Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
Resistência dos Materiais
Ι Ι
Jaime Florencio Martins Professor Associado – DECIV
Ouro Preto, março de 2011
1
1 - ANÁLISE DE TENSÕES 1.1 - INTRODUÇÃO Nos estudos precedentes foram demonstradas as expressões para obterem-se as tensões que atuam em um elemento estrutural. Demonstrou-se que a força normal e o momento fletor produzem tensões normais, enquanto a força cortante e o momento de torção produzem tensões de cisalhamento. Nas estruturas que estão em um estado de solicitação composta, as tensões são obtidas usando-se o princípio da superposição dos efeitos. Determinado o estado de tensões em um elemento estrutural, é importante analisar as tensões em planos oblíquos. No caso geral, as tensões extremas ocorrem em planos inclinados e um dos objetivos deste capítulo é determinar estas tensões e as direções dos planos onde atuam. A análise de tensões independe das propriedades do material, sendo assim, as equações demonstradas neste capítulo podem ser usadas tanto na fase elástica como na fase plástica. 1.2- ANÁLISE DE TENSÕES EM UMA BARRA SOLICITADA POR FORÇA AXIAL O caso mais simples de solicitação é o de uma barra prismática sujeita a uma força axial de tração (Figura 1.1(a)). Fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da barra, as tensões que eram internas tornam-se externas e representam a ação da parte direita sobre a esquerda (Figura 1.1(b)). A força resultante no plano de corte imaginário é axial e igual a força F, o que mantém o equilíbrio de forças horizontais. A barra está em equilíbrio e qualquer elemento “retirado” desta barra também deve estar em equilíbrio.
Figura 1.1- Barra prismática tracionada Chamando-se de A a área da seção transversal, todos os pontos ficam solicitados pela tensão
σx =
F / A . Desprezando-se as perturbações causadas pela força concentrada e as falhas
2 do material, as tensões em todas as seções transversais paralelas ao corte imaginário são dadas por F / A . Considere-se, agora, um elemento retirado da barra tracionada. Este elemento está representado de forma ampliada na Figura 1.2(a). Fazendo-se um corte imaginário com um plano que forma um ângulo
θ
com o eixo Ox, surgem neste plano as tensões
σθ
e
. Estas tensões
τθ
representam, respectivamente, a componente normal e a componente cisalhante da ação da parte direita do elemento sobre a esquerda. O elemento está em equilíbrio e qualquer parte deste elemento também deve estar em equilíbrio qualquer que seja a direção considerada. Para fazerse o somatório de forças, devem-se multiplicar as tensões pela área onde atuam. Chamando-se de A a área no plano de corte, a área onde atua a tensão normal σx assume o valor A sen θ . O θ
θ
equilíbrio de forças na direção de σ fornece a expressão: θ
σ θ . A θ − σ x.
A.sen θ
2
θ=
0
de onde: 2
(1.1)
σ θ = σ x .sen θ
Figura 1.2 - Corte imaginário Fazendo-se o somatório de forças na direção de τ , tem-se a equação: θ
τ θ . A θσ +
.A θ. θθsen .cos
x
=
0
de onde: τ θ =σ−
(1.2)
.sen θ .cos
xθ
O sinal negativo na expressão acima informa que o sentido real da tensão
τθ
é o oposto daquele
indicado na Figura 1.2(b). A equação (1.1) fornece a tensão normal em um plano qualquer de um elemento solicitado pela tensão normal σx. Para θ = 00, a tensão normal é nula e a maior tensão ocorre na direção θ = 900. σ máx = σ x
A equação (1.2) mostra que a tensão de cisalhamento é nula para
θ
= 00 e
θ
3 = 900. Para
encontrar-se a direção do plano onde a tensão de cisalhamento é extrema, deriva-se a equação (1.2) em relação a θ e iguala-se o valor desta derivada a zero: dτ θ
=
dθ
0
então: − σ−x
( sen+
2
2
θ cos =
θ
)
0
de onde: 2
−
sen
2
θ+
θ=
cos
0
0
A condição acima é satisfeita quando θ = 45 , θ = 1350, θ = 2250 e θ = 3150. Colocando-se θ
0
= 45 na equação (1.2) tem-se a menor tensão cisalhante e para
θ
= 1350 tem-se a expressão
da máxima tensão ciasalhante (que são iguais em módulo): τ
min(θ = 45o )
=−
σx
τ
2
máx ( θ=135o )
=
σx
2
Em uma barra tracionada (e também nas barras comprimidas) a tensão de cisalhamento máxima é a metade da tensão normal máxima, entretanto, a tensão de cisalhamento máxima pode provocar a ruptura da barra se a resistência do material ao cisalhamento for muito menor que a resistência à tensão normal. Por exemplo, o aço doce quando tracionado e a madeira quando comprimida rompem-se em planos que formam um ângulo de aproximadamente 45 0 com a direção da força. Se a tensão normal usadas dando-se a
σx
σx
for de compressão, as equações (1.1) e (1.2) também podem ser
o sinal negativo.
1.3- TENSÕES NORMAIS EM DUAS DIREÇÕES PERPENDICULARES As tensões normal
σθ
e de cisalhamento
, analisadas no item anterior, devem-se a
τθ
tensões normais aplicadas na direção do eixo horizontal. Neste item serão estudadas as tensões que ocorrem em planos inclinados em um estado de tensões mais geral. Seja um elemento retirado de uma estrutura solicitado pelas tensões normais σx e σy. Fazendo-se um corte imaginário no elemento da Figura 1.3(a) com um plano que forma um ângulo θ com o eixo horizontal, aparecem as tensões σ e τ no plano de corte (Figura 1.3(b)). θ
θ
Sendo A a área no plano de corte, a área onde atua a tensão normal θ
A θ cos θ e, onde atua
, A sen θ.
σx
θ
σy
assume o valor
4
Figura 1.3- Elemento solicitado por duas tensões normais Fazendo-se o somatório de forças na direção de
σθ
e considerando-se o sentido desta
tensão como positivo (Figura 1.3(c)), tem-se: σ
θ
A θσ−
y
Aθθ cos θσ cos
−
x
A θ sen θ sen θ = 0
simplificando-se o termo comum A e isolando a tensão normal que atua no plano inclinado, temθ
se: σ
θ
σ=
sen 2
xθσ
cos
θ+
2
(1.3)
y
Analogamente, fazendo-se o somatório de forças na direção de
τθ
e considerando o
sentido desta tensão como o positivo, tem-se: τθ A θ + σ x A θ
sen θ cos θ − σ y A θ cos θ sen θ = 0
de onde:
(
)
τ θ =σ σ y − θ x θsen
cos
(1.4)
É interessante observar que, para a dedução das equações (1.3) e (1.4), a área no plano de corte poderia ter sido tomada como sendo igual a 1. 1.4- ESTADO GERAL DE TENSÕES PLANAS Nos itens anteriores foram analisados estados de tensões que são casos particulares do estado geral de tensões planas. Neste item, será analisado o caso de um elemento sujeito às tensões
,
σx σy
e
, sendo que as tensões
τxy
,
σz τyz
e
τxz
são consideradas nulas. No item 1.8 é
analisado o caso geral de tensões, isto é, tensões normais e de cisalhamento atuando em três planos perpendiculares.
5
Figura 1.4- Estado geral de tensões planas As tensões de cisalhamento τxy, que atuam nos planos perpendiculares aos eixos Ox e Oy, são consideradas positivas quando têm os sentidos indicados na Figura 1.4(a). A tensão de cisalhamento τ , da mesma forma que nos estados de tensões analisados nos itens anteriores, é θ
positiva quando tende girar o elemento no sentido horário. Por considerações de equilíbrio, o somatório de forças na direção de
σθ
é igual a zero
(Figura 1.4(b)), então: θ
σ θ
θ
AAσ− − x
sen θ θA σ θ
sen θy θθτ−A cos A θ cos θxy − τ θ
θ θ=cos xy
sen
sen cos
0
Isolando-se a tensão normal σ : θ
σ
sen 2
σ=
θ
O equilíbrio de forças na direção de θ
τ
θ θ
AAσ+
x
θ sen θA σ−
θ
θ+ y τ
x θσ
τθ
cosθ 2xyθ + 2 cos sen
(1.5)
fornece a expressão:
cos θy θθ− τ A cosθ sen θ+θτ A xy
θ = θ sen xy
sen
cos cos
0
de onde se tem:
(
=τ−θ σ σ
y
θ ) sen −cos
x θ+θ τ
xy
θ
sen (
2
cos
)
2
(1.6)
A equação (1.5) fornece a tensão normal no plano definido pelo ângulo θ . As tensões σy
e
τ xy
σx ,
são inicialmente conhecidas, assim sendo, a tensão normal σ varia em função apenas θ
do ângulo θ. A expressão da tensão normal tensão normal
σθ
|
que atua no plano perpendicular ao plano da
σθ
, é facilmente obtida colocando-se na equação (1.5) a direção deste plano, isto
é, 90° + θ. |
σθ = σx
sen 2 (90 0
)+ θ
(
+ σy
cos) 2 90 0
(
)(2τ )cos 90
+θ +
xy
0
+θ
sen 90 0
+θ
de onde se tem: |
σθ = σx
cos 2 θ + σ y sen 2 θ − 2τ xy sen θ cos θ
(1.7)
6
Somando-se as equações (1.5) e (1.7): |
σθ + σθ = σ x + σ y
A propriedade acima é conhecida como invariância das tensões normais, isto é, a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares não varia. A equação (1.6) fornece a tensão de cisalhamento em um plano definido pelo ângulo θ. A tensão de cisalhamento |
(
τθ = σ y − σ x
|
τθ
que atua no plano que tem a direção 900 + θ é dada por:
)sen(90 0 + θ) cos(90 0 + θ) + τ xy (sen 2 (90 0 + θ) − cos 2 (90 0 + θ) )
ou: |
(
τθ = − σ y − σ x
)sen θ cos θ − τ xy (sen 2 θ − cos 2 θ)
(1.8)
Portanto, as tensões de cisalhamento são iguais, em módulo, nos planos perpendiculares entre si. Esta conclusão foi demonstrada anteriormente e é conhecida como Teorema de Cauchy. O sinal negativo para a tensão
|
τθ
é apenas uma questão de convenção de sinais. Nos
planos paralelos as tensões são iguais e em sentido contrário, conforme mostra a figura abaixo.
Figura 1.5 -Tensões em dois planos perpendiculares 1.5- CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO PLANO DE TENSÕES As equações (1.5) e (1.6) constituem uma equação paramétrica da circunferência. Sendo assim, em um sistema de coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pares ( σ ,τ ) θ
forma uma circunferência. Para demonstrar-se esta propriedade, deve-se eliminar o parâmetro nas equações (1.5) e (1.6). Sabe-se da trigonometria que: 2 sen θcos θ = sen 2 θ cos 2 θ =
1 (1 +cos 2θ) 2
θ
θ
7 sen
2
θ=
1 (1 −cos 2θ) 2
Usando-se as relações trigonométricas acima, as equações (1.5) e (1.6) podem ser reescritas da seguinte forma:
σθ −
2
σ θ
−
σx + σy
2
as
expressões
2
σy − σx 2
+ τθ
2
cos 2θ + τ xysen 2θ
−
2
(1.9)
σy − σx sen 2θ − τ xycos 2θ 2
τθ =
Elevando-se
σ y σ x =
σ x σ+y
acima
ao
quadrado
(1.10)
e
somando-as,
tem-se:
2
σy − σx 2
cos 2 2θ + (σ y
=
− σx
)cos 2θ.τ xy sen 2θ + τ 2xy sen 2 2θ +
2
sen 2 2θ − (σ y
− σx
)sen 2θ.τ xy cos 2θ + τ 2xy cos 2 2θ
ou: σθ
−
σx + σy
2
2
σy − σx 2
+ τθ = 2
2 2
(1.11)
+ τ xy
σx
+ σy
2
A equação (1.11) é a equação de uma circunferência de centro c e
τθ
σy − σx as coordenadas genéricas de um ponto da circunferência e R = 2 2
,0 , sendo
σθ
2 2
+ τ xy .
A seguir é apresentado um roteiro para a construção do círculo de Mohr. Para esta demonstração, sem perder a generalidade, supõe-se que as tensões normais são de tração e que a tensão
σx
é maior que a tensão
. Para a construção do círculo de Mohr, as tensões de
σy
cisalhamento são positivas quando tendem girar o elemento no sentido horário e negativas em caso contrário. Os ângulos medidos no sentido anti-horário são positivos. 1- Em uma escala adequada, marcam-se os pontos a, de coordenadas coordenadas σ y ,− τ xy ;
σ x , τ xy
, e b, de
σx + σy ,0 . Com 2
2- Unindo-se os pontos a e b encontra-se o ponto médio c, de coordenadas centro no ponto c, traça-se a circunferência passando pelos pontos a e b;
8 3- Marca-se o ponto P (pólo), que é simétrico ao ponto a. Os ângulos são medidos a partir de uma horizontal passando por P e b, e o transferidor com centro no ponto P. A explicação é que todas as tensões que ocorrem no elemento são dadas pelas coordenadas de um ponto da circunferência, sendo que para θ =00 tem-se o plano solicitado pelas tensões e, para
θ
0
= 90 , tem-se o plano solicitado pelas tensões
como srcem de todos os planos, acompanha a tensão 4- Por definição, tensões principais
(σ 1
e
σ2 )
σx
e
τ xy
σy
e
−τ xy
(ponto a). O pólo, conhecido
σx ;
são as tensões normais extremas. Nos planos
onde atuam as tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. Por convenção, tensão normal e
σ
2
(ponto b)
σ1
é a maior
, a menor tensão normal;
5- Passando-se uma reta pelo ponto P e a tensão
σ1 ,
encontra-se a direção θ1 que o plano onde
atua a maior tensão normal forma com o eixo Ox. Analogamente, passando-se uma reta pelo ponto P e a tensão
σ2 ,
encontra-se a direção
forma com o eixo Ox. Observe que o ângulo módulo, dos ângulos
θ1
e
θ2
θ2
que o plano onde atua a menor tensão normal
θ2
é negativo (sentido horário) e que a soma, em
é igual a 900. Os ângulos
principais e os planos onde atuam
σ1
e
σ2
θ1
e
θ2
são conhecidos como direções
são conhecidos como planos principais;
Figura 1.6- Círculo de Mohr para tensões planas
6- Passando-se uma reta pelos pontos P e d, encontra-se a direção
θ3
que o plano onde ocorre a
maior tensão de cisalhamento forma com o eixo Ox. A maior tensão de cisalhamento é numericamente igual ao raio da circunferência. Essa construção foi apresentada pela primeira vez pelo engenheiro alemão Otto Mohr em 1882. Do círculo de Mohr podem-se tirar as expressões para calcular, analiticamente, as tensões σ1 , σ 2
e
τmáx
, e os ângulos θ1, θ2 e
θ3
.
9 σ1 =
σ2 =
σ x σ+y
σ x σ+y
σ xσy −
−
2
2
2
2 2
+ τ xy
2 2
+ τ xy
τ xy
=
tgθ2
= −
σ1 − σ x
τ xy − σ2
σ x
σx − σy 2
2
=
tgθ3
−
2
tgθ1
τ máx
σ xσy +
= −
2
ou:
+ τ xy
τmáx + τ xy
τ máx
=
σ1 − σ 2
2
(σ x − σ y ) ⋅ 0,5
Todas as expressões acima assumem a mesma forma se a tensão
σy
for maior que
.
σx
A tensão de cisalhamento máxima calculada neste item refere-se à maior tensão de xOy. Para se calcular a tensão de cisalhamento máxima que cisalhamento que ocorre noque plano ocorre no elemento, tem-se considerar que ele está em um estado tridimensional de tensões,
sendo que
σ z = τxz
= yzτ
=
0 . O cálculo de τmáx que atua no elemento é apresentado no item 1.8.
Naturalmente, pode ocorrer que a maior tensão de cisalhamento do plano xOy seja a maior, também, do elemento. Exemplo 1.1: Um elemento estrutural fica solicitado pelas tensões indicadas na Figura 1.7. Calcule: a) as tensões e as direções principais; b) as tensões que atuam nos planos que formam ângulos de 100 e 1000 com o eixo Ox; c) a maior tensão de cisalhamento do plano xOy e a direção do plano onde atua. Calcule analiticamente e pelo método gráfico. Mostre os resultados das letras a e b em um elemento orientado.
10
Figura 1.7- Elemento de uma estrutura sob tensão
I) Solução analítica
a) σ 1 =
σ x +σ y
2
2
σ1 =
±
35 + 85
2
σ x −σ y 2 35 − 85 2
±
2
2 2
+ τ xy
2
(
+ − 25
)2
então: σ1 =
9536 , MPa
τ xy
tgθ1
=
tgθ2
= −
σ1 − σ x
=
e − 25
95,36 − 35
σ 2 = 24 ,64MPa → θ1 = −22,5
τ xy − 25 σ − σ = − 35 − 24,64 → θ2 2 x
0
=
67,50
Figura 1.8 - Elemento orientado das tensões principais
11 Note que os planos principais são perpendiculares entre si. Esta propriedade dos estados de tensões deve-se ao fato que a tensão de cisalhamento é nula nesses planos e, portanto, os planos principais são perpendiculares entre si (teorema de Cauchy). Observe, também, que
σ
σ +
1
σ2 σ=
+
x
( invariância das tensões normais).
y
b) Para se calcular as tensões em planos inclinados no elemento em análise, usam-se as equações deduzidas no item 1.4. Para
θ = 10
0
σθ = τθ =
Para
:
35 sen 2 100
+ 85 cos
2
100
(85 − 35)sen10 cos10 0
θ = 100
0
:
σθ =
0
+
2(−25) cos100 sen 100
− 25(sen
45,06 MPa ;
2
10
0
− cos
2
0
10 )
=
74,94MPa
=
32,04 MPa
τ θ = −32,04 MPa
Figura 1.9 – Elemento orientado Observe que para
=
θ
−
80° têm-se as mesmas tensões que a direção
tensões em planos paralelos são iguais e em sentido contrário).
σx − σy 2
c) τ máx=
τ máx=
τ máx
35 −85 2
2 2
+ τ xy
2
+ ( −25)
2
= 35,36 MPa
tgθ 3
= −
35,36 − 25 → θ3 =− − σ y )⋅ 0,5 (35 − 85) ⋅ 0,5
τ máx + τ xy
(σ x
No plano onde atua τmáx (direção σθ =
2
35sen 22,5
0
+ 85 cos
2
22,5
0
+
θ3
=
22,5 0
= 22,5º ) tem-se tensão normal σθ:
2(−25) cos 22,50 sen 22,50 = 60,0 MPa
θ
= 100° (as
12
II) Solução gráfica:
Figura 1.10- Círculo de Mohr - Escala 1cm: 10 MPa 0
a) σ 1 ≅ 95 MPa ; σ2 ≅
25 MPa ;
θ =
b) Para Para
θ 1 ≅ −23
θ
0
θ2 ≅
→σ
10 0 = 100
c) τ máx ≅ 35 MPa
≅ θ
→ σθ
;
67 0 τ
75 MPa ; ≅ 45 MPa ; θ3 ≅
≅ θ
32 MPa MPa
τ θ ≅ −32
22 0
|
Exemplo 1.2: Para a viga da Figura 1.11 calcule, nos pontos J, K e J , as tensões e as direções principais. Mostre os resultados em um elemento orientado.
