Analisis de Una Armadura Estaticamente Determinad1

"AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA"

TRABAJO ° 01

FACULTAD: INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL: INGENIERÍA CIVIL CURSO: Calculo IV DOCENTE:

19 de abril del 2013

ANALISIS DE UNA ARMADURA ESTATICAMENTE DETERMINADA (INGENIERIA CIVIL/AMBIENTAL) Antecedentes.- Un problema importante en la ingeniería estructural es encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. En la figura 12.4 muestra el ejemplo de una armadura. Las fuerzas “F” representan la tensión o la compresión sobre los componentes de la armadura. Las

reacciones externas a los ( ,  y  ) son fuerzas que caracterizan cómo interactúan dicha con la superficie de soporte. El apoyo fijo en el nodo 2 puede transmitir fuerzas horizontales y verticales a la superficie, mientras que el apoyo móvil en el nodo 3 transmite solo fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa de 1000 lb se distribuye entre los componentes de la armadura.

Solución: este tipo de estructuras se pueden describir como un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales relacionadas. Los diagramas de cuerpo libre para cada nodo se muestran en la figura 12.5. La suma de las fuerzas en ambas direcciones, vertical y horizontal deben ser 0 en cada nodo, ya que el sistema está en reposo. Por lo tanto para el nodo 1. ∑    =          ∑    =       

En el nodo 2, ∑    =          ∑    =       

Para el nodo 3, ∑    =        ∑    =       

Donde  es la fuerza horizontal externa aplicada sobre el nodo “i” (se co nsidera que una fuerza positiva de izquierda a derecha) y  es la fuerza vertical externa que se aplica sobre el nodo i (donde una fuerza positiva va hacia arriba. Así, en este problema la fuerza de 1000 lb hacia abajo en el nodo 1 corresponde a  = -1000 lb. En este caso, todas las otras  y  son cero. Observe que las direcciones de las fuerzas internas y de las reacciones son desconocidas. La aplicación correcta de las leyes de newton requiere solo de suposiciones consistentes respecto a la dirección. Las soluciones son negativas si las direcciones se asumen de manera incorrecta. También observe que en este problema, las fuerzas en todos los componentes se suponen en tensión y actúan tirando de los nodos adyacentes. Una solución negativa, por lo tanto corresponde a compresión. Este problema se plantea como el siguiente sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas:

A través de matlap hallamos los valores de las todas las fuerzas que actúan sobre la armadura a través del método por eliminación gaussiana.

 =-500 lb (C)  =433 lb (T)  = 0 lb

 = 250 lb (T)

 =-886 lb (C)  = 750 lb (T)

A través de matlap hallamos los valores de las todas las fuerzas que actúan sobre la armadura a través del método directo.

.  =-500 lb (C)  =433 lb (T)  = 0 lb

La matriz inversa es.

 = 250 lb (T)

 =-886 lb (C)  = 750 lb (T)

Ahora observe que el vector del lado derecho representa las fuerzas horizontales y verticales aplicadas externamente sobre cada nodo,

Debido que las fuerzas externas no tienen efecto sobre la descomposición LU, no se necesita aplicar el método una y otra vez para estudiar el efecto de diferentes fuerzas externas sobre la armadura. Todo lo que ay que hacer es ejecutar los pasos de la sustitución hacia adelante y hacia atrás para cada vector de lado derecho ,y así obtener de manera eficiente soluciones alternativas. Por ejemplo, podríamos querer estudiar el efecto de fuerzas hor izontales inducidas por un viento que sopla de izquierda a derecha . Si la fuerza del viento se puede idealizar como dos fuerzas puntuales de 1000 libras sobre los nodos 1 y 2(figura 12.6a), el vector de lado derecho es:

Que se utiliza para calcular

 =-866 lb (C)  =250 lb (T)  = -2000 lb  = -433 lb (T)

 =-500 lb (C)  = 433 lb (T)

Para un viento de la derecha (figura 12.6b),  = -1000,  =-1000, y todas las demás fuerzas externas son cero, con lo cual resulta.

 =-866 lb  = -2000 lb

 =-1200 lb  = 433 lb

 =500 lb  =-433 lb

Los resultados indican que los vientos tienen efectos marcadamente diferentes sobre la estructura. Ambos casos se presentan en la figura 12.6. Cada uno de los elementos de la matriz inversa tiene también utilidad directa para aclarar las interacciones estimulo. Respuesta en la estructura. Cada elemento representa el cambio de una de las variables desconocidas a un cambio unitario de uno de los estímulos externos. El procedimiento anterior resulta particularmente útil cuando se aplica a grandes estructuras complejas. En la práctica de ingeniería, en ocasiones es necesario resolver estructuras con cientos y aun miles de elementos estructurales. Las ecuaciones lineales proporcionan un medio poderoso para ganar cierta comprensión del comportamiento de dichas estructuras.