ANALISIS ESTRUCTURAL HIPERESTATICAS Este tipo de estructuras no pueden ser analizadas únicamente mediante las ecuaciones de la estática o de equilibrio, ya que éstas últimas proporcionan un número insuficiente de ecuaciones. Los problemas Los problemas hiperestáticos requieren condiciones adicionales usualmente llamadas ecuaciones llamadas ecuaciones de compatibilidad compatibilidad que involucran fuerzas o o esfuerzos esfuerzos internos y desplazamientos de puntos de la estructura. Existen varios métodos generales que pueden proporcionar estas ecuaciones:
Método matricial de la rigidez Teoremas de Castigliano Teoremas de Mohr Teorema de los tres momentos
MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ El método matricial de la rigidez es rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica forma elástica y lineal. En lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, (DSM, método directo de la rigidez), rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método del método de los elementos finitos. Las finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los aeronáutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla.
INTRODUCCION El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:
Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y ɳ el número de grados de libertad de la estructura. La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación:
Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:
Fundamento Teórico En general, un sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema físico con un número infinito de grados de libertad. Así sucede que en general para describir la deformación de un sólido necesitándose explicitar un campo vectorial de desplazamientos sobre cada uno de sus puntos. Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un número finito de parámetros, y por tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un número finito de grados de libertad. Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con el área de su sección transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamada curva elástica cuya deformación siempre es reductible a un conjunto finito de parámetros. En concreto, fijados los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elástica, queda completamente determinada su forma. Así, para una estructura formada por barras largas elásticas, fijados los desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente mediante un número finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un número finito de ecuaciones algebráicas. El método matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la barras con variables dependientes de las fuerzas exteriores. Esto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones internas y deformaciones involucra la resolución de complejos sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Descripción del método
El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos. Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitos). Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnitas y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:
Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita. Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incógnita.
Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.
Matrices de rigidez elementales Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de: 1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotradaarticulada, barra biarticulada). 2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de área (momentos de inercia de la sección) y las características geométricas generales como la longitud de la barra, curvatura, etc. 3. El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la deformada de la barra).
Barra recta bidimensional de nudos rígidos Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aún estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos
rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:
Donde: L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia). E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young). Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse más abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica:
Dónde: es
la esbeltez mecánica característica.
Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por:
Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habría que permitir los elementos de la matriz anterior para obtener:
Barra recta bidimensional con dos nudos articulados Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfuerzos a lo largo de su eje, la correspondiente matriz de rigidez de esa barra sólo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por:
Arco circular bidimensional de nudos rígidos Barra recta tridimensional de nudos rígidos
Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslación y 3 de orientación), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12. Además una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y también flexión y esfuerzo cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejida de comportamiento estructural es lo que hace que una barra tridimensional requiera más grados de libertad y un matriz de rigidez más compleja para describir su comportamiento, esta matriz está compuesta de 3 submatrices: Y las magnitudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son: L, A, , , J son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área transversal, momentos de área en las direcciones y y z y módulo de torsión, respectivamente. E, G el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal. 1= + 1, 2 = -1son signos relativos.
Fuerzas nodales Para cada barra se define un vector elemental de fuerzas nodales generalizadas, que sea estáticamente equivalente, a las fuerzas aplicadas sobre la barra. El tamaño del vector de fuerzas nodales depende de la dimensionalidad de la barra:
Las componentes de este vector conforman un sistema de fuerzas y momentos de fuerza, tal que la fuerza resultante y el momento resultante de las mismas coinciden con la fuerza y momento del sistema de fuerzas original sobre la barra.
Ejemplo
Para las cargas mostradas en la figura adjunta sobre una barra o viga bidimensional el vector de fuerzas nodales consiste en dos fuerzas verticales (F Vd, F Vi) aplicadas en cada uno de los dos extremos, dos fuerzas horizontales ( F Hd, F Hi) aplicadas en cada uno de los extremos y dos momentos de fuerza (Md, Mi) aplicados en cada uno de los extremos. Esas seis componentes forman el vector de fuerzas nodales. Es sencillo comprobar que la fuerza y el momento resultantes de estas seis componentes son estáticamente equivalentes al sistema de fuerzas original formado por P y q si se toman los siguientes valores:
Ejemplo de carga sobre una viga, P es una carga puntual, y q representa una carga por unidad de longitud.
Cálculo de desplazamientos Una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector de fuerzas nodales global se construye un sistema de ecuaciones como (1). Este sistema tiene la propiedad de que puede descomponerse en dos subsistemas de ecuaciones: 1. El primero de estos sistemas relaciona únicamente los desplazamientos incógnita con algunas de las componentes del vector de fuerzas nodales global y constituye siempre un sistema compatible determinado 2. El segundo subsistema contiene también las reacciones incógnitas y una vez resuelto el primer subsistema es de resolución trivial. Resolviendo el primer subsistema compatible determinado, se conocen los desplazamientos incógnita de todos los nudos de la estructura. Insertando la solución del primer subsistema en el segundo resultan las reacciones. Podemos ilustrar el cálculo de desplazamientos con un ejemplo. Por ejemplo si consideramos la flexión en el plano XY de la viga recta de la sección anterior considerando que se trata de una viga biarticulada unida en sus extremos a dos rótulas fijas tendríamos que el sistema general (1) tendría la forma para este caso particular:
Las filas 3 y 6 contienen los giros (desplazamientos) incógnita de los extremos de la viga y tomadas en conjunto conforman el primer subsistema para los desplazamientos. Ignorando los términos nulos y reescrito en forma matricial el subsistema de ecuaciones para los desplazamientos es simplemente:
Cuya solución nos da el valor del ángulo girado por el extremo derecho e izquierdo de la viga bajo esas cargas:
Una vez conocidos estos valores e insertados en la matriz las filas 1, 2, 4 y 5 nos proporcionan en valor de las cuatro reacciones hiperestáticas desconocidas previamente.
Cálculo de reacciones Una vez calculados los desplazamientos resolviendo un sistema de ecuaciones, el cálculo de las reacciones es sencillo. A partir de la ecuación (1) tenemos simplemente:
Tomando el mismo ejemplo que en la última sección el cálculo de reacciones sobre la v iga biarticulada con carga P y q sería:
Introduciendo los valores de los giros en los extremos y multiplicando la matriz de rigidez por el vector de desplazamientos se tiene finalmente que: Esto completa el cálculo de reacciones.
Cálculo de esfuerzos El cálculo de esfuerzos se realiza examinando en coordenadas locales de las barras el esfuerzo axial, los esfuerzos cortantes, los momentos flectores y el momento torsor generados en cada una de las barras, conocidos los desplazamientos de todos los nudos de la estructura. Esto puede hacerse usando las matrices de rigidez expresadas en coordenadas locales y los desplazamientos nodales expresados también en coordenadas locales.
Análisis dinámico El análisis estático discutido anteriormente puede generalizarse para encontrar la respuesta dinámica de una estructura. Para ello se require representar el comportamiento inercial de la estructura mediante una matriz de masa M, modelizar las fuerzas disipativas mediante una matriz de amortiguamiento C, que junto con la matriz de rigidez K permiten plantear un sistema de ecuaciones de segundo orden del tipo:
La solución del sistema anterior pasa por un cálculo de las frecuencias propias y los modos propios. Admitiendo que las fuerzas disipativas son poco importantes las frecuencias propias se pueden determinar resolviendo la siguiente ecuación polinómica en 2:
Esas magnitudes permiten realizar un análisis modal que reproduce el comportamiento de la estructura bajo diferentes tipos de situaciones.
TEOREMAS DE CASTIGLIANO Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano(1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.
Primer Teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico K ⋲ ℝ 3 sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,..., An y llamamos U(1,…, ) a la energía potencial elástica o potencial interno donde es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida P i en el punto Ai viene dada por:
Segundo Teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico K ⋲ ℝ3 sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,..., An y llamamos U(1,…, ) a la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:
Este teorema puede particularizarse a numerosos casos prácticos de forma algo más concreta, por ejemplo en la teoría de vigas Euler-Bernoulli se emplea la forma:
donde:
(s), (s), (s) representan los esfuerzos de sección (axial y flectores) a lo largo del eje baricéntrico de la viga. A, , representan el área y los segundos momentos de área de la sección transversal de la viga. E es el módulo de Young del material de la viga.
TEOREMAS DE MOHR Los teoremas de Mohr, describen la relación entre el momento flector y las deformaciones que éste produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son métodos de cálculo válidos para estructuras isostáticas e hiperestáticas regidas por un comportamiento elástico del material. Usualmente estos teoremas son conocidos como Teoremas de Mohr, sin embargo fueron presentados por el matemático británico Green en 1873.