Figura 1.11- Viga bi-apoiada
13 A viga está solicitada por momento fletor e força cortante (flexão simples). O primeiro |
passo é calcular os esforços internos na seção transversal que contém os pontos J, K e J :
V (1,25 m )
= 15.400 N
M(1,25 m ) = 15.400 x 1,25 → M (1,25 m) =19.250 N.m A tensão normal
σx
e a tensão de cisalhamento
τ xy
são calculadas usando-se as
fórmulas da flexão:
M x σx =
⋅y
V x ⋅Q e
(I )
τ xy =
z
b( ⋅ )I z
|
A tensão normal nos pontos J e J é igual a zero (estes pontos estão localizados na superfície neutra, então a coordenada y destes pontos é igual a 0). A tensão cisalhante nestes pontos é:
τ xy =
15.400 x (0,2 x 0,25x 0,125) 0,2 x 2,08x10
→ τ xy =
−3
2,31x105 N / m 2
O sentido destas tensões acompanha o sentido da força cortante (ver Figura 1.12). A tensão cisalhante no ponto K é igual a zero (porque o momento estático é igual a zero) e a tensão normal é dada por:
σx =
19.250 x 0,25
→ σx =
2,08x10− 3
23,14 x 105 N / m 2 |
Na Figura 1.12 estão representadas as tensões que atuam nos pontos J, K e J e os seus sentidos.
2
Figura 1.12- Tensões em N/m nos pontos J, K e J
|
As tensões e as direções principais podem ser calculadas usando-se as equações deduzidas no item 1.5 ou o círculo de Mohr: No ponto J têm-se: σ1 =
2,31x10 5 N / m 2
σ 2 = −2,31x10
5
N / m2
45
;
θ1 =
;
θ 2 = −45
o
o
14 O cálculo das tensões e direções principais no ponto K é trivial: nos planos perpendiculares aos eixos Ox e Oy, a tensão de cisalhamento é nula, portanto, as tensões 5
2
23,14x10 N/m e 0 são as tensões principais: σ1 =
23,14 x 105 N / m 2
;
θ1 =
90
σ2 =
0
;
θ2 =
0
o
o
|
No ponto J têm-se: 5
σ1 =
2
2,31x10 N / m
σ 2 = −2,31x10
5
N / m2
o
;
θ1 = −45
;
θ2 =
45
o
Na Figura 1.13 estão mostrados em elementos orientados as tensões principais e os planos principais.
Figura 1.13- Elemento orientado das tensões principais nos pontos J, K e J
|
1.6- APLICAÇÕES DA ANÁLISE DE TENSÕES |
Os pontos J e J da viga do exemplo 1.2 estão em um estado de cisalhamento puro. Este estado de tensões tem as tensões principais ( σ 1 e ângulos de 45
0
e
−
45
0
σ2 )
atuando em planos que formam
com o eixo Ox. Em uma viga de concreto armado a tensão
resistida pelo concreto. A tensão
σ1 ,
σ2
é
dependendo da resistência do concreto à tração, que é
muito menor que a resistência à compressão, pode provocar a ruptura da viga. Para combater esta tensão de tração, usam-se dois procedimentos: o
1- Barras dobradas a 45 : nesse caso, as barras de aço longitudinais que estão resistindo à tensão normal de tração produzida pelo momento fletor σ1
são dobradas para combater a tensão
produzida pelo cisalhamento (Figura 1.14(a)).
o
2- Estribos a 90 : este procedimento é mais fácil de ser executado ( Figura 1.14(b)). Os estribos impedem que ocorra a ruptura da viga devida à tensão de tração. Estes estribos começam a trabalhar depois que o concreto sofre fissuras. Pode ser usada, também, a superposição dos o
o
dois procedimentos: colocar estribos a 90 e ferros dobrados a 45 .
15
Figura 1.14- Formas de combaterem-se as tensões de tração produzidas pelas tensões de cisalhamento
Uma outra aplicação da análise de tensões é sobre a ruptura dos materiais. Uma barra de ferro fundido ou uma de giz (que são materiais frágeis), quando tracionadas, rompem-se segundo um plano perpendicular ao seu eixo. Esse fato indica que estes materiais são menos resistentes à tração que ao cisalhamento. Se for aplicado um momento de torção em uma peça de giz (ou ferro o
fundido), ela irá romper-se segundo um plano que forma um ângulo de 45 com o seu eixo. Essa ruptura deve-se ao fato que o momento de torção causa um estado de cisalhamento puro e este estado de tensões tem as seguintes tensões e direções principais:
Figura 1.15- Peça cilíndrica solicitada por momento de torção σ1 = τ σ 2 = −τ
tgθ1
tgθ 2
=
τ xy σ1 − σ x
= −
τ
=
τ−
0
τ xy σx − σ2
→ θ1 =
45o
τ 0 + τ
= −
→ θ 2 = −45
o
O estado de cisalhamento puro tem as tensões principais indicadas na Figura 1.15(b). O giz quando tracionado rompe-se devido à tensão de tração e quando se aplica um momento de o
torção, ele se romperá segundo um plano inclinado de 45 ( onde atuará a maior tensão de tração). O aço doce (material dúctil) é menos resistente ao cisalhamento que à tração. Se for aplicado um momento de torção em uma barra cilíndrica de aço doce, ela se romperá em um plano perpendicular ao seu eixo. Essa ruptura é causada pela maior tensão de cisalhamento.
1.7- ELIPSE DE TENSÕES
16 Nos estados planos de tensões analisados nos itens anteriores, a ação no plano de corte imaginário é representada pelas tensões
e
σθ
τθ .
Entretanto, a ação no plano de corte pode ser
representada por duas componentes quaisquer. Seja um estado de tensões em que a tensão de cisalhamento e
σ
y
τ xy
é nula e as tensões σ x
são diferentes de zero (Figura 1.16). A ação no plano de corte imaginário é, agora,
representada pelas componentes de tensão horizontal X e vertical Y.
Figura 1.16- Estado de tensões em um elemento
O equilíbrio de forças nas direções horizontal e vertical fornece as equações:
XA θ
− σ x A θ sen θ =
0
YA θ
− σ y A θ cos θ =
0
donde:
X
= σ x sen θ
Y
= σ y cos θ
ou:
X
=
sen θ
=
cos θ
σx
Y σy
Elevando-se as expressões acima ao quadrado e somando-as, tem-se:
X2 2 σx
+
Y2 2
σy
=1
A expressão acima é a equação de uma elipse e é chamada elipse de Lamé. Portanto, além do círculo de Mohr, a variação da tensão com a variação do plano de corte representada por uma elipse.
1.8- ANÁLISE DE TENSÕES EM TRÊS DIMENSÕES
pode ser
17 O estado geral de tensões é caracterizado por nove componentes de tensão, sendo três normais
σx,
σy
e
σz
e seis componentes cisalhantes
τxy, τxz, τyz, τyx, τzx
e
τzy.
Pelo teorema de
Cauchy, τ ij = τ
ji
o estado geral de tensões fica determinado por seis parâmetros. No elemento da Figura 1.17 está indicado o sentido positivo das tensões normais e de cisalhamento. As tensões de cisalhamento possuem dois índices para identificação: o primeiro indica o eixo perpendicular ao plano de aplicação da tensão e o segundo indica a direção da tensão.
Figura 1.17- Tensões em três dimensões A Figura 1.17(b) apresenta um corte imaginário no elemento da Figura 1.17(a), onde X, Y e Z são as componentes de tensão que atuam no plano inclinado BCD nas direções x, y e z, →
respectivamente. A direção do plano BCD é determinada com o auxílio de um vetor N →
perpendicular a esse plano. Chamando-se de
θx, θy
e
θz
os ângulos que o vetor N forma,
respectivamente, com as componentes de tensão X, Y e Z, têm-se os co-senos diretores l , m e →
n que determinam a direção do vetor N . l
=
cosθ x
m = cosθ y n
=
cosθ z
18 A área do plano BCD é chamada A θ e as outras três áreas do tetraedro são obtidas em função dos co-senos diretores e de Aθ (ver Figura 1.17(b)). O equilíbrio de forças na direção do eixo Ox fornece a expressão: − σ x Aθ l − τ yx Aθ m − τ zx Aθ n =
XAθ
0
Simplificando-se o termo comum Aθ e fazendo-se raciocínio análogo para as direções y e z:
X
= σ x l + τ yx m + τ zx n
Y
= τ xy l + σ y m + τ zy n
(1.12)
Z = τ xz l + τ yz m + σ z n A tensão normal
σθ
que atua no plano BCD é dada por: σθ =
Xl + Ym + Zn
ou, substituindo-se as expressões de X, Y e Z, dadas pelas equações (1.12): 2
2
σθ = σ x l + τ yx ml + τzx nl + τ xylm + σ y m + τzy nm + τ xz nl + τ yzmn + σ z n
Lembrando que
τij = τ ji
2
a expressão acima assume a forma: 2
2
2
σθ = σ x l + σ y m + σz n + 2τ yx ml + 2τ zx nl + 2τ zy nm
(1.13)
1.8.1- TENSÕES PRINCIPAIS Se as componentes de tensão em três planos perpendiculares entre si são conhecidas, podem-se calcular as tensões principais. Sejam l , m e n os co-senos diretores da normal a um plano principal e σ o valor da tensão principal correspondente. As componentes desta tensão principal nas direções x, y e z, são: X
= σl
;
Y
= σm
;
Z
= σn
As expressões (1.12) fornecem as componentes de tensão de um plano qualquer, podendo, evidentemente, fornecer as componentes de tensão de um plano principal, então:
σl = σ x l + τ yx m + τ zx n σm = τ xy l + σ y m + τ zy n σn = τ xz l + τ yz m + σ z n
19 Passando-se todos os termos para o primeiro membro e colocando na forma matricial, tem-se:
σ − σ x − τ xy − τ xz
l 0 m = 0 0 −σ z n
− τ yx
− τ zx
σ −σ
− τ zy
y
− τ yz
σ
O sistema homogêneo acima não admite a solução trivial porque a soma dos quadrados dos co-senos diretores é igual a 1 ( l
2
+
m
2
+
n
2
= 1)
e l, m e n
não podem ser,
simultaneamente, iguais a zero. Assim sendo, o determinante da matriz é igual a zero:
(σ )− σ(x )σ
−σ
y
( () )
σ − σ z −τ xy τ yzτ zx −τ xzτ zyτ yx −τ xz σ − σ
multiplicando-se os termos e lembrando queτ ij σ
3
− (σ x + σ y + σ z )σ
( −σ xσ yσ z
2
+ (σ xσ
=τ
y
τ zx −τ yz τ zy σ − σ x − σ −σ z τ yxτ xy =
0
, tem-se:
ji
2
2
2
+ σ y σ z + σ xσ z − τ xz − τ yz − τ xy )σ +
y
2
2
2
− 2τ xyτ yzτ xz + σ xτ yz + σ yτ xz + σ zτ xy ) =
0
(1.14)
A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são as tensões principais σ1, σ2
e
σ3
do estado geral de tensões.
A seguir, é apresentado o método de Cardano para calcularem-se as raízes de uma equação do terceiro grau quando todas as raízes são reais. Dada uma equação da seguinte forma:
X 3 +aX
2
+
bX + =c
0
As três raízes são:
X1
=
Y1 − a / 3
X2
=
Y2
−
a/3
X3
=
Y3
−
a/3
onde: Y1
=
2 P ⋅ cos(θ / 3)
Y2
=
2 P ⋅ cos(2400
+θ
/ 3)
Y3
=
2 P ⋅ cos(1200
+θ
/ 3)
sendo: θ =arccos(
P)3
Q/
P e Q são dados por:
P Q
=
ab 9
=
a2
−
3b
9 a−2
3
27 c−
54
20 Sendo σ1, σ2 e
σ3
raízes reais, têm-se as propriedades: σ1 +σ 2 +σ3 = σ x +σ
σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 = σ xσ
y
+σ z 2
y
2
2
+ σ y σ z + σ x σ z − τ xz − τ yz − τ xy 2
2
2
σ 1σ 2σ 3 = −( −σ xσ y σ z − 2τ xyτ yzτ xz + σ xτ yz + σ yτ xz + σ zτ xy )
1.8.2- CÍRCULO DE MOHR Para o caso geral de tensões não existe representação gráfica, visto que as tensões (eq. 1.13) e
τθ
σθ
não constituem uma equação paramétrica da circunferência. Entretanto, para um
elemento solicitado por três tensões principais (Figura 1.18) pode ser feita a representação gráfica das tensões. A convenção adotada é : σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
No plano
102
do elemento da Figura 1.18 atuam as tensões σ 1 e σ 2 . A tensão
perpendicular a este plano, não interfere no equilíbrio de forças no plano
102.
σ
3
,
Assim sendo, as
tensões neste plano podem ser obtidas pelas equações (1.3) e (1.4) e são representadas pela circunferência de diâmetro σ 1 − σ 2 .
Da mesma forma, as tensões no plano
203
formam a
Figura 1.18 - Tensões principais e círculo de Mohr correspondente
circunferência de diâmetro σ
2
−σ 3
e no plano
103
as tensões formam a circunferência de
diâmetro σ 1 − σ 3 . Para os planos inclinados em relação as direções 1,
2
e 3, as tensões normal e
de cisalhamento são dadas pelas coordenadas de um ponto situado na zona hachurada da figura. A tensão de cisalhamento máxima é dada pelo raio da circunferência de maior diâmetro.
21 τmáx
σ1 − σ3
=
2
1.8.3- ESTADO HIDROSTÁTICO Um corpo solicitado por pressão hidrostática está sujeito a um estado tridimensional de tensões principais e a representação gráfica é um ponto. Um corpo solicitado por três tensões iguais de compressão tem, em todos os planos, tensão de cisalhamento nula e tensão normal igual a – p. Um corpo nesse estado de tensões deforma-se até acabarem os vazios, mas não rompe.
Figura 1.19 - (a) Pressão hidrostática
(b) Representação gráfica
Exemplo 1.3: Calcule a maior tensão de cisalhamento que ocorre no elemento do exemplo 1.1. Todo estado plano de tensão tem uma tensão principal nula. A tensão principal zero pode ser a maior tensão normal ( σ1), ou a tensão intermediária (σ2) ou a menor tensão normal (σ3). Neste problema, as tensões principais são: σ1 =
95,36 MPa
σ2 =
24,64 MPa
σ3 =
0,0
e a maior tensão de cisalhamento que ocorre no elemento é : τ máx =
σ1 −σ3
2
=
95,36 − 0 2
→ τ máx =
47,68 MPa
Exemplo 1.4: Para o estado de tensão abaixo, determine as tensões principais e a maior tensão de cisalhamento do elemento.
22
Figura 1.20 - Tensões em um elemento estrutural Colocando-se os valores das tensões dadas na equação (1.14), tem-se a equação do terceiro grau: 3
2
σ − 28 σ − 169 σ + 6100 =
0
Então: a = −28, b = −169 e c = 6100. Com estes valores, calculam-se P, Q e θ: P= 143,44; Q= −1448,30 e
θ = 147,46
0
−
Os valores de Y1 , Y2 e Y3 são os seguintes: Y1 = 15,67; Y 2 = 7,86 e Y3 = 23,52. As três raízes são: X1 = 25,00; X2 = 17,19 e X3 = − 14,19. Estes valores são as tensões principais : σ1 =
25 MPa
σ 2 = 17,19
MPa
σ 3 = − 14,19
MPa
A tensão de cisalhamento máxima é dada por: τ máx =
σ1 − σ 3
=
25 − ( −14,19)
2
2
τ máx = 19,59
MPa
Exemplo 1.5: Dado o estado de tensão:
σ x = 10 τxy =
MPa
;
σy =
5 MPa
;
σ z = 12
4 MPa
;
τ xz =
8 MPa
;
τ yz =
calcule as tensões principais e a maior tensão de cisalhamento.
MPa
3 MPa
23
Figura 1.21- Estado de tensões em um elemento
Colocando-se os valores das tensões dadas na equação (1.14), tem-se a equação do terceiro grau: σ
3
− 27 σ
2
+ 141 σ − 190 =
0
Então: a = −27, b = 141 e c = −190. Com estes valores, calculam-se P e Q: P= 34 Q= 189,5 Com os valores de P e Q determina-seθ: θ = 17,088
0
Os valores de Y1 , Y2 e Y3 são os seguintes:
11,60
Y1
=
Y2
= − 4,80
Y3
= − 6,80
De onde se tem os valores de X1, X2 e X3: X1
=
20,60
X2
=
4,20
X
=
2,20
3
Os valores acima são as três tensões principais: σ1 =
20,60 MPa
σ2 =
4,20 MPa
σ3 =
2,20 MPa
A maior tensão de cisalhamento é dada por:
24 τ máx =
20,60 − 2,20
=
2
9,20 MPa
1.9- TENSOR DE TENSÃO DE CAUCHY Na notação tensorial, os eixos coordenados x, y e z são substituídos por x 1, x2 e x3, respectivamente. As tensões de cisalhamento, da mesma forma que as tensões normais, são representadas pela letra grega
σ.
Figura 1.22- Notação tensorial
O tensor de tensão é de segunda ordem:
σ 11 σ 21 σ 31
σ 12
σ 13
σ 22
σ 23
σ 32
σ 33
Pelo Teorema de Cauchy: σij = σ ji
Na notação tensorial as expressões (1.12) podem ser colocadas na forma:
Xi
= σij
lj
chamada convenção de Einstein e indica somatório:
X1
= σ11 l1 + σ12 l 2 + σ13 l3
X2
= σ 21 l1 + σ 22 l 2 + σ 23 l3
X3
= σ31
l1 + σ32 l 2
+ σ33 l3
25
2 ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES 2.1 - INTRODUÇÃO Da mesma forma que as tensões, se são conhecidas as deformações ε x, ε y e γ xy em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, podem-se obter as deformações
εθ
e
γθ
referentes a um outro sistema de coordenadas girado em relação àquele em que as deformações são conhecidas. As equações da análise de deformações são semelhantes às obtidas na análise de tensões e também formam uma equação paramétrica da circunferência. Para se colocar a análise de deformações em seqüência lógica, deduz-se, em primeiro lugar, a lei de Hooke para materiais isotrópicos solicitados por um estado geral de tensões. A seguir, demonstra-se a relação entre as três constantes elásticas ( E , G e ν) dos materiais. Com estas relações, deduzem-se as equações que fornecem a deformação linear específica e a distorção em função da direção do sistema de coordenadas. Usando-se o círculo de Mohr das deformações, são deduzidas as equações que permitem calcular as deformações extremas e as direções onde elas ocorrem. A análise de deformações pode ser usada na determinação de um estado de tensões. Se são conhecidas as deformações lineares específicas em três direções não colineares de uma superfície, podem-se calcular as tensões que produziram as deformações. Uma outra aplicação refere-se a estruturas estaticamente indeterminadas. Nesse caso é necessário conhecer a deformação da estrutura e impor uma condição de compatibilidade dos deslocamentos, obtendose, assim, outras equações que, juntamente com as equações de equilíbrio da estática, permitem determinar as reações nas estruturas hiperestáticas.
