hng s a, b. (b) Nu ta đưa ra mt phân phi chun vi trung bình µ = 7 cho X , thì giá tr tham s σ là bao nhiêu? (c) Ta xét 10 thit b loi này mt cách đc lp. Tính xác sut 8 hoc 9 thit b loi này có tui đi hot đng ít hơn 9 năm.


30

Bài tp 4.37. Entropy H ca mt bin ngu nhiên liên tc X đưc đnh nghĩa là H = E [− ln f X (X )] vi f X là hàm mt đ xác sut ca bin ngu nhiên X và ln là logarit t nhiên. Tính entropy ca bin ngu nhiên Gauss vi trung bình 0 và phương sai σ 2 = 2.

Chương 5

Lí thuyt mu Bài tp 5.1. S liu v chiu cao ca các sinh viên n (Đơn v: inch) trong mt lp hc như sau: 62 64 66 67 65 68 61 65 67 65 64 63 67 68 64 66 68 69 65 67 62 66 68 67 66 65 69 65 70 65 67 68 65 63 64 67 67

(a) Tính chiu cao trung bình và đ lch tiêu chun. (b) Trung v ca chiu cao sinh viên lp này là bao nhiêu? Bài tp 5.2. Cho b d liu sau: 4.2 4.7 4.7 5.0 3.8 3.6 3.0 5.1 3.1 3.8 4.8 4.0 5.2 4.3 2.8 2.0 2.8 3.3 4.8 5.0

Tính trung bình mu, phương sai mu và đ lch tiêu chun. Bài tp 5.3. Cho b d liu sau: 43 47 51 48 52 50 46 49 45 52 46 51 44 49 46 51 49 45 44 50 48 50 49 50

Tính trung bình mu, phương sai mu và đ lch tiêu chun. Bài tp 5.4. Xét biu thc y =



n i=1 (xi

− a) . Vi a nào thì y đt giá tr nh nht? 2

32 Bài tp 5.5. Xét yi = a + bxi , i = 1, . . . , n và a, b là các hng s khác 0. Hãy tìm mi liên h gia x và y, sx và sy . Bài tp 5.6. Gi s ta có mu c n gm các giá tr quan trc x1, x2, . . . , xn và đã tính đưc trung bình mu xn và phương sai mu s2n . Quan trc thêm giá tr th (n + 1) là xn+1 , gi xn+1 và s2n+1 ln lưt là trung bình mu và phương sai mu ng vi mu có (n + 1) quan trc.

(a) Tính xn+1 theo xn và xn+1. (b) Chng t rng ns2n+1

= (n

−

1)s2n

n(xn+1 xn )2 + n+1

−

Bài tp 5.7. T bng các s ngu nhiên ngưi ta ly ra 150 s. Các s đó đưc phân thành 10 khong như sau: xi

ni

−

1

11

−

21

−

31

−

41

−

51

−

−

61

−

71

−

81

−

91

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

16

15

19

13

14

19

14

11

13

16

Xác đnh trung bình mu và phương sai mu. Bài tp 5.8. Kho sát thu nhp ca công nhân  mt công ty, cho bi bng sau (đơn v ngàn đng).

Thu nhp [500, 600] [600, 700] [700, 800] [800, 900] [900, 1000] [1000, 1100][1100, 1200] S ngưi

2

10

15

30

25

14

4

Xác đnh thu nhp trung bình, đ lch chun. Bài tp 5.9. Đo lưng huyt tương ca 8 ngưi mnh kho, ta có 2, 863, 372, 752, 623, 503, 253, 123, 15

Hãy xác đnh các đc trưng mu. Bài tp 5.10. Quan sát thi gian cn thit đ sn xut mt chi tit máy, ta thu đưc s liu cho bng sau:

33 Khong thi gian (phút) S ln quan sát 20-25

2

25-30

14

30-35

26

35-40

32

40-45

14

45-50

8

50-55

4

Tính trung bình mu x, phương sai mu s2 . Bài tp 5.11. Đo đ dài ca mt loi trc xe, ta có kt qu

Nhóm ni

18.4-18.6 18.6-18.8 18.8-19 19-19.2 19.2-19.4 19.4-19.6 19.6-19.8 1

4

20

Hãy tính đ dài trung bình và phương sai mu.

41

19

8

4

Chương 6

Ưc lưng tham s thng kê 6.1 Ưc lưng trung bình tng th Bài tp 6.1. Trên tp mu gm 100 s liu, ngưi ta tính đưc x = 0.1 s = 0.014. Xác đnh khong tin cy 95% cho giá tr trung bình tht. Bài tp 6.2. Chn ngu nhiên 36 công nhân ca xí nghip thì thy lương trung bình là 380 ngàn đ/tháng. Gi s lương công nhân tuân theo phân phi chun vi σ = 14 ngàn đng. Vi đ tin cy 95%, hãy ưc lưng mc lương trung bình ca công nhân trong toàn xí nghip. Bài tp 6.3. Đo sc bn chu lc ca mt loi ng thí nghim, ngưi ta thu đưc b s liu sau 4500, 6500, 5200, 4800, 4900, 5125, 6200, 5375

T kinh nghim ngh nghip, ngưi ta cũng bit rng sc bn đó có phân phi chun vi đ lch chun σ = 300. Hãy xây dng khong tin cy 90% cho sc bn trung bình ca loi ng trên. Bài tp 6.4. Sn lưng mi ngày ca mt phân xưng là bin ngu nhiên tuân theo lut chun. Kt qu thng kê ca 9 ngày cho ta: 27, 26, 21, 28, 25, 30, 26, 23, 26

Hãy xác đnh các khong tin cy 95% cho sn lưng trung bình. Bài tp 6.5. Quan sát chiu cao X (cm) ca mt s ngưi, ta ghi nhn x (cm)

S ngưi (a) Tính x và s2

140-145 145-150 150-155 155-160 160-165 165-170 1

3

7

9

5

2

6.1 Ưc lưng trung bình tng th

35

(b) Ưc lưng µ  đ tin cy 0.95 Bài tp 6.6. Đim trung bình môn toán ca 100 thí sinh d thi vào trưng A là 5 vi đ lch chun là 2.5.

(a) Ưc lưng đim trung bình môn toán ca toàn th thí sinh vi đ tin cy là 95%. (b) Vi sai s ưc lưng đim trung bình  câu a) là 0.25 đim, hãy xác đnh đ tin cy. Bài tp 6.7. Tui th ca mt loi bóng đèn đưc bit theo quy lut chun vi đ lch chun 100 gi.

(a) Chn ngu nhiên 100 bóng đèn đ th nghim, thy mi bóng tui th trung bình là 1000 gi. Hãy ưc lưng tui th trung bình ca bóng đèn xí nghip A sn xut vi đ tin cy là 95%. (b) Vi dung sai ca ưc lưng tui th trung bình là 15 gi, hãy xác đnh đ tin cy. (c) Đ dung sai ca ưc lưng tui th trung bình không quá 25 gi vi đ tin cy là 95% thì cn phi th nghim ít nht bao nhiêu bóng. Bài tp 6.8. Khi lưng các bao bt mì ti mt ca hàng lương thc tuân theo phân phi chun. Kim tra 20 bao, thy khi lưng trung bình ca mi bao bt mì là 48kg, và phương sai mu s2 = (0.5 kg)2 .

(a) Vi đ tin cy 95% hãy ưc lưng khi lưng trung bình ca mt bao bt mì thuc ca hàng. (b) Vi dung sai ca ưc lưng  câu a) là 0.284 kg, hãy xác đnh đ tin cy. (c) Đ dung sai ca ưc lưng  câu a) không quá 160 g vi đ tin cy là 95%, cn phi kim tra ít nht bao nhiêu bao? Bài tp 6.9. Đo đưng kính ca mt chi tit máy do mt máy tin t đng sn xut, ta ghi nhn đưc s liu như sau: x n

12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40 2

3

7

9

10

8

vi n ch s trưng hp tính theo tng giá tr ca X (mm). (a) Tính trung bình mu x và đ lch chun s ca mu. (b) Ưc lưng đưng kính trung bình µ  đ tin cy 0.95.

6

5

3

6.2 Ưc lưng t l tng th

36

(c) Nu mun sai s ưc lưng không quá ε = 0.02 mm  đ tin cy 0.95 thì phi quan sát ít nht my trưng hp. Bài tp 6.10. Ngưi ta đo ion N a+ trên mt s ngưi và ghi nhn li đưc kt qu như sau 129, 132, 140, 141, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140

(a) Tính trung bình mu x và phương sai mu s2 . (b) Ưc lưng trung bình µ ca tng th  đ tin cy 0.95. (c) Nu mun sai s ưc lưng trung bình không quá ε = 1 vi đ tin cy 0.95 thì phi quan sát mu gm ít nht my ngưi? Bài tp 6.11. Quan sát tui th x (gi) ca mt s bóng đèn do xí nghip A sn xut, ta ghi nhn x n

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 10

14

16

17

18

16

16

12

9

vi n ch s trưng hp theo tng giá tr ca x. (a) Tính trung bình mu x và đ lch chun mu s. (b) Ưc lưng tui th trung bình ca bóng đèn  đ tin cy 0.95. (c) Nu mun sai s ưc lưng không quá ε = 30 gi vi đ tin cy 0.99 thì phi quan sát mu gm ít nht my bóng đèn? Bài tp 6.12. Chiu dài ca mt loi sn phm đưc xut khu hàng lot là bin ngu nhiên phân phi chun vi µ = 100 mm và σ 2 = 42 mm2 . Kim tra ngu nhiên 25 sn phm. Kh năng chiu dài trung bình ca s sn phm kim tra nm trong khong t 98mm đn 101mm là bao nhiêu? 6.2 Ưc lưng t l tng th Bài tp 6.13. Trưc bu c, ngưi ta phng vn ngu nhiên 2000 c tri thì thy có 1380 ngưi ng h mt ng c viên K. Vi đ tin cy 95%, hi ng c viên đó thu đưc ti thiu bao nhiêu phn trăm phiu bu? Bài tp 6.14. Mt loi bnh có t l t vong là 0.01. Mun chng t mt loi thuc có hiu nghim (nghĩa là h thp đưc t l t vong nh hơn 0.005)  đ tin cy 0.95 thì phi th thuc đó trên ít nht bao nhiêu ngưi?

6.3 Tng hp

37

Bài tp 6.15. Đ ưc lưng xác sut mc bnh gan vi đ tin cy 90% và sai s không vưt quá 2% thì cn phi khám ít nht bao nhiêu ngưi, bit rng t l mc bnh gan thc nghim đã cho bng 0,9. Bài tp 6.16. Gi s quan sát 100 ngưi thy có 20 ngưi b bnh st xut huyt. Hãy ưc lưng t l bnh st xut huyt  đ tin cy 97%. Nu mun sai s ưc lưng không quá 3%  đ tin cy 95% thì phi quan sát ít nht bao nhiêu ngưi? Bài tp 6.17. Mt loi thuc mi đem điu tr cho 50 ngưi b bnh B, kt qu có 40 ngưi khi bnh.

(a) Ưc lưng t l khi bnh p nu dùng thuc đó điu tr vi đ tin cy 0.95 và 0.99. (b) Nu mun sai s ưc lưng không quá 0.02  đ tin cy 0.95 thì phi quan sát ít nht my trưng hp? Bài tp 6.18. Ta mun ưc lưng t l viên thuc b sc m p trong mt lô thuc ln.

(a) Nu mun sai s ưc lưng không quá 0.01 vi đ tin cy 0.95 thì phi quan sát ít nht my viên? (b) Quan sát ngu nhiên 200 viên, thy có 18 viên b st m. Hãy ưc lưng p  đ tin cy 0.95. (c) Khi đó, nu mun sai s ưc lưng không quá 0.01 vi đ tin cy 0.95 thì phi quan sát ít nht my viên? Bài tp 6.19. Mun bit trong ao có bao nhiêu cá, ngưi ta bt lên 2000 con, đánh du xong li th xung h. Sau mt thi gian, ngưi ta bt lên 500 con và thy có 20 con cá có đánh du ca ln bt trưc. Da vào kt qu đó hãy ưc lưng s cá có trong h vi đ tin cy 95%. Bài tp 6.20. Đ có th d đoán đưc s lưng chim thưng ngh ti vưn nhà mình, ngưi ch bt 89 con, đem đeo khoen cho chúng ri th đi. Sau mt thi gian, ông bt ngu nhiên đưc 120 con và thy có 7 con có đeo khoen. Hãy d đoán s chim giúp ông ch vưn  đ tin cy 99%. 6.3 Tng hp Bài tp 6.21. Cân th 100 qu cam, ta có b s liu sau:

Khi lưng (g) S qu

32 33 34 35 36 37 38 39 40 2

3

15 26 28

6

8

8

4

6.3 Tng hp

38

(a) Hãy ưc lưng khi lưng trung bình các qu cam  đ tin cy 95%. (b) Cam có khi lưng dưi 34 g đưc coi là cam loi 2. Tìm khong ưc lưng cho t l loi 2 vi đ tin cy 90%. Bài tp 6.22. Đem cân mt s trái cây va thu hoch, ta đưc kt qu sau: X (gam)

S trái

200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 12

17

20

18

15

(a) Tìm khong ưc lưng ca trng lưng trung bình µ ca trái cây vi đ tin cy 0.95 và 0.99. (b) Nu mun sai s ưc lưng không quá ε = 2 gam  đ tin cy 99% thì phi quan sát ít nht bao nhiêu trái? (c) Trái cây có khi lưng X ≥ 230 gam đưc xp vào loi A. Hãy tìm khong ưc lưng cho t l p ca trái cây loi A  đ tin cy 0.95 và 0.99. Nu mun sai s ưc lưng không quá 0.04  đ tin cy 0.99 thì phi quan sát ít nht my trưng hp?

Chương 7

Kim đnh gi thuyt thng kê 7.1 So sánh kì vng vi mt s cho trưc Bài tp 7.1. Giám đc mt xí nghip cho bit lương trung bình ca 1 công nhân thuc xí nghip là 380 ngàn đ/tháng. Chn ngu nhiên 36 công nhân thy lương trung bình là 350 ngàn đ/tháng, vi đ lch chun s = 40. Li báo cáo ca giám đc có tin cy đưc không, vi mc có ý nghĩa là α = 5%. Bài tp 7.2. Trong thp niên 80, trng lưng trung bình ca thanh niên là 48 kg. Nay đ xác đnh li trng lưng y, ngưi ta chn ngu nhiên 100 thanh niên đo trng lưng trung bình là 50 kg và phương sai mu s2 = (10 kg)2 . Th xem trng lưng thanh niên hin nay phi chăng có thay đi, vi mc có ý nghĩa là 1%? Bài tp 7.3. Mt ca hàng thc phm nhn thy thi gian va qua trung bình mt khách hàng mua 25 ngàn đng thc phm trong ngày. Nay ca hàng chn ngu nhiên 15 khách hàng thy trung bình mt khách hàng mua 24 ngàn đng trong ngày và phương sai mu là s2 = (2 ngàn đng)2. Vi mc ý nghĩa là 5%, kim đnh xem có phi sc mua ca khách hàng hin nay thc s gim sút hay không. Bit rng sc mua ca khách hàng có phân phi chun. Bài tp 7.4. Đi vi ngưi Vit Nam, lưng huyt sc t trung bình là 138.3 g/l. Khám cho 80 công nhân  nhà máy có tip xúc hoá cht, thy huyt sc t trung bình x = 120 g/l ; s = 15 g/l . T kt qu trên, có th kt lun lưng huyt sc t trung bình ca công nhân nhà máy hoá cht này thp hơn mc chung hay không? Kt lun vi α = 0.05. Bài tp 7.5. Trong điu kin chăn nuôi bình thưng, lưng sa trung bình ca 1 con bò là 14 kg/ngày. Nghi ng điu kin chăn nuôi kém đi làm cho lưng sa gim xung, ngưi ta điu tra ngu nhiên 25 con và tính đưc lưng sa trung bình ca 1 con trong 1 ngày là 12.5 và đ lch chun s = 2.5. Vi mc ý nghĩa α = 0.05. hãy kt lun điu nghi ng nói trên. Gi thit lưng sa bò là 1 bin ngu nhiên chun.

