UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
UNIDAD 4 FACTORIZACIÒN FA CTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS ALGEBR AICAS FACTORIZACION Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Cuando realizamos las multiplicaciones: multiplicaci ones: 1. 2.
2
3
2
2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x 2 (x + 7)(x + 5) = x + 12x + 35
Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMUN 1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.
Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x
+
18y
Entre los coeficientes coeficientes es el 6, o sea, 6 2x + 6 3y ∙
Ejemplo 2: menor
2
−
24z?
6 4z = 6(2x ∙
+
3y
−
4z)
¿Cuál es el factor común monomio en: 5a 15ab 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de grado), por lo tanto tanto 2 5a 15ab 10ac = 5a a −
Ejemplo 3:
∙
−
−
∙
−
5a 3b ∙
2
−
−
−
5a · 2c = 5a(a 2
¿Cuál es el factor común en 6x y 30xy El factor común es “6xy “porque 2 2 2 2 6x y 30xy + 12x y = 6xy(x 5y + 2xy) −
−
+
−
3b
−
2c)
2 2
12x y ?
−
1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión. En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el resultado será otro polinomio.
Ejemplo 1:
2
5x (x
- Factor común "(x
−
−
y) + 3x(x
−
y) + 7(x
−
y)
y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x
Entonces se obtiene como resultado: (x
−
y) (5x
2
+
3x +7)
2
+
3x + 7)
Ejemplo 2: Factoriza 2a (m 2n) b (m 2n) = Existe un factor común que es (m 2n) → −
−
−
−
2a (m
−
2n)
−
b (m - 2n)
=
(m
−
2n) (2a
−
b)
1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y 9xy 15xy2: Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así: −
4
1º
5x y
2º
3x y
−
3
15xy
−
9xy
2
3
5xy (x
=
=
−
3y (x
3
−
3y)
3y)
−
Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así: 5xy (x
3
3y) +3y (x
−
3
3y): Después se aplica el factor común polinomio.
−
Entonces el resultado será el siguiente: (x
3
3y) (5xy +3y)
−
2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS 2.1 Trinomio cuadrado cuadrad o perfecto Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.
Ejemplo: Factorizar
9 x 30 x 25 2
2 9 x ;
1 Halla la raíz principal del primer término 2 Halla la raíz principal del tercer término 2
luego la l a factorización de 9 x
3x · 3x
25 con el signo del segundo término;
30 x 25 3 x 5 3 x 5 3 x 5
5· 5
−
−
2
2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo:
m 4 10m 2 n 2 9n 4
Resolviéndolo queda:
m 4 10m 2 n 2 9n 4 4m 2 n 2 4m 2 n 2 4 2 2 4 2 2 m 6m n 9n 4m n
m
2
3n 2 2mn 2
2
Aplicamos diferencia de cuadrados:
m2 3n2 2mn m2 3n2 2mn
2.3 Trinomio de la forma: x2n bxn c El trinomio de la forma el siguiente proceso:
n
n
x2 bx c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante
Ejemplo 1: x2 6 x 5
Descomponer
x ·x
1 Hallar dos factores que den el primer término
2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
1 y 5 ó -1 y - 5
x 5 x 1
Pero la suma debe ser +6 luego serán
x2 6 x 5 x 5 x 1 Ejemplo 2: Factorizar x 4 x y 12 y 4 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x : 4
2
2
x2 · x2
2
2º Hallar los divisores de 12y , estos pueden ser:
6y · 2y 4y · 3y 12y · y −
−
−
Pero la suma debe ser +4, luego servirán 4 2 2 x 4 x y 12 y
x
2
6y y
ó ó ó
6y · 2y 4y · 3y 12y · y
−
−
−
2y, es decir:
−
6 y x2 2 y
2.4 Trinomio de la forma ax2n bxn c Ejemplo: Factorizar 2 x
2
11x 5 2x · x
1º El primer primer término se descompone en dos factores
5 ·1
2º Se buscan los divisores del tercer término 3º Parcialmente la factorización factorizaci ón sería Pero no sirve pues da: Se reemplaza por y en este caso nos da: 2
Por lo tanto, 2 x
ó
-5 · -1
(2x + 5) (x + 1) 2 2x + 7x + 5
(2x - 1) (x - 5) 2
2x - 11x + 5
11 x 5 x 5 2 x1
Vale aclarar aclarar que este no es el único único método. En la presentación se aplica el método que que sugiere Baldor.
