UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO ESCALONADO PARTE III GRUPOS “A” y “D”
ASIGNATURA: ANÁLISIS MATEMÁTICO II Grupo: A DOCENTE: Ing. Horacio Urteaga Becerra Prof. de la asignatura
TEMA: USO DE WOLFRAM MATHEMATICA- Capítulo VI-VII-VIII
INTEGRANTES: Cáceres Vásquez, Edin Humberto.
León Díaz, César Eduardo.
Morales Fernández, Carlos Enrique.
Romero Bazán, Wilder Omar.
Cajamarca, 07 de julio del 2017.
Índice 1.
................................................................................................................ ........................................................ 5 INTRODUCCIÓN ........................................................
2.
......................................................................................................................... ....................................................... 6 OBJETIVOS ..................................................................
3.
.................................................................................................................. ........................................................ 6 JUSTIFICACIÓN ..........................................................
4.
........................................................................................................................... 6 ALCANCE ............................................................................................................................
5.
............................................................................................................ 7 MARCO TEÓRICO: .............................................................................................................
5.1.
.................................................................................................................. 7 Capítulo VI: ...................................................................................................................
5.1.1.
............................................................................................ 7 Cálculo de dominios. .............................................................................................
5.1.2.
Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ......... 8
5.1.3.
Gráficas de superficies de revolución. ................................................................ 13
5.1.4.
Gráficas de superficies cuádricas. ....................................................................... 17
5.1.5.
..................................................................... 21 Gráficas de superficies cilíndricas. ......................................................................
5.1.6.
Gráficas de superficies paramétricas. .................................................................. 23
5.1.7.
.................................................................................................. 24 Curvas de nivel. ...................................................................................................
5.1.8.
Superficies de nivel. ............................................................................................ 25
5.1.9.
............................................................................................................... 27 Límites. ................................................................................................................
5.1.10.
............................................................................ 29 Continuidad y discontinuidad. .............................................................................
5.1.11.
Derivadas parciales de primer orden. .................................................................. 32
5.1.12.
Derivadas parciales de orden superior................................................................. 35
5.1.13.
..................................................................................... 36 Derivadas direccionales. ......................................................................................
5.1.14.
............................................................................................................ ...... 37 Gradiente. ......................................................................................................
5.1.15.
.................................................................................. 39 Integrales dobles y triples. ...................................................................................
5.1.16.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en
coordenadas cartesianas. .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 41 5.1.17.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en
........................................................................................................... .......................................... 42 coordenadas polares. .................................................................
5.1.18.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
coordenadas cartesianas. .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 43
Índice 1.
................................................................................................................ ........................................................ 5 INTRODUCCIÓN ........................................................
2.
......................................................................................................................... ....................................................... 6 OBJETIVOS ..................................................................
3.
.................................................................................................................. ........................................................ 6 JUSTIFICACIÓN ..........................................................
4.
........................................................................................................................... 6 ALCANCE ............................................................................................................................
5.
............................................................................................................ 7 MARCO TEÓRICO: .............................................................................................................
5.1.
.................................................................................................................. 7 Capítulo VI: ...................................................................................................................
5.1.1.
............................................................................................ 7 Cálculo de dominios. .............................................................................................
5.1.2.
Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ......... 8
5.1.3.
Gráficas de superficies de revolución. ................................................................ 13
5.1.4.
Gráficas de superficies cuádricas. ....................................................................... 17
5.1.5.
..................................................................... 21 Gráficas de superficies cilíndricas. ......................................................................
5.1.6.
Gráficas de superficies paramétricas. .................................................................. 23
5.1.7.
.................................................................................................. 24 Curvas de nivel. ...................................................................................................
5.1.8.
Superficies de nivel. ............................................................................................ 25
5.1.9.
............................................................................................................... 27 Límites. ................................................................................................................
5.1.10.
............................................................................ 29 Continuidad y discontinuidad. .............................................................................
5.1.11.
Derivadas parciales de primer orden. .................................................................. 32
5.1.12.
Derivadas parciales de orden superior................................................................. 35
5.1.13.
..................................................................................... 36 Derivadas direccionales. ......................................................................................
5.1.14.
............................................................................................................ ...... 37 Gradiente. ......................................................................................................
5.1.15.
.................................................................................. 39 Integrales dobles y triples. ...................................................................................
5.1.16.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en
coordenadas cartesianas. .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 41 5.1.17.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en
........................................................................................................... .......................................... 42 coordenadas polares. .................................................................
5.1.18.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
coordenadas cartesianas. .......................................................... ..................................................................................................... ........................................... 43
5.1.19.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
coordenadas cilíndricas. ...................................................................................................... 44 5.1.20.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
........................................................................................................ 45 coordenadas esféricas. .........................................................................................................
5.1.21.
Funciones vectoriales: gráficas, límites, derivadas e integrales. ......................... 46
5.1.22.
Campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales: Gráficos. Rotacional y
Divergencia. Aplicaciones. .................................................................. ................................................................................................. ............................... 46 5.2.
Capítulo VII: ......................................................... ............................................................................................................... ...................................................... 48
5.2.1.