7.1 So sánh kì vng vi mt s cho trưc

40

Bài tp 7.6. Tin lương trung bình ca công nhân trưc đây là 400 ngàn đ/tháng. Đ xét xem tin lương hin nay so vi mc trưc đây th nào, ngưi ta điu tra 100 công nhân và tính đưc x = 404.8 ngàn đ/tháng và s = 20 ngàn đ/tháng. Vi α = 1%

(a) Nu lp gi thit 2 phía và gi thit 1 phía thì kt qu kim đnh như th nào? (b) Ging câu a, vi x = 406 ngàn đ/tháng và s = 20 ngàn đ/tháng. Bài tp 7.7. Mt máy đóng gói các sn phm có khi lưng 1 kg. Nghi ng máy hot đng không bình thưng, ngưi ta chn ra mt mu ngu nhiên gm 100 sn phm thì thy như sau:

Khi lưng

0.95 0.97 0.99 1.01 1.03 1.05

S gói

9

31

40

15

3

2

Vi mc ý nghĩa 0.05, hãy kt lun v nghi ng trên. Bài tp 7.8. Trng lưng trung bình khi xut chung  mt tri chăn nuôi trưc là 3.3 kg/con. Năm nay ngưi ta s dng mt loi thc ăn mi, cân th 15 con khi xut chung ta đưc các s liu như sau: 3.25, 2.50, 4.00, 3.75, 3.80, 3.90, 4.02, 3.60, 3.80, 3.20, 3.82, 3.40, 3.75, 4.00, 3.50

Gi thit trng lưng gà là đi lưng ngu nhiên phân phi theo quy lut chun. (a) Vi mc ý nghĩa α = 0.05. Hãy cho kt lun v tác dng ca loi thc ăn này? (b) Nu tri chăn nuôi báo cáo trng lưng trung bình khi xut chung là 3.5 kg/con thì có chp nhn đưc không? (α = 0.05). Bài tp 7.9. Đo cholesterol (đơn v mg%) cho mt nhóm ngưi, ta ghi nhn li đưc

Chol. S ngưi

150 –160 160 - 170 170 - 180 180 - 190 190 - 200 200 - 210 3

9

11

3

2

1

Cho rng đ cholesterol tuân theo phân phi chun. (a) Tính trung bình mu x và phương sai mu s2 . (b) Tìm khong ưc lưng cho trung bình cholesterol trong dân s  đ tin cy 0.95. (c) Có tài liu cho bit lưng cholesterol trung bình là µ0 = 175 mg%. Giá tr này có phù hp vi mu quan sát không? (kt lun vi α = 0.05).

7.1 So sánh kì vng vi mt s cho trưc

41

Bài tp 7.10. Quan sát s hoa hng bán ra trong mt ngày ca mt ca hàng bán hoa sau mt thi gian, ngưi ta ghi đưc s liu sau:

S hoa hng (đoá) S ngày

12 13 15 16 17 18 19 3

2

7

7

3

2

1

Gi thit rng s hoa bán ra trong ngày có phân phi chun. (a) Tìm trung bình mu x, phương sai mu s2 . (b) Sau khi tính toán, ông ch ca hàng nói rng nu trung bình mt ngày không bán đưc 15 đoá hoa thì chng thà đóng ca còn hơn. Da vào s liu trên, anh (ch) hãy kt lun giúp ông ch ca hàng xem có nên tip tc bán hay không  mc ý nghĩa α = 0.05. (c) Gi s nhng ngày bán đưc t 13 đn 17 đoá hng là nhng ngày “bình thưng”. Hãy ưc lưng t l ca nhng ngày bình thưng ca ca hàng  đ tin cy 90%. Bài tp 7.11. Mt xí nghip đúc mt s rt ln các sn phm bng thép vi s khuyt tt trung bình  mi sn phm là 3. Ngưi ta ci tin cách sn xut và kim tra 36 sn phm. Kt qu như sau:

S khuyt tt trên sn phm

0 1 2 3 4 5 6

S sn phm tương ng

7 4 5 7 6 6 1

Gi s s khuyt tt ca các sn phm có phân phi chun. (a) Hãy ưc lưng s khuyt tt trung bình  mi sn phm sau khi ci tin, vi đ tin cy 90%. (b) Hãy cho kt lun v hiu qu ca vic ci tin sn xut  mc ý nghĩa 0.05. Bài tp 7.12. Đánh giá tác dng ca mt ch đ ăn bi dưng mà du hiu quan sát là s hng cu. Ngưi ta đm s hng cu ca 20 ngưi trưc và sau khi ăn bi dưng: xi

32 40 38 42 41 35 36 47 50 30

yi

40 45 42 50 52 43 48 45 55 34

xi

38 45 43 36 50 38 42 41 45 44

yi

32 54 58 30 60 35 50 48 40 50

Vi mc ý nghĩa α = 0.05, có th kt lun gì v tác dng ca ch đ ăn bi dưng này?

7.2 So sánh hai kì vng

42

Bài tp 7.13. Gi s ta mun xác đnh xem hiu qu ca ch đ ăn kiêng đi vi vic gim trng lưng như th nào. 20 ngưi quá béo đã thc hin ch đ ăn kiêng. Trng lưng ca tng ngưi trưc khi ăn kiêng (X kg) và sau khi ăn kiêng (Y kg) đưc cho như sau: X

80 78 85 70 90 78 92 88 75 75

Y

75 77 80 70 84 74 85 82 80 65

X

63 72 89 76 77 71 83 78 82 90

Y

62 71 83 72 82 71 79 76 83 81

Kim tra xem ch đ ăn kiêng có tác dng làm thay đi trng lưng hay không (α = 0.05). 7.2 So sánh hai kì vng Bài tp 7.14. Mt nhà phát trin sn phm quan tâm đn vic gim thi gian khô ca sơn. Vì vy hai công thc sơn đưc đem th nghim. Công thc 1 là công thc có các thành phn chun và công thc 2 có thêm mt thành phn làm khô mi đưc cho rng s làm gim thi gian khô ca sơn. T các thí nghim ngưi ta thy rng σ1 = σ2 = 8 phút. 10 đ vt đưc sơn vi công thc 1 và 10 đ vt khác đưc sơn vi công thc 2. Thi gian khô trung bình ca tng mu là x1 = 121 phút và x2 = 112 phút. Nhà phát trin sn phm có th rút ra kt lun gì v nh hưng ca thành phn làm khô mi? Vi mc ý nghĩa 5%. Bài tp 7.15. Tc đ cháy ca hai loi cht n lng đưc dùng làm nhiên liu trong tàu vũ tr đưc nghiên cu. Ngưi ta bit rng đ lch chun ca tc đ cháy ca hai loi nhiên liu bng nhau và bng 3 cm/s. Hai mu ngu nhiên kích thưc n1 = 20 và n2 = 20 đưc th nghim; trung bình mu tc đ cháy là x1 = 18 cm/s và x2 = 24 cm/s. Vi mc ý nghĩa α = 0.05 hãy kim đnh gi thuyt hai loi cht n lng này có cùng tc đ đt cháy. Bài tp 7.16. Theo dõi giá c phiu ca 2 công ty A và B trong vòng 31 ngày ngưi ta tính đưc các giá tr sau x

s

Công ty A

37.58 1.50

Công ty B

38.24 2.20

Gi thit rng giá c phiu ca hai công ty A và B là hai bin ngu nhiên phân phi theo quy lut chun. Hãy cho bit ý nghĩa kì vng ca các bin ngu nhiên nói trên? Hãy cho bit có s khác bit thc s v giá c phiu trung bình ca hai công ty A và B không? Vi mc ý nghĩa α = 5%

7.2 So sánh hai kì vng

43

Bài tp 7.17. Hàm lưng đưng trong máu ca công nhân sau 5 gi làm vic vi máy siêu cao tn đã đo đưc  hai thi đim trưc và sau 5 gi làm vic. Ta có kt qu sau:

Trưc: n1 = 50 x = 60 mg% sx = 7 Sau:

n2 = 40 y = 52 mg%

sy = 9.2

Vi mc ý nghĩa α = 0.05, có th khng đnh hàm lưng đưng trong máu sau 5 gi làm vic đã gim đi hay không? Bài tp 7.18. Trng cùng mt ging lúa trên hai tha rung như nhau và bón hai loi phân khác nhau. Đn ngày thu hoch ta có kt qu như sau:

• Tha th nht ly mu 1000 bông lúa thy s ht trung bình ca mi bông là x = 70 ht và sx = 10.

• Tha th hai ly mu 500 bông thy s ht trung bình mi bông là y = 72 ht và s

y

= 20.

Hi s khác nhau gia X và Y là ngu nhiên hay bn cht, vi α = 0.05? Bài tp 7.19. Đ so sánh trng lưng trung bình ca tr sơ sinh  thành th và nông thôn, ngưi ta th cân trng lưng ca 10000 cháu và thu đưc kt qu sau đây:

Vùng

S cháu đưc cân Trng lưng trung bình Đ lch chun mu

Nông thôn

8000

3.0 kg

0.3 kg

Thành th

2000

3.2 kg

0.2 kg

Vi mc ý nghĩa α = 0.05 có th coi trng lưng trung bình ca tr sơ sinh  thành th cao hơn  nông thôn hay không? (Gi thit trng lưng tr sơ sinh là bin ngu nhiên chun). Bài tp 7.20. Đ so sánh năng lc hc toán và vt lý ca hc sinh, ngưi ta kim tra ngu nhiên 8 em bng hai bài toán và vt lý. Kt qu cho bi bng dưi đây (X là đim toán, Y là đim lý): X

15 20 16 22 24 18 20 14

Y

15 22 14 25 19 20 24 16

Gi s X và Y đu có phân phi chun. Hãy so sánh đim trung bình gia X và Y , mc ý nghĩa 5%. Bài tp 7.21. Hai máy đưc s dng đ rót nưc vào các bình. Ngưi ta ly mu ngu nhiên 10 bình do máy th nht và 10 bình do máy th hai thì đưc kt qu sau:

7.3 So sánh t l vi mt s cho trưc

44

Máy 1

16.03 16.01 16.04 15.96 16.05 15.98 16.05 16.02 16.02 15.99

Máy 2

16.02 16.03 15.97 16.04 15.96 16.02 16.01 16.01 15.99 16.00

Vi mc ý nghĩa α = 0.05 có th nói rng hai máy rót nưc vào bình như nhau không? Bài tp 7.22. Đ nghiên cu nh hưng ca mt loi thuc, ngưi ta cho 10 bnh nhân ung thuc. Ln khác h cũng cho bnh nhân ung thuc nhưng là thuc gi. Kt qu thí nghim thu đưc như sau: Bnh nhân

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

S gi ng có thuc

6.1 7.0 8.2 7.6 6.5 8.4 6.9 6.7 7.4 5.8

S gi ng vi thuc gi

5.2 7.9 3.9 4.7 5.3 5.4 4.2 6.1 3.8 6.3

Gi s s gi ng ca bnh nhân tuân theo phân phi chun. Vi mc ý nghĩa 5%, hãy kt lun v nh hưng ca loi thuc trên. Bài tp 7.23. Quan sát sc nng ca bé trai (X) và bé gái (Y) lúc sơ sinh (đơn v gam), ta có kt qu Trng lưng

3000-3200 3200-3400 3400-3600 3600-3800 3800-4000

S bé trai

1

3

8

10

3

S bé gái

2

10

10

5

1

(a) Tính x, y, s2x , s2y . (b) So sánh các kì vng µX , µY (kt lun vi α = 5%). (c) Nhp hai mu li. Tính trung bình và đ lch chun ca mu nhp. Dùng mu nhp đ ưc lưng sc nng trung bình ca tr sơ sinh  đ tin cy 95%. 7.3 So sánh t l vi mt s cho trưc Bài tp 7.24. Trong mt vùng dân cư có 18 bé trai và 28 bé gái mc bnh B. Hi rng t l nhim bnh ca bé trai và bé gái có như nhau không? (kt lun vi α = 0.05 và gi s rng s lưng bé trai và bé gái trong vùng tương đương nhau, và rt nhiu). Bài tp 7.25. Mt máy sn xut t đng vi t l chính phm là 98%. Sau mt thi gian hot đng, ngưi ta nghi ng t l trên đã b gim. Kim tra ngu nhiên 500 sn phm thy có 28 ph phm, vi α = 0.05 hãy kim tra xem cht lưng làm vic ca máy có còn đưc như trưc hay không?

7.4 So sánh hai t l

45

Bài tp 7.26. Đo huyt sc t cho 50 công nhân nông trưng thy có 60%  mc dưi 110 g/l. S liu chung ca khu vc này là 30%  mc dưi 110 g/l. Vi mc ý nghĩa α = 0.05, có th kt lun công nhân nông trưng có t l huyt sc t dưi 110 g/l cao hơn mc chung hay không? Bài tp 7.27. Theo mt ngun tin thì t l h dân thích xem dân ca trên Tivi là 80%. Thăm dò 36 h dân thy có 25 h thích xem dân ca. Vi mc có ý nghĩa là 5%. Kim đnh xem ngun tin này có đáng tin cy không? Bài tp 7.28. Mt máy sn sut t đng, lúc đu t l sn phm loi A là 20%. Sau khi áp dng mt phương pháp ci tin sn xut mi, ngưi ta ly 40 mu, mi mu gm 10 sn phm đ kim tra. Kt qu kim tra cho  bng sau:

S sn phm loi A trong mu S mu

1 2 3 4 5

6

7 8 9 10

2 0 4 6 8 10 4 5 1

0

Vi mc ý nghĩa 5%. Hãy cho kt lun v phương pháp sn sut này. Bài tp 7.29. T l ph phm ca mt nhà máy trưc đây là 5%. Năm nay nhà máy áp dng mt bin pháp k thut mi. Đ nghiên cu tác dng ca bin pháp k thut mi, ngưi ta ly mt mu gm 800 sn phm đ kim tra và thy có 24 ph phm. (a) Vi α = 0.01. Hãy cho kt lun v bin pháp k thut mi này? (b) Nu nhà máy báo cáo t l ph phm sau khi áp dng bin pháp k thut mi là 2% thì có chp nhn đưc không? (α = 0.01). 7.4 So sánh hai t l Bài tp 7.30. Trong 90 ngưi dùng DDT đ nga bnh ngoài da thì có 10 ngưi nhim bnh; trong 100 ngưi không dùng DDT thì có 26 ngưi mc bnh. Hi rng DDT có tác dng nga bnh ngoài da không? (kt lun vi α = 0.05) Bài tp 7.31. Ngưi ta điu tra 250 ngưi  xã A thy có 140 n và điu tra 160 ngưi  xã B thy có 80 n. Hãy so sánh t l n  hai xã vi mc ý nghĩa 5%. Bài tp 7.32. Áp dng hai phương pháp gieo ht. Theo phương pháp A gieo 180 ht thì có 150 ht ny mm; theo phương pháp B gieo 256 ht thì thy có 160 ht ny mm. Hãy so sánh hiu qu ca hai phương pháp vi mc ý nghĩa α = 5%. Bài tp 7.33. Theo dõi trng lưng ca mt s tr sơ sinh ti mt s nhà h sinh thành ph và nông thôn, ngưi ta thy rng trong s 150 tr sơ sinh  thành ph có 100 cháu nng hơn 3000 gam, và trong 200 tr sơ sinh  nông thôn có 98 cháu nng hơn 3000 gam. T kt qu đó hãy so sánh t l tr sơ sinh có trng lưng trên 3000 gam  thành ph và nông thôn vi mc ý nghĩa 5%.