2.2 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA As aplicações da lei de Hooke, até o momento, limitaram-se a elementos solicitados por tensão normal atuando em apenas uma direção. Entretanto, como já visto, um elemento estrutural pode ficar solicitado por três tensões normais e seis cisalhantes (Figura 2.1(a)). Os materiais que aqui se consideram são os chamados isotrópicos, isto é, apresentam as mesmas propriedades físicas em todas as direções. Para obterem-se as deformações específicas εx, εy, e εz do elemento da Figura 2.1(a), deve-se usar o princípio da superposição dos efeitos. A deformação linear específica
εx,
das tensões
por exemplo, depende da tensão σx e, devido ao efeito Poisson, depende também
σy
e
σz.
A tensão
σx
srcina na direção x a deformação ε x = σ x / E . A tensão
σy,
26 aplicada separadamente, provoca na direção x a deformação ε x = −νε y , ou ε x = −νσ y / E . A deformação referente a tensão σz na direção x é dada por: ε x = −νε z = −νσ z / E . Somando-se as três deformações lineares na direção x e fazendo-se um raciocínio análogo para as direçõesy e z, têm-se as componentes de deformação linear de um elemento solicitado por três tensões normais: εx = εy = εz =
1 E 1
[σ
E 1 E
x
[σ [σ
− ν (σ y + σ z )]
y
−ν (σ x + σ z )]
z
−ν (σ x + σ y )]
Figura 2.1 - (a) Estado geral de tensões
( 2.1)
(b) Cisalhamento puro
As equações (2.1) são chamadas lei de Hooke generalizada e não têm demonstração analítica. A demonstração é intuitiva e foi deduzida supondo-se que as tensões normais sejam de tração (positivas); se alguma tensão for de compressão, troca-se o sinal do termo correspondente. É interessante observar que as tensões de cisalhamento não foram consideradas no cálculo das deformações εx, εy, e εz. A contribuição das tensões de cisalhamento para o cálculo destas deformações é um infinitésimo de segunda ordem e pode ser desprezada (no exemplo 2.3 demonstra-se esta afirmação). Os comprimentos de ab, bc, cd e da não são alterados depois de aplicada a tensão cisalhante
τ
(Figura 2.1(b)). Entretanto, nas direções inclinadas ocorrem variações de comprimento, como, por exemplo, a diagonal ac que alongou-se e a diagonal bd que encurtou-se. Estas variações no comprimento devem-se ao fato do estado de cisalhamento puro produzir tensões normais (ver equação (1.5)) nas direções de ac e bd, existindo, então, deformação específica nestas direções. Este assunto é abordado no item 2.5.
As tensões de cisalhamento dão srcem à deformação chamada distorção ( ). A Figura
27
2.1(b) mostra um elemento deformado por cisalhamento puro onde, por conveniência, vê-se apenas o deslocamento da face superior em relação à face inferior, considerada fixa. As distorções nos planos xOy, xOz e yOz do elemento da Figura 2.1(a) são obtidas da seguinte forma: γ xy =
τ xy G
;
γ xz =
τ xz G
; γ yz =
τ yz
(2.2)
G
As expressões acima são denominadas lei de Hooke no cisalhamento ou extensão da lei de Hooke, sendo G a constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação por cisalhamento. A distorção γ é dada em radianos, logo, G tem a mesma dimensão de tensão.
Exemplo 2.1 : A chapa da Figura 2.2 está entre dois apoios indeformáveis. Calcule εz
σy, εx
e
quando for aplicada a tensão de compressão σx = 100 MPa.
Dados: Ε = 210 GPa , ν = 0,33.
Figura 2.2- Chapa com deslocamento vertical impedido Aplicando-se a tensão σ x de compressão, a barra tende a expandir-se lateralmente. Na direção Oz a expansão está livre e não aparecem tensões∗. Na direção vertical, o deslocamento está impedido (os apoios são indeformáveis), assim sendo, surgem tensões normais na direção Oy impedindo a expansão da chapa nesta direção. ∆Ly = 0, então: ε y =
εy = 0 = εx = εz =
1 E
[σ
y
∆L y Ly
=0
− 0,33 (− 100 ) ] → σ y = − 33 MPa
1 ( − 100 × 106 + 0,33 × 33 × 106 ) = − 4,24 × 10 − 4 210 × 109 1 210 x109
[0 − 0,33(−33x10
6
− 100x106 ) ] = 2,09x10− 4
Existem forças de atrito que se opõem ao deslocamento na direção do eixo z. Essas forças são desprezadas. ∗
Exemplo 2.2: A barra prismática abaixo é fixada de maneira que a expansão nas
28
direções y e z fique impedida. Determine a variação do comprimento da barra ( ∆L x ) quando se aplica a tensão σ x = − 200 MPa. Dados : E = 210 GPa, ν =0,33.
Figura 2.3 - Barra prismática Este problema é conhecido como compressão uniaxial confinada. Para calcular-se a deformação linear
εx
têm-se que obter as tensões normais
σy
e
σz
que aparecerão impedindo a
expansão lateral da barra. εy = 0 = εz = 0 =
1 E 1
E
[σ [σ
− ν (σ x + σ z )] → σ y = ν (σ x + σ z )
y
z
− ν (σ x + σ y )] → σ z = ν (σ x + σ y )
Substituindo-se a expressão da tensão σy na expressão de σz tem-se: σz = ν [σ x + ν (σ x + σ z )] = ν σ x + ν 2σ x + ν 2σ z
de onde: σz (1 − ν 2 ) = ν σ x (1 + ν ) →
Os valores de σ x e σz =
ν
σz =
ν σx 1−ν
são dados no exemplo:
0,33 ( −200) 1 − 0,33
→
σ z = − 98,51 MPa
Com o valor da tensão σ z , calcula-se o valor da tensão σ y , que é igual a σ z (o material da barra é isotrópico). Então: ε = x
1 210 × 109
− 200 × 106 − 0,33 − 98,51 × 106 − 98,51 × 106
[
ε x = − 6,43 × 10 − 4 ∆L x = − 6,43 × 10 − 4 × 700 mm
(
)]
→
∆L x = − 0,45 mm
Na Mecânica dos Solos, define-se coeficiente de empuxo em repouso ( k 0 ) da seguinte forma: k0 =
ν 1 −ν
29 Para um solo solicitado por tensão axial σ ( x ) e com deslocamento lateral impedido, têmse as tensões: σ y = σ z = k0σ x
2.3- RELAÇÃO ENTRE E , G E ν Seja o caso particular de um estado plano de tensões em que a tensão normal σ x de tração é igual à tensão σ de compressão ( σ = − σ = σ ). y
x
y
Figura 2.4 - (a) Estado de tensões (b) Tensões em planos inclinados (c) Elemento deformado As tensões que atuam em um plano qualquer do elemento da Figura 2.5(a) podem ser calculadas usando-se as equações (1.3) e (1.4). Nos planos que formam um ângulo de 45o com o eixo Ox, têm-se as tensões: σ θ = σ sen 2 45 o − σ cos 2 45 o o
τ θ = ( − σ − σ ) sen 45 cos 45
→ σθ = 0 o
→
τθ = − σ
e, nos planos formando um ângulo de 135o com o eixo Ox : σθ = σ sen 2 135o − σ cos 2 135o o
→ σθ = 0 o
τθ = ( − σ − σ ) sen 135 cos 135
→
τθ = σ
Essas tensões estão indicadas na Figura 2.4(b). O quadrado de lados ab, bc, cd e da transforma-se em um losango depois de aplicadas as tensões. Desprezando-se um infinitésimo de segunda ordem, os lados do quadrado não variam durante a deformação, entretanto, os comprimentos de ac e bd se alteram em função das tensões normais aplicadas nas direções vertical e horizontal. Simultaneamente ao alongamento de ac e encurtamento de bd ocorre distorção devida a tensão de cisalhamento. Lembrando-se que ε é função de σ , E e
ν
e a distorção γ é função de τ (no elemento inclinado igual a σ ) e G , pode-
se concluir que existe uma relação entreE , ν e G que será demonstrada a seguir. A tangente do ângulo α pode ser calculada pela relação entre os segmentosob' e oc'.
30 oc' = oc + ε x oc = oc ( 1 + ε x ) ob'= ob + ε y ob = ob ( 1 + ε y ) εx = εy =
1 E 1 E
σ
(σ + ν) σ (= ) 1 + ν E
(− σ − νσ ) = −
σ E
(1 + ν )
então: σ ob 1 − E (1 + ν ) tg α = = σ oc' oc 1 + (1 + ν ) E ob'
O ângulo
é igual a
π 4
−
2
, uma vez que
(a)
é a distorção do ângulo
2
. Colocando-se o
valor de α na expressão (a) e lembrando-se que oc = ob, tem-se :
1−
σ
(1 + ν )
π γ E tg − = 4 2 1 + σ (1 + ν )
(b)
E
Na trigonometria tem-se a relação: tg
π
− tg
γ
π γ 4 2 tg − = 4 2 1 + tg π tg γ 4
2
A teoria de pequenas deformações permite coincidir a tangente de um arco com o próprio arco. Assim sendo, a equação (b) assume a forma: 1− 1+
de onde se conclui que:
2 = γ
1− 1+
2 γ 2
σ E σ
(1 + ν) (1 + ν)
E
=
σ E
(1 + ν)
Colocando-se na expressão acima a lei de Hooke no cisalhamento (τ = G γ ) e lembrando-se que no estado de tensão em análise τ = σ , tem-se: σ 2G
=
σ E
(1 + ν )
31
de onde: G=
E 2 (1 + ν )
onde G é o módulo de elasticidade transversal. Se duas constantes elásticas de um certo material são determinadas experimentalmente, a terceira pode ser calculada. Sabendo-se que o coeficiente de Poisson (ν) é positivo, pode-se concluir que G é sempre menor que E . Exemplo 2.3: Determine a expressão exata do segmento b' c' do elemento da Figura 2.4(c). O segmento b' c' é dado por: b' c' =
(ob)' 2 (+ ) oc' 2
As expressões de ob' e oc' foram obtidas anteriormente, então: b' c' =
ob 2 (1 − )ε x
2
+( oc)2 1 + ε x
2
Como ob = oc, 2
2
b' c' = ob 1 − 2 ε x + ε x + 1 + 2 ε x + ε x ou b' c' = ob
2
2 1 + εx
A expressão acima fornece o comprimento exato do segmento b' c'. O termo ob 2 é o valor da diagonal bc e o termo 1 + ε x2 é a contribuição da tensão de cisalhamento para a variação do comprimento do lado bc (nos lados do quadrado não atuam tensões normais). Mas 1 2
>> ε x
e o termo
1 + ε x2 pode ser tomado como sendo igual a 1. Nesse caso, o ladob ' c ' não se
altera e permanece com o mesmo comprimento inicialbc.
2.4 – DILATAÇÃO CÚBICA ESPECÍFICA Um elemento de comprimentos iniciais dx, dy e dz depois de deformado tem os comprimentos alterados para
dx + ∆dx, dy + ∆dy e
dz + ∆dz.
Com a variação dos
comprimentos do elemento, o volume também varia. O volume inicial V do elemento é dado pelo produto dos comprimentos iniciais: V = dx⋅dy⋅dz
e o volume final V + ∆V é dado pelo produto dos comprimentos finais do elemento, ou seja: V + ∆V = (dx + ∆ ( dx ) dy ( ) + ∆dy ) dz + ∆dz
mas ∆dx = ε x dx , ∆dy = ε y dy e ∆dz = ε z dz, então: V + ∆V = (dx + ε) x dx dy( + ε)y dy dz +ε z dz
ou: V +∆V = dx dy dz (1 +)ε x 1(+ ε)y 1 + ε z
32 Fazendo-se o produto acima e lembrando queV = dx dy dz , tem-se: V +∆V = V 1 + ε x + ε y + ε z + ε x ε y + ε x ε z + ε y ε z + ε x ε y ε z Desprezando os infinitésimos de ordem superior: V + ∆V = V 1 + ε x + ε y + ε z de onde: ∆V V
(2.3)
= εx +ε y + εz
A relação ∆V V recebe o nome de dilatação cúbica específica sendo que as deformações ε x , ε y e ε z são obtidas usando-se a lei de Hooke generalizada. Para um elemento solicitado por três tensões normais iguais de tração σ (esta solicitação é conhecida como tração isotrópica), têm-se as deformações : εx = ε y= εz =
1
[σ − ν(σ + σ )] =
E
σ E
(1 − 2 ν )
A dilatação cúbica específica desse elemento é dada por: ∆V V
=
3σ E
(1 − 2 ν )
Não se pode admitir que um elemento solicitado por três tensões normais iguais de tração diminua de volume, sendo assim, o maior valor que o coeficiente de Poisson pode assumir na fase elástica-linear dos materiais isotrópicos é 0,5.
2.5 - ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES NOS ESTADOS PLANOS DE TENSÃO A análise de deformações que aqui é abordada se restringe a elementos estruturais solicitados por estados planos de tensões e, para simplificar, convenciona-se que as tensões atuam no plano xOy. Conhecidas as tensões e as propriedades elásticas do material, podem-se calcular, facilmente, as deformações ε x, ε y e γ xy . Entretanto, é de interesse conhecer as deformações referentes a um outro sistema de coordenadas, bem como as deformações extremas e as direções onde ocorrem. Dado um estado de tensões onde: σ x ≠ 0 ; σ y ≠ 0 ; τ xy ≠ 0 σ z = τ xz = τ yz = 0
a lei de Hooke generalizada assume a forma: εx = εy =
1 E 1 E
εz = −
(σ x − ν σ y ) (σ y − ν σ x ) ν E
(σx + σ y )
(2.4)
33 O fato de
ε z ser diferente de zero mostra que um estado plano de tensões causa,
geralmente, um estado tridimensional de deformações. Por exemplo, uma barra tracionada se deforma em todas as direções. Pode ocorrer um estado plano de tensões particular em que σ x = − σ y e, neste caso, εz = 0.
As componentes de tensão σ x e σ y podem ser expressas em função das componentes de deformação ε x e ε y e das propriedades elásticas do material. Isolando-se as tensões σ x e σ y nas duas primeiras equações (2.4), tem-se: σx = εx E + ν σy σy = εy E + ν σx
Colocando-se a expressão da tensão σ y na equação de σ x , tem-se: σx = εx E + ν ε y E + ν σx
de onde: σx =
εx + ν εy ⋅ E
(2.5a )
1 − ν2
Analogamente, colocando-se a expressão da tensãoσ x na equação de σ y , obtém-se: σy =
εy + ν εx
⋅E
(2.5b)
1 − ν2
Por analogia com a primeira ou segunda equações (2.4), a deformaçãoε θ na direção x' (Figura 2.5) é dada por: εθ =
1 E
(σ
| θ
− νσ θ )
Figura 2.5 – Estado plano de tensões Colocando-se as expressões de σ |θ e σ θ , obtidas no item 1.4, na expressão deε θ : εθ =
ou:
1 E
[σ
x
cos 2 θ + σ y sen 2 θ − 2τ xy cosθ sen θ − ν (σ x sen 2 θ + σ y cos 2 θ + 2 τ xy cosθ sen θ )]
εθ =
1 E
[σ (cos x
2
θ − ν sen )( 2 θ + σ y) sen 2 θ − ν cos 2 θ − 2 τ xy cos θ sen θ (1 + ν )]
Com as equações (2.5a) e (2.5b) e lembrando-se queτ xy = G ⋅ γ xy =
E 2 (1 + ν)
⋅ γ xy , a expressão
34
acima assume a forma: εθ =
1 E
(ε x + νε y ) E (ε + νε ) E (cos 2 θ − ν sen 2 θ) + y x2 (sen 2 θ − ν cos 2 θ) 2 1− ν 1 − ν −
2 γ xy E 2 (1 + ν )
cos θ sen θ (1 + ν )
de onde se tem a expressão de ε θ em função das componentes de deformação ε x , ε y e γ xy e do ânguloθ : ε θ = ε x cos 2 θ + ε y sen 2 θ − γ xy cos θ sen θ
(2.6)
Por analogia com a expressão γ xy = τ xy G , a distorção γ θ do elemento inclinado (Figura 2.5) é dada por: τ γθ = θ G
Colocando-se a expressão de τ θ na expressão de γ θ , tem-se: γθ =
1 [(σ y − σ x ) sen θ cos θ + τ xy (sen 2 θ − cos 2 θ )] G
Colocando-se, na expressão acima, as equações (2.5a) e (2.5b), e lembrando-se que τ xy = γ xy ⋅ G, γ θ assume a forma:
1 (ε y + ν ε x ) E (ε x + ν ε y ) E 2 2 2 γ θ = G 1 − ν 2 − sen θ cosθ + γ xy G (sen θ − cos θ ) 1 − ν
de onde: γ θ = 2 (ε y) − ε x sen θ( cos θ + γ) xy sen 2 θ − cos 2 θ
ou: γθ
2
= (ε y − ε x ) sen θ cos θ +
xy
2
(sen 2 θ − cos 2 θ)
(2.7)
É oportuno salientar que o emprego das equações (2.6) e (2.7) é restringido aos estados de tensões onde σ z = 0.
2.6 – CÍRCULO DE MOHR PARA DEFORMAÇÕES O lugar geométrico de todos os pares (ε θ , γ θ / 2) forma uma circunferência. Fazendo-se um raciocínio análogo ao estado plano de tensões, tem-se: ε +ε εθ − x y 2
2
2
γ θ 2 ε x − ε y γ xy + = + 2 2 2
2
35 A equação acima é a equação de uma circunferência de centro c
sendo
εθ
γθ
e
2
εx + εy , 0 , 2
as coordenadas genéricas de um ponto da circunferência e
2
2
εx − εy γ + xy . 2 2
R 2 =
A construção do círculo de Mohr para deformações é semelhante à construção para tensões. As deformações ε x e ε y são positivas quando correspondem a alongamentos e a distorção γ xy é positiva quando τ xy é positivo, ou seja, quando τ xy tende girar o elemento no sentido horário. O pólo para deformações é simétrico ao ponto ε y , − γ xy 2 . A explicação é que todas as deformações que ocorrem no elemento são dadas pelas coordenadas de um ponto da circunferência, sendo que para θ = 0 o têm-se as deformações
ε x e γ xy e
para θ = 90 o
têm-se as deformações ε y e − γ xy . Dado um estado plano de tensões, calculam-se as deformações: 1 (σ x − ν σ y ) E 1 ε = (σ − ν σ ) y x E y τ xy γ xy = G εx =
Conhecidas estas deformações, pode ser construído o círculo de Mohr. Para esta demonstração, sem perder a generalidade, supõe-se queε x é maior que ε y .
