Analisis Modal Elastico Edificio 5 Niveles- Ing Gilberto Lacayo

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3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES.

Ilustraremos la aplicación del método de iteraciones matriciales en el análisis del edificio de cinco niveles mostrado en la Fig (3.32) proyectado para construirse en el sector se ctor de San Antoni ntonio en en Man Mana agua, gua, en un siti sitio o loca locallizado zado entre entre las fall fallas Estadi stadio o y Los L os Bancos, estructuras cuyo control tectónico se conoce desde el estudio de Durham H.W. (1939).

GEOLOGÍA LOCAL

L a ciuda ciudad d deManag anagua ua se locali ocaliza en en unaplanici planicie e de abanicos nicos al aluviales uviales cuyo espe espesor sor alcanza hasta unos 12m, constituidos por estratos entremezclados de materiales piroclásticos y suelos, ya que el lugar registra un historial volcánico cuyas deposiciones jun junto con los materiale ialess aluv luviale ialess for forman parte de la topografía de las las plan lanicie iciess de Managua. anagua. Durante el Pleistoceno y el Holoceno la sedimentación del área de Managua fue de piroclastos transportados por el agua y el viento, esta deposición fue extensiva en las planicies, formando grandes abanicos aluviales siguiendo la ruta de los drenajes y de pequeñas escarpas de fallas, lo cual hace que la estratigrafía del área sea variable, caracterizada por estratos horizontales indicativos de largos periodos de inactividad volcánica.

PREPARADO PREPARADO Y PUBLI CADO POR: ING. GILBERT GIL BERTO O LACAYO LACAYO BERMUDE BERMUDEZ Z

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Existen xisten en el el áreaaluvi aluviales ales espes espesos, os, con abundante abundantess escomb escombros ros y secuenci secuencias as de de materiales volcánicos depositados en capas tobáceas, así como materiales gruesos cementad cementados, os, arenas y gravas e en n la la vecindad veci ndad lacustre. TECTÓNICA DEL LUGAR

L a ciudad deManagua se locali ocaliza dentro dentro de la depresi depresión ón tectóni tectónica ca o Graben Graben de Nicaragua la cual se encuentra rellenada por materiales piroclásticos pertenecientes al vulcanismo Holocenico, cuya actividad principal se produjo en las estructuras volcánic vol cánicas as ali alineadas neadas desde desdeApoyequehasta hasta la la regi región del del Nejapa ejapay en la la estructura estructura del del área del Tiscapa. Esta unidad tectónica presenta las características de las estructuras producidas por los es esffuerz uerzos os de de tensi tensión debi debidos dos a la depresi depresión ón ni nicaragüen caragüense se y las las es estructuras tructuras indivi ndividua dualles que integran la unidad. Existen evidencias de las tensiones en la región del Graben, observándose además esfuerzos compresivos en los materiales líticos tobáceos y en los materiales cementados, donde el fracturamiento presenta desplazamientos del orden de algunos centímetros. L a informa informaci ción ón inst instrum rumen enta tall confirma confi rmaquelos esf esfue uerzos rzos confi confinados nados en en la la regi región ón del del Pacifico de Nicaragua transfieren movimientos a lo largo de zonas de debilidad estructural, para nuestro propósito establecemos las relaciones de las fallas activas Estadi stadio o y Los L os Bancos con la posi posibi billidad dad dequela energí nergía a acumul cumulad ada a produzca movim ovi mientos en en alguna algunass fal falllas del del sistem sistema e escalo scalonad nado o de Mana Managua gua.. ESTRUCTURAS EXISTENTES EN EL SECTOR

Del Informe Técnico de INETER titulado: “Actualización del Mapa de Fallas Geológicas de Managua” (ASDI, The World World Bank Group, Managua 2002), 2002), (2) transcribimos textualmente: (2) “La “L a ciudad de de Man Manag agua ua se se ubi ubica ca den dentro tro de la la cordil cordillera volcán volcániica entre entre los volca vol cane ness Apoyequeal noroeste y Mas M asaya aya al sureste. sureste. En En ella ell a y en sus al alrededores rededores sereconocen numerosos numerosos peque pequeños ños edi edifficios cios volcáni volcánicos cos y rem remanentes de volcane vol canes: s: Santa SantaA na, A sos sososca osca,, Ti Tisca scapa pa,, Ti Ticomo, como, Motaste otastepe pe,, entre entre otros. El subsuelo de Managua se caracteriza por la presencia de una secuencia volcanose sedi dim mentari entaria a donde donde sereconocen productos provenientes provenientes de de los los volcane vol caness Mas M asaya, aya, A poyeque poyeque,, Apoyo, Apoyo, de los volcanes volcanes del del li lineam neamiento ento Mi Miraflores-N rafl ores-Nejapa ejapa,, Mota M otaste stepe pe y de otros edificios fuera de este lineamiento, como Chico Pelón y Tiscapa que quedan ahora como remanente anentess deantigua antigua activi actividad dad volcáni vol cánica ca en en el cen centro tro del áreade estudio. estudio. L a presencia de numerosos suelos fósiles demuestra la existencia de ciertos períodos de calma entre eventos volcánicos o tectónicos, que han permitidos el desarrollo de suelos de varios tipos (Hradecky et al., 1997).

El subsue subsuello de Managua se compone, compone, a partir partir de la la bas base, e, por productos del G Grupo rupo Las L as Sierras, en los cuales se reconocen ignimbritas, ondas piroclásticas y piroclástos de caída, relacionados a explosiones regionales de calderas que se han formado entre final del Terciario e inicio del Cuaternario. Sobre este grupo se depositaron secuencias pirocl piroclá ásticas sticas del del Grupo Grupo La Las Nube Nubess y del Grupo Grupo Man Manag agua ua,, las l as cual cuales es está tán n suficientemente descritas en Hradecky et al (1997) y en Hradecky (2001). (2) Este es el estudio mas actualizado acerca del riesgo sísmico debido al sistema de fallas geológicas de la ciudad de Managua.