PRIMER TEOREMA DE MOHR: VARIACIONES ANGULARES El ángulo ( ) que hay comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la curva elástica plana, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos:
Donde
los ángulos deben expresarse en radianes. El teorema de Mohr dice que el giro de un punto de una elástica (la deformada) respecto de otro punto de la elástica, se puede obtener mediante el área de momentos flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexión "EI". La variable x recorre el eje baricéntrico de la pieza prismática.
Deducción Esta fórmula puede ser obtenida directamente integrando la ecuación de la curva elástica linealizada:
Teniendo en cuenta que las derivadas de la flecha transversal v al eje pueden coincidir aproximadamente con los ángulos girados por la sección, la ecuación anterior nos lleva que:
Expresión no linealizada El "primer teorema de Mohr" en realidad proporciona una expresión aproximada para pequeños desplazamientos. Si se considera la expresión completa de la elástica (no-linealizada) el primer teorema de Mohr resultaría:
Para probar esta expresión se procede igual que antes, integrando la expresión de la curva elástica, considerando esta vez la expresión completa:
Teniendo en cuenta ahora que:
Segundo Teorema de Mohr: Flechas Dados dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, y dada una recta vertical que pasa por la abscisa de A, la distancia vertical entre la curva elástica en A y la intersección de la tangente que pasa por B y la recta vertical anterior es igual al momento estático con respecto a A del área de momentos reducidos comprendida entre A y B:
l momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia entre A y su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.
Deducción Existen muchas deducciones diferentes basadas en principios físicos. Sin embargo, realmente el segundo teorema de Mohr puede considerarse un caso particular de desarrollo de Taylor hasta primer orden con residuo en forma integral. Si aproximamos la flecha o desplazamiento transversal al eje de la viga mediante el teorema de Taylor obtenemos:
Reescribiendo las derivadas segundas en términos de la curva elástica y las derivadas primeras en términos de giros angulares:
Se tiene que:
E interpretando geométricamente los términos se aprecia que la diferencia entre el descenso en A y el punto de corte de la tangente en B al cruzar la vertical a es precisamente :
Aplicación Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.
Los teoremas de Mohr son relativos, es decir, siempre se calcula la flecha o el giro respecto al de otro punto. Su aplicación práctica sólo es útil cuando uno de los puntos tiene un giro o flecha conocido, especialmente si por sus condiciones de contorno alguno de estos valores es cero.
Condiciones de contorno En el caso de un empotramiento el valor de los dos desplazamientos y el giro son nulos. En el caso del apoyo se anulan valor de la flecha y el horizontal. En el caso del carrito se anula la flecha.
TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.
ENUNCIADO Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples, los momentos flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación
Donde
,
son las distancias a los centroides de los diagramas de momentos flectores por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas se puede calcular como:
Casos particulares Carga continua y uniforme Una fórmula frecuentemente empleada para tableros de puentes, v iga y otros elementos con una carga uniforme es un caso particular del teorema de los tres momentos:
Cálculo de áreas y distancias Las fórmulas integrales no resultan cómodas en el caso general, sin embargo, para los casos más frecuentes de carga es posible calcular el área del diagrama de momentos isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas áreas. Para un tramo de longitud L las magnitudes anteriores son:
Fórmulas para el área y los centros de gravedad
Teorema de los dos momentos El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona el momento flector en dos apoyos consecutivos pero requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se tiene un empotramiento a la izquierda y otro apoyo simple a la derecha, el teorema de los dos momentos establece que la relación entre ambos es
Expresión que puede obtenerse como caso límite del teorema de los tres momentos anterior haciendo = 0 y -> 0. Si el empotramiento está a la derecha y el apoyo simple a la izquierda la expresión es:
Que también se obtiene de la expresión de los tres momentos haciendo +1 =0 y +1 -> 0
Cálculo de reacciones Una vez determinados los momentos hiperestáticos con ayuda del teorema de los tres momentos el cálculo de reacciones verticales en cada uno de los apoyos se puede hacer fácilmente con ayuda de la siguiente fórmula:
Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse igual a cero en el caso de los apoyos extremos por ser inexistente. Y donde:
−, es la reacción isostática en el apoyo de la izquierda del k-ésimo vano, +, es la reacción isostática en el apoyo de la derecha del k-ésimo vano.
Obviamente:
