Amelkin - Ecuaciones Diferenciales en La Práctica

) + C ,,

77 www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales

donde, en virtud de las condiciones iniciales, x = y = 0  para y? = 0 y C , = 0. Así, C 

* = ~(2

2

C = —{1 - eos 2
C‘

Haciendo — = r, 2ip = 0,   llegamos a las ecuaciones paramétricas estándares (69) de la cicloide. ¡La cicloide es una curva asombrosa: no sólo es isócrona, sino, también, braquistocrona!

15. Media aritmética, media geométrica y ecuaciones diferenciales Estudiemos un problema curioso, resuelto por primera vez por el científico alemá n C. F. Gauss. Sean m 0 y nQ dos números positivos arbitrarios (m 0  > n0). Escriba mos la media aritmética m, y la media geométrica n, de m 0  y n0: m, —

m0 + tIq------------ -

,

-----

« j — \/m0n0.

Escribamos ahora las medias aritmética v geométrica de m, y n,:

www.FreeLibros.me

15. Media aritmética, media geom étrica y ecuaciones diferenciales

Continuando este proceso obtenemos dos sucesiones numéricas j m t ¡ , { n fc} (k = 0,  1, 2, . . . ) convergentes, como se demuestra fácilmente. Surge la pregunta siguiente: ¿a qué es igual la diferencia entre los límites de estas sucesiones? Expongamos una solución elegante de este problema, perteneciente al matemático alemán C. W. Borchardt y que está relacionada con la construcción de una ecuación diferencial de segundo orden. Sea a la diferencia buscada. No es difícil concluir que a   depende de m 0 e y0.  Simbólicamente dicha dependencia se expresa escribiendo a = /(m 0,n 0), donde / es cierta función. Por la forma e n que definimos el n úmero a vemos que también a = / (ra ^ n ,). Ahora, si multiplicamos m 0 y n 0  por un mismo número k ,  entonces cada uno de los números m ,, n ,, m 2, n2, . . . , incluido a ,  también tendrán como factor al número fc. Esto significa que a   es una función homogénea de primer grado respecto a m Q y n0; por consiguiente,

y denotando

m,

1

1+ x

Ya que i , está relacionado con x   por medio de la ecuación

www.FreeLibros.me

7 con y>

(73)

Capitulo 1. Con strucción y solución d e mo delos diferenciales

entonces _ ( x , - x * ) ( l + x )z 1- x dx¡ _ ( l + x )  2v/5 dx  2 ( x - x 3) Derivando la ecuación (73) respecto a x   llegamos a que

d y _  dx

2

dyxdxx 1 + x d x , dx 2

( 1 + x  )2^1

dx.

Su stituyen do aq u í la derivada —— por su valor de la igualdad (* ) y simplificando el denominador x - x 3,   obtenemos

Derivando ambos miembros de esta igualdad respecto a x ,   hallam os

¿(i Después de algunas transformaciones algebraicas la última ecuación toma la forma

Si en la ecuación recién obtenida sustituimos x p o r x , , en to n c es x , pasa a ser x 2. Si luego sustituim os x , por x 2, entonces x  2  pasa

80 www.FreeLibros.me

15. Media aritmética, media geométrica y ecuaciones diferenciales

a ser x3, etcétera. Por esto, haciendo

llegamos a la igualdad y Ü W

 ] ~ x (1 +

X ) / X   (1

+

X j y / z ; (1

^~   *^2 + X2)y/X¡   '

./ \ 1~ xn " ( 1 + X jy/3% {yn +l ) '

Si ahora hacemos que n tienda a oo, entonces 1 - x n  tenderá a 0 y obtendremos que o* (y) = 0.

Esta igualdad significa que y satisface la ecuación diferencial ( * - x 3) ^ + ( 1 _  3i j ) £ - x s = ° .

(74)

Teniendo presente que

« = /

K

n

, ) =

^

.

podemos hallar el valor del número a. En efecto, como y debe ser una solución constante de la ecuación (74), su único valor posible es y = 0. De esta manera, la diferencia de los límites de las sucesiones { m fc} Y { n* } es

a o.

Adem ás de que nos perm itió resolver el problem a inicial, la ecuación diferencial (74) representa gran interés por su relación directa con la solución del problema del período de las oscilaciones pequeñas del péndulo circular.

www.FreeLibros.me

Capitulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales

Como hemos visto, el período de las oscilaciones pequeñas del péndulo circular se halla por medio de la fórmula

donde x/ 2

te)- 

dip y/\ - k 2 sen 2 ip

Pues bien, resulta que si 0 ^ k < 1 , enton ces x/ 2

 f

dV 

Jo \/l  -   k2   sen2 ip 

»[

y

2L

¿ í

l ! -3i -5i . . . ( 2 » - l ) ¡ J

2* - 4* - 6* . . . (2n)- 

J'

donde

E00 ^

l 2 •O •3 2 •5D2 . . . ( 2n - l  )2 2n X  " 2722 •4 2 •62 . . . (2n )2

es la solución de la ecuación diferencial (74).

16. Vuelo parabólico Un cuerpo es lanzado con una velocidad inicial vQ formando un ángu lo a con el horizonte. Desp reciand o el rozam iento del aire, dedu cir la ecuación d e m ovimiento del cuerpo.

www.FreeLibros.me

16. Vuelo parabólico

Elijamos los ejes de coor denadas como se ilustra en la figura 26. Si denotamos la masa del cuerpo con la letra m ,   entonces la única fuerza que actúa en todo Fig. 2 6 instante sobre el cuerpo es su propio peso P = m g,   indep endientem ente de la posición M que el cuerpo ocupe durante el movimiento. Por eso, en virtud de la segunda ley d e New ton, las ecuaciones diferenciales d el m ovimiento del cuerpo en las proyecciones sobre los ejes coo rdenad os x e y son

drx m ^ = ° -

<¡2y

= -mg.

Simplificando m obtenemos

d2x dP "

'

 —

dt 2

=

(75)

~8*

con las condiciones iniciales x = 0,

dx

- =

y = 0,

tic o s a ,

dy = t/n se n ct dt

para

t = 0.

(76)

Integrando las ecuaciones (75) y tomando en consideración las condiciones iniciales (76), llegamos a las ecuaciones del movimiento del cuerpo:

x = (v 0 eo s a ) t,  gt

y = {v0 s e n a ) t - — .

83 www.FreeLibros.me

(77)

Capítulo 1. Construcción y solución de modelos diferenciales

A partir de las ecuaciones (77) se pueden sacar varias conclusiones sobre el movimiento del cuerpo lanzado. Por ejemplo, es posible responder a las preguntas siguientes: ¿cuánto tiempo transcurre desde el instante en que fue lanzado el cuerpo hasta que llegó a tierra? ¿a qué distancia del punto de lanzamiento cae el cuerpo? ¿cuál es la altura máxima que alcanza? ¿cuál es la trayectoria del movimiento? A la primera pregunta se puede responder hallando el valor de t para el cual y   = 0. Haciendo y =   0 en la segunda ecuación (77), resulta

t (v0sen a -

= 0,

2v sen a es decir, bien t   = 0, bien t = — --------- . El segundo valor da la 8  respuesta a la primera pregunta.

Para responder a la segunda pregunta, calculemos el valor de x 2v sen ct correspondiente al tiempo total t = — - ---------   del movimiento. 8 

Sustituyendo este valor en la primera ecuación de (77) obtenemos que la distancia por la horizontal está dada por la fórmula

(v0 eos a)( 2v0 sen a ) _ v20 sen 2a 8 

8 

D e la últim a igu aldad se ded uce, en particular, qu e el desplazamiento

v2

horizontal máximo — se logra cuando a = 45°. S La respuesta a la tercera pregunta se obtiene inmediatamente si indicamos la condición para que y alcance el máximo. Com o se sabe,

84 www.FreeLibros.me

el valor máximo d e y   se alcanza en el punto t   donde la derivada se

dy

anula, es decir, dond e — = 0. Teniendo en cuenta que

dy — = - g t + v0 sen a , llegamos a la igualdad — g t + v0 sen a  = 0 , d e d o n d e

t  _ «o s e n a  g Sustituyendo ahora el valor obtenido de t   en la segunda igualdad de (77), hallamos que la altura máxima es sen2 a

2*

La respuesta a la cuarta pregunta ya se obtuvo arriba. De hecho, la trayectoria de! movimiento es una parábola, puesto que las ecuaciones (77) son las ecuaciones param étricas d e u na parábo la. En coordenadas cartesianas tenem os

y = x tg a -

 g x 2

2

sec a .

17. Ingravidez o gravedad cero El estado de ingravidez se puede lograr de diferentes maneras, aunque casi siempre se asocia (consciente o inconscientemente) con los cosmonautas flotando en las cabinas de las naves cósmicas o en el interior d e las estacion es espaciales.

www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Con strucción y solución d e mod elos diferenciales

Con el fin de aclarar el sentido físico del fenómeno de la ingravi dez, analicemos el problema siguiente. Una persona de peso P se encuentra en la cabina de un ascensor que se mueve hacia abajo con aceleración u> = a g ,   donde  g   es la aceleración de la gravedad y 0 < a < 1 . Determinar la presión que ejerce la persona sobre el fondo de la cabina, así como la aceleración del ascensor para la cual el valor de dicha presión es igual a cero. En el interior del ascensor, sobre la persona actúan dos fuerzas (fig. 27): su propio peso P   y la fuerza Q  de reacción del fondo de la cabina, la cual es igual en magnitud a la presión que la persona ejerce sob re el fondo d e la cabina. La ecuación diferencial q del movimiento de la persona es

d2x m^ ¡2 =p - Q   Por cuanto t-r

<78)

= u = a g y m = —, a partir de la

ecuación (78) se deduce

Fi9-27

2

Q = P - m ^ = P (1 - a ).   a l

(79)

l o m a n d o   en consideración que 0 < a < 1, concluimos que Q < P . Así pues, la presión q ue ejerce la persona sobre el fon do d e la cabina de un ascensor que se mueve hacia abajo es

Q = P (  1- a ) . En el en que el ascensor sube con aceleración u = a g ,   donde 0 < a < 1, la presión de la persona sobre el fondo de la cabina es Q = P ( l+ a ) .

www.FreeLibros.me

17.

Ingravidez o graved ad cero

C alculem os ahora la aceleración del ascenso r para la cu al la p ersona no ejerce ninguna presión sobre el fondo de la cabina. Para ello es suficiente ha cer Q  = 0 e n la ig u a l d a d (7 9 ). C o m o r e s u lt a d o o b te n e m o s q u e ct = 1 , es decir, la aceleración del ascensor debe ser igual a la aceleración de la gravedad para que Q = 0. En otras palabras, si el ascensor cae libremente co n aceleración igual a la aceleración  g  d e la graved ad, el pasajero no h ace presión al guna sobre el fondo d e la cabina. P recisam ente este estado se deno m i na estado d e ingravidez o estado de gravedad cero.  E n e s ta d o d e in g ra  videz no hay presiones m utuas en tre las diferentes partes del cuerpo h u m a n o , y e s to p r o v o c a e n la p e r s o n a s e n s a c io n e s e x t ra ñ a s . E n e s t a d o de ingravidez todo s los pu ntos del cuerp o tienen la m isma aceleración. Por supuesto, el estado de ingravidez puede tener lugar no sólo durante la caída libre. Veamos el ejemplo siguiente. ¿Con qué velocidad debe girar una nave cósmica alrededor de la T ie rra p a r a q u e u n a p e r so n a e n s u in t e rio r s e en c u e n t r e e n e s t a d o d e ingravidez? Resolvam os el problema su pon iendo que la nave cósm ica se m uev e por un a órbita circular de radio r + h ,   d o n d e r e s e l radio de la Tierra y h ,   la altura de vuelo de la nave sobre la superficie terrestre. D e l p ro b le m a a n t e r io r s e d e d u c e q u e e n estado de ingravidez la presión del as tronauta sobre el fondo de la cabina de la nave y, p or co nsigu iente, la reac ción Q del fondo de la cabina son iguales a ce ro. Así pues, Q =   0 . R e c u r r a m o s a h o r a

87 www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Con strucción y so lu ción de m odelos diferenciales

a   la figura 28. El eje x   está orientado a lo largo de la normal principal n   a la trayectoria circular de la nave. Reco rdem os que la ecuación diferencial del m ovimiento d e un punto material a lo largo de la normal principal es

—

n

-

H  n

d o n d e  p = r + h , £

4=1

*»'

F kn = F ,  y la fuerza F   está orientada a lo largo

4=1

de la normal principal a la trayectoria del movimiento. Valiéndonos d e l a e c u a c ió n d e m o v i m i e n t o i n d ic a d a o bt en e m o s _ m v2 d2x 7 7 h = F = m M ¡'

o   bien d 2x dt2 Su stitu ye nd o

r + h

(78), llegam os a la igualdad

r + h

= P -Q . 

(80)

A qu í la fuerza P es igual a la fuerza F  de atracción de la Tierra. A su vez, conforme a la ley de la gravitación universal, F  es inversam ente propo rcional al cuad rado de la distancia r + h desd e la nav e hasta el centro de la Tierra, es decir,

88 www.FreeLibros.me

18. Leyes de Ke pler de l mo vimiento planetario

km

~ if+ W '   d o n d e m   es la masa de la nave, y la constante k   se determina pa rtiend o de las con sideraciones siguientes. la sup erficie de la Tierra (para h = 0 ) la fuerza de atracción es F = m g . Entonces de la fórmula (*) sigue que k =  g r 2 y, consiguientem ente,

P = F =

^

(r + ft)2 '

donde  g  e s la aceleración de la graved ad en la sup erficie d e la Tierra. Sustituyendo ahora el valor obtenido de P   en la fórmula (80) y te niendo en cuenta qu e Q   = 0 , concluimo s que la velocidad requerida para qu e el cosmon auta permanezca en estado d e ingravidez es

*=r\/-K V r+ h 18. Ley es de K ep ler del movimiento planetario Conforme a la ley de gravitación universal, dos cuerpos de masas

m y M separados a una distancia r se atraen mutuamente con una  fu erza

d o n d e 7 es la constante d e gravitación universal.

www.FreeLibros.me

Ca pítulo 1. Cons trucción y solución d e m odelos diferenciales

Apoyémonos en esta ley para describir el movimiento planetario. S u p o n g a m o s q u e m   es la masa de un planeta que se mueve alreded or del Sol y M es la m asa del Sol. Para sim plificar el modelo no tend rem os en cuenta la influencia de otros planetas. Introduzcamos un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares O x y (fig. 29) d e m od o qu e el Sol se encuen tre en el origen del sistema. Figurémonos que en el instante t el planeta se encuentra en el punto  A d e coordenadas variables x, y. La com ponente en el eje x de la fuerza d e atracción F    que actúa sobre el planeta es igual a F   eos
(82)

A/ 7M7/ = - F   sen

(83)

7771

y

x

Tomando en consideración que sen

kx

ky y = —Ir3 T’

don de la constante k = 7 M  .

90 www.FreeLibros.me

18. L e ye s d e K e p l e r d e l m o v i m i e n to p l a n e ta r io

F in a lm e n t e, d a d o q u e r = y / x 2 + y2,   l l e g a m o s a l a s e c u a c i o n e s diferenciales

kx

ky

í = - 7( x¡2-+ ¡yS2) 5'

V=  

(84)

( x  2 + y 2)

No se pierde generalidad si suponemos que se cumplen las condi ciones siguientes:

x = a,

y = 0,

x = 0,

y = v0

cuando

t = 0

c,

.

(85)

De esta forma, el problema se ha reducido al estudi o de las ecua ciones (84) con las condiciones iniciales (85). Ana lizando las ecua ciones (84) se comprende que es más cómodo cambiar de coorde nadas rectangulares a polares mediante las fórmulas x = r e o s y?,

y = r  sen tp.  C o m o r e s u lt a d o s e o b t ie n e x = f   e o s  p  - ( r s e n  p)tp,

(86 )

y = r sen )
** N . d e l T . D ic h o d e o t r a m a n e r a , e st a m o s a s u m i e n d o q u e e n e l i n s ta n t e in i c i a l e l p l a n e ta s e e n c u e n t r a s o b r e e l e je x   e n e l p u n t o d e c o o r d e n a d a s ( a , 0 ) , y q u e s u s v e lo c id a d e s e n x e y s o n 0 y

vq ,

r e s p e c t iv a m e n t e .

91 www.FreeLibros.me

Capitulo 1. Con strucción y solución d e mo delos diferenciales

De aquí

£ =   ( f* - r
( f - r
(87)

( f - rtp2)  sen ip + {2tip  + r(p) cosy? = —- —

(88)

M ultiplicando la ecuación (87) po r cos
k r - r f = - -  

(89)

S i m u l t i p l i c a m o s ( 8 7 ) p o r s e n ^ y ( 88) por cos
(90)

Escribam os en coord enad as po lares las condiciones iniciales (85):

r   = a , r = 0,

 p — 0, vn


cuando

t= 0.

(91)

A sí, el estudio d e las ecu aciones (84) con las cond iciones iniciales (85) se redu jo al análisis de las ecu acion es (89) y (90) con las condiciones

92 www.FreeLibros.me

18. Leyes d e Ke pler de l movimiento planetario

iniciales (91). No es difícil ver que la ecuación (90) se puede escribir como | (*-V )= 0 ,

(92)

r V = C ,.

(93)

de donde

La constante C l  tiene un sentido geométrico interesante. A saber, imaginemos qu e un cuerpo se desplaza de un pu nto P  a u n p u n t o Q por un arco

P Q (fig. 30). Sea 5 el área d el secto r lim itado por los

segmentos O P , OQ y el arco  f f y .   En tal caso, del cu rso de análisis matemático se sabe que

= \ I 

r2dy,

o   bien Fig. 30

dS = - r d
í ■ r ’S - ' i *  dS La derivada — representa la llamad a velocidad areolar.   Y c o m o l a dt magnitud r 2
m  www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Con strucción y solución de modelos diferenciales

que el cuerpo se mueve de tal manera que el vector de posición describe áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Esta ley de las áreas   es justamente una de las tres leyes de Kepler, y su enunciado com pleto es el siguiente: en intervalos de tiempo iguales, el vector de

 posición de un plan eta barre áreas iguales. Para deducir la ley de Kepler sobre la forma de las trayectorias descritas por los planetas, regresemos a las ecuaciones (89) y (90) con las condiciones iniciales (91). En las condiciones iniciales (91) se tiene, en particular, qu e r = a y ip =

p ara t   = 0. Entonces de la

igualdad (93) sigue que C , = av0.  Por tanto, r V = av0

ó

'P = -^ r  

(95)

y la ecuación (89) se transforma en

Haciendo  f = p   podemos escribir la última ecuación así:

d p _ d p d r _ dp _    a 2^ dt d r dt P d r  r 3

k r2'

o bien

dp _ a2v¡ r3 P d r 

k r2 '

Separando las variables en esta ecuación diferencial e integrando, obtenemos P2

*

* 2»o2

www.FreeLibros.me

18.

Leyes de Ke pler del m ovimiento planetario

Ya q u e p = f = 0 p ara r = a ,   de la última igualdad resulta

r  _ vo 2~ 7

* ~ a'

De esta manera, llegamos a la ecuación

t1

k

a2v]

v]

k

2

r

2r 2

2

a'

o, considerando solamente la raíz cuadrada positiva, a la ecuación diferencial

dr

\(

2k\

2k

a2vo

Si ahora d ividim os la ecuación (96) po r la (95), obtenem os

dtp

= r y / a r 2 + 2 p r  - 1,

donde 1

a ~ a2

2k a.3Vg'

a

k

~ o 2Vq

Para integrar esta última ecuación, hacemos el cambio de variable r = —, resultando

u

a W jk 1 + e eo s ( p +   C 3) '

95 www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales

d o n d e e =   ------

fj

=  -—1. La constante C 3  se determina de la k 

condición r = a   para
r = 

a 2v l / k  

1 + c eo s ip

•

(97)

Del curso de geometría analítica se sabe que (97) es la ecuación en coordenadas polares de una sección cónica de excentricidad e. Por eso, la ecuación (97) puede ser: elipse

si

e
es decir, si

2k v0 < -

hipérbola

si

e > l,

es decir, si

* > T 

parábola

si

e = 1,

es decir, si

circu nferen cia

si

e = 0,

es decir, si

2

2fc

 ¡   3   i    i    I   «

k V° = a 2

De las observaciones astronómicas se deduce que para todos los 2 2k planetas del sistema solar la magnitud siem pre es m enor que — . Así pues, llegamos a otra ley de Kepler: las órbitas de los planetas

son elipses en las qu e el So l ocupa uno de los focos. Las órbitas de la Luna y de los satélites artificiales de la Tierra también son elipses, pero con excentricidades e m uy cercanas a cero en la m ayoría de los casos, es decir, son elipses qu e m ás bien parecen circunferencias.

96 www.FreeLibros.me

18. Leyes de K ep ler de l movimiento plane tario

E n c u a n t o a l o s c o m e t a s p e r ió d i c o s , t a le s c o m o e l c o m e t a H a l le y , s u s órbitas tienen formas de elipses alargadas con excentricidades muy cercanas a la unidad. En particular, el cometa Halley aparece en la z o n a d e v is ib i li d a d d e l a T i e rr a a p r o x im a d a m e n t e c a d a 7 6 a ñ o s . F u e visto por última vez a finales del año 1985 y comienzos de 1986. L o s cu e r p o s c e l e s te s c o n ó r b i ta s p a r a b ó l ic a s o h i p e r b ó l ic a s s e p u e d e n observar sólo una vez, pues nunca regresan. Averigüemos ahora el sentido físico de la excentric idad e .   Previa mente, nótese que la magnitud v   d e l v e c t o r V d e v e l o c i d a d d e l planeta y las componentes x e y   d e d i c h o v e c t o r e n l o s e j e s x   e y , satisfacen la igualdad

v 2 = x 2 + y 2, la cual, en virtud de las fórmulas ( 86), p u ed e escribirse en la forma

v2 = r V

+ r 2.

De aquí se infiere que la energía cinética de un pl aneta de masa m se puede hallar mediante la fórmula  j m t ;2  = ^ m ( r  2v?2 + f 2) .

(98)

En cuanto a la energía potencial del sistema, ésta es igual al trabajo ( to m a d o c o n s i g n o " m e n o s " ) n e c e s a ri o p a ra d e s p l a z a r e l p l a n et a hasta el infinito, donde la energía potencial es igual a cero. Por consiguiente,

www.FreeLibros.me

Capitulo 1. Co nstrucción y solución de m odelos diferenciales

S i d e n o t a m o s c o n E   la energía total del sistema, la cual es una m agn itud con stante en virtud de la ley d e conservación de la energía, entonces de las fórmulas (98) y (99) obtenemos

^ m ( r 2
( 100)

H a c i e n d o

a 2v l / k

m r 2a 2v l

km

1+ e

2r 4

r

Elim inando r d e las d os ú ltimas igualdades, llegam os a la siguiente expresión para la excentricidad:

Finalmente, la ecuación (97) de las órbitas planetarias toma la forma

alvVk  1 +

Er.

-y

m k-

COS

D e aqu í se ded uce qu e la órbita es una elipse, una hipérbola, una pa r áb o la o u n a c irc u n fe re n cia si £7 < 0 , £ > 0 , E = 0 ó E =

—r, 2a ‘ v 0 respectivamen te. De este m odo, la órbita d e un planeta está com ple tam ente determ inada por su energía total E . En particular, si un planeta, por ejemplo, la Tierra, pudiera obtener del exterior un impulso que le permitiera aumentar su energía

98

www.FreeLibros.me

18. Leyes de Ke pler del movimiento planetario

total E   hasta una magnitud positiva, entonces pasaría a una órbita hiperbólica y abandonaría nuestro sistema solar. Dediquémonos ahora a la tercera ley de Kepler, la cual se refiere a los períodos de las órbitas planetarias. Partiendo de la segunda ley de Kepler nos restringiremos, naturalmente, a la órbita elípti ca, cuya ecuación en coordenadas cartesianas es

? + ? - > ■ La excentricidad de la elipse es C  2 2 2 e = — , p ero c o m o C  = £ - r¡ (fig. 31), e nto nces e 2 = L-Z -U l o b ien ( 101 )

A partir de las igualdades (97), (101) y de las propiedades de la elipse, concluim os que 1 / a2vl/k

*

2 y 1+ e

a 2t>¿/fc\ _ 1 - e  J

a2vl

= a 2t>fc 2 k ( 1  - e 2) kr?

es decir,

v2 =

*Se

m 

www.FreeLibros.me

( 10 2 )

Capítulo 1. Co nstrucción y solución d e mo delos diferenciales

D e n o te m o s c o n T   el período de revolución de un planeta, o sea, el tiem po q ue necesita el planeta para recorrer com pletamen te la órbita. Dado que el área de la región limitada por la elipse es igual a n^r¡, basándo nos en las fórm ulas (94) y (95) deducimos qu e

.

Finalmente, teniendo en cuenta la igualdad (102), hallamos

T2

4 *W a%2

_ 4^ 3 k 4 '

Esta última fórmula es la expresión formal de la tercera ley de Kepler: los cuadrados d e los períod os d e revolución d e los plan etas son

 proporcion ales a los cubos d e los sem iejes m ayores d e sus órbitas.

19. Flexión de una viga Consideremos una viga homogénea  A B   de sección transversal cons tante, colocada ho rizontalm ente (fig. 32). El eje d e sim etría de la viga se ind ica en la figura 32 con una línea discontinua. A sum am os qu e la viga s e flexiona bajo la acción de las fuerzas qu e actúan sobre ella en el p lano vertical qu e con tiene al eje de sim etría (fig. 33). Las fuerzas

Fig. 32

Fig. 33

a las que nos referimos puede ser el peso de la propia viga, una fuerza exterior aplicada a ésta o una combinación de ambas fuerzas. Es claro que como resultado de dichas fuerzas el eje de simetría se arquea. Al eje de simetría flexionado se le llama usualmente línea

100 www.FreeLibros.me

19. Flexión de una viga

I

elástica.   El estudio de las formas de las líneas elásticas d esempeña un papel importante en la teoría de la elasticidad.

m P

UI Q

Fig. 35

Fig. 3 4

S e ñ a l em o s q u e l as v ig a s s e p u e d e n d i fe r en c i a r s e g ú n l a f o rm a e n q u e se sujetan o apo yan. Por ejem plo, en la figura 34 se m uestra una viga c o n e l e x tr em o  A   fijo y el extremo B   libre. Tales vigas se denominan vigas de consola ( cantilever ) . En la figura 35 se ilustra una viga que yace libremen te sobre los apo yo s  A y B .  O t r o t ip o d e v i g a c o n a p o y o s se m uestra en la figura 36. Tam bién • existe una clasificación d e las form as .^ -I ------------- de ap licación de las fuerzas exterio‘ 4L —-------------------------------res sob re la viga. P or ejem plo, e n la ^ figura 34 las fuerzas están distribu íF¡9 - 36 das uniformemente. Evidentemente, la fuerza pu ede ser variable a lo largo de toda la viga o e n una p arte de ésta (fig. 35). En la figura 36 se m uestra el ca so d e un a fuerza concentrada en un punto. Analicemos una viga horizontal O A (fig. 37). Sup on gam os que su eje de simetría (línea discontinua e n la figura) se en cuen tra sob re el eje x . Orientemos el eje x   hacia la derecha del origen de coordenadas O y el eje y  h acia abajo. B ajo la acción d e las fuerzas externa s F X, F 2, . . . (y del peso de la viga si éste es grande) el eje de simetría se flexiona formando una línea elástica como la indicada en la figura 38. El desplazamiento y   de la línea elástica respecto al eje x   se conoce

.01 www.FreeLibros.me

Ca pítulo 1. Con strucción y solución de modelos diferenciales

Fig. 37

Fig. 38

c o m o flex ión  de la viga en la posición x . De esta definición se induce qu e para hallar la flexión d e una viga es suficiente cono cer la ecuación de su línea elástica. Más adelante mostraremos cómo hacerlo en la práctica. Representemos con  M {x )   el momento flector en una sección trans versal vertical de abscisa x   de la viga. El momento flector es igual a la sum a algebraica de los m om entos de las fuerzas que actúan sobre uno de los lados de la viga respecto al punto x .   Al calcular los momentos consideraremos que las fuerzas que actúan sobre la viga de abajo hacia arriba tienen momentos negativos, y las que actúan de arriba hacia abajo, momentos positivos. En la teoría d e resistencia d e m ateriales se dem uestra qu e el mom ento flector en la po sición x está relacionado con e l radio d e curvatura de la línea elástica mediante la expresión

E J   7-------“

37! =  M (x ),   [ i + (v ')2] 3/2

(103)

donde E   es el módulo de elasticidad de Young y depende del material del cual está hecha la viga,  J    es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en la posición x   respecto a la recta horizontal qu e pasa po r el centro de graved ad d e dicha sección

www.FreeLibros.me

19. Flexión de una viga

I

transversal. El producto E J   s e l l a m a c o m ú n m e n t e rigidez flexural; en lo sucesivo asum irem os que su m agnitud e s constante. Suponiendo que la viga se flexiona sólo un poco, lo que es muy frecuente en la práctica, entonces la pendiente y'   de la línea elástica es muy pequeña y, en lugar de la ecuación (103), podemos tomar la ecuación aproximada

E J y " =  M {x ).  

