Nama
:
Winda Nurdiana
NIM
:
0612 4041 1540
Kelas
:
3EG B
Aplikasi Matematika dalam Teknik Kimia
1.
Logaritma dan aplikasinya dalam menentukan pH
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan: Tabel,Kalkulator(yang sudah dilengkapi fitur log) . Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi e ksponensial.Dalam kimia log digunakan untuk menentukan derajat keasaman atau pH. Contoh soal logaritma 2
log 8 + 3log 9 + 5log 125
a)
b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125
b)
Pembahasan a) 2log 8 + 3log 9 + 5log 125 = 2log 23 + 3log 32 + 5log 53 =
3 2log 2 + 2 3log 3 + 3 5log 5
=3 + 2 + 3 = 8 b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125 = 2log 2−3 + 3log 3−2 + 5log 5−3 = − 3 − 3 – – 2 – 2 – 3 3=−8
Larutan Asam dan Basa Asam adalah zat yang dalam air menghasilkan ion H + dan Basa adalah zat yang dalam air menghasilkan ion OH Untuk mencari nilai pH melalui perhitungan kita dapat menggunakan logaritma 1.
Untuk larutan asam rumusnya : pH = -log[H +]
2.
Untuk larutan basa rumusnya : pH = -log[OH -] Larutan penyangga
Larutan penyangga adalah larutan yang dapat mempertahankan pH terhadap penambahan sedikit asam,sedikit basa dan pengenceran.Larutan penyangga ada 2 macam yaitu larutan penyangga asam dan larutan penyangga basa. 1.
Larutan penyangga asam
Rumus : [H+] = K a. Keterangan : a = mol asam g = mol basa konjugasinya 2.
Larutan penyangga basa
Rumus : [OH -] = K b Keterangan : b = mol basa g = mol basa konjugasinya
Contoh soal aplikasi logaritma pada soal menentukan nilai pH 1. Dicampurkan sejumlah HNO2 dengan larutan la rutan NaOH membentuk larutan penyangga.Setelah reaksi terdapat 0,02 mol NaNO2 dan 0,47 gram HNO 2. PH larutan penyangga tersebut adalah………… (k a HNO2 = 4.10-4,Mr HNO2 = 47) Jawab : Mol HNO2 =
=
= 0,01 mol
[H+] = K a. = 4.10-4.
= 2.10-4 M
pH = -log [H+] = -log 2.10 -4 = 4-log 2 (aplikasi log) = 4-0,3 =3,7 2. pH campuran dari 200 mL NH 4OH 0,1 M dengan 200 mL NH 4Cl 0,1 M adalah………… (K b = 10-5) Jawab : Mol NH4OH = M.V =0,1.200 = 20 mmol Mol NH4Cl = M.V = 0,1.200 0,1.200 = 20 20 mmol [OH-] = k b. = 10-5.
= 10-5 M
pOH= -log[OH-]= -log 10-5 =5 pH=14- pOH=14-5 =9
2.
(aplikasi log)
Aplikasi Sistem Persamaan
Persamaan- persamaan yang harus diselesaikan secara bersamaan untuk mencari nilai-nilai tunggal dari faktor-faktor yang tidak diketahui, di mana nilai-nilai tersebut benar untuk setiap persamaan, disebut sistem persamaan. Dua metode dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah : 1.
Metode subsitusi
Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain. 2.
Metode eliminasi
Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.
Contoh soal sistem persamaan 1.
Gunakan metode substitusi, tentukan penyelesaian SPLDV berikut. 3x + y = 7 x + 4y = 6 Jawab: Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2). 3x + y = 7 …(1) x + 4y = 6 …(2) Langkah kedua, pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian, nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel lainnya. 3x + y = 7 y = 7 – 7 – 3x 3x … (3) Langkah ketiga, nilai variabel y pada persamaan (3) menggantikan variabel y pada persamaan (2). x + 4y = 6 x + 4 (7 – (7 – 3x) 3x) = 6 x + 28 – 28 – 12x 12x = 6 x – 12x 12x = 6 – 6 – 28 28 – 11x 11x = – = – 22 22 x = 2 …(4) Langkah keempat, nilai x pada persamaan (4) menggantikan variabel x pada salah satu persamaan awal, misalkan persamaan (1). 3x + y = 7 3 (2) + y = 7 6+y=7 y = 7 – 7 – 6 6 y = 1 …(5) Langkah kelima, menentukan penyelesaian SPLDV tersebut. Dari uraian diperoleh nilai x = 2 dan y = 1. Jadi, dapat dituliskan Hp = {(2, 1)}
2.