Figura 2.6 – Círculo de Mohr para deformações Do círculo de Mohr, podem-se obter as expressões para calcular analiticamente ε1 , ε 2 , γ máx , θ1 e θ 2 .
36 ε1 =
εx + εy
ε2 =
2 εx + εy
2
γ εx − εy + xy 2 2 2
+
εx − εy 2
−
2
2 γ + xy 2
2
γ xy 2 (ε1 − ε y )
tg θ1 = − tg θ 2 = γ máx
2
γ xy
2 (ε y − ε 2 ) 2
εx − εy γ + xy 2 2
2
=
ou:
γ máx
2
ε − ε2 = 1 → γ máx = ε1 − ε 2 2
As deformações lineares específicas ε 1 e ε 2 são chamadas deformações principais e os ângulos θ 1 e θ 2 fornecem as direções onde ocorrem, respectivamente, ε 1 e ε 2 . Pelo círculo de Mohr conclui-se que a soma em módulo de θ 1 e θ 2 é igual a 900. A distorção
γmáx
é a maior
distorção do plano das tensões (planoxOy). Exemplo 2.4: Um elemento estrutural está solicitado pelas tensões indicadas na Figura 2.7. Calcule analítica e graficamente as deformações principais, as direções principais e a maior distorção que ocorre no plano xOy. Dados: σx = 35 MPa, σy = 55 MPa, τxy = 8,6 MPa, E = 210 GPa e
ν = 0,33.
Figura 2.7- Elemento em estado plano de tensões As deformações nas direções x e y são as seguintes: εx =
εy =
1 210x109 1 210x10 9
(35x106 − 0,33x55x106 ) → ε x = 8,02x10−5 (55x106 − 0,33x35x106 ) → ε y = 2,07x10− 4
37 γ xy =
8,6x10 6 x 2 x (1 + 0,33) 210 x10 9
−4
→ γ xy = 1,09 x10 rad.
Com as equações deduzidas anteriormente tem-se a solução analítica:
ε1 =
εx + εy
2
2
2
γ εx − εy + xy 2 2
±
2
Então: ε1 =
8,02 × 10 −5 + 2,07 × 10 −4 2
2
de onde:
2
±
8,02 × 10 −5 − 2,07 × 10 −4 1,09 × 10 − 4 + 2 2
2
ε1 = 2,27 × 10 −4 ε 2 = 6 × 10 −5
tg θ1 = − tg θ 2 = γ máx
2
1,09 × 10 − 4 2 (2,27 × 10 −4 − 2,07 × 10 −4 ) 1,09 × 10 −4
2 (2,07 × 10 −4 − 6 × 10 −5 ) 2
=
→ θ1 = − 69,8 0
→ θ 2 = 20,3 0
8,02 ×10 −5 − 2,07 × 10 −4 1,09 × 10 −4 + 2 2
2
⇒ γ máx = 1,67 x10 −4 rad.
Solução gráfica:
Figura 2.8 – Círculo deMohr – Escala 1 cm: 2x10− 5
38
Do círculo de Mohr, têm-se: ε1 ≅ 2,26 × 10 −4 ; θ1 ≅ − 70 0 ε 2 ≅ 5,8 × 10 −5 ; θ 2 ≅ 20 0 γ máx
2
≅ 8,4 x10 − 5 → γ máx ≅ 1,68x10 − 4 rad.
2.7 – ROSETA DE DEFORMAÇÃO Se em um estado plano de tensões não se conhecem as tensões, elas podem ser determinadas com o auxílio da equação (2.6). Com três extensômetros, obtêm-se, em laboratório, as deformações lineares específicas de um elemento estrutural em três direções. Este conjunto de extensômetros recebe o nome roseta de deformação. Este arranjo de extensômetros só é possível em um estado plano de tensões, uma vez que na face onde está a roseta não podem atuar tensões. Conhecidas as deformações em três direções, com a equação (2.6) obtêm-se os valores de ε x , ε y
e
γ xy . Usando-se as equações (2.5a) e (2.5b) e a lei de Hooke no
cisalhamento calculam-se as tensões σ x , σ y e τ xy que produziram as deformações no elemento. Exemplo 2.5: Com uma roseta de deformação obtiveram-se as seguintes deformações lineares específicas em um ponto de um elemento estrutural: εa = 500 x 10 −6; εb = 195,86 x 10 −6 e = 628,87 x 10 −6. Calcule as tensões que produziram as deformações no elemento. Dados: 69 GPa e ν = 0,33 εc
Figura 2.9 – ponto de uma estrutura e roseta de deformação
Para a direção “a”, a equação (2.6) fica da seguinte forma: 500 x10 −6 = ε x cos 2 0 o + ε y sen 2 0 o − γ xy cos 0 o sen 0 o
Da expressão acima, tem-se que:
εx
= 500 x 10 −6
Para a direção “b”, tem-se: 195,86 x10 −6 = ε x cos 2 60 o + ε y sen 2 60 o − γ xy cos 6 0 o sen 60 o
de onde:
Ε
=
39 195,86 x10 −6 = ε x 0,25 + ε y 0,75 − γ xy 0,433
Na direção θ = 120o (ou
θ
(Ι)
= − 60o) tem-se a leitura no extensômetro “c”:
628,87 x10 −6 = ε x cos 2 120 o + ε y sen 2 120 o − γ xy cos12 0 o sen120 o
então: 628,87 x10 −6 = ε x 0,25 + ε y 0,75 + γ xy 0,433
(ΙΙ)
Somando-se as expressões (Ι) e (ΙΙ), tem-se: 824,73 x10 −6 = ε x 0,50 + ε y 1,50
Com o valor da deformaçãoεx , obtida no extensômetro “a”, e com a expressão acima calcula-se o valor da deformação εy = 383,15 x 10 −6. Usando-se a equação (Ι) ou a equação (ΙΙ), calcula-se a deformação γxy= 500 x 10 −6 rad. Cálculo das tensões normais usando-se as equações (2.5a) e 2.5b): σx =
(500x10 −6 + 0,33x 383,15x10 −6 ) 1 − 0,33 2
⋅ 69 x10 9
(383,15x10 −6 + 0,33x 500x10 −6 ) σy =
1 − 0,33 2
τ xy = Gγ xy =
→ σ x = 48,51 MPa
9
⋅ 69 x10
→ σ y = 42,44 MPa
69 x10 9 ⋅ 500 x10 − 6 → τ xy = 12,97 MPa 2(1 + 0,33)
Figura 2.10 – Tensões atuantes no elemento estrutural do exemplo 2.5
40
3 – MÉTODOS DE ENERGIA 3.1 – INTRODUÇÃO Quando uma força externa atua em um corpo e o deforma 1, o trabalho realizado pela força é total ou parcialmente armazenado no corpo sob a forma de energia de deformação. Se a força dividida pela área onde atua (ou seja, a tensão) permanecer na fase elástica o trabalho externo é totalmente convertido em energia de deformação e o corpo retorna às dimensões iniciais quando descarregado. Se a tensão for além da fase elástica, o corpo não adquire as suas dimensões iniciais quando descarregado. Nesse caso, o trabalho externo é parcialmente convertido em energia de deformação e ocorre dissipação de energia em forma de calor. Neste capítulo, pressupõe-se que a tensão aplicada em um corpo é sempre menor, ou igual, que a tensão de proporcionalidade, portanto, o corpo tem comportamento elástico-linear. A energia de deformação pode ser usada no cálculo da tensão e deformação provocadas por cargas aplicadas com impacto, no cálculo de deslocamentos e no cálculo das reações de apoio de vigas hiperestáticas. A energia armazenada em um corpo é sempre um escalar positivo e independe da convenção de sinais e da posição do sistema de referência. 3.2 – TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL Seja uma barra prismática fixada em uma extremidade solicitada por uma força axial de tração F .
Figura 3.1 - Barra prismática tracionada A força F , quando aplicada estaticamente, causa um alongamento dado por: ∆L =
1
FL EA
Nos deslocamentos de corpo rígido não há deformação. Nesse caso, o trabalho externo é convertido em energia cinética e, às vezes, em energia calorífica e sonora.
41 Esse alongamento é o deslocamento do ponto de aplicação da força F . Entretanto, o trabalho não pode ser calculado como sendo o produto da força pelo deslocamento, uma vez que a força varia de um valor zero até o valor final F . O trabalho realizado por uma força variável quando o seu ponto de aplicação desloca-se da coordenada 1x até a coordenada x2 é calculado pela expressão: W=
∫
x2
x1
F( x )dx
A integral acima corresponde à área compreendida sob a curvaF(x ) entre os limites x1 e x2. Assim sendo, o trabalho realizado por uma força aplicada estaticamente ao alongar uma barra de ∆L é dado por:
W=
F∆L 2
Figura 3.2 - Gráfico Força x Alongamento Esse trabalho externo é armazenado na barra na forma de energia de deformação ( U) . Com as considerações feitas anteriormente, pode-se fazer: U=
F∆L 2
Nas barras prismáticas, U assume a forma: F2 L U = 2EA
(3.1)
3.3 – ENEGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE ÀS TENSÕES NORMAIS A equação (3.1) fornece a energia de deformação armazenada em uma barra prismática solicitada por uma força axial. Essa equação pode ser colocada da seguinte forma:
42 F 2 LA
U=
2EA 2
ou: U=
σ2V 2E
Se a tensão normal não é uniformemente distribuída na seção transversal e/ou varia ao longo do comprimento, a expressão acima deve ser empregada para cada elemento infinitesimal de volume. 2
dU = σ dV 2E
(3.2)
Integrando-se os dois membros tem-se a energia de deformação total: U=
∫
V
σ 2 dV 2E
(3.3)
3.3.1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE À FORÇA NORMAL Seja a barra da Figura 3.3 solicitada por uma força axial variável e seção transversal também variável com a coordenada x.
Figura 3.3 - Barra de seção transversal variável A tensão normal varia com o comprimento, entretanto, em uma seção transversal qualquer, a tensão normal não varia e todos os pontos desta seção transversal estão solicitados por tensão normal dada por: σ( x ) =
F( x ) A( x )
Colocando-se a expressão acima na equação (3.3), tem-se: U=
∫
V
F 2 ( x )dV A 2 ( x ) 2E
Tomando-se dV = dAdx e separando-se os termos que dependem de x e o que depende da
43
área, tem-se: U=
F 2 (x)
∫ 2EA
2
L
(x)
⋅
(∫ dA)dx A
onde:
∫ dA = A(x ) A
então: F 2 ( x )dx U=
∫
L
2EA( x )
3.3.2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO FLETOR Seja a viga AB da figura abaixo solicitada por um carregamento qualquer.
Figura 3.4 - Viga bi-apoiada Chamando-se de M ( x ) o momento fletor e de I z ( x ) o momento de inércia de uma seção transversal qualquer, a tensão normal nessa seção transversal é dada por: M ( x )y
σ( x ) =
I z (x)
Colocando-se a expressão acima na equação (3.3): 2
U=
2
M 2( x ) y dV V I z ( x ) 2E
∫
Tomando-se dV = dAdx e lembrando-se de que o momento fletor e o momento de inércia variam apenas em função da coordenada x, tem-se: U=
M 2 (x )
∫ 2EI L
Por definição:
2 z
( x)
⋅
(∫
A
)
y 2 dA dx
44 I z (x) =
∫
y 2 dA
∫
M 2 ( x )dx
A
então: U=
2EI z ( x )
L
(3.5)
3.4 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE ÀS TENSÕES DE CISALHAMENTO O procedimento para se obter a energia de deformação referente às tensões de cisalhamento é análogo àquele usado para tensões normais. Da mesma forma que a barra da Figura 3.1 é conveniente fixar uma das faces do elemento em estado de cisalhamento puro (Figura 3.5). Por exemplo, se a face inferior do elemento for fixada, apenas a força que atua na face superior produz trabalho.
Figura 3.5 - Elemento de uma viga solicitado por cisalhamento puro Estabelecendo-se que o carregamento que provocou as tensões de cisalhamento acima seja aplicado estaticamente, a energia acumulada no elemento de volume é dada por: dU =
dF.∆ 2
onde dF é a força que provocou o deslocamento ∆ . Chamando-se de dz a espessura do elemento, a força dF é dada por τ.dx.dz e ∆ = .dy , então: dU =
1 2
τdxdz.γdy
Com a lei de Hooke no cisalhamento (τ = G ) e lembrando-se de que dxdydz = dV, a expressão acima assume a forma: dU =
τ 2 dV 2G
(3.6)
Integrando-se os dois membros, tem se a energia de deformação armazenada em uma estrutura referente às tensões de cisalhamento: U=
∫
V
τ 2 dV 2G
(3.7)
3.4.1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO DE TORÇÃO
45
Considere-se um eixo de seção transversal circular variável solicitado por um momento de torção que também varia com a coordenada x.
Figura 3.6 - Eixo com seção transversal variável Chamando-se de T( x ) o momento de torção e J( x ) o momento de inércia à torção, a tensão de cisalhamento é dada por: τ=
T( x )r J( x )
Colocando-se a expressão acima na equação (3.7): U=
∫
T 2 ( x ) r 2 dV
V
J 2 ( x ) 2G
Tomando-se dV = dAdx e separando os termos que variam em função do comprimento e os que variam na área, a integral acima pode ser colocada da seguinte forma: U=
∫
L
T 2 (x) 2
J ( x ) 2G
(∫ r dA )dx 2
A
Por definição:
∫
J ( x ) = r 2 dA A
então: 2
U=
T ( x )dx L 2GJ ( x )
∫
(3.8)
3.4.2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE À FORÇA CORTANTE Em função do momento estático, a tensão de cisalhamento referente à força cortante tem uma equação particular para cada configuração da seção transversal. Na presente abordagem, consideram-se apenas vigas prismáticas de seção transversal retangular. Esta forma de viga é muito usada e a distribuição da tensão de cisalhamento é facilmente equacionada.
46 Seja a viga da Figura 3.7 sujeita a um carregamento qualquer. A tensão de cisalhamento em uma seção transversal qualquer é dada pela equação: τ=
V ( x )Q bI z
Figura 3.7 - Viga prismática com seção transversal retangular Colocando-se a expressão acima na equação (3.7), tem-se: V 2 ( x )Q 2
∫
U=
V
b 2 I 2z 2G
dV
ou: V 2 (x)
∫
U=
(∫ Q dA )dx
(3.9)
2
b 2 I 2z 2G
L
A
Em vigas de seção transversal retangular, o momento estático Q assume a forma: b h2
2 4
− y 2
b2 h 4
h2y2
Q=
então:
∫ Q dA = ∫ 2
A
A
− 4 16
2
+ y 4 dA
A integral acima independe da coordenada z, então o elemento de áreadA pode ser tomado como sendo bdy. Então:
∫ Q dA = ∫ 2
A
h/2
−h / 2
b2 h4
− 4 16
h 2 y2 2
+ y 4 bdy
de onde:
∫ Q dA = 2
A
b3h 5 120
Substituindo-se a expressão acima na equação (3.9) e lembrando queI z =
bh 3 12
, tem-se:
47 U=
V 2 (x)
∫
L
b2
b2h6
⋅
b3h 5
144
dx
120
2G
donde: U=
3 5GA
∫V
2
( x )dx
L
(3.10)
Exemplo 3.1: Calcule a energia de deformação acumulada na viga prismática da Figura 3.8. Dados: E = 210 GPa, ν = 0,33 , P=8500 N.
Figura 3.8 - Viga prismática em balanço A viga está solicitada por momento fletor e força cortante. A energia de deformação total é dada por: UT = UM + UV
A energia de deformação referente ao momento fletor é determinada usando-se a equação (3.5). UM =
∫
L
( − Px ) 2 dx 2EI z
0
donde: UM =
Colocando-se os dados do exemplo:
P 2 L3 6EI z
U M = 0,43Nm
A energia referente à força cortante é calculada usando-se a equação (3.10). UV =
então:
3
5GA ∫
L
0
(− P ) 2 dx =
3P 2 L 5Gbh
U V = 0,014 Nm
A energia de deformação total é: U T = 0,444J É interessante observar que:
U M = 96,85% de U T
e
U V = 3,15% de U T
Com o resultado acima pode-se concluir que nas estruturas em que a relação L / h ≥ 5 (ou seja,
48
vigas), a contribuição da força cortante para a deformação da viga pode ser desprezada em relação a contribuição do momento fletor. É oportuno fazer mais duas observações. A primeira é que a energia de deformação referente ao momento fletor pode ser calculada através do trabalho externo. P.v
UM =
2
Onde v é o deslocamento do ponto de aplicação da força P levando-se em consideração apenas a contribuição do momento fletor. Este deslocamento é dado pela expressão: v=
PL3 3EI z
então: UM =
P 2 L3 6EI z
A segunda observação refere-se ao cálculo da energia de deformação total. Calcularamse, separadamente, as energias referentes a cada esforço solicitante e depois somaram-se os resultados obtidos. Esta adição procede no fato que a contribuição das tensões de cisalhamento para a variação dos comprimentos dx e dy (Figura 3.5), conforme já demonstrado, é um infinitésimo de segunda ordem e, conseqüentemente, se atuar tensão normal nas direções x e y, o trabalho realizado por estas tensões durante a deformação por cisalhamento é também um infinitésimo de segunda ordem e pode ser desprezado. Em outras palavras: a tensão normalσ)( não realiza trabalho durante a deformação por cisalhamento γ() e a tensão de cisalhamento (τ) não realiza trabalho durante a deformação por tensão normalε().
49
3.5 – TEOREMA DA RECIPROCIDADE Seja a viga abaixo sujeita a duas forças concentradasP1 e P2 .
Figura 3.9 - Eixo da viga e linha elástica As componentes verticais dos deslocamentos dos pontos 1 e 2, respectivamente v 1 e v2, podem ser obtidas superpondo-se os efeitos das forças P1 e P2 . Aplicando-se estaticamente na viga a força P1 (Figura 3.10(a)), os pontos 1 e 2 se deslocam de: v 11 = α 11 P1 v 21 = α 21P1
Onde v ij é o deslocamento vertical do ponto i devido à força aplicada no ponto j. Os parâmetros α 11
e
α 21
são chamados
coeficientes de influência e
são determinados aplicando-se uma força
unitária no ponto 1. Da mesma forma, aplicando-se estaticamente a força P2 (Figura 3.10(b)), os pontos 1 e 2 sofrem os seguintes deslocamentos:
Figura 3.10 - (a) Linha elástica da viga depois de aplicar-seP1 (b) Linha elástica da viga depois de aplicarem-seP1 e P2 v12 = α 12 P2 v 22 = α 22 P2
onde
α12
e
α 22
são determinados aplicando-se uma força unitária no ponto 2. Os deslocamentos
finais dos pontos 1 e 2 são: v1 = v11 + v 12 = α 11 P1 + α 12 P2 v 2 = v 21 + v 22 = α 21 P1 + α 22 P2
50 O trabalho realizado pelas forças P1 e P2 é convertido em energia de deformação da viga. O trabalho externo referente à aplicação da força P1 (Figura 3.10(a)), é dado pela expressão: P1 v 11
=
P12 α 11
2
2
Aplicando-se a força P2 , o ponto 1 se desloca de
α 12 P2
e a força P1 , que já está
totalmente
aplicada, também realiza trabalho1. Assim sendo, ao aplicar-se a força P2 (Figura 3.10(b)), tem-se o trabalho externo: P 2α
P v 2
2
22
+ P1 v 12 =
2
2
+ P1 α 12 P2
22
Somando-se as duas últimas expressões, tem-se a energia de deformação da viga: U=
P12 α 11
+
P22 α 22
2
2
+ P1α 12 P2
(3.11)
Uma outra forma de se carregar a viga é aplicar-se a força P2 e depois a força P1 .