(104)

Para mostrar cómo se utiliza la ecuación (104) en la práctica, exa minemos el problema siguiente. Una barra homogénea de acero de longitud l,   la cual está acostada libremente sobre dos apoyos, se flexiona bajo la acción de su propio peso, igual a  p   k i l o g r a m o s d e fuerza por unidad de longitud. Se pide hallar la ecuación de la línea elástica y la flexión máxima de la viga. La línea discontinua de la figura 39 representa la línea elástica. Cada uno de los dos apo yos produ ce una reacción o rientada hacia arriba e igual a la m itad del pes o

p//2

 p l

de la viga (igu al a — ). El X \ a *1* O 2 ' i m om ento flector  M {x ) es ♦ Q la sum a algebraica de los " \ px  p i l - X ) momentos de estas fuer zas a u n lado del pun Fig. 39 to Q (fig. 39). Calcu lem os primero la acción de las fuerzas a la izquierda del punto Q .   A u n a

 p l

distancia x   del punto Q   la fuerza —   actúa sobre la viga de abajo hacia arriba generando un momento negativo, a la vez que la fuerza

x  p x ,   que actúa sobre la viga de arriba hacia abajo a una distancia —

103 www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Con strucción y solución d e mo delos diferenciales

d e l p u n t o Q ,   genera un momento positivo. Así, el momento flector resultante en el punto Q es

Si tomamos la acción de las fuerzas a la derecha del punto Q,

l —x

e n t o n c e s a u n a d i st an c ia ——

d e l p u n t o Q,   sobre la viga actúa

una fuerza  p (l - i ) d e a rr ib a h a c ia a b a jo g e n er an d o u n m o m e n to

 pl

positivo, m ientras qu e la fuerza — , que actúa sobre la viga de abajo hacia arriba a una distancia l - x   del punto Q ,   genera una momento negativo. El m om ento flector resultante es

l —x vi v x 2 p lx - V  M (x ) = p (l - x ) — - V - (  l - x ) = — . 

(106)

C om o se aprecia en las fórm ulas (105) y (106), los m om entos flectores son iguales en am bos casos. Sabiendo ya cóm o se calcula el mom ento flector, podemos escribir la ecuación fundamental (104) para nuestro caso: (107) Teniendo p resente qu e la viga n o se flexiona en su s extrem os O y A , para resolver la ecuación diferencial (107), es decir, para hallar y utilizaremos las condiciones en los extremos de la viga:

y = 0  para

x = 0

e

y = 0   para

104 www.FreeLibros.me

x = 1.

20. Transpone de m adera

Integrando (107) y haciendo uso de las condiciones en los extremos de la v iga, obtenemos

y = 2¿ 7 (l4- 2'l3 + í3l)-

(108)

La ecuación (108) es la ecu ación d e la línea elástica. En las aplicaciones prácticas la fórmula (108) se usa para calcular la flexión máxima de la viga. En este ejemplo concreto, valiéndonos de la simetría del problema hallam os que la flexión m áxima se da cu and o z = d on d e E   = 21 •10 5

igua| a

1 

y es

 J  = 3 - 10 4  c m 4 .

Transporte de madera

Al transportar troncos de árboles desde los aserraderos hasta las empresas madereras, los vehículos transportadores pasan obligato riamente por caminos forestales. C om únm ente el ancho d e un cam ino forestal no permite el paso de más de un vehículo. Con el fin de que puedan pasar dos vehículos que se mueven al encuentro, en el camino se construyen varias vías muertas. Eludamos la pregunta acerca del horario óptimo de trabajo que garantiza que los vehículos que van y vienen se encuentren precisamente en las vías muertas, y dediquém onos a establecer cuán anchas deben ser las cu rvas y qu é trayectoria debe segu ir el chofer en las curvas p ara que pu eda trans portar, por ejemplo, troncos de treinta metros de longitud. Al mismo tiempo, vamos a suponer que la capacidad de maniobrabilidad del vehículo es suficiente para que se pueda desplazar con facilidad en tramos de camino bastante limitados.

105 www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Con strucción y solución de m odelos diferenciales

Comúnmente, un vehículo transportador de madera se compone de un tractor y de un remolque, los cuales están enganchados de tal manera que pueden girar libremente uno respecto al otro. El tractor tiene un eje delantero libre y dos ejes traseros fijos, sobre los cuales se instala un soporte que gira libremente sobre su propio eje en un plano horizontal, y cuya función es sostener los troncos por uno de los extremos. El remolque, sujeto al tractor mediante un eje, posee sólo dos ejes traseros fijos y un soporte similar al del tractor para sujetar el segundo extremo de los troncos. El chasis del remolque consta d e d os tubos m etálicos, uno de los cuales pued e entrar en el otro, permitiendo de esta manera que la longitud del chasis cambie durante el movimiento y que el tractor y el remolque se muevan independientemente. En la figura 40 se ilustra el esquema de un vehículo como el que acabamos de describir. En el esquema, los S

R

puntos  A y B   representan los ejes de giro de los dos soportes, situados a una distancia h   uno del otro. Mediante X Y   denotamos los troncos de árbol (para ellos  A X  = \h).   El punto C   indica el eje que une el tractor con el remolque, siendo  A C  = a h   (usualmente a =   0,3 y en el caso más simple, a   = 0). Además, F F    es el eje delantero del tractor, P P , Q Q   son sus ejes traseros, y R R , S S so n

106 www.FreeLibros.me

I

20. Transporte de madera

los ejes del remolque. Todos los ejes tienen la mis ma longitud 2 L . Supongamos que el ancho del vehículo también es igual a 2 L . F i n a lm e n t e , a s u m ir e m o s q u e e l a n c h o d e la p a r t e t ra s e ra d e la ca r g a es 2 W .  M á s a d e l a n t e n e c e s i t a r e m o s e l c o n c e p t o d e e n v e r g a d u r a d e carga   d e l v e h í c u l o . C o m ú n m e n t e s e d e f i n e l a e n v e r g a d u r a d e c a r g a c o m o l a d e s v i a c i ó n m á x i m a d e s u p a r t e t r a s e r a ( d e l p u n t o X    del esquema) respecto a la trayectoria del vehículo. Consideremos que e l a n c h o d e l c a m i n o e s 2f3h   y l a s c u r v a s t i e n e n l a f o r m a d e u n arco d e circunferencia de radio — y centro en e l p u nto O   (fig. 41). Para sim plificar asum irem os qu e el vehículo cargado de troncos entra en la curva de tal manera que el tractor y el remolque se encuen tran en línea recta, y el eje del soporte delantero (punto  A )   está exactamente sobre la línea media del camino. Como se aprecia en la figura 41, el punto  A   e s t á d e  t e r m i n a d o p o r e l á n g u l o x   que forma el tractor  A C   con la direc ción inicial. Definamos un sistema de coordenadas cartesianas rectan gulares O x y   de manera que el eje d e las abscisas sea p aralelo a la dirección inicial escog ida. D eno tem os c o n 0   el ángu lo qu e form a al haz de troncos co n la dirección inicial. P o r ú l t i m o , r e p r e s e n t a n d o c o n u   a l á n g u l o B A C    en la figura 41, o b t en e m o s q u e u = x ~ 0- G e n e ra lm e n t e e l á n g u l o u s e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e ángu lo de retraso  d e l v eh í c u lo . E l s e m i a n c h o r e q u e r id o  p h del camino se denomina semiancho del camino en el lado exterior  de la curva.   E s t e s e m i a n c h o d e t e r m i n a l a e n v e r g a d u r a d e c a r g a d e l

1 07 www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Co nstrucción y solución d e m odelos diferenciales

veh ículo en la curva y e s igual a la sum a algebraica O X - O A + W . E l semiaticho del camino en el lado interior de la cur va   es la suma algebraica O A + L - O P ,   d o n d e O P   e s la distancia desd e el pu nto O hasta  A B . Supongamos que cuando el vehículo se desplaza las llantas no resbalan hacia los lados o que, en caso contrario, la desviación es muy pequeña. Esta condición garantiza que la línea media del tractor  A C   sea tangente al arco de la circunferencia en el punto  A y,   por lo tanto, O A   sea perpendicular a  A C   y el ángulo \   quede d e f i n i d o t o d o e l t i e m p o p o r e l m o v i m i e n t o d e l p u n t o  A   sobre el arco de la circunferencia. Al construir los caminos, la curvatura de las curvas está determinada por el ángulo N   correspondiente a u n a l o n g i tu d d e a r co d e la c u r v a a p r o x i m a d a m e n t e ig u a l a 3 0 m . D e a c u e r d o c o n la n o ta c ió n q u e h e m o s a d o p t ad o , 180° 3 0 a N =   ---------- - , 7T

h

(109)

d o n d e h   se m ide en m etros. Por ejem plo, para fc = 9 m y a = 0,1 resulta N    « 1 9° . S i h   = 12 y a = 1 ,0 , e n to n c es N  ~ 1 42 °. C o m o indica la práctica, se deben considerar solamente l os valores de a que satisfagan la condición 0 < a < 1 , pero tan cercanos a 1  c o m o se pueda, con el fin de aumentar la posibilidad de maniobrabilidad del v ehículo. La longitud A h   d e c a d a t r o n c o e s m a y o r q u e h ,   pero partiendo nuevamente de consideraciones prácticas, no debe su perar 3 h .   Así, los valores de A satisfacen la condición 1 < A < 3. En cuanto a la constante a, se supone que 0 ^ a < 0,5. Finalmente, la magnitud d e h   depende de cada caso concreto, aunque varía dentro de los límites 9-12 m.

108 www.FreeLibros.me

20. Transporte de madera

Puesto que las llantas del tractor no resbalan lateralmente, las coordenadas del punto  A   en la figura 41 son

x   = - s en X/

y = - eos

y las del punto B so n

h

X =   — sen \ - n  eos d, (110)

Y  = - e o s y + h  sen 6. Q Como las llantas del remolque tampoco resbalan, el punto B se m ueve en las dirección B C  y

d Y  3(L a? = - * g *

( 1U )

donde ^ es el ángulo que forma B C   con la dirección inicial. Con ayuda de la igualdad \ u + 0 / d e l t riá n gu lo ¿ B C o b te n e m o s las igualdades sen (x - V») _ sen (0 - V») _ sen u

h

ah

bh '

d o n d e 0 < 6  < 1 y los ángulos ip,0 y u   son funciones de XValiéndonos de (110) y (111), obtenemos

www.FreeLibros.me

C apítulo 1. Con strucción y solución de m odelos diferenciales

Simplificando la última igualdad resulta de

s e n (X -1 > ) = a — c o s ( 9 - i P ) .   d X 

(113)

Su stituyen do de (112) en la ecuación (113) y teniendo presente la igualdad % = u + 0 y   q u e 6 = 0   para x = 0, llegamos a la ecuación diferencial6) £ . i dx 

„ " n“ , a(l-acostí)

con la con dición inicial u (0) = 0. E n esta ecu ación, el ángulo de retraso u   cumple el papel de función incógnita. La ecu ación d iferencial (114) se puede integrar con ayud a del cam bio u

d e va ria ble t g - = v ,   pero la relación entre las variables u y X   que se obtiene en la respuesta es tan compleja que el análisis siguiente se dificulta considerablem ente. Po r esta razón , se recom ienda utilizar algún método numérico de resolución para obtener una solución, aunque sea aproximada7'. En la figura 42 se m uestran los gráficos de la solución correspon dien tes a diferentes valores de a (a = 0,3). E n ellos se ve cóm o varía el

h) T a y l e r A B .  T h e S w e e p o í a L o g g i n g T r u c k / / M a t h . S p e c t r u m . 1 9 7 4 - 1 9 7 5 . V. 7 , N® 1. P. 19 -26. ^ N . d e l T. E n e l o r i g i n a l e n r u s o e l a u t o r r e s u e l v e la e c u a c i ó n ( 1 1 4 ) p o r e l m é t o d o d e R u n g e — K u t ta d e s e g u n d o o r d e n , u t iliz a n d o p a r a e l lo la c a lc u la d o r a " E L E K T R O N 1 K A B Z - 3 4 ". E n l u g a r d e e s to , s e p u e d e h a c e r u s o d e a l g u n o d e lo s p r o g r a m a s m a te m á t ic o s d i s p o n i b le s e n e l m e r c a d o , t a le s c o m o M A P L E , M A T H E M A T 1 C A , e tc é te r a.

110 www.FreeLibros.me

20. Transporte de madera

I

á n g u l o d e r e tr a s o u   respecto al ángulo x- Para una mejor ilustración, s e h a n t o m a d o e s c a l a s d i fe r e n t e s e n l o s e je s u y

Fig. 4 2

Hallemos ahora la envergadura de carga del vehículo, empleando para ello el semiancho del camino en el lado exterior de la curva, el cual, como vimos, es igual a la suma algebraica O X - O A + W   (fig. 41). H allem os a nte tod o

OX2=

se n x - X h c o s B ^

+ ^

e o s x + Afc se n 0 ^

=

= ',2( ¿ +A2- 2í sen“)D e a q u í s e d e d u c e q u e la e n v e rg a d u r a d e ca rg a d e c r e ce c o n e l a u m e n  to de x» y a 9 u e c r e c e e l á n g u l o d e r e t r a s o t í . C o n s i g u i e n t e m e n t e , e l s e m i an c h o m á x im o d e l c a m i n o (3h   se calcula con la fórmula

www.FreeLibros.me

C ap ítulo 1. Con strucción y solución de m odelos diferenciales

Las líneas continuas en la figura 43 corresponden a los diagramas

W 

que relacionan las variables P - — y a para diferentes valores de A.

L h

Las líneas discontinuas muestran cuál debe ser el v alor de  p - —

'- 7

para obtener la "holgura" necesaria en el lado inte rior de la curva. Además, en cualquier posición que ocupe el vehículo en la curva debe verificarse la condición 1 1 L L P   = - ( 1 - eos u)   + — < —(1  - eos C ) + —,

a

h

a

h

(115)

d o n d e C    es el valor límite de la solución. El número C    se halla a partir de la condición

a ( l — a  eos C )   = sen C ,

www.FreeLibros.me

20. Transporte de madera

que cond uce a la fórmula q

fl -

dy/l

-

o 2 + a 2o 2 )

C   = a rc se n --------------------

r - r  ----------- .

1 + a2a 2

D a d o q u e e l v a lo r d e C    decrece al disminuir a ,   e n t o n c e s e n e l c a s o simple, cuando el vehículo consta de una sola pieza ( a = 0 ), el ángulo de retraso es máximo, y de la condición (115) hallamos L 

1

 _

1  - v / T ^ á 1

 f 3 - Th <   -a U - c o s C ) o=o ~~

a

Finalmente, veamos las conclusiones que se infieren de los razona mientos expuestos hasta el momento. Primero que tod o, pasemos a un caso típico que ilustra los resultados obtenidos. Si la distancia entre los soportes de los troncos e s igual a 12 m y el vehículo pasa por una curva en forma de arco de circunferencia de 6 0 m d e r a d i o , e n t o n c e s a   = 0 ,2 y , e n v i r tu d d e l a f ó r m u l a (1 0 9), la curva es de aproximadamente 28°. Si bajo estas condiciones el a n c h o d e l ve h í c u lo e s 2 , 4 m y e l a n c h o d e l a p a r te p o s t e r io r d e l h a z d e troncos es 1,2 m , e n to n c e s , d a d o q u e l o s t ro n c o s t ie n e n u n a lo n g it u d de 24 m (un extremo del haz reposa sobre el soporte delantero),

W L c o nc lu im o s q u e A = 2 , — = 0 ,0 5 y — = 0 , 1 . A s í, d e la fig u ra 4 3 se h h infiere que para todo valor de a se tiene que (3 = 0 ,4 5 p a r a e l l a d o exterior de la curva y (3  = 0,2 para el lado interior. Teóricam ente, el semiancho necesario del camino en el lado exteri or de la curva es 5,4 m y en el lado interior es 2,4 m. Si los tro ncos miden 14,4 m de longitud a partir del soporte delantero y el ancho del extremo posterior del haz d e troncos es igual a 1,8 m , entonce s A = 1,2.

www.FreeLibros.me

Capítulo 1. Construcción y solución de m odelos diferenciales

El valor de  p   en este caso es igual a 0,22 para los lados exterior e interior de la curva. Por esto, el semiancho necesario del camino en el lado exterior de la curva es igual a 2,64 m y en el lado interior, com o su cedió en e l caso anterior, a 2,4 m . De estos razonamientos se ded uce que m ientras m ás larga sea la carga, m ás ancho d eberá ser el cam ino e n las curva s. En particular, com paran do los d os casos recién examinados vemos que un aumento de la longitud de los troncos en 9,6 m exige un aumento del ancho de las curvas en 2,76 m para que el chofer pueda conducir el vehículo en la curva siguiendo una línea cuya longitud es aproximadamente igual a la longitud de la línea media del camino. La práctica demuestra que para un chofer con poca experiencia el ancho total del camino en la curva debe ser de 10,8 m com o mínim o (para una carga de 24 m de longitud y un ancho del vehículo igual a 2,4 m). La teoría desarrollada aquí muestra que la máxima envergadura de la carga s e obtiene cua nd o el vehículo entra en la curva, ya que pre cisam ente en este mo m ento el áng ulo d e retraso aum enta. La misma afirmación es válida en un punto de inflexión cuando el vehículo pasa en zigzag de una curva a otra. Los resultados ilustrados en la figura 43 corresponden al caso en que el tractor y el remolque están en línea recta antes de en trar en la curva. Pero si ha y un án gu lo inicial de retraso C 0  debido a un zigzag de la curva, entonces la condición inicial en la ecuación diferencial (114) debe tener la forma u(0) = - C 0. En este caso, el anch o n ecesario del cam ino se halla con la fórmula

Destaquemos que en el caso de un remolque simple, o sea, cuando a = 0 , es im posible ven cer la curva si o   > 1. Sin embargo, pa-

114

www.FreeLibros.me

20. Transporte de madera

ra valores relativamente grandes de a  el parámetro a   ya puede tomar valores mayores que 1, siempre que satisfagan la igualdad a (l - a cos C ) = sen C .  Así pues, a   tiene el valor máximo

. v i -

y  para el valor práctico extremo a =   0,5 tenemos a   = 1,25.

a2

A modo de conclusión, señalemos que para los valores de a mayores que 0,5 es posible lograr una economía considerable del ancho del camino aumentando el valor de a  (fig. 43), y para una carga tal que A sea no mucho mayor que A = 1, el valor de a se elige de manera que el semiancho requerido del camino en el lado interior de toda curva siempre sea menor que en el lado exterior.

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

CAPÍTULO 2

Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

En la primera parte del libro formulamos algunos problemas y construimos sus modelos diferenciales. Y gracias a que pudimos integrar   las ecuaciones diferenciales obtenidas, logramos responder satisfactoriamente a las preguntas planteadas. Sin embargo, como se indicó en el prólogo, la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no pueden se integradas mediante funciones elementales. Por esta razón, al examinar muchos modelos diferenciales de fenómenos y procesos reales, es necesario recurrir a métodos que proporcionen la información necesaria a partir de las propiedades de la ecuación diferencial, sin tener que resolverla. En este capítulo mostraremos ejemplos concretos de aplicación de los procedimientos y métodos elementales de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias a la resolución de problemas prácticos.

1. Curvas a lo largo de las cuales la dirección de la aguja magnética no varía En los procesos de integración cualitativa, cuya esencia consiste en esclarecer el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos d e análisis d e m ode los diferenciales

diferenciales ordinarias, a veces resulta provechoso utilizar una pro piedad co m ún d e las ecuacion es diferenciales, análoga a la propiedad que posee el campo magnético en la superficie de la Tierra: sobre

la su perficie terrestre se pueden indicar curvas a lo largo d e las cuales la dirección d e la ag uja m agnética es constante. Analicemos la ecuación diferencial ordinaria de pri mer orden

donde la función / es unívoca y continua respecto a las variables x e y en cierta región D  d e l p l a n o ( x , y ).   La ecuación diferencial (116) le as ig n a a c a d a p u n t o M ( x , y )   d e l d o m i n i o D   de la función  f  el v a lo r ~

dx

, e s d ec ir, la p en d ie n te K    de la tangente a la curva integral

e n e l p u n t o  M ( x , y ) .   En vista de esto, se dice que la ecuación diferencial (116) determina una dirección o elemento lineal   en todo p u n t o  M ( x , y )   de la región D .   El conjunto de todos los elementos lineales e n D s e co n o c e c o n e l n o m b re d e campo direccional o c a m p o de elementos lineales.   Gráficamente, un elemento lineal se puede r e p r e s e n t a r m e d i a n t e u n s e g m e n t o ( d e l q u e  M (x , y)   e s u n p u n t o interior) cuy o ángu lo 0   con la dirección positiva del eje x   satisface la relación K    = tg 6 =   / ( x , y ). De aq u í se infiere que, geom étricamen te, la ecu ación diferencial (116) expresa el hecho d e qu e la dirección d e la

tangente coincide con la de l cam po en cada pun to de la curva integral. L o s c a m p o s d i re c cio n a le s s e p u e d e n c o n s t ru i r c o n a y u d a d e isoclinas (del griego isos —   igual, y k l i n o   — inclinar), las cua les son co njun tos d e p u n t o s d e l p l a n o ( x , y)   e n l o s q u e l a d i r e c c i ó n d e l c a m p o determinado por la ecuación diferencial (116) permanece constante. En el caso d el cam po m agn ético en la sup erficie terrestre, una isoclina

1 20  www.FreeLibros.me

1. C u r v as e n l a s q u e l a d i r e c c i ó n d e la a g u j a m a g n é t ic a n o v aría

e s u n a c u r v a a l o l a r g o d e la c u a l l a d i r e c c ió n d e la a g u j a m a g n é t ic a se mantiene invariable. La familia de isoclinas de la ecuación diferencial (116) está dada por la ecuación  f ( x , y ) = v , d o n d e v   es un parámetro real variable. C o n o c ie n d o l a s is o c lin a s d e u n a e c u a c i ó n d if e re n c i a l p o d e m o s o b t e n e r u n a i n fo r m a c ió n a p r o x im a d a d e l c o m p o r t a m i en t o d e s u s c u r v a s i n te  g r a le s . E x a m in e m o s , p o r e je m  plo, la ecuac ión d iferencial

no integrable mediante funcio nes elementales. La familia

x 2 + y2 = v

[y > 0)

de isoclinas de la ecuación da da está constituida por circun ferencias conc én tricas del p lano ( x , y ),   d e r a d i o s y /v   y centros en el origen de coordenadas. La pendiente de la tangente a cada curva integral en todo punto de toda isoclina es igual al cuadrado de la longitud del radio de dicha isoclina. Esta información es sufi c ie n t e p a ra h a c e m o s u n a id e a so b r e el c o m p o r ta m i e n to d e l a s cu r v a s integrales de la ecua ción diferencial exam inad a (fig. 44). Gracias a que este ejemplo es bastante sencillo hemos logrado establecer sin mucha dificultad cómo se comportan las soluciones

121

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de m od elos diferenciales

de la ecuación diferencial; pero aun en casos de ec uaciones más com plicadas p u ed e resultar útil con ocer sus isoclinas. Veam os ahora un m étodo geom étrico d e integración de las ecuaciones d iferenciales del tipo (116), m étodo qu e está basado en las propiedades geométricas de las curvas  f ( x , y ) = 0,


Todos los puntos de las curvas con isoclinas nulas definidas por la

dy e c u a c i ó n (/ „) c u m p l en l a c o n d ic ió n — = 0 . E s to s ig n i fic a q u e lo s dx puntos de dichas curvas bien podrían ser puntos de máximo o de mínimo de las curvas integrales de la ecuación diferencial inicial. Ésta es precisamente la razón por la que vale la pena analizar por separado el conjunto de isoclinas nulas. Con el fin de mejorar la aproximación en la constru cción de las curvas integrales se suele hallar también el conjun to de sus puntos d e inflexión (si es q u e existen). Co m o se sabe, los pu ntos de inflexión s e d e b e n b u s c a r h a c i e n d o u s o d e l a c o n d i c i ó n y "  = 0. D erivand o la e c u a c i ó n ( 11 6 ) y d e s p e ja n d o y", se ob tiene „

d/(x.y) . df(z,y) ,

df(x,y)

d j { x , y ) st

v

v =~ár~+~ á ry =s r - +- n r nx'y)Esto indica que las líneas dadas por la ecuación (L) son las posibles líneas de puntos de inflexión1*. En particular, se deduce que todo

 ]) E s t a m o s s u p o n ie n d o q u e l a s c u r v a s in t e g r a l e s q u e ll e n a n c ie r ta r e g ió n p o s e e n la p r o p ie d a d d e q u e p o r c a d a p u n t o d e d i c h a r e g ió n p a s a u n a s o l a c u r v a i n t eg ra l.

122 www.FreeLibros.me

1. Curvas en las qu e la dirección d e la aguja m agn ética n o varia

 pun to d e in flex ión d e u n a cu rva in tegral es un pun to d e tan gen cia d e la curva integral con una isoclina. L a s c u r v a s d e e x tr em o s (d e p u n t o s d e m á x im o o m ín i m o ) y d e p u n t o s de inflexión de las curvas integrales dividen el ca mpo de definición de la función  f  e n s u b r e g i o n e s Sv S2, ■•• , S m d o n d e l a p r i m e r a y segunda derivadas de la solución de la ecuación diferencial tienen s ig n o s d e t e r m i n a d o s . E n c a d a c a s o c o n c r e t o , h a l la n d o e s t a s r e g io n e s podemos construir un esquema del comportamiento de las curvas integrales. C o m o e j e m p l o , c o n s i d e r e m o s l a e c u a c i ó n d i fe r e n c ia l y' = x + y . La ecuación correspon diente de la curv a (J0) e s x + y = 0 , ó y = - x . C o m p r o b a n d o d ir e ct a m e n t e v e m o s q u e l a c u r v a (J 0) n o e s u n a c u r v a integral. En cambio, la curva ( L ), cu ya e cu ació n e s y + s + l = 0 , sí es una curva integral de la ecuación dada y, por tanto, no es una línea d e p un tos d e inflexión. Las rectas (J0) y ( L ) d i v i d e n e l p l a n o ( x , y )  en tres subregiones (fig. 45): la región 5 , (y'   > 0 , y"   > 0) a la derecha de la recta (J0); la región S 2 (y' < 0 , y"   > 0) entre las rectas ( I0) y ( L ), y la reg ión S 3 (y1 < 0 , y"   < 0) a la izquierda d e la recta ( L ).   L o s p u n t o s d e l a r e ct a (/0) son puntos de mínimo de las curvas integrales. A la derecha de (J0) las curvas integrales crecen y a la izquier da, decrecen (en la figura 45 d e izquierda a derecha). N o hay pu nto s d e inflexión. A la derecha de la recta (L) las curvas son convexas hacia abajo, y a la izquierda, convexas hacia arriba. El comportamiento general de las curvas integrales se ilustra en la figura 45. Nótese en este ejemplo que la recta integral ( L ) e s u n a e s p e c i e d e c u r v a " d i v i s o r i a " , p u e s to q u e s e p a r a u n a f a m i lia d e c u r v a s i n te g r a le s

m www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de mo delos diferenciales

de la otra. Tales curvas se suelen llamar separatrices   (del término latino separator).

2. ¿Necesitan los ingenieros los teoremas de existencia y unicidad? En la sección anterior, al referimos a las isoclinas y líneas de puntos de inflexión supusimos tácitamente que la ecuación diferencial consi derada tiene solución. La respuesta a la pregunta sobre la existencia y la unicidad de las soluciones se encuentra en los denominados teoremas de existencia y unicidad,   importantes no sólo en la teoría, sino en la práctica.

124 www.FreeLibros.me

2. ¿Necesitan los ingenieros los teorema s de ex istencia y unicidad?

La importancia de los teoremas de existencia y unicidad radica en que nos dicen si tiene o no sentido aplicar los métodos cualitati vos de la teoría de las ecuaciones diferenciales en el proceso de resolución de problemas concretos (de las ciencias naturales o de la técnica) cuyos modelos matemáticos contienen ecuaciones dife renciales; también son importantes porque sirven de base para la obtención de nuevos métodos y teorías. A menudo, las demostra ciones de los teoremas de existencia y unicidad tienen implícitos métodos de búsqueda aproximada de las soluciones con cualquier grado de precisión. Por esto es que los teoremas de existencia y unicidad juegan un papel fundamental tanto en la teoría cualitati va de las ecuaciones diferenciales como en los métodos numéricos de resolución. En la actualidad existe una gran variedad de métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales. A pesar de que estos métodos tienen el defecto de que cada vez que se aplican dan una sola solución numérica concreta —lo que restringe su uso—, ellos son utilizados ampliamente en la práctica. Señalemos, además, que con el fin de evitar interpretaciones y conclusiones erróneas en los procesos de integración num érica d e las ecu aciones d iferenciales, ésta debe e star precedida p or la verificación de lo s teoremas d e existencia y unicidad. Antes de mostrar dos ejemplos sencillos21 que ilustran y explican los comentarios anteriores, enunciemos una de las variantes de los teoremas d e existencia y un icidad.