Desarrollar alguna aplicación o aplicaciones del programa matemático a la
ingeniería civil. .................................................................................................................... ................................................................................................................... 48 5.3.
Capítulo VIII: .............................................................................................................. ............................................................................................................. 49
5.3.1.
Indicar las ventajas del Programa MATEMÁTICO asignado, en relación con los
........................................................ ......... 50 programas matemáticos asignados asignados a los otros grupos. ...............................................
6.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: ................................................................................... 50 6.1.
................................................................................................................ 50 Capítulo VI: .................................................................................................................
6.1.1.
.......................................................................................... 50 Cálculo de dominios. ...........................................................................................
6.1.2.
Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas...Error!
Bookmark not defined.
6.1.3.
Gráficas de superficies de revolución. ................................................................ 51
6.1.4.
Gráficas de superficies cuádricas. ...........................Error! Bookmark not defined.
6.1.5.
Gráficas de superficies cilíndricas. ...................................................................... ..................................................................... 55
6.1.6.
Gráficas de superficies paramétricas. ......................Error! Bookmark not defined.
6.1.7.
Curvas de nivel. ................................................................................................... .................................................................................................. 57
6.1.8.
Superficies de nivel. ................................................Error! Bookmark not defined.
6.1.9.
Límites. ................................................................................................................ ............................................................................................................... 59
6.1.10.
Continuidad y discontinuidad.. ................................Error! Bookmark not defined.
6.1.11.
Derivadas parciales de primer orden. .................................................................. 62
6.1.12.
Derivadas parciales de orden superior................................................................. 67
6.1.13.
Derivadas direccionales.. .........................................Error! Bookmark not defined.
6.1.14.
Gradiente. ............................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.15.
Integrales dobles y triples. ................................................................................... 69
6.1.16.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en
coordenadas cartesianas. ..................................................................................................... 70 6.1.17.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en
coordenadas polares. ...............................................................Error! Bookmark not defined. 6.1.18.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
coordenadas cartesianas. .........................................................Error! Bookmark not defined. 6.1.19.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
coordenadas cilíndricas. ..........................................................Error! Bookmark not defined. 6.1.20.
Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en
coordenadas esféricas. ......................................................................................................... 71 6.1.21.
Funciones vectoriales: gráficas, límites, derivadas e integrales. .. Error! Bookmark
not defined.
6.1.22.
Campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales: Gráficos. Rotacional y
Divergencia. Aplicaciones. .....................................................Error! Bookmark not defined. 7.
RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE CLASE .......................................................... 72
8.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................................. 73
9.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍAS ................................................................................... 73
1. INTRODUCCIÓN Wolfram Mathematica es un programa que realiza cálculos de manera tanto numérica como simbólica, asimismo, permite realizar gráficos
e integrar los
resultados en un mismo documento. Además, dispone de un lenguaje de programación propio que permite la construcción de programas que se ajustan a las necesidades del usuario. Desde sus inicios, en 1988, su uso se ha ido extendiendo a los nuevos campos de la Ciencia y la Ingeniería. Para la realización de este trabajo se utilizó el libro titulado “Análisis Matemático II” que tiene como autor al Ing. Horacio Urteaga Becerra, docente de la Universidad
Nacional de Cajamarca. Específicamente nos enfocamos en el Capítulo VI y VII denominados “Funciones de Varias Variables” y “Aplicaciones de las Derivadas Parciales” respectivamente.
Este trabajo es el resultado del esfuerzo conjunto de todos los que conformamos el grupo, por lo que nos hacemos responsables todos de las posibles críticas y correcciones que este tenga. Nuestros sinceros agradecimientos están dirigidos hacia nuestros padres, quienes a lo largo de toda nuestra vida han apoyado y motivado nuestra formación académica, creyeron en nosotros en todo momento y no dudaron de nuestras habilidades; sin olvidarse de Dios, nuestro padre que nos brinda un día más de vida.
2. OBJETIVOS 2.1. Objetivos Generales: Evaluar las ventajas del programa wólfram mathematica en el estudio
del análisis matemático. Resolver los capítulos VI, VII y VIII del trabajo escalonado en el curso
Análisis II, desarrollando paralelamente las competencias sobre el uso del programa wolfram mathematica. 2.2. Objetivos Específicos: Comparar las bondades del programa wolfram mathematica en relación
a otros programas matemáticos. Hacer una guía de uso del programa wolfram mathematica para
posteriores estudios de investigación. Observar las debilidades del programa frente a otros programas para
poder ser conscientes del uso del programa y determinar los usos específicos de este. 3. JUSTIFICACIÓN El presente trabajo es realizado para aportar al estudiante en su desarrollo académico reforzando sus conocimientos debido a que es necesario en la actualidad el estudio de todas las áreas de ingeniería mediante el uso de programas ya que estos facilitan el entendimiento porque disminuyen los procesos mecánicos los cuales son muy tediosos e innecesarios; además estos programas solo harán esta parte y el alumno solo estará enfatizado en desarrollar la parte en que se tiene que razonar. 4. ALCANCE EL presente trabajo abarca un conjunto de información necesaria para el manejo de Wolfram Mathematica 10, tomando como mayor relevancia su uso en el análisis matemático y la ingeniería.