Figura 3.11 - Segunda forma de se carregar a viga A energia de deformação da viga da Figura 3.11 é dada pela expressão: U=
P2 v 22
ou: U=
+
P1 v11
2
2
P22 α 22
+
P12 α 11
2
2
+ P2 v 21
+ P2 α 21 P1
A energia de deformação da viga independe da ordem de aplicação das forçasP1 e P2 . Então: P12 α11 2
+
P22 α 22 2
+ P1α 12 P2 =
P22 α 22 2
+
P12 α 11 2
+ P2 α 21 P1
de onde: α12 = α 21
A expressão acima mostra que o deslocamento do ponto 1 devido a uma força 1
O princípio da superposição dos efeitos não é válido quando se calcula a energia de deformação usandose o trabalho das cargas externas.
51 unitária aplicada no ponto 2 é igual o deslocamento do ponto 2 devido a uma força unitária aplicada no ponto 1. Essa conclusão é conhecida como teorema da reciprocidade ou teorema de Maxwell. Pode-se demonstrar que o teorema da reciprocidade também é válido para momentos (fletor e de torção), sendo que os deslocamentos correspondentes são rotações. O teorema da reciprocidade apresentado por Maxwell é um caso particular do teorema de Betti que trata de estruturas solicitadas por dois grupos de cargas. 3.6 – SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO O italiano Carlo Alberto Pio Castigliano demonstrou, em 1873, que a derivada parcial da energia de deformação de uma estrutura em relação a uma força concentrada fornece o deslocamento do ponto de aplicação na direção da força considerada. Esse teorema pode ser demonstrado derivando-se a equação (3.11) em relação à forçaP1 : ∂U ∂P1
= P1α 11 + P2 α12 = v1
ou, derivando-se a mesma equação em relação à força P2 : ∂U ∂P2
= P2 α 22 + P1α 12 = v 2
Generalizando-se:
∂U ∂Pi
= vi
É oportuno frisar que se a derivada acima for negativa, o deslocamento ocorre em sentido contrário ao sentido da força considerada. O segundo teorema de Castigliano também pode ser demonstrado para momentos. Nesse caso, a derivada parcial da energia de deformação em relação a um momento fornece a rotação no ponto de aplicação do momento, isto é: ∂U ∂M i
= θi
Nas estruturas que estão solicitadas por mais de uma força é conveniente usar a “regra da cadeia”. Por exemplo, o deslocamento vertical do ponto 1 (Figura 3.12) levando-se em consideração apenas a contribuição do momento fletor é dado por: v1 =
∂U
=
∂P1
∂U
⋅
∂M ( x )
∂M ( x )
=
∂P1
a
M( x)
0
EIz ( x )
a
M(x )
∫
⋅
∂M ( x ) ∂P1
dx +
∫
L
a
M(x )
⋅
∂M ( x ) ∂P1
EIz ( x )
dx
E o deslocamento do ponto 2 é dado por: v2 =
∂U ∂P2
=
∂U ∂M ( x )
⋅
∂M ( x ) ∂P2
=
∫ EI (x) 0
z
⋅
∂M ( x ) ∂P2
dx +
∫
L
a
M( x ) EI z ( x )
⋅
∂M ( x ) ∂P2
dx
52
Figura 3.12 - Viga em balanço solicitada por duas forças Exemplo 3.2: Determine a deflexão do ponto A usando o segundo teorema de Castigliano. Despreze a contribuição da força cortante. Dado: EI z = constante.
Figura 3.13 - Viga em balanço A energia de deformação referente ao momento fletor é dada pela equação (3.5). U=
M 2 ( x )dx
∫
L
2EI z ( x )
Como EI z é constante e M( x ) = − Px , tem-se: U=
1 2EI z
∫
L
0
( −Px ) 2 dx =
P 2 L3 6EI z
A deflexão do ponto A é dada por: vA =
∂U ∂P
=
PL3 3EI z
Exemplo 3.3: Determine a deflexão e a inclinação da tangente à linha elástica no ponto A da viga da Figura 3.14 usando o segundo teorema de Castigliano. Despreze a contribuição da força cortante. Dado: EI z = constante.
53
Figura 3.14 - Viga em balanço solicitada por carga distribuída Para se obter a deflexão de um ponto onde não há força concentrada coloca-se uma força fictícia Pf (Figura 3.15(a)) na direção da deflexão procurada. Derivando-se U em relação à força Pf, tem-se a deflexão do ponto de aplicação da força fictícia. Na expressão final, deve-se fazer Pf = 0.
Figura 3.15 (a) Força fictícia
(b) Momento fletor fictício
A energia de deformação da viga da Figura 3.15(a), levando-se em consideração apenas a contribuição do momento fletor, é dada por:
U=
1 2EI z
∫
L
0
qx 2 − 2
2
− Pf x dx
de onde: U=
1 q 2 L5
2EI z 20
+
Pf qL4 4
+
Pf2 L3
3
A deflexão do ponto A é dada por: vA =
∂U ∂Pf
=
qL4 2EI z 4 1
+
2Pf L3 3
Fazendo-se Pf = 0, tem-se: vA =
qL4 8EI z
Usando-se a “regra da cadeia” a deflexão do ponto A é dada por:
54 vA =
∂U
⋅
∂M ( x )
∂M ( x )
=
∂Pf
M( x)
∫
⋅
∂M ( x ) ∂Pf
EI z ( x )
L
dx
O momento fletor M ( x ) é dado pela expressão: M ( x ) = −Pf x −
qx 2 2
portanto: ∂M ( x )
= −x
∂Pf
então: 1
vA =
∫
EI z
L
0
qx 2 − Pf x − (− x )dx 2
donde: vA =
3 1 Pf L
EI z 3
+
qL4
8
Fazendo-se Pf = 0, tem-se: vA =
qL4 8EI z
Para se obter a inclinação da tangente à linha elástica no ponto A, tem-se que colocar um momento fletor fictício Mf neste ponto (Figura 3.15(b)). θA =
∂U ∂M ( x )
⋅
∂M ( x ) ∂M f
=
∫
M(x )
L
⋅
EI z ( x )
∂M ( x ) ∂M f
dx
O momento fletor à uma distância genérica x na viga da Figura 3.15(b) é dado pela expressão: M( x ) = − M f − ∂M ( x )
qx 2 2
= −1
∂M f
então: θA =
1 EI z
∫
L
0
− M f
−
qx 2
(−1)dx 2
donde: θA =
1
qL3 M f L + EI z 6
Fazendo-se Mf = 0, tem-se: θA =
qL3 6 EI z
55 Exemplo 3.4: Determine a deflexão do ponto A levando-se em consideração as contribuições do momento fletor e da força cortante. Compare este resultado com o calculado levando-se em consideração apenas a contribuição do momento fletor. A viga é prismática e tem seção transversal retangular. Dados:
ν = 0,33
e E I = constante.
Figura 3.16 - Viga prismática em balanço A energia de deformação total da viga é dada por: UT =
∫
M 2 ( x )dx
3
+
2 EI z ( x )
L
∫V
5GA
2
L
( x )dx
então: UT =
1 2EI z
∫
L
0
( − Px ) 2 dx +
3
5GA ∫
L
0
(− P ) 2 dx
donde: UT =
P 2 L3
+
6EI z
3P 2 L 5GA
Derivando-se a expressão acima em relação à força P, tem-se: vA =
∂U T
=
∂P
PL3 3EI z
+
6PL 5GA
onde o termo 6PL / 5GA é a contribuição da força cortante para a deflexão do ponto A. Dividindo-se a contribuição do momento fletor ( v M ) pela contribuição da força cortante ( v V ) , tem-se:
vM
=
vV
PL3 3EI z
⋅
5GA 6PL
Simplificando-se a força P e colocando a relação entre E, G e ν, tem-se: vM vV
Para áreas retangulares: I z
=
L3
= bh / 12 , A = bh 3
⋅
5EA
3EI z 6L ⋅ 2(1 + ν )
, então:
56 vM
=
vV
12L2
5bh
⋅
3bh 3 12(1 + 0,33)
de onde: vM vV
L h
2
= 1,25
Supondo-se que L / h = 5 : vM vV
= 31, 25
Uma vez que v M = 31,25 v V o efeito da força cortante para o cálculo da deflexão pode ser desprezado. Se L / h = 10 tem-se que v M = 125 v V . Portanto, aumentando-se a relação L / h a contribuição da força cortante torna-se ainda menor. Entretanto se a relação L / h for menor que 5 a força cortante deve ser levada em consideração quando calculam-se a deflexão e a inclinação da tangente à linha elástica. Entretanto, as expressões deduzidas neste capítulo não podem ser usadas nestas estruturas, uma vez que as fórmulas da flexão: σ=
M(x ) ⋅ y I z (x)
e
τ=
V ( x )Q bI z ( x )
somente se aplicam quando L / h ≥ 5. 3.7 – APLICAÇÕES DO SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO NO CÁLCULO DE REAÇÕES DE VIGAS HIPERESTÁTICAS O segundo teorema de Castigliano pode ser usado no cálculo das reações de apoio das vigas estaticamente indeterminadas. O procedimento consiste em se escolher uma das reações de apoio (força ou momento) e determinar-se a energia de deformação da viga em função do carregamento dado e da reação escolhida. Derivando-se a energia de deformação em relação à reação de apoio, tem-se o deslocamento do ponto de aplicação da reação. Uma condição de deslocamento deve ser imposta, que pode ser deslocamento nulo ou uma outra condição de deslocamento conhecida. Com este procedimento, a reação de apoio escolhida é determinada. As outras reações podem ser obtidas com as equações de equilíbrio da estática. Exemplo 3.5: Determine a reação de apoio VB da viga da Figura 3.17(a) usando o método da energia. E I z = constante. Com a srcem do sistema de referência no apoio B (Figura 3.17(b)), a equação do momento fletor é dada por: M( x ) = VB x −
qx 2 2
57
Figura 3.17 - (a) Viga hiperestática (b) Viga “solicitada” por q e VB A energia de deformação da viga, desprezando-se a contribuição da força cortante, é dada pela expressão: U=
1 2 EI Z
∫
L
0
qx 2 VB x − 2
2
dx
de onde: U=
VB2 L3 2EI Z 3 1
−
VB qL4
+
q 2 L5
4
20
1 O apoio direito impede o deslocamento vertical do ponto B, então :
∂U ∂VB
Derivando-se U em relação à força VB , tem-se: 1 2VB L3 2 EI z 3 donde: VB =
=0
−
qL4
=0 4
3qL 8
Exemplo 3.6: Determinar a força de compressão (F) na mola da viga da Figura 3.18(a). Dados: EI = 1,15x107Nm2, k = 1,25x106N/m.
Figura 3.18 - (a) Viga estaticamente indeterminada (b) Posição deformada da viga 1
Esta derivada indica um extremo de U. Uma vez que a segunda derivada de U é maior que zero, o extremo é mínimo. Conclui-se que as reações de apoio das vigas hiperestáticas são aquelas que mininizam a energia de deformação do sistema. Esta conclusão, chamada princípio do trabalho mínimo, deve-se ao engenheiro italiano Ménabréa.
58
Colocando-se o sistema de referência no apoio B, a expressão da energia de deformação assume a forma: 1
U=
∫
2EI z
L
0
qx 2 Fx − 2
2
dx
donde: U=
F 2 L3 2 EI z 3 1
−
FqL4
+
4
q 2 L5
20
Derivando-se a energia de deformação em relação à força F , tem-se: ∂U ∂F
= −δ m
então: 2FL3 2EI z 3 1
−
qL4
= −δ m 4
Onde o sinal negativo deve-se ao fato que o deslocamento ocorre emsentido contrário ao sentido da força F . A expressão acima pode ser colocada da seguinte forma: qL4
=
8EI z
FL3
+
3EI z
F k
É interessante observar nesta última expressão que se k = ∞ , o apoio B é rígido e a força de compressão na mola é igual a 3qL / 8 . Este é o mesmo resultado encontrado no exemplo 3.5. Colocando-se os dados do exemplo tem-se: q.8 4 8x1,15x10
7
=
F.8 3 3x1,15x10 7
+
F 1,25x10 6
donde: F = 2,85q
3.8 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO PROVOCADAS POR IMPACTO Os carregamentos de uma estrutura podem ser aplicados estaticamente ou com impacto. Todos os carregamentos até aqui considerados foram admitidos aplicados estaticamente. Usando-se o princípio da conservação da energia, podem-se calcular as tensões e as deformações em uma estrutura provenientes de cargas aplicadas com impacto. Para obterem-se estas tensões e deformações, pressupõe-se que o choque é completamente inelástico, isto é, o corpo que se choca e a estrutura permanecem juntos após o choque. Por hipótese, a energia cinética do corpo é totalmente transferida para a estrutura transformando-se em energia de
59
deformação. Na realidade, esta hipótese nunca é verificada. No momento do choque há dissipação de energia na forma de calor e som, ocorrendo, também, deformações localizadas no corpo e na estrutura. Entretanto, admitindo-se que a energia cinética do corpo é totalmente transferida para a estrutura o dimensionamento está sendo feito com segurança. No momento em que o corpo é imobilizado, ocorrem as tensões e deformações máximas da estrutura. O procedimento para calcularem-se estas tensões e deformações é substituir-se a
carga com impacto por uma força estática equivalente Pe . Esta força Pe deve provocar a mesma deformação máxima que a carga com impacto provoca quando imobilizada. Exemplo 3.7: Um bloco de massa m = 80kg, inicialmente em repouso, cai de uma altura h = 120mm no ponto A da viga prismática abaixo. Calcule: a) a força estática equivalente; b) a deflexão máxima do ponto A; c) as tensões normais extremas. Dado: Ε = 69GPa.
Figura 3.19 - Viga prismática em balanço A energia potencial do bloco se transforma-se em energia cinética e, quando este é imobilizado, por hipótese, a energia cinética é totalmente transformada em energia de deformação da viga. Então: U = mg(h + v máx )
Figura 3.20 - (a) Deflexão máxima (b) Força estática equivalente
(3.12)
60
Uma força P aplicada estaticamente no ponto A provoca o deslocamento desse ponto dado pela expressão: vA =
PL3 3EI z
Portanto, a deflexão vmáx da viga da Figura 3.20(b) é dada por: v máx =
Pe .L3 3EI z
onde Pe é a força estática equivalente. A energia de deformação referente à força Pe é dada por: U=
Pe .v máx
(3.13)
2
As energias de deformação dadas pelas equações (3.12) e (3.13) são iguais, uma vez que provocam a mesma deformação da viga: mg(h + v máx ) =
Pe .v máx 2
Colocando-se os dados do exemplo: Pe ⋅ 800 3 80 ⋅ 9,81120 + 40 ⋅ 80 3 3 ⋅ 69 x10 3 ⋅ 12
P Pe ⋅ 800 3 = e ⋅ 40 ⋅ 80 3 2 3 ⋅ 69 x10 3 ⋅ 12
de onde: 7,25x10 −4 Pe2 − 1,14Pe − 94176 = 0
As raízes da equação acima são: Pel = 12210,6 N Pe 2 = −10638,2 N
a) A intensidade da força que provoca a deflexão vmáx é um número real positivo, então, a força estática equivalente é: Pe = 12210,6 N
b) v máx =
de onde:
Pe L3 3EI z
=
12210,6 ⋅ 800 3 3 ⋅ 69 x10 3 ⋅
40 ⋅ 80 3 12
61 v máx = 17,7 mm
c) As tensões normais extremas ocorrem na seção transversal do engaste, sendo que a maior tensão de tração ocorre nos pontos de coordenaday = −40mm e a maior tensão de compressão ocorre nos pontos de coordenada y = 40mm. σ máxt = 228,9MPa σ máxc = −228,9MPa
3.9 – ENERGIA ESPECÍFICA DE DEFORMAÇÃO Por definição, energia específica de deformação ( U e ) é a relação entre a energia de deformação e o volume. A energia específica de deformação referente à tensão normal é dada pela expressão (ver equação 3.2):
Ue =
dU
=
dV
σ
2
(3.14)
2E
ou, usando-se a lei de Hooke σ = Eε : Ue =
σε
(3.15)
2
Com as equações (3.14) e (3.15) pode-se obter a energia específica de deformação de um elemento solicitado pelas tensões normaisσ x ,
σy
e
σz .
Aplicando-se estaticamente uma tensão
de tração na direção do eixo Ox, tem-se: 2
Ue =
σx
2E
Na segunda fase do carregamento, aplica-se estaticamente uma tensão de tração na direção do eixo Oy. Com a aplicação da tensão a tensão
σx ,
σy
ocorre, entre outras, a deformação
εx = −νεy
=
−νσy/E
e
que já está aplicada, realiza trabalho durante esta deformação. A energia específica σ
σ
de deformação referente à tensão x quando se aplica y é calculada usando-se a equação (3.15) sem, entretanto, aparecer o fator 0,5 uma vez que σ x está totalmente aplicada. Portanto, a energia específica de deformação ao aplicar-seσ y é: 2
Ue =
σy
2E
− σx ⋅
νσ y
E
Finalmente, aplicando-se estaticamente uma tensão de tração na direção do eixo Oz, a energia específica de deformação correspondente é dada pela expressão:
62 2
σz
e
U =
2E
− σx ⋅
νσ z
− σy ⋅
E
νσ z
E
Somando-se as três últimas expressões, tem-se a energia específica de deformação de um elemento solicitado por três tensões normais. Ue =
1 2E
[σ
2 x
2
(
2
+ σ y + σ z − 2ν σ x σ y + σ z σ x + σ y σ z
)]
(3.16)
A energia específica de deformação referente à tensão de cisalhamento (ver equação 3.6) é dada pela expressão: Ue =
τ
2
2G
Em um elemento solicitado pelas tensões de cisalhamento
τ xy , τ xz
e
τ yz ,
a energia específica de
deformação é obtida somando-se a energia correspondente a cada componente de tensão: Ue =
1 2G
(τ
2 xy
2
2
+ τ xz + τ yz
)
(3.17)
Somando-se as equações (3.16) e (3.17), tem-se a energia específica de deformação de um elemento solicitado por um estado geral de tensões: Ue =
1 2E
[σ
2 x
2
(
2
+ σ y + σ z − 2ν σ x σ y + σ z σ x + σ y σ z
)]
+
1 2G
(τ
2 xy
2
2
+ τ xz + τ yz
)
(3.18)
Uma vez que U e é a energia de deformação por unidade de volume, todos os elementos de volume, inclinados ou não, têm a mesma energia específica de deformação. Sendo assim, U e pode ser calculada usando-se as tensões normais e de cisalhamento de três direções
perpendiculares quaisquer. Usando-se as tensões principais
σ1 , σ 2
e
σ3 ,
a equação (3.18) fica
da seguinte forma: Ue =
1 2E
[σ
2 1
]
+ σ 2 + σ 3 − 2ν(σ1σ 2 + σ1σ 3 + σ 2 σ 3 ) 2
2
(3.19)
A energia específica de deformação pode ser dividida em duas partes: a parte referente à variação de volume U ev e a parte referente à distorção U ed . (3.20)
U e = U ev + U ed
As energias U e U e v
e d
__
são determinadas tomando-se a tensão normal média (σ ) das
tensões principais: σ=
e fazendo-se:
σ1 + σ 2 + σ 3
3
(3.21)
|
σ1 = σ + σ1 σ2 = σ +
| σ2
σ3 = σ +
| σ3
(3.22)
63 |
onde σ1| , σ |2 e σ 3 , chamadas tensões desviadoras, são as tensões normais que devem ser somadas com a tensão normal média para que o estado de tensões não seja alterado. Somandose as equações (3.22), tem-se: |
|
|
σ1 + σ 2 + σ 3 = 3σ + σ1 + σ 2 + σ 3
Com a equação acima e a equação (3.21) conclui-se que: |
|
|
σ1 + σ 2 + σ 3 = 0
As tensões (3.22) podem ser obtidas somando-se dois estados de tensões, como mostra a Figura 3.21.