2)

Roberts  C . £ . ,  Jr,  W h y t ea c h e x i s te n c e a n d u n i q u e n e s s t h e o r e m s i n t h e fir s t c o u r s e

i n o r d i n a r v d i f fe r e n t ia l e q u a t io n s ? / / I n t . J . M a t h . E d u c . S c i . T e c h n o l . 1 9 7 6 . V . 7 , N o 1 . P41-44.

125 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

Si la función f( x ,y ) de la ecuación   (116) está definida y es continua en cierta región acotada D del plan o (x, y), entonces para todo punto (x Q,y 0) 6 D existe una solución y(x) del  problem a d e valores iniciales 31 Teorema de existencia.

=

/(*. y)~ 

» (*o ) = »o-

<117)

definida en cierto intervalo que contiene el punto x 0. Si en cierta región acotada D del plano (x, y) la función f{ x ,y ) de la ecuación   (116) está definida, es continua y satisface la condición d e Lipschitz Teorema de existencia y unicidad.

respecto a la variable y, donde L es una constante positiva, entonces  para to do punto {x0,y 0) £ D existe una única solución y(x) del  problem a d e valores iniciales   (117) definida en cierto intervalo que contiene a l pu nto x Q. Bajo las condiciones del teorema de existencia o del teorema de existencia y unicidad, toda solución de la ecuación   (116) con las condiciones iniciales (x0,y0) 6 D, puede ser   prolongada hasta un punto tan cercano com o s e quiera d e la frontera de la región D. En el prim er caso la p rolongación no es necesariamente unívoca, m ientras qu e en el segundo caso s i lo es. Teorema de prolongación.

3)

U n p r o b l e m a c o n s i s t e n t e e n h a l l a r l a s o l u c i ó n d e u n a e c u a c i ó n d i fe r e n c ia l q u e

satisfaga cierta condición inicial   ( e n e s t e c a s o , l a c o n d i c ió n y ( x o ) = y o ) , s e ll a m a

 proble m a d e valo re s in ic ia les o  proble m a d e Cauchy.

126 www.FreeLibros.me

2. ¿Necesitan los ingenieros los teo re ma s de existencia y unicidad?

Ahora sí veremos un ejemplo. Resolver el problema de valores iniciales

y

y

2 / ( - l) = 0 ,2 1 ,

(1 1 8)

e n e l in t er v a lo [ - 1 , 3 ] p o r e l m é to d o it er a tiv o d e E u l er  J/(+i = y i + h j [ x i ,y i ) c o n p a s o h =  0,1. La ecuación y 1 = —

s irv e d e m o d e lo d ife re n cia l, e n t re o t ro s , a l

y problema que se examinará en la página 140 y que está relacionado

a un sistema conservativo constituido por un cuerpo que se mueve siguiendo trayectorias horizontales en el vacío baj o la acción de resortes lineales. Para resolver el problema (118) por el método de Euler se puede escribir un programa en algún lenguaje de programación o utilizar u n o d e l o s m u c h o s p ro g r a m a s m a t em á t ic o s d i s p o n i b l e s e n e l m e r c ad o . En última instancia se puede acudir a un proceso manual. En todo c a s o o b t e n d r e m o s u n a t a bl a c o m o la si g u ie n t e:

X 

- 1 ,0

- 0 ,9

- 0 ,6

- 0 ,5

- 0 ,4

- 0 ,3

-0,2

y(x)

0,210

0,686 0,817 0,915 0,992

1,052

1,100

1,136

1,163

X 

-0,1

0,4

0,5

0,6

0,7

y(x)

1,180

1,137

1,102

1,056

1,000

0,0

- 0 ,8

0,1

- 0 ,7

0,2

0,3

1,188 1,188 1,180 1,163

127 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de mode los diferenciales

X 

o»

 y ( 2 ) 

0,930

X 

1,7

0,9

1,0

1,1

U

0,844 0,737 0,601 0,418 1,8

1,9

2,0

2,1

U

1,4

13

1,6

0,131

-0,859

-0 ,6 96

-0,480

2,2

23

2,4

0,007

-31,625

y(*) -0 ,1 46 1,014 0,837 0,609 0,281 -0 ,4 65

En la figura 46 se ilustran los resultados.

Rem itám onos aho ra al teorema d e existencia. La función  f { x , y ) = — d el p roblema de valores iniciales (118) está definida y es continua en todo el plano ( x , y ),  salvo e n los p untos del eje O x.   Por consiguiente,

128 www.FreeLibros.me

2. ¿Necesitan los ingenieros los teo remas de e xistencia y u nicidad ?

conforme al teorema de existencia, existe una solución y{x)   del problema inicial (118) definida en cierto intervalo que contiene al punto £ 0 = —1; de acu erdo con el teorema de p rolongación, dicha solución pu ede ser prolongada hasta un va lor y(x)  cercan o a y{x) = 0. El método de Euler nos permitió hallar una solución del problema de valores iniciales (118) en cierto intervalo (a, b)   ( do nd e a < - 1 y 1 3 < b <   1/4). No obstante, el intervalo real de existencia de la solución del problema inicial (118) se puede establecer partiendo de las características concretas de la ecuación diferencial. De hecho, por cuanto la ecuación es de variables separables, tenemos

v

 X 

Integrando hallamos la solución

y   = v ^l.0 441 - z 2. Se pu ede apreciar qu e la solución del problema (118) existe solam ente en el intervalo abierto |x| < >/l,0441 % 1,0218. De este modo, gracias al teorema de existencia (y al teorema de prolongación) pudimos eliminar el intervalo donde el problema dado no tiene solución. Esto muestra que utilizando solamente la integración numérica podemos llegar a resultados incorrectos. Lo que ocurre en este ejemplo es que cerca del eje x   la pendiente de la solución y = y { x )   se aproxima mucho a 180°. A causa de esto, mientras la variable independiente x   cambia 0,1 unidades, la función y logra "sa ltar " al otro lado del eje x y cae sobre una curva integral diferente de la inicial. Esto sucede porque en cada iteración

129 www.FreeLibros.me

Cap itulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

el método de Euler considera únicamente la pendiente en el punto analizado. El ejem plo siguien te es aún m ás aleccionador. Resolver el problema d e valores iniciales

y =

y{-\) = - 1

(119)

en el intervalo (- 1 ,1 1 , primero po r el m étodo de Euler con paso h =  0,1 y, después, por el método mejorado de Euler, con el mismo paso. Record em os que la sucesión de aproximaciones del m étodo mejorado de Euler se calcula con la fórmula recurrente

yM=v¡ + hf(xMvy¡+\n>'  donde .

hJ(*i*y¡)

y,-+i/2 = y i + —

2—

‘

La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos por el método de Euler: X 

-1,0

-0,9

-0 3

-0 ,7

-0 ,6

-0 3

-0,4

y»(*)

-1,000

-0,7000

-0,460

-0,275

-0,138

-0,045

-0,008

X 

-0 3

-0 3

-0,1

0,0

0,1

03

03

y\(x)

-0,016

0,007

-0,005

0,000

0,000

0,003

0,011

www.FreeLibros.me

2. ¿Nece sitan los inge nieros los teoremas d e existencia y u nicidad?

X 

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

yi(*)

0,031

0,068

0,129

0,220

0347

0316

0,732

En la figura 47 se puede apreciar la solución aproximada del proble ma (118). Los cálculos correspon dientes al m étodo m ejorado d e E uler se expo nen en la tabla siguiente:

-1,0

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0 3

-0,4

-1,000

-0,730

-0314

-0,346

-0,219

-0,129

-0,068

X 

-0 3

-0 3

-0,1

0,0

0,1

03

03

yj(*)

-0,031

-0,012

-0,004

-0,002

-0,004

-0,013

-0,033

X 

0,4

03

0,6

0,7

03

0,9

1,0

in(*)

-0,071

-0,133

-0,225

-0352

-0,522

-0,739

-1,010

x

El gráfico de la solución obtenida por el método mejorado de Euler se muestra en la figura 48. Un hecho asombroso que se percibe inmediatamente es la gran diferencia entre las soluciones representadas en las figuras 47 y 48. Con el objeto de aclarar la causa de tal diferencia, integremos la ecuación inicial. Separand o las variables, tenemos

131 www.FreeLibros.me

2 . Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

Í5 2 www.FreeLibros.me

2. ¿Nece sitan los ingenieros los teoremas d e existencia y unicidad?

 j v-'/3dr,= 3 J ídi.  -1 de donde

Aquí se ve claramente que con el método de Euler aproximamos la fu n ció n y , ( i ) = x 3, mientras que con el método mejorado de Euler, la función si si

a; ^ 0, x > 0.

Pero tanto y, como y2 son soluciones del problema inicial (119), así qu e en el intervalo [1, - 1 J la solución de este problem a no es única. Utilizando ahora el teorem a de existencia y un icidad , lo p rimero que notam os es qu e el problema (119) tiene solu ción en cierto intervalo que contiene al pu nto x 0 =   - 1 , p u e st o q u e la fu n c ió n  f ( x , y) = 3 x t y y es continua e n todo el plano (x,  y ). Po r el teorem a d e prolonga ción, dicha solución se puede prolongar en un intervalo cualquiera. Además, co m o

^

^

= xy~2^ ,   la función  f ( x , y ) = 3 x ^ / y   satisface la

dy cond ición de Lipschitz respecto a la variable y en toda región qu e no contenga p untos del eje x .  Se pu ede dem ostrar qu e la fun ción  f ( x , y) no satisface la condición de Lipschitz en regiones que contienen pun tos del eje x .   Resumiendo, del teorema de existencia y unicidad (y del teorema de prolongación) se deduce que la solución del problema (119) se pu ede prolongar d e m anera única, al m enos hasta el eje x .   Sin em bargo, ya que la recta y = 0 es una solución singular de la ecuación diferencial y ' = 3 x t y y ,   apenas y se iguale a cero,

133 www.FreeLibros.me

2 . M étod os cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

la solución d el problem a (119) ya no pod rá ser prolongad a de m anera ú n ic a m á s a llá d e l p u n t o 0 ( 0 , 0 ) . Así pues, con ayuda del teorema de existencia y unicidad (y del teorema de prolongación) pudimos interpretar correctamente los resultados de la aplicación del método numérico de Euler. Concre t a m e n t e , c o n c l u im o s q u e s ó lo e n e l in t er va lo ( - 1 , 0 ] e l p ro b le m a d e valores iniciales (119) tiene un a solución única.

3. Interp retació n dinám ica de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Consideremos la ecuación diferencial no lineal

uno d e cu yos caso s particulares es la ecuación diferencial d e segundo orden obtenida en la página 66 cuando analizamos el problema del reloj de péndulo. La ecu ación (120) tamb ién sirve d e m odelo diferencial d e un sistema dinámico simple constituido por una partícula de masa unidad que se desplaza a lo largo del eje x (fig. 49) ba jo la acc ión de una / dx \ dx fuerza / 1 x , — J   A cada pa r d e valores de las m agnitudes x y — qu e caracterizan el estado del sistem a en todo instante, le correspon de

www.FreeLibros.me

3. Interpretación dinámica de las ecuaciones de seg und o orden

ds di

x

O

O

Fig. 50

Fig. 4 9

un punto del  p lan o d e estados o  p la n o d e f a s e ^ x , —  J  (fig. 50). El plano de fase es una representación del conjunto de todos los estados posibles del sistema dinámico, con la propiedad de que a cad a nu evo estad o del sistema le correspond e un punto d iferente del plano de fase. Así pues, a la variación de estados de un sistema se le puede po ner en correspondencia el m ovimiento d e cierto pu nto en el plano de fase. Tal punto recibe el nombre de  pun to im agen. La trayectoria del punto imagen se denomina trayectoria d e fa s e y la velocidad del p unto, velocidad de fase.

dx M ediante el cam bio d e variables y = — la e c u ac ió n (1 2 0 ) s e red u ce dt al sistema de dos ecuaciones diferenciales ( 121 )

Considerando la variable t  como un parámetro, la solución del sistema (121) es un par de funciones x(t), y(t)   que determinan cierta curva ( trayectoria d e fas e)   en el plano de fase (x, y). El sistema (121), al igual que el sistema más general

www.FreeLibros.me

C a p í t u lo 2 . M étod os cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

d o n d e l a s f u n c i o n e s X  e Y   s o n c o n t i n u a s j u n t o c o n s u s d e r i v a d a s parciales en cierta región D ,  se caracteriza p o r la propiedad siguiente: s i x(t), y(t) e s s o l u c ió n d e l si st e m a ( 1 2 1 ), en t o n c e s

x = x (t + C ),

y = y (t + C ) ,

(123)

d o n d e C   e s un a con stante arbitraria real, también es solución d e (121). Sin embargo, a toda la familia de soluciones de (123) le corresponde una sola trayectoria en el plano d e fase (x , y ).  E s más, dos trayectorias de fase con puntos comunes coinciden. Por otra part e, al crecimiento y d e c r e c i m i e n t o d e l p a r á m e t r o t le correspond en sen tido s diferentes de movimiento del punto imagen por su trayectoria. Dicho de otra forma, la trayectoria de fase es una curva orientada. En las figuras este hecho se ilustrará con ayuda de flechas sobre los gráficos de las t ra y e c t o r i a s d e l o s p u n t o s i m a g e n . Los sistemas tipo (122) pertenecen a la familia de los denominados

sistem as d iferenciales autón om os o sistem as diferenciales estacionarios , que no son más que sistemas de ecuaciones diferenciales ordina rias con segundos miembros que no dependen explícitamente del t i e m p o t.   S i a l m e n o s u n o d e l o s s e g u n d o s m i e m b r o s d e l s i s t e m a d e p e n d e e x p l í c it a m e n t e d e l tie m p o t ,   el sistema se denom ina sistema n o a u tó n o m o o sistem a no estacionario. A c a d a s o l u c i ó n p e r i ó d i c a n o c o n s t a n t e x ( t )   de la ecuación (120) le corresponde una curva simple cerrada (una curva cerrada sin autointersecciones) en el plano de fase (x, y ).   El recíproco de esta afirmación también es cierto. Supongamos que el sistema diferencial (122) está dado en todo el p l a n o ( x , y ).   Entonces, en general, las trayectorias de fase cub ren completamente el plano de fase sin cortarse la una con la otra.

m  www.FreeLibros.me

3. Interpretación dinám ica de las ecuaciones d e seg und o o rden

En cas o d e q ue en cierto pu nto A/0(x0, y0)  s e c u m p l a n l a s ig u a ld a d e s

X ( x 0, y 0) = Y { x 0 ,y 0) = 0 , la trayectoria degenera en un pun to. A los pun tos co n esta propiedad se les denomina  pu ntos singulares.   En adelante trataremos básica mente con puntos singulares aislados. Un punto sing ular  M 0(x 0, y0) se llama aislado   s i s e p u e d e i n d ic a r un e n t o r n o d o n d e é l e s e l ú n ic o punto singular. T o do p u n to M 0( x 0, 0 ) d o n d e y = 0 ,  f { x 0, 0 ) = 0 , e s u n p u n t o s in g u l ar de la ecuación (120). Desde el punto de vista de la física, este punto singular corresponde al estado de unapartícula de masa unidad

dx dy d 2x y a ce le ra ció n — = — =-iguales dt dt d t *■

c o n v elo cid ad —

a cero simultá-

neamente. Dicho de otro modo, corresponde a un estado de reposo (de equilibrio) de la partícula. Por esta razón, los puntos singulares t am b ié n s e c o n o c e n c o m o  pu n tos d e rep oso o pu n tos d e equ ilib rio. Pu esto que los estados de equ ilibrio d e un sistem a físico caracterizan los puntos singulares de su estado, la clasificació n y el estudio de tales pu ntos ocupan un lugar destacado en la teoría de las ecuaciones diferenciales. El problem a d e la clasificación y el estud io de los pu ntos singu lares d e los sistem as d iferenciales tipo (122) tiene su s orígen es en la teoría d e las velocidad es y aceleraciones d e los líqu idos, y fue considerado con detalle por p rim era v ez por el científico ruso N. E. Zh uko vski en su tesis de maestría "Cinemática de los cuerpos líquidos" (1876). Los nombres de los diferentes tipos de puntos singu lares fueron prop uestos inicialm ente po r el m atemático francés H. Poincaré.

137 www.FreeLibros.me

Cap ítulo 2. M étodo s cualitativos d e análisis de modelos diferenciales

Tratemos de establecer qué significado físico se le puede atribuir a las trayectorias de fase y a los puntos singulares de los sistemas diferenciales tipo (122). Para una mejor comprensión, introduzcamos un campo vectorial bidimensional (fig. 51) definido por la función V ( s , y ) = X ( x , y ) i + Y { x , y) j, donde i y j son los versores (vectores unitarios) de los ejes de coordenadas cartesianas x e y ,   respectivamente. Este campo tiene dos componentes en todo punto P { x , y ) :   una horizontal X { x , y )

dx

dy

y una vertical Y { x , y ) .   P u esto q u e — = X (x, y)   y — = Y ( x , y ) , el vector ligado a todo punto no singular P { x , y)   es tangente a la trayectoria de fase en dicho punto. Si interpretamos la variable t com o el tiem po, enton ces al vector V se le pu ede asignar el papel d e vector de velocidad d el m ovimiento del punto imagen a lo largo de la trayectoria. De esta manera, podemos con siderar que todo el plano d e fase está colm ado de puntos imagen y q u e una trayectoria de fase es la huella que deja cierto pu nto imagen en movimiento. Como resultado de tal interpretación llegamos a una analogía con el movimiento plano de un líquido incompresible. Dado que el sistema (122) es autónomo, el vector V en cada punto fijo P ( x , y)   no cambia con el tiempo, por lo que el movimiento del líquido es estacionario. Las trayectorias de fase son, entonces, las trayectorias d e m ovim iento de las partículas del líquido, y los puntos singulares O , O', O " (fig. 51) represen tan partículas inmóviles. Los hechos más característicos del movimiento representado en la figura 51 son: 1) la existencia d e pun tos singulares; 2) la variedad d e las trayecto rias cerca de los pun tos singulares;

138 www.FreeLibros.me

3) la existencia simultánea de puntos estables e inestables; 4) la presencia de trayectorias cerradas, que en este caso corres pond en a m ovimientos periódic periódicos. os. Las características que acabamos de enumerar constituyen la parte más importante del retr retrat atoo de fas e,   que no es más que el cuadro completo del comportamiento de las trayectorias de fase del sistema general (122). Debido a que, como se indicó antes, muchas ecuacio nes diferenciales no se integran mediante funciones elementales, el objetivo de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales del tipo (122) es procurar construir un retrato de fase lo más completo posible a partir de las funciones X ( x , y ) e Y (x, y). y).

4. Sistemas mecánicos conservativos Es bien sabido de la práctica que en los sistemas dinámicos reales la energía se disipa. Comúnmente, la disipación de energía es ocasionada por algún tipo de rozamiento. Al mismo tiempo, en algunos casos concretos la disipación ocurre tan lentamente que la podemos despreciar si nos limitamos a considerar un intervalo de

13 9 www.FreeLibros.me

C a p í t u l o 2 . M é t o d o s c u a l itit a titi v o s d e a n á l is is i s d e m o d e l o s d i fe fe r e n c ia ia l e s

tiempo no muy prolongado. En esos casos concretos, al estudiar el sistema dinámico se puede asumir que se cumple la ley de conservación de la energía, es decir, que la suma de las energías cinética y potencial es constante. Los sistemas con esta propiedad s e d e n o m i n a n conservativos.   S e p u e d e c o n s i d e r a r c o n s e r v a t i v o , e n t r e otros, el globo terráqueo en rotación si se toma un intervalo d e tiempo de unos pocos años. Pero si estudiamos su movimiento durante varios millones de años, será necesario tener en cuenta la d i s ip i p a c i ó n r e la l a c io i o n a d a c o n l a s m a r e a s en e n l o s o c é a n o s y m a re r e s. s.

m m M

m m

% 

x

Fig. 52 U n e j e m p l o e le l e m e n t a l d e s i s te t e m a c o n s e r v a t iv i v o e s e l s is i s t em e m a f or or m a d o por un cuerpo de masa m   que se mueve horizontalmente en el v a c í o b a j o l a a c c i ó n d e d o s r e s o r te t e s ( fi f i g . 5 2 ). ). D e n o t e m o s c o n x e l desplazamiento del cuerpo respecto a la posición de equilibrio y supongamos que la fuerza que los resortes ejercen sobre el cuerpo {fuerza restauradora)   e s p r o p o r c i o n a l a x .   E n t o n c e s l a e c u a c i ó n d e m o v im i m i e n to to e s

d2x  

m — - + k x  = 0,

k > 0.

L o s r e s o r t e s d e e s t e t i p o s e l l a m a n resortes resort es linea les , d e b i d o a q u e l a f u e r z a r e s t a u r a d o r a e s u n a f u n c i ó n l in in e a l d e a ;.;. S i e l c u e r p o o s c i la la e n u n m e d io i o q u e o p o n e u n a  fu lo c i d a d  f u e r z a r e s i s t e n t e  p r o p o r c i o n a l a l a v e lo del movimiento, entonces la ecuación de movimiento del sistema c o n s e r v a t iv iv o e s

140 www.FreeLibros.me

4 . Sistem Sistem as mec ánicos conservativos conservativos

d2x

m—

dx

+ c — + / :x = 0 ,

c > 0.

(124 )

Éste es un caso de movimiento amortiguado, puesto que la fuerza

dx resist resistente ente es una función función li l i neal de la la velocidad velocidad — . dt En gen eral, una ecu ación de la form form a

d 2x

v

( dx \

+ s U ) + / ( I,= 0 '

(125)

d o n d e / y  g   s on fun cione s arb itrarias tales qu e /(O) /(O) = 0 y <7(0) = 0, s e p u e d e i n t er e r p re r e ta t a r c o m o l a e c u a c ió ió n d e m o v i m i e n t o d e u n c u e r p o de masa m som etido eti do a la acción ac ción de una fuerza fue rza restauradora res tauradora  f { x )

 f d x \

y una fuerza resistente - g   I —

I . E n g en e n e r al a l , e s ta t a s fu fu e r z a s n o s on on

lineales, de manera que la ecuación (125) se puede considerar como la ecuación fundamental de la mecánica no lineal. Estudiemos brevemente el sistema conservativo especial sin fuerza resistente resistente descrito por la ecuación ecuaci ón

Como la fuerza resistente es igual a cero, podemos suponer que no hay disipación de energía. De la ecuación (126) se puede pasar al sistema autónomo

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitati cualitativos vos d e anális análisis is de m odelos diferenciales diferenciales

Excluyendo el tiempo t   del sistema (127) obtenemos la ecuación de la trayectoria del sistema en el plano de fase:

dx my   = -M

. 

(128)

Sep arem os las varia var iabl bles: es:

mydy=  f{x)dx . y =y0  x=x0  t  t0,  t0  t   -

Suponiendo que

y

ecuación (127) desde

para p ara

hasta

=

(129)

d e s p u é s de integrar la la

obtenemos

Jmy  

J  

 X 

2-

=-

 / « ) d i ,

*0 o , lo l o q u e e s l o m is m o ,

^  J    X

m y2 +

J

Xo

  / ( í) í) d { = I m j j * +

 J ( x ) d x .  

(130)

1) 2

dt)  

Como -m y 2 = \m ( ^ 2 2 \ s is i s te t e m a d i n á m i co co y

)

e s la f ó rm rm u l a d e l a e n e rg rg ía í a c in i n é ti tic a d e l

 X 

V ( x ) =  j  / ( { ) d í 0

www.FreeLibros.me

(131)

4. Sistemas m ecánicos conservativos

es la en ergía potencial, pod em os afirm ar qu e la ecuación (130) expresa la ley de conservación de la energía:

U n y 2 + V(x) = E , 

donde E = —

(132)

+ V ( x 0) e s la en erg ía to tal d el sistem a . L a ecu a

ción (132) es la ecuación de las trayectorias de fase del sistema (127), pues se obtuvo de integrar la ecuación diferencial (128). De esta manera, a diferentes valores de E le correspon den diferentes curvas de energía constante en el plano de fase. Los puntos singulares del sistema (127) son los puntos  M ¥(xv,Q ),   donde x v  son las raíces de la ecuación / (x ) = 0. C om o se estableció antes, los pu ntos singula res son los puntos de reposo del sistema dinámico descrito por la ecuación (126). De la ecuación (128) se deduce que las trayectorias de fase cortan perpend icularmen tc al eje x y horizontalm ente a las rectas x = x „. Ad em ás, la ecuación (132) muestra que las trayectorias de fase son sim étricas respecto al eje x. Escribiendo la ecuación (132) en la forma

y =

V (i)),

(133)

resulta fácil construir las trayectorias de fase. E n efecto , introdu zcam os en nuestro análisis el "plano d e balance d e en ergía" (x , z ),  c u y o e je z se encuentra en la misma vertical que el eje y   del plano de fase (fig. 53). Rep resentem os en el plano (x , z)   la función z = V { x ) y varias rectas horizontales z — E   (en la figura 53 se muestra una de ellas). Indiquemos en la figura el valor de la diferencia E - V(x). Seguidamente multiplicamos E - V (x) por — , lo cual permite

www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

calcular los valores de y a partir de la fórmula (133) y con struir su gráfico en el pla-

dx

n o d e fase. C o m o —

dt

= y,

la dirección positiva a lo lar go de toda trayectoria co rresponde al m ovimiento del punto imagen de izquierda a derecha por encima del eje x , y de derecha a izquier d a p o r d eb a jo . Los razonamientos generales que acabamos de exponer permiten investigar la ecua ción

d x + k  s e n x = 0 — d t-

(134)

d e l m o v i m i e n t o d e u n p é n d u lo e n u n m e d i o sin r es is te n c ia , d o n d e k es una constante positiva (véase la página 66). La ecuación (134) es un caso particular de la ecuación (126). Por consiguiente, podemos considerar que ella describe el movimiento rectilíneo sin resistencia de una masa unidad bajo la acción de un resorte no lineal con fuerza restauradora - k s e n x .   En este caso, el sistema autónomo correspondiente a la ecuación (134 ) es

www.FreeLibros.me

A q u í lo s p u n to s s in g u la re s so n ( 0 , 0 ), ( ± ? r, 0 ), ( ± 2 i r , 0 ), . . y la ecuación diferencial de las trayectorias de fase tiene la forma

dy _ dx

ksenx y

Separando variables e integrando, obtenemos la ecuación de las trayectorias de fase: ^j/2 + k ( 1 - e os x ) = E , la cual es un caso particular de la ecuación (132) para m = 1. La energía total dada por la fórmula (131) es z

V { x) =

J

d£ = k ( \ - e o s x).

o Construyamos en el plano ( x , z )  el gráfico de la función z = V(x) y varias rectas z = E   (en la figura 54 se presenta sólo la recta z = E = 2 k ).   Calculando los valores E - V (x)   podemos luego esbozar el cuadro del com portam iento de las trayectorias en e l plano de fase utilizando la fórmula

y = ± s /2 { E -V {x ) ). El retrato de fase obten ido (fig. 54 ) m uestra qu e si la energ ía E cambia de 0 a 2 k ,   entonces las trayectorias de fase respectivas resultan cerradas y la ecuación (134) tiene soluciones periódicas. Por otra parte, si E > 2 k ,   las trayectorias de fase correspondientes no son cerradas y la ecuación (134) no tiene soluciones periódicas.