5. MARCO TEÓRICO: 5.1. Capítulo VI: Aplicado al estudio de las funciones reales de variables reales. 5.1.1. Cálculo de dominios. Para el cálculo del dominio de cualquier función, mediante el programa wolfram mathematica, usamos el comando: FunctionDomain [f (x, y, …n),{x, y,…n}]
Para la interpretación geométrica del dominio de la función, mediante el uso del programa, escribimos el comando:
min,max min,max Axes→ True,AxesLabel→,} RegionPlot[Dominio, {x,
},{y,
},
]
Mediante el siguiente ejemplo, podemos observar la solución de un ejercicio desarrollado en Análisis Matemático II, Urteaga Esparza.
Posteriormente, realizamos la interpretación geométrica en el espacio usando el programa. Para poder realizar esto, hacemos uso del comando ContournPlot3D[
(,),,min,max},,min,max},,min,max},Axes→ True,AxesOrigin→0,0,0},AxesLabel→,,},AxesStyle→ Color1,Color2,Color3} ]
Nota: Al hacer uso del comando FunctionDomain[] o FunctionRange[], y al recibir el resultado “TRUE”, esto indicará que este dominio o rango se
encuentra en los números reales. 5.1.2. Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Para graficar superficies en 3D usando WOLFRAM MATHEMATICA, es necesario tener en cuenta los tipos de instrucciones que se pueden insertar en el cuaderno, dependiendo de las coordenadas en las que queramos graficar las superficies. En el caso de las coordenadas cartesianas: -
Ingresamos en el cuaderno la ecuación (en coordenadas cartesianas) de la superficie que se desea graficar y la declaramos, de acuerdo al número de variables, de la siguiente forma:
Y pulsamos Shift+Enter. -
Luego insertamos la siguiente instrucción:
-
Finalmente pulsamos Shift+Enter y la superficie aparecerá automáticamente.
-
Si queremos representar más de una función necesitaremos usar la instrucción Show.
Ejemplo 1. Graficar la función f(x,y)=sen x + cos y Solución
Ejemplo 2. Graficar las superficies
1
, en
Solución
(,)= (,)=
unos mismos ejes de coordenadas.
Utilizamos la instrucción Show para mostrar las dos gráficas conjuntamente
En el caso de las coordenadas cilíndricas: -
Hacemos llamar a la libreta << Graphics’ParametricPlot3D’.
-
Se escribe la función para las gráficas en el mismo sistema cilíndrico y su ecuación con respecto a z: CylindricalPlot3D[z].
-
Se ubican los límites en donde se va a desarrollar la gráfica:
CylindricalPlot3D[z,{r,rmin,rmax},{φ, φmin, φmax}].
Gráfico de un cono elíptico en el sistema cilíndrico
Gráfica de un paraboloide
En el caso de las coordenadas esféricas: -
Hacemos llamar a la libreta << Graphics’ParametricPlot3D’.
-
Se escribe la función para las gráficas en el mismo sistema esférico y su ecuación con respecto a ρ: SphericalPlot3D[ρ].
-
Se ubican los límites en donde se va a desarrollar la gráfica: SphericalPlot3D[ρ,{φ, φmin, φmax},{
,
min,
F igura generada con el sistema esférico
max}].
E sfera formada con coordenadas esféricas
5.1.3. Gráficas de superficies de revolución. Para el grafico de superficies de revolución, mediante el programa wolfram mathematica, usamos el comando:
RevolutionPlot3D
[]
En sus variaciones:
Genera una gráfica de la superficie de revolución con una altura f z y un radio t.
Toma un ángulo azimutal que varia entre
min y
máx.
Genera una gráfica de la superficie obtenida por la rotación de una curva paramétrica con coordenadas x, y {f x,f y} alrededor del eje z.
Toma el ángulo azimutal que varía entre
min y
máx.
Grafica la superficie obtenida por la rotación de la curva paramétrica con coordenadas x, y, z y {f x, f y, f z}.
En los siguientes ejemplos, podemos observar el uso del programa matemático para la gráfica de diferentes superficies de revolución:
En el siguiente ejemplo, podeos observar la superficie de revolución en coordenadas paramétricas.
Además de los comandos ya vistos al momento de realizar un gráfico de revolución, podemos encontrar un comando gráfico de modificación de la superficie o la expresión.
Este comando genera una versión de la expresión (expr) con controles añadidos, para permitir la manipulación interactiva del valor u.
Con este comando podemos declarar el parámetro o variable que queremos modificar, en este ejemplo podemos observar el uso del comando con más de un valor modificable:
5.1.4. Gráficas de superficies cuádricas. Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo: Ax2 By2 Cz 2 Dxy Fyz Gxz Hx Iy Jz K 0
En el Wolfram Mathematica existen diferentes comandos con los que se puede graficar, los cuales se detallan a continuación:
Mathematica hace gráficos tridimensionales de superficies dadas en forma explícita z=f(x, y) en un rectángulo dado para ello vamos a usar el comando Plot3D f ( x, y),{x, xmín , xmáx },{y , ymín , ymáx }
Ejemplos. 1. Graficar el paraboloide elíptico con ecuación Solución
x 2 3
2y 5
2
z 3
0
Como se puede observar la función tiene que estar expresada en la forma z=f(x, y) por lo que para poder utilizar el comando tenemos que hacer
z
x
2
6 y
2
, en esta forma si se puede utilizar el
5
comando Plot3D.