Phn II

BÀI GII

Tp hp - Gii tích t hp Gii bài 1.1. Ta lp dãy B1 , B2 , . . . , B2 như sau: n 1

B1 = A1 , B2 = A2 A1 , . . . , Bn = An

\

−

 \

Ak

k=1

(a) Ta chng minh Bi ∩ B j = ∅ (i  = j), gi s i < j . i−1 Gi s a ∈ Bi = Ai \ k=1 Ak , tc là a ∈ A1 , a ∈/ Ak (k = 1, . . . , i − 1), vì vy a ∈ Suy ra a ∈/ B j . Vy Bi ∩ B j = ∅ (i  = j) ∞ ∞ (b) Ai = Bk



   ∈ ∈ ∈  ⊂ ∈ ∈  ⊂ ∈

i=1



j 1 k=1 Ak

−

.

k=1

∞ A , tc là tn ti ch s j nào đó sao cho a ∈ A . Nu a ∈ B thì Gi s a j j i=1 i j −1 ∞ a j=1 B j . Nu a i=1 Ai , gi i1 là ch s nh nht sao cho a ∈ Ai . Khi đó, a ∈ Bi , ∞ ∞ ∞ tc là a B . Vy A B . j=1

j

i

i=1

1

1

k

k=1

∞ Ngưc li, gi s a / j=1 B j , suy ra tn ti j sao cho a ∈ B j , tc là a ∈ A j , a ∈ ∞ ∞ ∞ A . Vy Do đó, a Bk Ai i=1 j



j 1 k=1 Ak

−

.

i=1

k=1

Gii bài 1.3. Không phi khi nào cũng đúng. Ví d, xét A,B,C là các tp con khác rng ca Ω và ri nhau tng đôi mt, khi đó A

nhưng B  =∅

Gii bài 1.5.

(a) (A ∪ B)(A ∪ C ) = A ∪ BC (b) (A ∪ B)(A ∪ B) = A

⊂ B ∪ C và B ⊂ A ∪ C

48 (c) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) = AB

(d) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) = ∅

(e) (A ∪ B)(B ∪ C ) = AB ∪ AC ∪ B ∪ BC = B ∪ AC ∪ B(A ∪ C ) = B ∪ AC

Gii bài 1.7.

(a) A ∪ B ∪ A ∪ B = AB ∪ AB = A(B ∪ B) = A

(b) (A ∪ B)AB = (A ∪ B)(A ∪ B) = AB ∪ BA Gii bài 1.9. 5 (a) C 50 = 2118760

(b) A550 = 254251200 10 cách. Sau đó, Gii bài 1.11. Đu tiên ta chn 10 nam sinh trong 20 nam sinh, thì đưc C 20 10 chn 10 n sinh trong 20 n sinh thì đưc C 20 cách. Theo quy tc nhân, s cách phân chia tha 10 10 yêu cu là C 20 C 20

Gii bài 1.13.

(a) C mi hoán v 5 ngưi này s là mt cách sp xp th t phát biu A trưc B hoc B trưc A. Mà s cách xp A trưc B bng vi s cách xp B trưc A vì ch cn đi ch A 5! và B trong 1 hoán v 5 ngưi. Do đó, s cách xp ngưi B phát biu sau A là = 60 2

(b) Ta xem AB là mt nhóm và ta tin hành hoán v bn phn t sau: AB,C,D,E. Như vy, s cách xp ngưi A phát biu xong thì đn lưt ngưi B là 4! = 24 Gii bài 1.15. Đu tiên ta chn lp trưng và có 40 cách chn. Tip theo ta chn lp phó và có 39 cách chn. Cui cùng ta chn th qu thì có 38 cách chn. Do đó, s cách chn ban cán s lp là 40.39.38 = 59280 cách. Gii bài 1.17. S cách c 3 ngưi làm nhim v  đa đim A là C 93 . S cách c 2 ngưi  đa đim B là C 62 S cách c 4 ngưi  li đn là C 44 Theo quy tc nhân, s cách phân công là C 93 .C 62.C 44 = 1260 Gii bài 1.19.

49 (a) Đu tiên ta xp 3 trong 12 hành khách lên toa th 1, thì có C 13 2 cách. Sau đó, ta xp 3 trong 9 hành khách còn li lên toa th 2 thì có C 93 cách. Tip theo, ta xp 3 trong 6 hành khách còn li lên toa th 3 thì có C 63 cách. Cui cùng, ta xp 3 trong 3 hành khách còn li 3 lên toa th 4 thì có C 33 cách. Theo quy tc nhân, s cách xp s là C 12 .C 93 .C 63.C 33 = 369600 cách. 6 (b) Đu tiên ta xp 6 hành khách vào toa th 1 và có C 12 cách. Sau đó, ta xp 4 hành khách 4 vào toa th 2 và có C 6 cách. Tip theo, ta xp 1 hành khách lên toa th 3 và có C 21 cách. Cui cùng, ta xp 1 hành khách lên toa th 4 và có C 11 cách. Tuy nhiên ta có th xem 4 toa tàu là 4 nhóm và ta có th hoán v 4 nhóm này. S cách hoán v là 4!. Do đó, s cách 6 xp tha yêu cu là 4!.C 12 .C 64.C 21 .C 11 = 665280 cách.

Gii bài 1.21.

(a) Ta có,

n

(1 + x)n =



C nk xk

(7.1)

kC nk xk−1

(7.2)

k=0

Ly đo hàm cp mt ca (7.1), ta đưc

n

n 1

n(1 + x) − =

 k=0

Thay x = 1 vào biu thc (7.2) ta đưc đpcm. (b) Ly đo hàm cp 2 ca (7.1), ta đưc n

n 2

n(n − 1)(1 + x) − =

 k=0

k(k

k k 2 n

− 1)C x −

(7.3)

Thay x = 1 vào biu thc (7.3) ta đưc đpcm.

Gii bài 1.23. Áp dng bài (1.20) bng cách thay n bng 2n, r bng n và m bng n. Ta đưc, C n0 C nn + C n1 C nn−1 +

Do C ni = C nn−i

i n

n i n

n n

0 n

·· · + C C − + ··· + C C

∀i = 0, . . . , n nên ta có đpcm.

n = C 2n

Bin c và xác sut Gii bài 2.1.

(a) Ta có, A ⊂ A + B = A suy ra A = ∅ và B = Ω. Th li ta thy đúng. Vy A = ∅, B = Ω (b) Ta có, A ⊃ AB = A suy ra A = Ω và B = ∅. Th li ta thy đúng. Vy A = Ω, B = ∅ (c) Ta có, A ⊂ A + B = AB ⊂ B Th li thy đúng. Vy A = B

⊂ A + B = AB ⊂ A, tc là A ⊂ B ⊂ A. Do đó, A = B.

Ta có, A.A + B = A(A B) = (AA)B = ∅. Vy A, A + B xung khc. Gii bài 2.3. (a) Gi

A : "Có đúng mt sinh viên đt yêu cu"

Ta có, A = B1 B2 B3 B4 + B1 B2B3 B4 + B1 B2 B3 B4 + B1 B2 B3 B4

(b) Gi

B : "Có đúng ba sinh viên đt yêu cu"

Ta có, B = B1B2 B3 B4 + B1 B2 B3 B4 + B1 B2 B3 B4 + B1 B2 B3B4

(c) Gi

C : "Có ít nht mt sinh viên đt yêu cu"

Ta có, C = B1 + B2 + B3 + B4

(d) Gi

D : "Không có sinh viên nào đt yêu cu"

Ta có, D = B1 B2 B3 B4

51

Gii bài 2.5. Ta có: X + A + A + A = B X.A + XA = B X (A + A) = B X = B X = B

Gii bài 2.7.

(a) Mô t các bin c A6 B6 , A3 B5

• A B : “s nt  mt trên c hai con xúc xc đu là 6” • A B : “s nt  mt trên con xúc xc th nht là 3 và trên con xúc xc th hai là 5.” 6

6

3

5

(b) Vit bng kí hiu các bin c A, B . A = A1B4 , A2 B5 , A3 B6 , A4B1 , A5 B2 , A6 B3

{ } B = {A B , A B , A B , A B , A B , A B } 1

1

2

2

3

3

4

(c) Mt nhóm đy đ các bin c là

{A, A} Gii bài 2.9.

Gi

A : “Tt c cùng ra  tng bn ” B : “Tt c cùng ra  mt tng ” C : “Mi ngưi ra mt tng khác nhau”

1 . 63 6 (b) Xác sut tt c cùng ra  mt tng, P (B) = 3 . 6 6 5 4 (c) Mi ngưi ra mt tng khác nhau, P (C ) = . 63

(a) Xác sut tt c cùng ra  tng bn, P (A) =

· ·

4

5

5

6

6

52

Gii bài 2.11.

Gi

A : “Trong s sn phm ly ra có đúng s sn phm xu”

Mi cách ly ngu nhiên k sn phm t lô hàng n sn phm là mt t hp chp k ca n phn t. Do đó, |Ω| = C nk Có C ms cách ly ra s sn phm xu t m sn phm xu trong lô hàng. s Có C nk−−m cách ly ra k − s sn phm tt t n − m sn phm tt trong lô hàng. s Theo quy tc nhân, |A| = C ms C nk−−m . Do đó, −s s A| C m C nk− | m P (A) = = C nk

|Ω|

Gii bài 2.13.

Gi

A : “Hp th nht có cha 3 sn phm”

Mi cách xp ngu nhiên mt sn phm vào mt trong 3 hp là mt cách chn ngu nhiên mt trong 3 hp. Do đó, s cách xp 12 sn phm ngu nhiên vào 3 hp là s chnh hp lp chp 12 12 ca 3 phn t, tc là |Ω| = A12 3 = 3 . 3 S cách xp 3 sn phm cho hp th nht là C 12 . S cách xp 9 sn phm cho hp th hai và ba là s chnh hp lp chp 9 ca 2 phn t, tc là A92 = 29 . 3 T đó, theo quy tc nhân, |A| = 29 C 12 Do đó,





9

3 12 12

|A| = 2 C P (A) = |Ω| 3

= 0.212

Gii bài 2.15.

Gi

A : “Ba đon st b ra to thành mt tam giác”.

Gi x,y,l − (x + y) là đ dài 3 khúc đưc b ngu nhiên. Khi đó,

{

|

Ω = (x, y) x > 0, y > 0, x + y < l

Đ to thành tam giác thì x, y phi tha:

 

x+y x+l

− (x + y) y + l − (x + y)

> l

− (x + y)

> y > x

⇐⇒

}

 

x+y >

l 2

y

<

l 2

x

<

l 2

53 Khi đó

l l l A = (x, y) x + y > , x < , y < 2 2 2

{

|

}

Biu din x, y trên trc ta đ ta tính đưc: P (A) =

|A| = 0.25 |Ω|

Gii bài 2.17.

Gi

C : “Cung AB không quá R”.

Ta thy P (A) =

|A| = đ dài cung IJ = 1 |Ω| đ dài đưng tròn 3

54

Gii bài 2.19.

Gi

Bi : "B phn th i hot đng tt" (i = 1, 2, 3) H : "H thng hot đng tt"

Theo gi thit, ta thy rng P (Bi ) = 0.95 vi i = 1, 2, 3 và H = B1 B2 B3 + B1 B2 B3 + B1 B2 B3 + B1 B2 B3

Do tính đc lp, xung khc và đi xng nên P (H ) = 3P (B1 )P (B2 )P (B3 ) + P (B1)P (B2 )P (B3 ) = 3(0.95)2 (0.05) + 0.953 = 0.9928

Gii bài 2.21.

− P (A + B) = 121 1 P (A + B) = 1 − P (A + B) = 4 11 P (AB) = 1 − P (AB) = 12 1 P (A) − P (AB) = 4 5 P (B) − P (AB) = 12

P (AB) = P (A) + P (B) P (A.B) = P (A + B) = P (AB) = P (AB) =

Gii bài 2.23.

Gi

Ai : “gi đúng  ln th i” (i = 1, 2, 3)

Khi đó, bin c “gi đúng khi không phi th quá ba ln” là A = A1 + A1 A2 + A1 .A2 A3 . Ta có P (A) = P (A1) + P (A1A2 ) + P (A1 .A2 A3 ) = P (A1) + P (A1)P (A2 A1 ) + P (A1 )P (A2 A1 )P (A3 A1 .A2 ) 1 9 1 9 8 1 = + . + . . 10 10 9 10 9 8 = 0.3

|

|

|

Khi đã bit s cui cùng là s l thì khi đó các s đ chn quay ch còn gii hn li trong 5 trưng hp (s l) nên công thc trên tr thành P (A) =

1 4 1 4 3 1 + . + . . = 0.6 5 5 4 5 4 3

55

Gii bài 2.25.

Gi

A : “Ngưi đó có ít nht mt vé trúng thưng”. A : “ngưi đó không có vé trúng thưng”

Ta có

r C N −M P (A) = r C N

T đó, P (A) = 1

− P (A) = 1 −

r C N −M r C N

Gii bài 2.27.

Gi

Ai : “Sinh viên th i nhn đúng áo ca mình” (i = 1, . . . , n) A : “Có ít nht mt sinh viên nhn đúng áo ca mình”

Ta có A = A1 + A2 + . . . + An . Xác sut đ sinh viên th i nhn đúng áo ca mình là P (Ai ) =

(n

− 1)! = 1 và n!

n

n



P (Ai ) =

i=1

n(n 1)! =1 n!

−

Ta tính xác sut đ sinh viên th k và i nhn đúng áo P (Ak Ai ) = P (Ai )P (Ak Ai ) =

|

n

T đó



P (Ak Ai ) = C n2 P (Ak Ai ) =

k
(n

− 2)! n!

n! (n 2)! 1 . = 2!(n 2)! n! 2!

−

−

Tng quát, xác sut đ có m(m ≤ n) sinh viên k1 , . . . , km nhn đúng áo ca mình là P (Ak1 Ak2 . . . Ak ) = m

và



P (Ak1 Ak2 . . . Ak ) = C nm m

1 k1
≤

≤

(n

(n

− m)! n!

− m)! = n!

1 m!

