Aplicaciones Aplicac iones de los extremos extremos de funciones funciones de dos variables variables
Ejemplo: Hallar un volumen máximo
Una caja rectangul rectangular ar descansa descansa en el plano x, y con uno de sus vértices en el origen. El vértice opuesto está en el plano 6 x
+ 4 y + 3 z =24
Como se muestra en la figura. Hallar el volumen máximo de la caja. Solución Sean x y ! z el largo anc"o ! la altura de la caja. Como un vértice de la
caja
se
encuentra
en
el
plano
6 x + 4 y + 3 z = 24
1
z
se
sabe
#ue
= ( 24− 6 x −4 y ) ! as$ se puede expresar el volumen xyz de la caja en funci%n 3
de dos variables.
&gualando a ' las primeras derivadas parciales
4
Se obtienen los puntos cr$ticos (' ') ! (
3
, 2 ¿ En (' ') el volumen es ' as$ #ue
ese punto no proporciona un volumen máximo. En el punto se puede aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales.
Como:
* Se conclu!e de acuerdo con el criterio de las segundas derivadas parciales #ue el volumen máximo es:
+%tese #ue el volumen es ' en los puntos frontera del dominio triangular de V . ,En las aplicaciones de los extremos a la econom$a ! a los negocios a menudo se tiene más de una variable independiente. -or ejemplo una empresa puede producir varios modelos de un mismo tipo de producto. El precio por unidad ! la ganancia o beneficio por unidad de cada modelo son por lo general diferentes. a demanda de cada modelo es a menudo funci%n de los precios de los otros modelos (as$ como su propio precio./ Ejemplo 0: Beneficio Máximo (suponiendo #ue la planta industrial puede producir el n1mero re#uerido de unidades para proporcionar el beneficio máximo. En la práctica la producci%n estará limitada por restricciones f$sicas. En la secci%n siguiente se estudiarán tales problemas de optimi2aci%n).
Un fabricante de art$culos electr%nicos determina #ue la ganancia o beneficio P (en d%lares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de 343 ! y unidades de un grabador de 343 se aproxima mediante el modelo:
Hallar el nivel de producci%n #ue proporciona una ganancia o beneficio máximo. 5Cuál es la ganancia máxima6
Soluci%n: as derivadas parciales de la funci%n de beneficio son:
&gualando estas derivadas parciales a ' se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.
3espués de simplificar este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como:
7esolviendo el sistema se obtiene x 8 0 ''' ! y 8 9 '''. as segundas derivadas parciales de P son:
Como
p xx
< 0 y
Se conclu!e #ue el nivel de producci%n con x 8 0 ''' unidades ! y 8 9 ''' unidades proporciona el beneficio máximo. El beneficio máximo es:
Multiplicadores de LaGrange
El teorema de los multiplicadores de agrange es el instrumento te%rico más clásico ! el primero desde el punto de vista "ist%rico para resolver problemas de optimi2aci%n con restricciones. Su creador osep";ouis agrange (
?@ -ar$s =B=?) utili2% por primera ve2 la técnica de los multiplicadores para resolver problemas del cálculo de variaciones en su célebre tratado éc"ani#ue Analiti#ue DF en el cual dot% a la ecánica de un formalismo anal$tico adecuado ! posteriormente lo expuso en su no menos célebre obra sobre cálculo diferencial D@F. El teorema en cuesti%n bien conocido trata de la maximi2aci%n (o minimi2aci%n) de una funci%n de varias variables.
uc"os problemas de optimi2aci%n tienen restricciones o ligaduras para los valores #ue pueden usarse para dar la soluci%n %ptima.
!
2. Evaluar f en cada punto soluci%n obtenido en el primer paso. El valor ma!or da el máximo de f sujeto a la restricci%n ! el valor menor da el m$nimo de f sujeto a la restricci%n .
Ejemplo: ultiplicador de agrange con una restricci%n o ligadura Hallar el valor máximo de
sujeto a la restricci%n
. Soluci%n -ara comen2ar sea:
&gualando sistema de ecuaciones siguiente.
se puede obtener el
7estricci%n 3e la primera ecuaci%n se obtiene ecuaci%n da:
#ue sustituido en la segunda
Sustitu!endo en la tercera ecuaci%n x 2 por este valor se tiene:
As$ #ue:
. Como se re#uiere #ue !G' se elige el valor positivo ! se "alla
-or tanto el valor máximo de f es: f
(
3
√ 2
, 2 √ 2
)
=4 xy =4
( )( 3
√ 2
)
2 √ 2 = 24
+%tese #ue el expresar la restricci%n como:
+o afecta la soluci%n la constante se elimina cuando se calcula
.