2. Graficar el paraboloide hiperbólico con ecuación
x
2
3
2y
5
2
z
3
0
Solución Como se puede observar la función tiene que estar expresada en la forma z=f(x, y) por lo que para poder utilizar el comando tenemos que hacer
z
x
6 y
2
comando Plot3D.
5
2
, en esta forma si se puede utilizar el
El comando anterior no restringe los valores de “z”, por lo que resulta
desventajoso en algunos casos al no poder delimitarlo o en el caso de que z sea afectado por algún exponente, por ello, para poder restringir el valor de z utilizamos el comando ContourPlot 3D f ( x, y, z )
0,{x, xmín , xmáx },{y, ymín , ymáx },{z, zmín , zmáx }
Ejemplos 3. Graficar el hiperboloide hiperbólico con ecuación
x
2
9
2y 7
2
2
z
15
4
Solución Como se puede observar la función tiene que estar expresada en la forma 0=f(x, y, z) por lo que para poder utilizar el comando tenemos x
que hacer
2
9
2 y2 7
2
z
15
4
comando ContourPlot3D.
0 , en esta forma si se puede utilizar el
4. Graficar el hiperboloide elíptico con ecuación
x
2
7
3y 8
2
2
z
5
9
Solución Como se puede observar la función tiene que estar expresada en la forma 0=f(x, y, z) por lo que para poder utilizar el comando tenemos que hacer
x 2 7
3 y2 8
z 2 5
9 0 , en esta forma si se puede utilizar
el comando ContourPlot3D.
Otro caso es que se nos presente las ecuaciones en su forma paramétrica, para ello haremos uso del comando ParametricPlot3D[{x(u, v), y( u, v), z( u, v)},{u, umín, umáx},{ v, vmín, vmáx}]
Ejemplos x
5. Graficar el elipsoide con ecuación
y
3cos u.cos v 5cos u.senv
z
2senu
Solución Como se puede observar en esta forma se debe utilizar el comando ParametricPlot3D.
5.1.5. Gráficas de superficies cilíndricas. DEFINICIÓN: Supongamos el espacio tridimensional
dotado del
sistema de coordenadas (x,y,z). Dada una recta L y una curva plana C, una superficie cilíndrica en este espacio es una superficie generada por una familia de rectas paralelas a L y que tienen un punto en C.
Un caso particular es cuando la recta L es alguno de los ejes coordenados y la curva C está sobre alguno de los planos coordenados.
Para el gráfico de este tipo de superficies mediante el uso del programa wólfram mathematica, hacemos uso del comando:
Produce el contorno de la gráfica tridimensional de f como una función de “x, y” y “z”
Produce el contorno de la gráfica tridimensional de f = g
5.1.5.1.
Un Cilindro Elíptico Recto
Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma. A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.
Si la familia de rectas que generan una superficie cilíndrica son paralelas a uno de los ejes coordenados y la curva plana C está sobre el plano coordenado perpendicular a la familia de rectas, entonces la ecuación de la superficie cilíndrica no tiene la variable del eje. Esto no significa que en general las ecuaciones de las
superficies cilíndricas no tengan una o dos variables. Un plano podría ser considerado como una superficie cilíndrica. 5.1.5.2.
Un Cilindro sinusoidal
Al igual que para las anteriores gráficas de superficies cilíndricas, utilizaremos el comando
5.1.6. Gráficas de superficies paramétricas. Ya estudiamos cómo representar gráficamente curvas planas expresadas en forma paramétrica con la instrucción ParametricPlot, ahora representaremos curvas en el espacio y superficies que están expresadas en forma paramétrica con la instrucción ParametricPlot3D, cuya sintaxis para una curva parametrizada en la forma x=x(u),y=y(u),z=z(u) es:
Si la superficie parametrizada viene dada por x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v) con u Є [u1,u2] y v Є [v1,v2], utilizaremos esta misma instrucción
indicando los intervalos de variación de ambos parámetros.
Ejemplo. Graficar la esfera de ecuaciones paramétricas x=cos u cos v , y=sen u cos v, z=se n v , con u Є [0,2π] y v Є [ -π /2, π /2] Solución
5.1.7. Curvas de nivel. Es decir si disponemos de una función de dos variables
(,)
, función que
existe en un espacio de tres dimensiones, si esta función la cortamos por planos paralelos “al suelo” y pr oyectamos las líneas de corte resultantes, a dichas línes se les denomina “curvas de nivel de la función
(,)
” .