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ESTRATIGRAFÍA ESTRATIGRAFÍA DE MANAGUA

L a geol geologí ogía a y estratigr estratigrafí afía a deMana anaguaha si sido objet objeto o de estu estudi dio o en vari varios os proyectos, proyectos, sin embargo, pocos de ellos, por ejemplo (Bice, 1983) y (Hradecky et al., 1997), emplearon conceptos genéticos en la clasificación litológica; muchos propusieron una clasificación litológica con carácter ingeniero-geológica, especialmente los estudios elaborados después del terremoto de 1972 (Woodward-Clyde Consultants, 1975). El reciente estudio geológico del área de Managua de Hradecky et al. (1997) mejoró los conocimientos sobre la evolución geológica y estructural del área de la capital, considerando indispensables utilizar los aspectos genéticos, en particular vulcanológicos y geomorfológicos en la definición de la amenaza de esta área, así como en las investigaciones científica FALLAS GEOLÓGICAS Y LINEAMIENTOS

Woodward-Clyde Consultants (1975) presentan una descripción de las fallas principales con sus respectivas denominaciones, parámetros y características. Moore (1990) y, más recientemente, el Grupo de Autores (1997, Reporte N°3 de la Microzonificación Sísmica de Managua) recopilaron información bibliográfica de cada falla principal. El áreade Man Managu agua a seubica ubica dentro dentro de la la Depresión Depresión de Mana Managua, gua, una estructura estructura orientada N-S, considerada secundaria, con las mismas características y origen de la estructura principal (Depresión de Nicaragua). Sus relaciones con la estructura principal no se conocen. Se trata de una estructura reciente de tipo extensional y activa, que disl disloca oca la cordil cordillera volcán volcániica en senti sentido do derecho derecho por unos 13 K m. (discut (discutiido por Frischbutter, 1998). L a Depresión Depresión o Grabe Graben deMana anaguaestá está lim li mitada tada por por la l a Fall Falla Cofradía Cofradía al este y el lineamiento Miraflores-Nejapa al oeste. Hacia el norte el graben se pierde dentro del lago ago y haci hacia a el el sector sector suroeste suroeste el graben graben es limitado tado por por la l a Falla Mateare y la la Falla all a L as Nubes, ubes, mi mientras entras haci hacia a el sur el límite se se encuentra encuentra dentro dentro de las las caldera calderass deL as Sierras. Si erras. Dentro del graben se encuentran fallas orientadas según dos conjuntos conjugados: N-S y NENE-SW SW (Woo (Woodwa dward-C rd-Cllyde Consultan onsultants ts,, 1975). 1975). La L as falla fall as con orie orientaci ntación ón N-S N-S generalmente tienen forma de arco, con dirección paralela a estructuras mayores relacionadas a colapsos volcánicos y presentan desplazamientos de tipo normal. Estas observaciones sugieren que dichas fallas pueden estar relacionadas en el tiempo y es espa paci cio o con el el evento evento desubsi subside denci ncia a de del graben graben.. Las L as fallas all as con dirección dirección NE NE-SW, en particular N35°E y N45°E presentan desplazamientos laterales izquierdos (WoodwardClyde Consultants 1975). En el sector sureste del área de estudio se pudieron reconocer además lineamientos E-W y ENE-WSW, ESE-WNW. Pocas fallas presentan una orientación NW-SE, las cuales se pueden encontrar en el sector este y central del área de estud studiio. La L aFemina, na, Di Dixon y Strauch Strauch (2002 (2002)) explica expli can n la la orienta orientación ción pref preferenci rencia al NNENE SSO con desplazamiento lateral izquierdo de las fallas en la cadena volcánica como acomodación de los bloques tectónicos en la cadena volcánica. Según este trabajo, los bloques orientados paralelamente a la fosa oceánica, responden a la oblicua presión del proceso de subducción en Nicaragua en forma de un tipo de fallamiento denominado bookshelf ("estantes de libros"). Mientras las fallas geológicas en el centro de Managua fueron detona detonante ntess de destructi destructivos vos terremotos terremotos en en el el sigl siglo o XX XX , no se sabe sabe mucho sobre la actividad de las fallas al este y sur de la ciudad. Cowan et al. (1998) probaron con un


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estudio dePaleosismología que la FallaAeropuerto es activa, y, hace aproximadamente 180 años, fue fuente de un terremoto con magnitud comparable con la del terremoto de Managua 1972. Frischbutter (1998) habla de la posibilidad de migración de la actividad hacia el este y que futuros terremotos fuertes podrían ocurrir en las fallas de esta zona. Strauch (1998) hizo simulaciones numéricas de los posibles efectos de terremotos causados por la Falla Aeropuerto y la Falla Cofradía. FALLAS GEOLÓGICAS Y AMENAZA SÍSMICA

En la actualidad, en Managua viven alrededor de un millón de habitantes en una zona sísmica y volcánicamenteactiva. La ciudad cuenta con unaelevada densidad defallas geológicas activas (Brown et al. 1973) y sufrió en 1931 y 1972 dos terremotos destructivos que causaron grandes perdidas devidas humanasy enormes daños materiales. Según Segura et al. (2000), las fallas sísmicas locales, en términos estadísticos, generan el 59 % de la amenaza sísmica total en Managua. El 41% restante resulta de la zona de subducción, de otras zonas en la cadena volcánica y de la zona montañosa de Nicaragua. Esto subraya la importancia del conocimiento del fallamiento local en Managua. Se creequelas fallas principales que atraviesan la parte central de Managua tienen pocos kilómetros de longitud y con esta característica pueden generar terremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. No obstante resultan extremadamente destructivos porque el hipocentro es poco profundo, inclusive la ruptura corta la superficie, y la zona epicentral se ubica directamente en una ciudad densamente poblada. Por otro lado, las fallas que forman los límites Este y Oeste del graben de Managua (Falla Cofradía, Falla Mateare), por ser más largas y poder acumular más energía, podrían causar terremotos más grandes (Strauch et al. 2000. Estudio de la Microzonificación Sísmica de Managua) pero la densidad de población es más baja en esta zona. La importancia de consideraciones geológicas para la reconstrucción de Managua fue obvia después del terremoto de 1972 (Schmoll, 1975). Como acción inmediata, las Autoridades competentes de eseentonces encargaron un mapa defallas y de la amenaza sísmica, que fue presentado, junto con la matriz de planeación, por Woodward-Clyde en 1975 al Vice Ministerio de Planificación Urbana. Un plan regulador para la reconstrucción y el desarrollo de Managua fue realizado por la Secretaría de Obras Publicas de México en 1973. A raíz de las recomendaciones derivadas de estos estudios se empezaron a requerir investigaciones geológicas para la detección de fallas geológicas en Managua, las cuales se convirtieron desde entonces, en un requerimiento técnico necesario para todo propietario de terreno que deseara levantar una obra o construcción civil de importancia.” (Final del texto transcrito del Informe Técnico de INETER) Las estructuras más importantes próximas ala zona considerada son: Falla Estadio: Localizadaen el viejo centro de Managuafue reconocida por vez primera por Lientenant Dan I Sultan en 1931, siendo la causante del terremoto de Marzo de 1931. Su relato histórico puede encontrarse en el estudio de Woodward – Clyde – Consultants Nov de 1975 “Investigation of Active Faulting in Managua and Vinicity Brown en 1973 indica que durante el evento del 23 de Diciembre de 1972 esta falla no se movió.