1 45 www.FreeLibros.me

Capitulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

Al valor E = 2 k   en el plano de fase le corresponde una trayecto ria de fase que separa dos tipos de movimiento dife rentes (es una separatriz).   Las trayectorias de fase onduladas situadas fuera de la separatriz correspon den a los mov imientos de rotación del péndulo, mientras que las trayectorias cerradas que se encue ntran en las re giones lim itad as po r las separatrices correspon den a los m ovim ientos oscilatorios. En la figura 54 se puede ver que en los entornos de los puntos s i n g u l a r e s ( ± 2 t t m , 0 ), m = 0 , 1 , 2 , . . el co m po rtam ien to d e las tra yectorias de fase se d iferencia del com portam iento de las trayectorias d e fase e n lo s e n to rn o s d e lo s p u n to s ( ± ( 2 n - 1 ) t , 0 ) , n = 1 , 2 , . . . .

www.FreeLibros.me

4. Sistemas m ecán icos conservativos

Sobre la clasificación de los puntos singulares tra taremos más ade lante. Por el m om ento sólo direm os qu e los pu ntos (±27rra, 0) , m = 0 , 1 , 2 , . . d e es te e je m p lo p er te ne ce n al g ru p o d e l os lla m a d o s cen tros, m ie n tr as q u e lo s p u n to s sin g u la re s ( ± ( 2 n - 1 ) jt , 0 ) , n = 1 , 2 , . . . , s o n  pun tos d e silla . U n pu nto singu lar del sistem a diferencial autóno  m o (122) se d enom ina centro  s i e x i st e a l g ú n e n t o rn o s u y o d e n s a m e n t e poblado de trayectorias d e fase que lo rodean y q u e no se cortan la una con la otra. Se llam a  pun to d e silla  a tod o pu nto singu lar hacia el cual conv erge un núm ero finito de trayectorias de fase qu e dividen cierto entorno del punto en regiones donde las trayectoria s se comportan com o un a familia d e hipérbolas definidas po r la ecuación x y   = c on st. Veamos aho ra cóm o influye un a resistencia lineal en el co m porta m iento d e las trayectorias d e fase de un sistem a conservativo. E n este caso, la ecuación diferencial del péndulo es

d2x dx — + c-— + k s e n x = 0, dtdt

c > 0.

Si la resistencia e s suficientemen te pequeñ a co m o para perm itir qu e el pénd ulo oscile respecto a la posición de equ ilibrio, se pu ed e m ostrar que las trayectorias de fase se comportan como en l a figura 55. Si la resistencia no deja oscilar al péndulo alrededor de la posición de equilibrio, entonces las trayectorias de fase tendrán la forma que se muestra en la figura 56. Comparando el retrato de fase de un sistema conserv ativo con los dos últimos retratos de fase, vemos que los puntos de silla siguen siendo puntos de silla (estamos considerando entorn os suficiente m ente pequ eños d e los pun tos singu lares), en cam bio en los entornos d e lo s p u nto s ( ± 2 * m , 0 ) , m = 0 , 1 , 2 , . . . , la s tra ye cto ria s d e fase cerradas se convierten en espirales cu and o la resistencia es pequeñ a,

www.FreeLibros.me

Fig. 55

y en trayectorias que "entran" en los puntos singulares siguiendo d i r e c c io n e s d e t e r m i n a d a s c u a n d o l a r e s is t e n c ia e s g r a n d e . S i s e tra ta d e u n a e s p ir a l, lle g a m o s a u n p u n t o s in g u l a r d e n o m in a d o  f o c o .   En el o t r o c a s o e l p u n t o s in g u l a r s e l la m a nodo.

m  www.FreeLibros.me

4. Sistemas mec ánicos conservativos

Un punto singular (si existe) del sistema autónomo bidimensional general (122) se llama  fo c o   si posee un entorno densamente poblado de trayectorias de fase que n o se cortan y q ue se a sem ejan a espirales que se enrollan hacia el punto singular cuando t — +00   (o cuando t — - 00). Un punto singular se denomina nodo  si tiene un entorno en el que toda trayectoria de fase se comporta como una parábola o una sem irrecta q u e llega a él siguiendo una dirección determinada. Subrayemos que ningún sistema co nservativo puede tener soluciones periódicas aisladas. M ás aún, si T es una trayectoria d e fase cerrada, correspondiente a una solución periódica de u n sistem a conservativo, entonces cierto entorno de T  está densam ente poblado de trayectorias de fase cerradas. Algunas de las definiciones de puntos singulares formuladas arriba tienen carácter puramente cualitativo, descriptivo. En cuanto a los criterios analíticos qu e establecen sus d iferencias, desafortunadam ente no existen para el caso general de los sistemas tipo (122), aunque sí se pueden ob tener para algunas clases particulares d e ecuaciones diferenciales. El ejemplo más sencillo lo constituyen los sistemas de la forma

dx

— = a xx + 6 ,y ,

donde a ,,

dy — = a 2x + b2y, dt

a2 y b2  son constantes reales.

Si la matriz de los coeficientes de este sistema es regular, es decir, si el determinante

149 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis d e mode los diferenciales

entonces el origen de coordenadas 0(0,0) del plano de fase es el ún ico pu nto singu lar del sistema d iferencial. Supongamos que el determinante del sistema es diferente de cero, y que A, y A2 representan los valores propios de la matriz de coeficientes. Se puede mostrar que 1) si Aj y A, son reales y del mismo signo, entonces el punto singu lar es un nodo; 2) si A, y A2 son reales y de signos diferentes, el punto singular es un pun to d e silla; 3) si Aj y A2 no son reales ni im aginarios puros , en tonc es el punto singular es un foco; 4) si At y A, so n imag inarios pu ros, el pun to singu lar es un centro. Los tres primeros tipos de puntos pertenecen al grupo de los denominados puntos singulares "groseros". Los puntos singulares groseros no cam bian su carácter bajo perturbaciones pequeñ as de los primeros miembros del sistema diferencial inicial. Los centros son pun tos "n o g rosero s": su carácter cam bia incluso para perturbaciones m ínimas d e los segu nd os m iembros del sistema diferencial.

5. Estabilidad de los puntos de equilibrio y de los movimientos periódicos Co m o v im os, los d iferentes tipos de pu ntos singulares se caracterizan por el hecho de que en pequeños entornos suyos las trayectorias

150 www.FreeLibros.me

5. Estabilidad de los pun tos de equilibrio y movimientos periódicos

de fase son diferentes. Pero hay una característica m ás: la estabilidad de un punto singular, la cual permite obtener información adicional sobre el comportamiento de las trayectorias de fase de los puntos singulares. Con siderem os un péndulo com o el representado en la figura 57. En el dibujo se muestran dos estados de equilibrio: a) un cuerpo de masa m se encuentra en estado d e equilibrio en el punto superior; b) un cuerpo d e masa m se encuentra en estado d e equilibrio en el pu nto

@

«

inferior. El p rime r estado es inestable y e l s e g u n d o e s estable. A clarem os qu é significa q ue el estado del cuerpo sea estable o inestable: si un cu erpo de masa m se encuentra en estado de equilibrio en el punto superior, entonces es suficiente em pu jarlo ligeram ente para qu e com ience a desviarse d e Fjg 57 la posición de equilibrio, alejándose de ella con velocidad creciente. Pero si el cuerpo está en estado de equilibrio en el punto inferior, despu és de em pu jarlo se m overá con velocidad decreciente, y mientras más suave sea el empujón, menor será la desviación respecto a la posición inicial. Cada estado de equilibrio de un sistema corresponde a un punto en el plano de fase. Las perturbaciones pequeñas de un punto de equ ilibrio inestable producen gran des desv iacion es respecto al pu nto de equilibrio; en el caso de un punto de equilibrio estable, las perturbaciones p equeñas provocan desviaciones pequ eñas. Partiendo de estas ideas intuitivas, examinemos un punto singular aislado del sistema ( 122), suponiendo para mayor comodidad que el punto a n a liz a d o s e e n cu e n tr a e n e l o rig e n d e c o o r d e n a d a s 0 ( 0 , 0 ) d e l p la n o de fase. Diremos que este punto es estable   si para todo número positivo R   existe un número positivo r ^ R   tal que toda trayectoria d e fase qu e en el instante inicial t = t0   parta de un punto P   situad o en el círculo x 2 + y2 = r 2, permanecerá en dicho círculo para todo

m

www.FreeLibros.me

Capitulo 2. M étodos cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

t > t0 (fig. 58). Sin en trar en definicio nes muy formales, se puede afirmar que un punto es estable si todas las trayectorias de fase que en el ins tante inicial se encontraban cerca de él, continuarán estando cerca con el transcurso del tiempo. Un punto se denomina asintóticam ente estable  si es estable y existe un círculo x2+y2 = r J tal que toda trayectoria qu e en e l ins tante t   = t0 se encuentra en dicho círculo tiende al origen de coordenadas cuando t - » + 00. Un punto singular no estable se llama inestable. Un centro siempre es estable (pero no asintóticamente estable). Un punto de silla siempre es inestable. En la figura 55, donde se muestra el comportamiento de las trayectorias de fase en el caso de las oscilaciones de un péndulo en un medio con poco rozamiento, los puntos singulares (focos) son asintóticamente estables; los nodos (figura 56) también son asintóticamente estables. El concepto que acabamos de introducir de estabilidad de un punto de equ ilibrio es cualitativo, ya qu e no se men ciona ninguna propiedad referente al com portam iento de las trayectorias d e fase. Com parando el co nce pto d e estabilidad asintótica con el d e estabilidad, v emos que se exige adicionalmente que toda trayectoria de fase tienda al origen de coordenadas con el transcurso del tiempo. Aun así, tampoco se hac e alusión a ninguna con dición sobre la forma en que las trayectoria se deben acercar al punto 0(0,0). El concepto de estabilidad (y de estabilidad asintótica) juega un papel importante en las aplicaciones. De hecho, un dispositivo

152 www.FreeLibros.me

5. Estabilidad de los puntos de equilibrio y m ovimientos pe riódicos

construido sin tener en cuenta la estabilidad, es sensible, incluso, a las influencias exteriores más pequeñas, y al final de cuentas ello puede traer consecuencias indeseables. Refiriéndose a la importancia del concepto de estabilidad, el conocido matemático y mecánico soviético N.G.Chetáev escribió41: "...al construir un avión de pasajeros se debe garantizar estabilidad en su movimiento, de manera que resulte un aparato tranquilo en el vuelo y seguro en el despegue y el aterrizaje. El cigüeñal se debe calcular de modo que no se averíe a causa de las vibraciones que pueden surgir en condiciones reales de funcionamiento del motor. Con el objeto de garantizar el máximo posible de precisión en un arma de artillería, tanto el arma como las municiones se deben fabricar teniendo en cuen ta la estabilidad d e las trayectorias de vu elo de los proyectiles. Podríamos seguir citando ejemplos, pero ello solamente confirmaría que al resolver un problema sobre movimientos reales, entre todas las soluciones de las ecuaciones es necesario detenerse en las que corresponden a estados estables, y que en los casos en que se desee evitar cierta solución, lo más razonable es hacer los cambios pertinentes en la construcción del sistema con e l fin de q u e el estado de m ovimiento correspondiente a esa solución q ue qu erem os ignorar sea inestable." Regresando al pénd ulo representado en la figura 57, destaq uem os un hecho curioso y, en cierto modo, inesperado: resulta que la posición superior de equilibrio inestable del péndulo se puede volver estable mediante oscilaciones verticales del pu nto  A  de suspensión. Es más,

41 Chetáev N.  G. E stabilidad de l m ovimiento, M oscú, 1965 (en ruso).

153 www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de mode los diferenciales

n o só lo la posición su perior del péndu lo, sino cualquiera otra posición (en particular, la horizontal) se puede volver estable a cuenta de las vibraciones de l p un to d e suspensión ' 1. Pasem os ahora al conc epto (no m enos impo rtante que el concepto de estabilidad de un pu nto de equilibrio) de estabilidad d e los m ovimien tos (soluciones) periódicos. Consideremos un sistema conservativo con soluciones periódicas. A estas soluciones les corresponden tra yectorias cerradas que pueblan densamente cierta región del plano de fase. A todo m ovim iento periódico de un sistema con servativo le corresponde un movimiento del punto imagen por una trayectoria cerrada d el p lano d e fase. En el caso general, el p eríodo de recorrido d e los puntos imagen por diferentes trayectorias es distinto. Dicho de otra manera, el período de las oscilaciones en un sistema conservativo depende de las con diciones iniciales. Geom étricam ente, esto significa qu e do s puntos imagen cercanos que comienzan a moverse en el instante t = tQ, po r ejem plo, desde el eje x , con e l transcurso del tiemp o se separan a un a distancia finita. Sin em bargo , puede sucede r que co n el tiem po estos puntos no se separen. Para diferenciar estas dos variantes se introduce el concepto de estabilidad de las soluciones periódicas según Liapunov. Se dice que la solución periódica correspondiente a la trayectoria cerrada T es estable segiín Liapunov   si para un £ -entorn o6* tan pequeño com o se quiera de un punto M que se

b> E n e l l i b r o d e T . G . S t r i z h a k " M é t o d o s d e i n v e s t i g a c ió n d e l o s s i s te m a s d i n á m i c o s ti p o

p é n d u l o " , A l m á - A t á , 1 9 81 ( e n r u s o ) , s e p r e s e n t a n m u c h o s e j e m p l o s d e e s ta b i li z ac ió n d e d i s t in t a s c l a s e s d e p é n d u l o s . 6 ) P o r r - e n t o r n o d e l p u n t o M   s e e n t i e n d e u n c i r c u l o d e r a d i o c  con cen tro en el p u n t o M  .

,5 4 www.FreeLibros.me

5. Estabilidad de los puntos d e equilibrio y movim ientos periódicos

m ueve p o r la trayectoria cerrada T (fig. 59), existe un «5(f)-entomo móvil de  M    tal que todo punto imagen que en el instante inicial se encuentre en el ¿(c)-entomo nunca saldrá del c-entomo. Si una solu ción periódica no es estable según Liapunov, se dice que es no estable

según Liapunov. La s solucion es periód icas no estables según Liapunov poseen de todas maneras cierta clase de estabilidad, llamada estabilidad orbital.   La esta bilidad o rbital consiste en qu e, a pe queños cambios de las condiciones iniciales, el punto imagen pasa de una trayectoria de fase a otra tan cercana como se desee de la trayectoria inicial. U n ejem plo de soluciones periódicas no estables según Liapu no v son las soluciones que aparecen, por ejemplo, al examinar la ecuación diferencial del movimiento horizontal en el vacío de una masa m som etida a la acción de d os resortes lineales (fig. 52). O tro ejem plo d e soluciones periódicas no estables según Liapunov, pero que poseen estabilidad orbital, son las solucion es de la ecua ción diferencial (134) del movimiento de un péndulo circular en un medio sin resistencia. En el primer caso, el período de las oscilaciones no depende de las condiciones iniciales y se calcula con la fórmula T = 2ir   En el segundo caso, el período de las oscilaciones depende de las condiciones iniciales y se expresa, como sabemos, por medio de una integral elíptica de primera esp ecie calculada d esd e 0 hasta —.

155 www.FreeLibros.me

C a p í tu l o 2 . M é t o d o s c u a l it a tiv o s d e a n á lis is d e m o d e l o s d if e re n c i a le s

F i n a lm e n t e , d e b e m o s s e ñ a l a r q u e e l p r o b le m a d e la e s ta b ilid a d según Liapunov de los movimientos periódicos está directamente r e l a c io n a d o c o n e l p r o b l e m a d e l a s o s c il a c io n e s i só c r o n a s ".

6. Funciones energéticas E s f á c i l in t u i r q u e s i l a e n e r g í a t o t a l d e c i e r t o s is t e m a m e c á n i c o a lc a n za el mínimo en un punto de equilibrio, este último es un punto de e q u i li b r io e s t a b l e . E s t a id e a y a c e e n la b a s e d e u n o d e lo s d o s m é t o d o s de análisis de estabilidad propuestos por el conocido matemático y m e c á n i c o ru s o A . M . L ia p u n o v . E l m é t o d o se c o n o c e c o m ú n m e n t e c on e l n o m b r e d e m é to d o d i re c to o s e gu n d o m é to d o d e L i a p u n o v 81. P a r a i lu s t r a r e l m é t o d o d i r e c to d e L i ap u n o v , c o n s i d e r e m o s u n s is te m a t ip o ( 1 2 2) p a r a e l c a s o e n q u e el o r ig e n d e c o o r d e n a d a s e s u n p u n t o singular. Sea T una trayectoria de fase del sistema (122). Supongamos que

dV dV  c i e r t a f u n c i ó n V = V ( x, y )   y s u s d eriv ad as p a rc ia le s — y — so n ox ay continuas en una región del plano de fase que contiene a I\ Si el p u n t o i m a g e n ( x ( t ), y ( t )) s e m u e v e a lo l ar g o d e la c u r v a T , e n t o n c e s l a f u n c i ó n V ( x , y )   s e p u e d e v e r c o m o u n a f u n c i ó n d e t   a lo largo

71 V e r , p o r e j e m p l o , e l l i b r o d e V. V . A m e l k i n , N . A . L u k a s h é v i c h , A . P. S a d o v s k i " O s c i la c i o n e s n o l i n e a le s e n s is t e m a s d e s e g u n d o o r d e n " , M i n s k , 1 9 8 2 ( e n r u so ). 8) S e p u e d e n e n c o n t r a r m u c h o s e je m p l o s i n te r e s a n t e s s o b r e i n v e s t ig a c i ó n d e m o d e l o s d i f e re n c i a l e s e n e l l ib r o d e N . R o u c h e , P . H a b e t s y M . L a lo y , " S t a b i li t y T h e o r y b y L y a p u n o v ’s D i r e c t M e t h o d " , S p r in g e r -V e r l a g . N e w Y o r k , 1 9 7 7 .

flfl www.FreeLibros.me

6. Funciones energéticas

de T; por consiguiente, la velocidad de variación de V (x, y)   a lo largo de T es

dv

d v dx

a v dy

d í= ted i + ñ

*

dv v

e v wr/  

v

= t e X (x ' y ) + e ¿ Y {x ' y)'  

(136)

donde X ( x , y) e Y ( x , y )  son los segu nd os miemb ros del sistem a (122). La fórmula (136) juega un papel fundamental en el método directo de Liapunov. Para poder aplicar en la práctica el método directo de Liapunov son importantes los siguientes conceptos. Supongamos que V  = V ( x , y )   es continua junto con sus derivadas parciales

8V

y

dV 

en cierta región G   que contiene el origen de

coordenad as, y que V”(0 ,0) = 0. Se dice qu e la función V ( x , y ) e s definida positiva (definida negativa)   si en todos los puntos de la región G ,   salvo en el origen de coordenadas, se cumple la desigualdad V ( x ,y ) > 0 ( V ( x , y )   < 0). Si V { x , y ) ^ 0 (V (x, y)   ^ 0 ), es decir, si la desigualdad no es estricta, se dice que V (x, y)   es una  fu n ción d e signo positiv o (fu nció n d e signo negativo).   Por ejemplo, en el plano (x, y)   la función V (x , y) = x 2 + y 2  es definida positiva, mientras que la función V (x , y ) = x 2  es de signo positivo, puesto que s e anula en todo el eje y. Si para una función definida positiva V ( x , y )   se cumple que /dV\2 (dV \ 2 \ ~dx) + \ ^ ^ e n lo ^ o s l0 8 P u n to s d e G \ 0 ,   entonces la superficie z = V (x, y)   es una especie de paraboloide tangente al plano ( x , y )  en el pun to 0 ( 0 ,0 ) (fig. 60). En general, la superficie z = V ( x , y )   (para V   definida positiva) puede tener una estructura más compleja. Un ejemplo de este tipo de superficie es el de la figura 61, do nd e la proyección sobre el plano ( x , y)   de la intersección

157 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

de la superficie con el plano z = C    no es una curva, sino una arandela. Si la función definida positiva V ( x , y )   es tal que la función

W ( x , y ) = d-Vj - - - y ) X (x , y) + 9- ^ ^ - Y ( x, y)   dx dy

(137)

es de signo negativo, entonces V (x, y)   se denomina  fu n ción de Liapunov  o fu n ció n en ergética d el sistem a   (122). En virtud de la igual dad (136), la cond ición de que W  sea de signo n egativo significa que

dV 

y, consecuentemente, la función V  n o crece a lo largo de la trayecto ria T cerca del origen d e coordenadas. En un ciemos un o de los resultados obtenidos po r A. M . Liapunov: si  p a ra el sistem a   (122) existe una fun ción energética V (x, y), entonces

el origen de coordenadas, el cual es un punto singular, es estable. Si la función definida positiva es tal que la fun ción W dada por la igualdad   (137) es definida negativa, entonces el origen d e coordenadas es asintóticam ente estable.

158 www.FreeLibros.me

I

6. Funciones energéticas

M ostrem os con un ejem plo cóm o aplicar este resultado en la práctica. Examinemos la ecuación de movimiento de un cuerpo de masa unidad sometido a la acción de dos resortes. En virtud de (124), dicha ecu ación tiene la forma

d?x

dx

~dfi + c7t + kx  = °' c > °‘

(138)

Recordemos que el coeficiente c   > 0 caracteriza la resistencia del medio y la constante k   > 0, las propiedades de los resortes. El sistema autónom o correspondiente a la ecuación (138) es

— = y,

dt

9

El origen de coorden adas del

— = - k x - cy.  

dt

y

plano de fase

(139)

(x, y)   es el único punto

y2 singular de este sistema. L a energía cinética del cuerpo es igual a — , mientras que la energía potencial (energía acumulada por el resorte) está dada por la igualdad

J   fc í< ¿ í =

l f c z 2.

o Consiguientemente, la energía total del sistema es

V { x , y ) = l- y 2 + \ k x 2. 

159 www.FreeLibros.me

(140)

Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

La función V   determinada por medio de la fórmula (140) es una función definida positiva. Y como , dV dV  — X ( x , y )  + — Y { x, y ) = k x y + y ( - k x - cy ) = - c y ^ 0 , dx dy e n t o n c e s V ( x , y )   es una función energética del sistema (139), impli cando que el punto singular 0(0,0) es estable. D ad o qu e el criterio de Liapunov qu e acabamos d e enunciar posee un cará cter puram ente cu alitativo, n o todas las veces se logra obtener el resultad o tan rápidam ente com o en este ejemp lo. Partiend o del criterio d e Liapuno v no siem pre se puede construir una función energética, au n sab iend o qu e existe. E ste hecho d ificulta notablem ente el proceso d e d eterm inación de la estabilidad en cada caso concreto. D ebem os tener presente que el criterio de Liapunov s e debe observar como un principio de obtención de criterios de estabilidad. En la actualidad existe una se rie d e resultados interesantes9) en tre el gran nú m ero d e investigaciones dedicadas a este tema.

7. Estados simples de equilibrio Desde la propia interpretación dinámica de las ecuaciones diferen ciales de segu nd o orden ya es claro que el estudio de los estados de

9) V e r, p o r e j e m p l o , e l l ib r o d e E . A . B a r b a s h i n " F u n c i o n e s d e L i a p u n o v " , M o s c ú , 1 9 70 ( e n r u s o ).

160 www.FreeLibros.me

I

7. Estados simp les de equilibrio

equilibrio o, lo qu e es lo m ismo, d e los pun tos singulares, proporcio na la clave para la comprensión del comportamiento de las curvas integrales. También está claro que, como no es posible integrar en funciones elementales todas las ecuaciones diferenciales, necesitamos criterios que nos den la posibilidad de clasificar los pu ntos singu lares a p artir de la form a de la ecu ación diferencial. A pesar de q ue casi siem pre la resolución de este problem a es mu y difícil, siemp re se p ued en hallar clases de ecu aciones diferenciales para las qu e el problem a se resuelve fácilmente. Más adelante analizaremos el problema del movimiento de un cuerpo de masa unidad sometido a la acción de dos resortes en un medio con resistencia, y mostraremos cómo uti lizar algunos resultados d e la teoría cualitativa d e las ecu acion es diferenciales. P ero ahora no s detendrem os a analizar los sistemas tipo (122). Resulta que al clasificar los p un tos singulares d e los sistem as d e este tipo , el caso m ás sencillo se presenta cuando e l determ inante de Jacobi (jacobiano)

 J ( x , y) =

dx 

dx

dx dY dx

dy dY   dy

es diferente d e cero en el p unto analizado. S i {x \ y ‘ )  e s u n p u n t o si n g u la r d e l s is te m a ( 12 2) y J * =  J ( x \ y ’ ) ^ 0 , entonces el tipo d e este punto singular, llama do  pun to sin g u lar sim ple, d e p e n d e b á s ic a m e n t e d e l s ig n o d e J \ A s a be r, s i  J '   < 0, el punto singular (z*,t/*) es un pu nto de silla. Si J * > 0 , el pun to singular puede ser un centro, un nodo o un foco. Es un centro solamente si

161 www.FreeLibros.me

C ap ítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

en él la divergencia D(x , y) =

d X 

dY_

~dx 

dy

s e a n u l a ( D * = D ( x “ , y ’ )  = 0). Sin em bargo, se deb e señalar qu e la con dición D * = 0 no es, en general, suficiente para qu e el punto singular (x*, y “)   sea un centro. Para que haya un centro se deben cumplir ciertas condiciones adicionales en las que participan las derivadas parciales de órdenes superiores; y el núm ero de estas condiciones pueden ser infinito. Al mismo tiempo, si las funciones X  e Y  son lineales respecto a las variables x e y ,  la cond ición D %= 0 se vu elve suficiente para q ue el pu nto singu lar (x 'r y*) sea un centro. S i  J ‘ > 0 , p ero e l p u n t o s in g u l ar ( x \ y ')   no es un centro, entonces e x i s t e u n e n t o r n o s u f i c i e n t e m e n t e p e q u e ñ o d e { x ' , y ‘ )   densamente po blado d e trayectorias qu e tienden a l pu nto singular siguiendo bien espirales, bien una d irección determinada. En este caso, si D* > 0 , el p u n t o s i n g u l a r s e a lc a n z a c u a n d o t   —♦ -o o y es inestable. Si D * < 0, e l p u n t o s i n g u l a r s e a l c a n z a c u a n d o t  —* +oo y es estable. Si las trayectorias d e fase qu e alcanzan el pu nto singu lar son espirales, dicho pu nto es un foco . Si todas las líneas integrales entran al p unto singu lar con una pen diente determ inada, entonces el punto es un nod o (fig. 62).

%

O Fig. 6 2

1 62 www.FreeLibros.me

7. Estados simp les de equ ilibrio

Independientem ente del signo d el jacobiano J \ las tangentes a las trayectorias del sistema d iferencial (122) en el pu nto singu lar ( x \ y ’ ) se hallan a partir de la ecuación característica

y V   x

d Y ( x \ y ' ) _ d Y ( x ' , y ' ) _  ------------------ x H--------------------- v dx dy -

(141)

d X {x \ y ')„ d X {x \ y ) „ - ^ ^ X + — d ¡— y

donde

x = x -x \

y= y - y .  

(142)

S i X  e Y  contienen térm inos lineales, en tonce s las derivadas parciales en la ecuación (141) son los coeficientes de x e y   en el sistema que se obtiene del sistema (122) después de hacer los cambios de variables (142). La ecuación (141) es homogénea. Por tanto, haciendo el cambio de

y do nd e A es la pen diente de las llam ad as direcciones variable A = —, excepcionales,   obtenem os la ecuación cuadrática + ( x' x  -

y ;

) a -

y ;

= o


respecto a A. El discriminante de la ecuación (143) es

a =

(x'¿ + y ; ) 2 -

4r 

=

d

-

4r

.

S i  J * <   0 (o sea, el punto sing ular es un pu nto d e silla), entonce s la ecuación (143) siem pre produce dos direcciones e xcepcionales reales.

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

S i  J ' > 0 , entonce s bien no hay direcciones excepcion ales reales, bien ha y d os d irecciones excepcion ales reales o una dirección excepcional real m últiple. En el prim ero de los casos indicados el pun to singular es un centro o un foco. La existencia d e d ireccion es excep cionales reales implica (si  J ' > 0) la existencia de un nodo. En particular, si existen dos direcciones excepcionales reales, se puede demostrar que existen exactamente dos trayectorias (una por cada lado) tangentes en el punto singular a una d e las rectas excepcion ales, m ientras qu e las dem ás trayectorias entran al punto singular tangencialmente a la otra recta excepcional (fig. 62 a). Si A = 0 y la ecuación (143) no es una identidad, entonces tenemos una sola recta excepcional (el gráfico del comportamiento de las tra ye ctoria s se ilustra en la figu ra 62 b). Este caso se obtiene del anterior cuando dos direcciones excepcionales coinciden. El punto singular divide la recta excepcional en dos semirrectas /, y ¿2. El entorno del punto singular se divide en dos sectores, uno densa mente poblado de trayectorias que "entran" en el punto singular tangencialmente a la recta /,, y otro de nsam ente poblado de trayectorias qu e "en tran " en el punto singular tangencialmente a la recta l2.  La frontera entre los dos sectores está compuesta por dos trayectorias, una de las cuales es tangente a la semirrecta /, en el punto singular, y la otra, a la semirrecta l 2. Si en la ecuación (143) todos los coeficientes se anulan, obtenemos una identidad, y todas las rectas que pasan por el punto singular so n excepcionales. En este caso, existen ex actam ente dos trayectorias (una a cada lado) tangentes a cada una de estas rectas en el punto singular. Este pu nto sin gu lar (fig. 62 c) es sem ejante a un pu nto con una recta excepcional real doble.

164 www.FreeLibros.me

8. M ovimiento en un med io con rozamiento lineal 

8. Movimiento en un medio con rozamiento lineal A nteriormente se d em ostró qu e la ecuación diferencial del m ovimien to de un cuerpo de masa unidad sometido a la acción de resortes lineales en un medio con rozamiento lineal tiene la forma

d‘x dx ^ + c - + k x = 0.