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLDV berikut. x+y=7 2x + y = 9 Jawab: Langkah pertama, menghilangkan salah satu variabel dari SPLDV tersebut. Misalkan, variabel y yang akan dihilangkan maka kedua persamaan harus
dikurangkan. x+y=7 2x + y = 9 -x = -2 x=2 Diperoleh nilai x = 2. Langkah kedua, menghilangkan variabel yang lain dari SPLDV tersebut, yaitu variabel x. Perhatikan koefisien x pada SPLDV tersebut tidak sama. Jadi, harus disamakan terlebih dahulu. x + y = 7 × 2 2x + 2y = 14 2x + y = 9 × 1 2x + y = 9 Kemudian, kedua persamaan yang telah disetarakan dikurangkan. 2x + 2y = 14 2x + y = 9 y=5 Diperoleh nilai y = 5 Langkah ketiga, menentukan penyelesaian SPLDV tersebut. Diperoleh nilai x = 2 dan y = 5. Jadi, Hp = {(2, 5)}.
3.
Metode Gabungan Kalian telah mempelajari cara menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik, eliminasi, dan substitusi. Sekarang kalian akan mempelajari cara yang lain, yaitu dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi. Contoh soal 1. Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 2x – 5y 5y = 2 dan x + 5y = 6, jika x, y R. Jawab: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh 2x - 3y = 3 2x + 3y = 6 3x = 9 x=3 Selanjutnya substitusikan nilai x ke persamaan x + 3y = 6, sehingga diperoleh x + 3y = 6 3 + 3y = 6 3y = 6 - 3 3y = 3
y=1 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 2x – 3y 3y = 3 dan x + 3y = 6 adalah {(3,1)}.
Contoh soal aplikasi sistem persamaan pada kimia Kapasitas panas molar dari suatu senyawa padat dinyatakan melalui persamaan c = a + bT, di mana a dan b adalah konstan. Jika c = 52, T = 100 dan ketika c = 172, T = 400. Tentukanlah nilai a dan b Jawab : Ketika c = 52 maka T = 100, sehingga 52 = a + 100b Ketika c = 172 maka T = 400, sehingga 172 =
+ 400b
Persamaan (2) dikurangkan dengan persamaan (1) Memberikan : 120 = 300b b
= 0,4
Subsitusikan b = 0,4 ke dalam persamaan (1) 52 = a + 100(0,4) a = 52 -40 = 12 Sehingga a =12 dan b = 0,4
A. Diferensial dan aplikasi dalam bidang Kimia
Asal – Asal – usul usul diferensial Diferensial merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin:calculus Latin:calculus,, artinya “batu kecil”, kecil”, yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmumatematika ilmumatematika yang mencakup limit, mencakup limit, turunan, turunan, integral, integral, dan deret tak terhingga. terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains bidang-bidang sains,ekonomi, ,ekonomi, dan dan teknik; teknik; serta serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus dan kalkulus integralyang integralyang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi yang khusus mempelajari fungsi mempelajari fungsi dan limit, dan limit, yang secara umum dinamakan analisis dinamakan analisis matematika. Turunan Dalam pelajaran matematika terdapat beberapa turunan, di sini akan sedikit di jelaskan mengenai macam-macam turunan: Turunan Parsial
Turunan Parsial di gunakan untuk melihat perubahan nilai fungsi jika sebagian nilai variabelnya berubah. Misal z = f(x,y) Untuk x = x0 tetap, maka maka z = f(x0,y) menggambarkan kurva perpotongan antara bidang x = x 0 dengan permukaan z = f(x,y).
Untuk y = y 0 tetap, maka z = f(x, y0) menggambarkan kurva perpotongan antara bidang y = y0 dengan permukaan z = f(x,y).
Misalkan z = f(x0, y0) terdefinisi pada interval a < x < b, maka turunan z terhadap x di titik x = x 0disebut turunan parsial z terhadap x di titik (x 0, y0) Turunan Total
Turunan Total di gunakan untuk melihat nilai fungsi jika semua nilai variable berubah secara bersama-sama.
Misalkan
z = f(x,y)
Adalah perubahan nilai x dan y, maka dz = f (x+dx, y+dy) – y+dy) – f(x,y) f(x,y) Adalah perubahan nilai z Jika f (x,y) memiliki turunan parsial yang kontinyu pada sebuah ejaan, maka dz = dof dx + d of dy + E1 dx + E 2 dy dox
do y
Di mana E1 = 0 E2 = 0 bila dx = 0 dan dy = 0
Penerapan Turunan 1.
Manfaat Turunan dalam Ilmu Kimia.
Salah satu aplikasi diferensial dalam ilmu kimia, yaitu laju reaksi. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan desain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baikuntuk perusahaan yang sedang bersaing. Laju reaksi memiliki kemampuan untuk meramalkan kecepatan campuran reaksi mendekati keseimbangan. Untuk menghitung laju reaksi dalam orde reaksi dapat dgunakan secara praktis persamaan diferensial. Hukum laju reaksi adalah persamaan yang menyatakan laju reaksi v sebagai fungsi dari konsentrasi semua spesies yang ada, termasuk termas uk produknya.
2.
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu permasalahan.
Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan yang besar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman dan peminimuman suatu fungsi fungsi pada suatu himpunan yang rinci. Jika f Jika f adalah adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval (atau interval terbuka) dan x adalah x adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f dari f , maka turunan
dari f dari f di di titik x adalah x adalah nol; titik-titik di mana f mana f „( „( x) x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f dari f di x di x disebut disebut nilai kritis) kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x kritis x dari dari f f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan kedua dari f dari f di x di x:: 1.
Jika turunan ke-dua bernilai positif, x positif, x adalah adalah minimum lokal;
2.
Jika turunan ke-dua bernilai negatif, x negatif, x adalah adalah maksimum lokal;
3. Jika turunan ke-dua bernilai nol, x nol, x mungkin mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ contohnya, f(x)=x³ memiliki memiliki titik kritis di x=0, x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f sebaliknya f ( x) x) = ± x4 mempunyai titik kritis di x di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum). Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai f nilai f „„ di kedua sisi titik kritis. Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan untuk optimalisasi. optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minimal dan maksimal hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir. 1.
Contoh Soal Teorema Selisih
Tentukan turunan dari 5 x2 + 7 x – x – 6 6 dan 4 x6 – 3 3 x5 – 10 10 x2 +5 x +16! x +16! Jawab:
D x (5 x2 + 7 x – x – 6) 6) = D = D x(5 x2 + 7 x) x) – D D x(6) = D x(5 x2) + D + D x (7 x) x) – D D x(6) = 5 . 2 x + x + 7 . 1 + 0 = 10 x + x + 7 Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teoremateorema pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,
D x (4 x6 – 3 3 x5 – 10 10 x2 + 5 x +16) x +16) = D = D x(4 x6) – D D x(3 x5) – D D x(10 x2) + D + D x(5 x) x) – D x(16) = 4 D x( x x6) – 3 D x( x x5) – 10 D x( x x2) + 5 D x( x) x) – D D x(16) = 4(6 x5) – 3(5 3(5 x4) – 10(2 10(2 x) x) + 5(1) – 5(1) – (0) (0) = 24 x5 – 15 15 x4 – 20 20 x + x + 5
2.
Contoh soal Persamaan Diferensial Biasa orde 2 Linier
Selesaikan PD dibawah ini! D2y/dx2 – 5 5 dy/dx + 6y = 0 Jawab:
Misal : y = Am. E mx dy/dx = Am. M. e mx d2y/dx2= Am.m2.emx yc = Am1.em1x + Am2.em2x yc = A em1x + B.em2x Persamaan akan menjadi : Am.m2.emx – 5. 5. Am. M. E mx + 6. Am. E mx = 0 Am.emx(m2 – (m2 – 5m 5m + 6)=0 Am.emx((m-2)+(m-3))=0 Jadi : m1 = 2 m2 = 3 (akar-akar berbeda ) yc = A.e2x + B.e3x
3.
Selesaiakan PD dibawah ini! Y‟‟ + 6y‟ + 6y = 0
Jawab:
m2 + 6m + 9 = 0 (m + 3)2 = 0 m1 = m2 = -3
(akar-akarnya akar-akarnya sama)
yc = (Ax + B)e-3x
Contoh soal aplikasi diferensial pada kimia
1. Hitung jumlah panas yang diperlukan untuk menaikkan 8 gram helium dari 298K ke 398 K pada tekanan tetap. Jawab: 8 g helium = 2 mol Cp
= Cv + R = 3/2 R 3/2 R + R = 5/2 R 5/2 R = 20.8 J K -1 mol-1
qp
= Δ H = nCp ΔT = 2 x 20.8 x (398 – 298) 298) J = 4160 J
2.
Laju pembentukan NO(g) dalam reaksi:
2NOBr(g) → 2NO(g) + Br 2(g) adalah 1,6 x 10 -4 ms-1, berapakah laju reaksi dan laju konsumsi NOBr? Jawab: Secara matematis, reaksi itu: 0 = -2NOBr(g) + 2NO(g) + Br 2(g)
Sehingga v [NO] = +2 . Jadi, laju reaksi diperoleh dari persamaan 1, dengan d[NO]/dt = 1,6 x 10 -4 ms-1: v = ½ x (1,6 x 10 -4 ms-1) = 8,0 x 10 -5 ms-1 Karena v [NOBr]= -2 , maka laju pembentukan NOBr adalah: d[NOBr]/dt = -2 x (8,0 x 10 -5 ms-1) = 1,6 x 10 -4 ms-1: sehingga laju konsumsinya adalah 1,6 x 10 -4 ms-1.
B. Statistika dan aplikasinya dalam proses titrasi
Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan dan penyusunan data,pengolahan dan penganalisaan data,serta penyajian data berdasarkan kumpulan dan analisis data yang dilakukan. Statistik adalah hasil-hasil dari pengolahan dan analisis data. Statistik salah satunya mean/rata-rata.Pada kimia terdapat aplikasi mean atau rata-rata untuk mencari titrasi asam basa. Contoh soal mean Diketahui data sebagai berikut : 5, 6, 4, 8, 7, 3, 8, 9, 4, 10 . Tentukan mean? Jawab : urutan data: 3,
4,
4,
5,
6,
7,
8,
8,
9,
10
Jawab : 6,4 Titrasi merupakan salah satu cara untuk menentukan konsentrasi suatu larutan suatu zat dengan cara mereaksikan larutan tersebut dengan zat lain yang diketahui konsentrasinya. Prinsip dasar titrasi asam basa didasarkan pada reaksi netralisasi asam basa. Titk eqivalen pada titrasi asam basa adalah pada saat dimana sejumlah asa tepat dinetralakan oleh sejumlah basa. Selama titrasi berlangsung terjadi perubahan pH. Contoh soal aplikasi mean/rata-rata pada titrasi 1. Sebanyak 2 gram gram cuplikan NaOH dilarutkan dalam 250 mL air kemudian kemudian 20 mL dari larutan ini dititrasi dengan larutan HCl 0,1 M diperoleh data sebagai berikut :
percobaan
Volume HCl
1
24 mL
2
26 mL
3
24 mL
Kadar NaOH dalam cuplikan tersebut adalah………………..(Mr NaOH = 40) Jawab Volume rata-rata HCl = 25 mL (aplikasi mean) Va.Ma = b.Mb.V b 1.25.0,5 =1.20.M b M b = 0,125 M →n =M.V n=0,125.0,25 n=0,03125mol Massa NaOH = 0,03125x 40 = 1,25 gram Kadar NaOH dalam cuplikan = 62,5%
APLIKASI MATEMATIKA DALAM BIDANG KIMIA
NAMA NIM KELAS
: DANIEL FRENDI : 0612 4041 1520 : 3 EGB
DOSEN PENGAJAR
Drs. Yulianto Wasiran, M.M
POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA JURUSAN TEKNIK KIMIA PRODI DIV TEKNIK ENERGI TAHUN AJARAN 2012/2013