Figura 3.21 - Superposição de um estado de tensões A dilatação cúbica específica do estado de tensões (c) pode ser determinada usando-se a equação (2.3). ∆V
= ε1 + ε 2 + ε 3
V onde:
1
ε1 =
E
ε2 =
ε3 =
1 E 1 E
[σ
| 1
[σ [σ
(
|
|
)]
− ν σ2 + σ3
(
|
|
)]
(
|
|
)]
| 2
− ν σ1 + σ 3
| 3
− ν σ1 + σ 2
Somando-se as deformações específicas ε1 , ε 2 e ε 3 , tem-se: ε1 + ε 2 + ε 3 =
(1 − 2ν ) E
(σ
| 1
|
|
+ σ 2 + σ3
Então: ∆V
V de onde:
=
(1 − 2ν ) E
(σ
| 1
|
|
+ σ 2 + σ3
)
)
64
∆V
V
=0
Portanto, o estado de tensões (c) não altera o volume do elemento. No caso geral, as tensões σ1| , |
|
σ 2 e σ 3 assumem valores diferentes entre si. Serão iguais somente em um estado de tensões |
particular em que σ1 = σ 2 = σ 3 e, neste caso, não tem sentido a existência de σ1| , σ |2 e σ 3 que são todas iguais a zero. Sendo assim, o estado de tensões (c) provoca a distorção do elemento sem variar o volume e o estado de tensões (b), solicitado por três tensões normais iguais (chamadas tensões esféricas), varia o volume do elemento sem produzir distorção (τ = 0 em todas as direções do estado de tensões (b)). e
A energia específica de deformação referente à variação de volume U v é determinada colocando-se na equação (3.19) o estado de tensões (b). __ 1 __ 2 3( σ ) − 2ν ⋅ 3( σ ) 2 2E
U ev =
Colocando-se na expressão acima a expressão da tensão média (equação 3.21), tem-se: e
Uv =
(1 − 2ν ) 6E
(σ1 + σ 2 + σ 3 )2
(3.23) e
A parte da energia específica de deformação referente à distorçãoU d é dada por: e
e
e
Ud = U − U v e
Com as equações (3.19) e (3.23) U d assume a forma:
1
e
Ud =
2E
[σ
2 1
]
+ σ 2 + σ3 − 2ν (σ1σ 2 + σ1σ 3 + σ 2 σ 3 ) − 2
2
(1 − 2ν )
(σ
1
6E
+ σ 2 + σ3
)
2
Elevando-se ao quadrado e reagrupando: e
Ud =
(1 + ν ) 6E
[(σ
2 1
()
2
() 2
)
2
2
2
− 2σ1σ 2 + σ 2 + σ 2 − 2σ 2 σ3 + σ 3 + σ3 − 2σ3 σ1 + σ1
]
ou: e
Ud =
(1 + ν ) 6E
[(σ
1
) 2( −σ
2
+ )σ(2 − σ 3)
2
+ σ 3 − σ1
2
]
(3.24)
A equação (3.24), que será usada no próximo capítulo no critério da máxima energia de distorção, também pode ser demonstrada (com mais trabalho) aplicando-se a equação (3.19) no estado de tensão (c) da Figura 3.21.
3.10
−
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO REFERENTE AO MOMENTO FLETOR EM FUNÇÃO DE
DESLOCAMENTOS Da Resistência dos Materiais Ι tem-se a equação diferencial da linha elástica quando se considera apenas a contribuição do momento fletor:
65
EIv ' ' ( x ) = − M ( x ) Elevando-se a expressão acima ao quadrado, tem-se:
[E I v ' ' (]x[ )
2
=] − M ( x )
2
Então:
E I [v ' ' ( x )] = M ( x ) 2
2
2
2
Substituindo-se a expressão acima na expressão (3.5), tem-se:
U=
∫
2
E I
2
[v ' ' ( x )]2 dx 2EI
L
ou:
U=
1 2
∫ E I [v ' ' (x)]
2
dx
(3.25)
dx
(3.25a)
L
Se E I é constante no comprimento L , tem-se:
U=
EI 2
∫ [v ' ' (x )]
2
L
Sendo a energia de deformação expressa em função de deslocamentos ( v) pode-se usar o primeiro teorema de Castigliano:
∂U ∂v
=P
66
4 – CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA 4.1 – INTRODUÇÃO O objetivo dos critérios de resistência é informar se um componente estrutural está em segurança quando submetido a diferentes solicitações. Por exemplo, uma barra tracionada está em segurança enquanto a tensão normal estiver abaixo da tensão de escoamento σ Y , sendo que esta tensão σ Y é obtida em ensaios de laboratório usando-se corpos-de-prova de mesmo material que a barra tracionada. Esta comparação entre a tensão solicitante e a tensão de escoamento é o critério utilizado para julgar a segurança de uma barra tracionada. No entanto, pela comparação direta com ensaios de laboratório, torna-se inconveniente investigar a segurança de um componente estrutural solicitado por um estado de tensões mais geral, uma vez que inúmeras combinações de tensões podem ocorrer. Com base em teorias e em ensaios de laboratório, existem vários critérios para analisar tais casos, são os chamados critérios de
resistência. Um determinado critério pode ser comprovado experimentalmente para um material e não aceito em um outro com características diferentes, como exemplo é interessante lembrar que os materiais dúcteis rompem por tensão cisalhante e os materiais frágeis, por tensão normal, portanto, não se pode adotar um único critério. Na Mecânica dos Solos, a questão é saber se um determinado material irá se romper, por isso, nesta disciplina, os critérios de resistência são chamados critérios de ruptura.
4.2 – CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO Este critério é usado para materiais dúcteis e também conhecido como Critério de Tresca. Este critério srcina-se no fato do escoamento dos materiais dúcteis, quando solicitados por força axial, ocorrer segundo planos inclinados de aproximadamente 45 o em relação ao seu eixo. Esse fato mostra que o escoamento dos materiais dúcteis é devido às tensões de cisalhamento. Segundo este critério, um componente estrutural está em segurança enquanto a tensão de cisalhamento máxima τ máx for menor que a tensão de cisalhamento máxima τ Y em uma barra de mesmo material que escoa em ensaio de tração simples. A maior tensão de cisalhamento em uma barra tracionada é 0,5σ (conforme item 1.2). No escoamento, τ Y = 0,5σ Y , então:
67
σ1 − σ 3 2
<
σY 2
ou:
σ1 − σ 3 < σ Y
(4.1)
Todo estado plano de tensão tem uma tensão principal nula. Chamando-se de σ a e σ b as tensões principais não nulas, o critério da máxima tensão de cisalhamento informa que um componente estrutural, quando solicitado por um estado plano de tensão, estará em segurança nas seguintes situações:
se se se se
σa > σb > 0 → σa − 0 < σY σb > σa > 0 → σb − 0 < σY σa > 0 > σb → σa − σb < σY σb > 0 > σa → σb − σa < σY
se
0 > σ b > σ a → | 0 − σ a | < | −σ Y |
se
0 > σ a > σ b → | 0 − σ b | < | −σ Y |
A Figura 4.1 mostra a representação gráfica das condições acima. Os pontos situados no interior do hexágono informam que o componente estrutural está em segurança, enquanto os pontos situados sobre o hexágono informam que o componente está escoando.
Figura 4.1 – Hexágono de Tresca
4.3 – CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO Este critério é utilizado para materiais dúcteis e foi formulado pelo engenheiro alemão Richard von Mises. Este critério srcina-se na constatação que
um estado de tensões esféricas (Figura
3.21(b)) não provoca o escoamento dos materiais dúcteis. Este fenômeno ocorre porque a tensão de cisalhamento, responsável pelo escoamento, é nula em todas as direções deste estado de tensões. Portanto, o escoamento dos materiais dúcteis é devido às tensões desviadoras (Figura 3.21(c)).
68
Segundo este critério, um componente estrutural está em segurança enquanto a energia e
específica de distorção U d for menor que a energia específica de distorção necessária para e
provocar o escoamento U dY em um corpo-de-prova de mesmo material submetido a um ensaio de tração simples. As tensões principais em uma barra que escoa em um ensaio de tração são:
σ1 = σ Y , σ 2 = σ 3 = 0 . Usando-se a equação (3.24), a energiaU edY é dada por:
U edY =
(1 + ν) 6E
⋅ 2σ 2Y
Dado um estado de tensões, calculam-se as tensões principais σ1 , σ 2 e σ 3 . Segundo este critério um componente estrutural está em segurança quando:
(1 + ν ) 6E
[(σ
− σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) 2
2
1
2
] < (16+Eν ) ⋅ 2σ
2 Y
ou:
(σ1 − σ) 2( 2 + )σ(2 − σ 3) 2 + σ 3 − σ1
2
< 2σ Y2
(4.2)
Particularizando-se o critério para o estado plano de tensões e chamando-se deσ a e
σ b as tensões principais não nulas, a equação (4.2) assume a forma: 2
2
2
σa − σa σ b + σb < σ Y A representação gráfica deste caso particular está indicada na Figura 4.2(a). A Figura 4.2(b) confronta os dois critérios para materiais dúcteis quando solicitados por um estado plano de tensões. Nesta figura, a região hachurada mostra que existe uma pequena discordância entre eles: o critério da máxima tensão de cisalhamento informa que o componente estrutural não está em segurança, enquanto o critério da máxima energia de distorção informa que o componente está em segurança.
Figura 4.2 – (a) Elipse de von Mises
(b) Comparação entre os dois critérios
69
Observação:
O critério da máxima energia de distorção (equação (4.2)) pode ser colocado
em função de tensões não principiais, ou seja, em função de σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz. Usando-se o primeiro e o segundo invariantes de tensão, pode-se demonstrar que a equação (4.2) assume a forma:
σ 2x + σ 2y + σ 2z − σ x σ y − σ x σ z − σ y σ z + 3( τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz ) < σ 2Y
(4.3)
Particularizando para estados planos de tensão:σx ≠ 0; σy ≠ 0; τxy ≠ 0; σz= τxz = τyz = 0:
σ 2x + σ 2y − σ x σ y + 3τ 2xy < σ 2Y Particularizando para cisalhamento puro:τxy ≠ 0; σx = σy = σz = τxz = τyz = 0, tem-se:
3τ 2xy < σ 2Y
→
τ xy <
σY 3
4.4 – CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL Este critério é utilizado para materiais frágeis e foi formulado pelo inglês Rankine. Segundo este critério, a ruptura de um componente estrutural ocorre quando a tensão normal máxima atinge o valor da tensão σ U , que é obtida em ensaios de laboratório usando-se corpos-de-prova de mesmo material que o elemento estrutural. De acordo com este critério, apenas a tensão principal de maior valor deve ser levada em consideração para analisar a eventual ruptura de um componente estrutural. Para que não ocorra ruptura:
σ1 < σ U ou, se for o caso:
σ3 < σ U
4.5 – CRITÉRIO DE MOHR Este critério, usado para materiais frágeis, interpreta a ruptura de um material segundo uma envoltória obtida ensaiando-se corpos-de-prova de um mesmo material a vários tipos de σ
1 solicitações crescentes até a ruptura. As tensões principais extremas e σ 3 ( o critério desconsidera a tensão intermediária σ 2 ) encontradas nas proximidades da ruptura são
representadas no círculo de Mohr. A envoltória de todos os círculos define uma zona sem ruptura. Definida a zona sem ruptura de um material, ele não irá romper se o círculo de Mohr correspondente às tensões principais extremas ficar no interior da envoltória. Se o círculo for tangente à envoltória, o material estará na iminência da ruptura. A terceira hipótese corresponde a uma situação física impossível de ocorrer: o círculo de Mohr é secante à envoltória e as tensões provocam a ruptura do material.
70
Figura 4.3 – Envoltória de Mohr
4.6 – CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB Este critério é o mais usado na Mecânica dos Solos e baseia-se na observação que os solos rompem-se quando a resistência ao cisalhamento é excedida. A resistência ao cisalhamento
τ dos solos pode ser expressa pela equação: τ = c + σ tgφ chamada reta de Coulomb, onde c e φ são parâmetros de resistência: φ é o ângulo de atrito e c a coesão. A coesão é uma propriedade resultante das forças atrativas existentes entre as moléculas de um corpo e independe de quaisquer tensões aplicadas. O critério de Mohr-Coulomb é o critério de Mohr sendo que a envoltória é assimilada como sendo a reta de Coulomb.
Figura 4.4 − (a) solo coesivo (b) solo não coesivo (c=0)
71
Este critério pode ser interpretado da seguinte forma: impõe-se uma reta tangente ao círculo de Mohr correspondente às tensões normais extremas σ ( 1 e σ 3 ). Calcula-se um ângulo α (Figura 4.5(b)) para que isto ocorra e compara-se com o valor do ângulo de atrito φ : se α < φ não vai haver ruptura; se α = φ o material está na iminência da ruptura e se α > φ o material irá romper-se.
Figura 4.5 – Critério de Mohr–Coulomb Da Figura 4.5(b), que pode ser feita sem escala, tem-se a expressão de sen α :
σ1 − σ 3 sen α =
r L − σ3 − r
=
2 c tgφ
− σ3 −
σ1 − σ 3 2
ou:
sen α =
(σ1 − σ 3 ) tgφ 2c − (σ1 + σ 3 ) tgφ
(4.4)
Na expressão (4.4) os valores das tensões principais σ1 e σ 3 seguem a convenção de sinais adotada: positivas para a tração e negativas para a compressão.
72
5 – SEÇÕES DE PAREDES DELGADAS 5.1 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS DE PAREDES FINAS Neste item, analisam-se as tensões de cisalhamento que ocorrem nas vigas formadas por elementos retangulares de espessura t muito menor que as outras dimensões. Consideram-se vigas de paredes finas aquelas em que a relação entre t e a altura h for menor ou igual que 0,1. Seja a viga de seção transversal em forma de " I" (Figura 5.1(a)), em que todos os elementos têm a mesma espessura t. Considere-se um elemento abcd retirado da mesa superior da viga. Chamando-se de M o momento fletor que atua na seção transversal numa distância x, a força resultante F que atua no elemento retirado da viga (Figura 5.1(b)) é dada por:
F=
∫
onde A
=
σx
dA =
∫
My
dA IZ t . s . O momento fletor varia ao longo do comprimento dx e a força resultante F + dF é A
A
dada pela expressão:
F + dF =
∫
A
(M + dM ) y IZ
dA
Figura 5.1 – Viga " I" em balanço solicitada por uma força P
73
Todo o elemento retirado de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. Nas três faces externas do elemento não ocorre nenhuma ação, portanto, no plano de corte no sentido da força resultante F surge tensão de cisalhamento
τ
para que o equilíbrio do elemento seja
verificado. O equilíbrio de forças fornece a expressão:
F + τ tdx
−
(F
−
∫
+
dF) = 0
ou:
My
∫
A
IZ
dA
tdx
+ τ
( M + dM ) y IZ
A
dA
=
0
de onde:
tdx
τ
=
dMy
∫
IZ
A
dA
Como dM e I Z não variam na área A, a expressão acima pode ser colocada daseguinte forma: τ =
∫
dM ydA tdxI Z A
Por definição:
Q=
∫ y dA A
a tensão de cisalhamento assume a forma: τ =
VQ
(5.1)
t IZ
Portanto, em uma seção transversal qualquer de um viga de parede fina com espessurat constante, a tensão de cisalhamento varia apenas em função do momento estático. Nas vigas de paredes finas, a tensão normal assume praticamente o mesmo valor nos pontos c e c' (Figura 5.2(a)). Nesse caso, as dimensões podem ser tomadas em função da linha média dos componentes da viga, chamada linha do esqueleto. O momento estático da área representada por t ⋅ s é dado por:
Q =ts⋅
h
(5.2)
2
Portanto, o momento estático varia linearmente nas mesas. Na alma, como já visto, Q varia segundo uma equação do segundo grau. A Figura 5.2 mostra as tensões de cisalhamento que ocorrem em uma viga de seção transversal em forma de " I" solicitado por um momento fletor negativo. Se
a
viga ficar
solicitada por um momento fletor positivo
cisalhamento terão sentido contrário ao indicado na figura.
τ1 =
V t Iz
⋅
tb h ⋅
2 2
τ1
τ máx =
e
τmax
as
são dadas por:
V
h
t Iz
2
tb ⋅
+
th h ⋅ 2 4
tensões de
74
Figura 5.2 – Tensões de cisalhamento em viga" I" Considerem-se, agora, as tensões de cisalhamento em uma viga caixão de parede fina (Figura 5.3). Fazendo-se um corte imaginário vertical passando pelos pontos A e B e supondo-se que a viga está solicitada por um carregamento vertical que produz momento fletor negativo, ocorrem as forças resultantes mostradas na Figura 5.3(b). Neste caso, as forças resultantes estão equilibradas e a tensão de cisalhamento é nula no plano de corte. Fazendo-se dois cortes verticais passando pelos pontos A e C (Figura 5.4(a)), surgem tensões de cisalhamento no plano de corte C, uma vez que no ponto A: τ
=
0 . As tensões de cisalhamento que ocorrem em uma viga caixão
estão indicadas na Figura 5.4(c), onde as tensões cisalhantesτ1 e
τ1 =
V t Iz
⋅
tb h ⋅
2 2
τ máx =
τmax
V tb h
⋅
t Iz 2 2
Figura 5.3 – Viga caixão
são dadas por:
+
th h ⋅
2
4
75
Figura 5.4 – Tensões de cisalhamento em uma viga caixão
5.2 – CENTRO DE CISALHAMENTO A flexão de uma estrutura pode estar acompanhada de força cortante, força normal e momento de torção. O momento de torção pode ser suprimido se o plano de carregamento passar por um ponto chamado centro de cisalhamento. Nas seções transversais que possuem dois eixos de simetria, o centro de cisalhamento coincide com o centróide. Este é o caso da viga " I" e da viga caixão analisadas no item anterior. Nas seções transversais que possuem apenas um eixo de simetria, o centro de cisalhamento está situado neste eixo. Neste caso, o centróide, que também está situado no eixo de simetria, não coincide com o centro de cisalhamento. A posição do centro de cisalhamento é uma propriedade geométrica e independe do valor e da direção do carregamento, isto é, qualquer que seja a força e a sua direção, esta força não provocará torção na estrutura se o plano de carregamento passar pelo centro de cisalhamento. Exemplo 5.1: Calcular a posição do centro de cisalhamento de uma viga com seção transversal em forma de “ U ” (Figura 5.5). Todos os elementos têm a mesma espessura. Dados:
h
=
200 mm , b
=
80 mm , t
=
7,5mm
Figura 5.5 – Seção transversal em forma de “U ”
76
Para se calcular a posição do centro de cisalhamento, deve-se aplicar uma força
P
neste ponto e impor a condição que não ocorre torção na viga. Para simplificar é conveniente tratar a viga como se estivesse em balanço. Nestas condições, a força P produz as tensões de cisalhamento indicadas na Figura 5.6(a). As forças resultantes em cada um dos componentes da viga estão indicadas na Figura 5.6(b). Em função da pequena espessura t , admitem-se que nas mesas não ocorram tensões de cisalhamento verticais e que a força P é totalmente absorvida pela alma1. A força resultante referente às tensões de cisalhamento é dada pela expressão:
∫
F=
τ
dA
A
Figura 5.6 – Centro de cisalhamento Tomando-se dA
=
tds e substituindo-se a expressão da tensão de cisalhamento dada pela
equação (5.1), a força resultante F1 assume a forma:
F1
b
VQ
0
tI Z
∫
=
tds
A força cortante V é igual a P e o momento estático da mesa é dado pela expressão (5.2), então:
F1
=
b
P
0
t IZ
∫
donde:
F1
=
ts
h 2
t ds
Phtb 2 4I Z
Na Figura 5.6(c) estão indicadas as reações das forças resultantes F1 e F2 . Estas reações produzem um momento de torção igual e em sentido contrário ao momento da força P , uma vez
1
Na viga deste exemplo a alma absorve 97,2% da força P e as mesas, 2,8%.
77
que não ocorre torção na viga. O momento de torção em qualquer ponto do plano da seção transversal é nulo. A condição do momento de torção nulo no ponto A fornece a expressão:
P.d − F1.h
=
0
então:
d
F1 . h
=
P
ou, colocando-se a expressão da força F1 :
d
=
h2 t b2 4I Z
O momento de inércia I Z é calculado da seguinte forma:
IZ
=
t h3
+
12
bt 3
2
+
12
2 h 2
bt
3 O termo bt / 12 é muito menor que os outros termos e pode ser desprezado. Sendo assim, I Z
assume a forma:
IZ
=
t .h3
b . t .h 2
+
12
=
2
t .h2 12
(h + 6b )
substituindo-se I Z na expressão de d , tem-se:
d
=
3b
2
h + 6b
donde:
d
=
28, 2mm
Portanto, qualquer força atuando à distância d = 28,2 mm não produz torção na viga do exemplo. O centro de gravidade está à direita da linha média da alma, sendo assim, o peso da viga produz torção. Exemplo 5.2: Considerando-se que a viga do exemplo anterior está solicitada por flexão simples (M+V), coloque em um gráfico a distribuição das tensões de cisalhamento produzida por uma força vertical V=90000N atuando no centro de cisalhamento.
Figura 5.7 – Força vertical atuando no centro de cisalhamento
78
A força está atuando no centro de cisalhamento e não produz torção na viga. As tensões de cisalhamento devidas à força cortante são dadas pela equação (5.1). Na mesa AB (Figura 5.8), a tensão de cisalhamento varia linearmente e em qualquer ponto dessa mesa
τ
é dada pela
expressão:
P
τ=
⋅
t .s . h
t.IZ No ponto A s
=
0 e, portanto,
τ =
0. No ponto B s
2 =
90000
τB =
b = 80 mm , então: ⋅
7,5 . 80 . 200
7,5 .17000000 de onde:
τB =
2
42,4 N mm 2
Figura 5.8 – Tensões de cisalhamento
Na alma BD a variação de τ é parabólica e no ponto C ocorre a maior tensão de cisalhamento.
τc =
90000
⋅
7,5 . 80 . 200 + 7,5.100 . 50 2
7,5 .17000000
então: τc =
68,8 N mm2
79
6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DA ELASTICIDADE 6.1 – INTRODUÇÃO A Resistência dos Materiais é a ciência que estuda as tensões e deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas. Esta ciência introduz hipóteses simplificadoras que estão próximas do comportamento real dos sólidos. A Teoria da Elasticidade tem o mesmo objetivo da Resistência dos Materiais e aborda os problemas que exigem solução com tratamento matemático mais rigoroso. A Teoria da Elasticidade também faz uso de hipóteses simplificadoras e a diferença entre as duas ciências, pode-se dizer, está no âmbito dos problemas abordados e na profundidade do exame dos mesmos. Por exemplo, a Resistência dos Materiais fornece apenas a componente vertical do deslocamento dos pontos localizados no eixo de uma viga, enquanto a Teoria da Elasticidade fornece as componentes vertical e horizontal do deslocamento de todos os pontos da viga (ver exemplo 6.1). Neste capítulo apresentam-se algumas noções de Teoria da Elasticidade e aplicações da função da tensão de Airy.
6.2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE EQUILÍBRIO A derivada ordinária é empregada nas funções que dependem de uma única variável. Este é o caso do momento fletor, que depende somente da coordenadax. Se em uma coordenada x qualquer o momento fletor assumir o valor genérico M, na coordenada x + dx assume o valor M + dM, onde dM representa a variação do momento fletor ao longo do comprimentodx. A derivada parcial é empregada nas funções que dependem de duas ou mais variáveis. Este é o caso da tensão normal σx
que, no caso geral da flexão composta, depende das coordenadasx, y e z. Retirando-se um
σ x a tensão que elemento infinitesimal de uma estrutura sob tensão (Figura 6.1) e chamando-se de
atua na face esquerda, a tensão normal na face direita é dada por:
σx + onde
∂σ x dx ∂x
∂σ x é a taxa de variação da tensão σ x segundo a coordenada x que multiplicada pelo ∂x
comprimento dx fornece o quanto esta tensão variou ao longo deste comprimento. Da mesma forma,
80 as tensões τ xy horizontal e σ y recebem acréscimo de tensão segundo a coordenaday e a tensão
τ xy vertical recebe acréscimo de tensão segundo a coordenadax.
Figura 6.1 - Diferenciais de tensão
A força por unidade de volume tem as componentes representadas porX e Y segundo as direções x e y, respectivamente. Estas forças são chamadas forças volumétricas e podem ser de srcem gravitacional, magnética ou inercial. Chamando-se dedz a espessura do elemento o equilíbrio de forças na direçãox fornece a expressão:
∂τ xy ∂σ − σ x dydz + σ x + x dx dydz − τ xy dxdz + τ xy + dy dxdz + Xdxdydz = 0 ∂ ∂y x de onde:
∂σ x ∂τ xy + +X=0 ∂x ∂y
(6.1)
Analogamente, fazendo-se o somatório de forças na direçãoy e igualando-se a zero, tem-se:
∂σ y ∂y
+
∂τ xy ∂x
+Y=0
As equações (6.1) e (6.2) são chamadasequações diferenciais de equilíbrio.
(6.2)
81
6.3 – RELAÇÕES ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES
Para demonstrarem-se as relações entre deslocamentos u( e v ) e deformações (ε e γ) pressupõe-se que não ocorra deslocamento de corpo rígido (deslocamento sem deformação). Assim sendo, o deslocamento de qualquer partícula do corpo somente ocorre se este se deformar. A Figura 6.2 mostra três pontos adjacentes P, Q e R. Os pontos P’, Q’ e R’ indicam as posições dos pontos P, Q e R na situação deformada. As componentes do deslocamento do ponto P são u e v , enquanto os pontos Q’ e R’, além de u e v , sofrem outros deslocamentos em função da variação dos comprimentosdx e dy, visto que o deslocamento de corpo rígido está impedido.
Figura 6.2 - Posição inicial e deformada de três pontos adjacentes | A componente horizontal do deslocamento do pontoQ é dada por:
u+
onde
∂u dx ∂x
∂u é a taxa de variação de u segundo a coordenada x. A componente vertical do ∂x
deslocamento do ponto Q | é dada por v mais a variação de v ao longo do comprimento dx. |
Raciocínio análogo deve ser feito para obterem-se as componentes do deslocamento do ponto R.A geometria da Figura 6.2 fornece as seguintes relações:
∂u dx ∂u εx = = ∂x = dx dx ∂x ∆dx
82
εy =
γ xy
∆dy dy
=
∂v dy ∂y dy
=
∂v ∂y
∂u ∂v dy dx ∂y ∂v ∂u = γ 1 + γ 2 = ∂x + = + dx dy ∂x ∂y
As três últimas expressões somente são válidas para pequenas deformações. De fato, as considerações:
∆dx =
∂u dx ∂x
∆dy =
∂v dy ∂y
têm sentido, respectivamente, se:
dx >>
∂v
dx
∂x
e:
dy >>
∂u dy ∂y
Nestas circunstâncias, os ângulos γ 1 e γ 2 são pequenos e pode-se fazer tgγ 1 = γ 1 e tg γ 2 = γ 2 . Portanto, dentro das considerações lineares e pequenas deformações, as expressões:
εx =
∂u ∂x
εy =
∂v ∂y
γ xy =
∂v ∂x
+
(6.3)
∂u ∂y
estabelecem a relação entre deslocamentos e deformações. Exemplo 6.1 : Determine, para a viga da Figura 6.3, as equações das componentesu(e v ) dos deslocamentos. Dado: EI = constante.
83
Figura 6.3 - Viga bi-apoiada
Para obterem-se as equações de u e v têm-se que integrar as duas primeiras equações (6.3). Os esforços que solicitam a viga são momento fletor e força cortante e as equações destes esforços são:
M( x ) =
M
V( x ) =
L
x
M L
Estes esforços produzem as tensões:
σx =
M ( x ).y I
=
Mxy LI
τ xy = V ( x ).Q = M.Q b.I
LbI
As deformações ε x , ε y e γ xy podem ser obtidas usando-se as equações (2.1) e (2.2).
εx =
σx E
εy = − γ xy =
τ xy G
Mxy
=
ELI
νσ x E
=
=−
νMxy
(6.4)
ELI
M.Q GLbI
|
sendo que em vigas de seção transversal retangular, o momento estático da áreaA em relação ao eixo Oz é dado por:
Q=
b h2
2 4
− y 2
Usando-se as duas primeiras equações (6.3) pode-se escrever:
84
∂u Mxy εx = = ∂x ELI ∂v νMxy =− ELI ∂y
εy = de onde:
Mx 2 y
u=
+ f ( y)
2ELI v=−
νMxy
(6.5) 2
+ g (x )
2ELI
sendo f ( y) e g ( x ) funções que desempenham o papel da constante arbitrária de integração indefinida. Com as equações (6.5), a terceira equação (6.3) pode ser escrita da seguinte forma:
γ xy = −
νMy 2 2ELI
+
dg ( x ) dx
+
Mx 2 2ELI
+
df ( y) dy
ou: 2
2
2
M h − y 2 = − νMy + dg ( x ) + Mx + df ( y) 2GLI 4 2ELI dx 2ELI dy Na equação acima alguns termos são funções apenas dex, outros de y e um é constante. Assim sendo, pode-se escrever:
K = F( y) + G ( x )
(6.6)
onde:
F( y ) = −
νMy 2 2ELI
G (x ) =
+
My 2 2GLI
Mx 2 2ELI
K=
+
+
df ( y) dy
dg ( x ) dx
Mh 2 8GLI
Entretanto, a equação (6.6) somente será satisfeita para qualquerx e qualquer y se G ( x ) e
F( y) forem constantes. Então:
85
−
νMy 2 2ELI
+
My 2
+
2GLI
Mx 2 2ELI
+
df ( y)
= C1
dy
dg ( x ) dx
= C2
K = C1 + C 2 de onde se tem:
νMy 3
f ( y) =
−
6ELI
g(x ) = −
My 3
+ C1 y + C 3
6GLI
Mx 3 6ELI
+ C2 x + C4
Colocando-se as expressões de f ( y) e g ( x ) nas equações (6.5) :
u=
Mx 2 y 2ELI
+
νMy 3
−
6ELI
My 3 6GLI
+ C1 y + C 3 (6.7)
v=−
νMxy 2
−
2ELI
Mx 3 6ELI
+ C2 x + C4
As constantes C1 , C 2 , C 3 e C 4 serão determinadas a partir de três condições de contorno, uma vez que existe uma relação entre C1 e C 2 . Estas condições são: v = 0 no ponto de coordenadasx = 0 e y = h/2 v = 0 no ponto de coordenadasx = L e y = h/2 u = 0 no ponto de coordenadasx = 0 e y = h/2
Impondo-se as condições de contorno, tem-se:
C1 =
Mh 2 8GLI
−
νMh 2 8ELI
−
ML 6EI
Mh 2 ML C2 = ν + 8ELI 6EI C3 =
νMh 3 24ELI
−
Mh 3 24GLI
C4 = 0
+
MLh 12EI
86 Colocando-se as expressões de C1 , C 2 , C 3 e C 4 nas equações (6.7), tem-se:
u=
Mx 2 y 2ELI
+
νMy 3 6 ELI
−
Mh 2
My 3 6GLI
v=−
+
8GLI
νMxy 2 2ELI
−
νMh 2
−
8ELI
Mx 3 6ELI
−
ML
νMh 3
Mh 3
MLh
y + − + 6EI 24ELI 24GLI 12EI
νMh 2
+
8ELI
+
ML
x
6EI
As expressões acima fornecem as componentes dos deslocamentos de todos os pontos da viga. As componentes verticais dos deslocamentos dos pontos com coordenaday = 0 são dadas por:
v=−
Mx 3 6 ELI
νMh 2
+
8ELI
+
ML
x
6EI
Nas estruturas em que o comprimento longitudinal é muito maior que a altura, o segundo termo da equação acima pode ser desprezado. Neste caso, os resultados da Teoria da Elasticidade coincidem com os resultados da Resistência dos Materiais.
6.4 – EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE As três componentes do estado de deformação (6.3) estão relacionadas com duas componentes do estado de deslocamento, portanto, existe uma relação entreε x , ε y e γ xy , que é demonstrada a seguir. Derivando-se a primeira equação (6.3) duas vezes em relação ay, a segunda duas vezes em relação a x e a terceira uma vez em relação ax e outra em relação ay , tem-se:
∂ 2ε x ∂ 3u = 2 ∂y ∂x∂y 2 ∂ 2ε y ∂x
2
=
∂3v ∂y∂x 2
∂ 2 γ xy ∂3v ∂ 3u = 2 + 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂y ∂x então:
∂ 2 γ xy ∂x∂y
=
∂ 2ε y ∂x
2
+
∂ 2εx ∂y 2
(6.8)
87 A equação (6.8) é chamadaequação de compatibilidade e relaciona as três componentes do estado de deformação. Esta pode ser colocada em função das componentes de tensão normalσx e σy. Particularizando-se a lei de Hooke para elementos estruturais solicitados por tensões atuando apenas no plano xOy, tem-se:
1
εx =
(σ x − νσ y )
E
εy =
1 E
γ xy =
(σ y − νσ x ) 2(1 + ν) τ xy E
Substituindo-se estas expressões na equação (6.8) e lembrando que nos materiais homogêneos e isotrópicos o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν independem das coordenadasx e y, tem-se: 2 2(1 + ν ) ∂ τ xy
E
⋅
∂x∂y
=
2 1 ∂ σ y
E ∂x 2
−
ν∂ 2 σ x ∂x 2
1 ∂ 2 σ x ν∂ 2 σ y + − E ∂y 2 ∂y 2
(6.9)
Desprezando-se as forças volumétricas, as equações diferenciais de equilíbrio são dadas da seguinte forma:
∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y (6.10)
∂σ y ∂y
+
∂τ xy ∂x
=0
Derivando-se a primeira das equações (6.10) em relação ax e a segunda em relação ay, tem-se:
∂ 2σ x
+
∂x 2
∂ 2σy ∂y donde:
2
∂ 2 τ xy
=0
∂x∂y
+
∂ 2 τ xy ∂x∂y
=0
88
∂ 2 τ xy
2 ∂ 2σx ∂ σ y 2 =− − 2 ∂x∂y ∂x ∂y 2
(6.11)
Substituindo-se a expressão (6.11) na expressão (6.9) e simplificando o termo comum E , tem-se:
∂ 2σ x ∂ 2σ y − ∂x 2 ∂y 2
(1 + ν) −
∂ 2σ y ∂ 2σ y ∂ 2σ x ∂ 2σ x = − ν + − ν ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2
donde: 2 2 ∂ 2σ x ∂ σ y ∂ σ y ∂ 2σ x + + + =0 2 2 ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
ou:
∂2 ∂2 ∂x 2 + ∂y 2 (σ x + σ y ) = 0
(6.12)
A equação (6.12) é a equação de compatibilidade (6.8) em função das componentes de tensão normal. Por definição:
∇2 =
∂2 ∂2 + 2 2 ∂x ∂y
onde ∇ 2 é chamado operador laplaciano e a equação (6.12) pode ser colocada da seguinte forma:
∇ 2 (σ x + σ y ) = 0
6.5 – FUNÇÃO DE TENSÃO DE AIRY (Φ ) Os esforços internos (momento fletor, momento de torção, força normal e força cortante) produzem tensões. Estas tensões seguem, dentro de algumas hipóteses, uma determinada lei de variação. O problema pode ser abordado de forma inversa, isto é, conhecendo-se a lei de variação das tensões, procurar os esforços solicitantes que as produziram. Para se usar deste procedimento deve-se introduzir a função da tensão de Airy (Φ) . Como é facilmente verificado as equações de equilíbrio (6.10), onde as forças volumétricas são desprezadas, são satisfeitas se as componentes de tensão assumirem as seguintes expressões: 2
σx = ∂ Φ ∂y 2 ∂ 2Φ ∂x 2 ∂ 2Φ =− ∂x∂y
σy = τ xy
(6.13)
89 As expressões (6.13) também têm que satisfazer a equação de compatibilidade (6.12). Substituindo-se as expressões de σ x e σ y , dadas pelas duas primeiras equações (6.13), na equação (6.12), tem-se:
∂2 ∂ 2 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂y ∂y ∂x ∂x donde:
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ + 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
(6.14)
A equação (6.14) é condição fundamental para que a função(Φ) seja função de tensão. Por definição:
∇4 =
∂4 ∂4 ∂4 +2 2 2 + 4 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
onde ∇ 4 é chamado operador biarmônicoe a equação (6.14) pode ser escrita da seguinte forma:
∇ 4Φ = 0 Exemplo 6.2: Dada a função:
Φ=
Px
y3 3y − 2 4bc c
Sendo P constante, determine o problema resolvido por esta função.
