Bab 5 Grammar Bebas Konteks

BAB V GRAMMAR BEBAS KONTEKS

Pendahuluan

Dalam bagian ini akan dibahas kelas yang lebih besar dari bahasa regular  yaitu bahasa yang memiliki notasi rekursif yang dinamakan grammar bebas konteks (Context Free Grammar , CFG). CFG memiliki memiliki peranan penting dalam teknologi kompilator sejak tahun tahun 1960-an. 1960-an. Baru-baru ini, CFG telah digunakan digunakan untuk  untuk  menjelaskan format dokumen, menggunakan apa yang dinamakan document-type definition (DTD) yang digunakan dalam komunitas XML ( extensible markup language) untuk pertukaran informasi pada web. Bab ini membahas materi tentang definisi dari CFG, penurunan string menggunakan CFG, bahasa dari CFG,   parse tree, grammar  yang ambigu dan aplikasi dari CFG. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan dapat menjelaskan gambaran umum CFG, melakukan penurunan string menggunakan CFG, membuat  parse tree dari sebuah string, menentukan apakah sebuah CFG adalah ambigu atau tidak, menghilangkan ambiguitas dari grammar  serta mengetahui aplikasi dari CFG, khususnya markup language: HTML dan XML.

Penyajian Grammar  merupakan alat untuk menjelaskan dan menganalisis bahasa. Sebagai contoh, misal Σ = {0,1}. Bahasa L pal dari polindrom-polindrom pada Σ didefinisikan secara secara rekursif sebagai berikut: Basis: ε, 0, 1 adalah polindrom. Induksi : Jika w adalah sebuah polindrom, begitu juga 0w0 dan 1w1.

Tidak ada string lain dalam L pal selain string yang diperoleh dari basis dan induksi. CFG adalah sebuah notasi formal untuk menyatakan definisi rekursif dari   bahasa. Sebuah grammar terdiri dari satu atau lebih variabel yang merupakan kelaskelas dari string yaitu bahasa. Dalam contoh bahasa L pal, terdapat hanya satu variabel p yang menyatakan himpunan dari polindrom-polindrom yaitu kelas-kelas dari string-string yang membentuk bahasa L pal. Terdapat aturan-aturan yang menyatakan bagaimana string dalam setiap kelas dikonstruksi. Konstruksi dapat menggunakan simbol-simbol dari alphabet, string yang diketahui ada dalam satu kelas tertentu atau keduanya. Contoh 5.1: CFG untuk polindrom adalah 1. 2. 3. 4. 5.

P→ε P→0 P→1 P → 0P0 P → 1P1

▓

72

5.1 Definisi CFG

Komponen-komponen dalam deskripsi gramatikal dari sebuah bahasa adalah sebagai berikut: 1. Terdapat sebuah himpunan berhingga dari simbol yang membentuk  string dari   bahasa yang didefinisikan. Alphabet ini dinamakan terminal-terminal atau simbol-simbol terminal. terminal. Dalam Contoh 5.1, simbol terminal terminal adalah 0 dan 1. 2. Terdapat sebuah sebuah himpunan himpunan berhingga berhingga dari variabel-variabel. Variabel-variabel tersebut dinamakan nonterminal atau kategori syntactic. Setiap variabel menyatakan sebuah bahasa yaitu sebuah himpunan dari string. Dalam Contoh 5.1, hanya terdapat 1 variabel, yaitu P, yang menyatakan kelas dari polindrom polindrom pada alphabet {0,1}. 3. Salah satu dari variabel-variabel menyatakan bahasa yang sedang didefinisikan. Variabel tersebut dinamakan start symbol. Variabel-variabel lain menyatakan kelas-kelas pembantu dari string-string yang digunakan untuk mendefinisikan  bahasa dari start symbol. Dalam Contoh 5.1, hanya terdapat 1 variabel, variabel, yaitu P, yang dinamakan start symbol. 4. Terdapat sebuah himpunan berhingga dari produksi-produksi atau aturan-aturan yang menyatakan definisi rekursif dari sebuah bahasa. bahasa. Setiap produkasi terdiri terdiri dari: 1. Sebuah variabel yang didefinisikan (secara parsial) oleh produksi. Variabel ini sering kali dinamakan head dari produksi. 2. Simbol produksi

→

3. Sebuah string dari nol atau lebih terminal dan variabel. String ini dinamakan body dari produksi, yang menyatakan salah satu cara untuk membentuk  string dalam bahasa dari variabel dari head . Terminal-terminal tidak diubah dan setiap variabel dari body disubstitusi dengan string yang diketahui dalam  bahasa dari variabel tersebut. Dalam Contoh 5.1 terdapat 5 produksi. Keempat komponen yang baru saja dijelaskan membentuk sebuah CFG atau hanya grammar , notasinya adalah G = (V, T, P, S), dengan V : Himpunan variabel-variabel T : Terminal P : Himpunan produksi S : Start symbol. Contoh 5.2: Grammar  G pal untuk polindrom-polindrom dinyatakan oleh G pal = ({P}, {0,1}, A, P) dengan A adalah himpunan dari 5 produksi seperti dalam Contoh 5.1.

▓ Contoh 5.3: Sebuah CFG menyatakan ekspresi ekspresi dalam bahasa pemrograman. pemrograman. Ekspresi dibatasi hanya mengandung operator  + dan ∗ (penjumlahan dan perkalian). perkalian). Argumen juga

73

dapat berupa identifier  yang dibatasi hanya untuk huruf a dan b, dan digit 0 dan 1. Setiap identifier haruslah diawali dengan a atau b dan dapat diikuti oleh string dalam {a, b, 0, 1}*. Terdapat dua variabel dalam grammar ini yaitu:

−

E menyatakan ekspresi yang juga merupakan start symbol dan merepresentasikan  bahasa dari ekspresi yang didefinisikan.

−

I menyatakan identifier .

CFG yang dimaksud memiliki produksi-produksi berikut 1. E → I 2. E → E + E 3. E → E*E 4. E →(E) 5. I → a 6. I → b 7. I → Ia 8. I → Ib 9. I → I0 10. I → I1 Secara formal CFG yang dimaksud adalah G = ({E,I}, T, P, E) dimana T adalah himpunan simbol-simbol {+, *, (, ), a, b, 0, 1} dan P adalah himpunan produksi produksi.

▓ Produksi-produksi A → α 1, A → α 2 , A → α 3 ,..., A → α n

dapat digantikan

dengan notasi A → α 1⏐α 2⏐...⏐α n . Dalam Contoh 5.1, grammar untuk polindrom dapat ditulis sebagai P

→ ε| 0 | 1 | 0P0 | 1P1.

5.2 Penurunan Menggunakan Sebuah Grammar

Produksi-produksi dari sebuah CFG dapat digunakan untuk menyimpulkan  bahwa string-string tertentu dalam bahasa dari sebuah variabel. Terdapat 2  pendekatan untuk inferensi tersebut, yaitu 1. Inferensi rekursif, menggunakan aturan dari body ke head :

−

Ambil string-string yang diketahui ada dalam bahasa dari setiap variabel dari body.

−

Rangkai string-string tersebut, dalam urutan yang sesuai, dengan terminalterminal muncul dalam body.

−

Simpulkan bahwa string yang dihasilkan adalah dalam bahasa dari variabel  pada head .

2.  Derivation, menggunakan aturan dari head ke body:

−

Perluas start symbol menggunakan salah satu produksinya (yaitu gunakan salah satu produksi yang memiliki head adalah start symbol).

74

−

Perluas string yang dihasilkan dengan mengganti salah satu dari variabel dengan body dari salah satu produksi-produksinya, dan seterusnya sampai diperoleh sebuah string yang mengandung terminal-terminal saja.

−

Bahasa dari grammar  adalah semua string-string dari terminal-terminal yang dapat diperoleh dengan cara ini.

Contoh 5.4: Inferensi rekursif  Tabel berikut menyatakan proses inferensi menggunakan grammar pada Contoh 5.3: Baris (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix)

String yang diperoleh a b b0 b00 a b00 a + b00 (a + b00) a*(a + b00)

Untuk  Bahasa dari I I I I E E E E E

Produksi yang digunakan 5 6 9 9 1 1 2 4 3

String-string yang digunakan (ii) (iii) (i) (iv) (v), (vi) (vii) (v), (viii)

Proses penurunan string dengan menggunakan produksi-produksi dari head  ke body memerlukan definisi dari simbol relasi baru yaitu ⇒. Anggap G = (V,T,P,S) adalah sebuah CFG. Misalkan αAβ adalah sebuah string dari terminal-terminal dan variabel-variabel dengan A adalah sebuah variabel. Bahwa α dan β adalah string dalam (V∪T), dan A ∈ V. Misalkan A → γ adalah sebuah produksi dari G. Maka kita katakan α A β  ⇒ αβγ  . Jika G dimengerti, kita hanya mengatakan α A β  ⇒ αγβ  . G

Perhatikan bahwa satu langkah derivation mengganti suatu variabel dalam string dengan body dari salah satu produksinya. Kita dapat memperluas hubungan ⇒ untuk menyatakan 0, 1 atau banyak langkah penurunan. Notasi * menyatakan 0 atau banyak langkah dengan definisi sebagai berikut Basis:

Untuk suatu string

∗

α

dari terminal-terminal dan variabel-variabel kita katakan

α ⇒ α  , artinya suatu string menurunkan dirinya sendiri. G

Induksi:

∗

∗

Jika α  ⇒ β  dan  β  ⇒ γ  , maka α ⇒ γ  . Bahwa jika α dapat menjadi G

G

lebih langkah, dan satu langkah lagi mengambil

β

∗

Dalam pernyataan lain, notasi

β dengan 0 atau

G

α ⇒ β 

ke γ, maka

α

dapat menjadi γ.

berarti bahwa terdapat serangkaian string-

G

string γ 1 , γ 2 ,..., γ n untuk  n ≥ 1 sedemikian sehingga

75

1.

α = γ 1

2.

β = γ n

3. Untuk i = 1, 2, ... , n −1, diperoleh γ i

⇒ γ i + 1 . ∗

Jika grammar G dimengerti, digunakan

⇒

∗

untuk menggantikan

⇒. G

Contoh 5.5: Tunjukkan bahwa a*(a+b00) adalah dalam bahasa dari variabel E pada Contoh 5.3. Berikut adalah salah satu penurunan tersebut : E ⇒ E*E ⇒ I*E ⇒ a*E ⇒ a*(E) ⇒ a*(E+E) a*(a+I) ⇒ a*(a+I0) ⇒ a*(a+I00) ⇒ a*(a+b00)

⇒

a*(I+E)

⇒

a*(a+E)

⇒

∗

⇒ untuk menyingkat penurunan. Dari basis

Kita dapat menggunakan hubungan *

diperoleh E ⇒ E. Penggunaan berulang bagian induksi menghasilkan *

E

⇒

E

⇒

E*E

*

I*E *

dan seterusnya sampai diperoleh E

⇒

a*(a+b00).

▓ Dengan menggunakan inferensi rekursif dan penurunan, sebuah string dari terminal w disimpulkan ada dalam bahasa dari suatu variabel A jika dan hanya jika *

A ⇒ w.  Leftmost dan Rightmost Derivation Sebagai cara untuk membatasi banyaknya pilihan dalam penurunan sebuah string, seringkali berguna untuk menginginkan bahwa pada setiap langkah kita mengganti leftmost variable dengan salah satu dari body-body produksinya. Penurunan demikian dinamakan leftmost derivation. Notasi relasi dalam penurunan

∗

demikian adalah

⇒ untuk satu langkah dan ⇒ untuk banyak langkah. lm

Secara sama

lm

kita menginginkan bahwa setiap langkah, rightmost variable diganti oleh salah satu dari body-nya. Penurunan demikian dinamakan righmost derivation. Notasi relasi dalam penurunan demikian adalah

⇒

∗

untuk satu langkah dan

rm

⇒

untuk banyak 

rm

langkah. Contoh 5.6: Penurunan dari Contoh 5.5 merupakan leftmost derivation

76

E

⇒

E*E

lm

⇒

I*E

⇒

lm

a*(a+I)

⇒

a*E

lm

a*(a+I0)

lm

⇒

a*(E)

lm

⇒

⇒

a*(E+E)

lm

a*(a+I00)

lm

⇒

⇒

⇒

a*(I+E)

lm

a*(a+E)

⇒

lm

lm

a*(a+b00)

lm

∗

Secara singkat dapat dinyatakan E

⇒

a*(a+b00).

lm

∗

Contoh lain dari ekspresi untuk beberapa langkah adalah E*E

⇒

a*(E). Sedangkan

lm

rightmost derivation a*(a+b00) adalah

E

⇒

E*E

rm

⇒

⇒

E*(E)

rm

⇒

E*(E+E)

rm

E*(E+b00)

rm

⇒

⇒

E*(E+I)

rm

E*(I+b00)

rm

⇒

E*(E+I0)

rm

E*(a+b00)

rm

⇒

⇒

⇒

E*(E+I00)

rm

I*(a+b00)

rm

⇒

a*(a+b00)

rm

∗

Secara singkat dapat dinyatakan E

⇒

a*(a+b00).

rm

▓ Baik menggunakan leftmost atau rightmost derivation, jika w adalah terminal

∗

*

*

string dan A adalah variabel maka A ⇒ w jika dan hanya jika A ⇒ w dan A ⇒ w lm

∗

 jika dan hanya jika A ⇒ w. rm

5.3 Bahasa dari Sebuah Grammar

Jika G = (V,T,P,S) adalah sebuah CFG, bahasa dari G dinotasikan L(G) adalah himpunan dari string-string terminal yang memiliki penurunan dari start  symbol. Bahwa L(G) =

∗ ⎫ ⎧ ∗ ⎨w dalam T ⏐S ⇒ w ⎬ . G ⎭ ⎩

Jika sebuah bahasa L adalah bahasa dari CFG, maka L dikatakan CFL (Context Free Language). Sebagai contoh, himpunan dari polindrom-polindrom adalah CFL (Bukti dapat dilihat pada buku rujukan). 5.4 Bentuk-Bentuk Sentential 

Penurunan dari start symbol menghasilkan string-string yang memiliki aturan khusus. Aturan khusus tersebut dinamakan bentuk-bentuk  sentential. Bahwa, jika G = (V,T,P,S) adalah sebuah CFG, maka string α dalam (V∪T)* sedemikian

∗

*

sehingga s

⇒α

adalah bentuk  sentential. Jika s

⇒α

maka

α adalah bentuk  left 

lm

∗

sentential. Jika s

⇒α

maka

α

adalah bentuk  right sentential. Perhatikan bahwa

rm

77

 bahasa L(G) adalah bentuk-bentuk  sentential yang ada dalam T*; yaitu hanya terdiri dari terminal. Contoh 5.7: Perhatikan Grammar  untuk ekspresi dalam Contoh 5.3. Sebagai contoh, E*(I+E) adalah sebuah bentuk  sentential karena terdapat sebuah penurunan E ⇒ E*E ⇒ E*(E) ⇒ E*(E+E) ⇒ E*(I+E) Contoh bentuk  left sentential adalah a*E, karena terdapat penurunan berikut E

⇒ E*E ⇒ I*E ⇒ a*E lm

lm

lm

Contoh bentuk  right sentential adalah E*(E+E), karena terdapat penuruan berikut E ⇒ E*E rm

⇒ E*(E) ⇒ E*(E+E) rm

rm

▓ 5.5  Parse Tree Tree, dikenal sebagai  parse tree ketika digunakan dalam sebuah kompilator, merupakan struktur data untuk merepresentasikan source program. Dalam sebuah kompilator, struktur terdiri dari source program memfasilitasi translasi dari source  program ke dalam executable code. Eksistensi dari   parse tree terkait erat dengan eksistensi dari penurunan dan inferensi rekursif. Parse tree dikonstruksi sebagai berikut, misal Grammar  G = (V,T,P,S). Parse tree untuk G adalah tree dengan kondisi-kondisi berikut:

1. Setiap node interior diberi label sebuah variabel dalam V. 2. Setiap daun/leaf  diberi label oleh sebuah variabel, sebuah terminal atau ε. Jika leaf diberi label ε, maka leaf tersebut haruslah merupakan anak satu-satunya dari  parent -nya. 3. Jika sebuah node interior diberi label A, dan anak-anaknya diberi label berturutturut X1, X2,..., Xk  dari kiri, maka A → X1, X2,..., Xk  adalah produksi dalam P. Satu-satunya perkalian dari para X dapat menjadi ε adalah jika perkalian tersebut merupakan label dari satu-satunya anak ( child ), dan A → ε adalah produksi dari G. Contoh 5.8: Parse tree berikut menujukkan penurunan I+E dari E.  Root diberi label variabel E.

Produksi yang digunakan pada root  adalah E → E+E karena terdapat 3 anak dari root yang berturut-turut mempunyai label E, + dan E dari kiri. Pada anak paling kiri dari root , produksi E → I digunakan, karena terdapat satu anak dari node tersebut, diberi label I.

▓

78

Contoh 5.9: Parse tree berikut adalah parse tree untuk grammar palindrom.

ε

▓ Hasil dari Sebuah Parse Tree

Jika kita lihat leaf-leaf  dari  parse tree dan merangkainya dari kiri, akan diperoleh sebuah string, yang dinamakan hasil dari tree. String-string tersebut diturunkan dari variabel root . Hal-hal yang harus diperhatikan berkaitan dengan hasil dari sebuah parse tree adalah 1. Hasil adalah sebuah string terminal. Bahwa, semua leaf  diberi label sebuah terminal atau ε. 2.  Root diberi label oleh start symbol. Tree dengan ketentuan di atas adalah  parse tree yang memiliki hasil adalah string-string dalam bahasa dari grammar  tertentu. Dapat dinyatakan pula bahwa  bahasa dari sebuah grammar  adalah himpunan dari hasil-hasil dari  parse tree yang memiliki start symbol pada root dan sebuah string terminal sebagai hasil.

Contoh 5.10: Parse tree yang menujukkan bahwa a*(a+b00) adalah dalam bahasa dari grammar  dalam Contoh 5.3:

79

E

E I

*

E

(

E

)

E

+

E

a

I

I

a

I

I

0

0

b

▓ 5.6 Inferensi, Penurunan dan Parse Tree

Diberikan sebuah grammar  G = (V,T,P,S), pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen: 1. Prosedur inferensi rekursif menentukan bahwa string terminal w adalah dalam  bahasa dari variabel A. *

2. A ⇒ w

∗

3. A ⇒ w lm

∗

4. A ⇒ w rm

5. Terdapat sebuah pohon penurunan dengan root A dan hasil w. Gambar berikut menunjukkan skema pembuktian ekuivalensi pernyataan pernyataan tentang grammar .

80

Gambar 5.1 Skema pembuktian ekuivalensi pernyataan pernyataan tentang grammar  Contoh pernyataan-pernyataan yang ekuivalen adalah jika w disimpulkan  berada dalam bahasa dari A dengan inferensi rekursif, maka terdapat sebuah pohon  penurunan dengan root A dan hasil w. Dari Inferensi ke Tree

Teorema 5.1: Misal G = (V,T,P,S) adalah sebuah CFG. Jika prosedur inferensi rekursif  menyatakan bahwa string terminal w adalah dalam bahasa dari variabel A, maka terdapat sebuah pohon penurunan dengan root A dan hasil w. Bukti: Bukti adalah sebuah induksi pada banyaknya langkah-langkah yang digunakan untuk  menentukan bahwa w adalah dalam bahasa A. Basis:

Basis dari prosedur inferensi adalah produksi A →w. Tree berikut dimana terdapat satu leaf untuk setiap posisi dari w

memenuhi kondisi-kondisi yang menjadi sebuah  parse tree untuk  grammar  G. Tree tersebut memiliki hasil w dan root  A. Dalam kasus khusus, w = ε, tree memiliki leaf  tunggal yang diberi label ε dan tree adalah tree  parse tunggal dengan root  A dan hasil w. Induksi:

Anggap bahwa fakta bahwa w adalah dalam bahasa dari A disimpulkan setelah n+1 langkah inferensi dan bahwa pernyataan dari teorema dipenuhi untuk semua stringstring x dan variabel-variabel B sedemikian sehingga keanggotaan dari x dalam   bahasa dari B disimpulkan menggunakan n atau lebih sedikit langkah inferensi. Perhatikan langkah terakhir dari inferensi menunjukkan bahwa w adalah dalam  bahasa A. Inferensi ini menggunakan produksi untuk A, katakanlah A → X1, X2,..., Xk , dimana setiap Xi adalah variabel atau terminal. Misal w = w1, w2,..., wk , dimana

81

1. Jika Xi adalah sebuah terminal, maka w i = Xi; yaitu wi terdiri dari hanya satu terminal produksi. 2. Jika Xi adalah sebuah variabel, maka w i adalah sebuah string yang sebelumnya disimpulkan ada dalam bahasa. Bahwa inferensi tentang w i ini mengambil semua langkah (n+1 langkah), karena langkah terakhir, menggunakan produksi A → X1, X2,..., Xk , bukan bagian dari inferensi w i. Akibatnya, kita dapat menggunakan hipotesis induktif untuk w i dan Xi, dan menyimpulkan bahwa terdapat sebuah  parse tree dengan hasil w i dan root Xi. Selanjutnya, kita dapat mengkonstruksi sebuah tree dengan root  A dan hasil w seperti disarankan dalam gambar sebagai berikut:

... x1

x2

x k 

 w 1

 w 2

 w k 

Tree ini valid karena A → X1, X2,..., Xk  adalah sebuah produksi dari G.  Node untuk  setiap Xi dibuat root  dari sebuah subtree dengan hasil wi. Dalam kasus (1), dimana Xi adalah sebuah terminal. Subtree ini adalah tree trivial dengan sebuah node yang diberi label Xi. Bahwa setiap subtree hanya terdiri dari anak X i. Karena wi = Xi dalam kasus (1), kita menjumpai kondisi bahwa subtree adalah wi.

Dalam kasus (2), X i adalah sebuah variabel. Maka dengan menggunakan hipotesis induktif dinyatakan bahwa terdapat beberapa tree dengan root  Xi dan hasil wi. Tree ini ditempelkan ke node untuk Xi. Tree juga memiliki root  A, hasilnya adalah hasil dari substree dirangkai dari kiri ke kanan. String tersebut adalah w = w 1, w2,..., wk . Dari Tree ke Penurunan

Dari parse tree, kita dapat mengkonstruksi leftmost derivation atau rightmost  derivation. Untuk memahami bagaimana penurunan dikonstruksi, pertama perlu dilihat bagaimana satu penurunan dari string dari sebuah variabel dapat dilekatkan dalam penurunan yang lain. Contoh 5.11: Perhatikan kembali grammar  pada Contoh 5.3. Dalam contoh tersebut terdapat   penurunan E ⇒ I ⇒ Ib ⇒ ab sebagai sebuah hasil. Untuk  string-string α dan β, adalah benar bahwa

αEβ ⇒ αIβ ⇒ αIbβ ⇒ αabβ artinya bahwa kita dapat membuat perubahan tubuh produksi yang sama untuk  head head  dalam konteks dari α dan β. Sebagai contoh, jika kita mempunyai sebuah  penurunan yang bermula E ⇒ E+E ⇒ E + (E) kita dapat mengaplikasikan penurunan ab dari E yang kedua dengan menyatakan “E+(“ sebagai α dan “)” sebagai β. Penurunan dilanjutkan sehingga diperoleh

82

E + (E) ⇒ E + (I) ⇒ E + (Ib) ⇒ E + (ab)

▓ Teorema 5.2: Misal G = (V,T,P,S) adalah sebuah CFG, dan anggap terdapat sebuah pohon  penurunan dengan root  diberi label oleh variabel A dan dengan hasil w, dimana w

∗

adalah dalam T*. Maka terdapat sebuah leftmost derivation A ⇒ w dalam grammar  lm

G. Bukti: Induksi pada tinggi dari tree. Basis:

Basis adalah tinggi tree = 1, bahwa sebuah  parse tree dengan sebuah hasil dari terminal. Tree tersebut digambarkan sebagai berikut

Karena tree ini adalah  parse tree, A→w haruslah merupakan sebuah produksi. Dengan demikian, A ⇒ w terdiri dari satu langkah, dan merupakan leftmost  lm

derivation dari w dari A. Induksi:

Jika tinggi dari tree adalah n, n ≥ 1 . Tree tersebut digambarkan sebagai berikut

... x1

x2

x k 

 w 1

 w 2

 w k 

Dari tree tersebut dinyatakan 1. Jika Xi adalah sebuah terminal, definisikan w i menjadi string yang terdiri dari Xi. 2. Jika Xi adalah sebuah variabel, maka X i adalah root  dari subtree dengan sebuah hasil yaitu terminal, yang dinamakan w i. Dalam kasus ini, tinggi dari subtree lebih kecil dari n, sehingga hipotesis induksi digunakan terhadap subtree tersebut. Bahwa terdapat leftmost derivation

∗

Xi

⇒ lm

wi

Perhatikan bahwa w = w1, w2,..., wk . Kita mengkonstruksi leftmost derivation dari w sebagai berikut:

83

Mulai dengan langkah : A

⇒ X1, X2,..., Xk  lm

Selanjutnya, untuk setiap i =1,2,...,k, kita tunjukkan bahwa

∗

A

⇒ lm

w1w2...wi Xi+1Xi+2...Xk 

Pernyataan tersebut dibuktikan menggunakan induksi pada i melalui langkahlangkah berikut: Basis: i = 0, diketahui A

⇒ X1, X2,..., Xk  lm

∗

Induksi: Asumsikan bahwa A

⇒ lm

w1w2...wi-1XiXi+1...Xk 

a. Jika Xi adalah sebuah terminal, tidak ada yang dikerjakan. Nyatakan X i sebagai string terminal wi, sehingga

∗

A

⇒ lm

w1w2...wi Xi+1Xi+2...Xk 

 b. Jika Xi adalah sebuah variabel, lanjutkan penurunan dari w i dari Xi, bahwa jika  penurunan ini adalah Xi

⇒ α1 ⇒ α2... ⇒ lm

lm

lm

wi

Kita proses dengan w1w2...wi-1XiXi+1...Xk  ⇒ w1w2...wi-1α1Xi+1...Xk  ⇒ w1w2...wi-1α2Xi+1...Xk  ⇒ ... lm

⇒ lm

lm

lm

w1w2...wiXi+1 Xi+2...Xk 

∗

hasilnya adalah penurunan A

⇒ lm

w1w2...wi Xi+1Xi+2...Xk  . Ketika i = k, hasil

adalah leftmost derivation dari w dari A. Contoh 5.12:  Leftmost derivation dari parse tree tersebut diperoleh dengan menentukan penurunan yang berkaitan dengan subtree. Subtree pada anak yang pertama dari root  memiliki leftmost derivation E ⇒ I ⇒ a. Subtree pada lm lm

anak yang ketiga derivation berikut E ⇒ (E) lm

dari

root  memiliki

leftmost 

⇒ (E+E) ⇒ (I+E) ⇒ (a+E) lm

lm

lm

⇒ (a+I) ⇒ (a+I0) ⇒ (a+I00) ⇒ (a+b00) lm

lm

lm

lm

84

Untuk membuat leftmost  derivation dari seluruh tree kita mulai dari langkah pada root : E ⇒ E*E. Kemudian, kita ubah E yang pertama berdasarkan penurunannya mengikuti setiap langkah dengan *E untuk menerangkan konteks yang lebih besar  dimana penurunan tersebut digunakan. Dengan demikian, leftmost  derivation sekarang: E ⇒ E*E lm

⇒ I*E ⇒ a*E lm

lm

Selanjutnya dengan menggunakan penurunan dari

∗

E

⇒ (a+b00) lm

Penurunan adalah E ⇒ E*E lm

⇒ I*E ⇒ a*E ⇒ a*(E) ⇒ a*(E+E) ⇒ a*(I+E) ⇒ a*(a+E) lm

lm

lm

lm

lm

lm

⇒ a*(a+I) ⇒ a*(a+I0) ⇒ a*(a+I00) ⇒ a*(a+b00) lm

lm

lm

lm

▓ Dari Penurunan ke Inferensi Rekursif 

∗

Jika terdapat sebuah penurunan A ⇒ w untuk CFG, maka fakta bahwa w adalah dalam bahasa dari A ditemukan dalam prosedur inferensi rekursif. Anggap bahwa terdapat penurunan A ⇒ X1, X2,..., Xk  ⇒ w

∗

 Nyatakan w = w 1w2...wk  sedemikian sehingga X i ⇒ wi. 5.7 Aplikasi dari CFG  Markup Language : HTML String dalam markup language adalah dokumen-dokumen dengan mark-mark  tertentu (dinamakan tag-tag). HTML (Hypertext Markup Language) adalah standar    bahasa yang digunakan untuk menampilkan dokumen web. Tag-tag HTML diterjemahkan menjadi halaman web dengan menggunakan browser . Dokumen HTML dibuat dengan menggunakan HTML editor, contoh Dreamweaver dan notepad. Setiap dokumen HTML diawali dan diakhiri dengan tag HTML: …

Bentuk dari tag HTML adalah Dengan elemen menyatakan nama tag, atribut merupakan atribut dari tag dan nilai menyatakan nilai dari atribut. Contoh tag HTML adalah

85

Contoh dokumen HTML:

Dokumen HTML 1

Contoh lain, diberikan teks berikut: The things I hate: 1. Moldy bread 2. People who drive too slow in the fast lane Tag HTML untuk teks tersebut adalah

The things I hate:

1. Moldy bread
2. People who drive too slow in the fast lane

Terdapat sejumlah kelas dari string yang berkaitan dengan dokumen HTML, yang penting diantaranya adalah:

−

Text : string dari karakter, tidak memiliki tag. Contoh elemen teks adalah ”Moldy  bread.”

−

Char : string yang terdiri dari karakter tunggal yang legal dalam teks HTML. Blank termasuk karakter.

− −

 Doc: menyatakan dokumen yang merupakan serangkaian elemen.

−

 ListItem: tag

diikuti dengan sebuah dokumen, yang merupakan sebuah list item tunggal.

−

 List : serangkaian 0 atau banyak  List item.

 Element : bisa berupa sebuah string Text atau sepasang tag dan dokumen di dalamnya, atau unmatched tag yang diikuti oleh sebuah dokumen.

CFG yang menjelaskan struktur dari bahasa HTML adalah Char → a │A │ … Text → ε│Char Text   Doc → ε│ Element Doc  Element → Text │  Doc│

 Doc│

List

│… 4.  ListItem →

 Doc 5.  List → ε│ ListItem List 

1. 2. 3. 4.

86

 Markup Language : XML XML (eXtensible Markup Language) digunakan untuk menyusun dan menyajikan informasi dengan format yang dikehendaki (bukan format standar). XML dirancang untuk menjelaskan data. Seperti HTML, mengandung elemen yang ditandai dengan tag pembuka dan tag penutup. Dengan XML, tag dan atribut dapat digunakan sesuai kebutuhan. XML mencoba untuk menjelaskan semantik dari teks. XML bukan menggantikan HTML. XML dan HTML dirancang untuk tujuan yang  berbeda yaitu:

− −

XML dirancang untuk menjelaskan data dan fokus pada “data apa”. HTML dirancang untuk menampilkan data dan fokus pada bagaimana data terlihat.

XML adalah komplemen untuk HTML. Sintaks XML dinyatakan sebagai berikut Elemen  Root 

Tove Jani Reminder Don't forget me this weekend!

Elemen anak dari root (to, from, heading, and  body).

− Akhir dari elemen  Root 

−

Deklarasi XML, mendefinisikan versi XML dan character encoding yang digunakan. Dalam hal ini digunakan versi 1.0 dan ISO-8859-1 (Latin-1/West European) character set.

Gambar 5.2 Contoh sintaks XML (sumber: www.w3schools.com) Elemen XML

Diberikan contoh deskripsi buku sebagai berikut: My First XML Introduction to XML • What is HTML • What is XML XML Syntax • Elements must have a closing tag • Elements must be properly nested

Dokumen XML untuk deskripsi tersebut adalah Introduction to XML What is HTML What is XML

87

XML Syntax Elements must have a closing tag Elements must be properly nested

Dalam dokumen XML di atas, dinyatakan hal-hal berikut: -

Book adalah root element . Title, prod, dan chapter adalah child element  dari  book. Book adalah  parent element dari title, prod, dan chapter. Title, prod, dan chapter adalah sibling (atau sister element ) karena mereka memiliki parent yang sama.

-

Elemen memiliki Content . Elemen dapat memiliki tipe content yang berbeda. Sebuah elemen XML adalah segala sesuatu dari tag awal dari elemen (termasuk  tag tersebut) sampai ke tag akhir dari elemen (termasuk tag tersebut). Sebuah elemen dapat memiliki element  content , mixed content , simple content , atau empty content . Sebuah elemen juga dapat memiliki attribute. Dalam contoh,   book memiliki element content , karena book mengandung elemen-elemen lainnya.

-

Chapter memiliki mixed content  karena mengandung teks dan elemen lainnya. Para memiliki simple content  (atau text content ) karena hanya mengandung teks saja. Prod memiliki empty content , karena tidak membawa informasi apapun. Elemen prod memiliki attributes.  Attribute diberi nama id memiliki value "33657". Attribute yang diberi nama media memiliki value "paper". Diagram Hirarki XML diberikan dalam gambar berikut:  Root Element 

Child Element 1

Child Element 2

Sub Child   Element 

Child Element 3

Sub Child   Element 

Gambar 5.3 Diagram hirarki XML  Document-Type Definition (DTD) DTD berfungsi untuk mendefinisikan tipe dokumen XML. DTD mendefinisikan struktur dokumen XML dengan daftar elemen yang digunakan. DTD secara esensial merupakan sebuah CFG, dengan notasinya sendiri untuk menjelaskan variabel dan produksi. Bentuk dari sebuah DTD adalah: Definisi elemen memiliki bentuk:

88

Deskripsi elemen secara esensial merupakan ekspresi regular. Basis dari ekspresiekspresi ini adalah -

  Nama elemen lainnya, menyatakan bahwa elemen dari satu tipe dapat muncul dalam elemen tipe lain.

-

Term khusus #PCDATA menyatakan teks yang tidak tercakup dalam tag-tag XML.

Contoh deklarasi element adalah

Parsed character data (PCDATA) menunjukkan isi elemen hanya terdiri dari teks yang perlu diproses oleh  parser. ]> Budi Bogor laki-laki bendahara

File DTD dipisahkan dengan dokumen XML-nya dan misalkan disimpan dalam file organisasi.dtd.

Dokumen XML yang memanggil file organisasi.dtd: Budi Bogor

89

lak-laki bendahara

Operator-operator yang digunakan dalam deskripsi elemen adalah -

| menyatakan union

-

Koma menyatakan perangkaian

-

Closure operator: 

 berarti “zero or more occurences of”



+ berarti “one or more occurences of”



? berarti “zero or one occurence of”

Contoh 5.13: Berikut ini adalah standard DTD untuk mendeskripsikan berbagai PC yang dijual oleh vendor komputer. Setiap deksripsi memiliki nomor model, detail fitur dari model, seperti jumlah RAM, banyaknya dan ukuran disk dan sebagainya.

PcSpecs [ PCS (PC*)> PC (MODEL,PRICE,PROCESSOR,RAM,DISK+)> MODEL (\#PCDATA)> PRICE (\#PCDATA)> PROCESSOR (MANF, MODEL, SPEED)> MANF (\#PCDATA)> MODEL (\#PCDATA)> SPEED (\#PCDATA)> RAM (\#PCDATA)> DISK (HARDDISK|CD|DVD)> HARDDISK (MANF,MODEL,SIZE)> SIZE (\#PCDATA)> CD (SPEED)> DVD (SPEED)>

Bagian dari dokumen XML 4560 $2295 Intel Pentium 800Mhz 256 Maxtor Diamond 30.5GB

90

32X …

▓ Dalam Contoh 5.13 aturan untuk elemen DTD

analog berturut-turut dengan produksi Processor   Manf Model Speed   Disk   HardDisk | Cd | Dvd 

Sedangkan aturan untuk elemen DTD

Analog dengan produksi Pc   Model Price Processor Ram Disks  Disks   Disk | Disk Disks

Konversi dari produksi dengan body ekspresi regular ke kumpulan produksi   biasa yang ekuivalen. Konversi dilakukan menggunakan induksi pada ukuran dari ekspresi dalam body. Basis: jika body adalah perangkaian dari elemen, maka prodksi merupakan bentuk  legal untuk CFG-CFG Induksi: selainnya terdapat 5 kasus, tergantung pada operator final yang digunakan. Kasus tersebut adalah

-

Kasus 1: Produksi dengan bentuk AE1,E2, dimana E1 dan E2 adalah bentuk  yang diperbolehkan dalam bahasa DTD. Produksi tersebut diganti dengan ABC BE1 CE2

-

Kasus 2: Produksi dengan bentuk A E1 | E2.  pasangan produksi

Produksi ini diganti dengan

AE1 AE2 -

Kasus 3: Produksi dengan bentuk A (E1)*. Produksi tersebut diganti dengan  produksi berikut dimana variabel baru B digunakan ABA Aε

91

BE1 -

Kasus 4: Produksi dengan bentuk A (E1)+. Produksi tersebut diganti dengan  produksi berikut dimana variabel baru B digunakan ABA AB BE1

-

Kasus 5: Produksi dengan bentuk A (E1)?. Produksi tersebut diganti dengan  pasangan produksi Aε AE1

Contoh 5.14: Konversikan DTD rule

ke produksi CFG yang legal Jawab: Jika dibuat variabel baru A dan B, maka dapat digunakan produksi-produksi berikut: Pc   AB  A  Model Price Processor Ram  B  Disk+

Akan tetapi bentuk ketiga tidak legal dalam CFG, sehingga digunakan variabel baru C dan diperoleh produksi-produksi berikut B  CB | C C  Disk  Dalam kasus ini, variabel A dan C tidak diperlukan, sehingga diperoleh produksi produksi berikut Pc  Model Price Processor Ram B  B  Disk B | Disk 

▓ 5.8 Ambiguitas dalam Grammar Dan Bahasa

Tidak semua grammar  dapat menyatakan struktur yang unik untuk setiap string dalam sebuah bahasa. Kadang-kadang, grammar  dapat dirancang ulang agar  dapat memberikan struktur yang unik untuk setiap string dalam sebuah bahasa. Contoh 5.15: CFG untuk ekspresi sederhana: EI EE+E EE*E

92

E  (E) Ia Ib I  Ia I  Ib I  I0 I  I1 Produksi-produksi E  E + E, E  E * E ekpresi-ekspresi sederhana dapat digenerate dalam beberapa cara. Sebagai contoh, bentuk sentential E + E * E memiliki dua penurunan dari E, yaitu: 1. E ⇒ E + E ⇒ E + E *E 2. E ⇒ E * E ⇒ E + E *E Gambar berikut menyatakan   parse tree yang bersesuaian dengan kedua penurunan tersebut: E

E

E

Gambar 5.4a

+

E

E

*

E

E

E

+

*

Gambar 5.4b

E

E

Gambar 5.4 Parse tree untuk E + E * E Grammar  pada Contoh 5.15 di atas memberikan dua struktur yang berbeda untuk string atau terminal-terminal yang diturunkan dengan mengganti 3 ekspresi dalam E + E * E dengan identifier.

Contoh 5.16: Dengan menggunakan grammar  dalam Contoh 5.15, dapat ditemukan bahwa string a + b memiliki beberapa penurunan yang berbeda, yaitu: 1. E ⇒ E + E ⇒ I + E ⇒ a + E ⇒ a + I ⇒ a + b 2. E ⇒ E + E ⇒ E + I ⇒ I + I ⇒ I + b ⇒ a + b

▓ Ambiguitas disebabkan karena adanya dua atau lebih  parse tree, bukan karena banyaknya penurunan. CFG G = (V, T, P, S) dikatakan ambigu jika terdapat sedikitnya satu string w dalam T* dimana kita dapat menentukan dua  parse tree yang   berbeda. Masing-masing parse tree tersebut memiliki root yang diberi label S dan hasil w. Jika setiap string memiliki paling banyak satu  parse tree dalam grammar , maka grammar  tersebut dikatakan tidak ambigu ( unambiguous). Contoh 5.17: Berikut adalah parse tree yang menghasilkan string a + a * a.

93

E

E

+

E

I

E

*

a

I

a

E

Gambar 5.5a

E

*

E

+

E

I

E

E

I

I

I

a

a

a

Gambar 5.5b

a

▓

Gambar 5.5 Parse tree untuk a + a * a Menghilangkan Ambiguitas dari Grammar

Terdapat dua penyebab ambiguitas dalam grammar pada Contoh 5.15, yaitu: -

Gambar 5.4a mengelompokkan operator * sebelum operator +. Sedangkan Gambar 5.4b mengelompokkan + di depan *. Tetapkan hanya struktur dalam Gambar 5.4a yang legal dalam grammar yang tidak ambigu.

-

Urutan operator-operator yang serupa dapat dikelompokkan dari kiri atau dari kanan. Sebagai contoh, jika para * dalam Gambar 5.4 diganti oleh para +, maka akan diperoleh dua  parse tree yang berbeda untuk string E + E + E. Walaupun dalam penjumlahan dan perkalian berlaku hukum asosiatif, untuk menghilangkan ambiguitas ditetapkan pengelompokkan dari kiri. Untuk menghilangkan ambiguitas, diperkenalkan variabel-variabel berikut:

1. Faktor: sebuah ekspresi yang tidak dapat dipecah dari operator yang berdekatan, a * atau a +. Faktor-faktor berupa: -

Identifier 

-

Ekspresi yang diberi tanda kurung.

2. Term: sebuah ekspresi yang tidak dapat dipisahkan dari operator +. Contoh 5.15, term adalah product dari satu atau lebih faktor.

Dalam

3. Ekspresi. Dalam Contoh 5.15, ekspresi adalah penjumlahan satu atau lebih term. Contoh 5.18: Berikut adalah grammar  yang tidak ambigu yang me- generate bahasa yang sama dengan bahasa yang di- generate oleh grammar dalam Contoh 5.15: I  a | b | Ia | Ib | I0 | I1 F  I | (E)

94

TF|T*F ET|E+T Dalam grammar  tersebut, F, T dan E berturut-turut menyatakan faktor, term, dan ekspresi. Grammar  di atas memungkinkan hanya satu  parse tree untuk string a + a * a, yaitu E

E

+

 T

 T

 T

*

F

F

I

I

I

a

F

a

a

Gambar 5.6 Parse tree untuk a + a * a

▓  Leftmost Derivation dan Ambiguitas Penurunan dapat tidak unik walaupun grammar  tidak ambigu. Dalam sebuah grammar yang tidak ambigu, leftmost derivation dan rightmost derivation akan unik. Contoh 5.19 : Perhatikan  parse tree dalam Gambar 5.5a dan Gambar 5.5b, yang menghasilkan E + E * E.  Leftmost derivation dari kedua parse tree tersebut, berturut-turut adalah 

E

⇒ E+E ⇒ I+E ⇒ a+E ⇒ a + E *E ⇒ a+I*E lm 

⇒

lm 

a+a*E

lm  

E

lm 

lm 

lm 

⇒ a+a*I ⇒ a+a*a lm 

lm 

⇒ E*E ⇒ E+E*E ⇒ I+E*E ⇒ a+ lm 

a+I*E

⇒ lm 

lm 

a+a*E

lm 

lm 

⇒ a+a*I ⇒ a+a*a lm 

E *E

⇒ lm 

lm 

▓

95

Teorema 5.3: Untuk setiap grammar  G = (V, T, P, S) dan string w dalam T*, w memiliki dua  parse tree yang berbeda jika dan hanya jika w memiliki dua leftmost  derivation yang  berbeda dari S. Bukti dapat dilihat pada buku rujukan  Inherent Ambiguity Sebuah CFL L dikatakan inherently ambiguous jika semua grammar grammar nya adalah ambigu. Jika satu grammar  untuk L adalah tidak ambigu, maka L adalah sebuah bahasa yang tidak ambigu. Bahasa dari ekspresi-ekspresi yang digenerate oleh grammar  dalam Contoh 5.15 adalah bahasa tidak ambigu. Walaupun grammar nya ambigu, terdapat grammar  yang lain untuk bahasa yang sama yang tidak ambigu, yaitu grammar dalam Contoh 5.18. Contoh 5.20: Perhatikan bahasa berikut: L = {a  b c d | n ≥ 1, m ≥ 1} ∪ {a  b c d | n ≥ 1, m ≥ 1} n n m m

n m m n

+ + + +

Bahasa L berisi string-string dalam a  b c d sedemikian sehingga: -

Terdapat sama banyak para a dan para b dan sama banyak para c dan para d, atau

-

Terdapat sama banyak para a dan para d dan sama banyak para b dan para c.

L adalah sebuah CFL. Grammar  untuk L adalah: S  AB | C A  aAb | ab B  cBd | cd C  aCd | aDd D  bDc | bc Grammar  di atas adalah grammar yang ambigu. Sebagai contoh, string aabbccdd memiliki dua leftmost derivation, yaitu:

1. S

⇒ AB ⇒ aAbB ⇒ aabbB ⇒ aabbcBd ⇒ aabbccdd lm 

2. S

lm 

lm 

lm 

lm 

⇒ C ⇒ aCd ⇒ aaDdd ⇒ aabDcdd ⇒ aabbccdd lm 

lm 

lm 

lm 

lm 

Parse tree untuk kedua penurunan tersebut adalah:

96

Gambar 5.7a

Gambar 5.7b

▓ Gambar 5.7 Parse tree untuk aabbccdd Penutup – Latihan Soal

1. Untuk CFG yang ditentukan oleh S  AA A  AAA|a|bA|Ab Berikan sebuah penuruan untuk bbabaaba. 2. Tentukan sebuah CFG untuk setiap bahasa berikut a. {0 1 | n ≥ 0} n n

 b. {0 1 | m ≥ n} m n

3. Untuk CGF yang ditentukan oleh S  AB A  aA|a B  bB|b Tentukan leftmost  atau rightmost derivation untuk aabbb. Buatlah   parse tree untuk penurunan aabbb. 4. Untuk CGF yang ditentukan oleh S  SbS|ScS|a Tentukan sedikitnya dua penurunan untuk abaca.  penurunan-penuruan tersebut.

Buatlah   parse tree untuk 

5. Diberikan grammar yang ditentukan oleh S  I:=E I  a|b|c E E+E|E*E| (E)|I a. Berikan contoh string-string yang dapat diturunkan dari grammar tersebut.  b. Jelaskan string-string seperti apa yang ada dalam bahasa dari grammar  tersebut. c. Apakah string a:=b+c*a dapat diturunkan dari grammar tersebut.

97

d. Buatlah parse tree untuk string a:=b+c*a. e. Apakah grammar tersebut ambigu. 6. Diberikan grammar  E  +EE | *EE| −EE| x | y a. Tentukan leftmost atau rightmost derivation untuk +*−xyxy.  b. Tunjukkan bahwa grammar tersebut ambigu. 7. Tunjukkan bahwa grammar berikut adalah ambigu S  bA|aB AaaS|bAA B bbS|aBB 8. Tentukan grammar  lain yang tidak ambigu untuk bahasa yang dinyatakan oleh grammar pada soal nomor 6. 9. Exercise 5.3.4 Hopcroft et al (2000) 10. Exercise 5.3.5 Hopcroft et al (2000)

98