(.44)

Con el objeto de investigar exhaustivamente el mode lo diferen cial (144), fijemos una dirección de acción de las fuerzas c ^ y k x . A ntes tam bién se indicó que a la ecuación (144) se le puede pon er en correspondencia el sistema autónomo

^

dt

= y.

^

dt

= - k x - cy .  

(145)

Si excluimos el caso trivial k = 0 , o b t e n e m o s q u e e l o r ig e n d e coordenadas es un punto singular del sistema diferencial (145). El sistema (145) es un c aso particular d el sistem a ge neral (122) para

X (x , y ) = y,

Y { x , y) = - k x - cy.

Escribamos el jacobiano, la divergencia y la ecuación característica del sistem a (145):

 J ( x , y) = k ,

D {x , y)   = - c ,

A" + cA + k = 0.

165 www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

El discriminante de la ecuación característica es A = c2 - 4 k . E n c o r r e s p o n d e n c ia c o n l o s r es u l ta d o s d e la s p á g i n a s 1 6 0 - 1 6 4 s e p u e d e n p r e s e n t a r lo s c a s o s s i g u ie n t es : 1. Si k <   0 , e n t o n c e s e l p u n t o s in g u l a r e s u n p u n t o d e s illa c o n d o s direcciones excepcionales, una positiva y una negat iva. El comporta miento de las trayectorias de fase se ilustra en la figura 63. Como se p u ed e observar, es posible diferenciar tres tipo s de m ovimiento. Cu an do las condiciones iniciales corres ponden al punto a (en este punto el vector de velocidad está dirigi do hacia el origen de coordenadas y la velocidad es suficientemente g r a n d e ) , e l p u n t o im a g e n s e m u e v e con velocidad decreciente por una trayectoria dirigida hacia el punto singular y, después de pasar cerca Fig. 63 del origen d e coorden adas, se aleja con velocidad creciente. Si la velo cida d inicial decrece hasta e l valor crítico correspon diente al pu nto b, entonces el punto imagen se acerca al punto singular con velocidad decreciente y "alcanza" el origen de coordenadas al cabo de un tiempo infinito. Finalmente, si la velocidad inicia l es menor que el v a l o r c r í t i c o y c o r r e s p o n d e , d i g a m o s , a l p u n t o c ,   entonces el punto i m a g e n s e m u e v e h a c i a e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s c o n u n a v e lo c id a d d e c r e c ie n t e q u e s e a n u l a a u n a d i st a n c ia i , d e l p u n t o sin g u l ar . E n e l p u n t o ( £ , , 0 ) e l v e c t o r v e lo c i d a d c a m b i a d e d ir e c c ió n y e l p u n t o i m a g e n s e a l e ja c o n v e l o c id a d c r e c ie n t e d e l o r ig e n d e co o r d e n a d a s .

166 www.FreeLibros.me

8. Movimiento en un medio con rozamiento lineal 

Si el punto imagen correspondiente al estado inicial del sistema dinámico se encuentra en uno de los tres cuadrantes restantes, la interpretación del movimiento es evidente. 2. Si k   > 0 , e n to n c e s J * > 0 y e l v a lo r d e l c o e fi ci en t e c   determina el tipo d el pu nto singular. Veamos todas las posibles variantes. 2a ) Si c = 0 , es decir, si no hay roza miento, el punto singular es un centro (fig. 64). Lo s m ovim ientos so n perió dicos y su amplitud depende de las con d iciones iniciales.

F¡9- 64

26) Si c >   0, es decir, si el amortiguamiento es positivo, en tonces la divergencia D   =

dX

—

dY 

+ —

e s n eg ativ a y, n atu ralm e n te, el

punto imagen se m ueve po r trayectorias dirigidas hacia el origen de coordenadas, adonde llegará al cabo de un tiempo infinito. Seamos más precisos: 26, ) Si A < 0 , es decir, si c2 < 4A:, enton ces el pu nto singu lar es un foco (fig. 65), lo q ue significa q ue el sistem a d inám ico realiza oscilaciones am ortiguad as con am plitud decreciente respecto al estado d e equilibrio. 262) Si A = 0 , es decir, si 0, es decir, si c2 > 4A:, en ton ces el p un to singu lar es un nodo con dos direcciones excepcionales de pendie ntes negativas

167 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de mo delos diferenciales

(fig. 67). Cu alitativa m ente, el m ovimiento del sistema dinámico es el mismo que en el caso anterior y co rrespond e a un amor tiguam iento de las os cilaciones. De los resultados ob tenidos se infiere que para c > 0 y k > 0 (el rozamiento es po sitivo y la fuerza res tauradora es de atracción), el sistema dinámico tiende al estado de equilibrio y el movimiento es estable. 2c) Si c < 0, es decir, en caso de amortiguamiento negativo, el esquema cualitativo del comportamiento de las trayectorias de fase

168 www.FreeLibros.me

8. Movimiento en un medio con rozamiento lineal 

es sem ejante al esquem a del caso 2b),   con la única diferencia de que aquí el sistem a dinám ico deja de ser estable.

El diagrama en la figura 68 reún e los resultados obten idos y m uestra cóm o se clasifican los pu ntos singu lares en función de los parám etros c y k .   Este diagrama se puede utilizar como un resumen de los resultados d e la investigación sob re la clasificación d e los pu ntos sin gulares del sistema (122), cuan do el jacobiano  J ' ¿   0 p a ra c = - D ' y k = J \ S in e m b a r g o , e n e l c as o g e n e ra l, la i g u a ld a d c = 0 n o implica que el sistema (122) tiene un centro, y de la igualdad k = 0 no se pu ede con cluir que el sistema no tiene un pu nto singular. Estos casos correspond en a los pu ntos singu lares com pu estos, los cuales se examinan más adelante. Volviendo al sistema dinám ico analizado en esta sección, subrayem os que si k   = 0 (c ¿ 0), el sistema autón om o (145) correspon diente a la ecuación (144) adopta la forma

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos d e análisis d e mode los diferenciales

De aquí se deduce que la recta y   = 0 está densamente poblada de puntos singulares. El comportamiento de las trayectorias de fase se muestra en la figura 69.

Finalm ente, si A; = c = 0, la ecuación (144) se transforma en

V = i 

 X 

d x = 0, ~dP y su sistema correspon diente es

Fig. 7 0

dx

dy

dt ~ y¡

dt~

Igual que en el caso anterior, el eje x   está densamente poblado de pun tos singulares. El esquem a del comp ortam iento d e las trayectorias de fase se muestra en la figura 70.

www.FreeLibros.me

9. Flujo adiabático en una tobera

9. Flujo adiabático en una tobera El estud io de los flujos d e sustancias viscosas com presibles tiene una gran imp ortancia práctica. En particular, los flujos de este tipo se ori ginan alreded or d e las alas y fuselajes de los avion es; con es tos flujos está relacionado el funcionam iento de las turbinas de g as y vapor, de los m otores de propulsión a ch orro y d e los reactores nucleares. Analicemos el flujo de un gas ideal de calor específico cp   que pasa por una tobera de sección variable  A (fig. 71). Vam os a sup on er que el flujo es unidimensional, es decir, que todas sus propiedades son uniformes en una misma sección de la tobera. La fricción en la capa fronteriza está condicionada por la tensión tangencial

T  = 9 P y ,

(146)

d o n d e q es el coeficiente d e rozaFig. 71 miento, el cual depende básicamen te del número de Reynolds, pero se supone constante a lo largo de la tobera;  p   es la densidad de masa del flujo; y v ,   la velocidad del flujo. Po r últim o, asum irem os qu e el flujo es ad iabático, o sea, q ue no hay resistencia interna al movimiento, no hay combu stión, cambios químicos, evaporación o condensación, etcétera. Una de las ecuaciones fundamentales del flujo es la ecuación de continuidad,  qu e en este caso tiene la forma

w =  p A v ,  

(147)

donde la velocidad w de variación d e la m asa del flujo es constante.

171 www.FreeLibros.me

Capitulo 2. M étod os cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

De la igualdad (147) se dedu ce que

dp dA dv — + — + — = 0.  p A v

(148)

Antes de escribir la ecuación de la energía total del flujo estacionario, subrayem os qu e en el caso gen eral esta ecuación relaciona la acción del trabajo exterior y las influencias térmicas exteriores con e l aum de la en talpia y de las energías cinética y p otencial d el flujo. En el caso considerado el flujo es adiabático, por lo que la ecuación de energía es

0 = w (h + d h ) - w h +

 f v2 ( v2\ \ v2 —  + d ( — 1 ) - w — ,

o   bien dh + d ( ^ - \ = 0 ,

(149)

d o n d e h   es la entalpia del flujo (potencial termodinámico) a la temperatura absoluta T .   C o m o dh = c p d T ,   la ecuación (149) de energía del flujo toma la forma

Cpd T + d ( j ^ \ = 0 .

(150)

Ocupémonos ahora de la obtención de la ecuación (de cantidad) de movimiento del fluido. En los problemas relacionados con flujos estacionarios, usualmente se emplea la segunda ley de Newton.

172 www.FreeLibros.me

9. R ujo adiabático en una tobera

Suponiendo qu e el ángulo de divergencia de las p aredes de la tobera es pequeño, la ecuación de movimiento se puede escribir así:

 pA + p (LA - (p + dp)(A + dA ) - r dA = w dv, o bien

—A d p - d A d p -

d A = w d v , 

t 

(151)

donde  p   es la presión estática. Como el término d A d p   es el infinitésimo de mayor orden en la ecuación (151), siempre se puede suponer que la ecuación de movi miento es

—A dp -

t  dA

= w d v.  

(152)

La variación del diámetro hidráulico D   a lo largo del eje de la tobera está dado por la función D = F ( x ) ,   donde x   es la coordenada en el eje de la tobera. De la definición de diámetro hidráulico se deduce que

t A = HD r-   Teniendo en cuenta que

 pV ~

(153)

2

— 7 p M “ , d o n d e 7   es el coeficiente de

cond ucción calorífica, y M es el núm ero de M ach, la fórm ula (146) se puede escribir en la forma r = 9 7 p M -.

m www.FreeLibros.me

(154)

Cap ítulo 2. Mé todos cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

Tom ando en consideración las igualdades (147), (153) y (154), a partir d e (152) resulta la siguiente ecuación de movim iento del flujo:

Denotando con y el cuadrado del núm ero de M ach, en virtud de las ecuaciones (148), (150) y (155), y tras una serie de transformaciones algebraicas, llegamos10) a la ecuación diferencial

dx

(1 - y)F(x)

(el apóstrofo indica la derivada respecto a x). El denom inado r del segun do miembro de la ecuación (156) se anula en

y  = 1, es decir, cuand o el número de Mach M = 1. Esto quiere decir qu e las cu rvas integrales de la última ecu ación cortan la llamada linea de sonido  con tang entes verticales. Por cuanto el segund o miembro de la ecu ació n (156) cam bia de sign o al pas ar la línea de sonido, las líneas integrales "dan la vuelta", evitando así los puntos de inflexión. Del sentido físico del fenómeno se deduce que el valor de x   debe crecer con tinuam ente a lo largo d e las líneas integrales. C onsiguientemente, la sección donde las líneas integrales cortan la línea de sonido con tangentes verticales debe ser la sección de salida de la tobera. Así pues, el paso de un flujo subsónico a uno supersónico, y viceversa,

10) Kestin /., Zaremba S. K. One-dimensional high-speed flows. Flow pattems derived for the flow oí gases through nozzles, including compressibilitv and viscosity effects // Aircraft Engin. 1953. V.25, N&292. P. 1 7 2 - 1 7 5 , 1 7 9 .

174 www.FreeLibros.me

9. Flujo adiabático en una tobera

puede ocurrir en el interior de la tobera únicamente a través de un pu nto singu lar con direcciones excepcion ales reales, es d ecir, a través d e un punto de silla o de un nodo. Las coordenadas de los puntos singulares de la ecuación (156) se determinan a partir d e las igualdades y ' =

1,

F V ) = 79 ,

las cuales indican que los puntos singulares están dispuestos en la parte de la tobera que se ensancha. Un punto de silla aparece c u a n d o J * < 0 , es d e cir , c u a n d o F " ( x ' ) > 0 . E n v i s t a d e q u e q es una constante suficientemente pequeña, cerca del cuello de la tobera aparece un pu nto de silla. Un n odo ap arece sólo cuan do se cum ple la c o n d i c ió n F " ( i * ) < 0 . D e ta l m a n e ra , u n n o d o s e f o rm a e n l a p a rte de la tobera que se encuentra después de un punto d e inflexión del perfil o, en la práctica, a cierta distancia del cuello de la tobera, bajo la condición de que el perfil tiene un punto de inflexión. De la ecuación característica F (x ')\2 +

297(7 + 1)A - 2(7  + 1 ) F V ) = 0

se pu ede ver qu e las dos d irecciones excepcionales tienen p endientes c o n s i g n o s c o n tr a rio s e n e l c a s o d e u n p u n t o d e s i ll a , y c o n u n m is m o signo (negativo) en el caso d e un nodo. Esto significa qu e los pun tos de silla son los únicos que permiten el paso tanto de velocidades subsónicas a supersónicas com o d e supersónicas a su bsón icas (fig. 72). En un nodo es posible solamente el paso continuo de un flujo sup ersónico a un o subsón ico (fig. 73).

175

www.FreeLibros.me

C ap ítulo 2. M étodos cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales

o

x 

Fig. 73

Fig. 72

A ho ra bien, com o la ecu ación (156) no se puede integrar en forma cerrad a, para las inves tigacion es posteriores se hace necesario em plear m étodos de integración num érica. En relación con esto, destaquem os que lo mejor es comenzar la construcción de las cuatro separatrices del pu nto d e silla com o líneas integrales supon iendo qu e ellas parten del punto singular. Y esta construcción se puede realizar puesto que a partir de la ecuación característica podemos averiguar la dirección d e las dos tangen tes en el pun to singu lar S ( x \   1). Si no tomamos en consideración esta observación y com enzam os a seguir el m ovim iento tomando como puntos iniciales, por ejemplo, los pun tos a y 6 de la figura 72 (situados a lados diferentes de la separatriz), entonces veremos que los puntos correspondientes se moverán a lo largo de las curvas a y (3,  las cuales divergen fuertemente y, por tanto, no proporcionan ninguna información sobre la línea integral que "entra" en e l pun to singu lar 5 . En cam bio, si nos m ovem os por la línea integral "partiendo" del punto S   y tomando como segmento inicial de la línea integral un segmento de la recta excepcional, entonces el error se puede minimizar si se tiene en cuenta la convergencia de las líneas integrales en la dirección de decrecimiento de la variable x .

176 www.FreeLibros.me

10. Puntos de equilibrio de orden superior 

En la figura 72 se muestra la disposición de las líneas integrales en un entorno del punto singular. La línea que pasa por el punto x (   del cuello de la tobera corresponde a los valores donde el numerador del segundo miembro de la ecuación (156) se anula, mostrando la existencia de puntos de extremo.

10. Puntos de equilibrio de orden superior En las secciones precedentes hemos estudiado los tipos de puntos singulares que se presentan cuando el jacobiano es diferente de cero (J * 0). Pero cuando, po r ejemp lo, todas las derivadas parciales hasta de orden n inclusive de las funciones X e Y   que aparecen en los segundos m iembros del sistema (122) se anulan, en u n entorno de un pun to singular son posibles infinitos esquem as de com portamiento d e las trayectorias de fase. Al mismo tiemp o, si excluim os d el análisis los puntos de equilibrio tipos centro y foco, entonces resulta que el entorno del punto singular se puede dividir en un número finito de sectores pertenecientes a los tres tipos estándar: hiperbólicos, parabólicos y elípticos. Antes de estudiar con mayor detalle estos sectores, haremos una serie de suposiciones que simplificarán la investigación posterior. Ante todo, vamos a considerar que el origen de coordenadas ha sido trasladado al punto singular, o sea, x ‘ = y ' = 0 ; los segundos m iembros del sistema (122) se p ued en escribir en la forma

X (x , y) = X n(x, y) + $ ( z , y), Y {x, y) = Yn{x , y) + '¡’(xl y),

www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

d o n d e X n e Yn s o n p o li n o m io s h o m o g é n e o s d e g ra d o n respecto a las variables x e y   (uno de estos polinomios puede ser idéntico a cero); y e n u n e n t o r n o d e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s la s fu n c io n e s $ y ^ po seen d erivadas parciales continuas d e prim er orden. Supondrem os, además, que en ese mismo entorno del origen de coordenadas las funciones

■fr(s- y)

y)

(X2 + y2)(n+l)/2'  M x .y ) ( i 2 + v 2)<"+D/2'

*¿x,y) 

(g.2 _j_ y2yi/2'

-f y2)n!2'

9 J x .y ) ( x 2 + y 2)"/1'

9 f ( x .y ) ( i 2 + y2)"'2

están acotadas. Bajo estas con dicione s son válidas las siguientes afirm aciones: 1. Para el sistema d e ecua ciones (122) con segund os m iem bros d e la form a (157), toda trayectoria que "en tre" en e l origen d e coordenadas con tangente definida e s tangen te a una d e las rectas excepcionales

x Y n( x , y ) - y X n( x ,y ) = 0 .  

(158)

D a d o q u e l a s f u n c io n e s Xn e Yn son hom ogéneas, la ecuación (158) se pu ede escribir com o un a ecuación respecto a la pend iente A = En este caso la recta excepcional se llama singular   si se cumplen las igualdades

X n{ x , y )  = Yn{x, y ) = 0. Las rectas de la figura 62 son ejemplos de este tip o de recta. Las rectas (158) no singulares se denominan regulares.

178 www.FreeLibros.me

10. Puntos d e equ ilibrio de orden superior 

2. Para investigar el comportamiento de las trayectorias de fase del sistema (122) en un entorno de uno de los dos haces que "parten" del origen de coordenadas y forman la recta excepcional, basta considerar un círculo suficientemente pequeño (con centro en el origen de coordenadas) en el que se elige un sector acotado por dos radios situados suficientemente cerca a ambos lados de la semirrecta. Este sector se conoce comúnmente con el nombre de dominio normal de Frommer.   Seamos más precisos: en el caso de una recta excepcional regular, correspondiente a un factor lineal en la ecuación (158), el dominio normal visto en un círculo de radio suficientemente pequeño puede ser atrayente (dominio normal de p rim er tipo) o repelente (dominio normal de segundo tipo).

2 a ) U n dom inio normal de prime r tipo se caracteriza por el hecho de que toda trayectoria que pase po r él alcanza el origen d e coorden adas en la dirección de la tangente que coincide con la recta excepcional (fig. 74).

Fig. 75

Fig. 7 4

26) Un dom inio normal d e segundo tipo se caracteriza por el hecho de que sólo una de las trayectorias de fase que pasa por él alcanza el punto singular en la dirección de la tangente que coincide con la recta excepcional. Las demás trayectorias de fase del sistema (122) que entran en el dominio normal a través de la frontera del círculo lo abandonan atravesando uno de los radios qu e lo acotan (fig. 75).

www.FreeLibros.me

C ap ítulo 2. M étodo s cualitativos de análisis d e m ode los diferenciales

P r e s t e m o s a t e n c ió n a l s i g u i e n te h e c h o . S i e l c ír c u l o c o n c e n t r o e n e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s e s s u f ic ie n t e m e n t e p e q u e ñ o , e n t o n c e s l o s d o s t ip o s d e d o m in i o s n o r m a l e s c o n s id e r a d o s s e p u e d e n c la s if ic a r se g ú n e l c o m p o r t a m i e n t o d e l v e c t o r ( X  , Y )   en la frontera del dominio. A d e m á s , e l c o m p o r t a m i e n t o d e l v e c t o r ( X , Y )   se puede identificar c o n e l d e l v e c t o r (Xn,Yn).   Incluso se puede mostrar que si, como s e h a s u p u e s t o , la d i r e cc ió n e x c e p c i o n a l d a d a n o c o r r e s p o n d e a u n a raíz m últiple d e la ecu ación característica, en tonces el vector visto en uno de los radios que limitan el dominio normal está dirigido bien hacia el interior, bien hacia el exterior del domin io. Si en el primer caso el vector, visto en el arco de circunferencia de la frontera, está dirigido hacia el interior, y en el segundo caso es tá dirigido hacia el exterior, entonces el dominio normal es de prime r tipo. Si tiene lugar la situación contraria, el dominio normal es de segundo tipo. En cualquier caso, el vector, visto en el arco de c ircunferencia de la frontera, siempre está dirigido bien hacia el interior bien hacia el e x t e r i o r d e l d o m i n io , p u e s t o q u e e s c a s i p a r a le lo a l r ad io . L o s d o m in i o s n o r m a le s c o r re s p o n d i en t e s a d ir e c ci o n e s ex c e p c io n a le s singulares o a raíces múltiples de la ecuación característica, son de naturaleza más compleja, y en vista de que casi nunca se presentan, no los consideraremos en el presente trabajo. Un punto de silla admite cuatro dominios normales de primer tipo. En un entorno de un nodo hay dos dominios normales de primer t ip o y d o s d e s e g u n d o t ip o. 3 . S i existen rectas excep cionales reales, entonces el entorno del punto s i n g u l a r s e p u e d e d i v i d i r e n u n n ú m e r o f in ito d e s e c t o r e s , c a d a u n o lim itad o p or d os trayectorias d e fase del sistema (122) qu e entran en el origen de coordenadas con tangente definida. Cada uno de estos sectores perten ece a uno d e los tres tipos siguientes:

m www.FreeLibros.me

10. Puntos de eq uilibrio de orden su perior 

3 a ) Un sector elíptico que contiene infinitas trayectorias de fase con forma de bucle, las cuales pasan por el origen de coordenadas y son tangen tes a los lados de la frontera d el secto r (fig. 76).

36) U n sector parabólico densam ente po blado de trayectorias d e fase qu e u nen el pu nto singu lar con la frontera del en torno (fig. 77). 3c) Un sector hiperbólico densamente po blado de trayectorias que se acercan a la frontera en am bas direcciones (fig. 78). Hablemos con más precisión: 4a) Los sectores elípticos se forman entre dos trayectorias pertenecientes a dos domi nios normales consecutivos de primer tipo. 46) Los sectores parabólicos se forman entre dos cu rvas de fase p e r te n e c ie n t es a d o s d o m in i o s n o r m a l e s c o n s e c u t iv o s , u n o d e p r im e r t ip o y o t r o d e s e g u n d o t ip o . T o d a s l as c u r v a s d e f as e q u e p a s a n p o r este sector son tangentes en el punto singular a la recta excepcional q u e d e f in e e l d o m in i o d e p r im e r t ip o .

181 www.FreeLibros.me

Cap ítulo 2. M étod os cualitativos d e análisis de m ode los diferenciales

4c ) Los sectores hiperbólicos se forman en tre do s trayectorias perte necientes a dos dom inios norm ales consecutivos de segun do tipo. Se pueden distinguir cuatro sectores hiperbólicos en un punto de silla y cu atro sectores p arabólicos en un nodo. Lo s sectores elípticos no aparecen en el caso de los puntos singulares simples, cuando el  ja cobiano es diferente d e cero ( J * jé 0 ). En un entorno de un punto singular que no permite la existen cia de direcciones excepcionales reales, las curvas de fase tienen obligatoriam ente estructura de centro o de foc on ).

11. Inversión y coordenadas homogéneas En las seccione s anteriores expusim os algun os m étodos para determi nar el com portam iento local d e las trayectorias de fase de los sistemas diferenciales tipo (122) en u n en torno de un pu nto singular. A unque en muchos casos toda la información necesaria se puede obtener de esta manera, es posible que tengamos que examinar el comporta miento de las trayectorias en sitios del plano de fase infinitamente alejados, cuando x 2 + y2  — oo. El método más simple de estudio del comportamiento asintótico de las trayectorias del sistema ( 122) consiste en transformar el sistema inicial, por ejemplo, mediante la

inversión

U ) L o s m é t o d o s p a r a d i fe r e n c i a r u n c e n t r o d e u n f o c o s e p u e d e n % 'er, p o r e je m p l o , en e l l ib r o d e V. V. A m e l k i n , N . A . L u k a s h é v i c h y A . P. S a d o v s k i " O s c i l a c io n e s n o l in e a l e s e n s i s t e m a s d e s e g u n d o o r d e n " , M i n s k , 19 8 2 (e n r u s o ).

182 www.FreeLibros.me

11. Inversión y coorden adas homogéneas

i. V

« ,, s ’ + y2 ' *

i

\

(159)

*2 + 3, 2/ '

la cual permite analizar el punto en el infinito. La transforma ción (159) transform a el origen de coordenadas en elpunto del infinito, y viceversa. C ua lquier pu nto finito  M (x ,y ) del plano de fase se transforma mediante (159) en un punto  M '(£, tj)   del mismo plano, v erificándose qu e  M  y  M '   están en una misma semirrecta que parte del origen de coordenadas, de manera que O M  •O A i ' = r 2 (fig. 79). C om o se sabe, dichas inversiones transforman las cir cu nferen cias en circunferenc ias (las líne as rectas son circunferencias que pasan por el punto del infinito). En particu Fig. 79 lar, las líneas rectas que pasan por el origen de coordenadas son invariantes respecto a la transformación (159). Por esto, las pendientes de las direcciones asintóticas son las pen dientes de las tangen tes en el nu evo origen de coordenadas ^ = rj = 0 . E n la gran m ayoría de los casos el n uevo origen de coordenadas es un p un to singular. Las causas de este hecho serán examinadas posteriormente. En lo referente a la construcción e n el p lano inicial ( x , y )  d e una curva que p osea una dirección asintótica determ inada , es decir, una tangente definida en el origen de coordenad as en el nuevo plano (£, tj  ) , se debe com enzar por su construcción en el plano (£, rj),  digamos, en un círculo unidad de (£, rj).   De hecho, dado que (159) transforma todo círculo unidad en sí mismo, entonces siempre se puede hallar

183 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos d e análisis de m odelos diferenciales

un p un to d e intersección d e la curva con la circunferencia unidad en el plano ( x , y );   el análisis p osterior se realiza d e la m anera u sual. Nótese que el completamiento del pla n o ( x , y)   con el punto del infinito es topológicamente equivalente a la in versión de la proyección estereográfica (fig. 80), la cual transforma los puntos de la esfera en el plano tangente a ella e n e l p u n t o 5 . E l ce n tr o N    de la pro yección es diametralmente opuesto al p u n t o 5 . E s e v id e n t e q u e e l c e n t ro N  de la proyección corresponde al punto del infinito en el plano ( x , y ) .   Recípro camente, si transformamos el plano en la esfera, en tonces un campo vectorial en el p lano se transform a en un cam po v ectorial en la esfera, y el pu nto d el infinito pu ede resultar un p un to singu lar en la esfera. Sin embargo, se debe tener presente que a pesar de que el método de inversión es muy útil, él resulta muy incómodo y requiere cál culos voluminosos cuando el punto singular en el in finito tiene una estructura complicada. En estos casos se puede utilizar otra transfor m a c i ó n m á s c ó m o d a d e l p l a n o ( x , y ), l as d e n o m i n a d a s coordenadas

homogéneas

Esta transformación le pone en correspondencia a ca da punto (x, y) una terna de números reales { i , i } , z )   no todos iguales a cero si m u l t á n e a m e n t e ; a d e m á s , p a r a t o d o r e a l k ^ 0 , las temas (£, t ¡ , z  ) y ( , krj, k z ) n o se diferencian entre sí.

184 www.FreeLibros.me

11. Inversión y coordenad as hom ogéneas

Si ( x , y)  es un punto finito, entonces z 0. Si z  = 0, obtenemos una recta en el infinito. El plano (x, y)   completado con una recta en el infinito se llama  platio proyectivo. Dicha recta pued e contener varios pun tos singulares, cuy a naturaleza es, p or lo general, m ás simp le qu e la de los puntos singulares obtenidos mediante una inversión.

Si consideramos un haz de rectas y describimos alrededor de su centro una esfera de radio igual, por ejemplo, a la unidad, entonces cada recta del haz se cortará con la esfera en dos puntos diame tralmente opuestos. De aquí se deduce que todo punto del plano proyectivo se transforma de modo biunívoco y continuo en un par de puntos diametralmente opuestos de la esfera unidad. De este modo, el plano proyectivo se puede ver como el conjunto de todos los pares de puntos diametralmente opuestos de la esfera unidad. Para imaginamos el plano proyectivo es suficiente considerar, por ejemplo, la mitad inferior de la esfera y ver sus puntos como pun tos del plano proyectivo. Proyectando ortogonalmente la semiesfera inferior en el plano a tangente a la esfera en el po lo 5 (fig. 81), el plano proyectivo se transforma en un círculo unidad en el que los puntos diametralmente opuestos de la frontera se identifican. Cada

185 www.FreeLibros.me

Cap ítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de modelos diferenciales

par de puntos diametralmente opuestos de la frontera correspon de a una recta impropia   (infinitamente alejada), cuya unión con el plano euclídeo lo transforma en una superficie cerrada: en el plano proyectivo.

12. Flujo de un gas ideal en un conducto rotatorio de diámetro constante En algunos sistemas d e helicópteros y aviones turbohélice, así como en las turbinas de reacción, la mezcla gaseosa de combustible se hac e p asar p or con du ctos rotatorios d e sección transversal constante situados en la paletas del compresor y unidos mediante un eje vertical hueco. Para establecer las condiciones óptimas de rotación es necesario analizar el paso de la mezcla por el conducto rotatorio y relacionar la solución co n las condiciones de con torno propias del conducto. En la paleta, el gas gira junto con ésta alrededor del eje con velocidad angular constante a; y se mueve respecto al conducto

dv con aceleración v — ,   donde v   es la velocidad de una partícula de gas respecto al cond ucto, y r , la coordenad a, m edida a lo largo de la paleta rotatoria del compresor.

En la figura 82 se presenta el esquema del conducto rotatorio de una paleta del com preso r 12\ Se su pon e q ue la m ezcla de estado

1:1 Kestín /., Zaremba S . K.

A d i a b a t i c o n e - d i m e n s i o n a l f lo vv o f a p e r f e c t g a s t h r o u g h

a r o t a t ir i g t u b e o f u n i fo r m c r o s s - s e c ti o n / / A e r o n a u t . Q u a r t . 1 9 5 4 . V . 4 . P. 3 7 3 - 3 9 9 .

www.FreeLibros.me

12. Flujo en un conducto ro tatorio de diám etro constante

inicial conocido se suministra por un eje hueco a la cavidad en el eje de rotación, y que la velocidad del flujo en la cavidad es despreciable. Denotemos con a la frontera de permanencia del gas en la cavidad. Supondremos que el gas es un gas ideal con calor esp ecífico constante. El coeficiente de l proceso isoentróp ico (es decir, del proceso adiabático reversible) se representará con la letra 7 . Además, se supone que el gas se dilata en la tobera que termina en la sección 6, sección que, a su vez, es la entrada al conducto de diámetro constante. A sumam os que la dilatación d el gas del estado a al estado b  es isoentrópica; representem os con u, la velocida d del gas después de la dilatación, y la distancia desde el eje de rotación O, hasta la sección 6, mediante r , . Al pasar a través del canal de sección transversal constante de área  A  y diámetro hidráulico D ,   el gas se acelera bajo la acción comb inada del gradiente de presión y de la aceleración dinámica en la paleta rotatoria del compresor. Despreciaremos tanto la influencia del cam bio de nivel de presión (si existe tal cam bio) com o la variación de los gradientes de presión qu e actúan sobre el plano d e la sección transversal y que so n consecuencias d e las aceleraciones de C oriolis. Esta última su pos ición requ iere, en gen eral, verificación exp erimen tal,

187 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

ya que la existencia de gradientes transversales de presión puede ser la causa de la aparición de flujos adicionales. Sin embargo, si el diám etro del condu cto es pequeño e n com paración con su longitud, dicha suposición es válida. Ahora es claro que las ecuaciones de movimiento y de energía de la mezcla comprimida que pasa por un conducto de sección transversal constante y en estado de reposo, deben cambiar su forma en virtud de la fuerza de inercia. En cuanto a la ecuación de continuidad, su forma no varía. Su po ng am os tam bién qu e a partir de la sección c situada al final del conducto, el gas se comprime de modo isoentrópico al pasar por la tobera q ue se en sancha. El gas pasa al estado d e reposo respecto a la paleta de l com preso r en la segund a cavidad a una distancia r  3 d el eje de rotación, y alcanza una presión igual a Pd  y una temperatura Td. Desde la segunda cavidad el gas se dilata isoentrópicamente por la tobera d e sección transversal dec reciente (o dec reciente-creciente), de modo que abandona la cavidad formando un ángulo recto con el eje del conducto. Así, aparece una fuerza de empuje condicionada por la existencia de un momento de torsión. En lo sucesivo, para simplificar la exposición consideraremos que la tobera se estrecha y que el área de la sección transversal de salida es  A '.   Denotemos la presión exterior (presión atmosférica) m e d i a n t e P a ,   y analicemos dos casos del paso de la mezcla por la tob era. Prim ero, cu an d o la relación

P

sup era el valor crítico,

PA

es d ecir, cuando 5 . > (    2 Pt

V /(T" 1>

V 7 + 1)

1 88 www.FreeLibros.me

12. Flujo en un cond ucto rotatorio de d iám etro constante

En este caso, el flujo en la salida d e la tobera es su bsón ico, im plicando que la presión P 3  es igual a la presión atmosférica:

P.

El segundo caso se presenta cuando la relación ~

Pd

valor crítico, o sea, cuand o

es m enor qu e el

Aquí la presión P 3  en la salida de la tobera tiene un valor fijo que depende de la presión P d,  pero no de la presión P a .  De este modo,

En este ú ltim o caso, el flujo en la salida d e la tobera po see la velocidad del sonido

don de el valor de la magnitud a d  depende únicamente de la tempe ratura Td . En el análisis futuro supondremos que el flujo es adiabático en todas partes, y que es isoentrópico salvo en el tramo del conducto comprendido entre las secciones b y c. Al igual que e n el caso de la ded ucción de la ecuación diferencial del flujo adiabático de un gas ideal en una tobera de diámetro variable,

189 www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de m ode los diferenciales

nos d etend remo s en las ecuaciones d e continuidad, de m ovimiento y de energía. La ecu ación de continuidad en este caso tiene la forma

v

v ,  A* 

* = K = ^ T

= co n st'

(160)

d o n d e V  es el volum en específico y ^ es la densidad de masa del flujo. Escribiendo (160) de otra manera, resulta

m

* mT-  d o n d e m !   es la masa del flujo. Para obtener la ecuación de movimiento haremos uso de la fi gura 83. Nótese que la acción dinámica del movimiento rotatorio de la paleta del compresor se puede utilizar para describir el ^.v + dv  m ovim iento d el flujo respecto al Z- r+ d p r Z  conducto en movimiento, don V '77777T?y?7Syy7S/ 77 r  de, de acuerdo co n el principio de D'Alembert, se supone que r. + dr  .. la fuerza de inercia Fig. 83

d i  = — t/Tr d r  actúa en la dirección positiva r. Entonces el elemento de masa

 A dv d m = — d r  se m ueve con aceleración v — bajo la acción de la fuerza V dr  de inercia d i ,   de la presión  A d P   y de la fuerza de rozamiento 4A v2 A q u í r = A — , d o n d e A d e p e n d e d e l n ú m ero d e dF =

1 90 www.FreeLibros.me

12. Flujo en un con ducto rotatorio d e d iám etro constante

Reynolds. En una primera aproxim ación se puede considerar que A es una magnitud constante a lo largo de todo el conducto. Teniendo en cuenta esto, la ecuación de movimiento se escribe en la forma

 A dv — d r v — = —A d P V dr

2A Av2

VD

A , d r   + — to r dr, V 

o, después de simplificar,

V d P + v dv + ^ t  >2 d r - w3r d r   = 0.

(161)

La ecuación de energía se obtiene fácilmente con ayuda del primer principio de la termodinámica para sistemas cerrados y teniendo presente que la cantidad de trabajo realizado por el sistem a es w 2r d r. De este modo,

dh + v d v - w 2r d r  = 0, donde h   es la entalpia. Determinando la velocidad a del sonido con la fórmula

7-1 obtenemos que 7 _ 1

a d a + —- — v d v

7 - 1 — w2r d r = 0.

De aquí, la ecuación de energía es

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M éto do s cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

Introduciendo las magnitudes adimensionales

v  M„ = — ,

x —

r

tv 2D 2 G 2 = — r - ,

D

(163)

llegamos a la igualdad

2

0

2

'gV .

(164)

Despejando la presión y el volumen específico de la s ecuaciones fundamentales (160), (161) y (164), es posible obtener una ecua ción que relacione la magnitud adimensional Afg con la distancia adimensional. Esta ecuación es precisamente la ecua ción diferen cial fundamental para la resolución del problema analizado. De la ecuación de continuidad (160) sigue que

V  = Tomando en consideración las igualdades

í . r P r . a partir de la ecuación (162) obtenemos

www.FreeLibros.me

(1 65 )

12 . Rujo en un conducto rotatorio de diámetro constante

dP

Sustituyendo el valor de V   d e la e c u a ció n (1 65 ) y —

d e la

ecuación (166) en la ecuación de movimiento (161) y teniendo en cuenta las expresiones (163), resulta la ecuación diferencial

(167)

Haciendo

 M q = y ,

m = 2 X j,

P = ^ (7 + 1)/

í = j ( 7 “ *)>

la ecua ción (167) se pu ede escribir com o

dy _ 2 y ( m y - G 2z ) dx

1 -  p y + q G 2 x 2

(168)

La ecuación diferencial (168) es nuestro objeto de investigación posterior. El cambio de variable (159) reduce la ecuación (168) a la forma

dn 

^ [te W

) 2 - P q U W ) + < ? G 2¿ 2] + ^ ( T72- ¿ 2) ( m ,7 - G 2£ )

( í 2- ^ ) [ ( í  2+V 2) 2- p - / ( í 2+>/2) + ? G 2í  2] + 4 í ^ ( m ^ - G 2í ) ' (169) Es claro que el origen de coordenadas es un punto singular de la ecuación (169). Tanto en el nu m erador com o en el denom inador, los térm inos de m enor orden son los de segu nd o orden. Si despreciam os los términos de órdenes superiores (como se describe en la página 177,

193 www.FreeLibros.me

C ap itulo 2. M étod os cualitativos de análisis de mod elos diferenciales

cuando analizamos los puntos de equilibrio de orden superior), obtenemos que

Y< (í, v) =2qG2? V +2 V(V2 -   í2) (mi) - G2(), Xtf.v) = ?G2í2(í2- !?2) +4í-r(rm, - G2(). lo qu e significa que el origen d e coordenad as es un punto singular de ord en sup erior. La ecu ación característica sim plificada d e la ecuación diferencial (169) es

W t 2 + V2) [(? + 2)G 2Í - 2mV\ = 0.

(170)

De aquí resultan las rectas excepcionales reales a) { = 0 , b)i? = 0,

(17 1)

c ) (q + 2 )G 2í - 2m i) = 0, cada una d e las cuales es regu lar y corresponde a uno d e los factores de la ecuación (170). Para los valores positivos de £ y rj,   el valor X A(£, rj)  es positivo en un entorno de todas las tres rectas excepcionales; consiguientemente, en el p rim er cuadran te y en un entorn o de dichas rectas la expresión

Y t f' V ) _ V =

X4K.9)í

S v ( t2 + q 2) [ ( q + 2)G2í - 2 m V]

í[
1 '

tiene el mismo signo que el primer miembro de la igualdad (171 c), es de cir, tiene sig n o n egativo p or d eba jo d e la recta (171 c) y signo

www.FreeLibros.me

12. Flujo en un conducto rotatorio de diámetro constante

positivo por encima de ella. Lo ú ltim o se deb e a qu e la exp resión (172) puede cambiar de signo solamente al pasar a través de una recta excepcional. Geométricamente, esto significa que sobre los radios situad os en e l p rimer cu ad rante e ntre la s rectas (171 b) y (171 c), el segundo m iem bro de la ecuación diferencial

d y _ y 4( C v ) di X A(i,y )' la cual determina el comportamiento de las curvas integrales en un círculo con centro en el origen d e coord enadas y radio suficientemen  te pequ eño, define un áng ulo m ayor que el ángulo de inclinación de los radios. Sobre los radios dispuestos en tre las rectas (171 c) y (171 a), el segun do m iem bro de la última ecua ción diferencial define un ángulo m enor qu e el ángu lo de inclinación de los radios (fig. 84). En co nsecu en cia, el dominio normal que contiene a la recta (171 c) e s d e segu nd o tipo. En virtud de la simetría del campo

Fig. 84

definido p or el vector ( X 4, K4), esto s resultados son v álidos también para los dominios normales obtenidos de los anteriores mediante un giro de 180° alrededor del punto singular. Así pues, existen exactam ente dos curvas integrales qu e "en tran " en el punto singular por la tangente (171 c) e infinitas curvas integrales que son tangen tes a los ejes coord enad os (171 a) y (171 b) en el punto de reposo.

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de m ode los diferenciales

Como se ve, el segundo y cuarto cuadrantes contiene n sectores elípticos, ya qu e están d ispuestos entre dos do m inios norm ales con secu tivos d e p rimer tipo (fig. 85). Cad a un o d e los cuadrantes pri mero y tercero es dividido en dos sectores por curvas inte grales tangentes a la recta ex cep ciona l (171 c) en el origen de coordenadas. Dichos secto res son parabólicos, puesto que se encuentran entre dos domi nios norm ales consecu tivos, uno F|g 85 d e los cu ales es de prim er tipo, y el otro, de segundo. Además, todas las líneas integrales, salvo aquéllas que son tangentes a la recta (171 c), son tang en tes a los ejes d e coo rden ad as (171 a) y (171 b) en el punto singular. Desde un punto de vista físico, la ecu ación diferencial (108) tiene sen tido solamente en el primer cua drante del plano {x, y).   Regresan do a este plano, vemos que existe únicamente una curva integral con dirección asintótica de pendiente


« 9 -8 6

La curvas integrales restantes admiten como dirección asintótica a uno de los ejes de coordenadas. De hecho, se puede demostrar que todas estas curvas se acercan asintóticamente a uno de los ejes

1 96 www.FreeLibros.me

13. Trayectorias cerrada s aisladas

coordenad os, es decir, que al tender a infinito no s ó lo

y x

. x y

*0ó

0

en cada una de ellas, sino que en realidad y - *  0 ó x   —♦ 0. Este hecho se ilustra en la figura 86, donde aparecen algunas de las curvas integrales para valores grandes de x e y .   El cuadro de comportamiento de las curvas integrales a una dista ncia finita del o r ig e n d e c o o r d e n a d a s d e p e n d e , a n t e t o d o , d e la d i s p o s ic ió n d e lo s puntos singulares, y exige un examen especial. Se p uede demostrar, además, que las curvas integrales que se acercan asintóticamente a los ejes de coordenadas (fig. 86) , a b a n d o n a n e l p r i m e r c u a d r a n t e a una distancia finita del origen d e coordenad as.

13. Trayectorias cerradas aisladas Ya sabemos que en el caso de un centro cierta región del plano de fase está densam ente p oblada d e trayectorias cerradas. Sin em bargo, se puede presentar una situación más compleja cuand o se tiene una trayectoria cerrada aislada, es decir, una trayectoria cerrada que posee un entorno donde no se contienen otras trayec torias cerradas. Este último caso está directamente relacionado con la cuestión de la existencia de soluciones periódicas aisladas. Y resulta interesante qu e las trayectorias cerradas aisladas sólo p ue den tener ecuacion es y sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. Las soluciones periódicas aisladas están relacionad as con una gran variedad de propiedades de los fenómenos y procesos que tienen lugar en la biología y la radiofísica, en la teoría de oscilaciones y en la astronomía, en la medicina y en la teoría de con strucción de ins trumentos. Las soluciones de este tipo también apar ecen al estudiar los modelos diferenciales en economía, en la resolución de muchos

197 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étodo s cualitativos de análisis de m odelos diferenciales

problem as de control autom ático, de construcción d e aviones, etcétera. Más adelante estudiaremos la posibilidad de surgimiento de solucio nes periódicas aisladas al investigar los procesos en redes eléctricas. C om o m odelo consideraremo s el sistem a d iferencial no lineal

y2 ), ■£=x+y(\-x2-y2) .

^ “

= —y  + x ( l — i 2 —

(173)

Para resolver el sistema (173), introdu zcam os las coordenad as polares r , 9   mediante las fórmulas x = r e o s 0 , y = r sen 0 .   Derivando las expresiones x 2 + y 2 = r 2 y 6   = a rc tg - r es pe cto a t,   obtenemos las igualdades

dx dy dr x — + u— = r — , dt y dt d t'

x

dy dt

dx 2 d0 v — = r    y dt dt

(174)

Multiplicando la primera ecuación del sistema (173) por x   y la segunda por y ,   sumando las ecuaciones resultantes, y teniendo en cuenta la primera igualdad de (174), hallamos (175, Si ahora m ultiplicam os la segun da ecuación d e (173) po r x y   la pri mera por y ,   y las restamos teniendo en cuenta la segunda ecuación de (174), obtenem os r 2§ = r 2.

dt

(176)

El sistema (173) posee un único punto singular 0(0,0). Ya que por ahora nos interesa solamente la construcción de la trayectoria.

198 www.FreeLibros.me

13. Trayectorias cerradas aisladas

podemos asumir que r > 0. Entonces las ecuaciones (175) y (176) indican que el sistema (173) se redujo a la forma

£

= r (l -r > ) ,

(177)

Integrand o las ecuacion es del sistema (177) obtenem os toda la familia de sus soluciones:

r = 7 F + c ^ í ' * = £ + í°'

(178)

o, regresando a las variables iniciales x e y,

* "

eos {t + ¿0)

sen (t +

10)

V i + C e-» '

V ~ V l + C e -5 -'

Haciendo C = 0 en la prim era ecuación d e (178), llegamos a las ecuaciones r = l,

9=

t + t n.

Estas igualdades definen una trayectoria cerrada: la circunferencia

x 2 + y 2 = 1. S i C <   0, entonces es evidente que r > 1 y r   - * 1 cuando t - *   +oo. Si C > 0 , entonces r < 1 y nuevam ente r —* 1 cuando t —* -foo . E sto quiere d ecir qu e ex iste una ún ica tray ectoria c er ra d a ( r = 1 ) a la cual las demás trayectorias se aproximan con el tiem po form ando esp irales (fig. 87). Las trayectorias de fase cerradas que poseen esta propiedad se conocen con el nombre de ciclos límites   o, con más precisión, ciclos límites (orbitalmente) estables.   El hecho consiste en que existen otros d os tipos de ciclos lím ites. U n ciclo lím ite se den om ina ( orbitalmente)

www.FreeLibros.me

C apítulo 2 . M étod os cualitativos de análisis d e m ode los diferenciales

inestable  si todas su s trayectorias vecinas se alejan de él po r espirales c u a n d o t —♦ +  00 . Un ciclo límite se llama ( orbitalmente ) semiestable s i , c u a n d o t —*  +  00 , todas las trayectorias a un lado del ciclo (por ejem p lo, las de aden tro) se enrollan tendiend o h acia él, y al otro lado (las de afuera) se desenrollan alejándose del ciclo límite. En el ejemplo estudiado arriba pudimos hallar la ecuación de una trayectoria de fase cerrada, pero en el caso general esto no es posible. Por tal razón, en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias juegan un papel importante los criterios que permiten, al menos, indicar las regiones que pu eden contener ciclos límites. Nó tese qu e una trayectoria cerrada del sistema ( 122), en caso de Fig. 87 existir, necesariamente contiene en su interior al menos un punto singular de d icho sistem a. De a qu í, en particular, se d edu ce que, si en cierta región del plano de fase no hay puntos singulares del sist ema diferencial, entonces en esta región no hay trayectorias cerrada s. S u p o n g a m o s q u e u n a r e g i ó n D   del plano de fase está acotada junto con su frontera y no contiene puntos singulares del sistema ( 122). Entonces se verifica el criterio d e Poincaré— Bendixson   que afirma q u e s i   T es una trayectoria del sistema ( 122) qu e en el instante inicial t = t0 p a r t e d e un p u n t o d e D y p e r m a n e c e e n D p a r a t o d o t ^ tQ,

entonces bien V es una trayectoria cerrada, bien con el transcurso del tiem po r se aprox im a po r una espiral a una trayectoria cerrada. Ilustremos este hecho utilizando la figura 88. Aquí la región D e s tá c o m p u e s t a p o r la s c u r v a s ce r ra d a s f , y f 2  y la región anular

loo www.FreeLibros.me

13. Trayectorias c errad as aisladas

comprendida entre ellas. Asigne mos a cada punto frontera ( x , y) de la región D   el vector

V(x,

y)

= X{x,

y ) i + Y ( x , y )  j.

Si la trayectoria I\ q ue en e l instan

Fig. 88

te inicial t = t0  p a r t e d e u n p u n t o frontera d e D ,  entra en D y perm anece a llí para t ^ tQf   e n t o n c e s , d e acuerdo con el criterio que acabamos de formular, la trayectoria T se aproxim ará po r una espiral hacia cierta trayectoria cerrada r o contenida en la región D .   A d e m á s , la c u r v a r o d e b e r á a b a r c a r u n punto singu lar del sistem a diferencial (pu nto P )  n o c o n t e n id o e n D . El sistema diferencial (173) proporciona un ejemplo simple de apli cación del criterio de Poincaré—Bendixson durante la búsqueda de ciclos límites. En efecto, el único punto singular del sistema (173) e s 0 ( 0 , 0 ) . P o r co n s ig u i e n te , e n la r e g ió n D ,  en tre las circunferencias d e ra d io s r = - y r = 2 n o h a y p u n t o s s in g u l a re s . P a rt ie n d o d e dr la p r im e ra e c u a c i ó n d e l s is t em a ( 1 7 7 ) v e m o s q u e — > 0 e n la

d r  < 0  en la circunferencia dt exterior. El vector V asociado a los puntos fronter a de la región D s ie m p r e e s t á o r ie n t a d o h a c i a e l i n t e ri o r d e D . Esto significa qu e en la circunferencia interior, m ientras qu e —

región an ular entre las circun ferencias d e rad ios r = - y r = 2   d e b e haber una trayectoria cerrada del sistema diferencial (173). Dicha trayectoria realmente existe y, en este caso, es la circunferencia de radio r = 1 .

201 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de mod elos diferenciales

En la práctica es m uy d ifícil ap licar el criterio d e P oincaré—Bendixson al sistema general ( 122), puesto que no existen métodos generales de construcción de las regiones correspondientes y, por tanto, el éxito depende tanto de la forma del sistema como de la habilidad del investigador. Al mismo tiempo, es necesario tener presente que la búsqueda de criterios de ausencia de ciclos límites es no menos importante que la búsqueda de criterios de existencia. El criterio de ausencia de ciclos Emites más difundido es el criterio de Dulac, el cual afirma que si existe una fu n d ón D {x, y) > 0 continua jun to con

sus derivadas parciales, y tal que en áe rta región sim plemente conexa d e l p la n o d e f a s e la f u n d ó n d(BX) dx

0{BY) dy

es de signo defin ido 13), entonces en la región D no hay dclos límites del sistem a diferencial ( 122). Para B ( x , y ) = 1, el criterio de Dulac se conoce como criterio de

Bendixson. En el caso de la ecuación diferencial (156), la cual describe un flujo adiabático unidimensional de un gas ideal con calor específico constante en un conducto con rozamiento, tenemos

X ( x , y ) =   (1 - y)F{x),

,3 ) D e f in i d a p o s i t i v a o d e f i n i d a n e g a t i v a .

202 www.FreeLibros.me

13. Trayectorias Trayectorias cerrad as aisladas

I

Haciendo -1

B (x, y) y) =

4yF(x)

resulta

d (X B ) dx

d (X B ) _ y q dy F (x (x )

lo que significa que la ecuación (150) no tiene curvas integrales cerradas. Definamos Definamos e l concepto de índice de un punto singular  s ingular , concepto que será utilizado cuando nos cuestionemos la existencia de los ciclos límites. Sea T una curva cerrada simple (o sea, sin autointersecciones) que no es necesariamente una trayectoria del sistema diferencial ( 122 122). S u p o n g am a m o s q u e T  pertenece al píav no de fase y no pasa por los puntos singulares singulares d e este sistem sistem a. Si P ( x , y ) es un punto de la curva T ,   entonces el vector V(®, y ) = X { x , y ) i + Y ( x , y )  j,  j , donde i,j son los versores de los ejes de coordenadas cartesianas, no es nulo y, consiguientemente, tiene una dirección determinada, la cual está dada por cierto ángulo 0 (fig. (fig. 89). S i el p u nto P ( x , y) y) da una vuelta completa al moverse por la curva T en algún sentido fijo (por ejemplo, en contra del movimiento de las agujas del reloj),

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

enton ces el vector V realiza realiza un nú m ero entero d e vu eltas, eltas, es decir decir,, el el ángulo 9 se incrementa incrementa en A 0 = fyrn, enteroo yrn, donde n es un número enter positivo, negativo o igual a cero. El número n se denomina índice de la curva cerrada V (índice V  (índice del ciclo T). Si comenzamos a contraer continuamente el ciclo T   de modo que durante la deformación él no pase por un punto singular de un campo vectorial dado, entonces el índice del ciclo debe, por una parte, cambiar continuamente y, por otra, permanecer igual a un núm ero entero. Esto signifi significa ca que durante una deformación conti continua nua el índice del ciclo no cam bia. bia. Partiendo Partiendo de esta propiedad, propiedad, po r índice simple de un punto singular se entiend e el índice de una curva cerrada simple qu e rodea a dicho pu nto. Veamos algunas propiedades de los índi í ndices ces:: 1) el índ ice d e una trayector 122) es igual trayectoria ia cerrada de l sistema sistema ( 122 igual a + 1;

curva cerrada qu e aba rca varios puntos puntos singul singulare aress 2) el ín dice de una curva es igual a la sum a d e los índices índices de dichos puntos puntos ; 3 ) el índice de una curva cerrada que no abarca ningiin punto singu lar es igual a cero. cero. De aqu í, se dedu ce en pa rticular rticular que com o el índice de una trayec trayector toria ia cerrada del sistema sistema ( 122 trayectoria ia 122) siempre es igual a 1 , ento nces una trayector cerrada debe encerrar un punto singular con índice +1   ó varios puntos singulares con índice total igual a +1. Este hecho se utiliza con mucha frecuencia para demostrar la ausencia de ciclos límites. El índice de un punto singular se calcula mediante la fórmula n = 1+

(17 (179)

do nd e e es e l núm ero de sectores sectores elíptic elípticos os y h  es el núm ero de sector sectores es hiperbólicos. En la práctica se puede emplear la siguiente técnica

204 www.FreeLibros.me

\

13. Trayectorias Trayectorias ce rrada s aisladas a islada s

sencilla para calcular el índice de un punto singular. Sea L   u n c i c l o q u e n o p a s a p o r n i n  g ú n p u n t o s in in g u l a r d e l s is i s te t e m a d i fe f e r e n c ia i a l ( 122) y que tiene a lo sumo un número finito de puntos comunes con cualquier trayectoria de d i c h o s i s te t e m a ( la la s t r a y e c to t o r ia i a s p u e d e n c o r t a r la la curva L   o ser tangentes a ella). En caso de que h a y a t a n g e n c i a ( fi fi g . 9 0 ) , s e c o n s id id e r a n s o l a m e n  te los puntos de tangencia externos (como el p u n t o  A ) e   i n t e r n o s ( c o m o e l B ) .   L a s t a n g e n c i a s e n l o s p u n t o s d e i n ffll ex e x i ó n ( c o m o e l p u n t o C )   n o s e c o n s i d e r a n . P a ra r a c a l c u l a r e l ín í n d i ce ce del punto singular, se utiliza la fórmula (179), donde e y h   son, respectivamente, las cantidades de puntos internos y externos de tangencia de las trayectorias del sistema (122) con el ciclo L . E n l a f ig ig u r a 9 1 s e m u e s t ra r a n p u n t o s s in i n g u l a re re s c o n í n d i c e s 0 , + 2 , + 3 , + 1 y - 2 , respectivamente. Señalamos que la construcción del cuadro completo del comporta m i e n t o d e l a s t r a y e c t o r i a s d e f a s e d e l s i s t e m a d i f e r e n c i a l ( 122) se facilita introduciendo el punto del infinito median te la transforma c i ó n ( 1 5 9 ). ). E n t o p o l o g í a e x i s t e u n t eo e o r e m a b a s t a n t e g e n e r a l q u e af a f ir ir m a q u e c u a n d o u n c a m p o v e c to t o r ia ia l c o n t in i n u o q u e p o s e e u n n ú m e r o f in in it it o de puntos singulares se define sobre una esfera, la suma de sus í n d ic i c e s e s ig i g u a l a + 2 . A s í p u e s , s i la la su s u m a d e l o s í n d i ce ce s d e t o d o s l o s p u n t o s s in i n g u l a r e s d e u n s i s te t e m a d i f e re r e n c i a l ( c o n u n n ú m e r o f in i n i ttoo de puntos singulares) pertenecientes a una parte finita del plano de fase, es diferente de +  2 , e n t o n c e s e l p u n t o d e l i n f i n i t o e s u n p u n t o s in i n g u l a r c o n í n d i c e n o n u l o. o. P e r o si s i e n l u g a r d e u n a i n v e r si s i ó n s e u t il iliz a n c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s , entonces la suma de los índices de todos los puntos singulares será

■ i www.FreeLibros.me

Capitulo 2. M éto do s cualitat cu alitativos ivos de de a anólisi nólisis s de d e m ode los difer d i ferencial enciales es

igual a +1. De hecho, si se proyecta el plano sobre una esfera con centro de proyección en el centro de la esfera, entonces dos puntos de la esfera corresponden a un punto del plano proyectivo, y la circunferencia del círculo máximo, paralelo al plano, corresponde a una recta en el infinito. Si nos remitimos a la ecuación (168), la cual descr ibe un flujo uni dimensional adiabático de un gas ideal por un conducto rotatorio de diámetro constante, entonces, como se ve en la figura 85, para el p u n t o s i n g u l a r d e l i n f i n i t o t e n e m o s q u e e = 2 , h = 0, resultando que el índice de este punto es igual a +2  y no depende de los valores de las constantes en la ecuación (168). De lo anterior sigue, en particular, que la suma de los índices de los puntos singulares

www.FreeLibros.me

14. Regímenes p eriódicos e n circuitos eléctricos

finitos es igual a cero. Se pu ede dem ostrar qu e en d epen den cia de si la recta m y - G 2x   = 0 s e c o r ta e n d o s p u n t o s , e n u n p u n t o d e m u l ti plicidad d os o en ningún pu nto con la parábola 1 -  p y 4- q G 2 x 2 = 0 (lo q ue equivale, respectivam ente, al cum plim iento d e las condiciones

G > G0, G = G0, G < G0,   d o n d e G Q = — — )/ e n to n ce s tien en lugar las siguientes com binaciones d e pu ntos singu lares finitos: a) G > G 0.  Un punto de silla y un nodo. b ) G = G 0.   Un punto singular de orden superior con dos sector es hiperbólicos (h = 2 ) y d o s se c t o re s p a ra b ó l ic o s ( e = 0 ). c ) G < G 0 .   N o hay pun tos singulares. Como era de esperar, en todos los casos la suma de los índices es igual a cero.

14. Regímenes periódicos en circuitos eléctricos A nalicemos el surgim iento de ciclos lím ites en el ejem plo d el funcio n a m i e n t o d e u n oscilador de Van der Pol (fig. 92), llam ad o tam bién oscilad or dinatrón. A unqu e el fenóm eno relacionado con la aparición de los ciclos límites se puede ilustrar con ejemplos de la mecánica, la biología, la econom ía, etcétera, nosotros m ostrarem os cóm o es que ellos surgen en los circuitos eléctricos. En la figura 92 se m uestra el esquem a d e un os cilad or d e Van d er Pol, cu yas ca racterísticas i a, va   se representan mediante la línea continua de la figura 93. A qu í ¿0 es la corriente y vQ  es la tensión en la válvula

207 www.FreeLibros.me

Ca pitulo 2. M étod os cua litativos de análisis de modelos diferenciales

Fig. 93

de vacío. El circuito tie ne resistencia r, inductanda L   y capacidad C  1 C  conectadas en paralelo y en s erie con el d inatrón. El circuito real puede ser sustituido por el cir Fig. 94 cu ito de la figura 94. En este caso, podemos aproximar la característica de la válvula con un polinomio d e tercer grado i = q v  + 7 tr (línea discontinua de la figura 93). A qu í i y v son las coordenadas en el sistema con origen en el punto de inflexión O.   Como se puede ver en la figura 93, son válidas las desigualdades a

> 0,

7 > 0.

En concordancia con una de las leyes de Kirchhoff,

i + ir  + i L + ic = 0, v

d o n d e ir  = - ,

di.

= v , i c = C i).   Tras una serie de operaciones

sencillas, llegamos a la ecuación diferencial

208 www.FreeLibros.me

14. Regímenes periódicos en circuitos eléctricos

Haciendo

a . C

1 _ t C 

a'

37

- k

C

'

1

L C 

_

2 W° '

la ecuación (*) se co nvierte en la denom inada ecuación d e Van d er Pol

i) + ( a + b v 2) v +  J  qV = 0 . Haciendo uso de la transformación

v = y.

dy i> = y - ,

la ecuación de Van der Pol se puede poner en correspondencia con la ecuación diferencial de primer orden

dy _ dv

( a + b v 2) y + u>lv = Y(v , y) y V(v, y)'

El único punto singular finito aquí es el origen de coordenadas, verificándose que

 J ' ( 0 ,0 ) = ü £ > 0 ,

D {v ,y ) = - ( a + bv2) .

C o m o b > 0, suponiendo que a > 0, concluim os que la divergencia D no cambia de signo, y, por tanto, la última ecuación no puede tener curv as integrales cerradas. Por esto, vam os a considerar ú nicam ente el caso a < 0 , es decir, a < - - . De aquí se infiere qu e £>(0, 0) = - a > 0,

209 www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. M étodos cualitativos d e aná lisis de m odelos d iferenciales

lo que significa que el punto singular es un nodo o un foco. Si analizamos el sistema diferencial

dv í = ^ v .y ) .

dv l t = v ^ y ).

asociado a la ecuación (180), podremos notar que cuando t   crece el punto imagen se aleja del punto singular. Por tanto, una trayectoria que parta del punto del infinito no podrá alcanzar el punto singular en el origen d e coordenadas para ningún v alor de t ,  incluido t = +  00 . De aquí se infiere que si demostramos que una trayectoria que parte del punto del infinito tiene forma de espiral que se enrolla alrededor d e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s c u a n d o t —* + 00, entonces garantizam os la existencia de, al menos, un ciclo límite. La existencia de tal ciclo se puede demostrar numérica o analítica m ente. El m étodo num érico d e demo stración, propuesto por primera vez p or el físico y m atemá tico ho landés Balthazar Van der Pol, consis te en co nstruir una trayectoria que parta de u n p un to suficientemente alejado del origen de coordenadas, y luego verificar si posee la prop iedad q ue acabam os d e indicar. Este procedim iento proporciona un a aproxim ación a un ciclo lím ite, pero se pued e utilizar solamente para valores numéricos concretos. Expongamos un esquema analítico de demostración basado en el análisis de singularidades en el infinito,4). A diferencia del método de análisis de la ecuación (168), utilizaremos una transformación de

U| Kestin ]., Z arcm ba S. E . G e o m e t ri c a l m e t h o d s i n t h e a n a l y s i s o í o r d i n a r y d i ff er en t ia l

e q u a t i o n s / / A p p l . S d . R e s . , s e c t . B . 1 9 5 3 . V . 3 . P. 1 4 4 - 1 8 9 .

www.FreeLibros.me

14. Regímenes periódicos e n circuitos eléctricos

c o o rd e n a d a s h o m o g é n ea s m á s có m o d a : (181) Aquí la recta en el infinito tiene ecuación 2  = 0 . Para reducir el número de incógnitas a dos, eliminemos primeramente el punto

{ = z = 0 , h a c ie n d o £ = 1 :

En este caso, el sistem a d iferencial correspond iente a la ecuación (180) se transforma en

dz dr¡ _ di ~ “

( a z 2 + b )rj + u f a 2 _ z 2

(*)

2

V 

P o r c o m o d id a d , i n tr o d u z ca m o s u n n u e v o p a r á m e t r o 0   haciendo (182)

dt = z 2 de, con lo que el sistema (*) toma la forma

2

= - ( a z 2 + 6 b - * 0V - , , V

= 3>, (183)

N ótese, ante tod o, qu e la recta en el infinito z =   0 es una trayectoria de l sistem a diferencial (183), y cu an do t   aumenta (consiguientemente,

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étod os cualitativos de análisis de m ode los diferenciales

0   aumenta), el punto imagen se mueve por ella en la dirección del único punto singular z  = este caso es

tj 

= 0. La ecuación característica, qu e en

-brjz  = 0 ,

determina la dirección excepcional regular z  = 0, a la que corresponden dos dominios de segundo tipo, lo cual se puede deducir an alizand o el cam po vectorial (fig. 95). La segun da dirección excep  cional tj  = 0 e s singular, po r lo q ue aqu í se requieren razonam ientos adicionales. E l l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o s y =   0 es una curva que es tangen te a la recta r¡ = 0 e n e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s y q u e p a s a p o r los cuadrantes segundo y tercero z (fig. 95), perm itiend o determ inar

 jj

Fig. 95

tres direcciones I, II y III a am bos lados del eje de simetría z = 0 . La región entre la curva y = 0 y el eje tj  = 0  es topológicamente equivalente a dos d om inios de se gundo tipo. De este modo, existe al menos una trayectoria a cada lado de la recta tj = 0 , las cuales son tangentes a esta última en el origen d e coordenadas.

Si consideramos ahora la ecuación diferencial

drj

a

dz

z  +

www.FreeLibros.me

14. R e g í m e n e s p e r i ó d i c o s e n c i rc u i t o s e l é c t ri c o s

podemos notar que en el segundo cuadrante, entre la curva y = 0 y el eje r¡ = 0 ,

p a r a v a l o r e s p e q u e ñ o s d e \r¡\.  C o n s e c u e n t e m e n t e , s i s e t o m a n d o s t r a y e c t o r i a s d e f a s e c o n e l m i s m o v a l o r d e tj  ,   s e p u e d e v e r q u e los puntos imagen que siguen estas trayectorias divergen cuando d i s m i n u y e z . E s t o s i g n i f i c a q u e a c a d a l a d o d e l a r e c t a rj = 0 e x i s t e s ó l o u n a t ra y e c to r ia d e f a s e , y q u e e s t a s t r a y e c t o r i a s s o n t a n g e n t e s a rj =   0 e n e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s y e s t á n c o n t e n i d a s en el dominio dado. También está claro que el cuadro cualitativo es simétrico respecto al eje z = 0 . A d e m á s , p o r c u an to

y

Z

>  A . ' \Vz\

p a r a v a l o r e s p e q u e ñ o s d e z   y v a l o r e s p o s i t i v o s d e rj,  e n t o n c e s n o e x i s t e n c u r v a s q u e s e a n t a n g e n t e s a l e j e rj =   0 e n e l o r i g e n d e coordenadas y que pasen por el primer o por el cuarto cuadrantes. En la región a la izquierda de la curva y =   0 tampoco hay curvas d e é s t a s , p u e s e n e s e c a s o y   > 0 , y Z t ie n e e l m is m o si g n o q u e z (fig. 95 , flechas IV). E ste an álisis p erm ite con cluir qu e el pu nto s i n g u l a r rj = z   = 0 e s u n p u n t o d e sill a. L a s d o s tr a y e c to r ia s d e f a s e q u e a l c a n z a n e s t e p u n t o c u a n d o t —* + 0 0   s o n s e g m e n t o s d e l a recta en el infinito ( z   = 0 ) q u e u n e n e l p u n t o a n te r io r c o n e l p u n to ¿ = 2 = 0 . L a s o t ra s d o s t ra y e c to r ia s d e f a se a lc a n z a n e l p u n t o d e silla cuando t —* - 0 0 . E n e s te an á lis is n o h e m o s ex a m in a d o e l p u n t o ¿ = 2   = 0 . P ara c o n d u i r l a i n v e s t i g a c i ó n , h a g a m o s rj = 1 e n l a s f ó r m u l a s (1 8 1 ).

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étodos cualitativos d e análisis de mode los diferenciales

En ton ces el sistem a diferencial aso ciado a la ecuación diferencial (180) adopta la forma

| = 2 ’ + í ( a z 2 + 6 í 2 + (, 0V ) = ^

~ = z [ a z 2 + b(.2 + u l ( z 2) = Q, donde la variable 0   está definida por la fórmula (182). El punto { = z   = 0 es singular, y la ecu ación característica es z 3 = 0. Por tanto, la dirección excepcional z  = 0 es singular. La curva P ({ , z) = 0 es tangente al eje z = 0  en el origen de coordenadas y tiene allí un p un to de retroceso (fig. 96). La curva Q ({, z)   = 0 tiene un punto m últiple en e l origen de coordenad as. Inv estigando los signos de las funciones P y Q po dem os determ inar el carácter del campo vectorial (fig. 96), así com o el cuad ro del com portam iento de las trayectorias de fase en un entorno del punto singular { = 2 = 0  (fig. 97).

En el p rime r y cuarto cu adrantes se cum ple la desigualdad

www.FreeLibros.me

15. Curvas sin contacto

esto significa que lejos del eje £ = 0 no h ay trayectorias de fase que entren en el punto singular por la derecha. Los razonamientos expuestos muestran que la ecuació n de Van der Pol no tiene trayectorias de fase que tiendan a infinito cuando t aumenta. Dicho de otro modo, la ecuación de Van der Pol tiene al m enos u n ciclo lím ite.

15. Curvas sin contacto En casos relativamente sencillos, el cuadro completo del comporta miento de la curvas integrales de la ecuación diferencial dada o, lo que es lo mismo, de las trayectorias de fase del sistema diferencial asociado, está definido por el tipo de puntos singulares y por las cu rvas integrales cerradas (trayectorias de fase), si estos existen. A ve ces el cuadro cualitativo se puede construir si, además de clasificar los puntos singulares, se logran hallar las curvas (separatrices) que "relacionan" los puntos singulares. Desafortunadamente, no hay mé todos generales de resolución efectiva d e este p roblem a. A propósito, en la integración cualitativa pu ede resultar útil el em p leo de las denominadas curvas sin contacto.   R e c o r d e m o s q u e u n a c u r v a o u n arco de curva con tangente continua se denomina curva (arco) sin contacto   si no tiene puntos de tangencia con el vector ( X , Y )   del sistema (112). De esta definición se infiere que el vector ( X  , Y )   debe estar dirigido en la curva siempre hacia un mismo lado. De este modo, una curva sin contacto puede ser cortada por las curvas de fase del sistema ( 122) en u n s e n tid o c u a n d o t   aumenta, y en el otro c u a n d o t   disminuye. Es por eso que el conocimiento de las c urvas sin con tacto respectivas pued e proporcionar la informa ción n ecesaria sob re el com portam iento de la trayectoria de fase elegida.

215 www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de mo delos diferenciales

AI integrar cualitativamente las ecuaciones diferenciales se pueden utilizar diversas desigualdades auxiliares. Por ejemplo, si tenemos d os e cu acione s diferenciales

t x = f{X -y l

T x  = 9 M 

y s e sabe qu e en cierta región D  s e c u m p l e la d e s ig u a ld a d / ( x , y) ^  g {x , y ),   entonces, denotando con y,(x) la solución de la pr imera ecuación que satisface la condición yi(x0) = y0, {x0,y0) € D ,   y con y2{x) la solución d e la segun da ecuación con las m ismas condiciones iniciales, se p ued e dem ostrar qu e y, (x) ^ y2(x)   p a r a x ^ x 0  en la región D .   Si se cumple la desigualdad estricta /(x, y ) < g ( x ,y ) en la región D ,   e n t o n c e s y , ( x ) < y2{x)   p a r a x > x 0  en la región D , y la curva y = y2[x) es una curva sin contacto. Como ejemplo, veamos la ecuación diferencial (168). Nosotros ya m o s t r a m o s q u e s i G > G 0 ,   entonces esta ecuación admite dos puntos singulares finitos (un punto de silla y un nodo) que son los puntos de intersección de la recta m y - G 2x   = 0 con la parábola 1 -  p y + q G 2x 2  = 0 . L os segm entos de recta y d e parábola qu e unen estos dos puntos singulares finitos son curvas sin contacto y limitan cierta región del plano qu e den otarem os mediante A . Tomando

X { x , y )   = 1 -  p y + qG2x2, Y ( x , y ) = 2 y (m y - G 2x ) , es fácil ver que en la frontera de la región A el vector { X , Y )   está orientado hacia afuera, exce pto en los pu ntos singulares. C on siguien temente, un punto imagen que parta de cualquier punto interior de A siguiendo una curva integral cuando t   disminuye, no podrá abandonar la región A sin pasar por uno de los puntos singulares.

www.FreeLibros.me

16. Sistema topográfico de curvas. Curvas d e c ontacto

Pero com o en el interior d e A se cum ple la desigualdad X  ( x , y)   < 0 , entonces el punto singular atrayente e s necesariam ente un nodo. Hallando las pendientes de las direcciones excepcionales para el pu nto de silla, se pu ede ver que una d e las rectas excepcionales pasa por A. De aquí se deduce que toda curva integral que sea tangente a esta recta en el punto de silla entra en el interior de A y desde allí debe alcanzar el nodo.

16. Sistema topográfico de curvas. Curvas de contacto Como vimos en la sección anterior, en la integración cualitativa de ecuaciones diferenciales es de mu cha utilidad el em pleo d e las curvas sin contacto. Sin embargo, debemos señalar que no existen métodos generales de construcción de semejantes curvas, es decir, no hay métodos que permitan construir curvas sin contacto en cada caso concreto. En vista d e esto, el problem a de la búsqu eda d e las curvas sin co ntacto posee un interés especial. Uno de los m étodos existentes está relacionado con la elección y el uso adecuados de los sistemas topog ráficos d e curvas. U n sistema topográfico de curvas   determinado por la ecuación (z, y )   = C , d on d e C    es un parámetro real, es una familia de curvas simples cerradas, disjuntas y derivables con continuidad, las cuales se abarcan unas a otras y llenan com pletamente cierta región G de l plan o d e f a s e 1'’1.

l5 ) E n l a li te r a t u r a m a t e m á t ic a e x i s t e n o t r a s d e f in i c i o n e s d e s i s te m a t o p o g r á f i c o q u e s e d i fe r e n c ia n e n f o r m a , p e r o n o e n c o n t e n i d o , d e l a d e f in i c ió n d a d a a q u í .

217 www.FreeLibros.me

Capitulo 2. Métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales

Supongamos que el sistema topográfico se elige de tal manera que a cada v alor del parám etro C  le correspo nd e una única curva, y que la curva correspo nd iente a cierto valor de C   con tiene todas las curvas correspon dientes a valores menores de C  (o sea, al crec er C  aum enta el "tamaño" de las curvas). Supongamos además que las curvas del sistema topográfico no tienen puntos singulares del sistema diferencial examinado. Consideremos ahora la función d o n d e x = respecto a t.   A partir del sistema (122) obtenemos

d*((t)) dt

d $ (x , y) d * ( x , y) X  ( x , y) + — Y (x, y). dx dy

Las curvas (en el caso dado, los ciclos) sin contacto son aquellas curv as del sistem a topográfico en las qu e la derivada —

dt

tiene signo

definido. Además, toda curva sin contacto del sistema topográfico

d 0 p osee la propiedad d e que, con dt el transcurso del tiem po t, toda trayectoria d e fase que la corte sale de t d$ la región finita lim itada po r esta curva. En cam bio, si — < 0, dichas dt trayectorias de fase entran en la región indicada. De aquí se deduce

d$

qu e si la derivada —

tiene signo constante en cierta región anular

(circular) llena completamente de curvas del sistema topográfico, entonces en esta región no pueden haber ni trayectorias cerradas ni, en particular, ciclos límites del sistema diferencial examinado. Los ciclos límites pueden existir únicamente en regiones circulares

d$ don de la derivada — es de signo variable. dt

www.FreeLibros.me

16. Sistema topog ráfico de curvas. C urvas d e con tacto

A modo de ejemplo examinemos el sistema diferencial

£ = , - «

dt

+ *».

 Jd L = - X - y + y \   dt

(184)

con un único punto singular (concretamente, un foco estable) en el pun to 0 ( 0 ,0 ). Elijamos como sistema topográfico de cu rvas la familia de circunferencias concéntricas con centro en el punto 0 ( 0, 0), es decir, la familia x 2 + y2  = C , d on de C    es un parámetro positivo. Entonces, ^

= - 2 ( x 2 + y 2) + 2(x* + y \

o, en coordenadas polares x = r eo s 0 , y = r   sen 0,

= - 2r 2 + 2r 4 (eos 40 + se n 4 0) = - 2 r 2 + 2r 4 ' \4 dt

^

\ e os 4 0 ^ . 4

/

Dado que los valores máximo y mínimo de la expresión entre paréntesis son 1 y

respectivam ente, podem os concluir qu e si

r

d$ r  > v  2 , e l v a l o r d e la d er iv a d a — e s m a y o r q u e c e r o , y s i r < 1, dt entonces es menor que cero. De aquí, en virtud del criterio de Poincaré—Bendixson y cambiando t  p o r —t   en el sistema (184), inferimos q u e en el anillo lim itado p or las circun ferencias x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2  = 2 hay un ú nico ciclo límite del sistem a (184). Para demostrar la unicidad, basta recurrir al criterio de Dulac   para regiones doblemente conexas: s i e x is te un a f u n c i ó n B { x , y ) > 0

continua jun to con sus derivadas pa rciales y tal qu e en cierta región doblemente conexa G de la región de definición del sistema   (122)

219 www.FreeLibros.me

Cap itulo 2. M étod os cualitativos de análisis d e mod elos diferenciales

la función d(B X) dx

d(BY) 8y

es de signo constante, entonces en la región G no pued e existir m ás de una curva simple cerrada formada por trayectorias del sistema ( 122) y qu e contenga a la fron tera interior de la región G. En el caso considerado aquí, tomando B ( x , y )   = 1 p ara el siste ma (184) obtenemos

dX dY  ~dx + Hy

2. , 2 ( + ®) -

por lo que en el anillo de fronteras x 2 + y2 = 1 y x 2 + y2 = 2, la expresión 3 (x 2 + y2) - 2 conserva e l signo. Teniendo presente el tipo de singularidad en 0 ( 0 , 0), concluimos que el ciclo es un ciclo límite inestable. Regre sand o al problem a de la construcción d e las curvas sin contacto para el caso general, veamos c óm o utilizar de otra manera los sistemas topográficos. La base del nuevo método es el concepto de curva de

d* se anula en cierto conjunto de a puntos del contacto. Si la derivada — dt

plano de fase, entonces d icho conjunto es el lugar geométrico de los puntos donde las trayectorias del sistema diferencial son tangentes a las curvas del sistema topográfico. De hecho, la pendiente de la tangen te a la trayectoria del sistema diferencial es igual a — , mientras que la pendiente de la tangente a la curva del sistema

220 www.FreeLibros.me

16. Sistema topográfico de curvas . Curvas d e co ntacto

d* /d * n top og ráfico e s - — / — . P o r esto , cu an d o d x / dy — X + — r = 0,

dx

(185)

dy

estas p end ientes coinciden, e s d ecir,

r  _  _ d $ / 0 £ X dx / dy Se denomina curva de contacto   al lugar geométrico de los puntos en los que las trayecto rias del sistema d iferencial ( 122) son tang entes a las curvas del sistema topográfico $>(x, y) = C .   La ecuación (185) es la ecuación d e la curva de contacto. E s especialm ente interesante el caso cuando se logra ele gir el sistema topo gráfico de tal man e ra que la curva de contacto, o alguna rama suya, es una curva simple cerra da, pu es entonces el sistema topográfico posee curvas "má xima" y "m ínim a", Pig g 8 a las cu ales son tan ge ntes la curva de contac to o la rama real suya (en la figura 98 la curv a d4>

(d*

\

dt

\ dt

/

d e c o n ta ct o s e in d ic a c o n u n a lín ea d is co n tin u a ). S i — ^ 0

— ^ 0

/d$ \ e n la cu rva "m á xim a " (x,y) = C ,, y — ^ 0 1 — ^ O e n l a cu rva \ dt / dt

■

www.FreeLibros.me

Ca pítulo 2. M étodos cualitativos de análisis de m ode los diferenciales

"mínima" y ) = C 2 ,   entonces en la región circular acotada por las curvas indicadas existe al menos un ciclo límite del sistema diferencial analizado.

De este modo, en el ejemplo del sistema (184) la curva de contacto x 2 + y 2 = x 4+ 2/4 es cerrada (fig. 99). Las curvas "m áxim a" y "m ínim a" (tang entes a la curva d e con tacto) del sistema topográfico elegido se pu eden hallar de la m anera siguiente: com o en coordenadas polares la ecuación d e la curva de contacto es r  2 = — r—---------- 7 —, en tonces eos 4 9  + sen 4 9 su s ecuacion es param étricas son eos 9  

sen 9

X ~   V e o s 4 9  + sen 4 9 '

V ~   V e o s 4 9   + sen 4 9'

222 www.FreeLibros.me

17. Divergencia d el cam po vectorial y c iclos limites

Dado que los valores máximo y mínimo para r2 son 2 y 1, res pectivamente, concluimos que las curvas "máxima" y "mínima" del sistema topográfico x2 + y 2 = C   son las circunferencias x 2 + y2 = 1 y x 2 + y 2 =   2. Como vimos antes, estas circunferencias forman el anillo que contiene al ciclo límite del sistema (184).

17. Divergencia del campo vectorial y ciclos límites Al construir un sistema topográfico de curvas, en algunos casos se puede utilizar el segundo miembro del sistema (122). El sistema diferencial examinado puede ser tal que la ecuación

lT d x + ld yf = X'

m )

don de A es un parám etro real, proporciona el sistem a topo gráfico de curvas. Por ejemp lo, para el sistema diferencial (184) la ecua ción (186) toma la forma 3 (x 2+ y 2) - 2 =   A. H acien do A = —

d o n d e A € ( - 2 , +o o ),

obtenemos el sistema topográfico de curvas x 2 + y2  = A utilizado anteriormente. Debemos destacar que si se tienen en cuenta las curvas "máxima" y "mínima", es decir, si la curva de contacto o alguna de sus ramas reales coincide co n u na d e las curvas del sistema topográfico, enton ces dicha curva es la trayectoria del sistema diferencial.

223

www.FreeLibros.me

C a p í tu l o 2 . M é t o d o s c u a lit a tiv o s d e a n á lis is d e m o d e l o s d i fe r e n c ia l e s

C o n s id e r e m o s , p o r e j e m p l o , e l s is t em a d i f e re n c i a l (1 73 )

^

= - y + x { l - x  2 - y 2),

Para este sistema dX

dY

Ȓ

+ i* =

.

2

2.

2 - 4< * +»>•

y la e c u a c i ó n (1 8 6 ) t om a la f o rm a 2 - 4 ( x 2 4- y2) =   A. Si ahora, en 2 —A lu g a r d e l p a r á m e t ro A in t ro d u c im o s e l p a r á m e t ro A = — - — , d o n d e A € ( - o o , 2 ) , e n t o n c e s la ú l ti m a e c u a c i ó n , x2 + y 2 =   A , d etermina el s i s te m a t o p o g r á fi c o d e c u r v a s. E n e l c a s o d a d o , l a cu r v a d e c o n ta c to e s ( x 2 + y 2) ( x 2 + y 2 - l ) = O y, c o m o v e m o s , s u ra m a r ea l x 2 + y 2 = 1 coincide con una de las curvas del sistema topográfico. Esta rama, como se demostró en las páginas 198-199, es el ciclo límite del sistema (173). Aunque los últimos dos ejemplos muestran casos particulares, la id e a d e la c o n s t r u c c i ó n d e l s is t em a t o p o g r á f ic o d e c u n a s m e d ia n t e la divergencia nos puede proporcionar resultados más generales. S i n d e t e n e m o s e n e s t o s r e su l ta d o s , m o s t re m o s co m o fu n c io n a e n u n e je m p l o c o n c r e to . Si el sistem a diferen cial   (122) tiene un ciclo lím ite L, entonces existen una constante real A y u na f u n c i ó n p o s it iv a B ( x , y )

d e r i v a b l e c o n c o n t in u i d a d e n e l p l a n o d e f a s e , t a le s q u e d (B X ) d (B Y ) _   + dx dy

224 www.FreeLibros.me

17. Divergencia d e l cam po vectorial y ciclos limites

es la ecuación de la curva con una rama real finita que coincide con el ciclo L. Introduzcamos el concepto de ciclo límite divergente. Se llama ciclo limite divergente   al dclo límite del sistema diferencial (122) que coincide con la curva (186) o que es una rama real finita de ésta. De acuerdo con esta definición, mediante un cambio apropiado de la velocidad de recorrido de los puntos imagen a lo largo de las trayectorias del sistema diferencial examinado, siempre se puede lograr que un ciclo límite cualquiera del sistema (122) sea un ciclo divergente del sistem a mod ificado. Exam inemos, p or ejemp lo, el sistem a d iferencial ^

dt

= 2 x - 2x3 + x 2y - 3 x y 2 + y3,

d- y = - * 3 +, 2x y - x y 2, con ciclo límite x 2 + y 2 = 1. La divergencia del cam po vectorial de este sistema e s

dX

dY 

„

r 2

.

Se puede comprobar que la ecuación 2 — 5x2 - 3y2 = A no e s una trayectoria del sistema d iferencial inicial pa ra nin gú n A real. A su v ez, si consideramos la función B ( x , y )  = 3x2 - 4 x y  + 7 ^ + 3 , en to nces

d (B X )

d (B Y )

7 w 7 . ? ? = ( x 2 + y2 - 1 ) ( - 2 3 x + 1 6xy - 25 y2 - 2 0) - 14

225

www.FreeLibros.me

Capítulo 2. M étodos cualitativos d e análisis de mode los diferenciales

y la ecuación

d(BX) dx

d{BY) dy

14

proporciona la curva cuya rama real finita x 2 + y 2 - 1 = 0 es el ciclo límite. Evidentemente, el ciclo límite obtenido es un ciclo límite divergente del sistema diferencial

dx

— = (2 x - 2 x 3 + x 2y - 3 x y2 + y 3) ( 3 x 2 - i x y + 7y2 + 3 ), ^

= ( - x 3 + x 2y - x y 2)  (3 x 2 - i x y + 7y2 + 3 ).

En general, la función B   (positiva y derivable con continuidad) no es la única posible. Por ejemplo, en el último ejercicio se puede tomar com o función B (además de B ( x , y ) = 3 x 2 -  4 x y  + 7y2 + 3) el polinomio 4

B (x, y) =

2 3 x 2 - 2 0 x y + 43¡f2 + 7

;

entonces,

d{BX) fl(BY) _ d x + dy = 7 (*2 + y 2 -   l ) ( - 1 8 7 x 2 + 80xy -   149y2 - 8 4 ) - 10. La ecuación d(BX)

d(BY)

dx

dy 

www.FreeLibros.me

17. Divergencia d e l cam po vectorial y ciclos lim ites

representa la curva cuya rama x 2 + y 2 - 1 = O es un ciclo lím ite del sistem a d iferencial (ciclo lím ite d ivergente del sistema diferencial modificado). Para concluir, señalemos que durante el estudio de modelos dife renciales concretos, frecuentemente surge la necesi dad de aplicar m étodos que n o han sido tratados en el presente libro. Tod o depen de del nivel de com plejidad del m od elo diferencial, d e cuán desarrollado está el ap arato m atemático respectivo y, por sup uesto, de la erudición y experiencia del investigador.

www.FreeLibros.me

Apéndice Derivadas de las funciones elementales F u n c ió n C 

D e r iv a d a 0

(constante)

X

1

x "

n i" ’ 1

1 —

 X 

----1

 

X 2

n

i *•

 x n + l

1

Vi

V

i 1

Vi

'228 www.FreeLibros.me

 A pén dic e

F u n c ió n

D e riv a d a

e* 

e*

ax

az in a

 

1

ln x

X 1 . 1 “ to g * e = —T— x 08 x In a

log.*

1 ,

0,43 43

• s* s e n  x 

cosx

C O SI

— sen x

tg x

------r— = s e c X eo s2 X

ctgx

1

2

-------- y — = - CSC2 X

 

sen 2 x

s e c  x 

sen x — — = tg x sec x

CSC X 

---------- =— =

eo s2 X

cosx

sen 2 x 1

arcsenx

V l - x * 1

árceos x

n/1 — x 2

229 www.FreeLibros.me

— c t g X CSC X

 A p é n d ic e

I

Derivada

Función

arctg x

1+*2

arcctg x

1 +x2

arcsec x

x V x2 - 1

arccsc x

-y/x2 - 1

sh z

ch x

ch x

sh x

th x

ctíx

cth x

sh2 x

Arcsh x

y/T+x2

Arcch x

y/x^l

Arcth x

1 —x2

Arccth x

1 — X2

230 www.FreeLibros.me

 A p é n d ic e

Integrales básicas Funciones potenciales x n+l

 / 

= _

( „ * d

=1n W

Funciones trigonométricas

J   s e n x

dx = - cos x

J   c o s x d x =  s e n x J   tg x d x J   c t g x d x  f

dx

J

cos- X 

= — l n |c o s x\ = ln |sen x|

= 

sen- x

Funciones racionales

 / 

1 x T a2 + x2 = T dx 1 x 1 a + x “r r = - A rcth - = — l n

/

dx

a 2 - x2  f dx 

a

a

2a

1

x

1

m

www.FreeLibros.me

a -x x —a

( x < a)

 A p é n d ic e

Funciones exponenciales

J e*dx = ex   í az dx = p — ln a  J 

Funciones hiperbólicas

J   s h x dx  =

ch x  

J   c h x dx  =

sh

J   th x dx  =

ln |ch

x  

C t^

ln |sh

x  

í dx I   — =— = J   ch x  

th x

Í 

x dx  =

í

dx

x  

cth

J    sh2 x F u n c i o n e s ir r a cio n a l e s

www.FreeLibros.me

x  

índice de materias condición inicial 126 constante de gravitación universal 89 coordenada homogénea 184 criterio d e Bendixson 202 — de Dulac 202, 219 — de Poincaré—Bendixson 200 curva de contacto 221 — isócrona 69 — isotérmica 15 — sin contacto 215 — tautocrona 69

Amortiguamiento crítico 167 — de oscilaciones 168 ángulo de retraso 107 B a s e del arco d e una cicloide 68 Bendixson, criterio 202 Bendixson—Poincaré, 200 braquistocrona 73 C álcu lo d e variaciones 74 campo direccional 120 centro 147 ciclo límite 199 divergente 225 estable 199 inestable 200   semiestable 200 cicloide 67 círculo generador 67 clepsidra 26 coeficiente de convalecencia 41 — de morbilidad 41 coeficientes d e potencia de artillería 54 concentración de una sustancia 31

Diámetro hidráulico 173 dirección 120 — excepcional 163 divergencia 162 dominio normal de Frommer 179 d e prim er tipo 179 d e segun do tipo 179 d e prim er tipo 179 Dulac, criterio 202, 219 Ecuación característica 163 — de continuidad 171, 188

;233 www.FreeLibros.me

índice de m aterias

— de la curva logística 28 — de Van der Pol 209 eficacia territorial 55 estabilidad orbital 155 estado de gravedad cero 87 — d e ingravidez 87 — estable 151 — inestable 151 Fermat, principio del tiempo mínimo 75 flexión de una viga 102 flujo estacionario de calor 14 foco 149 Fourier, ley de conducción de calo r 15 Frommer, dominio normal 179 fuerza resistente 140 — restauradora 140 función de Liapunov 158 — de signo negativo 157 positivo 157 — definida negativa 157 positiva 157 — energética del sistema 158 Galileo, teorema 68 índice de un punto singular 203, 204 — de una curva cerrada 204 Integral elíptica d e primera especie 66

de segunda especie 66 isoclina 120  Jacobiano 161 K ep ler, leyes 94 L ey de acción de masas 31 — de conducción d e calor de Fourier 15 — de gravitación universal 89 — de la oferta y la demanda 29 — de las áreas 94 leyes de Kepler 94 Liapunov, función 158 —, método directo 156 —, solución estable 154 —, — no estable 155 línea de sonido 174 — elástica 100 M ét o d o de aproximaciones sucesivas de Newton 21 — directo de Liapunov 156 modelo cuadrático de combate 55 — depredador—presa 34 — lineal de combate 59 — parabólico de combate 61 Newton, método de aproximaciones sucesivas 21 nodo 149

www.FreeLibros.me

í n d ic e d e m a t e ria s

resorte lineal 140 retrato d e fase 139 rigidez flexural 103

número de Mach 173 — de Reynolds 171 Oscilador de Van der Pol 207 P én d u lo cicloidal 71 plano de estados 135 — de fase 135 — proyectivo 185 Poincaré—Bendixson, criterio 200 principio de Fermat del tiempo m ínim o 75 problema d e contom o 33 — de valores iniciales 126 producto de una reacción 31 punto de equilibrio 137 — de inflexión 122 — de reposo 137 — de retroceso 68 — de silla 147 — imagen 135 — singular 137 aislado 137 asintóticam ente estable 152 estab le 151 grose ro 150 inesta ble 152 sim ple 161 Recta excepcional 164 — impropia 186 — regular 178 — singular 178

Separatriz 124, 146 sistema conservativo 140 — d iferencial autón om o 136 con ley hiperbólica 56 — estacionario 136 — no autónomo 136 — no estacionario 136 — topográfico de curvas 217 solución estable según Liapunov 154 — no estable según Liapunov 155 superficie isotérmica 14, 15 Tasa de mortalidad 35 — de natalidad 35 tendencia del precio 29 teorema d e G alileo 68 — de Wren 68 trayectoria de fase 135 V a n der Pol, ecuación 209 velocidad areolar 93 — de fase 135 — de reacción 31 vértice de una cicloide 68 viga de consola 101 W r e n , t eo re m a 68

www.FreeLibros.me

EDITORIAL URSS DE RECIENTE EDICIÓN Rozendóm

P r o b l em a s d e g e o m e t r ía d i fe r en c i a l Este libro contiene una colección de problema* de alto nivel, relacionado» con lo* principales temas que componen un curso completo de geometría diferencial. Al resolver les problemas planteado», el lector habrá efectuado un recorrido minucioso por la geometría diferencial y de las curvas espaciales y de la* superficies. En lo* problema* *e tocan aspectos de la geometría diferencia) que tienen innumerable* aplicaciones en la física y en la ingeniería. Este libro fue autorizado por el Ministerio de Educación Media y Superior de la URSS para su uso en la* facultades de física y d e matemáticas.

Dubrovin, Fomenko, Nóvikov

G e o m e t rí a m o d e r n a ( p r im e r y s e g u n d o to m o ) En este libro se abarcan lo» siguiente* tema*: geometría del espacio euclideo, del espacio de Mlnkowski. y de su* respectivo* grupos de transformaciones; geometría clásica de cursas y superficies; análisis tensorial y geom etría de Riemann; cálculo variacional y teoría del campo; fundamentos de teoría de la relatividad, geometría y topología de variedades, y. mis concretamente, elementos de la teoría de homotopías y de la teeeia de los espado* fibrado» y alguna* de su* aplicaciones, en particular, a la teoría de los campos de gauge.

Samarski, Vabischévich, Samárskaya

 M é to d o s n u m érico s. G u ia d e reso lu c ió n d e p r o b le m a s

Shapukov

G r u p o s y á l g e b r a s d e L i e e n e je r c ic io s y p r o b le m a s

La presente gula práctica de estudio pretende ser un complemento de los cursos de método* numéricos que se imparten en las instituciones de educadón superior con un programa de matemáticas de nivel elevado. Los problemas y «Tercióos abarcan lo* tema* príndpales del análisis matemático: interp oladó n, integración numérica, método» directos e iterativos del álgebra lineal, problemas espectrales, sistemas de ecuaciones no linéalo, problema* de minimización de funciono, ecuaciones integrales, problemas de contomo y de valore* ¡nidales para ecuadones diferenciales ordina rias y en d erivada * pardales En cada sección se expone brevemente el material teórico necesario, ejercido» resueltos y una colecdón de ejercidos propuestos. Este libro ayudará al lector a familiarizarse con los grupos y álgebras de Lie. disdpllnas que presentan un gran interés tanto para matemáticos como para físicos. El material del libro abarca todas las ramas fundamentales de lo» grupos y álgebras de Lie representadones lineales de lo» grupos y álgebras de lúe, homomorftsmo» de lo» grupo» y álgebras de Lie. formas invariantes, espado» homogéneo*, órbitas, grupo» de Lie de transformaciones de variedades difcrendable». etc. La exposición teórica viene acompasada de una gran cantidad de ejemplos resueltos.

Liashkó, Boiarchuk, Gai, Golovach Krasnov, Kiseliov,  M a k á r e n k o , Shikin, Zaliapin

"A n t i D e m i d ó v i c h M a t e m á t i c a s u pe rio r. P r o b le m a s r es u elt os . T. 1 -1 0 . Esta serie consta do diez volúmenes y contiene más de 2803 problemas resuelto» de las más variadas ramas de las matemática» superiores. Lo* cuatro primeros tomo», con lo* que se abre esta obra, e stán dedicados a l estudio práctico de las fundones, las sucesiones, las series, el cálculo difcrendal e integral de la» fundones de una y varia» variables; en ello* se presentan solucione* comp letamente detallada* de problemas expuestos e n el famoso libro de B . P. Demidóvkh . C M S / : C urso d e m at em átic as su pe rior es (nueva edición, modificada y ampliada). La primera edidón de este libro vio la luz en editorial MIR en do» tomos y simultáneamente en tres idioma» (español. inglés y francés) a comienzo* de lo» aAo» 90. Desde ese momento, este libro ha conquistado un lugar destacado entre los libro* de texto de matemáticas superiores en los países de habla hispana. Paradójicamente, el original en ruso no fue editado por una sendlla razón: en didembre del 1991 la Unión Soviética fue liquidada en contra del deseo popular expresado en referéndum en la primavera de ese mismo aAo. La edidón rusa (reelaborada y muy notablem ente ampliada) fue publicada por editorial URSS en el aAo 2000. En d aAo 1999 este libro fue premiado en el concurso "Nuevos libro» de texto" organizado por d Ministerio de Educadón de Rusia con la consiguiente recomendadón oficial para ser usado como tal en todo* los centros de edu cadón superior. En comparadón con la anterior edidón espaAola. la obra no sólo ha sido redaborada sino que ha sido completada con ramas tan importantes como: teoría de probabilidades, estadística matemática, teoría de juego», control óptimo, matemática» discreta», métodos numéricos, etc.

www.FreeLibros.me

Pietrásheñ, Trífonov

Surdín

T e o rí rí a d e g r u p o s y s u a p l ic i c a c i ó n a l a m e c á n ic ic a c u á n t i c a En <-»lr libro se exponen lo» fundamento» de la teoría de lo» grupo» finito» r   r   Infinito»; el uto de la teoría de la» representaciones de grupo» te ilustra tomando como ejemplo diversa» aplicaciones y cuestione» referentes a la mecánica cuántica: teoria de loa átomo», química cuántica, teoria dd estado «Mido y mecánica cuántica relativista

Formación estelar  Comenzando can una breve excursión histórica a través del desarrollo de la» idea» sobrr d origen de las estrella», el libro presenta un punto de vista moderno de la estructura y la dinámica del medio Interestelar donde se forman la» estrella». Se describen k» proceso» fundamentales que llevan al nacimiento de estrella», sistema* y asociaciones estelare», asi como agregados estelare» de distinto» tipo».

 J l ó p o v

E l u n i v e r s o y l a b ú s q u e d a d e l a t e o r í a u n i fi fi c a d a d e l c a m p o Este libro está dedicado a las más palpitantes cuestiones situadas a caballo entre la astrofísica y la fiska de la» partícula» elemental» Se discuten hipótesi* y posible» variante» de obtención de información sobro las partículas deméntale» a partir de dato» astrofísica».

Chemin

L a n a t u r a l e z a f í s i c a d e l a s e s tr t r e llll a s Lo» pulsare», la» burilen, la fuente asombrosa SS433. la» corona» galácticas, lo» cuisare*. la radiac radiación ión de fondo, los los agujeros negros negros Ésto» son los tema* fund am éntalo qu e abarca abarca d presente libro. Se describen lo» proceso* físicos que determinan lo» fenómeno» astronómico» observados, se analizan las nueva* hipótesi» y modela», y *e profundiza en los misterio» de la astrofísica que «iguen Inquietando la imaginación dd hombre.

Lipunov

Estrellas Estrellas d e n eutrones El libro es una introducción completa a la física de la evolución de la* estrella» de neutrones, una de las rama* de la astrofísica que en la actualidad se desarrolla con más ímpetu. Se hace un recuento histórico histórico d e los descubrimiento» descubrimiento» y se explican todo» lo» fenómeno» ob ser va do El análisis se expone de una manera amena, utilizando los conocimiento» básico» de matemática» y física.

Lipunov

E l m u n d o d e l a s e s tr t r e ll ll a s d o b l e s En el libro se describen los nuevo» descubrimiento», ideas e hipóte*» relacionados con el estudio de la» estrellas doble». La secuencia de la exposición corresponde a lo* estadio» sucesivo» de evolución de las estrella» dobles. Pero en la descripción de cada etapa siempre se analiza un sistema doble concreto y »e cuenta la historia de »u descubrimiento e investigación, revelándose en cada ejemplo la esencia de lo» método* astrofísico* de investigación de los sistemas doble».

Logunov

C u r so s o d e t e o rí r í a d e l a r e la l a t i v id i d a d y d e l a g r a v it i t a c ió ió n En este este libro, libro, siguie siguiendo ndo la* idea» idea» de Minkowski, Minkowski, *e h a demostrado que la esencia esencia y el con tmid o principal de la teoria de la relatividad radican en la unidad conceptual del espado-tiemfKi, la geometría del cual e» seudoeuclídea. Dentro de lo» limites de la leona de la relatividad y del principio de geometrtzadón se ha construido unívocamente la teoria relativista de la gravitación, la cual explica todo» lo» experimento» gravita torio» llevados a cabo hasta la actualidad y proporciona idea» básicamente nuevas sobre el desarrollo del universo y el colapso gravitatorio.

Gantmájer 

 M e c á n i c a a n a l í t i c a □ material material de este libro presenta presenta la siguiente siguiente estructura: estructura: exposición de lo* principio» principio» mi» generales de la mecánica, deducción a partir de ello* de la» ecuaciones diferencíale, de movimiento e investigación de ésta» y de su» método» de integración. El rigor de lis deducciones deducciones de lo* principal principales es momento* de la mecánica mecánica analíti analítica ca y d laconismo laconismo dd texto se conjugan magistralmente con la extrema claridad de la exposición.

Batiguin, Toptiguin

P r o b l e m a s d e e le l e c t ro r o d i n á m i ca c a y t e o rí r í a e s p e c i a l d e l a r e la l a t iv iv i d a d Este libro, una de la» más completas colecciono de problemas de electrodinámica y de la teoria especial de la relatividad, está pensado tanto para lo* estudiantes universitarios como para lo* de centros técnico» técnico» superiores. superiores. Todos los problemas están detalladamente resueltos En cada sección se anteponen breve» introducciones teórica» y se exponen los métodos de resolución de lo» problema» que se enuncian a continuación. Se presta especial atención al aparato matemático. Esta obra, ya clásica, publicada reiteradas vece» en ruso (original) y en inglés, aparece por primera vez en espaAol.

www.FreeLibros.me

Bielokúrov, Shirkov

Faddéev,

Slavnov

Guia d e la teoría teoría cuántica cuántica de campos El elemento ele mento «Uve de d e b (tuca contvtnperiné* contvtnpe riné* es e l cwu cwurep repHo de campo cuántico. cuántico. Hoy Ho y en d b i e considera que éste constituye U forma universal de U materia materia que aubyace aubyace a toda» sus manifestaciones tísica». Este libro puede ser recomendado como una primera lectura para aquello» estudiantes y tísicos de otra» especialidades que quieran comprender la» ideas y métodos más importantes de la teoría cuántica del campo, una de las rama» má* matematizada* y abstracta» de la física teórica.

Introducc Introducción ión a la teoría cuántica d e los campo s de gauge gauge En este libro de los prominentes físicos soviéticas se expone, por una parte, el método general de b cuantificaóón de la s teorías invaria invariantes ntes de gauge en términos términos de b integr integral al fundonal. fundonal. y, por otra, su renormalizadón. Se analizan también también b formulación formulación de las l as teorías de gauge gauge reticulares y los método» explícitamente covariantes de cuantificaóón (cuantifkactón BRS)

 M a tv ié e v , Petersón, Zhúkariev

Problem as resuel resueltos tos de f de fíí s i c a g e n e r a l p a r a los lo s m á s in q u ieto ie to s

ósipov

 A u t o o r g a n iz a c ió n  y caos

Este libro constituye una completa colección de problema» detalladamente resuelto» que fueron propuesto» a los alumnos má s avanzado» de de lo» primero» primero» curso» de b facultad de física de b Universidad Universidad E*tatal Lomooósov Lomooósov de Moscú en seminario» especiales Los problema» problema» abarcan abarcan las siguiente» disciplinas: mecánica, física estadística, termodinámica, electricidad, magnetismo y óptica. Además de problemas completamente originales se han incluido también lo» prtWema» más característico» y difíciles que se proponen generalmente en el curso de física general En este libro se describe de scribe de forma amena una de las la s nueva» ramas ramas de b termodin termodinámic ámicaa fmomenológica: b termodinámica termodinámica de los procesa» procesa» inevendbles. Tras una breve introdu introducció cciónn a b dinámica de lo» procesos de equilibrio, el autor rxpcrw detalladamente detalladamente los postula postulado» do» fundamentales fundamentales de b termodinámica termodinámica del desequilibrio. Se presta una atención especial a lo» efecto» de b termodinámica no lineal, a b autoorganización autoorganización en los sistema» de deseq desequilib uilibrio, rio, todo lo cual se ilustra con ejemplo» de de b hidrodi hidrodinám námica, ica, b finca de los láseres v b cinéti cinética ca química.

Shepeliov

óptica Este libro ha sido preparado por el profesor A. V. Shepeliov partiendo de su extrnu experiencia pedagógica en los centro» de mseftanza superior El libro abarca Indo el programa de 'óptica' del curso de fiska general para estudiantes de «wAanza superior. Leu tema» están dividido» por secciones y terminan con un resumen. Esto balita el trabafo regular con el libro y ayuda a b preparació preparaciónn rápida rápida para lo» exámenes exámenes..

Shepeliov

Electricidad  y magnetismo Este libro abarca casi todo el programa de 'Electricidad y magnetismo' del curso de fiska general general para estudiantes estudiantes de «u eó an za superior, superior, lo cual »e ha logrado logrado gradas a b exposi exposició ciónn concisa, pero exacta, del material. Lo* conodmientos matemático ! necesarias para b compren comprensión sión del libro son Ic» del nivel escolar Incluyendo los elementa» del cálculo diferencial e integral Los tema» están dividido» por seccioné» y terminan con un resumen Esto facihta el trabajo regular regular con el libro y ayuda a b preparació preparaciónn rápida rápida para para k a exámen exámenes. es.

Tarásov, Tarásova

Baskákov

Preguntas y  pr  p r o b le m a s d e fí s i c a Lo» autores de este libro han sabido, en b forma má» expresiva d d diálogo, analizar profundamente casi todas la» pregunta» del programa y en espedal aquellas que son de difícil comprensión. En el libro re hace un análisis detallado de k>» errores más característicos que cometen lo» estudiante». El texto ha sido escrito de manera stngubr, rencilla y amena, bs preguntas difíciles se discuten desde diferente» punto» de vísta, los dibujos bien detallado* (que en d libro libr o son numeroso») numeroso») ayudan a comprender comprender má» profundam profundamente ente b idea de les autores

Teoría de circuitos En d presente libro se expone slstrmáticamente d material del curso •Funda •Fundamen mento» to» d r b teoría teoría de circuito*.. Se estudian los método» de análisis de los regímenes armónico» estacionarios de lo* circuitos lineales, b teoría teoría de los cuadripo cua dripok» k» las características características de las filtros, filtros, la s funda fundame ment nto» o» de b teoría de circuito» no linéale». linéale». Se lleva a cabo un estudio detallado de lo» método* para hallar b» reaccione» reaccione» de los sistemas lineales a lo* Impulsos. En d libro también re presenta b teoría de los circuito* con parámetros distribuidos, y se discuten los métodos de síntesis de los d ip o l» lineales lineales.. E l último capítulo capítulo está está dcdkado dcd kado a b aplicació aplicaciónn de los ordenad ordenadores ores al cálc cálculo ulo de circuito* circuito* complejas

www.FreeLibros.me

Kirílov

R e s o lu lu c i ón ó n d e p r o b l e m a s d e f í s ic ic a

y o t ro ro s

El libro esti es ti rtcnto en   correspondencia c cn   el programa del corso de fisicn general. En el libro se incluyen problemas resueltas de fundamentos físicos de la mecánica, termodinámica y física molecular, electricidad y magnetismo, oscilaciones y ondas, ópdca, teoría especial de la relatividad y física cuántica.

Feodósiev

P r o b l e m a s d e r e si s i st s t e n c i a d e m a t e r ia ia l e s Esta monografía contiene una colección de problemas seleccionadas de alto nivel detalladamente resueltos, los cuales proporcionarán al lector, sin duda alguna, la posibilidad de ampliar su conocimiento sobre la ciencia de la resistencia de materiales y mejorar su comprensión en lo que respecta a la relación existente entre dicha disciplina y varias otras.

D E P R Ó X I M A E D I C I Ó N : F ÍS Í S IC IC A • Sazhin

I n tr tr o d u c c ió n a la c o s m o l o g ía m o d e r n a

• Surdín

P r o b l e m a s r e s u e lt l t o s d e a s tr tr o n o m ía

• Tiemov y otros • Bólojov • Vizguin • Ivanenko • Galtsov, Grats, Zhukovski • Galitski y otros

Cam pos de gauge G r u p o s d e s im i m e tr t r ía í a y p a r t íc í c u l a s e le l e m e n t a le le s T e o r í a s d e c a m p o u n i fi f i c a d o e n e l p r i m e r te t e r c io i o d e l s ig ig l o X X Gravitación C a m p o s c lá l á s i c o s : te t e o r í a g e n e r a l , c a m p o s e l e c t r o m a g n é t ic ic o s , c a m p o s d e Y a n g — M i l l s y c a m p o s g r a v i t a t o r io io s P r o b l e m a s r e s u e l t o s d e m e c á n i c a c u á n t ic ic a

• Kvásnikov

T e r m o d i n á m i c a y m e c á n i c a e s t a d í s t ic i c a . P r o c e s o s r e v e r s ib ib l e s e i r re r e v e r s ib i b l e s. s . T e o r ía ía y p r o b l e m a s r e s u e l t o s ( 2 t o m o s )

• Baskákov • Denísov • Lipunov • Shvilkin y otros

Señales y circuitos

• Z v i a g u i n y o tr o s

P r o b l e m a s r e s u e l t o s d e t e o r ía ía d e s e m i c o n d u c t o r e s

• Bogoliúbov, Shirkov

C a m p o s c u á n t ic ic o s

• Jlópov • Chemin • Chemín

C o s m o m i c r o fí f í s ic ic a Física del tiempo

• Kulikovski

M a n u a l d e l a s tr tr ó n o m o

• Kononóvichy Moroz • Vilf

C u r s o d e a s t r o n o m í a g e n e ra ra l

E l e c tr t r o d in in á m ic a d e l o s m e d i o s c o n t in u o s P r o b l e m a s r e s u e l to t o s d e a s t r o fí f í si s i ca ca P r o b l e m a s r e s u e l to t o s d e e l e c t ró r ó n i c a f ís í s ic ic a

R o t a c ió ió n d e l a s g a la x ia s

S o b r e e l e s p í n , l a f ó r m u l a d e E i n s te t e in i n y l a e c u a c i ó n r e la l a ti t i v is i s ta ta d e D ir a c

• Kondrátiev, Románov • Dmítriev • Rozental

G e o m e t rí r í a . D i n á m i c a . U n i v e r so so

F rid m a n

E l m u n d o c o m o e s p a c io -tie m p o

P r o b l e m a s r e s u e lt l t o s d e m e c á n i c a e s t a d í s t ic ic a El baúl d el abuelo

www.FreeLibros.me

• S h e le p i n • Shelepin • Gu Guriévich, Chemín • Matviéev Mat viéev y otros • Kuzmín, Shvilkin • Matviéev y otros • Frenkel • Jeller • Jlópov

L ejo s d e l equ ilibrio Coherencia El orig en de las galaxias y la las estrellas

 1     1     1     0  

■  S 

«  £  •

Síntesis nuclear fría

Problemas resueltos de mecánica De la desintegración q  a la Gran Explosión En los orígenes de la cosmología: Fridman y Lemetre C osm omicrofísica

D E P R Ó X I M A E D I C I Ó N : M A T EM E M Á T IC IC A • Krasnov Krasnov y otros tros • Krasnov Krasnov y otros otros • Krasnov y otros • Kras Krasno novv y otr otros os • Krasnov y otros • Ríb Ríbnikov • Dubrovin, Fomenko, Nóvikov • Samarski, Vabischévich • Kub Kubyshin

Ecua Ecuaci cion ones es integ ntegrrales ales Probl Problema emass de ecuacio ecuaciones nes difer diferenc encia iale less ordi ordina nari rias as Funciones de varible compleja. Cálculo operacional. Teoría de la estabilidad Anál Anális isis is vect vector oriial Cálculo Cálc ulo variaci variacional onal Historia de de las ma matemát máticas (nueva edición completamente nte modificada) Geometría moderna. Métodos Métod os y aplicaciones. aplicaciones. Tomo 3: Méto Méto do de la teoría de las homologías Métodos numéricos para la resolución de problemas de convección-difusión Geo Geome mettría di diferencial, álgebras de de Li Lie y sus aplicaciones

po sic ion es  Sus opiniones, sugerencias  y  y  pro posic

o bien a nuestro distribuidor exclus exclusiv ivo  o  en España:

 pu ed en s e r en viad vi ad as a:

Rusia, 117312 Moscú Instituto de Análisis de Sistemas de la Academia de Ciencias de Rusia Prospiekt Prospiekt 60-letia Octiabriá, O ctiabriá, 9; k. 203

España, 41010-Sevilla C/ Salado, 18

E d i to t o r ia ia l U R S S

L i b r e r ía ía H a y k a

e-mail: [email protected] http://URSS.ru

e-mail: [email protected] fax: 34-954-08-47-04 tlf.: 34-625-37-87-73

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me