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Falla de los Bancos: Es paralela a la falla Estadio, corta diagonalmente al viejo banco central quecontinua por el parque Luis Alfonso Velásquez. Fue mapeada en detalle por Brown, Ward, Plafter (1973), el U.S.G..S.- Brown et al le describieron de largo 2.7 k.m, con desplazamiento lateral de 5.9cm, J .Kuant y Carlos Valle la mapearon para el Catastro, fue descrita después del evento de 1972 para controlar cuanto se desplazó, es una falla menor con estructura ramificada. La secuencia estratigráfica del lugar del proyecto en orden de lo más recientea lo más antiguo es la siguiente: (1) RELLENO SUPERFI CIAL (R) Estos materiales se presentan en formadeescombros recientes,arenas limos, gravas. SUELO HOLOCENICO ( Hs ) compuesto de materiales finos delimos-arcillas y arenas finas ALUVIAL HOL OCENICO (Hal ) consisteen materiales sueltos o poco consolidados dearenas limosas, limos, y gravas SUELO FOSIL ( Hfs ) consisteen materiales finos con trazos de gravas o fragmentos derocas, arenas limosas irregulares PÓMEZ DE APOY EQUE (Haq ) este material es formado por fragmentos o pequeñas capas de ±4cmcolor blanco amarillento FORMACIÓN SAN J UDAS ( Hsj ) son tefras detipo basaltico escoriacio, lapilli, y cenizas ALUVIALES MAS ANTIGUOS ( HPAL, Pa y Pal ) depósitos aluviales profundos con abundancia de fragmentos dePómez MATERIAL CONGLOMERATICO ARENOSO COMPACTO (Hmf ) materiales con comportamiento de rocaligeramentecement SUELO FOSIL (Hfs ) provienen dela formación de Tobas, retiro o materiales aluviales de lasunidades anteriores TOBA RETIRO ( Hrt ) material muy fracturado e intemperizado oxidado dándole el aspecto amarillento, algunas veces verdoso EVALUACIÓN DEL RIESGO SÍSMICO PARA EL LUGAR

Por los estudios referidos y por el historial sísmico sabemos que la ciudad deManagua es de alto riesgo con un sistema escalonado de fallas capaz de generar eventos con profundidades focales superficiales menores de 30km Arce (1973) refiere el siguiente historial sísmico para el sector estudiado FECHA 31 Marzo 1931 4 Enero 1968 2 Enero 1972 23 Diciembre 1972 Hasta 1978

MAGNITUD ( Richter ) 5.3-5.9 4.6 4.3 6.5 ±3.0

PROFUNDIDAD ( km) Superficial ±5.0 ±5.0-10 (Hansen ) Superficial Superficial

El sitio puede estar expuesto a vibraciones sísmicas donde la influencia y efecto que ocurrirían a las edificaciones seria proporcional a la distancia focal y magnitud del evento, pudiendo originarse una M máxima probada de 6.5 Richter y una magnitud máxima creíble M = 7.0 Richter. La información disponible sobre el riesgo sísmico y la estratigrafía del lugar será utilizadaen la construcción de los espectros de respuestas para el sitio del edificio proyectado, empleando el programa Shake 92. Los espectros se construyeron descombolucionando las componentes N-S del acelerograma del evento del 23 de Diciembre de1972, y clasificando los suelos delos estratos, de acuerdo con el sistema unificado de clasificación de suelos (SUCS). Inicialmente consideramos un porcentaje de amortiguamiento β = 0.05 para el suelo y β = 0.02 para el basamento rocoso. Posteriormente realizamos el análisis modal elástico aplicando el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello, mostrándose cada una de las etapas del análisis modal, hasta obtener las figuras características y los periodos fundamentales para los tres primeros modos de vibración, valores que nos permitirán cuantificar los


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desplazamientos , las fuerzas sísmicas laterales y el momento de volcamiento inducidos en el edificio con las aceleraciones espectrales obtenidas para el lugar. La aceleración pico del espectro Shake 92 obtenida para el sitio a partir de la estratigrafía conocida, será comparadacon la aceleración del espectro del (RNC1983) correspondiente ala zona sísmica de Managua. El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. El objetivo del ejemplo consiste en mostrar cada uno de los pasos que deberán seguirse cuando se emplea este método de análisis modal-espectral elástico hasta obtenerse las fuerzas cortantes directas en cada uno de los marcos constitutivos de la primera línea de defensa sismorresistente del sistema estructural analizado.

Fig. (3.32): Edificio simétrico estructurado en base a marcos rígidos de concreto


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En vista de la simetría del sistema estructural, no fueron cuantificadas las cortantes debidas a la torsión elástica originada por las excentricidades entre el centro de masas y el centro de flexión del edificio, ni las debidas a excentricidades accidentales lo cual se hará en los ejemplos 3.10 y 3.11, los cuales presentan mejores características para ilustrar el procedimiento a seguir en el análisis torsionante de edificios. El proceso de iteraciones matriciales para determinar las frecuencias correspondientes a los tres primeros modos de vibración se realizo empleando el operador Mathcad 6.0 El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. La cimentación consiste en una losa rígidizada con nervios de concreto en cada eje de los marcos cimentada en un estrato elástico. MATRIZ DE MASA DEL EDIFICIO.

La masa gravitatoria en cada nivel del edificio será calculada para la combinación dela CM+CVR desglosada del siguiente modo: No DESCRIPCION UM 01 Losa de pisos m² 02 Vigas de m entrepisos y azotea 03 Columnas de m concreto 04 Escaleras y m² descanso 05 Forros y m² particiones livianas 06 Losa de techo m² 07 Equipos de m² azotea 08 Ductos y m² tuberías 09 Cargas m² misceláneas

CANTIDAD CM(kg/m²) CVR(kg/m²) WCM(T) WCVR(T) 288 550 200 158.4 57.6 144 702(kg/m) 101.0

ΣW(T) ΣM(Tseg²/cm) 216T 0.22 101T 0.10

72

600(kg/m)

43.2

0.05

25

900

30

0.03

1000

120

120

0.12

288 288

550 118

187.2 34

0.19 0.03

288

25

7.2

7.2

0.01

288

25

7.2

7.2

0.01

43.2 300

22.5

7.5

120 100

158.4 34

28.8

Masa de cada piso y del techo m1=m2=m3=m4=m5= 0.54(Tseg²/cm)

Matriz de masas:


8

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Tseg 0 0 1 0 0 .0.54 . cm 0 0 0 1 0

(M ) =

2

0 0 0 0 1

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL EDIFICIO

Se empleara concretocon Ec = 282 (T/cm²) Emplear la Ec (3.27): Kx =

K =

12 .E.I

= 5.208

10 5

cm4

h3

12 . 16 . 282 . 5.208 . 10 5

Kz =

=

50 4 12

450 3

=309.445

T cm

Matriz de rigidez lateral considerando que las vigas horizontales son mucho más rigidas que las columnas, cuya seccion transversal se considera igual en todos los niveles del edificio.

K =

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

. 309.445 . T cm

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

1

F = K =

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

1 2 3 4 4

0

0

0

1

1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

=

1 2 3 3 3

3.232 . 10

3

cm T

MATRIZ DINAMICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION.

( D1 ) = ( F ). ( M ). 1.745 . 10

3


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CONFIGURACION CARACTERÍSTICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION

1.0 1.1 Vector de prueba inicial:

u1 = 1.2 1.3 1.4

Ecuación característica para el primer modo de 1 . vibración.( D1 ). u1 = u1 2 1 Primera iteracion matricial: 1 1 1 1 1 1.0 1 2 2 2 2

1.1

1 1.833

1 2 3 3 3 . 1.2 = 6. 2.483 1 2 3 4 4

1.3

2.933

1 2 3 4 5 1.4 3.167 Segunda iteración matricial: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

1.833

1 1.912

1 2 3 3 3 . 2.483 = 11.416. 2.664 1 2 3 4 4

2.933

1 2 3 4 5 3.167 Tercera iteración matricial: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

1.912

3.199 3.476 1 1.918

1 2 3 3 3 . 2.664 = 12.251. 2.681 1 2 3 4 4

3.199

3.226

1 2 3 4 5

3.476

3.509


10

Cuarta iteración matricial 1 1 1 1 1

1

1

1 2 2 2 2

1.918

1.919

1 2 3 3 3 . 2.681 = 12.334. 2.682 1 2 3 4 4

3.226

1 2 3 4 5 3.509 Quinta iteración matricial 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

1.919

3.228 3.513 1 1.919

1 2 3 3 3 . 2.682 = 12.342. 2.682 1 2 3 4 4

3.228

3.229

1 2 3 4 5

3.513

3.513

Para el grado de convergencia logrado, los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al primer modo de vibración son los siguientes: rad 1 2 1 = 6.864 . T1 = 0.915seg 1.745 . 12.342 . 10 3 =0.022 seg = 2 seg

Fig. (3.33): Configuración característica para el primer modo de vibración SEGUNDO MODO DE VIBRACION

Para el cálculo del segundo modo de vibración partimos de la aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de vibración, o sea: U1

T.

M . U2 = 0


11

1 0 0 0 0

u1

0 1 0 0 0

u2

( 1 1.919 2.682 3.229 3.513 ) . 0 0 1 0 0 . u3 0 0 0 1 0 u4 0 0 0 0 1 u5 u1 =

1.919u2

2.682u3

3.229u4

= 0

3.513u5

Ahora construiremos la matriz de eliminación (S1) del primer modo de vibración haciendo u1=0 y reemplazando los valores por los correspondientes a la fila i=1 en la matriz de masa (M) MATRIZ DE ELIMINACIÓN DEL PRIMER MODO DE VIBRACION

( S1 ) =

0

1.919

2.682

3.229

3.513

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

MATRIZ DINAMICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION

La matriz dinámica (D1) correspondiente al segundo modo de vibración se obtiene de la premultiplicación de la matriz dinámica(D) por la matriz de eliminación del primer modo (S1) o sea: ( D1 ) = ( D ). ( S1 )

CONFIGURACION CARACTERISTICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION


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Ecuación característica:

( D1 ). u2 =

1

. u2 . 1.745 . 10 3 seg 2 22 1 1

Vector de prueba inicial:

u1 =

0 1 1

Primera iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513

1

1

0 0.081

0.682

1.229

1.513

1

0.169

0 0.081

0.318

0.229

0.513 . 0

= 1.203. 0.169

0 0.081

0.318

0.771

0.487

1

0.169

0 0.081 0.318 0.771 1.487 Segunda iteración matricial 0 0.919 1.682 2.229 2.513

1

0.663 1

1

0 0.081

0.682

1.229

1.513

0.169

0.816

0 0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.169

= 0.85. 0.434

0 0.081

0.318

0.771

0.487

0.169

0.147

0 0.081 0.318 0.771 1.487 Tercera iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513

0.663

0.927

1

1

0 0.081

0.682

1.229

1.513

0.816

1.15

0 0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.434

= 1.177. 0.606

0 0.081

0.318

0.771

0.487

0.147

0.307

0 0.081

0.318

0.771

1.487

0.927

1.094


13

Cuarta iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229

2.513

1

1

0 0.081

0.682

1.229

1.513

1.15

1.262

0 0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.606

= 1.357. 0.676

0 0.081

0.318

0.771

0.487

0.307

0.357

0 0.081

0.318

0.771

1.487

1.094

1.163

Novena iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229

2.513

1

1

. . . .

0 0.081

0.682

1.229

1.513

1.308

1.311

0 0.081

0.318

0.229

0.513 . 0.714

= 1.444. 0.716

0 0.081

0.318

0.771

0.487

0.372

0.373

0 0.081

0.318

0.771

1.487

1.201

1.205

Para este grado de convergencia la frecuencia y el periodo natural correspondientes al segundo modo de vibración son los siguientes: rad 1 2 = 19.92 . 1.444 . 1.745 . 10 3 = 2.52 10 3 seg2 = 2 seg 2. 2 2 . T2 = = 396.86 seg = 0.315 seg 19.92

Fig. (3.34): Configuración característica para el segundo modo de vibración.


14

TERCER MODO DE VIBRACION

Partiremos de la doble aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de la siguiente manera: T U1 . ( M ). U3 = 0 T U2 . ( M ). U3 = 0

Estas dos condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones las cuales nos permiten fijar los valores de u1 y u2, dejando libre los valores de u3, u4 y u5 u1

1.919u2

2.682u3

3.229u4

3.513u5

=

0

u1

1.311u2

0.716u3

0.373u4

1.205u5

=

0

u1 = 3.523u3 u2 = 3.233u3

8.138u4 5.924u4

11.376u5 7.718u5

Ahora construimos la matriz de eliminación del segundo modo devibración eliminando en la matriz de masa las dos columnas correspondientes a los modos calculados. MATRIZ DE ELIMINACION DE LOS DOS PRIMEROS MODOS: 0 0

3.523

8.138

11.376

0 0

3.233

5.924

7.718

S2 = 0 0

1

0

0

0 0

0

1

0

0 0

0

0

1

MATRIZ DINAMICA DEL TERCER MODO:

D3 = D . S2


15

CONFIGURACIÓN CARACTERÍSTICA PARA EL TERCER MODO DE VIBRACIÓN:

Ecuación característica:

( D3 ). u3 =

1

. u3 . 1.745 . 10 3 seg 2 32

Vector de prueba inicial: 1 1

u3 =

0 1 1

Primera iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0

1

1

0.943

1.71

2.142

1

0.308

0 0 0.057

0.71

1.142 . 0

= 1.403. 0.308

0 0 0.057

0.29

0.142

1

0.308

0 0 0.057

0.29

0.858

1

0.405

Segunda iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0

1

1

0.943

1.71

2.142

0.308

0.104

0 0 0.057

0.71

1.142 . 0.308

= 0.483. 0.54

0 0 0.057

0.29

0.142

0.308

0.34

0 0 0.057

0.29

0.858

0.405

0.499

1

1

Tercera iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0

0.943

1.71

2.142

0.104

0.043

0 0 0.057

0.71

1.142 . 0.54

= 0.515. 0.697

0 0 0.057

0.29

0.142

0.34

0.388

0 0 0.057

0.29

0.858

0.499

0.581


16

Cuarta iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0

1

1

0.943

1.71

2.142

0.043

0.142

0 0 0.057

0.71

1.142 . 0.697

= 0.536. 0.799

0 0 0.057

0.29

0.142

0.388

0.438

0 0 0.057

0.29

0.858

0.581

0.646

1

1

. . . . . . .

Duodécima iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0

0.943

1.71

2.142

0.306

0.303

0 0 0.057

0.71

1.142 . 0.936

= 0.581. 0.936

0 0 0.057

0.29

0.142

0.564

0.565

0 0 0.057

0.29

0.858

0.78

0.778

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia y el periodo natural correspondientes al tercer modo de vibración son entonces los siguientes: rad 1 2 1.745 . 0.581 . 10 3 = 1.014 10 3 seg 3 = 31.406 . = seg 32 2. 2 2 . = 0.2 seg 3 = 986.344 seg T3 = 31.406

Fig. (3.35): Configuración característica correspondiente al tercer modo. Matriz modal para el sistema estructural en base a marcos rígidos en ambas direcciones


17

(A) =

3.51

1.21

0.78

3.23

0.37

0.57

2.68

0.72

0.94

1.92

1.31

0.30

1

1

1

ACELERACIONES ESPECTRALES

El edificio se construirá en un sitio cuya estratigrafía corresponde a las condiciones locales previamente descritas, para el cual se construyeron los espectros de respuestas descombolucionando el registro de acelerograma del terremoto del 23 de Diciembre de 1972. El periodo predominante de vibración del suelo Ts1 = 0.65 seg se obtuvo empleando matrices de transferencia, permitiéndonos clasificar el suelo como Tipo III, al cual corresponde el espectro para suelos medios del RNC1983. Los factores de amplificación dinámica para los periodos predominantes devibración del sistema estructural según el Art. 32 del RNC1983 son los siguientes: T1=0.915seg>0.5seg 0.5 0.5 D. ( T1 ) = 2. = 1.48 T1 T2<0.5seg, T3<0.5seg

0.10
ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES 1

O I 0.8 C A ) 0.6 R g E % L ( 0.4 E 0.2 C A 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PERIODO (Sec)

El cálculo de las aceleraciones espectrales A(c, T) requiere de la clasificación del sistema sismorresistente conforme al Capítulo del RNC1983: Grupo 2: Edificios destinados al uso de oficinas.


18

Tipo 5: Sistema estructural constituido en sus direcciones principales de análisis por marcos arriostrados de concreto reforzado para resistir la totalidad de las fuerzas laterales y verticales. El sistema de piso y techo constituyen diafragmas rígidos.

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES 15

D U T I 10 L P 5 M A 0 0

5

10

15

20

25

FRECUENCIA ( Hz )

Grado B: Sistema estructural con simetría aceptable, confiabilidad del sistema constructivo control de los materiales, supervisión permanente. Zona sísmica 6: Incluye la ciudad deManagua y su entorno geográfico según el mapa de isoaceleraciones del RNC 1983. Coeficiente sísmico ultimo: De Tabla 14 del RNC 1983. Grupo 2 Tipo 5 Grado B Cu= 0.452 Zona 6


19

Espectro de aceleraciones del RNC 1983 0.5

T1>0.5seg

ü (T1) =

0.10
ü (T2) = 1.00

0.10
ü (T3) = 1.00

T1

0.5

=

0.739

MODO T(seg) ü (T)

1 2 3

cü A=cüg(cm/seg²) 0.915 0.739 0.334 327.347 0.315 1.000 0.452 442.960 0.200 1.000 0.452 442.960

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES 0.012

D 0.01 U 0.008 T I L 0.006 P M0.004 A 0.002 0 0

2

4

6

8

FRECUENCIA (Hz)


20

COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL MODO

PISO

ui

Mi

Miui

Miui²

5

. Miui

Ci =

i= 1 5

. 2 Miui

i= 1

1 2 3 4 5

1

1.000 1.919 2.683 3.229 3.513

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

1.000 1.311 0.716 -0.373 -1.205

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

-1 -0.303 0.936 0.565 -0.778

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Σ

1 2 3 4 5

2

Σ

1 2 3 4 5

3

Σ

1.000 1.919 2.683 3.229 3.513 12.344 1.000 1.311 0.716 -0.373 -1.205 1.449 -1.000 -0.303 0.936 0.565 -0.778 -0.58