56 Suy ra,

   − n

P (A) = P

Ak

i=1

n

=

n

P (Ak )

k=1

= 1

P (Ak Ai ) +

k
n 1

·· · + (−1) − P (A A 1

2

. . . An )

− 2!1 + 13 − · · · + (−1) − n!1 n 1

Khi n → ∞, P (A) ∼ 1 − 1e Gii bài 2.29. Gi

Ai : “X th th i bn trúng” (i = 1, 2, 3)

Theo gi thit, (a) Gi

P (A1 ) = 0.6; P (A2 ) = 0.7; P (A3 ) = 0.8

A : “Ch có ngưi th hai bn trúng”

Khi đó, A = A1 A2 A3 và P (A) = P (A1 )P (A2 )P (A3) = (0.4)(0.7)(0.2) = 0.056

(b) Gi

B : “Có đúng mt ngưi bn trúng”

Khi đó, B = A1 A2 A3 + A + A1 A2 A3 và P (B) = P (A1 A2 A3 ) + P (A) + P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2)P (A3 ) + P (A) + P (A1)P (A2 )P (A3 ) = (0.6)(0.3)(0.2) + 0.056 + (0.4)(0.3)(0.8) = 0.188

(c) Gi

C : “Có ít nht mt ngưi bn trúng”

Khi đó, C = A1 + A2 + A3 và P (C ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 )

− P (A A ) − P (A A ) − P (A A ) + P (A A A ) P (A ) + P (A ) + P (A ) − P (A )P (A ) − P (A )P (A ) − P (A )P (A ) 1

=

1

1

2

3

2

1

2

3

2

1

3

3

1

2

+P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = 0.6 + 0.7 + 0.8 = 0.976

− (0.6)(0.7) − (0.6)(0.8) − (0.7)(0.8) + (0.6)(0.7)(0.8)

2

3

3

57 Hoc ta có th dùng cách tính sau: P (C ) = P (A1 A2 A3 ) 1

=

1

=

(d) Gi

− P (A A A ) 1 − P (A )P (A )P (A ) 1 − (0.4)(0.3)(0.2) = 0.976

= 1

2

3

2

3

D : “C ba ngưi đu bn trúng”

Khi đó, D = A1 A2 A3 và P (D) = P (A1 )P (A2)P (A3 ) = (0.6)(0.7)(0.8) = 0.336

(e) Gi

E : “Có đúng hai ngưi bn trúng”

Khi đó, E = A1 A2A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 và P (E ) = P (A1A2 A3 ) + P (A1 A2A3 ) + P (A1 A2 A3 ) = P (A1)P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = (0.6)(0.7)(0.2) + (0.6)(0.3)(0.8) + (0.4)(0.7)(0.8) = 0.452

(f) Gi

F : “Có ít nht hai ngưi bn trúng”

Khi đó, F = D + E và P (F ) = P (D) + P (E ) = 0.336 + 0.452 = 0.788

(g) Gi Khi đó,

G : “Có không quá hai ngưi bn trúng” P (G) = 1

− P (D) = 1 − 0.336 = 0.664

Gii bài 2.31. Ta có A = abc, acb, cab

{

}

và B = {abc, acb, bac}

(a) Vì AB = {abc, acb} =  ∅ nên A và B không to thành mt h đy đ. (b) P (AB) = P [{abc, acb}] = 1/9 và P (A) = P (B) = 1/18 + 1/18 + 2/9 = 1/3. Do đó P (AB) = P (A)P (B)

Vy A và B là hai bin c đc lp nhau.

58

Gii bài 2.33.

Gi

Ak : “B phn th k hng trong khong thi gian T ” (k = 1, 2, . . . , n) A : “Máy tính ngng làm vic trong khong thi gian T ” A : “Máy tính làm vic tt trong khong thi gian T ”

Theo gi thit, P (Ak ) = pk (k = 1, 2, . . . , n) và A = A1 A2 . . . An. Do đó P (A) = 1

− P (A) = 1 − P (A )P (A ) · ·· P (A ) = 1 − (1 − p )(1 − p ) ··· (1 − p ) 1

2

n

1

2

Gii bài 2.35. Ta có P (A) = P (AB + AB) = P (A B)P (B) + P (AB) = (1/8)(1/2) + 1/4 = 5/16

|

Gii bài 2.37.

Gi

T i : "Tng s nt hai ln tung bng i" (i = 1, 6) N j,k : "S nt trên ln tung th j bng k" ( j = 1, 2; k = 1, 6)

Ta tìm, P (T i N 1,2

|

∪ N ∪ 1,4

P (N 1,2 N 2,2 ) (1/6)2 N 1,6 ) = = = 1/18 P (N 1,2 N 1,4 N 1,6 ) (1/2)

∪

∩

∪

Gii bài 2.39.

Gi

Ai : “Bn trúng ln th i” A : “Phi bn đn viên th 6”

Ta có: A = A1 A2 . . . A5A6 và P (A) = P (A1 )P (A2 )

Gii bài 2.41.

5

··· P (A )P (A ) = (0.8 )(0.2) = 0.0655 5

6

(a) P (A + B + C ) = 0.95 (b) P (A + B + C ) = 1 − P (A + B + C ) = 1 − 0.95 = 0.05

n

59 (c) P (A BC ) = P (A + B + C ) − P (A + B) = 0.95 − 0.80 = 0.15 (d) Ta cn tính P [(AB C ) + (ABC ) + (A BC )] = P (AB C ) + P (ABC ) + P (A BC ) = 3P (A + B + C ) =

− P (A + B) − P (B + C ) − P (C + A) 3(0.95) − 0.80 − 0.90 − 0.85 = 0.3

Gii bài 2.43.

Gi

Ai : “ngưi th i nhn đưc phiu trúng thưng” (i = 1, . . . , 10)

Ta có 2 = 0.2 10 P (A2 ) = P (A2 A1)P (A1 ) + P (A2 A1 )P (A1 ) 1 2 2 8 = . + . 9 10 9 10 = 0.2 P (A1 ) =

|

|

... P (A10 ) = 0.2

Gii bài 2.45.

Gi

A : "Ngưi này hút thuc" B : "Ngưi này b viêm hng"

Theo gi thit ta có, P (A) = 0.3; P (B A) = 0.6; P (B A) = 0.3

|

|

Ta thy rng {A, A} là mt h đy đ các bin c. Theo công thc xác sut đy đ, ta tính đưc P (B) = P (B A)P (A) + P (B A)P (A) = 0.6(0.3) + 0.3(0.7) = 0.39

|

|

(a) Theo công thc Bayes, xác sut đ ngưi đó hút thuc lá khi bit ngưi đó b viêm hng là P (A B) =

|

P (B A)P (A) 0.6(0.3) = = 0.462 P (B) 0.39

|

60 (b) Theo công thc Bayes, xác sut đ ngưi đó hút thuc lá khi bit ngưi đó không b viêm hng là P (A B) =

|

P (B A)P (A) 0.4(0.3) = = 0.197 0.61 P (B)

|

Gii bài 2.47. ĐS: a. 0.28; b. 0.4375

Gi

A : “Nhn đưc cp sinh đôi tht” B : “Nhn đưc cp sinh đôi có cùng gii tính”

Do các cp sinh đôi tht luôn luôn có cùng gii tính nên P (B A) = 1

|

Vi các cp sinh đôi gi thì gii tính ca mi đa đc lp nhau và có xác sut là 0.5 nên P (B A) = P (B A) = 0.5

|

|

Do thng kê trên các cp sinh đôi nhn đưc thì P (B) = 0.3 + 0.34 = 0.64; P (B) = 0.36

(a) Do công thc xác sut toàn phn P (B) = P (B A)P (A) + P (B A)P (A) =

| | P (B |A)P (A) + P (B |A)(1 − P (A))

Suy ra P (A) = 0.28

(b) Do công thc Bayes, P (A B) =

|

P (B A)P (A) 0.28 = = 0.4375 P (B) 0.64

|

Gii bài 2.49.

Gi

Ai : “Sn phm ly ra ln đu  lô th i là loi I” (i = 1, 2) B : “Sn phm ly ra ln sau là loi I”

61 Ta có A1 , A2 đc lp vi nhau và {A1 A2 , A1 A2 , A1 A2, A1 A2 } là mt h đy đ các bin c. P (A1 ) =

10 16 , P (A2 ) = 12 20

1 P (B A1A2 ) = 1, P (B A1 A2) = P (B A1 A2 ) = , P (B A1 A2 ) = 0 2

|

|

|

|

Khi đó, P (B) = P (B A1 A2 )P (A1 A2) + P (B A1 A2 )P (A1 A2 )

|

|

+P (B A1 A2 )P (A1 A2) + P (B A1 A2 )P (A1 A2 ) 10 16 1 2 16 1 10 4 = 1. . + . . + . . 12 20 2 12 20 2 12 20 = 0.79

|

|

Gii bài 2.51.

Gi

Ai : “Sn phm do máy i sn xut” A : “Sn phm là ph phm”

Ta có: A1 , A2 , A3 là mt h đy đ các bin c và P (A1 ) = 0.25, P (A2 ) = 0.3, P (A3 ) = 0.45 P (A A1 ) = 0.001, P (A A2 ) = 0.002, P (A A3 ) = 0.004

|

|

|

(a) Theo công thc xác sut đy đ ta có: P (A) = P (A A1 )P (A1) + P (A A2 )P (A2 ) + P (A A3 )P (A3 )

|

|

= 0.00265

|

(b) Theo công thc Bayes ta có: P (A A2 )P (A2 ) P (A) = 0.226

P (A2 A) =

|

Gii bài 2.53.

|

62 Gi

Ai : “Khu pháo th i bn trúng” (i = 1, 2, 3) Bk : “Mc tiêu trúng k phát đn” (k = 0, 1, 2, 3) B : “Mc tiêu b tiêu dit”.

Ta có: {Bk , k = 0, 1, 2, 3} là mt h đy đ các bin c và B0 = A1 A2 A3 ,

B1 = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

B2 = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2A3 ,

B3 = A1 A2 A3

Ta có các gi thit sau: P (A1) = 0.4, P (A2 ) = 0.7, P (A3 ) = 0.8 P (B B0 ) = 0, P (B B1 ) = 0.3, P (B B2 ) = 0.7, P (B B3 ) = 1

T đó, ta tính đưc

|

|

|

|

P (B0 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = (0.6)(0.3)(0.2) = 0.036 P (B1 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = (0.4)(0.3)(0.2) + (0.6)(0.7)(0.2) + (0.6)(0.3)(0.8) = 0.252 P (B2 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = (0.4)(0.7)(0.2) + (0.4)(0.3)(0.8) + (0.6)(0.7)(0.8) = 0.488 P (B3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = (0.4)(0.7)(0.8) = 0.224

(a) Theo công thc xác sut đy đ ta có P (B) = P (B B0 )P (B0 ) + P (B B1 )P (B1 ) + P (B B2)P (B2 ) + P (B B3 )P (B3 )

|

|

|

= 0.(0.036) + (0.3)(0.252) + (0.7)(0.488) + 1.(0.224) = 0.6412

|

63 (b) Ta có P (BA 3 ) = P [BA 3 (A1 A2 + A1A2 + A1A2 + A1 A2 )] = P (A1 A2 A3 B) + P (A1 A2 A3 B) + P (A1 A2 A3 B) + P (A1 A2 A3B) = P (B A1 A2 A3)P (A1 A2 A3 ) + P (B A1 A2A3 )P (A1 A2 A3 )

|

|

+P (B A1 A2 A3)P (A1 A2 A3 ) + P (B A1 A2 A3 )P (A1 A2 A3 )

|

|

= 1.(0.224) + (0.7)[(0.6)(0.7)(0.8)] + (0.7)[(0.4)(0.3)(0.8)] +(0.3)[(0.6)(0.3)(0.8)] = 0.5696

Do đó P (A3 B) =

|

0.5696 P (BA 3 ) = = 0.8883 P (B) 0.6412

Gii bài 2.55.

(a) Tính xác sut đ khách hàng mua đưc sn phm loi A Gi

T : "Khách hàng mua đưc sn phm loi A" Ai : "Mua  ca hàng i"

Ta có {A1 , A2 , A3 } là mt h đy đ các bin c và P (A1 ) =

2 1 2 = 0.4 P (A2 ) = = 0.2 P (A3 ) = = 0.4 5 5 5

P (T A1 ) = 0.7 P (T A2) = 0.75 P (T A3 ) = 0.5

|

|

|

Áp dng công thc xác sut đy đ, ta có xác sut đ khách hàng mua đưc sn phm loi A là P (T ) = P (A1 )P (T A1) + P (A2)P (T A2 ) + P (A3 )P (T A3 ) =

| 0.4 × 0.7 + 0.2 × 0.75 + 0.4 × 0.5

= 0.63

|

|

64 (b) Áp dng công thc Bayes, ta có P (A1 T ) =

|

= P (A2 T ) =

|

= P (A3 T ) =

|

=

P (A1 )P (T A1 ) P (T ) 0.4 0.7 = 0.4444 0.63 P (A2 )P (T A2 ) P (T ) 0.2 0.75 = 0.2381 0.63 P (A3 )P (T A3 ) P (T ) 0.4 0.5 = 0.3175 0.63

|

×

|

×

|

×

Ta thy rng P (A1 |T ) là ln nht tc là kh năng ngưi y đã mua  ca hàng I là nhiu nht.

Bin ngu nhiên và hàm phân phi Gii bài 3.1.

(a)

F (x) =

(b)

    

0 1/8 3/8 5/8 7/8

x

≤ −2 − 2 < x ≤ −1 −1 < x ≤ 0 02

1

− ≤ X ≤ 1) = 68 4 P (X ≤ −1 hoc X = 2) = 8 P ( 1

(c) Bng phân phi xác sut ca bin ngu nhiên Y = X 2 Y

0

1

4

P

2/8

4/8

2/8

Gii bài 3.3.

(a) Ta có EX = E (X 2 ) = V ar(X ) =

−1(0.5) + 0(0.2) + 3(0.3) = 0.4 (−1) (0.5) + 0 (0.2) + 3 (0.3) = 3.2 E (X ) − (EX ) = 3.04 2

2

2

2

2

66 Do đó, σ = (b) Ta có



V ar(X ) = 1.7436. E (X 3) = ( 1)3 (0.5) + 03 (0.2) + 33 (0.3) = 7.6

−

(c) Vi x ≤ −1 thì F X (x) = 0. Vi −1 < x ≤ 0 thì F X (x) = 0.5. Vi 0 < x ≤ 3 thì F X (x) = 0.5 + 0.2 = 0.7. Vi x > 3 thì F X (x) = 1. Vy

F X (x) =

(d) Ta có, Vi x = −1 thì y = x2 + x + 1 = 1. Vi x = 0 thì y = x2 + x + 1 = 1. Vi x = 3 thì y = x2 + x + 1 = 13. Do đó,

   

nu x ≤ −1

0

0.5 nu

−1
0.7

nu x > 3

1

P (Y = 1) = P (X =

−1) + P (X = 0) = 0.7

P (Y = 13) = P (X = 3) = 0.3

Vy bng phân phi xác sut ca Y s là

Gii bài 3.5. Ta tìm F X (x) =



Y

1

13

P

0.7

0.3

x

f (y)dy

−∞

• Nu x ≤ 0 thì F (x) = 0 • Nu x > 0 thì F (x) = X

X



x

e−y dy = 1

0

Vy F X (x) =

x

− e−

 

x

0 1

x

− e−

≤0

x>0

67 (a) P (3

3

≤ X ) = 1 − P (X < 3) = 1 − F (3) = e− X

(b) Ta tìm a sao cho F X (a) = 0.1, tc là a

− e−

1

= 0.1

Suy ra a = 0.105 (c) Ta có:

√

F Y (y) = P (Y < y) = P ( X < y)

• Nu y ≤ 0 thì F (y) = 0 • Nu y > 0 thì F (y) = P (0 ≤ X < y ) = F (y ) − F (0) = 1 − e− Y

2

Y

Vy F Y (y) =

 −  

f Y (y) =

e−y

2

2ye −y

2

≤0

y>0

y

0

y2

X

y

0 1

T đó,

2

X

≤0

y>0

Gii bài 3.7. Ta thy rng f X (x) là mt hàm đi xng qua trc Ox. Do đó P (X < 0) = 1/2. Gii bài 3.9.

(a) Ta tìm c t điu kin f X (x) ≥ 0 vi mi x ∈ R và



∞



1

f X (x)dx =

c(1

−1

−∞



∞

f X (x)dx = 1. Ta có

−∞

− x )dx = 4c3 2

Suy ra c = 34 . Ta thy rng vi giá tr c = 34 thì f X (x) ≥ 0 vi mi x ∈ R. Vy c = 34 (b) Ta có EX =



∞

−∞



1

xf X (x)dx =

3 x(1 4 −1

2

− x )dx = 0

68 (c) Ta có 2

EX =



∞

x f X (x)dx =

−∞

Do đó,

V ar(X ) = EX 2

(d) Ta có F X (x) =



x



1

2

3 2 x (1 −1 4

− (EX )

2

− x )dx = 15 2

=

1 5

f X (t)dt.

−∞

Vi x < −1 thì F X (x) = 0. Vi −1 ≤ x ≤ 1 thì



x

F X (x) =

Vi x > 1 thì F X (x) = 1. Vy F X (x) =

3 (1 4 −1

  −

2

3

1 3 x 4

p√ X (x) =

+ 34 x +

1 2

nu

−1 ≤x ≤ 1

nu x > 1

1

 

3 1 + x+ 4 2

nu x < −1

0

Gii bài 3.11. Ta có

Do đó

− t )dt = − 14 x

1/4 nu x = 0 1/2 nu x = 1 1/4 nu x = 2

√   3

E

X

=

xi p√ X (xi )

i=1

1 1 1 = 0. + 1. + 2. 4 2 4 = 1 3

E (X ) =



xi pX (xi )

i=1

1 1 1 = 0. + 1. + 4. 4 2 4 3 = 2

69 Do đó, V ar(X ) = EX

− √  E

X

2

=

3 2

2

−1

=

1 2

Gii bài 3.13.

(a) Vi x < 0 hoc x > 4 thì f X (x) = F X (x) = 0. Vi 0 < x < 1 thì f X (x) = F X (x) = 1/2. Vi 1 < x < 4 thì f X (x) = F X (x) = 1/6. Vi x = 0 ta có lim+

x

→x

lim−

x

→x

F X (x)

− F (0) x F (x) − F (0)

x/2 = 1/2 x→0 x 0 0 = lim =0 x→0+ x

X

X

=

lim+

−

X

x

Do đó, F X không có đo hàm ti x = 0. Vi x = 1 ta có F X (1 + x) lim+ x→x x F X (1 + x) lim− x→x x

− F (1) X

=

− F (1) X

=

lim+

→0

1+x 6

+ 13 x

1+x 2

−

x

lim−

1 2

x

x

→0

−

1 2

= 1/6

= 1/2

Do đó, F X không có đo hàm ti x = 1. Vi x = 4 ta có F X (4 + x) x→x+ x F X (4 + x) lim− x→x x lim

− F (4) X

− F (4) X

= =

lim

x

+

→0

lim−

x

→0

1

−1 =0 x + −1 = 1/6

4+x 6

1 3

x

Do đó, F X không có đo hàm ti x = 4. Vy f X (x) =

 

1/2 nu 0 < x < 1 1/6 nu 1 < x < 4 0

nu x < 0 hoc x > 4

(b) Do 0.5 < 0.75 < 1 nên 1 < x0.75 < 4. T đó, ta có phương trình F X (x0.75 ) =

Gii ra ta đưc x0.75 = 2.5.

x0.75 1 + = 0.75 6 3

70 (c) Ta có

 

∞

EX =

xf X (x)dx

−∞ 1

=

0

1 xdx + 2

= 1.5

(d) Ta có E (1/X ) =

 

=

4

1 xdx 6

1

∞1 f X (x)dx −∞ x 1

=



0

∞



1 xdx + 2x

1

4

1 xdx 6x

(e) Ta có (i) F Y (0) = P (Y < 0) = P (X ≤ 1) = F (1) = 0.5. (ii) Ta tính EY = = =

−P (X ≤ 1) + P (X > 1) −F (1) + 1 − F (1) 1 − 2F (1)

= 0

E (Y 2 ) = P (X = 1

≤ 1) + P (X > 1)

Do đó V ar(Y ) = E (Y 2 )

2

− (EY )

=1

2

−0

=1

Gii bài 3.15.

(a) Ta tìm k t điu kin f (x) ≥ 0 vi mi x ∈ R và



3 . 64

Ta thy rng vi k = Vy k =

3 . 64

∞

−∞

3 thì f (x) 64

≥ 0 vi mi x ∈ R.

4

f (x)dx = k

0

x2 (4

f (x)dx = 1. Ta có,

−∞



∞

Suy ra k =



− x)dx = k 643

71 (b) F (x) =



x

f (y)dy.

−∞

• Nu x < 0 thì F (x) = 0 • Nu 0 ≤ x ≤ 4 thì F (x) = 643 • Nu x > 4 thì F (x) = 1



x

y2 (4

0

Vy

 

F (x) =

(c) Ta có,

3 x − y)dy = 161 x − 256 3

x<0

0 1 3 x 16

3 4 x 256

−

0

≤x≤4

x>4

1

EX =

4

   

∞

xf (x)dx

−∞ 4

=

0

3 3 x (4 64

− x)dx

= 2.4 2

EX

=

∞

x2 f (x)dx

−∞ 4

=

0

3 4 x (4 64

− x)dx

= 6.4

V ar(X ) = EX 2

Xét g(x) =

3 2 x (4 64

2

− (EX )

= 0.64

− x), 0 ≤ x ≤ 4. Ta có, g (x) =

3 x(8 64

− 3x) 8 3

Ta thy g(x) đi du t dương sang âm khi qua giá tr x = . Do đó g(x) đt cc đi ti giá tr này. Vy M od(X ) = (d) Gi

8 3

A : “Côn trùng cht trưc mt tháng tui.”

Ta có A = {X < 1} và P (A) = P (X < 1) = F (1) =

1 16

3 = 0.0508 − 256

72

Gii bài 3.17.

Gi

A : “Nhn đưc l hng t thùng A”

(a)

B : “Nhn đưc l hng t thùng B” X : “S l hng trong hai l ly ra”

Ta có X ly các giá tr 0, 1, 2 và A, B là các bin c đc lp. Ta có P (X = 0) = P (A B) = P (A)P (B) =

18 17 = 0.765 20 20

P (X = 1) = P (AB + AB) = P (A)P (B) + P (A)P (B) = P (X = 2) = P (AB) = P (A)P (B) =

2 3 = 0.015 20 20

T đó, ta đưc bng phân phi xác sut X

0

và hàm mt đ ca X

f (x) =

Ta có,

2

0.765 0.22 0.015

P

(b) Gi

1

   

0.765

khi x = 0

0.22

khi x = 1

0.015

khi x = 2

0

khi x  = 0, 1, 2

Y : “s l hng trong 3 l ly ra t thùng B” 3−k C 3k C 17 P (Y = k) = , C 23 0

k = 0, 1, 2, 3

và ta nhn đưc bng phân phi xác sut Y P

0

1

2

3

0.596 0.358 0.045 0.001

2 17 18 3 + = 0.22 20 20 20 20

73 và hàm mt đ ca Y

f (y) =

   

0.596

khi y = 0

0.358

khi y = 1

0.045

khi y = 2

0.001

khi y = 3

0

khi y  = 0, 1, 2, 3

Gii bài 3.19.

(a) T điu kin f X (x) ≥ 0 vi mi x ∈ R và

 

∞

f X (x)dx =

(b) Theo đnh nghĩa, F X (x) =

∞

∞

f X (x)dx = 1, ta tính đưc c

−∞ ∞

cxe−x/2dx = 4c

0

−∞

Suy ra c = 1/4

 

f X (x)dx.

−∞

Nu x < 0 thì F X (x) = 0. ∞1 1 Nu x ≥ 0 thì F X (x) = te−t/2 dt = 1 − (x + 2)e−x/2 .

 0

Vy

4

2

  

(c) Ta có EX =



∞

∞

(d) Ta có

xf X (x)dx =

−

1

∞1

0

nu x < 0

0

F X (x) =

4

1 (x 2

+ 2)e−x/2 nu x

x2 e−x/2 dx = 4.

2

EX

= =

 

∞

x2 f X (x)dx

−∞ ∞1 0

4

x3 e−x/2 dx

= 24

V ar(X ) = EX 2 = 8 σ(X ) =

 √

V ar(X )

= 2 2

2

− (EX )

≥0

≥ 0 và

74 (e) Do X là bin ngu nhiên liên tc nên vi Med(X ) = m ta phi có P (X ≤ m) = 1/2, tc 1 1 là F (m) = 1 − (m + 2)e−m/2 = . T đó ta tìm đưc m = −1.5361. 2

2

Gii bài 3.21.

(a) Ta có, X P

(b) Ta có,

F (x) =

0

1

2

3

0.42 0.425 0.14 0.015

   

0

khi x ≤ 0

0.42

khi 0 < x ≤ 1

0.845

khi 1 < x ≤ 2

0.985

khi 2 < x ≤ 3

1

khi x > 3

(c) Ta có th tính bng mt trong hai cách sau:

• P (0 < X ≤ 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0.425 + 0.14 + 0.015 = 0.58 • P (0 < X ≤ 4) = P (1 ≤ X < 4) = F (4) − F (1) = 1 − 0.42 = 0.58 Gii bài 3.23.

(a) Xác sut ly đưc transistor loi A, B ln lưt là p1 = 100 = 23 và p2 = 1 − p1 = 13 . 150 Gi X là s transistor đưc rút ra. X ∈ {1, 2, . . .}. Ta cn tìm P (X

∈ {9, 10})

= P (X = 9) + P (X = 10) = p81 p2 + p91 p2 = 0.0217

(b) Gi n là s transistor ít nht đưc rút ra. Theo gi thit, P (X = n) =

pn1

=

 2 3

n

<

1 3

75 Ta tìm đưc n>

log(1/3) = 2.7095 log(2/3)

Vy n = 3.

Gii bài 3.25.

Gi

Ai : “Tung ln th i đưc 6 nút” (i = 1, 2, 3) X : “S tin thu đưc sau 1 ln chơi”

Ta có, P (X = 0) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) 555 = = 0.579 666 P (X = 2000) = P (A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2)P (A3 ) 155 = 3. = 0.347 666 P (X = 4000) = P (A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2)P (A3 ) 115 = 3. = 0.069 666 P (X = 6000) = P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) 111 = = 0.005 666

T đó, ta có đưc bng phân phi xác sut ca X như sau: X P

0

2000

4000

6000

0.579 0.347 0.069 0.005

T đó, 4

EX =

 i=1

xi P (X = xi ) = 1000

76 (a) Đ ngưi chơi v lâu v dài hu vn thì ta cn A = EX = 1000 đ (b) Đ trung bình mi ln ngưi chơi mt 1 ngàn đ thì A = EX + 1000 = 2000 đ. Gii bài 3.27.

(a) Ta có F X (x) = P (X < x) = P (X

≤ x) =

 

cπx 2 nu 0

≤ x < 25 nu x ≥ 25

1

(i) Vì F X liên tc trái nên limx→25− F X (x) = F (25), tc là cπ252 = 1. Vy c = (ii) Vi 0 ≤ x < 25 thì f X (x) = Vi x > 25 thì f X (x) = 0 Vi x = 25, ta có

2 x 252

F X (25 + t) t→0 t F X (25 + t) lim− t→0 t lim+

Suy ra

F X (25 + t) t→0+ t Hay f X (25) = F X (25) = 0. lim

.

− F (25) X

− F (25) X

P (X

→0

=

lim−

1

−1 =0 t

1 (25 252

t

→0

+ t)2 t

X

t



∞

 

2 x 252

−1 =0

0

X

t

0−

→

nu 0 ≤ x < 25 nu x ≥ 25

xf X (x)dx =

−∞

(iv) Ta có

t

X

f X (x) =

EX =

lim+

− F (25) = lim F (25 + t) − F (25) = 0

Vy

(iii) Ta có

=



25

0

2 2 50 x dx = 252 3

≤ X ≤ 10) = F (10) − F (5) = 1 ≤ 10|X ≥ 5) = P (5P (X 1 − F (5) 8 ≥ 5)

(b) Gi Y là s tin ngưi chơi đt đưc. Ta có EY = P (r < X = =

≤ 2r) + 10P (X ≤ r) − 1 F (2r) − F (r) + 10F (r) − 1 F (2r) + 9F (r) − 1

1 . π252

77 Theo gi thit EY = 0.25 ta suy ra F (2r) + 9F (r)

− 1 = 2513 r − 1 = 0.25 2

2

Vy r = 7.7522 cm.

Gii bài 3.29.

(a) A = 2 và F (x) =

 

x2

khi 0 ≤ x ≤ 1

0

khi x < 0

1

khi x > 1

2 EX = , V a r(X ) = 0.055 3

(b) A = 0.5 và F (x) =

 

1 (1 2

− cos x)

khi 0 ≤ x ≤ π

0

khi x < 0

1

khi x > π

π π2 EX = , V a r(X ) = 2 4

(c) A = π và F (x) =

 

EX =

1 2

(d) A = 3 và F (x) =

−2

sin(πx)

khi 0 ≤ x ≤

0

khi x < 0

1

khi x >

1 2

− π1 , V a r(X ) = π π− 3

 

2

1 0

−

1 x3

khi 0 ≥ 1 khi x < 1

3 3 EX = , V a r(X ) = 2 4

1 2

78

Gii bài 3.31. Ta có,

X + Y P

X 2

0

1

4

P

0.3

0.5

0.2

−2 −1 0.06

0.17

0

1

2

3

0.27

0.27

0.17

0.06

T đó, EX 2 = 0.13 EX 4 = 3.7 V ar(X 2 ) = EX 4 = 3.683

2 2

− (EX )

E (X + Y ) = 0.5 E [(X + Y )2 ] = 1.9 V ar(X + Y ) = E [(X + Y )2 ] = 1.65

Gii bài 3.33. Ta có Y =

Do đó,

 −  

1

F Y (y) =

 

0

1 nu X < 0

0

1

nu

F X (0) nu 1

2

nu X ≥ 0

nu

P (X < 0) nu

F Y (y) = P (Y < y) =

Vy

− [E (X + Y )]

nu

y

≤ −1 −1 < y ≤ 1

nu y

y>1

≤ −1 −1 < y ≤ 1 y>1

79

Gii bài 3.35. Trong gii tích cơ s ta đã bit, Đnh nghĩa 7.1. Cho A là mt tp con khác trng ca R. Ta nói A là mt khong trong R nu và ch nu [x, y]

⊂ A vi mi x, y ∈ A sao cho x ≤ y.

Đnh lý 7.2. Cho f là mt hàm s thc liên tc trên mt khong A. Lúc đó, f (A) là mt khong trong R.

Tr li bài toán, ta cn tìm F Y (y) = P (Y < y) = P (F (X ) < y)

• Vi y > 1, ta có F (y) = 1. • Vi y ≤ 0, ta có F (y) = 0. • Vi 0 < y ≤ 1, ta áp dng đnh lí (7.2) trên vi A = R và f = F , cho ta F (R) là mt khong trong R. Mt khác F (0) = 0, F (2) = 1 ∈ F (R). Do đó, theo đnh nghĩa (7.1), [0, 1] ⊂ F (R). Kt hp vi F (R) ⊂ [0, 1], ta suy ra F (R) = [0, 1] tc F toàn ánh trên R. Do đó, vi 0 < y ≤ 1 tn ti nh ngưc F − (y). Y

Y

1

T tính đơn điu ca F , ta có,

F Y (y) = P (F (X ) < y) = P (X < F −1 (y)) = F (F −1 (y)) = y

Vy F Y (y) =

 

0 nu y

≤0

y nu 0 < y

≤1

1 nu y > 1

Nhn xét 7.3. Ta thy rng Y ∼ U (0, 1) và không ph thuc vào phân phi ca X .

Mt s bin ngu nhiên thông dng Gii bài 4.1. Gi X là s sn phm không đt tiêu chun trong 10 sn phm ly ra. Ta có, 2000 X ∼ B (10, (10, ) = B (10, (10, 0.25). 8000 Khi đó, xác sut đ trong 10 sn phm ly ra có 2 sn phm không đt tiêu chun là 2 P ( P (X = 2) = C 10 (0. (0.25)2 (0. (0.75)8 = 0.282

(4;0.5) Gii bài 4.3. Gi X là s con trai trong mt gia đình có 4 con thì X ∼ B (4;0.

(a) Xác sut đ có hai trai và và hai gái trong bn đa con là P ( P (X = 2) = C 42(0. (0.5)2 (0. (0.5)2 = 0.375

(b) Xác sut đ có mt con trai trong s bn đa con là P ( P (X = 1) = C 41 (0. (0.5)1 (0. (0.5)3 = 0.25

(c) Xác sut đ c bn đu là trai là P ( P (X = 4) = C 44 (0. (0.5)4(0. (0.5)0 = 0.0625

Gii bài 4.5. 4.5. Gi X là s trưng hp cn chăm sóc đc bit trong 20 ca sinh. Ta có, X ∼ B (20;0. (20;0.01).

(a) Xác sut đ không không có trưng trưng hp nào cn chăm sóc đc bit là 0 P ( P (X = 0) = C 20 (0. (0.01)0(0. (0.99)20 = 0.818

(b) Xác sut đ có đúng mt trưng trưng hp cn chăm sóc đc bit là 1 P ( P (X = 1) = C 20 (0. (0.01)1(0. (0.99)19 = 0.165

81 (c) Xác sut có nhiu nhiu hơn mt trưng hp cn chăm chăm sóc đc bit là P ( P (X > 1) = 1

(0.818 + 0. 0.165) = 0. 0.017 P (X = 0) + P ( P (X = 1)] = 1 − (0. − [P ( Khi xp x phân phi nh thc bng phân phi Poisson, nghĩa là X ∼ P (20 P (20 × 0.01) = P (0 P (0..2), ta

nhn đưc

P ( P (X = 0) = e−0.2 = 0.819 1 0.2 0.2 − P ( P (X = 1) = e = 0.164 1! P ( P (X > 1) = 1 [P ( P (X = 0) + P ( P (X = 1)] =

− 1 − (0. (0.819 + 0. 0.164) = 0. 0.017

Kt lun : Vi c mu 20 và t l bnh p = 0.01 thì kt qu ca hai loi phân phi này xp x như nhau. (400, 0.1) Gii bài 4.7. Gi X là s ngưi mc bnh A trong nhóm 400 ngưi. Khi đó, X ∼ B (400, (a) Công thc tính tính xác sut đ trong nhóm có nhiu nht 50 ngưi mc bnh A là 50

P ( P (X

≤ 50) =



i C 400 0.1i 0.9400−i

i=0

(b) Do n = 400 ≥ 20 và p = 0.1 không quá gn 0 hoc 1, nên ta có th áp dng công thc xp x phân phi chun. P ( P (X

≤ 50)

X 400. 400.(0. (0.1) 400. 400.(0. (0.1). 1).(0. (0.9) Φ(1. Φ(1.667)

= P

≈

 −

≤

50 400. 400.(0. (0.1) 400. 400.(0. (0.1). 1).(0. (0.9)

 −



= 0.953

Gii bài 4.9. 4.9. Vì mi gi sn xut đưc 20 sn phm nên mi khong thi gian 30 phút máy sn xut đưc 10 sn phm. Gi X là s th phm máy sn xut ra trong 30 phút. Theo gi thit ta có X ∼ B (10, (10, 0.85). Ta cn tìm P ( P (X

∈ {8, 9})

= P ( P (X = 8) + P ( P (X = 9) 8 9 = C 10 (0. (0.85)8 (0. (0.15)2 + C 10 (0. (0.85)9 (0. (0.15)1

= 0.6233

Gii bài 4.11. 4.11.

82 Gi

Ai : "Xúc sc th i xut hin ô ngưi chơi đt" (i = 1, 2, 3) B : "Ngưi chơi thng"

Ta có P ( P (B ) = P ( P (A1 A2 A3 ) = P ( P (A1 )P ( P (A2 )P ( P (A3 ) = 16 16 16 = 0.00463 Vy sau nhiu ln chơi ngưi làm cái s thng. Gi X là s tin ngưi làm cái thu đưc. Ta có bng phân phi ca X như sau: X P

-5000

1000

0.004 0.00463 63 0.995 0.99537 37

Khi đó trung bình mi ván ngưi làm cái s thng EX = 972. 972.2222 đ. Gii bài 4.13. 4.13. (a) Trưc ht ta lp bng phân phi xác sut ca X và Y như sau: X

0

1

Y

0

1

2

P

0.2

0.8

P

0.64

0.32

0.04

Ta có, P ( P (X + Y = 0) = P ( P (X = 0, Y = 0) = P ( P (X = 0)P 0)P ((Y = 0) = 0.512 P ( P (X + Y = 1) = P ( P (X = 0, Y = 1) + P ( P (X = 1, Y = 0) = P ( P (X = 0)P 0)P ((Y = 1) + P ( P (X = 1)P 1)P ((Y = 0) = 0.384 P ( P (X + Y = 2) = P ( P (X = 0, Y = 2) + P ( P (X = 1, Y = 1) = P ( P (X = 0)P 0)P ((Y = 2) + P ( P (X = 1)P 1)P ((Y = 1) = 0.096 P ( P (X + Y = 3) = P ( P (X = 1, Y = 2) = P ( P (X = 1)P 1)P ((Y = 2) = 0.008

T đó suy ra bng phân phi xác sut ca X + Y là X + Y P

0

1

2

3

0.512 0.384 0.096 0.008

83 Kim tra X + Y ∼ B(3, 15 ). Ta có, P (X + Y = 0) =

C 30

P (X + Y = 1) =

C 31

P (X + Y = 2) =

C 32

P (X + Y = 3) =

C 33

    1 5

0

4 5

3

1 5

1

4 5

2

1 5

2

4 5

1

1 5

3

4 5

0

Vy X + Y ∼ B(3, 15 ). (b) Ta lp bng phân phi xác sut ca X và Y như sau: X

0

1

Y

0

1

2

P

0.5

0.5

P

0.64

0.32

0.04

Ta có, P (X + Y = 0) = P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0)P (Y = 0) = 0.32 P (X + Y = 1) = P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 0) = P (X = 0)P (Y = 1) + P (X = 1)P (Y = 0) = 0.48 P (X + Y = 2) = P (X = 0, Y = 2) + P (X = 1, Y = 1) = P (X = 0)P (Y = 2) + P (X = 1)P (Y = 1) = 0.18 P (X + Y = 3) = P (X = 1, Y = 2) = P (X = 1)P (Y = 2) = 0.02

T đó suy ra bng phân phi xác sut ca X + Y là X + Y

0

1

2

3

P

0.32

0.48

0.18

0.02

84 Gi s X + Y có phân b nh thc dng B(3, p). Khi đó, P (X + Y = 0) = C 30 p0 (1

− p)

3

= 0.32

Ta suy ra, p = 0.316 Mt khác, vi giá tr p này, P (X + Y = 3) = C 33 p3 (1

− p)

0

= p3 = 0.0316 > 0.02 (vô lí)

Vy X + Y không có phân b nh thc.

Gii bài 4.15. Gi X là s bì thư máy đc sai trong mi phút. Ta có, X ∼ B(5000, 0.0004)

(a) S bì thư trung bình mi phút máy đc sai là EX = 5000.(0.0004) = 2

(b) S bì thư tin chc nht trong mi phút máy đc sai là s bì thư mà xác sut máy đc sai là ln nht, tc là M od(X ). Ta có, 5000.(0.0004)

− 0.9996 ≤ Mod(X ) ≤ 5000.(0.0004) + 0.9996

tc là 1.0004 ≤ Mod(X ) ≤ 2.9996 Suy ra Mod(X ) = 2. (c) Xác sut đ trong mt phút máy đc sai ít nht 3 bì thư là P (X

− P (X < 3) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] Do n = 5000 ≥ 100, p = 0.0004 ≤ 0.01, np = 2 ≤ 20. Nên ta có th tính các xác sut xp ≥ 3)

= 1

x theo lut Poisson như sau, P (X

≥ 3)

− [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] 2 2 1 − e− 1 + + 1! 2!

= 1 =

= 0.323

Gii bài 4.17.

2



1

2



85 (a) Gi X là s th phm trong 10 sn phm đưc kim tra. X ∈ {0, 1, 2}. Ta có 10 C 23 = 0.35 P (X = 0) = 10 C 25 9 C 21 C 23 P (X = 1) = = 0.5 10 C 25

Xác sut quá trình sn xut đưc báo cáo đt yêu cu là P (X

∈ {0, 1}) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.85

Gi Y là s ln quá trình sn xut đưc báo cáo đt yêu cu trong 8 ln kim tra. Ta có Y ∼ B(8, 0.85). Ta cn tính P (X

≥ 7)

= P (X = 7) + P (X = 8) = C 87 (0.85)7 (0.15)1 + C 88 (0.85)8 (0.15)0 = 0.6572

(b) Gi Z là s ln quá trình sn xut đưc báo cáo không đt yêu cu trong 8 ln kim tra. Ta có Z ∼ B(8, 0.15) ≈ P (8 × 0.15 = 1.2). Do đó, 1.20 1.21 1.2 − P (Y ≥ 7) = P (Z ≤ 1) = e + = 0.6626



0!

1!



(c) Theo gi thit, ta cn tính P (X = 0 X

| ≤ 1)

P (X = 0, X 1) P (X 1) P (X = 0) = P (X 1) 0.35 = = 0.4118 0.85 =

≤

≤

≤

Gii bài 4.19. Ta có P (X

Gii bài 4.21.

≥ 1|X ≤

5 P (X 1, X 1) P (X = 1) e−5 .5 1) = = = −5 = P (X 1) P (X 1) e + e−5 .5 6

≥

≤

≤

≤

86 (a) Xác sut không phi tt c 4 chic ôtô đu đưc thuê là P (X

≤ 3)

= P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) 22 23 2 − = e 1+2+ + 2! 3! = 0.857





(b) Xác sut tt c 4 chic ôtô đu đưc thuê là P (X

≥ 4) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − 0.857 = 0.143

(c) Xác sut ca hàng không đáp ng đưc yêu cu là P (X > 4) = P (X

≥ 4) − P (X = 4) 2 0.143 − e− 4! 4

2

=

= 0.053

(d) Trung bình s ô tô đưc thuê là EX = 2 (e) Ta có, P (X > 5) = 1 =

− P (X ≤ 5) 2 2 2 2 1 − e− 1 + 2 + + + + 2! 3! 4! 5! 2



2

3

= 0.017 < 0.02

4

5



Như vy s ô tô cn thit đ xác sut không đáp ng đưc nhu cu thuê bé hơn 2% là 5. Gii bài 4.23.

(a) Theo gi thit, ta có X ∼ P (λ) và P (X = 1) = 3P (X = 0)

⇐⇒ ⇐⇒

e−λ λ1 1!

=

λ

=

−λ λ0

3e

0!

3

Do đó, P (2

≤ X ≤ 4)

= P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) 32 33 34 3 − = e + + 2! 3! 4! = 0.6161





87 (b) Ta có P (X = 0) = e−3 = 0.0498. Theo gi thit, U ∼ B(100, 0.0498). Do đó, P (U

≤ 1)

= P (U = 0) + P (U = 1) 0 1 = C 100 (0.0498)0 (0.9502)100 + C 100 (0.0498)1 (0.9502)99

= 0.0377

Gii bài 4.25. Gi X i là s khách hàng xut hin trong phút th i (i = 1, 2, 3). Theo gi thit các X i đc lp nhau và X i ∼ P (5). Gi Y là s khách hàng xut hin trong khong thi gian 3 phút. Ta có Y = X 1 + X 2 + X 3 . Theo bài (4.20), thì Y ∼ P (15). Ta cn tìm 9 k 15 15 − P (Y ≥ 10) = 1 − P (Y ≤ 9) = 1 − e = 0.9301

 k=0

k!

e−λ λ0 P (λ) và p = P (X = 0) = = e−λ . 0!

Gii bài 4.27. Ta có X ∼ Gi Y là s bánh quy không có nho khô trong 20 bánh trong hp. Khi đó Y ∼ B(20, p). Ta có điu kin P (Y

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

≤ 2) = 0.925

P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) = 0.925 0 0 20 1 1 19 2 2 18 C 20 p q + C 20 p q + C 20 p q = 0.925 vi q = 1

171q 20

− 360q

19

+ 190q 18

− p

− 0.925 = 0

Gii phương trình này ta đưc q = 0.9501 tc p = 0.0499. T đó λ = − ln(0.0499) = 2.9977 ≈ 3. Chú ý rng, ta có th kim tra vi λ = 3, ta có P (Y

≤ 2) ≈

0.950220 + 20(0.9502)19 (0.0498)

+ 190(0.9502)18 (0.0498)2

≈ 0.925

Tuy nhiên λ không nht thit phi là s nguyên vì nó là s trung bình nho khô có trong mt cái bánh. Gii bài 4.29.

(a) Gi Ai : "sn phm th i, đưc sn xut bi máy đu tiên, là chính phm" (i = 1, 2, . . .)

88 X là s sn phm đưc sn xut bi máy đu tiên trưc khi nó to ra th phm đu tiên. Ta có P (Ai) = 0.98 vi mi i = 1, 2, . . . và P (X = 0) = P (A1 ) = 0.02 P (X = 1) = P (A1 A2 ) = 0(.98)(0.02) ... P (X = n) = P (A1 A2 . . . An An + 1) = (0.98)n (0.02) ...

Do đó, ∞



EX =

nP (X = n)

n=0

= 0.02

∞



(7.4)

n(0.98)n

n=0

Đt p = 0.98 < 1, ta cn tìm



∞ npn . Ta có n=0 n



k

p =

k=0

1

n+1

− p 1 − p

(7.5)

Ly đo hàm theo p hai v ca (7.5), n



npn+1 − (n + 1) pn + 1 − kp = 2

(7.6)

k 1

(1

k=0

− p)

Nhân hai v ca (7.6) cho p, n



kp

k

=

k=0

npn+2

n+1

− (n + 1) p + p (1 − p) np ( p − 1) − p +p (1 − p) np p p + − p + 1 (1 − p) (1 − p) 2

n+1

=

2

n+1

=

n+1

n+1

2

2

(7.7)

Tip theo ta s chng minh limn→∞ npn = 0. Tht vy, do p < 1 nên p1 > 1 hay p1 = 1 + r vi r > 0 nào đó. Ta có npn =

Mà (1 + r)n ≥ C n2 r2 =

n(n 1) 2 r 2

−

npn

n n = (1 + r)n ( n1 )n

(do khai trin nh thc Newton). Nên

≤ (n −21)r −→ 0 2

khi n → ∞

89 Vy limn→∞ npn = 0. T đó, kt hp vi (7.7) ta suy ra ∞



k

kp = lim n

n



→∞ k=0

k=0

kp k =

p 0.98 = = 2450 (1 p)2 0.022

−

Thay vào (7.4) ta đưc EX = 0.02(2450) = 49

(b) Gi Y là s th phm trong 10 sn phm đưc chn. Ta có Y ∼ B(10, 0.02). Ta cn tìm P (Y

≤ 2)

= P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) 0 1 2 = C 10 (0.02)0 (0.98)10 + C 10 (0.02)1(0.98)9 + C 10 (0.02)2 (0.98)8

= 0.9991

(c) Ta xp x Y bi phân phi Poisson sau: Y ∼ P (10(0.02)) = P (0.2). Do đó, P (Y

≤ 2)

= P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) 0.20 0.21 0.22 0.2 − = e + + 0! 1! 2! = 0.9989





(d) Gi n là s sn phm ít nht phi đưc ly ra tha yêu cu. Z là s th phm trong n sn phm. Ta có Z ∼ B(n, 0.02) và P (Z

≥ 1) ≥

1 2

1 2

⇐⇒ 1 − P (Z = 0) ≥ ⇐⇒ P (Z = 0) ≤ ⇐⇒ C (0.02) (0.98) ≤ ⇐⇒ 0.98 ≤ = 34.3096 ⇐⇒ n ≥ 1 2

0 n

0

n

n

1 2

1 2

ln(1/2) ln(0.98)

Vy n = 35.

Gii bài 4.31. Vì X ∼ N (µ, 0.01µ2 ) nên Y =

X µ 0.1µ

− ∼ N (0, 1).

90 (a) Ta cn tính P (X

≥



X µ 1.15µ) = P 0.1µ = P (Y 1.5)

− ≥ 1.15µ − µ 0.1µ ≥

− Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668 . Ta cn phi có P (X ≥ x ) = 0.9 hay P (X ≤ x x −4 =Φ = 0.1. = 1

(b) Gi chiu dài xe cn tìm là x0.1 tc là P Suy ra



X 4 0.4

0.1

0.1

 −  

− ≤x 4 0.4



0.4

− 0.4z

0.9

=4

Gii bài 4.33. Gi X là trng lưng trái cây thì X Y ∼ N (0, 1). Do đó,

− 0.4(1.282) ≈ 3.49 ∼ N (500, 4 ). Vi Y = X −4 500 2

(a) T l trái cây loi 1 là P (X > 505) = P



X

− 500 > 505 − 500

4 = P (Y > 1.25) = 1

4



− Φ(1.25)

= 0.106

(b) T l trái cây loi 2 là

≤ X ≤ 505)

= 0.1,

0.1

x0.1 = 4 + 0.4z0.1 = 4

P (495

0.1 )

= P



495

− 500 ≤ X − 500 ≤ 505 − 500

4 = P ( 1.25 Y

−

≤ ≤

= 0.788

4 1.25)

4



(c) T l ca loi 3 là P (X < 495) = P



X

− 500 < 495 − 500

= P (Y < = 0.106

4

−1.25)

4



Vy, trái cây thu hoch đưc có khong 11% loi 1, 78% loi 2 và 11% loi 3.

thì

91

Gii bài 4.35. Gi X là chiu cao ca ngưi trưng thành. Ta có, X ∼ N (175, 42 ). X − 175 Đt Y = thì Y ∼ N (0, 1) 4

(a) t l ngưi trưng thành có tm vóc trên 180 cm là P (X > 180) = 1 = = = =

− P (X ≤ 180) X − 175 180 − 175 1 − P ≤ 4 4 1 − P (Y ≤ 1.25) 1 − Φ(1.25) 1 − 0.894 = 0.106





(b) t l ngưi trưng thành có chiu cao t 166 cm đn 177 cm là P (166

≤ X ≤ 177)

= P



166

− 175 ≤ X − 175 ≤ 177 − 175

4 = P ( 2.25 Y = = =

4

4

−

≤ ≤ 0.5) Φ(0.5) − Φ(−2.25) Φ(0.5) + Φ(2.25) − 1 0.692 + 0.988 − 1 = 0.68



(c) Ta có, P (X < h0 ) = P

− ≤ −  ≤ −  −   − − X

4

175

4

h0

= P Y = Φ

h0

175

175

4

h0

175

4

= 0.33

Ta thy 0.33 < 0.5 nên Suy ra,

175

−h

0

4

h0

− 175 < 0. Do đó, Φ 4

h0

175

4

=1

= 0.44, tc là h0 = 173.24

(d) Ta tìm a t điu kin sau: P (175

− a ≤ X ≤ 175 + a) = 0.9

0.33 = 0.67.

92 Ta có, P (175

− a ≤ X ≤ 175 + a)

= P

 −− ≤ − ≤ ≤   − 175

a 4

a 4 a = 2Φ 4 = P

Ta suy ra Φ



175

X

− 175 ≤ 175 + a − 175 4

4

a 4

Y 1

a = 0.95, tc là a = 6.6 4

Gii bài 4.37. Ta có f X (x) =

1 exp 2π 2

√ √

−  x2 2(2)

=

ln [f X (X )] = ln

⇒

Hơn na E (X 2 ) = V ar(X ) + (EX )2 = 2 + 02 = 2. Do đó H = E

−  √   ln

X 2 + 4

1

2 π 1 = ln(2 π) + E (X 2 ) 4 2 = ln(2 π) + 1.766 4

√ √

≈

 √ − 1

2 π

X 2 4



Lí thuyt mu Gii bài 5.1.

(a) Ta có bng tn s sau: xi

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

ni

1

2

2

4

8

4

8

5

2

1

T đó ta tính đưc, 1 x = n

2

s

k



ni xi

i=1

= 65.811 k 1 = ni (xi n 1 i=1

 −

2

− x)

= 4.436 s = 2.106

(b) Ta có bng tn sut sau: xi f i

70

69

68

67

66

65

64

63

62

61

0.027 0.055 0.135 0.216 0.108 0.216 0.108 0.054 0.054 0.027

T bng trên, ta thy rng P (X

≥ 66) P (X ≤ 66)

≥ 12 1 0.568 ≥ 2

= 0.541 =

Do đó, trung v ca chiu cao sinh viên lp này là 66.

94

Gii bài 5.3. Ta có bng tn s sau: xi

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

ni

1

2

2

3

1

2

4

4

3

2

Trung bình mu:

Phương sai mu: s2 =

k

  −

1 x= n

i=1

k

1

n

Đ lch tiêu chun:

ni xi = 48.125

1

ni (xi

i=1

s=

√

− x)

2

= 7.245

s2 = 2.692

Gii bài 5.5. Ta có, n

n

  yi =

i=1

(a + bxi )

i=1

n

= na + b 1 n

n



yi = a + b

i=1

 

xi

1 n

y = a + bx

i=1 n

xi

i=1

và s2y

= = =

n

1

1

n

1

1

n

1

= b2 s2x sy =

n

 −  −  − 1

|b|s

x

i=1 n

(yi

− y)

(a + bxi

i=1 n

i=1

2

b2(xi

− (a + bx)) 2

− x)

2

95

Gii bài 5.7. Ta có giá tr trung tâm ca tng khong là 5.5, 15.5, 25.5, 35.5, 45.5, 55.5, 65.5, 75.5, 85.5, 95.5

Ta s dng phép bin đi sau: yi =

Khi đó, giá tr ca yi s là −

xi

− 55.5

10 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4. T đó ta tính đưc,

− − − − 1 y = n = s2y

=

k



ni yi

i=1

−0.653 n

k

 − 1

1

ni (yi

i=1

2

− y)

= 8.349

Do đó, x = 10y + 55.5 = 48.97 s2x = 102 s2y = 834.9

Gii bài 5.9. n = 8, x = 3.0775, s2 = 0.096

Gii bài 5.11. n = 97, x = 19.133, s2 = 0.054

Ưc lưng tham s thng kê Gii bài 6.1. Ta có n = 100 > 30, σ2 chưa bit. Khong ưc lưng 95% cho giá tr trung bình tht có dng

− x

z1− 2

α

 √

s s , x + z1− 2 n n

√

α

Trong đó, α = 0.05, z1− = z0.975 = 1.96, x = 0.1, s = 0.014. Do đó, khong ưc lưng 95% cho giá tr trung bình tht là (0.0973, 0.1027) Gii bài 6.3. Ta có n = 8 < 30, X có phân phi chun, σ = 300 đã bit. Do đó khong tin cy cho 90% cho sc bn ca loi ng trên có dng, α

2

−  x

Ta có α = 0.1, z0.95 = 1.65, x = 18 cn tìm là (5149.991, 5500.009). Gii bài 6.5.

z1− 2

8 i=1 xi

α

 √

σ σ , x + z1− 2 n n

√

α

= 5325. Thay vào biu thc trên ta có khong tin cy

(a) Ta vit li bng tn s sau: x (cm)

S ngưi

142.5 147.5 152.5 157.5 162.5 167.5 1

3

7

9

5

2

Do đó, ta nhn đưc n = 27, x = 156.2, s2 = 37.68. (b) Ta có, n = 27 < 30, σ 2 chưa bit. Do đó, khong tin cy ca µ vi đ tin cy 0.95 là

− x

− √s , x + tn−1 √s 1− − n n

tn1 1α 2

α

2



Vi đ tin cy 0.95, ta có α = 0.05 và t26 0.975 = 2.056. Thay vào biu thc trên ta tìm đưc khong tin cy cho µ vi đ tin cy 0.95 là (153.77, 158.63)

97

Gii bài 6.7.

(a) Ta có n = 100 > 30, σ = 100. Do đó, khong tin cy cho tui th trung bình ca bóng đèn có dng

− x

z1− 2

α

 √

σ σ , x + z1− 2 n n

√

α

Trong đó, x = 1000, α = 0.05, z1− = z0.975 = 1.96. Vy khong tin cy 95% cho tui th trung bình ca bóng đèn là (980.4, 1019.6). α

2

(b) Ta có dung sai ca ưc lưng là z1− √ σn = z1− α

α

2

2

100 10

= 15. T đó suy ra

z1− 2 = 1.5 α

Tra bng ta tìm đưc α = 0.13362 và do đó đ tin cy là 1 − α = 0.8664 = 86.64% (c) Ta bit rng khi n càng ln thì dung sai càng nh. Hơn na, ta thy rng khi n = 29 < 30 100 √ thì t28 0.975 29 = 38.0304 > 25. Do đó giá tr n phi ln hơn hoc bng 30. T điu kin 1.96.

100 n

√ ≤ 25

Suy ra n ≥ 61.4656. Vy ta cn th nghim ít nht 62 bóng Gii bài 6.9.

(a) n = 53, trung bình mu x = 12.21, đ lch chun s = 0.103. (b) Ta có, kích thưc mu n = 53 ≥ 30, σ2 chưa bit. Do đó, vi đ tin cy 0.95, khong tin cy ca µ là

− x

z0.975

 √

s s , x + z0.975 n n

√

Thay x, s và z0.975 = 1.96 vào biu thc trên, ta tìm đưc khong tin cy ca µ là (12.18, 12.24)

(c) Ta bit rng khi n càng ln thì dung sai càng nh. Hơn na, vi n = 53 trong câu b) ta thy ε = 0.028 > 0.02. Do đó, giá tr n phi ln hơn 53. T điu kin z0.975

√sn ≤ 0.02

Suy ra n ≥ 101.89. Vy ta phi quan sát ít nht 102 trưng hp.

98

Gii bài 6.11.

(a) T bng s liu ca mu, ta có n = 128, x = 1391.41 và s = 234.45. (b) Ta có n = 128 ≥ 30, σ 2 chưa bit. Vi đ tin cy 0.95, khong tin cy cho µ là

− x

z0.975

 √

s s , x + z0.975 n n

√

Thay x, s và z0.975 = 1.96, ta đưc (1350.79, 1432.03)

(c) Ta bit rng khi n càng ln thì dung sai càng nh. Hơn na, vi n = 128 trong câu b) ta thy ε = 40.6 > 30. Do đó, giá tr n phi ln hơn 128. T điu kin z0.975

√sn ≤ 30

Suy ra n ≥ 234.63. Vy ta phi quan sát ít nht 235 bóng đèn. Gii bài 6.13. Ta có n = 2000, f = 1380 = 0.69, nf = 1380 > 5, n(1 − f ) = 620 > 5. Do đó, 2000 khong tin cy 95% cho t l phiu bu có dng

 −  − f

z1− 2

α

f (1

f )

n

tc là t l phiu bu ti thiu là f

−z − 1

α

2

, f + z1− 2

α

 − f (1

 −  f (1

f )

n

f )

n

Thay f = 0.69, n = 2000, α = 0.05, z0.975 = 1.96 vào biu thc trên ta đưc 0.6697, tc là 66.97%. Gii bài 6.15. Đ sai s không vưt quá 2% thì z1− 2

α

 − f (1

n

f )

≤ 0.02

Trong đó, f = 0.9, α = 0.1, z1− = z0.95 = 1.65. Do đó, α

2

n

Vy ta cn phi khám ít nht 613 ngưi. Gii bài 6.17.

≥ 612.5625

99 (a) Khong tin cy cho t l p vi đ tin cy 1 − α là

 −  − f

f (1

z1− 2

α

f )

n

, f + z1− 2

α

 −  f (1

f )

n

Theo gi thit ta có tn sut khi bnh là f = 40 = 0.8. 50 Vi đ tin cy 0.95 ta có α = 0.05 và z0.975 = 1.96. Do đó, khong tin cy cho t l p vi đ tin cy 0.95 là (0.69, 0.91). Vi đ tin cy 0.99 ta có α = 0.01 và z0.995 = 2.58. Do đó, khong tin cy cho t l p vi đ tin cy 0.99 là (0.65, 0.946). (b) Ta có sai s ca ưc lưng là ε = z1− 2

α

 − f (1

f )

n

Vi đ tin cy 0.95 ta có α = 0.05 và z0.975 = 1.96. Do đó đ sai s không vưt quá 0.02 ta cn điu kin 1.96

 × × 0.8

n

0.2

≤ 0.02

Suy ra n ≥ 1536.64. Vy ta cn quan sát ít nht 1537 trưng hp.

20 = 0.04, nf = 20 > 5, n(1 − f ) = 480 > 5. Do đó, khong tin cy Gii bài 6.19. Ta có f = 500 95% cho t l cá đưc đánh du trong h có dng

 −  − f

z1+ 2

α

f (1

f )

n

, f + z1+ 2

α

 −  f (1

f )

n

Trong đó, α = 0.05, z1+ = z0.975 = 1.96. Do đó, khong tin cy 95% cho t l cá đưc đánh du trong h là (0.0228, 0.0572). T đó, khong tin cy 95% cho s cá có trong h là (34965.03, 877719.3) α

2

Gii bài 6.21.





(a) Ta có x = n1 ki=1 ni xi = 35.89, s2 = n−1 1 ki=1 ni(xi − x)2 = 3.21, s = 1.792. Ta có n = 100 > 30, σ 2 chưa bit. Do đó, khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình các qu cam có dng

− x

z1− 2

α

 √

s s , x + z1− 2 n n

√

α

Trong đó, α = 0.1, z1− = z0.975 = 1.96. T đó, khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình các qu cam là (35.539, 36.241) α

2

100 5 (b) Ta có f = 100 = 0.05, nf = 5 ≥ 5, n(1 − f ) = 95 ≥ 5. Do đó, khong ưc lưng cho t l loi 2 vi đ tin cy 90% có dng

 −  − f

z1− 2

α

f (1

n

f )

, f + z1− 2

α

 −  f (1

f )

n

Trong đó, α = 0.1, z1− = z0.95 = 1.65. Vy khong ưc lưng cho t l loi 2 vi đ tin cy 90% là (0.014, 0.086) α

2

Kim đnh gi thuyt thng kê Gii bài 7.1. Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

H 0 : µ = 380 H 1 : µ = 380



Đây là trưng hp n = 36 ≥ 30 và σ 2 chưa bit, nên ta dùng z = = =

√n(x − µ) s √36(350 − 380)

−4.5

40

Ta thy |z | > z1− = z0.975 = 1.96. Do đó ta bác b gi thuyt H 0 . Nghĩa là li báo cáo ca giám đc không đáng tin cy. α

2

Gii bài 7.3. Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

H 0 : µ = 25 H 1 : µ < 25

Đây là trưng hp n = 15 < 30 và σ2 chưa bit, X có phân phi chun, nên ta dùng t = = =

√n(x − µ) s √15(24 − 25) −

2 1.9365

14 Ta thy t < tnα−1 = t14 0.05 = −t0.95 = −1.761. Do đó ta bác b gi thuyt H 0 . Nghĩa là sc mua ca khách hàng hin nay thc s gim sút.

102 Gii bài 7.5. Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

H 0 : µ = 14 H 1 : µ < 14

Đây là trưng hp n = 25 < 30 và σ2 chưa bit, X có phân phi chun, nên ta dùng

√n(x − µ) s √25(12.5 − 14)

t = =

−3

=

2.5

24 Ta thy t < tnα−1 = t24 0.05 = −t0.95 = −1.711. Do đó ta bác b gi thuyt H 0 . Nghĩa là điu kin chăn nuôi kém đi làm cho lưng sa gim xung.

Gii bài 7.7. Ta tính đưc k = 6 n = 100 k 1 x = ni xi = 0.9856 n i=1



s

2

=

k

 − 1

n

1

i=1

ni (xi

− x)

2

= 0.000433

s = 0.0208

Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

H 0 : µ = 1 H 1 : µ = 1



Đây là trưng hp n = 100 > 30 và σ 2 chưa bit, nên ta dùng z = = =

√n(x − µ) s √100(0.9856 − 1) −

0.0208 6.9204

Ta thy |z | ≤ z0.975 = 1.96. Do đó ta bác b gi thuyt H 0. Nghĩa là máy hot đng không bình thưng. Gii bài 7.9.

103 (a) Ta đưa v bng giá tr sau x

155 165 175 185 195 205

S ngưi

3

9

11

3

2

1

Ta tính đưc k = 6 n = 29 k 1 x = ni xi = 173.2759 n i=1



2

s

=

n

k

 − 1

1

ni (xi

i=1

− x)

2

= 143.3498

s = 11.9729

(b) Ta có n = 29 < 30, σ 2 chưa bit. Do đó, khong tin cy cho trung bình cholesterol trong dân s có dng s s x − tn1−−1 √ , x + tn1−−1 √ n n Trong đó, α = 0.05, tn1−−1 = t28 0.975 = 2.048. Thay vào ta tìm đưc khong tin cy 95% cho trung bình cholesterol trong dân s là (168.7226, 177.8292).



α

α

2

2



α

2

(c) Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

Ta có: t = = =

H 0 : µ = 175 H 1 : µ = 175



√n(x − µ) s √29(173.2759 − 175) 11.9729

−0.7755

Ta thy |t| ≤ t28 0.975 = 2.048. Do đó ta chp nhn gi thuyt H 0 . Nghĩa là giá tr mu phù hp vi tài liu.

104

Gii bài 7.11.

(a) Ta tính đưc k = 7 n = 36 k 1 x = ni xi = 2.6389 n i=1



s

2

k

 − 1

=

n

1

ni (xi

i=1

2

− x)

= 3.3802

s = 1.8385

Ta có n = 36 ≥ 30, σ 2 chưa bit. Do đó, khong tin cy cho s khuyt tt trung bình  mi sn phm sau khi ci tin có dng

− x

z1− 2

α

 √

s s , x + z1− 2 n n

√

α

Trong đó, α = 0.1, z1− = z0.95 = 1.65. Thay vào ta tìm đưc khong tin cy 90% cho s khuyt tt trung bình  mi sn phm sau khi ci tin là (2.1333, 3.1445). α

2

(b) Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

H 0 : µ = 3 H 1 : µ < 3

Đây là trưng hp n = 36 ≥ 30 và σ2 chưa bit, nên ta dùng z = = =

√n(x − µ) s √36(2.6389 − 3) 1.8385

−1.1785

Ta thy z ≥ z0.05 = −z0.95 = −1.65. Do đó ta chp nhn gi thuyt H 0 . Nghĩa là ci tin không hiu qu.

Gii bài 7.13. Đt Z = Y − X đ ch trng lưng thay đi sau khi ăn kiêng. Ta có bng zi = yi − xi như sau

105 zi

-5 -1 -5

0

-6 -4 -7 -6 5 -10

zi

-1 -1 -6 -4 5

0

-4 -2 1

-9

Ta tính đưc n = 20 n 1 z = zi = n i=1



s2 =

n

 − 1

n

−3

1

(zi

i=1

− z)

2

= 16.5263

s = 4.0653


 

H 0 : µ = 0 H 1 : µ = 0



Đây là trưng hp n = 20 < 30 và σ2 chưa bit, nên ta dùng

√n(z − µ) √20(s−3 − 0)

t = =

−

=

4.0653 3.3002

Ta thy |t| > tn1−−1 = t19 0.975 = 2.093. Do đó ta bác b gi thuyt H 0 . Nghĩa là ch đ ăn kiêng có tác dng làm thay đi trng lưng. Gii bài 7.15. Ta cn kim đnh các gi thuyt α

2

Ta tính đưc

 

H 0 : µ1 = µ2 H 1 : µ1 = µ2



z = = =

x1

 −  − σ12 n1

18

32 20

x2

+

σ22 n2

24

+

32 20

−6.3246

106 Ta thy |z | > z1−α = z0.95 = 1.65. Do đó, ta bác b gi thuyt H 0 nghĩa là hai loi cht n lng này có tc đ đt cháy khác nhau. Gii bài 7.17. Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

Ta tính đưc s

2

H 0 : µX = µY H 1 : µX > µY

+ (n2 1)s2y = n1 + n2 2 (50 1)72 + (40 1)9.22 = 50 + 40 2 = 64.795 (n1

2 x

− 1)s

−

−

−

−

−

s = 8.0495

và x

y

 −  −

t =

1 n1

s

+

60

=

1 n2

52

1 50

8.0495

+

1 40

= 4.6851

−2 = t88 ≈ z = 1.65. Do đó, ta bác b gi thuyt H nghĩa là hàm lưng Ta thy t > tn1−+n 0.95 0 α 0.95 đưng trong máu sau 5 gi làm vic đã gim đi. Gii bài 7.19. Gi X , Y ln lưt là trng lưng tr sơ sinh  nông thôn và thành th. Ta cn kim đnh các gi thuyt 1

2

 

Ta tính đưc s

2

H 0 : µX = µY H 1 : µX < µY

+ (n2 1)s2y = n1 + n2 2 (8000 1)0.32 + (2000 1)0.22 = 8000 + 2000 2 = 0.08 (n1

− 1)s −

s = 0.2828

2 x

−

−

−

−

107 và x

t = s

 − 1 n1

y

+

1 n2

 −

3

=

0.2828

3.2

1 8000

+

1 2000

−28.2885

=

−2 = t9998 ≈ z = 1.65. Do đó, ta bác b gi thuyt H nghĩa là trng lưng Ta thy t < tn1−+n 0.95 0 α 0.95 trung bình ca tr sơ sinh  thành th cao hơn  nông thôn. 1

2

Gii bài 7.21. Ta tính đưc n1 = 10 n2 = 10 1 x = n1 y = s2x

=

1 n2

n1

 

xi = 16.015

i=1 n2

yi = 16.005

i=1

n1

 −  −

1 n1

1

sx = 0.0303 1 s2y = n2 1

2

= 0.000917

2

= 0.00065

(xi

− x)

(yi

− y)

i=1 n2

i=1

sy = 0.0255


 

Ta tính đưc s

2

H 0 : µ1 = µ2 H 1 : µ1 = µ2



+ (n2 1)s2y = n1 + n2 2 (10 1)0.000917 + (10 1)0.00065 = 10 + 10 2 = 0.000783 (n1

− 1)s −

s = 0.028

2 x

−

−

−

−

108 và x

t = s

y

 −  − 1 n1

1 n2

+

16.015

=

16.005

1 10

0.028

+

1 10

= 0.7986

−2 = t18 = 1.734. Do đó, ta chp nhn gi thuyt H nghĩa là hai máy rót Ta thy |t| < tn1−+n 0 α 0.95 nưc vào bình như nhau. 1

2

Gii bài 7.23.

(a) Ta đưa v bng giá tr sau Trng lưng

3100 3300 3500 3700 3900

S bé trai

1

3

8

10

3

S bé gái

2

10

10

5

1

Ta tính đưc k = 5 N 1 = 25 N 2 = 28 1 x = N 1 y = s2x

=

1 N 2

k

 

ni xi = 3588

i=1 k

ni yi = 3450

i=1

k

 −  −

1 N 1

1

2

= 40266.67

2

= 37407.41

ni (xi

− x)

ni (yi

− y)

i=1

sx = 200.6656 s2y

=

k

1 N 2

1

i=1

sy = 193.4099


 

H 0 : µX = µY H 1 : µX = µY



109 Ta tính đưc s

2 x

+ (N 2 1)s2y = N 1 + N 2 2 (25 1)40266.67 + (28 1)37407.41 = 25 + 28 2 = 38752.94

− 1)s

(N 1

2

−

−

−

−

−

s = 196.8577

và x

 −

t =

1 N 1

s

y

3588

=

1 N 2

+

− 3450

196.8577 = 2.5476



1 25

1 28

+

−2 = t51 ≈ z = 1.65. Do đó, ta bác b gi thuyt H nghĩa là trng Ta thy |t| > tn1−+n 0.95 0 α 0.95 lưng bé trai và bé gái lúc sơ sinh khác nhau. 1

2

(c) Nhp hai mu li, ta đưc Trng lưng

3100 3300 3500 3700 3900

S tr sơ sinh

3

13

18

15

4

Ta tính đưc k = 5 N = 53 1 z = N s2z

k



ni zi = 3515.094

i=1

=

N

k

 −

1

1

i=1

ni (zi

2

− z)

= 42844.7

sz = 206.9896

Ta có N = 53 ≥ 30, σ 2 chưa bit. Do đó, khong tin cy cho sc nng trung bình ca tr sơ sinh có dng

− z

z1− 2

α

 √

sz sz , z + z1− 2 N N

√

α

Trong đó, α = 0.05, z1− = z0.975 = 1.96. Thay vào ta tìm đưc khong tin cy 95% cho sc nng trung bình ca tr sơ sinh là (3459.367, 3570.821). α

2

110

Gii bài 7.25. 7.25. Ta cn kim đnh các gi thuyt

Ta có n = 500, f = Do đó, ta dùng

 

−

H 0 : p = 0.98 H 1 : p < 0.98

500 28 = 0.944, nf = 472 500

f ) = 28 ≥ 5. ≥ 5 và n(1 − f )

√n(f − p) √ pq p) √500(0. 500(0.944 − 0.98) √0.98 × 0.02 −5.7499

z = = =

Ta thy z < zα = z0.05 = −z0.95 = −1.65. Do đó ta bác b gi thuyt H 0. Nghĩa là cht lưng làm vic ca máy không còn tt như trưc. Gii bài 7.27. 7.27. Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

25

H 0 : p = 0.8 H 1 : p = 0.8



Ta có n = 36, f = = 0.6944, nf = 25 ≥ 5 và n(1 − f ) f ) = 11 ≥ 5. 36 Do đó, ta dùng z = = =

√n(f − p) √ pq p) √36(0. 36(0.6944 − 0.8) √0.8 × 0.2 −1.584

Ta thy |z | ≤ z1− = z0.975 = 1.96. Do đó ta chp nhn gi thuyt H 0. Nghĩa là ngun tin này đáng tin cy. Gii bài 7.29. 7.29. α

2

(a) Ta cn kim đnh các gi thuyt

 

H 0 : p = 0.05 H 1 : p = 0.05



111 24

Ta có n = 800, f = = 0.03, nf = 24 ≥ 5 và n(1 − f ) f ) = 776 ≥ 5. 800 Do đó, ta dùng

√n(f − p) √ pq p) √800(0. 800(0.03 − 0.05) √0.05 × 0.95 −2.5955

z = = =

Ta thy |z | > z1− = z0.995 = 2.58. Do đó ta bác b gi thuyt H 0. Nghĩa là bin pháp kĩ thut mi làm thay đi t l ph phm. α

2


 

24

H 0 : p = 0.02 H 1 : p = 0.02



Ta có n = 800, f = = 0.03, nf = 24 ≥ 5 và n(1 − f ) f ) = 776 ≥ 5. 800 Do đó, ta dùng z = =

√n(f − p) √ pq p) √800(0. 800(0.03 − 0.02) √0.02 × 0.98

= 2.0203

Ta thy |z | ≤ z1− = z0.995 = 2.58. Do đó ta chp nhn gi thuyt H 0. Nghĩa là nhà máy báo cáo t l ph phm là chp nhn đưc. α

2

Gii bài 7.31. 7.31. Gi p1 : t l n  xã A p2 : t l n  xã B


 

H 0 : p1 = p2 H 1 : p1 = p2



112 Ta có

≥ 30 160 ≥ 30

n1 = 250 n2 =

140 = 0.56 250 80 f 2 = = 0.5 160 n1f 1 + n2 f 2 pˆ = n1 + n2 250 0.56 + 160 = 250 + 160 f 1 =

×

× 0.5 = 0.5366

Ta tính đưc z =

f 1

pˆ pˆqˆ

=

f 2

  −   − −  1 n1

+

1 n2

0.56

0.5366(1

0.5

0.5366)

= 1.1885

1 250

+

1 160



Ta thy |z | < z1− = z0.975 = 1.96. Do đó ta chp nhn gi thuyt H 0. Nghĩa là t l n  hai xã bng nhau. Gii bài 7.33. 7.33. Gi α

2

p1 : t l tr sơ sinh có trng lưng trên 3000 gam  thành ph p2 : t l tr sơ sinh có trng lưng trên 3000 gam  nông thôn


 

H 0 : p1 = p2 H 1 : p1 = p2



Bai Tap+Bai Giai Xac Suat Thong K

Recommend Documents