Para el cálculo de curvas de nivel de cualquier función, mediante el programa wolfram
mathematica,
usamos
el
CountourPlot[f (x,y),x,min,máx},y,min,máx}]
comando:
Si se quiere hallar curvas de nivel para ciertos valores de la función se usará el comando:
contours→a,b,…,n}
En el programa wolfram mathematica también se puede ingresar una cierta cantidad “n” de curvas de nivel que se quiere
obtener de la función, esto se
hará
mediante
el
Contours→n,donde:nes el número de curvas de nivel
comando:
Para apreciar mejor lo antes mencionado se verá el desarrollado de ejemplos en el programa wolfram mathematica:
5.1.8. Superficies de nivel. Para representar superficies de nivel f (x, y, z) = constante, de una función V=f (x, y, z) de tres variables deberemos cargar previamente el paquete
Graphics`ContourPlot3D` , posteriormente se hace uso del comando
ContourPlot 3D[ f ( x, y, z ),{x, xmín , xmáx},{ y, ymín , ymáx},{z, z mín , z máx }, Contours {k1, k2 ,..., kn }]
Para analizar las superficies de nivel para k = k 1, k 2, …, k n
Ejemplo 1. El lugar geométrico de los puntos del espacio que hacen el volumen de un paralelepípedo V = x. y. z para V={1,2,3,4} puede representarse por:
Para funciones definidas a partir de tablas de datos de la forma t
Table[ f ( x, y, z),{ x, xmín , xmáx},{ y, ymín, ymáx},{ z, zmín, zmáx }] , se utiliza el
comando
Ejemplo
ListContourPlot3D[t, Contours {k1, k2 ,..., k n}]
5.1.9. Límites.
Declarando el siguiente código en el programa wólfram mathematica, podemos realizar la prueba sobre diversos límites para saber si estos existen o no, en el caso de que se dé la existencia, podemos encontrar el valor del límite,
Realizando la prueba del programa:
Realizando la prueba para el
l(,)i→,m } +() +
El resultado nos indica que el límite no existe.
Realizando una prueba para el
l(,)→, im } +(+)
El resultado nos indica el valor del límite, este es 1.
Realizando una prueba para el
+( l(,)i→,m } + )
Realizando una prueba para el
() l(,)i→,m } (^+^+^)
5.1.10. Continuidad y discontinuidad. La función f de dos variables (x0,y0); si
∧
, se dice que es continua en el punto
y sólo si se verifican, simultáneamente, las tres condiciones
siguientes: i) ii) iii)
(0,0) lim ) (,) (,)→(, lim ) (,) = (0,0) (,)→(,
Para la resolución de ejercicios con respecto a continuidad, se debe trabajar con el comando:
;(, )≠(0, 0 ) Ejemplo 1. Sea (,)={ + ; determinar si f es continua en (0,0).
0 ;(,) =(0,0)
Solución
i)
f (0,0) = 0
ii)
Verifiquemos si existe el límite :
l(,)→(, im ) + (0) 3 3 im ) =lim→ (0) (,l)→(,
1) Sea S1 un conjunto de puntos del eje x.
Resolviendo con Wolfram:
P Є S1 2) Sea S2 un conjunto de puntos de la recta
() 3 3 im ) =lim→ () (,l)→(,
=.
Resolviendo con Wolfram:
P Є S2
. = 3 3 3 im ) =lim→ () =lim→ (,l)→(, 3 =lim→ 1
3) Sea S3 un conjunto de rectas de la parábola
Resolviendo con Wolfram:
P Є S3 4) De 1), 2) y 3) intuimos que:
l(,)→(, im ) +
existe y es cero;
sin embargo para asegurar esta afirmación, demostraremos aplicando la definición de límite.
l(,)→(, im ) + =0, si para cualquier ε > 0 Ǝ δ > 0 , tal que: + < 0 siempre que 0 < √ < δ Como ≤ ∧ || ≤√ tenemos: || ( + +=+ ≤ +)√ + = 3√ <3δ
δ= ε l(,)→(, im ) + =0 im ) (,) =(0,0) (,l)→(, ∴(,) (0,0).
5) Luego para iii) iv) v)
concluimos que:
Interpretación geométrica:
Ejemplo 2. Sea la función f definida por:
)≠(0,0) 0 ;(, ;(,)=(0,0) +
(,) =
; determinar si f es continua en (0,0).
Solución
i)
f (0,0) = 0
ii)
Analicemos si existe el límite :
l(,)→(, im ) + l(,)→(, im ) =lim→ (0) (0)
1) Sea S1 un conjunto de puntos del eje x.
Resolviendo con Wolfram:
=. l(,)→(, im ) =lim→ () =lim () → 1
2) Sea S2 un conjunto de puntos de la recta
Resolviendo con Wolfram:
l(,)→(, im ) + ∴(,) (0,0).
3) De 1) y 2) concluimos que: iii) iv)
no existe.
Interpretación geométrica:
5.1.11. Derivadas parciales de primer orden.
Según las definiciones de las derivadas parciales, en estas se realiza la derivada de una función con respecto a solo una de sus variables. Para realizar la derivada parcial directamente de una función en el programa mathematica, se usa el siguiente comando:
Da una derivada parcial de
/
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función.
a) La interpretación geométrica de la derivada parcial:
b) Interseccián con el área bajo la curva que choca con la recta tangente: t angente:
5.1.12. Derivadas parciales de orden superior. En el cálculo de derivadas parciales de orden superior aplicando el Wolfram Mathematica debemos tener algunas consideraciones previas. En el caso de declarar la función lo haremos de la forma f [ x _, y _, z _,.. ,...]: función , posteriormente, para realizar el cálculo de la ,...],{x , n},{ },{ y, m},.. ,...] , derivada parcial se aplicara el comando D[ f [ x, y,..
donde m, n,… representan el número de veces que se derivara la función respecto a una determinada variable.