1.000 3.682 7.198 10.426 12.341 34.647 1.000 1.718 0.512 0.139 1.452 4.821 1.000 0.0918 0.876 0.319 0.605 2.892

C1=0.356

C2=0.300

C3=-0.200

DESPLAZAMIENTOS ESPECTRALES

i=

Ai. Ci. 2

i

Ui

Primer modo: 1

1=

1.919 327.347 . 0.356 . 2.682 47.125 3.228 3.513

2.473 4.745

=

6.632

c

7.983 8.687


21

Segundo modo: 1

2=

1.311 442.96 . 0.30 . 0.716 396.86 0.373

0.335 0.439

=

0.24

cm

0.125 0.403

1.205

Tercer modo: 1 0.303 442.96 . 0.20 . 0.936 986.344 0.565

3=

0.09 0.027

=

0.084

cm

0.051 0.07

0.778

FUERZAS SISMICAS ESPECTRALES

Fi = Ki. ij = Ki. ( i

j )

Modo 1: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 =

2.473 . 309.445 2.272 . 309.445 1.887 . 309.445 1.351 . 309.445 0.704 . 309.445

=765.257 T =703.059 T =583.923 T =418.06 T =217.849 T

Modo 2: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 =

0.335 . 309.445 =103.664 T 0.104 . 309.445 =32.182 T 0.199 . 309.445 = 61.58 T 0.365 . 309.445 = 112.947 T 0.278 . 309.445 = 86.026 T

Modo 3: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 =

0.09 . 309.445 =27.85 T 0.063 . 309.445 = 19.495 T 0.111 . 309.445 = 34.348 T 0.033 . 309.445 =10.212 T 0.121 . 309.445 =37.443 T


22

FUERZAS SISMICAS ESTANDARIZADAS

F1 =

765.257 2

103.664 2

F2 =

703.059 2

32.182 2

F3 =

583.923 2

(

F4 =

418.06 2

F5 =

217.849 2

(

(

61.58 )2

= 772.748 T

19.495 )2

(

=704.065 T

34.348 )2

=588.165 T

)2

10.212 2

=433.169 T

86.026 )2

37.443 2

=237.193 T

112.947

(

27.85 2

DISTRIBUCION VERTICAL DE LAS FUERZAS SISMICAS

El objetivo de este ejemplo es mostrar el procedimiento que debe seguirse para obtener las fuerzas sísmicas espectrales directas inducidas en edificaciones que puedan idealizarse como estructuras simples de cortante con parámetros discretos simplemente acoplados como el mostrado en la Fig (3.31) En el cálculo de las fuerzas se considero la influencia de las condiciones locales del suelo en las respuestas sísmicas incorporando las propiedades dinamicas de éste para la selección del espectro de respuestas, lo cual constituye el propósito de este trabajo. El ejemplo también permite establecer las diferencias cualitativas existentes para el tratamiento de edificios de varios niveles y el de puentes tradicionales de varios vanos como el previamente analizado.


23

Fig. (3.36): Distribución vertical de las fuerzas sísmicas y diagramas de momentos para estructuración en base a marcos rígidos.


24

Ahora cambiaremos el sistema estructural, para la misma geometría del edificio, incorporando muros de cortante en sustitución de los miembros verticales de los marcos y conservando las vigas y losas de pisos a como se aprecia en la Fig (3.37). Con la incorporación de muros de corte de concreto reforzado aumentamos la rigidez lateral del edificio y por ende disminuimos el valor del periodo fundamental de vibración, modificándose los valores de las fuerzas cortantes espectrales respecto a las obtenidas para la estructuración con marcos rígidos en ambas direcciones ortogonales. Ahora la rigidez individual de cada pieza de muro seobtiene con la Ec (3.26): Ec = 282 T/cm² H (m) L (m) t (cm) K (T/cm) Σ k (T/cm) 1y 2 4..50 2..50 30 162 685 3,4y 5 4..50 2.50 25 135 539 PISO

E. t

K =

h 4. L

3

3.

h L

Fig. (3.37): Estructuración del edificio en base a piezas de muros de cortante.


25

La matriz de rigidez lateral es ahora la siguiente:

( K ) =

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

.539 . T cm

La matriz deflexibilidad es :

( F) =

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

1

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

= 0.787 1.575 0.787 1.575 0.787 1.575

2.575

2.575

2.575

2.575

3.575

3.575

2.575

3.575

4.575

1

1

cm 1.85 .10 3 . T

Matriz dinámica para el primer modo de vibración: 0.787 0.787 0.787 0.787 0.787

1 0 0 0 0

1

0.787 1.575 1.575 1.575 1.575

0 1 0 0 0

1 2.001 2.001 2.001 2.001

0.787 1.575 2.575 2.575 2.575 . 0 0 1 0 0

=

1

1

1 2.001 3.272 3.272 3.272

0.787 1.575 2.575 3.575 3.575

0 0 0 1 0

1 2.001 3.272 4.543 4.543

0.787 1.575 2.575 3.575 4.575

0 0 0 0 1

1 2.001 3.272 4.543 5.813

Ecuación característica: 1 . 3 2 u1 .0.787 .10 .seg 2 1

( D1 ) . u1 =

Empleamos el mismo vector de prueba empleado en el análisis del sistema en base a marcos rígidos de concreto. Proceso iterativo: 1

1

1

1

1

1

1

1.1

1.834

1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 1.2

= 6.000 . 2.66 3.232 3.529

1 2.001 2.001 2.001 2.001 1 2.001 3.272 4.543 4.543

1.3

1 2.001 3.272 4.543 5.813

1.4

1

1

1

1

1

1

1

1.834

1.919

1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 2.66

= 12.255 . 2.896 3.598 3.963

1 2.001 2.001 2.001 2.001 1 2.001 3.272 4.543 4.543

3.232

1 2.001 3.272 4.543 5.813

3.529


26

1

1

1

1

1

1 2.001 2.001 2.001 2.001

1

1

1.919

1.926

1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 2.896 1 2.001 3.272 4.543 4.543 1 2.001 3.272 4.543 5.813 1 1 1 1 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1 2.001 3.272 3.272 3.272 1 2.001 3.272 4.543 4.543 1 2.001 3.272 4.543 5.813 1 1 1 1 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 1 2.001 3.272 4.543 4.543 1 2.001 3.272 4.543 5.813

= 13.376 . 2.92 3.598 3.638 3.963 4.015 1 1 1.926 1.927 . 2.92 = 13.499 . 2.922 3.638 3.643 4.015 4.021 1 1 1.927 1.927 2.922 = 13.513 . 2.923 3.643 3.643 4.021 4.021

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia angular natural y del periodo predominante de vibración son los siguientes: 1 1

2

= 0.787 .13.513 .10

3

= 0.011 seg 2

1 = 9.535 .

rad seg

T1 =

2. = 0.659 seg 9.535

Aplicando el principio de ortogonalidad construimos la matriz de eliminación del primer modo:

( S1 ) =

0

1.927

2.923

3.643

4.021

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1


27

La matriz dinámica para el segundo modo devibración es la siguiente:

1

1

1

1

1

0

1.927

2.923

3.643

4.021

0

1

0

0

0

1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 0

0

1

0

0

1 2.001 3.272 4.543 4.543

0

0

0

1

0

1 2.001 3.272 4.543 5.813

0

0

0

0

1

1 2.001 2.001 2.001 2.001

0

0.927

1.923

2.643

3.021

0 0.074

0.922

1.642

2.02

= 0 0.074 0.349 0.371 0.749 0 0.074 0.349 0.9 0.522 0 0.074 0.349 0.9 1.792

Proceso iterativo para el segundo modo: 0

0.927

1.923

2.643

3.021

1

1

0

0.074

0.922

1.642

2.02

1.5

1.351

0

0.074

0.349

0.371

0.749 . 0.75

0

0.074

0.349

0.9

0.522

0.40

0

0.074

0.349

0.9

1.792

1.2

= 1.85 . 0.768 0.332 1.156

0

0.927

1.923

2.643

3.021

1

1

0

0.074

0.922

1.642

2.02

1.351

1.385

0

0.074

0.349

0.371

0.749 . 0.768

0

0.074

0.349

0.9

0.522

0.332

0 0

0.074 0.927

0.349 1.923

0.9 2.643

1.792 3.021

1.156 1

0

0.074

0.922

1.642

2.02

1.385

0

0.074

0.349

0.371

0.749 . 0.827

0

0.074

0.349

0.9

0.522

0.325

0

0.074

0.349

0.9

1.792

1.22

= 1.641 . 0.827 0.325 1.22 1 1.4 = 1.67 . 0.853 0.322 1.25

0

0.927

1.923

2.643

3.021

1

1

0

0.074

0.922

1.642

2.02

1.4

1.404

0

0.074

0.349

0.371

0.749 . 0.853

0

0.074

0.349

0.9

0.522

0.322

0

0.074

0.349

0.9

1.792

1.25

= 1.689 . 0.863 0.32 1.261

Los valores dela frecuencia natural y del periodo correspondiente al segundo modo son: 1 2

2

= 0.787 .1.689 .10

3

= 1.329 10

3

seg 2

2 = 27.43 .

rad seg

T2 = 0.23 .seg


28

Empleando doblemente el principio de ortogonalidad de los modos podemos construir la matriz de eliminación de los modos previamente calculados: u1

1.93u2

2.92u3

3.64u4

4.02u5 = 0

u1

1.40u2

0.86u3

0.32u4

1.26u5 = 0

u1 = 4.58u3 u2 =

( S2 ) =

3.89u3

10.77u4

15.21u5

7.47u4

9.97u5

0 0

4.58

10.77 15.21

0 0

3.89

7.47

9.97

0 0

1

0

0

0 0

0

1

0

0 0

0

0

1

La matriz dinámica para el tercer modo es la siguiente

Proceso iterativo para obtener la figura característica del tercer modo a partir de un vector de prueba arbitrario: 0 0

1.69

4.3

6.24

1

1

0 0

1.203

2.176

2.739

0.40

0.528

0 0

0.068

0.905

1.468 .

0 0

0.068

0.366

0.197

0.75

0 0

0.068

0.366

1.073

0.9

1

= 0.701 . 1.013 0.742 0.889


29

0 0

1.69

4.3

6.24

1

1

0 0

1.203

2.176

2.739

0.528

0.617

0 0

0.068

0.905

1.468 . 1.013

0 0

0.068

0.366

0.197

0.742

0 0

0.068

0.366

1.073

0.889

= 0.645 . 1.088 0.8 0.95

0 0

1.69

4.3

6.24

1

1

0 0

1.203

2.176

2.739

0.617

0.69

0 0

0.068

0.905

1.468 . 1.088

0 0

0.068

0.366

0.197

0.8

0 0 0 0

0.068 1.69

0.366 4.3

1.073 6.24

0.95 1

0 0

1.203

2.176

2.739

0.69

0 0

0.068

0.905

1.468 . 1.148

0 0

0.068

0.366

0.197

0.854

0 0

0.068

0.366

1.073

1.006

= 0.649 . 1.148 0.854 1.006 1 0.728 = 0.665 . 1.176 0.886 1.036

0 0

1.69

4.3

6.24

1

1

0 0

1.203

2.176

2.739

0.757

0.781

0 0

0.068

0.905

1.468 . 1.198

0 0

0.068

0.366

0.197

0.912

0 0

0.068

0.366

1.073

1.06

= 0.668 . 1.216 0.934 1.081

. . .

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondienteal tercer modo son: 1 3

2

= 0.787 .0.67 .10

3

= 5.273 10

4

seg 2

3 = 43.543 .

rad seg

T3 =

2. = 0.144 seg 43.543


30

La aceleración espectral del RNC1983 para los tres modos es: A = 0.452g = 443 cm/seg² Matriz modal para el sistema estructural en base a muros de cortante.

(A) =

4.02

1.26

1.08

3.64

0.32

0.93

2.92

0.86

1.22

1.93

1.4

0.78

1

1

1

Puede apreciarse la aproximación de un 5% entre el valor de la aceleración A = 0.452g obtenida con el espectro del RNC1983 y el valor de A = 0.478g correspondiente al espectro de aceleraciones construido con los datos geotécnicos para el sitio de la obra.


31

Los coeficientes de participación modal son: MODO

ui

PISO

Mi

Miui

Miui²

5

. Miui

Ci =

i= 1 5

. 2 Miui

i= 1

1

1 2 3 4 5

1.00 1.93 2.92 3.64 4.02

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

1.00 1.40 0.86 -0.32 -1.26

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

-1.00 -0.78 1.22 0.93 -1.08

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Σ

2

1 2 3 4 5 Σ

3

1 2 3 4 5 Σ

1.00 1.93 2.92 3.64 4.02 13.51 1.00 1.96 0.86 -0.32 -1.26 2.24 -1.00 -0.78 1.22 0.93 -1.08 -0.71

1.00 3.72 8.53 13.25 16.16 42.66 1.00 1.96 0.74 0.10 1.59 5.39 1.00 0.60 1.49 0.86 1.17 5.12

C1 = 0.32

C2 = 0.41

C3 = -0.14

Los desplazamientos espectrales para cada modo son los siguientes: i=

Ai. Ci.

1 1.93 443 .0.32 . 2.92 1= 90.916 3.64 4.02 1 1.40 443 .0.41 . 0.86 2= 752.405 0.32 1.26

2

i

Ui

1.559 3.009

= 4.553 5.676 6.268

c

0.241 0.338

= 0.208 0.077 0.304

c


32

0.033

1 3=

0.78 443 .0.14 . 1.22 1896 0.93 1.08

0.026

= 0.04 0.03 0.035

cm

Las fuerzas sísmicas horizontales son las siguientes: Modo 1: F1 F2 F3 F4 F5

= = = = =

685 .1.56 = 1.069 10 3 T 685 .( 3.01 1.56 ) = 993.25 T 539 .( 4.55 3.01 ) = 830.06 T 539 .( 5.67 4.55 ) = 603.68 T 539 .( 6.27 5.67 ) = 323.4 T

Modo 2: F1 F2 F3 F4 F5

= = = = =

685 .0.24 = 164.4 T 685 .( 0.34 0.24 ) = 68.5 T 539 .( 0.21 0.34 ) = 70.07 T 539 .( 0.08 0.21 ) = 156.31 T 539 .( 0.30 0.08 ) = 118.58 T

Modo 3: F1 F2 F3 F4 F5

= = = = =

685 .( 0.033 ) = 22.605 T 685 .( 0.026 0.033 ) = 40.415 T 539 .( 0.04 0.026 ) = 35.574 T 539 .( 0.03 0.04 ) = 5.39 T 539 .( 0.035 0.03 ) = 35.035 T

Fuerzas sísmicas estandarizadas: F1 =

1.069 .10 3

2

( 164.4 )2

( 22.605 )2 = 1.082 10 3

F2 =

( 993.25 )2

( 68.5 )2

F3 =

( 830.06 )2

( 70.07 )2

( 35.574 )2 = 833.772 T

F4 =

( 603.68 )2

( 156.31 )2

( 5.39 )2 = 623.612 T

F5 =

( 323.40 )2

( 118.58 )2

( 35.035 )2 = 346.231 T

T

( 40.415 )2 = 996.429 T


33

Fig. (3.38): Distribución vertical de las cortantes sísmicas en las piezas de muros.

Comparación de las cortantes sísmicas obtenidas para ambos sistemas estructurales. SISTEMA ESTRUCTURAL

Marcos Muros

F1

F2

F3

F4

F5

773 1082

704 996

588 834

433 624

237 346

DIMENSIONAMIENTO DE LA PIEZA DE MURO TIPICA DE LA PLANTA BAJA.

Para dimensionar el refuerzo de los muros de cortante empleamos el ACI Art 11-10 . Vc ). s2 ( Vu a) Refuerzo por cortante: Vc = 2. f c. h. d Av = . fy. d Vu kg 270.5 . 10 3 Vu< . Vc = = 3.536 d = 0.8L= 200cm 2 . h. d 0.85 . 450 . 200 cm Emplear cuantía mínima: ρ = 0.0025 Av = 2.25 cm² dos lechos de No 4@ 30cm A/D vu =

b) Refuerzo por flexión:

Mu kg = 43.4 . . b. d2 cm2

=

0.011 14No8

en tension

f’c = 283 kg/cm², fy = 4218 kg/cm²


34

DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA DE CIMENTACIÓN

La fundación del edificio consisteen unalosa rígida de 19x19x0.50mcartelada en los ejes resistentes en ambas direcciones ortogonales. Para determinar los valores de las presiones transmitidas al estrato de cimentación se empleo la red de elemento finito mostrada en la Fig. (3.39a), este método se basa en asumir que el modulo de subgrado es sustituido por un lecho muelles enrollados cuya rigidez de resorte constante k representa el valor del coeficiente de reacción desubgrado del suelo decimentación.


35

a) Red de elemento finito empleado en el análisis del sistema de cimentación.

Fig. (3.39): Geometría y cargas del sistema de cimentación.

La ecuación diferencial parcial de cuarto orden de Lagrange para calcular las deflexiones de una losa de cimentación apoyada sobre suelo elástico es:


36

q

4.

=

k . D

Siendo: 4.

4.

4.

=

4

.

.

2.

4. .

2

.

4

q = reacción de subgrado por unidad de área de la losa. k = coeficiente de reacción de subgrado.

E = modulo de elasticidad.

δ=

μ = relación de Poisson.

deflexión de la losa

E. t

3

D = rigidez de la losa =

12 . ( 1

2

)

t = espesor de la losa


37

Fig. (3.40): Presiones de contacto entre el suelo y la losa de cimentación.

En el método de las diferencias finitas se sustituye la ecuación diferencial parcial de cuarto orden por un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas para obtener las deflexiones de un numero finito de puntos donde se interceptan las retículas (hxh) en que fue dividida la losa .Determinadas las deflexiones se calculan los momentos y esfuerzos cortantes mediante la relación apropiada entre las deflexiones de los grupos de puntos.


38

Fig. (3.41): Reacciones en las esquinas de la losa y diagramas de momentos.

Cada elemento pequeño en que fue dividida la placa posee propiedades de deformación por flexión las que pueden cuantificarse con buena aproximación. El método consiste en aplicar las cargas en las esquinas de los elementos separados, restableciendo luego las condiciones de continuidad para la pendiente deformación de cada nodo, de manera que se cumplan las condiciones de equilibrio y de frontera. Mx = M’x + μM’δ

Donde Mx =momento flexionante en una franja unitaria de losa en dirección x M’x =momento flexionante en dirección x sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección z M’δ =momento flexionante en dirección z sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección x.

Usando los operadores de diferencias finitas, el momento total en una franja de losa en la dirección m-n se expresa para un punto interior común a cuatro retículas del siguiente modo:


Analisis Modal Elastico Edificio 5 Niveles- Ing Gilberto Lacayo

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