Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar. Senar gitar yang sering anda mainkan,
Sound system,
Garpu tala,
Demikian juga rumah anda yang bergetar dasyat hingga rusak ketika terjadi gempa bumi.
Ingat juga ketika anda tertawa terpingkal-pingkal tubuh anda juga bergetar
Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatu interval waktu tertentu. Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab adanya gelombang.
Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri .
Persamaan gerak secara umum :
mu + cu + ku
=
p(t )
Kecepatan dan perpindahan saat t=0 : u
(0)
=
u
0
,
(0)
u
=
0
u
Sehingga persamaan gerak dapat ditulis : 2 ⎛ ⎞ ω 2 n ⎟ p(t ) u + 2ζω n u + ω n u = ⎜ ⎜ k ⎟ ⎝ ⎠
dimana ω
n
k
2 =
m
dan
ζ
c =
c
cr
dimana ccr
=
2mω n
2k =
ω
n
ωn adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redaman
liat dan ccr adalah koefisien redaman kritis.
k
c
Getaran bebas system SDOF Respon total : u K
u (t )
=
u p (t ) + u c (t )
m I
P(t)
c
up(t) = forced motion related p(t) uc(t) = natural motion Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) dan penyelesaian komplemen/pelengkap uc(t).
Getaran bebas system SDOF Untuk getaran bebas → P(t)=0:
+ cu + ku mu + 2ζω u + ω u n
n
=
0
2
u =
0
Solusi umum, untuk menyelesaikan persamaan diatas :
u
st
=
C e
substitusikan
Maka….
Getaran bebas system SDOF ( s
2
+
2
st
2ζω n s + ω n )C e
=
0
Supaya dapat valid untuk semua nilai t , kita harus mengeset :
s
2
+
2ζω
n
s +
ω
2
n
Persamaan Parakteristik
=
0
Getaran bebas system SDOF SDOF Tak Teredam (Undamped)
SDOF Teredam (Damped)
Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
+ ku mu
=
0
atau
u + ω
dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah s
2
2
+ ω
n
=
0
akar dari persamaan diatas adalah
s1, 2
= ±iϖ
n
dimana
2
i=
-1
n
u =
0
Sehingga penyelesaian umum :
u
=
C 1
eiω nt
+ C 2 e
−iω nt
dengan memperkenalkan persamaan Euler
e
± iθ
=
cosθ ± i sin θ
kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk fungsi trigonometri, yaitu
u
=
A1 cos ω n t + A2 sin ω n t
dimana A1 dan A2 adalah konstanta real, ditentukan dari kondisi awal perpindahan dan kecepatan,
u (0) u (0)
=
u0
=
A1
=
u0
=
A2ω n
jadi u = u0
cosω n
⎛ u 0 t + ⎜ ⎜ ω ⎝
n
⎞ ⎟⎟ sin ω ⎠
n
t
adalah respon getaran bebas dari sistem "undamped SDOF".
Pertama-tama dengan mempertimbangkan kasus dari sebuah sistem yang menggantikan dari posisinya yang seimbang dengan jumlah uo dan dibebaskan. Kemudian ů(0) = 0 , jadi
u
=
u 0 cos ω n t
u
=
u 0 cos ω n t
Dapat dilihat bahwa respon merupakan gerakan harmonik sederhana dengan amplitudo u o, dan periode dari "undamped natural "
T n
2π
(s)
=
ω
n
dan sebuah frekuensi dari "undamped natural "
f n
1 =
T n
ω =
n
2π
(Hz)
Gambar diatas menunjukkan sebuah plot apabila u o ataupun ůo adalah 0 (nol). Hal ini tetap merupakan gerakan harmonik sederhana dengan periode T n. u(t) dapat diekspresikan dengan persamaan
u
=
u0
cos ω n t
OR
u (t )
=
U cos(ω n t − α )
=
U cos ω n
⎛ α ⎜⎜1 − ⎝ ω
n
⎞ ⎟⎟ ⎠
200 lb/ft
Model Struktur :
F(t)
E = 30.106 psi W8x24
I = 82,5 in4 15 ft
W = 200 x 25 = 5000 lb g = 386 in/dt2
Persamaan Gerak dan persamaan respons getran bebasnya (F(t)=0) ?
Model SDOF 200 lb/ft
F(t)
F(t)
W8x24
15 ft
Model Matematis
FBD
y
K m
F(t)
f s
m I
F(t)
I + fs = F (t )
m
f s
F(t)
I
m. y + k . y = F (t ) 12 E (2 I )
K
=
ω
=
g
386
m
1
ω =
(15 .12)
n
2π
=
2π
10,185 lb / in
2
=
12.95lb.dt / in
10,185 . 386 =
=
3
5000 =
k
n
f
L
=
6
=
3
W
m
12 . 30 .10 (2 . 82,5)
5000
=
0.786 rad / dt
10,185 . 386 5000
=
4.46 sps
()
+ 10.185 y = F t 12.95 y
Persamaan Gerak
Persamaan Respons Getaran Bebas :
⎛ u0 u (t ) = u0 cos ω t + ⎜ ⎜ ω ⎝ n
n
u (t ) = u0
⎞ ⎟⎟ sin ω t ⎠ n
⎛ u0 ⎞ ⎟ sin 0.786t ⎝ 0.786 ⎠
cos 0.786t + ⎜
y(0) 0,001 ft Jika: Simpanganawal Kecepatan awal y (0) 0,1 ft/dt GayaluarF(t) GambarkanResponsStruktur!! =
=
Tuned Mass Damper
Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
+ cu + ku mu
=
0
atau
u+
dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah
s
2
+
2ζω s n
+
ω
n
2
=
0
dimana akar-akarnya , s1 dan s2 diberikan oleh s
1, 2
=
−ζω
n
±
ω
n
2
ζ − 1
2ζω u + ω n
n
2
u =
0
Besarnya faktor "damping " ( membedakan 3 kasus, yaitu:
) , dapat digunakan untuk
Ø
overdamped (
1)
Ø
critically damped (
=1)
Ø
underdamped (0 <
< 1)
Kasus Underdamped ( 0 <
s
1, 2
=
< 1)
2
−ζω ± ω ζ − 1 n
n
Lebih mudah bila menulis persamaan diatas dalam bentuk
s1, 2
=
−ζω n
±
iω d
dimana d adalah frekuensi alami " damped circular " yang diberikan oleh
ω d
=
ω n
1 − ζ
yang sesuai dengan periode damped , Td diberikan oleh T d
2π =
ω
d
, yang
Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk
u (t )
=
e
−ζω nt
( A1 cos ω d t + A2 sin ω d t )
dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A 1 dan A2 , dengan hasil:
u (t ) = e
−ζω nt
⎡ ⎤ ⎛ u0 + ζω nu0 ⎞ ⎟⎟ sin ω d t )⎥ ⎢u0 cos ω d t + ⎜⎜ ω d ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Atau dapat ditulis dalam bentuk
u (t )
=
Ue
−ζω n t
cos(ω d t − α )
Gambar diatas menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam subcritical damping. Dalam tiap kasus, karena u o = 0 , respon yang didapat
Walaupun nilai dari mempunyai efek pada frekuensi , d , efek yang paling berat dari damping adalah pada angka pada saat gerakan menyusut, yaitu pada waktu e - dt.
MainMenu
Ø
Kasus critically damped (
=1)
Ketikaζ=1makapersamaan s
1, 2
=
−ζω
n
±
2
ω
ζ − 1
n
menjadi s
1, 2
Solusinyamenjadi: u(t )
=
(C 1 + C 2t )e
−ζω nt
maka respon dari sistem redaman kritis adalah: u (t ) = [uo + (uo + ζω n u o )t ]e
−ζω n t
=
−ζω
n
Ø
Kasus overdamped (
>1)
Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari sebuah sistem SDOF Faktor damping , ζ , umumnya diukur, dan bila diinginkan, nilai efektif dari c dapat dihitung dari persamaan
ζ
c =
c
cr
Frekuensi alami undamped dari sebuah sistem SDOF sederhana dapat ditentukan dari pengukuran statis.
Main Menu
Tentukan frekuensi alami dari sebuah sistem pegas sederhana dengan menggunakan pengukuran statis defleksi.
k
Lo
k
fs=kust ust w
w
ωn 2 = k/m
1
keseimbangan berat dari massa yang tergantung pada pegas ditunjukkan pada +
↓ ∑ F = 0
k
Lo
k
fs=kust
2
ust
atau
w
w
W − f s
=
3
0
dari persamaan gaya yang menyebabkan perpanjangan pada pegas
f s
=
ku st
persamaan 3 dan 4 digabungkan mendapat
4
f s
=
mg ku st =
5
jadi, dari persamaan 1 dan 5
ω n
6
g
2 =
u st
apabila the damping dalam sistem kecil ( ζ < 0.2 ), persamaan
ω D
=
ω n ζ 2 −1
menunjukkan bahwa ωd kurang lebih sama dengan ωn . Contoh selanjutnya menunjukkan bagaimana sebuah eksperimen getaran bebas dapat digunakan untuk menentukan frekuensi alami dari sebuah sistem SDOF.
Frekuensinaturaldaribalokkantileverdenganmassa lumped(terpusat)bergerakdinamis.Massabergerak denganamplitudoA=1inkemudiandilepaskan.Gerakan yangterjadiditunjukkangambardibawahyang mengindikasikanbahwaredamanpadastruktursangat kecil.Hitungfrekuensinaturaldalamradianperdetik danhertz.Berapaperiodenya?
Pada titik a, beban telah bergerak 1¼ putaran
f n ω
n
T n
1.25 ≈
putaran 0.4 s
=
3.125
Hz
2π f n (6.28)(3.125) =
1 =
=
f n
1 =
=
3.125
0.32 s
=
19.6 rad/s
Terdapat dua metode yang hampir sama untuk menentukan the damping factor, ζ, dengan menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas dari sebuah sistem SDOF metoda logarithmic decrement dan metoda setengah amplitudo. Keduanya berdasarkan pada persamaan,
u (t )
=
Ue
−ζω n t
cos(ω d t − α )
Dalam metoda logarithmic decrement , amplitudo gerakan, u P , pada permulaan dari putaran dan amplitudonya, u Q , pada akhir putaran , dihitung. Pada akhir dari periode (misal satu putaran ) nilai dari cos (ωdt - α ) kembali pada nilai yang didapat pada permulaan dari putaran. Karena itu, didapat persamaan
u P uQ
=
e
ζω nT d
the logarithmic decrement dijelaskan sebagai berikut :
⎛ u P ⎞ ⎟ ζω nT d δ ln⎜ ⎜ uQ ⎟ =
=
dimana Td adalah periode natural damped , dijelaskan sebagai berikut : 2π
T d
=
ω d
2π =
ω n
1 − ζ
2
jadi, kita mendapatkan
δ
=
ζω n T d
2πζ =
1 − ζ
2
Untuk damping kecil ( ζ < 0.2 ) , perkiraannya :
δ
=
2πζ
dapat diterima, memungkinkan faktor damping untuk didapat dari persamaan :
⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ U P ⎞⎟ ζ ⎜ ⎟ ln⎜ ⎝ 2π ⎠ ⎝ U Q ⎟⎠ =
Prosedur yang sama juga diterapkan pada metoda setengah amplitudo, dimana hasilnya merupakan perhitungan yang sederhana untuk faktor damping. Metoda setengah amplitudo berdasarkan pada amplitudo dari envelope curve (kurva envelope).
uˆ (t )
=
Ue
−ζω n t
pada dua titik P dan R, dimana : uˆ R
uˆ P =
2
Titik-titik tersebut adalah N periode damped yang terpisah, dimana N tidak harus sebuah bilangan bulat. Kemudian,
uˆ P uˆ R
=
e
ζω n NT d
=
2
Sehingga diperoleh persamaan
2π N ζ =
1 − ζ
2
ln(2)
Gambar hubungan antara ζ dan N .
GambarSoal
MainMenu
Tetapi, untuk nilai damping yang kecil, ζ2 << 1, menghasilkan:
2π N ζ ln(2) =
atau
ζ
0.11
=
N
Persamaan diatas menyediakan cara yang mudah untuk memperkirakan the damping dalam sebuah sistem yang damped secara ringan ( ζ < 0.1, misal N > 1)
Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85. a). b). c). d). e).
Frekuensi natural tak teredam (ωn) Pengurangan logaritmis (δ ) Rasio redaman(ζ) Koefisien redaman(c) Frekuensi natural redaman (ωn)
a). Frekuensi natural tak teredam (ωn) K ω
n
K = 20 lb/in , m
=
m
20
ω
n
=
10 386
=
27,78 rad
sec
atau f
δ
=
ln
δ
=
ln
1,0 0,85
=
=
2π
0,165
c). Rasio redaman(ζ)
ζ
δ =
2π
ζ
0,163 =
2π
=
386 in/sec
27,78
ω =
y1 = 1,00 y2 = 0,85
y2
=
g
b). Pengurangan logaritmis y1
10 lb
W =
0,026
=
2π
2
4,42 sps
d). Koefisien redaman(c)
ζ
c
ccr
=
=
2 k ⋅ m
=
2 10 ⋅ 20
c
386
cr
c
ζ ⋅ c
=
cr
(0,026)⎛⎜ 2
=
=
⎝
0,037
10 ⋅ 20
⎞⎟ 386 ⎠
lb ⋅ dt
in e). Frekuensi natural redaman (ωD)
ω D ω
D
2
=
ω 1 − ζ ,
=
27.78 1 − (0.026)
2
=
27.77 rad/det
Gunakan metode setengah amplitudo untuk memperkirakan the damping dadri sebuah sistem yang gerakannya terekam dalam gambar berikut,
•
Gambar sketsa dari the envelope curve ( terdapat pada gambar)
• •
Ambil titik P pada puncak dan ukur u P ; u P = 0.44 in. Cari titik R , dimana amplitudo dari the envelope curve adalah u P /2 = 0.22 in. Perkirakan jumlah putaran antara P dan R : N = 2.25 putaran Gunakan persamaan dibawah ini untuk memperkirakan ζ :
• •
ζ
0.11
=
N
ζ
0.11 =
=
2.25
0.049
Level dari damping dari sebuah sistem juga tercermin dalam jumlah yang disebut time constant, . Yang artinya waktu yang diperlukan bagi amplitudo untuk berkurang dengan faktor 1 / e. Dengan perlakuan yang sama ketika formula setengah amplitudo didapat, persamaan untuk time constant bisa didapat. Gunakan the envelope curve dan S menjadi titik seperti : u P
u P =
u S
u P (1 / e)
=
e
jadi,
u P u S
=
U exp( −ζω n t P ) U exp[ −ζω n (t P
+
τ )]
=
e
atau,
e
ζω τ n
=
e
dengan mengeliminasi logaritma pada kedua sisi, kita dapatkan
ζω τ n
=
1
kemudian, time constant , τ, diberikan sebagai :
τ
1 =
ζω n
T n =
2πζ
dengan mengetahui bahwa 1 /e = 1 / 2.718 = 0.368. Oleh karena itu, time constant , τ , adalah waktu yang diperlukan bagi amplitudo gerakan untuk berkurang sekitar 63%.
Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping Gambar dibawah ini menunjukkan sebuah benda meluncur pada permukaan yang kasar yang menghasilkan gaya gesekan.
Main Menu
f D
=
µ k N
=
µ k mg
dimana µ k adalah koefisien gesekan kinetik, atau koefisien gesekan luncur. Gaya gesek selalu berlawanan dengan gerakan, yakni berlawanan gaya yaitu u . Dengan menggunakan hukum Newton II, kita mendapatkan
− f s − f D
=
mu
tapi f s = ku dan
f D
=
) µ k mg sgn(u
Main Menu
kemudian
mu + ku = − µ k mg ,
u
mu + ku = + µ k mg ,
u < 0
>
0
dengan
u D
=
⎛1⎞ f D ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠
=
µ k g ω
2
n
Maka didapat 2
+ ω n u u
−ω
u D
u
>
0
= +ω
u D
u
<
0
=
n
2
+ ω n u u
n
Main Menu