Ejemplo 1. Dada la función f ( x, y, z) x 2 yz 3 sin( x y yz ) calcular f xxyz xxyz
2. Dada la función f ( x, y) x 2 sin( x) (3 (3x y 2 ) cos( x) calcular f xxxx, f xxyy, f yyyy
5.1.13. Derivadas direccionales. DEFINICIÓN: Sea f una función de dos variables
x Λ y ⃗
.Si es el vector unitario
⃗ ( ) ∆ c o s, s , ∆ ∆ si s i n) n , ⃗ (,, ) =lim ∆ ∆→ í . ∆,∆) (,) = (, ) ⃗ = → (, , ) = ∆→ lim (∆,) , ) …. … (1) ,∆∆) (,) = (, ) ⃗ = → (, , ) = ∆→ lim (,∆) , ) ……..( …….. (2) (, , ) (, , ) ⃗ (, , ) x Λ y ⃗ ⃗ = coscos sin ⃗ (, , ) = (, , ) cos (, , ) sin
cossin=⃗
, la derivada direccional de f en la dirección del vector , está
definida por:
De (1) y (2) concluimos que las derivas parciales
y
son casos
particulares de la derivada direccional
Por teorema Si f es una función derivable de definido por
, y
es el vector unitario
; entonces:
Vienen a ser la derivada con respecto a una dirección diferente a las de los ejes coordenados. Hay infinitos vectores para cada dirección. Cada vector de una dirección se obtiene de cualquiera otro de esa dirección multiplicándolo por un número real. El vector más representativo de cada dirección es el vector unitario de esa dirección, que es el vector de esa dirección cuyo módulo es la unidad.
5.1.14. Gradiente. En Wolfram Mathematica, no sólo con la utilización de las curvas de nivel se puede intuir la forma de la función de dos variables; este programa también cuenta con una instrucción que grafica el gradiente de la función, permitiéndonos acercarnos más a la forma de la función. La instrucción para el gradiente es el siguiente:
Ejemplo 1. Calcular el gradiente de el gradiente de su opuesta.
(,) =
, y comparar con
Ejemplo 2. Comparar las superficie que genera la función:
(,) =
− ++9 con la que genera su opuesta. Calcular el gradiente de ambas funciones.
5.1.15. Integrales dobles y triples.
Con estos conocimientos previos, podemos evaluar el programa mathematica para el cálculo de Integrales Dobles y triples. Recordamos:
Interpretamos geométricamente como el área comprendida entre 2 curvas a la integral dada:
Graficamos el dominio de integración
5.1.16. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en coordenadas cartesianas. En cálculo de funciones de dos variables reales, el problema geométrico que da origen a la integral doble es el de calcular el volumen encerrado por encima de cierta región R del plano xy y por debajo de la gráfica de cierta función f ( x, y ) 0 sobre esa región.
En la figura de abajo, se ilustra un ejemplo, en el cual la región R corresponde a un círculo de radio 4 y f ( x, y) 16 x 2 y 2 . La figura de
la derecha corresponde a la aproximación del volumen buscado mediante una partición de la región rectangular
4 x 4
,
4 y 4
(la cual
contiene a R) y luego al hacer una partición cada vez más fina, la aproximación es cada vez mejor como puede notarse porque el sólido formado por los prismas rectangulares cada vez adquieren una apariencia más parecida a la del sólido.
Para realizar los calculas de las integrales dobles en el Mathematica solo será necesario utilizar el comando Integrate[ f ( x, y),{x, xmín , xmáx },{ y, ymín , y máx}]
Ejemplo 1 3
1. Calcular
( x 2 y)dydx 1 0
5.1.17. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en coordenadas polares.
Integrales dobles en coordenadas polares:
+ x] π,π] g(ρ,ϑ) = (ρ cos ϑ,ρ sen ϑ) \ (0,0)} det J(ρ,ϑ) = ρ > 0 (ρ,ϑ) x = ρ cos ϑ,y = ρ sen ϑ π < ϑ ≤π La función
es una biyecciónn de
sobre
. Las componentes de g tienen derivadas parciales continuas y
fácilmente se comprueba que dados por
. El par de números
donde ρ > 0 y
coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas (x,y).
se llaman
La fórmula del cambio de variables (2.14) para el caso de coordenadas polares se expresa por:
5.1.18. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas cartesianas.
5.1.19. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas cilíndricas.
5.1.20. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas esféricas. En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo f : B R3 R , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f : Q R n R ,
para realizar cálculo de integrales triples en el Wolfram Mathemtica se utiliza el comando Integrate. 5.1.21. Funciones vectoriales: gráficas, límites, derivadas e integrales. 5.1.22. Campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales: Gráficos. Rotacional y Divergencia. Aplicaciones.