Figura 6.4 - Referencial da função do exemplo 6.2 Inicialmente, deve-se investigar se a função dada satisfaz a equação (6.14):
∂4 ∂x 4
Px y 3 ∂4 3y − 2 + 2 2 2 c ∂x ∂y 4bc
Px y 3 ∂ 4 3y − 2 + 4 c ∂y 4bc
Px y 3 3y − 2 = 0 c 4bc
90 A expressão acima é verdadeira, então, a função dada é uma função de tensão. As tensões correspondentes são obtidas a partir das equações (6.13):
σx = −
3Pxy 2bc 3
σy = 0 2
τ xy = − P 3 − 3y2 4bc
c
Os esforços internos que dão srcem à tensão normal σ x são: força normal na direção do eixo Ox, momento fletor na direção do eixo Oz e momento fletor na direção do eixo Oy. A força normal na direção do eixo Ox é dada por:
∫
N x = σ x dA A
Substituindo-se a expressão da tensãoσ x e tomando-se dA = bdy , tem-se: c
Nx =
3Pxy
∫ − 2bc
3
bdy = −
3Pxy 2 4c 3
−c
c
]−
=−
c
3Px 4c 3
[c
− (− c ) ] = 0 2
2
Na equação acimax é uma constante quando faz-se integral na áreaA. O momento fletor na direção do eixo Oz é dado por:
∫
M z = σ x ydA A
colocando-se a expressão da tensão σ x na equação acima e novamente tomando-se dA = bdy , tem-se:
Mz =
∫
c
−c
−
3Pxy 2bc 3
ybdy = −
Px 2c 3
c
Px
−c
2c 3
y3 ] = −
[c
3
3
− (− c)
]
→
M z = − Px
O momento fletor na direção do eixo Oy é dado por:
∫
M y = σ x zdA A
Tomando-se dA = dydz e colocando a expressão de σ x na equação do momento fletor M y , tem-se:
My =
∫
b/2
−b / 2
∫
c
−c
−
3Pxy 2bc
3
zdydz = −
de onde:
My = 0
3Px 2bc
3
⋅
y2 2
c
]−
c
⋅
z2 2
b/2
]−
b/2
91 Os esforços que dão srcem à tensão de cisalhamento são momento de torção e força cortante. Uma vez que a seção transversal da barra é retangular, o momento de torção não será considerado. A força cortante é dada por:
V=
∫τ A
xy
dA
Tomando-se dA = bdy e colocando-se a expressão de τ xy na expressão acima, tem-se:
V=
∫
c
−c
−
P 3y 2 3 − 2 4bc c
P 3y 3 c bdy = − [ 3y − 2 ] 4c 3c −c
Colocando os limites da integração, tem-se:
V=−
P c3 c 3 3c − 2 − − 3c + 2 4c c c
donde:
V = −P A força cortante tem a direção do eixoOy, visto que M z = − Px e M y = 0 . Para atender as equações M z = −Px e V = −P , o problema resolvido pela função dada é uma viga em balanço solicitada por uma força P aplicada no extremo livre.
Figura 6.5 - Problema resolvido pela função do exemplo 6.2 Para a viga da figura acima, a Resistência dos Materiais fornece as seguintes expressões:
σx =
M z (x)y Iz
=−
Pxy
=−
b ( 2c ) 3
3Pxy 2bc 3
12
τ xy =
V ( x )Q bI z
=−
12P
⋅
b
b 2 ( 2c ) 3 2
(c −) y 2
2
= (−
3P
)
4bc 3
c2 − y2
Os resultados acima são idênticos àqueles obtidos pela função de tensão de Airy.
92
6.6 – TENSOR DE DEFORMAÇÃO Sendo u, v e w as componentes do deslocamento nas direçõesx , y e z , respectivamente, pode-se escrever, considerando-se que não houve deslocamento de corpo rígido, as relações entre as componentes do deslocamento e as componentes de deformação (ε e γ ):
∂u
γ xy =
∂u ∂v + ∂y ∂x
;
∂v
;
ε = ∂x
ε = ∂z
y
γ xz =
∂w
;
ε = ∂y
x
z
∂u ∂w + ∂z ∂x
∂v ∂w + ∂z ∂y
γ yz =
;
Na notação tensorial os eixos coordenados x , y e z são chamados de x 1 , x 2 e x 3 e as componentes do deslocamento u, v e w são chamados de u 1 , u 2 e u 3 . Assim sendo, as componentes de deformação podem ser colocadas na forma concisa:
∂u 1 ∂u ε11 = 1 + 1 2 ∂x 1 ∂x 1
= ∂ u ∂ u 1 3 = ε 33 = 3 + 2 ∂x 3 ∂x 3 ∂u 1 ∂u ε13 = 1 + 3 = 2 ∂x 3 ∂x 1
∂u 2 1 ∂u ε 2 2 = 2 + 2 ∂x 2 ∂x 2
∂u 2 = = εy ∂x 2 ∂u 2 1 1 ∂u = γ xy ε12 = 1 + 2 ∂x 2 ∂x 1 2 ∂u 3 1 1 ∂u = γ yz ε 23 = 2 + 2 ∂x 3 ∂x 2 2
∂u 1 = εx ∂x 1 ∂u 3 = εz ∂x 3 1 2
γ xz
Colocando-se na forma matricial tem o tensor de deformações:
ε11 ε12 ε13 ij
21
22
23
ε = ε ε ε = ε ε ε 31 32 33
εx 1 2
γ yx
1 γ zx 2
1 2
γ xy εy
1 2
γ zy
1 2 1 2
γ xz
γ yz
ε z
O tensor de deformações é de segunda ordem e é simétrico:ε ij = ε ji .
93
7 – INTRODUÇÃO AO MÉTODO PLÁSTICO 7.1 – INTRODUÇÃO O objetivo principal deste capítulo é determinar as cargas que provocarão colapso plástico de vigas por flexão. Nas vigas isostáticas a formação da primeira rótula plástica determina seu colapso, quando a viga torna-se hipostática com um grau de liberdade. Nas vigas hiperestáticas, na maioria dos casos, tal fato só ocorre ao se formar a rótula n+1, onde n é o número de vezes em que a viga é hiperestática. Um material elástico-plástico idealizado é aquele que segue a lei de Hooke até a tensão de proporcionalidade e, então, inicia-se o escoamento sob tensão constante. Na Figura 7.1 σY
representa a tensão de escoamento do material. Em todo o capítulo consideram-se apenas
materiais dúcteis, ou seja, materiais que se deformam muito antes de se romperem e a tensão de escoamento (σY) à tração é igual a tensão de escoamento à compressão.
Figura 7.1 – Material elástico-plástico idealizado 7.2 – MOMENTO FLETOR DE PLASTIFICAÇÃO Seja uma viga com seção transversal mostrada na Figura 7.2 solicitada por um momento fletor positivo. Na fase elástica-linear o diagrama de tensão normal (σ) é linear, conforme mostra a Figura 7.2(b). Aumentando-se o momento fletor o material que está mais afastado da linha neutra atinge a tensão
σY
e começa a escoar, sendo que o restante ainda está na fase elástica-linear.
Aumentando-se o momento fletor toda a seção transversal fica plastificada, como mostra a Figura
94 7.2(d). A Fig. 7.2(e) mostra uma simplificação do diagrama (d) sem o trecho de transição da tração para compressão. Na Figura 7.2, e. i. a. quer dizer eixo de igual área, F1 é a força resultante na região comprimida e F2, na região tracionada. Estas forças atuam nos centróides das áreas A1 e A2, respectivamente.
Figura 7.2 – Plastificação de uma área referente ao momento fletor As forças resultantes F1 e F2 são dadas por: F1
=
F2
=
∫
σY
A1
∫
A2
dA =
σY
σY
dA =
σY
A1
A2
O equilíbrio de forças (F1 = F2) fornece a expressão: A1
A2
=
=
σY
A1
= σY
A 2 . Portanto:
A 2
O momento fletor de plastificação da seção transversal (MP) é dado por: MP
=
F1y1 + F2 y 2
onde y1 e y 2 são, respectivamente, as ordenadas dos centróides das áreas A1 e A2 em relação ao eixo de igual área. Colocando-se na equação do momento fletor de plastificação as expressões de F1 e F2, tem-se: MP
= σY
A1y1 + σ Y A 2 y 2
ou: MP
= σY
Por definição: Z=
A 2
A 2
( y1 + y 2 )
( y1 + y 2 )
onde Z é chamado módulo plástico de resistência à flexão e depende somente da geometria da área. Então o momento fletor de plastificação assume a forma: MP
= σY
Z
Na fase elástica-linear as tensões produzidas pelo momento fletor são obtidas pela fórmula da flexão:
95
My
σ =
Iz
A maior tensão normal ocorrerá no ponto mais afastado da linha neutra de coordenada genérica “d” : σ
máx
Md
=
Iz
ou: σ
máx
=
M Iz d
Por definição: W
=
Iz
→
σmáx =
d
M W
onde W é chamado módulo elástico de resistência à flexão e também depende somente da geometria da área. Por definição, momento fletor de plastificação incipiente (M Y ) é o valor do momento fletor para o qual dá-se o início do escoamento. É evidente que M Y obter M Y
<
M P . Para se
usa-se a fórmula da flexão válida na fase elástica-linear, admitindo-se que
σ máx = σ P = σ Y
. Então: MY
= σY
W
na expressão acima W é o menor valor entre Ws e Wi . Exemplo 7.1 – Determine o módulo elástico e o módulo plástico de resistência à flexão de uma área retangular de base b e altura h . bh 3 Ws = Wi
=
Iz
=
d
12 h
=
bh 2 6
2 Z=
A 2
( y1 + y 2 )
=
bh h ( 2 4
+
h 4
)=
bh 2 4
Por definição, fator de forma ( α ) é a relação entre o módulo plástico ( Z ) e o módulo elástico (W ) : bh 2 α =
Z
=
W
4 bh 2 6
Portanto, para seção transversal retangular
α
= 1,5.
Exemplo 7.2: Determine o fator de forma de uma área circular com diâmetro D .
Z=
R 2 4R ( 2 3π
π
+
4R 3π
)
=
96
4R 3 3
D4
π
W
64 D
=
D3
π =
32
2
então: 4D 3 α =
24 D3
=
1,698
π
32
Exemplo 7.3: Determine Z e W da área abaixo.
Figura 7.3 – Área em forma de “I ” A área tem um eixo de simetria horizontal ( z), portanto, o eixo de igual área coincide com este eixo. As coordenadas dos centróides das áreas 1 e 2 são iguais e dadas por:
y1
=
y2
=
380 ⋅ 70 ⋅ 285 + 250 ⋅ 80 ⋅ 125
=
216,33 mm
380 ⋅ 70 + 250 ⋅ 80
então: Z=
93200 2
( 216,33 + 216,33)
=
20161956 mm3
Tendo-se um eixo de simetria horizontal, os módulos elásticos de resistência à flexão superior e inferior são iguais. O momento de inércia I z é dado por:
97 Iz
=
80 ⋅ 5003 12
380 ⋅ 703 + 2 12
4 + 380 ⋅ 70 ⋅ 285 = 5176226667 mm 2
Então: Ws
=
Neste problema o fator de forma
Wi α
=
5176226667 320
=
16175708 mm3
é igual a 1,246.
7.3 – RÓTULAS PLÁSTICAS Na formação de rótulas plásticas a contribuição da força cortante pode ser desprezada, isto é, considera-se apenas a contribuição do momento fletor. O material começa a plastificar nas superfícies onde a tensão normal é máxima. Aumentando-se o valor da força P, forma-se uma rótula plástica quando o momento fletor atinge o valor MP. Para vigas isostáticas o valor da força P que correspondente ao MP é chamado carga de colapso (PC).
Figura 7.4 – (a) Início da plastificação (b) Formação da rótula plástica 7.4 – MÉTODO DO EQUILÍBRIO O método do equilíbrio pode ser usado para determinarem-se a carga de colapso plástico de estruturas de barras. Neste método admite-se a redistribuição dos momentos fletores após o surgimento de rótulas plásticas. Seja a viga hiperestática da Figura 7.5. A primeira rótula vai ser formada no engaste A, onde tem-se o maior momento fletor. O primeiro passo é determinar o valor da força necessário para a formação da rótula. Para isto, deve-se igualar o momento fletor em A com o momento de plastificação MP: MA = MP
98
Figura 7.5 – Viga e diagrama de momento fletor Então: MP =
4 P1L 27
de onde tem-se o valor de P1: P1 =
27 M P 4L
Após a formação da primeira rótula plástica, calcula-se o valor da força P 2 que deve ser somada à força P1 para a formação da segunda rótula. Os diagramas de momentos fletores das Figuras 7.5 e 7.6 mostram que a segunda rótula vai se formar no ponto B. 2,67 P1L
+
4,67 P2 L
27
27
= MP
ou colocando-se a expressão de P1: 2,67 ⋅ 27 M P L
+
4,67 P2 L
27 ⋅ 4L
27
= MP
de onde se tem a expressão de P 2: P2 =
1,92 M P L
É interessante observar que com o valor de P2 acima tem-se material plastificado apenas nos pontos A e B, onde formaram-se as duas rótulas. Em todos os outros pontos da viga o material está na fase elástica-linear. Finalmente, aplica-se a força P3 para surgir a terceira rótula (ponto C).
99
Figura 7. 6 – Aplicação de P 2 e diagrama de momento fletor
Figura 7.7 – Aplicação da força P3 e diagrama de momento fletor Para a formação da rótula em C, o momento fletor neste apoio deve ser igual ao momento de plastificação: 2P1L 27
+
4P2 L
+
P3 2L
27
3
= MP
Colocando-se na expressão acima os valores de P1 e P2, tem-se: P3 =
0,323M P L
Após a formação da terceira rótula tem-se o diagrama de momentos fletores mostrado na Figura 7.8. Nesta situação, tem-se material plastificado apenas nos pontos A, B e C. Depois da formação da terceira rótula ocorre o colapso da viga e a carga de colapso plástico é determinada somando-se as força P1, P2 e P3: PC = P1+ P2 + P3 Então carga de colapso é dada por:
100 PC =
8,99M P L
Figura 7.8 – Diagrama de momentos fletores Exemplo 7.4: Determine a carga de colapso plástico da viga abaixo.
Figura 7.9 – Viga e diagrama de momentos fletores Neste caso, quando a força P atingir o valor de colapso P C aparecem simultaneamente rótulas plásticas nos pontos A, B e C, sendo que os outros pontos da viga estão na fase elásticalinear. Devido a simetria (carga e geometria) nesta viga não se procede nenhuma redistribuição de momentos fletores. A Figura 7.10 mostra o diagrama de momentos fletores quando P atinge o valor de colapso. A carga de colapso plástico é calculada da seguinte forma:
MP =
PC L 8
→
PC =
8M P L
101
Figura 7.10 – Diagrama de momentos fletores 7.5 – MÉTODO DO TRABALHO
O trabalho realizado por uma força externa (P i) durante um pequeno movimento do mecanismo de colapso é igual ao trabalho realizado pelos momentos fletores de plastificação (MPi). Equação do princípio dos trabalhos virtuais:
∑Pδ i
i
=
∑M
Pi
θi
onde δi é a componente vertical do deslocamento do ponto de aplicação da força P i rotação na rótula plástica.
e
θi
a
Exemplo 7.5: Determine a carga de colapso plástico da viga abaixo usando o método do equilíbrio e o método do trabalho.
Figura 7.11 – Viga bi-apoiada O momento fletor máximo ocorre no meio da viga. Igualando-se este momento fletor com o de plastificação, tem-se a carga de colapso plástico usando o método do equilíbrio:
M=
PC L 4
= M P → PC =
4M P L
102 A Figura 7.12 mostra a viga no instante do colapso. A fase elástica-linear não aparece na figura, sendo o que é de interesse, para se usar o método do trabalho, é a posição da viga ao se formar a rótula plástica.
Figura 7.12 – Colapso de uma viga bi-apoiada A teoria de pequenos deslocamentos permite coincidir a tangente com o arco. Então: tgθ ≅ θ =
δ
L
→ δ=
θL
2
2
O trabalho externo é dado por: θL
Wext = PC ⋅ δ = PC
2
e o trabalho interno: Wint = M P ⋅ 2θ
Igualando-se o trabalho externo com o interno, tem-se: PC
θL
2
= M P ⋅ 2θ
→
PC =
4M P L
Exemplo 7.6: Usando o método do trabalho, determine a carga de colapso plástico da viga da Figura 7.13.
Figura 7.13 – Viga hiperestática e mecanismo de colapso
A viga é duas vezes hiperestática, portanto, para ocorrer o colapso é necessário o aparecimento de três rótulas plásticas, conforme mostra a Figura 7.13(b). Chamando-se de
103 θ
a
rotação no apoio esquerdo, a rotação no apoio direito é igual aθ/2. Então: Wint = M P (θ + θ / 2 + 1,5θ) → Wint = M P 3θ Wext = PC δ = PC
θL
3
Igualando-se os trabalhos externo e interno, tem-se: PC
θL
3
= M P 3θ →
PC =
9M P L
Este é o mesmo resultado encontrado no item 7.4 usando-se o método do equilíbrio. Exemplo 7.7: Determine a carga de colapso plástico da viga da Figura 7.14.
Figura 7.14 – Viga e dois possíveis mecanismos de colapso plástico Uma rótula plástica vai se formar no engaste esquerdo, outra no engaste direito e a terceira pode ser formada no ponto de aplicação da força P (Figura 7.14(b)) ou no ponto de aplicação da força 2P (Figura 7.14(c)). Considerando o primeiro mecanismo, tem-se: Wext = P 2θa + 2Pθa = 4Pθa Wint = M P (θ + θ + 2θ)
Igualando-se o trabalho externo com o trabalho interno, tem-se: 4 Pθa = M P 4θ →
P=
104
MP a
Considerando-se o segundo mecanismo: Wext = P 2θa + 2P3θa = 8Pθa Wint = M P (θ + 3θ + 4θ)
Então: 8Pθa = M 8θ → P =
MP a
P
Portanto, a carga de colapso plástico da viga da Figura 7.14(a)é a seguinte: PC =
MP a
Neste exemplo, pode-se determinar a carga de colapso plástico, mas o mecanismo de colapso não pode ser determinado, que pode ser aquele mostrado na Figura 7.14(b) ou o mecanismo de colapso mostrado na Figura 7.14(c).
BIBLIOGRAFIA
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