3. FACTORIZACION FACTORIZACION DE BINOMIOS
3.1 Diferencia de dos cuadrados: Ejemplo: Factorizar
9 x 16 y 2
2
9 x 2 3x
Raíz cuadrada del primer término
16 y
Y raíz cuadrada del segundo término Luego la factorización de
4y
2
9 x 16 y 3 x 4 3 x 4 2
2
3.2 Cubo perfecto de un binomio Ejemplo: a3 3a 2 3a 1
Factorizar
Todos los signos de de los términos son positivos 3 3
3 a a : Raíz cubica del primer término del cuatrinomio.
1
1 : Raíz cubica del cuarto término del cuatrinomio.
1 3a
3a
2
2
Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio.
3a1 3a Triplo de la raíz cubica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz cubica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por lo tanto:
a 3 3a 2 3a 1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios. a 3 3a 2 3a 1 a 1
3
3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos 3.3.1 Diferencia de cubos: a3 b3 a b a2 ab b2 Ejemplo:
8 x 3
2 x 4 2 x
2
x
3.3. 2 Suma de cubos: a3 b3 a b a2 ab b2 Ejemplo:
27a 1 3a 1 9a 3a 1 3
2
FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma
p ( x) q( x)
donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con
q(x) q(x) ≠0. ≠0. Ejemplos: x 5 ( a) ( x 3) x 3 ( c)
2 x3
3 x 2x 3 2 3 x4 (d ) 2 ( x 4, x 2) x 2 x 8
(b)
y
7
8
Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible. Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible. Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.
Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 3 3
(a)
21ab
(b)
8a 3ab 2
24a b
5
3
7b 3ab 2
3
2
8a
2
7b
x 2 7x 12 x 2 16
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
x 2 7x 12 ( x 4)( x 3) x 2 16 ( x 4)( x 4) Luego: 2 x 7 x 12
x 16 2
( x 4) 4)( x 3) ( x 4)( x 4)
x 3 x 4
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente
Ejemplo:
Reducir al mínimo común denominador
x x 5 x 6 2
,
3
x 6 x 9 2
,
2
x
x 3 x 2 2
,
x3 x 2
Al factorizar los denominadores obtenemos:
( x 2)( x 3) , ( x 3)2 , ( x 2)( x 1) , ( x 2) ; m.c.m. = ( x 2)( x 3)2 ( x 1)
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.
1. Suma y Resta Reglas: Se simplifican las fracciones, si es posible. Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común. Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Ejemplo: 5a 9b 7a 2b 8a 5b (5a 9b ) (7a 2b ) (8a 5b ) 4a 6b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b 2a 3b Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
2(2a 3b) 2 (2a 3b) 5a 9b 7a 2b 8a 5b Entonces: 2 2a 3b 2 a 3b 2a 3b
2. Multiplicación Reglas: Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.
Ejemplo: m 5m 6
m m
2
m 9 2
3
7m 21
2 m 2m 8m 7m 7 3
2
Factoricemos y simplifiquemos
(m 3)(m 2)
2 m(m 1)
(m 3)(m 3) m(m 2m 8) (m 3)(m 2) (m 3)(m 3)
2
1)(m 1) 1) m(m 1)
7(m 3) 7(m 1) 2
7(m 3)
m(m 4)(m 2) 7(m 1)(m 1)
1
m 4
Entonces:
m 5m 6
m m
2
m 9 2
7m 21
3
m 2m 8m 3
2
1
7m 7 2
m4
3. División Reglas:
Se multiplica el dividendo por el divisor invertido Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.
Ejemplo: 2 x 4 y 5 x 15 y
6 xy 12 y
2 x 4 y
2
15 x 45 45 y
15 x 45 y
5 x 15 y 6 xy12 y
2
Factoricemos y simplifiquemos
2( x 2 y) 5( x 3 y) Entonces:
15 15( x 3 y) 6 y( x 2 y)
2 x 4 y 5 x 15 15 y
1
y
6 xy 12 y 2
15 x 45 y
1
y
4. Operaciones combinadas Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad.
Ejemplo: 2 2 3 x 3 y 6 x 6 y x y 2 2 2 2 x x y y x y xy y 2 2 2 x xy Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.
3( x y ) ( x y) 2
2( x y ) x2 y2 2 6( x y ) x x y y 2
Factoricemos y simplifiquemos
3( x y) ( x y)
2
2( x y) 6( x y)
( x y)( x y)
x xy y 2
2
x y x xy y 2
2
Entonces: 2 2 3 x 3 y 6 x 6 y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 x 2 y x xy xy y x xy xy y x 2 xy y