Gráficas de Campos Vectoriales en Dos Dimensiones Dentro de las herramientas didácticas que posee Wolfram Mathematica es presentar de manera gráfica los campos vectoriales dentro de un plano o visto dentro de tres dimensiones. Se puede hacer uso de todas las herramientas disponibles vistas en este trabajo para combinarlas con ejercicios que ameriten introducir, por ejemplo: planos, superficies cuádricas, etc. Su sintaxis: 1. Hacemos el llamado a la librería << Graphics’PlotField’ 2. Se escribe la función para campos vectorial y su vector:
PlotVectorField[{fx,fy}]. 3. Por último, se escriben los límites en donde el campo se va a desarrollar:
PlotVectorField[{fx,fy},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
Campo vectorial formado por W=2xi+yj
Campo vectorial formado por W=1/2xyi+1/4x^2j
Gráficas de Campos Vectoriales en Tres Dimensiones Dentro de estudios posteriores veremos que los campos existentes en la naturaleza se realizan en tres dimensiones y es necesario visualizarla en su forma tridimensional. Su sintaxis: 1. Hacemos el llamado a la librería << Graphics’PlotField3D’ 2. Se escribe la función para campos vectorial y su vector:
PlotVectorField3D[{fx,fy,fz}]. 3. Por último, se escriben los límites en donde el campo se va a desarrollar:
PlotVectorField3D[{fx,fy,fz},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax} ] 4. Para que la gráfica mostrada sea más útil al estudiante, podemos representar cada vector con u dirección, mediante una opción: VectorHeads→True.
Campo producido por G=Sen(x)i+Cos(y)j+z^2k
5.2. Capítulo VII: 5.2.1. Desarrollar alguna aplicación o aplicaciones del programa matemático a la ingeniería civil.
Planteamineto. La nivelación constituye un proceso de suma importancia en la ingeniería, por ello hemos creído conveniente la creación de una aplicación destinada a ayudar en los cálculos mecánicos realizados en este proceso.
Conocimientos previos Nivelación Definición de altimetría La altimetría o nivelación es la parte de la topografía que estudia los procedimientos para medir la distancia entre un punto y la intersección de una superficie de nivel, con la vertical que pasa por dicho punto.
Superficies de nivel La superficie de referencia en altimetría, superficie de nivel es, para pequeñas distancias un plano paralelo a la tangente en el punto y para mayores distancias, una superficie esférica concéntrica a la tierra. Para ligar entre si los trabajos altimétricos se estableció una superficie de comparación única, nivel cero, q sería la esfera concéntrica a la tierra por el nivel del mar, tomado este en 40 puertos europeos, entre ellos el puerto de Alicante.
Cota, altitud y desnivel
Cota; altura de un punto sobre una superficie cualquiera de comparación Altitud; altura de un punto respecto el nivel del mar Desnivel; diferencia de alturas
Listas En Mathematica Las listas son algunos de los objetos más flexibles y poderosos en Mathematica. Verá que las listas en Mathematica representan las generalizaciones de varios conceptos estándar en matemáticas e informática. En un nivel básico, lo que esencialmente hace una lista en Mathematica es proporcionar una forma de agrupar varias expresiones de cualquier clase. Las funciones matemáticas que son construidas en Mathematica sobre todo son hechas “listables” de modo que actúen separadamente sobre cada elemento de una lista. Esto no es, sin embargo, cierto para todas las funciones en Mathematica. A no ser que usted las establezca, como una nueva función f que le permita introducir listas como argumentos.
Algunos comandos importantes
5.3. Capítulo VIII:
5.3.1. Indicar las ventajas del Programa MATEMÁTICO asignado, en relación con los programas matemáticos asignados a los otros grupos. Una de las ventajas de wólfram Mathematica es que aplica automatización inteligente en cada parte del sistema, desde la selección algorítmica hasta sus diseños de gráficos e interfaz. MATHLAB
las ventajas es que representa graficas muy interactivas. Se puede usar para diversas ramas como la estadisitica y el Algebra lineal. Se puede crear aplicaciones para la solución de problemas matemáticos y otro ambito.
sus descentajas son que No grafica y no acepta funciones complejas , tampoco acepta funciones implicitas
EL PROGRAMA GEOGEBRA
La incorporación en el quehacer pedagógico, posibilita el aprendizaje de temas del cálculo integral de gran complejidad para los estudiantes.
La influencia en capacitar a los docentes en cuanto a metodologías de enseñanza y el diseño de estrategias didácticas y, por otro lado, fortalecer los conceptos básicos requeridos para cursar la asignatura de cálculo integral.
La implementación de estrategias didácticas apoyadas con herramientas tecnológicas multimediales a fin de mejorar el aprendizaje del cálculo integral y sus aplicaciones.
6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 6.1. Capítulo VI: 6.1.1. Cálculo de dominios.
6.1.2. Gráficas de superficies de revolución.
6.1.3. Gráficas de superficies cilíndricas. Resolvemos las gráficas de las siguientes superficies cilíndricas:
6.1.4. Curvas de nivel.
6.1.5. Límites. Resolvemos los ejercicios propuestos en el libro Análisis matemático II,
Resolver por definición e interprete los resultados geométricamente:
im )(234)=37. (,l)→(,
Solución 1.
im )(234)=37 si (,l)→(,
0
existe
0
| 2 xy 3x 33 | siempre que 0 ( x 3) 2 ( y 4) 2
,
( )
2. | 2 xy 3x 33 || 2xy 3x 9 9 6 y 6 y 33 | | (2xy 3x 6y 9) (6y 24) | | 2 xy 3 x 6 y 9 | | 6 y 24 | | (2 xy 3 x 6 y 9) (6 y 24) | | x 3 || 2 y 3 | 6 |
y 4 || (2 xy 3 x 6 y 9) (6 y 24) |
3.Si elegimos δ1=1 tal que: | x 3 | 1 | x 4 | 1 , tenemos: | y 4 | 1 1 y 4 1 3 y 5 9 2 y 3 13 13 2 y 3 13 | 2 y 3 | 13
4. | 2 y 3 | 13 | 2 y 3 || x 3 | 13 | x 3 | 13 | x 3 | 13 ( x 3) 2 ( y 4) 2
(1)
13
5. | y 4 | ( x 3) 2 ( y 4) 2
6 | y 4 |
6 ( x 3) 2 ( y 4) 2
6
(2) 6.Sumando (1) y (2): 13 | x 3 | 6 | y 4 | 19 s.q 0 ( x 3) 2 ( y 4)2
7.Luego para:
19
se verifica que
im )(234)=37. (,l)→(,
8.Interpreatación geométrica:
6.1.6. Derivadas parciales de primer orden. Se resuelven los ejercicios propuestos en el libro análisis II de Ing. Horacio Urteaga.
6.1.7. Derivadas parciales de orden superior. 1.-Dada la función
z
xy
4
2x
2
3
y
4x
2
3y
hallar todas sus segundas
derivadas y demostrar que f xy(x, y) = f yx(x, y)
Solución
Como se puede observar f xy(x, y) = f yx(x, y) 2.-Sea w tan uv 2ln(u v) , verifique que w uvv = wvuv = wvvu
Solución
Por lo tanto, wuvv = wvuv = wvvu Hallar por definición
(,)
y luego,
(1,1) (,)=3 . Si:
Solución: 1)
2)
(+∆,)−(,) (,)= ∆→ ∆ (∆) (∆) (,)= ∆→ ∆ (,) (∆) (∆) (∆) (∆)(∆) = ∆→ ∆ (,)= ∆→[ (∆)(∆) (∆)] (,)= (,)=()()()() = Resolución con Wolfram:
6.1.8. Integrales dobles y triples. Integrales dobles:
Hallamos su dominio de integración
6.1.9. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en coordenadas cartesianas. 1.-Evaluar la Integral doble
( x
3
4 y )dA , si R es la región del plano xy,
R
acotada por las gráficas de las funciones
Solución Gráfica de la Región
y
x
2
y
2x
Cálculo de la Integral II D
(x
2 2 x
3
4 y )dA ( x 3 4 y )dydx 0 x2
R
2.-Calcular la integral Doble
(2 x
3
3 y )dA si R es la región que
R
consiste de todos los puntos (x, y) para los cuales
1 x 2 1 y 3
Solución a. Región R {( x, y ) / x [1, 2] y [1, 3]}
2 3
b.
(2 x
2
3 y )dydx
1 1
6.1.10. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas esféricas.
1.-Determinar la masa del hemisferio sólido de radio a = 2 metros, si la densidad de volumen en cualquier punto del hemisferio, es proporcional a la distancia del punto desde el centro de la base
Solución a. Gráfico
b. Si ( , , ) es un punto en el diferencia de volumen, la densidad resuta kp Kg/m 3 donde k es una constante. Si m es la masa, entonces: dm= kρdV m
dV=ρ2.senφ.dp.dƟ.dφ
kpdV
7. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE CLASE EJEMPLO N° 5 Latemperatura en cualquier punto(x,y) de una placa delgada es T grados, donde
=54 4 =54 4
. Si la distancia se mide en cm. Calcule la tasa de variación de
temperatura Solución 1°)
2°)Tasa de variación en la dirección positivo del eje “x” en (3,1)
evaluado en
(3,1) = 43 → (3,1) 4 /
O sea T está disminuyendo a una tasa de 4 grados /cm
3°) Tasa de variación en la dirección positivo del eje “y” en (3,1)
en
evaluado
(3,1) =8→ (3,1) 8 / O sea T está disminuyendo a una tasa de 8 grados /cm
8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Hemos evaluado y aprovechado las ventajas del programa WOLFRAM MATHEMATICA respecto a otros.
Se resolvió los capítulos VI, VII y VIII
Se ha comparado las diferentes bondades del programa WOLFRAM MATHEMATICA con respecto.
Se ha hecho una guía del uso del
programa wolfram mathematica para posteriores
estudios de investigación.
Hemos observado las debilidades del programa frente a otros programas.
9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍAS
